Analisis Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik - at ee-cafe.org

Sudaryatno SudirhamAnalisisRangkaian ListrikJilid 1darpublic

AnalisisRangkaian ListrikJilid 1(Arus Searah dan Arus Bolak-Balik)olehSudaryatno Sudirham

Hak cipta pada penulis, 2010SUDIRHAM, SUDARYATNOAnalisis Rangkaian Listrik (1)Bandungare-0710e-mail: darpublic@yahoo.comAlamat pos: Kanayakan D-30, Komp ITB, Bandung, 40135.Fax: (62) (22) 2534117

PengantarBuku ini adalah jilid pertama dari satu seri pembahasan analisisrangkaian listrik. Penataan ulang urutan materi bahasan sertapenambahan penjelasan penulis lakukan terhadap buku yangditerbitkan tahun 2002.Buku jilid pertama ini bertujuan untuk membangun kemampuanmelakukan analisis rangkaian listrik dalam keadaan mantap,ditujukan kepada para pembaca yang untuk pertama kalimempelajari rangkaian listrik. Bagian ini berisi bahasan analisis dikawasan waktu dan kawasan fasor, disajikan dalam enam belas bab.Lima bab pertama berisi bahasan mengenai perilaku piranti-pirantilistrik maupun besaran fisis yang ada dalam rangkaian, mencakupmodel sinyal dan model piranti. Dengan pengertian tentang keduamodel ini, bahasan masuk ke landasan-landasan untuk melakukananalisis rangkaian listrik di empat bab berikutnya, disusul dengandua bab yang berisi contoh aplikasi analisis rangkaian. Empat babterakhir berisi analisis rangkaian di kawasan fasor, baik pada sistemsatu fasa maupun sistem tiga fasa berbeban seimbang yangmerupakan pokok bahasan terakhir. Pokok bahasan selanjutnya akandisajikan dalam buku jilid berikutnya.Selanjutnya buku jilid ke-dua akan ditujukan kepada pembaca yangtelah mempelajari materi di jilid pertama ini. Pembahasan akanmeliputi analisis transien pada sistem orde pertama dan sistem ordeke-dua, analisis rangkaian menggunakan transformasi Laplace,fungsi alih, tanggapan frekuensi, pengenalan pada sistem termasukpersamaan ruang status, serta analisis rangkaian listrikmenggunakan transformasi Fourier. Dalam jilid ke-tiga akandisajikan analisis rangkaian pemrosesan energi, khususnya padapemrosesan menggunakan arus bolak-balik sinusoidal, dan analisisharmonisa di mana sinyal listrik dipandang sebagai suatu spektrum.Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Saran danusulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya,sangat penulis harapkan.Bandung, 26 Juli 2010Wassalam,Penulisiii

A. Schopenhauer, 1788 – 1860Dari Mini-EncyclopédieFrance LoisirsISBN 2-7242-1551-6iv

Kata PengantarDaftar IsiDaftar IsiBab 1: Pendahuluan 1Pengertian Rangkaian Listrik . Pengertian AnalisisRangkaian Listrik. Struktur Dasar Rangkaian, BesaranListrik, Kondisi Operasi. Landasan Untuk MelakukanAnalisis.Cakupan BahasanBab 2: Besaran Listrik Dan Model Sinyal 9Besaran Listrik. Sinyal dan Peubah Sinyal. BentukGelombang Sinyal.Bab 3: Pernyataan Sinyal Dan Spektrum Sinyal 37Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal. SpektrumSinyal.Bab 4: Model Piranti Pasif 57Resistor. Kapasitor. Induktor. Induktansi Bersama.Saklar. Elemen Sebagai Model Dari Gejala.Transformator Ideal.Bab 5: Model Piranti Aktif, Dioda, dan OPAMP 83Sumber Bebas. Sumber Praktis. Sumber Tak-Bebas.Dioda Ideal. Penguat Operasional (OP AMP).Bab 6: Hukum-Hukum Dasar 109Hukum Ohm. Hukum Kirchhoff. Basis AnalisisRangkaian.Bab 7: Kaidah dan Teorema Rangkaian 121Kaidah-Kaidah Rangkaian. Teorema Rangkaian.Bab 8: Metoda Analisis Dasar 143Metoda Reduksi Rangkaian. Metoda Keluaran SatuSatuan. Metoda Superposisi. Metoda RangkaianEkivalen Thévenin.Bab 9: Metoda Analisis Umum 159Metoda Tegangan Simpul. Metoda Arus Mesh. CatatanTentang Metoda Tegangan Simpul dan Arus Mesh.iiivv

Bab 10: Rangkaian Pemroses Energi (Arus Searah) 181Pengukur Tegangan dan Arus Searah. PengukuranResistansi. Resistansi Kabel Penyalur Daya. PenyaluranDaya Melalui Saluran Udara. Diagram Satu Garis.Jaringan Distribusi Daya. Batere. Generator Arus Searah.Bab 11: Rangkaian Pemroses Sinyal (Dioda dan OP AMP) 201Rangkaian Dengan Dioda. Rangkaian Dengan OP AMP.Diagram Blok. Rangkaian OP AMP Dinamik .Bab 12: Fasor, Impedansi, Dan Kaidah Rangkaian 227Fasor Dan Impedansi. Resistansi, Reaktansi, Impedansi.Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi.Bab 13: Teorema dan Metoda Analisis di Kawasan Fasor 247Teorema Rangkaian di Kawasan Fasor. Metoda-MetodaAnalisis Dasar. Metoda-Metoda Analisis Umum.Rangkaian Resonansi.Bab 14: Analisis Daya 265Umum. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya Rata-Rata dan Daya Reaktif. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor:Daya Kompleks, Faktor Daya. Alih Daya. Alih DayaMaksimum.Bab 15: Penyediaan Daya 287Transformator. Penyediaan Daya dan Perbaikan FaktorDaya. Diagram Satu Garis.Bab 16: Sistem Tiga Fasa 305Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke Beban. AnalisisDaya Pada Sistem Tiga Fasa. Diagram Satu Garis.Daftar Referensi 325Indeks 327Lampiran I 329Lampiran II 332Biodata 341vi Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 1PendahuluanDua dari sekian banyak kebutuhan manusia adalah kebutuhan akanenergi dan kebutuhan akan informasi. Salah satu cara yang dapatdipilih untuk memenuhi kedua kebutuhan tersebut adalah melaluiteknologi elektro. Energi yang tersedia di alam tidak selalu dalambentuk yang kita perlukan akan tetapi terkandung dalam berbagaibentuk sumber energi misalnya air terjun, batubara, sinar matahari,angin, ombak, dan lainnya. Selain itu sumber energi tersebut tidakselalu berada di tempat di mana energi tersebut dibutuhkan.Teknologi elektro melakukan konversi energi non-listrik menjadienergi listrik dan dalam bentuk listrik inilah energi dapat disalurkandengan lebih mudah ke tempat ia diperlukan dan kemudiandikonversikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengankebutuhan, misalnya energi mekanis, panas, cahaya. Prosespenyediaan energi berlangsung melalui berbagai tahapan; salah satucontoh adalah sebagai berikut:- energi non listrik, misalnya energi kimia yang terkandung dalambahan bakar diubah menjadi energi panas dalam boiler → energipanas diubah menjadi energi mekanis di turbin → energi mekanisdiubah menjadi energi listrik di generator → energi listrik diubahmenjadi energi listrik namun pada tingkat tegangan yang lebihtinggi di transformator → energi listrik bertegangan tinggiditransmisikan → energi listrik bertegangan tinggi diubah menjadienergi listrik bertegangan menengah pada transformator → energilistrik didistribusikan ke pengguna, melalui jaringan teganganmenengah tiga fasa, tegangan rendah tiga fasa, dan tegangan rendahsatu fasa → energi listrik diubah kembali ke dalam bentuk energiyang sesuai dengan kebutuhan pengguna.Demikian pula halnya dengan informasi. Teknologi elektromelakukan konversi berbagai bentuk informasi ke dalam bentuksinyal listrik dan menyalurkan sinyal listrik tersebut ke tempat iadiperlukan kemudian dikonversikan kembali dalam bentuk-bentukyang dapat ditangkap oleh indera manusia ataupun dimanfaatkan1

untuk suatu keperluan tertentu, misalnya pengendalian. Denganmudah kita dapat mengetahui apa yang sedang terjadi di belahanbumi yang lain dalam waktu yang hampir bersamaan denganberlangsungnya kejadian, tanpa harus beranjak dari rumah. Tidakhanya sampai di situ, satelit di luar angkasa pun dikendalikan daribumi, dan jantung yang lemah pun dapat dibantu untuk dipacu.1.1. Pengertian Rangkaian ListrikRangkaian listrik (atau rangkaian elektrik) merupakan interkoneksiberbagai piranti (divais – device) yang secara bersamamelaksanakan suatu tugas tertentu. Tugas itu dapat berupapemrosesan energi ataupun pemrosesan informasi. Melaluirangkaian listrik, energi maupun informasi dikonversikan menjadienergi listrik dan sinyal listrik, dan dalam bentuk sinyal inilah energimaupun informasi dapat disalurkan dengan lebih mudah ke tempatia diperlukan.Teknologi elektro telah berkembang jauh. Dalam konversi dantransmisi energi listrik misalnya, walaupun masih tetapmemanfaatkan sinyal analog berbentuk sinus, namun kuantitasenergi yang dikonversi dan ditransmisikan semakin besar mengikutipertumbuhan kebutuhan. Teknologi yang dikembangkan punmengikuti kecenderungan ini. Kemampuan peralatan semakintinggi, alat perlindungan (proteksi) semakin ketat baik perlindungandalam mempertahankan kinerja sistem maupun terhadap pengaruhalam. Demikian pula pertimbangan-pertimbangan ekonomi maupunkelestarian lingkungan menjadi sangat menentukan. Bahkanperkembangan teknologi di sisi penggunaan energi, baik dalamupaya mempertinggi efisiensi maupun perluasan penggunaan energidalam mendukung perkembangan teknologi informasi, cenderungmemberikan dampak kurang menguntungkan pada sistempenyaluran energi listrik; dan hal ini menimbulkan persoalan lainyaitu persoalan kualitas daya yang harus diantisipasi dan diatasi.Kalau dalam pemrosesan energi masih digunakan sinyal analog,tidak demikian halnya dengan pemrosesan informasi. Pemanfaatansinyal analog telah digantikan oleh sinyal-sinyal digital sehinggakualitas informasi video, audio, maupun data, menjadi sangatmeningkat. Pemanfaatan sinyal digital sudah sangat meluas, mulaidari lingkungan rumah tangga sampai luar angkasa.2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Walaupun terdapat perbedaan yang nyata pada bentuk sinyal dalampemrosesan energi dan pemrosesan informasi, yaitu sinyal analogdalam pemrosesan energi dan sinyal digital dalam pemrosesaninformasi, namun hakekat pemrosesan tidaklah jauh berbeda;pemrosesan itu adalah konversi ke dalam bentuk sinyal listrik,transmisi hasil konversi tersebut, dan konversi balik menjadi bentukyang sesuai dengan kebutuhan.Sistem pemroses energi maupun informasi, dibangun darirangkaian-rangkaian listrik yang merupakan interkoneksi berbagaipiranti. Oleh karena itu langkah pertama dalam mempelajari analisisrangkaian listrik adalah mempelajari model sinyal dan modelpiranti. Karena pekerjaan analisis menggunakan model-model,sedangkan model merupakan pendekatan terhadap keadaan yangsebenarnya dengan pembatasan-pembatasan tertentu, maka hasilsuatu analisis harus juga difahami sebagai hasil yang berlaku dalambatas-batas tertentu pula.1.2. Pengertian Analisis Rangkaian ListrikUntuk mempelajari perilaku suatu rangkaian listrik kita melakukananalisis rangkaian listrik. Rangkaian listrik itu mungkin hanyaberdimensi beberapa sentimeter, tetapi mungkin juga membentangratusan bahkan ribuan kilometer. Dalam pekerjaan analisis, langkahpertama yang kita lakukan adalah memindahkan rangkaian listrik ituke atas kertas dalam bentuk gambar; gambar itu kita sebut diagramrangkaian.Suatu diagram rangkaian memperlihatkan interkoneksi berbagaipiranti; piranti-piranti tersebut digambarkan dengan menggunakansimbol piranti. Jadi dalam suatu diagram rangkaian (yangselanjutnya kita sebut dengan singkat rangkaian), kita melihatbagaimana berbagai macam piranti saling dihubungkan.Perilaku setiap piranti kita nyatakan dengan model piranti. Untukmembedakan piranti sebagai benda nyata dengan modelnya, makamodel itu kita sebut elemen rangkaian. Sinyal listrik yang hadirdalam rangkaian, kita nyatakan sebagai peubah rangkaian yangtidak lain adalah model matematis dari sinyal-sinyal tersebut. Jadidalam pekerjaan analisis rangkaian listrik, kita menghadapi diagramrangkaian yang memperlihatkan hubungan dari berbagai elemen,dan setiap elemen memiliki perilaku masing-masing yang kita sebutkarakteristik elemen; besaran-fisika yang terjadi dalam rangkaian3

kita nyatakan dengan peubah rangkaian (variable rangkaian) yangmerupakan model sinyal. Dengan melihat hubungan elemen-elemendan memperhatikan karakteristik tiap elemen, kita melakukanperhitungan peubah-peubah rangkaian.Perhitungan-perhitungan tersebut mungkin berupa perhitunganuntuk mencari hubungan antara peubah yang keluar dari rangkaian(kita sebut dengan singkat keluaran) dan peubah yang masuk kerangkaian (kita sebut dengan singkat masukan); ataupun mencaribesaran keluaran dari suatu rangkaian jika masukan dankarakteristik setiap elemen diketahui. Inilah pekerjaan analisis yangmemberikan hanya satu hasil perhitungan, atau jawaban tunggal.Pekerjaan lain yang belum tercakup dalam buku ini adalahpekerjaan perancangan, yaitu mencari hubungan elemen-elemenjika masukan dan keluaran ditentukan. Hasil pekerjaan perancanganakan memberikan lebih dari satu jawaban dan kita harus memilihjawaban mana yang kita ambil dengan memperhitungkan tidak sajaaspek teknis tetapi juga aspek lain misalnya aspek ekonomi, aspeklingkungan, dan bahkan estetika.Telah dikatakan di atas bahwa hasil suatu analisis harus difahamisebagai hasil yang berlaku dalam batas-batas tertentu. Kita akanmelihat bahwa rangkaian yang kita analisis kita anggap memilikisifat linier dan kita sebut rangkaian linier; ia merupakan hubunganelemen-elemen rangkaian yang kita anggap memiliki karakteristikyang linier. Sifat ini sesungguhnya merupakan pendekatan terhadapsifat piranti yang dalam kenyataannya tidak linier namun dalambatas-batas tertentu ia bersifat hampir linier sehingga dalampekerjaan analisis kita anggap ia bersifat linier.1.3. Struktur Dasar Rangkaian, Besaran Listrik, dan KondisiOperasiStruktur Dasar Rangkaian. Secara umum suatu rangkaian listrikterdiri dari bagian yang aktif yaitu bagian yang memberikan dayayang kita sebut sumber, dan bagian yang pasif yaitu bagian yangmenerima daya yang kita sebut beban; sumber dan beban terhubungoleh penyalur daya yang kita sebut saluran.4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Besaran Listrik. Ada lima besaran listrik yang kita hadapi, dan duadi antaranya merupakan besaran dasar fisika yaitu energi danmuatan listrik. Namun dalam analisis rangkaian listrik, besaranlistrik yang sering kita olah adalah tegangan, arus, dan daya listrik.Energi dihitung sebagai integral daya dalam suatu selang waktu, danmuatan dihitung sebgai integral arus dalam suatu selang waktu.Sumber biasanya dinyatakan dengan daya, atau tegangan, atau arusyang mampu ia berikan. Beban biasa dinyatakan dengan daya atauarus yang diserap atau diperlukan, dan sering pula dinyatakan olehnilai elemen; elemen-elemen rangkaian yang sering kita temuiadalah resistor, induktor, dan kapasitor, yang akan kita pelajari lebihlanjut.Saluran adalah penghubung antara sumber dan beban, dan padarangkaian penyalur energi (di mana jumlah energi yang disalurkancukup besar) ia juga menyerap daya. Oleh karena itu saluran inidilihat oleh sumber juga menjadi beban dan daya yang diserapsaluran harus pula disediakan oleh sumber. Daya yang diserapsaluran merupakan susut daya dalam produksi energi listrik. Susutdaya yang terjadi di saluran ini merupakan peristiwa alamiah:sebagian energi yang dikirim oleh sumber berubah menjadi panasdi saluran. Namun jika daya yang diserap saluran tersebut cukupkecil, ia dapat diabaikan.Dalam kenyataan, rangkaian listrik tidaklah sesederhana seperti diatas. Jaringan listrik penyalur energi perlu dilindungi dari berbagaikejadian tidak normal yang dapat menyebabkan terjadinya lonjakanarus atau lonjakan tegangan. Jaringan perlu sistem proteksi yaituproteksi arus lebih dan proteksi tegangan lebih. Jaringan listrik jugamemerlukan sistem pengendali untuk mengatur aliran energi kebeban. Pada jaringan pemroses informasi, gejala-gejala kebocoransinyal serta gangguan sinyal baik dari dalam maupun dari luarsistem yang disebut interferensi, memerlukan perhatian tersendiri.Pada jaringan penyalur energi, sumber mengeluarkan daya sesuaidengan permintaan beban. Pada rangkaian penyalur informasi, dayasumber terbatas; oleh karena itu alih daya dari sumber ke bebanperlu diusahakan terjadi secara maksimal; alih daya ke beban akanmaksimal jika tercapai keserasian (matching) antara sumber danbeban.5

Peristiwa Transien. Kondisi operasi jaringan listrik tidak selalumantap. Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihanatau keadaan transien. Besar dan bentuk tegangan dan arus padasaat-saat setelah penutupan ataupun setelah pembukaan saklartidaklah seperti keadaan setelah saklar lama tertutup atau setelahlama terbuka. Di samping itu kejadian sesaat di luar jaringan jugabisa menimbulkan keadaan transien, misalnya petir.Suatu selang waktu diperlukan antara saat kemunculan peristiwatransien dengan saat keadaan menjadi mantap. Waktu yangdiperlukan untuk mencapai keadaan akhir tersebut tergantung darinilai-nilai elemen rangkaian. Oleh karena itu kita harus hati-hatiuntuk memegang peralatan listrik walaupun ia sedang tidakberoperasi; yakinkan lebih dulu apakah keadaan sudah cukup aman.Yakinkan lebih dulu bahwa peralatan listrik yang terbuka sudahtidak bertegangan, sebelum memegangnya.1.4. Landasan Untuk Melakukan AnalisisAgar kita bisa melakukan analisis, kita perlu memahami beberapahal yang sangat mendasar yaitu hukum-hukum yang berlaku dalamsuatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teoremarangkaian, serta metoda-metoda analisis.Hukum-Hukum Rangkaian. Hukum-hukum rangkaian merupakandasar untuk melakukan analisis. Ada dua hukum yang akan kitapelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Hukum Ohmmemberikan relasi linier antara arus dan tegangan resistor. HukumKirchhoff mencakup Hukum Arus Kirchhoff (HAK) dan HukumTegangan Kirchhoff (HTK). HAK menegaskan bahwa jumlah arusyang menuju suatu pencabangan rangkaian sama dengan jumlaharus yang meninggalkan pencabangan; hal ini dibuktikan olehkenyataan bahwa tidak pernah ada penumpukan muatan di suatupencabangan rangkaian. HTK menyatakan bahwa jumlah tegangandi suatu rangkaian tertutup sama dengan nol, dan hal ini sesuaidengan prinsip konservasi energi.Kaidah-Kaidah Rangkaian. Kaidah rangkaian merupakankonsekuensi dari hukum-hukum rangkaian. Dengan kaidah-kaidahini kita dapat menggantikan susunan suatu bagian rangkaian dengansusunan yang berbeda tanpa mengganggu perilaku keseluruhanrangkaian, sehingga rangkaian menjadi lebih sederhana dan lebih6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manualsangat diperlukan untuk dapat memahami sifat dan perilakurangkaian.Selain perbedaan jangkauan penggunaannya, metoda analisis dasarberbeda dari metoda analisis umum dalam hal sentuhan yang kitamiliki atas rangkaian yang kita hadapi. Dalam menggunakan metodaanalisis dasar, kita masih merasakan bahwa kita sedang mengolahperilaku rangkaian. Dalam menggunakan metoda analisis umum kitaagak kehilangan sentuhan tersebut; sekali kita sudah mendapatkanpersamaan rangkaian, maka selanjutnya kita hanya melakukanlangkah-langkah matematis atas persamaan tersebut dan kita akanmendapatkan hasil analisis tanpa merasa telah menghadapirangkaian listrik. Kehilangan sentuhan ini mendapat kompensasiberupa lebih luasnya jangkauan kerumitan rangkaian yang bisadipecahkan dengan metoda analisis umum.Selain dua kelompok metoda tersebut ada metoda analisisberbantuan komputer. Untuk rangkaian-rangkaian yang sangatrumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan tidak mungkinlagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan komputer.Metoda ini tidak dibahas khusus dalam buku ini namun pembacaperlu mempelajarinya dengan menggunakan buku-buku lain besertaperangkat lunaknya, seperti misalnya program SPICE.Landasan untuk melakukan analisis tersebut di atas akan kitapelajari dan setelah kita memahami landasan-landasan tersebut kitaakan siap untuk melakukan analisis rangkaian. Berbagai contohpekerjaan analisis akan kita jumpai dalam buku ini.8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Tegangan. Tegangan dinyatakan dengan simbol v; ia terkait denganperubahan energi yang dialami oleh muatan pada waktu iaberpindah dari satu titik ke titik yang lain di dalam rangkaian.Tegangan antara titik A dan titik B di suatu rangkaian didefinisikansebagai perubahan energi per satuan muatan, yang dalam bentukdiferensial dapat kita tuliskan sebagai:dwv =dq(2.2)Satuan tegangan adalah volt, dengan singkatan V. Oleh karenasatuan energi adalah joule dengan singkatan J, maka 1 volt = 1joule/coulomb = 1 J/C.Daya. Daya dinyatakan dengan simbol p, didefinisikan sebagai lajuperubahan energi, yang dapat kita tuliskan:dwp = (2.3)dtDari definisi ini dan definisi untuk arus (2.1) dan tegangan (2.2) kitadapatkan:⎛ dw ⎞ ⎛ dw ⎞ ⎛ dq ⎞p = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = vi(2.4)⎝ dt ⎠ ⎝ dq ⎠ ⎝ dt ⎠Satuan daya adalah watt, dengan singkatan W. Sesuai denganhubungan (2.3) maka 1 W = 1 J/s.Energi. Energi dinyatakan dengan simbol w. Untuk memperolehbesar energi yang teralihkan dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 kitamelakukan integrasi daya antara t 1 dan t 2Satuan energi adalah joule.tw = ∫1pdt(2.5)t1Muatan. Muatan dinyatakan dengan simbol q, diperoleh denganmengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah muatan yangdialihkan oleh arus i dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 adalah :Satuan muatan adalah coulomb.tq =∫2idt(2.6)t110 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

2.2. Peubah Sinyal dan Referensi SinyalPeubah Sinyal. Sebagaimana telah sebutkan di atas, dalammanangani masalah praktis, kita jarang melibatkan secara langsungkedua besaran dasar yaitu energi dan muatan. Besaran yang lebihsering kita olah adalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisisrangkaian listrik, tiga besaran ini menjadi peubah rangkaian yangkita sebut sebagai peubah sinyal. Kehadiran mereka dalam suaturangkaian listrik merupakan sinyal listrik, dan dalam analisisrangkaian listrik kita melakukan perhitungan-perhitungan sinyallistrik ini; mereka menjadi peubah atau variabel.Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit. Sinyal listrikpada umumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknologi elektroyang telah berkembang demikian lanjut kita mengenal dua macambentuk sinyal listrik yaitu sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktudiskrit. Suatu sinyal disebut sebagai sinyal waktu kontinyu (ataudisebut juga sinyal analog) jika sinyal itu mempunyai nilai untuksetiap t dan t sendiri mengambil nilai dari satu set bilangan riil.Sinyal waktu diskrit adalah sinyal yang mempunyai nilai hanya padat tertentu yaitu t n dengan t n mengambil nilai dari satu set bilanganbulat. Sebagai contoh sinyal waktu kontinyu adalah tegangan listrikdi rumah kita. Sinyal waktu diskrit kita peroleh misalnya melaluisampling pada tegangan listrik di rumah kita. Gb.2.1.memperlihatkan kedua macam bentuk sinyal tersebut. Dalammempelajari analisis rangkaian di buku ini, kita hanya akanmenghadapi sinyal waktu kontinyu saja.v(t)v(t)00t0 0tSinyal waktu kontinyuSinyal waktu diskritGb.2.1. Sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit.11

Referensi Sinyal. Arus dan tegangan mempunyai hubungan eratnamun mereka juga mempunyai perbedaan yang sangat nyata. Arusmerupakan ukuran besaran yang melewati suatu titik sedangkantegangan adalah ukuran besaran antara dua titik. Jadi arus diukur disatu titik sedangkan tegangan diukur di antara dua titik.Dalam pekerjaan analisis, arah arus dinyatakan dengan tanda anakpanah yang menjadi referensi arah positif arus. Referensi ini tidakberarti bahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada piranti)adalah seperti ditunjukkan oleh anak panah. Arah arussesungguhnya dapat berlawanan dengan arah anak panah dan jikademikian halnya kita katakan arus negatif. Dalam hal arah arussesungguhnya sesuai dengan arah anak panah, kita katakan aruspositif.Pada elemen rangkaian, tanda “+” dipakai untuk menunjukkan titikyang dianggap mempunyai tegangan yang lebih tinggi dibandingkandengan titik yang bertanda “−”, dan ini menjadi referensi tegangan.Di sinipun titik yang bertanda “+” pada keadaan sesungguhnya tidakselalu bertegangan lebih tinggi dibandingkan dengan titik yangbertanda “−“. Tetapi jika benar demikian keadaannya kita katakanbahwa tegangan pada piranti adalah positif, dan jika sebaliknyamaka tegangan itu negatif.Konvensi Pasif. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kitamengikuti konvensi pasif yaitu arah arus digambarkan masuk keelemen pada titik yang bertanda “+”. Konvensi ini disebut konvensipasif sebab dalam konvensi ini piranti menyerap daya. PerhatikanGb.2.2. Dengan konvensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tandayang sama, daya bernilai positif. Jika arus da tegangan berlawanantanda maka daya bernilai negatif.tegangan diukur antara dua titik+ −pirantiarus melalui pirantiGb.2.2. Tegangan dan arus pada satu pirantiDaya positif berarti elemen menyerap daya; dayanegatif berarti elemen mengeluarkan daya.12 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Selain referensi arus dantegangan pada elemen, untukmenyatakan besar tegangandi berbagai titik pada suaturangkaian kita menetapkantitik referensi umum yangkita namakan titikpentanahan atau titik nol atauground. Tegangan di titiktitiklain pada rangkaiandihitung terhadap titik nol ini.Perhatikan penjelasan padaGb.2.3.Tegangan di titik A dapat kita sebut sebagai v A yaitu tegangan titikA terhadap titik referensi umum G. Demikian pula v B adalahtegangan titik B terhadap G. Beda tegangan antara titik A dan Badalah v A – v B = v AB = v 2 .Isilah kotak-kotak yang kosong pada tabel berikut ini.Piranti v [V] i [A] p [W] menerima/memberi dayaA 12 5B 24 -3C 12 72D -4 96E 24 72COTOH-2.1: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan)dan arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakahdaya yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melaluipiranti tersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:referensi arusa). Daya yang diserap adalah :−p = vi = 12 × 100×103 = 1,2 Wb). Energi yang diserap selama 8 jam adalah8 8w = ∫ pdt = 1,2 = 1,20 ∫ dt t080= 9,6 Whc). Jumlah muatan yang dipindahkan selama 8 jam adalahA+i 1 v1 1−referensi tegangan pirantii 2B2+ v 2 −+v 3 i3 3−Greferensi tegangan umum (ground)Gb.2.3. Referensi arus dan tegangan13

88−3q = ∫ idt = 100×10 t = 0,1 × 8 = 0,8 Ah00Pemahaman :Satuan daya adalah Watt. Untuk daya besar digunakan satuankW (kilo watt) yaitu 1 kW = 1000 W. Satuan daya yang lainadalah horse power (HP).1 HP = 746 W atau 1 kW = 1,341 HPWatt-hour (Wh) adalah satuan energi yang biasa dipakai dalamsistem tenaga listrik.1 Wh = 3600 J atau 1 kWh = 3600 kJSatuan muatan adalah Coulomb. Dalam penyelesaian soal diatas, kita menggunakan satuan Ampere-hour (Ah) untukmuatan. Satuan ini biasa digunakan untuk menyatakan kapasitassuatu accu (accumulator). Contoh : accu mobil berkapasitas 40Ah.karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 3600 CCOTOH-2.2: Sebuah piranti menyerap daya 100 W padategangan 200V (konstan). Berapakah besar arus yang mengalirdan berapakah energi yang diserap selama 8 jam ?Penyelesaian :p 100i = = = 0,5 Av 20088w = ∫ 100dt= 100t= 800 Wh = 0,8 kWH00COTOH-2.3: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadapwaktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatanyang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5detik ?Penyelesaian :Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah55 5 0,05 2 1,25q =∫idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫tdt t0 2 0 2COTOH-2.4: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadapwaktu sebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i14 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

= 5cos400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ?b). Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum ?Penyelesaian :EMBED Equation.3a). p = 220cos 400t× 5cos 400t= 1100cos= 550 1400t( + cos800t) = 550 + 550cos800tWSuku pertama pernyataan daya ini bernilai konstan positif +550 V.b). NilaiSuku ke-dua bervariasi antara −550 V dan + 550 V.Secara keseluruhan daya selalu bernilai positif.daya : ppmaksimumminimum= 550+550 = 1100 W2= 550−550 = 0 WWCOTOH-2.5: Tegangan pada suatu piranti berubah terhadapwaktu sebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i= 5sin400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ?b). Tunjukkan bahwa piranti ini menyerap daya pada suatuselang waktu tertentu dan memberikan daya pada selang waktuyang lain. c). Berapakah daya maksimum yang diserap ? d).Berapakah daya maksimum yang diberikan ?Penyelesaian :a).p = 220 cos 400t× 5sin 400t= 1100 sin 400tcos 400t= 550 sin 800tWb). Dari a) terlihat bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selamasetengah perioda daya bernilai posisitif dan selama setengahperioda berikutnya ia bernilai negatif. Jika pada waktu dayabernilai positif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya,maka pada waktu bernilai negatif berarti piranti memberikandayac). Daya maksimum yang diserap:p maks diserap = 550 W .d). Daya maksimum yang diberikan: p maks diberikan = 550 W .15

2.3. Bentuk Gelombang SinyalPada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kitalihat pada contoh-contoh di atas. Variasi sinyal terhadap waktudisebut bentuk gelombang. Secara formal dikatakan:Bentuk gelombang adalah suatu persamaan atau suatu grafikyang menyatakan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Sebagai contoh, bentuk gelombang tegangan dan arus yang konstandi seluruh waktu, secara matematis dinyatakan dengan persamaan:v = V0 ; i = I0, untuk − ∞ < t < ∞(2.7)Walaupun persamaan di atas hanyalah model, tetapi model inisangat bermanfaat sebab ia merupakan pendekatan untuk sinyalyang secara nyata dibangkitkan oleh sumber sebenarnya, misalnyabatere.Bentuk gelombang dikelompokkan dalam dua kelompok. Kelompokpertama disebut bentuk gelombang dasar yang meliputi bentukgelombang anak tangga, sinus, dan eksponensial. Mereka disebutbentuk gelombang dasar karena dari tiga bentuk gelombang inidapat diturunkan bentuk-bentuk gelombang yang lain. Bentukgelombang dasar ini terlihat pada Gb.2.4.vvv00 0tt 000tAnak tangga Sinus EksponensialGb.2.4. Bentuk Gelombang Dasar.Kelompok kedua disebut bentuk gelombang komposit. Bentukgelombang ini tersusun dari beberapa bentuk gelombang dasar,seperti terlihat pada Gb.2.5. Bentuk gelombang sinus teredammisalnya, merupakan hasil kali gelombang sinus denganeksponensial; gelombang persegi merupakan kombinasi darigelombang-gelombang anak tangga, dan sebagainya. Dalam analisisrangkaian, bentuk-bentuk gelombang ini kita nyatakan secaramatematis seperti halnya dengan contoh sinyal konstan (2.7) di atas.Dalam kenyataan, bentuk-bentuk gelombang bisa sangat rumit;walaupun demikian, variasinya terhadap waktu dapat didekatidengan menggunakan gabungan bentuk-bentuk gelombang dasar.16 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

vvv0 0t0t00 tSinus teredam Gelombang persegi Eksponensial gandavvv0Deretan pulsa Gigi gergaji Segi tigaGb.2.5. Beberapa gelombang komposit.2.3.1. Bentuk Gelombang Dasart0 t 0tBentuk gelombang dasar (disebut juga gelombang utama) meliputifungsi anak-tangga (step function),fungsi eksponensial (exponential function), danfungsi sinus (sinusoidal function).Fungsi Anak-Tangga (Fungsi Step). Secara umum, fungsi anaktanggadidasarkan pada fungsi anak-tangga satuan, yangdidefinisikan sebagai berikut:u(t)= 0 untuk t < 0(2.8)= 1 untuk t ≥ 0Beberapa buku membiarkan fungsi u(t) tak terdefinisikan untuk t =0, dengan persamaanu(t)= 0 untuk t < 0= 1 untuk t > 0Pernyataan fungsi anak tangga satuan yang terakhir ini mempunyaiketidak-kontinyuan pada t = 0. Untuk selanjutnya kita akanmenggunakan definisi (2.8).Dalam kenyataan, tidaklah mungkin membangkitkan sinyal yangdapat berubah dari satu nilai ke nilai yang lain tanpa memakanwaktu. Yang dapat dilakukan hanyalah membuat waktu transisi itusependek mungkin.Bila u(t) kita kalikan dengan sesuatu nilai konstan V A akan kitaperoleh bentuk gelombang anak tangga (Gb.2.6.a.):17

v = VAu(t)⇒ v = 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ 0v V AvV A(2.9.a)0(a)Gb.2.6. Bentuk gelombang anak-tangga.Jika t kita ganti dengan (t-T s ) kita peroleh bentuk gelombangVAu( t − Ts ) yang merupakan bentuk gelombang anak tanggatergeser ke arah positif sebesar T s (Gb.2.6.b.).v = VAu(t − Ts) ⇒ v = 0 untuk t < Ts= VAuntuk t ≥ Ts(2.9.b)Bentuk Gelombang Eksponensial. Sinyal exponensial merupakansinyal anak-tangga yang amplitudonya menurun secara eksponensialmenuju nol. Persamaan bentuk gelombang sinyal ini adalah:−t/ τ( V e ) u(t)tv = A(2.10)Parameter yang penting pada sinyal bentuk ini adalah amplitudo V Adan konsanta waktu τ (dalam detik). Konstanta waktu ini enentukankecepatan menurunnya amplitudo sinyal. Makin besar τ makinlambat amplitudo menurun dan makin kecil τ makin cepatamplitudo menurun.0T s(b)t0.368V Av V AV A e −t / τ u(t)0 1 2 3 4 5 t/τGb.2.7. Bentuk gelombang eksponensial.Pada t = τ sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % V A . Pada t = 5τsinyal mencapai 0,00674V A , kurang dari 1% V A . Oleh karena itu kitadefinisikan durasi (lama berlangsung) suatu sinyal eksponensial18 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

adalah 5τ. Kalau kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0, maka u(t)pada persamaan gelombang ini biasanya tidak dituliskan lagi. Jadi:v −t/ τ= V A e(2.11)Bentuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpahenti dari suatu osilasi antara dua nilai puncak, seperti terlihat padaGb.2.8. di bawah ini.Tv 0V A0 0−V AtvV A−V A0 0T sGb.2.8. Bentuk gelombang sinus.Amplitudo V A didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimumosilasi. Perioda T o adalah waktu yang diperlukan untuk membuatsatu siklus lengkap. Dengan menggunakan dua parameter tersebut,yaitu V A dan T o , kita dapat menuliskan persamaan sinus ini dalamfungsi cosinus:v = V A cos(2π t / T o ) (2.12)Seperti halnya fungsi anak tangga, persamaan umum fungsi sinusdiperoleh dengan mengganti t dengan (t-T s ). Jadi persamaan umumgelombang sinus adalah:v = VAcos[ 2π(t − Ts) / To](2.13)dengan T s adalah waktu pergeseran, yang ditunjukkan oleh posisipuncak positif yang terjadi pertama kali seperti terlihat pada Gb.2.8.Pada gambar ini T s adalah positif. Jika T s negatif pergeserannyaakan ke arah negatif.Pergeseran waktu dapat juga diyatakan dengan menggunakan sudut:v = VA cos[ 2πt / To − φ](2.14)Parameter φ disebut sudut fasa. Hubungan antara waktu pergeseranT s dan sudut fasa φ adalah :Tφ = 2πsT(2.15)0Variasi dari gelombang sinus dapat juga dinyatakan denganmenggunakan frekuensi. Frekuensi f o didefinisikan sebagai jumlahT 0t19

perioda dalam satu satuan waktu, yang disebut frekuensi siklus.Oleh karena perioda T o adalah jumlah detik (waktu) per siklus, makajumlah siklus (perioda) per detik adalah:1f 0 =T(2.16)0dengan satuan hertz ( Hz ), atau siklus per detik. Selain frekuensisiklus, kita mengenal pula frekuensi sudut ω o dengan satuan radianper detik (rad/det), yaitu:2f2πω 0 = π 0 =T(2.17)0Dengan demikian ada dua cara untuk menyatakan frekuensi, yaitufrekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudut (rad/detik), dan fungsisinus dapat dinyatakan sebagaiv = VAcos[2πf0t − φ]v = VAcos[ ω0t − φ]atau(2.17.a)COTOH-2.6: Tegangan pada suatu piranti adalah 12 V (konstan)dan arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakahdaya yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8jam? c). Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melaluipiranti tersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:Penyelesaian soal ini telah kita lakukan pada contoh 2.1. Di sinikita akan melihat model sinyalnya. Model matematis dari sinyaltegangan 12 V (konstan) kita tuliskan sebagai v = 12u(t)V,dan arus 100 mA kita tuliskan i = 100u(t)mA.Jika sinyal-sinyal ini kita gambarkan akan berbentuk seperti dibawah ini.v12 Vv=12u(t) Vi100 mAi=100u(t) mA0 t0 t20 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daya yang diserap adalah p = v × i = 1.2 W dan jika kitagambarkan perubahan daya terhadap waktu adalah sepertigambar berikut ini.p1,2 Wp = v × ip1,2 W0 t0 8 t (jam)Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari dayauntuk jangka waktu 8 jam. Besar energi ini ditunjukkan olehluas bagian yang diarsir di bawah kurva daya sepertiditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.COTOH-2.7: Carilah persamaan bentuk gelombang teganganyang tergambar di bawah ini.v [V]2' ' '1 2 3 4 t [s]−3a) b)Penyelesaian :a). Bentuk gelombang tegangan ini adalah gelombang anaktangga yang persamaan umumnya adalah v(t) = A u(t − T s ) ,dengan A = amplitudo dan T s = pergeseran waktu. Makapersamaan gelombang pada gambar a) adalahv 1(t)= 2u(t −1)V.Gelombang ini mempunyai nilaiv1 (t)= 2 V= 0 Vv [V]untuk t ≥ 1untuk t < 1b). Bentuk gelombang tegangan gambar b) adalahv2(t)= −3u(t − 2) V.Gelombang ini mempunyai nilai' ' ' '1 2 3 4 t [s]21

Pemahaman :v2 (t)= −3 V= 0 Vuntuk t ≥ 2untuk t < 2u(t) adalah fungsi anak tangga satuan, sebagaimana telahdidefinisikan. Fungsi anak tangga satuan ini tidak mempunyaisatuan. Bentuk gelombang tegangan pada gambar a) diperolehdengan mengalikan suatu tegangan konstan sebesar 2 V denganfungsi anak tangga satuan u(t−1) yaitu fungsi anak tanggasatuan yang bergeser 1 detik. Sedangkan gelombang teganganpada gambar b) diperoleh dengan mengalikan tegangan konstansebesar −3 V dengan fungsi anak tangga satuan yang bergeser 2detik.Bentuk gelombang apapun, jika dikalikan denganfungsi anak tangga satuan u(t) akan bernilai nol untukt < 0, dan jika dikalikan dengan u(t−T s ) akan bernilainol untuk t < T s .COTOH-2.8: Carilah persamaan dan gambarkanlah tiga bentukgelombang eksponensial berikut ini dalam satu gambar.v 1 (t) : amplitudo 5 V, konstanta waktu 2 detikv 2 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 2 detikv 3 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 4 detikPenyelesaian :Persamaan umum gelombang eksponensial adalah v(t) =Ae −t/τ u(t) dengan A = amplitudo, τ = konstanta waktu. Jadipernyataan ketiga gelombang itu masing-masing adalahv ( t)= 5e123−t/ 2v ( t)= 10ev ( t)= 10e−t/ 2−t/ 4u(t)V;u(t)V;u(t)V.Bentuk gelombang tegangan tergambar di bawah ini.22 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Pemahaman :Kita lihat bahwa walaupun v 1 dan v 2 mempunyai amplitudoyang jauh berbeda, mereka teredam dengan kecepatan yangsama karena konstanta waktunya sama. Pada t = 5 × konstantawaktu, yaitu 5 × 2 = 10 detik, nilai gelombang telah dapatdiabaikan.Gelombang tegangan v 2 dan v 3 mempunyai amplitudo samatetapi konstanta waktunya berbeda. Kita lihat bahwa gelombangyang konstanta waktunya lebih besar lebih lambat menuju nol,sedangkan yang konstanta waktunya lebih kecil lebih cepatmenuju nol.COTOH-2.9: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0,yang amplitudonya 10 V, frekuensi siklus 50 Hz, dan puncakpositif yang pertama terjadi pada t = 3 mili detik. Gambarkanlahbentuk gelombangnya.Penyelesaian :10v [V]5Pernyataan umum gelombang sinus standar untuk t > 0 adalah⎛ t − Tv Acos2 s ⎞= ⎜ π u(t)T ⎟ dengan A adalah amplitudo, T s⎝ 0 ⎠pergeseran waktu, T 0 perioda, dan u(t) adalah fungsi anaktangga satuan. Karena frekuensi siklus f = 1/T 0 maka persamaanumum ini juga dapat ditulis sebagaiv = A cosv 1v 2v 300 5 10t [detik]( 2πf ( t − T ) u(t)Dari apa yang diketahui dalam persoalan yang diberikan, kitadapat menuliskan persamaan tegangan( 100π(t − 0,003) u()v = 10 costdengan bentuk gelombang terlihat pada gambar berikut ini.s23

10v[V]500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-5-10Pemahaman :Perhatikan bahwa puncak pertama positif terjadi pada t = 0,003detik. Karena frekuensi gelombang 50 Hz, maka ada lima puluhsiklus dalam satu detik atau dengan kata lain periodagelombang ini adalah 1/50 detik = 0,02 detik. Persamaan umumgelombang sinus dapat ditulis dalam berbagai bentuk sepertiberikut ini.⎛ t − T ⎞⎜ sv = A cos 2π⎟ atau v = Acos( 2πf ( t − Ts))atau⎝ T0⎠v = Acos( ω(t − Ts)) atau v = Acos( ωt− φ)Dari persamaan-persamaan umum ini kita dapat dengan mudahmenuliskan persamaan bentuk gelombang sinus berdasarkanparameter-parameter yang diketahui.COTOH-2.10: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0,yang frekuensinya 1000 rad/s, dan puncak positif yang pertamaterjadi pada t = 1 mili-detik. Pada t = 0 gelombang inimempunyai nilai 200 V.Penyelesaian :Puncak positif yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik,artinya pada bentuk gelombang ini terjadi pergeseran waktusebesar 0,001 detik. Persamaan umum fungsi sinus yangmuncul pada t = 0 adalah v = Acos[ω(t − Ts)] u(t). Amplitudodari gelombang ini dapat dicari karena nilai gelombang pada t =0 diketahui, yaitu 200 V.200 = Acos 1000(0( − 0,001) )⇒ A = 200/ 0,54 = 370 VJadi persamaan gelombang sinus ini adalah :u(t)= Acos(−1)= A×0,54[ t − 0,001) ] u() Vv = 370cos 1000( t24 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

2.3.2. Bentuk Gelombang KompositBentuk gelombang yang diperoleh melalui penggabungan bentukgelombang dasar disebut bentuk gelombang komposit. Beberapa diantaranya akan kita lihat berikut ini.Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dituliskan sebagai :v = Au(t − T ) − Au(t − T= A1[ u(t − T ) − u(t − T )]122)(2.18)Bentuk gelombang ini adalah gabungan dari dua gelombang anaktanggadengan amplitudo sama akan tetapi berlawanan tanda,masing-masing dengan pergeseran waktu T 1 dan T 2 . (Gb.2.9.a)vvvδ(t)tt0 T 1 T 2-T/2 +T/2t00a) Impuls. b) Impuls simetris thd nol. c) Impuls satuan.Gb.2.9. ImpulsFungsi Impuls Satuan. Perhatikan gelombang impuls yang simetristerhadap titik nol seperti pada Gb.2.9.b. Persamaan bentukgelombang ini adalah:1 ⎡ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞⎤v 1 = ⎢u⎜t+ ⎟ − u⎜t− ⎟T⎥⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2(2.18.a)⎠⎦Impuls dengan persamaan diatas mempunyai amplitudo 1/T danbernilai nol di semua t kecuali pada selang −T/2 ≤ t ≤ +T/2.Luas bidang di bawah pulsa adalah satu karena amplitudonyaberbanding terbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa Tkita perkecil dengan mempertahankan luasnya tetap satu, makaamplitudo akan makin besar. Bila T menuju nol maka amplitudomenuju tak hingga, namun luasnya tetap satu. Fungsi yangdiperoleh pada kondisi limit tersebut dinamakan impuls satuan (unitimpuls), dengan simbol δ(t). Representasi grafisnya terlihat padaGb.2.9.c. Definisi formal dari impuls satuan adalah:tv = δ( t)= 0 untuk t ≠ 0 ; ∫ δ(x)dx = u(t)- ∞(2.18.b)25

Kondisi yang pertama dari definisi ini menyatakan bahwa impulsini nol di semua t kecuali pada t = 0, sedangkan kondisi keduamenyatakan bahwa impuls ini adalah turunan dari fungsi anaktanggasatuan.du(t)Jadiδ ( t)=(2.18.c)dtAmplitudo impuls satuan adalah tak hingga. Oleh karena itu besarimpuls didefinisikan menurut luasnya. Suatu impuls satuan yangmuncul pada t = T s dituliskan sebagai δ(t−T s ).Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anaktangga satuan, kita akan mendapatkan fungsi ramp satuan yaitutr( t)= ∫ u(x)dx = tu(t)− ∞(2.19)Ramp satuan ini bernilai nol untuk t ≤ 0 dan sama dengan t untuk t> 0. Perhatikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari rampsatuan adalah 1. Jika kemiringannya adalah K maka persamaannyaadalah r k (t) = K t u(t). Bentuk umum fungsi ramp adalahr(t) = K(t−T s )u(t-T s ),(2.19.a)yang bernilai nol untuk t < T s dan memiliki kemiringan K.(Gb.2.10).r(t)tu(t)r(t)tT sGb.2.10. Fungsi ramp.K(t−T s )u(t−T s)tBentuk Gelombang Sinus Teredam. Bentuk gelombang kompositini diperoleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsieksponensial, yang memberikan persamaan :−t/ τ( V e )−t/ τv = sin( ωt)u(t)= V sinωte u(t)(2.20)AA26 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Fungsi anak tangga u(t) menjadi salah satu faktor dalam persamaanini agar persamaanbernilai nol pada t < 0. V APada t = 0, gelombangvmelalui titik asalkarena sin(nπ) = 0.Bentuk gelombang iniV A e −t / 5tidak periodik karenafaktor eksponensialmemaksa025amplitudonyatmenurun secaraV A e −t / 5 sin(ωt)eksponensial. Osilasiini telah mencapai Gb.2.11. Gelombang sinus teredam.nilai sangat kecil padat = 5τ sehingga telah dapat diabaikan pada t > 5τ.Bentuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposit inidiperoleh dengan menjumlahkan dua fungsi eksponensialberamplitudo sama tapi berlawanan tanda. Persamaan bentukgelombang ini adalah :v = V= V−t/ τ1AeBentuk gelombangkomposit ini, dengan τ 1> τ 2 terlihat padaGb.2.12. Untuk t < 0gelombang bernilai nol.Pada t = 0 gelombangmasih bernilai nol karenakedua fungsi salingAmeniadakan. Pada t >> τ 1gelombang ini menujunol karena kedua bentuku(t)− V−t/ τ2Ae−t/ τ1−t/ τ2( e − e ) u(t)V Av−V AV A e −t / 5u(t)−V A e −2t / V A (e −t / 5− e −2t / 5Gb.2.12. Gelombang eksponensialganda.eksponensial itu menuju nol. Fungsi yang mempunyai konstantawaktu lebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menentukanbentuk gelombang.(2.21)t27

Bentuk Gelombang Persegi. Bentuk gelombang persegi jugamerupakan gelombangv(t) Tkomposit. Karena0gelombang ini merupakanV Agelombang periodik makapersamaan gelombang inidapat diperoleh dengan−V Amenjumlahkan persamaanuntuk setiap siklus.Gb.2.13. Gelombang persegi.Persamaan untuk siklus yang pertama setelah t = 0, merupakanjumlah dari tiga fungsi anak-tangga, yaitu:T0v1 = VAu(t)− 2VAu(t − ) + VAu(t − To)2Persamaan untuk siklus yang kedua setelah t = 0 adalah persamaansiklus pertama yang digeser sebesar satu perioda :T0v2= VAu(t − T0) − 2VAu(t − − T0) + VAu(t − 2To)23T0= VAu(t − T0) − 2VAu(t − ) + VAu(t − 2To)2Persamaan untuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus pertamayang digeser sebesar (k−1) perioda:2k−1vk= VAu( t −[k −1]T0 ) − 2VAu(t − T0) + VAu(t − kTo)2Persamaan gelombang persegi dapat diperoleh denganmenjumlahkan v k (t) dari k = −∞ sampai k = +∞.k∑ = +∞k = −∞v = v k ( t)(2.22)Penjumlahan dari −∞ sampai +∞ tersebut diperlukan karenagelombang persegi melebar ke tak hingga baik ke arah positifmaupun ke arah negatif.COTOH-2.11: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 4 u(t) V ; b). v 2 = −3 u(t−2) Vt28 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). v 3 = 4u(t)−3u(t−2) V; d). v 4 = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) VPenyelesaian :a). Bentuk gelombang ini adalahgelombang anak tangga denganamplitudo 4 volt dan munculpada t = 0. Bentuk gelombangterlihat pada gambar disamping.b). Gelombang anak tangga inimempunyai amplitudo − 3 voltdan muncul pada t = 2. Gambar −3Vbentuk gelombang terlihat disamping inic). Bentuk gelombang ini terdiridari gelombang anak tanggaberamplitudo 4 volt yangmuncul pada t = 0 ditambahgelombang anak tanggaberamplitudo −3volt yangmuncul pada t = 2. Lihat gambar di samping.d). Bentuk gelombang ini terdiri dari tiga gelombang anaktangga yang masing-masing4Vmuncul pada t = 0, t = 2 dant = 5. Amplitudo merekav 4berturut-turut adalah 4, −7,dan 3 volt. Bentuk01 2 3 4 5 6gelombang terlihat pada −3Vgambar di samping ini.COTOH-2.12: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 2t u(t) V ;4Vb). v 2 = −2(t−2) u(t−2) V ;c). v 3 = 2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V;d). v 4 = 2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) V ;e). v 5 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5) V ;f). v 6 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−2) Vv 10v 2 1 2 3 4 50 t4Vv 31V01 2 3 4 5ttt29

Penyelesaian :4Va).vv 1 = 2t u(t)101 2 3 4 5 6tv 2b).01 2 3 4 5 6−4V−2(t−2) u(t−2)t2tu(t) − 2(t−2) u(t−2)4Vc).v 301 2 3 4 5 6t4Vd).v 401 2 3 4 5 62tu(t) − 4(t−2)u(t-2)te).4Vf).4V2tu(t) − 2(t−2)u(t−2)− 4u(t−2)v 501 2 3 4 5 6ttv 61 2 3 4 5 62tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5)COTOH-2.13: Tentukanlah persamaan bentuk gelombang yangmulai muncul pada t = 0 berikut ini. a). Gelombang sinus :amplitudo 10 V, frekuensi sudut 50 rad per detik, puncakpositif pertama terjadi pada t = 20 mili-detik. b). Gelombangsinus pada a) yang terredam sehingga pada t = 0,5 detikgelombang sinus ini sudah dapat diabaikan nilainya. c).Gambarkanlah bentuk gelombang pada a) dan b).Penyelesaian:a). Gelombang sinus ini baru muncul pada t = 0, sehinggapersamaan umumnya adalah v = A cos( ω(t −Ts)) u(t). Dariparameter yang diketahui, persamaan gelombang yangdimaksud adalah v1 = 10 cos( 50( t − 0,020) ) u(t)V.30 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

). Agar gelombang sinus pada a) teredam, maka harusdikalikan dengan fungsi eksponensial. Jika nilai gelombangsudah harus dapat diabaikan pada t = 0,5 detik, makakonstanta waktu dari fungsi eksponensial sekurangkurangnyaharuslah τ = 0 ,5/5 = 0, 1 . Jadi persamaangelombang yang dimaksud adalah−t / 0,1( 50( t − 0,020) ) e u()v2 = 10costc). Gambar kedua bentuk gelombang tersebut di atas adalahsebagai berikut.v 1v 2t [detik]Pemahaman:Gelombang sinus pada umumnya adalah non-kausal yangpersamaan umumnya adalah v = Acos( ω(t −Ts)). Dalam soalini dinyatakan bahwa gelombang sinus baru muncul pada t = 0.Untuk menyatakan gelombang seperti ini diperlukan fungsianak tangga u(t) sehingga persamaan akan berbentukv = Acos( ω(t −Ts)) u(t).Dengan menyatakan bentuk gelombang sinus dengan fungsicosinus, identifikasi bentuk gelombang menjadi lebih mudah.Puncak pertama suatu fungsi cosinus tanpa pergeseran waktuterjadi pada t = 0. Dengan demikian posisi puncak pertamafungsi cosinus menunjukkan pula pergeseran waktunya.Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensialkita meredam fungsi sinus tersebut. Peredaman oleh fungsieksponensial berlangsung mulai dari t = 0. Oleh karena itupuncak positif pertama dari gelombang sinus teredam padapersoalan di atas mempunyai nilai kurang dari 10 V.31

Fungsi Parabolik Satuan dan Kubik Satuan. Telah kita lihatbahwa integrasi fungsi anak tangga satuan memberikan fungsi rampsatuan. Jika integrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsiparabolik satuan dan integrasi sekali lagi akan memberikan fungsikubik satuan. Gb.2.14. di samping ini memperlihatkan evolusibentuk fungsi anak tangga menjadi fungsi ramp, parabolik, dankubik melalui integrasi.Fungsi-ramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai tak hingga jika tmenuju tak hingga. Oleh karena itu pemodelan denganmenggunakan fungsi-fungsi ini dibatasi dalam selang waktutertentu. Perhatikan sinyal gigi gergaji pada Gb.2.5. yangdimodelkan dengan fungsi ramp yang berulang pada setiap selangwaktu tertentu.vkubikparaboliktGb.2.14. Anak tangga, ramp, parabolik, kubik.Fungsi Signum. Suatu sinyalkonstan (tegangan misalnya) yangpada t = 0 berubah polaritas,dimodelkan dengan fungsi signum,dituliskan sebagaiv ( t)= sgn( t)(2.23)rampanak tangga−u(−t)Bentuk gelombang fungsi signumterlihat pada Gb.2.15. di samping Gb.2.15. Signum.ini. Fungsi signum ini merupakanjumlah dari fungsi anak tangga yang telah kita kenal, ditambahdengan fungsi anak tangga yang diperluas untuk t < 0.sgn( t)= u(t)− u(−t)(2.24)10v(t)−1u(t)t32 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Fungsi Eksponensial Duav(t)Sisi. Perluasan fungsi anak1tangga untuk mencakupekejadian sebelum t = 0−α(−t) u(−t) e −αt u(t)dapat pula dilakukan pada0tfungsi eksponensial. Gb.2.16. Eksponensial dua sisi.Dengan demikian kitadapatkan fungsi eksponensial dua sisi yang kita tuliskan sebagai−αt−α(−t)v(t)= e u(t)+ e u(−t)(2.25)dengan bentuk kurva seperti pada Gb.2.16.33

SOAL-SOALDalam soal-soal model sinyal berikut ini, satuan waktu t adalahs = detik ; ms = milidetik ; µs = mikrodetik1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyalanak tangga berikut ini :a) v 1 : amplitudo 5 V, muncul pada t = 0.b) v 2 : amplitudo 10 V, muncul pada t = 1s.c) v 3 : amplitudo −5 V, muncul pada t = 2s.2. Dari sinyal-sinyal di soal 1, gambarkanlah bentuk gelombangsinyal berikut ini.a). v 4 = v1+ v2;b). v5= v1+ v3c). v6= v1+ v2+ v33. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengancara mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 1.4. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengancara mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 3.5. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang pulsategangan berikut ini :a). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada t = 0.b). Amplitudo 10 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada t = 1s.c). Amplitudo −5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t = 2 s.6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyaleksponensial yang muncul pada t = 0 dan konstanta waktu τ ,berikut ini :a). v a = amplitudo 5 V, τ = 20 ms.b). v b = amplitudo 10 V, τ = 20 ms.c). v c = amplitudo −5 V, τ = 40 ms.7. Dari bentuk gelombang sinyal pada soal 6, gambarkanlah bentukgelombang sinyal berikut.a). v d = va+ vb;b). ve= va+ vc;c). v f = va+ vb+ vc8. Tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal sinus berikut ini :a). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 0,frekuensi 10 Hz.b). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 10 ms,frekuensi 10 Hz.34 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi 10rad/detik.d). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi 10rad/detik.9. Gambarkanlah bentuk gelombang komposit berikut.−100ta). v1= 10{ 1 − e } u(t)V;−100tb). v2= { 10 − 5e} u(t)Vc). v3= { + 5sin(10πt)} u(t)V;−td). v4= 10{ 1 + e sin(10πt)} u(t)V10. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk-bentukgelombang periodik yang digambarkan berikut ini.periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)a).−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)b). −3c).periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 t−3e35

periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)d).−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5e).−536 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 3Pernyataan Sinyal dan Spektrum SinyalDengan mempelajari lanjutan tentang model sinyal ini, kita akan• memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal;• mampu mencari nilai rata-rata dan nilai efektif suatubentuk gelombang sinyal;• memahami sinyal periodik yang dapat dipandang sebagaisuatu spektrum;• mampu menncari spektrum sinyal;• memahami arti lebar pita frekuensi.3.1. Pernyataan-Pernyataan Gelombang Sinyal3.1.1. Gelombang Periodik dan AperiodikSuatu gelombang disebut periodik jika gelombang itu selaluberulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik,maka v(t+T 0 ) = v(t) untuk semua nilai t, dengan T 0 adalahperiodanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kondisitersebut.Contoh: sinyal gigi gergaji adalah sinyal periodik.Sinyal yang tidak periodik disebut juga sinyal aperiodik.3.1.2. Sinyal Kausal dan Sinyal on-KausalSinyal kausal bernilai nol sebelum saat T s tertentu. Jadi jika sinyalv(t) adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < T s . Jika tidak demikianmaka sinyal itu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasadianggap bernilai nol pada t < 0, dengan menganggap t = 0 sebagaiawal munculnya sinyal.Contoh: sinyal sinus adalah sinyal non-kausal; sinyal anak tanggaadalah sinyal kausal.Jika kita mengalikan persamaan suatu bentuk gelombang denganfungsi anak tangga satuan, u(t), maka kita akan mendapatkan sinyalkausal.3.1.3. ilai SesaatNilai amplitudo gelombang v(t), i(t), ataupun p(t) pada suatu saat ttertentu disebut nilai sesaat dari bentuk gelombang itu.37

3.1.4. AmplitudoPada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktudiantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, V maks , danamplitudo minimum, V min .3.1.5. ilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value)Nilai amplitudo puncak-ke-puncak menyatakan fluktuasi total dariamplitudo dan didefinisikan sebagai:Vpp= Vmaks−V min(3.1)Dengan definisi ini maka V pp selalu positif, walaupun mungkin V maksdan V min keduanya negatif.3.1.6. ilai puncakNilai puncak V p adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo.{ V V }Vp = Max maks , min(3.2)3.1.7. ilai rata-rataNilai rata-rata secara matematis didefisikan sebagai:1 t0=∫ + TVrrv(x)dxT t0(3.3)Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T 0 . Adatidaknya nilai rata-rata menunjukkan apakah suatu sinyalmengandung komponen konstan (tidak berubah terhadap waktu)atau tidak. Komponen konstan ini disebut juga komponen searahdari sinyal.3.1.8. ilai efektif ( nilai rms ; rms value)Nilai ini menunjukkan nilai rata-rata daya yang dibawa oleh sinyal.Untuk memahami hal ini kita lihat dulu daya sesaat yang diberikankepada resistor R oleh tegangan v(t), yaitu:1p ( t)= [ v(t)] 2(3.4)R38 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daya rata-rata yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu Tadalah:t0+ T1Prr= ∫[p(t)]dtT(3.5)t0Kalau kedua persamaan di atas ini kita gabungkan, akan kitaperoleh:⎡ t0+T ⎤1 ⎢ 1 2P = ⎥rr⎢ ∫[v(t)]dtR T⎥⎣ t0⎦(3.6)Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di atasmerupakan nilai rata-rata dari kwadrat gelombang. Akar daribesaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms ataunilai efektif.Vrms=1Tt + T0∫t0[ v(t)]2dt(3.7)Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval satu siklus untukmenghitung nilai rata-rata. Dengan menggunakan nilai rms kitadapat menuliskan daya rata-rata yang diberikan kepada resistorsebagai:1 2P rr = V rms(3.8)RPerhatikan bahwa persamaan untuk menghitung P rr denganmenggunakan besaran rms tersebut di atas berbentuk mirip denganpersamaan untuk menghitung daya sesaat pada sinyal searah, yaitu :1p ( t)= [ v(t)] 2(3.9)ROleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena iamenentukan daya rata-rata yang diberikan kepada resistor, setaradengan sinyal searah v(t) = V as yang menentukan besar daya sesaat.COTOH-3.1: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ),tegangan puncak-puncak (V pp ), perioda (T),tegangan rata-rata (V rr ), dan tegangan efektifdari bentuk gelombang tegangan berikut ini.39

6V6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 ta) b)Penyelesaian :a).Vp= 6 V ; Vpp= 6 V ; T = 3s1 ⎛Vrr= ⎜3 ⎝26dt+0∫3 ⎞ 10dt⎟ =2 ⎠ 3∫( 6×2 + 0)Veff=1 ⎛ 2232 ⎞ 1⎜ 6 0 ⎟ =3 ⎝∫dt +0 ∫dt2 ⎠ 3b).V p = 6 V ; V pp = 10 V ; T = 3sVrrVeff1 ⎛= ⎜3 ⎝=26dt+0∫1 ⎛⎜3 ⎝226 dt +0∫3 ⎞ 1− 4dt⎟ =2 ⎠ 3∫= 4 V( 6×2 − 4×1)32 ⎞( −4)dt ⎟ =2 ⎠∫−4V0 t1 2 3 4 5 6 7 8 9( 36×2 + 0) = 4,9 V13= 2,66 V( 36×2 + 16×1) = 5,42 VPemahaman :Gelombang periodik dalam contoh di atas, mempunyaipersamaan gelombang yang terdiri dari banyak sukusebagaimana dijelaskan pada gelombang komposit. Akan tetapiuntuk menghitung nilai rata-rata ataupun efektif, kita cukupmelihat satu siklus saja dan bilamana diperlukan gelombangkita nyatakan dalam beberapa bagian yang mempunyaipersamaan sederhana. vCOTOH-3.2: Tentukanlah 6Vnilai tegangan puncak (V p ),tegangan puncak-puncak 0 t(V pp ), perioda (T), tegangan1 2 3 4 5 6 7rata-rata (V rr ), dan teganganefektif dari bentukgelombang tegangan di samping ini.40 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Bentuk gelombang ini berperioda 4 detik dan dapat kitanyatakan sebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara 0– 2 detik, antara 2 – 3 detik, dan antara 3 – 4 detik.VVVprreff= 6 V1 ⎛= ⎜4 ⎝=∫2;3tdt+01 ⎛⎜4 ⎝∫20V9tpp∫232= 6 VT = 4 s(6 − 6( t − 2)) dt +dt +∫32;∫(6 − 6( t − 2))4 ⎞ 1 ⎛ 6×3 ⎞0dt⎟ = ⎜ ⎟ = 2,25 V⎠ 4 ⎝ 2 ⎠32dt +∫3402⎞dt ⎟ = 3,0 V⎠3.2. Spektrum Sinyal3.2.1. Bentuk Gelombang Periodik dan KomponennyaKita telah melihat bahwa bentuk gelombang adalah persamaan ataugrafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Disamping sebagai fungsi waktu, suatu sinyal juga dapat dinyatakansebagai suatu spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagaifungsi frekuensi. Jadi suatu sinyal dapat dipelajari di kawasan waktudengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, atau di kawasanfrekuensi dengan memandangnya sebagai suatu spektrum.Suatu sinyal periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapakomponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yangberlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponenkomponensinyal yang berupa komponen searah (nilai rata-rata darisinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f 0 , dan komponensinus dengan frekuensi harmonisa nf 0 .Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakanperkalian frekuensi dasar f 0 dengan bilangan bulat n. Frekuensi f 0kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yangmenentukan perioda sinyal T 0 = 1/f 0 . Frekuensi harmonisa dimulaidari harmonisa ke-dua (2f o ), harmonisa ke-tiga (3f 0 ), dan seterusnyayang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyaifrekuensi nf 0 . Gb.3.1. di bawah ini memperlihatkan bagaimanabentuk gelombang ditentukan oleh perberbedaan komponenkomponenyang menyusunnya.41

4vv40-5 15t0-5 15t-4(a) v = 3 cos 2f 0 tv40-5 15- 4t-4(b) v = 1 + 3 cos 2f 0 tv1-5 15-4v = 1 + 3cos2πf0t(c)− 2cos(2π(2f0)t)v = 1 + 3cos2πf0t(d)− 2cos(2π(2f0)t + π / 4)Gb.3.1. Bentuk gelombang periodik tergantung komponenkomponensinusnya.Berikut ini kita akan melihat suatu contoh sinyal dengan bentukgelombang yang dinyatakan oleh persamaan( 2πft) + 20sin( 2π(2f ) t) − 10cos( 2 (4 f t)v = 10 + 40cos 0 0π 0)Sinyal ini merupakan jumlah dari satu komponen searah dan tigakomponen sinus yang kita sebut juga komponen bolak-balik.Komponen searah sering kita sebut komponen berfrekuensi nolkarena v(t) = V A cos(2πft) = V A jika f = 0. Komponen bolak-balikyang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilahyang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Sukuketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3tidak ada.Untuk melihat spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap sukudengan bentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti V Acos(2πft+φ). Dengan menggunakan identitas sin(x) = cos(x-90 o ) dan−cos(x) = cos(x+180 o ), maka persamaan sinyal di atas dapat kitatulisv = 10 + 40 cos(2πf0 t)+ 20 cos(2π2f0t− 90 ) + 10 cos(2π4f0t+ 18042 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)oo)

Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentukstandar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiapkomponen seperti dalam tabel berikut.Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo (V) 10 40 20 10Sudut fasa − 0° −90° 180°Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahaskarena ia menunjukkan baik amplitudo maupun sudut fasa darisemua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yangkita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f 0 , 2f 0 , dan4f 0 . Amplitudo pada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10,30, 15, dan 7,5 Volt. Sudut fasa dari komponen bolak-balik yangberfrekuensi f 0 , 2f 0 dan 4f 0 berturut turut adalah 0 o , −90 o , dan 180 o .Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafikyaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagaifungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrumamplitudo dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa,seperti terlihat pada Gb.3.2. berikut ini.Spektrum Amplitudo40180[ V ] [ o ]3090Spektrum Sudut Fasa201000 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]00 1 2 3 4 5-90-180Frekwensi [ x f o ]Gb.3.2. Spektrum amlitudo dan spektrum sudut fasaPenguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisa,dapat diperluas untuk semua bentuk gelombang sinyal periodik.Bentuk gelombang persegi misalnya, yang juga merupakan suatubentuk gelombang periodik, dapat diuraikan menjadi jumlahharmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraiangelombang persegi ini adalah sebagai berikut:43

o 10ov = 10 cos(2πf0t− 90 ) + cos(2π3f0t− 90 )310o 10o+ cos(2π5f0t− 90 ) + cos(2π7f0t− 90 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅57Dari persamaan untuk gelombang persegi ini, terlihat bahwa semuaharmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –90 o ;amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi denganfaktor 1/n; tidak ada komponen searah dan tidak ada harmonisagenap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut:Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 6f 0 .. nf 0Amplitudo: 0 10 0 3,3 0 2 0 .. 10/nSudut Fasa: - -90 o - -90 o - -90 o - .. -90 oSpektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa dari gelombangpersegi ini terlihat pada Gb.3.3. di bawah ini.Spektrum Amplitudo Gel. Persegi[V]10500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Frekuensi [ xf 0 ]Spektrum Sudut Fasa Gel. PersegiFrekuensi [ xf 0]-45[ o ]-90-1350 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110Gb.3.3. Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasagelombang persegi.Gb.3.4. berikut ini memperlihatkan bagaimana gelombang persegiterbentuk dari harmonisa-harmonisanya.44 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

a) b)c)d)e)Gb.3.4. Uraian bentuk gelombang persegi.a) sinus dasar; b) sinus dasar + harmonisa ke-3; c) sinus dasar+ harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5; d) sinus dasar +harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5 + harmonisa ke-7; e) sinusdasar + harmonisa-harmonisa sampai harmonisa ke-21.Penjumlahan sampai dengan harmonisa ke-21 memperlihatkanbahwa penjumlahan seterusnya akan makin mendekati bentukgelombang persegi. Sampai harmonisa ke berapa kita akanmelakukan penjumlahan tergantung dari kepuasan kita untukmenerima bentuk yang diperoleh sebagai bentuk pendekatangelombang persegi.3.2.2. Lebar PitaDari contoh gelombang persegi di atas, terlihat bahwa denganmenambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akanmakin mendekati bentuk gelombang persegi. Penambahan ini dapatkita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yangmemberikan bentuk gelombang yang kita anggap cukup memuaskanartinya cukup dekat dengan bentuk gelombang yang kita inginkan.Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makintinggi frekuensi harmonisa, akan makin rendah amplitudonya. Halini tidak hanya berlaku untuk gelombang persegi saja melainkanberlaku secara umum. Oleh karena itu kita dapat menetapkan suatubatas frekuensi tertinggi dengan menganggap amplitudo dariharmonisa-harmonisa yang memiliki frekuensi di atas frekuensitertinggi ini dapat diabaikan. Sebagai contoh, batas frekuensi45

tertinggi tersebut dapat kita ambil frekuensi harmonisa yangamplitudonya tinggal (misalnya) 2% dari amplitudo sinus dasar.Jika batas frekuensi tertinggi dapat kita tetapkan, batas frekuensiterendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalahfrekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidakmengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searahmaka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggidan terendah disebut lebar pita (band width).3.2.3. Deret FourierPenguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyaltidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourieryang kita pelajari dalam matematika. Jika f(t) adalah fungsi periodikyang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakansebagai deret Fourier:∑[ a cos(2πnft)+ b sin(2πnf]f ( t)= a0 + n 0 n 0t)(3.10)Persyaratan Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral|f(t)| dalam selang satu perioda adalah berhingga, dan f(t)mempunyai ketidak-kontinyuan dalam jumlah yang terbatas dalamsatu perioda. Deret Fourier konvergen untuk fungsi periodik yangmemenuhi persyaratan ini. Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidakmemenuhi persyaratan ini namun mempunyai deret Fourier yangkonvergen. Jadi persyaratan Dirichlet ini cukup untuk terjadinyaderet Fourier yang konvergen tetapi tidak harus. Persyaratan initidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakan bentukbentukgelombang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektromemenuhi persyaratan ini. Contoh-contoh bentuk gelombangperiodik yang sering kita temui adalah gelombang persegi, deretanpulsa, segitiga, gigi-gergaji, sinus, cosinus, sinus setengahgelombang, sinus gelombang penuh.Dalam persamaan (3.10) a 0 adalah komponen searah yangmerupakan nilai rata-rata sinyal sedangkan suku kedua adalahkomponen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dancosinus, masing-masing dengan koefisien Fourier a n dan b n .Persamaan (3.10) menunjukkan bahwa komponen sinus dari sinyalperiodik ditentukan oleh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu46 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Jika∞S = ∑[ ancos( nω0t)+ bnsin( nω0t)]n=1∞ ⎡ ⎛b ⎞⎤= ∑ ⎢ ⎜nan⎟cos( nω0t)+ sin( nω0t)⎥n=1 ⎢⎣⎝an⎠⎥⎦bn= tan ϕnamaka persamaan (3.11) menjadin∞aS = n∑ cosϕncos( nω0t)+ sinϕnsin( nω0t)cosθn=1 n∞=⎡ 2 2⎤∑ a + b cos( nω0t− ϕn)n=1⎢⎣⎥⎦dan (3.10) menjadi[ ](3.11)2 2( ) 0 ∑ ∞ y t = a +⎡a + cos( ω0− ϕ )⎤n bnn t n(3.12)n=1⎢⎣⎥⎦Bentuk persamaan (3.12) ini lebih jelas memperlihatkan bahwa a 02 2adalah nilai rata-rata sinyal; a n + b n adalah amplitudo-amplitudosinyal sinus dan ϕ n adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka(3.12) merupakan pernyataan matematis dari sinyal periodik secaraumum. Nilai ϕ n tergantung dari tanda a n dan b n .a n b n ϕ n+ + di kuadran pertama− + di kuadran ke-dua− − di kuadran ke-tiga+ − di kuadran ke-empatKoefisien Fourier ditentukan melalui hubungan (3.13).47

aab0nn1=T02=T02=T0∫∫∫T / 20−T0−T00−T00/ 2T / 2/ 2T / 2/ 2f ( t)dtf ( t)cos(2πnff ( t)sin(2πnf00t)dtt)dt(3.13)Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula (3.13)ini dapat dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yangdiketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicaripersamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva(grafik), maka perhitungan dapat dilakukan dengan pendekatannumerik yang akan kita pelajari di bab lain.3.2.4. Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang PeriodikPada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantarakoefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung darikesimetrisan sinyal y(t). Ada dua kondisi simetri yaitu simetri genapdan simetri ganjil (gasal).Simetri Genap. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri genapjika y(t) = y(−t). Sinyal dengan simetri genap simetris terhadapsumbu-y. Untuk sinyal semacam ini, dari (3.10) kita dapatkany(t)A-T 0 /2 T 0 /2 t∞y(t)= a0+ ∑ nn=1∞y(−t)= a0+n=1T o[ a cos( nωt)+ b sin( nωt)]0∑[ ancos( nω0t)− bnsin( nω0t)]n0danKalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah b n = 0, danuraian sinyal y(t) yang memiliki simetri genap ini menjadi48 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

n= 0∑ ∞ (3.14)y(t)= ao + [ ancos( nω0t)]n=1Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyalcosinus; sinyal cosinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap.Simetri Ganjil. Suatu sinyal dikatakan mempunyai simetri ganjiljika y(t) = −y(−t). Sinyal semacam ini simetris terhadap titik-asal[0,0].y(t)AT 0tDari (3.10) kita dapatkan[ − a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ − y ( −t)= −a0 + n 0 n 0 )n=1Kalau sinyal ini harus sama dengan[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ y ( t)= a0 +n=1n 0 n 0 )maka haruslaha0= 0 dan an= 0( ) ∑ ∞ y t =n=1[ b sin( nωt)]n−A0(3.15)Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyalsinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil.Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourierpada beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentukgelombang yang tercantum disini adalah bentuk gelombang yangpersamaan matematisnya mudah diperoleh, sehingga pencariankoefisien Fourier menggunakan hubungan (3.13) dapat dilakukan.49

Penyearahan Setengah Gelombang:vT 0ta0= A / π2A/ πan= n genap; a = 02n1−nb1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 1nganjilSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itua 0 ≠ 0 . Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan denganmenggunakan relasi (3.12).Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:vAT 0ta0= 2A/ π4A/ πan= n genap; an= 021−nbn= 0 untuk semua nnganjilSinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandungkomponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadapsumbu waktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lipat daripenyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk ngenap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.Sinyal Persegi:vAT0ta0= 0an= 0 semua n ;4Abn= n ganjil; bnnπ= 0ngenapSinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidakmengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetristerhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.50 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Deretan Pulsa:TvAT 0ta0= AT / T02AnπTan= sinnπT0bn= 0 untuk semua nSinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuksemua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itua 0 ≠ 0 .Sinyal Segitiga:vAT 0ta0= 08Aan=2( nπ)bn= 0n ganjil; an= 0 n genapuntuk semua nSinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.Sinyal Gigi Gergaji:vAT 0ta0= A/2an= 0 untuk semua nAbn= − untuk semua nnπSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Iamemiliki simetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.COTOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelombang penyearahantegangan setengah gelombang v = sinω0 t V sampai denganharmonisa ke-6 dan gambarkan spektrum amplitudo dan bentukgelombang pendekatannya.Penyelesaian:51

Sinus setengah gelombang ini beramplitudo 1. KoefisienFourier menurut formula di atas, serta amplitudo dan sudut fasakomponen gelombang ini adalah:Koefisien Fourier Amplitudo ϕ [rad]a 0 0,318 0,318a 1 0 0,5 1,57b 1 0,5a 2 -0,212 0,212 0b 2 0a 4 -0,042 0,042 0b 4 0a 6 -0,018 0,018 0b 6 0Dengan menggunakan koefisien Fourier, persamaan gelombangadalahv(t)= 0,318 + 0,5sin( ω0t)− 0,212cos2ω0t− 0,042cos4ω0t− 0,018cos6ω0tVyang nilai amplitudonya adalahA0= 0,318 V; A1= 0,5 V; A2= 0,212 V;A4= 0,042 V; A6= 0,018 VGambar berikut ini memperlihatkan spektrum amplitudosedangkan bentuk gelombang pendekatan dalam satu perioda(sampai harmonisa ke-6) terlihat pada gambar di bawah ini.0.60.5[V]0.40.30.20.1001 2 3 4 5 6harmonisa52 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

1.2[V]0.80.4v 1vv 00-0.4[ o ]0 90 180 270 360COTOH-3.4: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergajimemiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus perdetik. Uraikanlah bentuk gelombang tegangan ini atas komponenkomponensampai harmonisa ke-7 dan gambarkan spektrumamplitudonya serta bentuk gelombang pendekatan.Penyelesaian:Setelah diperoleh koefisien Fourier, persamaan gelombang gigigergaji dapat dinyatakan dalam komponen-komponennyasebagai:v(t)= 10 − 6,366sinω0t− 3,183sin2ω0t− 2,122sin3ω0t−1,592sin4ω0t−1,273sin5ω0t−1,061sin6ω0t− 0,909sin7ω0tVSpektrum amplitudo terlihatkan pada gambar berikut.[V]12108642001 2 3 4 5 6 7harmonisaJika kita gambarkan bentuk gelombang sampai harmonisa ke-7seperti yang dinyatakan oleh persamaan di atas, kita akanmendapatkan bentuk seperti gambar di samping ini. Terlihatpada gambar ini bahwa dengan memperhitungkan komponenhanya sampai harmonisa ke-7, bentuk gelombang gigi gergajiyang diperoleh sangat terdistorsi.53

[V]2520151050-50 90 180 270 360 [ o ]54 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal-sinyal berikut.periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 6a).b).c).d).−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−3periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5−52. a). Gambarkan bentuk gelombang deretan pulsa teganganberamplitudo 10 V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms. b).Hitung nilai rata-rata dan nilai efektif sinyal.3. a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber amplitudo 10 Vdengan perioda 0,5 s. b). Hitung nilai rata-rata dan nilai efektifsinyal.55

4. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 50 mAdengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jikapulsa arus itu diambil dari batere berkapasitas 0,5 Ah, berapalamakah batere akan bertahan ?5. Gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasa dari gelombangtegangan berikut dan tentukan lebar pita dengan mengambilbatas terrendah amplitudo harmonisa 5%.a). v = 4 + 5sin 2π2000t− 2 cos 2π4000t+ 0,2 sin 2π8000tVb).ov = 3cos(2π1000t− 60 ) - 2sin2π2000t+ cos2π8000tV56 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 4Model Piranti PasifSuatu piranti mempunyai karakteristik atau perilaku tertentu.Perilaku suatu piranti dinyatakan oleh karakteristik i-v yangdimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melalui piranti dengantegangan yang ada di antara terminalnya.Pada umumnya hubungan ini cukup rumit dan tidak linier. Untukkeperluan analisis, kita menggunakan suatu model linier yang lebihsederhana yang cukup mendekati sifat-sifat yang menonjol dari pirantiitu. Untuk membedakan antara piranti sebagai benda nyata danmodelnya, model itu kita sebut elemen. Piranti dan elemen kitakelompokkan menjadi dua kelompok yaitu elemen pasif dan elemenaktif. Dalam bab ini kita akan mempelajari piranti dan elemen pasifsedangkan piranti dan elemen aktif akan kita pelajari di bab berikutnya.Dengan mempelajari model piranti pasif, kita akan• memahami bahwa dalam analisis rangkaian listrik, pirantidinyatakan sebagai elemen rangkaian yang merupakan modellinier dari piranti;• mampu memformulasikan karakteristik arus-tegangan piranti /elemen pasif seperti resistor, kapasitor, induktor, induktansibersama, transformator ideal.4.1. ResistorKita mengenal resistor dalam rentang dimensi (ukuran) yang lebar.Resistor yang digunakan pada rangkaian elektronika berukuran hanyabeberapa milimeter bahkan ukuran mikron yang tergabung dalam satuchip; untuk keperluan variasi tegangan terdapat potensiometer yangberupa resistor dengan kontak geser. Untuk rangkaian pemroses energi,resistor mempunyai ukuran yang besar seperti misalnya resistor yangdigunakan dalam lokomotif kereta listrik model lama. Pada dasarnya kitamemerlukan resistor yang murni resistif. Akan tetapi dalam kenyataanhal ini tidak mudah dapat dicapai. Namun demikian dengan teknikteknikpembuatan tertentu, selalu diusahakan agar resistor mendekatikeadaan resistif murni tersebut. (Lihat Lampiran I).Resistor adalah piranti yang sesungguhnya mempunyai karakteristik i-vyang tidak linier (non linier) seperti terlihat pada Gb.4.1. Namun kalaukita perhatikan karakteristik ini, ada bagian tertentu yang dapat didekati57

dengan hubungan linier, yaitu bagian yang berada dalam batas daerahoperasi resistor tersebut. Batas daerah operasi ini biasanya dinyatakansebagai batas daya (power rating), yaitu daerah yang mempunyai kurvai-v berbentuk garis lurus melalui titik asal. Dalam analisis rangkaian, kitaselalu memanfaatkan resistor dalam batas-batas kemampuan daya-nyasehingga kita mempunyai apa yang kita sebut sebagai resistor linier.nyata4.1.1. Karakteristik i-v ResistorRSimbol:batas daerahlinierGb.4.1. Karakteristi i-v resistorDengan mengikuti konvensi pasif, hubungan antara arus dan teganganresistor dapat ditulis dalam suatu persamaan yang dikenal sebagai hukumOhm yaitu :1vR= R iRatau iR= G vR; dengan G = (4.1)RR dan G adalah suatu konstanta dalam relasi (4.1).Parameter R disebut resistansi dengan satuan ohm, Ω. Parameter Gdisebut konduktansi dengan satuan siemens, S (atau mho dalam literaturlama). Secara grafis, hukum Ohm berbentuk garis lurus. Karakteristik i-vdalam hukum Ohm adalah linier dan bilateral. Linier berartikarakteristiknya berbentuk garis lurus, sehingga tegangan selalusebanding dengan arus, dan demikian pula sebaliknya. Bilateral berartibahwa kurva karakteristiknya simetris terhadap titik (0,0). Karena sifatbilateral ini maka pembalikan tegangan akan menyebabkan pembalikanarah arus tanpa mengubah besar arusnya. Dengan demikian kita dapatmenghubungkan resistor dalam rangkaian tanpa memperhatikanpolaritasnya. Hal ini berbeda dengan piranti lain seperti dioda, transistor,OP AMP, sumber, yang menuntut kita untuk selalu memperhatikanpolaritasnya karena piranti-piranti ini tidak bersifat bilateral.imodelv58 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.1.2. Daya Pada ResistorDaya yang diserap resistor dapat dihitung dengan hubungan22 2 vp v i i R v G RR = R R = R = R =(4.2)RDi sini, R bernilai positif maka daya selalu positif. Berdasarkan konvensipasif, hal ini berarti bahwa resistor selalu menyerap daya.COTOH-4.1: Tegangan pada sebuah resistor 400 Ω adalah 200 V(konstan). Berapakah arus yang mengalir melalui resistor tesebutdan berapakah daya yang diserap ? Dalam waktu 8 jam, berapakahenergi yang diserap ?Penyelesaian:Arus dan daya pada resistor adalahi =vR200= = 0,5 A400dan2 2v (200)p = vi = = = 100 WR 400Karena tegangan dan arus konstan maka jumlah energi yang diserapselama 8 jam adalah8w = ∫ pdt = ∫080100dt= 100 × 8 = 800Watt. jam= 0,8 kWHCOTOH-4.2: Tegangan pada suatu resistor 1200 Ω berubah terhadapwaktu sebagai v R = 240sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui resistor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :Arus yang melalui resistor adalahvR240 sin 400tiR = == 200 sin 400 t mA.R 1200Daya yang diserap adalah2pR = vRiR= 240sin400t× 0.2sin400t= 48sin 400 t WDengan menggunakan kesamaan sin 2 α=(1−cos2α)/2, maka nilaidaya dapat dituliskan( 1−cos800 t) / 2 = 24 − 24cos800 Wp R = 48 t59

Pemahaman :Jika kita gambarkan tegangan, arus, dan daya, akan kita perolehgambar seperti di bawah ini.v[V]p [W]i [mA]t (detik)Arus dan tegangan bervariasi secara bersamaan. Hal ini terlihat jugadari persamaan arus dan tegangan, yang keduanya merupakan fungsisinus. Daya bervariasi secara periodik dengan frekuensi dua kali lipatdari frekuensi tegangan maupun arus, namun nilainya tidak pernahnegatif. Nilai rata-rata daya selalu positif; hal ini dapat kita lihat jugapada persamaan yang kita peroleh, yang menunjukkan bahwa dayaterdiri dari komponen konstan 24 W ditambah komponen yangbervariasi sinusoidal yang memiliki nilai rata-rata 0. Menurutkonvensi pasif, nilai rata-rata yang selalu positif menunjukkanbahwa resistor selalu menyerap daya.4.2. KapasitorSeperti halnya resistor, kita mengenal kapasitor yang berdimensi kecilyang sering dipakai pada rangkaian elektronika sampai kapasitorberdimensi besar yang digunakan dalam rangkaian pemrosesan energiyang kita kenal sebagai capacitor bank. Untuk keperluan penalaan, kitamengenal juga kapasitor dengan nilai yang dapat diubah yang disebutkapasitor variabel.Kapasitor adalah suatu piranti dinamik yang berbasis pada variasi kuatmedan listrik yang dibangkitkan oleh sumber tegangan. Ada berbagaibentuk kapasitor yang dapat kita jumpai dalam praktik. (Lihat LampiranII). Bentuk yang paling sederhana adalah dua pelat paralel yangdipisahkan oleh suatu bahan dilistrik. Bahan dilistrik ini memberikangejala resistansi. Dalam mempelajari analisis rangkaian listrik kitamenganggap kapasitor sebagai piranti ideal, tanpa mengandung60 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

esistansi. Suatu kapasitor mempunyai kapasitansi C yang besarnyaadalahε ε AC = 0 r(4.3)ddengan ε r adalah permitivitas relatif dilistrik dan ε 0 adalah permitivitasruang hampa; A adalah luas elektroda dan d adalah tebal dilistrik yangsama dengan jarak elektroda. Kapasitansi ini merupakan konstanta yangmenentukan hubungan antara beda tegangan antar elektroda kapasitor,v C , dengan muatan yang terkandung pada elektrodanya, q C .q C = Cv C(4.4)Satuan kapasitansi adalah farad (F) (sebagai penghormatan kepadaMichel Faraday, seorang fisikawan Inggris).4.2.1. Karakteristik i-v Kapasitor IdealHubungan antara arus dan tegangan kapasitor dapat kita peroleh dariturunan q C dalam relasi (4.4), yaitudqCd(CvC) dvCiC = = = Cdt dt dt(4.5)Hubungan i-v ini dapat kita gambarkan dalam bentuk grafik sepertiterlihat pada Gb.4.2. Arus i C berbanding lurus dengan turunan terhadapwaktu dari v C dan kemiringan dari garis itu adalah C.i CCCsimbol1dv C /dtGb.4.2. Karakteristik i-v kapasitor.Dalam relasi (4.5), arus i C merupakan turunan terhadap waktu daritegangan v C . Hal ini berarti bahwa jika v C konstan maka arusnya nol, dansebaliknya kalau arusnya nol berarti tegangannya konstan. Dengan katalain kapasitor bersifat sebagai rangkaian terbuka jika diberi tegangansearah. Jadi arus hanya akan mengalir jika tegangannya berubah terhadap61

waktu dan oleh karena itu kapasitor disebut elemen dinamik. Akan tetapiperubahan tegangan yang tak-kontinu akan memberikan arus yang takterhinggabesarnya; hal demikian ini secara fisis tidak mungkin. Olehkarena itu tegangan kapasitor harus merupakan fungsi kontinu terhadapwaktu. Untuk mencari tegangan v C kita gunakan hubungan antara arusdan tegangan yang sudah kita peroleh, yaitu i C = C dv C /dt, denganmengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya:vC( t)∫dvCvC( t0)t1iCCt0= ∫dt = vC(4.6)Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kapasitorsudah mempunyai tegangan sebesar v C (t 0 ) saat t = t 0 , maka integrasi diatas memberikan :t1vC= vC( t 0 ) + ∫ iCdtC(4.7)t0Kalau pada saat t=t 0 kapasitor belum bertegangan maka v C (t 0 )=0,sehingga kita mempunyai hubungant1vC= ∫ iCdtC(4.8)t4.2.2. Daya Dan Energi Pada Kapasitor0Dengan mengikuti konvensi pasif, daya kapasitor dapat kita tuliskansebagaidv ⎡12 ⎤= = C dp C vCiCCvC=⎢CvCdt dt ⎥(4.9)⎣ 2 ⎦Persamaan (4.9) ini menunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juganegatif karena tegangan kapasitor dan laju perubahannya bisamempunyai tanda yang berlawanan. Daya positif berarti kapasitormenyerap daya, sedangkan kalau daya negatif berarti kapasitormemberikan daya. Kemampuan kapasitor untuk menyerap danmemberikan daya ini mempunyai arti bahwa kapasitor dapat menyimpanenergi. Besar energi yang tersimpan pada kapasitor dapat kita lihat daripersamaan (4.9). Karena kita tahu bahwa daya adalah turunan terhadapwaktu dari energi, maka apa yang berada dalam tanda kurung padapersamaan (4.9) di atas tentulah menunjukkan energi. Secara matematis62 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

energi yang tersimpan dalam kapasitor pada saat t kita peroleh daripersamaan di atas, yaituw 1 C = C vC2 + konstanta(4.10)2Konstanta pada (4.10) adalah jumlah energi yang telah tersimpansebelumnya, yang kita sebut simpanan energi awal. Apabila simpananenergi awal ini nol, maka1 2w C = C v C(4.11)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebandingdengan kwadrat dari tegangan. Kapasitor akan menyerap daya darirangkaian jika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akanmengeluarkan energi yang disimpannya itu pada waktu ia memberikanenergi pada rangkaian. Namun alih energi netto tidak pernah negatif ; halini berarti bahwa kapasitor adalah elemen pasif.Karena tegangan kapasitor menentukan status atau keadaan energi darielemen ini, maka tegangan kapasitor disebut sebagai peubah keadaan(state variable).Secara singkat dapat kita katakan bahwa kapasitor merupakan suatuelemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut :1). Arus yang melalui kapasitor akan nol jika tegangannya tidak berubahterhadap waktu. Kapasitor berperilaku seperti rangkaian terbuka padategangan searah.2). Tegangan kapasitor adalah fungsi kontinyu dari waktu. Perubahan takkontinyu dari tegangan kapasitor memerlukan arus dan daya yang takterhingga besarnya, yang secara fisis tidak mungkin terjadi.3). Kapasitor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya, jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.3: Tegangan pada suatu kapasitor 2 µF berubah terhadapwaktu sebagai v C = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui kapasitor dan daya yang diserapnya?Penyelesaian :Arus yang melalui kapasitor adalah63

dv6 di C C −C = = 2 × 10 ×=dtdtDaya yang diserap kapasitor adalahpC= vCiC= 200sin 400t× 0.16cos400t)= 32cos400tsin 400t= 16sin800tWPemahaman :( 200sin 400t) 160 cos 400tmAJika tegangan, arus, dan daya kita gambarkan akan kita lihat keadaanyang berbeda dengan apa yang kita temui pada resistor pada contoh4.2. Hal ini diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Pada waktutegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurundari nilai maksimumnya. Dengan kata lain gelombang arusmencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari gelombang tegangan;dikatakan bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor.v[V] i [mA]p [W]t [detik]Perbedaan kemunculan ini disebut pergeseran fasa yang untukkapasitor besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangandengan beda fasa sebesar 90 o .Daya bervariasi secara sinus dengan frekuensi dua kali lipat darifrekuensi tegangan maupun arus. Akan tetapi variasi ini simetristerhadap sumbu waktu. Selama setengah perioda daya bernilaipositif dan setengah perioda berikutnya daya bernilai negatif; dandemikian berulang seterusnya. Menurut konvensi pasif, hal iniberarti bahwa kapasitor menyerap daya selama setengah perioda danmemberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secarakeseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; hal ini berbedadengan resistor yang justru selalu menyerap daya karena daya selalupositif.64 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.3. InduktorInduktor sebagai piranti induktif, dengan dimensi kecil, banyak dipakaidalam rangkain elektronika. Untuk rangkaian pemroses energi, kitamengenal piranti induktif berukuran besar yang disebut reaktor. Induktordibangun dari kawat (konduktor) yang dililitkan pada suatu inti yangterbuat dari bahan magnetik ataupun tanpa inti (berinti udara). Olehkarena ia terbuat dari gulungan kawat, maka induktor selalu mengandungresistansi. Akan tetapi dalam analisis rangkaian listrik yang akan kitapelajari, kita menganggap induktor sebagai piranti ideal tanpamengandung resistansi.Induktor adalah elemen dinamik yang berbasis pada variasi medanmaknit yang ditimbulkan oleh arus. Pada kumparan dengan jumlah lilitan, dan dialiri arus sebesar i L , akan timbul fluksi magnit sebesar φ = ki L, dengan k adalah suatu konstanta. Jika tidak ada kebocoran fluksi, fluksiini akan memberikan fluksi lingkup sebesar λ = φ = k 2 i L . Hubunganantara arus yang melalui induktor itu dengan fluksi lingkup yangditimbulkannya dinyatakan dengan suatu konstanta L yang kita sebutinduktansi induktor dengan satuan henry.2λ = LiL = k i L(4.12)4.3.1. Karakteristik i-v Induktor IdealMenurut hukum Faraday, tegangan pada induktor sama dengan lajuperubahan fluksi lingkupnya. Karakteristik i-v induktor dapat diperolehdari turunan terhadap waktu dari λ dengan mengingat bahwa L adalahsuatu konstanta.[ Li ]dλd divL L LL = = =(4.13)dt dt dtDengan demikian kita mendapatkan hubungan i-v untuk induktordiv L LL = (4.14)dtHubungan ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada Gb.4.3.65

simbolLdi Ldt11/Lv LGb.4.3. Karakteristik i − v induktorTurunan terhadap waktu dari i L pada (4.14) di atas, menunjukkan bahwategangan pada induktor adalah nol jika arus tidak berubah terhadapwaktu. Jadi pada arus searah tegangan induktor adalah nol, v L = 0; iaberperilaku seperti suatu hubung singkat. Induktor adalah elemendinamik karena hanya jika ada perubahan arus maka ada tegangan. Akantetapi perubahan arus yang tak kontinyu menyebabkan tegangan menjaditak terhingga besarnya, yang secara fisis tak mungkin terjadi. Olehkarena itu arus i L harus kontinyu terhadap waktu (arus tidak dapatberubah secara tiba-tiba).Untuk mencari arus i L kita gunakan hubungan antara arus dan teganganyang sudah kita peroleh, yaitu v L = L di/dt, dengan mengalikan keduaruas dengan dt dan mengintegrasinya:iL( t)∫diLiL( t0)t1= v dt = iL ∫Lt0L(4.15)Jika dalam menentukan batas-batas integrasi tersebut diatas kitamenganggap bahwa pada saat t=t 0 induktor sudah dialiri arus sebesari L (t 0 ), maka integrasi di atas memberikan :t1iL= iL( t 0 ) + ∫ vLdtL(4.16)t0Kalau pada saat t = t 0 induktor belum dialiri arus maka i L = 0, dant1iL= ∫ vLdtLt0(4.17)66 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4.3.3. Daya Dan Energi Pada InduktorDengan mengikuti konvensi pasif, daya pada induktor dapat kita tuliskansebagaidi ⎡ ⎤= = L d 1 2p L vLiLLiL=⎢LiLdt dt ⎥(4.18)⎣2⎦Seperti halnya pada kapasitor, persamaan daya untuk induktor ini jugamenunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juga negatif karena arusinduktor dan laju perubahannya bisa mempunyai tanda yang berlawanan.Daya positif berarti induktor menyerap daya sedangkan kalau dayanyanegatif berarti induktor memberikan daya. Jadi induktor dapat menyerapdan memberikan daya; hal ini berarti bahwa induktor dapat menyimpanenergi.Besar energi yang tersimpan pada induktor dapat kita lihat daripersamaan (4.18). Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi, makaapa yang berada dalam tanda kurung pada persamaan (4.18)menunjukkan besar energi. Secara matematis besar energi pada saat tdapat kita peroleh dari persamaan tersebut, yaituw 1 L = LiL2 + konstanta(4.19)2Konstanta pada (4.19) adalah energi yang telah tersimpan pada saat t =0. Apabila simpanan energi awal ini nol, maka energi induktor adalah1 2w L = Li L(4.20)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah negatif sebab ia sebandingdengan kwadrat dari arus. Induktor akan menyerap daya dari rangkaianjika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akan mengeluarkanenergi yang disimpannya jika ia memberikan energi pada rangkaian.Seperti halnya pada kapasitor, alih energi netto pada induktor tidakpernah negatif; hal ini menunjukkan bahwa induktor adalah elemenpasif. Karena arus induktor menentukan status atau keadaan energi darielemen ini, maka arus disebut sebagai variabel keadaan (state variable)dari induktor.Secara singkat dapat kita katakan bahwa induktor merupakan suatuelemen dinamik dengan sifat-sifat sebagai berikut :67

1). Tegangan pada induktor akan nol jika arusnya tidak berubah terhadapwaktu. Induktor berperilaku seperti suatu hubung singkat pada arussearah.2). Arus yang melalui induktor adalah fungsi kontinyu dari waktu.Perubahan tak kontinyu dari arus induktor memerlukan teganganserta daya yang tak terhingga besarnya, yang secara fisis tidakmungkin terjadi.3). Induktor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.4: Tegangan pada suatu induktor 2,5 H berubah terhadapwaktu sebagai v L = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui induktor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :diL1200vL = L → iL= vLdt= × − t + Kdt L ∫( cos 400 )2.5×400Konstanta integrasi K adalah arus pada induktor pada saat awalintegrasi dilakukan, yang kita sebut arus awal induktor. Jika arusawal ini tidak ada maka⇒ iL= −200cos400tmA⇒ pL= vLiL= 200sin 400t× ( −0.2cos400t)= −40sin 400tcos400t= −20sin800tPemahaman :Variasi v, t, dan p pada induktor di halaman berikut.Bentuk gelombang tegangan mencapai nilai puncak pertama-nyalebih awal dari bentuk gelombang arus. Jadi tegangan mendahuluiarus atau lebih sering dikatakan bahwa arus ketinggalan daritegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaanfasa di sini juga 90 o , artinya arus ketinggalan dari tegangan dengansudut fasa 90 o .W68 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v [V]i [mA]p [W]t[detik]Seperti halnya dengan kapasitor, daya bervariasi secara sinus dansimetris terhadap sumbu waktu. Jadi pada induktor juga tidak terjaditransfer energi netto. Induktor menyerap daya dalam setengahperioda, dan memberikan daya pada setengah perioda berikutnya.4.4. Induktansi BersamaMisalkan ada sebuah kumparan yang dialiri arus yang berubah terhadapwaktu. Misalkan pula ada sebuah kumparan lain yang berdekatan dengankumparan yang pertama. Fluksi dari kumparan yang pertama akanmelingkupi pula kumparan yang ke-dua dan akan membangkitkantegangan pada kumparan yang ke-dua itu. Kopling antara arus yangberubah di kumparan yang pertama dengan tegangan yang terbangkitkandi kumparan yang ke-dua menunjukkan adanya suatu induktansibersama. Hal yang sebaliknya juga terjadi, yaitu jika kumparan ke-duadialiri arus maka akan timbul tegangan di kumparan pertama. Jadi kalaumasing-masing dialiri arus maka keduanya akan saling mempengaruhi.Misalkan jumlah lilitan kumparan pertama adalah 1 ; jika arus yangmengalir adalah i 1 maka akan timbul fluksi magnetik sebesar φ 1 =k 1 1 i 1 ,dengan k 1 adalah konstanta proporsionalitas. Jika kita anggap tidak adakebocoran fluksi, maka φ 1 akan melingkupi semua lilitan di kumparanpertama ini dan akan menimbulkan apa yang kita sebut sebagai fluksilingkup sebesar λ 11 = 1 φ 1 =k 1 2 1 i 1 . Misalkan pula jumlah lilitan kumparanke-dua 2 dengan arus i 2 . Fluksi magnetik di kumparan ini adalahφ 2 =k 2 2 i 2 dan fluksi lingkupnya λ 22 = 2 φ 2 = k 2 2 2 i 2 . Jadi secara singkatφ1= k11i12λ11= k11i1dan φ2= k22i2dan2λ22= k22i2(4.21)69

Sebagai akibat fluksi lingkup masing-masing, di setiap kumparanterdapat tegangandλ112 di1dλ222 di2v11= = k11dan v22= = k22(4.22)dt dtdt dtKalau kedua kumparan itu berdekatan satu dengan lainnya, makasebagian fluksi yang ditimbulkan oleh kumparan yang satu akanmelingkupi pula kumparan yang lain. Jadi selain fluksi yangditimbulkannya sendiri, setiap kumparan melingkupi juga fluksi yangtimbul di kumparan yang lain. Kumparan pertama melingkupi fluksinyasendiri φ 1 , dan fluksi yang berasal dari kumparan ke-dua φ 12 = 1 k 12 φ 2 .Demikian pula dengan kumparan ke-dua, selain fluksinya sendiri φ 2 , iamelingkupi pula φ 21 = 2 k 21 φ 1 yang berasal dari kumparan pertama.Di kumparan pertama, φ 12 akan memberikan fluksi lingkupλ 12 = 1 φ 12 = 2 1 k 12 φ 2 dan menimbulkan tegangan v 12 . Di kumparan kedua,φ 21 akan memberikan fluksi lingkup λ 21 = 2 φ 21 = 2 2 k 21 φ 1 danmenimbulkan tegangan v 21 . Dengan demikian maka di kumparanpertama ada tegangan v 11 yang timbul karena fluksi lingkupnya sendiri,λ 11 , dan ada tegangan v 12 yang timbul karena ada pengaruh darikumparan ke-dua, λ 12 . Jadi tegangan total di kumparan pertama adalah v 1= v 11 + v 12 . Demikian pula halnya dengan kumparan ke-dua; dikumparan ini terdapat tegangan total sebesar v 2 = v 22 + v 21 . Keadaanuntuk kedua kumparan ini kita tuliskan seperti berikut.Kumparan1Kumparan 2dλdv v v 11 λ12dλd1 = 11 + 12 = +v v v 22 λ212 = 22 + 21 = +dt dtdt dt2di= [ k ] di 1[ k ]22di1 1 + 12 1 2=dtdt[ k ] di 2[ k ]12 2 + 21 2 1dtdt(4.23)Kita dapat melihat pada (4.23) bahwa ada empat macam parameterinduktansi yaitu :22L 1 = k11L2= k22(4.24)dan M 12 = k1212M 21 = k2121(4.25)70 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Induktansi L 1 dan L 2 adalah induktansi sendiri dari masing-masingkumparan sedangkan parameter M 12 dan M 21 adalah induktansi bersamaantara dua kumparan tersebut. Dalam medium magnet yang linier k 12 =k 21 = k M dan dalam kondisi ini kita dapat tuliskandengan k = k M / √(k 1 k 2 ).M12 = M 21 = kM 12= M = k L1L2(4.26)Dengan demikian maka secara umum tegangan di masing-masingkumparan adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 ± dandt dt(4.27)di div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 ±dt dtTanda ± pada (4.27) diperlukan karena pengaruh dari kumparan yangsatu terhadap kumparan yang lain tidaklah selalu positif tetapi dapat pulanegatif. Pengaruh itu positif jika fluksi dari kumparan yang satumemperkuat fluksi dari kumparan yang dipengaruhi; apabilamemperlemah maka dikatakan bahwa pengaruhnya negatif.i 1 φ 1 i 2i 1 φ 1 i 2φ 2φ 2a). Menguatkan (aditif) b). Melemahkan (substraktif)Gb.4.4. Induktor terkopel : aditif atau substraktif.Bagaimana pengaruh positif dan negatif ini terjadi dapat dijelaskanmelalui Gb.4.4 yang memperlihatkan dua kumparan terkopel magnetik.Arah fluksi yang dibangkitkan oleh arus di masing-masing kumparanmenuruti kaidah tangan kanan. Dengan arah lilitan kumparan sepertiGb.4.4.a. maka fluksi φ 1 yang dibangkitkan oleh i 1 dan φ 2 yangdibangkitkan oleh i 2 akan sama arahnya. Dalam keadaan demikian fluksiφ 2 dan φ 1 saling memperkuat atau aditif. Pada Gb.4.4.b. arah lilitankumparan ke-dua berlawanan dengan arah lilitan kumparan ke-dua padaGb.4.4.a. Fluksi φ 2 berlawanan arah dengan φ 1. Dalam hal ini keduafluksi saling melemahkan atau substraktif.71

4.4.1. Konvensi TitikKarena ada kemungkinan fluksi dari kumparan yang satu memperkuatatau memperlemah fluksi dari kumparan yang lain sehingga diperlukantanda ± pada persamaan (4.27), maka timbul pertanyaan kapan tanda +atau − kita gunakan sedangkan kita tahu bahwa nilai M selalu positif.Untuk menentukan hal itu kita menggunakan konvensi titik (dotconvention) agar pengaruh positif atau negatif dari satu kumparanterhadap kumparan lainnya dapat dinyatakan. Kita memberikan tandatitik di salah satu ujung di setiap kumparan dengan pengertian sebagaiberikut:Arus i yang masuk ke ujung yang bertanda titik di salah satukumparan, akan membangkitkankan tegangan berpolaritas positifpada ujung kumparan yang lain yang juga bertanda titik. Besartegangan yang terbangkit adalah M di/dt.4.4.2. Hubungan Tegangan dan ArusDengan konvensi titik tersebut di atas,hubungan arus dan tegangan pada duakumparan yang terkopel secaramagnetik, yang simbolnya terlihatpada Gb.4.5, dapat kita turunkan.i 1 i 2M++Dalam penurunan hubungan ini, untukmasing-masing kumparan kita tetapmenggunakan konvensi pasif, Gb.4.5. Kopling aditif.sedangkan untuk kopling antara keduakumparan kita gunakan konvensi titik. Jadi hubungan tegangan dan arusuntuk Gb.4.5. adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 +dt dtdi di(4.28)v v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 +dt dtGb.4.5. adalah simbol dari dua kumparan yang terkopel aditif, yaitu duakumparan dengan arah lilitan seperti pada Gb.4.4.a. Simbol untukkumparan terkopel substraktif, dengan arah lilitan seperti Gb.4.4.b.,diperlihatkan pada Gb.4.6. dengan hubungan tegangan dan arus :v 1_L 1L 2v 2_72 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

di d i di div v v L 1 ( −M 2 )L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 + = 1 −dt dt dt dtdi div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 −dt dt(4.29)Perhatikanlah bahwa tanda titik terkait dengan keadaan nyata (arahlilitan) sedangkan referensi arus dantegangan ditentukan tanpa dikaitkani 1i 2dengan keadaan sebenarnya (kita ingatMbahwa arah referensi arus dan ++tegangan tidak selalu sama dengan Lv 1 L 21v 2keadaan sebenarnya). Oleh karena itu__tanda titik tidak saling terkait denganreferensi arus dan tegangan. Hal inijelas terlihat dari Gb.4.6. dan Gb.4.6. Kopling substraktif.persamaan (4.29) di atas.Berikut ini dua contoh lain penurunan hubungan tegangan dan arus duakumparan yang terkopel magnetik.i 1 i 2Md(−i1) d(−i2) di1div21 = L1+ M = −L1− Mdt dt dt dtL 1 L 2+v 1_+v 2_di2d(−i1) di2div12 = L2− M = L2+ Mdt dt dt dt(4.30)i 1 i 2Md(−idi−− v L1)M21 = 1 −v 1 L 1 L 2 vdt dt2di di++ v L2M12 = 2 +dt dtdi di= −L1M21 −dt dt(4.31)Perhatikanlah bahwa dalam penurunan persamaan di atas kita tetapmengikuti konvensi pasif untuk arus dan tegangan, sedangkan untukpengaruh timbal balik dari kumparan, yang ditunjukkan oleh suku Mdi/dt, kita mengikuti konvensi titik.73

COTOH-4.5: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti pada gambardi samping ini, diketahui bahwategangan di kumparan pertama adalahv 1 = 10 cos 100t V. Tentukanlahtegangan v 2 pada kumparan kedua.Penyelesaian :Hubungan arus dan tegangan padarangkaian kumparan pertama adalahi 1 i 2M+L 1 L 2v 2_L 1 =L 2 =10 mH ; M = 2 mHdi1di2di1v 1 = L1+ M → 10cos100 t = 0,01 + 0dt dtdtkarena i 2 = 0 (kumparan ke-dua terbuka). Untuk kumparan kedua,div 12 = 0 + 0, 002dtDengan memasukkan nilai di 1 /dt dari persamaan kumparan pertamake persamaan kumparan kedua diperoleh10cos100 tv 2 = 0,002 = 2cos100 t V0,01Pemahaman :Apabila kita salah memilih tanda induktansi bersama, maka hasilyang akan kita peroleh adalahv2 = −2cos100t VKesalahan dalam menentukan tanda untuk M akan menyebabkan terinversinyasinyal v 2 . Kesalahan demikian jika terjadi dalam praktek,misalnya untuk pengaturan kecepatan motor, pada waktu motorhendak diperlambat justru kecepatan motor akan bertambah. Olehkarena itu kita harus berhati-hati.+v 1_COTOH-4.6: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti pada gambardi samping ini, diketahui bahwa arusmasing-masing kumparan adalahi 1 =5cos10000t Ai 2 = 2sin5000t A.Tentukanlah tegangan v 1 dan v 2 .+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 =0.2 mH, L 2 = 0.5 mHM = 0.3 mH74 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Persamaan tegangan-arus untuk masing-masing kumparan adalahdi d iv L 1 ( −M 2)1 = 1 + ;dt dtdi div L 2 M 12 = − 2 +dt dtDengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, akan diperoleh4.5. Saklarvv12= −10sin10000t − 3cos5000 t= −5cos5000t −15sin10000tSaklar adalah piranti yang digunakan untuk menutup dan membukarangkaian. Dalam keadaan tertutup, suatu saklar mempunyai batas arusmaksimum yang mampu ia salurkan. Dalam keadaan terbuka, saklarmempunyai batas tegangan maksimum yang mampu ia tahan. Dalamkeadaan terbuka ini, terdapat arus kecil yang tetap mengalir yang kitasebut arus bocor. Sebaliknya dalam keadaan tertutup masih terdapattegangan kecil antar terminalnya.Untuk rangkaian-elektronik kita mengenal saklar dengan kemampuanarus dalam orde mA dan tegangan dalam orde Volt. Sedangkan pirantipenutup dan pembuka rangkaian dengan kapasitas besar kita jumpaipada rangkaian pemroses energi. Pemutus dan pembuka rangkaianberkapasitas besar ini dikenal dengan sebutan circuit breaker; iamempunyai kemampuan menyalurkan arus dalam orde kA dan tegangandalam kV. Dalam analisis rangkaian, saklar dimodelkan sebagaikombinasi rangkaian hubung-terbuka dan rangkaian hubung-singkatdan dianggap ideal dalam arti tidak terdapat rugi daya, atau dengan katalain daya selalu nol (tidak menyerap daya). Dalam keadaan terbuka, arusbernilai nol (tanpa arus bocor) sedangkan tegangan pada terminalnyabernilai sembarang tanpa batas. Dalam keadaan tertutup tegangan antaraterminalnya nol sedangkan nilai arusnya sembarang tanpa batas. Gb.4.7.di bawah ini menggambarkan karakteristik saklar ideal yang dimaksud.VV75

isimbol(a) saklar terbukai = 0 , v = sembarangGb.4.7. Karakteristik i− v saklar ideal4.6. Elemen Sebagai Model Dari GejalaSebagaimana dijelaskan di atas, elemen adalah model dari piranti, sepertiresistor, kapasitor, induktor dan sebagainya. Selain dari pada itu seringterdapat gejala-gejala adanya resistansi, atau kapasitansi, ataupuninduktansi pada piranti atau antar piranti, pada konduktor atau antarkonduktor dalam rangkaian listrik. Gejala-gejala seperti itu dapat puladimodelkan sebagai elemen rangkaian. Sebagai contoh, pada salurantransmisi daya terdapat resistansi pada kawat, kapasitansi antar kawatdan antara kawat dengan tanah, dan juga terdapat induktansi. Padapiranti elektronik juga terdapat kapasitansi antar terminal yang disebutkapasitansi bocor. Accu mobil mengandung gejala adanya resistansiyang disebut resistansi internal. Resistansi, kapasitansi, ataupuninduktansi pada piranti-piranti tersebut merupakan gejala yang ada padapiranti yang juga dapat dimodelkan sebagai elemen rangkaian.4.7. Transformator Idealsimbol(b) saklar tertutupv = 0 , i = sembarangApa yang kita bahas mengenai kumparan terkopel magnetik adalahprinsip dari transformator. Kumparan yang pertama disebut kumparanprimer sedang yang kedua disebut kumparan sekunder. Seperti halnyaresistor, induktor, dan kapasitor, kita mengenal transformator ukurankecil yang dipakai pada rangkaian elektronika, dan transformator ukuranbesar yang dipakai pada rangkaian pemroses energi, yang biasa disebuttransformator daya. Selain itu ada pula transformator-ukur untukkeperluan pengukuran arus tinggi, yang disebut transformator arus, danpengukuran tegangan tinggi yang disebut transformator tegangan.Dalam kenyataan, transformator-transformator tersebut mengandungketidak-sempurnaan misalnya fluksi bocor, rugi daya di belitan dan rugidaya dalam inti-nya, serta ketidak-linieran. Transformator yang akankita bahas di sini adalah transformator ideal.76 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)vv

4.7.1. Kopling SempurnaPada transformator ideal kita menganggap bahwa kopling magnetik antarkumparan terjadi secara sempurna, artinya semua fluksi yangmelingkupi kumparan primer juga melingkupi kumparan sekunder dandemikian pula sebaliknya.Jika jumlah lilitan di kumparan primer dan sekunder masing-masingadalah 1 dan 2 sedangkan arus masing-masing adalah i 1 dan i 2 makafluksi masing-masing kumparan adalahφ 1 = k 11i1dan φ2= k22i2dengan k 1 dan k 2 adalah konstanta proporsionalitas.Selain fluksinya sendiri, setiap kumparan juga melingkupi fluksi yangdibangkitkan di kumparan yang lain, yaituφ 12 = k 122i2dan φ21= k211i1Jika terjadi kopling sempurna, makaφ 12 = φ2dan φ21= φ1yang berarti : k 12 2i2= k22i2dan k211i1= k11i1sehingga : k 12 = k2dan k21= k1Untuk medium maknit yang linier maka k 12 = k 21 = k M , sehingga untuktransformator ideal ini k 1 = k 2 = k 12 = k 21 = k M .Dengan demikian maka induktansi dan kopling magnetik menjadiL122kM 1; L2= kM 2 ; M = kM12 = L1L2= (4.32)Dengan menggunakan (4.27), tegangan pada kumparan primer dansekunder dapat kita peroleh yaitudi di ⎛ di di ⎞v = L 1 ± M 2 = ⎜k 1 ± k 21 11 M 1 M 2 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠(4.33)di di ⎛ di di ⎞v = L 2 ± M 1 = ± ⎜±kM 2 + kM 12 22 21 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠Rasio persamaan pertama dan kedua dari (4.33), memberikanv1 = ± 1 = ± av2(4.34)277

Parameter a disebut perbandingan lilitan. Jika a > 1 ( 1 > 2 ) , kitamempunyai transformator penurun tegangan (step-down transformer)dan jika a < 1 ( 1 > 2 ) kita mempunyai transformator penaik tegangan(step-up transformer). Tanda + atau − tergantung dari arah referensi arusprimer dan sekunder relatif terhadap referensi titik. Jika referensi araharus di kedua kumparan menuju atau meninggalkan referensi titik, kitaberikan tanda +.4.7.2. Rugi Daya olSelain kopling sempurna, kita juga menganggap bahwa padatransformator ideal tidak ada rugi daya. Hal ini berarti bahwa daya yangdiserap di kedua kumparan adalah nol.v1 i1+ v2i2=78 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)(4.35)Dari (4.34) dan (4.35) jelas bahwa jika tegangan sekunder lebih besardari tegangan primer maka arus sekunder lebih kecil dari arus primer.Transformator jenis inilah yang digunakan pada transmisi daya listrik.Untuk penyaluran sejumlah daya tertentu, arus pada saluran transmisimenjadi lebih kecil pada tegangan tinggi, sehingga rugi-rugi daya padasaluran (i 2 R) dapat ditekan.COTOH-4.7: Suatu transformator mempunyai perbandingan lilitan 1 / 2 = 0,1. Dengan tegangan masukan 120sin400t V, dan denganmenganggap transformator ini ideal, tentukanlah tegangan sekunder,arus sekunder, serta arus primer, jika diberi beban resistif sebesar 50Ω. Hitung pula daya yang diserap oleh beban.Penyelesaian :Gambar dari rangkaian transformator dan perhitungannya adalahseperti berikut.i 1i 2+ +v 1v 2_ _050Ωataui2 v = − 1 = m1 = m ai1v22v 22 = v1= 1200sin400 t1vi 22 = = 24sin400 t A5022p R = v2i2= 1200 × 24sin 400 t W = 28.8sin 400 t22p R = v2i2= 1200×24sin 400 t W = 28.8sin 400 tkW.kW.V

COTOH-4.8: Dalam contoh 4.7, berapakah resistansi yang dilihatoleh sumber (yaitu resistansi di sisi primer) ?Penyelesaian :Dalam contoh ini tegangan primer adalah v 1 = 120sin400t sedangkanarus yang mengalir adalah i 1 = 240sin400t. Jadi resistansi yangterlihat di sisi primer adalahPemahaman :' v= 1 120sin400tR 2 == 0,5 Ωi1240sin400tR' 2 ini disebut resistansi masukan ekivalen (equivalent inputresistance). Jika kita perhatikan lebih lanjut akan terlihat bahwa2' v1( 1/ 2) v2⎛ 1⎞ 2R 2 = == R2= a R2i1( 2/ 1)i⎜2 ⎟⎝ 2 ⎠COTOH-4.9: Sebuah transformator (ideal) digunakan untukmenurunkan tegangan dari 220cos314t V ke 110cos314t V. Jumlahlilitan primer maupun sekunder tidak diketahui. Untuk mencarinyadibuat kumparan pembantu (kumparan ketiga) dengan 20 lilitan.Dengan memberikan tegangan sebesar 220cos314t V pada belitanprimer diperoleh tegangan sebesar 5,5cos314t V di kumparanpembantu. Carilah jumlah lilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :Pada waktu tegangan primer 220cos314t V, tegangan di kumparanpembantu adalah 5,5cos314t V. Jadi perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan kumparan pembantu adalah1220cos314t== 4035.5cos314tKarena 3 = 20 , maka 1 = 40×20 = 800 lilitan. Perbandinganlilitan transformator adalah2 110cos314t== 0,51220cos314tJadi jumlah lilitan sekunder adalah 2 = 400 lilitan.79

Soal-Soal1. Pada sebuah resistor 1 kΩ diterapkan satu pulsa tegangan 10 V,dengan lebar pulsa 100 ms. Hitung arus yang mengalir melaluiresistor serta daya yang diserap resistor selama tegangan diterapkan.Hitung pula energi yang diserap resistor, dan jumlah muatan yangdipindahkan melalui resistor.2. Pada sebuah resistor 10 Ω diterapkan tegangan eksponensial yangamplitudonya 200 V dan konstanta waktunya 200 ms. Hitunglah arusdan daya pada resistor. Perkirakanlah energi yang diserap resistor danjumlah muatan yang dipindahkan melalui resistor.3. Suatu arus sambaran petir dimodelkan sebagai bentuk gelombangeksponensial ganda yang terdiri dari gelombang positif beramplitudo+100 kA dengan konstanta waktu 200 µs dan gelombang negatifberamplitudo −100 kA dengan konstanta waktu 20 µs. Arus sambaranpetir ini melalui resistor 1 Ω; hitunglah tegangan pada resistor danjumlah muatan dalam sambaran petir ini.4. Berapakah nilai maksimum arus yang melalui kapasitor 50 µF, jikadiketahui bahwa tegangan pada kapasitor berbentuk sinus denganamplitudo 100 V dan frekuensinya 100 rad/s ?5. Tegangan pada kapasitor 100 pF berubah sebagai v C = 10 e −3000 t u(t)V. Berapa muatan kapasitor pada t = 0 + ? Berapa muatannya pada t =1 ms ?6. Berapakah nilai maksimum tegangan pada induktor 2 H, jika diketahuibahwa arus yang mengalir berbentuk gelombang sinus denganamplitudo 2 A dan frekuensinya 300 rad/s ?7. Tegangan pada induktor 4 mH adalah v L = 40e −2000t u(t) V.Bagaimanakah bentuk gelombang arusnya ? Bagaimanakah dayanya?8. Arus pada induktor 5 mH adalah i L (t) = [100 t e −1000 t ] u(t) A. Carilahtegangan, serta dayanya.9. Jika arus sambaran petir pada soal nomer 3 melalui sebuah induktor 10µH, hitunglah tegangan pada induktor.80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

10. Pada dua kumparan terkopel berikut ini, tegangan v 1 =25[sin1000t]u(t) V. Kumparan kedua terbuka. Tuliskanlahhubungan i-v kumparan terkopel ini dan carilah i 1 dan v 2 .+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 = 2 mH, L 2 = 4 mHM = 5 mH11. Jika pada soal nomer 10 yang diketahui adalah arus masukan, yaitui 1 = 2 [1 − e −2000 t ] u(t) A, carilah v 2 . Pada t = 1 s, berapakah v 2 ?12. Jika pada soal nomer 10 tegangan masukan tidak diketahui akantetapi diketahui i 1 = 2sin1000t u(t), carilah v 1 dan v 2 .13. Pada transformator ideal, berapakah perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan sekunder yang diperlukan untuk mengubahtegangan 380cos314t V, ke 190cos314t V ?14. Carilah nilai efektif (rms) tegangan primer dan sekunder pada soalnomer 13. Perbandinganlah kedua nilai efektif ini! Bagaimanakahperbandingan nilai efektif arus? (Hasil ini selanjutnya dapatdigunakan untuk menentukan nilai-nilai rms tanpa melaluipernyataan sinyal dalam fungsi t lagi).81

15. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada pemecahan soal nomer 14,tentukanlah perbandingan jumlah lilitan transformator ideal yangdiperlukan untuk menurunkan tegangan bolak-balik sinus 240 Vrms menjadi 12 V rms. Jika resistor 50 Ω dihubungkan pada sisisekunder, hitunglah arus dan daya masukan di sisi primer.16. Sebuah transformator ideal dengan keluaran ganda, mempunyaijumlah lilitan primer 1000. Lilitan sekunder berjumlah 1200 lilitanterbagi menjadi 3 bagian, masing-masing 200 lilitan, 400 lilitan dan600 lilitan. Jika tegangan primer berbentuk sinus 220 V rms,tentukanlah nilai rms dari tiga macam tegangan yang diperoleh dibelitan sekunder.17. Suatu piranti mempunyai resistansi masukan sebesar 1500 Ωsehingga piranti ini dapat dimodelkan sebagai sebuah resistor 1500Ω. Piranti ini hendak dihubungkan ke penguat sinyal yangmenghendaki agar bebannya mempunyai resistansi 150 Ω. Untukitu, antara keduanya dipasang transformator sehingga penguat sinyalakan merasakan adanya beban sebesar 150 Ω walaupun bebansesungguhnya adalah 1500 Ω. Tentukan perbandingan lilitantransformator yang diperlukan.82 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 5Model Piranti Aktif, Dioda, OP AMPDengan mempelajari model piranti aktif, kita akan• mampu memformulasikan karakteristik arus-teganganelemen aktif: sumber bebas, sumber tak-bebas;• memahami karakteristik dioda dan mampu menurunkanhubungan masukan-keluaran rangkaian sederhanamenggunakan dioda.• memahami karakteristik OP AMP dan mampu mencarihubungan masukan dan keluaran rangkaian dasarsederhana OP AMP.5.1. Sumber BebasSumber bebas adalah sumber yang tidak tergantung dari peubahsinyal di bagian lain dari rangkaian. Sumber sinyal dapatdimodelkan dengan dua macam elemen, yaitu: sumber teganganatau sumber arus. Sumber-sumber ini dapat membangkitkan sinyalyang konstan ataupun bervariasi terhadap waktu, yang akan menjadimasukan pada suatu rangkaian. Mereka sering disebut sebagaifungsi penggerak atau forcing function atau driving function yangmengharuskan rangkaian memberikan tanggapan.5.1.1. Sumber Tegangan Bebas IdealGb.5.1. memperlihatkan simbol dan karakteristik i-v dari sumbertegangan bebas ideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya,yang tetap mengikuti konvensi pasif. Karakteristik i-v sumbertegangan ideal memberikan persamaan elemen sebagai berikut:v = v si = sesuai kebutuhanPersamaan di atas menyatakan bahwa sumber tegangan idealmembangkitkan tegangan v s pada terminalnya dan akan memberikanarus berapa saja yang diperlukan oleh rangkaian yang terhubungpadanya.83

v s+_iV oa) b) c)Gb.5.1. Sumber tegangan ideal.(a) Sumber tegangan bervariasi terhadap waktu;(b) Sumber tegangan konstan;(c) Karakteristik i-v sumber tegangan konstan+_iiV ov5.1.2. Sumber Arus Bebas IdealGb.5.2. menunjukkan simbol dan karakteristik i-v sumber arus bebasideal. Perhatikan referensi arus dan tegangannya, yang juga tetapsesuai dengan konvensi pasif. Karakteristik i-v sumber arus idealmemberikan persamaan elemen:Sumber arus ideal memberikan arus i s dalam arah sesuai denganarah tanda anak panah pada simbolnya dan memberikan teganganberapa saja yang diperlukan oleh rangkaian yang terhubungpadanya. Perhatikan bahwa tegangan pada sumber arus tidaklahnol.iiI s ,i si = i sv = sesuai kebutuhan(a)Gb.5.2. Sumber arus ideal.COTOH-5.1: Sebuah sumber tegangan konstan 40 V ideal,mencatu sebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerapdaya konstan sebesar 100 W, berapakah arus yang keluar darisumber? Jika beban menyerap 200 W, berapakah arus yangkeluar dari sumber?(b)84 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)−v+Isv

Penyelesaian :Karena merupakan sumber teganganideal maka ia akan memberikan arusberapa saja yang diminta bebandengan tegangan yang konstan 40 V.Jika daya yang diserap beban 100W, maka arus yang diberikan oleh sumber adalahp 100i = = = 2,5 Av 40+−40V bebanJika daya yang diserap beban 200 W, maka arus yang diberikanoleh sumber adalahPemahaman :p 200i = = = 5 Av 40Sumber tegangan ideal memberikan arus berapa saja yangdiminta oleh beban, pada tegangan kerja yang tidak berubah.Sumber semacam ini dapat kita gunakan untuk mendekatikeadaan dalam praktek apabila sumber mempunyaikemampuan yang jauh lebih besar dari daya yang diperlukanoleh beban atau dengan kata lain sumber tersebut kita anggapmempunyai kapasitas yang tak berhingga.COTOH-5.2: Sebuah sumber arus konstan 5 A ideal, mencatusebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerap dayakonstan sebesar 100 W, pada tegangan berapakah sumberberoperasi? Jika beban menyerap 200 W, berapakah tegangansumber?Penyelesaian :Sumber arus ideal memberikan arustertentu, dalam hal ini 5 A, padategangan berapa saja yangdiperlukan oleh beban.Jika daya yang diserap beban 100 W, hal itu berarti bahwategangan sumber adalahp 100v = = = 20 Vi 55A beban85

Jika daya yang diserap beban 200 W, maka tegangan sumberadalahp 200v = = = 40 Vi 55.2. Sumber PraktisGb.5.3. menunjukkan model sumber tegangan dan sumber aruspraktis; sumber ini disebut praktis karena mereka lebih mendekatikeadaan nyata dibandingkan dengan model sumber ideal.v s+_R si+v−i sR pi−v+Gb.5.3. Sumber tegangan dan sumber arus praktisSuatu sumber nyata pada umumnya mengandung gejala-gejalaadanya resistansi ataupun induktansi dan kapasitansi. Resistor R sataupun R p dalam model sumber praktis yang terlihat pada Gb.5.3.merupakan representasi dari gejala resistansi yang hadir dalamsumber yang dimodelkan dan bukan mewakili resistor yang berupapiranti.COTOH-5.3: Sebuah sumber tegangan konstan praktis denganresistansi 4 Ω, mencatu sebuahbeban. Jika diketahui bahwaibeban menyerap daya konstansebesar 100 W, dan diketahui+pula bahwa arus yang mengalir + 4Ωvv sibebanpadanya adalah 2,5 A, − _berapakah tegangan sumberdan arus yang keluar darisumber? Jika sumber tidak dibebani, berapakah tegangannya?86 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Rangkaian sumber praktis terdiri dari sumber ideal v i danresistansi sebesar 4 Ω. Tegangan sumber praktis adalah v s dantegangan ini sama dengan tegangan pada beban.Jika daya dan arus pada beban adalah 100 W dan 2,5 A, makategangan sumber adalahp 100v s = = = 40 Vi 2.5Karena hanya ada satu beban yang dilayani oleh sumberpraktis, maka arus yang keluar dari sumber sama dengan arusbeban yaitu 2,5 A. Arus ini pula yang keluar dari sumbertegangan ideal v i dan mengalir melalui R i . Bagi sumbertegangan ideal v i , daya yang diserap oleh resistansi R i ikutmenjadi bebannya, yaitu2p Ri = i Ri=2(2.5) × 4 = 25 WDengan demikian sumber tegangan ideal menanggung bebanp tot = 100 + 25 = 125 W .Dengan arus yang 2,5 A, maka tegangan sumber ideal adalahv i = 125 / 2,5 = 50 V .Tegangan inilah yang akan terlihat pada sumber praktis, v s ,apabila ia tidak dibebani, karena pada saat tanpa beban tidakada arus yang mengalir sehingga tidak ada tegangan pada R i .Pemahaman :Dalam contoh di atas, sumber praktis yang merupakan sumbertegangan konstan, mempunyai resistansi R i yang kita sebutresistansi internal. Resistansi inilah yang menyebabkanterjadinya perbedaan nilai tegangan sumber praktis pada saatberbeban dan pada saat tidak berbeban. Pada sumber praktisyang bukan tegangan konstan, misalnya tegangan sinus, tidakhanya terdapat resistansi internal saja tetapi mungkin jugainduktansi internal.87

COTOH-5.4: Sebuah accu (accumulator) 12 V, berkapasitas 40Ah. Jika sebuah beban yang menyerap daya 10 Wattdihubungkanipadanya, berapalamakah accu++ Rbebantersebut dapati12 Vv−menyerapmelayani beban_ 10 Wyang ditanggungnya?Penyelesaian :Jika kita menganggap accu sebagai sebuah sumber teganganideal yang memberikan daya kepada beban dengan tegangankonstan 12 V, maka arus yang akan mengalir ke beban adalahp 10i = = v 12Karena kapasitasnya 40 Ah, accu akan mampu mencatu bebanselamaPemahaman :40 t = = 4810/12AjamAccu mengubah energi kimia menjadi energi listrik. Dalamproses pengubahan tersebut terdapat sejumlah energi yangtidak dapat dikeluarkan melainkan berubah menjadi panas.Accu dapat dimodelkan sebagai sumber tegangan denganresistansi internal sebesar R i . Jadi model rangkaian miripdengan rangkaian pada contoh 5.13. Dengan model ini makaenergi tidak hanya diserap oleh beban tetapi juga oleh R i .Dengan adanya resistansi internal itu tegangan pada bebanakan lebih kecil dari tegangan sumber ideal. Selain dari padaitu, jika accu tidak mendapatkan tambahan energi dari luar,tegangan akan terus menurun selama proses pengaliran daya kebeban. Jika resistansi beban tidak berubah, penyerapan dayapada beban juga tidak konstan 10 watt.88 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

5.3. Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources)Sumber bebas yang kita ulas di atas adalah model dari suatu piranti;artinya, kita mengenalnya baik sebagai elemen maupun sebagaipiranti (seperti halnya resistor, induktor dan kapasitor). Berbedadengan elemen-elemen tersebut, sumber tak-bebas adalah elemenyang tidak mewakili piranti tertentu melainkan menjadi modelkarakteristik suatu piranti. Sumber tak-bebas adalah elemen aktifyang kita gunakan dalam kombinasi dengan elemen lain untukmemodelkan piranti aktif seperti misalnya transistor ataupun OPAMP. Berikut ini kita akan melihat contoh rangkaian dengansumber tak-bebas.Keluaran sumber tak-bebas dikendalikan oleh (tergantung dari)tegangan atau arus di bagian lain dari rangkaian. Sumber tak-bebasyang akan kita pelajari adalah sumber tak-bebas linier, baik itusumber tegangan maupun sumber arus. Karena ada dua macambesaran yang dikendalikan, yaitu tegangan ataupun arus, dan adadua macam besaran pengendali yang juga berupa arus ataupuntegangan, maka kita mengenal empat macam sumber tak-bebas,yaitu:a). Sumber tegangan dikendalikan oleh arus: current-controledvoltage source (CCVS).b). Sumber tegangan dikendalikan oleh tegangan: voltagecontroledvoltage source (VCVS).c). Sumber arus dikendalikan oleh arus : current-controled currentsource (CCCS).d). Sumber arus dikendalikan oleh tegangan : voltage-controledcurrent source (VCCS).Gb.5.4. memperlihatkan simbol-simbol sumber tak bebas. Kitaambil contoh CCCS. Arus keluaran CCCS tergantung dari arusmasukan i 1 dan faktor perkalian tak berdimensi β, menjadi βi 1 .Ketergantungan seperti ini tidak kita dapatkan pada sumber bebas.Arus yang diberikan oleh sumber arus bebas, tidak tergantung darirangkaian yang terhubung ke padanya.89

CCVS :i+1_ ri 1VCVS :+v 1_+_ µ v 1CCCS :i 1βi 1VCCS :+v 1_g v 1Gb.5.4. Simbol sumber tak-bebas.Masing-masing sumber tak-bebas mempunyai parameter tunggal µ,β, r, dan g sebagai cirinya. Parameter-parameter ini disebut gain.Dalam hal ini, µ dan β merupakan parameter yang tak berdimensiyang masing-masing disebut voltage gain dan current gain.Parameter r berdimensi ohm dan disebut transresistance(kependekan dari transfer resistance). Parameter g berdimensisiemens, disebut transconductance.COTOH-5.5: Sebuah sumber tak-bebas CCVS seperti tergambardi bawah ini mencatu beban konstan yang mempunyairesistansi 20 Ω.i si ov s+−R s+−500 i s+v o−20 ΩRangkaian pengendali terdiri dari sumber tegangan ideal v sdan resistansi R s = 60 Ω. Hitunglah daya yang diserap olehbeban jika sumber tegangan pengendali v s = 24 V. Hitung puladaya tersebut jika tegangan sumber pengendali dinaikkanmenjadi 36 V.Penyelesaian :Tegangan pengendali v s sama dengan tegangan pada resistansiR s . Jika v s = 24 V, maka arus i s adalahv 24 =si s = = 0,4 ARs60.90 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Tegangan keluaran v o = 500is= 500×0,4 = 200 V . Teganganv o ini sama dengan tegangan beban, sehingga daya yangdiserap beban adalah2( o )p o = v = 2000 W20Jika tegangan v s dinaikkan menjadi 36 V, maka36i s = = 0,6 A602(300)→ vo = 500×0,6 = 300 V; → po= = 4500 W20Pemahaman :Jika kita hitung, daya yang diberikan oleh sumber pengendali v sakan kita perolehp s = vsis= 60 × 0,4 = 24WDaya ini jauh lebih kecil dari daya yang diserap beban, yaitusebesar 2000 W. Hal ini berarti bahwa daya yang diterima olehbeban bukan berasal dari sumber v s . Dari manakah asalnya ?Telah disebutkan di depan bahwa sumber tak-bebas adalahelemen aktif yang kita gunakan dalam kombinasi denganelemen lain untuk memodelkan piranti aktif. Piranti aktif inimempunyai catu daya yang tidak tergambarkan dalam simbolsumber tak-bebas. Dari catu daya inilah sesungguhnya asaldaya yang diterima oleh beban. Sumber v s dalam contoh soalini merupakan sumber pengendali dan bukan sumber dayauntuk memberikan daya ke beban.Sebagai contoh, model sumber tak-bebas ini dapat kita gunakanuntuk memodelkan generator arus searah berpenguatan bebas.Sumber tegangan v s merupakan sumber penguat untukmemberikan arus penguat sebesar i s . Arus penguat inimenimbulkan fluksi maknit pada generator, yang jika diputardengan kecepatan konstan akan memberikan tegangan dandaya ke beban. Dalam model generator arus searah ini, catudaya yang memberikan daya ke beban berupa masukan dayamekanis untuk memutar generator.91

Piranti aktif lain dalam elektronika, seperti misalnya OP AMPatau transistor, dapat pula dimodelkan dengan sumber takbebas.Catu daya pada piranti-piranti ini berupa catu dayalistrik, bukan daya mekanis seperti pada pemodelan generatorarus searah di atas.5.4. Dioda IdealDioda ideal tidak menyerap daya tetapi juga tidak memberikandaya. Ia banyak dimanfaatkan untuk “mengatur” aliran daya darisumber ke beban oleh karena itu ia kita bahas di bab ini.Dioda merupakan piranti dua terminal yang meloloskan aliran aruske satu arah dan menahan aliran arus pada arah sebaliknya. Perilakuini mirip dengan saklar yangtertutup untuk arah arustertentu tetapi terbuka untukarah yang berlawanan, dandapat dinyatakan dengankarakteristik i-v sepertiterlihat pada Gb.5.5.a.Karakteristik ini adalahkarakteristik dioda ideal,yang pada kenyataannya mempunyai karakteristik tak-linier sepertiterlihat pada Gb.5.5.b. Simbol dari dioda beserta referensi arus dantegangan ditunjukkan pada Gb.5.5.c.dapat kita nyatakan sebagai:DiodakonduksiDioda tak konduksi: i:iDD> 0= 0,,vvDD= 0< 0Karakteristik dioda ideal,(5.1)Dalam praktik, kita perlu memperhatikan tegangan balik dioda,yaitu v D yang negatif pada saat dioda tak-konduksi. Tegangan balikini tidak diperkenankan melebihi suatu nilai tertentu. Setiap jenisdioda mempunyai ketahanan untuk menahan tegangan balik tertentudan juga batas kemampuan arus tertentu yang tidak boleh dilampaui.5.4.1. Penyearah Setengah GelombangPenyearah adalah rangkaian listrik yang memproses sinyal bolakbalik(sinyal sinus) menjadi sinyal searah. Sinyal searah yangdihasilkannya bukan merupakan sinyal konstan, melainkan sinyalyang berubah terhadap waktu tetapi selalu positif. Jika sinyal yangii+v D−0 v 0 v(a) (b) (c)Gb.5.5. Diodai D92 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

disearahkan (sinyal masukan) berupa sinyal sinus yang mempunyainilai rata-rata nol, hasil penyearahan (sinyal keluaran) mempunyainilai rata-rata tidak nol. Berikut ini kita akan membahas salah satujenis penyearah yaitu penyearah setengah gelombang.Rangkaian penyearah beserta bentuk gelombang masukan dankeluarannya diperlihatkan pada Gb.5.6. Tegangan sumber berupasinyal sinus v s = V m sinωt. Karena sifat dioda yang hanyameloloskan arus ke satu arah saja maka arus yang melalui resistor Rhanya berlangsung setiap setengah perioda.Pada waktu dioda konduksi v D = 0 dan tegangan di simpul B samadengan tegangan di simpul A; tegangan beban R sama dengantegangan sumber dan arus di R iR = vs/ R . Pada waktu dioda takkonduksitak ada arus mengalir di R; tegangan di R nol. Gelombangarus i R diperlihatkan pada Gb.5.6.iVv s mABi R+I as+ v D −0ωtv s+v RR L −0 π 2πGb.5.6. Penyearah setengah gelombang.Jadi pada penyearah setengah gelombang, arus hanya mengalir padaperioda positif. Nilai rata-rata arus adalah:Ias==C2ππ11 V ωω = m sin tω +π ∫iRd(t)π ∫d(t)022 R0 01 V πm V[ ω ] = m Icos t = m2πR 0 πRπ(5.2)Persamaan (5.2) memperlihatkan bahwa penyearah setengahgelombang menghasilkan arus searah (yaitu arus rata-rata) sebesarkira-kira 30% dari nilai arus maksimum. Arus maksimum sendirisebanding dengan tegangan maksimum masukan. Tegangan balikmaksimum dioda sama dengan tegangan puncak negatif masukanyaitu tegangan dioda pada saat ia tidak konduksi.93

COTOH-5.6: Jika pada Gb.5.6. v s = 220 sinωt sedangkan R = 5kΩ, berapakah nilai arus searah (arus rata-rata) pada R ?Penyelesaian :Pada waktu diodakonduksiv 220sinω= s ti R = = 110sinωtmAR 5000⇒ Ias= Im/ π = 110/ π = 35 mA5.4.2. Penyearah Gelombang PenuhPada penyearah gelombang penuh arus ke beban mengalir padaseluruh perioda. Kita akan melihat salah satu rangkaian penyearahgelombang penuh yaitu rangkaian dengan menggunakan empatdioda yang biasa disebut rangkaian jembatan. Rangkaian yang lainyaitu rangkaian yang menggunakan transformator ber-titik-tengah(center-tapped) akan kita lihat di bab lain.Rangkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrosesannyaterlihat pada Gb.5.7. Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searahv2 VmIas=π RLD 2iC+AB+R LD 1D 4D2Im=πGb.5.7. Penyearah gelombang penuh jembatan (empat dioda).(5.3)Bagaimana penyearah ini bekerja dapat kita terangkan sebagaiberikut. Kita perhatikan tegangan di simpul-simpul A, B, C dan D.Kita ambil simpul B sebagai simpul referensi.Jika simpul A bertegangan positif, D 1 konduksi sedangkan D 3 takkonduksi;v D1 = 0 dan v C = v A yang berarti D 2 tak-konduksi karenamendapat tegangan negatif sedangkan D 4 konduksi karena mendapatV m00vπi2πI asωt94 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

tegangan positif. Arus i mengalir dari simpul A ke C melalui bebanR ke simpul D dan kembali kesumber melalui simpul B; terbentukloop tertutup ACDBA.Sementara itu di loop yang mengandung dioda yang tidak konduksi,yaitu loop ADCBA, dioda D 2 dan D 3 tidak konduksi. Jika dioda-3dan dioda–2 identik maka masing-masing memperoleh tegangannegatif sebesar −V m sinωt.Dalam setengah perioda berikutnya, terjadi situasi yang berbalikan.D 1 dan D 4 tidak konduksi sedangkan D 2 dan D 3 konduksi. Jadidalam seluruh perioda arus i bernilai positif walaupun dioda-diodahanya konduksi dalam setengah perioda. Dengan demikianterjadilah penyearahan dalam seluruh perioda, atau dengan kata lainkita memperoleh penyearah gelombang penuh. Jika semua diodaidentik maka tegangan balik maksimum sama dengan V mCOTOH 5.7: Jika pada Gb.5.7. v = 220sinωt sedangkan R = 5kΩ,berapakah komponen arus searah yang melalui R ?Penyelesaian :v 220sinωtSetiap setengah perioda, iR= = = 110sinωtmAR 5000Nilai rata - ratanya adalah : Ias= 2Im/ π = 70 mA5.4.3. Pemotong GelombangRangkaian pemotong gelombang digunakan untuk menghilangkanbagian gelombang sinyal yang tidak diinginkan. Pada penyearahsetengah gelombang kita lihat bahwa dioda meniadakan arusnegatif; dengan kata lain ia memotong bagian negatif darigelombang masukan. Jika sebuah sumber tegangan konstan Vdihubungkan seri dengan dioda dan dengan polaritas yangberlawanan, seperti terlihat pada Gb.5.8., maka arus hanya akanmengalir jika tegangan masukan v 1 lebih besar dari tegangankonstan ini. Dengan cara ini, tegangan pada resistor R hanya akanada jika tegangan v 1 lebih besar dari V.95

+ V−vv 1+v 1_i+v D+v RV0tv R = v 1 −VGb.5.8. Pemotong gelombangKita aplikasikan HTK pada rangkaian ini:Jika dioda konduksi, v D = 0, sehingga v R = v 1 −V.Jika dioda tak-konduksi , i = 0, sehingga v R = 0.Jadi rangkaian ini meniadakan bagian tegangan masukan yang lebihkecil dari V, atau dengan kata lain ia memotong gelombangmasukan v 1 . Tegangan v R akan muncul jika v 1 > V sedangkan bagianlain dari v 1 akan dihilangkan seperti terlihat pada Gb.5.8.COTOH-5.8: Pada rangkaian disamping ini, v 1 = 8 sinωt;gambarkanlah v 1 dan v 2 dangambarkan pula karakterstiktransfer, yaitu v 2 sebagai fungsidari v 1.Penyelesaian :Aplikasi HTK pada rangkaianini memberikan:Jika dioda konduksivD= 0 → V A = v2= −2Vv1+ 2iD= −i= − > 0 → v1< −2RJadi dioda konduksi jika v 1 < −2 V. Pada waktu itu tegangan v 2= −2 V.Karena dioda konduksi jika v 1 < −2 V, maka jika v 1 > −2 Vdioda tidak akan konduksi dan pada waktu itu i = 0, dan v 2 = v 1 .+v 196 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)−iRi D−+AV2 V−v D++v 2−

Bentuk gelombang tegangan dan karakteristik transfer adalahsebagai berikut:10[V]5v 2 =v 1v 2800 vωt2 v 2-5v 1-10bentuk gelombang tegangan−2v 1−8karakteristik transfer5.4.4. PensaklaranDalam kenyataan, dioda semikonduktor memerlukan suatu prateganganagar terjadi konduksi arus. Besarnya pra-tegangan iniadalah sekitar 0,3 V untuk dioda germanium dan 0,7 V untuk diodasilikon. Oleh karena itu model rangkaian dioda akan memberikanhasil yang lebih memuaskan jika dinyatakan sebagai kombinasi seridari sebuah dioda ideal dan sumber tegangan berpolaritasberlawanan dengan polaritas dioda ideal tersebut. Berikut ini adalahsebuah contoh rangkaian dengan dioda silikon.COTOH 5.9: Rangkaian disamping ini merupakanrangkaian pensaklaranyang dibangun dari duadioda silikon. Tentukan i Adan i B jika v A = 1 V.4,7 Vi A+v AD 1 D 21kΩPenyelesaian :Model rangkaian dengan dioda silikon ini adalah sebagaiberikut.i B97

+ 4,7 V1kΩi A+ − +v A0,7 VD 1PD 2+−i B0,7 VUntuk simpul P terdapat kemungkinan-kemungkinan berikut:Jika D 1 dan D 2 konduksi v D1 = v D2 = 0vP= vA+ 0,7 = 0,7 → vA= 0⇒ tidak sesuai dengan yang diketahui.Situasi ini tidak terjadi.Jika D 1 konduksi dan D 2 tak-konduksi,iB⇒ v= 0 → v= v> 0,7 →D 2+ 0,7 = 1,7 Vharus konduksi98 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)PPASituasi ini tidak terjadi.Jika D 1 tak-konduksi dan D 2 konduksi,iA= 0 → vP= 0,7 < ( v A + 0,7) → D1tak konduksi⇒ i = (4,7 − v ) /1 = (4,7 − 0,7)/1 = 4 mABSituasi inilah yang terjadi.PPada situasi terakhir inilah arus mengalir melalui D 2 sebesar i B= 4 mA, sedangkan i A = 0.Pemahaman:Dari tiga kemungkinan operasi yang disebutkan di atas, hanyakemungkinan ke-3 yang bisa terjadi, yaitu D 1 tak-konduksidan D 2 konduksi. Dengan kata lain arus akan mengalir melaluiD 2 jika D 1 tak-konduksi; sedangkan D 1 tak-konduksi hanyaapabila v P > v A . Padahal v P tidak akan lebih besar dari 0,7 Vkarena pada saat itu v D2 = 0. Jadi ada situasi batas dimanav P = 0,7= vA− 0,7 V atau v A = 0 VJika simpul A sedikit saja bertegangan, arus pada dioda D 2akan berubah dari 0 menjadi 4 mA.

5.5. Penguat Operasional (OP AMP)OP AMP bukanlah elemen pencatu daya, melainkan bekerja denganbantuan catu daya dari luar sehingga ia mampu memperbesar sinyalmasukan. Oleh karena itu ia kita pelajari dalam bab yang membahasmodel piranti ini, namun masih terbatas pada situasi yang belummemerlukan aplikasi metoda analisis. Metoda analisis sendiri baruakan kita pelajari beberapa bab ke belakang.OP AMP adalah suatu piranti berbentuk rangkaian terintegrasi yangcukup rumit, terdiri dari transistor, resistor, dioda, kapasitor, yangsemuanya terangkai dalam satu chip. Walaupun rangkaiannya rumit,OP AMP dapat dimodelkan dengan suatu karakteristik i-v yang agaksederhana. Kita tidak akan membahas apa yang sebenarnya terjadidalam piranti ini, tetapi akan memandang OP AMP sebagai elemenrangkaian dengan hubungan-hubungan arus dan tegangan tertentu.5.5.1. otasiOP AMP merupakan piranti lima terminal dengan simbol sepertipada Gb.5.9.a. Gambar fisik piranti ini diberikan secara sederhanapada Gb.5.9.b. yang menunjukkan posisi-posisi terminalnya.+V CC v omasukannon-inversicatu daya positif8765masukaninversi+−keluaranTop12− +34catu daya negatifa). Simbol rangkaianv v P − V CCb). Diagram DIP 8-pin.Gb.5.9. Simbol dan diagram OP AMP.+V CC : catu tegangan positif; −V CC : catu tegangan negatifDua diantara terminal tersebut bertanda +V CC dan −V CC . Duaterminal ini adalah terminal catu, yang menghubungkan OP AMPdengan sumber tegangan. Sumber tegangan inilah yangakanmencatu kebutuhan daya dalam rangkaian. Tegangan catu99

menentukan batas atas dan batas bawah tegangan keluaran.Walaupun sesungguhnya penguat ini beroperasi karena adategangan catu, namun terminal tegangan catu ini sering tidakdigambarkan sehingga kita mempunyai diagram yangdisederhanakan, seperti terlihat pada Gb.5.10. Perhatikan notasiserta referensi arus dan tegangannya.v P +i P+i ov +−+ v oi −Gb.5.10. Rangkaian OP AMP disederhanakan.Notasi-notasi yang kita pergunakan adalah :v P = tegangan masukan non-inversi; i P = arus masukan noninversi;v = tegangan masukan inversi; i = arus masukan inversi;v o = tegangan keluaran; i o = arus keluaran;Tegangan dihitung terhadap titik referensi umum (bertanda “−”).Perlu kita perhatikan bahwa dalam diagram rangkaian yangdisederhanakan seperti pada pada Gb.5.10, banyak bagian rangkaianyang tidak digambarkan. Oleh karena itu kita tidak bolehsembarangan mengaplikasikan HAK untuk rangkaian tersebut;sebagai contoh kita harus menyadari bahwa i o ≠ i P + i 5.5.2. Karakteristik Alih (Karakteristik Transfer)Karakteristik alih OP AMP memberikan hubungan antara v P , v ,dan v o , yang diperlihatkan pada Gb.5.11. Karakteristik ini terbagidalam tiga daerah operasi, yaitu daerah jenuh negatif, daerah linier,dan daerah jenuh positif. Dalam pembahasan rangkaian dengan OPAMP di sini, kita hanya akan meninjau daerah operasi yang liniersaja. Dalam daerah ini terdapat hubungan linier antara v o dan (v P −v ), yang dapat dinyatakan dengan( − )vo = µ v P v (5.4)Konstanta µ disebut gain loop terbuka (open loop gain), yang dalamGb.5.11 adalah kemiringan kurva di daerah linier.100 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v o+V CC−V CCv P − v Parameter RentangnilaiNilaiidealµ 10 5 ÷10 8 ∞R i 10 6 ÷10 13 Ω ∞ ΩR o 10÷100 Ω 0 Ω± V CC ±12 ÷ ±24 VGb.5.11. Karakteristik alih OP AMP dan rentang nilai µ.Nilai µ sangat besar, biasanya lebih dari 10 5 . Selama nilai netto (v P− v ) cukup kecil, v o akan proporsional terhadap masukan. Akantetapi jika µ (v P − v ) > V CC OP AMP akan jenuh; tegangankeluaran tidak akan melebihi tegangan catu ± V CC .5.5.3. Model Ideal OP AMPOP AMP yang beroperasi di daerah linier dapat dimodelkan sebagairangkaian sumber tak-bebas seperti terlihat pada Gb.5.12. Model inimelibatkan resistansi masukan R i , resistansi keluaran R o , dan VCVSdengan gain µ . Rentang nilai parameter-parameter ini diberikandalam Tabel-5.1.Dengan bekerja di daerah linier, tegangan keluaran v o tidak akanmelebihi ± V CC ..Vvo ≤ V CC atau µ ( v − ) ≤ ⇒ ( − ) ≤CCP vVCCvPvµv P +v +i Pi +R o++R i −µ (v P − v )−Gb.5.12. Model OP AMPi ov oKarena µ sangat besar, yang untuk OP AMP ideal dapat dianggap µ= ∞ , sedangkan V CC tidak lebih dari 24 Volt, maka dapat dikatakanbahwa (V CC /µ ) = 0 sehingga kita dapat menganggap bahwa v P = v .Sementara itu untuk OP AMP ideal R i = ∞ sehingga arus masuk di101

kedua terminal masukan dapat dianggap nol. Jadi untuk OP AMPideal kita mendapatkan :vP= viP= i= 0(5.5)Karakteristik inilah yang akan kita pergunakan dalam analisisrangkaian dengan OP AMP.5.5.4. Rangkaian Penyangga (buffer, voltage follower)Berikut ini kita akan melihat salah satu rangkaian dasar OP AMPyaitu rangkaian penyangga atau buffer. Yang dimaksud denganrangkaian dasar adalah rangkaian yang digunakan untukmembangun suatu rangkaian yang lebih lengkap, yang dapatberfungsi sesuai dengan hubungan masukan-keluaran yangdiinginkan. Perlu kita ingat bahwa jika kita membangun suaturangkaian yang memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kitainginkan, hasil atau jawabannya tidaklah berupa jawaban tunggal.Ada beberapa kemungkinan struktur rangkaian yang dapatmemenuhi hubungan masukan-keluaran yang kita inginkan.Rangkaian penyangga(Gb.5.13) digunakansebagai antar-mukauntuk “meng-isolasi”beban terhadap sumber.Rangkaian umpan balikmerupakan hubunganlangsung dari terminalkeluaran ke terminalmasukan inversi.v P+v −v s+−RGb.5.13. Rangkaian penyangga.Dengan hubungan ini maka v = v o . Sinyal masukan dihubungkanke terminal non-inversi yang akan memaksa v P = v s . Karena modelideal OP AMP mengharuskan v P = v , maka v o = v s . Jadi dalamrangkaian ini gain loop tertutup K = 1. Besar tegangan keluaranmengikuti tegangan masukan. Oleh karena itu rangkaian ini jugadisebut voltage follower.i Pi v o102 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

5.5.5. Penguat on-InversiPada rangkaian penyangga,+vP = vs= v= v o−. Jika kita buatvv lebih kecil dari v o dengans+ v −R1menggunakan pembagi tegangan,maka kita peroleh penguat noninversi.Perhatikan diagramrangkaian pada Gb.5.14.i umpan balikR 2Pada terminal masukan noninversiGb.5.14. Penguat non-inversi.diberikan teganganmasukan v s , sedang terminal masukan inversi dihubungkan kerangkaian keluaran. Hubungan keluaran dengan masukan ini kitasebut umpan balik (feed back) dan rangkaian seperti ini kita sebutrangkaian dengan umpan balik. Dengan adanya umpan balik terjadiinteraksi antara masukan dan keluaran.Model ideal OP AMP mengharuskan i = i P = 0; oleh karena itutegangan v dapat dicari dengan kaidah pembagi tegangan, yaituRv 2 = voR1+ R2Pada terminal masukan non-inversi v P = v s . Karena model ideal OPAMP juga mengharuskan v P = v makaRv P = v= 2 vo= vsR1+ R2sehinggaR Rv 1 + 2o = v sR2Inilah hubungan antara keluaran dan masukan yang dapat kitatuliskanR1+ R2v o = Kv s dengan K =R2Konstanta K ini kita sebut gain loop tertutup karena gain inidiperoleh pada rangkaian dengan umpan balik. Dengan demikiankita mempunyai dua macam gain, yaitu gain loop terbuka (µ) dangain loop tertutup (K). Gain loop terbuka sangat besar nilainyanamun ketidak pastiannya juga besar. Gain loop tertutup lebih kecilnamun nilainya dapat kita kendalikan dengan lebih cermat yaitui Pv Pv o103

dengan cara memilih resistor berkualitas baik, dengan ketelitiancukup tinggi. Jadi dengan membuat umpan balik, kita memperolehgain yang lebih kecil tetapi dengan ketelitian lebih baik.Dalam menghitung K di atas, kita menggunakan model ideal denganµ yang tak hingga besarnya. Dalam kenyataan, µ mempunyai nilaibesar tetapi tetap tertentu. Berapa besar pengaruh nilai µ yangtertentu ini terhadap nilai K dapat kita analisis dengan menggunakanrangkaian model sumber tak-bebas seperti pada Gb.5.12. yangdilengkapi dengan umpan balik seperti pada Gb.5.14. Analisisnyatidak kita lakukan di sini namun hasil yang akan diperoleh adalahberbentukK*=1 +KK( / µ )dengan K * adalah gain loop tertutup jika µ mempunyai nilai tertentu.Model ideal akan memberikan hasil yang baik selama K

Pemahaman :Arus dari sumber 5 V adalah nol. Sumber ini tidak terbebani.Daya yang diserap oleh beban berasal dari catu daya pada OPAMP, yang tidak tergambarkan dalam rangkaian ini. OP AMPmempunyai batas maksimum arus yang dapat ia berikan. Jikakita misalkan arus maksimum yang dapat diberikan oleh OPAMP dalam rangkaian di atas adalah 10 mA maka arus ini harusdibagi antara beban dan rangkaian umpan balik. Karena i = 0,maka arus yang melalui rangkaian umpan balik, i f , adalah :o 15i = vf = = 5 mA1+2 3Arus yang melalui beban maksimum menjadi i maks = 10 − 5 = 5mA. Agar tidak terjadi pembebanan berlebihan, resistansi bebanpaling sedikit adalah :voR B min = = 3 kΩ5Daya maksimum yang bisa diberikan ke beban menjadi:p B maks = voimaks= 15×5 = 45 mWCOTOH 5.11: Carilah hubungan keluaran-masukan daripenguat non inversi di bawah ini, dan cari pula resistansimasukannya.v si inA v PR 4R 5+−R 3v +−R 2+v oR 1Penyelesaian:Karena i P = 0, makavPR5= v A = vsR4+ R5Karena i = 0 makav R1 =R1+ R2vo105

vP= vR5R1voR5R1+ R2→ vs= vo→ = ×R4+ R5R1+ R2vsR4+ R5R1Rangkaian-rangakain dasar OP AMP yang lain seperti penguatinversi, penjumlah (adder), pengurang (penguat diferensial),integrator, diferensiator, akan kita pelajari setelah kita mempelajarimetoda-metoda analisis.Soal-Soal1. Sebuah pencatu daya dimodelkan sebagai sumber tegangan bebas60 V dan resistansi seri R i sebesar 0,5 Ω. Pada pembebanan 20A, berapakah daya yang diberikan sumber dan yang diserap R i ?Berapakah daya yang diterima oleh beban dan pada teganganberapakah daya diterima.2. Sebuah piranti pencatu daya dimodelkan sebagai sumber aruspraktis yang terdiri dari sumber arus bebas 2 A dengan resistorparalel R p = 100 Ω. Pada waktu dibebani, arus yang melalui R padalah 0,2 A. Pada tegangan berapakah sumber arus bekerja ?Berapakah daya yang diberikan oleh sumber arus ? Berapakahdaya yang diserap oleh R p ? Berapakah daya yang diterima beban? Berapa arus beban ?3. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCCS dengan aruskeluaran I o = 10I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti inidibebani resistor 300 Ω. Jika I f = 100 mA, berapakah daya yangdiserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerapdaya ?4. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCVS dengan tegangankeluaran V o = 100V f dimana V f adalah tegangan pengendali.Piranti ini dibebani resistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah dayayang diserap beban dan berapakah arus beban ?5. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCCS dengan aruskeluaran I o = 2V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Pirantiini dibebani resistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah daya yangdiserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerapdaya ?6. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCVS dengan tegangankeluaran V o = 100I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti ini106 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dibebani resistor 300 Ω. Jika I f = 2 A, berapakah daya yangdiserap beban dan berapakah arus beban ?7. Pada model sumber tak bebas di bawah ini, tunjukkanlah bahwakarakteristik i-v dari piranti yang dimodelkannya adalahkarakteristik transformator ideal.i 1i 2+v 1−+v 2 i 1−+v 2−8. Carilah tegangan v o rangkaian-rangkaian berikut.2kΩ +i s 1kΩa). i s = 0,1cos10t Ab).v o−4kΩ2kΩ −4V ++ v s + v− +o2V−−v s = 10s10t V9. Sebuah dioda mempunyai resistansi balik 200 kΩ dankarakteristik i-v linier I =0,005V, digunakan sebagai penyearahsetengah gelombang untuk mencatu resistor 10 kΩ. Tentukantegangan pada resistor jika tegangan masukan adalah v s =10cos300t V.10. Sebuah penyearah setengah gelombang digunakan untukmengisi batere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untukmengisikan muatan 40 Ah jika arus efektif (rms) pengisianadalah 10 A.11. Sebuah penyearah gelombang penuh digunakan untuk mengisibatere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikanmuatan 50 Ah jika arus efektif (rms) pengisian adalah 10A.107

12. Carilah hubungan antara tegangan v o dan v s .a).v s+−2kΩ+−1kΩ+v o−++2kΩ−v s−4kΩ +1kΩv o2kΩ −b).v s+−2kΩ1kΩ2kΩ+−4kΩ1kΩ2kΩ+v o−c).d).++ 2kΩ 2kΩ−2kΩv s1+−v1kΩ o+v− s2 −2kΩ108 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 6Hukum-Hukum DasarPekerjaan analisis pada suatu rangkaian linier yang parameternyadiketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuanbesaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input)diketahui, ataupun penentuan hubungan antara keluaran danmasukan. Agar kita mampu melakukan analisis kita perlumemahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalamsuatu rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teoremarangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akanmembahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm danhukum Kirchhoff.Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan• mampu menghitung resistansi konduktor jika parameternyadiketahui.• mampu mengaplikasikan Hukum Arus Kirchhoff (HAK)untuk menuliskan persamaan arus atau tegangan di suatusimpul.• mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff(HTK) untuk menuliskan persamaan tegangan atau arus disuatu mesh ataupun loop.• mampu mengaplikasikan HAK untuk simpul super maupunHTK untuk mesh super.6.1. Hukum OhmSalah satu hasil percobaan laboratorium yang dilakukan oleh GeorgeSimon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yangkemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendirimerupakan hasil analisis matematis dari rangkaian galvanik yangdidasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas.Formulasi Fourier untuk aliran panas adalahdQ dT = − kA(6.1)dt dldengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temperatur,sedangkan k adalah konduktivitas panas, A luas penampang, dan Ttemperatur.109

Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksipanas dan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradientemperatur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalirpada konduktor dapat dinyatakan denganA dvI =ρ dl(6.2)Jika konduktor mempunyai luas penampang A yang merata, makapersamaan arus itu menjadiA V Vρ lI = = dengan R =ρ l RA(6.3)V adalah beda tegangan pada konduktor sepanjang l dengan luaspenampang A, ρ adalah karakteristik material yang disebutresistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan(6.3) dapat ditulis juga sebagaiV = IR(6.4)dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadiv = iR(6.5)Hukum Ohm ini sangat sederhana namun kita harus tetap ingatbahwa ia hanya berlaku untuk material homogen ataupun elemenyang linier.COTOH-6.2: Seutas kawat terbuat dari tembaga denganresistivitas 0,018 Ω.mm 2 /m. Jika kawat ini mempunyaipenampang 10 mm 2 dan panjang 300 m, hitunglahresistansinya. Jika kawat ini dipakai untuk menyalurkan daya(searah), hitunglah tegangan jatuh pada saluran ini (yaitu bedategangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran) jika arusyang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan di ujung kirim adalah220 V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah dayayang “hilang” pada saluran ?Penyelesaian :Resistansi kawat adalah :ρl0,018×300R = == 0,054 ΩA 10Jika kawat ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluranbalik sehingga resistansi total adalah :110 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

R saluran= 2 × 0,054 = 0,108 ΩTegangan jatuh pada saluran adalah :∆Vsaluran = iRs= 20 × 0,108 = 2,16 VJika tegangan ujung kirim adalah 220 V, maka tegangan diujung terima adalahv terimaDaya hilang pada saluran adalah :Pemahaman := 220 − 2,16 = 217,84 Vpsaluran= i × ∆Vsaluran= 20×2,16 = 43,2 W2 2= i R = (20) × 0,108 = 43,2 WSesungguhnya resistansi kawat terdistribusi sepanjang kawat.Dalam analisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kitanyatakan sebagai suatu parametertergumpal (lumped parameter).Jadi resistansi kawat itudinyatakan sebagai satu elemenrangkaian, yaitu R, sehinggadiagram rangkaian menjadiseperti di samping ini.6.2. Hukum KirchhoffKita telah mempelajari piranti dan modelnya serta bagaimanahubungan antara arus dan tegangan pada piranti tersebut denganmemandangnya sebagai suatu komponen yang berdiri sendiri.Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang terhubungmembentuk suatu rangkaian. Hubungan arus dan tegangan padarangkaian menuruti suatu hukum yang menyatakan sifat-sifatrangkaian, hasil pemikiran ilmuwan Jerman Gustav Kirchhoff (1824- 1887), yang disebut hukum Kirchhoff.Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yangterkait dengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu :Terminal : ujung akhir piranti atau sambungan rangkaian.Rangkaian : beberapa piranti yang dihubungkan padaterminalnya.Simpul (ode): titik sambung antara dua atau lebih piranti.+−RsumberRbeban111

Catatan : Walaupun sebuah simpul diberipengertian sebagai sebuah titik tetapi kawat-kawatyang terhubung langsung ke titik simpul itumerupakan bagian dari simpul; jadi dalam hal inikita mengabaikan resistansi kawat.Simpai (Loop) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kitaberjalan mulai dari salah satu simpul mengikutisederetan piranti dengan melewati tiap simpultidak lebih dari satu kali dan berakhir pada simpultempat kita mulai perjalanan.Selain istilah-istilah tersebut di atas, dalam menggambarkanhubungan atau sambungan-sambungan kita akan menggunakan caracaraseperti terlihat pada Gb.6.3.a) b) c)Persilangantak terhubungPersilanganterhubungGb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian.6.2.1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK) - Kirchhoff's Current Law(KCL)Hukum Kirchhoff yang pertama ini menyatakan bahwa :Terminal dansambungan terminalSetiap saat, jumlah aljabar dari arus di satu simpul adalah nol.Di sini kita harus memperhatikan referensi arah arus. Bila arus yangmenuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkansimpul diberi tanda negatif (atau sebaliknya bila arus yangmeninggalkan bertanda positif, arus yang menuju simpul bertandanegatif). Perlu diingat bahwa arah arus di sini adalah arah referensidan bukan arah arus sebenarnya.Hukum Arus Kirchhoff merupakan pernyataan prinsip konservasimuatan. Jumlah elektron per detik yang datang dan yang pergiharuslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itujumlah arus di suatu simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadipenumpukan muatan di simpul tersebut yang menurut hukum112 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Coulomb akan terjadi “ledakan muatan”; tetapi hal demikian tidakpernah terjadi.6.2.2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) - Kirchhoff's VoltageLaw (KVL)Hukum Kirchhoff yang kedua ini menyatakan bahwa :Setiap saat, jumlah aljabar tegangan dalam satu loop adalahnol.Di sinipun kita harus memperhatikan tanda referensi tegangan dalammenuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positifjika kita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda negatif bila kitabergerak dari “−” ke “+”.i 2 + v 2 − i+ v 4 −4AB24+v 1−1i 1HAK untuk simpul :+ i 3i 5loop 1 v 3 3 loop 2−Cloop 3HTK untuk loop :A : − i1− i2= 01: − v1+ v2+ v3= 0B : + i2− i3− i4= 0 2 : − v3+ v4+ v5= 0C : + i1+ i3+ i4= 0 3 : − v1+ v2+ v4+ v5= 0Gb.6.4. HAK dan HTKHukum Tegangan Kirchhoff merupakan pernyataan kembali prinsipkonservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian pirantimungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban.Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan olehsumber dalam suatu selang waktu tertentu harus sama dengan energiyang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Mengingatkonvensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semuapiranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasilkali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol.5+v 5−113

v 1 i1+ v2i2+ v3i3+ v4i4+ v5i4= 0Karena i 1 = − i 2 dan i 2 = i 3 + i 4 maka persamaan di atas dapat kitatulisi3( − i − i ) + v ( i + i )v13atau( − v + v + v ) + i ( − v + v + v + v ) = 0142Karena nilai arus tidak nol maka haruslah114 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)23344 + v3i3+ v4i4+ v5i4= 0−v1 + v2+ v3= 0 dan − v1+ v2+ v4+ v5= 0Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaankedua adalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh −v 1+ v 2 = −v 3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akankita peroleh persamaan loop-2 yaitu:12−v3 + v4+ v5= 0Pengembangan HTK dan HAK. Loop-1 dan loop-2 pada Gb.6.4.merupakan loop-loop terkecil yang tidak melingkupi loop lain didalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda denganloop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa meshdisebut juga mesh super. Persamaan dari suatu mesh super adalahgabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaimanatelah ditunjukkan di atas.Kita perhatikan sekarang simpul A dan B pada Gb.6.4. HAK untukkedua simpul ini adalah:−i1 − i2= 0 dan + i2− i3− i4= 0Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh :−i1 − i3− i4= 0Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakangabungan dari dua simpul, yaitu simpul A dan B. Simpul gabungandari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lainuntuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaansimpul super BC ini adalah :+ i 2 − i4+ i5+ i1= 045

Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terbatas hanya duasimpul. Jika simpul A, B, dan C kita gabungkan akan menjadisimpul super ABC yang persamaannya adalah :Dengan demikian maka :−i 4 + i5= 0 .HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul superdanHTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh superCOTOH-6.3: Aplikasikan HTK pada empat macam rangkaian dibawah ini. Nyatakan pula persamaan yang diperoleh denganarus elemen sebagai peubah jika arus awal induktor dantegangan awal kapasitor adalah nol.a).+ v 1 −b).+ v 1 −+−v sR 1R2+v 2−+−v L+v sR 1L−c).+ v 1 −d).+ v 1 −+ v L −+−v sR 1C+v C−+−v sR 1LC+v C−Penyelesaian :Aplikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikana). − vs + v1+ v2= 0 → vs= i1R1+ i2R2b). − vs + v1+ vL= 0 →div v v i R L Ls = 1 + L = 1 1 +dtc). − vs+ v1+ vC= 0 →1vs= v1+ vC= i1R1+∫iCdtCd). − vs+ v1+ vL+ vC= 0di→ v = v + v + v = i R + L L 1s 1 L C 1 1 +∫iCdtdt C115

COTOH-6.4: Aplikasikan HAK untuk simpul A dari berbagaimacam bagian rangkaian di bawah ini. Nyatakan pulapersamaan yang diperoleh dengan tegangan elemen sebagaipeubah jika tegangan awal kapasitor dan arus awal induktoradalah nol.a).i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 − + v 2 −+ R 3v 3i 3−i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 − + v 2 −+v Li Lb).− Li 1R 1ACi Ci 1R 1ACi Cc).+ v 1 − + v C −+v 3−R 3i 3d).+ v 1 − + v C −+v Li L−LPenyelesaian :Aplikasi HAK untuk simpul A pada bagian-bagian rangkaiantersebut di atas memberikan:v1v2v3a). i 1 − i2− i3= 0 → − − = 0R R R1 2 3v 1b).0 1 vi21 − i2− iL= → − −∫vLdt= 0R1R2Lvc).0 1 dvCv3i1 − iC− i3= → − C − = 0R1dt R3v1d).0 1 dvi1 − i − i = → − C CC L−∫vLdt= 0R1dt LPemahaman :Pada contoh 6.2. dan 6.3. di atas terlihat bahwa persamaanrangkaian dapat berbentuk persamaan aljabar biasa, yaituapabila elemen-elemen rangkaian hanya terdiri dari resistorsaja, atau berbentuk persamaan diferensial orde satu atau116 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

persamaan integro-diferensial. Dua bentuk persamaan terakhirini terjadi jika rangkaian mengandung elemen dinamis.COTOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan disekitar simpul A dari suatu rangkaian. Tentukan i 2 dantegangan di simpul-simpul yang bukan simpul referensi.Ci L =2cos2t AL=4Hi 1 =3Ai 2ABDR 1 =2Ω R 2 =2Ω+i C v C =5sin2t VC=2F −EPenyelesaian :Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :i1+ iL+ i2− iC= 0 → i2= iC− iL− i1d(5sin 2t)→ i2= 2 − 2 cos 2t− 3 = 18 cos 2t− 3 AdtTegangan simpul-simpul non-referensi adalahvA= vC = 5sin 2tVvB = v A + i1R1= 5 sin 2t+ 6 Vd(2cos2t)vC= vA+ vL = 5sin2t+ 4 = −11sin2tdtv D = vA+ i2R2= 5sin2t+ 36cos2t− 6 VVCOTOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwaarus-arus i 1 = 5A, i 2 = 2 A, dan i 3 = 8 A. Tentukanlah arus i 1 , i 2 ,dan tegangan v.117

i 4Ai 5+−Penyelesaian :Jika kita gabungkan simpul A, B, dan C menjadi satu simpulsuper dan kita aplikasikan HAK, kita akan mendapatkanpersamaan untuk simpul super ABC :i 4 + i1− i3= 0 ⇒ i4= i3− i1= 8 − 5 = 3 AAplikasi HAK untuk simpul C memberikan:i 2 + i5− i3= 0 ⇒ i5= i3− i2= 8 − 2 = 6 ATegangan v dapat kita cari dengan mengaplikasikan HTK untukloop ABCA :−v+ 3i5 − 4i2= 0 → v = 3×6 − 4 × 2 = 10 V6.3. Basis Analisis Rangkaianv4ΩSesungguhnya dalam contoh-contoh 6.1. sampai 6.5. kita telahmelakukan analisis rangkaian. Analisis tersebut kita lakukan dengancara menerapkan langsung hukum Kirchhoff. Secara tidak sadar,disamping hukum Kirchhoff, kita telah pula memasukkan batasanbatasanelemen yang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupakarakteristik i-v dari elemen. Pada resistor R misalnya, harus berlakuv R = i R R ; untuk induktor harus berlaku v L = L di/dt dan untukkapasitor i C =C dv C / dt.Jadi di dalam suatu rangkaian, Hukum Kirchhoff harus dipenuhisementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itumempunyai karakteristik i-v masing-masing yang juga harusdipenuhi. Kita katakan bahwa Hukum Kirchhoff merupakanpersyaratan rangkaian sedangkan karakteristik i-v elemenmerupakan persyaratan elemen. Dalam suatu rangkaian, keduapersyaratan tersebut secara bersamaan harus dipenuhi dan hal inimenjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian.3ΩiB1 i C2i 3118 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaianyang kita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehinggarangkaian kita merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semuaelemen juga mempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktusehingga kita mempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsiwaktu atau invarian waktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akankita pelajari dalam buku ini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsiwaktu sedangkan karakteristik rangkaian tidak merupakan fungsiwaktu.Soal-Soal1. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber)pada rangkaian-rangkaian berikut.+5Ω30V − 10Ωa) b)1A5Ω10Ω5Ω 10Ω2cos10t Ac) d).+−5Ω10Ω20cos10t Ve)20cos10t V5Ω0.1F+−20cos10t Vf)5Ω2H119

2. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaianberikut ini.5Ω5Ω10Ω 10Ω1Aa) b)5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ωc) d)5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ω5Ω2H10Ω+10cos10t V−10Ωe)3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian ini.5Ω5Ω10Ω10Ω1A5Ω 2A2A 5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω10Ωa) b)1A5Ω 5Ω5A 5Ω −5Ω10V2A10Ω 10Ω 5Ω10Ω +c) d)10Ω5Ω10Ω 5A10Ω120 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 7Kaidah dan Teorema RangkaianKaidah rangkaian merupakan konsekuensi dari hukum-hukumrangkaian sedangkan teorema rangkaian merupakan pernyataan darisifat-sifat dasar rangkaian linier. Kedua hal tersebut akan kitapelajari dalam bab ini. Kaidah dan teorema rangkaian menjadi dasarpengembangan metoda-metoda analisis yang akan kita pelajari padabab selanjutnya.Kaidah-kaidah rangkaian yang akan kita pelajari meliputi hubunganhubunganseri dan paralel, rangkaian-rangkaian ekivalen, kaidahpembagi tegangan, pembagi arus.Teorema rangkaian yang akan kita pelajari meliputi prinsipproporsionalitas, prinsip superposisi, teorema Thévenin, teoremaNorton, teorema substitusi, teorema Millman, teorema alih dayamaksimum, teorema Tellegen.Dengan mempelajari kaidah-kaidah rangkaian dan teoremarangkaian kita akan• mampu mencari nilai ekivalen dari elemen-elemen yangterhubung seri, terhubung paralel, terhubung bintang(Y) dan terhubung segitiga (∆);• mampu menentukan tegangan tiap elemen pada elemenelemenyang terhubung seri;• mampu menentukan arus cabang pada cabang-cabangrangkaian yang terhubung paralel.• mampu menunjukkan bahwa rangkaian linier mengikutiprinsip proporsionalitas.• mampu mengaplikasikan prinsip superposisi.• memahami teorema Millman, teorema Thévenin dan teoremaNorton, dan mampu mencari rangkaian ekivalenThévenin ataupun Norton.• mampu menentukan nilai elemen beban agar terjadi alihdaya maksimum.121

7.1. Kaidah-Kaidah Rangkaian7.1.1. Hubungan Seri dan ParalelDua elemen dikatakan terhubung paralel jika mereka terhubungpada dua simpul yang sama. Dengan menerapkan HTK pada loopyang dibentuk oleh dua elemen itu akan terlihat bahwa teganganpada elemen-elemen itu harus sama.+ v 1 −+v 1-1+i 1 vi 22 2-i 11+v 2-2i 2Hubungan paralelv 1 = v 2Gb.7.1. Hubungan paralel dan seri.Dua elemen dikatakan terhubung seri jika mereka hanya mempunyaisatu simpul bersama dan tidak ada elemen lain yang terhubung padasimpul itu. Penerapan HAK akan memperlihatkan bahwa arus yangmengalir di kedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seritidak terbatas hanya dua elemen.7.1.2. Rangkaian Ekivalen (Rangkaian Pengganti)Analisis terhadap suatu rangkaian sering akan menjadi lebih mudahdilaksanakan jika sebagian dari rangkaian dapat diganti denganrangkaian lain yang ekivalen dan lebih sederhana. Basis untukterjadinya ekivalensi antara dua macam rangkaian adalah hubungani-v dari keduanya.Dua rangkaian disebut ekivalen jika antara duaterminal tertentu mereka mempunyai karakteristik i-vyang identik7.1.3. Resistansi EkivalenResistansi ekivalen dari beberapa resistor yang terhubung seriadalah resistor yang nilai resistansinya sama dengan jumlah nilairesistansi yang disambung seri tersebut.ResistansiSeri :Hubungan serii 1 = i 2R ekiv = R1+ R2+ R3+ ⋅⋅⋅ ⋅ (7.1)122 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Hal ini mudah dibuktikan jika diingat bahwa resistor-resistor yangdihubungkan seri dialiri oleh arus yang sama, sedangkan tegangan dimasing- masing resistor sama dengan arus kali resistansinya.Menurut HTK, tegangan total pada terminal dari rangkaian seritersebut sama dengan jumlah tegangan di masing-masing resistor.JadiVtotal= V=R1( R + R + ⋅⋅ ⋅⋅) i = R i.1+ V2R2+ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =R i + R i1ekivalen2+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅Penggantian (R 1 +R 2 + ….) dengan R ekiv , tidak mengubah hubunganantara arus dan tegangan di terminal ujung.Konduktansi ekivalen dari beberapa konduktansi yang disambungparalel sama dengan jumlah konduktansi masing-masing.KonduktansiParalel : G ekiv = G1+ G2+ G3+ ⋅⋅⋅⋅ (7.2)Hal ini juga mudah dibuktikan, mengingat bahwa masing-masingelemen yang dihubungkan paralel memperoleh tegangan yang sama.Sementara itu arus total sama dengan jumlah arus di masing-masingelemen yang terhubung paralel tersebut.( G + G + ⋅⋅) v G vitotal= iG1 + iG2+ ⋅⋅ = G1v+ G2v+ ⋅⋅ = 1 2 =7.1.4. Kapasitansi EkivalenPencarian nilai ekivalendari kapasitor maupuninduktor yang terhubungseri ataupun paralel dapatdilakukan denganmenggunakan cara yangsama seperti mencariresistansi ekivalen.Gb.7.2. memperlihatkanbeberapa kapasitor terhubung paralel.Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :dv dvi = i1+ i2+ ⋅⋅⋅⋅ + i= C1+ C2+ ⋅⋅⋅ + Cdt dtdv dv= ( C1+ C2+ ⋅ ⋅⋅ + C) = Cek.dt dtA+v_BiGb.7.2. Kapasitor paralel.dvdtekivalenC 1i 1C 2i 2C i 123

Jadi kapasitansi ekivalen dari kapasitor yang terhubung paraleladalahKapasitor Paralel : C ek = C1+ C2+ ⋅⋅⋅⋅ + C (7.3)Untuk kapasitor yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan:v = v1+ v2+ ⋅⋅ ⋅⋅ + vtt11= v10+ ∫idt+ v20+ ∫idtC1C020t1= vek0+∫idtCek0+ ⋅ ⋅⋅ +t1v0 + ∫idtC0Jadi untuk kapasitor yang dihubungkan seri maka kapasitansiekivalennya dapat dicari dengan hubungan :Kapasitor Seri:7.1.5. Induktansi Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅⋅⋅⋅ +Cek C1C2C(7.4)Induktansi ekivalen dari induktor yang dihubungkan seri ataupunparalel dapat dicari dengan cara yang sama, dan hasilnya adalahsebagai berikut.Indukttans i Seri: L ek = L1+ L2+ ⋅⋅⋅⋅ + L (7.5)InduktansiParalel :7.1.6. Sumber Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Lek L1L2L (7.6)Suatu sumber tegangan praktis dapat digantikan oleh sumber aruspraktis ekivalennya dan demikian juga sebaliknya. Secara umumkita katakan bahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seridengan resistor dapat diganti oleh sumber arus bebas diparalelkandengan resistor. Demikian pula sebaliknya, sumber arus bebas yangterhubung paralel dengan resistor dapat diganti oleh sumbertegangan bebas diserikan dengan resistor. Perhatikan model sumbertegangan dan sumber arus pada Gb.7.3.124 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

R 1i+ bagianv s+ + v R − v lain−− rangkaianSumber teganganii R +i s R2v−Sumber arusbagianlainrangkaianGb.7.3. Ekivalensi sumber tegangan dan sumber arusFormulasi hubungan arus dan tegangan masing-masing jenis sumberadalah:Sumber Tegangan:v = v s − v R = v s − iR1v s − v v s vi = = −R1R1R1Kedua model itu akan ekivalen apabila:vs− iR = i R1s2− iR2danvRs1−vR1Sumber Arus:= iv→ v 2 dan 1 2 danss = isRiR = iR= isR1v v⇒ = dan R1= R2R1R(7.7)2Jika persyaratan untuk terjadinya ekivalensi itu terpenuhi makabagian rangkaian yang lain tidak akan terpengaruh jika kitamenggantikan model sumber tegangan dengan model sumber arusekivalennya ataupun sebaliknya mengganti sumber arus dengansumber tegangan ekivalennya. Menggantikan satu model sumberdengan model sumber lainnya disebut transformasi sumber.7.1.7. Transformasi Y-∆v = iRR2 = ( is− i)R2vi = is− iR= is−R2Dalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidakdapat disebut sebagai hubungan seri, juga tidak paralel. Hubungansemacam ini mengandung bagian rangkaian dengan tiga terminalyang mungkin terhubung ∆ (segi tiga) atau terhubung Y (bintang)seperti terlihat pada Gb.7.4. Menggantikan hubungan ∆ dengans−vR2125

hubungan Y yang ekivalen, atau sebaliknya, dapat mengubahrangkaian menjadi hubungan seri atau paralel.CC∆ΥR AR 3R BR 2 R 1ABR CAGb.7.4 Hubungan ∆ dan hubungan Y.Kedua macam hubungan itu akan ekivalen jika dari tiap pasangterminal A-B, B-C, C-A, terlihat resistor ekivalen yang sama. Jadikedua rangkaian itu harus memenuhi( R + R )RCA BRAB== R1+ R2RA+ RB+ RCRA( RB+ RC)RBC== R2+ R3RA+ RB+ RCRB( RC+ RA)RCA== R3+ R1RA+ RB+ RC(7.8)Dari (7.8) ini kita peroleh relasi rangkaian ekivalen Y dari suaturangkaian ∆, dan rangkaian ekivalen ∆ dari suatu rangkaian Y,seperti berikut.BEkivalen Y dari ∆R1=RBRCR A + RB+ RCR2=RCR AR A + RB+ RCR3=R ARBR A + RB+ RCEkivalen ∆dari YR1R2 + R2R3+ R1RR3A =R1R1R2 + R2R3+ R1RR3B =R2R1R2 + R2R3+ R1RR3C =R3126 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Suatu rangkaian Y dan ∆ dikatakan seimbang jika R 1 = R 2 = R 3 =R Y dan R A = R B = R C = R ∆ . Dalam keadaan seimbang seperti ini,transformasi Y - ∆ menjadi sederhana, yaitu:7.1.8. Kaidah Pembagi TeganganKaidah ini memberikandistribusi tegangan padaelemen yang dihubungkan seridalam rangkaian.Dengan mengaplikasikanHTK pada loop rangkaianGb.7.5, kita mendapatkan :( R + R + R )vs= v1+ v2+ v3= 1 2vsvs→ i ==R1+ R2+ R3RtotalTegangan pada masing-masing elemen adalah :⎛ R ⎞v R i ⎜ 11 = 1 = ⎟vsR;⎝ total ⎠Secara umum dapat kita tuliskan:Pembagi Tegangan :3⎛ R ⎞v ⎜ 22 = ⎟vsR;⎝ total ⎠v⎛R⎞i⎛ R ⎞v ⎜ 33 = ⎟vsR⎝ total ⎠(7.9)kk = ⎜ ⎟vtotalR(7.10)totalJadi tegangan total didistribusikan pada semua elemen sebandingdengan resistansi masing-masing dibagi dengan resistansi ekivalen.7.1.9. Kaidah Pembagi ArusDalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengankonduktansi di masing-masing cabang. Kita ambil contoh rangkaianseperti pada Gb.7.6.Hubungan antara arus i s dan tegangan v dapat dicari sbb.+v s−+−⎝i⎠R 1+ v 1 −R 2R 3 −− v 3 +Gb.7.5. Pembagian tegangan+v 2127

is= i1+ i2+ i3= vG1+ vG2+ vG3→ v = is/( G1+ G2+ G3 ) = is/ Gtotali 1 i 2 i 3i sG 1 G 2 G 3Dari v yang diperoleh dapat dihitung arus di masing-masing resistor.⎛ GGGi vG 1 ⎞ ⎛is; i 2 ⎞ ⎛ 31 12 is; i3isGtotalGtotalG ⎟ ⎞= =⎜⎟ =⎜⎟ =⎜(7.11)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ total ⎠Secara umum :Pembagi7.2. Teorema RangkaianGb.7.6. Pembagian arus.Arus :i k⎛ G k ⎞⎜ ⎟itotalG⎝ total ⎠= (7.12)Teorema-teorema rangkaian berbasis pada sifat linier dari rangkaian.Dalam membahas teorema-teorema ini kita akan melihat padarangkaian dengan elemen resistor saja agar pemahamannya menjadilebih mudah. Selain prinsip proporsionalitas, prinsip superposisi,teorema Thévenin, teorema Norton, dan teorema alih dayamaksimum, akan dibahas juga secara singkat teorema Millman,teorema substitusi dan teorema Tellegen; tiga teorema terakhir inidapat dilewati untuk sementara tanpa memberikan kesulitan padapemabahasan pada bab-bab selanjutnya.7.2.1. Proporsionalitas (Kesebandingan Lurus)Dalam rangkaian linier, sinyal keluaran merupakan fungsi linier darisinyal masukan. Sebagai fungsi linier, keluaran tersebut memilikisifat homogen dan aditif. Sifat homogen itu muncul dalam bentukkesebandingan antara keluaran (output) dan masukan (input), yangberarti bahwa keluaran dari rangkaian linier berbanding lurusdengan masukannya. Sifat homogen ini kita sebut proporsionalitas .Sementara itu sifat aditif terlihat apabila kita mempunyai rangkaianyang mengandung lebih dari satu masukan. Keluaran dari rangkaianlinier semacam ini merupakan jumlah dari semua keluaran yang128 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

diperoleh jika seandainya masing-masing masukan bekerja secaraterpisah. Sifat aditif ini kita sebut superposisi.Karakteristik i-v dari resistor linier, v = R i, adalah contoh darisuatu hubungan linier. Kalau arus meningkat 2 kali maka teganganjuga meningkat 2 kali. Sementara itu daya, p = i 2 R, bukanlahhubungan linier. Jadi dalam rangkaian linier hanya tegangan danarus saja yang memiliki hubungan linier.Hubungan antara masukan dan keluaran secara umum dapat ditulis :y = K x (7.13)dengan x adalah masukan (bisa tegangan, bisa juga arus), y adalahkeluaran, dan K adalah konstanta proporsionalitas. Hubungan inidapat digambarkan dengan diagram blok seperti Gb.7.7.masukan keluaranGb.7.7. Hubungan masukan – keluaran rangkaian linier.7.2.2. Prinsip SuperposisixKy=K xPrinsip superposisi memberikan hubungan antara keluaran denganbeberapa masukan di dalam suatu rangkaian yang dapat dituliskansebagaiy = y1 + y2+ y3⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = K1x1+ K2x2+ K3x3+ ⋅⋅⋅ (7.14)dengan y i = K i x i , dan y i adalah keluaran yang diperoleh jika masingmasingmasukan, x i , bekerja sendiri-sendiri. K i adalah konstantayang besarnya tergantung dari rangkaian. Secara singkat dapatdikatakan bahwa keluaran dari rangkaian resistor linier merupakankombinasi linier dari masukan. Dengan kata lain, keluaranrangkaian adalah jumlah dari kontribusi masing-masing sumber.Kontribusi suatu sumber pada keluaran rangkaian dapat dicaridengan mematikan sumber-sumber yang lain.a. Mematikan sumber tegangan berarti membuattegangan sumber itu menjadi nol, artinya sumber inimenjadi hubungan singkat.b. Mematikan sumber arus adalah membuat arus sumbermenjadi nol, artinya sumber ini menjadi hubunganterbuka.129

7.2.3. Teorema MillmanTeorema Millman menyatakan bahwa apabila beberapa sumbertegangan v k yang masing-masing memiliki resistansi seri R kdihubungkan paralel maka hubungan paralel tersebut dapatdigantikan dengan satu sumber tegangan ekivalen v ekiv denganresistansi seri ekivalen R ekiv sedemikian sehinggav ekiv = v k1∑ dan= ∑1R ekiv R kR ekiv R k(7.14)7.2.4. Teorema Thévenin dan Teorema ortonKedua teorema ini dikembangkan secara terpisah akan tetapi kitaakan membahasnya secara bersamaan. Secara umum, rangkaianlistrik terdiri dari dua bagian rangkaian yang menjalankan fungsiberbeda, yang dihubungkan oleh terminal interkoneksi. Untukhubungan dua terminal seperti terlihat pada Gb.7.8, satu bagiandisebut seksi sumber dan bagian yang lain disebut seksi beban.Pengertian seksi sumber di siniiadalah bagian rangkaian yangSB mengandung sumber dan bukanhanya sebuah sumber saja.Gb.7.8. Seksi sumber [S]dan seksi beban [B].Sinyal listrik dikirimkan dari seksisumber dan diberikan kepada seksibeban. Interaksi antara seksisumber dan seksi beban, merupakan salah satu masalah utama yangdibahas dalam analisis dan rancangan rangkaian listrik. Rangkaianseksi sumber dapat digantikan dengan rangkaian ekivalen Théveninatau rangkaian ekivalen Norton. Kondisi yang diperlukan agarrangkaian ekivalen ini ada, dikatakan secara formal sebagai suatuteorema:Theorema Thévenin menyatakanan bahwa jika rangkaian seksisumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, makasinyal pada terminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekivalenThévenin.130 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Gb.7.9. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Thévenin; seksisumber digantikan oleh satu sumber tegangan V T yang terhubungseri dengan resistor R T .i++R TV T _v−Bsumber bebanGb.7.9. Rangkaian ekivalen ThéveninTheorema orton menyatakan bahwa jika rangkaian seksisumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, makasinyal pada terminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekivalenorton.Gb.7.10. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Norton; seksisumber digantikan oleh satu sumber arus I yang terhubungparalel dengan resistor R .iI R+v−BsumberbebanGb.7.10. Rangkaian ekivalen ortonBagaimana mencari tegangan ekivalen Thevenin dan arus ekivalenNorton, dijelaskan pada Gb.7.11.131

Si = 0+v ht_i = 0++ R TV T _ v ht = V T_i =i hsSIR i hs = I Gb.7.11. Mencari V T dan I V T adalah tegangan pada terminal interkoneksiapabila beban dilepas; sedangkan I adalah arushubung singkat yang mengalir apabila beban digantidengan suatu hubung singkat.Perhatikan bahwa persyaratan agar kita dapat mencari rangkaianekivalen Thévenin atau Norton adalah bahwa rangkaian seksisumber harus linier. Persyaratan ini tidak diperlukan untukrangkaian bebannya, jadi rangkaian beban boleh linier boleh pulatidak linier (non-linear).Karena kedua rangkaian ekivalen itu dapat menggantikan satumacam seksi sumber maka kedua rangkaian ekivalen itu harusmempunyai karakteristik i-v yang sama. Hal ini berarti bahwadalam keadaan terbuka, V T = I R ; dan dalam keadaan hubungsingkat I = V T / R T . Kedua hal ini mengharuskan V T = I R = I R T yang berarti R harus sama dengan R T . Jadi parameter rangkaianekivalen Thévenin maupun Norton dapat diperoleh dengan mencaritegangan hubungan-terbuka (v ht ) dan arus hubung-singkat ( i hs ) diterminal seksi sumber.JadiV T = v ht ; I = i hs ; R T = R = v ht / i hs (7.16)Cara Lain Mencari Resistor Ekivalen Thévenin (R T ). Resistansiekivalen Thévenin R T dapat diperoleh dengan cara lain yaitu denganmencari resistansi ekivalen yang dilihat dari terminal ke arah seksisumber dengan seluruh sumber dimatikan. Jika resistansi tersebutadalah R ek maka R T = R ek (Gb.7.12.).132 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

SemuasumberdimatikanAR ekBR TV T = 0AR T = R ekBGb.7.12. Cara lain mencari R TDengan singkat dapat dikatakan bahwa untuk menentukanrangkaian ekivalen Thévenin ataupun rangkaian ekivalen Norton,dua dari tiga paremeter di bawah ini dapat digunakan.- Tegangan hubungan terbuka pada terminal- Arus hubung singkat pada terminal- Resistor ekivalen sumber dilihat dari terminal dengansemua sumber dimatikan.Ketiga parameter tersebut dihitung dengan seksi beban tidakterhubung pada seksi sumber. Jadi rangkaian ekivalen Thévenin danrangkaian ekivalen Norton merupakan karakteristik seksi sumberdan tidak tergantung dari beban. Perhatikanlah bahwa rangkaianekivalen Thévenin menjadi suatu model sumber praktis.7.2.5. Alih Daya MaksimumSalah satu persoalan penting dalam rangkaian yang terdiri dari seksisumber dan seksi beban adalah pengendalian tingkat sinyal diterminal interkoneksinya. Persoalan yang akan kita lihat disiniadalah mengenai tingkat sinyal maksimum yang dapat dialihkanmelalui terminal interkoneksi. Hubungan antara seksi sumber danseksi beban dapat kita bagi dalam empat macam keadaan, yaitu :- Sumber tetap, beban bervariasi.- Sumber bervariasi, beban tetap.- Sumber bervariasi, beban bervariasi.- Sumber tetap, beban tetap.Kita akan membatasi diri pada hubungan antara suatu sumber tetapdengan beban yang bervariasi. Seksi sumber merupakan rangkaianlinier dan dinyatakan dengan rangkaian ekivalen Thévenin danbeban dinyatakan dengan resistor ekivalen R L , seperti terlihat padaGb.7.13.133

AR ++ TV T_viR LBsumberbebanGb.7.13. Alih sinyal dari seksi sumber ke bebanKaidah pembagi tegangan, memberikan tegangan di A-B sebagaiRLv = VTRL+ RTJika V T tidak berubah, tegangan v akan maksimum bila R L bernilaisangat besar dibanding dengan R T . Keadaan idealnya adalah R Lbernilai tak terhingga, yang berarti rangkaian terbuka. Dalamkeadaan ini tegangan maksimum adalah v max = V T = v ht . Jaditegangan maksimum yang bisa diperoleh di terminal interkoneksiadalah tegangan hubungan terbuka v ht . .Arus yang mengalir ke beban adalahi = VT/( RL+ RT)Dari hubungan ini jelas bahwa arus akan maksimum bila R L jauhlebih kecil dibanding dengan R T atau mendekati nol (hubungsingkat). Jadi arus maksimum yang bisa diperoleh di terminal ABadalah arus hubung singkati maks = VT/ RT= I = ihsDaya yang diberikan oleh sumber ke beban adalahp = vi =2RLVT( R + R ) 2Dalam persamaan daya ini terlihat bahwa kondisi untukmenghasilkan tegangan maksimum (R L = ∞) maupun arusmaksimum (R L = 0) menyebabkan daya menjadi nol. Ini berartibahwa nilai R L yang dapat menghasilkan alih daya maksimum harusterletak di antara kedua nilai ektrem tersebut. Untuk mencarinya kitaturunkan p terhadap R L dan membuatnya bernilai 0.LT134 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dpdR[ ]22( R L + RT) − R L ( R L + RT) VTRT− R L=4( R + R ) ( R + R )2 2= V = 03 TLL TL TTurunan itu akan menjadi nol bila R L = R T . Jadi alih daya akanmaksimum jika resistansi beban sama dengan resistansi Thévenin.Jika keadaan seperti ini dicapai, dikatakan bahwa sumber dan bebanmencapai kesesuaian atau dalam keadaan “matched”.Besar daya maksimum yang dialihkan diperoleh denganmemasukkan kondisi R L = R T ke persamaan untuk daya p :2Vp Tmaks = (7.17)4RTKarena V T =I R T maka :2I Rp Tmaks = (7.18)4atauV ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= T I v= ht ip hsmaks4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥(7.19)⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦Dengan demikian makaRangkaian sumber ekivalen dengan resistansi Thévenin R Takan memberikan daya maksimum kepada resistansibeban R L bila R L = R T .7.2.6. Teorema SubstitusiTeorema substitusi menyatakan bahwa suatu cabang rangkaianantara dua simpul dapat disubstitusi oleh cabang baru tanpamengganggu arus dan tegangan di cabang-cabang yang lain asalkantegangan dan arus antara kedua simpul tersebut tidak berubah.+ v k −R ki k≡+ v k −+ −subk − R subGb.7.14. Substitusi cabang rangkaian.R subv =v × iSecara umum dapat kita katakan bahwa jika suatu cabang padarangkaian berisi resistansi R k yang bertegangan v k dan dialiri arus i kmaka resistansi pada cabang ini dapat kita substitusi dengani kk135

R sub + v subdi mana v sub = vk− Rsub× iksedangkan R sub dapat bernilai sembarang.Mengubah isi suatu cabang dengan tetap mempertahankan nilai arusdan tegangannya tidak akan mengubah relasi hukum Kirchhoff.Oleh karena itulah teorema ini berlaku. Teorema ini dapat kitamanfaatkan untuk menggantikan resistansi yang berada di suatucabang dengan suatu sumber tegangan atau sebaliknya.7.2.7. Teorema TellegenBerikut ini kita akan membahas perimbangan daya dari keseluruhanrangkaian, yang terdiri dari banyak elemen. Untuk menghitung dayadi masing-masing elemen kita memerlukan parameter teganganelemen v k dan arus elemen i k . Sesuai dengan konvensi pasif, hasilkali v k × i k bernilai positif jika elemen yang bersangkutan menyerapdaya dan bernilai negatif jika memberikan daya.Teorema Tellegen menyatakan bahwa jika v k mengikuti hukumtegangan Kirchhoff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff(HAK), makaN∑v k × ik= 0(7.20)k = 1Penjumlahan tersebut meliputi seluruh elemen ( = jumlah elemen).Teorema ini hanya memerlukan persyaratan bahwa HTK dan HAKdipenuhi, tanpa mempedulikan karakteristik i-v dari elemen. Dengandemikian maka teorema ini berlaku baik untuk rangkaian liniermaupun non-linier.Teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasifdengan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai denganprinsip konservasi energi. Lebih dari sekedar memenuhi prinsipkonservasi energi, kita dapat menarik kesimpulan bahwa satusatunyacara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke suatubagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya.Tegangan di suatu bagian rangkaian atau piranti tidak akan memberidaya pada bagian atau piranti tersebut jika tidak ada arus yangmengalir. Demikian pula halnya jika ada arus melalui suatu bagianrangkaian tetapi tidak ada tegangan pada bagian rangkaian tersebutmaka tidak ada daya diserap oleh bagian tersebut.136 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

R, L, dan C Ekivalen.Soal-Soal1. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B, A-C, A-D, B-C,B-D, dan C-D.A20Ω 15ΩDAC 20Ω 40Ω80ΩB60Ω60Ω30Ω 10ΩBDa) b)C2. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B dari rangkaianrangkaiandi bawah ini.AA80Ω 60Ω 60Ω60ΩBBa) b)20mH40mH20mH20mHABc)20µF10µF20µF20µFSumber Ekivalen:3. Dari rangkaian sumber arus berikut ini carilah rangkaianekivalen sumber tegangannya di terminal A-B.b)a)30Ω2A2A10ΩAB30ΩAB137

c)d)40Ω1A20Ω30Ω4. Dari rangkaian sumber tegangan di bawah ini carilah rangkaianekivalen sumber arusnya di terminal A-B.A+ 10Ω+ 20Ω 30Ω− 50V− 100VBa) b)40Ω 20ΩA+100V 80V−+ − Bc)Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus.5. Carilah arus dan tegangan di masing-masing resistor padarangkaian di samping ini dan hitung daya yang diberikansumber.2A2AA30ΩBA30ΩBAB10Ω20Ω5A 30Ωa) b)5A20Ω30Ωc)3A10Ω20Ω30Ω138 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

139d) e)f)g)h) i)j)k)l)24V12Ω30Ω+−1H4A10Ω30Ω1µF4A10Ω30Ω1µF2A30Ω20Ω1µF24V24Ω30Ω20Ω+−24Ω24V10Ω30Ω40Ω+−24V12Ω30Ω20Ω+−24V10Ω30Ω+−4A20Ω60Ω30Ω20Ω30Ω

m)24V+−1H40Ω 40ΩProporsionalitas6. Carilah hubungan antara keluaran v o dan masukan i in rangkaian disamping ini, dan gambarkan diagram blok rangkaian.a)i in = 3A10Ω20Ω 30Ω+v o−Superposisib)v in = 24V7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian di samping ini.+−10Ω30Ω 40Ω+v o−a)16V +−40Ω32V+−20Ω40Ω40Ω+v o−10V+−40Ω40Ω+−20Ω40Ω30V+v o−b)140 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c)64V+−40Ω40Ω20Ω2A40Ω+v o−d)2A40Ω20Ω20Ω2A40Ω+v o−Rangkaian Ekivalen Thévenin & orton8. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton di terminal A-Bdari rangkaian di bawah ini.A2A20Ω 30Ωa)Bb)30Ω20Ω2AABd)1Ac)+−10V30Ω40Ω30Ω2AABA30ΩBe)60V+−A20Ω40Ω30ΩB30Ω141

f)30V +−20Ω2.5AAlih Daya Maksimum9. Pada rangkaian di bawah ini tentukanlah nilai resistansi beban R Lsehingga terjadi alih daya maksimum pada beban dan carilahbesarnya daya maksimum tersebut.2 kΩA16Ω30Ω 32ΩBa)+−10V1 kΩ5 mA2 kΩR Lsumberantar muka+−10ΩV T10Ω10Ω10ΩR Lb)142 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 8Metoda Analisis DasarMetoda analisis dikembangkan berdasarkan teorema rangkaianbeserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajaridua kelompok metoda analisis yaitu metoda analisis dasar danmetoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakanpada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaianyang lebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematisyaitu metoda analisis umum. Kita mempelajari metoda analisis agarkita dapat melakukan analisis rangkaian sederhana secara manual.Kemampuan melakukan analisis secara manual ini sangatdiperlukan untuk memahami sifat dan perilaku rangkaian. Di bab inikita akan mempelajari metoda analisis dasar sedangkan metodaanalisis umum akan kita pelajari di bab berikutnya.Dengan mempelajari metoda analisis dasar kita akan• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda reduksi rangkaian;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda keluaran satu satuan;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda superposisi;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda rangkaian ekivalen Thévenin atau rangkaian ekivalenNorton.Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaianadalah mencari hubungan antara besaran keluaran dan besaranmasukan pada suatu rangkaian jika parameter sumua elemen yangmenyusun rangkaian tersebut diketahui; atau mencari keluaranrangkaian jika masukannya diketahui.Teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaianyang telah kita pelajari, menjadi dasar dari metoda-metoda analisisrangkaian yang kita sebut sebagai metoda analisis dasar. Dalammenggunakan metoda ini kita melakukan perhitungan-perhitungandengan mengamati bentuk rangkaian yang kita hadapi. Metoda initerutama digunakan pada rangkaian-rangkaian yang sederhana.Metoda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup:metoda reduksi rangkaian143

metoda keluaran satu satuanmetoda superposisimetoda rangkaian Thévenin dan rangkaian Norton.Masing-masing metoda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususanmasing-masing metoda itulah yang mendorong kita untukmempelajari semua metoda dan tidak terpaku pada salah satumetoda saja. Pemilihan metoda analisis ditentukan oleh apa yangingin kita capai dalam melakukan analisis.Dalam metoda analisis dasar, kita melakukan perhitunganperhitunganlangsung pada model rangkaian. Melalui latihan yangcukup, kita akan mampu menentukan metoda dan urutan kerja yangsingkat serta dapat memahami perilaku rangkaian listrik denganbaik. Metoda ini sangat praktis selama rangkaian yang kita hadapicukup sederhana. Contoh-contoh yang akan kita lihat untukmemahami metoda-metoda analisis ini mencakup rangkaian pasif(dengan elemen R) dan rangkaian aktif (dengan sumber bebas dansumber tak-bebas).8.1. Metoda Reduksi RangkaianStrategi metoda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikianrupa sehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; denganrangkaian yang lebih sederhana ini besaran yang dicari dapatdihitung dengan lebih mudah. Untuk menyederhanakan rangkaian,kita dapat menggunakan konsep ekivalensi seri-paralel, transformasiY-∆, dan transformasi sumber. Yang kita perlukan adalah kejeliandalam melihat struktur rangkaian untuk melakukan penyederhanaanrangkaian. Bagaimana metoda ini diaplikasikan, kita akan melihatpada contoh-8.1 berikut ini.COTOH-8.1:Carilah tegangan v x pada rangkaian di bawah ini.+ v x −A 30Ω B C 20Ω D12 V+−30Ω10ΩE30Ω10Ω144 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian:Rangkaian ini mengandung beberapa bagian yang berupahubungan seri dan hubungan paralel elemen-elemen. Bagianbagiantersebutdapat kita gantidengan rangkaianekivalennya,denganmemanfaatkankaidah-kaidahrangkaian yangtelah kita pelajari.Proses ini dapatkita amati padagambar berikut.Langkah-langkahyang kita tempuhadalah sebagaiberikut:Sumber teganganyang tersambungseri dengan resistor30 Ω dapat digantidengansebuah sumber arusyang diparaleldengan resistor,sedang sambunganseri resistor 10 &20 Ω di cabangCDE dapat digantidengan sebuah12 V0,4 A6 V⇒+ v30Ωx − 20ΩA B C D+−0,4 Av x+−⎛= ⎜30Ω15Ω10Ω30Ω10ΩBE⎞⎟ × 6 = 1,5⎝15+ 10 + 15 ⎠resistor. Penggantian ini menghasilkan rangkaian dengan duapasang resistor paralel 30 Ω , yang masing-masing dapat digantidengan satu resistor 15 Ω. Dengan langkah ini sumber arusterparalel dengan resistor 15 Ω, yang kemudian dapat digantidengan sebuah sumber tegangan yang disambung seri dengansebuah resistor 15 Ω; bagian lain berupa dua resistor 10 dan15Ω yang tersambung seri.1030ΩB15ΩE30ΩCE10Ω+ v x −B10Ω30ΩCCE10Ω30Ω15Ω15ΩV145

Rangkaian kita menjadi sebuah sumber tegangan dengansambungan seri tiga buah resistor, dan tegangan yang kita caridapat kita peroleh dengan memanfaatkan kaidah pembagitegangan; hasilnya v x = 1,5 V.Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metoda ini kita harusdengan seksama memperhatikan bagian-bagian yang dapatdisederhanakan. Pada dasarnya kita melakukan ekivalensibagian-bagian yang berada di antara dua simpul. Bagian yangtelah digantikan oleh rangkaian ekivalennya, masih dapatdigabungkan dengan bagian lain yang juga telah digantikanoleh rangkaian ekivalennya.8.2. Metoda Keluaran Satu Satuan (Unit Output Method)Metoda “unit output” adalah suatu teknik analisis yang berbasispada proporsionalitas dari rangkaian linier. Metoda ini padadasarnya adalah mencari konstanta K yang menentukan hubunganantara masukan dan keluaran, dengan mengganggap bahwakeluarannya adalah satu unit. Atas dasar itu ditentukan berapabesarnya masukan yang diperlukan untuk menghasilkan satu unitkeluaran tersebut. Teknik ini dapat diaplikasikan pada rangkaianberbentuk tangga. Langkah-langkahnya adalah sbb:1. Misalkan keluarannya adalah satu unit (tegangan ataupunarus)2. Secara berurutan gunakan HAK, HTK, dan hukum Ohmuntuk mencari masukan.3. Sifat proporsional dari rangkaian linier mengharuskan(keluaran) 1K = =(masukan) (masukan untuk satu unit keluaran)(8.1)4. Keluaran untuk sembarang masukan adalah K × masukan.COTOH-8.2:Carilahtegangankeluaran v odari rangkaiandi samping ini.36 V +−i 1 i 3 i 5A B10Ω 20Ω 30Ωi 2i 420Ω 20Ω 10Ω+v o−146 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian:Kita misalkan tegangan v o = 1 V. Kemudian secara berturut turutkita hitung i 5 , v C ,i 4 , i 3 , v B , i 2 , i 1 , dan akhirnya v s yaitu tegangan sumber jikakeluarannya 1 V. Dari sini kemudian kita hitung faktorproporsionalitas K, dan dengan nilai K yang diperoleh ini kitahitung v o yang besarnya adalah K kali tegangan sumbersebenarnya (yaitu 36 V).vMisalkan v = 1 V → i5= oo= 0,1 A10v = 0,1 30 + 10 = 4 VB( )vB→ i4= =20420v= 0,2 A → i3= i4+ i5= 0,3 AAvA= vB+ i3× 20 = 10 V → i2= = 0,5 A → i1= i2+ i3= 0,8 A20vs= v A + i1× 20 = 10 + 0,8 × 10 = 18 V1 1K = = → vo(seharusnya)= K × 36 = 2 Vvs188.3. Metoda SuperposisiPrinsip superposisi dapat kita manfaatkan untuk melakukan analisisrangkaian yang mengandung lebih dari satu sumber. Langkahlangkahyang harus diambil adalah sebagai berikut:1. Matikan semua sumber (masukan) kecuali salah satu diantaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkanoleh satu sumber ini.2. Ulangi langkah 1, sampai semua sumber mendapat giliran.3. Keluaran yang dicari adalah kombinasi linier (jumlah aljabar)dari kontribusi masing-masing sumber.COTOH-8.3:Rangkaian disamping inimengandung duasumber. Carilahtegangan keluaranV o .30V+_20Ω1,5A10Ω+V o−147

Penyelesaian :Matikan sumber arus. Rangkaian menjadi seperti gambar disamping ini.10Vo 1 = × 30 = 10 V10 + 2030V+−20Ω10Ω+V o1−Matikan sumber tegangan.Rangkaian menjadi sepertigambar di samping ini.20Ω1,5A10Ω+V o2−⎛ 20 ⎞V o 2 = ⎜ × 1.5⎟ × 10 = 10 V⎝ 20 + 10 ⎠Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersamasamaadalahV o = Vo1+ Vo2= 20 V8.4. Metoda Rangkaian Ekivalen ThéveninBerikut ini akan kita lihat aplikasi teorema Thévenin dalam analisisrangkaian.COTOH-8.4:Gunakanlah metodarangkaian ekivalenThevenin untukmenghitung tegangankeluaran v 0 padarangkaian di sampingini.30 V+_i1i3i 2A′20Ω 10Ω20Ω10ΩPenyelesaian :Untuk mencari tegangan sumber Thévenin V T di terminal AB,kita lepaskan beban di AB, sehingga AB terbuka, i 3 =0, dan20V T = v AB ht = vA' B = × 30 = 15 V20 + 20Resistansi Thévenin R T adalah resistansi yang dilihat dariterminal AB ke arah sumber dengan sumber dimatikan (dalamhal ini hubung singkat). Maka R T berupa resistor 10 Ω yangAB+v 0−148 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

terhubung seri dengan dua resistor 20 Ω yang tersambungparalel. JadiA20 × 20R = 10 + = 20 Ω+T20 + 20+ 20Ω v 0Rangkaian ekivalen Thévenin _−10Ωadalah seperti gambar di 15 Vsamping ini dan kita perolehB10v o = × 15 5 V10 + 20=COTOH-8.5:Gunakan Arangkaian+ekivalen20Ω_Thévenin untuk 30 Vmenghitungtegangan v xpada rangkaian di samping ini.Penyelesaian :Rangkaian ini telah kita analisis dengan menggunakan metodareduksi rangkaian. Kita akan mencoba melakukan analisisdengan metoda rangkaian ekivalen Thévenin.Jika resistor 10 Ω (yang harus kita cari tegangannya) kitalepaskan, maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang CE,CD, dan DE sehingga tegangan simpul C sama dengan D samapula dengan E yaitu nol. Tegangan simpul B dapat kita caridengan kaidah pembagi teganganTegangan Thévenin:V T = vB− vC= 15 − 0 = 15 V .20v B = × 30 = 15 V .20 + 20Resistansi Thévenin adalahresistansi yang dilihat dari terminalBC setelah resistor 10 Ω dilepas.R T= (20 || 20) +B20Ω+ v x−10Ω15 V+_10Ω10Ω20Ω{ 20 || (10 + 10) } = 10 + 10 = 20 ΩCE20Ω10ΩADB+v x−149

Rangkaian ekivalen Thévenin dengan bebannya menjadi sepertigambar di samping dan tegangan v x mudah dihitung, yaitu :v x10= × 15 = 5 V10 + 208.4.1. Beban on LinierParameter rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton (V T , R T , dan I )dihitung dengan beban dilepas. Ini berarti bahwa rangkaian ekivalentersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi olehbeban. Oleh karena itu kita dapat memanfaatkan rangkaian ekivalenThévenin dan Norton untuk menentukan tegangan, arus, maupundaya pada beban non linier dua terminal. Ini merupakan salah satuhal penting yang dapat kita peroleh dari rangkaian ekivalenThévenin dan Norton.Bagaimana interaksi antara sumber (yang dinyatakan denganrangkaian ekivalen Thénenin-nya) dengan beban yang non-linier,akan kita lihat berikut ini. Kita lihat lebih dahulu karakteristik i-vdari suatu rangkaian ekivalen Thévenin. Perhatikan hubunganrangkaian ekivalen Thévenin dengan bebannya. Bagaimanapunkeadaan beban, linier atau non-linier, hubungan antara tegangan diterminal beban, yaitu v, dengan tegangan V T dapat dinyatakansebagai⎛ VV iR v i T ⎞ ⎛ 1 ⎞− T + T + = 0 → =⎜ − vR⎟⎜T R⎟ (8.2)⎝ ⎠ ⎝ T ⎠Persamaan (8.2) ini memberikan hubungan antara arus i dantegangan v dari rangkaian ekivalenThévenin dan merupakan karakteristik ii-v dari rangkaian sumber. Jika kita i = V T /R Tgambarkan kurva i terhadap v makaakan terlihat bahwa persamaan iniv = V Tmerupakan persamaan garis lurus dibidang i-v seperti tampak pada Gb.8.1.di samping ini. Perhatikan bahwa garisvGb.8.1. Garis bebanlurus ini ditentukan oleh dua titik yaitu:VTi = = ihsdan v = VT= vhtRTGaris lurus itu disebut garis beban (load line) (sebenarnya iaditentukan oleh parameter-parameter rangkaian sumber dan bukanoleh parameter beban akan tetapi sudah sejak lama nama “load line”150 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

itu disandangnya). Sementara itu beban mempunyai karakteristik i-v-nya sendiri, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai: i =f(v).Dengan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaanuntuk arus rangkaian sumber yaitu⎛ Vi T ⎞ ⎛ 1 ⎞=⎜vR⎟ −⎜T R⎟⎝ ⎠ ⎝ T ⎠dan persamaan untuk arus beban yaitui = f(v)Dalam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaanitu secara simultan. Jika f(v) diketahui maka penyelesaianpersamaan dapat dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnyapenyelesaian secara grafis sudah cukup memadai. Berikut inidipaparkan bagaimanacara grafis tersebutdilaksanakan.Misalkan karakteristik i-vbeban mempunyai bentuktertentu, yang jikadipadukan dengan grafiki-v sumber (yaitu garisbeban) akan terlihatseperti pada Gb.8.2.Kedua kurva akanititikkerjai L Karakteristik i-v beban.garis bebanv LGb 8.2. Penentuan titik kerja.berpotongan di suatu titik. Titik potong tersebut memberikan nilaiarus i dan tegangan v yang memenuhi karakteristik sumber maupunbeban. Titik ini disebut titik kerja, atau dalam elektronika disebutQ-point. Arus dan tegangan beban adalah i L dan v L .Perhatikan bahwa apabila rangkaian mengandungelemen non linier prinsip proporsionalitas dansuperposisi tidak berlaku. Sebagai contoh, apabilategangan sumber naik dari 15 menjadi 30 V, arus dantegangan beban tidak dua kali lebih besar._v151

COTOH-8.6: Rangkaian berikut ini, mempunyai beban resistornon-linier dengan karakteristik i-v seperti yang diberikan disampingnya. Hitunglah daya yang diserap oleh beban.A90V+−1kΩ1kΩ500ΩR LnonlinierBi [mA] 503010Penyelesaian :Beban dilepas untuk mencari rangkaian ekivalen Thévenin.1VT= vABht = × 60 = 45 V1+1R = 500 + 1000 ||1000 = 1000 ΩT10 30 50 v[V]Rangkaian ekivalen dan garis beban yang diplot bersamadengan karakteristik i-v beban adalah seperti di bawah ini.Ai [mA] 5045V+−1kΩR Lnonlinier30B1010 30 50 v[V]Dari grafik ini kita temukan titik-kerja yang menyatakan bahwaarus yang mengalir adalah 15 mA pada tegangan 30 V. Jadidaya yang diserap beban adalah :p L = vLiL= 30 × 15 = 450 mW .152 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

8.4.2. Rangkaian Dengan Sumber Tak-Bebas Tanpa UmpanBalikContoh-contoh persoalan yang kita ambil dalam membahas metodametodaanalisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaiandengan elemen aktif yang berupa sumber bebas. Metoda analisisdasar dapat pula kita gunakan pada rangkaian dengan sumber takbebasasalkan pada rangkaian tersebut tidak terdapat cabang umpanbalik. Cabang umpan balik adalah cabang yang menghubungkanbagian keluaran dan bagian masukan, sehingga terjadi interaksiantara keluaran dan masukan. Apabila rangkaian mempunyai umpanbalik, hendaknya digunakan metoda analisis umum (lihat babselanjutnya). Berikut ini kita akan melihat rangkaian-rangkaiandengan sumber tak-bebas tanpa umpan balik.COTOH-8.7:Tentukanlahi stegangankeluaran v o sertaR s++daya yang v s+v + µ v 1 v−oR LR 11−diserap oleh−−beban R L padarangkaian dengan sumber tak-bebas VCVS di samping ini.Penyelesaian :Rangkaian ini tidak mengandung umpan balik; tidak adainteraksi antara bagian keluaran dan masukan. Tegangan v 1 padaloop pengendali dapat diperoleh melalui kaidah pembagitegangan1v1= vsR1+ RsDengan demikian maka keluaran VCVS adalah :v v1o = µ 1 =R1+ RsDaya yang diserap oleh beban adalah :pLv=R2o 1L=RLRµ Rvs⎛ µ R1v×⎜s⎝ R1+ Rs⎞⎟⎠2153

Pemahaman :Tegangan keluaran VCVS berbanding lurus denganmasukannya. Jika nilai µ >1 maka rangkaian ini berfungsisebagai penguat (amplifier). Jika µ

Penyelesaian:Untuk mencari v o kita memerlukan i 1 yang dapat dicari dengankaidah pembagi arus.1i 1 = × 2 1 mA1+1=Dari sini kita mendapatkan i 2 yaitu i 2 = −50×i 1 = −50mA .Tanda “−” diperlukan karena referensi arah arus i 2 berlawanandengan arah arus positif sumber arus tak-bebas CCCS. Dari sini1kita dapatkan: i L = i2 = −10mA .1+4−3Tegangan keluaran: v o = −10×10 × 4000 = −40Vvo−40Hubungan keluaran-masukan menjadi: = = −20000is0,002Pemahaman:Hasil diatas mengandung tanda negatif. Ini berarti bahwa sinyalkeluaran berlawanan dengan sinyal masukan. Dengan kata lainterjadi proses pembalikan sinyal pada rangkaian di atas, dankita sebut inversi sinyal.COTOH-8.9:CarilahR s i 1 R o A i Lrangkaian− +ekivalen v s+Thévenin dilihat −R p r i v+ 1−di terminal AB,dari rangkaianBdengan CCVS di samping ini.Penyelesaian :Tegangan Thévenin V T adalah tegangan terminal AB terbuka(jika beban R L dilepas), yaitu :⎛AB 1⎟ ⎞⎜vV = = − = −sT v ht ri r⎝Rs+ Rp⎠Tanda “−” ini karena arah referensi tegangan CCCS berlawanandengan referansi tegangan v AB . Arus hubung singkat di terminalAB jika beban diganti dengan hubung singkat adalah :−ri1−rvsiABhs = =RoRo ( Rs+ Rp)R L155

Resistansi Thévenin R T adalah :Rv⎛⎜⎝− rv⎞/ ⎛⎟ ⎜− rv ⎞⎟ R⎠ ⎝⎠AB htssT = ==i ⎜AB hs Rp+ R ⎟ ⎜s Ro(Rs+ R p ) ⎟Rangkaian Thévenin yang kita cari adalah seperti gambar dibawah ini. Perhatikan polaritas dari tegangan⎛r ⎜⎝vR s +sR p⎞⎟⎠V T = − ri 1 .−+R oA+v−BR Lo156 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah arus yang melalui beban R L dan daya yang diberikan olehsumber pada rangkaian berikut.a).10V+−10Ω5Ω5Ω10ΩR L7.5Ω10V+−30Ω40Ω50Ω60ΩR L120Ωb).5A10Ω20Ω20Ω10Ω20ΩR L20Ωc).2. Carilah tegangan keluaran v opada rangkaian berikut ini.Berapakah resistansi bebanyang harus dihubungkan keterminal keluaran agar terjadialih daya maksimum ?2A10Ω20Ω10Ω +v o20Ω−3. Gunakan metoda unit outputuntuk mencari tegangankeluaran V o pada duarangkaian berikut ini15Ω1A10Ω30Ω+V o−+−15Ω10V10Ω30Ω+V o−4. Gunakan metoda rangkaianekivalen Thévenin atauNorton untuk menentukantegangan dan arus di resistor10 Ω pada kedua rangkaianberikut ini.1A15Ω30Ω10Ω15Ω+30Ω− 10Ω10V157

5. Carilah tegangan danarus tiap resistor padarangkaian berikut.50Ω6. Hitunglah daya yangdikeluarkan olehmasing-masing sumberpada soal 5.+−100Ω5V 10V+−100Ω5V+−7. Pada rangkaian disamping ini hitunglaharus yang melaluiresistor beban R L .+−5 kΩ 5 kΩ10 V2 mA5 kΩR L2,5 kΩ8. Pada rangkaian di sampingini hitunglah daya yangdiserap resistor 8 Ω dandaya masing-masingsumber.9. Pada rangkaian berikutini, hitunglah arus yangmelalui beban R L .+−+30Ω 8Ω− 50V 20Ω 2,5A5Ω +v 17,5V - 10Ωv 155Ω60ΩR L10Ω10. Berapa µ agar rangkaianberikut ini mempunyaikeluaran v 2 = −10 V.6V+−100Ω200Ω+v 1−−+µv 11kΩ1kΩ+v 2−.158 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 9Metoda Analisis UmumDengan mempelajari metoda analisis umum kita akan• memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda tegangan simpul;• memahami dasar-dasar metoda arus mesh;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda arus mesh.Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metodategangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya keduametoda ini dapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik,walaupun dalam hal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baikdibandingkan dengan metoda arus mesh, terutama dalam menanganirangkaian-rangkaian elektronik.Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnyaadalah mencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsilengkap dari suatu rangkaian dan kemudian memecahkanpersamaan itu dengan memanfaatkan aljabar linier. Metoda ini lebihabstrak dibandingkan dengan metoda-metoda analisis dasar karenakita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapimelainkan mencari pemecahan dari satu set persamaan yangmewakili rangkaian tersebut. Dengan metoda ini kita tidak terlibatdalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaanrangkaian ataupun penerapan teorema rangkaian. Kita lebih banyakterlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehinggaagak “kehilangan sentuhan” dengan rangkaian listrik yang kitahadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kompensasi, yaituberupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul danmetoda arus mesh ini.159

9.1. Metoda Tegangan Simpul (ode Voltage Method – odalAnalysis)9.1.1. DasarJika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagaisimpul referensi yang dianggap bertegangan nol, maka teganganpada simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan secara relatifterhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaianterdapat n simpul, sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagaisimpul referensi, maka masih ada (n – 1) simpul yang harus dihitungtegangannya. Jadi untuk menyatakan rangkaian secara lengkapdengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan(n – 1) buah persamaan. Jika persamaan ini dapat dipecahkan,berarti kita dapat memperoleh nilai tegangan di setiap simpul, yangberarti pula bahwa kita dapat menghitung arus di setiap cabang.Basis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalahpersyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi dalam analisisrangkaian, yaitu persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian.Persyaratan elemen menyatakan bahwa karakteristik i-v dari setiapelemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwahubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabangtersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yangmengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan olehkarakteristik i-v elemen yang ada di cabang tersebut. Ini berarti pulabahwa arus cabang dapat dinyatakan dengan tegangan simpul.Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengan konduktansi G berada diantara simpul X dan Y, maka arus cabang tempat resistor itu beradadapat ditulis sebagai( − v )iXY= G vXY(9.1)dengan i XY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, v X dan v Ymasing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementaraitu persyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HAK), jugaharus dipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yangterhubung ke k titik simpul lain melalui konduktansi G i (i = 1sampaik), berlaku∑iMkk k= 0 = ∑Gi( vM− vi) = vM∑Gi− ∑Givi(9.2)i=1i=1 i=1160 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

dengan v M adalah tegangan simpul M, v i adalah tegangan simpulsimpullain yang terhubung ke M melalui konduktansi masingmasingsebesar G i .Persamaan (9.2) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jikapersamaan ini kita terapkan untuk (n – 1) simpul yang bukan simpulreferensi maka kita akan memperoleh (n−1) persamaan yang kitainginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul darisuatu rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut:1. Tentukan simpul referensi umum.2. Aplikasikan persamaan (9.2) untuk simpul-simpul yangbukan simpul referensi.3. Cari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah 2.9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan TeganganSimpulPersamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melaluiaplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabangyang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemendengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikitkesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut inikita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatusimpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang beradapada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut.Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus inipersamaan (9.4) dapat kitaaplikasikan tanpa kesulitan.i 1v A i 2v BPerhatikanAv Chubungan simpul-simpul B G 1 GC2seperti terlihat pada Gb.9.1.i 3GWalaupun referensi arah arus3tidak semuanyav D Dmeninggalkan simpul Anamun hal ini tidak akanGb.9.1. Cabang berisi resistor.menggangu aplikasipersamaan (9.2) untuk simpul A.Persamaan untuk simpul A:161

( G G + G ) − G v − G v − G v 0v A 1 + 2 3 1 B 2 C 3 D = (9.3)Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akanmemperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i 1 −i 2 −i 3 = 0,yang akan memberikan persamaan tegangan simpulG1− v A( vB− v A ) − G2( v A − vC) − G3( v A − vD) = 0( G + G + G ) + v G + v G + v G = 0123B1C2D3atauyang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya.Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perhatikan Gb.9.2. Dalamkasus ini kita tidakmengetahuiv Akonduktansi yang ada v Bv ACantara simpul A dan Dyang berisi sumber B G 1 GC2arus bebas. Tetapi halIini tidak memberikanskesulitan dalamaplikasi (9.2) untukv D Dsimpul A, karenaGb.9.2. Cabang berisi sumber arus.sesungguhnyapersamaan (9.2) ituberangkat dari persamaan arus untuk suatu simpul. Dengandemikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itudapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadihasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul.Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harusbertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedangditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.2). Untuk simpulA pada Gb.9.2. persamaan yang diperoleh adalah:( G + G ) − I − v G − v G 0vA 1 2 s B 1 C 2 =(9.4)162 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus initerdapat dua kemungkinan.v AKemungkinan pertama : v Bsalah satu simpul sumberAtegangan menjadi simpul BCG 1 G 2referensi seperti terlihat+V spada Gb.9.3.−Simpul A menjadi simpulDterikat, artinyategangannya ditentukan Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan.oleh tegangan sumber; jaditegangan simpul A tidak perlu lagi dihitung, v A = V s .BEv Bv Ev AAG 1 G 2+V s−DG 3 G 4v Dv CGb.9.4. Sumber tegangan antara duasimpul yang bukan simpul referensi.Kemungkinan yangkedua: simpul-simpulyang mengapitsumber teganganbukan merupakansimpul referensiseperti terlihat padaGb.9.4. Dalam halterakhir ini, sumbertegangan besertakedua simpul yangmengapitnya kitajadikan sebuahsimpul-super (super-node). Jadi simpul A, D, dan sumber teganganpada Gb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super.Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini.Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satumelainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan,yaitu:• persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaanarus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan• persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikanhubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkanmenjadi simpul-super tersebut.Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dansumber tegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpulB dan C melalui A dengan konduktansi G 1 dan G 2 ; ia jugaCFv Fv Dv C163

terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansiG 3 dan G 4 . Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah :( G + G ) + v ( G + G )v A 1dan2v A − vD= VsD34 − vBG1− vCG2− vEG3− vFG4= 0(9.5)Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencaripersamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasuskasustersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor.Walaupun demikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaiandengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian.Berikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untukrangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuksederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakanmetoda analisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalahmelihat bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan.COTOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D padarangkaian di bawah ini.R 1 R 3 R 5A B C D0,4 A20ΩPenyelesaian :10Ω 10ΩR 220ΩR 4 20Ω R 6E10ΩRangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sinikita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan.Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum,yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kitamempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu A,B, C dan D.164 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpuldengan mengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-empat simpulnon-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yangkita peroleh adalah :vvvvABCD( G1) − 0.4 − vB( G1) = 0( G1+ G2+ G3) − v A( G1) − vC( G3)( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5)( G + G ) − v ( G ) = 056C5= 0= 0dengan G 1 , G 2 ….G 6 adalah konduktansi elemen-elemen yangbesarnya adalah G i = 1/R i . Dalam bentuk matriks, denganmemasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi⎡ 1⎢ 20⎢1⎢−⎢ 20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎣⎛⎜⎝1201−201+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠⎤0⎥⎡vA ⎤ ⎡0,4⎤⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥⎢vB⎥ ⎢ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥1 ⎥− ⎥⎢v⎥ ⎢0⎥10 ⎥⎢ C ⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥⎝1010 D⎠⎦⎦Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitunganselanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketigakita kalikan 20 sedangkan baris ke-empat kita kalikan 10,akan kita peroleh⎡ 1⎢−1⎢⎢ 0⎢⎣ 0−14− 200− 25−1Eliminasi Gauss memberikan:⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0−13000− 21100 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡8⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥0= ⎢ ⎥− 2⎥⎢vC⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣0⎦0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡ 8 ⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥8= ⎢ ⎥− 6⎥⎢vC⎥ ⎢16⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥16 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣16⎦165

Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangantegangansimpul mulai dari simpul D sebagai berikut :1616 + 6×v 16 + 6→ v = = 1 V ; = DDvC= = 2 V1611 118 + 2 × v 8 + 4v = CB= = 4 V ; v A = 8 + vB= 12 V3 3Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabangdapat dihitung.COTOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D padarangkaian berikut.30 VR 1 R 3R 5A B C D20Ω10Ω10Ω+ R 2 R20Ω 4 20Ω 10Ω R 6−EPenyelesaian :Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumbertegangan. Dengan demikian simpul A merupakan simpul terikatyang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu30 V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita perolehadalah:vA= 30vB( G1+ G2+ G3) − v AG1− vC( G3) = 0vC( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5) = 0vD( G5+ G6) − vC( G5) = 0Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannyadalam bentuk matriks, kita memperoleh⎡ 1⎢ 1⎢−20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎣⎛⎜⎝12001+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ ⎢ 0 ⎥1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥− ⎥10 ⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ C 0⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ 10 10 ⎠⎥⎦⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥D ⎦166 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitunganseperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya denganmengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan bariske-4 dengan 10.⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡30⎤⎢⎢− 1⎢ 0⎢⎣ 04− 20− 25− 1Eliminasi Gauss memberikan :Maka :⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣004000− 280⎥ ⎢0⎥ ⎢v− 2⎥⎢v⎥ ⎢2 ⎦ ⎣v0 ⎤ ⎡v0⎥ ⎢v⎥ ⎢− 4⎥⎢v⎥ ⎢16⎦⎣v30→ vD= = 2,5 V; v1630 + 10vB= = 10 V; v4CAABCDBCD⎥⎥ =⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢30⎥⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎢30⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣30⎦= 30 V000⎥⎥⎥⎥⎦30 + 10= = 5 V;8COTOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D dirangkaian berikut.Simpul superR 3R 115 VR 5A B _ C D+20 Ω10 ΩR 2 R 420 Ω10 Ω 20 ΩPenyelesaian :10 ΩBerbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian inisumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensiumum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnyajadikan satu simpul-super. Persamaan yang dapat kita perolehadalah :ER 6167

⎡⎛⎢⎜⎢⎝⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣110+1−2000120⎞⎟⎠1−20⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎝ 20 20 ⎠10⎛⎜⎝1200+110−11−10⎞⎟⎠−⎛ 1⎜⎝1001100+110⎤⎥ ⎡vA ⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ = ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢v⎥ ⎢−⎥C 15⎥⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎥⎢⎣vD⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎠⎥⎦Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan 20 serta baris keempatdengan 10 sehingga kita peroleh matriks dengan elemenelemenbilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gaussyang akan memberikan :⎡3⎢0⎢⎢0⎢⎣0−150009−1400 ⎤ ⎡v− 6⎥ ⎢v⎥ ⎢6 ⎥ ⎢v⎥ ⎢22⎦⎣vABCD⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥0= ⎢ ⎥⎥ ⎢−75⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 75 ⎦Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kitatentukan, seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya.Pembaca diharapkan untuk mencoba sendiri.Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secarasingkat bahwa :• Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melaluikonduktansi G i berlaku:k∑1∑( v − v ) G = 0 atau v G − v G = 0Mii( )vAG3+ G1− vBG1= 0vB( G1+ G2) + vC( G4+ G5) − vAG1− vDG5= 0Simpul-super { vB− vC= −15vD( G5+ G6) − vCG5= 0Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalambentuk matriks:Aplikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpulreferensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian.k1Mik∑1ii168 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

• Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumbertegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannyaditentukan oleh tegangan sumber.• Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapatmenjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internalyang ditentukan oleh tegangan sumber.• Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus dicabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalampersamaan tegangan simpul.9.2. Metoda Arus Mesh (Mesh Current Method)Metoda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yangmengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenaimesh telah kitaperoleh, yaitu loopyang tidakmelingkupi elemenatau cabang lain.Dalam Gb.9.5 loopABEDA, BCFEB,DEHGD, EFIHE,adalah mesh,sedangkan loopABCFEDA bukanmesh.arusmeshA B CDGb.9.5. Loop dan meshDengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh,yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. DalamGb.9.5, I A , I B , I C , I D adalah arus-arus mesh dengan arah anak panahmenunjukkan arah positif. Arus di suatu cabang adalah jumlahaljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggota. Arus dicabang AB misalnya, adalah sama dengan arus mesh I A . Arus dicabang BE adalah (I A – I B ), arus di cabang EH adalah (I C – I D ), danseterusnya. Secara umum kita dapat mengatakan bahwaJika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari meshX yang mempunyai arus mesh I X maka arus i k yangmelalui cabang itu adalah i k = I X dengan arahreferensi arus i k sesuai dengan I X .I AI CEI BI DG H IF169

Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X danmesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh I Xdan I Y , maka arus i k yang melalui cabang tersebutadalah i k = I X – I Y dengan X adalah mesh yangmempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arahreferensi arus i k .Perhatikan :• Arus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifatfisis rangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakandalam analisis rangkaian.• Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arusmesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalamhal ini kita pilih searah putaran jarum jam).Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linierdengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakandiskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metodategangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimanapersamaan arus mesh tersebut dapat diperoleh.9.2.1. DasarMetoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasispada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harusdipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletakpada persyaratan rangkaian; pada metoda tegangan simpuldigunakan hukum arus Kirchhoff (HAK) sedangkan pada metodaarus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhoff (HTK). Suatumesh tidak lain adalah bentuk loop yang paling sederhana. Olehkarena itu hukum Kirchhoff untuk tegangan juga berlaku padamesh. Untuk suatu mesh X yang terbentuk dari m cabang yangmasing-masing berisi resistor, sedang sejumlah n dari m cabang inimenjadi anggota dari mesh lain, berlaku170 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

m∑vxx = 1= 0 == Im − n∑vxx = 1m − n∑+Rn∑y = 1+vn∑X xx = 1 y = 1yRy( I − I )Xy(9.6)Di sini v x adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanyamenjadi anggota mesh X; v y adalah tegangan pada elemen dicabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain; I X adalah arusmesh X; I y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan meshX; R x menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanyamenjadi anggota mesh X; R y menunjukkan resistor pada cabangcabangyang menjadi anggota mesh X dan mesh lain.Persamaan (9.5) dapat ditulis:⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ Rx∑ R y ⎟ ∑ I y R y(9.7)⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1Atau secara umumI X ∑ R X − ∑ IYRY= 0(9.8)dengan I X adalah arus mesh X, R X adalah resistor pada cabangcabangyang membentuk mesh X, I Y adalah arus mesh lain yangberhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor R Y.Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk suatu meshtertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua meshpada suatu rangkaian kita akan mendapatkan persamaan arus meshuntuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisisdengan menggunakan metoda arus mesh adalah :1. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan jugategangan referensi pada tiap elemen.2. Aplikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Denganlangkah ini kita memperoleh persamaan arus mesh darirangkaian.3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkahkedua.171

9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus MeshBerikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kitajumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu meshtertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kitajumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul.Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. meshBCEFB dan CDEC,terdiri hanya dari A B C Delemen resistor saja.R 1 R 3 R 6Aplikasi persamaan(9.7) untuk keduaI YI X I Zmesh ini tidakR 2 RR 4 R 75menimbulkankesulitan, dan kitaF Eakan memperolehGb.9.6. Kasus 1.persamaan:Mesh BCEFB :I( R + R + R + R )2Mesh CDECIXZ:( R + R + R ) − I R = 0436475X− I4YR2− IZR4= 0(9.9)Kasus-2: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh ABFA danBCEFB pada Gb.9.7. mengandung sumber tegangan. Hal ini tidakakan menimbulkan kesulitan karena metoda arus mesh berbasispada HukumTeganganKirchhoff.Nilai tegangansumber dapatlangsungdimasukkandalampersamaan,v 2AB C+ −+−I XIYv 1 R 3R 1R 6R 5R 4Gb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan.dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh ABFA dan BCEFBpersamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :FEI ZD172 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

MeshABFA( R + R )IY1 2 − I X R2− v1= 0Mesh BCEFB:I X:( R + R + R ) − I R − I R + v = 0245Y2Z42(9.10)Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber Arus. Pada Gb.9.8. dicabang BF terdapat sumber arus yang menjadi anggota mesh ABFAdan BCEFB.Tegangansuatusumber arustidak tertentusehingga tidakmungkindiperolehpersamaan arusmesh untukABFA danBCEFB. Untuk mengatasi kesulitan ini maka kedua mesh itudigabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super.Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaanyaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA,dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus dikedua mesh, yaitu I X dan I Y . Persamaan yang dimaksud adalah:loop ABCEFA:cabang BF:Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber arus.IIYR + IXA+−1− IB CR 3I YI Xv 1 i 1YX( R + R + R )= i1mesh superR 1 R 6345R 5R 4− v1− I Z R4= 0(9.11)Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari duamesh saja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-superABCEFA.COTOH-9.4: Gunakan metoda arus mesh untuk analisisrangkaiandiA20ΩB 10Ω C 10Ω Dsamping+20Ω 20Ωini.− I A I B I C10Ω30 VEFEI ZD173

Penyelesaian :Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, I A ,I B , I C ..Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuksetiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh ABEAmengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita perolehadalah:Mesh ABEA :Mesh BCEB :Mesh CDEC :I AI BIC( 20 + 20)− I B 20 − 30 =( 20 + 10 + 20)− I A20− I( 20 + 10 + 10) − I 20 = 0Dalam bentuk matriks persamaan menjadi:⎡ 40⎢⎢− 20⎢⎣0− 2050− 20Eliminasi Gauss memberikan :⎡4⎢⎢0⎢⎣0− 2800 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣I0 ⎤ ⎡I− 4⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABCABCB⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢0⎥⎥=⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎤ ⎡3⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢3⎥⎥⎦⎢⎣3⎥⎦0C 20 = 0sehingga diperoleh I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabangdapat ditentukanCOTOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian disampingini.A 20Ω B 10Ω C 10Ω DPerhatikanlah bahwapada1 A I A20ΩI B20ΩI C10ΩrangkaianiniEterdapatsumber arus.174 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Dalam kasus ini arus mesh I A ditentukan oleh sumber, yaitusebesar 1 A. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah :Mesh ABEA :Mesh BCEB:Mesh CDEC:I A = 1I BICyang dalam bentuk matriks dapat ditulis( 20 + 10 + 20) − I A( 20) − IC( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 0B= 0⎡ 1⎢⎢− 20⎢⎣0050− 200 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢0⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡ 1⎢⎢− 2⎢⎣005− 20 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢⎥ ⎢I4 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢0⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦Eliminasi Gauss memberikan :⎡1⎢⎢0⎢⎣00500 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢⎥ ⎢I8 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢2⎥⎥⎦⎢⎣2⎥⎦Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah :I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung.COTOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini.Perhatikan mesh superbahwa adaA 20Ω B 10Ω C 10Ω Dsumber arusyang20ΩmenjadiI A I BI Canggota dari1 A 20Ω 10ΩEdua meshyangberdampingan.Penyelesaian:Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandungsumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arusmesh yang dapat kita peroleh adalah :175

I Amesh super { I A − I B = −1IC( 20 + 20) + I ( 10 + 20) − I ( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 0Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadiBBC= 0⎡40⎢⎢1⎢⎣030−1−20−20⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦atau⎡4⎢⎢1⎢⎣03−1−1−2⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I2 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦yang memberikan⎡4⎢⎢0⎢⎣03− 70− 2⎤⎡I2⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢− 4⎥⎥⎦⎢⎣4 ⎥⎦Jadi I C = 1/3 A, I B = 2/3 A, dan I A = −1/3 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung.Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secarasingkat bahwa :• Untuk suatu mesh X dengan arus mesh I x yang terdiri dari mcabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lainyang masing-masing mempunyai arus mesh I y , berlakum − n nI X ∑ R x + ∑ R y ( I X − I y ) = 0 ataux = 1 y = 1⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ R x ∑ R y ⎟ ∑ I y R y⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkanpersamaan arus mesh rangkaian.• Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadianggota dari mesh lain, arus mesh I x ditentukan oleh sumberarus tersebut.• Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadimesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arusmesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber.176 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

• Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilaitegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilaitegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh.9.2.3. Rangkaian Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan BalikAnalisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas denganumpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metodategangan simpul atau metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jikaada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali.COTOH-9.7: Tentukanlah R F pada rangkaian di samping ini agarpada beban 110kΩ R F 5kΩkΩ terdapat AB C Dtegangan −10++V.+−1 V v−1v D 1 kΩ+Penyelesaian :− 100v 1 −Persamaantegangan simpul di simpul-simpul A, B, C, dan D padarangkaian ini adalahvB− v A vB− vCA: v A = 1V ; B: + = 0 ;10 RFvD− vCvC: v = −1001 ; D: + DC v= 05 1Karena disyaratkan agar v D = −10 V, maka dari persamaansimpul C dan D kita dapat memperoleh nilai v 1 .vC−5v− 601 = − = D vvD = = 0,6 V100 100 100Kalau kita masukkan nilai v 1 ini ke persamaan simpul B akankita peroleh0,6 −10,6 + 100×0,6+= 010 RF⇒RF= 60,6×100,4= 1515 kΩ ≈ 1,5 MΩ177

9.3. Beberapa Catatan Tentang Metoda Tegangan Simpul danMetoda Arus MeshPada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpulsebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol,sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadapsimpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dapat kita pilihdengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalammenyelesaikan persoalan satu rangkaian tertentu dapatmenghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namundemikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanyamemang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperolehnilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisihtegangan antara dua simpul).Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan keretarel listrik ataupun jaringan PLN, orang melakukan pengukurantegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalampengertian metoda tegangan simpul melainkan terhadap titik netralatau ground di masing-masing lokasi pengukuran. Pengukuran inibelum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakanmetoda tegangan simpul karena ground di lokasi pengukurantidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis.Akan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dapatdilihat sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan inidengan mudah dapat diatasi dan akan dibahas lebih lanjut.Metoda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitusuatu rangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satubidang datar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian.Untuk rangkaian nonplanar metoda arus mesh tak dapat diterapkandan kita perlu menggunakan metoda arus loop.Metoda Analisis Berbantuan Komputer. Untuk rangkaianrangkaianyang rumit, analisis secara manual tidaklah efektifbahkan hampir tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu kitamemerlukan bantuan komputer. Metoda ini tidak dibahas dalambuku ini.178 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen padarangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yangdiberikan oleh sumber.100Ω50Ω100Ω5Va).+−10V+−+−5Vb).+ 5Ω 4Ω30V −3Ω 2Ac).10 V+−5 kΩ 7.5 kΩ5 kΩ2 mA1kΩ1kΩ1kΩ1kΩd).100mA2kΩ2kΩ100mA100Ωe).10V+−100Ω100Ω100Ω100Ω179

+ −5 kΩ 10 V10 kΩ20 mA 5 kΩ 5 kΩ10 mAf).100mA1kΩ100V+−2kΩ1kΩ2kΩ1kΩg).1kΩ2. Tentukanlah v 2 pada dua rangkaian di bawah ini.a).+v 1_10 kΩ10 kΩ20 kΩ+v−+−1000v+v 2_b).+v 1_10 kΩ 10 kΩ10 kΩ20 kΩ3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaranv o = Kv s .+v−+−1000v+v 2_+−I50Ω 1 I 2100I 2+v s v o1kΩ 100I 1 1kΩ 1kΩ−180 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 10Rangkaian Pemroses Energi(Arus Searah)Dalam bab ini kita akan melihat beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian yang dapat memberikan gambaran keadaan nyata.Rangkaian yang akan kita bahas meliputi rangkaian-rangkaianpemrosesan energi.Pemrosesan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan tigamacam cara, yaitu teknologi arus searah, teknologi arus bolak-balik,dan teknologi pulsa. Mengenai teknologi yang terakhir ini, tidaktermasuk dalam cakupan buku ini; kita dapat mempelajarinya padapelajaran lain. Teknologi arus bolak-balik dengan sinyal sinusmerupakan teknologi yang sangat luas dipakai dalam pembangkitanmaupun penyaluran energi listrik, namun rangkaian arus bolak-balikini akan kita pelajari di bab lain; di bab ini kita hanya akan melihatrangkaian pemroses energi dengan tegangan dan arus searah, yangkita sebut rangkaian arus searah. Dalam rekayasa praktis, rangkaianpemroses energi yang pada umumnya merupakan rangkaianberbentuk tangga, digambarkan dengan cara yang lebih sederhanayaitu dengan menggunakan diagram satu garis. Bagaimana diagramini dikembangkan, akan kita lihat pula di bab ini.Cakupan bahasan dalam bab ini meliputi alat ukur dan pengukuranarus searah, saluran dan jaringan distribusi daya arus searah,penyediaan batere sebagai sumber tenaga arus searah.Dengan mempelajari rangkaian pemroses energi ini, kita akan• mampu menghitung parameter penyalur daya arussearah.• mampu melakukan perhitungan penyaluran daya arussearah.• mampu melakukan analisis rangkaian arus searah yangdiberikan dalam bentuk diagram satu garis.• mampu melakukan perhitungan dalam susunan batere.10.1. Pengukur Tegangan dan Arus SearahSalah satu jenis alat pengukur tegangan dan arus searah adalah jeniskumparan berputar yang terdiri dari sebuah kumparan yang beradadalam suatu medan magnetik permanen. Kumparan yang disangga181

oleh sumbu dan dilengkapi dengan pegas ini akan berputar apabilaia dialiri arus. Perputaran akan mencapai kududukan tertentu padasaat momen putar yang timbul akibat adanya interaksi medanmagnetik dan arus kumparan, sama dengan momen lawan yangdiberikan oleh pegas. Sudut pada kedudukan seimbang ini kita sebutsudut defleksi. Defleksi maksimum terjadi pada arus maksimumyang diperbolehkan mengalir pada kumparan. Karena kumparanharus ringan, ia harus dibuat dari kawat yang halus sehingga arusyang mengalir padanya sangat terbatas. Kawat kumparan inimempunyai resistansi yang kita sebut resistansi internal alat ukur.Walaupun arus yang melalui kumparan sangat terbatas besarnya,namun kita dapat membuat alat ukur ini mampu mengukur arussampai ratusan amper dengan cara menambahkan resistor paralel(shunt). Terbatasnya arus yang diperbolehkan melalui kumparanjuga berarti bahwa tegangan pada terminal kumparan juga sangatterbatas; namun dengan menambahkan resistansi seri terhadapkumparan, kita dapat membuat alat ukur ini mampu mengukurtegangan sampai beberapa ratus volt.COTOH-10.1: Sebuah alat ukur kumparan berputar mempunyairesistansi internal 10 Ω dan berdefleksi maksimum jika arusyang mengalir pada kumparan adalah 50 mA. Tentukanresistansi seri yang harus ditambahkan agar alat ini mampumengukur tegangan sampai 750 V.Penyelesaian :10 ΩDengan penambahan resistorRseri R s terjadi pembagianstegangan antara R s dengan + v = 750 V −kumparan; dengan memilih nilaiR s yang tepat tegangan pada kumparan tetap pada batas yangdiijinkan. Rangkaian alat ukur menjadi seperti gambar berikut.Dengan arus pada kumparan dibatasi pada 50 mA, maka:750−3750= 50 × 10 ⇒ Rs= − 10 = 14990 ΩR + 10−3s50 × 10182 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-10.2: Alat ukur kumparan berputar pada contoh-10.1.(yang memiliki resistansi internal 10 Ω dan defleksi maksimumterjadi pada arus kumparan 50 mA) hendak digunakan untukmengukur arus sampai 100 A. Tentukan nilai resistasi shuntyang diperlukan.Penyelesaian:Dengan penambahan shunt R sh akan terjadi pembagian arusantara R sh dengan kumparan. Dengan memilih nil R sh yang tepat,arus yang mengalir pada kumparan tetap dalam batas yangdiijinkan. Rangkaian alat ukur dengan shunt terlihat padagambar berikut. Dengan arus kumparan 50 mA, maka :10 Ω−3→ I sh + 50 × 10 = 100−3100 A→ I sh Rsh= 10 × 50 × 1050 mAI −3sh10 × 50 × 10⇒ Rsh== 0,005 Ω−3R sh100 − 50 × 1010.2. Pengukuran ResistansiSalah satu metoda untuk mengukur resistansi adalah metodavoltmeter-amperemeter. Dalam metoda ini nilai resistansi dapatdihitung dengan mengukur tegangan dan arus secara simultan.Dalam contoh berikut ini diberikan dua macam rangkaian yangbiasa digunakan untuk mengukur resistansi dengan metodavoltmeter-amperemeter.COTOH-10.3: Resistansi R x hendak diukur dengan menggunakandua macam rangkaian berikut ini. Jika resistansi internalvoltmeter dan amperemeter masing-masing adalah R V dan R Idan penunjukan voltmeter dan amperemeter adalah V dan I,hitunglah R x pada kedua macam cara pengukuran tersebut.II+V R x+ V−−a). b).183

Penyelesaian :Untuk rangkaian a), tegangan pada R x adalah V sedangkan arusyang melalui R x adalahVI x = I −RsehinggaVV VRx= =I x I − ( V / RV)Jika pengukuran dilakukan dengan menggunakan rangkaian b),arus yang melalui R x adalah I sedangkan tegangan pada R xadalahsehinggaPemahaman :Vx = V − IR IV V − IRIVRx= = = − RII x I IKesalahan pengukuran akan kecil dan nilai R x dapat dinyatakandengan R x = V/I jika R V cukup besar pada rangkaian a) atau R Icukup kecil pada rangkaian b).10.3. Resistansi Kabel Penyalur DayaKabel digunakan sebagai penyalur daya dari sumber ke beban.Setiap ukuran dan jenis kabel mempunyai batas kemampuanpengaliran arus yang tidak boleh dilampaui; arus yang melebihibatas akan menyebabkan pemanasan pada kabel yang akanmemperpendek umur kabel. Di samping itu, resistansi konduktorkabel akan menyebabkan terjadinya beda tegangan antara sumberdan beban. Oleh karena itu pemilihan ukuran kabel harusdisesuaikan dengan besarnya beban. Selain resistansi konduktor,resistansi isolasi kabel juga merupakan parameter yang harusdiperhatikan; menurunnya resistansi isolasi akan menyebabkankenaikan arus bocor.COTOH-10.4: Resistansi konduktor suatu kabel sepanjang 500 mpada 20 o C adalah 0.58 Ω dan resistansi isolasinya adalah 975MΩ. Carilah resistansi konduktor dan isolasinya per kilometer.184 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Resistansi konduktor sebanding dengan panjangnya sesuaidengan relasi R = ρl/A, maka resistansi konduktor per kilometeradalahR konduktor= 2 × 0,58 = 1,16 Ωper km.Resistansi isolasi adalah resistansi antara konduktor dan tanah(selubung kabel). Luas penampang isolasi, yaitu luaspenampang yang dilihat oleh konduktor ke arah selubung,berbanding terbalik terhadap panjang kabel; makin panjangkabel, makin kecil resistansi isolasinya. Resistansi isolasi kabelper kilometer adalahR isolasi= ( 1/ 2) × 975 = 488 MΩper km.COTOH-10.5: Dua penggalan kabel, masing masing mempunyairesistansi konduktor 0,7 Ω dan 0,5 Ω dan resistansi isolasi 300MΩ dan 600 MΩ. Jika kedua penggalan kabel itudisambungkan untuk memperpanjang saluran, berapakahresistansi konduktor dan isolasi saluran ini ?Penyelesaian :Karena disambung seri, resistansi total adalah :R konduktor= 0,7 + 0,5 = 1,2 ΩSambungan seri kabel, menyebabkan resistansi isolasinyaterhubung paralel. Jadi resistansi isolasi total adalah :R isolasi300×600= = 200 MΩ300 + 60010.4. Penyaluran Daya Melalui Saluran UdaraSelain kabel, penyaluran daya dapat pula dilakukan denganmenggunakan saluran di atas tanah yang kita sebut saluran udara.Saluran udara ini dipasang dengan menggunakan tiang-tiang yangdilengkapi dengan isolator penyangga atau isolator gantung yangbiasanya terbuat dari keramik atau gelas. Konduktornya sendiridapat merupakan konduktor tanpa isolasi (telanjang) dan olehkarena itu permasalahan arus bocor terletak pada pemilihan isolatorpenyangga di tiang-tiang dan hampir tidak terkait pada panjangsaluran sebagaimana yang kita jumpai pada kabel.185

COTOH-10.6: Dari suatu gardu distribusi dengan tegangan kerja550 V disalurkan daya ke dua rangkaian kereta listrik. Duarangkaian kereta tersebut berada masing-masing pada jarak 1km dan 3 km dari gardu distribusi. Kereta pertama mengambilarus 40 A dan yang ke-dua 20 A. Resistansi kawat saluranudara adalah 0,4 Ω per km, sedangkan resistansi rel sebagaisaluran balik adalah 0,03 Ω per km. Tentukanlah (a) tegangankerja di masing-masing kereta, (b). Daya yang diserap saluran(termasuk rel).Penyelesaian :Diagram rangkaian listrik dari sistem yang dimaksudkan dapatdigambarkan seperti di bawah ini.GarduDistribusi+550V−40+20=60A0,4Ωa). Tegangan kerja kereta pertama (V 1 ) dan kereta kedua (V 2 )adalah:VV12= 550 − 60(0,4 + 0,03) = 524,2 V= V1+V 1−0,03Ω1 km− 20(0,8 + 0,06) = 507 Vb). Daya yang diserap saluran adalah10.5. Diagram Satu Garis20A40A3 km0,8Ω0,06Ω(0,4Ω/km)(0,03Ω/km)22p saluran = 60 (0,4 + 0,03) + 20 (0,8 + 0,06)= 1892 W = 1,89 kW20APenggambaran saluran distribusi seperti pada contoh 10.6. di atasdapat dilakukan dengan lebih sederhana, yaitu menggunakandiagram satu garis. Cara inilah yang sering dilakukan dalampraktik. Satu saluran digambarkan dengan hanya satu garis saja,beban dinyatakan dengan kebutuhan daya atau besar arusnya. Posisigardu dan beban-beban dinyatakan dalam panjang saluran ataupunresistansi saluran. Resistansi saluran dinyatakan sebagai resistansitotal yaitu jumlah resistansi kawat kirim dan resistansi kawat balik.+V 2−186 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Sebagai contoh, diagram satu garis dari sistem penyaluran daya padacontoh 10.6. dapat kita gambarkan sebagai berikut.550V1 km 2 km40A(resistansi saluran 0.43Ω/km)COTOH-10.7: Suatu saluran distribusi 2 kawat dicatu dari keduaujungnya (A dan D) dengan tegangan 255 V dan 250 V. Bebansebesar 100 A dan 180B CA berada di titik Asimpul B dan C sepertiterlihat pada diagramsatu garis berikut.Resistansi yang terterapada gambar adalah resistansi satu kawat. Tentukanlahtegangan di tiap titik beban (B dan C) serta arus di tiap-tiapbagian saluran.Penyelesaian:20Aatau550VDengan memperhitungkan saluran balik, resistansi saluranmenjadi dua kali lipat. Persamaan tegangan simpul untuk“simpul” B dan C adalah70 V B − 20 V C = 1265053 ,3VC − 20 V B = 8153 ,30,43Ω 0,86Ω40A0,01Ω 0,025Ω 0,015Ω100A180A12650 × 53,3 + 8153,3 × 20⇒ VB== 251,3 V53,3 × 70 − 4008153,3 + 20 × 251,3⇒ VC== 247,1 V53,3Arus pada segmen AB, BC dan CD adalah :20ADV − 255 − 251,3= A VIBAB == 185 A ;RAB0,02I BC = I AB −100= 85 A; I DC = 180 − I BC= 95A187

Penurunan Diagram Satu Garis. Bagaimana mungkin metodategangan simpul dapat kita aplikasikan pada rangkaian yangdigambarkan dengan diagram satu garis? Untuk menjawabpertanyaan ini, kita lihat diagram rangkaian sebenarnya (dua kawat)sebagai berikut.I AB I BCI CDAV++1 V 2−−A'R ABR AB′B C DR BCR BC′R CDR CD′B' C' D'I AB′ I BC′ I CD′Jika simpul B dan B' serta C dan C' kita pandang sebagai dua simpulsuper, maka untuk keduanya berlakuI AB − I BC + I BC ' −IAB ' = 0 dan I BC − ICD+ I CD ' −IBC ' = 0Karena I AB = I AB ' (hubungan seri), maka haruslahI BC = I BC ' dan oleh karenanya ICD= ICD'Dengan kesamaan arus-arus ini maka aplikasi HTK untuk setiapmesh pada rangkaian di atas akan memberikanVVV'A A'B B'C Cyang dapat ditulis sebagai+ I ABRAB+ V+ I BC RBC+ V+ ICDRCD+ VV ' + IA A ABV ' + IB B BCV ' + IC C CD'BB'CC'DD+ I+ I+ I'AB'BCR'CDR'AB'BCR'CD= 0= 0= 0( RAB+ R ' ) + V ' = 0AB BB( RBC+ R ' ) + V ' = 0BC CC( R + R ' ) + V ' = 0CDTiga persamaan terakhir ini tidak lain adalah persamaan rangkaianyang berbentuk :CDDD188 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

AI AB I BCI CDB C D+ R AB +R AB’R BC +R BC’ R CD +R CD’V +1 V 2−−A'Dengan mengambil simpul B' sebagai simpul referensi kita dapatmemperoleh persamaan tegangan untuk simpul B dan C sebagai⎛ 1 1 ⎞⎜⎟VAVCVB++ I ' − −''BB+ ' + '⎝RAB+ RABRBC+ RBC⎠RABRABRBCRBC⎛ 1V ⎜C'⎝RBC+ RBC1 ⎞⎟VBVD++ I ' − −+CCRCDR '+ ' + 'CD ⎠RBCRBCRCDRCD= 0Inilah persamaan tegangan simpul B dan C yang dapat kita perolehlangsung dari diagram satu garis :AB' C' D'BR AB +R AB’ R BC +R BC’R CD +R CD’CD= 0I BB’I CC’Jadi, dengan menambahkan resistansi saluran balik pada salurankirim, maka saluran balik tidak lagi mengandung resistansi. Dengandemikian saluran balik ini dapat kita pakai sebagai simpul referensiyang bertegangan nol untuk seluruh panjang saluran balik tersebut.Dengan cara demikian ini, maka kita dapat memperoleh persamaan“tegangan simpul” langsung dari diagram satu garis tanpa harusmenggambarkan diagram rangkaian sebenarnya, dengan catatanbahwa yang dimaksud dengan “tegangan simpul” adalah teganganantara saluran pengirim dan saluran balik di lokasi yang sama.10.6. Jaringan Distribusi DayaPenyaluran daya listrik dapat bermula dari satu sumber ke beberapatitik beban ataupun dari beberapa sumber ke beberapa titik beban.Jaringan penyaluran daya ini, yang disebut jaringan distribusi daya,dapat berbentuk jaringan radial, mesh, atau ring. Ke-tiga bentuk189

jaringan tersebut akan kita lihat secara berturut-turut dalam contohberikut.COTOH-10.8: Tiga beban di A,X 250VB, dan C, masing-masingmemerlukan arus 50, 20, dan 600,04ΩA dicatu dengan jaringan radial 0,05Ωdari sumber X yangCtegangannya 250 V. Penyaluran A 0,1Ω60Adaya dari sumber ke beban 50Adilakukan melalui saluran yangBresistansi totalnya (saluranpengirim dan saluran balik)20Adiperlihatkan pada gambar.Carilah tegangan masing-masing beban dan daya diserapsaluran pada tiap cabang saluran.Penyelesaian :VA= VX− 0,05×50 = 247,5 V;VB= 250 − 0,1 × 20 = 248 V;VC= 250 − 0,04×60 = 247,6 V2pXA= (50) × 0,05 = 125 W;2pXC= (60) × 0,04 = 144 W2pXB= (20) × 0,1 = 40W;COTOH-10.9: Titik beban Adan B serta B dan C padacontoh 10.8, dihubungkandengan interkonektor yangresistansi masing-masingterlihat pada gambar disamping ini. Carilahtegangan masing-masingbeban dan daya diserapsaluran pada tiap cabangsaluran dan interconnector,serta arus saluran.X0,05Ω0,1ΩA50A0,1ΩB20A250V0,04ΩC0,15Ω60A190 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

191Penyelesaian :Persamaan tegangan simpul untuk simpul A, B, dan C adalah00,040,15600,1510,04100,10,150,1200,1510,110,1100,050,1500,110,051=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XBCXCABXBAVVVVVVVVVV062503206039502500320102038005000105030=−−+=−−−+=−−+BCCABBAVVVVVVVDari sini kita perolehV247,583247,75495V ;247,757247,6421239V;247,63=+==×+==ABCVVVDaya diserap saluran adalahW146,40,04247,63)(250W50,60,1247,75)(250W1170,05247,58)(250)(2222=−==−==−=−=XCXBXAAXXAppRVVp30954123949512500270013=−−CBAVVV18570744049509520020803001030=−−−−CBAVVV

2( V − )= A VpBAB0,12(247,58 − 247,75)=0,1= 0,3 W2(247,75 − 247,63)pBC== 0,1 W0,15Arus pada saluran:( VX−VA) (250 − 247,58)I XA = == 48,4 ARXA0,05(250 − 247,75)I XB == 22,5 A0,1(250 − 247,63)I XC == 59,3 A0,04COTOH-10.10: Gambar berikut ini adalah diagram satu garisjaringan distribusi dengan sumber-sumber yang dinyatakansebagai arus masuk ke jaringan dan beban-beban dinyatakandengan arus keluar dari jaringan. Pada jaringan berstrukturcincin ini, hitunglah arus-arus pada tiap cabang saluran.30A I 280AB 0,02Ω CI 1 I 30,01Ω 0,02Ω70A ADI 60,01Ω 0,01IF 0,03Ω Ω E 4120A I 5 60A60APenyelesaian :Aplikasi HTK untuk loop dan HAK untuk lima “simpul”memberikan persamaan dalam bentuk matriks sebagai berikut :192 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

0,01− 110000,020− 11000,0200− 1100,01000−110,030000− 10,0110000I1I2I3I4I5I6=0− 7030− 8060− 60Eliminasi Gauss memberikan :100000220000222000111100333330124671I1I2I3I4I5I6=0− 70−150− 390− 450− 81Dari sini kita peroleh :I6= −81A ; I5= 39 A ;I3= 39 A ; I 2 = −41A ;I 4 = −21A ;I1= −11ATanda negatif : arah arus berlawanan dengan arah referensi.10.7. BatereBatere merupakan sumber daya arus searah yang banyak digunakan,terutama untuk daya yang tidak terlalu besar serta keadaan darurat.Untuk daya besar, susunan batere dicatu oleh sumber arus searahyang diperoleh dari penyearahan arus bolak-balik. Berikut ini kitaakan melihat penyediaan batere, sedangkan penyearahan arus bolakbalikakan kita lihat pada sub-bab berikutnya mengenai rangkaiandengan dioda.Suatu batere tersusun dari sel-sel yang merupakan sumber dayasearah melalui konversi energi kimia. Setiap sel mempunyaitegangan yang tidak besar dan oleh karena itu untuk memperolehtegangan sumber yang kita inginkan, kita harus menyususn sel-selitu menjadi suatu susunan batere. Sebagai contoh, sumber dayauntuk mobil merupakan sumber dengan tegangan 12 V yang193

tersusun dari 6 sel terhubung seri dan masing-masing selbertegangan 2 volt.Penyediaan batere haruslah diusahakan optimal baik dilihat daripertimbangan ekonomis maupun teknis. Berikut ini suatu contohperhitungan penyediaan batere.COTOH-10.11: Suatu susunan batere diperlukan untukmemberikan arus sebesar 6 A pada beban resistif sebesar 0,7 Ω.Jika sel-sel yang tersedia mempunyai ggl (emf) 2,1 V denganresistansi internal 0,5 Ω, tentukanlah jumlah sel dansusunannya.Penyelesaian :Jika kita anggap susunanbatere kita sebagai suatu V+ R ThThsumber Thévenin, maka −untuk mencapai transferdaya maksimum resistansiThévenin harus sama dengan resistansi beban, yaituR Th = R beban = 0,7 ΩKarena arus ditetapkan sebesar 6 A, maka sumber teganganThévenin, V Th , haruslahV Th= 6 × (0,7 + 0,7) = 8,4Sel yang tersedia mempunyai ggl 2,1 V sehingga diperlukan 4buah sel dihubungkan seri untuk memperoleh tegangan 8,4 V.Susunan seri ini mempunyai resistansi total sebesar 4×0,5=2 Ω.Untuk memperoleh R Th sebesar 0,7 Ω (atau mendekati)diperlukan tiga susunan paralel, yang akan meberikan R ekivalen =0,66 Ω. Jadi kita memerlukan 4 × 3 = 12 sel, yang tersusunmenjadi 4 seri 3 paralel seperti terlihat pada gambar di bawahini.V6 A0,7 Ω4×0,5 Ω+++6 A4×2,1 V0.7 0,7 Ω−−−194 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Pemahaman :Jika susunan seri kita kurangi jumlah sel-nya, menjadi hanya 3,maka tegangan total menjadi 3×2,1=6,3 V, dan resistansinyamenjadi 3×0,5=1,5 Ω. Dengan mempertahankan susunan tetap 3paralel, resistansi ekivalen menjadi 0,5 Ω. Arus beban akanmenjadi6,3/(0,5+0,7) = 5,025 A,kurang dari yang diharapkan yaitu 6 A.Jika kita coba menambah jumlah cabang paralelnya menjadi 4,resistansi ekivalen menjadi 1,5/4 = 0,375 Ω. Arus bebanmenjadi 6,3/(0,375+0,7) = 5,86 A; tetap masih kurang dari 6 A.Jadi susunan 12 sel menjadi 4 seri terparalel 3, adalah yangoptimal dengan arus beban 8,4/(0,66+0,7) = 6,17 A.10.7.1. Sel-sel Ujung (Sel Akhir)Pada umumnya pembebanan pada batere tidaklah selalu tetap. Jikaarus beban bertambah, maka tegangan batere akan menurun karenaada resistansi internal. Tegangan batere juga akan menurun padabeban konstan, seiring dengan berjalannya waktu. Oleh karena itujika diperlukan suatu tegangan keluaran yang tertentu besarnya,maka diperlukan sel ujung yang akan dimasukkan ataupundikeluarkan dari susunan batere agar perubahan tegangan keluaranmasih dalam batas-batas yang diperbolehkan.COTOH-10.12: Dari suatu susunan batere diperlukan tegangankeluaran sebesar 220 V. Jika tegangan maksimum tiap seladalah 2,5 V sedangkan tegangan minimum yang masihdiperkenankan adalah 1,85 V, berapakah jumlah sel (terhubungseri) yang diperlukan, dan berapakah jumlah sel ujung.Penyelesaian :Jumlah sel yang diperlukan harus dihitung denganmemperhatikan tegangan minimum sel agar pada teganganminimum ini tegangan keluaran batere masih bernilai 220 V.220Jadi jumlah sel yang diperlukan adalah = = 119 buah1,85Pada saat sel bertegangan maksimum, jumlah sel yang220diperlukan hanyalah 0 = = 88 buah2,5Jadi jumlah sel ujung adalah u = 119 − 88 = 31 buah.195

10.7.2. Pengisian BatereDalam proses pengisian batere, daya dari sumber ditransfer kebatere. Daya yang dikeluarkan oleh sumber, selain untuk mengisibatere sebagian akan hilang menjadi panas dalam batere (karenaadanya resistansi internal batere), hilang pada saluran, dan jugahilang pada sumber itu sendiri karena adanya resistansi internalsumber. Kita lihat contoh berikut ini.COTOH-10.13: Sebuah sumber tegangan searah 250 V denganresistansi internal sebesar 0,5 Ω digunakan untuk mengisibatere yang terdiri dari 100 sel, masing-masing dengan ggl 2,2V dan resistansi internal 0,01 Ω. Hitunglah a) arus pengisian. b)daya pe- ngisian batere, c) daya hilang sebagai panas dalambatere, d) daya hilang sebagai panas pada sumber.Penyelesaian :Rangkaianpengisisan batereadalah sepertigambar disamping ini.+−Ggl total batere dan resistansi internalnya adalah :GGL = 100 × 2,2 = 220 V ; Rb= 100 × 0,01 = 1 Ωa). Arus pengisisan adalah :+R sR b−250 V+−V − 250 − 220= sumber GGLI= = 20 ARs+ Rb0,5 + 1b). Daya untuk pengisisan batere adalah :p pengisian = GGL × I = 220 × 20 = 4400 W .c). Daya hilang sebagai panas dalam batere adalah ;(100 × 2,2) Vppanas = bI2 R = 20 2 × 1 = 400Wd). Daya hilang pada sumber :ppanas sumber = sumberI2 R = 20 2 × 0,5 = 200W196 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

10.8. Generator Arus SearahPembahasan secara rinci dari suatu generator arus searah dapat kitapelajari dalam pembahasan khusus mesin-mesin listrik. Generatorarus searah dalam ulasan berikut ini dipandang sebagai piranti yangdapat dimodelkan secara sederhana, sebagai sebuah sumber arussearah selain batere yang kita bahas di atas.Kita mengenal beberapa jenis generator yang dibedakan menurutmacam penguatan (eksitasi) yang digunakan, yaitu generatorberpenguatan bebas, generator berpenguatan seri, dan generatorberpenguatan shunt (paralel), generator berpenguatan kompon. Disini kita hanya akan melihat generator berpnguatan bebas.Generator arus searah berpenguatan bebas dapat dimodelkan dengansumber tegangan tak-bebas CCVS. Arus eksitasi, i f , mengalirmelalui kumparan eksitasi, yang merupakan kumparan stator, danmenimbulkan medan magnet. Dalam medan magnetik inilah rotoryang mendukukung kumparan jangkar berputar dengan kecepatan nputaran per menit (n rpm) sehingga di kumparan jangkar ini timbultegangan. Tegangan jangkar ini mencatu beban yang dihubungkanke terminal generator; karena belitan jangkar memiliki resistansimaka terdapat resistansi seri yang terhubung ke tegangan yangterbangkit di kumparan jangkar yang disebut resistansi jangkar, R a .Tegangan yang terbangkit di kumparan jangkar sebanding denganfluksi magnetik di stator dan kecepatan perputaran rotor sehinggategangan jangkar dapat dinyatakan denganVg= k nφdengan k a suatu konstanta yang tergantung dari konstruksi jangkar, nkecepatan perputaran rotor, dan φ adalah fluksi magnet. Jika kitaanggap rangkaianmagnetik memilikikarakteristik linier makafluksi φ dapat kita anggapsebanding dengan aruseksitasiφ = k f i fsehingga tegangan generator dapat kita nyatakan sebagaidengan c g adalah suatu tetapan.a+_i f c g ni fR a+tegangan generator−V = cgCCVS, model generator arus searahgnif197

Rangkaian Arus SearahSoal-Soal1. Tegangan pada sebuah resistor R yang sedang dialiri arus searahdiukur dengan menggunakan sebuah voltmeter yang mempunyairesistansi internal 20 kΩ. Voltmeter menunjuk 200 V. Jika arustotal adalah 0,05 A, hitunglah nilai R.2. Arus yang melalui sebuah resistor R diukur menggunakanampermeter yang mempunyai resistansi internal 0,1 Ω (resistor Rdihubungkan seri dengan ampermeter). Jika tegangan yangdiberikan adalah 10 V dan ampermeter menunjuk 50 A. HitungR.3. Sebuah voltmeter jika dihubungkan langsung ke sumber teganganmenunjuk 240 V, jika melalui resistor seri 50 kΩ, iamenunjukkan 90 V. Berapakah resistansi internalnya ?.4. Sebuah voltmeter jika diserikan dengan resistor 50 kΩ menunjuk90 V pada tegangan sumber 240 V. Jika resistor 50 kΩ digantidengan suatu resistansi R x maka voltmeter menunjuk 3 V.Dengan membandingkan dua pengukuran tersebut, hitunglah R x .5. Dua buah voltmeter masing-masing mempunyai resistansi internal20 kΩ dan 30 kΩ. Jika mereka dihubungkan seri dan padahubungan seri ini diberikan tegangan 300 V, berapakahpenunjukkan masing-masing ?6. Suatu batere terdiri dari 10 buah sel masing-masing mempunyaiemf 1,8 V dan resistansi internal 0,02 Ω. Jika sepuluh sel itudihubungkan seri untuk mencatu beban resistor 2,8 Ω, berapakahdaya yang diserap beban ? Jika sepuluh sel tersebut dihubungkanparalel untuk mencatu beban yang sama, berapa daya diserapbeban ?7. Dua buah batere 120 V mempunyai resistansi internal berbeda,masing-masing 0,2 Ω dan 0,25 Ω. Kedua batere diparalelkanuntuk mencatu daya pada resistor 60 Ω. Hitunglah arus yangdiberikan oleh masing-masing batere.8. Sebuah beban memerlukan arus 100 mA pada tegangan 5 V.Sumber yang tersedia bertegangan 24 V. Untuk memenuhikeperluan itu digunakan potensiometer yang resistansi totalnya198 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

10 kΩ. Berapa daya diserap beban dan berapa daya diberikanoleh sumber ?9. Dua alat pemanas digunakan secara bersamaan pada tegangan 240V. Arus total yang mereka ambil adalah 15 A. Salah satupemanas diketahui menyerap daya 1200 W. Berapa daya yangdiserap pemanas yang lain dan hitunglah resistansi masingmasingpemanas.10. Resistansi konduktor suatu jenis kabel adalah 0,014 Ω per 100m. Kabel jenis ini digunakan untuk menyalurkan daya searah kesebuah beban 100 A pada jarak 250 m dari pusat pencatu daya.Hitung perbedaan tegangan antara ujung kirim dan ujung terimakabel dan hitung daya hilang pada saluran ini.11. Tiga buah beban masing-masing 50 A, dihubungkan pada satupusat pencatu daya searah melalui kabel-kabel yang terpisah.Resistansi kabel (saluran kirim + saluran balik) ke beban A, B,dan C berturut-turut adalah 0,05 , 0,1 , dan 0,02 Ω. Jika tegangandi pencatu daya adalah 250 V, hitung tegangan di masing-masingbeban.Rangkaian dengan Diagram Satu Garis12. Diagram satu garis berikut ini menunjukkan penyaluran dayasearah ke tiga beban menggunakan satu saluran kabel. Pusatpencatu daya di A bekerja pada tegangan 250 V. Tentukan padategangan berapa masing-masing beban beroperasi.I AI A 0,02Ω 0,04Ω 0,03Ω I D0,02Ω 0,02Ω 0,01ΩA B C80A 50A 30A13. Suatu kabel penyalur daya dicatu di kedua ujungnya untukmemberi daya pada dua beban seperti terlihat pada diagram satugaris berikut. Jika tegangan di A 255 V, dan di D 250 V,hitunglah tegangan di B dan C. Hitung pula arus masuk di A danD, dan arus di segmen B-C.A B C D100A150A199

14. Gambarkan diagram satu garis untuk sistem pada soal 11. Jikabeban A dan B dihubungkan dengan kabel konektor yangresistansinya 0,1 Ω, dan beban B dan C dengan kabel konektor0,015 Ω. hitung tegangan di masing-masing beban.15. Diagram satu garis suatu jaringan distribusi daya searah dengankonfigurasi cincin adalah sebagai berikut. Jika sumber di Abekerja pada 250 V, hitung tegangan masing-masing beban danarus di segmen-segmen jaringan distribusi.A120AC0,005Ω0,02Ω0,01ΩB 0,04Ω80AD0,02ΩE100A16. Sebuah beban 100 A berada pada jarak 250 m dari pusat pencatudaya. Jika tegangan jatuh pada beban tidak boleh lebih dari 5 Vdan jika resistivitas bahan konduktor kabel adalah 0,018Ω.mm 2 /m, hitunglah penampang konduktor kabel yangdiperlukan.200 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 11Rangkaian Pemroses Sinyal(Rangkaian Dioda dan OPAMP)Dalam bab ini kita akan melihat beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian, dengan contoh-contoh rangkaian pemrosesan sinyal. Kitaakan melihat rangkaian-rangkaian dengan menggunakan dioda danrangkaian dengan OP AMP.Dengan mempelajari rangkaian pemroses sinyal di bab ini, kita akan• memahami rangkaian penyearah, pemotong gelombang;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian dioda;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan resistor.• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan elemen dinamis.• memahami hubungan-hubungan bertingkat rangkaian OPAMP.11.1. Rangkaian Dengan DiodaKita telah melihat bagaimana karakteristik dioda dan kita juga telahmempelajari rangkaian dengan dioda pada waktu membahas modelpiranti. Rangkaian yang telah kita kenal adalah penyearah setengahgelombang, penyearah gelombang penuh dengan empat dioda(penyearah jembatan), dan rangkaian pensaklran. Berikut ini kitamasih akan melihat penyearah gelombang penuh dari jenis yanglain, yaitu menggunakan transformator. Namun untuk mengingatkembali, kita sebutkan secara ringkas apa yang sudah kita pelajari.11.1.1. Penyearah Setengah GelombangRangkaian dan hasil penyearahan digambarkan lagi seperti terlihatpada Gb.11.1. Nilai rata-rata arus adalah:Ias2π1=π ∫i2R0Vd(ωt)=m=πRImπ201

v sA+i+ v D −B+v RR L −CVv smi RI asωtGb.11.1. Penyearah setengah gelombang.00π2π11.1.2. Penyearah Gelombang Penuh (Rangkaian Jembatan)Rangkaian penyearah jembatan serta sinyal hasil pemrosesannyadigambarkan lagi seperti terlihat pada Gb.11.2.vD 2iC+AB+R LD 1D 4Gb.11.2. Penyearah gelombang penuh jembatan.Dengan mudah dapat dihitung nilai arus searahIas2 V=π RmL2I=π11.1.3. Penyearah Gelombang Penuh Dengan TransformatorDiagram rangkaian penyearah ini terlihat pada Gb.11.3.DV m00mvπi2πI asωtD 1v++v 1v 2+Ri 1i 2V m00v 1 v 2i 1 i 2π 2πI asωtD 2Gb.11.3. Penyearah gelombang penuhdengan transformator ber-titik-tengah.202 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Rangkaian ini menggunakan transformator dengan belitan sekunderterbagi dua sama besar (belitan sekunder mempunyai titik tengah)sehingga dapat memberikan dua tegangan sekunder sama besar.Perbandingan lilitan transformator untuk keperluan ini disesuaikandengan besar tegangan keluaran yang diinginkan.Aplikasi HTK untuk kedua loop di sekunder transformatormemberikanv v V t vv v iR i1 − D11msinω− D11 − D1− = 0 → = =RRv v Vmt vDv v iR i2 − D2− 1 sinω− 22 − D2− = 0 → = =RRPada waktu D 1 konduksi,V1sin tim ω=R(11.1)yang hanya akan bernilai positif pada selang 0 ≤ ωt ≤ π. Dalamselang ini persamaan kedua dari (11.1) menjadiVm1sinωt−V=R1msinωt− vRD2→ vD2= −2Vm1sinωtJadi pada saat D 1 konduksi, D 2 tidak konduksi karena v D2 < 0.(11.2)Pada setengah perioda berikutnya, D 2 konduksi sedangkan D 1 tidakkonduksi. Arus yang mengalir pada R akan tetap sama seperti padasetengah perioda sebelumnya. Tegangan balik maksimum yangdiderita oleh dioda adalah –2V m1 .11.1.4. Filter (Tapis) PasifTujuan dari penyearahan adalah memperoleh arus searah. Dalampenyearah yang kita bahas di atas, kita tidak memperoleh arussearah murni melainkan arus searah yang berubah secara periodik;jadi arus searah ini mengandung komponen arus bolak-balik. Variasitegangan ini disebut riak tegangan. Riak tegangan pada penyearahgelombang penuh lebih kecil dari riak tegangan pada penyearahsetengah gelombang. Untuk lebih memperkecil riak tegangan inidigunakan filter yang bertugas untuk meloloskan komponen searahdan mencegah komponen bolak-balik.203

Filter Kapasitor. Dengan menambahkan kapasitor paralel denganbeban R pada rangkaian penyearah setengah gelombang, maka riaktegangan akan sangat ditekan. Sebagaimana kita ketahui, kapasitordapat menyimpan energi. Pada saat tegangan sumber naik, kapasitorakan terisi sampai mencapai tegangan maksimum. Pada saattegangan sumber menurun, kapasitor akan melepaskan energi yangdisimpannnya melalui beban (karena pada saat ini dioda tidakkonduksi). Dengan demikian beban akan tetap memperoleh aliranenergi walaupun dioda tidak konduksi. Selanjutnya bila diodakonduksi lagi, kapasitor akan terisi dan energi yang tersimpan iniakan dilepaskan lagi pada waktu dioda tidak konduksi; dandemikian seterusnya. Filter semacam ini tentu saja dapat puladigunakan pada penyearah gelombang penuh.Gb.11.4. memperlihatkan rangkaian penyearah setengah gelombangdengan filter kapasitor. Jika v = Vm sin ωt, bagaimanakah bentuktegangan keluaran pada beban R ?Pada waktu dioda konduksi,kapasitor terisi sampai teganganmaksimum. Pada waktu v menuruntegangan sumber menjadi lebihkecil dari tegangan kapasitor dan vdioda tidak konduksi, v C = v R .Kapasitor melepaskan muatannyamelalui R dan selama pelepasanmuatan ini, kita mempunyai looptertutup RC seri. Untuk loop ini berlakudvCv R vC= RiR= R −iC) = −RCdtPersamaan diferensial ini memberikanC1= − dt → lnvC= − t + KvCRCRCdvC( → RC + v = 0dt= Cdv )1 −(1/RC t⇒ vC= K1eNilai K 1 ditentukan oleh nilai awal tegangan kapasitor yaitu padasaat ia mulai melepaskan energinya yang hampir sama besar dengantegangan maksimum yang dicapai sesaat sebelum dioda berhenti−(1/ RC)tkonduksi, yaitu V m . Jadi vC= Vme. Dioda akan kembalikonduksi manakala v > v C . Maka tegangan pada R adalahpada waktu dioda konduksi: vpada waktu dioda tak konduksi: vR= vRC= v= VCi D+ v D −+v R−Gb.11.4. Filter kapasitor.sinωtVm−( 1/ RC)tVme=V204 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

151050-5-10-15v R=v vT0 0.05 0.1 0.15∆T∆v CωtDengan menambahkan kapasitor, riak tegangan dapat diperkecil.Kita dapat melihat bahwa tegangan kapasitor menurun sebesar ∆v C .Penururnan tegangan ini menunjukkan adanya pelepasan muatansebesar C∆v C dan ini sama dengan jumlah muatan yang ditransfermelalui R dalam selang waktu (T−∆T), yaitu sebesar I as (T−∆T).Dengan relasi ini kita dapat memperkirakan besarnya C yangdiperlukan untuk membatasi tingkat riak tegangan (membatasi ∆v C).∆ q⇒C= C ∆vCIasTC =∆vC= IasI=asf∆v( T − ∆T) ≈ ICV=asRf∆vCasT(11.3)COTOH-11.1: Pada penyearah dengan filter Gb.11.2, R = 5 kΩ,dan diinginkan tegangan dan arus di R adalah I as = 10 mA danV as = 50 V, sedangkan riak tegangan tak lebih dari 1% × V as ,berapakah nilai C dan berapa tegangan masukan v jikafrekuensinya 50 Hz ?Penyelesaian :Vas∆vC= 0,01Vas → = 0,1∆vCVas1→ C = = ×Rf∆vC5000 × 50Vas10,01= 400 µ F= 50 V →V≈ 50 V → v = 50sin(100πt)Vm(jika sumber yang tersedia 220 V, diperlukan transformator).205

11.2. Rangkaian Dengan OP AMPKarakteristik OP AMP telah kita bahas pada waktu kita membahasmodel piranti di Bab-5. Dua rangkaian dasar OP AMP, yaiturangkaian penyangga dan rangkaian penguat non-inversi telah pulakita pelajari. Di sub-bab ini kita akan membahas rangkaianrangkaianOP AMP yang lain termasuk rangkaian dengan elemendinamis. Apa yang telah kita pelajari mengenai OP AMP akan kitaulang secara ringkas.11.2.1. Karakteristik Penguat Operasional (OP AMP) IdealOP AMPiadalah suatuPi opirantiv P ++v P = v (11.4)berbentuk−v ++ v o iP= i = 0rangkaiani −terintegrasiyang cukuprumit, terdiri Gb.11.5. Rangkaian dan karakteristikdari transistor,OP AMP ideal.resistor, dioda, kapasitor, yang semuanya terangkai dalam satu chip.Walaupun rangkaiannya rumit, OP AMP dapat dimodelkan dengansuatu karakteristik i-v yang agak sederhana. Rangkaian dankarakteristik OP AMP ideal yang kita gunakan untuk melakukananalisis adalah seperti terlihat pada Gb.11.5.11.2.2. Rangkaian PenyanggaRangkaian penyangga serta relasi masukan-keluaran diperlihatkanlagi pada Gb.11.6.i Pv Pv o+v −v s +−Rv o = v s (11.5)i Gb.11.6 Rangkaian Penyangga.206 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

11.2.3. Rangkaian Penguat on-InversiRangkaian penguat non-inversi serta relasi masukan-keluarandiperlihatkan lagi pada Gb.11.7.i Pv Pv o+v −v s+R−1i R 2v oR1+ R 2R 2= (11.6)vsumpan balikGb.11.7. Rangkaian penguat non-inversi11.2.4. Rangkaian Penguat InversiDiagram rangkaian penguat inversiterlihat pada Gb.11.8. Sinyalmasukan dan umpan balik,keduanya dihubungkan ke terminalmasukan inversi. Terminal noninversidihubungkan ke titikpentanahan, sehingga v P = 0.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalahv s+−R 1i 1i v v Pi 2umpan balikAGb.11.8. Penguat inversi−+R 2v oOleh karena v = v P = 0 dan i = i P = 0, makav vs + o = 0R R1 2sehingga⎛ R ⎞v = − ⎜ 2 ⎟ voRs⎝ 1 ⎠(11.7)Kita lihat bahwa gain loop tertutup adalah K = − (R 2 / R 1 ). Tandanegatif menunjukkan terjadinya pembalikan polaritas sinyal. Olehkarena itu rangkaian ini disebut penguat inversi.207

COTOH-11.2: Disamping ini adalahsalah satu variasirangkaian penguatinversi. Tentukanlahhubungan keluaranmasukandanresistansi masukan.Penyelesaian :v s+−R 1R 3Persamaan tegangan simpul untuk simpul A (terminal inversi) :AR 2−++v oUntuk OP AMP ideal i = i P = 0, dan v = v P = 0 maka−vR1s−v+R208 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)2o= 0 →vvos−R=RKarena v A = v P = 0 maka i in = v s / R 1 . Resistansi masukan adalahvRin sin = = = R1iinvs/ R1Pengaruh adanya R 3 akan terlihat jika kita menggunakanrangkaian Gb.5.12.COTOH-11.3:Pada variasirangkaian penguatinversi di sampingini, tentukanlahhubungan keluaranmasukandanresistansi masukan.Penyelesaian :v si in R 4+−Kita pandang rangkaian ini terdiri dari seksi sumber, yaiturangkaian sebelah kiri dari simpul B, dan seksi beban yaiturangkaian di sebelah kanan simpul B (rangkaian penguatinversi). Jika seksi sumber kita ganti dengan rangkaian ekivalenThévenin-nya, maka rangkaian menjadi seperti di bawah ini.vR 5BR 112AR 2−++v o

V T+−R 1AR 2−++v oDengan cara seperti pada contoh sebelumnya, kita akanmemperolehMaka :vovoV R2R5R2R= × T = −× = −5vs VTvsR1+ R4|| R5R4+ R5( R1R5 + R1R4 + R4R5)Resistansi masukan adalah R in = v s / i in . Karena v A = v = v P = 0,maka i in = v s / (R 4 + R 1 ||R 5 ), sehinggavR4(R1R5) R1RR s+ + 5in = = R4+ R1|| R5=iinR1+ R511.2.5. Rangkaian PenjumlahDiagram rangkaian penjumlahatau adder terlihat padaGb.11.9. Rangkaian inimempunyai dua masukan dankeduanya dihubungkan keterminal masukan yang sama,yang disebut titik penjumlah.Terminal masukan noninversiditanahkan, sehinggav P = 0 = v dan i = 0(model ideal).i 1R 1v 1Persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah+−v 2+−R 2v v PA−+i FGb.11.9. Rangkaian penjumlah.v o209

⎛ 1 1 1 ⎞ 1 2 o+ v v vv⎜ + + ⎟ i− − − = 0⎝ R1R2RF⎠ R1R2RFv1v2vo→ + + = 0R1R2RFDari persamaan ini dapat diperoleh hubungan antara keluaran danmasukan yaituv⎛ vv⎞R1 2o = −RFvFF ⎜ + = − 1 − v2= K1v1+ K2v2R1R⎟(11.8)2 R1R2⎝⎠Jadi, tegangan keluaran merupakan jumlah dari tegangan masukanyang masing-masing dikalikan dengan gain yang berkaitan. Jumlahmasukan sudah barang tentu tidak terbatas hanya dua. Jika terdapatN masukan dengan tegangan masukan masing-masing v n danresistansi R n makavo=∑nKnvnRdenganKn= −RCOTOH-11.4: Carilahtegangan keluaran dari Rvrangkaian di samping 1−+ini.v 2RPenyelesaian :R Rv o = − v1− v2= −( v1+ v2)R RTegangan keluaran merupakan inversi dari jumlah teganganmasukan.RRFn(11.9)v oCOTOH-11.5: Carilahtegangan keluaran darirangkaian di sampingini.Penyelesaian :v 1v 2RRA+−RRv oPersamaan teganganuntuk simpul A adalah210 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛ 1 1 ⎞ v1vv2P ⎜ + ⎟ + iP− − = 0⎝ R R ⎠ R Rv1+ v→ v2P =2Karena v = v o /2, maka :v1+ v2vo= → vo= v1+ v22 2Tegangan keluaran merupakan jumlah tegangan masukan.Pemahaman :Masing-masing sumber pada rangkaian ini mengeluarkan arus :v1− vPv1− v2v2− vPv2− v1i1= = ; i2= =R 2RR 2RSumber-sumber terbebani secara tidak merata (tidak sama).Pembebanan sumber tidak terjadi apabila v 1 = v 2 . Hal iniberbeda dengan rangkaian pada contoh 7.7.Pada contoh 7.23. masing-masing sumber mengeluarkan arusv1− v v1v2− vv2i1= = ; i2= =R RR RJadi pada rangkaian penjumlah inversi, sumber akan tetapterbebani walaupun v 1 = v 2 .COTOH 11.6:Carilah tegangan keluaranv o dari rangkaianpemjumlah di sampingini.Penyelesaian :Rangkaian penjumlah inimempunyai keluaranv 165 65v +13 5( 5vv )o = − v1− v2= − 1 13 265kΩPemahaman :Apabila kita diminta untuk merancang penjumlah denganformulasi v o seperti di atas, kita tidak akan memperoleh nilai+−13kΩv 2+−5kΩA−+v o211

esistor seperti apa yang tertera dalam diagran di atas. Dalamkenyataan nilai-nilai resistansi pada rangkaian ini tidak ada dipasaran. Oleh karena itu kita harus melakukan modifikasidengan memilih nilai resistor yang ada di pasaran yangmendekati nilai-nilai ini. Misalkan resistor 65 kΩ kita gantidengan 56 kΩ. Penggantian ini mengharuskan dua resistor yanglain bernilai masing-masing 11.2 kΩ dan 4.31 kΩ. Dengantoleransi ± 5 % kita dapat memilih resistor 11 kΩ dan 4.3 kΩ.Pemilihan nilai-nilai resistor yang ada di pasaran ini akanmemberikan formulasi tegangan keluaran56 56v = − v − v = − +11 4.3( 5,09v13, v )o 1 21 02Dalam perancangan, kita harus melakukan kompromi sepertiini. Tegangan keluaran yang kita peroleh akan mempunyaikesalahan jika dibandingkan terhadap formulasi ideal yangsemula diinginkan. Namun dengan pemilihan komponen yangtepat, kesalahan ini dapat dibatasi tidak lebih dari sesuatu nilaiyang ditetapkan; dalam contoh ini kesalahan tersebut tidaklebih dari 2 %.11.2.6. Rangkaian Pengurang atau Penguat DiferensialDiagram rangkaian pengurangatau penguatdiferensial ini terlihat padaGb.11.10. Salah satutegangan masukandihubungkan ke terminalmasukan inversi denganrangkaian inversi,sedangkan teganganmasukan yang laindihubungkan ke terminalmasukan non-inversi+−Gb.11.10. Penguat diferensial.dengan rangkaian non inversi. Hubungan masukan – keluaran dapatdicari dengan menggunakan prinsip superposisi. Jika v 2 dimatikanmaka terminal non inversi terhubung melalui resistor ke titikpentanahan, jadi v P = 0 karena i P = 0. Dalam keadaan ini rangkaianbekerja sebagai penguat inversi; makav 2i 1R 2i v v 1 R 3−v P++−R 1R 4i P2i 2v o212 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Rv2o1 = − v1R(11.10)1Jika v 1 dimatikan maka terminal inversi mendapat tegangan yangbesarnya adalahv R +Tegangan di terminal non-inversi=1vo2R1R(11.11)2Rv P+=4v2R3R(11.12)4Karena v = v P maka dari (11.11) dan (11.12) kita perolehR1R4⎛ R4⎞⎛ R1+ R2⎞vo2= v2atau vo2=v2R1R2R3R⎜4R3R⎟⎜4 R⎟+ +⎝ +(11.13)⎠⎝1 ⎠Keluaran total adalah⎛ R2⎞ ⎛ R4⎞ ⎛ R1+ R2⎞vo= vo1+ vo2= −⎜ v1v2R⎟ +⎜1 R3R⎟⎜4 R⎟⎝ ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ 1 ⎠= −K1v1+ K2v2(11.14)Dalam keadaan khusus, jika kita buat R 1 = R 2 = R 3 = R 4 maka v o =v 2 − v 1 .COTOH 11.7:Carilah v o pada rangkaian di bawah ini.v 1R 2R v oR/2 −vB2 +RAPenyelesaian :Persamaan tegangan untuk simpul A dan B memberikan213

⎛ 1 1 ⎞ v1vo3vv⎜ + ⎟ + i− − = 0 →⎝ R 2R⎠ R 2R2R2v1vo→ v= +3 3⎛ 2 1 ⎞ 2v2 2vvi 0 v2P ⎜ + ⎟ + P − = → P =⎝ R R ⎠ R3Karena v = v P makaPemahaman :2v3v32v3v1vo= +R 2R1 o+ =2→ vo= 2v2− 2v1Dalam rangkaian di atas, arus yang keluar dari masing-masingsumber adalahv1− vv vi1 −1 = =R Rv 2vi2 22 = =R + R / 2 3RPv1− 2v=R2/ 3 3v1− 2v=3RTerlihat di sini bahwa masing-masing sumber mendapat bebanyang berbeda. Kejadian seperti ini harus diperhatikan agarjangan terjadi pembebanan berlebihan pada salah satu sumber.Pembeban-an pada sumber akan tetap terjadi walaupun v 1 = v 2 .Pembebanan pada sumber dapat ditiadakan denganmenghubungkan sumber langsung ke terminal masukan OPAMP sehingga sumber akan melihat resistansi masukan yangtak-hingga besarnya. Rangkaian yang kita bangun akanmemerlukan lebih dari satu OP AMP yang terangkai secarabertingkat, suatu bentuk hubungan yang akan kita bahasberikut ini.11.2.7. Hubungan Bertingkat Rangkaian OP AMPHubungan bertingkat adalah hubungan dari dua atau lebih unitrangkaian dimana keluaran dari satu unit rangkaian menjadimasukan bagi unit rangkaian berikutnya. Suatu contoh hubunganbertingkat diberikan pada Gb.11.11.2214 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v 1 v 2 v 3 v oK1 K 2 K 3v 1 v 2v 3+ v o−+−+−Gb.11.11. Hubungan bertingkat.Keunggulan rangkaian OP AMP adalah bahwa mereka dapatdihubungkan secara bertingkat tanpa menyebabkan perubahanhubungan masukan-keluaran dari masing-masing rangkaian.Jika masing-masing rangkaian (masing-masing tingkat) dalamcontoh ini mempunyai gain K 1 , K 2 , dan K 3 , maka gainkeseluruhannya menjadi K 1 × K 2 × K 3 .Rangkaian OP AMP mempunyai resistansi keluaran nol. Olehkarena itu pada hubungan bertingkat tidak terjadi pengaruhpembebanan pada rangkaian OP AMP dan dengan demikian tidakmengubah hubungan masukan-keluaran. Walaupun demikian, dayayang diperlukan oleh suatu tingkat harus masih dalam bataskemampuan daya tingkat di depannya. Oleh karena itu kita perlumengetahui resistansi masukan rangkaian OP AMP agar kita dapatmelakukan evaluasi apakah keperluan daya suatu tingkat tidakmelampaui kemampuan daya tingkat di depannya.Secara umum resistansi masukan dapat dinyatakan sebagai R in = v in /i in . Pada penguat non-inversi, i in = i P = 0, sehingga penguat noninversimempunyai resistansi masukan R in = ∞.v 1+−v oR 1R 2v 1 R 1 R 2_v o+Penguat Non-InversiPenguat InversiPada penguat inversi, i in = ( v in - v ) / R 1 ; karena v = v P = 0 makai in = v in / R 1 , sehingga untuk penguat inversi R in = R 1 . Dalamhubungan bertingkat, resistansi masukan penguat inversi yang215

nilainya berhingga ini akan membebani rangkaian tingkat didepannya. Dalam perancangan, kita cenderung untuk membuat R 1besar untuk memperkecil pembebanan ini. Tetapi gain loop tertutupdari penguat ini berbanding terbalik dengan R 1 , yaitu K = −(R 2 /R 1 ); jadi jika R 1 diperbesar gain akan mengecil. Menghadapi haldemikian ini kita harus melakukan kompromi dalam memilih nilaiR 1 .COTOH-11.8: Tentukantegangan keluaran v o darihubungan bertingkat disamping ini.Pemahaman :⎛ 1 1 ⎞ vo1vvo ⎜ + ⎟ + i− − = 0⎝ R R ⎠ R R→ v = 2v− v = 2v− 2vov 1 +R −+oRPenyelesaian :Tingkat pertama v 2 +rangkaian ini berupapenguat non-inversi dengan keluaran v o1 = 2v1. Keluaran inimenjadi masukan di tingkat ke dua yang berupa sebuah penguatdiferensial dengan keluaran yang dapat diturunkan sebagaiberikut.o1Keluaran dari rangkaian ini sama dengan rangkaian pada contoh-11.7. Jelaslah bahwa suatu formulasi keluaran dapat dipenuhioleh lebih dari satu macam rangkaian. Rangkaian mana yangdipilih dalam suatu perancangan tergantung dari berbagaipertimbangan, baik teknis maupun ekonomi.Jika kita bandingkan rangkaian pada contoh-11.7 dan 11.8 akanterlihat bahwa sumber-sumber pada contoh-11.7 terbebanisedangkan pada contoh-11.8 sumber-sumber tidak terbebanikarena mereka terhubung pada penguat non-inversi yangresistansi masukannya tak-hingga. Jika daya sumber sangatterbatas, rangkaian pada contoh-11.8 akan menjadi pilihanwalaupun untuk itu diperlukan biaya lebih besar karena perludua OP AMP.2+−v o11RR+v216 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

11.3. Diagram BlokDalam rangkaian-rangkaian OP AMP yang kita bahas di atas(penguat inversi, non-inversi, penjumlah, pengurang), terdapathubungan linier antara keluaran dan masukan. Oleh karena itu kitadapat melihat setiap rangkaian sebagai suatu unit pemroses sinyalyang mengandung suatu konstanta tertentu yang menetapkanhubungan antara masukan dan keluarannya. Unit itu dapatdigambarkan dengan suatu blok saja dengan menyebutkan konstantaproporsionalitasnya. Cara penggambaran seperti ini kita sebutdiagram blok. Gb.11.12 memperlihatkan rangkaian, diagram blok,dan konstanta proprosionalitas dari penguat non-inversi dan penguatinversi.v 1+_v oR 1R 2v 1Penguat Non-InversiKR1+ RK = 2R2v ov 1 v ov 1v oR K1 R 2_+R2K = −R1Penguat InversiGb.11.12. Rangkaian dan diagram blok penguatnon-inversi dan penguat inversiGb.11.13. memperlihatkan rangkaian, diagram blok, dan konstantaproprosionalitas penjumlah dan pengurang. Suatu diagram blokmemperlihatkan urutan pemrosesan sinyal secara fungsional tanpamelihat detil rangkaian listriknya.217

v 1R 2R 1 v oR Fv 2−+Penjumlahv 1K 1v 2++K 2v oK1= −RFR1RFK2= −R2v 1R 2−+v 2R 3R 1vv 1oR 4PengurangK 1v 2++K 2v oR2K1= −R1⎛ R + ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ 1 R2RK⎟×⎜ 42⎟⎝ R1⎠ ⎝ R3+ R4⎠v o+Gb.11.13. Rangkaian dan diagram blok penjumlahdan pengurang.COTOH-11.9: Gambarkan diagram blok rangkaian di bawah inidan tentukan tegangan keluaran v o .10kΩv 1+10kΩ5kΩ−+v 2v o110kΩ10kΩ 10kΩ 5kΩ−+v o2−++ v oPenyelesaian :Tingkat pertama adalah penguat inversi dengan K 1 = −0,5.Tingkat ke-dua adalah penjumlah inversi dengan K 2 = −1 untukmasukan v o1 dan v 2 .Tingkat ke-tiga adalah penguat inversi dengan K 3 = −0,5.Diagram blok rangkaian ini dan keluarannya v o adalah sebagaiberikut:v 2−v−1 2+ 0,5v 1− v 2−0,25v 1− 0,5v 2−0,5v+1−0,5vv o1−0,5 −10,5v 1218 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

11.4. Rangkaian OP AMP Dinamik11.4.1. Rangkaian IntegratorIntegrator adalah salah satu rangkaianOP AMP dinamik. Rangkaian integratormirip dengan rangkaian penguat inversitetapi resistor pada saluran umpan balikdiganti de-ngan kapasitor, sepertiterlihat pada Gb.11.14. Bagaimanarangkaian ini berfungsi dapat kitaanalisis sebagai berikut.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalah:v⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ − C⎝ R ⎠ddtvR( v − v ) −s0o =Untuk OP AMP ideal v = v P = 0 = v A , sehingga persamaan di atasmenjadivs= −CRddtv ( t)1RCo( vo) atau∫d(vo) = −∫v o (0)t0v dtDari persamaan ini kita peroleh1 tvo= vo( 0) − ∫ v s dt(11.15.a)RC 0Karena v A = 0, maka v o = v C ; jika tegangan awal kapasitor adalahnol, maka v o (0) = v C (0) = 0, dan persamaan (11.15.a) menjadi1 tvo= − ∫ v s dt(11.15.b)RC 0Jadi tegangan keluaran v o merupakan integral dari teganganmasukan v s . Rangkaian ini merupakan rangkaian integrator inversikarena konstanta proporsionalitasnya negatif. Diagram blok dariintegrator adalah sebagai berikut:v 1 v oKK = 1/RC∫s219

11.4.2. Rangkaian DiferensiatorRangkaian diferensiator diperolehdengan menukar posisi resistor dankapasitor pada rangkaian integrator,seperti terlihat pada Gb.11.15.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A dalam rangkaian iniadalah:v− CRddtvR( )ov − v − 0s =Karena v A = v = v P = 0 , makav d= −CR dto v ( t)1vs(0)s( vs) atau∫d(vs) = −∫Di sini v s merupakan tegangan kapasitor, dan jika tegangan awalkapasitor adalah nol maka1 tdvv = − ∫ v dt v = −RCsso atau o(11.16)RC 0dtJadi tegangan keluaran merupakan diferensiasi dari teganganmasukan. Rangkaian ini disebut diferensiator inversi karenakonstanta proporsionalitasnya negatif.RCDiagram blok dari diferensiator adalah sebagai berikut:v dKv 1 o dtK = −RCi CA+v sC Ri v −v P +tv0 odti RGb.11.15. Diferensiatorinversi.+v oCOTOH-11.10:Tentukan tegangankeluaran v o padarangkaian di sampingini.Penyelesaian :v s +Rangkaian ini terdiri dari diferensiator inversi dan penjumlahinversi. Diagram blok dari rangkaian ini adalah :C−+R 3R 1 R 2−+R 4+ v o220 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

v s−R 1 Cddt−RR324−RR4++v oTegangan keluaran adalahCOTOH-11.11:Tentukantegangankeluaran v o padarangkaian disamping ini.vo⎛ dvs⎞ ⎛ − R= R C4⎜ − 1 ⎟dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R2⎛ R1R4C⎞ dvs⎛ R=4⎜R⎟ −2 dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R3⎞ ⎛ − R⎟ +⎜⎠ ⎝ R3⎞⎟ v⎠v 1 +R 1R 2v 2 +R 3s4⎞⎟ v⎠Penyelesaian :Rangkaian ini terdiri dari penguat diferensial dan integrator.Diagram blok dari rangkaian ini adalah :R 4−+R 5s−+C+ v ov 1v 2R 4 R1+ R×R + R R34−R2R112++1−R 5 C∫v oTegangan keluaran adalaht1 ⎪⎧⎛ R( )4 R1+ R2⎞ ⎛ R2⎞ ⎪⎫vot = −v2v1⎬dt+ vo(0)R5C∫ ⎨⎜ ×R0⎪⎩ 3 R4R⎟ −⎜1 R⎟⎝ +⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭Pemahaman :Jika kita buat semua resistor bernilai sama, R, maka keluarandari rangkaian di atas adalahv1t)= −RC ∫t{ v − v } dt + v (0)o( 2 1 o0221

COTOH-11.12: Tunjukkanlah bahwa keluaran rangkaian OPAMP dengan induktor di bawah ini masing-masing merupakanintegrasi dan diferensiasi tegangan masukannya.Penyelesaian :Rangkaian a) :di( )= = 0 → = =Lt iLtv vPvLvsL →∫vsdt= L0 ∫diLdti (0)i L (0) adalah arus awal induktor. Jika arus awal ini nol makati ( t)L∫ vsdt= L∫diL→ iL(t)=0Untuk terminal masukan inversi berlakuiL01L∫t0Lv dtv+o 1 t v+ 0 = 0 →∫vsdt+o= 0 sehinggaR L 0 RR tvo= − ∫ vsdtL 0Rangkaian b) : Jika arus awal induktor adalah nol maka1iL( t)=L∫tv0 oUntuk terminal masukan inversi berlakuiLv+sRDari sini diperoleh∫tLv dt = − vsR0 odt1 t v+ 0 = 0 → ∫ v dt +s=L 0 Rsehinggaso 0voL dv= −sR dt222 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Carilah tegangan v o rangkaian di samping ini, jika v s = 380cos314tV, dioda ideal.v s+−1µF1µF100kΩ+v o−2. Pada sebuah resistor 10 kΩ diperlukan tegangan searah agarmengalir arus 20 mA. Tegangan searah diberikan dari penyearahsetengah gelombang yang masukannya adalah tegangan bolakbalik220 V, 50 Hz. Tentukan kapasitor filter yang harusdiparalelkan dengan resistor agar riak gelombang tegangan tidaklebih dari 10%.3. Carilah hubungan antara tegangan keluaran v o dan teganganmasukan v s pada rangkaian-rangkaian berikut ini dan gambarkandiagram bloknya.223

4. Carilah hubungan antara v o dan i s rangkaian-rangkaian berikut.224 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4. Gambarkan diagram blok dari rangkaian berikut ini dan dengandiagram blok tersebut tentukan tegangan keluaran v o .6. Carilah arus i pada rangkaian berikut ini jika v s = 4sin3000t V.12kΩ16kΩv s4kΩ+−−+8kΩ−+12kΩi7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikutdinyatakan dalam v s dan gambarkan diagram bloknya .2kΩ 2kΩ−++2kΩv o+ v s2kΩ0,5µFa).225

+v s2µF 100kΩ−++100kΩ100kΩb).v oc).+v s2µF100kΩ100kΩ−+8. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikut dinyatakandalam v s1 dan v s2.+v ov s1 +v s2 +4kΩ8kΩ0,5µF−++v o226 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 12Fasor, Impedansi, dan KaidahRangkaianDalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan,ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk sinyal sinusdengan frekuensi 50 atau 60 Hz. Dalam teknik telekomunikasi,sinyal sinus dimanfaatkan dalam selang frekuensi yang lebih lebar,mulai dari beberapa Hz sampai jutaan Hz. Sejalan dengan itu, kitamemerlukan suatu cara analisis khusus untuk menanganni persoalanrangkaian listrik yang melibatkan sinyal sinus dalam keadaanmantap, yang kita sebut analisis arus bolak-balik keadaan mantap.Analisis rangkaian dengan sinyal sinus telah pernah kita lakukandengan menyatakan sinyal sinus sebagai fungsi waktu atau dengankata lain kita melakukan analisis di kawasan waktu. Mulai bab inikita akan melakukan analisis di kawasan fasor. Dalam analisis ini,sinyal sinus kita nyatakan dalam bentuk fasor. Dengan sinyal sinusdinyatakan dalam fasor, pernyataan-pernyataan elemen rangkaianpun menjadi khusus pula. Kita katakan bahwa rangkaian yang biasakita nyatakan dalam waktu, kita transformasikan menjadi rangkaiandalam fasor. Setelah ditransformasikan, kita melakukan analisis dimana semua besaran dan karakteristik elemen dinyatakan dalamfasor. Dengan bekerja dalam fasor, kita terhindar dari persamaanrangkaian yang dikawasan waktu berbentuk persamaan integrodiferensial.Pernyataan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor dilakukan melaluiforrmulasi bilangan kompleks. Untuk mengingat kembali mengenaibilangan kompleks ini, ulasan singkat mengenai bilangan kompleksdiberikan pada Lampiran III.Bab ini akan kita awali dengan pembahasan pengertian fasor danoperasi fasor, impedansi, dan dilanjutkan dengan pembahasantentang kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor.Setelah mempelajari bab ini, kita akan• mampu menyatakan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor.• memahami konsep impedansi di kawasan fasor.• memahami bagaimana aplikasi hukum-hukum dankaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor.227

12.1. Fasor Dan Impedansi12.1.1. Pernyataan Fasor dari Sinyal Sinus dan Operasi FasorKita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk= cos x + j sin x(12.1)Dengan menggunakan hubungan ini maka sinyal sinus dapatdinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitue jxjxjxcos x = Re e dan sin x = Im e(12.2)dengan Re dan Im masing-masing menunjukkan bahwa yangdimaksudkan adalah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangankompleks e jx . Jika kita tetapkan bahwa hanya bagian riil daribilangan kompleks e jx saja yang kita ambil untuk menyatakan sinyalsinus maka sinyal y = Acos(ωt+θ) dapat kita tulis sebagaij(ω t+θ)y = Acos(ωt+ θ)= Re Aejθjωt= Re Ae ejθjωt= Ae e(12.3)tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruhsistem, maka faktor e jωt pada pernyataan fungsi sinus (12.3) tidakperlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukupdengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadijθsinyal sinus v = Acos(ωt+ θ)dinyatakandengan V = Ae (12.4)Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini kita sebutfasor (dalam buku ini ditulis dengan huruf besar dan tebal) . Jadidengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudutfasanya saja dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu.Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja,maka fasor dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dansudut fasanya. Jadi penulisan fasor dalam bentuk yang kita sebutbentuk polar adalahθV = Ae j(12.5)ditulis sebagaiV = A∠θFasor V = A∠θ dapat kita gambarkandalam bidang kompleks, sepertiterlihat pada Gb.12.1. Panjang fasorIm|A|VGb.12.1. Fasor.θRe228 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

adalah nilai mutlak dari amplitudo A.Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudutsiku,yaitu :( cos θ + sin θ)V = A∠θ = A j(12.6)Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubahke bentuk polar2 2 −1⎛ b ⎞V = a + jb = a + b ∠ tan ⎜ ⎟⎝ a(12.7)⎠Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudutsikudan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasioperasifasor yang akan kita lihat berikut ini.12.1.2. Operasi FasorPerkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasordituliskan dalam bentuk polar.makaJikaA = A∠θ1C = AB = AB∠(θdandan1+ θB = B∠θHal ini mudah difahami, karena jikaA = Aejθ1C = Aejθ1B = BeBejθ2jθ22)kita2makamenuliskanj( θ1+θ= ABe2 ) = AB∠(θ1+ θ2)(12.8)Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasordituliskan dalam bentuk polar.Jika A = A∠θ1A A∠θ1D = =B B∠θ2dan B = B∠θ2A= ∠(θ1− θ2)Bmaka(12.9)229

Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskanjθA = Aemaka1danjθAeD =jθBe12jθB = Be2A jθ=1 − jθe eB2A j( θ1−θ2 ) A= e = ∠(θ1− θ2)BBPenjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahanataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskanfasor dalam bentuk sudut-siku.JikamakaA = a1+ jb1C = A + B ==D = A − B ==Jika A = A∠θ1C = A + B =D = A − B =( a + a ) + j( b + b )2( a + a ) + ( b + b )121B = a2+ jb2( a + jb ) − ( a + jb )1dan2112 −1⎛b + ⎞∠⎜ 1 b22 tan⎟⎝ a1+ a2⎠⎛ b − b22 −1( a − ) + ( − ) ∠⎜ 1 21 a2b1b2tana − ⎟ 1 a2⎠dan2( A cos θ1+ B cos θ2) + j( Asinθ1+ B sin θ2)( A cos θ − B cos θ ) + j( Asinθ − B sin θ )1B21= B∠θ222⎝maka1⎞2(12.10)(12.11)Fasor egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuksudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masingkomponen riil dan imajiner.ImJika A = a1+ jb1makaA|A|− A = −a1− jb1θFasor konjugat dari A ditulis A * Re. −A|A|Jika A = a1+ jb1makaA *A*= a1− jb1Dalam bentuk polar,Gb.12.2. Fasor dan negatifnyaserta konjugatnyaJikamakaA = A∠θ− A = A∠= A∠o( θ + 180 )o( θ −180)danA*=A∠ − θ(12.12)230 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Fasor Dengan Sudut Fasa 90 o dan 0 o . Bentuk sudut-siku darifasor dengan sudut 90 o dan 0 o adalahoA = A∠90= jA ;oB = B∠ − 90 = − jBoC = C∠0= C;(12.13)COTOH-12.1: Ubahlah pernyataan sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dengan bentuk polar maupun bentuk sudut-siku danlakukanlah operasi-operasi fasor yang diminta.oa). v1(t)= 10cos(500t− 45 )c). i1( t)= −4 cos1000tob). v2( t)= 15cos(500t+ 30 )od). i2( t)= 3cos(1000t− 90 )**e). I3= I1+ I 2 f). S1= V1I1; S 2 = V 2 I 2V1V2g). Z1= ; Z2=I1I 2Penyelesaian :a). Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar danbentuk sudut siku adalahoV1= 10∠ − 45 atauooV1= 10 cos( −45) + j10sin(−45) = 7,07 − j7,07b). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoV2= 15∠30atauooV2= 15 cos(30 ) + j 15sin(30 ) = 12,99 + j7,5c). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 1 = −4∠0atau I1= −4 cos(0 ) − j4 sin(0 ) = −4d). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 2 = 3∠ − 90 atau I 2 = 3cos( −90) + j3sin(−90) = − j3231

e). Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama.Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama makafasornya dapat kita jumlahkan I 3 = I1+ I2= −4− j3.Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentukpolar menjadiI2 2 −1⎛ − 3 ⎞o3 = ( −4)+ ( −3)∠ tan ⎜ ⎟ = 5∠216, 9⎝ − 4 ⎠f).*oooS 1 = V1I1 = ( 10∠ − 45 ) × ( −4∠0) = −40∠− 45* o ooS 2 = V 2 I 2 = ( 15∠30) × (3∠90) = 45∠120oV110∠ − 45og). Z 1 = = = −2.5∠− 45 ;I o1 − 4∠0Vo2 15∠30oZ 2 = = = 5∠ − 60I o2 3∠90COTOH-12.2: Ubahlah pernyataan fasor dari sinyal sinus berikutini ke pernyataan sinus di kawasan waktu.oa). V1= 150∠ − 45 V, pada frekuensi siklus 50 Hzb). V2= 30 + j40V, pada frekuensi sudut ω = 1000 rad/detik.oc). I = 15 + j5+ 10∠180mA , pada ω = 1000 rad/detik.Penyelesaian :a). Sinyal ini mempunyai amplitudo 150 V, dan sudut fasa −45 o .Frekuensi siklusnya 50 Hz yang berarti frekuensi sudutnyaω = 2π × 50 = 314 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyaloini adalah v 1(t)= 150cos(314 t − 45 ) Vb). Amplitudo sinyal ini adalah2 2V m = 30 + 40 = 50 V dan−140 osudut fasanya θ = tan = 53,1 . Karena ω = 100030rad/detik, maka pernyataan sinyal ini di kawasan waktuoadalah v 2 ( t)= 50 cos(1000 t + 53,1 )232 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

c). Sinyal ini dinyatakan dalam fasor dan merupakan jumlahdari dua sinyal, satu dalam bentuk sudut siku dan yang laindalam bentuk polar. Jika dinyatakan dalam bentuk sudutsiku, sinyal ini menjadiooI = 15 + j5+ 10 cos180 + j10sin180= 15 + j5−10+ j0= 5 + j5mAAmplitudo dan sudut fasanya adalahI m=2 2−15 o5 + 5 = 7,07 mA ; φ = tan = 455Karena diketahui ω = 1000 rad/detik, makaoi ( t)= 7,07 cos(1000 t + 45 )12.2. Resistansi, Reaktansi, ImpedansiDengan fungsi sinus dinyatakan dalam fasor, maka kita akanmendapatkan hubungan-hubungan tegangan dan arus pada elemenelemenpasif sebagai berikut.Resistor. Jika arus pada resistor adalahmaka tegangannya adalahj(ω t+θ)i R ( t)= I Rm cos( ωt+ θ)= I RmeJika dinyatakan dalam fasor makaj(ω t+θ)v R ( t)= RiR( t)= RI RmeV R = RI R(12.14)Hubungan arus dan tegangan resistor tetap seperti yang tel;ah kitakenal selama ini, dengan faktor proporsionalitas R yang kita sebutresistansi.Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalahj(ω t+θ)i L ( t)= I Lm cos( ωt+ θ)= I Lmemaka tegangan induktor adalah233

diL( t)dv L ( t)= L = LdtDalam bentuk fasor,j(ω t+θ)( I Lme) j(ωt+θ)= jωL(I e )dtVL= jωLIL = jX LIL = Z LILdengan : X L = ωLdan Z L = jωLm(12.15)Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan danarus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkanberbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z L = jX L ;X L kita sebut reaktansi induktif , Z L kita sebut impedansi induktorKapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalahmaka arus kapasitor adalahdvCdi C ( t)= C = Cdtj(ω t+θ)v C ( t)= VCmcos( ωt+ θ)= VCmej(ω t+θ)( V e )Cmdtyang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagaiIC= jωCVCatau1VC= IC= −jωCωdengan: X C1=ωCjCj(ωt+θ)= jωC(VCme)IC= jX C IC= Z C ICjdan Z C = −ωC(12.16)Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan danarus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkanberupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z C =jX C ; X C kita sebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impedansikapasitor.12.3. Kaidah-Kaidah Rangkaian Impedansi12.3.1. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi TeganganTegangan total pada R dan L yang terhubung seri dengani(t)=I m e j(ωt+θ) adalah234 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

vRL( t)= v=R( t)+ vL( t)= RIj(ω t+θ)( R + jωL) I emmej(ωt+θ)+ jωLImej(ωt+θ)Dalam bentuk fasor,V RL seri = ( R + jωL)I(12.17)Perbandingan antara tegangan dan arus pada resistor dan induktoryang terhubung seri disebut impedansi dari hubungan seri ini, yaituZ RL seri = R + jωL(12.18)Dengan cara yang sama kita dapat memperoleh impedansi hubunganseri RC dan LC sebagaiVZVZRC seriRC seriLC seriLC seri⎛ 1 ⎞= ⎜ R + ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 j= R + = R −jωCωC⎛ 1 ⎞= ⎜ jωL+ ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 ⎛ 1 ⎞= jωL+ = j⎜ωL− ⎟jωC⎝ ωC⎠(12.19)(12.20)Hubungan seri tidak terbatas hanya dua elemen tetapi bisa lebih,sehingga terbentuklah hubungan seri beberapa impedansi. Secaraumum impedansi total dari beberapa impedansi yang terhubung seriadalahVtotalseri = Z total seriIZ total seri = Z1+ Z 2 + Z 3+ ⋅⋅⋅⋅ +Z n(12.21)Dalam hubungan seri dari beberapa impedansi, tegangan padaimpedansi ke k adalah V k = IZ k ; sedangkan IZ total seri = V total seri .Dengan demikian maka berlaku kaidah pembagi teganganZ kV k = × VtotalZ(12.22)total seri235

12.3.2. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi ArusDua atau lebih impedansi yang terhubung paralel akan bertegangansama. Jika tegangan ini adalah V maka arus pada impedansi ke kadalahI k= VYkVZ =(12.23)kdengan Y k = 1/Z k disebut admitansi.Arus total dalam hubungan paralel adalahdenganItotaln= ∑ Ik= ∑Y k V = Ynk= 1 k=1totalV(12.24)Ytotaln= ∑Ykk=11=Z11+Z2+ ⋅⋅⋅⋅ +1ZDari (12.23) dan (12.24) diturunkan kaidah pembagi arus12.3.3. Impedansi Secara Umumn(12.25)YkI k = YkV = ItotalY(12.26)totalSecara umum impedansi dapat kita tuliskanZ = R( ω)+ jX ( ω)(12.27)Bagian riil adalah resistansi dan bagian imajiner adalah reaktansi.Kedua bagian ini mungkin merupakan fungsi dari frekuensi ω.Reaktansi yang bernilai positif merupakan reaktansi induktif ,sedang yang bernilai negatif merupakan reaktansi kapasitif. Sebagaicontoh, impedansi dari induktor yang terhubung seri dengankapasitor yang terparalel dengan resistor adalahZ L+R // CR(1/jωC)= jωL+R + (1/ jωC)=R⎛+ j⎜ωL−⎝2ωRC( ) ( )⎟ ⎟ 2 ⎜2ωRC+ 1 ωRC+ 1⎠⎞236 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Perhatikan bahwa bagian riil maupun bagian imajiner merupakanfungsi dari frekuensi ω. Jadi baik resistansi maupun reaktansi dariimpedansi secara umum merupakan fungsi frekuensi.Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yangberbentuk kompleks, akan tetapi impedansibukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakandua pengertian dari dua konsep yang berbeda.Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinusImpedansi adalah pernyataan elemen.Walaupun impedansi bukan fasor, namun karena keduanya berupapernyataan kompleks, maka operasi-operasi fasor dapat diterapkanpada keduanya. Sebagai contoh kita ambil hubungan seri RL :Z RL seri = R + jωL=2 2 −1ωLR + ( ωL)∠ tan = Z1∠λ1RJika fasor tegangan V s = V 1 ∠θ 1 diterapkan pada hubungan seri RLini, maka arus yang mengalir adalahV V1∠θ1 VI = s1RL = = ∠( θ1− λ1)Z RL seri Z1∠λ1Z(12.28)1Secara singkat, impedansi elemen dan hubungan arus-teganganelemen adalah sebagai berikut.Z R = R ;VR= RIR ;Z L = jωLVL= jωLIL;;Z C =VC=1 − j=jωCωC1IC=jωC−ωjCIC(12.29)Secara singkat dapat kita katakan bahwa : dengan menyatakansinyal sinus ke dalam bentuk fasor, maka perbandingan antarategangan elemen dan arus elemen merupakan suatu besarankompleks yang kita sebut impedansi di kawasan fasor. Denganmenyatakan elemen dalam impedansinya maka hubungan antarategangan dan arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohmdi kawasan waktu. Kaidah-kaidah rangkaian di kawasan waktuberlaku juga di kawasan fasor.237

COTOH-12.3: Arus yang melalui induktor 0,5 H adalahi L (t)=0,4cos(1000t) A. Tentukanlah: a) impedansi induktor; b)Fasor tegangan pada induktor; c) bentuk gelombang teganganpada induktor.Penyelesaian :a). Impedansi induktor adalah Z L = jωL. Dalam contoh ini ω =1000, jadiZ L = j × 1000×0,5 = j500Ωb). Fasor tegangan induktor adalah fasor arus kaliimpedansinya. Karena arus dinyatakan di kawasan waktu,kita ubah dulu pernyataan arus ini ke kawasan fasor menjadiI L = 0,4 ∠ 0 o A. Tegangan induktor adalahoV L = Z LIL = ( j500)× 0,4∠0o oo= 500∠90× 0,4∠0= 200∠90Vc). Bentuk gelombang tegangan pada induktor yangdimaksudkan di sini adalah pernyataan di kawasan waktudari tegangan induktor. Dari hasil b) dengan mudah kitanyatakanPemahaman:Fasor tegangan dan fasor aruspada induktor berbeda fasasebesar 90 o . Teganganmendahului arus dengan sudut90 o .ov L ( t)= 200cos(1000 t + 90 ) VImV LI Lteganganmendahuluiarus 90 oReCOTOH-12.4: Arus yang melalui kapasitor sebesar 50 pF adalahi C (t)=0,5cos(10 6 t) mA. Tentukanlah: a) impedansi kapasitor; b)fasor tegangan pada kapasitor; c) bentuk gelombang teganganpada kapasitor.Penyelesaian :238 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

a). Zb). Vc). vCCC1= =jωC10= ZCIC6× (50×10= (20×10 ∠ − 90 ) × (0,5×10= 10∠ − 90V( t)= 10 cos(10 t − 90 ) V.6− j3oo−12Pemahaman:Fasor tegangan dan fasor arus padainduktor berbeda fasa sebesar 90 o .Tegangan mendahului arus dengansudut 90 o .= − j20kΩ)oImV C−3I C∠0o)Rearusmendahuluitegangan 90 oCOTOH-12.5: Suatu beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+10 o ) V.Arus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t+40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :Tegangan dan arus dalam fasor adalahoV = 120∠10V danoI = 5∠40Impedansi beban adalah:AZ BoV 120∠10o= = = 24∠ − 30 ΩIo5∠40= 24 cos( −30)+ j24 sin( −30)= 20,8 − j12ΩPemahaman :Kita mengetahui bahwa impedansi induktor adalah Z L =jωL danimpedansi kapasitor adalah Z C = −j/ωC. Dari sini kita lihatbahwa sesuatu impedansi yang komponen imajinernya positifakan bersifat induktif sedangkan jika komponen imajinernyanegatif akan bersifat kapasitif.239

Dalam contoh-12.5. ini impedansi beban mempunyai komponenimajiner negatif. Jadi beban bersifat kapasitif. Pada bebankapasitif ini sudut fasa arus lebih besar dari sudut fasa tegangan.Kita katakan bahwaarus mendahului Imarustegangan atau arusmendahuluiIleading terhadaptegangan Vtegangannya. Gambarfasor arus dan teganganRepada beban adalahseperti di samping ini.COTOH-12.6: Suatu beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+20 o ) VArus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t−40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :oV 120∠20oZ B = = = 24∠60ΩIo5∠ − 40oo= 24 cos(60 ) + j24 sin(60 ) = 12 + j20,8ΩPemahaman :Dalam contoh ini Imkomponen imajinerVimpedansi beban bernilaipositif. Beban bersifatinduktif. Pada beban yangRearusbersifat induktif sudut fasaI tertinggal dariarus lebih kecil dari sudutteganganfasa tegangan. Fasor arusketinggalan dari tegangan atau arus lagging terhadap tegangan.Fasor tegangan dan fasor arus dalam contoh ini digambarkanseperti di bawah ini.COTOH-12.7: Tegangan sumberpada rangkaian di samping iniadalah v s (t)=250cos500t V.v s+−100Ω20µF50mHa). Tentukan fasor arus padarangkaian.240 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

). Tentukan fasor tegangan di tiap elemen.c). Gambarkan fasor tegangan sumber dan elemen.d). Nyatakan bentuk gelombang arus dan tegangan elemen.Penyelesaian :Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kitatransformasikan menjadi rangkaian impedansi dan sumbernyadinyatakan dalam fasor. Impedansi elemen dan tegangansumber menjadijZR= 100Ω; ZC= −= − j100Ω;−6500×20×10−3ZL= j500×50×10 = j25ΩoVs= 250∠0.Rangkaian di atasmenjadi sepertiberikutV s =250∠0 o V+−100Ω−j100Ωj25Ωa). Impedansi total rangkaian adalahZ tot = 100 − j100+ j25= 100 − j75Ω2 2 −1− 75o= (100) + (75) ∠ tan = 125∠ − 36,87 Ω100Arus pada rangkaian adalahVos 250∠0oI = == 2∠36,87AZotot 125∠ − 36,87b). Dengan menggunakan kaidah pembagi tegangan, tegangandi tiap elemen dapat dengan mudah dihitung.Z RVR=Z totZ CVC=Z totZ LVL=Z tot100ooVs=250∠0= 200∠36,87Vo125∠ − 36,87o100∠ − 90ooVs=250∠0= 200∠ − 53,13 Vo125∠ − 36,87o25∠90ooVs=250∠0= 50∠126,87Vo125∠ − 36,87241

c). Gambar fasor tegangansumber dan teganganteganganelemen adalahseperti di bawah ini.ImPerhatikanlah bahwafasor-fasor tegangan inimemenuhi HTKV = V + V + VsCRd). Bentuk gelombang arusdan tegangan elemen adalahoi(t)= 2 cos(500t+ 36,87 )242 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)LovR( t)= 200 cos(500t+ 36,87 ) VovC( t)= 200 cos(500t− 53,13 ) VovL( t)= 50 cos(500t+ 126,87 ) VPemahaman :Tegangan di setiap elemen dapat pula dicari dengan mengalikanarus dan impedansinya.ooVR= Z RI= 100×2∠36,87= 200∠36,87VoooVC= ZCI = 100∠ − 90 × 2∠36,87= 200∠ − 53,13 VoooVL= Z LI= 25∠90× 2∠36,87= 50∠126,87VSesuai dengan HTK, V s = V C + V R + V LDiagram fasornyaadalah seperti disamping ini.Perhatikanlah bahwafasor V R = R Isejajar fasor IImIV LV RV sRefasor V C = −jX CI tegak lurus pada fasor I dengan pergeseran sudut fasa−90 o .fasor V L = jX L I tegak lurus pada fasor I dengan pergeseransudut fasa + 90 o .AV C =−jX C IV CV s = V C + V R + V LV L = jX L IV R = RIRe

COTOH-12.8: Arus sumberpada rangkaian di bawah ini300Ωadalah i s (t)=50cos1000t mA. i s2 µF0,4 Ha). Tentukan fasor tegangankapasitor.b). Tentukan fasor arus di tiap cabang.I 1 I 2c). Gambarkan fasor arus sumber dan arus cabang dan tegangankapasitor.d). Gambarkan fasor tegangan kapasitor, tegangan resistor daninduktor.Penyelesaian :Dengan ω = 1000, maka impedansi elemen dan fasor arussumber adalahZ R = 300 Ω ;jZ C = −= − j500Ω ;−61000×2 × 10oZ L = j1000×0,4 = j400Ω ; I s = 50∠0.Transformasi rangkaian ke kawasan fasor adalah seperti dibawah ini:50∠0 o mAa). Admitansi dari kedua cabang yang diparalel masing-masingadalah1−3YC= = j2×10 S ;− j500YRLAdmitansi total :−j500 Ω11= =300 + j400500∠tan= 12×10−4−1(4 / 3)− j16×10300 Ωj400 Ω−4−3−4−4Ytot= YC+ YRL= j2× 10 + 12 × 10 − j16× 10 S−4−4−4o= 12 × 10 + j4× 10 = 12,65×10 ∠18,4SS243

Tegangan pada kapasitor (yang sama dengan tegangan padaR dan L seri) adalahI sV C =Ytotb). Arus di tiap cabang adalah−3o50×10 ∠0o== 39,5∠ −18,4−412,65×10 ∠18,4VooC 39,5∠ −18,439,5∠ −18,4oI 1 = === 79∠61,6mAZ − j500oC 500∠ − 90VV2 = RL VCI =Z RL Z RLo= 79∠ − 71,5 mAo39,5∠ −18,4=300 + j400o39,5∠ −18,4=o500∠53,1c). Gambar fasor arus sumberdan arus cabang adalahseperti di samping ini :Perhatikan bahwa:I s = I 2 + I 1 ; I 1 90 omendahului V C ;I 2 tertinggal dari V C .Imd). Gambar fasor tegangankapasitor, resistor daninduktor adalah seperti di bawah ini :I 1I sI 2ImReV CI 2V R = R I V L = jX L I 2 2ReV C244 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Nyatakanlah sinyal-sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dangambarkanlah diagram fasornya.a). v1= 100 cos ωtb). v2o= 75cos( ωt− 90 )oc). v3= 50 cos( ωt+ 45 ) d). v4= v1+ v2e). v5= v1− v3f). v6= v1+ v32. Nyatakanlah fasor-fasor berikut ini kedalam sinyal di kawasanwaktu, jika frekuensi adalah 300 rad/s.oa). V1= 60∠30c). V3= V1+ V2b). V2o= 30∠ − 60d). V4= V1− V23. Tuliskanlah fasor-fasor pada soal 2 ke dalam bentuk sudut siku V= a + jb.4. Tuliskanlah fasor-fasor berikut ke dalam bentuk polar V = A∠θ.a). V1= 3+j6b). V2= 4 − j4c). V3= V1+ V2d). V4= V1− V25. Jika V = 3 + j4 dan I = 2 + j2, berapakah*Va). S = VI ; b). Z =ITuliskan S maupun Z dalam bentuk polar maupun bentuk sudutsiku.6. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 20 mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.7. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan kapasitor 1 µF. (a)Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s;(b) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s; (c) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1kHz.245

8. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan kapasitor 200nF.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.9. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan induktor 50mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.10. Pada hubungan seri antara resistor 50 Ω dengan induktor 50 mHditerapkan tegangan 10cos1000t V. Berapakah arus yangmengalir ? Gambarkan diagram fasornya.11. Pada hubungan paralel antara resistor 1 kΩ dengan kapasitor 0,2µF diterapkan tegangan 40cos1000t V. Berapakah arus yangmengalir di masing-masing elemen ? Gambarkan diagramfasornya.12. Pada hubungan seri antara resistor 400 Ω dengan induktor 2 H,diterapkan tegangan 380cos300t V. Berapakah tegangan dimasing-masing elemen ? Gambarkan diagram fasornya.13. Pada rangkaian berikut,hitunglah impedansi yangterlihat dari terminal A-B, jikafrekuensi adalah 1000 rad/s.AB50Ω40µF0,1H20µF20Ω14. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlihat dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 1000rad/s.15. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlihat dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 50Hz.ABAB0,3H 1,6H20µF 1,2kΩ10µF 10µF 1H200Ω246 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 13Teorema dan Metoda Analisisdi Kawasan FasorSetelah mempelajari bab ini, kita akan• memahami aplikasi teorema rangkaian dan metodaanalisis rangkaian di kawasan fasor.• mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor.• memahami bahwa pada rangkaian dengan induktor dankapasitor terdapat suatu nilai frekuensi yang akanmenyebabkan terjadinya resonansi.• mampu mencari frekuensi resonansi, menentukan faktorkualitas, menentukan lebar pita resonansi.13.1. Teorema Rangkaian di Kawasan Fasor13.1.1. Prinsip ProporsionalitasPrinsip proporsionalitas menyatakan bahwa fasor keluaransebanding dengan fasor masukan, yang secara matematis dapatdinyatakan denganY = KX(13.1)Y adalah fasor keluaran, X adalah fasor masukan, dan K adalahkonstanta proporsionalitas. Dalam kawasan fasor, K pada umumnyamerupakan bilangan kompleks. Lihat misalnya penyelesaian b) daricontoh 13.7.13.1.2. Prinsip SuperposisiKita harus berhati-hati dalam menerapkan prinsip superposisi dikawasan fasor. Fasor merupakan representasi sinyal sinus denganfrekuensi tertentu. Oleh karena itu prinsip superposisi hanya berlakujika seluruh sistem yang kita tinjau mempunyai frekuensi sama. Jikamemang demikian halnya, maka tanggapan rangkaian yangmengandung beberapa masukan dapat kita cari dengan memandangmasing-masing masukan secara terpisah. Tanggapan keseluruhanadalah jumlah dari tanggapan terhadap masing-masing masukan.Jika masukan-masukan mempunyai frekuensi yang berbeda, kitatidak dapat serta-merta menerapkan prinsip superposisi. Kita ingatbahwa impedansi tergantung dari frekuensi; oleh karena itu247

walaupun nilai-nilai elemen sama, nilai impedansi akan berbeda jikafrekuensi berbeda. Jadi jika kita ingin mencari tanggapan rangkaianterhadap masing-masing masukan, kita harus mencari nilaiimpedansi rangkaian untuk masing-masing masukan. Tanggapanrangkaian dalam bentuk fasor dari masing-masing masukan tidakdapat langsung dijumlahkan melainkan harus kita transformasikandulu ke kawasan t , dan barulah hasil di kawasan t untuk masingmasingmasukan ini dijumlahkan untuk memperoleh tanggapankeseluruhan. Secara singkat dikatakan, prinsip superposisi berlakudi kawasan waktu untuk setiap rangkaian linier, tetapi berlaku dikawasan fasor hanya apabila masukan-masukan mempunyaifrekuensi sama. Agar lebih jelas kita akan melihat tiga kasus berikut.Kasus-1: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangmempunyai frekuensi sama. Rangkaian ini kita pecah menjadidua rangkaian, masing-masing mengandung satu sumber.Masing-masing rangkaian kita transformasikan menjadirangkaian fasor dan kemudian kita melakukan analisis dikawasan fasor.Hasil yang kita peroleh dari dua kali analisis tersebut tentulahmerupakan besaran-besaran fasor. Kedua hasil itu dapat langsungkita jumlahkan untuk memperoleh hasil total, tanpamentranformasikan lebih dulu ke kawasan t. Mengapa? Karenaseluruh sistem mempunyai frekuensi sama. Jadi apabila seluruhsistem berfrekuensi sama prinsip superposisi dapat diterapkandalam analisis fasor.Kasus-2: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangfrekuensinya tidak sama. Kita memisahkan lebih dulu rangkaiantersebut menjadi dua rangkaian yang masing-masingmengandung hanya satu sumber. Setelah dipisahkan, masingmasingrangkaian ditransformasikan menjadi rangkaian fasorkemudian dilakukan analisis di kawasan fasor. Hal ini dapatdilakukan karena masing-masing rangkaian mempunyaifrekuensi sendiri yang sama di seluruh rangkaian. Hasil analisisdari kedua rangkaian ini tentulah berbentuk fasor akan tetapimereka tidak dapat langsung dijumlahkan karena frekuensinyaberbeda. Oleh karena itu masing-masing hasil kitatransformasikan kembali ke kawasan t, dan hasil transformasiinilah yang dapat kita jumlahkan untuk memperoleh hasil total.Jadi prinsip superposisi berlaku di kawasan fasor hanya apabilamasukan-masukan mempunyai frekuensi sama.248 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Kasus-3: Sebuah rangkaian mengandung tiga sumber, duadiantaranya mempunyai frekuensi sama dan sumber yang ke-tigafrekuensinya berbeda. Jika rangkaian ini kita pecah menjadi tigarangkaian yang masing-masing mengandung hanya satu sumberuntuk dianalisis di kawasasn fasor, maka hasil fasor untuk duasumber yang frekuensinya sama dapat kita jumlahkan langsungdalam bentuk fasor. Akan tetapi kita tidak dapatmenjumlahkannya dengan hasil analisis rangkaian ke-tiga yangfrekuensinya berbeda. Oleh karena itu hasil yang diperoleh harusditransformasi ke kawasan t lebih dulu sebelum penjumlahandilakukan.13.1.3. Rangkaian Ekivalen Thévenin dan ortonKonsep umum mengenai teorema Thévenin dan Norton di bidangfasor, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian dikawasan waktu. Perbedaan yang perlu kita perhatikan adalah bahwasinyal-sinyal dinyatakan dalam fasor dengan impedansi danadmitansi yang berupa bilangan kompleks.Tegangan ekivalen Thévenin adalah tegangan hubungan terbukapada terminal beban. Arus ekivalen Norton adalah arus hubungsingkat pada terminal beban. Semua peubah ini dinyatakan dalamfasor. Relasi peubah ini dengan impedansi ekivalen Thévenin, Z T ,dan admitansi ekivalen Norton, Y , adalah seperti berikut.1V T = ZTI ; I = YVT; Y=Z(13.2)THubungan (13.2) memberikan ketentuan untuk transformasi sumberdi kawasan fasor. Seperti yang telah kita lihat pada rangkaian dikawasan waktu, transformasi sumber dapat menyederhanakanperhitungan-perhitungan dalam analisis rangkaian.COTOH-13.1: Dari rangkaian di samping ini, carilah rangkaianekivalen Thévenin yang dilihat oleh induktor L.Penyelesaian:249

Jika induktor dilepaskan maka untuk simpul A dan B berlakuooVA= 100×0,1∠ − 90 = 10∠ − 90 V− j100ooVB= × 20∠45= 0,995∠ − 5,7 × 20∠4510 − j100= 19,9∠39,3oVTegangan Thévenin :VT= VA− VBoo= 10∠ − 90 −19,9∠39.3= − j10−( 15,4 + j12,6) = −15,6− j22,6VImpedansi Thévenin Z Th , dihitung dengan melihat impedansidari terminal AB dengan semua sumber dimatikan.10 × ( − j100)Z T = 100 += 109,9 − j0,99Ω10 − j10013.2. Metoda-Metoda Analisis DasarMetoda-metoda analisis yang telah kita pelajari untuk rangkaian dikawasan waktu, dapat kita terapkan untuk rangkaian di kawasanfasor dengan mengingat bahwa peubah sinyal dinyatakan dalamfasor dan elemen-elemen dinyatakan dalam impedansi atauadmitansinya yang pada umumya berupa bilangan kompleks.13.2.1. Metoda Keluaran Satu SatuanMetoda ini dapat kita aplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga,seperti contoh berikut.COTOH-13.2: Carilah i xpada rangkaian disamping ini.Penyelesaian:Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kitatransformasikan sehingga berbentuk rangkaian impedansiseperti terlihat pada gambar berikut. Dari sinilah kita mulaibekerja.250 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Misalkan Ix = 1∠0 o A.VV = j3V; 4 =CC I = j1A;3I = I + I = (1 + j1)A;V3Bx= VC4+ ( − j3)I3= j3− j3(1+ j1)= 3 VVB1⎛ 4 ⎞I 2 = = A ⇒ I1= I2+ I3= ⎜ + j1⎟ A9 3⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞V A = VB+ ⎜ + j1⎟( 12 − j9) = 28 V⎝ 3 ⎠Iox 1 1 14∠0oK = = → I x = VA= = 0,5∠0VA28 28 28→ ix= 0,5 cos 2t13.2.2. Metoda SuperposisiMetoda superposisi sangat bermanfaat untuk menganalisis rangkaianyang mengandung lebih dari dua masukan, terutama jika kita inginmengetahui bagaimana kontribusi dari masing-masing masukanterhadap tanggapan keseluruhan. Sebagaimana telah disebutkan disub-bab sebelumnya, kita harus berhati-hati dalam menerapkanmetoda superposisi di kawasan fasor. Prinsip superposisi dapatditerapkan langsung di kawasan fasor hanya jika masukan-masukanmempunyai frekuensi sama. Jika tidak, kontribusi dari masingmasingmasukan harus kita transformasikan ke kawasan waktu lebihdahulu, baru kemudian dapat kita jumlahkan.COTOH-13.3:Carilah i opadarangkaian disamping ini.251

Penyelesaian:Rangkaian ini mengandung dua sumber tegangan dan sumberarus yang mempunyai frekuensi berbeda. Oleh karena itutransformasi rangkaian ke kawasan fasor untuk masing-masingsumber juga berbeda, seperti terlihat pada gambar berikut.Dari masing-masing rangkaian fasor ini, kita mencari tanggapanrangkaian di kawasan fasor kemudian ditransformasikan kekawasan t. Hasil di kawasan t inilah yang dapat dijumlahkan.Jika sumber arus dimatikan, kita mempunyai rangkaian dikawasan fasor seperti pada gambar sebelah kiri, denganfrekuensi ω = 4. Untuk rangkaian ini, aplikasi HTKmemberikanoo20∠020∠020∠0oI o1 == = = 2∠− 36,9 A8 + j12− j68 + j6o10∠36,9Jika sumber tegangan dimatikan, kita mempunyai rangkaianseperti pada gambar sebelah kanan, dengan frekuensi ω = 2.Kaidah pembagi arus memberikan :− j12(8+ j6)1/( − j12)o − j128 + j6oI o2 =× 3∠0== × 3∠01 18 + j6− j128 − j6+− j128 + j6o10∠36,9oo=× 3∠0= 3∠73,8Ao10∠ − 36,9I o1 dan I o2 tidak dapat dijumlahkan karena fasor ini diperolehdari sumber dengan frekuensinya yang tidak sama. Oleh karenaitu kita harus mengembalikannya ke kawasan waktu sebelumdijumlahkan. Dengan cara itu kita perolehooio1= 2 cos(4t− 36,9 ) A dan io2= 3cos(2t+ 73,8 ) Asehingga io= io1+ io2oo= 2 cos(4t− 36,9 ) + 3cos(2t+ 73,8 ) Ao252 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

13.2.3. Metoda Rangkaian Ekivalen ThéveninContoh berikut ini menunjukkan bagaimana metoda rangkaianekivalen Thévenin kita gunakan di kawasan fasor.COTOH-13.4: Carilah i padarangkaian berikut ini.Penyelesaian :Rangkaian ini setelahditransformasi ke kawasanfasor menjadi sepertiberikut.VT= Vht= × 18∠02 + 6 + j4Fasor tegangan terminal AByang terbuka memberikantegangan Thévenin. Sesuaikaidah pembagi tegangan,tegangan terminal AB yangterbuka memberikan2 o9=2 + j1sedangkan impedansi Thévenin adalah (yang terlihat dariterminal AB yang terbuka) adalahZ T( 6 + j4)2 16 + j8+ 12 + j87 + j4= 2 + ==2 + 6 + j48 + j42 + j1Rangkaian ekivalenA IThévenin serta beban diZ Tterminal AB setelah+j2Ω− V Tdisambungkan lagi adalah−j4Ωseperti di samping ini:BDari rangkaian ini kita hitung:VT9 (2 + j1)I == ×Z T + + j2− j4(2 + j1)(7 + j4)− j2(2+ j1)= 1∠0oA⇒ i = 1cos2tAVΩ253

13.2.4. Metoda Reduksi RangkaianContoh persoalan berikut ini memperlihatkan penggunaan metodareduksi rangkaian.COTOH-13.5: Carilahi x pada rangkaianberikut:i 1 =Penyelesaian : 0.1cos100t ARangkaian inimengandung sumber tegangan dan sumber arus yangberfrekuensi sama, yaitu ω = 100. Akan tetapi sumbertegangannya dinyatakan dalam sinus sedangkan sumber arusnyadalam cosinus. Kita perlu mengubahnya dalam bentuk standar,yaitu bentuk cosinus, dengan kesamaanTransformasirangkaian kekawasan fasormenjadi seperti padagambar di sampingini.sinx = cos(90−x) =cos(x−90)Untuk menghitung I x kita dapat menggunakan metodasuperposisi; akan tetapi di sini kita akan menggunakantransformasi sumber.Dalam rangkaian ini sumber tegangan tersambung seri denganresistor 50 Ω yang diparalel dengan induktor j100 Ω. Sumberini dapat kita ganti dengan sumber arus ekivalen I 2 , yangbesarnya adalahI⎛⎜⎝ j11001 ⎞+ ⎟ =50 ⎠I 1 =0.1∠0 o A50 + j100j5000A− + Bv =10sin100t V( ) ( ) − j10= −0,1− 0,2 A2 = Vjsehingga rangkaianAakan menjadi sepertidi samping50ΩIini.Perhatikan bahwa I 21 =dengan transformasi 0.1∠0 o A−j50Ωj100Ωsumber ini kitamenghilangkan simpul B. Arus I y yang sekarang mengalir254 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)200µF 1HAB− +V=10∠−90 o V−j50Ωi xI x50Ω50Ωj100ΩI y

melalui resistor 50Ω, bukanlah arus I x yang kita cari; sebab jikaI y dikalikan 50Ω, kita mendapatkan tegangan simpul A, danbukan tegangan simpul B tempat I x keluar.Sumber I 1 dan I 2 terhubung paralel, sehingga dapat digantikanoleh satu sumber arusI ysaja yaitu I, sepertiterlihat pada gambar50Ωberikut, dengan I = I 1 − I 2−j50Ω j100ΩI = I1− I 2 = 0,1 − ( − 0,1 − j0,2)= 0,2 + j0,2AUntuk menghitung arus I y kita memanfaatkan kaidah pembagiarus.1( 0,2 + j0,2)500,2 + j0,2I y == A1 1 1 1+j0,5+ +50 j100− j5010 + j10→ VA= 50×I y = V1+j0.510 + j1015oVB= VA+ V = − j10= = 13,4∠ − 26,6 V1+j0,51+j0,5VI = Bx = 0,27∠ − 26,6 A → ix= 0,27cos(100t− 26,6) A.5013.3. Metoda-Metoda Analisis Umum13.3.1. Metoda Tegangan Simpul. Aplikasi metoda ini, kita lihatpada contoh berikut ini.COTOH-13.6: GunakanI A− + B xmetoda teganganV=simpul untukI 1 =10∠−90 o 50ΩVmenyelesaikan 0,1∠0 o Apersoalan pada contoh-−j50Ω j100Ω13.5.Penyelesaian :Untuk menyelesaikan persoalan ini rangkaian fasor daricontoh-13.5 digambar lagi seperti berikut:255

Simpul referensi kita tentukan seperti terlihat pada gambartersebut. Simpul A, B, dan sumber tegangan menjadi simpulsuperkarena A dan B keduanya bukan simpul referensi.Persamaan tegangan simpul dapat kita peroleh dengan carayang sama seperti untuk rangkaian di kawasan waktu, akantetapi di sini kita bekerja di kawasan fasor dengan impedansiimpedansi.VAA : − I1+ +− j50B :VBVB+ = 0j10050oVA− VB= −V= 10∠90= j10Untuk persamaan yang sederhana ini tentu dapat kita selesaikandengan metoda substitusi biasa. Namun di sini kita akanmenuliskannya dalam bentuk matriks, dengan memasukkannilai I 1 dan V.⎡ 1⎢ − j 50⎢⎣ 11+j100−1150⎤⎡V⎤ ⎡ o ⎤⎥ A 0,1∠0⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎣VoB ⎦ ⎢⎣10∠90⎥⎦⎦Untuk menyederhanakan bilangan, baris pertama dari matriksini kita kalikan 100, dan menuliskan fasor dalam bentuk sudutsiku.⎡ j22 − j1⎤⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎣ 1 −1⎦ ⎣VB⎦ ⎣ j10⎦⎡ j2→ eliminasi Gauss: ⎢⎣ 0Dari sini kita peroleh2 − j1⎤ ⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎥ ⎢ ⎥ =− 2 − j1⎢ ⎥⎦ ⎣VB⎦ ⎣−30⎦− 30 −30(−2+ j1)VB= == 12 − j6= 13,4∠− 26,6o− 2 − j15oVA= j10+ VB= j10+ 12 − j6= 12 + j4= 12,6∠18,4VV256 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

13.3.2. Metoda Arus MeshPenggunaan metoda ini di kawasan fasor juga akan kita lihat melaluisebuah contoh.COTOH-13.7: Tentukanlah arus di semua cabang rangkaian padapersoalan contoh 13.6. dengan menggunakan metoda arusmesh.V=10∠−90 o VA− +BI =0,1∠0 o AI 1 I 2I 3−j50Ω j100Ω 50ΩPenyelesaian :Rangkaian adalah seperti berikutPersamaan fasor arus mesh dalam bentuk matriks adalah⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j50− j50+ j100− j100⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j10⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j10050 + j100⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j5j5− j10⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j1⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j21+j2⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦Eliminasi Gauss memberikanatau⎡10⎢0 j5⎢⎢⎣0 0Dari sini kita dapatkan0 ⎤ ⎡I− j10⎥ ⎢I⎥ ⎢5 − j10⎥⎦⎢⎣I123⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎥=⎢− j1.5⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣− j3⎥⎦o0 − j33∠ − 90oI1 = 0,1∠0 A ; I3= == 0,27∠− 26,65 − j105 5∠ − 63,4A257

− j1,5+ j10I3I 2 =j5o3,35∠ −116,6=o5 5∠ − 63,4− j3−1,5− j3= −0,3+ 2 =5 − j105 − j10o= 0,3∠ − 53,2 A13.4. Rangkaian Resonansi13.4.1. Resonansi SeriImpedansi dari rangkaian seri RLC adalah:1 ⎛ 1 ⎞Z RLC seri = R + jωL+ = R + j⎜ωL− ⎟ (13.3)jωC⎝ ωC⎠Reaktansi dari impedansi ini mengandung bagian induktif (X L =jωL)maupun kapasitif (X C = 1/jωC), yang keduanya merupakan fungsidari frekuensi . Bagian induktif berbanding lurus dengan frekuensisementara bagian kapasitifnya berbanding terbalik. Pada suatu nilaifrekuensi tertentu, nilai reaktansi total menjadi nol, yaitu pada saat⎛ 11L 0 atauC⎟ ⎞⎜ω − = ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.4)LCPada saat itulah dikatakan bahwarangkaian beresonansi, dan ω 0disebut frekuensi resonansi. Padawaktu terjadi resonansi, jelasbahwa impedansi rangkaian inihanyalah R; reaktansi induktifsama dengan reaktansi kapasitifsehingga saling meniadakan.Dalam keadaan beresonansi, arusyang mengalir dalam rangkaianhanya ditentukan oleh R; jikategangan sumber adalah V s maka I = V s / R.. Diagran fasor tegangandan arus terlihat seperti Gb.13.3..Beberapa parameter digunakan untuk menyatapkan resonansi secaralebih detil. Salah satunya adalah faktor kualitas, Q , yangdidefinisikan sebagai perbandingan antara reaktansi induktif padasaat resonansi dengan resistansinya. Karena pada saat resonansi |X L| = |X C | , makaImV L =jω 0 LI=jQV sIV R &V sReV C =−j(1/ω 0 C)I=−jQV sGb.13.3. Diagram fasorpada saat resonansi.258 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

ω0L1 L / CQ = = =(13.5)R ω0RCRJelaslah bahwa, walaupun definisi Q menyebut “pada saatresonansi”, Q semata-mata tergantung dari parameter rangkaian.Faktor kualitas berbanding terbalik dengan rasio redaman Q = 1/2ζ.Parameter lain adalah lebar pita resonansi yang didefinisikansebagai selang frekuensi dimana impedansi tidak berbeda jauh darinilai impedansi pada saat resonansi. Selang ini biasanya diambilselang frekuensi yang memberikan nilai Z = R − jR dan Z = R + jR .Jika batas frekuensi rendah dan tingginyanya adalah ω 1 dan ω 2 ,maka⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ω1L−⎟ = −Rdan⎜ω2L −⎟ = R atau⎝ ω1C⎠ ⎝ ω2C⎠22ω1LC + ω1RC−1= 0 dan ω2LC − ω2RC −1= 02Karena LC = 1/ω 0 dan RC = 1/ω 0 Q , maka persamaan di atasmenjadi22⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎜⎟ +⎜⎟ −1= 0 dan⎜⎟ −⎜⎟ −1= 0 (13.6)⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠Masing-masing persamaan pada (13.6) mempunyai dua akar.Namun hanya akar yang mempunyai arti fisis yang kita pakai, yaituyang bernilai positif. Dengan pengertian itu maka⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω1= ω0⎜−+⎜⎟ + 1⎟dan⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠(13.7)⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω2= ω0⎜ +⎜⎟ + 1⎟⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠Lebar pita resonansi adalahω0BW res = ω2− ω1=(13.8)Qω 1 dan ω 2 disebut frekuensi cut-off untuk resonansi. Perubahanreaktansi dan impedansi terhadap frekuensi serta parameterparameterresonansi dijelas-kan pada Gb.13.4.259

X(ω)+R0−R|Z(ω)|X L = ωLR 2X L + X C R→ ω 0ω 1 ω 0 ω2|Z|ω 1 ω 0 ω2X LX C→ ωX C = −1/ωCGb.13.4. X L , X C , |Z|, ω resonansi, ω cut-off.13.4.2. Resonansi ParalelAdmitansi rangkaian paralel RLC adalahY 1 1 1 ⎛ ⎞= + + jωC= + j⎜ωC−1RLC paralel ⎟ (13.9)R jωLR ⎝ ωL⎠Bagian riil dari admitansi disebut konduktansi dan bagianimajinernya kita sebut suseptansi. Suseptansi dari rangkaian paralelRLC merupakan fungsi dari frekuensi. Seperti halnya reaktansi padarangkaian seri RLC, ada satu nilai frekuensi yang membuatsuseptansi pada (13.38) menjadi nol, yang kita sebut frekuaensiresonansi, ω 0 .⎛ 11C 0L⎟ ⎞⎜ω − = → ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.10)LCPersamaan (13.10) ini sama dengan (13.4). Jadi frekuensi resonansirangkaian paralel RLC sama dengan rangkaian serinya.Sesungguhnya admitansi rangkaian paralel dapat kita peroleh dariimpedansi ragkaian seri dengan penggantian :R ↔ G ; L ↔ C ; C ↔ LFaktor kualitas :ω0C1 RQ = = =G ω0GL(13.11)L / CFrekuensi cutoff:260 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω1= ω0⎜−+⎜⎟ + 1⎟dan⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω2= ω0⎜ +⎜⎟ + 1⎟⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠(13.12)ω0Lebar pita resonansi adalah: BW res = ω2− ω1=Q(13.13)Frekuensi tengah : ω 0 = ω1ω2(13.14)Jika arus total dinyatakan dalam fasor I s , maka pada saat resonansimasing-masing adalah :Soal-SoalI L = − jQ I s IC= jQ I s(13.15)1. Hitunglah tegangan keluaran v o pada rangkaian-rangkaian berikutini.261

2. Hitunglah tegangan pada resistor 60 Ω pada rangkaian a) dantegangan pada resistor 100 Ω pada rangkaian b) berikut ini.a)b)3. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin di terminal A-B untukmenentukan impedansi yang harus dipasang pada terminal iniagar terjadi transfer daya maksimum dari sumber ke beban’.262 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

4. Rangkaian di samping ini adalahrangkaian T. Carilah hubunganantara V o dan V in jika frekuensioperasi adalah 2400 Hz.+V in−40Ω0,5µF40Ω+V o−5. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalahv s = Asinωt V. Tegangan keluaran dapat dinyatakan sebagai v o =β sin(ωt + φ) V. Berapakah β dan φ jika ωRC = 1.+v s−CRABCR+v o−6. Tentukan nilai R pada rangkaian di bawah ini sehingga padafrekuensi 1kHz terjadi perbedaan fasa 180 o antara v o dan v s .+v s−0,01µF 0,01µF 0,01µFR RR+v o−7. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalahv s = Asinωt V. Bagaimanakah bentuk tegangan keluaran v o ?Bagaimanakah jika ω = 0, ω → ∞, dan ω = 1/RC ?2R+v s−CCR/2+v o−Rangkaian Resonansi8. Suatu rangkaian RLC seri dengan R = 10 Ω, L = 0,5 mH, dan C =200 nF. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ? Berapafaktor kualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ? Berapakahnilai impedansi pada batas frekuensi (cutoff frequency) atas danbawahnya ? Berapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut ?263

9. Pada suatu rangkaian RLC seri L = 0,5 mH, dan C = 200 nF.Impedansi rangkaian ini pada batas frekuensi atasnya adalah Z =20 + j20 Ω. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ?Berapa faktor kualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ?Berapa nilai ke-dua batas frekuensi tersebut ?10. Sebuah rangkaian resonansi seri RLC dirancang untukberesonansi pada 50 Mrad/s, dengan lebar pita resonansi 8Mrad/s. Impedansi pada waktu resonansi adalah 24 Ω. Tentukanfaktor kualitasnya, nilai L dan C, batas frekuensi atas dan bawah.11. Sebuah rangkaian resonansi paralel RLC beresonansi pada 100krad/s dan lebar pita resonansinya 5 krad/s. Dalam keadaanresonansi, impedansinya bernilai 8 kΩ. Tentukan L, C, faktorkualitas, batas frekuensi atas dan bawah.12. Sebuah kapasitor variabel diparalel dengan resistor 100 Ω.Rangkaian paralel ini kemudian diserikan dengan induktor 10mH. Dengan frekuensi 5000 rad/s, pada nilai kapasitorberapakah impedansi rangkaian ini menjadi resistif ? Berapakahimpedansi tersebut ?13 Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 10 mH.Rangkaian seri ini diparalel dengan kapasitor 10 µF. Padafrekuensi berapakah impedansi totalnya menjadi resistif.Berapakah nilainya ?14. Sebuah induktor 20 mH mempunyai resistansi internal 20 Ω.Berapakah nilai kapasitor yang harus diserikan dengan induktortersebut agar terjadi resonansi pada frekuensi 10 krad/s ? Hitungfaktor kualitas rangkaian ini.264 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 14Analisis DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami pengertian pengertian daya nyata, dayareaktif, daya kompleks, serta faktor daya;• mampu melakukan perhitungan alih daya ke beban sertafaktor daya beban;• mampu menentukan kondisi untuk tercapainya alih dayamaksimum.14.1. UmumDalam analisis rangkaian arus bolak-balik keadaan mantap pada babsebelumnya, kita lebih memusatkan perhatian pada besaran arus dantegangan, belum mempersoalkan daya. Di bab inilah kita akanmembahas tentang daya.Analisis daya pada sistem arus bolak-balik, tertuju pada pemecahantiga macam persoalan yaitu:a. Mencari tanggapan rangkaian dengan rangkaian beban dansumber yang diketahui. Persoalan semacam inilah yang kitabahas pada sub-bab sebelumnya, dengan penekanan padaperhitungan tegangan dan arus. Persoalan ini masih akan kitalihat lagi, dengan penekanan pada persoalan dayanya.b. Mencari kondisi rangkaian beban agar terjadi alih dayamaksimum apabila rangkaian sumber diketahui. Persoalan inibanyak kita jumpai dalam sistem pemroses sinyal, yangmerupakan suatu rangkaian dengan sumber yang terbataskemampuannya. Pada rangkaian seperti ini kita harus berusahamelakukan penyesuaian-penyesuaian pada rangkaian bebanagar alih daya ke beban menjadi maksimum. Dengan kata lainkita berusaha agar daya yang tersedia digunakan sebaikbaiknya.c. Mencari rangkaian sumber agar kebutuhan daya pada bebanterpenuhi dan sumber bekerja sesuai dengan kemampuannya.Persoalan ini kita jumpai dalam sistem tenaga listrik yangbertujuan memasok kebutuhan energi listrik pada suatu tingkat265

tegangan tertentu. Rangkaian seksi beban tidak mudahdisesuikan terhadap sisi sumber bahkan sebaliknya sisi sumberyang harus disesuaikan terhadap kebutuhan beban. Permintaandaya selalu berubah dari waktu ke waktu, sesuai keperluankonsumen, yang berarti bahwa pasokan di sisi sumber harusdisuaikan pula dari waktu ke waktu.Sebelum membahas persoalan-persoalan tersebut di atas, kita akanmembahas lebih dulu mengenai daya itu sendiri. Selama ini kitamengenal pernyataan daya di kawasan t sebagai hasil kali antarategangan dan arus. Oleh karena dalam analisis rangkaian arus bolakbalikkita bekerja di kawasan fasor, maka kita memerlukanpengertian mengenai pernyataan daya di kawasan fasor, yang akankita kenal sebagai daya kompleks.14.2. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya Rata-Rata danDaya Reaktif14.2.1. Daya Rata-RataMisalkan tegangan dan arus pada terminal suatu beban adalahv = Vmcos( ωt+ θ)dan i = I m cos ωt(14.1)Persamaan (14.1) ini merupakan pernyataan umum dari tegangandan arus yang berbentuk sinus, dengan mengambil referensi sudutfasa nol untuk arus dan perbedaan fasa antara arus dan tegangansebesar θ.Daya sesaat yang dialihkan melalui terminal ini ke beban adalahp = vi = VmIm cos( ωt+ θ) cosωt= VmIm{ cos ωtcosθ − sin ωtsin θ}cos ωt(14.2)VmImVmImVmIm= cos θ + cos θcos 2ωt− sin θsin 2ωt222Persamaan (14.2) memperlihatkan bahwa daya sesaat terdiri daridua komponen, yaitu :Komponen searah, ditunjukkan oleh suku pertama ruas kanan(14.2) yang bernilai konstan. Komponen ini ditentukan olehnilai maksimum dari tegangan dan arus serta beda sudutfasanya.266 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Komponen bolak-balik, ditunjukkan oleh suku kedua dan ketigayang berbentuk sinyal sinus dengan frekuensi 2ω.Jika kita menghitung nilai rata-rata daya dari (14.2) dalam selangantara 0 sampai 2π , akan kita perolehπ1 2 VmImp rr = P = ω = θπ ∫pd t cos(14.3)220yang tidak lain adalah komponen searah dari (14.2) karena nilairata-rata dari suku kedua dan ke-tiga adalah nol.14.2.2. Daya ReaktifPada persamaan (14.2) amplitudo suku ke-dua sama dengan dayarata-rata sehingga suku pertama dan ke-dua dapat kita gabung dan(14.2) menjadi⎡VmIm ⎤p = ⎢ cos θ⎥⎣ 2 ⎦= P( 1+cos 2ωt)⎡VmIm ⎤− ⎢ sin θ⎥cos 2ω1⎣ 2 ⎦V Im m( 1+cos 2ωt) − Q sin 2ωtdengan Q = sin θ2(14.4)Nilai suku pertama (14.4) selalu positif atau selalu negatif ,tergantung dari nilai P tetapi tidak pernah berubah tanda karenafaktor (1+cos2ωt) selalu lebih besar dari 0 (minimal 0). Sedangkansuku kedua berbentuk sinus yang berubah nilai dari positif kenegatif dan sebaliknya secara periodik. Kalau kita melakukanintegrasi p dalam satu perioda untuk mendapatkan alih energi, makaakan kita dapatkan bahwa hanya suku pertama yang memberikansuatu nilai netto; sedangkan suku kedua memberikan nilai alihenergi nol.= T T= (1 + cos 2ω) −∫Tw∫pdt( sin 2ω) = − 00 ∫P t dt Q t dt PT00(14.5)Jadi daya sesaat seperti ditunjukkan oleh (14.4) mengandung duakomponen daya. Komponen daya yang pertama memberikan alihenergi netto yang besarnya sama dengan alih energi yang diberikanoleh daya rata-rata. Komponen daya yang kedua tidak memberikanalih energi netto, dan disebut daya reaktif. Perhatikan Gb.14.1.267

2Pp = P(1+cos2ωt) : komponen inimemberikan alih energi nettoP0Gb.14.1. Komponen-komponen Dayatp = −Qsin2ωt : daya reaktif, tidakmemberikan alih energi netto14.3. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor: Daya Kompleks, FaktorDayaDalam analisis rangkaian di kawasan fasor, kita perlu mencarihubungan antara komponen-komponen daya yang kita bahas di atasdengan besaran-besaran fasor. Dalam pembahasan mengenai fasoryang telah kita lakukan, besarnya fasor menyatakan nilai puncakdari sinyal sinus. Akan tetapi dalam analisis rangkaian arus bolakbalik,yang pada umumnya melibatkan analisis daya, pernyataanfasor tegangan dan fasor arus lebih baik dinyatakan dalam nilai rmsnya,sehingga pernyataan fasor tegangan dan arus adalahjθjθviV = V e dan I = I e (14.6)rmsDengan pernyataan ini, keterkaitan antara besaran fasor dengan dayarata-rata menjadi lebih sederhana. Besarnya daya rata-rata menjadiVmIm VmI mP = cos θ = cos θ = VrmsI rms cos θ2(14.7)2 2dengan θ = θ v − θ i , yaitu perbedaan sudut fasa antara fasor tegangandan fasor arus; dan besarnya daya reaktif menjadiVmI m VmI mQ = sin θ = sin θ = VrmsI rms sin θ2(14.8)2 2rms268 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

14.3.1. Daya KompleksSelanjutnya, dengan menggunakan fasor rms, kita mendefinisikandaya kompleks sebagai*= VIS (14.9)yang merupakan perkalian fasor tegangan dengan konjugat darifasor arus. Dengan menggunakan definisi ini dan persamaan (14.6),maka daya kompleks pada terminal beban menjadi* jθv− jθiS = VI = VrmseI rmsej(θv−θi)jθ= VrmsI rmse= VrmsI rmse(14.10)Pernyataan S bentuk polar (14.10) dapat kita tuliskan dalam bentuksudut sikujθS = VrmsIrmse== P + jQ[ V I ] cos θ + j[ V I ]rmsrmsrmsrmssin θ(14.11)Jadi, bagian riil dari daya kompleks S adalah daya rata-rata ataukemudian disebut juga daya nyata, sedangkan bagian imajinernyaadalah daya reaktif. Perlu kita fahami bahwa daya kompleksbukanlah fasor, namun ia merupakan besaran kompleks. Pengertiandaya kompleks ini sangat bermanfaat jika tegangan dan arusdinyatakan dalam fasor.14.3.2. Segitiga DayaDengan pengertian daya kompleks, kita dapat menggambarkansegitiga daya, seperti terlihat pada Gb.14.2.ImS =VI *θPjQReImθS =VI *P− jQReGb.14.2. Segitiga Daya.Pada gambar ini P adalah positif, artinya alih daya terjadi dari arahsumber ke beban atau beban menyerap daya. Segitiga daya ini bisa269

terletak di kuadran pertama atau kuadran keempat, tergantungapakah Q positif atau negatif.Besar daya kompleks S adalahS = V rms I rms(14.12)yang kita sebut juga sebagai daya tampak dan mempunyai satuanvolt-amper (VA).Hubungan antara daya kompleks dan daya rata-rata serta dayareaktif adalahS = P + jQP = S cosθ = VrmsIrmscos θQ = S sin θ = VrmsIrmssin θDaya rata-rata P mempunyai satuan watt (W), sedangkan dayareaktif Q mempunyai satuan volt-ampere-reaktif (VAR).14.3.3. Faktor Daya(14.13)Beda sudut fasa antara fasor tegangan dan arus adalah θ, dan cosθdisebut faktor daya.Pfaktor daya = cos θ =S(14.14)Sudut θ mempunyai rentang nilai antara −90 o sampai +90 o . Tetapikarena faktor daya adalah cosθ , maka nilainya selalu positif.Walaupun demikian faktor daya ini ini bisa lagging atau leading.Faktor daya disebut lagging jika segitiga daya berada di kwadranpertama yang berarti bahwa daya reaktif Q bernilai positif. Hal initerjadi jika fasor arus berada di belakang fasor tegangan atau aruslagging terhadap tegangan. Beban-beban industri dan jugaperumahan pada umumnya mempunyai faktor daya lagging, jadidaya reaktif bernilai positif. Perhatikan Gb.14.3.Apabila fasor arus mendahului fasor tegangan atau arus leadingterhadap tegangan maka faktor daya disebut leading. Dalam hal inisegitiga daya berada di kwadran ke-empat karena daya reaktif Qbernilai negatif. Keadaan ini terjadi apabila beban bersifat kapasitif.Perhatikan pula Gb.14.3.270 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

ImI *ImS =VI *V ReθI (lagging)θPjQReFaktor daya laggingImθI (leading)I *VReImθS =VI *P− jQReFaktor daya leadingGb.14.3. Fasor Tegangan dan Arus dan Segitiga Daya.14.4. Daya Kompleks dan Impedansi BebanImpedansi beban adalah perbandingan antara tegangan beban danarus beban. Jika tegangan beban adalah V , arus beban I, danimpedansi beban adalah Z B , makaVZ B = atau V = Z B I(14.15)IDengan hubungan ini maka daya kompleks yang dialihkan ke bebandapat diuraikan sebagai* * 2S = VI = Z BII = Z B I=2 22( R + jX ) I = R I + jX IBBrmsBrmsBrms(14.16)dengan R B dan X B masing-masing adalah resistansi dan reaktansibeban. Persamaan (14.16) dapat kita uraikan menjadi22S = P + jQ = RBI rms + jX B I rms(14.17)Dari (14.17) kita dapat mengambil kesimpulan bahwa271

22P = RBI rms dan Q = X B I rms(14.18)Persamaan pertama (14.18) menunjukkan bahwa daya rata-rataterkait dengan resistansi beban. Nilai P yang positif menunjukkanbahwa seluruh daya rata-rata diserap oleh resistansi beban ataudengan kata lain resistansi bebanlah yang menyerap daya rata-rata.Persamaan kedua (14.18) menunjukkan bahwa daya reaktif terkaitdengan reaktansi beban. Jika daya reaktif Q bernilai positif, makareaktansi beban juga bernilai positif, yang berarti beban bersifatinduktif. Jika Q negatif berarti beban negatif dan ini berarti bahwabeban bersifat kapasitif.Jika beban berupa resistor murni, maka tidak terdapat perbedaansudut fasa antara tegangan dan arus beban. Seluruh daya yangdialihkan ke beban adalah daya rata-rata. Untuk keadaan ini,22( R + j ) I = ( R ) ( R ) I2* *S R = VI = Z BII = B 0 B I = B rms(14.19)Jika beban berupa kapasitor, perbedaan sudut fasa antara tegangandan arus beban adalah −90 o dan daya yang dialihkan ke bebanhanya berupa daya reaktif yang negatif. Untuk keadaan ini,SC==VI*= ZB*=( 0 + jX )222( jX ) I = ( jX ) I = ⎜−j ⎟ICI ICrmsCI⎛⎝21 ⎞rmsωC⎠(14.20)Jika beban berupa induktor, perbedaan sudut fasa antara tegangandan arus beban adalah +90 o dan daya yang dialihkan ke bebanhanya berupa daya reaktif yang positif. Untuk keadaan ini,2( 0 + jX ) I = ( jX )* *2S L = VI = Z BII = LL I= ( jX L ) I rms2 = ( jωL) I rms2(14.21)Persamaan (14.20) dan (14.21) menunjukkan bahwa daya yangdiserap oleh kapasitor maupun induktor merupakan daya reaktifakan tetapi berlawanan tanda. Kapasitor menyerap daya reaktifnegatif sedangkan induktor menyerap daya reaktif positif. Jikasuatu beban mengandung baik kapasitor maupun induktor, makadaya reaktif yang diserap beban ini adalah jumlah dari dua daya272 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

eaktif yang dalam keadaan tertentu akan saling meniadakan. Halini akan kita lihat dalam sub-bab mengenai rangkaian resonansi.Jika suatu beban bersifat terlalu induktif, artinya terlalu banyakmenyerap daya reaktif positif, kebutuhan daya reaktif tersebut dapatdikurangi dengan memasang kapasitor paralel dengan beban.Kapasitor yang diparalelkan itu akan menyerap daya reaktif negatif,sehingga daya reaktif total akan berkurang. Inilah yang dilakukanorang untuk memperbaiki faktor daya beban yang juga akan kitalihat kemudian.COTOH-14.1: Pada terminal hubung AB antara seksi sumberdan seksi beban dari suatu rangkaian listrik terdapattegangan dan arus sebesarooV = 480∠ + 75 V(rms) dan I = 8,75∠ + 105A(rms)Tentukan daya kompleks, daya rata-rata, daya reaktif, faktordaya, serta impedansi beban.Penyelesaian :Daya kompleks adalahS = VI*= 480∠ + 75= 4200cos30oo× 8,75∠ −105− j4200sin 30oo= 4200∠ − 30= 3640 − j2100Daya rata-rata dan daya reaktif masing-masing adalahP = 3640 W dan Q = 2100 VARDaya rata-rata ini positif, jadi beban menyerap daya.Daya reaktif bernilai negatif, jadi faktor daya leading.faktor daya = cos( −30)= 0,866oVABahwa faktor daya ini leading sebenarnya telah terlihat daripernyataan fasor arus dan tegangan. Sudut fasa arus, yaitu 105 o, lebih besar dari sudut fasa tegangan yang 75 o ; jadi arusmendahului tegangan.Resistansi beban adalahRP=2IReaktansi beban adalahBrms3640=(8,75)2= 47,5 Ω273

XBQ=2IrmsJadi impedansi beban adalah−2100=2(8,75)= −27,4ΩZ B = ( 47,5 − j27,4)ΩImpedansi beban ini bersifat kapasitif. Nilai kapasitansi bebandapat kita cari jika kita mengetahui berapa nilai frekuensi kerjadari sistem ini. Misalkan frekuensinya adalah 50 Hz, makaX C−11= = −27,4Ω → C == 116 µ FωC2π × 50 × 27,414.5. Alih DayaTeorema Tellegen menyatakan bahwa jika v k mengikuti hukumtegangan Kirchhoff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff(HAK), makaN∑vkk = 1× ik= 0Teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasifdan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai denganprinsip konservasi energi.Dalam analisis di kawasan fasor, kita mengenal daya rata-rata, dayareaktif dan daya kompleks. Sementara itu kita juga mengetahuibahwa kapasitor dan induktor merupakan elemen pasif yang mampumenyerap dan mampu memberikan daya. Bagaimanakahperimbangan daya antara semua elemen yang ada dalam rangkaiandi kawasan fasor ?Dalam pembahasan alih daya antara sumber dan beban, kita melihatbahwa daya rata-rata P terkait dengan resistansi beban, sedangkandaya reaktif Q terkait dengan reaktansi beban. Jika kitamempersempit tinjauan kita, tidak ke suatu beban besar tetapi hanyake satu elemen, kita harus mendapatkan hal yang serupa yaitubahwa daya rata-rata pada elemen berkaitan dengan resistansielemen, sedangkan daya reaktif pada elemen berkaitan denganreaktansi elemen. Ini berarti bahwa resistor hanya menyerap dayarata-rata, sedangkan kapasitor dan induktor hanya menyerap dayareaktif.274 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Catatan: Kita menggunakan istilah “menyerap daya” untukkapasitor dan induktor sesuai dengan konvensi pasif yangkita anut; daya yang diserap ini boleh positif ataupunnegatif. Jika daya positif berarti elemen sedang menyerapdaya, jika daya negatif berarti elemen sedang memberikandaya.Jadi daya rata-rata yang diberikan oleh sumber akan diserap olehresistor-resistor sedangkan daya reaktif yang diberiken oleh sumberdiserap oleh kapasitor dan induktor. Penyerapan daya oleh kapasitordan induktor ini bisa saja tidak serempak; artinya pada suatu saattertentu sebagian elemen sedang menyerap sementara yang lainsedang memberikan daya.Jelaslah sekarang, kemana mengalirnya daya rata-rata dan kemanapula mengalirnya daya reaktif. Oleh karena itu daya rata-rata dandaya reaktif dapat digabungkan kedalam pengertian daya kompleks,dan muncullah prinsip konservasi daya kompleks (principle ofconservation of complex power), yang berbunyiDalam rangkaian linier arus bolak-balik keadaan mantap,jumlah daya kompleks yang diberikan oleh sumber bebas,sama dengan jumlah daya kompleks yang diserap oleh elemenelemendalam rangkaian.Prinsip konservasi daya kompleks dalam analisis di kawasan fasorini mengingatkan kita pada teorema Tellegen yang berlaku dikawasan waktu.COTOH-14.2: (a) Carilah daya kompleks yang diberikan olehmasing-masing sumber serta daya totalnya pada rangkaian berikutini. (b) Tentukan pula daya yang diserap oleh resistor, kapasitor daninduktor.V=10∠−90 o VAB− +I 1 =0,1∠0 o AI 2 I 4 I 5I 3−j50Ω j100Ω 50ΩCPenyelesaian :275

Dengan mengambil simpul B sebagai simpul referensi, simpulA menjadi terikat dan tinggallah simpul C yang perlu kita caritegangannya.VV⎡C ⎢⎣C150+1j1001 ⎤ ⎡+ ⎥ − VA⎢− j50⎦⎣−jo[ 2 + j1] − V [ j2] = −10∠0A150⎤ o⎥ + 0,1∠0 = 0⎦atauKarenao oV A = −V= −10∠ − 90 = 10∠90[ 2 + j1]V , makao ooVC− 2×10∠(90+ 90 ) = −10∠0− 30⇒ VC= = −12+ j6 V2 + j1Daya kompleks yang “diserap” oleh sumber arus adalaho[ −12+ j6− j10] × 0,1∠0 = −1,2− 0,4 VA*Si= ( V C − VA) I1 =jUntuk menghitung daya kompleks yang diberikan oleh sumbertegangan kita harus menghitung arus yang melalui sumber iniyaitu I 3 .I3 =I2 −I1VA− VCI 2 =− j50= −0,08+ j0,24Ao10∠90− ( −12+ j6)==− j50j10+ 12 − j6− j50o⇒ I3= I 2 − I1= −0,08+ j0,24− 0.1∠0= −0,18+ j0,24ADaya kompleks yang “diserap” oleh sumber tegangan adalah* oS v = VI 3 = 10∠ − 90 × ( −0,18− j0,24)= − j10× ( −0,18− j0,24)= −2,4+ j1,8VADaya kompleks total yang “diserap” oleh kedua sumber adalahStot = Si+ Sv= −1,2− j0,4− 2,4 + j1,8= −3,6+ j1,4VADaya kompleks total ini mengandung komponen rata-ratasebesar 3,6 W ; dan sebagaimana telah kita bahas, daya ratarataini harus diserap oleh resistor yang ada pada rangkaian ini276 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

yaitu resistor 50 Ω. Kita dapat memastikan hal ini denganmenghitung arus yang melalui resistor, yaitu I 5 .−VC12 − j6oI5= = = 0,24 − j0,12= 0,268∠26,6A50 502 22⇒ PR= RI rms = R I5= 50 × (0,268) = 3,6 WDaya reaktif yang diserap oleh kapasitor adalahQC222 2= X C I 2rms= ( −50)I2= −50(0,08+ 0,24 ) = −3,2VARArus yang melalui induktor adalahI4= −I− I35= −(−0,18+ j0,24+ 0,24 − j0,12)= −0,06− j0,12Adan daya reaktif yang diserap induktor adalah22 2Q L = X L I 4 = 100(0,06 + 0,12 ) = 1,8VARTotal daya kompleks yang diserap oleh resistor, kapasitor, daninduktor adalahStotbeban = PR+ jQC+ jQL= 3,6 − j3,2+ j1,8= 3,6 − j1,4VANilai ini sesuai dengan daya yang diberikan oleh keduasumber, yaituStot dari sumber = −Stot= −(−3,6+ j1,4)VADengan ini terbukti pula konservasi daya kompleks yangdikemukakan di depan.14.6. Alih Daya MaksimumTelah disebutkan di depan bahwa persoalan alih daya maksimumbanyak dijumpai dalam sistem komunikasi. Kita berusaha untukmengalihkan daya sebanyak mungkin dari sumber ke beban. Hal initidak berarti bahwa efisiensi alih daya menjadi tinggi, bahkansebaliknya.277

14.6.1. Alih Daya Maksimum Dengan Cara PenyesuaianImpedansiDalam cara ini kitamenggunakan rangkaianekivalen Thévenin untukseksi sumber sedangkanrangkaian beban kitasesuaikan sedemikian rupasehingga terjadi kesesuaianantara impedansi beban danimpedansi Thévenin.Rangkaian ekivalen Théveninuntuk rangkaian arus bolak-balik terdiri dari sumber teganganThévenin V T (dalam bentuk fasor) yang diserikan dengan impedansiZ T = R T + jX T . Sementara itu seksi beban dinyatakan oleh impedansibeban Z B = R B + jX B dengan R B dan X B yang harus kita sesuaikanuntuk memperoleh alih daya maksimum. Lihat Gb.14.4.Daya rata-rata yang dialihkan melalui terminal hubung AB (dayapada beban) adalah2P B = I R B(14.22)Karena Z T dan Z B terhubung seri, arus I dapat dengan mudah kitaperoleh yaituI =( RTVTVTI = =Z T + Z B ( RT+ RB) + j(X T + X B )+ RBVT) + j(XT+ X( R278 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)B)=T+ RB)2VT+ ( XT+ Xsehingga daya pada beban adalah22VTRBPB= I RB=22( RT+ RB) + ( X T + X B )(14.23)Jika kita anggap bahwa resistansi beban konstan, maka apabila kitaingin agar P B menjadi tinggi, kita harus mengusahakan agar X B =−X T .pada persamaan (14.23). Hal ini selalu mungkin kita lakukankarena reaktansi dapat dibuat bernilai negatif ataupun positif.Dengan menyesuaikan reaktansi beban, maka kita dapat membuatB)2

impedansi beban merupakan konjugat dari impedansi Thévenin.Dengan penyesuaian impedansi beban demikian ini kita dapatmemperoleh alih daya yang tinggi. Langkah ini akan membuatimpedansi keseluruhan yang dilihat oleh sumber tegangan Thévenintinggallah resistansi (R T + R B ) saja.Dengan membuat X B = −X T , maka besarnya daya rata-rata padabeban adalahPB2VTR=( R + RB )TB2(14.24)Inilah daya pada beban paling tinggi yang dapat diperoleh jika R Bbernilai konstan. Jika R B dapat diubah nilainya, maka denganmenerapkan persyaratan untuk alih daya maksimum pada rangkaianresistif yang telah pernah kita bahas yaitu bahwa resistansi bebanharus sama dengan resistansi Thévenin, maka persyaratan agarterjadi alih daya maksimum pada rangkaian arus bolak-balikharuslahRB= RTdan X B = −XT(14.25)Jika kondisi ini dicapai maka besarnya daya maksimum yangdialihkan adalah22VTRBVTPBMAX= =2(14.26)(2R4RB ) BPerhatikanlah bahwa formula untuk terjadinya alih daya maksimumini diperoleh dengan kondisi sumber yang tetap sedangkanimpedansi beban disesuaikan untuk memperoleh kondisi yang kitasebut sebagai kesesuaian konjugat.COTOH-14.3:Terminal ABpadarangkaianberikut inimerupakanterminalhubung untuk menyambungkan beban ke seksi sumber.Hitunglah279

erapa daya maksimum yang dapat diperoleh dari rangkaianseksi sumber ini.Penyelesaian :Untuk memecahkan persoalan ini, kita mencari lebih dulurangkaian ekivalen Thévenin dari seksi sumber tersebut.Tegangan dan impedansi Thévenin adalahV− j50 o − j1T =× 10∠0= × 10 = −5− j5V50 + j100− j501 + j1Z T− j50(50+ j100)== 25 − j75− j50+ 50 + j100ΩAgar terjadi alih daya maksimum maka impedansi bebanharuslah Z B = 25 + j75 Ω. Daya maksimum yang dapatdiperoleh dari terminal AB adalahPMAXVT=4R2− 5 − j5=4 × 252= 0,5 WBPemahaman :Arus yang melalui beban sama dengan arus yang diberikanoleh sumber ekivalen Thévenin, yaituVT−5 − j5oI B = = = −0,1− j0,1= 0,02∠ −135ZT+ Z B 50Arus yang dikeluarkan oleh sumber sesungguhnya, dapatdihitung dari rangkaian aslinya jika Z B dihubungkan keterminal AB seperti tergambar di bawah ini.ADari rangkaian inilah arus sumber harus kita hitung, yang akanmemberikan280 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

I so10∠0=( − j50)(25+ j75)50 + j100+− j50+ 25 + j7510o== 0,1∠0− j50+ 15050 + j100+1+j1ADaya yang diberikan oleh sumber adalah* o oS = V s I s = 10∠0× 0,1∠0 = 1 +j0VAPs2= 50Is + 25IB2= 50 × (0,1)2+ 25×(0,02)2= 1 WDaya rata-rata P s = 1 W yang dikeluarkan oleh sumber inidiserap oleh resistor 50 Ω di rangkaian sumber dan resistor 25Ω di rangkaian beban.Untuk memungkinkan penyesuaian impedansi seksi beban kepadaimpedansi seksi sumber, seksi beban harus mengandung resistansi,kapasitansi ataupun induktansi yang dapat diubah nilainya. Olehkarena itu diperlukan resistor, kapasitor, dan induktor variabel di sisibeban.14.6.2. Alih Daya Maksimum Dengan Sisipan TransformatorPenyesuaian impedansi beban terhadap impedansi sumber dapatdilakukan dengan menempatkan transformator antara sumber danbeban. Kita telah membahas transformator ideal, yang memberikankesamaan-kesamaanv11=v2 2danDi kawasan fasor, relasi tersebut menjadiV11=V22dani1 2=i21I1 2=I 2 1(14.27)Konsekuensi dari (14.27) adalah bahwa impedansi yang terlihat disisi primer adalah281

22V1( 1/ 2 ) V2⎛ 1⎞ V2⎛ 1⎞ 2Z 1 = ==Z2= a Z21 ( 2 / 1)⎜ =2 ⎟⎜2 2 ⎟II ⎝ ⎠ I ⎝ 2 ⎠(14.28)Jika impedansi beban adalah Z B = RB+ jX B , maka denganmenempatkan transformator antara seksi sumber dan seksi bebanseksi sumber akan melihat impedansi sebesar2Z 1 = R1+ jX1= a ( R B + jX B ) . Dengan sisipan transformator ini kitatidak dapat membuat penyesuaian hanya pada reaktansi X 1melainkan penyesuaian pada impedansi Z 1 . Kita tidak melakukanperubahan apapun pada impedansi beban. Jika beban bersifatkapasitif ataupun induktif ia akan tetap sebagaimana adanyasehingga penyesuaian konjugat tidak dapat kita lakukan. Jika V T danZ T adalah tegangan dan impedansi Thévenin dari seksi sumber, danZ 1 kita tuliskan sebagai Z 1 = Z1cos θ + j Z1sin θ , maka dayayang dialihkan ke beban melalui transformator adalahPB=2VTZ1cosθ2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ) 2(14.29)T 1T 1Kita harus mencari nilai |Z 1 | agar P B maksimum. Kita turunkan P Bterhadap |Z 1 | dan kita samakan dengan nol. Jika ini kita lakukanakan kita peroleh2 21 = RT+ X T ZT(14.30)Z =Dengan demikian maka Z 1 a Z B = ZTsehingga persyaratanuntuk trjadinya alih daya maksimum adalah= 2Z1 Ta = =(14.31) 2 Z BAlih daya maksimum yang kita peroleh dengan cara sisipantransformator ini lebih kecil dari alih daya maksimum yang kitaperoleh dengan cara penyesuaian impedansi. Hal ini dapatdimaklumi karena dalam sisipan transformator tidak terjadipenyesuaian konjugat. Walaupun daya beban maksimum lebih kecil,kita tidak memerlukan elemen-elemen variabel pada beban; kitacukup menyediakan transformator dengan rasio transformasi a yangsesuai. Dalam cara ini yang kita peroleh bukanlah alih dayamaksimum melainkan efisiensi maksimum dari alih daya.282 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-14.4: Terminal AB pada rangkaian berikut inimerupakan terminal hubung untuk menyambungkan beban keseksi sumber. Hitunglah rasio transformasi transformator yangharus disisipkan pada terminal AB agar alih daya terjadidengan efisiensi maksimum dan hitunglah berapa daya yangdapat diperoleh beban pada kondisi ini.Penyelesaian :Tegangan dan impedansi Thévenin telah dihitung pada contohsebelumnya, yaituV T = −5 − j5 V dan Z T = 25 − j75 ΩAgar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimum maka rasiotransformasi dari transformator yang diperlukan adalah1a = 2=ZTZ B=2 225 + 752 225 + 60= 1,1028 ≈ 1,1Daya maksimum yang dapat diperoleh dari terminal AB adalahPB===2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ)T12 22( R + a R ) + ( X + a X )T2VTZ1cos θ2 2VTa RBB T50×1,216×252( 25 + 1,216×25) + ( − 75 + 1,216×60)T1B22= 0,49 W2Pemahaman:Perhatikanlah bahwa resistansi beban dalam contoh ini samadengan resistansi beban dalam contoh sebelumnya. Seandainyadigunakan cara penyesuaian impedansi, reaktansi beban dapat283

dibuat menjadi j75 dan daya beban menjadi 0,5 W. Dengan carasisipan transformator, daya yang dapat diserap beban sedikitlebih kecil dibanding dengan daya maksimum beban jika carapenyesuaian impedansi digunakan.Bagaimanakah jika impedansi beban pada contoh ini bukan( 25 + j 60) Ω melainkan ( 25 − j 60) Ω ? Dalam hal ini Z Btidak berubah sehingga nilai a tetap seperti yang telah dihitungyaitu a =1, 1 atau a2 =1, 21 . Daya yang diserap beban menjadiP B=50 × 1,21×252( 25 + 1,21×25) + ( − 75 −1,21×60)2= 0,06Seandainya tidak disisipkan transformator, daya pada bebanhampir sama besar yaituP B=50 × 252( 25 + 25) + ( − 75 − 60)2= 0,06Jadi dalam hal terakhir ini, di mana impedansi beban bersifatkapasitif sedangkan impedansi Thévenin juga kapasitif,penyisipan transformator tidaklah memperbaiki alih daya.Penyisipan transformator akan memperbaiki alih daya jikaimpedansi Thévenin dan impedansi beban memiliki sifat yangberlawanan; jika yang satu kapasitif yang lain haruslah induktif.Rasio transformasi dari transformator akan membuat impedansibeban mendekati konjugat dari impedansi Thévenin, walaupuntidak dapat persis sama.WW284 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Soal-Soal1. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, dan faktor daya pada suatupiranti, jika tegangan dan arusnya adalaha). v = 100i = 22 cos( ωt+ 452 cos( ωt− 30 ) Aob). V = 100∠45oI = 2∠ − 30 A rms2. Hitunglah faktor daya (lagging atau leading), jika diketahui dayakompleksa). S = 1000 + j750VAb).S = 800 − j600VAc). S = −600+ j800VAoV rmsd).| S | = 10 kVA, Q = −8 kVAR, cosθ > 0.e).| S | = 10 kVA, P = 8 kW, cosθ > 0.3. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap dayakompleks 15 kVA pada faktor daya 0,8 lagging.4. Hitunglah daya rata-rata, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap daya 10kW pada faktor daya 0,8 lagging.5. Pada tegangan 220 V rms, sebuah beban dialiri arus 22 A rmspada faktor daya 0,9 lagging. Hitunglah daya kompleks, dayarata-rata, daya reaktif, serta impedansi beban.6. Sebuah resistor 100 Ω terhubung seri dengan induktor 100 mH.Hitunglah daya total yang diserap, faktor dayanya, daya yangdiserap masing-masing elemen, jika dihubungkan pada sumbertegangan 220 V rms, 50 Hz.7. Sebuah resistor 100 Ω terhubung paralel dengan kapasitor 50 µF.Hitunglah daya yang diserap beban serta faktor dayanya jikadihubungkan pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz.o);V285

8. Sebuah beban berupa hubungan paralel antara sebuah resistor dansebuah kapasitor. Pada tegangan 220 V rms, 50 Hz , beban inimenyerap daya kompleks S = 550 − j152 VA. Berapakah nilairesistor dan kapasitor ?9. Sebuah beban berupa resistor 40 Ω terhubung paralel denganinduktor yang reaktansinya 30 Ω pada frekuensi 50 Hz. Bebanini dicatu dari sebuah sumber tegangan 240 V rms, 50 Hz,melalui saluran yang memiliki impedansi 1 + j10 Ω per saluran.Hitunglah arus di saluran (rms), daya kompleks yang diserapbeban, daya kompleks yang diserap saluran.10. Pada soal nomer 9 berapakah faktor daya pada beban dan faktordaya di sisi sumber. Hitung pula tegangan pada beban.286 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 15Penyediaan DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami cara kerja transformator;• mampu menggambarkan diagram fasor.• mampu melakukan perhitungan-perhitungan padatransformator satu fasa;• mampu menghitung penyediaan daya pada sumber dantegangan sumber untuk mencatu beban;• mampu menentukan keperluan kapasitor dalam upayaperbaikan faktor daya.15.1. TransformatorTransformator banyak digunakan dalam teknik elektro. Dalamsistem komunikasi, transformator digunakan pada rentang frekuensiaudio sampai frekuensi radio dan video, untuk berbagai keperluan.Kita mengenal misalnya input transformers, interstagetransformers, output transformers pada rangkaian radio dan televisi.Transformator juga dimanfaatkan dalam sistem komunikasi untukpenyesuaian impedansi agar tercapai transfer daya maksimum.Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transformatorberkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengantransformator tegangan tinggi ini penyaluran daya listrik dapatdilakukan dalam jarak jauh dan susut daya pada jaringan dapatditekan. Di jaringan distribusi listrik banyak digunakantransformator penurun tegangan, dari tegangan menengah 20 kVmenjadi 380 V untuk distribusi ke rumah-rumah dan kantor-kantorpada tegangan 220 V. Transformator daya tersebut pada umumnyamerupakan transformator tiga fasa. Dalam pembahasan ini kita akanmelihat transformator satu fasa lebih dulu.Kita telah mempelajari transformator ideal pada waktu membahasrangkaian listrik. Berikut ini kita akan melihat transformator tidakideal sebagai piranti pemroses daya. Akan tetapi kita hanya akanmembahas hal-hal yang fundamental saja, karena transformator akandipelajari secara lebih mendalam pada pelajaran mengenai mesinmesinlistrik.287

15.1.1. Transformator Dua Belitan Tak BerbebanHubungan transformator dua belitan tidak berbeban terlihat padaGb.15.1.I fφ+∼V s−E 1 1 2+E 2−Jika fluksi di rangkaian magnetiknya adalahφ = Φ maks sin ωtmaka fluksi ini akan menginduksikan tegangan di belitan primersebesaratau dalam bentuk fasordφe1 = 1= 1Φmaksωcosωt(15.1)dto 1ωΦmaks oE 1 = E1∠0 =∠0; E1= nilai efektif (15.2)2Karena ω = 2π f makaGb.15.1. Transformator dua belitan.2πf 1E1= Φ maks = 4.44 f 1Φmaks2(15.3)Di belitan sekunder, fluksi tersebut menginduksikan tegangansebesarE2= 4 .44 f 2Φmaks(15.4)Dari (15.3) dan (15.4) kita perolehE11= ≡ a = rasio transformasiE22(15.5)288 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Perhatikanlah bahwa E 1 sefasa dengan E 2 karena dibangkitkan(diinduksikan) oleh fluksi yang sama. Karena E 1 mendahului φdengan sudut 90 o maka E 2 juga mendahului φ dengan sudut 90 o . Jikarasio transformasi a = 1, dan resistansi belitan primer adalah R 1 ,diagram fasor tegangan dan arus adalah seperti ditunjukkan olehGb.15.2.a. Arus I f adalah arus magnetisasi, yang dapat dipandangsebagai terdiri dari dua komponen yaitu I φ (90 o dibelakang E 1 ) yangmenimbulkan φ dan I c (sefasa dengan E 1 ) yang mengatasi rugi-rugiinti. Resistansi belitan R 1 dalam diagram fasor ini muncul sebagaitegangan jatuh I f R 1 .I φφI c E 1 =E 2I f R 1I fV 1I φφV 1I cφ l E 1 =E 2I f R 1I fjI f X la). tak ada fluksi bocorb). ada fluksi bocorGb.15.2. Diagram fasor transformator tak berbebanFluksi Bocor. Fluksi di belitan primer transformator dibangkitkanoleh arus yang mengalir di belitan primer. Dalam kenyataan, tidaksemua fluksimagnit yangdibangkitkanI fφtersebut akanmelingkupibaik belitan V sprimer maupunsekunder.∼φ l1E 2Selisih antarafluksi yangdibangkitkan Gb.15.3. Transformator tak berbeban. Fluksioleh belitanbocor belitan primer.primer denganfluksi bersama (fluksi yang melingkupi kedua belitan) disebut fluksibocor. Fluksi bocor transformator tak berbeban ini hanyamelingkupi belitan primer saja dan tidak seluruhnya berada dalaminti transformator tetapi juga melalui udara. (Lihat Gb.15.3). Olehkarena itu reluktansi yang dihadapi oleh fluksi bocor ini praktis289

adalah reluktansi udara. Dengan demikian fluksi bocor tidakmengalami gejala histerisis sehingga fluksi ini sefasa dengan arusmagnetisasi. Hal ini ditunjukkan dalam diagram fasor Gb.15.2.b.Fluksi bocor, secara tersendiri akan membangkitkan teganganinduksi di belitan primer (seperti halnya φ menginduksikan E 1 ).Tegangan induksi ini 90 o mendahului φ l1 (seperti halnya E 1 90 omendahului φ) dan dapat dinyatakan sebagai suatu tegangan jatuhekivalen, E l1 , di rangkaian primer dan dinyatakan sebagaiE l 1 = jI f X 1(15.6)dengan X 1 disebut reaktansi bocor rangkaian primer. Hubungantegangan dan arus di rangkaian primer menjadiV +1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1jI1X1(15.7)Diagram fasor dengan memperhitungkan adanya fluksi bocor iniadalah Gb.15.2.b.15.1.2. Transformator BerbebanRangkaian transformator berbeban resistif, R B , diperlihatkan olehGb.15.4. Tegangan induksi E 2 (yang telah timbul dalam keadaantranformatortidak berbeban)akan menjadisumber dirangkaiansekunder danmemberikanarus sekunderI 2 . Arus I 2 inimembangkitkanfluksiV sI 1∼ φ l1V 2Gb.15.4. Transformator berbeban.berlawanan arah dengan fluksi bersama φ dan sebagian akan bocor(kita sebut fluksi bocor sekunder). Fluksi bocor ini, φ l2 ,sefasa dengan I 2 dan menginduksikan tegangan E l2 di belitansekunder yang 90 o mendahului φ l2 . Seperti halnya untuk belitanprimer, tegangan E l2 ini diganti dengan suatu besaran ekivalen yaitutegangan jatuh ekivalen pada reaktansi bocor sekunder X 2 dirangkaian sekunder. Jika resistansi belitan sekunder adalah R 2 ,maka untuk rangkaian sekunder kita peroleh hubunganφφ l2I 2R B290 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

E +2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2jI2 X 2 (15.8)dengan V 2 adalah tegangan pada beban R B .Sesuai dengan hukum Lenz, arus sekunder membangkitkan fluksiyang melawan fluksi bersama. Oleh karena itu fluksi bersama akancenderung mengecil. Hal ini akan menyebabkan tegangan induksi dibelitan primer juga cenderung mengecil. Akan tetapi karena belitanprimer terhubung ke sumber yang tegangannya tak berubah, makaarus primer akan naik. Jadi arus primer yang dalam keadaantransformator tidak berbeban hanyalah arus magnetisasi I f ,bertambah menjadi I 1 setelah transformator berbeban. Pertambahanarus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksi bersama φdipertahankan dan E 1 juga tetap seperti semula. Dengan demikianmaka persamaan rangkaian primer (15.7) tetap terpenuhi.Pertambahan arus primer dari I f menjadi I 1 adalah untukmengimbangi fluksi lawan yang dibangkitkan oleh I 2 sehingga φdipertahankan. Jadi haruslah( I − I ) − ( I ) 01 1 f 2 2 =(15.9)Pertambahan arus primer (I 1 − I f ) disebut arus penyeimbang yangakan mempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besarpula arus penyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besarpula arus primer. Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dariprimer ke sekunder. Dari (15.9) kita peroleh arus magnetisasiIf 2 I 2= I1− ( I 2 ) = I1−1a(15.10)15.1.3. Diagram FasorDengan persamaan (15.7) dan (15.8) kita dapat menggambarkansecara lengkap diagram fasor dari suatu transformator.Penggambaran kita mulai dari belitan sekunder dengan langkahlangkahsebagai berikut.Gambarkan V 2 dan I 2 . Untuk beban resistif, I 2 sefasa denganV 2 . Selain itu kita dapat gambarkan I ’ 2 = I 2 /a yaitu besarnyaarus sekunder jika dilihat dari sisi primer.Dari V 2 dan I 2 kita dapat menggambarkan E 2 sesuai denganpersamaan (15.8) yaitu291

E 2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2+ jI2 X 2Sampai di sini kita telah menggambarkan diagram fasorrangkaian sekunder. Untuk rangkaian primer, karena E 1 sefasa dengan E 2 maka E 1dapat kita gambarkan yang besarnya E 1 = aE 2 . Untuk menggambarkan arus magnetisasi I f kita gambarkanlebih dulu φ yang tertinggal 90 o dari E 1 . Kemudian kitagambarkan I f yang mendahului φ dengan sudut histerisis γ.Selanjutnya arus belitan primer adalah I 1 = I f + I ’ 2.Diagram fasor untuk rangkaian primer dapat kita lengkapisesuai dengan persamaan (15.7), yaituV 1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1+ jI1XV 1jI 1 X 1E 1E 2 jI 2 X 2I 1 R 1I ’ I22 V 2 I 2 R 2I fφ γ I 1Gb.15.5. Diagram fasor lengkap, transformator berbeban resistif (a> 1).Dengan demikian lengkaplah diagram fasor transformatorberbeban. Gb.15.5. adalah contoh diagram fasor yang dimaksud,yang dibuat dengan mengambil rasio transformasi 1 / 2 = a > 1.COTOH-15.1: Belitan primer suatu transformator yang dibuatuntuk tegangan 220 V(rms) mempunyai jumlah lilitan 160.Belitan ini dilengkapi dengan titik tengah (center tap). a).Berapa persenkah besarnya fluksi maksimum akan berkurangjika tegangan yang kita terapkan pada belitan primer adalah 110V(rms)? b). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kitamenerapkan tegangan 55 V (rms) pada setengah belitan primer?c). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kitamenerapkan tegangan 110 V (rms) pada setengah belitanprimer? d). Jika jumlah lilitan di belitan sekunder adalah 40,292 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

′′′bagaimanakah tegangan sekunder dalam kasus-kasus tersebut diatas?Penyelesaian :a). Dengan mengabaikan resistansi belitan, fluksi maksimumΦ m adalahΦmE12 V12 220 2= = = ω ω 160ω1Jika tegangan 110 V diterapkan pada belitan primer, maka1Φ′mV1′2= ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ′ m = Φ m / 2.b). Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer,Φ ′′mV1′′2 55 2= =(1/ 2) ω 80ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ″ m = Φ m / 2.c). Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan makaVΦ ′′ ′1 2 110 2m = =(1/ 2) ω 80ω1220 2=160ωTidak terjadi penurunan fluksi maksimum, Φ′″ m =Φ m .d). Dengan 1 / 2 = 160/40 = 4 maka jika tegangan primer 220V, tegangan sekunder adalah 55 V. Jika tegangan primer110 V, tegangan sekundernya 27.5 V. Jika tegangan 55 Vditerapkan pada setengah belitan primer, tegangan sekunderadalah 27.5 V. Jika tegangan 110 V diterapkan padasetengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 55 V.COTOH-15.2: Sebuah transformator satu fasa mempunyai belitanprimer dengan 400 lilitan dan belitan sekunder 1000 lilitan.Luas penampang inti efektif adalah 60 cm 2 . Jika belitan primerdihubungkan ke sumber 500 V (rms) yang frekuensinya 50 Hz,tentukanlah kerapatan fluksi maksimum dalam inti sertategangan di belitan sekunder.293

Penyelesaian :Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,makaV ωΦ2500 2=400 × 2π × 501 m1 = = 500 → Φ m=Kerapatan fluksi maksimum:B mTegangan belitan sekunder adalah=0.005630.0060.00563 weber= 0.942weber/m1000V 2 = × 500 = 1250 V400COTOH 15.3 : Dari sebuah transformator satu fasa diinginkansuatu perbandingan tegangan primer / sekunder dalam keadaantidak berbeban 6000/250 V. Jika frekuensi kerja adalah 50 Hzdan fluksi dalam inti transformator dibatasi sekitar 0.06 weber,tentukan jumlah lilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :Pembatasan fluksi di sini adalah fluksi maksimum. Denganmengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,1ωΦV1=2m= 6000 → 1⇒ 6000 2== 4502π × 50 × 0.062=2506000× 450 = 18.75Pembulatan jumlah lilitan harus dilakukan. Dengan melakukanpembulatan ke atas, batas fluksi maksimum Φ m tidak akanterlampaui. Jadi dapat kita tetapkan6000⇒ 2 = 20 lilitan ⇒ 1= × 20 = 480 lilitan250294 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

15.1.4. Rangkaian EkivalenTransformator adalah piranti listrik. Dalam analisis, piranti-pirantilistrik biasanya dimodelkan dengan suatu rangkaian listrik ekivalenyang sesuai. Secara umum, rangkaian ekivalen hanyalah penafsiransecara rangkaian listrik dari suatu persamaan matematik yangmenggambarkan perilaku suatu piranti. Untuk transformator, adatiga persamaan yang menggambarkan perilakunya, yaitu persamaan(15.7), (15.8), dan (15.10), yang kita tulis lagi sebagai satu setpersamaan (15.11).V1= E1+ I1R1+ jI1X1E2= V2+ I2R2+ jI2 X 2(15.11) 2 I 2I1= I f + I′2 dengan I′2 = I 2 =1aDengan hubungan E 1 = aE 2 dan I′ 2 = I 2 /a maka persamaan ke-duadari (15.11) dapat ditulis sebagaiE1= V2+ aI′2R2+ jaI′2 X 2a22⇒ E1= aV2+ I′2 ( a R2) + jI′2 ( a X 2 )(15.12)= V2′+ I′2R2′+ jI′2 X 2′22dengan V2′= aV2; R2′= a R2; X 2′= a X 2Dengan (15.12) maka (15.11) menjadiV1= E1+ I1R1+ jI1X1E1= aV2+ I′2R2′+ jI′2 X 2′(15.13)I1= I f + I′2I′ 2 , R′ 2 , dan X′ 2 adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunderyang dilihat oleh sisi primer. Dari persamaan (15.13) dibangunlahrangkaian ekivalen transformator seperti terlihat pada Gb.15.6. dibawah ini.Gb.15.6. Rangkaian ekivalen diturunkan dari persamaan (15.13).295

Kita telah melihat bahwa pada diagram fasor Gb.15.5. arusmagnetisasi dapat dipandang sebagai terdiri dari dua komponen,yaitu I c dan I φ . I c sefasa dengan E 1 sedangkan I φ 90 o dibelakangE 1 . Dengan demikian maka impedansi Z pada rangkaian ekivalenGb.15.6. dapat dinyatakan sebagai hubungan paralel antara suaturesistansi R c dan impedansi induktif jX φ sehingga rangkaian ekivalentransformator secara lebih detil menjadi seperti Gb.15.7.Gb.15.7. Rangkaian ekivalen transformator lebih detil.15.1.5. Rangkaian Ekivalen Yang DisederhanakanPada transformator yang digunakan pada tegangan bolak-balik yangkonstan dengan frekuensi yang konstan pula (seperti misalnyatransformator pada sistem tenaga listrik), besarnya arus magnetisasihanya sekitar 2 sampai 5 persen dari arus beban penuhtransformator. Keadaan ini bisa dicapai karena inti transformatordibangun dari material dengan permeabilitas magnetik yang tinggi.Oleh karena itu, jika I f diabaikan terhadap I 1 kesalahan yang terjadidapat dianggap cukup kecil. Pengabaian ini akan membuatrangkaian ekivalen menjadi lebih sederhana seperti terlihat padaGb.15.8.Gb.15.8. Rangkaian ekivalen yang disederhanakan dan diagramfasornya.296 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

15.1.6. Impedansi MasukanResistansi beban B adalah R B = V 2 /I 2 .resistansi tersebut menjadiDilihat dari sisi primerV2′aV VRB′ 2 2 2 2= = = a = a R BI 2′I 2 / a I(15.14)2Dengan melihat rangkaian ekivalen yang disederhanakan Gb.15.10,impedansi masukan adalahV12Z in = = Re+ a RB+ jX eI1(15.15)15.2. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor DayaPada pembahasan mengenai alih daya maksimum dikatakan bahwapersoalan tersebut sering dijumpai pada sistem pemroses sinyal.Pembahasan mengenai aliran daya berikut ini merupakan persoalanyang dijumpai pada sistem tenaga listrik. Dalam sistem tenagalistrik, beban tidak mudah untuk disesuaikan dengan sumber karenabeban tergantung dari keperluan konsumen yang sangat bervariasi.Daya yang diperlukan konsumen selalu berubah dari waktu kewaktu, yang kita kenal sebagai kurva beban. Walaupun demikianperubahan kebutuhan daya itu masih jauh lebih lambat jikadibandingkan dengan perubahan tegangan yang berfrekuensi 50 Hz(atau 60 Hz di Amerika). Oleh karena itu analisis aliran daya dapatdilakukan dalam keadaan mantap dengan menggunakan konsepfasor. Dalam analisis ini, kita harus mencari kondisi sumber agardapat memenuhi permintaan beban. Dalam memenuhi kebutuhanbeban itu, kondisi kerja sumber belum tentu baik; misalnya faktordaya terlalu rendah. Oleh karena itu kita harus melakukan usahauntuk memperbaiki faktor daya tersebut. Perbaikan faktor daya inidilakukan dengan menambahkan kapasitor paralel dengan beban(yang pada umumnya bersifat induktif) sehingga daya reaktif yangharus diberikan oleh sumber menurun tetapi daya nyata yangdiperlukan beban tetap terpenuhi. Untuk menjelaskan persoalan inikita akan langsung melihat pada suatu contoh.COTOH-15.4: Dua buah beban dihubungkan paralel. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 0,8lagging. Beban kedua memerlukan 8 kW pada faktor daya0,75 lagging. Tegangan yang diberikan oleh sumber adalah380 V rms. Jika impedansi saluran dapat diabaikan,297

erapakah daya kompleks yang harus disediakan olehsumber ?Penyelesaian :Daya kompleks yang diperlukan oleh masing-masing bebanadalahPSsin11 = P1+ jQ1= P1+ j S1θ1= P1+ j sin θ1cosθ1= P1+ jP1tan θ1−1= 10 + j10 tan(cos 0,8) = 10 + j7,5kVA−1S 2 = P2+ jP2tan θ2= 8 + j8 tan(cos 0,75) = 8 + j7Daya total beban adalahkVAS 12 = S1+ S2= 10 + j7,5+ 8 + j7= 18 + j14,5kVAJika kita gambarkan segitiga dayanya, daya kompleks ini akanberada di kuadran pertama karena daya reaktif sebesar 14,5kVAR bernilai positif. Jadi beban total ini bersifat induktif,dengan faktor daya lagging.Dengan tidak memperhitungkan daya untuk mengatasi rugirugidi saluran, maka daya kompleks total yang harusdisediakan oleh sumber sama dengan kebutuhan total beban,yaituSs= S12= 18 + j14,5kVA ;⎛ Qscos cos ⎜− 1θ =tan⎝ Ps⎞⎟= 0,78⎠laggingCOTOH-15.5: Dalam contoh 15.4. di atas, hasil perhitunganmenunjukkan bahwa daya kompleks yang diberikan olehsumber serta faktor dayanya adalahS s = 18 + j14,5kVA ; cos θ = 0,78laggingTentukanlah kapasitor yang harus diparalelkan dengan bebanuntuk memperbaiki faktor daya menjadi 0.95 lagging, jikadiketahui bahwa sumber beroperasi pada frekuensi 50 Hz.298 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Penyelesaian :Dengan menghubungkan kapasitor paralel dengan beban, akanterjadi penambahan beban daya reaktif. Karena kapasitormenyerap daya reaktif negatif , maka tambahan beban olehkapasitor ini akan memperkecil daya reaktif total beban.Perhatikanlah bahwa beban semula tidak berubah; yangberubah adalah beban total setelah ada penambahan kapasitor.Jadi beban total yang semula adalahS12 = Ss = 18 + j14,5kVAsetelah ditambahkan kapasitor akan menjadiS 12C= S12+ jQc= 18 + j(14,5+ QC) kVAdengan Q C adalah daya reaktif yang diserap kapasitor.Beban total baru S 12C ini harus mempunyai faktor daya 0,95lagging. Jadi haruslah−1S12C= 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j18 tan(cos 0,95)Dari persamaan ini kita dapat mencari Q C , yaitu−114.5 + QC= 18 tan(cos 0,95) atau−1QC= 18 tan(cos 0,95) −14,5= 5,92 −14,5= −8,58Perhatikanlah gambar segitiga daya di bawah ini.kVARImS 12Q 12S12CQ CQ 12CP 12ReS12= P12+ jQ12= dayatotalsemulaQ = dayareaktifkapasitor (negatif)CS12C= P12+ jQ12C= daya totalsetelah penambahankapasitor.Kebutuhan daya total setelah penambahan kapasitor menjadi299

S12C = 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j5,92kVANilai kapasitor yang diperlukan dapat dicari karena tegangankerja maupun frekuensi kerjanya diketahui. Arus yang melaluikapasitor adalahVCI C = = jωCVCjX CDaya reaktif kapasitor dapat ditulis sebagai2 2 ⎛ −1⎞ 2QC= I C X C = jωCVC⎜ ⎟ = VC( − ωC)⎝ ωC⎠Dengan Q C = −8,58 kVAR , V Crms =380 V , dan f = 50 Hz ,maka28580− 8580 = 380 ( − 2π × 50C) atau C == 190 µ F2100π × 380COTOH-15.6: Pada contoh 15.5 impedansi saluran antarasumber dan beban diabaikan. Jika impedansi ini tidak dapatdiabaikan, dan besarnya untuk setiap kawat adalah Z k = (0,2 +j1) Ω , tentukanlah daya kompleks dan tegangan kerja sumber.Perhatikan bahwa saluran terdiri dari dua kawat.Penyelesaian :Dengan adanya impedansi saluran, daya kompleks yangdikeluarkan oleh sumber harus lebih besar dari keperluan bebankarena sumber harus mengatasi susut daya yang terjadi padasaluran. Dengan adanya perbedaan daya kompleks yangdikeluarkan oleh sumber dan daya kompleks yang sampai kebeban, maka tegangan sumber dan tegangan beban jugaberbeda. Daya yang harus sampai ke beban (setelahpenambahan kapasitor) adalahS12 C = 18 + j5,92kVADengan menggunakan tegangan beban sebagai referensi, arusbeban dapat dihitung, yaitu* S12C(18 + j5,92)× 1000I B = == 47,37 + j15,58AVoB 380∠0oI B = 47,37 − j15,58A = 49,87∠ −18,2A.300 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Arus beban ini mengalir melalui saluran yang terdiri dari duakawat. Daya yang diserap oleh impedansi pada saluran adalahSk= 2 × Z × Ik2B= 0,99 + j4,97kVA= 2 × (0,2 + j1)× 49,87Total daya yang harus dikeluarkan oleh sumber adalahSs= S12C+ Sk= 18 + j5,92+ 0,99 + j4,97= 18,99 + j10,89kVATegangan kerja sumber haruslahSos Ss(18,99 + j10,89)× 1000 21891∠29,8Vs= = ==* *ooI s I B 49,87∠18,249,87∠18,2o= 439∠11,6V15.3. Diagram Satu GarisDiagram satu garis untuk menyatakan rangkaian penyaluran energiarus searah yang telah kita pelajari sebelumnya, dapat kita perluasuntuk rangkaian penyaluran energi arus bolak-balik. Pada sistemsatu fasa, impedansi saluran balik ditambahkan pada impedansisaluran kirim untuk digambarkan dalam diagram satu garis.COTOH-15.7: Dua buah beban dicatu dari satu sumber. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 1, dicatumelalui saluran yang impedansinya 0,1 + j1 Ω. Dari lokasi bebanpertama, saluran diteruskan untuk mencatu beban keduamemerlukan 8 kW pada faktor daya 1, dengan saluran yangimpedansinya 0,1 + j1 Ω. Tegangan kerja beban kedua harus 380V rms. (a) Gambarkan diagram satu garis sistem ini, (b) tentukandaya yang diberikan sumber dan tegangan sumber.Penyelesaian :a). Diagram satu garis sistem ini adalah seperti gambar di bawahini2301

| V | = 380 V rmsV s0,2 + j2 Ω 0,2 + j2 Ωbeban 1beban 210 kW8 kWcos ϕ = 1cos ϕ = 1b). Beban 1 dan beban 2 masing-masing adalahS 1 = 10 + j0kVA ; S2= 8 + j0kVAArus untuk beban 2, dengan mengambil tegangannya sebagaireferensi, adalah* 8000 + j0ooI 2 = = 21∠0A → I 2 = 21∠0Ao380∠0Daya yang diserap saluran antara beban 1 dan beban 2 adalahS sal = (0,2 + 2) × I 2 = (0,2 + j2)× I 2+j2= 0,092j0,9kVADaya beban-2 ditambah daya saluran-2 adalahStot 2 = Ssal2+ S2= 8,09 + j0,9kVATegangan di beban 1 adalahS tot1 ∠22 8090 + j900oV = == 385,2 + j42,9 V = 387,6 6,4 V*oI 21∠02Arus untuk beban-1 adalahIS10000 + j0o== 25,8 6,4o387,6∠ − 6,411 =∠*V1Arus sumber sama dengan arus di saluran antara sumber danbeban 1, yaituo ooI s = I1 + I 2 = 25,8∠6,4+ 21∠0= 46,64 + j2,88= 46,73∠3,5AADaya yang diserap saluran antara sumber dan beban 1 adalahS22sal s+1 = (0,2 + j2)× I = (0,2 + j2)× 46,73 = 0,44 j4,37kVA302 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daya yang diberikan oleh sumber adalahSs= Ssal1+ S1+ Ssal2+ S2= 0,44 + j4,37+ 10 + 8,09 + j0,9= 18,53 + j5,27kVATegangan sumber adalahSos 18530 + j527019265∠15,9oVs= === 412∠19,4V*ooI s 46,73∠ − 3,5 46,73∠ − 3,5Soal-Soal1. Sebuah beban menyerap daya 2,5 kVA pada faktor daya 0,9lagging. Beban ini dicatu melalui kabel dari sebuah sumber yangbekerja pada tegangan 2400 V rms. Di sisi sumber tercatatbahwa daya yang keluar adalah 2,65 kVA dengan faktor daya0,88 lagging. Hitunglah arus saluran, impedansi saluran danimpedansi beban. Hitung pula pada tegangan berapa bebanberoperasi.2. Pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz, dihubungkan dua buahbeban (paralel). Beban pertama menyerap daya 10 kVA padafaktor daya 0,9 lagging. Beban kedua menyerap daya rata-rata 8kW dan daya reaktif 6 kVAR. Jika impedansi saluran dapatdiabaikan, berapakah daya total yang diberikan sumber sertafaktor dayanya ?3. Pada sumber satu fasa 220 V rms, terhubung dua macam beban.Beban pertama adalah sebuah pemanas 500 W. Beban ke-duaadalah motor pompa 0,5 HP yang bekerja pada faktor daya 0,8lagging. Hitunglah: (a) daya kompleks (total); (b) faktor daya(total); (c) arus yang keluar dari sumber (rms).4. Di satu lokasi terdapat dua beban, masing-masing menyerap daya20 kVA pada faktor daya 0,8 lagging, dan 25 kVA pada faktordaya 0,9 lagging. Kedua beban bekerja pada tegangan 2400 Vrms dan dicatu dari sumber melalui saluran yang impedansinya0,5 + j2 Ω per saluran. Hitunglah arus pada saluran, dayakompleks yang harus disediakan sumber untuk kedua beban,faktor daya di sisi sumber. Hitung pula tegangan sumber agarkebutuhan tegangan beban dapat dipenuhi.303

5. Satu sumber mencatu dua beban di dua lokasi berbeda. Bebanpertama 30 kVA dengan faktor 0,8 lagging dicatu dari sumbermelalui saluran dengan impedansi 1 + j4 Ω per saluran. Darilokasi beban pertama ini, saluran disambung untuk mencatubeban kedua yang menyerap daya 15 kVA pada faktor daya 0,8lagging. Impedansi saluran antara beban pertama dan bebankedua adalah 0,5 + j2 Ω per saluran. Jika beban kedua harusberoperasi pada tegangan 2400 V rms, berapakah tegangansumber dan berapa daya yang harus disediakan oleh sumber ?6. Sekelompok beban beroperasi pada tegangan |V| = 220 V rms danmenyerap daya 40 kVA dengan faktor daya 0,8 lagging. Bebanini dicatu dari sumber tegangan menegah melalui sebuahtransformator penurun tegangan yang mempunyai rasio 20:1 dandapat dianggap ideal. Sumber dihubungkan ke sisi primertansformator melalui saluran yang impedansinya 0,4 + j2 Ω persaluran. Hitunglah arus di sisi primer transformator, tegangansumber, dan daya yang diberikan oleh sumber.7. Sebuah motor mengambil arus 20 A pada faktor daya 0,7 lagging,dari sumber 220 V, 50 Hz. Tentukan nilai kapasitor yang harusdiparalelkan untuk memperbaiki faktor daya menjadi 0,9lagging.304 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

BAB 16Sistem Tiga FasaPembahasan sistem tiga fasa ini akan membuat kita• memahami hubungan sumber dan beban dalam sistem tigafasa seimbang.• mampu menentukan hubungan fasor arus dan fasortegangan pada sistem tiga fasa seimbang.• mampu melakukan analisis daya pada sistem tiga fasa.Sampai tahap ini kita telah membahas rangkaian arus bolak-baliksistem satu fasa. Dengan arus bolak-balik inilah energi dalamjumlah besar dapat ditransmisikan. Namun demikian pembangkitandan penyaluran tenaga listrik pada umumnya tidak dilakukan denganmenggunakan sistem satu fasa, melainkan dengan sistem tiga fasa.Transmisi daya dilakukan pada tegangan tinggi yang dapat diperolehdengan menggunakan transformator penaik tegangan. Di ujungsaluran, tegangan diturunkan lagi sesuai dengan kebutuhan beban.Pemilihan sistem tiga fasa untuk pembangkitan dan penyaluranenergi listrik juga didasari oleh kelebihan unjuk kerja maupunkelebihan ekonomis yang dapat diperoleh dari sistem ini.Penyaluran daya dengan menggunakan sistem tiga fasa kurangberfluktuasi dibandingkan terhadap sistem satu fasa. Selain daripada itu, untuk penyaluran daya tertentu pada tegangan tertentu akanmemerlukan arus lebih kecil sehingga dimensi saluran yangdiperlukan akan lebih kecil pula. Konversi elektris-mekanis jugalebih mudah dilakukan pada sistem tiga fasa dengan menggunakanmotor tiga fasa.Berikut ini kita akan membahas sistem tiga fasa yang sangat luasdigunakan pada pembangkitan dan penyaluran energi listrik. Namunkita tidak akan membahas tentang bagaimana pembangkitandilakukan ataupun piranti apa yang digunakan; hal-hal ini dapat kitapelajari pada pelajaran di tingkat yang lebih tinggi. Di sini kita akanmempelajari bagaimana hubungan-hubungan elemen serta analisisrangkaian tiga fasa, dan juga terbatas hanya pada pembebanan yangseimbang.305

16.1. Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke BebanSuatu sumber tiga fasa membangkitkan tegangan tiga fasa, yangdapat digambarkan sebagai tiga sumber tegangan yang terhubung Y(bintang) seperti terlihat pada Gb.16.1.a. Dalam kenyataannnya,tiga sumber tegangan ini dibangkitkan oleh satu piranti. Titikhubung antara ketiga tegangan itu disebut titik netral, . Antara satutegangan dengan tegangan yang lain berbeda fasa 120 o . Jika kitamengambil tegangan V A sebagai referensi, maka kita dapatmenggambarkan diagram fasor tegangan dari sistem tiga fasa iniseperti terlihat pada Gb.16.1.b. Urutan fasa dalam gambar inidisebut urutan positif. Bila fasor tegangan V B dan V Cdipertukarkan, kita akan memperoleh urutan fasa negatif.Sumber tiga fasa pada umumnya dihubungkan Y karena jikadihubungkan ∆ akan terbentuk suatu rangkaian tertutup yang apabilaketiga tegangan tidak tepat berjumlah nol akan terjadi arus sirkulasiyang merugikan. Sumber tegangan tiga fasa ini dihubungkan kebeban tiga fasa yang terdiri dari tiga impedansi yang dapatterhubung Y ataupun ∆ seperti terlihat pada Gb.16.2. Dalamkenyataan, beban tiga fasa dapat berupa satu piranti tiga fasa,misalnya motor tiga fasa, ataupun tiga piranti satu fasa yangdihubungkan secara Y atau ∆, misalnya resistor pemanas.Gb.16.1. Sumber tiga fasa.Dalam analisis rangkaian tiga fasa, kita mengenal enam macamtegangan yaitu tiga tegangan fasa-netral dan tiga tegangan fasa-fasa.Pada Gb.16.1 dan Gb.16.2, tegangan V A , V B , dan V C , adalahtegangan-tegangan fasa-netral, masing-masing dari fasa A, B, dan C.Tegangan fasa-fasa adalah tegangan yang diukur antara fasa denganfasa, misalnya antara fasa A dan B, B dan C, C dan A, sepertiterlihat pada Gb.16.2306 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Gb.16.2. Sumber dan beban tiga fasa.Jika kita mengambil tegangan fasa-netral V A sebagai teganganreferensi, maka hubungan antara fasor-fasor tegangan tersebutadalah:VVVABC= V= V= Vfnfnfn∠0o∠ −120o∠ − 240o(16.1)Tegangan antara fasa dengan fasa kita sebut tegangan fasa-fasa yaituV AB , V BC , dan V CA yang fasor-fasornya adalahVAB= VA+ VB= VA− VBVBC= VB+ VC= VB− VCVCA= VC+ VA= VC− VA(16.2)Hubungan antara tegangan fasa-netral dan fasa-fasa adalah(Gb.16.3)ooVAB= VA− VB= V fn∠0−Vfn∠ −120⎛= V (1 0) ⎜fn + j −Vfn −⎝o= V fn 3∠3012− j3 ⎞ ⎛⎟ ⎜3= V +2fn j⎠ ⎝ 232⎞⎟⎠(16.3)307

Gb.16.3. Fasor-fasor tegangan.Dengan cara yang sama seperti cara untuk mendapat relasi (16.3),kita memperoleh relasiVBC= V fnVCA= V fno3∠ − 90o3∠ − 210(16.4)Jadi amplitudo tegangan fasa-fasa adalah √3 kali lebih besar dariamplitudo tegangan fasa-netralff V fnsedangkan sudut fasanya berbeda 30 o .V = 3(16.5)COTOH-16.1: Jika tegangan fasa-netral adalah V A =220∠30 oV, berapakah tegangan fasa-netral dan teganganfasa-fasa yang lain ?Penyelesaian :VAVBVC0= 220∠30V ;0= 220∠ − 90 V ;0= 220∠ − 210 V0VAB= 380∠ + 60 V;0VBC= 380∠ − 60 V;0VBC= 380∠ − 190 V308 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Beban Terhubung Y. Gb.16.4. memperlihatkan beban seimbangyang terhubung Y. Arus saluran = arus fasa.Gb.16.4. Beban terhubung Y.Impedansi masing-masing fasa adalah Z. Dari gambar ini jelasterlihat bahwa arus yang mengalir di saluran sama dengan arus yangmengalir di masing-masing fasa. JadiVAVBVCI A = ; I B = ; IC=(16.6)Z Z ZDalam persamaan (16.6) V A , V B , dan V C adalah teganganteganganfasa yang berbeda fasa 120 o satu terhadap lainnya. Karenategangan ini dibagi oleh Z yang sama untuk mendapatkan arus fasa,jelaslah bahwa masing-masing arus fasa akan tergeser dengan sudutyang sama dari tegangan fasa yang bersangkutan.Jika kita tetap menggunakan V A sebagai referensi makaVAI A =ZVBI B =ZVCIC=ZoV fn∠0=Z ∠θoV fn∠ −120=Z ∠θoV fn∠ − 240=Z ∠θV fn= ∠ − θ = I f ∠ − θZV fn oo= ∠(−120− θ)= I f ∠(−θ −120)ZV fn oo= ∠(−240− θ)= I f ∠(−θ − 240 )Z(16.7)Persamaan (16.7) memperlihatkan bahwa arus-arus fasa mempunyaiamplitudo sama, dan satu sama lain berbeda fasa 120 o . Diagramfasor tegangan dan arus diperlihatkan pada Gb.16.5.309

Jumlah arus-arus fasa iniadalahV CI CImI A + I B + IC= 0 (16.8)θJika kita aplikasikan HAKuntuk titik netral padaGb.16.4., makaI + I A + I B + IC= 0sehinggaI = −( I + I + I ) = 0ABC(16.9)IBV BθθI AV AReGb.16.5. Fasor tegangan dan arus bebanterhubung Y.Jadi dalam keadaan beban seimbang, arus netral sama dengan nol.Daya kompleks yang diserap oleh beban 3 fasa adalah jumlah daridaya yang diserap oleh masing-masing fasa, yaitu:* * *S3 f = VAI A + VBI B + VCICoo o= ( V fn ) ∠0( I f ∠θ)+ ( V fn ) ∠ −120( I f ∠120+ θ)o o+ ( V fn ) ∠ − 240 ( I f ∠240+ θ)= 3Vfn I f ∠θ = 3Vfn I A∠θ(16.10)Karena hubungan antara tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasaadalah V ff = V fn √3, maka kita dapat menyatakan daya kompleksdalam tegangan fasa-fasa, yaituS = V I 3∠θ(16.11)3 f ff ADaya nyata dan daya reaktif adalahP3 fQ3 f= V= VffffIIAA3 cos θ = S3 sin θ = S3 f3 fcos θsin θ(16.12)310 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

COTOH-16.2: Sebuah beban terhubung Y mempunyai impedansidi setiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dicatu olehsumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 380 V (rms).Dengan menggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi,tentukanlah (a) arus saluran dan (b) daya kompleks, daya ratarata,daya reaktif.Penyelesaian :a). Perhatikanlah bahwa yang diketahui adalah besarnyategangan fasa-fasa, tanpa diketahui sudut fasanya. Oleh karenaitu kita harus menentukan tegngan referensi lebih dulu. Dalamsoal ini, kita diminta untuk menggunakan tegangan fasa-netralV A sebagai tegangan referensi. Besarnya tegangan fasa-netraladalahV= fffnV 380= = 220 V3 3Tegangan-tegangan fasa-netral menjadiVAo= 220∠0V ( sebagai referensi) ;VBo= 220∠ −120V ;VCo= 220∠ − 240 VKarena beban terhubung Y, arus saluran sama dengan arus fasaVAI A =Zo220∠0=3 + j4o220∠0=o5∠36,8o= 44∠ − 36,8o ooI B = 44∠(−36,8−120) = 44∠ −156,8AoIC= 44∠ − 276,8 Ab). Daya kompleks tiga fasa, adalahA*oooS3 f = 3×V A I A = 3×220∠0× 44∠36,8= 29∠36,8kVADaya rata-rata:oP 3 f = 29cos36.8 = 23,2kWDaya reaktif:oQ 3 f = 29sin 36.8 = 17,4kVAR311

Kita coba memastikan apakah benar P dan Q masing-masingadalah daya yang diserap oleh resistansi dan reaktansi beban,dengan mengalikan resistnsi dengan pangkat dua besar arus :2P 3 f == 3×4 × 44 = 23,2 kW dan2Q 3 f = 3×3×44 = 17,4kVARTernyata hasilnya sesuai dengan hasil sebelumnya.Beban Terhubung ∆. Jika beban terhubung ∆ (Gb.16.6), arussaluran tidak sama dengan arus fasa, akan tetapi tegangan fasa-fasaterpasang pada impedansi tiap fasa.Gb.16.6. Beban terhubung ∆. Arus saluran ≠ Arus fasaJika kita hanya ingin menghitung arus saluran, kita dapatmemanfaatkan transformasi hubungan Y-∆, sehingga beban yangterhubung ∆ menjadi terhubung Y denganZZ Y = (16.13)3dengan catatan bahwa bebannya seimbang. Setelah ditransformasikanmenjadi hubungan Y arus-arus saluran serta daya total dapatkita hitung.Jika kita perlu menghitung arus maupun daya di tiap fasa dalamkeadaan beban tetap terhubung ∆, kita memerlukan formulasihubungan antara arus-arus fasa I AB , I BC , I CA dengan teganganteganganfasa V AB , V BC , dan V CA . Dari Gb.16.6. terlihat bahwa312 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

VABVBCVCAI AB = ; I BC = ; I CA =(6.14)ZZZDari gambar ini pula kita memperoleh hubunganI A = I AB − I CA; I B = I BC − I AB ; IC= ICA− I BC (16.15)Diagram fasor tegangan dan arus untuk beban yang terhubung ∆ ini,dengan mengambil V AB sebagai referensi, terlihat pada Gb.16.7.V CAI CAθImI BCθθI ABV ABReV BC−I CAI AGb.16.7. Fasor tegangan dan arus; beban terhubung ∆.Dengan memperhatikan gambar ini maka (16.14) menjadioV V ff ∠0VABffI AB = = =Z Z ∠θ ZoI BC = I AB∠ − θ −120;oI CA = I AB∠ − θ − 240∠ − θ(16.16)Gb.16.7. memperlihatkan bahwa sudut yang dibemtuk oleh fasor I ABdan −I CA adalah 60 o . Dengan demikian makaI A = I ABI B = I BCIC= ICAo3∠(−θ − 30 ) = I fo3∠(−θ −150) = I fo3∠(−θ − 270 ) = I fo3∠(−θ − 30 )o3∠(−θ −150)o3∠(−θ − 270 )(16.17)313

Daya kompleks tiga fasa adalah*oS3 f = 3×V AB I AB = 3×V ff ∠0× I f ∠θ = V ff I A 3∠θ(16.18)Daya nyata dan daya reaktif adalahP3f = V ff I AQ3f = V ff I A3 cosθ = S3f3 sin θ = S3fcosθsin θ(16.19)Daya Kompleks Beban Secara Umum. Jika kita perhatikanformulasi daya kompleks untuk beban terhubung Y dan yaitu(16.11) dan beban terhubung ∆ yaitu (16.18), keduanya memberikanformula yang sama yaituS= V I 3∠θ3 f ff AJadi tanpa melihat bagaimana hubungan beban, daya kompleks yangdiberikan ke beban adalahS 3 f = V ff I A 3(16.20)COTOH-16.3: Sebuah beban terhubung ∆ mempunyai impedansidi setiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dicatu olehsumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 80 V (rms).Dengan menggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi,tentukanlah:a). tegangan fasa-fasa dan arus saluran; b). daya kompleks,daya rata-rata, daya reaktif.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita diminta untuk menggunakan teganganV A sebagai referensi. Titik netral pada hubungan ∆merupakan titik fiktif; namun perlu kita ingat bahwa sumbermempunyai titik netral yang nyata. Untuk memudahkanmencari hubungan fasor-fasor tegangan, kitamenggambarkan hubungan beban sesuai dengan teganganreferensi yang diambil yaitu V A. .Dengan menggambil V A sebagai referensi maka teganganfasa-netral adalah314 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

VAVC380 oo= ∠0= 220∠0; VB3o= 220∠ − 240V CI CAθImo= 220∠ −120;−V B V ABIBCθθI ABV AReV BTegangan-tegangan fasa-fasa adalahVAB = V A 3∠(θ AoVBC= 380∠ − 90oVCA= 380∠ − 210Arus-arus fasa adalahoo+ 30 ) = 380∠30VABI AB =Zo380∠30=4 + j3o380∠30=o5∠36,8o ooI BC = 76∠ − 6,8 −120= 76∠ −126,8o ooICA= 76∠ − 6,8 − 240 = 76∠ − 246,8dan arus-arus saluran adalaho= 76∠ − 6,8AAAI A = I ABo o3∠(−6,8− 30 ) = 76oo3∠ − 36,8 = 131.6∠ − 36,8o ooI B = 131.6∠(−36,8−120) = 131,6∠ −156,8Ao ooIC= 131.6∠(−36,8− 240 ) = 131,6∠ − 276.8 AA315

). Daya kompleks 3 fasa adalahS3f*= 3VABIABo= 86.64∠36.8oo= 3×380∠30× 76∠ + 6.8= 69,3 + j52kVAJika kita mengkaji ulang nilai P 3f dan Q 3f , dengan menghitungdaya yang diserap resistansi dan reaktansi beban, akan kitaperoleh:P3fQ3f22= 3×R × I AB = 3×4 × (76) = 69,3 kW22= 3×X × I AB = 3×3×(76) = 52 kVARJika kita bandingkanlah besarnya arus saluran, arus fasa, dan dayatiga fasa yang diserap beban pada hubungan Y dan ∆ pada duacontoh 16.2 dan 16.3 kita peroleh gambaran seperti dalam tabelberikut.Hubungan YHubungan ∆Arus saluran I s |I A | = 44 A |I A | = 131,6 AArus per fasa I f |I A | = 44 A |I AB | = 76 ADaya total |S 3f | 29 kVA 86,64 kVADari tabel ini terlihat bahwa pada hubungan Y arus fasa maupunarus saluran serta daya lebih rendah dari arus dan daya padahubungan ∆. Inilah prinsip starter Y-∆ untuk motor asinkron.Motor di-start pada hubungan Y kemudian hubungan diubah ke ∆setelah motor berjalan. Dengan demikian arus pada waktu start tidakterlalu tinggi.COTOH-16.4: Sebuah beban seimbang terhubung Y. Arus di fasaA adalah I A = 100∠−30 o A rms , dan tegangan jala-jala V AB =380∠30 o V rms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Hubungan beban adalah seperti gambar berikut.316 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Tegangan fasa-netral adalahV ABo 380 o ooV A = ∠(θv− 30 ) = ∠(30− 30 ) = 220∠033Impedansi per fasa adalahVVAZ =I Ao220∠0o== 2,2∠30o100∠ − 30= 1,9 + j1,1ΩCOTOH-16.5: Sebuah beban seimbangterhubung ∆. Arus di saluran fasa Aadalah I A = 100∠−30 o A rms , dantegangan jala-jala V AB = 380∠30 o Vrms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Karena beban terhubung ∆, arus fasatidak sama dengan arus saluran. Untukmenghitung impedansi di fasa AB, kita harus menentukan lebihdulu arus di fasa iniI Ao 100 o ooI AB = ∠(θi+ 30 ) = ∠(−30+ 30 ) = 57,7∠0Impe33dansi per fasaVZ =IABABo380∠30o= = 6,6∠30= 5,7 + j3,3Ωo57,7∠0317

16.2. Analisis Daya Pada Sistem Tiga FasaPada dasarnya analisis daya sistem tiga fasa tidak berbeda dengansistem satu fasa. Kita akan melihat dalam contoh-contoh berikut ini.COTOH-16.6: Sebuah beban tiga fasa seimbang terhubung Y,menyerap daya 50 kVA pada faktor daya 0,9 lagging. Jikategangan fasa-fasa pada saluran adalah V LL = 480 V rms,hitunglah: a). besarnya arus saluran; b). resistansi dan reaktansibeban per fasa.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita hanya diminta untuk menghitungbesarnya arus saluran tanpa mempersoalkan sudut fasanya.Dengan diketahuinya tegangan fasa-fasa daya, arus ini dapatdihitung melalui hubungan daya, yaituS3f*= 3VfnIf= 3×V fn∠θv× I f ∠ − θi= 3VfnIf ∠(θv− θi)⇒S3f= 3Vfn I f= V ff I f3Daya tiga fasa inilah yang diketahui yaitu |S 3f | = 50 kVA.Tegangan fasa-fasa juga diketahui, V ff = 480 V. Karena bebanterhubung Y, maka arus saluran sama dengan arus fasa, jadiIs= IfS=V3 fff50000= = 603 480 3Ab). Karena faktor daya juga diketahui, maka dengan mudah kitadapat menghitung daya rata-rata P dan daya reaktif Q.Kemudian dari nilai yang didapat ini kita menghitung resistansidan reaktansi bebanP = S3 fcos ϕ = 50×0,9 = 45kW;Q = S⇒⇒SS3 f3 fpersin ϕ = 50×0,436 = 21,8 kVAR= 45 + j21,8kVAfasaS=33 f= 15 + j7,3kVA318 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Dari daya perfasa dan arus fasa, kita peroleh impedansi,resistansi, dan reaktansiS per fasa (15 + j7,3)× 1000Z = == 4,16 + j2,0322I(60)f⇒R = 4,16 Ω ;X = 2,03 Ω.COTOH-16.7: Sebuah beban 100 kW dengan faktor daya 0,8lagging, dihubungkan ke jala-jala tiga fasa dengan teganganfasa-fasa 4800 V rms. Impedansi saluran antara sumber danbeban per fasa adalah 2 + j20 Ω . Berapakah daya kompleksyang harus dikeluarkan oleh sumber dan pada tegangan berapasumber harus bekerja ?≈I S Z = 2+j20 Ω I BbV SV Be100 kWb 4800 Va cosϕ = 0,9 lagnPenyelesaian :Dalam persoalan ini, beban 100 kW dihubungkan pada jala-jala4800 V, artinya tegangan beban harus 4800 V. Karena saluranantara sumber dan beban mempunyai impedansi, maka sumbertidak hanya memberikan daya ke beban saja, tetapi juga harusmengeluarkan daya untuk mengatasi rugi-rugi di saluran.Sementara itu, arus yang dikeluarkan oleh sumber harus samadengan arus yang melalui saluran dan sama pula dengan arusyang masuk ke beban, baik beban terhubung Y ataupun ∆.Daya beban :PQBB⇒= 100 kW = S= SSBBcos ϕsin ϕ = 125 × 0,6 = 75 kVAR= PBB+ jQB→SB= 100 + j75100= = 125 kVA0,8kVABesarnya arus yang mengalir ke beban dapat dicari karenategangan beban diharuskan 4800 V :319

P100cos ϕ 3 → I == 154800 × 0,8 × 3B = VBI BBADaya kompleks yang diserap saluran adalah tiga kali (karenaada tiga kawat saluran) tegangan jatuh di saluran kali arussaluran konjugat, atau tiga kali impedansi saluran kali pangkatdua besarnya arus :Jadisal2**23Vsal I sal = 3ZIsalIsal = 3Zsal3ZIsalS = I =S sal = 3×(2 + j20)× 15 = 1350 + j13500VA= 1,35 + j13,5kVA2Daya total yang harus dikeluarkan oleh sumber adalahS S = S B + Ssal= 100 + j75+ 1,35 + j13,5= 101,35 + j88,52 2S S = 101,35 + 88,5 = 134,5 kVAkVADari daya total yang harus dikeluarkan oleh sumber ini kitadapat menghitung tegangan sumber karena arus yang keluardari sumber harus sama dengan arus yang melalui saluran.SS⇒= VVSSISS=I3 = V IBSSB3134,5×1000== 51803 15 3V rms16.3. Diagram Satu GarisDiagram saru garis juga digunakan untuk menggambarkanrangkaian tiga fasa dengan model satu fasa. Dalam model satu fasaini, tegangan yang diambil adalah tegangan fasa-netral dan arusnyaadalah arus fasa.COTOH-16.8: Dua buah beban dihubungkan ke sumber sepertidigambarkan dalam diagram berikut ini. Saluran antara sumberdan beban pertama memiliki impedansi Z 1 = R1+ jX1Ω , danantara beban pertama dan kedua Z 2 = R2+ jX 2 Ω . Tegangan,daya, dan faktor daya masing-masing beban dicantumkan dalamgambar (faktor daya lagging). Gambarkan secara skematis320 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

(tanpa skala) diagram fasor tegangan, dengan menggunakantegangan di beban ke-dua, V 2fn , sebagai referensi, sedemikiansehingga diperoleh fasor tegangan sumber V s .Z 1 = R1+ jX1V SPenyelesaian:Dengan tegangan beban ke-dua digunakan sebagai referensi,makaoV 2 = V2∠0,oI 2 = I 2 ∠ − ϕ 2Arus di saluran yang menuju beban ke-dua adalah:I l 2 = I 2Tegangan jatuh di saluran yang menuju beban ke-dua adalah∆V 2 = Z 2Il2= ( R2+ jX 2 ) Il2Tegangan di beban pertama V 1 menjadi:=+ ∆V1 V2V2Arus beban pertama I 1 adalah ϕ 1 di belakang V 1.Arus di saluran yang menuju beban pertama adalah:I l 1 = I l 2 + I1Tegangan jatuh di saluran pertama adalah:∆Tegangan sumber adalah:Z 2 = R2+ jX2V 1fncosϕ 1V 1 = ( R1+ jX1)Il1Vs= V 1 + ∆V 1Diagram fasor tegangan adalah sebagai berikut:V 2fncosϕ 2321

Soal-Soal1. Jika tegangan fasa-netral pada suatu rangkaian tiga fasa ABCyang terhubung Y adalah 220 V rms, tuliskan fasor-fasortegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambiltegangan fasa-netral V A sebagai fasor referensi. Urutan fasaadalah positif. Gambarkan pula diagram fasor tegangan-tegangantersebut.2. Jika tegangan fasa-fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa ABCyang terhubung Y adalah 380 V rms, tuliskan fasor-fasortegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambiltegangan fasa-fasa V AB sebagai fasor referensi. Urutan fasaadalah positif. Gambarkan pula diagram fasor tegangan-tegangantersebut.3. Jika arus fasa dalam suatu rangkaian tiga fasa ABC yangterhubung ∆ adalah 22 A rms, tuliskan fasor-fasor arus fasa danarus fasa saluran dengan mengambil arus fasa I AB sebagai fasorreferensi. Urutan fasa adalah positif. Gambarkan pula diagramfasor arus-arus tersebut.4. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung Y mempunyaiimpedansi per fasa 8 + j6 Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasaABC yang bertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif.Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasor arus salurandengan mengambil tegangan fasa-netral V A sebagai referensi.Berapakah daya kompleks total yang diserap beban ?5. Suatu beban tiga fasa seimbang terhubung ∆ mempunyaiimpedansi per fasa 20∠30 o Ω, dihubungkan pada jaringan tigafasa yang bertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif.322 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasor arus salurandengan mengambil tegangan fasa-fasa V AB sebagai referensi.Berapakah daya kompleks total yang diserap beban ?6. Suatu saluran tiga fasa ABC mencatu sebuah beban yangterhubung Y. Arus saluran adalah I A = 22∠−30 o A rmssedangkan tegangan fasa-fasa V AB = 380∠30 o V rms. Anggaplahurutan fasa positif. Hitunglah impedansi per fasa beban. Hitungdaya kompleks (3 fasa) yang diserap beban dan faktor dayanya.7. Sebuah beban tiga fasa terhubung Y menyerap daya 5 kVAdengan faktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms(fasa-fasa). Hitung arus fasa dan hitung resistansi serta reaktansiper fasa beban.8. Sebuah beban tiga fasa terhubung ∆ menyerap daya 5 kVAdengan faktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms(fasa-fasa). Hitung arus fasa, arus saluran, dan hitung resistansiserta reaktansi per fasa beban.9. Dua buah beban tiga fasa dihubungkan paralel pada saluran tigafasa bertegangan 380 V rms (fasa-fasa). Beban pertamaterhubung Y menyerap daya 25 kVA pada faktor daya 0,8lagging. Beban kedua terhubung ∆ mempunyai impedansi perfasa 40 +j0 Ω. Hitung arus saluran, daya total serta faktordayanya.10. Dua beban pada soal 3 terletak di satu lokasi. Beban-bebantersebut dicatu dari sumber dengan menggunakan saluran yangimpedansi per fasanya 0,6 + j4 Ω. Berapa daya yang diserapsaluran ? Berapa daya yang harus disediakan oleh sumber ? Padategangan berapa sumber harus beroperasi agar tegangan padabeban dipertahankan 380 V rms (fasa-fasa).11. Sebuah generator tiga fasa membang-kitkan tegangan fasa-netral2400 V rms. Impedansi internal generator ini adalah j2 Ω perfasa. Generator ini mencatu beban melalui saluran tiga fasa yangmempunyai impedansi 1 + j5 Ω per fasa. Beban yang dicatuterhubung Y dengan impedansi per fasa 80 +j60 Ω. Gambarkandiagram rangkaian ini. Hitunglah : (a) arus di saluran; (b)tegangan di terminal beban; (c) daya kompleks yang diberikanoleh generator dan yang diserap oleh beban; (d) efisiensi saluran.323

12. Sebuah beban tiga fasa mempunyai impedansi per fasa 9 + j21Ω, ber-operasi pada tegangan fasa-fasa 380 Vrms. Beban inidicatu dari sumber melalui saluran yang impedansinya 2 + j4 Ωper fasa. Hitunglah daya yang diberikan oleh sumber dan dayayang diserap beban jika: (a) beban dihu-bungkan Y; (b) bebandihubungkan ∆.13. Sebuah pabrik dicatu dari jaringan tiga fasa , 380 V rms (f-f), 50Hz. Beban terdiri dari 10 buah motor induksi, masing-masing10 HP dengan efisiensi 85% pada beban penuh dan faktor daya0,85 lagging, dan 800 buah lampu pijar masing-masing 50 W,220 V. Dengan menganggap semua beban seimbang, danseluruh motor beroperasi dan seluruh lampu menyala, hitunglahdaya dan faktor daya total seluruh beban.14. Sebuah beban tiga fasa menyerap daya kompleks sebesar S = 16+ j12 kVA dan beroperasi pada tegangan fasa-fasa 440 V rms.(a) Tentukan besarnya arus saluran. (b) Jika impedansi saluran(antara sumber dan beban) adalah Z s = 0,6 + j4 Ω per fasa,berapakah daya yang diserap saluran ? (c) Berapakah tegangansumber ?324 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

Daftar Referensi1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, PenerbitITB 2002, ISBN 979-9299-54-3.2. Sudaryatno Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit OutputUntuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang TeganganMenengah”, Monograf, 2005, limited publication.3. Sudaryatno Sudirham, “Pengantar Rangkaian Listrik”, CatatanKuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa DalamPermasalahan Kualitas Daya”, Catatan Kuliah El 6004, 2008.5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint,1990, ISBN 0-07-451899-2.6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices andSystems” ; John Wiley & Son Inc, 5 th ed, 1992.7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn :“Electric Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2 nd ed, 1992.8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-HallInternational, Inc., 1992.9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Designof Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,McGraw-Hill, 1999.325

Daftar otasiv atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.V rr : tegangan, nilai rata-rata.V rms : tegangan, nilai efektif.V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.|V| : nilai mutlak fasor tegangan.V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu.I: arus dengan nilai tertentu, arus searah.I rr : arus, nilai rata-rata.I rms : arus, nilai efektif.I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.I: fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.|I| : nilai mutlak fasor arus.I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu.p rr : daya, nilai rata-rata.S : daya kompleks.|S| : daya kompleks, nilai mutlak.P : daya nyata.Q : daya reaktif.q atau q(t) : muatan, fungsi waktu.w : energi.R : resistor; resistansi.L : induktor; induktansi.C : kapasitor; kapasitansi.Z : impedansi.Y : admitansi.T V (s) : fungsi alih tegangan.T I (s) : fungsi alih arus.T Y (s) : admitansi alih.T Z (s) : impedansi alih.µ : gain tegangan.β : gain arus.r: resistansi alih, transresistance.g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.326 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

IDEKSaalih daya 133, 274, 277, 281amplitudo 38anak tangga 16, 17analisis 3aperiodik 37arus 9arus mesh 169, 256bbatere 193, 196beban terhubung Y 309beban terhubung ∆ 312besaran 4, 8ddaya 10, 266, 267daya kompleks 269, 271, 314daya rata-rata 266daya reaktif 267daya tiga fasa 318daya, faktor 270, 297daya, segitiga 269diagram 3diagram blok 116diagram fasor 291diagram satu garis 186, 300diferensiuator 220dioda 92, 201eekivalen 295eksponensial 16, 18, 27, 33energi 2, 9, 10fFourier 46ggelombang 15, 37gelombang penuh 94gelombang penuh 49, 202gelombang, pemotong 95gigi gergaji 51hharmonisa 41hubungan bertingkat 214iimpedansi masukan 297impuls 24induktansi 124induktor 65informasi 2integrator 219inversi 207jjaringan ditribusi 189kkaidah 6, 122kapasitansi 123kapasitor 60, 203kausal 37Kirchhoff 6, 111komposit 24konvensi 12, 72kubik 32llebar pita 45linier 4mMillman 130model 3muatan 9, 10327

nnilai efektif 38nilai rata-rata 38nilai sesaat 37non linier 149noninversi 103, 206non-kausal 37Norton 6, 130oOhm 6, 109OP AMP 99, 101, 206pparabolik 32pembagi arus 127pembagi tegangan 127pengurang 212penjumlah 209periodik 37peubah 3, 10piranti 2proporsionalitas 6, 128, 247rramp 26rangkaian 2, 3rangkaian penyangga 102,206reduksi rangkaian 144, 254resistansi 122, 182, 184resistor 57resonansi 258, 260ssaklar 75satu satuan 146, 247searah 41segitiga 51setengah gelombang 49, 92,201sinus 16, 19, 26, 41sinyal 11, 15spektrum 41struktur 4substitusi 135substitusi 6sumber 83, 85, 86, 89, 124superposisi 6, 129, 247, 251ttegangan 10tegangan simpul 159, 255Tellegen 6, 136teorema 6, 121, 128Thevenin 6, 130, 148, 253tiga fasa 306transformasi Y-∆ 125transformator 76, 287transien 6uunit output 146, 250328 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)

ResistorLampiran IRangkaian pemroses energi maupun pemroses sinyal memerlukanresistor yang sedapat mungkin “murni”. Gejala adanya induktansimaupun kapasitansi pada piranti ini harus diusahakan sekecilmungkin. Resistor juga harus mempunyai koefisien temperatur yangrendah agar dalam operasinya perubahan nilai resistansi sebagaiakibat kenaikan temperatur masih dalam batas-batas yang dapatditerima. Nilai resistansi yang diperlukan dalam rangkaian listrikbisa tinggi bahkan sangat tinggi, terutama dalam rangkaianelektronika, antara 10 3 sampai 10 8 Ω. Sementara itu material yangsesuai untuk membangun resistor mempunyai resistivitas ρ kurangdari 10 −6 Ωm. Oleh karena itu dikembangkan konstruksi serta caracarapembuatan resistor yang dapat memenuhi persyaratanpersayaratanteknis (termasuk dimensi) serta pertimbanganpertimbanganekonomis.I.1. KonstruksiLapisan Tipis (Thin Films). Di atas permukaan suatu bahanpendukung (substrat) dibuat lapisan tipis bahan resistif melaluiproses evaporasi (penguapan) ataupun sputtering dalam vakum.Bahan-bahan metal seperti aluminium, perak, emas, dan Ni-Cr dapatdengan mudah diuapkan dalam vakum untuk membentuk lapisantipis di atas permukaan substrat. Ketebalan lapisan yang diperolehadalah sekitar 10 nm. Setelah lapisan tipis ini terbentuk, dilakukan“pengupasan” lapisan menuruti pola-pola tertentu untukmemperoleh lebar dan panjang lapisan yang diinginkan sesuaidengan nilai resistansi yang diperlukan. Proses “pengupasan” dapatdilakukan dengan beberapa cara, misalnya dengan air jet yangmengandung partikel-partikel abrasif, atau penguapan denganberkas sinar laser atau berkas elektron. Sering juga digunakan prosesphotolithography.Lapisan Tebal (Thick Film). Tebal lapisan bahan resistif aktif disini adalah antara 10 − 15 µm, dibuat dengan teknik sablon. Polapolaalur resistor dibuat lebih dahulu pada screen yang kemudiandiletakkan tetap sekitar 1 − 3 mm di atas permukaan substrat. Catdengan kekentalan tertentu, yang merupakan bahan resistor,329

diletakkan di atas screen kemudian disapukan merata menggunakanpenyapu dari karet-keras dengan tekanan yang cukup agar screenmenyentuh permukaan substrat. Jika penyapuan dihentikan screenakan kembali pada posisi semula dan terbentuklah pola-pola cat diatas substrat. Kekentalan cat harus dibuat sedemikian rupa sehinggapada waktu screen terangkat, cat yang berada di atas substratmeluber ke tempat yang semula tertutup oleh benang / kawat screen.Dengan demikian ketebalan lapisan tidak terlalu bervariasi.Cat bahan resistor diperoleh melalui pencampuran tepung bahankonduktif (biasanya oksida misalnya PdO, RuO 2 , dengankoduktivitas 10 6 − 10 6 Sm −1 ) dengan tepung silikat (boro-silikattimbal) serta campuran bahan organik. Setelah pola-pola resistorterbentuk di atas permukaan substrat, dilakukan pemanasan secaraterkendali pada temperatur antara 100 − 150 o C sehingga larutanorganik menguap. Sisa-sisa bahan organik yang masih tersisadihilangkan dengan pemanasan pada temperatur 200 − 400 o C. Yangtertinggal adalah campuran silikat dan komponen resistif aktif yangakan melekat dengan baik pada permukaan substrat melaluipemanasan pada temperatur 800 o C.Gulungan Kawat. Untuk memperoleh kemampuan arus yang lebihtinggi, dibuat resistor dari gulungan kawat. Untuk mengurangi efekinduktansi pada gulungan kawat ini dilakukan cara penggulungantertentu, misalnya penggulungan bifilar.Resistor Dalam Rangkaian Terintegrasi. Selain konstruksi tersebutdi atas, kita mengenal resistor-resistor dalam rangkaian terintegrasi.I.2. ilai-ilai StandarResistor dibuat menuruti suatu nilai standard dengan toleransiseperti terlihat pada Tabel-I.1. Tabel-I.2 memuat macam resistordan rentang dayanya. Tabel-I.3 memuat macan potensiometer danrentang dayanya.330

Nilai Toleransi ±%Tabel-I.1: Nilai-Nilai Standar ResistorNilai Toleransi ±%Nilai Toleransi ±%10 5; 10; 20 22 5; 10; 20 47 5; 10; 2011 5 24 5 51 512 5; 10 27 5; 10 56 5; 1013 5 30 5 62 515 5; 10; 20 33 5; 10; 20 68 5; 10; 2016 5 36 5 75 518 5; 10 39 5; 10 82 5; 1020 5 43 5 91 5Tabel-I.2: Macam Resistor & Rentang DayanyaType & Nilai Numerik Toleransi ± % Daya [W]Komposit:5; 10; 20 1/8; ¼; ½; 1; 21 Ω - 20 MΩKarbon: 1 Ω - 20 MΩ 1; 2; 5 1/2 ÷ 2Lapisan Logam:10 Ω - 10 MΩ0.01 ÷ 1 1/20 ÷ 1/4.Gulungan Kawat: 0.1 Ω - 200 kΩ 0.1 ÷ 2 1; 2; 5; 10; 25Tabel-I.3: PotensiometerType & Nilai Numerik Toleransi ±% Daya [W]Komposit: 50 Ω - 5 MΩ 10 2Lapisan Logam:50 Ω - 10 kΩ2,5 0,5 ÷ 1Kawat gulung:10 Ω - 100 kΩ2,5 1 ÷ 1000331

KapasitorLampiran IIDalam rangkaian listrik kapasitor dapat melakukan berbagai fungsi,misalnya kopling kapasitif, pemisahan tegangan bolak-balik dantegangan searah, filtering (penapisan) dan penyimpanan energi.Kapasitor melewatkan arus bolak-balik tetapi menahan arus searahsehingga ia dapat mengkopel arus bolak-balik antara satu bagianrangkaian dengan bagian lainnya sementara arus searah di keduabagian tersebut dipisahkan. Nilai kapasitor juga dapat dipilihsedemikian rupa guna memilah frekuensi yang berbeda. Sebagaipenyimpan muatan ia dapat dimanfaatkan misalnya pada lampu kilatkamera.II.1. Efisiensi VolumeEfisiensi volume merupakan ukuran kapasitansi yang mungkindiperoleh untuk suatu ukuran (dimensi) tertentu. Untuk kapasitorpelat paralel dengan luas A dan jarak elektroda d (yang berarti jugatebal dilistrik = d), serta permitivitas relatif dilistrik adalah ε r , makakapasitansi adalahAC = εrε0(II.1)ddan efisiensi volume adalah C/volumeCvolumeCAdεrεd0= =2(II.2)Jadi efisiensi volume berbanding lurus dengan permitivitas relatif ε rdan berbanding terbalik dengan kuadrat tebal dilistriknya. Hal iniberarti bahwa makin tinggi permitivitas relatif dan makin tipis bahandilistriknya akan makin tinggi efisiensi volumenya. Akan tetapidilistrik tidak dapat dibuat terlalu tipis karena bahan dilistrikmempunyai kekuatan menahan tegangan tertentu yang jikadilampaui akan terjadi tembus listrik.Jika kuat medan tembus dilistrik adalah E b sedangkan kapasitordirancang untuk tegangan kerja V k , maka dengan faktor keamananη kita akan membuatη Vk = Ebd(II.3)332

Dari (II.2) dan (II.3) kita dapat menentukan kerapatan energi dalamdilistrik yang diperkenankan, yaitu⎛ 1⎜ CV⎝ 22k⎞⎟⎠⎛ 1volume = ⎜ CV⎝ 22kCdε εJika tegangan bolak-balik diterapkan pada kapasitor ideal, tidakterjadi desipasi energi. Dalam kenyataan, kapasitor mengandung333⎞⎟⎠r20ε=2rε0Vk22dε=2rε0Eb22η(II.4)Persamaan (II.4) menunjukkan bahwa dalam memilih dilistrik untukkapasitor tegangan tinggi faktor ε r E b 2 perlu diperhatikan.Muatan yang dapat tersimpan dalam kapasitor adalahEfisiensi penyimpanan muatan adalah q/ volume menjadiqvolumeCvolumeq = CVk.= V k(II.5)Jadi efisiensi penyinpanan muatan sama dengan efisiensi volumekali tegangan kerjanya.II.2. Resistansi Arus SearahKapasitor nyata (bukan ideal) mengandung resistansi arus searahyang besarnyaρdR c = dengan ρ adalah resistivitas dilistrik. (II.6)ASuatu kapasitor yang bermuatan Q 0 akan melepaskan muatannyamelalui resistansi ini sesuai dengan relasi−t/ τQ(t)= Q0 e , dengan τ = R C(II.7)Konstanta waktu τ ini tidak tergantung dari dimensi kapasitor tetapiditentukan hanya oleh dilistriknya. Hal ini dapat kita lihat jika kitamasukkan (II.6) dan (II.1) kita dapatkanτ =ρdε ε AA dr 0R cC= = ρ εrε0(II.8)Resistansi R c di atas adalah resistansi dari volume dilistrik. Untukkapasitor tegangan tinggi ( > 1kV ), kita harus memperhatikan pulaadanya resistansi permukaan antara elektroda.II.3. Rangkaian Ekivalen Pada Tegangan Bolak-Balikc

esistansi baik resistansi kawat terminasi, elektroda, maupunresistansi dilistriknya sendiri. Yang paling dominan adalah resistansidilistrik. Adanya resistansi ini menyebabkan terjadinya desipasienergi, yang dinyatakan sebagai “faktor desipasi” atau tanδ. Untukmenyatakan adanya rugi-rugi ini, suatu kapasitor dinyatakan denganrangkaian ekivalen yang terdiri dari kapasitor ideal paralel dengansebuah resistor R p seperti pada Gb.II.1. atau kapasitor ideal seridengan resistor R s seperti Gb.II.2.Gb.II.1. Rangkaian ekivalen kapasitor dengan resistor paralel.334Gb.II.2. Rangkaian ekivalen kapasitor dengan resistor seri.Nilai R p dan R s untuk kedua rangkaian ekivalen ini masing-masingadalahV V 1R =C=Cp=IRI C tan δ ωCtan δ(II.9)RsV=IpRsRsVCtan δ tan δ= =I ωCC(II.10)Rangkaian ekivalen dengan resistor seri lebih mudah digunakandalam aplikasi praktis karena dalam rangkaian ekivalen ini resistorseri dilalui arus yang sama dengan arus kapasitor. Resistor seri yangdigunakan untuk menyatakan adanya gejala resistansi pada kapasitorini sering disebut e.s.r. (equivalent series resistance). Untukfrekuensi tinggi, selain resistansi kita perlu memperhitungkan pulaadanya gejala induktansi L pada sambungan-sambungan kawat sertaelektroda. Dalam hal terakhir ini rangkaian ekivalen kapasitor

erupa rangkaian seri resistor R s , iduktor L s dan kapasitor ideal C,yang pada frekuensi tinggi tertentu bisa terjadi resonansi.II.4. Desipasi Daya Pada KapasitorDari diagram fasor Gb.II.1. dapat diformulasikan daya yangdidesipasi berupa panas, yaitu sebesaratau dari Gb.II.2.P = V C I Rp = VCI C tan δ = VCICtan δ (II.11)P = V RsIC = VCICtan δ = VCICtan δ (II.12)V C dan I C dalam kedua persamaan ini adalah nilai efektif tegangandan arus. Oleh karena I C = jωCVCatau IC= ωCVCmakapersamaan (II.11) ataupun (II.12) dapat dituliskan sebagaiP = VC ( ωCVC) tan δ = VC2 ωCtan δ (II.13)Jika tegangan kapasitor dinyatakan sebagai fungsi sinusVmaksvC= Vmakssin ωt, nilai efektif tegangan adalah V C = dan2persamaan (II.13) dapat pula ditulis sebagaiKerapatan daya yang didesipasi adalahPvolume===12121P = V 2maks ωCtan δ(II.14)2( ε A / d )22VmaksωCtan δ 1 Vmaksω ε r 0=volume 2 A×d2Vmaksωεr ε0tan δ2d1 2Emaksωεr ε0tan δ2tan δ(II.15)σ AC = ωεrε0tan δ disebut konduktivitas dilistrik. (II.16)( εrtan δ ) disebut faktor rugi-rugi dilistrik335

II.5. Permitivitas KompleksRugi daya pada kapasitor sesungguhnya adalah rugi daya padadilistriknya, atau dengan kata lain faktor rugi-rugi tanδ adalah sifatdari dilistriknya. Untuk mencakup adanya rugi-rugi dilistrik ini,dikenalkan pengertian permitivitas relatif kompleks dari dilistrik,yaituε *r = ε′ r − jε r′′(II.17)dengan ε′ r adalah bagian riil dan ε′ ′ r adalah bagian imajiner daripermitivitas. Dengan pengertian ini maka arus kapasitor adalah* AIC= jωCVC= jωεrε0VCd(II.18)A= jω( ε′ r − jε ′ r) ε0VC= jωε′rC0VC+ ωε ′ rC0VCddengan C 0 adalah kapasitansi dalam vakum yang mempunyai*ε r = ε′ r − jε r ′′ = 1−j0.Arus kapasitor dalam rumusan (II.16) terdiri dari dua komponen.Komponen pertama adalah arus kapasitor tanpa rugi-rugi, dankomponen kedua adalah arus yang sefasa dengan tegangan. Diagramfasor arus ini terlihat pada Gb.II.3.ωε′ r C 0 V CImI Cδ336Reωε′′ Vr C 0 V C CGb.II.3. Diagram fasor arus kapasitor.Pada Gb.II.3. jelas terlihat bahwaε r′′ε′ r= tan δ(II.19)Dari Gb.II.3. terlihat pula bahwa desipasi daya pada kapasitoradalah

2P = ωε r′′C0VC(II.20)Dengan memasukkan (II.17) ke (II.18) dapat kita perolehKerapatan daya yang didesipasi22P = ωε′ rC0VCtan δ = ωCVCtan δ (II.21)2P ωε′ rC0VCtan δ ωε′ rε0==volume A×d1= Emaksωε′rε0tan δ2( A/d )Persamaan ini identik dengan persamaan (II.15).II.6. Macam-Macam Konstruksi Kapasitor2Vmakstan δ2 × A×dMacam-macam kapasitor yang utama adalah sebagai berikut.(II.22)Kapasitor Pita Polimer. Pada dasarnya kapasitor ini dibangun daripita polimer sebagai dilistrik yang diletakkan diantara dua pitaaluminium (alluminium foil) sebagai elektroda dan digulung untukmemperoleh luas elektroda yang diinginkan. Gulungan ini kemudiandimasukkan ke dalam tabung aluminium atau dilindungi denganepoxy resin. Konstruksi lain adalah menggunakan lapisanaluminium yang diendapkan (melalui proses penguapan) langsungdi permukaan pita polimer sebagai elektroda. Tebal pita polimerhanya beberapa mikron sedangkan tebal lapisan elektroda yangdiendapkan di permukaan polimer adalah sekitar 0.025 µm; dengandemikian efisiensi volume menjadi tinggi.Polimer yang biasa digunakan adalah polystyrene, polypropylene,polyester, polycarbonate. Kapasitor jenis ini banyak dipakai.Kapasitor dengan dillistrik polystyrene mempunyai faktor kerugian(tanδ) yang sangat rendah ( < 10 −3 ). Kapasitansi yang bisadicapai pada konstruksi ini adalah antara 10 −5 − 10 2 µF. Kertasdengan impregnasi juga sering digunakan juga sebagai dilistrik.337

digulungelektrodadielektrikGb.II.4. Kapasitor pita polimer.Kapasitor Elektrolit Aluminium. Kapasitor ini dibangun dari duapita aluminium yang sangat murni dengan ketebalan sekitar 50 µmsebagai elektroda, dan diantara keduanya diletakkan kertas berpori,kemudian digulung membentuk silinder. Salah satu elektroda (yaituanoda) mempunyai lapisan alumina dengan tebal sekitar 0.1 µm,yang dibentuk secara anodik. Gulungan ini dimasukkan ke dalamtabung silinder kemudian kertas berporinya di-impregnasi dengansuatu elektrolit (misalnya amonium pentaborat). Dengan demikiantersusunlah kapasitor yang terdiri dari anoda pita aluminium, lapisanalumina sebagai dilistrik, serta elektrolit dan pita aluminium yanglain sebagai katoda. Dalam penggunaan anoda harus tetapberpotensial positif. Kapasitor ini dibuat dalam rentang nilai antara10 −1 sampai 10 4 µF.b.II.5. Kapasitor elektrolit.Kapasitor Keramik. Kapasitor keramik dibuat untuk penggunaanpada tegangan dan daya rendah maupun tegangan dan daya tinggi.Untuk tegangan rendah kita mengenal konstruksi piringan,konstruksi tabung, dan konstruksi multilayer.338

dielektrikdielektrikdielektrikGb.II.6. Kapasitor KeramikKapasitor Mika. Konstruksi yang umum terdiri dari beberapalempeng mika dengan ketebalan antara 0.25 sampai 50 µm sebagaidilistrik dengan lapisan perak sebagai elektroda yang disusun dandiklem membentuk satu susunan kapasitor terhubung paralel.Susunan ini kemudian dibungkus dengan thermosetting resin untukmelindunginya dari kelembaban. Kapasitor jenis ini dibuat dalamrentang 10 −5 sampai 10 −1 µF.II.7. ilai StandarNilai standar kapasitor tegangan rendah dan toleransinya samaseperti resistor yang diberikan dalam tabel I.1. Tabel II.1. memuatmacam kapasitor dan rating tegangannya.339

Tabel II.1. KapasitorDilistrik Rentang nilai Toleransi± %Tegangan KerjaSearah [V]Gelas 1 ÷ 10 4 pF 5 100÷1250Mika 1 ÷ 10 5 pF 1; 2; 5 50÷500Kertas 10 pF÷10 µF 10 50÷400Plastik 1 pF ÷ 1 µF 2; 5; 10 50÷600Keramik 10 ÷ 10 6 pF 5; 10; 20 50÷1600II.8. Kapasitor Tegangan TinggiKonstruksi-konstruksi untuk tegangan rendah tidak dapat digunakanuntuk tegangan tinggi karena mempunyai kelemahan yaitu keduaelektrodanya tetap paralel sampai di bagian pinggirnya. Padakonstruksi yang demikian ini, walaupun kuat medan listrik di bagiantengah masih normal, di bagian pinggir elektroda dapat terjadi kuatmedan yang lebih tinggi (bisa sampai dua kali lipat kuat medan ratarata). Selama kuat medan rata-rata kecil dibandingkan dengan kuatmedan tembus dilistrik, hal ini tidak menjadi masalah besar. Akantetapi untuk kondensator tegangan tinggi hal ini harus mendapatperhatian khusus. Tembus permukaan bisa terjadi jika dilistrikkapasitor yang mempunyai permitivitas tinggi berbatasan dengandilistrik sekitarnya yang permitivitasnya lebih rendah, misalnyaudara. Untuk mengatasi situasi ini, pinggiran elektroda dibuatmelengkung sedemikian rupa sehingga jarak rambat permukaandilistrik di daerah pinggir menjadi panjang. Selain itu permukaandilistrik kapasitor juga perlu di glazur. Konstruksi yang seringdijumpai untuk kapasitor tegangan tinggi adalah konstruksi pot dankontruksi silinder.dielektrikdielektrikGb.II.7. Kapasitor tegangan tinggi.340

BiodataNama: Sudaryatno SudirhamLahir: di Blora pada 26 Juli 1943Istri: Ning UtariAnak: Arga AridarmaAria Ajidarma.1971 : Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung.1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung.1974 : Tertiary Education Research Center – UNSW − Australia.1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis.1981 : INPT - Toulouse − Perancis; 1982 DEA; 1985 Doktor.Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran Listrik”, “Pengantar TeknikElektro”, “Pengantar Rangkaian Listrik”, “Material Elektroteknik”,“Phenomena Gas Terionisasi”, “Dinamika Plasma”, “Dielektrika”,“Material Biomedika”.Buku dan Artikel: “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN979-9299-54-3, 2002; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi SusutEnergi Jaringan Distribusi”, Penerbit ITB, ISBN 978-979-1344-38-8,2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral”, Penerbit ITB,ISBN 978-979-1344-37-1, 2009; “Analisis Rangkaian Listrik (1)”, 2010;“Analisis Rangkaian Listrik (2)”, 2010; “Analisis Rangkaian Listrik (3)”,2010; 2010; ”Mengenal Sifat Material (1)”, 2010; ”Estimasi SusutTeknik dan onteknik Jaringan Distribusi”, 2011.Bidang minat: Power Engineering; Material Science.341