Analisis Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik - at ee-cafe.org
Analisis Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik - at ee-cafe.org
Analisis Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik - at ee-cafe.org
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham<strong>Analisis</strong><strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>Jilid 1darpublic
<strong>Analisis</strong><strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>Jilid 1(Arus Searah dan Arus Bolak-Balik)olehSudary<strong>at</strong>no Sudirham
Hak cipta pada penulis, 2010SUDIRHAM, SUDARYATNO<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)Bandungare-0710e-mail: darpublic@yahoo.comAlam<strong>at</strong> pos: Kanayakan D-30, Komp ITB, Bandung, 40135.Fax: (62) (22) 2534117
PengantarBuku ini adalah jilid pertama dari s<strong>at</strong>u seri pembahasan analisisrangkaian listrik. Pen<strong>at</strong>aan ulang urutan m<strong>at</strong>eri bahasan sertapenambahan penjelasan penulis lakukan terhadap buku yangditerbitkan tahun 2002.Buku jilid pertama ini bertujuan untuk membangun kemampuanmelakukan analisis rangkaian listrik dalam keadaan mantap,ditujukan kepada para pembaca yang untuk pertama kalimempelajari rangkaian listrik. Bagian ini berisi bahasan analisis dikawasan waktu dan kawasan fasor, disajikan dalam enam belas bab.Lima bab pertama berisi bahasan mengenai perilaku piranti-pirantilistrik maupun besaran fisis yang ada dalam rangkaian, mencakupmodel sinyal dan model piranti. Dengan pengertian tentang keduamodel ini, bahasan masuk ke landasan-landasan untuk melakukananalisis rangkaian listrik di emp<strong>at</strong> bab berikutnya, disusul dengandua bab yang berisi contoh aplikasi analisis rangkaian. Emp<strong>at</strong> babterakhir berisi analisis rangkaian di kawasan fasor, baik pada sistems<strong>at</strong>u fasa maupun sistem tiga fasa berbeban seimbang yangmerupakan pokok bahasan terakhir. Pokok bahasan selanjutnya akandisajikan dalam buku jilid berikutnya.Selanjutnya buku jilid ke-dua akan ditujukan kepada pembaca yangtelah mempelajari m<strong>at</strong>eri di jilid pertama ini. Pembahasan akanmeliputi analisis transien pada sistem orde pertama dan sistem ordeke-dua, analisis rangkaian menggunakan transformasi Laplace,fungsi alih, tanggapan frekuensi, pengenalan pada sistem termasukpersamaan ruang st<strong>at</strong>us, serta analisis rangkaian listrikmenggunakan transformasi Fourier. Dalam jilid ke-tiga akandisajikan analisis rangkaian pemrosesan energi, khususnya padapemrosesan menggunakan arus bolak-balik sinusoidal, dan analisisharmonisa di mana sinyal listrik dipandang sebagai su<strong>at</strong>u spektrum.Mudah-mudahan sajian ini bermanfa<strong>at</strong> bagi para pembaca. Saran danusulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya,sang<strong>at</strong> penulis harapkan.Bandung, 26 Juli 2010Wassalam,Penulisiii
A. Schopenhauer, 1788 – 1860Dari Mini-EncyclopédieFrance LoisirsISBN 2-7242-1551-6iv
K<strong>at</strong>a PengantarDaftar IsiDaftar IsiBab 1: Pendahuluan 1Pengertian <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> . Pengertian <strong>Analisis</strong><strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>. Struktur Dasar <strong>Rangkaian</strong>, Besaran<strong>Listrik</strong>, Kondisi Operasi. Landasan Untuk Melakukan<strong>Analisis</strong>.Cakupan BahasanBab 2: Besaran <strong>Listrik</strong> Dan Model Sinyal 9Besaran <strong>Listrik</strong>. Sinyal dan Peubah Sinyal. BentukGelombang Sinyal.Bab 3: Perny<strong>at</strong>aan Sinyal Dan Spektrum Sinyal 37Perny<strong>at</strong>aan-Perny<strong>at</strong>aan Gelombang Sinyal. SpektrumSinyal.Bab 4: Model Piranti Pasif 57Resistor. Kapasitor. Induktor. Induktansi Bersama.Saklar. Elemen Sebagai Model Dari Gejala.Transform<strong>at</strong>or Ideal.Bab 5: Model Piranti Aktif, Dioda, dan OPAMP 83Sumber Bebas. Sumber Praktis. Sumber Tak-Bebas.Dioda Ideal. Pengu<strong>at</strong> Operasional (OP AMP).Bab 6: Hukum-Hukum Dasar 109Hukum Ohm. Hukum Kirchhoff. Basis <strong>Analisis</strong><strong>Rangkaian</strong>.Bab 7: Kaidah dan Teorema <strong>Rangkaian</strong> 121Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong>. Teorema <strong>Rangkaian</strong>.Bab 8: Metoda <strong>Analisis</strong> Dasar 143Metoda Reduksi <strong>Rangkaian</strong>. Metoda Keluaran S<strong>at</strong>uS<strong>at</strong>uan. Metoda Superposisi. Metoda <strong>Rangkaian</strong>Ekivalen Thévenin.Bab 9: Metoda <strong>Analisis</strong> Umum 159Metoda Tegangan Simpul. Metoda Arus Mesh. C<strong>at</strong><strong>at</strong>anTentang Metoda Tegangan Simpul dan Arus Mesh.iiivv
Bab 10: <strong>Rangkaian</strong> Pemroses Energi (Arus Searah) 181Pengukur Tegangan dan Arus Searah. PengukuranResistansi. Resistansi Kabel Penyalur Daya. PenyaluranDaya Melalui Saluran Udara. Diagram S<strong>at</strong>u Garis.Jaringan Distribusi Daya. B<strong>at</strong>ere. Gener<strong>at</strong>or Arus Searah.Bab 11: <strong>Rangkaian</strong> Pemroses Sinyal (Dioda dan OP AMP) 201<strong>Rangkaian</strong> Dengan Dioda. <strong>Rangkaian</strong> Dengan OP AMP.Diagram Blok. <strong>Rangkaian</strong> OP AMP Dinamik .Bab 12: Fasor, Impedansi, Dan Kaidah <strong>Rangkaian</strong> 227Fasor Dan Impedansi. Resistansi, Reaktansi, Impedansi.Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong> Impedansi.Bab 13: Teorema dan Metoda <strong>Analisis</strong> di Kawasan Fasor 247Teorema <strong>Rangkaian</strong> di Kawasan Fasor. Metoda-Metoda<strong>Analisis</strong> Dasar. Metoda-Metoda <strong>Analisis</strong> Umum.<strong>Rangkaian</strong> Resonansi.Bab 14: <strong>Analisis</strong> Daya 265Umum. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya R<strong>at</strong>a-R<strong>at</strong>a dan Daya Reaktif. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor:Daya Kompleks, Faktor Daya. Alih Daya. Alih DayaMaksimum.Bab 15: Penyediaan Daya 287Transform<strong>at</strong>or. Penyediaan Daya dan Perbaikan FaktorDaya. Diagram S<strong>at</strong>u Garis.Bab 16: Sistem Tiga Fasa 305Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke Beban. <strong>Analisis</strong>Daya Pada Sistem Tiga Fasa. Diagram S<strong>at</strong>u Garis.Daftar Referensi 325Indeks 327Lampiran I 329Lampiran II 332Biod<strong>at</strong>a 341vi Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 1PendahuluanDua dari sekian banyak kebutuhan manusia adalah kebutuhan akanenergi dan kebutuhan akan informasi. Salah s<strong>at</strong>u cara yang dap<strong>at</strong>dipilih untuk memenuhi kedua kebutuhan tersebut adalah melaluiteknologi elektro. Energi yang tersedia di alam tidak selalu dalambentuk yang kita perlukan akan tetapi terkandung dalam berbagaibentuk sumber energi misalnya air terjun, b<strong>at</strong>ubara, sinar m<strong>at</strong>ahari,angin, ombak, dan lainnya. Selain itu sumber energi tersebut tidakselalu berada di temp<strong>at</strong> di mana energi tersebut dibutuhkan.Teknologi elektro melakukan konversi energi non-listrik menjadienergi listrik dan dalam bentuk listrik inilah energi dap<strong>at</strong> disalurkandengan lebih mudah ke temp<strong>at</strong> ia diperlukan dan kemudiandikonversikan kembali ke dalam bentuk yang sesuai dengankebutuhan, misalnya energi mekanis, panas, cahaya. Prosespenyediaan energi berlangsung melalui berbagai tahapan; salah s<strong>at</strong>ucontoh adalah sebagai berikut:- energi non listrik, misalnya energi kimia yang terkandung dalambahan bakar diubah menjadi energi panas dalam boiler → energipanas diubah menjadi energi mekanis di turbin → energi mekanisdiubah menjadi energi listrik di gener<strong>at</strong>or → energi listrik diubahmenjadi energi listrik namun pada tingk<strong>at</strong> tegangan yang lebihtinggi di transform<strong>at</strong>or → energi listrik bertegangan tinggiditransmisikan → energi listrik bertegangan tinggi diubah menjadienergi listrik bertegangan menengah pada transform<strong>at</strong>or → energilistrik didistribusikan ke pengguna, melalui jaringan teganganmenengah tiga fasa, tegangan rendah tiga fasa, dan tegangan rendahs<strong>at</strong>u fasa → energi listrik diubah kembali ke dalam bentuk energiyang sesuai dengan kebutuhan pengguna.Demikian pula halnya dengan informasi. Teknologi elektromelakukan konversi berbagai bentuk informasi ke dalam bentuksinyal listrik dan menyalurkan sinyal listrik tersebut ke temp<strong>at</strong> iadiperlukan kemudian dikonversikan kembali dalam bentuk-bentukyang dap<strong>at</strong> ditangkap oleh indera manusia <strong>at</strong>aupun dimanfa<strong>at</strong>kan1
untuk su<strong>at</strong>u keperluan tertentu, misalnya pengendalian. Denganmudah kita dap<strong>at</strong> mengetahui apa yang sedang terjadi di belahanbumi yang lain dalam waktu yang hampir bersamaan denganberlangsungnya kejadian, tanpa harus beranjak dari rumah. Tidakhanya sampai di situ, s<strong>at</strong>elit di luar angkasa pun dikendalikan daribumi, dan jantung yang lemah pun dap<strong>at</strong> dibantu untuk dipacu.1.1. Pengertian <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong><strong>Rangkaian</strong> listrik (<strong>at</strong>au rangkaian elektrik) merupakan interkoneksiberbagai piranti (divais – device) yang secara bersamamelaksanakan su<strong>at</strong>u tugas tertentu. Tugas itu dap<strong>at</strong> berupapemrosesan energi <strong>at</strong>aupun pemrosesan informasi. Melaluirangkaian listrik, energi maupun informasi dikonversikan menjadienergi listrik dan sinyal listrik, dan dalam bentuk sinyal inilah energimaupun informasi dap<strong>at</strong> disalurkan dengan lebih mudah ke temp<strong>at</strong>ia diperlukan.Teknologi elektro telah berkembang jauh. Dalam konversi dantransmisi energi listrik misalnya, walaupun masih tetapmemanfa<strong>at</strong>kan sinyal analog berbentuk sinus, namun kuantitasenergi yang dikonversi dan ditransmisikan semakin besar mengikutipertumbuhan kebutuhan. Teknologi yang dikembangkan punmengikuti kecenderungan ini. Kemampuan peral<strong>at</strong>an semakintinggi, al<strong>at</strong> perlindungan (proteksi) semakin ket<strong>at</strong> baik perlindungandalam mempertahankan kinerja sistem maupun terhadap pengaruhalam. Demikian pula pertimbangan-pertimbangan ekonomi maupunkelestarian lingkungan menjadi sang<strong>at</strong> menentukan. Bahkanperkembangan teknologi di sisi penggunaan energi, baik dalamupaya mempertinggi efisiensi maupun perluasan penggunaan energidalam mendukung perkembangan teknologi informasi, cenderungmemberikan dampak kurang menguntungkan pada sistempenyaluran energi listrik; dan hal ini menimbulkan persoalan lainyaitu persoalan kualitas daya yang harus diantisipasi dan di<strong>at</strong>asi.Kalau dalam pemrosesan energi masih digunakan sinyal analog,tidak demikian halnya dengan pemrosesan informasi. Pemanfa<strong>at</strong>ansinyal analog telah digantikan oleh sinyal-sinyal digital sehinggakualitas informasi video, audio, maupun d<strong>at</strong>a, menjadi sang<strong>at</strong>meningk<strong>at</strong>. Pemanfa<strong>at</strong>an sinyal digital sudah sang<strong>at</strong> meluas, mulaidari lingkungan rumah tangga sampai luar angkasa.2 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Walaupun terdap<strong>at</strong> perbedaan yang ny<strong>at</strong>a pada bentuk sinyal dalampemrosesan energi dan pemrosesan informasi, yaitu sinyal analogdalam pemrosesan energi dan sinyal digital dalam pemrosesaninformasi, namun hakek<strong>at</strong> pemrosesan tidaklah jauh berbeda;pemrosesan itu adalah konversi ke dalam bentuk sinyal listrik,transmisi hasil konversi tersebut, dan konversi balik menjadi bentukyang sesuai dengan kebutuhan.Sistem pemroses energi maupun informasi, dibangun darirangkaian-rangkaian listrik yang merupakan interkoneksi berbagaipiranti. Oleh karena itu langkah pertama dalam mempelajari analisisrangkaian listrik adalah mempelajari model sinyal dan modelpiranti. Karena pekerjaan analisis menggunakan model-model,sedangkan model merupakan pendek<strong>at</strong>an terhadap keadaan yangsebenarnya dengan pemb<strong>at</strong>asan-pemb<strong>at</strong>asan tertentu, maka hasilsu<strong>at</strong>u analisis harus juga difahami sebagai hasil yang berlaku dalamb<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as tertentu pula.1.2. Pengertian <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>Untuk mempelajari perilaku su<strong>at</strong>u rangkaian listrik kita melakukananalisis rangkaian listrik. <strong>Rangkaian</strong> listrik itu mungkin hanyaberdimensi beberapa sentimeter, tetapi mungkin juga membentangr<strong>at</strong>usan bahkan ribuan kilometer. Dalam pekerjaan analisis, langkahpertama yang kita lakukan adalah memindahkan rangkaian listrik ituke <strong>at</strong>as kertas dalam bentuk gambar; gambar itu kita sebut diagramrangkaian.Su<strong>at</strong>u diagram rangkaian memperlih<strong>at</strong>kan interkoneksi berbagaipiranti; piranti-piranti tersebut digambarkan dengan menggunakansimbol piranti. Jadi dalam su<strong>at</strong>u diagram rangkaian (yangselanjutnya kita sebut dengan singk<strong>at</strong> rangkaian), kita melih<strong>at</strong>bagaimana berbagai macam piranti saling dihubungkan.Perilaku setiap piranti kita ny<strong>at</strong>akan dengan model piranti. Untukmembedakan piranti sebagai benda ny<strong>at</strong>a dengan modelnya, makamodel itu kita sebut elemen rangkaian. Sinyal listrik yang hadirdalam rangkaian, kita ny<strong>at</strong>akan sebagai peubah rangkaian yangtidak lain adalah model m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dari sinyal-sinyal tersebut. Jadidalam pekerjaan analisis rangkaian listrik, kita menghadapi diagramrangkaian yang memperlih<strong>at</strong>kan hubungan dari berbagai elemen,dan setiap elemen memiliki perilaku masing-masing yang kita sebutkarakteristik elemen; besaran-fisika yang terjadi dalam rangkaian3
kita ny<strong>at</strong>akan dengan peubah rangkaian (variable rangkaian) yangmerupakan model sinyal. Dengan melih<strong>at</strong> hubungan elemen-elemendan memperh<strong>at</strong>ikan karakteristik tiap elemen, kita melakukanperhitungan peubah-peubah rangkaian.Perhitungan-perhitungan tersebut mungkin berupa perhitunganuntuk mencari hubungan antara peubah yang keluar dari rangkaian(kita sebut dengan singk<strong>at</strong> keluaran) dan peubah yang masuk kerangkaian (kita sebut dengan singk<strong>at</strong> masukan); <strong>at</strong>aupun mencaribesaran keluaran dari su<strong>at</strong>u rangkaian jika masukan dankarakteristik setiap elemen diketahui. Inilah pekerjaan analisis yangmemberikan hanya s<strong>at</strong>u hasil perhitungan, <strong>at</strong>au jawaban tunggal.Pekerjaan lain yang belum tercakup dalam buku ini adalahpekerjaan perancangan, yaitu mencari hubungan elemen-elemenjika masukan dan keluaran ditentukan. Hasil pekerjaan perancanganakan memberikan lebih dari s<strong>at</strong>u jawaban dan kita harus memilihjawaban mana yang kita ambil dengan memperhitungkan tidak sajaaspek teknis tetapi juga aspek lain misalnya aspek ekonomi, aspeklingkungan, dan bahkan estetika.Telah dik<strong>at</strong>akan di <strong>at</strong>as bahwa hasil su<strong>at</strong>u analisis harus difahamisebagai hasil yang berlaku dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as tertentu. Kita akanmelih<strong>at</strong> bahwa rangkaian yang kita analisis kita anggap memilikisif<strong>at</strong> linier dan kita sebut rangkaian linier; ia merupakan hubunganelemen-elemen rangkaian yang kita anggap memiliki karakteristikyang linier. Sif<strong>at</strong> ini sesungguhnya merupakan pendek<strong>at</strong>an terhadapsif<strong>at</strong> piranti yang dalam keny<strong>at</strong>aannya tidak linier namun dalamb<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as tertentu ia bersif<strong>at</strong> hampir linier sehingga dalampekerjaan analisis kita anggap ia bersif<strong>at</strong> linier.1.3. Struktur Dasar <strong>Rangkaian</strong>, Besaran <strong>Listrik</strong>, dan KondisiOperasiStruktur Dasar <strong>Rangkaian</strong>. Secara umum su<strong>at</strong>u rangkaian listrikterdiri dari bagian yang aktif yaitu bagian yang memberikan dayayang kita sebut sumber, dan bagian yang pasif yaitu bagian yangmenerima daya yang kita sebut beban; sumber dan beban terhubungoleh penyalur daya yang kita sebut saluran.4 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Besaran <strong>Listrik</strong>. Ada lima besaran listrik yang kita hadapi, dan duadi antaranya merupakan besaran dasar fisika yaitu energi danmu<strong>at</strong>an listrik. Namun dalam analisis rangkaian listrik, besaranlistrik yang sering kita olah adalah tegangan, arus, dan daya listrik.Energi dihitung sebagai integral daya dalam su<strong>at</strong>u selang waktu, danmu<strong>at</strong>an dihitung sebgai integral arus dalam su<strong>at</strong>u selang waktu.Sumber biasanya diny<strong>at</strong>akan dengan daya, <strong>at</strong>au tegangan, <strong>at</strong>au arusyang mampu ia berikan. Beban biasa diny<strong>at</strong>akan dengan daya <strong>at</strong>auarus yang diserap <strong>at</strong>au diperlukan, dan sering pula diny<strong>at</strong>akan olehnilai elemen; elemen-elemen rangkaian yang sering kita temuiadalah resistor, induktor, dan kapasitor, yang akan kita pelajari lebihlanjut.Saluran adalah penghubung antara sumber dan beban, dan padarangkaian penyalur energi (di mana jumlah energi yang disalurkancukup besar) ia juga menyerap daya. Oleh karena itu saluran inidilih<strong>at</strong> oleh sumber juga menjadi beban dan daya yang diserapsaluran harus pula disediakan oleh sumber. Daya yang diserapsaluran merupakan susut daya dalam produksi energi listrik. Susutdaya yang terjadi di saluran ini merupakan peristiwa alamiah:sebagian energi yang dikirim oleh sumber berubah menjadi panasdi saluran. Namun jika daya yang diserap saluran tersebut cukupkecil, ia dap<strong>at</strong> diabaikan.Dalam keny<strong>at</strong>aan, rangkaian listrik tidaklah sesederhana seperti di<strong>at</strong>as. Jaringan listrik penyalur energi perlu dilindungi dari berbagaikejadian tidak normal yang dap<strong>at</strong> menyebabkan terjadinya lonjakanarus <strong>at</strong>au lonjakan tegangan. Jaringan perlu sistem proteksi yaituproteksi arus lebih dan proteksi tegangan lebih. Jaringan listrik jugamemerlukan sistem pengendali untuk meng<strong>at</strong>ur aliran energi kebeban. Pada jaringan pemroses informasi, gejala-gejala kebocoransinyal serta gangguan sinyal baik dari dalam maupun dari luarsistem yang disebut interferensi, memerlukan perh<strong>at</strong>ian tersendiri.Pada jaringan penyalur energi, sumber mengeluarkan daya sesuaidengan permintaan beban. Pada rangkaian penyalur informasi, dayasumber terb<strong>at</strong>as; oleh karena itu alih daya dari sumber ke bebanperlu diusahakan terjadi secara maksimal; alih daya ke beban akanmaksimal jika tercapai keserasian (m<strong>at</strong>ching) antara sumber danbeban.5
Peristiwa Transien. Kondisi operasi jaringan listrik tidak selalumantap. Pada waktu-waktu tertentu bisa terjadi keadaan peralihan<strong>at</strong>au keadaan transien. Besar dan bentuk tegangan dan arus padasa<strong>at</strong>-sa<strong>at</strong> setelah penutupan <strong>at</strong>aupun setelah pembukaan saklartidaklah seperti keadaan setelah saklar lama tertutup <strong>at</strong>au setelahlama terbuka. Di samping itu kejadian sesa<strong>at</strong> di luar jaringan jugabisa menimbulkan keadaan transien, misalnya petir.Su<strong>at</strong>u selang waktu diperlukan antara sa<strong>at</strong> kemunculan peristiw<strong>at</strong>ransien dengan sa<strong>at</strong> keadaan menjadi mantap. Waktu yangdiperlukan untuk mencapai keadaan akhir tersebut tergantung darinilai-nilai elemen rangkaian. Oleh karena itu kita harus h<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>iuntuk memegang peral<strong>at</strong>an listrik walaupun ia sedang tidakberoperasi; yakinkan lebih dulu apakah keadaan sudah cukup aman.Yakinkan lebih dulu bahwa peral<strong>at</strong>an listrik yang terbuka sudahtidak bertegangan, sebelum memegangnya.1.4. Landasan Untuk Melakukan <strong>Analisis</strong>Agar kita bisa melakukan analisis, kita perlu memahami beberapahal yang sang<strong>at</strong> mendasar yaitu hukum-hukum yang berlaku dalamsu<strong>at</strong>u rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teoremarangkaian, serta metoda-metoda analisis.Hukum-Hukum <strong>Rangkaian</strong>. Hukum-hukum rangkaian merupakandasar untuk melakukan analisis. Ada dua hukum yang akan kitapelajari yaitu Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Hukum Ohmmemberikan relasi linier antara arus dan tegangan resistor. HukumKirchhoff mencakup Hukum Arus Kirchhoff (HAK) dan HukumTegangan Kirchhoff (HTK). HAK menegaskan bahwa jumlah arusyang menuju su<strong>at</strong>u pencabangan rangkaian sama dengan jumlaharus yang meninggalkan pencabangan; hal ini dibuktikan olehkeny<strong>at</strong>aan bahwa tidak pernah ada penumpukan mu<strong>at</strong>an di su<strong>at</strong>upencabangan rangkaian. HTK meny<strong>at</strong>akan bahwa jumlah tegangandi su<strong>at</strong>u rangkaian tertutup sama dengan nol, dan hal ini sesuaidengan prinsip konservasi energi.Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong>. Kaidah rangkaian merupakankonsekuensi dari hukum-hukum rangkaian. Dengan kaidah-kaidahini kita dap<strong>at</strong> menggantikan susunan su<strong>at</strong>u bagian rangkaian dengansusunan yang berbeda tanpa mengganggu perilaku keseluruhanrangkaian, sehingga rangkaian menjadi lebih sederhana dan lebih6 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manualsang<strong>at</strong> diperlukan untuk dap<strong>at</strong> memahami sif<strong>at</strong> dan perilakurangkaian.Selain perbedaan jangkauan penggunaannya, metoda analisis dasarberbeda dari metoda analisis umum dalam hal sentuhan yang kitamiliki <strong>at</strong>as rangkaian yang kita hadapi. Dalam menggunakan metodaanalisis dasar, kita masih merasakan bahwa kita sedang mengolahperilaku rangkaian. Dalam menggunakan metoda analisis umum kitaagak kehilangan sentuhan tersebut; sekali kita sudah mendap<strong>at</strong>kanpersamaan rangkaian, maka selanjutnya kita hanya melakukanlangkah-langkah m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is <strong>at</strong>as persamaan tersebut dan kita akanmendap<strong>at</strong>kan hasil analisis tanpa merasa telah menghadapirangkaian listrik. Kehilangan sentuhan ini mendap<strong>at</strong> kompensasiberupa lebih luasnya jangkauan kerumitan rangkaian yang bisadipecahkan dengan metoda analisis umum.Selain dua kelompok metoda tersebut ada metoda analisisberbantuan komputer. Untuk rangkaian-rangkaian yang sang<strong>at</strong>rumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan tidak mungkinlagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan komputer.Metoda ini tidak dibahas khusus dalam buku ini namun pembacaperlu mempelajarinya dengan menggunakan buku-buku lain besertaperangk<strong>at</strong> lunaknya, seperti misalnya program SPICE.Landasan untuk melakukan analisis tersebut di <strong>at</strong>as akan kitapelajari dan setelah kita memahami landasan-landasan tersebut kitaakan siap untuk melakukan analisis rangkaian. Berbagai contohpekerjaan analisis akan kita jumpai dalam buku ini.8 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Tegangan. Tegangan diny<strong>at</strong>akan dengan simbol v; ia terkait denganperubahan energi yang dialami oleh mu<strong>at</strong>an pada waktu iaberpindah dari s<strong>at</strong>u titik ke titik yang lain di dalam rangkaian.Tegangan antara titik A dan titik B di su<strong>at</strong>u rangkaian didefinisikansebagai perubahan energi per s<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an, yang dalam bentukdiferensial dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai:dwv =dq(2.2)S<strong>at</strong>uan tegangan adalah volt, dengan singk<strong>at</strong>an V. Oleh karenas<strong>at</strong>uan energi adalah joule dengan singk<strong>at</strong>an J, maka 1 volt = 1joule/coulomb = 1 J/C.Daya. Daya diny<strong>at</strong>akan dengan simbol p, didefinisikan sebagai lajuperubahan energi, yang dap<strong>at</strong> kita tuliskan:dwp = (2.3)dtDari definisi ini dan definisi untuk arus (2.1) dan tegangan (2.2) kitadap<strong>at</strong>kan:⎛ dw ⎞ ⎛ dw ⎞ ⎛ dq ⎞p = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = vi(2.4)⎝ dt ⎠ ⎝ dq ⎠ ⎝ dt ⎠S<strong>at</strong>uan daya adalah w<strong>at</strong>t, dengan singk<strong>at</strong>an W. Sesuai denganhubungan (2.3) maka 1 W = 1 J/s.Energi. Energi diny<strong>at</strong>akan dengan simbol w. Untuk memperolehbesar energi yang teralihkan dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 kitamelakukan integrasi daya antara t 1 dan t 2S<strong>at</strong>uan energi adalah joule.tw = ∫1pdt(2.5)t1Mu<strong>at</strong>an. Mu<strong>at</strong>an diny<strong>at</strong>akan dengan simbol q, diperoleh denganmengintegrasi arus terhadap waktu. Jadi jumlah mu<strong>at</strong>an yangdialihkan oleh arus i dalam selang waktu antara t 1 dan t 2 adalah :S<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an adalah coulomb.tq =∫2idt(2.6)t110 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
2.2. Peubah Sinyal dan Referensi SinyalPeubah Sinyal. Sebagaimana telah sebutkan di <strong>at</strong>as, dalammanangani masalah praktis, kita jarang melib<strong>at</strong>kan secara langsungkedua besaran dasar yaitu energi dan mu<strong>at</strong>an. Besaran yang lebihsering kita olah adalah arus, tegangan, dan daya. Dalam analisisrangkaian listrik, tiga besaran ini menjadi peubah rangkaian yangkita sebut sebagai peubah sinyal. Kehadiran mereka dalam su<strong>at</strong>urangkaian listrik merupakan sinyal listrik, dan dalam analisisrangkaian listrik kita melakukan perhitungan-perhitungan sinyallistrik ini; mereka menjadi peubah <strong>at</strong>au variabel.Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit. Sinyal listrikpada umumnya merupakan fungsi waktu, t. Dalam teknologi elektroyang telah berkembang demikian lanjut kita mengenal dua macambentuk sinyal listrik yaitu sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktudiskrit. Su<strong>at</strong>u sinyal disebut sebagai sinyal waktu kontinyu (<strong>at</strong>audisebut juga sinyal analog) jika sinyal itu mempunyai nilai untuksetiap t dan t sendiri mengambil nilai dari s<strong>at</strong>u set bilangan riil.Sinyal waktu diskrit adalah sinyal yang mempunyai nilai hanya pad<strong>at</strong> tertentu yaitu t n dengan t n mengambil nilai dari s<strong>at</strong>u set bilanganbul<strong>at</strong>. Sebagai contoh sinyal waktu kontinyu adalah tegangan listrikdi rumah kita. Sinyal waktu diskrit kita peroleh misalnya melaluisampling pada tegangan listrik di rumah kita. Gb.2.1.memperlih<strong>at</strong>kan kedua macam bentuk sinyal tersebut. Dalammempelajari analisis rangkaian di buku ini, kita hanya akanmenghadapi sinyal waktu kontinyu saja.v(t)v(t)00t0 0tSinyal waktu kontinyuSinyal waktu diskritGb.2.1. Sinyal waktu kontinyu dan sinyal waktu diskrit.11
Referensi Sinyal. Arus dan tegangan mempunyai hubungan er<strong>at</strong>namun mereka juga mempunyai perbedaan yang sang<strong>at</strong> ny<strong>at</strong>a. Arusmerupakan ukuran besaran yang melew<strong>at</strong>i su<strong>at</strong>u titik sedangkantegangan adalah ukuran besaran antara dua titik. Jadi arus diukur dis<strong>at</strong>u titik sedangkan tegangan diukur di antara dua titik.Dalam pekerjaan analisis, arah arus diny<strong>at</strong>akan dengan tanda anakpanah yang menjadi referensi arah positif arus. Referensi ini tidakberarti bahwa arah arus sesungguhnya (yang mengalir pada piranti)adalah seperti ditunjukkan oleh anak panah. Arah arussesungguhnya dap<strong>at</strong> berlawanan dengan arah anak panah dan jikademikian halnya kita k<strong>at</strong>akan arus neg<strong>at</strong>if. Dalam hal arah arussesungguhnya sesuai dengan arah anak panah, kita k<strong>at</strong>akan aruspositif.Pada elemen rangkaian, tanda “+” dipakai untuk menunjukkan titikyang dianggap mempunyai tegangan yang lebih tinggi dibandingkandengan titik yang bertanda “−”, dan ini menjadi referensi tegangan.Di sinipun titik yang bertanda “+” pada keadaan sesungguhnya tidakselalu bertegangan lebih tinggi dibandingkan dengan titik yangbertanda “−“. Tetapi jika benar demikian keadaannya kita k<strong>at</strong>akanbahwa tegangan pada piranti adalah positif, dan jika sebaliknyamaka tegangan itu neg<strong>at</strong>if.Konvensi Pasif. Dalam menentukan referensi tegangan dan arus kitamengikuti konvensi pasif yaitu arah arus digambarkan masuk k<strong>ee</strong>lemen pada titik yang bertanda “+”. Konvensi ini disebut konvensipasif sebab dalam konvensi ini piranti menyerap daya. Perh<strong>at</strong>ikanGb.2.2. Dengan konvensi ini, jika arus dan tegangan memiliki tandayang sama, daya bernilai positif. Jika arus da tegangan berlawanantanda maka daya bernilai neg<strong>at</strong>if.tegangan diukur antara dua titik+ −pirantiarus melalui pirantiGb.2.2. Tegangan dan arus pada s<strong>at</strong>u pirantiDaya positif berarti elemen menyerap daya; dayaneg<strong>at</strong>if berarti elemen mengeluarkan daya.12 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Selain referensi arus dantegangan pada elemen, untukmeny<strong>at</strong>akan besar tegangandi berbagai titik pada su<strong>at</strong>urangkaian kita menetapkantitik referensi umum yangkita namakan titikpentanahan <strong>at</strong>au titik nol <strong>at</strong>auground. Tegangan di titiktitiklain pada rangkaiandihitung terhadap titik nol ini.Perh<strong>at</strong>ikan penjelasan padaGb.2.3.Tegangan di titik A dap<strong>at</strong> kita sebut sebagai v A yaitu tegangan titikA terhadap titik referensi umum G. Demikian pula v B adalahtegangan titik B terhadap G. Beda tegangan antara titik A dan Badalah v A – v B = v AB = v 2 .Isilah kotak-kotak yang kosong pada tabel berikut ini.Piranti v [V] i [A] p [W] menerima/memberi dayaA 12 5B 24 -3C 12 72D -4 96E 24 72COTOH-2.1: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti adalah 12 V (konstan)dan arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakahdaya yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8jam? c). Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan melaluipiranti tersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:referensi arusa). Daya yang diserap adalah :−p = vi = 12 × 100×103 = 1,2 Wb). Energi yang diserap selama 8 jam adalah8 8w = ∫ pdt = 1,2 = 1,20 ∫ dt t080= 9,6 Whc). Jumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan selama 8 jam adalahA+i 1 v1 1−referensi tegangan pirantii 2B2+ v 2 −+v 3 i3 3−Greferensi tegangan umum (ground)Gb.2.3. Referensi arus dan tegangan13
88−3q = ∫ idt = 100×10 t = 0,1 × 8 = 0,8 Ah00Pemahaman :S<strong>at</strong>uan daya adalah W<strong>at</strong>t. Untuk daya besar digunakan s<strong>at</strong>uankW (kilo w<strong>at</strong>t) yaitu 1 kW = 1000 W. S<strong>at</strong>uan daya yang lainadalah horse power (HP).1 HP = 746 W <strong>at</strong>au 1 kW = 1,341 HPW<strong>at</strong>t-hour (Wh) adalah s<strong>at</strong>uan energi yang biasa dipakai dalamsistem tenaga listrik.1 Wh = 3600 J <strong>at</strong>au 1 kWh = 3600 kJS<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an adalah Coulomb. Dalam penyelesaian soal di<strong>at</strong>as, kita menggunakan s<strong>at</strong>uan Ampere-hour (Ah) untukmu<strong>at</strong>an. S<strong>at</strong>uan ini biasa digunakan untuk meny<strong>at</strong>akan kapasitassu<strong>at</strong>u accu (accumul<strong>at</strong>or). Contoh : accu mobil berkapasitas 40Ah.karena 1 A = 1 C/s maka 1 C = 1 As dan 1 Ah = 3600 CCOTOH-2.2: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pad<strong>at</strong>egangan 200V (konstan). Berapakah besar arus yang mengalirdan berapakah energi yang diserap selama 8 jam ?Penyelesaian :p 100i = = = 0,5 Av 20088w = ∫ 100dt= 100t= 800 Wh = 0,8 kWH00COTOH-2.3: Arus yang melalui su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadapwaktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>anyang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5detik ?Penyelesaian :Jumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan dalam 5 detik adalah55 5 0,05 2 1,25q =∫idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫tdt t0 2 0 2COTOH-2.4: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadapwaktu sebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i14 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
= 5cos400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ?b). Berapakah nilai daya maksimum dan daya minimum ?Penyelesaian :EMBED Equ<strong>at</strong>ion.3a). p = 220cos 400t× 5cos 400t= 1100cos= 550 1400t( + cos800t) = 550 + 550cos800tWSuku pertama perny<strong>at</strong>aan daya ini bernilai konstan positif +550 V.b). NilaiSuku ke-dua bervariasi antara −550 V dan + 550 V.Secara keseluruhan daya selalu bernilai positif.daya : ppmaksimumminimum= 550+550 = 1100 W2= 550−550 = 0 WWCOTOH-2.5: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadapwaktu sebagai v = 220cos400t dan arus yang mengalir adalah i= 5sin400t A. a). Bagaimanakah variasi daya terhadap waktu ?b). Tunjukkan bahwa piranti ini menyerap daya pada su<strong>at</strong>uselang waktu tertentu dan memberikan daya pada selang waktuyang lain. c). Berapakah daya maksimum yang diserap ? d).Berapakah daya maksimum yang diberikan ?Penyelesaian :a).p = 220 cos 400t× 5sin 400t= 1100 sin 400tcos 400t= 550 sin 800tWb). Dari a) terlih<strong>at</strong> bahwa daya merupakan fungsi sinus. Selamasetengah perioda daya bernilai posisitif dan selama setengahperioda berikutnya ia bernilai neg<strong>at</strong>if. Jika pada waktu dayabernilai positif mempunyai arti bahwa piranti menyerap daya,maka pada waktu bernilai neg<strong>at</strong>if berarti piranti memberikandayac). Daya maksimum yang diserap:p maks diserap = 550 W .d). Daya maksimum yang diberikan: p maks diberikan = 550 W .15
2.3. Bentuk Gelombang SinyalPada umumnya sinyal merupakan fungsi waktu, seperti yang kitalih<strong>at</strong> pada contoh-contoh di <strong>at</strong>as. Variasi sinyal terhadap waktudisebut bentuk gelombang. Secara formal dik<strong>at</strong>akan:Bentuk gelombang adalah su<strong>at</strong>u persamaan <strong>at</strong>au su<strong>at</strong>u grafikyang meny<strong>at</strong>akan sinyal sebagai fungsi dari waktu.Sebagai contoh, bentuk gelombang tegangan dan arus yang konstandi seluruh waktu, secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is diny<strong>at</strong>akan dengan persamaan:v = V0 ; i = I0, untuk − ∞ < t < ∞(2.7)Walaupun persamaan di <strong>at</strong>as hanyalah model, tetapi model inisang<strong>at</strong> bermanfa<strong>at</strong> sebab ia merupakan pendek<strong>at</strong>an untuk sinyalyang secara ny<strong>at</strong>a dibangkitkan oleh sumber sebenarnya, misalnyab<strong>at</strong>ere.Bentuk gelombang dikelompokkan dalam dua kelompok. Kelompokpertama disebut bentuk gelombang dasar yang meliputi bentukgelombang anak tangga, sinus, dan eksponensial. Mereka disebutbentuk gelombang dasar karena dari tiga bentuk gelombang inidap<strong>at</strong> diturunkan bentuk-bentuk gelombang yang lain. Bentukgelombang dasar ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.2.4.vvv00 0tt 000tAnak tangga Sinus EksponensialGb.2.4. Bentuk Gelombang Dasar.Kelompok kedua disebut bentuk gelombang komposit. Bentukgelombang ini tersusun dari beberapa bentuk gelombang dasar,seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.2.5. Bentuk gelombang sinus teredammisalnya, merupakan hasil kali gelombang sinus denganeksponensial; gelombang persegi merupakan kombinasi darigelombang-gelombang anak tangga, dan sebagainya. Dalam analisisrangkaian, bentuk-bentuk gelombang ini kita ny<strong>at</strong>akan secaram<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is seperti halnya dengan contoh sinyal konstan (2.7) di <strong>at</strong>as.Dalam keny<strong>at</strong>aan, bentuk-bentuk gelombang bisa sang<strong>at</strong> rumit;walaupun demikian, variasinya terhadap waktu dap<strong>at</strong> didek<strong>at</strong>idengan menggunakan gabungan bentuk-bentuk gelombang dasar.16 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
vvv0 0t0t00 tSinus teredam Gelombang persegi Eksponensial gandavvv0Deretan pulsa Gigi gergaji Segi tigaGb.2.5. Beberapa gelombang komposit.2.3.1. Bentuk Gelombang Dasart0 t 0tBentuk gelombang dasar (disebut juga gelombang utama) meliputifungsi anak-tangga (step function),fungsi eksponensial (exponential function), danfungsi sinus (sinusoidal function).Fungsi Anak-Tangga (Fungsi Step). Secara umum, fungsi anaktanggadidasarkan pada fungsi anak-tangga s<strong>at</strong>uan, yangdidefinisikan sebagai berikut:u(t)= 0 untuk t < 0(2.8)= 1 untuk t ≥ 0Beberapa buku membiarkan fungsi u(t) tak terdefinisikan untuk t =0, dengan persamaanu(t)= 0 untuk t < 0= 1 untuk t > 0Perny<strong>at</strong>aan fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan yang terakhir ini mempunyaiketidak-kontinyuan pada t = 0. Untuk selanjutnya kita akanmenggunakan definisi (2.8).Dalam keny<strong>at</strong>aan, tidaklah mungkin membangkitkan sinyal yangdap<strong>at</strong> berubah dari s<strong>at</strong>u nilai ke nilai yang lain tanpa memakanwaktu. Yang dap<strong>at</strong> dilakukan hanyalah membu<strong>at</strong> waktu transisi itusependek mungkin.Bila u(t) kita kalikan dengan sesu<strong>at</strong>u nilai konstan V A akan kitaperoleh bentuk gelombang anak tangga (Gb.2.6.a.):17
v = VAu(t)⇒ v = 0 untuk t < 0= VAuntuk t ≥ 0v V AvV A(2.9.a)0(a)Gb.2.6. Bentuk gelombang anak-tangga.Jika t kita ganti dengan (t-T s ) kita peroleh bentuk gelombangVAu( t − Ts ) yang merupakan bentuk gelombang anak tangg<strong>at</strong>ergeser ke arah positif sebesar T s (Gb.2.6.b.).v = VAu(t − Ts) ⇒ v = 0 untuk t < Ts= VAuntuk t ≥ Ts(2.9.b)Bentuk Gelombang Eksponensial. Sinyal exponensial merupakansinyal anak-tangga yang amplitudonya menurun secara eksponensialmenuju nol. Persamaan bentuk gelombang sinyal ini adalah:−t/ τ( V e ) u(t)tv = A(2.10)Parameter yang penting pada sinyal bentuk ini adalah amplitudo V Adan konsanta waktu τ (dalam detik). Konstanta waktu ini enentukankecep<strong>at</strong>an menurunnya amplitudo sinyal. Makin besar τ makinlamb<strong>at</strong> amplitudo menurun dan makin kecil τ makin cep<strong>at</strong>amplitudo menurun.0T s(b)t0.368V Av V AV A e −t / τ u(t)0 1 2 3 4 5 t/τGb.2.7. Bentuk gelombang eksponensial.Pada t = τ sinyal sudah menurun mencapai 36,8 % V A . Pada t = 5τsinyal mencapai 0,00674V A , kurang dari 1% V A . Oleh karena itu kitadefinisikan durasi (lama berlangsung) su<strong>at</strong>u sinyal eksponensial18 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
adalah 5τ. Kalau kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0, maka u(t)pada persamaan gelombang ini biasanya tidak dituliskan lagi. Jadi:v −t/ τ= V A e(2.11)Bentuk Gelombang Sinus. Sinus merupakan pengulangan tanpahenti dari su<strong>at</strong>u osilasi antara dua nilai puncak, seperti terlih<strong>at</strong> padaGb.2.8. di bawah ini.Tv 0V A0 0−V AtvV A−V A0 0T sGb.2.8. Bentuk gelombang sinus.Amplitudo V A didefinisikan sebagai nilai maksimum dan minimumosilasi. Perioda T o adalah waktu yang diperlukan untuk membu<strong>at</strong>s<strong>at</strong>u siklus lengkap. Dengan menggunakan dua parameter tersebut,yaitu V A dan T o , kita dap<strong>at</strong> menuliskan persamaan sinus ini dalamfungsi cosinus:v = V A cos(2π t / T o ) (2.12)Seperti halnya fungsi anak tangga, persamaan umum fungsi sinusdiperoleh dengan mengganti t dengan (t-T s ). Jadi persamaan umumgelombang sinus adalah:v = VAcos[ 2π(t − Ts) / To](2.13)dengan T s adalah waktu pergeseran, yang ditunjukkan oleh posisipuncak positif yang terjadi pertama kali seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.2.8.Pada gambar ini T s adalah positif. Jika T s neg<strong>at</strong>if pergeserannyaakan ke arah neg<strong>at</strong>if.Pergeseran waktu dap<strong>at</strong> juga diy<strong>at</strong>akan dengan menggunakan sudut:v = VA cos[ 2πt / To − φ](2.14)Parameter φ disebut sudut fasa. Hubungan antara waktu pergeseranT s dan sudut fasa φ adalah :Tφ = 2πsT(2.15)0Variasi dari gelombang sinus dap<strong>at</strong> juga diny<strong>at</strong>akan denganmenggunakan frekuensi. Frekuensi f o didefinisikan sebagai jumlahT 0t19
perioda dalam s<strong>at</strong>u s<strong>at</strong>uan waktu, yang disebut frekuensi siklus.Oleh karena perioda T o adalah jumlah detik (waktu) per siklus, makajumlah siklus (perioda) per detik adalah:1f 0 =T(2.16)0dengan s<strong>at</strong>uan hertz ( Hz ), <strong>at</strong>au siklus per detik. Selain frekuensisiklus, kita mengenal pula frekuensi sudut ω o dengan s<strong>at</strong>uan radianper detik (rad/det), yaitu:2f2πω 0 = π 0 =T(2.17)0Dengan demikian ada dua cara untuk meny<strong>at</strong>akan frekuensi, yaitufrekuensi siklus (Hz) dan frekuensi sudut (rad/detik), dan fungsisinus dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagaiv = VAcos[2πf0t − φ]v = VAcos[ ω0t − φ]<strong>at</strong>au(2.17.a)COTOH-2.6: Tegangan pada su<strong>at</strong>u piranti adalah 12 V (konstan)dan arus yang mengalir padanya adalah 100 mA. a). Berapakahdaya yang diserap ? b). Berapakah energi yang diserap selama 8jam? c). Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan melaluipiranti tersebut selama 8 jam itu?Penyelesaian:Penyelesaian soal ini telah kita lakukan pada contoh 2.1. Di sinikita akan melih<strong>at</strong> model sinyalnya. Model m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dari sinyaltegangan 12 V (konstan) kita tuliskan sebagai v = 12u(t)V,dan arus 100 mA kita tuliskan i = 100u(t)mA.Jika sinyal-sinyal ini kita gambarkan akan berbentuk seperti dibawah ini.v12 Vv=12u(t) Vi100 mAi=100u(t) mA0 t0 t20 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Daya yang diserap adalah p = v × i = 1.2 W dan jika kitagambarkan perubahan daya terhadap waktu adalah sepertigambar berikut ini.p1,2 Wp = v × ip1,2 W0 t0 8 t (jam)Energi yang diserap selama 8 jam adalah integral dari dayauntuk jangka waktu 8 jam. Besar energi ini ditunjukkan olehluas bagian yang diarsir di bawah kurva daya sepertiditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.COTOH-2.7: Carilah persamaan bentuk gelombang teganganyang tergambar di bawah ini.v [V]2' ' '1 2 3 4 t [s]−3a) b)Penyelesaian :a). Bentuk gelombang tegangan ini adalah gelombang anaktangga yang persamaan umumnya adalah v(t) = A u(t − T s ) ,dengan A = amplitudo dan T s = pergeseran waktu. Makapersamaan gelombang pada gambar a) adalahv 1(t)= 2u(t −1)V.Gelombang ini mempunyai nilaiv1 (t)= 2 V= 0 Vv [V]untuk t ≥ 1untuk t < 1b). Bentuk gelombang tegangan gambar b) adalahv2(t)= −3u(t − 2) V.Gelombang ini mempunyai nilai' ' ' '1 2 3 4 t [s]21
Pemahaman :v2 (t)= −3 V= 0 Vuntuk t ≥ 2untuk t < 2u(t) adalah fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan, sebagaimana telahdidefinisikan. Fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan ini tidak mempunyais<strong>at</strong>uan. Bentuk gelombang tegangan pada gambar a) diperolehdengan mengalikan su<strong>at</strong>u tegangan konstan sebesar 2 V denganfungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan u(t−1) yaitu fungsi anak tanggas<strong>at</strong>uan yang bergeser 1 detik. Sedangkan gelombang teganganpada gambar b) diperoleh dengan mengalikan tegangan konstansebesar −3 V dengan fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan yang bergeser 2detik.Bentuk gelombang apapun, jika dikalikan denganfungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan u(t) akan bernilai nol untukt < 0, dan jika dikalikan dengan u(t−T s ) akan bernilainol untuk t < T s .COTOH-2.8: Carilah persamaan dan gambarkanlah tiga bentukgelombang eksponensial berikut ini dalam s<strong>at</strong>u gambar.v 1 (t) : amplitudo 5 V, konstanta waktu 2 detikv 2 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 2 detikv 3 (t) : amplitudo 10 V, konstanta waktu 4 detikPenyelesaian :Persamaan umum gelombang eksponensial adalah v(t) =Ae −t/τ u(t) dengan A = amplitudo, τ = konstanta waktu. Jadiperny<strong>at</strong>aan ketiga gelombang itu masing-masing adalahv ( t)= 5e123−t/ 2v ( t)= 10ev ( t)= 10e−t/ 2−t/ 4u(t)V;u(t)V;u(t)V.Bentuk gelombang tegangan tergambar di bawah ini.22 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Pemahaman :Kita lih<strong>at</strong> bahwa walaupun v 1 dan v 2 mempunyai amplitudoyang jauh berbeda, mereka teredam dengan kecep<strong>at</strong>an yangsama karena konstanta waktunya sama. Pada t = 5 × konstantawaktu, yaitu 5 × 2 = 10 detik, nilai gelombang telah dap<strong>at</strong>diabaikan.Gelombang tegangan v 2 dan v 3 mempunyai amplitudo sam<strong>at</strong>etapi konstanta waktunya berbeda. Kita lih<strong>at</strong> bahwa gelombangyang konstanta waktunya lebih besar lebih lamb<strong>at</strong> menuju nol,sedangkan yang konstanta waktunya lebih kecil lebih cep<strong>at</strong>menuju nol.COTOH-2.9: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0,yang amplitudonya 10 V, frekuensi siklus 50 Hz, dan puncakpositif yang pertama terjadi pada t = 3 mili detik. Gambarkanlahbentuk gelombangnya.Penyelesaian :10v [V]5Perny<strong>at</strong>aan umum gelombang sinus standar untuk t > 0 adalah⎛ t − Tv Acos2 s ⎞= ⎜ π u(t)T ⎟ dengan A adalah amplitudo, T s⎝ 0 ⎠pergeseran waktu, T 0 perioda, dan u(t) adalah fungsi anaktangga s<strong>at</strong>uan. Karena frekuensi siklus f = 1/T 0 maka persamaanumum ini juga dap<strong>at</strong> ditulis sebagaiv = A cosv 1v 2v 300 5 10t [detik]( 2πf ( t − T ) u(t)Dari apa yang diketahui dalam persoalan yang diberikan, kitadap<strong>at</strong> menuliskan persamaan tegangan( 100π(t − 0,003) u()v = 10 costdengan bentuk gelombang terlih<strong>at</strong> pada gambar berikut ini.s23
10v[V]500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]-5-10Pemahaman :Perh<strong>at</strong>ikan bahwa puncak pertama positif terjadi pada t = 0,003detik. Karena frekuensi gelombang 50 Hz, maka ada lima puluhsiklus dalam s<strong>at</strong>u detik <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>a lain periodagelombang ini adalah 1/50 detik = 0,02 detik. Persamaan umumgelombang sinus dap<strong>at</strong> ditulis dalam berbagai bentuk sepertiberikut ini.⎛ t − T ⎞⎜ sv = A cos 2π⎟ <strong>at</strong>au v = Acos( 2πf ( t − Ts))<strong>at</strong>au⎝ T0⎠v = Acos( ω(t − Ts)) <strong>at</strong>au v = Acos( ωt− φ)Dari persamaan-persamaan umum ini kita dap<strong>at</strong> dengan mudahmenuliskan persamaan bentuk gelombang sinus berdasarkanparameter-parameter yang diketahui.COTOH-2.10: Tuliskan persamaan gelombang sinus untuk t > 0,yang frekuensinya 1000 rad/s, dan puncak positif yang pertam<strong>at</strong>erjadi pada t = 1 mili-detik. Pada t = 0 gelombang inimempunyai nilai 200 V.Penyelesaian :Puncak positif yang pertama terjadi pada t = 1 mili detik,artinya pada bentuk gelombang ini terjadi pergeseran waktusebesar 0,001 detik. Persamaan umum fungsi sinus yangmuncul pada t = 0 adalah v = Acos[ω(t − Ts)] u(t). Amplitudodari gelombang ini dap<strong>at</strong> dicari karena nilai gelombang pada t =0 diketahui, yaitu 200 V.200 = Acos 1000(0( − 0,001) )⇒ A = 200/ 0,54 = 370 VJadi persamaan gelombang sinus ini adalah :u(t)= Acos(−1)= A×0,54[ t − 0,001) ] u() Vv = 370cos 1000( t24 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
2.3.2. Bentuk Gelombang KompositBentuk gelombang yang diperoleh melalui penggabungan bentukgelombang dasar disebut bentuk gelombang komposit. Beberapa diantaranya akan kita lih<strong>at</strong> berikut ini.Fungsi Impuls. Secara umum fungsi impuls dituliskan sebagai :v = Au(t − T ) − Au(t − T= A1[ u(t − T ) − u(t − T )]122)(2.18)Bentuk gelombang ini adalah gabungan dari dua gelombang anaktanggadengan amplitudo sama akan tetapi berlawanan tanda,masing-masing dengan pergeseran waktu T 1 dan T 2 . (Gb.2.9.a)vvvδ(t)tt0 T 1 T 2-T/2 +T/2t00a) Impuls. b) Impuls simetris thd nol. c) Impuls s<strong>at</strong>uan.Gb.2.9. ImpulsFungsi Impuls S<strong>at</strong>uan. Perh<strong>at</strong>ikan gelombang impuls yang simetristerhadap titik nol seperti pada Gb.2.9.b. Persamaan bentukgelombang ini adalah:1 ⎡ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞⎤v 1 = ⎢u⎜t+ ⎟ − u⎜t− ⎟T⎥⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2(2.18.a)⎠⎦Impuls dengan persamaan di<strong>at</strong>as mempunyai amplitudo 1/T danbernilai nol di semua t kecuali pada selang −T/2 ≤ t ≤ +T/2.Luas bidang di bawah pulsa adalah s<strong>at</strong>u karena amplitudonyaberbanding terbalik dengan durasinya (lebarnya). Jika lebar pulsa Tkita perkecil dengan mempertahankan luasnya tetap s<strong>at</strong>u, makaamplitudo akan makin besar. Bila T menuju nol maka amplitudomenuju tak hingga, namun luasnya tetap s<strong>at</strong>u. Fungsi yangdiperoleh pada kondisi limit tersebut dinamakan impuls s<strong>at</strong>uan (unitimpuls), dengan simbol δ(t). Representasi grafisnya terlih<strong>at</strong> padaGb.2.9.c. Definisi formal dari impuls s<strong>at</strong>uan adalah:tv = δ( t)= 0 untuk t ≠ 0 ; ∫ δ(x)dx = u(t)- ∞(2.18.b)25
Kondisi yang pertama dari definisi ini meny<strong>at</strong>akan bahwa impulsini nol di semua t kecuali pada t = 0, sedangkan kondisi keduameny<strong>at</strong>akan bahwa impuls ini adalah turunan dari fungsi anaktanggas<strong>at</strong>uan.du(t)Jadiδ ( t)=(2.18.c)dtAmplitudo impuls s<strong>at</strong>uan adalah tak hingga. Oleh karena itu besarimpuls didefinisikan menurut luasnya. Su<strong>at</strong>u impuls s<strong>at</strong>uan yangmuncul pada t = T s dituliskan sebagai δ(t−T s ).Fungsi Ramp. Jika kita melakukan integrasi pada fungsi anaktangga s<strong>at</strong>uan, kita akan mendap<strong>at</strong>kan fungsi ramp s<strong>at</strong>uan yaitutr( t)= ∫ u(x)dx = tu(t)− ∞(2.19)Ramp s<strong>at</strong>uan ini bernilai nol untuk t ≤ 0 dan sama dengan t untuk t> 0. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa laju perubahan (kemiringan) dari ramps<strong>at</strong>uan adalah 1. Jika kemiringannya adalah K maka persamaannyaadalah r k (t) = K t u(t). Bentuk umum fungsi ramp adalahr(t) = K(t−T s )u(t-T s ),(2.19.a)yang bernilai nol untuk t < T s dan memiliki kemiringan K.(Gb.2.10).r(t)tu(t)r(t)tT sGb.2.10. Fungsi ramp.K(t−T s )u(t−T s)tBentuk Gelombang Sinus Teredam. Bentuk gelombang kompositini diperoleh dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsieksponensial, yang memberikan persamaan :−t/ τ( V e )−t/ τv = sin( ωt)u(t)= V sinωte u(t)(2.20)AA26 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Fungsi anak tangga u(t) menjadi salah s<strong>at</strong>u faktor dalam persamaanini agar persamaanbernilai nol pada t < 0. V APada t = 0, gelombangvmelalui titik asalkarena sin(nπ) = 0.Bentuk gelombang iniV A e −t / 5tidak periodik karenafaktor eksponensialmemaksa025amplitudony<strong>at</strong>menurun secaraV A e −t / 5 sin(ωt)eksponensial. Osilasiini telah mencapai Gb.2.11. Gelombang sinus teredam.nilai sang<strong>at</strong> kecil pad<strong>at</strong> = 5τ sehingga telah dap<strong>at</strong> diabaikan pada t > 5τ.Bentuk Gelombang Eksponensial Ganda. Gelombang komposit inidiperoleh dengan menjumlahkan dua fungsi eksponensialberamplitudo sama tapi berlawanan tanda. Persamaan bentukgelombang ini adalah :v = V= V−t/ τ1AeBentuk gelombangkomposit ini, dengan τ 1> τ 2 terlih<strong>at</strong> padaGb.2.12. Untuk t < 0gelombang bernilai nol.Pada t = 0 gelombangmasih bernilai nol karenakedua fungsi salingAmeniadakan. Pada t >> τ 1gelombang ini menujunol karena kedua bentuku(t)− V−t/ τ2Ae−t/ τ1−t/ τ2( e − e ) u(t)V Av−V AV A e −t / 5u(t)−V A e −2t / V A (e −t / 5− e −2t / 5Gb.2.12. Gelombang eksponensialganda.eksponensial itu menuju nol. Fungsi yang mempunyai konstantawaktu lebih besar akan menjadi fungsi yang lebih menentukanbentuk gelombang.(2.21)t27
Bentuk Gelombang Persegi. Bentuk gelombang persegi jugamerupakan gelombangv(t) Tkomposit. Karena0gelombang ini merupakanV Agelombang periodik makapersamaan gelombang inidap<strong>at</strong> diperoleh dengan−V Amenjumlahkan persamaanuntuk setiap siklus.Gb.2.13. Gelombang persegi.Persamaan untuk siklus yang pertama setelah t = 0, merupakanjumlah dari tiga fungsi anak-tangga, yaitu:T0v1 = VAu(t)− 2VAu(t − ) + VAu(t − To)2Persamaan untuk siklus yang kedua setelah t = 0 adalah persamaansiklus pertama yang digeser sebesar s<strong>at</strong>u perioda :T0v2= VAu(t − T0) − 2VAu(t − − T0) + VAu(t − 2To)23T0= VAu(t − T0) − 2VAu(t − ) + VAu(t − 2To)2Persamaan untuk siklus yang ke k adalah persamaan siklus pertamayang digeser sebesar (k−1) perioda:2k−1vk= VAu( t −[k −1]T0 ) − 2VAu(t − T0) + VAu(t − kTo)2Persamaan gelombang persegi dap<strong>at</strong> diperoleh denganmenjumlahkan v k (t) dari k = −∞ sampai k = +∞.k∑ = +∞k = −∞v = v k ( t)(2.22)Penjumlahan dari −∞ sampai +∞ tersebut diperlukan karenagelombang persegi melebar ke tak hingga baik ke arah positifmaupun ke arah neg<strong>at</strong>if.COTOH-2.11: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 4 u(t) V ; b). v 2 = −3 u(t−2) Vt28 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
c). v 3 = 4u(t)−3u(t−2) V; d). v 4 = 4u(t)−7u(t−2)+3u(t−5) VPenyelesaian :a). Bentuk gelombang ini adalahgelombang anak tangga denganamplitudo 4 volt dan munculpada t = 0. Bentuk gelombangterlih<strong>at</strong> pada gambar disamping.b). Gelombang anak tangga inimempunyai amplitudo − 3 voltdan muncul pada t = 2. Gambar −3Vbentuk gelombang terlih<strong>at</strong> disamping inic). Bentuk gelombang ini terdiridari gelombang anak tanggaberamplitudo 4 volt yangmuncul pada t = 0 ditambahgelombang anak tanggaberamplitudo −3volt yangmuncul pada t = 2. Lih<strong>at</strong> gambar di samping.d). Bentuk gelombang ini terdiri dari tiga gelombang anaktangga yang masing-masing4Vmuncul pada t = 0, t = 2 dant = 5. Amplitudo merekav 4berturut-turut adalah 4, −7,dan 3 volt. Bentuk01 2 3 4 5 6gelombang terlih<strong>at</strong> pada −3Vgambar di samping ini.COTOH-2.12: Gambarkanlah bentuk-bentuk gelombang yangpersamaannya adalaha). v 1 = 2t u(t) V ;4Vb). v 2 = −2(t−2) u(t−2) V ;c). v 3 = 2tu(t) − 2(t−2) u(t−2) V;d). v 4 = 2tu(t) − 4(t−2)u(t-2) V ;e). v 5 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5) V ;f). v 6 = 2tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−2) Vv 10v 2 1 2 3 4 50 t4Vv 31V01 2 3 4 5ttt29
Penyelesaian :4Va).vv 1 = 2t u(t)101 2 3 4 5 6tv 2b).01 2 3 4 5 6−4V−2(t−2) u(t−2)t2tu(t) − 2(t−2) u(t−2)4Vc).v 301 2 3 4 5 6t4Vd).v 401 2 3 4 5 62tu(t) − 4(t−2)u(t-2)te).4Vf).4V2tu(t) − 2(t−2)u(t−2)− 4u(t−2)v 501 2 3 4 5 6ttv 61 2 3 4 5 62tu(t) − 2(t−2)u(t−2) − 4u(t−5)COTOH-2.13: Tentukanlah persamaan bentuk gelombang yangmulai muncul pada t = 0 berikut ini. a). Gelombang sinus :amplitudo 10 V, frekuensi sudut 50 rad per detik, puncakpositif pertama terjadi pada t = 20 mili-detik. b). Gelombangsinus pada a) yang terredam sehingga pada t = 0,5 detikgelombang sinus ini sudah dap<strong>at</strong> diabaikan nilainya. c).Gambarkanlah bentuk gelombang pada a) dan b).Penyelesaian:a). Gelombang sinus ini baru muncul pada t = 0, sehinggapersamaan umumnya adalah v = A cos( ω(t −Ts)) u(t). Dariparameter yang diketahui, persamaan gelombang yangdimaksud adalah v1 = 10 cos( 50( t − 0,020) ) u(t)V.30 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
). Agar gelombang sinus pada a) teredam, maka harusdikalikan dengan fungsi eksponensial. Jika nilai gelombangsudah harus dap<strong>at</strong> diabaikan pada t = 0,5 detik, makakonstanta waktu dari fungsi eksponensial sekurangkurangnyaharuslah τ = 0 ,5/5 = 0, 1 . Jadi persamaangelombang yang dimaksud adalah−t / 0,1( 50( t − 0,020) ) e u()v2 = 10costc). Gambar kedua bentuk gelombang tersebut di <strong>at</strong>as adalahsebagai berikut.v 1v 2t [detik]Pemahaman:Gelombang sinus pada umumnya adalah non-kausal yangpersamaan umumnya adalah v = Acos( ω(t −Ts)). Dalam soalini diny<strong>at</strong>akan bahwa gelombang sinus baru muncul pada t = 0.Untuk meny<strong>at</strong>akan gelombang seperti ini diperlukan fungsianak tangga u(t) sehingga persamaan akan berbentukv = Acos( ω(t −Ts)) u(t).Dengan meny<strong>at</strong>akan bentuk gelombang sinus dengan fungsicosinus, identifikasi bentuk gelombang menjadi lebih mudah.Puncak pertama su<strong>at</strong>u fungsi cosinus tanpa pergeseran waktuterjadi pada t = 0. Dengan demikian posisi puncak pertamafungsi cosinus menunjukkan pula pergeseran waktunya.Dengan mengalikan fungsi sinus dengan fungsi eksponensialkita meredam fungsi sinus tersebut. Peredaman oleh fungsieksponensial berlangsung mulai dari t = 0. Oleh karena itupuncak positif pertama dari gelombang sinus teredam padapersoalan di <strong>at</strong>as mempunyai nilai kurang dari 10 V.31
Fungsi Parabolik S<strong>at</strong>uan dan Kubik S<strong>at</strong>uan. Telah kita lih<strong>at</strong>bahwa integrasi fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan memberikan fungsi ramps<strong>at</strong>uan. Jika integrasi dilakukan sekali lagi akan memberikan fungsiparabolik s<strong>at</strong>uan dan integrasi sekali lagi akan memberikan fungsikubik s<strong>at</strong>uan. Gb.2.14. di samping ini memperlih<strong>at</strong>kan evolusibentuk fungsi anak tangga menjadi fungsi ramp, parabolik, dankubik melalui integrasi.Fungsi-ramp, parabolik, dan kubik ini menuju nilai tak hingga jika tmenuju tak hingga. Oleh karena itu pemodelan denganmenggunakan fungsi-fungsi ini dib<strong>at</strong>asi dalam selang waktutertentu. Perh<strong>at</strong>ikan sinyal gigi gergaji pada Gb.2.5. yangdimodelkan dengan fungsi ramp yang berulang pada setiap selangwaktu tertentu.vkubikparaboliktGb.2.14. Anak tangga, ramp, parabolik, kubik.Fungsi Signum. Su<strong>at</strong>u sinyalkonstan (tegangan misalnya) yangpada t = 0 berubah polaritas,dimodelkan dengan fungsi signum,dituliskan sebagaiv ( t)= sgn( t)(2.23)rampanak tangga−u(−t)Bentuk gelombang fungsi signumterlih<strong>at</strong> pada Gb.2.15. di samping Gb.2.15. Signum.ini. Fungsi signum ini merupakanjumlah dari fungsi anak tangga yang telah kita kenal, ditambahdengan fungsi anak tangga yang diperluas untuk t < 0.sgn( t)= u(t)− u(−t)(2.24)10v(t)−1u(t)t32 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Fungsi Eksponensial Duav(t)Sisi. Perluasan fungsi anak1tangga untuk mencakupekejadian sebelum t = 0−α(−t) u(−t) e −αt u(t)dap<strong>at</strong> pula dilakukan pada0tfungsi eksponensial. Gb.2.16. Eksponensial dua sisi.Dengan demikian kitadap<strong>at</strong>kan fungsi eksponensial dua sisi yang kita tuliskan sebagai−αt−α(−t)v(t)= e u(t)+ e u(−t)(2.25)dengan bentuk kurva seperti pada Gb.2.16.33
SOAL-SOALDalam soal-soal model sinyal berikut ini, s<strong>at</strong>uan waktu t adalahs = detik ; ms = milidetik ; µs = mikrodetik1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyalanak tangga berikut ini :a) v 1 : amplitudo 5 V, muncul pada t = 0.b) v 2 : amplitudo 10 V, muncul pada t = 1s.c) v 3 : amplitudo −5 V, muncul pada t = 2s.2. Dari sinyal-sinyal di soal 1, gambarkanlah bentuk gelombangsinyal berikut ini.a). v 4 = v1+ v2;b). v5= v1+ v3c). v6= v1+ v2+ v33. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengancara mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 1.4. Gambarkanlah bentuk gelombang sinyal yang diperoleh dengancara mengintegrasi bentuk gelombang sinyal pada soal 3.5. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang puls<strong>at</strong>egangan berikut ini :a). Amplitudo 5 V, lebar pulsa 1 s, muncul pada t = 0.b). Amplitudo 10 V, lebar pulsa 2 s, muncul pada t = 1s.c). Amplitudo −5 V, lebar pulsa 3 s, muncul pada t = 2 s.6. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk gelombang sinyaleksponensial yang muncul pada t = 0 dan konstanta waktu τ ,berikut ini :a). v a = amplitudo 5 V, τ = 20 ms.b). v b = amplitudo 10 V, τ = 20 ms.c). v c = amplitudo −5 V, τ = 40 ms.7. Dari bentuk gelombang sinyal pada soal 6, gambarkanlah bentukgelombang sinyal berikut.a). v d = va+ vb;b). ve= va+ vc;c). v f = va+ vb+ vc8. Tentukan persamaan bentuk gelombang sinyal sinus berikut ini :a). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 0,frekuensi 10 Hz.b). Amplitudo 10 V, puncak pertama terjadi pada t = 10 ms,frekuensi 10 Hz.34 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
c). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi 10rad/detik.d). Amplitudo 10 V, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi 10rad/detik.9. Gambarkanlah bentuk gelombang komposit berikut.−100ta). v1= 10{ 1 − e } u(t)V;−100tb). v2= { 10 − 5e} u(t)Vc). v3= { + 5sin(10πt)} u(t)V;−td). v4= 10{ 1 + e sin(10πt)} u(t)V10. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk-bentukgelombang periodik yang digambarkan berikut ini.periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)a).−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)b). −3c).periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 t−3e35
periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)d).−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5e).−536 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 3Perny<strong>at</strong>aan Sinyal dan Spektrum SinyalDengan mempelajari lanjutan tentang model sinyal ini, kita akan• memahami berbagai perny<strong>at</strong>aan gelombang sinyal;• mampu mencari nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan nilai efektif su<strong>at</strong>ubentuk gelombang sinyal;• memahami sinyal periodik yang dap<strong>at</strong> dipandang sebagaisu<strong>at</strong>u spektrum;• mampu menncari spektrum sinyal;• memahami arti lebar pita frekuensi.3.1. Perny<strong>at</strong>aan-Perny<strong>at</strong>aan Gelombang Sinyal3.1.1. Gelombang Periodik dan AperiodikSu<strong>at</strong>u gelombang disebut periodik jika gelombang itu selaluberulang setiap selang waktu tertentu. Jadi jika v(t) adalah periodik,maka v(t+T 0 ) = v(t) untuk semua nilai t, dengan T 0 adalahperiodanya yaitu selang waktu terkecil yang memenuhi kondisitersebut.Contoh: sinyal gigi gergaji adalah sinyal periodik.Sinyal yang tidak periodik disebut juga sinyal aperiodik.3.1.2. Sinyal Kausal dan Sinyal on-KausalSinyal kausal bernilai nol sebelum sa<strong>at</strong> T s tertentu. Jadi jika sinyalv(t) adalah kausal maka v(t) = 0 untuk t < T s . Jika tidak demikianmaka sinyal itu disebut sinyal non-kausal. Sinyal kausal biasadianggap bernilai nol pada t < 0, dengan menganggap t = 0 sebagaiawal munculnya sinyal.Contoh: sinyal sinus adalah sinyal non-kausal; sinyal anak tanggaadalah sinyal kausal.Jika kita mengalikan persamaan su<strong>at</strong>u bentuk gelombang denganfungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan, u(t), maka kita akan mendap<strong>at</strong>kan sinyalkausal.3.1.3. ilai Sesa<strong>at</strong>Nilai amplitudo gelombang v(t), i(t), <strong>at</strong>aupun p(t) pada su<strong>at</strong>u sa<strong>at</strong> ttertentu disebut nilai sesa<strong>at</strong> dari bentuk gelombang itu.37
3.1.4. AmplitudoPada umumnya amplitudo gelombang berubah terhadap waktudiantara dua nilai ekstrem yaitu amplitudo maksimum, V maks , danamplitudo minimum, V min .3.1.5. ilai amplitudo puncak-ke-puncak (peak to peak value)Nilai amplitudo puncak-ke-puncak meny<strong>at</strong>akan fluktuasi total dariamplitudo dan didefinisikan sebagai:Vpp= Vmaks−V min(3.1)Dengan definisi ini maka V pp selalu positif, walaupun mungkin V maksdan V min keduanya neg<strong>at</strong>if.3.1.6. ilai puncakNilai puncak V p adalah maksimum dari nilai absolut amplitudo.{ V V }Vp = Max maks , min(3.2)3.1.7. ilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>aNilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is didefisikan sebagai:1 t0=∫ + TVrrv(x)dxT t0(3.3)Untuk sinyal periodik, selang waktu T sama dengan perioda T 0 . Ad<strong>at</strong>idaknya nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a menunjukkan apakah su<strong>at</strong>u sinyalmengandung komponen konstan (tidak berubah terhadap waktu)<strong>at</strong>au tidak. Komponen konstan ini disebut juga komponen searahdari sinyal.3.1.8. ilai efektif ( nilai rms ; rms value)Nilai ini menunjukkan nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a daya yang dibawa oleh sinyal.Untuk memahami hal ini kita lih<strong>at</strong> dulu daya sesa<strong>at</strong> yang diberikankepada resistor R oleh tegangan v(t), yaitu:1p ( t)= [ v(t)] 2(3.4)R38 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang diberikan kepada resistor dalam selang waktu Tadalah:t0+ T1Prr= ∫[p(t)]dtT(3.5)t0Kalau kedua persamaan di <strong>at</strong>as ini kita gabungkan, akan kitaperoleh:⎡ t0+T ⎤1 ⎢ 1 2P = ⎥rr⎢ ∫[v(t)]dtR T⎥⎣ t0⎦(3.6)Apa yang berada di dalam kurung besar pada persamaan di <strong>at</strong>asmerupakan nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dari kwadr<strong>at</strong> gelombang. Akar daribesaran inilah yang digunakan untuk mendefinisikan nilai rms <strong>at</strong>aunilai efektif.Vrms=1Tt + T0∫t0[ v(t)]2dt(3.7)Untuk sinyal periodik, kita mengambil interval s<strong>at</strong>u siklus untukmenghitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a. Dengan menggunakan nilai rms kitadap<strong>at</strong> menuliskan daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang diberikan kepada resistorsebagai:1 2P rr = V rms(3.8)RPerh<strong>at</strong>ikan bahwa persamaan untuk menghitung P rr denganmenggunakan besaran rms tersebut di <strong>at</strong>as berbentuk mirip denganpersamaan untuk menghitung daya sesa<strong>at</strong> pada sinyal searah, yaitu :1p ( t)= [ v(t)] 2(3.9)ROleh karena itulah maka nilai rms juga disebut nilai efektif karena iamenentukan daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang diberikan kepada resistor, setaradengan sinyal searah v(t) = V as yang menentukan besar daya sesa<strong>at</strong>.COTOH-3.1: Tentukanlah nilai, tegangan puncak (V p ),tegangan puncak-puncak (V pp ), perioda (T),tegangan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dan tegangan efektifdari bentuk gelombang tegangan berikut ini.39
6V6V0 1 2 3 4 5 6 7 8 ta) b)Penyelesaian :a).Vp= 6 V ; Vpp= 6 V ; T = 3s1 ⎛Vrr= ⎜3 ⎝26dt+0∫3 ⎞ 10dt⎟ =2 ⎠ 3∫( 6×2 + 0)Veff=1 ⎛ 2232 ⎞ 1⎜ 6 0 ⎟ =3 ⎝∫dt +0 ∫dt2 ⎠ 3b).V p = 6 V ; V pp = 10 V ; T = 3sVrrVeff1 ⎛= ⎜3 ⎝=26dt+0∫1 ⎛⎜3 ⎝226 dt +0∫3 ⎞ 1− 4dt⎟ =2 ⎠ 3∫= 4 V( 6×2 − 4×1)32 ⎞( −4)dt ⎟ =2 ⎠∫−4V0 t1 2 3 4 5 6 7 8 9( 36×2 + 0) = 4,9 V13= 2,66 V( 36×2 + 16×1) = 5,42 VPemahaman :Gelombang periodik dalam contoh di <strong>at</strong>as, mempunyaipersamaan gelombang yang terdiri dari banyak sukusebagaimana dijelaskan pada gelombang komposit. Akan tetapiuntuk menghitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a <strong>at</strong>aupun efektif, kita cukupmelih<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u siklus saja dan bilamana diperlukan gelombangkita ny<strong>at</strong>akan dalam beberapa bagian yang mempunyaipersamaan sederhana. vCOTOH-3.2: Tentukanlah 6Vnilai tegangan puncak (V p ),tegangan puncak-puncak 0 t(V pp ), perioda (T), tegangan1 2 3 4 5 6 7r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a (V rr ), dan teganganefektif dari bentukgelombang tegangan di samping ini.40 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :Bentuk gelombang ini berperioda 4 detik dan dap<strong>at</strong> kitany<strong>at</strong>akan sebagai jumlah dari bentuk-bentuk sederhana antara 0– 2 detik, antara 2 – 3 detik, dan antara 3 – 4 detik.VVVprreff= 6 V1 ⎛= ⎜4 ⎝=∫2;3tdt+01 ⎛⎜4 ⎝∫20V9tpp∫232= 6 VT = 4 s(6 − 6( t − 2)) dt +dt +∫32;∫(6 − 6( t − 2))4 ⎞ 1 ⎛ 6×3 ⎞0dt⎟ = ⎜ ⎟ = 2,25 V⎠ 4 ⎝ 2 ⎠32dt +∫3402⎞dt ⎟ = 3,0 V⎠3.2. Spektrum Sinyal3.2.1. Bentuk Gelombang Periodik dan KomponennyaKita telah melih<strong>at</strong> bahwa bentuk gelombang adalah persamaan <strong>at</strong>augrafik yang menunjukkan perilaku sinyal sebagai fungsi waktu. Disamping sebagai fungsi waktu, su<strong>at</strong>u sinyal juga dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akansebagai su<strong>at</strong>u spektrum, yang menunjukkan perilaku sinyal sebagaifungsi frekuensi. Jadi su<strong>at</strong>u sinyal dap<strong>at</strong> dipelajari di kawasan waktudengan memandangnya sebagai bentuk gelombang, <strong>at</strong>au di kawasanfrekuensi dengan memandangnya sebagai su<strong>at</strong>u spektrum.Su<strong>at</strong>u sinyal periodik dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi jumlah dari beberapakomponen sinus, dengan amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yangberlainan. Dalam penguraian itu, sinyal akan terdiri dari komponenkomponensinyal yang berupa komponen searah (nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a darisinyal), komponen sinus dengan frekuensi dasar f 0 , dan komponensinus dengan frekuensi harmonisa nf 0 .Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakanperkalian frekuensi dasar f 0 dengan bilangan bul<strong>at</strong> n. Frekuensi f 0kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yangmenentukan perioda sinyal T 0 = 1/f 0 . Frekuensi harmonisa dimulaidari harmonisa ke-dua (2f o ), harmonisa ke-tiga (3f 0 ), dan seterusnyayang secara umum kita k<strong>at</strong>akan harmonisa ke-n mempunyaifrekuensi nf 0 . Gb.3.1. di bawah ini memperlih<strong>at</strong>kan bagaimanabentuk gelombang ditentukan oleh perberbedaan komponenkomponenyang menyusunnya.41
4vv40-5 15t0-5 15t-4(a) v = 3 cos 2f 0 tv40-5 15- 4t-4(b) v = 1 + 3 cos 2f 0 tv1-5 15-4v = 1 + 3cos2πf0t(c)− 2cos(2π(2f0)t)v = 1 + 3cos2πf0t(d)− 2cos(2π(2f0)t + π / 4)Gb.3.1. Bentuk gelombang periodik tergantung komponenkomponensinusnya.Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u contoh sinyal dengan bentukgelombang yang diny<strong>at</strong>akan oleh persamaan( 2πft) + 20sin( 2π(2f ) t) − 10cos( 2 (4 f t)v = 10 + 40cos 0 0π 0)Sinyal ini merupakan jumlah dari s<strong>at</strong>u komponen searah dan tigakomponen sinus yang kita sebut juga komponen bolak-balik.Komponen searah sering kita sebut komponen berfrekuensi nolkarena v(t) = V A cos(2πft) = V A jika f = 0. Komponen bolak-balikyang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilahyang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Sukuketiga dan k<strong>ee</strong>mp<strong>at</strong> adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3tidak ada.Untuk melih<strong>at</strong> spektrum sinyal, kita harus menuliskan tiap sukudengan bentuk yang sama yaitu bentuk standar seperti V Acos(2πft+φ). Dengan menggunakan identitas sin(x) = cos(x-90 o ) dan−cos(x) = cos(x+180 o ), maka persamaan sinyal di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>ulisv = 10 + 40 cos(2πf0 t)+ 20 cos(2π2f0t− 90 ) + 10 cos(2π4f0t+ 18042 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)oo)
Dalam persamaan ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentukstandar, dan kita dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> amplitudo dan sudut fasa dari tiapkomponen seperti dalam tabel berikut.Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0Amplitudo (V) 10 40 20 10Sudut fasa − 0° −90° 180°Tabel ini menunjukkan spektrum dari sinyal yang sedang kita bahaskarena ia menunjukkan baik amplitudo maupun sudut fasa darisemua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yangkita bahas ini berisi emp<strong>at</strong> macam frekuensi, yaitu : 0, f 0 , 2f 0 , dan4f 0 . Amplitudo pada setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10,30, 15, dan 7,5 Volt. Sudut fasa dari komponen bolak-balik yangberfrekuensi f 0 , 2f 0 dan 4f 0 berturut turut adalah 0 o , −90 o , dan 180 o .Dari tabel tersebut di <strong>at</strong>as kita dap<strong>at</strong> menggambarkan dua grafikyaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagaifungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrumamplitudo dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa,seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.2. berikut ini.Spektrum Amplitudo40180[ V ] [ o ]3090Spektrum Sudut Fasa201000 1 2 3 4 5Frekwensi [ x f o ]00 1 2 3 4 5-90-180Frekwensi [ x f o ]Gb.3.2. Spektrum amlitudo dan spektrum sudut fasaPenguraian sinyal menjadi penjumlahan harmonisa-harmonisa,dap<strong>at</strong> diperluas untuk semua bentuk gelombang sinyal periodik.Bentuk gelombang persegi misalnya, yang juga merupakan su<strong>at</strong>ubentuk gelombang periodik, dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi jumlahharmonisa sinus. Emp<strong>at</strong> suku pertama dari persamaan hasil uraiangelombang persegi ini adalah sebagai berikut:43
o 10ov = 10 cos(2πf0t− 90 ) + cos(2π3f0t− 90 )310o 10o+ cos(2π5f0t− 90 ) + cos(2π7f0t− 90 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅57Dari persamaan untuk gelombang persegi ini, terlih<strong>at</strong> bahwa semuaharmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –90 o ;amplitudonya menurun dengan meningk<strong>at</strong>nya frekuensi denganfaktor 1/n; tidak ada komponen searah dan tidak ada harmonisagenap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut:Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 6f 0 .. nf 0Amplitudo: 0 10 0 3,3 0 2 0 .. 10/nSudut Fasa: - -90 o - -90 o - -90 o - .. -90 oSpektrum amplitudo dan spektrum sudut fasa dari gelombangpersegi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.3. di bawah ini.Spektrum Amplitudo Gel. Persegi[V]10500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Frekuensi [ xf 0 ]Spektrum Sudut Fasa Gel. PersegiFrekuensi [ xf 0]-45[ o ]-90-1350 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110Gb.3.3. Spektrum amplitudo dan spektrum sudut fasagelombang persegi.Gb.3.4. berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan bagaimana gelombang persegiterbentuk dari harmonisa-harmonisanya.44 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
a) b)c)d)e)Gb.3.4. Uraian bentuk gelombang persegi.a) sinus dasar; b) sinus dasar + harmonisa ke-3; c) sinus dasar+ harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5; d) sinus dasar +harmonisa ke-3 + harmonisa ke-5 + harmonisa ke-7; e) sinusdasar + harmonisa-harmonisa sampai harmonisa ke-21.Penjumlahan sampai dengan harmonisa ke-21 memperlih<strong>at</strong>kanbahwa penjumlahan seterusnya akan makin mendek<strong>at</strong>i bentukgelombang persegi. Sampai harmonisa ke berapa kita akanmelakukan penjumlahan tergantung dari kepuasan kita untukmenerima bentuk yang diperoleh sebagai bentuk pendek<strong>at</strong>angelombang persegi.3.2.2. Lebar PitaDari contoh gelombang persegi di <strong>at</strong>as, terlih<strong>at</strong> bahwa denganmenambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akanmakin mendek<strong>at</strong>i bentuk gelombang persegi. Penambahan ini dap<strong>at</strong>kita lakukan terus sampai ke su<strong>at</strong>u harmonisa tinggi yangmemberikan bentuk gelombang yang kita anggap cukup memuaskanartinya cukup dek<strong>at</strong> dengan bentuk gelombang yang kita inginkan.Pada spektrum amplitudo, kita juga dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> bahwa makintinggi frekuensi harmonisa, akan makin rendah amplitudonya. Halini tidak hanya berlaku untuk gelombang persegi saja melainkanberlaku secara umum. Oleh karena itu kita dap<strong>at</strong> menetapkan su<strong>at</strong>ub<strong>at</strong>as frekuensi tertinggi dengan menganggap amplitudo dariharmonisa-harmonisa yang memiliki frekuensi di <strong>at</strong>as frekuensitertinggi ini dap<strong>at</strong> diabaikan. Sebagai contoh, b<strong>at</strong>as frekuensi45
tertinggi tersebut dap<strong>at</strong> kita ambil frekuensi harmonisa yangamplitudonya tinggal (misalnya) 2% dari amplitudo sinus dasar.Jika b<strong>at</strong>as frekuensi tertinggi dap<strong>at</strong> kita tetapkan, b<strong>at</strong>as frekuensiterendah juga perlu kita tetapkan. B<strong>at</strong>as frekuensi terendah adalahfrekuensi sinus dasar jika bentuk gelombang yang kita tinjau tidakmengandung komponen searah. Jika mengandung komponen searahmaka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggidan terendah disebut lebar pita (band width).3.2.3. Deret FourierPenguraian su<strong>at</strong>u sinyal periodik menjadi su<strong>at</strong>u spektrum sinyaltidak lain adalah perny<strong>at</strong>aan fungsi periodik kedalam deret Fourieryang kita pelajari dalam m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika. Jika f(t) adalah fungsi periodikyang memenuhi persyar<strong>at</strong>an Dirichlet, maka f(t) dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akansebagai deret Fourier:∑[ a cos(2πnft)+ b sin(2πnf]f ( t)= a0 + n 0 n 0t)(3.10)Persyar<strong>at</strong>an Dirichlet meminta agar f(t) bernilai tunggal, integral|f(t)| dalam selang s<strong>at</strong>u perioda adalah berhingga, dan f(t)mempunyai ketidak-kontinyuan dalam jumlah yang terb<strong>at</strong>as dalams<strong>at</strong>u perioda. Deret Fourier konvergen untuk fungsi periodik yangmemenuhi persyar<strong>at</strong>an ini. Tetapi ada fungsi-fungsi yang tidakmemenuhi persyar<strong>at</strong>an ini namun mempunyai deret Fourier yangkonvergen. Jadi persyar<strong>at</strong>an Dirichlet ini cukup untuk terjadinyaderet Fourier yang konvergen tetapi tidak harus. Persyar<strong>at</strong>an initidak merupakan persoalan yang serius sebab kebanyakan bentukbentukgelombang sinyal yang kita temui dalam rekayasa elektromemenuhi persyar<strong>at</strong>an ini. Contoh-contoh bentuk gelombangperiodik yang sering kita temui adalah gelombang persegi, deretanpulsa, segitiga, gigi-gergaji, sinus, cosinus, sinus setengahgelombang, sinus gelombang penuh.Dalam persamaan (3.10) a 0 adalah komponen searah yangmerupakan nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a sinyal sedangkan suku kedua adalahkomponen sinus yang merupakan penjumlahan dari fungsi sinus dancosinus, masing-masing dengan koefisien Fourier a n dan b n .Persamaan (3.10) menunjukkan bahwa komponen sinus dari sinyalperiodik ditentukan oleh apa yang berada dalam tanda kurung, yaitu46 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Jika∞S = ∑[ ancos( nω0t)+ bnsin( nω0t)]n=1∞ ⎡ ⎛b ⎞⎤= ∑ ⎢ ⎜nan⎟cos( nω0t)+ sin( nω0t)⎥n=1 ⎢⎣⎝an⎠⎥⎦bn= tan ϕnamaka persamaan (3.11) menjadin∞aS = n∑ cosϕncos( nω0t)+ sinϕnsin( nω0t)cosθn=1 n∞=⎡ 2 2⎤∑ a + b cos( nω0t− ϕn)n=1⎢⎣⎥⎦dan (3.10) menjadi[ ](3.11)2 2( ) 0 ∑ ∞ y t = a +⎡a + cos( ω0− ϕ )⎤n bnn t n(3.12)n=1⎢⎣⎥⎦Bentuk persamaan (3.12) ini lebih jelas memperlih<strong>at</strong>kan bahwa a 02 2adalah nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a sinyal; a n + b n adalah amplitudo-amplitudosinyal sinus dan ϕ n adalah sudut fasanya. Dengan demikian maka(3.12) merupakan perny<strong>at</strong>aan m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dari sinyal periodik secaraumum. Nilai ϕ n tergantung dari tanda a n dan b n .a n b n ϕ n+ + di kuadran pertama− + di kuadran ke-dua− − di kuadran ke-tiga+ − di kuadran ke-emp<strong>at</strong>Koefisien Fourier ditentukan melalui hubungan (3.13).47
aab0nn1=T02=T02=T0∫∫∫T / 20−T0−T00−T00/ 2T / 2/ 2T / 2/ 2f ( t)dtf ( t)cos(2πnff ( t)sin(2πnf00t)dtt)dt(3.13)Perhitungan koefisien Fourier dengan menggunakan formula (3.13)ini dap<strong>at</strong> dilakukan jika sinyal periodik memiliki persamaan yangdiketahui dan mudah di-integrasi. Jika sinyal tersebut sulit dicaripersamaannya, misalnya sinyal diketahui dalam bentuk kurva(grafik), maka perhitungan dap<strong>at</strong> dilakukan dengan pendek<strong>at</strong>annumerik yang akan kita pelajari di bab lain.3.2.4. Koefisien Fourier Beberapa Bentuk Gelombang PeriodikPada sinyal-sinyal periodik yang sering kita temui, banyak diantarakoefisien-koefisien Fourier yang bernilai nol. Hal ini tergantung darikesimetrisan sinyal y(t). Ada dua kondisi simetri yaitu simetri genapdan simetri ganjil (gasal).Simetri Genap. Su<strong>at</strong>u sinyal dik<strong>at</strong>akan mempunyai simetri genapjika y(t) = y(−t). Sinyal dengan simetri genap simetris terhadapsumbu-y. Untuk sinyal semacam ini, dari (3.10) kita dap<strong>at</strong>kany(t)A-T 0 /2 T 0 /2 t∞y(t)= a0+ ∑ nn=1∞y(−t)= a0+n=1T o[ a cos( nωt)+ b sin( nωt)]0∑[ ancos( nω0t)− bnsin( nω0t)]n0danKalau kedua sinyal ini harus sama, maka haruslah b n = 0, danuraian sinyal y(t) yang memiliki simetri genap ini menjadi48 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
n= 0∑ ∞ (3.14)y(t)= ao + [ ancos( nω0t)]n=1Sinyal dengan simetri genap merupakan gabungan dari sinyal-sinyalcosinus; sinyal cosinus sendiri adalah sinyal dengan simetri genap.Simetri Ganjil. Su<strong>at</strong>u sinyal dik<strong>at</strong>akan mempunyai simetri ganjiljika y(t) = −y(−t). Sinyal semacam ini simetris terhadap titik-asal[0,0].y(t)AT 0tDari (3.10) kita dap<strong>at</strong>kan[ − a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ − y ( −t)= −a0 + n 0 n 0 )n=1Kalau sinyal ini harus sama dengan[ a cos( nωt)+ b sin( nωt ]∑ ∞ y ( t)= a0 +n=1n 0 n 0 )maka haruslaha0= 0 dan an= 0( ) ∑ ∞ y t =n=1[ b sin( nωt)]n−A0(3.15)Sinyal dengan simetri ganjil merupakan gabungan dari sinyal-sinyalsinus; sinyal sinus sendiri adalah sinyal dengan simetri ganjil.Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourierpada beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentukgelombang yang tercantum disini adalah bentuk gelombang yangpersamaan m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>isnya mudah diperoleh, sehingga pencariankoefisien Fourier menggunakan hubungan (3.13) dap<strong>at</strong> dilakukan.49
Penyearahan Setengah Gelombang:vT 0ta0= A / π2A/ πan= n genap; a = 02n1−nb1= A / 2 ; bn= 0 n ≠ 1nganjilSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itua 0 ≠ 0 . Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan denganmenggunakan relasi (3.12).Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:vAT 0ta0= 2A/ π4A/ πan= n genap; an= 021−nbn= 0 untuk semua nnganjilSinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandungkomponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadapsumbu waktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lip<strong>at</strong> daripenyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk ngenap bernilai dua kali lip<strong>at</strong> dari penyearahan setengah gelombang.Sinyal Persegi:vAT0ta0= 0an= 0 semua n ;4Abn= n ganjil; bnnπ= 0ngenapSinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidakmengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetristerhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.50 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Deretan Pulsa:TvAT 0ta0= AT / T02AnπTan= sinnπT0bn= 0 untuk semua nSinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuksemua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itua 0 ≠ 0 .Sinyal Segitiga:vAT 0ta0= 08Aan=2( nπ)bn= 0n ganjil; an= 0 n genapuntuk semua nSinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.Sinyal Gigi Gergaji:vAT 0ta0= A/2an= 0 untuk semua nAbn= − untuk semua nnπSinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Iamemiliki simetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.COTOH-3.3: Uraikanlah bentuk gelombang penyearahantegangan setengah gelombang v = sinω0 t V sampai denganharmonisa ke-6 dan gambarkan spektrum amplitudo dan bentukgelombang pendek<strong>at</strong>annya.Penyelesaian:51
Sinus setengah gelombang ini beramplitudo 1. KoefisienFourier menurut formula di <strong>at</strong>as, serta amplitudo dan sudut fasakomponen gelombang ini adalah:Koefisien Fourier Amplitudo ϕ [rad]a 0 0,318 0,318a 1 0 0,5 1,57b 1 0,5a 2 -0,212 0,212 0b 2 0a 4 -0,042 0,042 0b 4 0a 6 -0,018 0,018 0b 6 0Dengan menggunakan koefisien Fourier, persamaan gelombangadalahv(t)= 0,318 + 0,5sin( ω0t)− 0,212cos2ω0t− 0,042cos4ω0t− 0,018cos6ω0tVyang nilai amplitudonya adalahA0= 0,318 V; A1= 0,5 V; A2= 0,212 V;A4= 0,042 V; A6= 0,018 VGambar berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan spektrum amplitudosedangkan bentuk gelombang pendek<strong>at</strong>an dalam s<strong>at</strong>u perioda(sampai harmonisa ke-6) terlih<strong>at</strong> pada gambar di bawah ini.0.60.5[V]0.40.30.20.1001 2 3 4 5 6harmonisa52 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
1.2[V]0.80.4v 1vv 00-0.4[ o ]0 90 180 270 360COTOH-3.4: Su<strong>at</strong>u tegangan berbentuk gelombang gigi gergajimemiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus perdetik. Uraikanlah bentuk gelombang tegangan ini <strong>at</strong>as komponenkomponensampai harmonisa ke-7 dan gambarkan spektrumamplitudonya serta bentuk gelombang pendek<strong>at</strong>an.Penyelesaian:Setelah diperoleh koefisien Fourier, persamaan gelombang gigigergaji dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dalam komponen-komponennyasebagai:v(t)= 10 − 6,366sinω0t− 3,183sin2ω0t− 2,122sin3ω0t−1,592sin4ω0t−1,273sin5ω0t−1,061sin6ω0t− 0,909sin7ω0tVSpektrum amplitudo terlih<strong>at</strong>kan pada gambar berikut.[V]12108642001 2 3 4 5 6 7harmonisaJika kita gambarkan bentuk gelombang sampai harmonisa ke-7seperti yang diny<strong>at</strong>akan oleh persamaan di <strong>at</strong>as, kita akanmendap<strong>at</strong>kan bentuk seperti gambar di samping ini. Terlih<strong>at</strong>pada gambar ini bahwa dengan memperhitungkan komponenhanya sampai harmonisa ke-7, bentuk gelombang gigi gergajiyang diperoleh sang<strong>at</strong> terdistorsi.53
[V]2520151050-50 90 180 270 360 [ o ]54 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Hitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan nilai efektif sinyal-sinyal berikut.periodav 5[V]0 t (detik)1 2 3 4 5 6a).b).c).d).−5periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−3periodav 5[V]01 2 3 4 5 6t (detik)−5perioda5v[V]0 t (detik)1 2 3 4 5−52. a). Gambarkan bentuk gelombang deretan pulsa teganganberamplitudo 10 V, lebar pulsa 20 ms, perioda 50 ms. b).Hitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan nilai efektif sinyal.3. a). Gambarkan sinyal tegangan gigi gergaji ber amplitudo 10 Vdengan perioda 0,5 s. b). Hitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan nilai efektifsinyal.55
4. Untuk menggerakkan sebuah bandul diperlukan pulsa arus 50 mAdengan lebar pulsa 3 ms, yang harus diberikan setiap detik. Jikapulsa arus itu diambil dari b<strong>at</strong>ere berkapasitas 0,5 Ah, berapalamakah b<strong>at</strong>ere akan bertahan ?5. Gambarkan spektrum amplitudo dan sudut fasa dari gelombangtegangan berikut dan tentukan lebar pita dengan mengambilb<strong>at</strong>as terrendah amplitudo harmonisa 5%.a). v = 4 + 5sin 2π2000t− 2 cos 2π4000t+ 0,2 sin 2π8000tVb).ov = 3cos(2π1000t− 60 ) - 2sin2π2000t+ cos2π8000tV56 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 4Model Piranti PasifSu<strong>at</strong>u piranti mempunyai karakteristik <strong>at</strong>au perilaku tertentu.Perilaku su<strong>at</strong>u piranti diny<strong>at</strong>akan oleh karakteristik i-v yangdimilikinya, yaitu hubungan antara arus yang melalui piranti dengantegangan yang ada di antara terminalnya.Pada umumnya hubungan ini cukup rumit dan tidak linier. Untukkeperluan analisis, kita menggunakan su<strong>at</strong>u model linier yang lebihsederhana yang cukup mendek<strong>at</strong>i sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> yang menonjol dari pirantiitu. Untuk membedakan antara piranti sebagai benda ny<strong>at</strong>a danmodelnya, model itu kita sebut elemen. Piranti dan elemen kitakelompokkan menjadi dua kelompok yaitu elemen pasif dan elemenaktif. Dalam bab ini kita akan mempelajari piranti dan elemen pasifsedangkan piranti dan elemen aktif akan kita pelajari di bab berikutnya.Dengan mempelajari model piranti pasif, kita akan• memahami bahwa dalam analisis rangkaian listrik, pirantidiny<strong>at</strong>akan sebagai elemen rangkaian yang merupakan modellinier dari piranti;• mampu memformulasikan karakteristik arus-tegangan piranti /elemen pasif seperti resistor, kapasitor, induktor, induktansibersama, transform<strong>at</strong>or ideal.4.1. ResistorKita mengenal resistor dalam rentang dimensi (ukuran) yang lebar.Resistor yang digunakan pada rangkaian elektronika berukuran hanyabeberapa milimeter bahkan ukuran mikron yang tergabung dalam s<strong>at</strong>uchip; untuk keperluan variasi tegangan terdap<strong>at</strong> potensiometer yangberupa resistor dengan kontak geser. Untuk rangkaian pemroses energi,resistor mempunyai ukuran yang besar seperti misalnya resistor yangdigunakan dalam lokomotif kereta listrik model lama. Pada dasarnya kitamemerlukan resistor yang murni resistif. Akan tetapi dalam keny<strong>at</strong>aanhal ini tidak mudah dap<strong>at</strong> dicapai. Namun demikian dengan teknikteknikpembu<strong>at</strong>an tertentu, selalu diusahakan agar resistor mendek<strong>at</strong>ikeadaan resistif murni tersebut. (Lih<strong>at</strong> Lampiran I).Resistor adalah piranti yang sesungguhnya mempunyai karakteristik i-vyang tidak linier (non linier) seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.1. Namun kalaukita perh<strong>at</strong>ikan karakteristik ini, ada bagian tertentu yang dap<strong>at</strong> didek<strong>at</strong>i57
dengan hubungan linier, yaitu bagian yang berada dalam b<strong>at</strong>as daerahoperasi resistor tersebut. B<strong>at</strong>as daerah operasi ini biasanya diny<strong>at</strong>akansebagai b<strong>at</strong>as daya (power r<strong>at</strong>ing), yaitu daerah yang mempunyai kurvai-v berbentuk garis lurus melalui titik asal. Dalam analisis rangkaian, kitaselalu memanfa<strong>at</strong>kan resistor dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as kemampuan daya-nyasehingga kita mempunyai apa yang kita sebut sebagai resistor linier.ny<strong>at</strong>a4.1.1. Karakteristik i-v ResistorRSimbol:b<strong>at</strong>as daerahlinierGb.4.1. Karakteristi i-v resistorDengan mengikuti konvensi pasif, hubungan antara arus dan teganganresistor dap<strong>at</strong> ditulis dalam su<strong>at</strong>u persamaan yang dikenal sebagai hukumOhm yaitu :1vR= R iR<strong>at</strong>au iR= G vR; dengan G = (4.1)RR dan G adalah su<strong>at</strong>u konstanta dalam relasi (4.1).Parameter R disebut resistansi dengan s<strong>at</strong>uan ohm, Ω. Parameter Gdisebut konduktansi dengan s<strong>at</strong>uan siemens, S (<strong>at</strong>au mho dalam liter<strong>at</strong>urlama). Secara grafis, hukum Ohm berbentuk garis lurus. Karakteristik i-vdalam hukum Ohm adalah linier dan bil<strong>at</strong>eral. Linier berartikarakteristiknya berbentuk garis lurus, sehingga tegangan selalusebanding dengan arus, dan demikian pula sebaliknya. Bil<strong>at</strong>eral berartibahwa kurva karakteristiknya simetris terhadap titik (0,0). Karena sif<strong>at</strong>bil<strong>at</strong>eral ini maka pembalikan tegangan akan menyebabkan pembalikanarah arus tanpa mengubah besar arusnya. Dengan demikian kita dap<strong>at</strong>menghubungkan resistor dalam rangkaian tanpa memperh<strong>at</strong>ikanpolaritasnya. Hal ini berbeda dengan piranti lain seperti dioda, transistor,OP AMP, sumber, yang menuntut kita untuk selalu memperh<strong>at</strong>ikanpolaritasnya karena piranti-piranti ini tidak bersif<strong>at</strong> bil<strong>at</strong>eral.imodelv58 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
4.1.2. Daya Pada ResistorDaya yang diserap resistor dap<strong>at</strong> dihitung dengan hubungan22 2 vp v i i R v G RR = R R = R = R =(4.2)RDi sini, R bernilai positif maka daya selalu positif. Berdasarkan konvensipasif, hal ini berarti bahwa resistor selalu menyerap daya.COTOH-4.1: Tegangan pada sebuah resistor 400 Ω adalah 200 V(konstan). Berapakah arus yang mengalir melalui resistor tesebutdan berapakah daya yang diserap ? Dalam waktu 8 jam, berapakahenergi yang diserap ?Penyelesaian:Arus dan daya pada resistor adalahi =vR200= = 0,5 A400dan2 2v (200)p = vi = = = 100 WR 400Karena tegangan dan arus konstan maka jumlah energi yang diserapselama 8 jam adalah8w = ∫ pdt = ∫080100dt= 100 × 8 = 800W<strong>at</strong>t. jam= 0,8 kWHCOTOH-4.2: Tegangan pada su<strong>at</strong>u resistor 1200 Ω berubah terhadapwaktu sebagai v R = 240sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui resistor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :Arus yang melalui resistor adalahvR240 sin 400tiR = == 200 sin 400 t mA.R 1200Daya yang diserap adalah2pR = vRiR= 240sin400t× 0.2sin400t= 48sin 400 t WDengan menggunakan kesamaan sin 2 α=(1−cos2α)/2, maka nilaidaya dap<strong>at</strong> dituliskan( 1−cos800 t) / 2 = 24 − 24cos800 Wp R = 48 t59
Pemahaman :Jika kita gambarkan tegangan, arus, dan daya, akan kita perolehgambar seperti di bawah ini.v[V]p [W]i [mA]t (detik)Arus dan tegangan bervariasi secara bersamaan. Hal ini terlih<strong>at</strong> jugadari persamaan arus dan tegangan, yang keduanya merupakan fungsisinus. Daya bervariasi secara periodik dengan frekuensi dua kali lip<strong>at</strong>dari frekuensi tegangan maupun arus, namun nilainya tidak pernahneg<strong>at</strong>if. Nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a daya selalu positif; hal ini dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> jugapada persamaan yang kita peroleh, yang menunjukkan bahwa day<strong>at</strong>erdiri dari komponen konstan 24 W ditambah komponen yangbervariasi sinusoidal yang memiliki nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a 0. Menurutkonvensi pasif, nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang selalu positif menunjukkanbahwa resistor selalu menyerap daya.4.2. KapasitorSeperti halnya resistor, kita mengenal kapasitor yang berdimensi kecilyang sering dipakai pada rangkaian elektronika sampai kapasitorberdimensi besar yang digunakan dalam rangkaian pemrosesan energiyang kita kenal sebagai capacitor bank. Untuk keperluan penalaan, kitamengenal juga kapasitor dengan nilai yang dap<strong>at</strong> diubah yang disebutkapasitor variabel.Kapasitor adalah su<strong>at</strong>u piranti dinamik yang berbasis pada variasi ku<strong>at</strong>medan listrik yang dibangkitkan oleh sumber tegangan. Ada berbagaibentuk kapasitor yang dap<strong>at</strong> kita jumpai dalam praktik. (Lih<strong>at</strong> LampiranII). Bentuk yang paling sederhana adalah dua pel<strong>at</strong> paralel yangdipisahkan oleh su<strong>at</strong>u bahan dilistrik. Bahan dilistrik ini memberikangejala resistansi. Dalam mempelajari analisis rangkaian listrik kitamenganggap kapasitor sebagai piranti ideal, tanpa mengandung60 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
esistansi. Su<strong>at</strong>u kapasitor mempunyai kapasitansi C yang besarnyaadalahε ε AC = 0 r(4.3)ddengan ε r adalah permitivitas rel<strong>at</strong>if dilistrik dan ε 0 adalah permitivitasruang hampa; A adalah luas elektroda dan d adalah tebal dilistrik yangsama dengan jarak elektroda. Kapasitansi ini merupakan konstanta yangmenentukan hubungan antara beda tegangan antar elektroda kapasitor,v C , dengan mu<strong>at</strong>an yang terkandung pada elektrodanya, q C .q C = Cv C(4.4)S<strong>at</strong>uan kapasitansi adalah farad (F) (sebagai penghorm<strong>at</strong>an kepadaMichel Faraday, seorang fisikawan Inggris).4.2.1. Karakteristik i-v Kapasitor IdealHubungan antara arus dan tegangan kapasitor dap<strong>at</strong> kita peroleh dariturunan q C dalam relasi (4.4), yaitudqCd(CvC) dvCiC = = = Cdt dt dt(4.5)Hubungan i-v ini dap<strong>at</strong> kita gambarkan dalam bentuk grafik sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.4.2. Arus i C berbanding lurus dengan turunan terhadapwaktu dari v C dan kemiringan dari garis itu adalah C.i CCCsimbol1dv C /dtGb.4.2. Karakteristik i-v kapasitor.Dalam relasi (4.5), arus i C merupakan turunan terhadap waktu daritegangan v C . Hal ini berarti bahwa jika v C konstan maka arusnya nol, dansebaliknya kalau arusnya nol berarti tegangannya konstan. Dengan k<strong>at</strong>alain kapasitor bersif<strong>at</strong> sebagai rangkaian terbuka jika diberi tegangansearah. Jadi arus hanya akan mengalir jika tegangannya berubah terhadap61
waktu dan oleh karena itu kapasitor disebut elemen dinamik. Akan tetapiperubahan tegangan yang tak-kontinu akan memberikan arus yang takterhinggabesarnya; hal demikian ini secara fisis tidak mungkin. Olehkarena itu tegangan kapasitor harus merupakan fungsi kontinu terhadapwaktu. Untuk mencari tegangan v C kita gunakan hubungan antara arusdan tegangan yang sudah kita peroleh, yaitu i C = C dv C /dt, denganmengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasinya:vC( t)∫dvCvC( t0)t1iCCt0= ∫dt = vC(4.6)Jika dalam menentukan b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasi tersebut di<strong>at</strong>as kapasitorsudah mempunyai tegangan sebesar v C (t 0 ) sa<strong>at</strong> t = t 0 , maka integrasi di<strong>at</strong>as memberikan :t1vC= vC( t 0 ) + ∫ iCdtC(4.7)t0Kalau pada sa<strong>at</strong> t=t 0 kapasitor belum bertegangan maka v C (t 0 )=0,sehingga kita mempunyai hubungant1vC= ∫ iCdtC(4.8)t4.2.2. Daya Dan Energi Pada Kapasitor0Dengan mengikuti konvensi pasif, daya kapasitor dap<strong>at</strong> kita tuliskansebagaidv ⎡12 ⎤= = C dp C vCiCCvC=⎢CvCdt dt ⎥(4.9)⎣ 2 ⎦Persamaan (4.9) ini menunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juganeg<strong>at</strong>if karena tegangan kapasitor dan laju perubahannya bisamempunyai tanda yang berlawanan. Daya positif berarti kapasitormenyerap daya, sedangkan kalau daya neg<strong>at</strong>if berarti kapasitormemberikan daya. Kemampuan kapasitor untuk menyerap danmemberikan daya ini mempunyai arti bahwa kapasitor dap<strong>at</strong> menyimpanenergi. Besar energi yang tersimpan pada kapasitor dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> daripersamaan (4.9). Karena kita tahu bahwa daya adalah turunan terhadapwaktu dari energi, maka apa yang berada dalam tanda kurung padapersamaan (4.9) di <strong>at</strong>as tentulah menunjukkan energi. Secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is62 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
energi yang tersimpan dalam kapasitor pada sa<strong>at</strong> t kita peroleh daripersamaan di <strong>at</strong>as, yaituw 1 C = C vC2 + konstanta(4.10)2Konstanta pada (4.10) adalah jumlah energi yang telah tersimpansebelumnya, yang kita sebut simpanan energi awal. Apabila simpananenergi awal ini nol, maka1 2w C = C v C(4.11)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah neg<strong>at</strong>if sebab ia sebandingdengan kwadr<strong>at</strong> dari tegangan. Kapasitor akan menyerap daya darirangkaian jika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akanmengeluarkan energi yang disimpannya itu pada waktu ia memberikanenergi pada rangkaian. Namun alih energi netto tidak pernah neg<strong>at</strong>if ; halini berarti bahwa kapasitor adalah elemen pasif.Karena tegangan kapasitor menentukan st<strong>at</strong>us <strong>at</strong>au keadaan energi darielemen ini, maka tegangan kapasitor disebut sebagai peubah keadaan(st<strong>at</strong>e variable).Secara singk<strong>at</strong> dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan bahwa kapasitor merupakan su<strong>at</strong>uelemen dinamik dengan sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> sebagai berikut :1). Arus yang melalui kapasitor akan nol jika tegangannya tidak berubahterhadap waktu. Kapasitor berperilaku seperti rangkaian terbuka pad<strong>at</strong>egangan searah.2). Tegangan kapasitor adalah fungsi kontinyu dari waktu. Perubahan takkontinyu dari tegangan kapasitor memerlukan arus dan daya yang takterhingga besarnya, yang secara fisis tidak mungkin terjadi.3). Kapasitor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya, jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.3: Tegangan pada su<strong>at</strong>u kapasitor 2 µF berubah terhadapwaktu sebagai v C = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui kapasitor dan daya yang diserapnya?Penyelesaian :Arus yang melalui kapasitor adalah63
dv6 di C C −C = = 2 × 10 ×=dtdtDaya yang diserap kapasitor adalahpC= vCiC= 200sin 400t× 0.16cos400t)= 32cos400tsin 400t= 16sin800tWPemahaman :( 200sin 400t) 160 cos 400tmAJika tegangan, arus, dan daya kita gambarkan akan kita lih<strong>at</strong> keadaanyang berbeda dengan apa yang kita temui pada resistor pada contoh4.2. Hal ini diperlih<strong>at</strong>kan pada gambar di bawah ini. Pada waktutegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai menurundari nilai maksimumnya. Dengan k<strong>at</strong>a lain gelombang arusmencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari gelombang tegangan;dik<strong>at</strong>akan bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor.v[V] i [mA]p [W]t [detik]Perbedaan kemunculan ini disebut pergeseran fasa yang untukkapasitor besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangandengan beda fasa sebesar 90 o .Daya bervariasi secara sinus dengan frekuensi dua kali lip<strong>at</strong> darifrekuensi tegangan maupun arus. Akan tetapi variasi ini simetristerhadap sumbu waktu. Selama setengah perioda daya bernilaipositif dan setengah perioda berikutnya daya bernilai neg<strong>at</strong>if; dandemikian berulang seterusnya. Menurut konvensi pasif, hal iniberarti bahwa kapasitor menyerap daya selama setengah perioda danmemberikan daya selama setengah perioda berikutnya. Secarakeseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; hal ini berbedadengan resistor yang justru selalu menyerap daya karena daya selalupositif.64 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
4.3. InduktorInduktor sebagai piranti induktif, dengan dimensi kecil, banyak dipakaidalam rangkain elektronika. Untuk rangkaian pemroses energi, kitamengenal piranti induktif berukuran besar yang disebut reaktor. Induktordibangun dari kaw<strong>at</strong> (konduktor) yang dililitkan pada su<strong>at</strong>u inti yangterbu<strong>at</strong> dari bahan magnetik <strong>at</strong>aupun tanpa inti (berinti udara). Olehkarena ia terbu<strong>at</strong> dari gulungan kaw<strong>at</strong>, maka induktor selalu mengandungresistansi. Akan tetapi dalam analisis rangkaian listrik yang akan kitapelajari, kita menganggap induktor sebagai piranti ideal tanpamengandung resistansi.Induktor adalah elemen dinamik yang berbasis pada variasi medanmaknit yang ditimbulkan oleh arus. Pada kumparan dengan jumlah lilitan, dan dialiri arus sebesar i L , akan timbul fluksi magnit sebesar φ = ki L, dengan k adalah su<strong>at</strong>u konstanta. Jika tidak ada kebocoran fluksi, fluksiini akan memberikan fluksi lingkup sebesar λ = φ = k 2 i L . Hubunganantara arus yang melalui induktor itu dengan fluksi lingkup yangditimbulkannya diny<strong>at</strong>akan dengan su<strong>at</strong>u konstanta L yang kita sebutinduktansi induktor dengan s<strong>at</strong>uan henry.2λ = LiL = k i L(4.12)4.3.1. Karakteristik i-v Induktor IdealMenurut hukum Faraday, tegangan pada induktor sama dengan lajuperubahan fluksi lingkupnya. Karakteristik i-v induktor dap<strong>at</strong> diperolehdari turunan terhadap waktu dari λ dengan menging<strong>at</strong> bahwa L adalahsu<strong>at</strong>u konstanta.[ Li ]dλd divL L LL = = =(4.13)dt dt dtDengan demikian kita mendap<strong>at</strong>kan hubungan i-v untuk induktordiv L LL = (4.14)dtHubungan ini dap<strong>at</strong> kita gambarkan seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.3.65
simbolLdi Ldt11/Lv LGb.4.3. Karakteristik i − v induktorTurunan terhadap waktu dari i L pada (4.14) di <strong>at</strong>as, menunjukkan bahw<strong>at</strong>egangan pada induktor adalah nol jika arus tidak berubah terhadapwaktu. Jadi pada arus searah tegangan induktor adalah nol, v L = 0; iaberperilaku seperti su<strong>at</strong>u hubung singk<strong>at</strong>. Induktor adalah elemendinamik karena hanya jika ada perubahan arus maka ada tegangan. Akantetapi perubahan arus yang tak kontinyu menyebabkan tegangan menjaditak terhingga besarnya, yang secara fisis tak mungkin terjadi. Olehkarena itu arus i L harus kontinyu terhadap waktu (arus tidak dap<strong>at</strong>berubah secara tiba-tiba).Untuk mencari arus i L kita gunakan hubungan antara arus dan teganganyang sudah kita peroleh, yaitu v L = L di/dt, dengan mengalikan keduaruas dengan dt dan mengintegrasinya:iL( t)∫diLiL( t0)t1= v dt = iL ∫Lt0L(4.15)Jika dalam menentukan b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasi tersebut di<strong>at</strong>as kitamenganggap bahwa pada sa<strong>at</strong> t=t 0 induktor sudah dialiri arus sebesari L (t 0 ), maka integrasi di <strong>at</strong>as memberikan :t1iL= iL( t 0 ) + ∫ vLdtL(4.16)t0Kalau pada sa<strong>at</strong> t = t 0 induktor belum dialiri arus maka i L = 0, dant1iL= ∫ vLdtLt0(4.17)66 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
4.3.3. Daya Dan Energi Pada InduktorDengan mengikuti konvensi pasif, daya pada induktor dap<strong>at</strong> kita tuliskansebagaidi ⎡ ⎤= = L d 1 2p L vLiLLiL=⎢LiLdt dt ⎥(4.18)⎣2⎦Seperti halnya pada kapasitor, persamaan daya untuk induktor ini jugamenunjukkan bahwa daya bisa positif bisa juga neg<strong>at</strong>if karena arusinduktor dan laju perubahannya bisa mempunyai tanda yang berlawanan.Daya positif berarti induktor menyerap daya sedangkan kalau dayanyaneg<strong>at</strong>if berarti induktor memberikan daya. Jadi induktor dap<strong>at</strong> menyerapdan memberikan daya; hal ini berarti bahwa induktor dap<strong>at</strong> menyimpanenergi.Besar energi yang tersimpan pada induktor dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> daripersamaan (4.18). Daya adalah turunan terhadap waktu dari energi, makaapa yang berada dalam tanda kurung pada persamaan (4.18)menunjukkan besar energi. Secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is besar energi pada sa<strong>at</strong> tdap<strong>at</strong> kita peroleh dari persamaan tersebut, yaituw 1 L = LiL2 + konstanta(4.19)2Konstanta pada (4.19) adalah energi yang telah tersimpan pada sa<strong>at</strong> t =0. Apabila simpanan energi awal ini nol, maka energi induktor adalah1 2w L = Li L(4.20)2Energi yang tersimpan ini tidak pernah neg<strong>at</strong>if sebab ia sebandingdengan kwadr<strong>at</strong> dari arus. Induktor akan menyerap daya dari rangkaianjika ia sedang melakukan penyimpanan energi. Ia akan mengeluarkanenergi yang disimpannya jika ia memberikan energi pada rangkaian.Seperti halnya pada kapasitor, alih energi netto pada induktor tidakpernah neg<strong>at</strong>if; hal ini menunjukkan bahwa induktor adalah elemenpasif. Karena arus induktor menentukan st<strong>at</strong>us <strong>at</strong>au keadaan energi darielemen ini, maka arus disebut sebagai variabel keadaan (st<strong>at</strong>e variable)dari induktor.Secara singk<strong>at</strong> dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan bahwa induktor merupakan su<strong>at</strong>uelemen dinamik dengan sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> sebagai berikut :67
1). Tegangan pada induktor akan nol jika arusnya tidak berubah terhadapwaktu. Induktor berperilaku seperti su<strong>at</strong>u hubung singk<strong>at</strong> pada arussearah.2). Arus yang melalui induktor adalah fungsi kontinyu dari waktu.Perubahan tak kontinyu dari arus induktor memerlukan teganganserta daya yang tak terhingga besarnya, yang secara fisis tidakmungkin terjadi.3). Induktor menyerap daya dari rangkaian jika ia melakukanpenyimpanan energi. Ia mengeluarkan energi yang disimpansebelumnya jika ia memberikan energi pada rangkaian.COTOH-4.4: Tegangan pada su<strong>at</strong>u induktor 2,5 H berubah terhadapwaktu sebagai v L = 200sin400t Volt. Bagaimanakah arus yangmelalui induktor dan daya yang diserapnya ?Penyelesaian :diL1200vL = L → iL= vLdt= × − t + Kdt L ∫( cos 400 )2.5×400Konstanta integrasi K adalah arus pada induktor pada sa<strong>at</strong> awalintegrasi dilakukan, yang kita sebut arus awal induktor. Jika arusawal ini tidak ada maka⇒ iL= −200cos400tmA⇒ pL= vLiL= 200sin 400t× ( −0.2cos400t)= −40sin 400tcos400t= −20sin800tPemahaman :Variasi v, t, dan p pada induktor di halaman berikut.Bentuk gelombang tegangan mencapai nilai puncak pertama-nyalebih awal dari bentuk gelombang arus. Jadi tegangan mendahuluiarus <strong>at</strong>au lebih sering dik<strong>at</strong>akan bahwa arus ketinggalan daritegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaanfasa di sini juga 90 o , artinya arus ketinggalan dari tegangan dengansudut fasa 90 o .W68 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
v [V]i [mA]p [W]t[detik]Seperti halnya dengan kapasitor, daya bervariasi secara sinus dansimetris terhadap sumbu waktu. Jadi pada induktor juga tidak terjaditransfer energi netto. Induktor menyerap daya dalam setengahperioda, dan memberikan daya pada setengah perioda berikutnya.4.4. Induktansi BersamaMisalkan ada sebuah kumparan yang dialiri arus yang berubah terhadapwaktu. Misalkan pula ada sebuah kumparan lain yang berdek<strong>at</strong>an dengankumparan yang pertama. Fluksi dari kumparan yang pertama akanmelingkupi pula kumparan yang ke-dua dan akan membangkitkantegangan pada kumparan yang ke-dua itu. Kopling antara arus yangberubah di kumparan yang pertama dengan tegangan yang terbangkitkandi kumparan yang ke-dua menunjukkan adanya su<strong>at</strong>u induktansibersama. Hal yang sebaliknya juga terjadi, yaitu jika kumparan ke-duadialiri arus maka akan timbul tegangan di kumparan pertama. Jadi kalaumasing-masing dialiri arus maka keduanya akan saling mempengaruhi.Misalkan jumlah lilitan kumparan pertama adalah 1 ; jika arus yangmengalir adalah i 1 maka akan timbul fluksi magnetik sebesar φ 1 =k 1 1 i 1 ,dengan k 1 adalah konstanta proporsionalitas. Jika kita anggap tidak adakebocoran fluksi, maka φ 1 akan melingkupi semua lilitan di kumparanpertama ini dan akan menimbulkan apa yang kita sebut sebagai fluksilingkup sebesar λ 11 = 1 φ 1 =k 1 2 1 i 1 . Misalkan pula jumlah lilitan kumparanke-dua 2 dengan arus i 2 . Fluksi magnetik di kumparan ini adalahφ 2 =k 2 2 i 2 dan fluksi lingkupnya λ 22 = 2 φ 2 = k 2 2 2 i 2 . Jadi secara singk<strong>at</strong>φ1= k11i12λ11= k11i1dan φ2= k22i2dan2λ22= k22i2(4.21)69
Sebagai akib<strong>at</strong> fluksi lingkup masing-masing, di setiap kumparanterdap<strong>at</strong> tegangandλ112 di1dλ222 di2v11= = k11dan v22= = k22(4.22)dt dtdt dtKalau kedua kumparan itu berdek<strong>at</strong>an s<strong>at</strong>u dengan lainnya, makasebagian fluksi yang ditimbulkan oleh kumparan yang s<strong>at</strong>u akanmelingkupi pula kumparan yang lain. Jadi selain fluksi yangditimbulkannya sendiri, setiap kumparan melingkupi juga fluksi yangtimbul di kumparan yang lain. Kumparan pertama melingkupi fluksinyasendiri φ 1 , dan fluksi yang berasal dari kumparan ke-dua φ 12 = 1 k 12 φ 2 .Demikian pula dengan kumparan ke-dua, selain fluksinya sendiri φ 2 , iamelingkupi pula φ 21 = 2 k 21 φ 1 yang berasal dari kumparan pertama.Di kumparan pertama, φ 12 akan memberikan fluksi lingkupλ 12 = 1 φ 12 = 2 1 k 12 φ 2 dan menimbulkan tegangan v 12 . Di kumparan kedua,φ 21 akan memberikan fluksi lingkup λ 21 = 2 φ 21 = 2 2 k 21 φ 1 danmenimbulkan tegangan v 21 . Dengan demikian maka di kumparanpertama ada tegangan v 11 yang timbul karena fluksi lingkupnya sendiri,λ 11 , dan ada tegangan v 12 yang timbul karena ada pengaruh darikumparan ke-dua, λ 12 . Jadi tegangan total di kumparan pertama adalah v 1= v 11 + v 12 . Demikian pula halnya dengan kumparan ke-dua; dikumparan ini terdap<strong>at</strong> tegangan total sebesar v 2 = v 22 + v 21 . Keadaanuntuk kedua kumparan ini kita tuliskan seperti berikut.Kumparan1Kumparan 2dλdv v v 11 λ12dλd1 = 11 + 12 = +v v v 22 λ212 = 22 + 21 = +dt dtdt dt2di= [ k ] di 1[ k ]22di1 1 + 12 1 2=dtdt[ k ] di 2[ k ]12 2 + 21 2 1dtdt(4.23)Kita dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> pada (4.23) bahwa ada emp<strong>at</strong> macam parameterinduktansi yaitu :22L 1 = k11L2= k22(4.24)dan M 12 = k1212M 21 = k2121(4.25)70 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Induktansi L 1 dan L 2 adalah induktansi sendiri dari masing-masingkumparan sedangkan parameter M 12 dan M 21 adalah induktansi bersamaantara dua kumparan tersebut. Dalam medium magnet yang linier k 12 =k 21 = k M dan dalam kondisi ini kita dap<strong>at</strong> tuliskandengan k = k M / √(k 1 k 2 ).M12 = M 21 = kM 12= M = k L1L2(4.26)Dengan demikian maka secara umum tegangan di masing-masingkumparan adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 ± dandt dt(4.27)di div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 ±dt dtTanda ± pada (4.27) diperlukan karena pengaruh dari kumparan yangs<strong>at</strong>u terhadap kumparan yang lain tidaklah selalu positif tetapi dap<strong>at</strong> pulaneg<strong>at</strong>if. Pengaruh itu positif jika fluksi dari kumparan yang s<strong>at</strong>umemperku<strong>at</strong> fluksi dari kumparan yang dipengaruhi; apabilamemperlemah maka dik<strong>at</strong>akan bahwa pengaruhnya neg<strong>at</strong>if.i 1 φ 1 i 2i 1 φ 1 i 2φ 2φ 2a). Mengu<strong>at</strong>kan (aditif) b). Melemahkan (substraktif)Gb.4.4. Induktor terkopel : aditif <strong>at</strong>au substraktif.Bagaimana pengaruh positif dan neg<strong>at</strong>if ini terjadi dap<strong>at</strong> dijelaskanmelalui Gb.4.4 yang memperlih<strong>at</strong>kan dua kumparan terkopel magnetik.Arah fluksi yang dibangkitkan oleh arus di masing-masing kumparanmenuruti kaidah tangan kanan. Dengan arah lilitan kumparan sepertiGb.4.4.a. maka fluksi φ 1 yang dibangkitkan oleh i 1 dan φ 2 yangdibangkitkan oleh i 2 akan sama arahnya. Dalam keadaan demikian fluksiφ 2 dan φ 1 saling memperku<strong>at</strong> <strong>at</strong>au aditif. Pada Gb.4.4.b. arah lilitankumparan ke-dua berlawanan dengan arah lilitan kumparan ke-dua padaGb.4.4.a. Fluksi φ 2 berlawanan arah dengan φ 1. Dalam hal ini keduafluksi saling melemahkan <strong>at</strong>au substraktif.71
4.4.1. Konvensi TitikKarena ada kemungkinan fluksi dari kumparan yang s<strong>at</strong>u memperku<strong>at</strong><strong>at</strong>au memperlemah fluksi dari kumparan yang lain sehingga diperlukantanda ± pada persamaan (4.27), maka timbul pertanyaan kapan tanda +<strong>at</strong>au − kita gunakan sedangkan kita tahu bahwa nilai M selalu positif.Untuk menentukan hal itu kita menggunakan konvensi titik (dotconvention) agar pengaruh positif <strong>at</strong>au neg<strong>at</strong>if dari s<strong>at</strong>u kumparanterhadap kumparan lainnya dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan. Kita memberikan tand<strong>at</strong>itik di salah s<strong>at</strong>u ujung di setiap kumparan dengan pengertian sebagaiberikut:Arus i yang masuk ke ujung yang bertanda titik di salah s<strong>at</strong>ukumparan, akan membangkitkankan tegangan berpolaritas positifpada ujung kumparan yang lain yang juga bertanda titik. Besartegangan yang terbangkit adalah M di/dt.4.4.2. Hubungan Tegangan dan ArusDengan konvensi titik tersebut di <strong>at</strong>as,hubungan arus dan tegangan pada duakumparan yang terkopel secaramagnetik, yang simbolnya terlih<strong>at</strong>pada Gb.4.5, dap<strong>at</strong> kita turunkan.i 1 i 2M++Dalam penurunan hubungan ini, untukmasing-masing kumparan kita tetapmenggunakan konvensi pasif, Gb.4.5. Kopling aditif.sedangkan untuk kopling antara keduakumparan kita gunakan konvensi titik. Jadi hubungan tegangan dan arusuntuk Gb.4.5. adalahdi div v v L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 +dt dtdi di(4.28)v v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 +dt dtGb.4.5. adalah simbol dari dua kumparan yang terkopel aditif, yaitu duakumparan dengan arah lilitan seperti pada Gb.4.4.a. Simbol untukkumparan terkopel substraktif, dengan arah lilitan seperti Gb.4.4.b.,diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.4.6. dengan hubungan tegangan dan arus :v 1_L 1L 2v 2_72 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
di d i di div v v L 1 ( −M 2 )L 1 M 21 = 11 + 12 = 1 + = 1 −dt dt dt dtdi div v v L 2 M 12 = 22 + 21 = 2 −dt dt(4.29)Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa tanda titik terkait dengan keadaan ny<strong>at</strong>a (arahlilitan) sedangkan referensi arus dantegangan ditentukan tanpa dikaitkani 1i 2dengan keadaan sebenarnya (kita ing<strong>at</strong>Mbahwa arah referensi arus dan ++tegangan tidak selalu sama dengan Lv 1 L 21v 2keadaan sebenarnya). Oleh karena itu__tanda titik tidak saling terkait denganreferensi arus dan tegangan. Hal inijelas terlih<strong>at</strong> dari Gb.4.6. dan Gb.4.6. Kopling substraktif.persamaan (4.29) di <strong>at</strong>as.Berikut ini dua contoh lain penurunan hubungan tegangan dan arus duakumparan yang terkopel magnetik.i 1 i 2Md(−i1) d(−i2) di1div21 = L1+ M = −L1− Mdt dt dt dtL 1 L 2+v 1_+v 2_di2d(−i1) di2div12 = L2− M = L2+ Mdt dt dt dt(4.30)i 1 i 2Md(−idi−− v L1)M21 = 1 −v 1 L 1 L 2 vdt dt2di di++ v L2M12 = 2 +dt dtdi di= −L1M21 −dt dt(4.31)Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa dalam penurunan persamaan di <strong>at</strong>as kita tetapmengikuti konvensi pasif untuk arus dan tegangan, sedangkan untukpengaruh timbal balik dari kumparan, yang ditunjukkan oleh suku Mdi/dt, kita mengikuti konvensi titik.73
COTOH-4.5: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti pada gambardi samping ini, diketahui bahw<strong>at</strong>egangan di kumparan pertama adalahv 1 = 10 cos 100t V. Tentukanlahtegangan v 2 pada kumparan kedua.Penyelesaian :Hubungan arus dan tegangan padarangkaian kumparan pertama adalahi 1 i 2M+L 1 L 2v 2_L 1 =L 2 =10 mH ; M = 2 mHdi1di2di1v 1 = L1+ M → 10cos100 t = 0,01 + 0dt dtdtkarena i 2 = 0 (kumparan ke-dua terbuka). Untuk kumparan kedua,div 12 = 0 + 0, 002dtDengan memasukkan nilai di 1 /dt dari persamaan kumparan pertamake persamaan kumparan kedua diperoleh10cos100 tv 2 = 0,002 = 2cos100 t V0,01Pemahaman :Apabila kita salah memilih tanda induktansi bersama, maka hasilyang akan kita peroleh adalahv2 = −2cos100t VKesalahan dalam menentukan tanda untuk M akan menyebabkan terinversinyasinyal v 2 . Kesalahan demikian jika terjadi dalam praktek,misalnya untuk peng<strong>at</strong>uran kecep<strong>at</strong>an motor, pada waktu motorhendak diperlamb<strong>at</strong> justru kecep<strong>at</strong>an motor akan bertambah. Olehkarena itu kita harus berh<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>i.+v 1_COTOH-4.6: Pada dua kumparanterkopel magnetik seperti pada gambardi samping ini, diketahui bahwa arusmasing-masing kumparan adalahi 1 =5cos10000t Ai 2 = 2sin5000t A.Tentukanlah tegangan v 1 dan v 2 .+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 =0.2 mH, L 2 = 0.5 mHM = 0.3 mH74 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :Persamaan tegangan-arus untuk masing-masing kumparan adalahdi d iv L 1 ( −M 2)1 = 1 + ;dt dtdi div L 2 M 12 = − 2 +dt dtDengan memasukkan nilai-nilai yang diketahui, akan diperoleh4.5. Saklarvv12= −10sin10000t − 3cos5000 t= −5cos5000t −15sin10000tSaklar adalah piranti yang digunakan untuk menutup dan membukarangkaian. Dalam keadaan tertutup, su<strong>at</strong>u saklar mempunyai b<strong>at</strong>as arusmaksimum yang mampu ia salurkan. Dalam keadaan terbuka, saklarmempunyai b<strong>at</strong>as tegangan maksimum yang mampu ia tahan. Dalamkeadaan terbuka ini, terdap<strong>at</strong> arus kecil yang tetap mengalir yang kitasebut arus bocor. Sebaliknya dalam keadaan tertutup masih terdap<strong>at</strong>tegangan kecil antar terminalnya.Untuk rangkaian-elektronik kita mengenal saklar dengan kemampuanarus dalam orde mA dan tegangan dalam orde Volt. Sedangkan pirantipenutup dan pembuka rangkaian dengan kapasitas besar kita jumpaipada rangkaian pemroses energi. Pemutus dan pembuka rangkaianberkapasitas besar ini dikenal dengan sebutan circuit breaker; iamempunyai kemampuan menyalurkan arus dalam orde kA dan tegangandalam kV. Dalam analisis rangkaian, saklar dimodelkan sebagaikombinasi rangkaian hubung-terbuka dan rangkaian hubung-singk<strong>at</strong>dan dianggap ideal dalam arti tidak terdap<strong>at</strong> rugi daya, <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>alain daya selalu nol (tidak menyerap daya). Dalam keadaan terbuka, arusbernilai nol (tanpa arus bocor) sedangkan tegangan pada terminalnyabernilai sembarang tanpa b<strong>at</strong>as. Dalam keadaan tertutup tegangan antar<strong>at</strong>erminalnya nol sedangkan nilai arusnya sembarang tanpa b<strong>at</strong>as. Gb.4.7.di bawah ini menggambarkan karakteristik saklar ideal yang dimaksud.VV75
isimbol(a) saklar terbukai = 0 , v = sembarangGb.4.7. Karakteristik i− v saklar ideal4.6. Elemen Sebagai Model Dari GejalaSebagaimana dijelaskan di <strong>at</strong>as, elemen adalah model dari piranti, sepertiresistor, kapasitor, induktor dan sebagainya. Selain dari pada itu seringterdap<strong>at</strong> gejala-gejala adanya resistansi, <strong>at</strong>au kapasitansi, <strong>at</strong>aupuninduktansi pada piranti <strong>at</strong>au antar piranti, pada konduktor <strong>at</strong>au antarkonduktor dalam rangkaian listrik. Gejala-gejala seperti itu dap<strong>at</strong> puladimodelkan sebagai elemen rangkaian. Sebagai contoh, pada salurantransmisi daya terdap<strong>at</strong> resistansi pada kaw<strong>at</strong>, kapasitansi antar kaw<strong>at</strong>dan antara kaw<strong>at</strong> dengan tanah, dan juga terdap<strong>at</strong> induktansi. Padapiranti elektronik juga terdap<strong>at</strong> kapasitansi antar terminal yang disebutkapasitansi bocor. Accu mobil mengandung gejala adanya resistansiyang disebut resistansi internal. Resistansi, kapasitansi, <strong>at</strong>aupuninduktansi pada piranti-piranti tersebut merupakan gejala yang ada padapiranti yang juga dap<strong>at</strong> dimodelkan sebagai elemen rangkaian.4.7. Transform<strong>at</strong>or Idealsimbol(b) saklar tertutupv = 0 , i = sembarangApa yang kita bahas mengenai kumparan terkopel magnetik adalahprinsip dari transform<strong>at</strong>or. Kumparan yang pertama disebut kumparanprimer sedang yang kedua disebut kumparan sekunder. Seperti halnyaresistor, induktor, dan kapasitor, kita mengenal transform<strong>at</strong>or ukurankecil yang dipakai pada rangkaian elektronika, dan transform<strong>at</strong>or ukuranbesar yang dipakai pada rangkaian pemroses energi, yang biasa disebuttransform<strong>at</strong>or daya. Selain itu ada pula transform<strong>at</strong>or-ukur untukkeperluan pengukuran arus tinggi, yang disebut transform<strong>at</strong>or arus, danpengukuran tegangan tinggi yang disebut transform<strong>at</strong>or tegangan.Dalam keny<strong>at</strong>aan, transform<strong>at</strong>or-transform<strong>at</strong>or tersebut mengandungketidak-sempurnaan misalnya fluksi bocor, rugi daya di belitan dan rugidaya dalam inti-nya, serta ketidak-linieran. Transform<strong>at</strong>or yang akankita bahas di sini adalah transform<strong>at</strong>or ideal.76 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)vv
4.7.1. Kopling SempurnaPada transform<strong>at</strong>or ideal kita menganggap bahwa kopling magnetik antarkumparan terjadi secara sempurna, artinya semua fluksi yangmelingkupi kumparan primer juga melingkupi kumparan sekunder dandemikian pula sebaliknya.Jika jumlah lilitan di kumparan primer dan sekunder masing-masingadalah 1 dan 2 sedangkan arus masing-masing adalah i 1 dan i 2 makafluksi masing-masing kumparan adalahφ 1 = k 11i1dan φ2= k22i2dengan k 1 dan k 2 adalah konstanta proporsionalitas.Selain fluksinya sendiri, setiap kumparan juga melingkupi fluksi yangdibangkitkan di kumparan yang lain, yaituφ 12 = k 122i2dan φ21= k211i1Jika terjadi kopling sempurna, makaφ 12 = φ2dan φ21= φ1yang berarti : k 12 2i2= k22i2dan k211i1= k11i1sehingga : k 12 = k2dan k21= k1Untuk medium maknit yang linier maka k 12 = k 21 = k M , sehingga untuktransform<strong>at</strong>or ideal ini k 1 = k 2 = k 12 = k 21 = k M .Dengan demikian maka induktansi dan kopling magnetik menjadiL122kM 1; L2= kM 2 ; M = kM12 = L1L2= (4.32)Dengan menggunakan (4.27), tegangan pada kumparan primer dansekunder dap<strong>at</strong> kita peroleh yaitudi di ⎛ di di ⎞v = L 1 ± M 2 = ⎜k 1 ± k 21 11 M 1 M 2 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠(4.33)di di ⎛ di di ⎞v = L 2 ± M 1 = ± ⎜±kM 2 + kM 12 22 21 ⎟dt dt ⎝ dt dt ⎠Rasio persamaan pertama dan kedua dari (4.33), memberikanv1 = ± 1 = ± av2(4.34)277
Parameter a disebut perbandingan lilitan. Jika a > 1 ( 1 > 2 ) , kitamempunyai transform<strong>at</strong>or penurun tegangan (step-down transformer)dan jika a < 1 ( 1 > 2 ) kita mempunyai transform<strong>at</strong>or penaik tegangan(step-up transformer). Tanda + <strong>at</strong>au − tergantung dari arah referensi arusprimer dan sekunder rel<strong>at</strong>if terhadap referensi titik. Jika referensi araharus di kedua kumparan menuju <strong>at</strong>au meninggalkan referensi titik, kitaberikan tanda +.4.7.2. Rugi Daya olSelain kopling sempurna, kita juga menganggap bahwa pad<strong>at</strong>ransform<strong>at</strong>or ideal tidak ada rugi daya. Hal ini berarti bahwa daya yangdiserap di kedua kumparan adalah nol.v1 i1+ v2i2=78 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)(4.35)Dari (4.34) dan (4.35) jelas bahwa jika tegangan sekunder lebih besardari tegangan primer maka arus sekunder lebih kecil dari arus primer.Transform<strong>at</strong>or jenis inilah yang digunakan pada transmisi daya listrik.Untuk penyaluran sejumlah daya tertentu, arus pada saluran transmisimenjadi lebih kecil pada tegangan tinggi, sehingga rugi-rugi daya padasaluran (i 2 R) dap<strong>at</strong> ditekan.COTOH-4.7: Su<strong>at</strong>u transform<strong>at</strong>or mempunyai perbandingan lilitan 1 / 2 = 0,1. Dengan tegangan masukan 120sin400t V, dan denganmenganggap transform<strong>at</strong>or ini ideal, tentukanlah tegangan sekunder,arus sekunder, serta arus primer, jika diberi beban resistif sebesar 50Ω. Hitung pula daya yang diserap oleh beban.Penyelesaian :Gambar dari rangkaian transform<strong>at</strong>or dan perhitungannya adalahseperti berikut.i 1i 2+ +v 1v 2_ _050Ω<strong>at</strong>aui2 v = − 1 = m1 = m ai1v22v 22 = v1= 1200sin400 t1vi 22 = = 24sin400 t A5022p R = v2i2= 1200 × 24sin 400 t W = 28.8sin 400 t22p R = v2i2= 1200×24sin 400 t W = 28.8sin 400 tkW.kW.V
COTOH-4.8: Dalam contoh 4.7, berapakah resistansi yang dilih<strong>at</strong>oleh sumber (yaitu resistansi di sisi primer) ?Penyelesaian :Dalam contoh ini tegangan primer adalah v 1 = 120sin400t sedangkanarus yang mengalir adalah i 1 = 240sin400t. Jadi resistansi yangterlih<strong>at</strong> di sisi primer adalahPemahaman :' v= 1 120sin400tR 2 == 0,5 Ωi1240sin400tR' 2 ini disebut resistansi masukan ekivalen (equivalent inputresistance). Jika kita perh<strong>at</strong>ikan lebih lanjut akan terlih<strong>at</strong> bahwa2' v1( 1/ 2) v2⎛ 1⎞ 2R 2 = == R2= a R2i1( 2/ 1)i⎜2 ⎟⎝ 2 ⎠COTOH-4.9: Sebuah transform<strong>at</strong>or (ideal) digunakan untukmenurunkan tegangan dari 220cos314t V ke 110cos314t V. Jumlahlilitan primer maupun sekunder tidak diketahui. Untuk mencarinyadibu<strong>at</strong> kumparan pembantu (kumparan ketiga) dengan 20 lilitan.Dengan memberikan tegangan sebesar 220cos314t V pada belitanprimer diperoleh tegangan sebesar 5,5cos314t V di kumparanpembantu. Carilah jumlah lilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :Pada waktu tegangan primer 220cos314t V, tegangan di kumparanpembantu adalah 5,5cos314t V. Jadi perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan kumparan pembantu adalah1220cos314t== 4035.5cos314tKarena 3 = 20 , maka 1 = 40×20 = 800 lilitan. Perbandinganlilitan transform<strong>at</strong>or adalah2 110cos314t== 0,51220cos314tJadi jumlah lilitan sekunder adalah 2 = 400 lilitan.79
Soal-Soal1. Pada sebuah resistor 1 kΩ diterapkan s<strong>at</strong>u pulsa tegangan 10 V,dengan lebar pulsa 100 ms. Hitung arus yang mengalir melaluiresistor serta daya yang diserap resistor selama tegangan diterapkan.Hitung pula energi yang diserap resistor, dan jumlah mu<strong>at</strong>an yangdipindahkan melalui resistor.2. Pada sebuah resistor 10 Ω diterapkan tegangan eksponensial yangamplitudonya 200 V dan konstanta waktunya 200 ms. Hitunglah arusdan daya pada resistor. Perkirakanlah energi yang diserap resistor danjumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan melalui resistor.3. Su<strong>at</strong>u arus sambaran petir dimodelkan sebagai bentuk gelombangeksponensial ganda yang terdiri dari gelombang positif beramplitudo+100 kA dengan konstanta waktu 200 µs dan gelombang neg<strong>at</strong>ifberamplitudo −100 kA dengan konstanta waktu 20 µs. Arus sambaranpetir ini melalui resistor 1 Ω; hitunglah tegangan pada resistor danjumlah mu<strong>at</strong>an dalam sambaran petir ini.4. Berapakah nilai maksimum arus yang melalui kapasitor 50 µF, jikadiketahui bahwa tegangan pada kapasitor berbentuk sinus denganamplitudo 100 V dan frekuensinya 100 rad/s ?5. Tegangan pada kapasitor 100 pF berubah sebagai v C = 10 e −3000 t u(t)V. Berapa mu<strong>at</strong>an kapasitor pada t = 0 + ? Berapa mu<strong>at</strong>annya pada t =1 ms ?6. Berapakah nilai maksimum tegangan pada induktor 2 H, jika diketahuibahwa arus yang mengalir berbentuk gelombang sinus denganamplitudo 2 A dan frekuensinya 300 rad/s ?7. Tegangan pada induktor 4 mH adalah v L = 40e −2000t u(t) V.Bagaimanakah bentuk gelombang arusnya ? Bagaimanakah dayanya?8. Arus pada induktor 5 mH adalah i L (t) = [100 t e −1000 t ] u(t) A. Carilahtegangan, serta dayanya.9. Jika arus sambaran petir pada soal nomer 3 melalui sebuah induktor 10µH, hitunglah tegangan pada induktor.80 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
10. Pada dua kumparan terkopel berikut ini, tegangan v 1 =25[sin1000t]u(t) V. Kumparan kedua terbuka. Tuliskanlahhubungan i-v kumparan terkopel ini dan carilah i 1 dan v 2 .+v 1_i 1 i 2ML 1 L 2+v 2_L 1 = 2 mH, L 2 = 4 mHM = 5 mH11. Jika pada soal nomer 10 yang diketahui adalah arus masukan, yaitui 1 = 2 [1 − e −2000 t ] u(t) A, carilah v 2 . Pada t = 1 s, berapakah v 2 ?12. Jika pada soal nomer 10 tegangan masukan tidak diketahui akantetapi diketahui i 1 = 2sin1000t u(t), carilah v 1 dan v 2 .13. Pada transform<strong>at</strong>or ideal, berapakah perbandingan jumlah lilitankumparan primer dan sekunder yang diperlukan untuk mengubahtegangan 380cos314t V, ke 190cos314t V ?14. Carilah nilai efektif (rms) tegangan primer dan sekunder pada soalnomer 13. Perbandinganlah kedua nilai efektif ini! Bagaimanakahperbandingan nilai efektif arus? (Hasil ini selanjutnya dap<strong>at</strong>digunakan untuk menentukan nilai-nilai rms tanpa melaluiperny<strong>at</strong>aan sinyal dalam fungsi t lagi).81
15. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada pemecahan soal nomer 14,tentukanlah perbandingan jumlah lilitan transform<strong>at</strong>or ideal yangdiperlukan untuk menurunkan tegangan bolak-balik sinus 240 Vrms menjadi 12 V rms. Jika resistor 50 Ω dihubungkan pada sisisekunder, hitunglah arus dan daya masukan di sisi primer.16. Sebuah transform<strong>at</strong>or ideal dengan keluaran ganda, mempunyaijumlah lilitan primer 1000. Lilitan sekunder berjumlah 1200 lilitanterbagi menjadi 3 bagian, masing-masing 200 lilitan, 400 lilitan dan600 lilitan. Jika tegangan primer berbentuk sinus 220 V rms,tentukanlah nilai rms dari tiga macam tegangan yang diperoleh dibelitan sekunder.17. Su<strong>at</strong>u piranti mempunyai resistansi masukan sebesar 1500 Ωsehingga piranti ini dap<strong>at</strong> dimodelkan sebagai sebuah resistor 1500Ω. Piranti ini hendak dihubungkan ke pengu<strong>at</strong> sinyal yangmenghendaki agar bebannya mempunyai resistansi 150 Ω. Untukitu, antara keduanya dipasang transform<strong>at</strong>or sehingga pengu<strong>at</strong> sinyalakan merasakan adanya beban sebesar 150 Ω walaupun bebansesungguhnya adalah 1500 Ω. Tentukan perbandingan lilitantransform<strong>at</strong>or yang diperlukan.82 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 5Model Piranti Aktif, Dioda, OP AMPDengan mempelajari model piranti aktif, kita akan• mampu memformulasikan karakteristik arus-teganganelemen aktif: sumber bebas, sumber tak-bebas;• memahami karakteristik dioda dan mampu menurunkanhubungan masukan-keluaran rangkaian sederhanamenggunakan dioda.• memahami karakteristik OP AMP dan mampu mencarihubungan masukan dan keluaran rangkaian dasarsederhana OP AMP.5.1. Sumber BebasSumber bebas adalah sumber yang tidak tergantung dari peubahsinyal di bagian lain dari rangkaian. Sumber sinyal dap<strong>at</strong>dimodelkan dengan dua macam elemen, yaitu: sumber tegangan<strong>at</strong>au sumber arus. Sumber-sumber ini dap<strong>at</strong> membangkitkan sinyalyang konstan <strong>at</strong>aupun bervariasi terhadap waktu, yang akan menjadimasukan pada su<strong>at</strong>u rangkaian. Mereka sering disebut sebagaifungsi penggerak <strong>at</strong>au forcing function <strong>at</strong>au driving function yangmengharuskan rangkaian memberikan tanggapan.5.1.1. Sumber Tegangan Bebas IdealGb.5.1. memperlih<strong>at</strong>kan simbol dan karakteristik i-v dari sumbertegangan bebas ideal. Perh<strong>at</strong>ikan referensi arus dan tegangannya,yang tetap mengikuti konvensi pasif. Karakteristik i-v sumbertegangan ideal memberikan persamaan elemen sebagai berikut:v = v si = sesuai kebutuhanPersamaan di <strong>at</strong>as meny<strong>at</strong>akan bahwa sumber tegangan idealmembangkitkan tegangan v s pada terminalnya dan akan memberikanarus berapa saja yang diperlukan oleh rangkaian yang terhubungpadanya.83
v s+_iV oa) b) c)Gb.5.1. Sumber tegangan ideal.(a) Sumber tegangan bervariasi terhadap waktu;(b) Sumber tegangan konstan;(c) Karakteristik i-v sumber tegangan konstan+_iiV ov5.1.2. Sumber Arus Bebas IdealGb.5.2. menunjukkan simbol dan karakteristik i-v sumber arus bebasideal. Perh<strong>at</strong>ikan referensi arus dan tegangannya, yang juga tetapsesuai dengan konvensi pasif. Karakteristik i-v sumber arus idealmemberikan persamaan elemen:Sumber arus ideal memberikan arus i s dalam arah sesuai denganarah tanda anak panah pada simbolnya dan memberikan teganganberapa saja yang diperlukan oleh rangkaian yang terhubungpadanya. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa tegangan pada sumber arus tidaklahnol.iiI s ,i si = i sv = sesuai kebutuhan(a)Gb.5.2. Sumber arus ideal.COTOH-5.1: Sebuah sumber tegangan konstan 40 V ideal,menc<strong>at</strong>u sebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerapdaya konstan sebesar 100 W, berapakah arus yang keluar darisumber? Jika beban menyerap 200 W, berapakah arus yangkeluar dari sumber?(b)84 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)−v+Isv
Penyelesaian :Karena merupakan sumber teganganideal maka ia akan memberikan arusberapa saja yang diminta bebandengan tegangan yang konstan 40 V.Jika daya yang diserap beban 100W, maka arus yang diberikan oleh sumber adalahp 100i = = = 2,5 Av 40+−40V bebanJika daya yang diserap beban 200 W, maka arus yang diberikanoleh sumber adalahPemahaman :p 200i = = = 5 Av 40Sumber tegangan ideal memberikan arus berapa saja yangdiminta oleh beban, pada tegangan kerja yang tidak berubah.Sumber semacam ini dap<strong>at</strong> kita gunakan untuk mendek<strong>at</strong>ikeadaan dalam praktek apabila sumber mempunyaikemampuan yang jauh lebih besar dari daya yang diperlukanoleh beban <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>a lain sumber tersebut kita anggapmempunyai kapasitas yang tak berhingga.COTOH-5.2: Sebuah sumber arus konstan 5 A ideal, menc<strong>at</strong>usebuah beban. Jika diketahui bahwa beban menyerap dayakonstan sebesar 100 W, pada tegangan berapakah sumberberoperasi? Jika beban menyerap 200 W, berapakah tegangansumber?Penyelesaian :Sumber arus ideal memberikan arustertentu, dalam hal ini 5 A, pad<strong>at</strong>egangan berapa saja yangdiperlukan oleh beban.Jika daya yang diserap beban 100 W, hal itu berarti bahw<strong>at</strong>egangan sumber adalahp 100v = = = 20 Vi 55A beban85
Jika daya yang diserap beban 200 W, maka tegangan sumberadalahp 200v = = = 40 Vi 55.2. Sumber PraktisGb.5.3. menunjukkan model sumber tegangan dan sumber aruspraktis; sumber ini disebut praktis karena mereka lebih mendek<strong>at</strong>ikeadaan ny<strong>at</strong>a dibandingkan dengan model sumber ideal.v s+_R si+v−i sR pi−v+Gb.5.3. Sumber tegangan dan sumber arus praktisSu<strong>at</strong>u sumber ny<strong>at</strong>a pada umumnya mengandung gejala-gejalaadanya resistansi <strong>at</strong>aupun induktansi dan kapasitansi. Resistor R s<strong>at</strong>aupun R p dalam model sumber praktis yang terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.3.merupakan representasi dari gejala resistansi yang hadir dalamsumber yang dimodelkan dan bukan mewakili resistor yang berupapiranti.COTOH-5.3: Sebuah sumber tegangan konstan praktis denganresistansi 4 Ω, menc<strong>at</strong>u sebuahbeban. Jika diketahui bahwaibeban menyerap daya konstansebesar 100 W, dan diketahui+pula bahwa arus yang mengalir + 4Ωvv sibebanpadanya adalah 2,5 A, − _berapakah tegangan sumberdan arus yang keluar darisumber? Jika sumber tidak dibebani, berapakah tegangannya?86 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> sumber praktis terdiri dari sumber ideal v i danresistansi sebesar 4 Ω. Tegangan sumber praktis adalah v s dantegangan ini sama dengan tegangan pada beban.Jika daya dan arus pada beban adalah 100 W dan 2,5 A, mak<strong>at</strong>egangan sumber adalahp 100v s = = = 40 Vi 2.5Karena hanya ada s<strong>at</strong>u beban yang dilayani oleh sumberpraktis, maka arus yang keluar dari sumber sama dengan arusbeban yaitu 2,5 A. Arus ini pula yang keluar dari sumbertegangan ideal v i dan mengalir melalui R i . Bagi sumbertegangan ideal v i , daya yang diserap oleh resistansi R i ikutmenjadi bebannya, yaitu2p Ri = i Ri=2(2.5) × 4 = 25 WDengan demikian sumber tegangan ideal menanggung bebanp tot = 100 + 25 = 125 W .Dengan arus yang 2,5 A, maka tegangan sumber ideal adalahv i = 125 / 2,5 = 50 V .Tegangan inilah yang akan terlih<strong>at</strong> pada sumber praktis, v s ,apabila ia tidak dibebani, karena pada sa<strong>at</strong> tanpa beban tidakada arus yang mengalir sehingga tidak ada tegangan pada R i .Pemahaman :Dalam contoh di <strong>at</strong>as, sumber praktis yang merupakan sumbertegangan konstan, mempunyai resistansi R i yang kita sebutresistansi internal. Resistansi inilah yang menyebabkanterjadinya perbedaan nilai tegangan sumber praktis pada sa<strong>at</strong>berbeban dan pada sa<strong>at</strong> tidak berbeban. Pada sumber praktisyang bukan tegangan konstan, misalnya tegangan sinus, tidakhanya terdap<strong>at</strong> resistansi internal saja tetapi mungkin jugainduktansi internal.87
COTOH-5.4: Sebuah accu (accumul<strong>at</strong>or) 12 V, berkapasitas 40Ah. Jika sebuah beban yang menyerap daya 10 W<strong>at</strong>tdihubungkanipadanya, berapalamakah accu++ Rbebantersebut dap<strong>at</strong>i12 Vv−menyerapmelayani beban_ 10 Wyang ditanggungnya?Penyelesaian :Jika kita menganggap accu sebagai sebuah sumber teganganideal yang memberikan daya kepada beban dengan tegangankonstan 12 V, maka arus yang akan mengalir ke beban adalahp 10i = = v 12Karena kapasitasnya 40 Ah, accu akan mampu menc<strong>at</strong>u bebanselamaPemahaman :40 t = = 4810/12AjamAccu mengubah energi kimia menjadi energi listrik. Dalamproses pengubahan tersebut terdap<strong>at</strong> sejumlah energi yangtidak dap<strong>at</strong> dikeluarkan melainkan berubah menjadi panas.Accu dap<strong>at</strong> dimodelkan sebagai sumber tegangan denganresistansi internal sebesar R i . Jadi model rangkaian miripdengan rangkaian pada contoh 5.13. Dengan model ini makaenergi tidak hanya diserap oleh beban tetapi juga oleh R i .Dengan adanya resistansi internal itu tegangan pada bebanakan lebih kecil dari tegangan sumber ideal. Selain dari padaitu, jika accu tidak mendap<strong>at</strong>kan tambahan energi dari luar,tegangan akan terus menurun selama proses pengaliran daya kebeban. Jika resistansi beban tidak berubah, penyerapan dayapada beban juga tidak konstan 10 w<strong>at</strong>t.88 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
5.3. Sumber Tak-Bebas (Dependent Sources)Sumber bebas yang kita ulas di <strong>at</strong>as adalah model dari su<strong>at</strong>u piranti;artinya, kita mengenalnya baik sebagai elemen maupun sebagaipiranti (seperti halnya resistor, induktor dan kapasitor). Berbedadengan elemen-elemen tersebut, sumber tak-bebas adalah elemenyang tidak mewakili piranti tertentu melainkan menjadi modelkarakteristik su<strong>at</strong>u piranti. Sumber tak-bebas adalah elemen aktifyang kita gunakan dalam kombinasi dengan elemen lain untukmemodelkan piranti aktif seperti misalnya transistor <strong>at</strong>aupun OPAMP. Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> contoh rangkaian dengansumber tak-bebas.Keluaran sumber tak-bebas dikendalikan oleh (tergantung dari)tegangan <strong>at</strong>au arus di bagian lain dari rangkaian. Sumber tak-bebasyang akan kita pelajari adalah sumber tak-bebas linier, baik itusumber tegangan maupun sumber arus. Karena ada dua macambesaran yang dikendalikan, yaitu tegangan <strong>at</strong>aupun arus, dan adadua macam besaran pengendali yang juga berupa arus <strong>at</strong>aupuntegangan, maka kita mengenal emp<strong>at</strong> macam sumber tak-bebas,yaitu:a). Sumber tegangan dikendalikan oleh arus: current-controledvoltage source (CCVS).b). Sumber tegangan dikendalikan oleh tegangan: voltagecontroledvoltage source (VCVS).c). Sumber arus dikendalikan oleh arus : current-controled currentsource (CCCS).d). Sumber arus dikendalikan oleh tegangan : voltage-controledcurrent source (VCCS).Gb.5.4. memperlih<strong>at</strong>kan simbol-simbol sumber tak bebas. Kitaambil contoh CCCS. Arus keluaran CCCS tergantung dari arusmasukan i 1 dan faktor perkalian tak berdimensi β, menjadi βi 1 .Ketergantungan seperti ini tidak kita dap<strong>at</strong>kan pada sumber bebas.Arus yang diberikan oleh sumber arus bebas, tidak tergantung darirangkaian yang terhubung ke padanya.89
CCVS :i+1_ ri 1VCVS :+v 1_+_ µ v 1CCCS :i 1βi 1VCCS :+v 1_g v 1Gb.5.4. Simbol sumber tak-bebas.Masing-masing sumber tak-bebas mempunyai parameter tunggal µ,β, r, dan g sebagai cirinya. Parameter-parameter ini disebut gain.Dalam hal ini, µ dan β merupakan parameter yang tak berdimensiyang masing-masing disebut voltage gain dan current gain.Parameter r berdimensi ohm dan disebut transresistance(kependekan dari transfer resistance). Parameter g berdimensisiemens, disebut transconductance.COTOH-5.5: Sebuah sumber tak-bebas CCVS seperti tergambardi bawah ini menc<strong>at</strong>u beban konstan yang mempunyairesistansi 20 Ω.i si ov s+−R s+−500 i s+v o−20 Ω<strong>Rangkaian</strong> pengendali terdiri dari sumber tegangan ideal v sdan resistansi R s = 60 Ω. Hitunglah daya yang diserap olehbeban jika sumber tegangan pengendali v s = 24 V. Hitung puladaya tersebut jika tegangan sumber pengendali dinaikkanmenjadi 36 V.Penyelesaian :Tegangan pengendali v s sama dengan tegangan pada resistansiR s . Jika v s = 24 V, maka arus i s adalahv 24 =si s = = 0,4 ARs60.90 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Tegangan keluaran v o = 500is= 500×0,4 = 200 V . Teganganv o ini sama dengan tegangan beban, sehingga daya yangdiserap beban adalah2( o )p o = v = 2000 W20Jika tegangan v s dinaikkan menjadi 36 V, maka36i s = = 0,6 A602(300)→ vo = 500×0,6 = 300 V; → po= = 4500 W20Pemahaman :Jika kita hitung, daya yang diberikan oleh sumber pengendali v sakan kita perolehp s = vsis= 60 × 0,4 = 24WDaya ini jauh lebih kecil dari daya yang diserap beban, yaitusebesar 2000 W. Hal ini berarti bahwa daya yang diterima olehbeban bukan berasal dari sumber v s . Dari manakah asalnya ?Telah disebutkan di depan bahwa sumber tak-bebas adalahelemen aktif yang kita gunakan dalam kombinasi denganelemen lain untuk memodelkan piranti aktif. Piranti aktif inimempunyai c<strong>at</strong>u daya yang tidak tergambarkan dalam simbolsumber tak-bebas. Dari c<strong>at</strong>u daya inilah sesungguhnya asaldaya yang diterima oleh beban. Sumber v s dalam contoh soalini merupakan sumber pengendali dan bukan sumber dayauntuk memberikan daya ke beban.Sebagai contoh, model sumber tak-bebas ini dap<strong>at</strong> kita gunakanuntuk memodelkan gener<strong>at</strong>or arus searah berpengu<strong>at</strong>an bebas.Sumber tegangan v s merupakan sumber pengu<strong>at</strong> untukmemberikan arus pengu<strong>at</strong> sebesar i s . Arus pengu<strong>at</strong> inimenimbulkan fluksi maknit pada gener<strong>at</strong>or, yang jika diputardengan kecep<strong>at</strong>an konstan akan memberikan tegangan dandaya ke beban. Dalam model gener<strong>at</strong>or arus searah ini, c<strong>at</strong>udaya yang memberikan daya ke beban berupa masukan dayamekanis untuk memutar gener<strong>at</strong>or.91
Piranti aktif lain dalam elektronika, seperti misalnya OP AMP<strong>at</strong>au transistor, dap<strong>at</strong> pula dimodelkan dengan sumber takbebas.C<strong>at</strong>u daya pada piranti-piranti ini berupa c<strong>at</strong>u dayalistrik, bukan daya mekanis seperti pada pemodelan gener<strong>at</strong>orarus searah di <strong>at</strong>as.5.4. Dioda IdealDioda ideal tidak menyerap daya tetapi juga tidak memberikandaya. Ia banyak dimanfa<strong>at</strong>kan untuk “meng<strong>at</strong>ur” aliran daya darisumber ke beban oleh karena itu ia kita bahas di bab ini.Dioda merupakan piranti dua terminal yang meloloskan aliran aruske s<strong>at</strong>u arah dan menahan aliran arus pada arah sebaliknya. Perilakuini mirip dengan saklar yangtertutup untuk arah arustertentu tetapi terbuka untukarah yang berlawanan, dandap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengankarakteristik i-v sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.5.5.a.Karakteristik ini adalahkarakteristik dioda ideal,yang pada keny<strong>at</strong>aannya mempunyai karakteristik tak-linier sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.5.5.b. Simbol dari dioda beserta referensi arus dantegangan ditunjukkan pada Gb.5.5.c.dap<strong>at</strong> kita ny<strong>at</strong>akan sebagai:DiodakonduksiDioda tak konduksi: i:iDD> 0= 0,,vvDD= 0< 0Karakteristik dioda ideal,(5.1)Dalam praktik, kita perlu memperh<strong>at</strong>ikan tegangan balik dioda,yaitu v D yang neg<strong>at</strong>if pada sa<strong>at</strong> dioda tak-konduksi. Tegangan balikini tidak diperkenankan melebihi su<strong>at</strong>u nilai tertentu. Setiap jenisdioda mempunyai ketahanan untuk menahan tegangan balik tertentudan juga b<strong>at</strong>as kemampuan arus tertentu yang tidak boleh dilampaui.5.4.1. Penyearah Setengah GelombangPenyearah adalah rangkaian listrik yang memproses sinyal bolakbalik(sinyal sinus) menjadi sinyal searah. Sinyal searah yangdihasilkannya bukan merupakan sinyal konstan, melainkan sinyalyang berubah terhadap waktu tetapi selalu positif. Jika sinyal yangii+v D−0 v 0 v(a) (b) (c)Gb.5.5. Diodai D92 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
disearahkan (sinyal masukan) berupa sinyal sinus yang mempunyainilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a nol, hasil penyearahan (sinyal keluaran) mempunyainilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a tidak nol. Berikut ini kita akan membahas salah s<strong>at</strong>ujenis penyearah yaitu penyearah setengah gelombang.<strong>Rangkaian</strong> penyearah beserta bentuk gelombang masukan dankeluarannya diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.5.6. Tegangan sumber berupasinyal sinus v s = V m sinωt. Karena sif<strong>at</strong> dioda yang hanyameloloskan arus ke s<strong>at</strong>u arah saja maka arus yang melalui resistor Rhanya berlangsung setiap setengah perioda.Pada waktu dioda konduksi v D = 0 dan tegangan di simpul B samadengan tegangan di simpul A; tegangan beban R sama dengantegangan sumber dan arus di R iR = vs/ R . Pada waktu dioda takkonduksitak ada arus mengalir di R; tegangan di R nol. Gelombangarus i R diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.5.6.iVv s mABi R+I as+ v D −0ωtv s+v RR L −0 π 2πGb.5.6. Penyearah setengah gelombang.Jadi pada penyearah setengah gelombang, arus hanya mengalir padaperioda positif. Nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a arus adalah:Ias==C2ππ11 V ωω = m sin tω +π ∫iRd(t)π ∫d(t)022 R0 01 V πm V[ ω ] = m Icos t = m2πR 0 πRπ(5.2)Persamaan (5.2) memperlih<strong>at</strong>kan bahwa penyearah setengahgelombang menghasilkan arus searah (yaitu arus r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a) sebesarkira-kira 30% dari nilai arus maksimum. Arus maksimum sendirisebanding dengan tegangan maksimum masukan. Tegangan balikmaksimum dioda sama dengan tegangan puncak neg<strong>at</strong>if masukanyaitu tegangan dioda pada sa<strong>at</strong> ia tidak konduksi.93
COTOH-5.6: Jika pada Gb.5.6. v s = 220 sinωt sedangkan R = 5kΩ, berapakah nilai arus searah (arus r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a) pada R ?Penyelesaian :Pada waktu diodakonduksiv 220sinω= s ti R = = 110sinωtmAR 5000⇒ Ias= Im/ π = 110/ π = 35 mA5.4.2. Penyearah Gelombang PenuhPada penyearah gelombang penuh arus ke beban mengalir padaseluruh perioda. Kita akan melih<strong>at</strong> salah s<strong>at</strong>u rangkaian penyearahgelombang penuh yaitu rangkaian dengan menggunakan emp<strong>at</strong>dioda yang biasa disebut rangkaian jemb<strong>at</strong>an. <strong>Rangkaian</strong> yang lainyaitu rangkaian yang menggunakan transform<strong>at</strong>or ber-titik-tengah(center-tapped) akan kita lih<strong>at</strong> di bab lain.<strong>Rangkaian</strong> penyearah jemb<strong>at</strong>an serta sinyal hasil pemrosesanny<strong>at</strong>erlih<strong>at</strong> pada Gb.5.7. Dengan mudah dap<strong>at</strong> dihitung nilai arus searahv2 VmIas=π RLD 2iC+AB+R LD 1D 4D2Im=πGb.5.7. Penyearah gelombang penuh jemb<strong>at</strong>an (emp<strong>at</strong> dioda).(5.3)Bagaimana penyearah ini bekerja dap<strong>at</strong> kita terangkan sebagaiberikut. Kita perh<strong>at</strong>ikan tegangan di simpul-simpul A, B, C dan D.Kita ambil simpul B sebagai simpul referensi.Jika simpul A bertegangan positif, D 1 konduksi sedangkan D 3 takkonduksi;v D1 = 0 dan v C = v A yang berarti D 2 tak-konduksi karenamendap<strong>at</strong> tegangan neg<strong>at</strong>if sedangkan D 4 konduksi karena mendap<strong>at</strong>V m00vπi2πI asωt94 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
tegangan positif. Arus i mengalir dari simpul A ke C melalui bebanR ke simpul D dan kembali kesumber melalui simpul B; terbentukloop tertutup ACDBA.Sementara itu di loop yang mengandung dioda yang tidak konduksi,yaitu loop ADCBA, dioda D 2 dan D 3 tidak konduksi. Jika dioda-3dan dioda–2 identik maka masing-masing memperoleh teganganneg<strong>at</strong>if sebesar −V m sinωt.Dalam setengah perioda berikutnya, terjadi situasi yang berbalikan.D 1 dan D 4 tidak konduksi sedangkan D 2 dan D 3 konduksi. Jadidalam seluruh perioda arus i bernilai positif walaupun dioda-diodahanya konduksi dalam setengah perioda. Dengan demikianterjadilah penyearahan dalam seluruh perioda, <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>a lainkita memperoleh penyearah gelombang penuh. Jika semua diodaidentik maka tegangan balik maksimum sama dengan V mCOTOH 5.7: Jika pada Gb.5.7. v = 220sinωt sedangkan R = 5kΩ,berapakah komponen arus searah yang melalui R ?Penyelesaian :v 220sinωtSetiap setengah perioda, iR= = = 110sinωtmAR 5000Nilai r<strong>at</strong>a - r<strong>at</strong>anya adalah : Ias= 2Im/ π = 70 mA5.4.3. Pemotong Gelombang<strong>Rangkaian</strong> pemotong gelombang digunakan untuk menghilangkanbagian gelombang sinyal yang tidak diinginkan. Pada penyearahsetengah gelombang kita lih<strong>at</strong> bahwa dioda meniadakan arusneg<strong>at</strong>if; dengan k<strong>at</strong>a lain ia memotong bagian neg<strong>at</strong>if darigelombang masukan. Jika sebuah sumber tegangan konstan Vdihubungkan seri dengan dioda dan dengan polaritas yangberlawanan, seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.8., maka arus hanya akanmengalir jika tegangan masukan v 1 lebih besar dari tegangankonstan ini. Dengan cara ini, tegangan pada resistor R hanya akanada jika tegangan v 1 lebih besar dari V.95
+ V−vv 1+v 1_i+v D+v RV0tv R = v 1 −VGb.5.8. Pemotong gelombangKita aplikasikan HTK pada rangkaian ini:Jika dioda konduksi, v D = 0, sehingga v R = v 1 −V.Jika dioda tak-konduksi , i = 0, sehingga v R = 0.Jadi rangkaian ini meniadakan bagian tegangan masukan yang lebihkecil dari V, <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>a lain ia memotong gelombangmasukan v 1 . Tegangan v R akan muncul jika v 1 > V sedangkan bagianlain dari v 1 akan dihilangkan seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.8.COTOH-5.8: Pada rangkaian disamping ini, v 1 = 8 sinωt;gambarkanlah v 1 dan v 2 dangambarkan pula karakterstiktransfer, yaitu v 2 sebagai fungsidari v 1.Penyelesaian :Aplikasi HTK pada rangkaianini memberikan:Jika dioda konduksivD= 0 → V A = v2= −2Vv1+ 2iD= −i= − > 0 → v1< −2RJadi dioda konduksi jika v 1 < −2 V. Pada waktu itu tegangan v 2= −2 V.Karena dioda konduksi jika v 1 < −2 V, maka jika v 1 > −2 Vdioda tidak akan konduksi dan pada waktu itu i = 0, dan v 2 = v 1 .+v 196 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)−iRi D−+AV2 V−v D++v 2−
Bentuk gelombang tegangan dan karakteristik transfer adalahsebagai berikut:10[V]5v 2 =v 1v 2800 vωt2 v 2-5v 1-10bentuk gelombang tegangan−2v 1−8karakteristik transfer5.4.4. PensaklaranDalam keny<strong>at</strong>aan, dioda semikonduktor memerlukan su<strong>at</strong>u pr<strong>at</strong>eganganagar terjadi konduksi arus. Besarnya pra-tegangan iniadalah sekitar 0,3 V untuk dioda germanium dan 0,7 V untuk diodasilikon. Oleh karena itu model rangkaian dioda akan memberikanhasil yang lebih memuaskan jika diny<strong>at</strong>akan sebagai kombinasi seridari sebuah dioda ideal dan sumber tegangan berpolaritasberlawanan dengan polaritas dioda ideal tersebut. Berikut ini adalahsebuah contoh rangkaian dengan dioda silikon.COTOH 5.9: <strong>Rangkaian</strong> disamping ini merupakanrangkaian pensaklaranyang dibangun dari duadioda silikon. Tentukan i Adan i B jika v A = 1 V.4,7 Vi A+v AD 1 D 21kΩPenyelesaian :Model rangkaian dengan dioda silikon ini adalah sebagaiberikut.i B97
+ 4,7 V1kΩi A+ − +v A0,7 VD 1PD 2+−i B0,7 VUntuk simpul P terdap<strong>at</strong> kemungkinan-kemungkinan berikut:Jika D 1 dan D 2 konduksi v D1 = v D2 = 0vP= vA+ 0,7 = 0,7 → vA= 0⇒ tidak sesuai dengan yang diketahui.Situasi ini tidak terjadi.Jika D 1 konduksi dan D 2 tak-konduksi,iB⇒ v= 0 → v= v> 0,7 →D 2+ 0,7 = 1,7 Vharus konduksi98 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)PPASituasi ini tidak terjadi.Jika D 1 tak-konduksi dan D 2 konduksi,iA= 0 → vP= 0,7 < ( v A + 0,7) → D1tak konduksi⇒ i = (4,7 − v ) /1 = (4,7 − 0,7)/1 = 4 mABSituasi inilah yang terjadi.PPada situasi terakhir inilah arus mengalir melalui D 2 sebesar i B= 4 mA, sedangkan i A = 0.Pemahaman:Dari tiga kemungkinan operasi yang disebutkan di <strong>at</strong>as, hanyakemungkinan ke-3 yang bisa terjadi, yaitu D 1 tak-konduksidan D 2 konduksi. Dengan k<strong>at</strong>a lain arus akan mengalir melaluiD 2 jika D 1 tak-konduksi; sedangkan D 1 tak-konduksi hanyaapabila v P > v A . Padahal v P tidak akan lebih besar dari 0,7 Vkarena pada sa<strong>at</strong> itu v D2 = 0. Jadi ada situasi b<strong>at</strong>as dimanav P = 0,7= vA− 0,7 V <strong>at</strong>au v A = 0 VJika simpul A sedikit saja bertegangan, arus pada dioda D 2akan berubah dari 0 menjadi 4 mA.
5.5. Pengu<strong>at</strong> Operasional (OP AMP)OP AMP bukanlah elemen penc<strong>at</strong>u daya, melainkan bekerja denganbantuan c<strong>at</strong>u daya dari luar sehingga ia mampu memperbesar sinyalmasukan. Oleh karena itu ia kita pelajari dalam bab yang membahasmodel piranti ini, namun masih terb<strong>at</strong>as pada situasi yang belummemerlukan aplikasi metoda analisis. Metoda analisis sendiri baruakan kita pelajari beberapa bab ke belakang.OP AMP adalah su<strong>at</strong>u piranti berbentuk rangkaian terintegrasi yangcukup rumit, terdiri dari transistor, resistor, dioda, kapasitor, yangsemuanya terangkai dalam s<strong>at</strong>u chip. Walaupun rangkaiannya rumit,OP AMP dap<strong>at</strong> dimodelkan dengan su<strong>at</strong>u karakteristik i-v yang agaksederhana. Kita tidak akan membahas apa yang sebenarnya terjadidalam piranti ini, tetapi akan memandang OP AMP sebagai elemenrangkaian dengan hubungan-hubungan arus dan tegangan tertentu.5.5.1. otasiOP AMP merupakan piranti lima terminal dengan simbol sepertipada Gb.5.9.a. Gambar fisik piranti ini diberikan secara sederhanapada Gb.5.9.b. yang menunjukkan posisi-posisi terminalnya.+V CC v omasukannon-inversic<strong>at</strong>u daya positif8765masukaninversi+−keluaranTop12− +34c<strong>at</strong>u daya neg<strong>at</strong>ifa). Simbol rangkaianv v P − V CCb). Diagram DIP 8-pin.Gb.5.9. Simbol dan diagram OP AMP.+V CC : c<strong>at</strong>u tegangan positif; −V CC : c<strong>at</strong>u tegangan neg<strong>at</strong>ifDua diantara terminal tersebut bertanda +V CC dan −V CC . Du<strong>at</strong>erminal ini adalah terminal c<strong>at</strong>u, yang menghubungkan OP AMPdengan sumber tegangan. Sumber tegangan inilah yangakanmenc<strong>at</strong>u kebutuhan daya dalam rangkaian. Tegangan c<strong>at</strong>u99
menentukan b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>as dan b<strong>at</strong>as bawah tegangan keluaran.Walaupun sesungguhnya pengu<strong>at</strong> ini beroperasi karena ad<strong>at</strong>egangan c<strong>at</strong>u, namun terminal tegangan c<strong>at</strong>u ini sering tidakdigambarkan sehingga kita mempunyai diagram yangdisederhanakan, seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.10. Perh<strong>at</strong>ikan notasiserta referensi arus dan tegangannya.v P +i P+i ov +−+ v oi −Gb.5.10. <strong>Rangkaian</strong> OP AMP disederhanakan.Notasi-notasi yang kita pergunakan adalah :v P = tegangan masukan non-inversi; i P = arus masukan noninversi;v = tegangan masukan inversi; i = arus masukan inversi;v o = tegangan keluaran; i o = arus keluaran;Tegangan dihitung terhadap titik referensi umum (bertanda “−”).Perlu kita perh<strong>at</strong>ikan bahwa dalam diagram rangkaian yangdisederhanakan seperti pada pada Gb.5.10, banyak bagian rangkaianyang tidak digambarkan. Oleh karena itu kita tidak bolehsembarangan mengaplikasikan HAK untuk rangkaian tersebut;sebagai contoh kita harus menyadari bahwa i o ≠ i P + i 5.5.2. Karakteristik Alih (Karakteristik Transfer)Karakteristik alih OP AMP memberikan hubungan antara v P , v ,dan v o , yang diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.5.11. Karakteristik ini terbagidalam tiga daerah operasi, yaitu daerah jenuh neg<strong>at</strong>if, daerah linier,dan daerah jenuh positif. Dalam pembahasan rangkaian dengan OPAMP di sini, kita hanya akan meninjau daerah operasi yang liniersaja. Dalam daerah ini terdap<strong>at</strong> hubungan linier antara v o dan (v P −v ), yang dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengan( − )vo = µ v P v (5.4)Konstanta µ disebut gain loop terbuka (open loop gain), yang dalamGb.5.11 adalah kemiringan kurva di daerah linier.100 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
v o+V CC−V CCv P − v Parameter RentangnilaiNilaiidealµ 10 5 ÷10 8 ∞R i 10 6 ÷10 13 Ω ∞ ΩR o 10÷100 Ω 0 Ω± V CC ±12 ÷ ±24 VGb.5.11. Karakteristik alih OP AMP dan rentang nilai µ.Nilai µ sang<strong>at</strong> besar, biasanya lebih dari 10 5 . Selama nilai netto (v P− v ) cukup kecil, v o akan proporsional terhadap masukan. Akantetapi jika µ (v P − v ) > V CC OP AMP akan jenuh; tegangankeluaran tidak akan melebihi tegangan c<strong>at</strong>u ± V CC .5.5.3. Model Ideal OP AMPOP AMP yang beroperasi di daerah linier dap<strong>at</strong> dimodelkan sebagairangkaian sumber tak-bebas seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.12. Model inimelib<strong>at</strong>kan resistansi masukan R i , resistansi keluaran R o , dan VCVSdengan gain µ . Rentang nilai parameter-parameter ini diberikandalam Tabel-5.1.Dengan bekerja di daerah linier, tegangan keluaran v o tidak akanmelebihi ± V CC ..Vvo ≤ V CC <strong>at</strong>au µ ( v − ) ≤ ⇒ ( − ) ≤CCP vVCCvPvµv P +v +i Pi +R o++R i −µ (v P − v )−Gb.5.12. Model OP AMPi ov oKarena µ sang<strong>at</strong> besar, yang untuk OP AMP ideal dap<strong>at</strong> dianggap µ= ∞ , sedangkan V CC tidak lebih dari 24 Volt, maka dap<strong>at</strong> dik<strong>at</strong>akanbahwa (V CC /µ ) = 0 sehingga kita dap<strong>at</strong> menganggap bahwa v P = v .Sementara itu untuk OP AMP ideal R i = ∞ sehingga arus masuk di101
kedua terminal masukan dap<strong>at</strong> dianggap nol. Jadi untuk OP AMPideal kita mendap<strong>at</strong>kan :vP= viP= i= 0(5.5)Karakteristik inilah yang akan kita pergunakan dalam analisisrangkaian dengan OP AMP.5.5.4. <strong>Rangkaian</strong> Penyangga (buffer, voltage follower)Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> salah s<strong>at</strong>u rangkaian dasar OP AMPyaitu rangkaian penyangga <strong>at</strong>au buffer. Yang dimaksud denganrangkaian dasar adalah rangkaian yang digunakan untukmembangun su<strong>at</strong>u rangkaian yang lebih lengkap, yang dap<strong>at</strong>berfungsi sesuai dengan hubungan masukan-keluaran yangdiinginkan. Perlu kita ing<strong>at</strong> bahwa jika kita membangun su<strong>at</strong>urangkaian yang memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kitainginkan, hasil <strong>at</strong>au jawabannya tidaklah berupa jawaban tunggal.Ada beberapa kemungkinan struktur rangkaian yang dap<strong>at</strong>memenuhi hubungan masukan-keluaran yang kita inginkan.<strong>Rangkaian</strong> penyangga(Gb.5.13) digunakansebagai antar-mukauntuk “meng-isolasi”beban terhadap sumber.<strong>Rangkaian</strong> umpan balikmerupakan hubunganlangsung dari terminalkeluaran ke terminalmasukan inversi.v P+v −v s+−RGb.5.13. <strong>Rangkaian</strong> penyangga.Dengan hubungan ini maka v = v o . Sinyal masukan dihubungkanke terminal non-inversi yang akan memaksa v P = v s . Karena modelideal OP AMP mengharuskan v P = v , maka v o = v s . Jadi dalamrangkaian ini gain loop tertutup K = 1. Besar tegangan keluaranmengikuti tegangan masukan. Oleh karena itu rangkaian ini jugadisebut voltage follower.i Pi v o102 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
5.5.5. Pengu<strong>at</strong> on-InversiPada rangkaian penyangga,+vP = vs= v= v o−. Jika kita bu<strong>at</strong>vv lebih kecil dari v o dengans+ v −R1menggunakan pembagi tegangan,maka kita peroleh pengu<strong>at</strong> noninversi.Perh<strong>at</strong>ikan diagramrangkaian pada Gb.5.14.i umpan balikR 2Pada terminal masukan noninversiGb.5.14. Pengu<strong>at</strong> non-inversi.diberikan teganganmasukan v s , sedang terminal masukan inversi dihubungkan kerangkaian keluaran. Hubungan keluaran dengan masukan ini kitasebut umpan balik (f<strong>ee</strong>d back) dan rangkaian seperti ini kita sebutrangkaian dengan umpan balik. Dengan adanya umpan balik terjadiinteraksi antara masukan dan keluaran.Model ideal OP AMP mengharuskan i = i P = 0; oleh karena itutegangan v dap<strong>at</strong> dicari dengan kaidah pembagi tegangan, yaituRv 2 = voR1+ R2Pada terminal masukan non-inversi v P = v s . Karena model ideal OPAMP juga mengharuskan v P = v makaRv P = v= 2 vo= vsR1+ R2sehinggaR Rv 1 + 2o = v sR2Inilah hubungan antara keluaran dan masukan yang dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>uliskanR1+ R2v o = Kv s dengan K =R2Konstanta K ini kita sebut gain loop tertutup karena gain inidiperoleh pada rangkaian dengan umpan balik. Dengan demikiankita mempunyai dua macam gain, yaitu gain loop terbuka (µ) dangain loop tertutup (K). Gain loop terbuka sang<strong>at</strong> besar nilainyanamun ketidak pastiannya juga besar. Gain loop tertutup lebih kecilnamun nilainya dap<strong>at</strong> kita kendalikan dengan lebih cerm<strong>at</strong> yaitui Pv Pv o103
dengan cara memilih resistor berkualitas baik, dengan ketelitiancukup tinggi. Jadi dengan membu<strong>at</strong> umpan balik, kita memperolehgain yang lebih kecil tetapi dengan ketelitian lebih baik.Dalam menghitung K di <strong>at</strong>as, kita menggunakan model ideal denganµ yang tak hingga besarnya. Dalam keny<strong>at</strong>aan, µ mempunyai nilaibesar tetapi tetap tertentu. Berapa besar pengaruh nilai µ yangtertentu ini terhadap nilai K dap<strong>at</strong> kita analisis dengan menggunakanrangkaian model sumber tak-bebas seperti pada Gb.5.12. yangdilengkapi dengan umpan balik seperti pada Gb.5.14. <strong>Analisis</strong>ny<strong>at</strong>idak kita lakukan di sini namun hasil yang akan diperoleh adalahberbentukK*=1 +KK( / µ )dengan K * adalah gain loop tertutup jika µ mempunyai nilai tertentu.Model ideal akan memberikan hasil yang baik selama K
Pemahaman :Arus dari sumber 5 V adalah nol. Sumber ini tidak terbebani.Daya yang diserap oleh beban berasal dari c<strong>at</strong>u daya pada OPAMP, yang tidak tergambarkan dalam rangkaian ini. OP AMPmempunyai b<strong>at</strong>as maksimum arus yang dap<strong>at</strong> ia berikan. Jikakita misalkan arus maksimum yang dap<strong>at</strong> diberikan oleh OPAMP dalam rangkaian di <strong>at</strong>as adalah 10 mA maka arus ini harusdibagi antara beban dan rangkaian umpan balik. Karena i = 0,maka arus yang melalui rangkaian umpan balik, i f , adalah :o 15i = vf = = 5 mA1+2 3Arus yang melalui beban maksimum menjadi i maks = 10 − 5 = 5mA. Agar tidak terjadi pembebanan berlebihan, resistansi bebanpaling sedikit adalah :voR B min = = 3 kΩ5Daya maksimum yang bisa diberikan ke beban menjadi:p B maks = voimaks= 15×5 = 45 mWCOTOH 5.11: Carilah hubungan keluaran-masukan daripengu<strong>at</strong> non inversi di bawah ini, dan cari pula resistansimasukannya.v si inA v PR 4R 5+−R 3v +−R 2+v oR 1Penyelesaian:Karena i P = 0, makavPR5= v A = vsR4+ R5Karena i = 0 makav R1 =R1+ R2vo105
vP= vR5R1voR5R1+ R2→ vs= vo→ = ×R4+ R5R1+ R2vsR4+ R5R1<strong>Rangkaian</strong>-rangakain dasar OP AMP yang lain seperti pengu<strong>at</strong>inversi, penjumlah (adder), pengurang (pengu<strong>at</strong> diferensial),integr<strong>at</strong>or, diferensi<strong>at</strong>or, akan kita pelajari setelah kita mempelajarimetoda-metoda analisis.Soal-Soal1. Sebuah penc<strong>at</strong>u daya dimodelkan sebagai sumber tegangan bebas60 V dan resistansi seri R i sebesar 0,5 Ω. Pada pembebanan 20A, berapakah daya yang diberikan sumber dan yang diserap R i ?Berapakah daya yang diterima oleh beban dan pada teganganberapakah daya diterima.2. Sebuah piranti penc<strong>at</strong>u daya dimodelkan sebagai sumber aruspraktis yang terdiri dari sumber arus bebas 2 A dengan resistorparalel R p = 100 Ω. Pada waktu dibebani, arus yang melalui R padalah 0,2 A. Pada tegangan berapakah sumber arus bekerja ?Berapakah daya yang diberikan oleh sumber arus ? Berapakahdaya yang diserap oleh R p ? Berapakah daya yang diterima beban? Berapa arus beban ?3. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCCS dengan aruskeluaran I o = 10I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti inidibebani resistor 300 Ω. Jika I f = 100 mA, berapakah daya yangdiserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerapdaya ?4. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCVS dengan tegangankeluaran V o = 100V f dimana V f adalah tegangan pengendali.Piranti ini dibebani resistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah dayayang diserap beban dan berapakah arus beban ?5. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai VCCS dengan aruskeluaran I o = 2V f dimana V f adalah tegangan pengendali. Pirantiini dibebani resistor 50 Ω. Jika V f = 2 V, berapakah daya yangdiserap beban dan pada tegangan berapakah beban menyerapdaya ?6. Sebuah piranti aktif dimodelkan sebagai CCVS dengan tegangankeluaran V o = 100I f dimana I f adalah arus pengendali. Piranti ini106 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
dibebani resistor 300 Ω. Jika I f = 2 A, berapakah daya yangdiserap beban dan berapakah arus beban ?7. Pada model sumber tak bebas di bawah ini, tunjukkanlah bahwakarakteristik i-v dari piranti yang dimodelkannya adalahkarakteristik transform<strong>at</strong>or ideal.i 1i 2+v 1−+v 2 i 1−+v 2−8. Carilah tegangan v o rangkaian-rangkaian berikut.2kΩ +i s 1kΩa). i s = 0,1cos10t Ab).v o−4kΩ2kΩ −4V ++ v s + v− +o2V−−v s = 10s10t V9. Sebuah dioda mempunyai resistansi balik 200 kΩ dankarakteristik i-v linier I =0,005V, digunakan sebagai penyearahsetengah gelombang untuk menc<strong>at</strong>u resistor 10 kΩ. Tentukantegangan pada resistor jika tegangan masukan adalah v s =10cos300t V.10. Sebuah penyearah setengah gelombang digunakan untukmengisi b<strong>at</strong>ere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untukmengisikan mu<strong>at</strong>an 40 Ah jika arus efektif (rms) pengisianadalah 10 A.11. Sebuah penyearah gelombang penuh digunakan untuk mengisib<strong>at</strong>ere. Berapa jam-kah diperlukan waktu untuk mengisikanmu<strong>at</strong>an 50 Ah jika arus efektif (rms) pengisian adalah 10A.107
12. Carilah hubungan antara tegangan v o dan v s .a).v s+−2kΩ+−1kΩ+v o−++2kΩ−v s−4kΩ +1kΩv o2kΩ −b).v s+−2kΩ1kΩ2kΩ+−4kΩ1kΩ2kΩ+v o−c).d).++ 2kΩ 2kΩ−2kΩv s1+−v1kΩ o+v− s2 −2kΩ108 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 6Hukum-Hukum DasarPekerjaan analisis pada su<strong>at</strong>u rangkaian linier yang parameternyadiketahui, mencakup pemilihan teknik analisis dan penentuanbesaran keluaran (output) jika besaran masukannya (input)diketahui, <strong>at</strong>aupun penentuan hubungan antara keluaran danmasukan. Agar kita mampu melakukan analisis kita perlumemahami beberapa hal yaitu hukum-hukum yang berlaku dalamsu<strong>at</strong>u rangkaian, kaidah-kaidah rangkaian, teorema-teoremarangkaian serta metoda-metoda analisis. Dalam bab ini kita akanmembahas hal yang pertama, yang mencakup hukum Ohm danhukum Kirchhoff.Dengan mempelajari hukum-hukum dasar ini, kita akan• mampu menghitung resistansi konduktor jika parameternyadiketahui.• mampu mengaplikasikan Hukum Arus Kirchhoff (HAK)untuk menuliskan persamaan arus <strong>at</strong>au tegangan di su<strong>at</strong>usimpul.• mampu mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff(HTK) untuk menuliskan persamaan tegangan <strong>at</strong>au arus disu<strong>at</strong>u mesh <strong>at</strong>aupun loop.• mampu mengaplikasikan HAK untuk simpul super maupunHTK untuk mesh super.6.1. Hukum OhmSalah s<strong>at</strong>u hasil percobaan labor<strong>at</strong>orium yang dilakukan oleh Ge<strong>org</strong>eSimon Ohm (1787-1854) adalah hubungan arus dan tegangan yangkemudian dikenal dengan hukum Ohm. Namun hukum Ohm sendirimerupakan hasil analisis m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dari rangkaian galvanik yangdidasarkan pada analogi antara aliran listrik dan aliran panas.Formulasi Fourier untuk aliran panas adalahdQ dT = − kA(6.1)dt dldengan Q adalah quantitas panas dan T adalah temper<strong>at</strong>ur,sedangkan k adalah konduktivitas panas, A luas penampang, dan Ttemper<strong>at</strong>ur.109
Dengan mengikuti formulasi Fourier untuk persamaan konduksipanas dan menganalogikan intensitas medan listrik dengan gradientemper<strong>at</strong>ur, Ohm menunjukkan bahwa arus listrik yang mengalirpada konduktor dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan denganA dvI =ρ dl(6.2)Jika konduktor mempunyai luas penampang A yang mer<strong>at</strong>a, makapersamaan arus itu menjadiA V Vρ lI = = dengan R =ρ l RA(6.3)V adalah beda tegangan pada konduktor sepanjang l dengan luaspenampang A, ρ adalah karakteristik m<strong>at</strong>erial yang disebutresistivitas, sedangkan R adalah resistansi konduktor. Persamaan(6.3) dap<strong>at</strong> ditulis juga sebagaiV = IR(6.4)dan untuk tegangan yang berubah terhadap waktu menjadiv = iR(6.5)Hukum Ohm ini sang<strong>at</strong> sederhana namun kita harus tetap ing<strong>at</strong>bahwa ia hanya berlaku untuk m<strong>at</strong>erial homogen <strong>at</strong>aupun elemenyang linier.COTOH-6.2: Seutas kaw<strong>at</strong> terbu<strong>at</strong> dari tembaga denganresistivitas 0,018 Ω.mm 2 /m. Jika kaw<strong>at</strong> ini mempunyaipenampang 10 mm 2 dan panjang 300 m, hitunglahresistansinya. Jika kaw<strong>at</strong> ini dipakai untuk menyalurkan daya(searah), hitunglah tegangan j<strong>at</strong>uh pada saluran ini (yaitu bed<strong>at</strong>egangan antara ujung kirim dan ujung terima saluran) jika arusyang mengalir adalah 20 A. Jika tegangan di ujung kirim adalah220 V, berapakah tegangan di ujung terima? Berapakah dayayang “hilang” pada saluran ?Penyelesaian :Resistansi kaw<strong>at</strong> adalah :ρl0,018×300R = == 0,054 ΩA 10Jika kaw<strong>at</strong> ini dipakai untuk saluran daya, diperlukan saluranbalik sehingga resistansi total adalah :110 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
R saluran= 2 × 0,054 = 0,108 ΩTegangan j<strong>at</strong>uh pada saluran adalah :∆Vsaluran = iRs= 20 × 0,108 = 2,16 VJika tegangan ujung kirim adalah 220 V, maka tegangan diujung terima adalahv terimaDaya hilang pada saluran adalah :Pemahaman := 220 − 2,16 = 217,84 Vpsaluran= i × ∆Vsaluran= 20×2,16 = 43,2 W2 2= i R = (20) × 0,108 = 43,2 WSesungguhnya resistansi kaw<strong>at</strong> terdistribusi sepanjang kaw<strong>at</strong>.Dalam analisis rangkaian, resistansi yang terdistribusi ini kitany<strong>at</strong>akan sebagai su<strong>at</strong>u parametertergumpal (lumped parameter).Jadi resistansi kaw<strong>at</strong> itudiny<strong>at</strong>akan sebagai s<strong>at</strong>u elemenrangkaian, yaitu R, sehinggadiagram rangkaian menjadiseperti di samping ini.6.2. Hukum KirchhoffKita telah mempelajari piranti dan modelnya serta bagaimanahubungan antara arus dan tegangan pada piranti tersebut denganmemandangnya sebagai su<strong>at</strong>u komponen yang berdiri sendiri.Berikut ini kita akan mempelajari piranti-piranti yang terhubungmembentuk su<strong>at</strong>u rangkaian. Hubungan arus dan tegangan padarangkaian menuruti su<strong>at</strong>u hukum yang meny<strong>at</strong>akan sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong>rangkaian, hasil pemikiran ilmuwan Jerman Gustav Kirchhoff (1824- 1887), yang disebut hukum Kirchhoff.Sebelum membahas hukum Kirchhoff ada beberapa istilah yangterkait dengan diagram rangkaian, yang perlu kita fahami, yaitu :Terminal : ujung akhir piranti <strong>at</strong>au sambungan rangkaian.<strong>Rangkaian</strong> : beberapa piranti yang dihubungkan pad<strong>at</strong>erminalnya.Simpul (ode): titik sambung antara dua <strong>at</strong>au lebih piranti.+−RsumberRbeban111
C<strong>at</strong><strong>at</strong>an : Walaupun sebuah simpul diberipengertian sebagai sebuah titik tetapi kaw<strong>at</strong>-kaw<strong>at</strong>yang terhubung langsung ke titik simpul itumerupakan bagian dari simpul; jadi dalam hal inikita mengabaikan resistansi kaw<strong>at</strong>.Simpai (Loop) : rangkaian tertutup yang terbentuk apabila kitaberjalan mulai dari salah s<strong>at</strong>u simpul mengikutisederetan piranti dengan melew<strong>at</strong>i tiap simpultidak lebih dari s<strong>at</strong>u kali dan berakhir pada simpultemp<strong>at</strong> kita mulai perjalanan.Selain istilah-istilah tersebut di <strong>at</strong>as, dalam menggambarkanhubungan <strong>at</strong>au sambungan-sambungan kita akan menggunakan caracaraseperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.3.a) b) c)Persilangantak terhubungPersilanganterhubungGb.6.3. Penggambaran sambungan rangkaian.6.2.1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK) - Kirchhoff's Current Law(KCL)Hukum Kirchhoff yang pertama ini meny<strong>at</strong>akan bahwa :Terminal dansambungan terminalSetiap sa<strong>at</strong>, jumlah aljabar dari arus di s<strong>at</strong>u simpul adalah nol.Di sini kita harus memperh<strong>at</strong>ikan referensi arah arus. Bila arus yangmenuju simpul diberi tanda positif, maka arus yang meninggalkansimpul diberi tanda neg<strong>at</strong>if (<strong>at</strong>au sebaliknya bila arus yangmeninggalkan bertanda positif, arus yang menuju simpul bertandaneg<strong>at</strong>if). Perlu diing<strong>at</strong> bahwa arah arus di sini adalah arah referensidan bukan arah arus sebenarnya.Hukum Arus Kirchhoff merupakan perny<strong>at</strong>aan prinsip konservasimu<strong>at</strong>an. Jumlah elektron per detik yang d<strong>at</strong>ang dan yang pergiharuslah sama, di titik manapun dalam rangkaian. Oleh karena itujumlah arus di su<strong>at</strong>u simpul harus nol. Jika tidak, akan terjadipenumpukan mu<strong>at</strong>an di simpul tersebut yang menurut hukum112 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Coulomb akan terjadi “ledakan mu<strong>at</strong>an”; tetapi hal demikian tidakpernah terjadi.6.2.2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK) - Kirchhoff's VoltageLaw (KVL)Hukum Kirchhoff yang kedua ini meny<strong>at</strong>akan bahwa :Setiap sa<strong>at</strong>, jumlah aljabar tegangan dalam s<strong>at</strong>u loop adalahnol.Di sinipun kita harus memperh<strong>at</strong>ikan tanda referensi tegangan dalammenuliskan persamaan tegangan loop. Tegangan diberi tanda positifjika kita bergerak dari “+” ke “−” dan diberi tanda neg<strong>at</strong>if bila kitabergerak dari “−” ke “+”.i 2 + v 2 − i+ v 4 −4AB24+v 1−1i 1HAK untuk simpul :+ i 3i 5loop 1 v 3 3 loop 2−Cloop 3HTK untuk loop :A : − i1− i2= 01: − v1+ v2+ v3= 0B : + i2− i3− i4= 0 2 : − v3+ v4+ v5= 0C : + i1+ i3+ i4= 0 3 : − v1+ v2+ v4+ v5= 0Gb.6.4. HAK dan HTKHukum Tegangan Kirchhoff merupakan perny<strong>at</strong>aan kembali prinsipkonservasi energi. Dalam rangkaian pada Gb.6.4., sebagian pirantimungkin berupa sumber dan sebagian yang lain berupa beban.Menurut prinsip konservasi energi, energi yang diberikan olehsumber dalam su<strong>at</strong>u selang waktu tertentu harus sama dengan energiyang diserap oleh beban selama selang waktu yang sama. Menging<strong>at</strong>konvensi pasif, hal itu berarti bahwa jumlah aljabar energi di semuapiranti adalah nol, dan berarti pula bahwa jumlah aljabar daya (hasilkali tegangan dan arus tiap elemen) sama dengan nol.5+v 5−113
v 1 i1+ v2i2+ v3i3+ v4i4+ v5i4= 0Karena i 1 = − i 2 dan i 2 = i 3 + i 4 maka persamaan di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>ulisi3( − i − i ) + v ( i + i )v13<strong>at</strong>au( − v + v + v ) + i ( − v + v + v + v ) = 0142Karena nilai arus tidak nol maka haruslah114 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)23344 + v3i3+ v4i4+ v5i4= 0−v1 + v2+ v3= 0 dan − v1+ v2+ v4+ v5= 0Persamaan pertama adalah persamaan untuk loop-1 dan persamaankedua adalah untuk loop-3. Dari persamaan loop-1 kita peroleh −v 1+ v 2 = −v 3 dan jika ini kita substitusikan ke persamaan loop-3, akankita peroleh persamaan loop-2 yaitu:12−v3 + v4+ v5= 0Pengembangan HTK dan HAK. Loop-1 dan loop-2 pada Gb.6.4.merupakan loop-loop terkecil yang tidak melingkupi loop lain didalamnya. Loop semacam ini disebut mesh. Hal ini berbeda denganloop-3 yang merupakan gabungan dari mesh-1 dan mesh-2 (loop-1dan loop-2). Loop yang merupakan gabungan dari beberapa meshdisebut juga mesh super. Persamaan dari su<strong>at</strong>u mesh super adalahgabungan dari persamaan mesh-mesh penyusunnya sebagaiman<strong>at</strong>elah ditunjukkan di <strong>at</strong>as.Kita perh<strong>at</strong>ikan sekarang simpul A dan B pada Gb.6.4. HAK untukkedua simpul ini adalah:−i1 − i2= 0 dan + i2− i3− i4= 0Jika kedua persamaan ini kita gabungkan akan kita peroleh :−i1 − i3− i4= 0Ini adalah persamaan dari sebuah “simpul” yang merupakangabungan dari dua simpul, yaitu simpul A dan B. Simpul gabungandari beberapa simpul semacam ini disebut simpul super. Contoh lainuntuk simpul super adalah gabungan simpul B dan C. Persamaansimpul super BC ini adalah :+ i 2 − i4+ i5+ i1= 045
Penggabungan simpul-simpul seperti ini tidak terb<strong>at</strong>as hanya duasimpul. Jika simpul A, B, dan C kita gabungkan akan menjadisimpul super ABC yang persamaannya adalah :Dengan demikian maka :−i 4 + i5= 0 .HAK berlaku untuk simpul tunggal maupun simpul superdanHTK berlaku untuk mesh tunggal maupun mesh superCOTOH-6.3: Aplikasikan HTK pada emp<strong>at</strong> macam rangkaian dibawah ini. Ny<strong>at</strong>akan pula persamaan yang diperoleh denganarus elemen sebagai peubah jika arus awal induktor dantegangan awal kapasitor adalah nol.a).+ v 1 −b).+ v 1 −+−v sR 1R2+v 2−+−v L+v sR 1L−c).+ v 1 −d).+ v 1 −+ v L −+−v sR 1C+v C−+−v sR 1LC+v C−Penyelesaian :Aplikasi HTK untuk masing-masing rangkaian akan memberikana). − vs + v1+ v2= 0 → vs= i1R1+ i2R2b). − vs + v1+ vL= 0 →div v v i R L Ls = 1 + L = 1 1 +dtc). − vs+ v1+ vC= 0 →1vs= v1+ vC= i1R1+∫iCdtCd). − vs+ v1+ vL+ vC= 0di→ v = v + v + v = i R + L L 1s 1 L C 1 1 +∫iCdtdt C115
COTOH-6.4: Aplikasikan HAK untuk simpul A dari berbagaimacam bagian rangkaian di bawah ini. Ny<strong>at</strong>akan pulapersamaan yang diperoleh dengan tegangan elemen sebagaipeubah jika tegangan awal kapasitor dan arus awal induktoradalah nol.a).i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 − + v 2 −+ R 3v 3i 3−i 1 R 1 R 2 i 2A+ v 1 − + v 2 −+v Li Lb).− Li 1R 1ACi Ci 1R 1ACi Cc).+ v 1 − + v C −+v 3−R 3i 3d).+ v 1 − + v C −+v Li L−LPenyelesaian :Aplikasi HAK untuk simpul A pada bagian-bagian rangkaiantersebut di <strong>at</strong>as memberikan:v1v2v3a). i 1 − i2− i3= 0 → − − = 0R R R1 2 3v 1b).0 1 vi21 − i2− iL= → − −∫vLdt= 0R1R2Lvc).0 1 dvCv3i1 − iC− i3= → − C − = 0R1dt R3v1d).0 1 dvi1 − i − i = → − C CC L−∫vLdt= 0R1dt LPemahaman :Pada contoh 6.2. dan 6.3. di <strong>at</strong>as terlih<strong>at</strong> bahwa persamaanrangkaian dap<strong>at</strong> berbentuk persamaan aljabar biasa, yaituapabila elemen-elemen rangkaian hanya terdiri dari resistorsaja, <strong>at</strong>au berbentuk persamaan diferensial orde s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>au116 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
persamaan integro-diferensial. Dua bentuk persamaan terakhirini terjadi jika rangkaian mengandung elemen dinamis.COTOH-6.5: Gambar di bawah ini menunjukkan keadaan disekitar simpul A dari su<strong>at</strong>u rangkaian. Tentukan i 2 dantegangan di simpul-simpul yang bukan simpul referensi.Ci L =2cos2t AL=4Hi 1 =3Ai 2ABDR 1 =2Ω R 2 =2Ω+i C v C =5sin2t VC=2F −EPenyelesaian :Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :i1+ iL+ i2− iC= 0 → i2= iC− iL− i1d(5sin 2t)→ i2= 2 − 2 cos 2t− 3 = 18 cos 2t− 3 AdtTegangan simpul-simpul non-referensi adalahvA= vC = 5sin 2tVvB = v A + i1R1= 5 sin 2t+ 6 Vd(2cos2t)vC= vA+ vL = 5sin2t+ 4 = −11sin2tdtv D = vA+ i2R2= 5sin2t+ 36cos2t− 6 VVCOTOH-6.6: Pada rangkaian di bawah ini, diketahui bahwaarus-arus i 1 = 5A, i 2 = 2 A, dan i 3 = 8 A. Tentukanlah arus i 1 , i 2 ,dan tegangan v.117
i 4Ai 5+−Penyelesaian :Jika kita gabungkan simpul A, B, dan C menjadi s<strong>at</strong>u simpulsuper dan kita aplikasikan HAK, kita akan mendap<strong>at</strong>kanpersamaan untuk simpul super ABC :i 4 + i1− i3= 0 ⇒ i4= i3− i1= 8 − 5 = 3 AAplikasi HAK untuk simpul C memberikan:i 2 + i5− i3= 0 ⇒ i5= i3− i2= 8 − 2 = 6 ATegangan v dap<strong>at</strong> kita cari dengan mengaplikasikan HTK untukloop ABCA :−v+ 3i5 − 4i2= 0 → v = 3×6 − 4 × 2 = 10 V6.3. Basis <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong>v4ΩSesungguhnya dalam contoh-contoh 6.1. sampai 6.5. kita telahmelakukan analisis rangkaian. <strong>Analisis</strong> tersebut kita lakukan dengancara menerapkan langsung hukum Kirchhoff. Secara tidak sadar,disamping hukum Kirchhoff, kita telah pula memasukkan b<strong>at</strong>asanb<strong>at</strong>asanelemen yang membentuk rangkaian tersebut yaitu berupakarakteristik i-v dari elemen. Pada resistor R misalnya, harus berlakuv R = i R R ; untuk induktor harus berlaku v L = L di/dt dan untukkapasitor i C =C dv C / dt.Jadi di dalam su<strong>at</strong>u rangkaian, Hukum Kirchhoff harus dipenuhisementara elemen-elemen yang membentuk rangkaian itumempunyai karakteristik i-v masing-masing yang juga harusdipenuhi. Kita k<strong>at</strong>akan bahwa Hukum Kirchhoff merupakanpersyar<strong>at</strong>an rangkaian sedangkan karakteristik i-v elemenmerupakan persyar<strong>at</strong>an elemen. Dalam su<strong>at</strong>u rangkaian, keduapersyar<strong>at</strong>an tersebut secara bersamaan harus dipenuhi dan hal inimenjadi basis untuk melakukan analisis rangkaian.3ΩiB1 i C2i 3118 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Selain daripada itu kita menganggap bahwa rangkaian-rangkaianyang kita hadapi tersusun dari elemen-elemen linier sehinggarangkaian kita merupakan rangkaian linier. Disamping linier, semuaelemen juga mempunyai nilai yang tidak tergantung dari waktusehingga kita mempunyai rangkaian yang tidak merupakan fungsiwaktu <strong>at</strong>au invarian waktu. Jadi dalam analisis rangkaian yang akankita pelajari dalam buku ini, hanyalah sinyal yang merupakan fungsiwaktu sedangkan karakteristik rangkaian tidak merupakan fungsiwaktu.Soal-Soal1. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen (termasuk sumber)pada rangkaian-rangkaian berikut.+5Ω30V − 10Ωa) b)1A5Ω10Ω5Ω 10Ω2cos10t Ac) d).+−5Ω10Ω20cos10t Ve)20cos10t V5Ω0.1F+−20cos10t Vf)5Ω2H119
2. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaianberikut ini.5Ω5Ω10Ω 10Ω1Aa) b)5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ωc) d)5Ω10µF10Ω5cos10t A10Ω5Ω2H10Ω+10cos10t V−10Ωe)3. Tentukan tegangan dan arus di tiap elemen pada bagian rangkaian ini.5Ω5Ω10Ω10Ω1A5Ω 2A2A 5Ω −10V10Ω +10Ω5Ω10Ωa) b)1A5Ω 5Ω5A 5Ω −5Ω10V2A10Ω 10Ω 5Ω10Ω +c) d)10Ω5Ω10Ω 5A10Ω120 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 7Kaidah dan Teorema <strong>Rangkaian</strong>Kaidah rangkaian merupakan konsekuensi dari hukum-hukumrangkaian sedangkan teorema rangkaian merupakan perny<strong>at</strong>aan darisif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> dasar rangkaian linier. Kedua hal tersebut akan kitapelajari dalam bab ini. Kaidah dan teorema rangkaian menjadi dasarpengembangan metoda-metoda analisis yang akan kita pelajari padabab selanjutnya.Kaidah-kaidah rangkaian yang akan kita pelajari meliputi hubunganhubunganseri dan paralel, rangkaian-rangkaian ekivalen, kaidahpembagi tegangan, pembagi arus.Teorema rangkaian yang akan kita pelajari meliputi prinsipproporsionalitas, prinsip superposisi, teorema Thévenin, teoremaNorton, teorema substitusi, teorema Millman, teorema alih dayamaksimum, teorema Tellegen.Dengan mempelajari kaidah-kaidah rangkaian dan teoremarangkaian kita akan• mampu mencari nilai ekivalen dari elemen-elemen yangterhubung seri, terhubung paralel, terhubung bintang(Y) dan terhubung segitiga (∆);• mampu menentukan tegangan tiap elemen pada elemenelemenyang terhubung seri;• mampu menentukan arus cabang pada cabang-cabangrangkaian yang terhubung paralel.• mampu menunjukkan bahwa rangkaian linier mengikutiprinsip proporsionalitas.• mampu mengaplikasikan prinsip superposisi.• memahami teorema Millman, teorema Thévenin dan teoremaNorton, dan mampu mencari rangkaian ekivalenThévenin <strong>at</strong>aupun Norton.• mampu menentukan nilai elemen beban agar terjadi alihdaya maksimum.121
7.1. Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong>7.1.1. Hubungan Seri dan ParalelDua elemen dik<strong>at</strong>akan terhubung paralel jika mereka terhubungpada dua simpul yang sama. Dengan menerapkan HTK pada loopyang dibentuk oleh dua elemen itu akan terlih<strong>at</strong> bahwa teganganpada elemen-elemen itu harus sama.+ v 1 −+v 1-1+i 1 vi 22 2-i 11+v 2-2i 2Hubungan paralelv 1 = v 2Gb.7.1. Hubungan paralel dan seri.Dua elemen dik<strong>at</strong>akan terhubung seri jika mereka hanya mempunyais<strong>at</strong>u simpul bersama dan tidak ada elemen lain yang terhubung padasimpul itu. Penerapan HAK akan memperlih<strong>at</strong>kan bahwa arus yangmengalir di kedua elemen itu sama. Hubungan paralel maupun seritidak terb<strong>at</strong>as hanya dua elemen.7.1.2. <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen (<strong>Rangkaian</strong> Pengganti)<strong>Analisis</strong> terhadap su<strong>at</strong>u rangkaian sering akan menjadi lebih mudahdilaksanakan jika sebagian dari rangkaian dap<strong>at</strong> diganti denganrangkaian lain yang ekivalen dan lebih sederhana. Basis untukterjadinya ekivalensi antara dua macam rangkaian adalah hubungani-v dari keduanya.Dua rangkaian disebut ekivalen jika antara du<strong>at</strong>erminal tertentu mereka mempunyai karakteristik i-vyang identik7.1.3. Resistansi EkivalenResistansi ekivalen dari beberapa resistor yang terhubung seriadalah resistor yang nilai resistansinya sama dengan jumlah nilairesistansi yang disambung seri tersebut.ResistansiSeri :Hubungan serii 1 = i 2R ekiv = R1+ R2+ R3+ ⋅⋅⋅ ⋅ (7.1)122 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Hal ini mudah dibuktikan jika diing<strong>at</strong> bahwa resistor-resistor yangdihubungkan seri dialiri oleh arus yang sama, sedangkan tegangan dimasing- masing resistor sama dengan arus kali resistansinya.Menurut HTK, tegangan total pada terminal dari rangkaian seritersebut sama dengan jumlah tegangan di masing-masing resistor.JadiVtotal= V=R1( R + R + ⋅⋅ ⋅⋅) i = R i.1+ V2R2+ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =R i + R i1ekivalen2+ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅Penggantian (R 1 +R 2 + ….) dengan R ekiv , tidak mengubah hubunganantara arus dan tegangan di terminal ujung.Konduktansi ekivalen dari beberapa konduktansi yang disambungparalel sama dengan jumlah konduktansi masing-masing.KonduktansiParalel : G ekiv = G1+ G2+ G3+ ⋅⋅⋅⋅ (7.2)Hal ini juga mudah dibuktikan, menging<strong>at</strong> bahwa masing-masingelemen yang dihubungkan paralel memperoleh tegangan yang sama.Sementara itu arus total sama dengan jumlah arus di masing-masingelemen yang terhubung paralel tersebut.( G + G + ⋅⋅) v G vitotal= iG1 + iG2+ ⋅⋅ = G1v+ G2v+ ⋅⋅ = 1 2 =7.1.4. Kapasitansi EkivalenPencarian nilai ekivalendari kapasitor maupuninduktor yang terhubungseri <strong>at</strong>aupun paralel dap<strong>at</strong>dilakukan denganmenggunakan cara yangsama seperti mencariresistansi ekivalen.Gb.7.2. memperlih<strong>at</strong>kanbeberapa kapasitor terhubung paralel.Aplikasi HAK pada simpul A memberikan :dv dvi = i1+ i2+ ⋅⋅⋅⋅ + i= C1+ C2+ ⋅⋅⋅ + Cdt dtdv dv= ( C1+ C2+ ⋅ ⋅⋅ + C) = Cek.dt dtA+v_BiGb.7.2. Kapasitor paralel.dvdtekivalenC 1i 1C 2i 2C i 123
Jadi kapasitansi ekivalen dari kapasitor yang terhubung paraleladalahKapasitor Paralel : C ek = C1+ C2+ ⋅⋅⋅⋅ + C (7.3)Untuk kapasitor yang dihubungkan seri kita mempunyai hubungan:v = v1+ v2+ ⋅⋅ ⋅⋅ + vtt11= v10+ ∫idt+ v20+ ∫idtC1C020t1= vek0+∫idtCek0+ ⋅ ⋅⋅ +t1v0 + ∫idtC0Jadi untuk kapasitor yang dihubungkan seri maka kapasitansiekivalennya dap<strong>at</strong> dicari dengan hubungan :Kapasitor Seri:7.1.5. Induktansi Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅⋅⋅⋅ +Cek C1C2C(7.4)Induktansi ekivalen dari induktor yang dihubungkan seri <strong>at</strong>aupunparalel dap<strong>at</strong> dicari dengan cara yang sama, dan hasilnya adalahsebagai berikut.Indukttans i Seri: L ek = L1+ L2+ ⋅⋅⋅⋅ + L (7.5)InduktansiParalel :7.1.6. Sumber Ekivalen1 1 1 1= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +Lek L1L2L (7.6)Su<strong>at</strong>u sumber tegangan praktis dap<strong>at</strong> digantikan oleh sumber aruspraktis ekivalennya dan demikian juga sebaliknya. Secara umumkita k<strong>at</strong>akan bahwa sumber tegangan bebas yang terhubung seridengan resistor dap<strong>at</strong> diganti oleh sumber arus bebas diparalelkandengan resistor. Demikian pula sebaliknya, sumber arus bebas yangterhubung paralel dengan resistor dap<strong>at</strong> diganti oleh sumbertegangan bebas diserikan dengan resistor. Perh<strong>at</strong>ikan model sumbertegangan dan sumber arus pada Gb.7.3.124 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
R 1i+ bagianv s+ + v R − v lain−− rangkaianSumber teganganii R +i s R2v−Sumber arusbagianlainrangkaianGb.7.3. Ekivalensi sumber tegangan dan sumber arusFormulasi hubungan arus dan tegangan masing-masing jenis sumberadalah:Sumber Tegangan:v = v s − v R = v s − iR1v s − v v s vi = = −R1R1R1Kedua model itu akan ekivalen apabila:vs− iR = i R1s2− iR2danvRs1−vR1Sumber Arus:= iv→ v 2 dan 1 2 danss = isRiR = iR= isR1v v⇒ = dan R1= R2R1R(7.7)2Jika persyar<strong>at</strong>an untuk terjadinya ekivalensi itu terpenuhi makabagian rangkaian yang lain tidak akan terpengaruh jika kitamenggantikan model sumber tegangan dengan model sumber arusekivalennya <strong>at</strong>aupun sebaliknya mengganti sumber arus dengansumber tegangan ekivalennya. Menggantikan s<strong>at</strong>u model sumberdengan model sumber lainnya disebut transformasi sumber.7.1.7. Transformasi Y-∆v = iRR2 = ( is− i)R2vi = is− iR= is−R2Dalam beberapa rangkaian mungkin terjadi hubungan yang tidakdap<strong>at</strong> disebut sebagai hubungan seri, juga tidak paralel. Hubungansemacam ini mengandung bagian rangkaian dengan tiga terminalyang mungkin terhubung ∆ (segi tiga) <strong>at</strong>au terhubung Y (bintang)seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.7.4. Menggantikan hubungan ∆ dengans−vR2125
hubungan Y yang ekivalen, <strong>at</strong>au sebaliknya, dap<strong>at</strong> mengubahrangkaian menjadi hubungan seri <strong>at</strong>au paralel.CC∆ΥR AR 3R BR 2 R 1ABR CAGb.7.4 Hubungan ∆ dan hubungan Y.Kedua macam hubungan itu akan ekivalen jika dari tiap pasangterminal A-B, B-C, C-A, terlih<strong>at</strong> resistor ekivalen yang sama. Jadikedua rangkaian itu harus memenuhi( R + R )RCA BRAB== R1+ R2RA+ RB+ RCRA( RB+ RC)RBC== R2+ R3RA+ RB+ RCRB( RC+ RA)RCA== R3+ R1RA+ RB+ RC(7.8)Dari (7.8) ini kita peroleh relasi rangkaian ekivalen Y dari su<strong>at</strong>urangkaian ∆, dan rangkaian ekivalen ∆ dari su<strong>at</strong>u rangkaian Y,seperti berikut.BEkivalen Y dari ∆R1=RBRCR A + RB+ RCR2=RCR AR A + RB+ RCR3=R ARBR A + RB+ RCEkivalen ∆dari YR1R2 + R2R3+ R1RR3A =R1R1R2 + R2R3+ R1RR3B =R2R1R2 + R2R3+ R1RR3C =R3126 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Su<strong>at</strong>u rangkaian Y dan ∆ dik<strong>at</strong>akan seimbang jika R 1 = R 2 = R 3 =R Y dan R A = R B = R C = R ∆ . Dalam keadaan seimbang seperti ini,transformasi Y - ∆ menjadi sederhana, yaitu:7.1.8. Kaidah Pembagi TeganganKaidah ini memberikandistribusi tegangan padaelemen yang dihubungkan seridalam rangkaian.Dengan mengaplikasikanHTK pada loop rangkaianGb.7.5, kita mendap<strong>at</strong>kan :( R + R + R )vs= v1+ v2+ v3= 1 2vsvs→ i ==R1+ R2+ R3RtotalTegangan pada masing-masing elemen adalah :⎛ R ⎞v R i ⎜ 11 = 1 = ⎟vsR;⎝ total ⎠Secara umum dap<strong>at</strong> kita tuliskan:Pembagi Tegangan :3⎛ R ⎞v ⎜ 22 = ⎟vsR;⎝ total ⎠v⎛R⎞i⎛ R ⎞v ⎜ 33 = ⎟vsR⎝ total ⎠(7.9)kk = ⎜ ⎟vtotalR(7.10)totalJadi tegangan total didistribusikan pada semua elemen sebandingdengan resistansi masing-masing dibagi dengan resistansi ekivalen.7.1.9. Kaidah Pembagi ArusDalam rangkaian paralel, arus terbagi sebanding dengankonduktansi di masing-masing cabang. Kita ambil contoh rangkaianseperti pada Gb.7.6.Hubungan antara arus i s dan tegangan v dap<strong>at</strong> dicari sbb.+v s−+−⎝i⎠R 1+ v 1 −R 2R 3 −− v 3 +Gb.7.5. Pembagian tegangan+v 2127
is= i1+ i2+ i3= vG1+ vG2+ vG3→ v = is/( G1+ G2+ G3 ) = is/ Gtotali 1 i 2 i 3i sG 1 G 2 G 3Dari v yang diperoleh dap<strong>at</strong> dihitung arus di masing-masing resistor.⎛ GGGi vG 1 ⎞ ⎛is; i 2 ⎞ ⎛ 31 12 is; i3isGtotalGtotalG ⎟ ⎞= =⎜⎟ =⎜⎟ =⎜(7.11)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ total ⎠Secara umum :Pembagi7.2. Teorema <strong>Rangkaian</strong>Gb.7.6. Pembagian arus.Arus :i k⎛ G k ⎞⎜ ⎟itotalG⎝ total ⎠= (7.12)Teorema-teorema rangkaian berbasis pada sif<strong>at</strong> linier dari rangkaian.Dalam membahas teorema-teorema ini kita akan melih<strong>at</strong> padarangkaian dengan elemen resistor saja agar pemahamannya menjadilebih mudah. Selain prinsip proporsionalitas, prinsip superposisi,teorema Thévenin, teorema Norton, dan teorema alih dayamaksimum, akan dibahas juga secara singk<strong>at</strong> teorema Millman,teorema substitusi dan teorema Tellegen; tiga teorema terakhir inidap<strong>at</strong> dilew<strong>at</strong>i untuk sementara tanpa memberikan kesulitan padapemabahasan pada bab-bab selanjutnya.7.2.1. Proporsionalitas (Kesebandingan Lurus)Dalam rangkaian linier, sinyal keluaran merupakan fungsi linier darisinyal masukan. Sebagai fungsi linier, keluaran tersebut memilikisif<strong>at</strong> homogen dan aditif. Sif<strong>at</strong> homogen itu muncul dalam bentukkesebandingan antara keluaran (output) dan masukan (input), yangberarti bahwa keluaran dari rangkaian linier berbanding lurusdengan masukannya. Sif<strong>at</strong> homogen ini kita sebut proporsionalitas .Sementara itu sif<strong>at</strong> aditif terlih<strong>at</strong> apabila kita mempunyai rangkaianyang mengandung lebih dari s<strong>at</strong>u masukan. Keluaran dari rangkaianlinier semacam ini merupakan jumlah dari semua keluaran yang128 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
diperoleh jika seandainya masing-masing masukan bekerja secar<strong>at</strong>erpisah. Sif<strong>at</strong> aditif ini kita sebut superposisi.Karakteristik i-v dari resistor linier, v = R i, adalah contoh darisu<strong>at</strong>u hubungan linier. Kalau arus meningk<strong>at</strong> 2 kali maka teganganjuga meningk<strong>at</strong> 2 kali. Sementara itu daya, p = i 2 R, bukanlahhubungan linier. Jadi dalam rangkaian linier hanya tegangan danarus saja yang memiliki hubungan linier.Hubungan antara masukan dan keluaran secara umum dap<strong>at</strong> ditulis :y = K x (7.13)dengan x adalah masukan (bisa tegangan, bisa juga arus), y adalahkeluaran, dan K adalah konstanta proporsionalitas. Hubungan inidap<strong>at</strong> digambarkan dengan diagram blok seperti Gb.7.7.masukan keluaranGb.7.7. Hubungan masukan – keluaran rangkaian linier.7.2.2. Prinsip SuperposisixKy=K xPrinsip superposisi memberikan hubungan antara keluaran denganbeberapa masukan di dalam su<strong>at</strong>u rangkaian yang dap<strong>at</strong> dituliskansebagaiy = y1 + y2+ y3⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = K1x1+ K2x2+ K3x3+ ⋅⋅⋅ (7.14)dengan y i = K i x i , dan y i adalah keluaran yang diperoleh jika masingmasingmasukan, x i , bekerja sendiri-sendiri. K i adalah konstantayang besarnya tergantung dari rangkaian. Secara singk<strong>at</strong> dap<strong>at</strong>dik<strong>at</strong>akan bahwa keluaran dari rangkaian resistor linier merupakankombinasi linier dari masukan. Dengan k<strong>at</strong>a lain, keluaranrangkaian adalah jumlah dari kontribusi masing-masing sumber.Kontribusi su<strong>at</strong>u sumber pada keluaran rangkaian dap<strong>at</strong> dicaridengan mem<strong>at</strong>ikan sumber-sumber yang lain.a. Mem<strong>at</strong>ikan sumber tegangan berarti membu<strong>at</strong>tegangan sumber itu menjadi nol, artinya sumber inimenjadi hubungan singk<strong>at</strong>.b. Mem<strong>at</strong>ikan sumber arus adalah membu<strong>at</strong> arus sumbermenjadi nol, artinya sumber ini menjadi hubunganterbuka.129
7.2.3. Teorema MillmanTeorema Millman meny<strong>at</strong>akan bahwa apabila beberapa sumbertegangan v k yang masing-masing memiliki resistansi seri R kdihubungkan paralel maka hubungan paralel tersebut dap<strong>at</strong>digantikan dengan s<strong>at</strong>u sumber tegangan ekivalen v ekiv denganresistansi seri ekivalen R ekiv sedemikian sehinggav ekiv = v k1∑ dan= ∑1R ekiv R kR ekiv R k(7.14)7.2.4. Teorema Thévenin dan Teorema ortonKedua teorema ini dikembangkan secara terpisah akan tetapi kitaakan membahasnya secara bersamaan. Secara umum, rangkaianlistrik terdiri dari dua bagian rangkaian yang menjalankan fungsiberbeda, yang dihubungkan oleh terminal interkoneksi. Untukhubungan dua terminal seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.7.8, s<strong>at</strong>u bagiandisebut seksi sumber dan bagian yang lain disebut seksi beban.Pengertian seksi sumber di siniiadalah bagian rangkaian yangSB mengandung sumber dan bukanhanya sebuah sumber saja.Gb.7.8. Seksi sumber [S]dan seksi beban [B].Sinyal listrik dikirimkan dari seksisumber dan diberikan kepada seksibeban. Interaksi antara seksisumber dan seksi beban, merupakan salah s<strong>at</strong>u masalah utama yangdibahas dalam analisis dan rancangan rangkaian listrik. <strong>Rangkaian</strong>seksi sumber dap<strong>at</strong> digantikan dengan rangkaian ekivalen Thévenin<strong>at</strong>au rangkaian ekivalen Norton. Kondisi yang diperlukan agarrangkaian ekivalen ini ada, dik<strong>at</strong>akan secara formal sebagai su<strong>at</strong>uteorema:Theorema Thévenin meny<strong>at</strong>akanan bahwa jika rangkaian seksisumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, makasinyal pada terminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekivalenThévenin.130 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Gb.7.9. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Thévenin; seksisumber digantikan oleh s<strong>at</strong>u sumber tegangan V T yang terhubungseri dengan resistor R T .i++R TV T _v−Bsumber bebanGb.7.9. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen ThéveninTheorema orton meny<strong>at</strong>akan bahwa jika rangkaian seksisumber pada hubungan dua-terminal adalah linier, makasinyal pada terminal interkoneksi tidak akan berubah jikarangkaian seksi sumber itu diganti dengan rangkaian ekivalenorton.Gb.7.10. menunjukkan bentuk rangkaian ekivalen Norton; seksisumber digantikan oleh s<strong>at</strong>u sumber arus I yang terhubungparalel dengan resistor R .iI R+v−BsumberbebanGb.7.10. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen ortonBagaimana mencari tegangan ekivalen Thevenin dan arus ekivalenNorton, dijelaskan pada Gb.7.11.131
Si = 0+v ht_i = 0++ R TV T _ v ht = V T_i =i hsSIR i hs = I Gb.7.11. Mencari V T dan I V T adalah tegangan pada terminal interkoneksiapabila beban dilepas; sedangkan I adalah arushubung singk<strong>at</strong> yang mengalir apabila beban digantidengan su<strong>at</strong>u hubung singk<strong>at</strong>.Perh<strong>at</strong>ikan bahwa persyar<strong>at</strong>an agar kita dap<strong>at</strong> mencari rangkaianekivalen Thévenin <strong>at</strong>au Norton adalah bahwa rangkaian seksisumber harus linier. Persyar<strong>at</strong>an ini tidak diperlukan untukrangkaian bebannya, jadi rangkaian beban boleh linier boleh pul<strong>at</strong>idak linier (non-linear).Karena kedua rangkaian ekivalen itu dap<strong>at</strong> menggantikan s<strong>at</strong>umacam seksi sumber maka kedua rangkaian ekivalen itu harusmempunyai karakteristik i-v yang sama. Hal ini berarti bahwadalam keadaan terbuka, V T = I R ; dan dalam keadaan hubungsingk<strong>at</strong> I = V T / R T . Kedua hal ini mengharuskan V T = I R = I R T yang berarti R harus sama dengan R T . Jadi parameter rangkaianekivalen Thévenin maupun Norton dap<strong>at</strong> diperoleh dengan mencaritegangan hubungan-terbuka (v ht ) dan arus hubung-singk<strong>at</strong> ( i hs ) diterminal seksi sumber.JadiV T = v ht ; I = i hs ; R T = R = v ht / i hs (7.16)Cara Lain Mencari Resistor Ekivalen Thévenin (R T ). Resistansiekivalen Thévenin R T dap<strong>at</strong> diperoleh dengan cara lain yaitu denganmencari resistansi ekivalen yang dilih<strong>at</strong> dari terminal ke arah seksisumber dengan seluruh sumber dim<strong>at</strong>ikan. Jika resistansi tersebutadalah R ek maka R T = R ek (Gb.7.12.).132 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Semuasumberdim<strong>at</strong>ikanAR ekBR TV T = 0AR T = R ekBGb.7.12. Cara lain mencari R TDengan singk<strong>at</strong> dap<strong>at</strong> dik<strong>at</strong>akan bahwa untuk menentukanrangkaian ekivalen Thévenin <strong>at</strong>aupun rangkaian ekivalen Norton,dua dari tiga paremeter di bawah ini dap<strong>at</strong> digunakan.- Tegangan hubungan terbuka pada terminal- Arus hubung singk<strong>at</strong> pada terminal- Resistor ekivalen sumber dilih<strong>at</strong> dari terminal dengansemua sumber dim<strong>at</strong>ikan.Ketiga parameter tersebut dihitung dengan seksi beban tidakterhubung pada seksi sumber. Jadi rangkaian ekivalen Thévenin danrangkaian ekivalen Norton merupakan karakteristik seksi sumberdan tidak tergantung dari beban. Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa rangkaianekivalen Thévenin menjadi su<strong>at</strong>u model sumber praktis.7.2.5. Alih Daya MaksimumSalah s<strong>at</strong>u persoalan penting dalam rangkaian yang terdiri dari seksisumber dan seksi beban adalah pengendalian tingk<strong>at</strong> sinyal diterminal interkoneksinya. Persoalan yang akan kita lih<strong>at</strong> disiniadalah mengenai tingk<strong>at</strong> sinyal maksimum yang dap<strong>at</strong> dialihkanmelalui terminal interkoneksi. Hubungan antara seksi sumber danseksi beban dap<strong>at</strong> kita bagi dalam emp<strong>at</strong> macam keadaan, yaitu :- Sumber tetap, beban bervariasi.- Sumber bervariasi, beban tetap.- Sumber bervariasi, beban bervariasi.- Sumber tetap, beban tetap.Kita akan memb<strong>at</strong>asi diri pada hubungan antara su<strong>at</strong>u sumber tetapdengan beban yang bervariasi. Seksi sumber merupakan rangkaianlinier dan diny<strong>at</strong>akan dengan rangkaian ekivalen Thévenin danbeban diny<strong>at</strong>akan dengan resistor ekivalen R L , seperti terlih<strong>at</strong> padaGb.7.13.133
AR ++ TV T_viR LBsumberbebanGb.7.13. Alih sinyal dari seksi sumber ke bebanKaidah pembagi tegangan, memberikan tegangan di A-B sebagaiRLv = VTRL+ RTJika V T tidak berubah, tegangan v akan maksimum bila R L bernilaisang<strong>at</strong> besar dibanding dengan R T . Keadaan idealnya adalah R Lbernilai tak terhingga, yang berarti rangkaian terbuka. Dalamkeadaan ini tegangan maksimum adalah v max = V T = v ht . Jaditegangan maksimum yang bisa diperoleh di terminal interkoneksiadalah tegangan hubungan terbuka v ht . .Arus yang mengalir ke beban adalahi = VT/( RL+ RT)Dari hubungan ini jelas bahwa arus akan maksimum bila R L jauhlebih kecil dibanding dengan R T <strong>at</strong>au mendek<strong>at</strong>i nol (hubungsingk<strong>at</strong>). Jadi arus maksimum yang bisa diperoleh di terminal ABadalah arus hubung singk<strong>at</strong>i maks = VT/ RT= I = ihsDaya yang diberikan oleh sumber ke beban adalahp = vi =2RLVT( R + R ) 2Dalam persamaan daya ini terlih<strong>at</strong> bahwa kondisi untukmenghasilkan tegangan maksimum (R L = ∞) maupun arusmaksimum (R L = 0) menyebabkan daya menjadi nol. Ini berartibahwa nilai R L yang dap<strong>at</strong> menghasilkan alih daya maksimum harusterletak di antara kedua nilai ektrem tersebut. Untuk mencarinya kit<strong>at</strong>urunkan p terhadap R L dan membu<strong>at</strong>nya bernilai 0.LT134 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
dpdR[ ]22( R L + RT) − R L ( R L + RT) VTRT− R L=4( R + R ) ( R + R )2 2= V = 03 TLL TL TTurunan itu akan menjadi nol bila R L = R T . Jadi alih daya akanmaksimum jika resistansi beban sama dengan resistansi Thévenin.Jika keadaan seperti ini dicapai, dik<strong>at</strong>akan bahwa sumber dan bebanmencapai kesesuaian <strong>at</strong>au dalam keadaan “m<strong>at</strong>ched”.Besar daya maksimum yang dialihkan diperoleh denganmemasukkan kondisi R L = R T ke persamaan untuk daya p :2Vp Tmaks = (7.17)4RTKarena V T =I R T maka :2I Rp Tmaks = (7.18)4<strong>at</strong>auV ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= T I v= ht ip hsmaks4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥(7.19)⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦Dengan demikian maka<strong>Rangkaian</strong> sumber ekivalen dengan resistansi Thévenin R Takan memberikan daya maksimum kepada resistansibeban R L bila R L = R T .7.2.6. Teorema SubstitusiTeorema substitusi meny<strong>at</strong>akan bahwa su<strong>at</strong>u cabang rangkaianantara dua simpul dap<strong>at</strong> disubstitusi oleh cabang baru tanpamengganggu arus dan tegangan di cabang-cabang yang lain asalkantegangan dan arus antara kedua simpul tersebut tidak berubah.+ v k −R ki k≡+ v k −+ −subk − R subGb.7.14. Substitusi cabang rangkaian.R subv =v × iSecara umum dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan bahwa jika su<strong>at</strong>u cabang padarangkaian berisi resistansi R k yang bertegangan v k dan dialiri arus i kmaka resistansi pada cabang ini dap<strong>at</strong> kita substitusi dengani kk135
R sub + v subdi mana v sub = vk− Rsub× iksedangkan R sub dap<strong>at</strong> bernilai sembarang.Mengubah isi su<strong>at</strong>u cabang dengan tetap mempertahankan nilai arusdan tegangannya tidak akan mengubah relasi hukum Kirchhoff.Oleh karena itulah teorema ini berlaku. Teorema ini dap<strong>at</strong> kitamanfa<strong>at</strong>kan untuk menggantikan resistansi yang berada di su<strong>at</strong>ucabang dengan su<strong>at</strong>u sumber tegangan <strong>at</strong>au sebaliknya.7.2.7. Teorema TellegenBerikut ini kita akan membahas perimbangan daya dari keseluruhanrangkaian, yang terdiri dari banyak elemen. Untuk menghitung dayadi masing-masing elemen kita memerlukan parameter teganganelemen v k dan arus elemen i k . Sesuai dengan konvensi pasif, hasilkali v k × i k bernilai positif jika elemen yang bersangkutan menyerapdaya dan bernilai neg<strong>at</strong>if jika memberikan daya.Teorema Tellegen meny<strong>at</strong>akan bahwa jika v k mengikuti hukumtegangan Kirchhoff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff(HAK), makaN∑v k × ik= 0(7.20)k = 1Penjumlahan tersebut meliputi seluruh elemen ( = jumlah elemen).Teorema ini hanya memerlukan persyar<strong>at</strong>an bahwa HTK dan HAKdipenuhi, tanpa mempedulikan karakteristik i-v dari elemen. Dengandemikian maka teorema ini berlaku baik untuk rangkaian liniermaupun non-linier.Teorema ini meny<strong>at</strong>akan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tep<strong>at</strong> antara daya yang diserap oleh elemen pasifdengan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai denganprinsip konservasi energi. Lebih dari sekedar memenuhi prinsipkonservasi energi, kita dap<strong>at</strong> menarik kesimpulan bahwa s<strong>at</strong>us<strong>at</strong>unyacara agar energi dap<strong>at</strong> diserap dari <strong>at</strong>au disalurkan ke su<strong>at</strong>ubagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya.Tegangan di su<strong>at</strong>u bagian rangkaian <strong>at</strong>au piranti tidak akan memberidaya pada bagian <strong>at</strong>au piranti tersebut jika tidak ada arus yangmengalir. Demikian pula halnya jika ada arus melalui su<strong>at</strong>u bagianrangkaian tetapi tidak ada tegangan pada bagian rangkaian tersebutmaka tidak ada daya diserap oleh bagian tersebut.136 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
R, L, dan C Ekivalen.Soal-Soal1. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B, A-C, A-D, B-C,B-D, dan C-D.A20Ω 15ΩDAC 20Ω 40Ω80ΩB60Ω60Ω30Ω 10ΩBDa) b)C2. Carilah resistansi ekivalen antara terminal A-B dari rangkaianrangkaiandi bawah ini.AA80Ω 60Ω 60Ω60ΩBBa) b)20mH40mH20mH20mHABc)20µF10µF20µF20µFSumber Ekivalen:3. Dari rangkaian sumber arus berikut ini carilah rangkaianekivalen sumber tegangannya di terminal A-B.b)a)30Ω2A2A10ΩAB30ΩAB137
c)d)40Ω1A20Ω30Ω4. Dari rangkaian sumber tegangan di bawah ini carilah rangkaianekivalen sumber arusnya di terminal A-B.A+ 10Ω+ 20Ω 30Ω− 50V− 100VBa) b)40Ω 20ΩA+100V 80V−+ − Bc)Pembagi Tegangan dan Pembagi Arus.5. Carilah arus dan tegangan di masing-masing resistor padarangkaian di samping ini dan hitung daya yang diberikansumber.2A2AA30ΩBA30ΩBAB10Ω20Ω5A 30Ωa) b)5A20Ω30Ωc)3A10Ω20Ω30Ω138 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
139d) e)f)g)h) i)j)k)l)24V12Ω30Ω+−1H4A10Ω30Ω1µF4A10Ω30Ω1µF2A30Ω20Ω1µF24V24Ω30Ω20Ω+−24Ω24V10Ω30Ω40Ω+−24V12Ω30Ω20Ω+−24V10Ω30Ω+−4A20Ω60Ω30Ω20Ω30Ω
m)24V+−1H40Ω 40ΩProporsionalitas6. Carilah hubungan antara keluaran v o dan masukan i in rangkaian disamping ini, dan gambarkan diagram blok rangkaian.a)i in = 3A10Ω20Ω 30Ω+v o−Superposisib)v in = 24V7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian di samping ini.+−10Ω30Ω 40Ω+v o−a)16V +−40Ω32V+−20Ω40Ω40Ω+v o−10V+−40Ω40Ω+−20Ω40Ω30V+v o−b)140 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
c)64V+−40Ω40Ω20Ω2A40Ω+v o−d)2A40Ω20Ω20Ω2A40Ω+v o−<strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Thévenin & orton8. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton di terminal A-Bdari rangkaian di bawah ini.A2A20Ω 30Ωa)Bb)30Ω20Ω2AABd)1Ac)+−10V30Ω40Ω30Ω2AABA30ΩBe)60V+−A20Ω40Ω30ΩB30Ω141
f)30V +−20Ω2.5AAlih Daya Maksimum9. Pada rangkaian di bawah ini tentukanlah nilai resistansi beban R Lsehingga terjadi alih daya maksimum pada beban dan carilahbesarnya daya maksimum tersebut.2 kΩA16Ω30Ω 32ΩBa)+−10V1 kΩ5 mA2 kΩR Lsumberantar muka+−10ΩV T10Ω10Ω10ΩR Lb)142 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 8Metoda <strong>Analisis</strong> DasarMetoda analisis dikembangkan berdasarkan teorema rangkaianbeserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajaridua kelompok metoda analisis yaitu metoda analisis dasar danmetoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakanpada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaianyang lebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistem<strong>at</strong>isyaitu metoda analisis umum. Kita mempelajari metoda analisis agarkita dap<strong>at</strong> melakukan analisis rangkaian sederhana secara manual.Kemampuan melakukan analisis secara manual ini sang<strong>at</strong>diperlukan untuk memahami sif<strong>at</strong> dan perilaku rangkaian. Di bab inikita akan mempelajari metoda analisis dasar sedangkan metodaanalisis umum akan kita pelajari di bab berikutnya.Dengan mempelajari metoda analisis dasar kita akan• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda reduksi rangkaian;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda keluaran s<strong>at</strong>u s<strong>at</strong>uan;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda superposisi;• mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakanmetoda rangkaian ekivalen Thévenin <strong>at</strong>au rangkaian ekivalenNorton.Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaianadalah mencari hubungan antara besaran keluaran dan besaranmasukan pada su<strong>at</strong>u rangkaian jika parameter sumua elemen yangmenyusun rangkaian tersebut diketahui; <strong>at</strong>au mencari keluaranrangkaian jika masukannya diketahui.Teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaianyang telah kita pelajari, menjadi dasar dari metoda-metoda analisisrangkaian yang kita sebut sebagai metoda analisis dasar. Dalammenggunakan metoda ini kita melakukan perhitungan-perhitungandengan mengam<strong>at</strong>i bentuk rangkaian yang kita hadapi. Metoda initerutama digunakan pada rangkaian-rangkaian yang sederhana.Metoda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup:metoda reduksi rangkaian143
metoda keluaran s<strong>at</strong>u s<strong>at</strong>uanmetoda superposisimetoda rangkaian Thévenin dan rangkaian Norton.Masing-masing metoda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususanmasing-masing metoda itulah yang mendorong kita untukmempelajari semua metoda dan tidak terpaku pada salah s<strong>at</strong>umetoda saja. Pemilihan metoda analisis ditentukan oleh apa yangingin kita capai dalam melakukan analisis.Dalam metoda analisis dasar, kita melakukan perhitunganperhitunganlangsung pada model rangkaian. Melalui l<strong>at</strong>ihan yangcukup, kita akan mampu menentukan metoda dan urutan kerja yangsingk<strong>at</strong> serta dap<strong>at</strong> memahami perilaku rangkaian listrik denganbaik. Metoda ini sang<strong>at</strong> praktis selama rangkaian yang kita hadapicukup sederhana. Contoh-contoh yang akan kita lih<strong>at</strong> untukmemahami metoda-metoda analisis ini mencakup rangkaian pasif(dengan elemen R) dan rangkaian aktif (dengan sumber bebas dansumber tak-bebas).8.1. Metoda Reduksi <strong>Rangkaian</strong>Str<strong>at</strong>egi metoda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikianrupa sehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; denganrangkaian yang lebih sederhana ini besaran yang dicari dap<strong>at</strong>dihitung dengan lebih mudah. Untuk menyederhanakan rangkaian,kita dap<strong>at</strong> menggunakan konsep ekivalensi seri-paralel, transformasiY-∆, dan transformasi sumber. Yang kita perlukan adalah kejeliandalam melih<strong>at</strong> struktur rangkaian untuk melakukan penyederhanaanrangkaian. Bagaimana metoda ini diaplikasikan, kita akan melih<strong>at</strong>pada contoh-8.1 berikut ini.COTOH-8.1:Carilah tegangan v x pada rangkaian di bawah ini.+ v x −A 30Ω B C 20Ω D12 V+−30Ω10ΩE30Ω10Ω144 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian:<strong>Rangkaian</strong> ini mengandung beberapa bagian yang berupahubungan seri dan hubungan paralel elemen-elemen. Bagianbagiantersebutdap<strong>at</strong> kita gantidengan rangkaianekivalennya,denganmemanfa<strong>at</strong>kankaidah-kaidahrangkaian yangtelah kita pelajari.Proses ini dap<strong>at</strong>kita am<strong>at</strong>i padagambar berikut.Langkah-langkahyang kita tempuhadalah sebagaiberikut:Sumber teganganyang tersambungseri dengan resistor30 Ω dap<strong>at</strong> digantidengansebuah sumber arusyang diparaleldengan resistor,sedang sambunganseri resistor 10 &20 Ω di cabangCDE dap<strong>at</strong> digantidengan sebuah12 V0,4 A6 V⇒+ v30Ωx − 20ΩA B C D+−0,4 Av x+−⎛= ⎜30Ω15Ω10Ω30Ω10ΩBE⎞⎟ × 6 = 1,5⎝15+ 10 + 15 ⎠resistor. Penggantian ini menghasilkan rangkaian dengan duapasang resistor paralel 30 Ω , yang masing-masing dap<strong>at</strong> digantidengan s<strong>at</strong>u resistor 15 Ω. Dengan langkah ini sumber arusterparalel dengan resistor 15 Ω, yang kemudian dap<strong>at</strong> digantidengan sebuah sumber tegangan yang disambung seri dengansebuah resistor 15 Ω; bagian lain berupa dua resistor 10 dan15Ω yang tersambung seri.1030ΩB15ΩE30ΩCE10Ω+ v x −B10Ω30ΩCCE10Ω30Ω15Ω15ΩV145
<strong>Rangkaian</strong> kita menjadi sebuah sumber tegangan dengansambungan seri tiga buah resistor, dan tegangan yang kita caridap<strong>at</strong> kita peroleh dengan memanfa<strong>at</strong>kan kaidah pembagitegangan; hasilnya v x = 1,5 V.Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metoda ini kita harusdengan seksama memperh<strong>at</strong>ikan bagian-bagian yang dap<strong>at</strong>disederhanakan. Pada dasarnya kita melakukan ekivalensibagian-bagian yang berada di antara dua simpul. Bagian yangtelah digantikan oleh rangkaian ekivalennya, masih dap<strong>at</strong>digabungkan dengan bagian lain yang juga telah digantikanoleh rangkaian ekivalennya.8.2. Metoda Keluaran S<strong>at</strong>u S<strong>at</strong>uan (Unit Output Method)Metoda “unit output” adalah su<strong>at</strong>u teknik analisis yang berbasispada proporsionalitas dari rangkaian linier. Metoda ini padadasarnya adalah mencari konstanta K yang menentukan hubunganantara masukan dan keluaran, dengan mengganggap bahwakeluarannya adalah s<strong>at</strong>u unit. Atas dasar itu ditentukan berapabesarnya masukan yang diperlukan untuk menghasilkan s<strong>at</strong>u unitkeluaran tersebut. Teknik ini dap<strong>at</strong> diaplikasikan pada rangkaianberbentuk tangga. Langkah-langkahnya adalah sbb:1. Misalkan keluarannya adalah s<strong>at</strong>u unit (tegangan <strong>at</strong>aupunarus)2. Secara berurutan gunakan HAK, HTK, dan hukum Ohmuntuk mencari masukan.3. Sif<strong>at</strong> proporsional dari rangkaian linier mengharuskan(keluaran) 1K = =(masukan) (masukan untuk s<strong>at</strong>u unit keluaran)(8.1)4. Keluaran untuk sembarang masukan adalah K × masukan.COTOH-8.2:Carilahtegangankeluaran v odari rangkaiandi samping ini.36 V +−i 1 i 3 i 5A B10Ω 20Ω 30Ωi 2i 420Ω 20Ω 10Ω+v o−146 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian:Kita misalkan tegangan v o = 1 V. Kemudian secara berturut turutkita hitung i 5 , v C ,i 4 , i 3 , v B , i 2 , i 1 , dan akhirnya v s yaitu tegangan sumber jikakeluarannya 1 V. Dari sini kemudian kita hitung faktorproporsionalitas K, dan dengan nilai K yang diperoleh ini kitahitung v o yang besarnya adalah K kali tegangan sumbersebenarnya (yaitu 36 V).vMisalkan v = 1 V → i5= oo= 0,1 A10v = 0,1 30 + 10 = 4 VB( )vB→ i4= =20420v= 0,2 A → i3= i4+ i5= 0,3 AAvA= vB+ i3× 20 = 10 V → i2= = 0,5 A → i1= i2+ i3= 0,8 A20vs= v A + i1× 20 = 10 + 0,8 × 10 = 18 V1 1K = = → vo(seharusnya)= K × 36 = 2 Vvs188.3. Metoda SuperposisiPrinsip superposisi dap<strong>at</strong> kita manfa<strong>at</strong>kan untuk melakukan analisisrangkaian yang mengandung lebih dari s<strong>at</strong>u sumber. Langkahlangkahyang harus diambil adalah sebagai berikut:1. M<strong>at</strong>ikan semua sumber (masukan) kecuali salah s<strong>at</strong>u diantaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkanoleh s<strong>at</strong>u sumber ini.2. Ulangi langkah 1, sampai semua sumber mendap<strong>at</strong> giliran.3. Keluaran yang dicari adalah kombinasi linier (jumlah aljabar)dari kontribusi masing-masing sumber.COTOH-8.3:<strong>Rangkaian</strong> disamping inimengandung duasumber. Carilahtegangan keluaranV o .30V+_20Ω1,5A10Ω+V o−147
Penyelesaian :M<strong>at</strong>ikan sumber arus. <strong>Rangkaian</strong> menjadi seperti gambar disamping ini.10Vo 1 = × 30 = 10 V10 + 2030V+−20Ω10Ω+V o1−M<strong>at</strong>ikan sumber tegangan.<strong>Rangkaian</strong> menjadi sepertigambar di samping ini.20Ω1,5A10Ω+V o2−⎛ 20 ⎞V o 2 = ⎜ × 1.5⎟ × 10 = 10 V⎝ 20 + 10 ⎠Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersamasamaadalahV o = Vo1+ Vo2= 20 V8.4. Metoda <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen ThéveninBerikut ini akan kita lih<strong>at</strong> aplikasi teorema Thévenin dalam analisisrangkaian.COTOH-8.4:Gunakanlah metodarangkaian ekivalenThevenin untukmenghitung tegangankeluaran v 0 padarangkaian di sampingini.30 V+_i1i3i 2A′20Ω 10Ω20Ω10ΩPenyelesaian :Untuk mencari tegangan sumber Thévenin V T di terminal AB,kita lepaskan beban di AB, sehingga AB terbuka, i 3 =0, dan20V T = v AB ht = vA' B = × 30 = 15 V20 + 20Resistansi Thévenin R T adalah resistansi yang dilih<strong>at</strong> dariterminal AB ke arah sumber dengan sumber dim<strong>at</strong>ikan (dalamhal ini hubung singk<strong>at</strong>). Maka R T berupa resistor 10 Ω yangAB+v 0−148 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
terhubung seri dengan dua resistor 20 Ω yang tersambungparalel. JadiA20 × 20R = 10 + = 20 Ω+T20 + 20+ 20Ω v 0<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Thévenin _−10Ωadalah seperti gambar di 15 Vsamping ini dan kita perolehB10v o = × 15 5 V10 + 20=COTOH-8.5:Gunakan Arangkaian+ekivalen20Ω_Thévenin untuk 30 Vmenghitungtegangan v xpada rangkaian di samping ini.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> ini telah kita analisis dengan menggunakan metodareduksi rangkaian. Kita akan mencoba melakukan analisisdengan metoda rangkaian ekivalen Thévenin.Jika resistor 10 Ω (yang harus kita cari tegangannya) kitalepaskan, maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang CE,CD, dan DE sehingga tegangan simpul C sama dengan D samapula dengan E yaitu nol. Tegangan simpul B dap<strong>at</strong> kita caridengan kaidah pembagi teganganTegangan Thévenin:V T = vB− vC= 15 − 0 = 15 V .20v B = × 30 = 15 V .20 + 20Resistansi Thévenin adalahresistansi yang dilih<strong>at</strong> dari terminalBC setelah resistor 10 Ω dilepas.R T= (20 || 20) +B20Ω+ v x−10Ω15 V+_10Ω10Ω20Ω{ 20 || (10 + 10) } = 10 + 10 = 20 ΩCE20Ω10ΩADB+v x−149
<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Thévenin dengan bebannya menjadi sepertigambar di samping dan tegangan v x mudah dihitung, yaitu :v x10= × 15 = 5 V10 + 208.4.1. Beban on LinierParameter rangkaian ekivalen Thévenin dan Norton (V T , R T , dan I )dihitung dengan beban dilepas. Ini berarti bahwa rangkaian ekivalentersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi olehbeban. Oleh karena itu kita dap<strong>at</strong> memanfa<strong>at</strong>kan rangkaian ekivalenThévenin dan Norton untuk menentukan tegangan, arus, maupundaya pada beban non linier dua terminal. Ini merupakan salah s<strong>at</strong>uhal penting yang dap<strong>at</strong> kita peroleh dari rangkaian ekivalenThévenin dan Norton.Bagaimana interaksi antara sumber (yang diny<strong>at</strong>akan denganrangkaian ekivalen Thénenin-nya) dengan beban yang non-linier,akan kita lih<strong>at</strong> berikut ini. Kita lih<strong>at</strong> lebih dahulu karakteristik i-vdari su<strong>at</strong>u rangkaian ekivalen Thévenin. Perh<strong>at</strong>ikan hubunganrangkaian ekivalen Thévenin dengan bebannya. Bagaimanapunkeadaan beban, linier <strong>at</strong>au non-linier, hubungan antara tegangan diterminal beban, yaitu v, dengan tegangan V T dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akansebagai⎛ VV iR v i T ⎞ ⎛ 1 ⎞− T + T + = 0 → =⎜ − vR⎟⎜T R⎟ (8.2)⎝ ⎠ ⎝ T ⎠Persamaan (8.2) ini memberikan hubungan antara arus i dantegangan v dari rangkaian ekivalenThévenin dan merupakan karakteristik ii-v dari rangkaian sumber. Jika kita i = V T /R Tgambarkan kurva i terhadap v makaakan terlih<strong>at</strong> bahwa persamaan iniv = V Tmerupakan persamaan garis lurus dibidang i-v seperti tampak pada Gb.8.1.di samping ini. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa garisvGb.8.1. Garis bebanlurus ini ditentukan oleh dua titik yaitu:VTi = = ihsdan v = VT= vhtRTGaris lurus itu disebut garis beban (load line) (sebenarnya iaditentukan oleh parameter-parameter rangkaian sumber dan bukanoleh parameter beban akan tetapi sudah sejak lama nama “load line”150 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
itu disandangnya). Sementara itu beban mempunyai karakteristik i-v-nya sendiri, yang secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dap<strong>at</strong> dituliskan sebagai: i =f(v).Dengan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaanuntuk arus rangkaian sumber yaitu⎛ Vi T ⎞ ⎛ 1 ⎞=⎜vR⎟ −⎜T R⎟⎝ ⎠ ⎝ T ⎠dan persamaan untuk arus beban yaitui = f(v)Dalam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaanitu secara simultan. Jika f(v) diketahui maka penyelesaianpersamaan dap<strong>at</strong> dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnyapenyelesaian secara grafis sudah cukup memadai. Berikut inidipaparkan bagaimanacara grafis tersebutdilaksanakan.Misalkan karakteristik i-vbeban mempunyai bentuktertentu, yang jikadipadukan dengan grafiki-v sumber (yaitu garisbeban) akan terlih<strong>at</strong>seperti pada Gb.8.2.Kedua kurva akanititikkerjai L Karakteristik i-v beban.garis bebanv LGb 8.2. Penentuan titik kerja.berpotongan di su<strong>at</strong>u titik. Titik potong tersebut memberikan nilaiarus i dan tegangan v yang memenuhi karakteristik sumber maupunbeban. Titik ini disebut titik kerja, <strong>at</strong>au dalam elektronika disebutQ-point. Arus dan tegangan beban adalah i L dan v L .Perh<strong>at</strong>ikan bahwa apabila rangkaian mengandungelemen non linier prinsip proporsionalitas dansuperposisi tidak berlaku. Sebagai contoh, apabil<strong>at</strong>egangan sumber naik dari 15 menjadi 30 V, arus dantegangan beban tidak dua kali lebih besar._v151
COTOH-8.6: <strong>Rangkaian</strong> berikut ini, mempunyai beban resistornon-linier dengan karakteristik i-v seperti yang diberikan disampingnya. Hitunglah daya yang diserap oleh beban.A90V+−1kΩ1kΩ500ΩR LnonlinierBi [mA] 503010Penyelesaian :Beban dilepas untuk mencari rangkaian ekivalen Thévenin.1VT= vABht = × 60 = 45 V1+1R = 500 + 1000 ||1000 = 1000 ΩT10 30 50 v[V]<strong>Rangkaian</strong> ekivalen dan garis beban yang diplot bersamadengan karakteristik i-v beban adalah seperti di bawah ini.Ai [mA] 5045V+−1kΩR Lnonlinier30B1010 30 50 v[V]Dari grafik ini kita temukan titik-kerja yang meny<strong>at</strong>akan bahwaarus yang mengalir adalah 15 mA pada tegangan 30 V. Jadidaya yang diserap beban adalah :p L = vLiL= 30 × 15 = 450 mW .152 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
8.4.2. <strong>Rangkaian</strong> Dengan Sumber Tak-Bebas Tanpa UmpanBalikContoh-contoh persoalan yang kita ambil dalam membahas metodametodaanalisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaiandengan elemen aktif yang berupa sumber bebas. Metoda analisisdasar dap<strong>at</strong> pula kita gunakan pada rangkaian dengan sumber takbebasasalkan pada rangkaian tersebut tidak terdap<strong>at</strong> cabang umpanbalik. Cabang umpan balik adalah cabang yang menghubungkanbagian keluaran dan bagian masukan, sehingga terjadi interaksiantara keluaran dan masukan. Apabila rangkaian mempunyai umpanbalik, hendaknya digunakan metoda analisis umum (lih<strong>at</strong> babselanjutnya). Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> rangkaian-rangkaiandengan sumber tak-bebas tanpa umpan balik.COTOH-8.7:Tentukanlahi stegangankeluaran v o sertaR s++daya yang v s+v + µ v 1 v−oR LR 11−diserap oleh−−beban R L padarangkaian dengan sumber tak-bebas VCVS di samping ini.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> ini tidak mengandung umpan balik; tidak adainteraksi antara bagian keluaran dan masukan. Tegangan v 1 padaloop pengendali dap<strong>at</strong> diperoleh melalui kaidah pembagitegangan1v1= vsR1+ RsDengan demikian maka keluaran VCVS adalah :v v1o = µ 1 =R1+ RsDaya yang diserap oleh beban adalah :pLv=R2o 1L=RLRµ Rvs⎛ µ R1v×⎜s⎝ R1+ Rs⎞⎟⎠2153
Pemahaman :Tegangan keluaran VCVS berbanding lurus denganmasukannya. Jika nilai µ >1 maka rangkaian ini berfungsisebagai pengu<strong>at</strong> (amplifier). Jika µ
Penyelesaian:Untuk mencari v o kita memerlukan i 1 yang dap<strong>at</strong> dicari dengankaidah pembagi arus.1i 1 = × 2 1 mA1+1=Dari sini kita mendap<strong>at</strong>kan i 2 yaitu i 2 = −50×i 1 = −50mA .Tanda “−” diperlukan karena referensi arah arus i 2 berlawanandengan arah arus positif sumber arus tak-bebas CCCS. Dari sini1kita dap<strong>at</strong>kan: i L = i2 = −10mA .1+4−3Tegangan keluaran: v o = −10×10 × 4000 = −40Vvo−40Hubungan keluaran-masukan menjadi: = = −20000is0,002Pemahaman:Hasil di<strong>at</strong>as mengandung tanda neg<strong>at</strong>if. Ini berarti bahwa sinyalkeluaran berlawanan dengan sinyal masukan. Dengan k<strong>at</strong>a lainterjadi proses pembalikan sinyal pada rangkaian di <strong>at</strong>as, dankita sebut inversi sinyal.COTOH-8.9:CarilahR s i 1 R o A i Lrangkaian− +ekivalen v s+Thévenin dilih<strong>at</strong> −R p r i v+ 1−di terminal AB,dari rangkaianBdengan CCVS di samping ini.Penyelesaian :Tegangan Thévenin V T adalah tegangan terminal AB terbuka(jika beban R L dilepas), yaitu :⎛AB 1⎟ ⎞⎜vV = = − = −sT v ht ri r⎝Rs+ Rp⎠Tanda “−” ini karena arah referensi tegangan CCCS berlawanandengan referansi tegangan v AB . Arus hubung singk<strong>at</strong> di terminalAB jika beban diganti dengan hubung singk<strong>at</strong> adalah :−ri1−rvsiABhs = =RoRo ( Rs+ Rp)R L155
Resistansi Thévenin R T adalah :Rv⎛⎜⎝− rv⎞/ ⎛⎟ ⎜− rv ⎞⎟ R⎠ ⎝⎠AB htssT = ==i ⎜AB hs Rp+ R ⎟ ⎜s Ro(Rs+ R p ) ⎟<strong>Rangkaian</strong> Thévenin yang kita cari adalah seperti gambar dibawah ini. Perh<strong>at</strong>ikan polaritas dari tegangan⎛r ⎜⎝vR s +sR p⎞⎟⎠V T = − ri 1 .−+R oA+v−BR Lo156 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Carilah arus yang melalui beban R L dan daya yang diberikan olehsumber pada rangkaian berikut.a).10V+−10Ω5Ω5Ω10ΩR L7.5Ω10V+−30Ω40Ω50Ω60ΩR L120Ωb).5A10Ω20Ω20Ω10Ω20ΩR L20Ωc).2. Carilah tegangan keluaran v opada rangkaian berikut ini.Berapakah resistansi bebanyang harus dihubungkan keterminal keluaran agar terjadialih daya maksimum ?2A10Ω20Ω10Ω +v o20Ω−3. Gunakan metoda unit outputuntuk mencari tegangankeluaran V o pada duarangkaian berikut ini15Ω1A10Ω30Ω+V o−+−15Ω10V10Ω30Ω+V o−4. Gunakan metoda rangkaianekivalen Thévenin <strong>at</strong>auNorton untuk menentukantegangan dan arus di resistor10 Ω pada kedua rangkaianberikut ini.1A15Ω30Ω10Ω15Ω+30Ω− 10Ω10V157
5. Carilah tegangan danarus tiap resistor padarangkaian berikut.50Ω6. Hitunglah daya yangdikeluarkan olehmasing-masing sumberpada soal 5.+−100Ω5V 10V+−100Ω5V+−7. Pada rangkaian disamping ini hitunglaharus yang melaluiresistor beban R L .+−5 kΩ 5 kΩ10 V2 mA5 kΩR L2,5 kΩ8. Pada rangkaian di sampingini hitunglah daya yangdiserap resistor 8 Ω dandaya masing-masingsumber.9. Pada rangkaian berikutini, hitunglah arus yangmelalui beban R L .+−+30Ω 8Ω− 50V 20Ω 2,5A5Ω +v 17,5V - 10Ωv 155Ω60ΩR L10Ω10. Berapa µ agar rangkaianberikut ini mempunyaikeluaran v 2 = −10 V.6V+−100Ω200Ω+v 1−−+µv 11kΩ1kΩ+v 2−.158 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 9Metoda <strong>Analisis</strong> UmumDengan mempelajari metoda analisis umum kita akan• memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda tegangan simpul;• memahami dasar-dasar metoda arus mesh;• mampu melakukan analisis rangkaian denganmenggunakan metoda arus mesh.Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metod<strong>at</strong>egangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya keduametoda ini dap<strong>at</strong> kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik,walaupun dalam hal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baikdibandingkan dengan metoda arus mesh, terutama dalam menanganirangkaian-rangkaian elektronik.Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnyaadalah mencari su<strong>at</strong>u persamaan linier yang merupakan diskripsilengkap dari su<strong>at</strong>u rangkaian dan kemudian memecahkanpersamaan itu dengan memanfa<strong>at</strong>kan aljabar linier. Metoda ini lebihabstrak dibandingkan dengan metoda-metoda analisis dasar karenakita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapimelainkan mencari pemecahan dari s<strong>at</strong>u set persamaan yangmewakili rangkaian tersebut. Dengan metoda ini kita tidak terlib<strong>at</strong>dalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaanrangkaian <strong>at</strong>aupun penerapan teorema rangkaian. Kita lebih banyakterlib<strong>at</strong> dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehinggaagak “kehilangan sentuhan” dengan rangkaian listrik yang kitahadapi. Namun demikian kerugian itu mendap<strong>at</strong> kompensasi, yaituberupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul danmetoda arus mesh ini.159
9.1. Metoda Tegangan Simpul (ode Voltage Method – odalAnalysis)9.1.1. DasarJika salah s<strong>at</strong>u simpul dalam su<strong>at</strong>u rangkaian ditetapkan sebagaisimpul referensi yang dianggap bertegangan nol, maka teganganpada simpul-simpul yang lain dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan secara rel<strong>at</strong>ifterhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam su<strong>at</strong>u rangkaianterdap<strong>at</strong> n simpul, sedangkan salah s<strong>at</strong>u simpul ditetapkan sebagaisimpul referensi, maka masih ada (n – 1) simpul yang harus dihitungtegangannya. Jadi untuk meny<strong>at</strong>akan rangkaian secara lengkapdengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan(n – 1) buah persamaan. Jika persamaan ini dap<strong>at</strong> dipecahkan,berarti kita dap<strong>at</strong> memperoleh nilai tegangan di setiap simpul, yangberarti pula bahwa kita dap<strong>at</strong> menghitung arus di setiap cabang.Basis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalahpersyar<strong>at</strong>an-persyar<strong>at</strong>an yang harus dipenuhi dalam analisisrangkaian, yaitu persyar<strong>at</strong>an elemen dan persyar<strong>at</strong>an rangkaian.Persyar<strong>at</strong>an elemen meny<strong>at</strong>akan bahwa karakteristik i-v dari setiapelemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwahubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabangtersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yangmengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan olehkarakteristik i-v elemen yang ada di cabang tersebut. Ini berarti pulabahwa arus cabang dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengan tegangan simpul.Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengan konduktansi G berada diantara simpul X dan Y, maka arus cabang temp<strong>at</strong> resistor itu beradadap<strong>at</strong> ditulis sebagai( − v )iXY= G vXY(9.1)dengan i XY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, v X dan v Ymasing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementaraitu persyar<strong>at</strong>an rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HAK), jugaharus dipenuhi. Oleh karena itu untuk su<strong>at</strong>u simpul M yangterhubung ke k titik simpul lain melalui konduktansi G i (i = 1sampaik), berlaku∑iMkk k= 0 = ∑Gi( vM− vi) = vM∑Gi− ∑Givi(9.2)i=1i=1 i=1160 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
dengan v M adalah tegangan simpul M, v i adalah tegangan simpulsimpullain yang terhubung ke M melalui konduktansi masingmasingsebesar G i .Persamaan (9.2) adalah persamaan tegangan untuk s<strong>at</strong>u simpul. Jikapersamaan ini kita terapkan untuk (n – 1) simpul yang bukan simpulreferensi maka kita akan memperoleh (n−1) persamaan yang kitainginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul darisu<strong>at</strong>u rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut:1. Tentukan simpul referensi umum.2. Aplikasikan persamaan (9.2) untuk simpul-simpul yangbukan simpul referensi.3. Cari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah 2.9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan TeganganSimpulPersamaan tegangan simpul untuk su<strong>at</strong>u simpul diperoleh melaluiaplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdap<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u cabangyang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemendengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikitkesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut inikita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk su<strong>at</strong>usimpul dengan melih<strong>at</strong> beberapa kasus jenis elemen yang beradapada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut.Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus inipersamaan (9.4) dap<strong>at</strong> kitaaplikasikan tanpa kesulitan.i 1v A i 2v BPerh<strong>at</strong>ikanAv Chubungan simpul-simpul B G 1 GC2seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.9.1.i 3GWalaupun referensi arah arus3tidak semuanyav D Dmeninggalkan simpul Anamun hal ini tidak akanGb.9.1. Cabang berisi resistor.menggangu aplikasipersamaan (9.2) untuk simpul A.Persamaan untuk simpul A:161
( G G + G ) − G v − G v − G v 0v A 1 + 2 3 1 B 2 C 3 D = (9.3)Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akanmemperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i 1 −i 2 −i 3 = 0,yang akan memberikan persamaan tegangan simpulG1− v A( vB− v A ) − G2( v A − vC) − G3( v A − vD) = 0( G + G + G ) + v G + v G + v G = 0123B1C2D3<strong>at</strong>auyang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya.Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perh<strong>at</strong>ikan Gb.9.2. Dalamkasus ini kita tidakmengetahuiv Akonduktansi yang ada v Bv ACantara simpul A dan Dyang berisi sumber B G 1 GC2arus bebas. Tetapi halIini tidak memberikanskesulitan dalamaplikasi (9.2) untukv D Dsimpul A, karenaGb.9.2. Cabang berisi sumber arus.sesungguhnyapersamaan (9.2) ituberangk<strong>at</strong> dari persamaan arus untuk su<strong>at</strong>u simpul. Dengandemikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itudap<strong>at</strong> kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadihasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul.Yang perlu diperh<strong>at</strong>ikan adalah arah referensi arusnya, yang harusbertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedangditinjau, sesuai dengan persyar<strong>at</strong>an persamaan (9.2). Untuk simpulA pada Gb.9.2. persamaan yang diperoleh adalah:( G + G ) − I − v G − v G 0vA 1 2 s B 1 C 2 =(9.4)162 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus initerdap<strong>at</strong> dua kemungkinan.v AKemungkinan pertama : v Bsalah s<strong>at</strong>u simpul sumberAtegangan menjadi simpul BCG 1 G 2referensi seperti terlih<strong>at</strong>+V spada Gb.9.3.−Simpul A menjadi simpulDterik<strong>at</strong>, artiny<strong>at</strong>egangannya ditentukan Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan.oleh tegangan sumber; jaditegangan simpul A tidak perlu lagi dihitung, v A = V s .BEv Bv Ev AAG 1 G 2+V s−DG 3 G 4v Dv CGb.9.4. Sumber tegangan antara duasimpul yang bukan simpul referensi.Kemungkinan yangkedua: simpul-simpulyang mengapitsumber teganganbukan merupakansimpul referensiseperti terlih<strong>at</strong> padaGb.9.4. Dalam halterakhir ini, sumbertegangan besertakedua simpul yangmengapitnya kitajadikan sebuahsimpul-super (super-node). Jadi simpul A, D, dan sumber teganganpada Gb.9.4. kita pandang sebagai s<strong>at</strong>u simpul-super.Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini.Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya s<strong>at</strong>umelainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-s<strong>at</strong>u-kan,yaitu:• persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaanarus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan• persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikanhubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkanmenjadi simpul-super tersebut.Perh<strong>at</strong>ikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dansumber tegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpulB dan C melalui A dengan konduktansi G 1 dan G 2 ; ia jugaCFv Fv Dv C163
terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansiG 3 dan G 4 . Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah :( G + G ) + v ( G + G )v A 1dan2v A − vD= VsD34 − vBG1− vCG2− vEG3− vFG4= 0(9.5)Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencaripersamaan tegangan pada su<strong>at</strong>u simpul. Dalam peninjauan kasuskasustersebut di <strong>at</strong>as, kita hanya melih<strong>at</strong> rangkaian resistor.Walaupun demikian metoda ini dap<strong>at</strong> kita gunakan untuk rangkaiandengan elemen dinamis yang akan kita lih<strong>at</strong> kemudian.Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> aplikasi metoda tegangan simpul untukrangkaian resistor. <strong>Rangkaian</strong> yang akan kita lih<strong>at</strong> masih termasuksederhana, yang juga dap<strong>at</strong> dipecahkan dengan menggunakanmetoda analisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalahmelih<strong>at</strong> bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan.COTOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D padarangkaian di bawah ini.R 1 R 3 R 5A B C D0,4 A20ΩPenyelesaian :10Ω 10ΩR 220ΩR 4 20Ω R 6E10Ω<strong>Rangkaian</strong> ini berbentuk tangga dan perh<strong>at</strong>ikan bahwa di sinikita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan.Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum,yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kitamempunyai emp<strong>at</strong> simpul yang bukan simpul referensi yaitu A,B, C dan D.164 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpuldengan mengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-emp<strong>at</strong> simpulnon-referensi tersebut di <strong>at</strong>as. Persamaan tegangan simpul yangkita peroleh adalah :vvvvABCD( G1) − 0.4 − vB( G1) = 0( G1+ G2+ G3) − v A( G1) − vC( G3)( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5)( G + G ) − v ( G ) = 056C5= 0= 0dengan G 1 , G 2 ….G 6 adalah konduktansi elemen-elemen yangbesarnya adalah G i = 1/R i . Dalam bentuk m<strong>at</strong>riks, denganmemasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi⎡ 1⎢ 20⎢1⎢−⎢ 20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎣⎛⎜⎝1201−201+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠⎤0⎥⎡vA ⎤ ⎡0,4⎤⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥⎢vB⎥ ⎢ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥1 ⎥− ⎥⎢v⎥ ⎢0⎥10 ⎥⎢ C ⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥⎝1010 D⎠⎦⎦Nilai elemen m<strong>at</strong>riks ini kita perbaiki agar perhitunganselanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketigakita kalikan 20 sedangkan baris ke-emp<strong>at</strong> kita kalikan 10,akan kita peroleh⎡ 1⎢−1⎢⎢ 0⎢⎣ 0−14− 200− 25−1Eliminasi Gauss memberikan:⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0−13000− 21100 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡8⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥0= ⎢ ⎥− 2⎥⎢vC⎥ ⎢0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣0⎦0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡ 8 ⎤0⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ B ⎥8= ⎢ ⎥− 6⎥⎢vC⎥ ⎢16⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥16 ⎦ ⎣vD⎦ ⎣16⎦165
Dengan demikian maka kita dap<strong>at</strong> menghitung tegangantegangansimpul mulai dari simpul D sebagai berikut :1616 + 6×v 16 + 6→ v = = 1 V ; = DDvC= = 2 V1611 118 + 2 × v 8 + 4v = CB= = 4 V ; v A = 8 + vB= 12 V3 3Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabangdap<strong>at</strong> dihitung.COTOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D padarangkaian berikut.30 VR 1 R 3R 5A B C D20Ω10Ω10Ω+ R 2 R20Ω 4 20Ω 10Ω R 6−EPenyelesaian :Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumbertegangan. Dengan demikian simpul A merupakan simpul terik<strong>at</strong>yang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu30 V. Persamaan tegangan simpul yang dap<strong>at</strong> kita perolehadalah:vA= 30vB( G1+ G2+ G3) − v AG1− vC( G3) = 0vC( G3+ G4+ G5) − vB( G3) − vD( G5) = 0vD( G5+ G6) − vC( G5) = 0Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannyadalam bentuk m<strong>at</strong>riks, kita memperoleh⎡ 1⎢ 1⎢−20⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎣⎛⎜⎝12001+ +201−100110⎞⎟⎠⎛⎜⎝11001−101+ +201−10110⎞⎟⎠0 ⎤ ⎡vA ⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ ⎢ 0 ⎥1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥− ⎥10 ⎥ ⎢v⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ C 0⎥ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ 10 10 ⎠⎥⎦⎢ ⎥⎣v⎦⎢⎣ 0 ⎥D ⎦166 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Kita ubah nilai elemen m<strong>at</strong>riks untuk mempermudah perhitunganseperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya denganmengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan bariske-4 dengan 10.⎡ 1 0 0 0 ⎤ ⎡vA⎤ ⎡30⎤⎢⎢− 1⎢ 0⎢⎣ 04− 20− 25− 1Eliminasi Gauss memberikan :Maka :⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣004000− 280⎥ ⎢0⎥ ⎢v− 2⎥⎢v⎥ ⎢2 ⎦ ⎣v0 ⎤ ⎡v0⎥ ⎢v⎥ ⎢− 4⎥⎢v⎥ ⎢16⎦⎣v30→ vD= = 2,5 V; v1630 + 10vB= = 10 V; v4CAABCDBCD⎥⎥ =⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢30⎥⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎢30⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣30⎦= 30 V000⎥⎥⎥⎥⎦30 + 10= = 5 V;8COTOH-9.3: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D dirangkaian berikut.Simpul superR 3R 115 VR 5A B _ C D+20 Ω10 ΩR 2 R 420 Ω10 Ω 20 ΩPenyelesaian :10 ΩBerbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian inisumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensiumum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnyajadikan s<strong>at</strong>u simpul-super. Persamaan yang dap<strong>at</strong> kita perolehadalah :ER 6167
⎡⎛⎢⎜⎢⎝⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣110+1−2000120⎞⎟⎠1−20⎛ 1 1 ⎞⎜ + ⎟⎝ 20 20 ⎠10⎛⎜⎝1200+110−11−10⎞⎟⎠−⎛ 1⎜⎝1001100+110⎤⎥ ⎡vA ⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢vB⎥ = ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢v⎥ ⎢−⎥C 15⎥⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟⎥⎢⎣vD⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎠⎥⎦Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan 20 serta baris k<strong>ee</strong>mp<strong>at</strong>dengan 10 sehingga kita peroleh m<strong>at</strong>riks dengan elemenelemenbilangan bul<strong>at</strong>. Setelah itu kita lakukan eliminasi Gaussyang akan memberikan :⎡3⎢0⎢⎢0⎢⎣0−150009−1400 ⎤ ⎡v− 6⎥ ⎢v⎥ ⎢6 ⎥ ⎢v⎥ ⎢22⎦⎣vABCD⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥0= ⎢ ⎥⎥ ⎢−75⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 75 ⎦Dari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dap<strong>at</strong> kit<strong>at</strong>entukan, seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya.Pembaca diharapkan untuk mencoba sendiri.Dengan uraian dan contoh-contoh di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan secarasingk<strong>at</strong> bahwa :• Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melaluikonduktansi G i berlaku:k∑1∑( v − v ) G = 0 <strong>at</strong>au v G − v G = 0Mii( )vAG3+ G1− vBG1= 0vB( G1+ G2) + vC( G4+ G5) − vAG1− vDG5= 0Simpul-super { vB− vC= −15vD( G5+ G6) − vCG5= 0Kita masukkan nilai G dan persamaan ini kita tuliskan dalambentuk m<strong>at</strong>riks:Aplikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpulreferensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian.k1Mik∑1ii168 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
• Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumbertegangan, merupakan simpul-terik<strong>at</strong> yang tegangannyaditentukan oleh tegangan sumber.• Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dap<strong>at</strong>menjadi simpul-super yang mempunyai su<strong>at</strong>u hubungan internalyang ditentukan oleh tegangan sumber.• Sumber arus di su<strong>at</strong>u cabang memberikan kepastian nilai arus dicabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalampersamaan tegangan simpul.9.2. Metoda Arus Mesh (Mesh Current Method)Metoda ini sang<strong>at</strong> bermanfa<strong>at</strong> untuk analisis rangkaian yangmengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenaimesh telah kitaperoleh, yaitu loopyang tidakmelingkupi elemen<strong>at</strong>au cabang lain.Dalam Gb.9.5 loopABEDA, BCFEB,DEHGD, EFIHE,adalah mesh,sedangkan loopABCFEDA bukanmesh.arusmeshA B CDGb.9.5. Loop dan meshDengan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh,yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di su<strong>at</strong>u mesh. DalamGb.9.5, I A , I B , I C , I D adalah arus-arus mesh dengan arah anak panahmenunjukkan arah positif. Arus di su<strong>at</strong>u cabang adalah jumlahaljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggota. Arus dicabang AB misalnya, adalah sama dengan arus mesh I A . Arus dicabang BE adalah (I A – I B ), arus di cabang EH adalah (I C – I D ), danseterusnya. Secara umum kita dap<strong>at</strong> meng<strong>at</strong>akan bahwaJika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari meshX yang mempunyai arus mesh I X maka arus i k yangmelalui cabang itu adalah i k = I X dengan arahreferensi arus i k sesuai dengan I X .I AI CEI BI DG H IF169
Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X danmesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh I Xdan I Y , maka arus i k yang melalui cabang tersebutadalah i k = I X – I Y dengan X adalah mesh yangmempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arahreferensi arus i k .Perh<strong>at</strong>ikan :• Arus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sif<strong>at</strong>fisis rangkaian melainkan su<strong>at</strong>u peubah yang kita gunakandalam analisis rangkaian.• Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arusmesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalamhal ini kita pilih searah putaran jarum jam).Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linierdengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakandiskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metod<strong>at</strong>egangan simpul, kita akan melih<strong>at</strong> lebih dulu bagaimanapersamaan arus mesh tersebut dap<strong>at</strong> diperoleh.9.2.1. DasarMetoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasispada persyar<strong>at</strong>an elemen dan persyar<strong>at</strong>an rangkaian yang harusdipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletakpada persyar<strong>at</strong>an rangkaian; pada metoda tegangan simpuldigunakan hukum arus Kirchhoff (HAK) sedangkan pada metodaarus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhoff (HTK). Su<strong>at</strong>umesh tidak lain adalah bentuk loop yang paling sederhana. Olehkarena itu hukum Kirchhoff untuk tegangan juga berlaku padamesh. Untuk su<strong>at</strong>u mesh X yang terbentuk dari m cabang yangmasing-masing berisi resistor, sedang sejumlah n dari m cabang inimenjadi anggota dari mesh lain, berlaku170 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
m∑vxx = 1= 0 == Im − n∑vxx = 1m − n∑+Rn∑y = 1+vn∑X xx = 1 y = 1yRy( I − I )Xy(9.6)Di sini v x adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanyamenjadi anggota mesh X; v y adalah tegangan pada elemen dicabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain; I X adalah arusmesh X; I y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan meshX; R x menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanyamenjadi anggota mesh X; R y menunjukkan resistor pada cabangcabangyang menjadi anggota mesh X dan mesh lain.Persamaan (9.5) dap<strong>at</strong> ditulis:⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ Rx∑ R y ⎟ ∑ I y R y(9.7)⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1Atau secara umumI X ∑ R X − ∑ IYRY= 0(9.8)dengan I X adalah arus mesh X, R X adalah resistor pada cabangcabangyang membentuk mesh X, I Y adalah arus mesh lain yangberhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor R Y.Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk su<strong>at</strong>u meshtertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua meshpada su<strong>at</strong>u rangkaian kita akan mendap<strong>at</strong>kan persamaan arus meshuntuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisisdengan menggunakan metoda arus mesh adalah :1. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan jug<strong>at</strong>egangan referensi pada tiap elemen.2. Aplikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. Denganlangkah ini kita memperoleh persamaan arus mesh darirangkaian.3. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkahkedua.171
9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus MeshBerikut ini kita akan melih<strong>at</strong> beberapa kasus yang mungkin kitajumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk s<strong>at</strong>u meshtertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kitajumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul.Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. meshBCEFB dan CDEC,terdiri hanya dari A B C Delemen resistor saja.R 1 R 3 R 6Aplikasi persamaan(9.7) untuk keduaI YI X I Zmesh ini tidakR 2 RR 4 R 75menimbulkankesulitan, dan kitaF Eakan memperolehGb.9.6. Kasus 1.persamaan:Mesh BCEFB :I( R + R + R + R )2Mesh CDECIXZ:( R + R + R ) − I R = 0436475X− I4YR2− IZR4= 0(9.9)Kasus-2: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh ABFA danBCEFB pada Gb.9.7. mengandung sumber tegangan. Hal ini tidakakan menimbulkan kesulitan karena metoda arus mesh berbasispada HukumTeganganKirchhoff.Nilai tegangansumber dap<strong>at</strong>langsungdimasukkandalampersamaan,v 2AB C+ −+−I XIYv 1 R 3R 1R 6R 5R 4Gb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan.dengan memperh<strong>at</strong>ikan tandanya. Untuk mesh ABFA dan BCEFBpersamaan arus mesh yang dap<strong>at</strong> kita peroleh adalah :FEI ZD172 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
MeshABFA( R + R )IY1 2 − I X R2− v1= 0Mesh BCEFB:I X:( R + R + R ) − I R − I R + v = 0245Y2Z42(9.10)Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber Arus. Pada Gb.9.8. dicabang BF terdap<strong>at</strong> sumber arus yang menjadi anggota mesh ABFAdan BCEFB.Tegangansu<strong>at</strong>usumber arustidak tertentusehingga tidakmungkindiperolehpersamaan arusmesh untukABFA danBCEFB. Untuk meng<strong>at</strong>asi kesulitan ini maka kedua mesh itudigabung menjadi s<strong>at</strong>u yang kita sebut mesh- super.Perny<strong>at</strong>aan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaanyaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA,dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus dikedua mesh, yaitu I X dan I Y . Persamaan yang dimaksud adalah:loop ABCEFA:cabang BF:Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber arus.IIYR + IXA+−1− IB CR 3I YI Xv 1 i 1YX( R + R + R )= i1mesh superR 1 R 6345R 5R 4− v1− I Z R4= 0(9.11)Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari duamesh saja, yaitu s<strong>at</strong>u mesh biasa CDEC dan s<strong>at</strong>u mesh-superABCEFA.COTOH-9.4: Gunakan metoda arus mesh untuk analisisrangkaiandiA20ΩB 10Ω C 10Ω Dsamping+20Ω 20Ωini.− I A I B I C10Ω30 VEFEI ZD173
Penyelesaian :Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, I A ,I B , I C ..Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuksetiap mesh. Perlu kita perh<strong>at</strong>ikan bahwa mesh ABEAmengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita perolehadalah:Mesh ABEA :Mesh BCEB :Mesh CDEC :I AI BIC( 20 + 20)− I B 20 − 30 =( 20 + 10 + 20)− I A20− I( 20 + 10 + 10) − I 20 = 0Dalam bentuk m<strong>at</strong>riks persamaan menjadi:⎡ 40⎢⎢− 20⎢⎣0− 2050− 20Eliminasi Gauss memberikan :⎡4⎢⎢0⎢⎣0− 2800 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣I0 ⎤ ⎡I− 4⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABCABCB⎤ ⎡30⎤⎥ ⎢0⎥⎥=⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎤ ⎡3⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢3⎥⎥⎦⎢⎣3⎥⎦0C 20 = 0sehingga diperoleh I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabangdap<strong>at</strong> ditentukanCOTOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian disampingini.A 20Ω B 10Ω C 10Ω DPerh<strong>at</strong>ikanlah bahwapada1 A I A20ΩI B20ΩI C10ΩrangkaianiniEterdap<strong>at</strong>sumber arus.174 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :Dalam kasus ini arus mesh I A ditentukan oleh sumber, yaitusebesar 1 A. Persamaan yang dap<strong>at</strong> kita peroleh adalah :Mesh ABEA :Mesh BCEB:Mesh CDEC:I A = 1I BICyang dalam bentuk m<strong>at</strong>riks dap<strong>at</strong> ditulis( 20 + 10 + 20) − I A( 20) − IC( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 0B= 0⎡ 1⎢⎢− 20⎢⎣0050− 200 ⎤ ⎡I− 20⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢0⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡ 1⎢⎢− 2⎢⎣005− 20 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢⎥ ⎢I4 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢0⎥⎥⎦⎢⎣0⎥⎦Eliminasi Gauss memberikan :⎡1⎢⎢0⎢⎣00500 ⎤ ⎡I− 2⎥ ⎢⎥ ⎢I8 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡1⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢2⎥⎥⎦⎢⎣2⎥⎦Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah :I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dap<strong>at</strong> dihitung.COTOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini.Perh<strong>at</strong>ikan mesh superbahwa adaA 20Ω B 10Ω C 10Ω Dsumber arusyang20ΩmenjadiI A I BI Canggota dari1 A 20Ω 10ΩEdua meshyangberdampingan.Penyelesaian:Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandungsumber arus itu kita jadikan s<strong>at</strong>u mesh-super. Persamaan arusmesh yang dap<strong>at</strong> kita peroleh adalah :175
I Amesh super { I A − I B = −1IC( 20 + 20) + I ( 10 + 20) − I ( 20)( 20 + 10 + 10) − I ( 20) = 0Dalam bentuk m<strong>at</strong>riks persamaan arus mesh tersebut menjadiBBC= 0⎡40⎢⎢1⎢⎣030−1−20−20⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I40 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦<strong>at</strong>au⎡4⎢⎢1⎢⎣03−1−1−2⎤⎡I0⎥ ⎢⎥ ⎢I2 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢−1⎥⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦yang memberikan⎡4⎢⎢0⎢⎣03− 70− 2⎤⎡I2⎥ ⎢⎥ ⎢I12 ⎥⎦⎢⎣IABC⎤ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥=⎢− 4⎥⎥⎦⎢⎣4 ⎥⎦Jadi I C = 1/3 A, I B = 2/3 A, dan I A = −1/3 A.Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dap<strong>at</strong> dihitung.Dengan uraian dan contoh-contoh di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan secarasingk<strong>at</strong> bahwa :• Untuk su<strong>at</strong>u mesh X dengan arus mesh I x yang terdiri dari mcabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lainyang masing-masing mempunyai arus mesh I y , berlakum − n nI X ∑ R x + ∑ R y ( I X − I y ) = 0 <strong>at</strong>aux = 1 y = 1⎛ m − n n ⎞ nI⎜⎟X + − = 0⎜ ∑ R x ∑ R y ⎟ ∑ I y R y⎝ x = 1 y = 1 ⎠ y = 1Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkanpersamaan arus mesh rangkaian.• Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadianggota dari mesh lain, arus mesh I x ditentukan oleh sumberarus tersebut.• Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dap<strong>at</strong> menjadimesh-super dengan su<strong>at</strong>u hubungan internal yaitu beda arusmesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber.176 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
• Sumber tegangan di su<strong>at</strong>u cabang memberikan kepastian nilaitegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilaitegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh.9.2.3. <strong>Rangkaian</strong> Sumber Tak-Bebas Dengan Umpan Balik<strong>Analisis</strong> rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas denganumpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metod<strong>at</strong>egangan simpul <strong>at</strong>au metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jikaada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali.COTOH-9.7: Tentukanlah R F pada rangkaian di samping ini agarpada beban 110kΩ R F 5kΩkΩ terdap<strong>at</strong> AB C Dtegangan −10++V.+−1 V v−1v D 1 kΩ+Penyelesaian :− 100v 1 −Persamaantegangan simpul di simpul-simpul A, B, C, dan D padarangkaian ini adalahvB− v A vB− vCA: v A = 1V ; B: + = 0 ;10 RFvD− vCvC: v = −1001 ; D: + DC v= 05 1Karena disyar<strong>at</strong>kan agar v D = −10 V, maka dari persamaansimpul C dan D kita dap<strong>at</strong> memperoleh nilai v 1 .vC−5v− 601 = − = D vvD = = 0,6 V100 100 100Kalau kita masukkan nilai v 1 ini ke persamaan simpul B akankita peroleh0,6 −10,6 + 100×0,6+= 010 RF⇒RF= 60,6×100,4= 1515 kΩ ≈ 1,5 MΩ177
9.3. Beberapa C<strong>at</strong><strong>at</strong>an Tentang Metoda Tegangan Simpul danMetoda Arus MeshPada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah s<strong>at</strong>u simpulsebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol,sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadapsimpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dap<strong>at</strong> kita pilihdengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalammenyelesaikan persoalan s<strong>at</strong>u rangkaian tertentu dap<strong>at</strong>menghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namundemikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanyamemang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperolehnilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisihtegangan antara dua simpul).Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan keretarel listrik <strong>at</strong>aupun jaringan PLN, orang melakukan pengukurantegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalampengertian metoda tegangan simpul melainkan terhadap titik netral<strong>at</strong>au ground di masing-masing lokasi pengukuran. Pengukuran inibelum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakanmetoda tegangan simpul karena ground di lokasi pengukurantidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis.Akan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dap<strong>at</strong>dilih<strong>at</strong> sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan inidengan mudah dap<strong>at</strong> di<strong>at</strong>asi dan akan dibahas lebih lanjut.Metoda arus mesh dap<strong>at</strong> diterapkan pada rangkaian planar yaitusu<strong>at</strong>u rangkaian yang diagramnya dap<strong>at</strong> digambarkan pada s<strong>at</strong>ubidang d<strong>at</strong>ar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian.Untuk rangkaian nonplanar metoda arus mesh tak dap<strong>at</strong> diterapkandan kita perlu menggunakan metoda arus loop.Metoda <strong>Analisis</strong> Berbantuan Komputer. Untuk rangkaianrangkaianyang rumit, analisis secara manual tidaklah efektifbahkan hampir tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu kitamemerlukan bantuan komputer. Metoda ini tidak dibahas dalambuku ini.178 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Carilah tegangan dan arus di masing-masing elemen padarangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yangdiberikan oleh sumber.100Ω50Ω100Ω5Va).+−10V+−+−5Vb).+ 5Ω 4Ω30V −3Ω 2Ac).10 V+−5 kΩ 7.5 kΩ5 kΩ2 mA1kΩ1kΩ1kΩ1kΩd).100mA2kΩ2kΩ100mA100Ωe).10V+−100Ω100Ω100Ω100Ω179
+ −5 kΩ 10 V10 kΩ20 mA 5 kΩ 5 kΩ10 mAf).100mA1kΩ100V+−2kΩ1kΩ2kΩ1kΩg).1kΩ2. Tentukanlah v 2 pada dua rangkaian di bawah ini.a).+v 1_10 kΩ10 kΩ20 kΩ+v−+−1000v+v 2_b).+v 1_10 kΩ 10 kΩ10 kΩ20 kΩ3. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaranv o = Kv s .+v−+−1000v+v 2_+−I50Ω 1 I 2100I 2+v s v o1kΩ 100I 1 1kΩ 1kΩ−180 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 10<strong>Rangkaian</strong> Pemroses Energi(Arus Searah)Dalam bab ini kita akan melih<strong>at</strong> beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian yang dap<strong>at</strong> memberikan gambaran keadaan ny<strong>at</strong>a.<strong>Rangkaian</strong> yang akan kita bahas meliputi rangkaian-rangkaianpemrosesan energi.Pemrosesan energi listrik pada umumnya dilakukan dengan tigamacam cara, yaitu teknologi arus searah, teknologi arus bolak-balik,dan teknologi pulsa. Mengenai teknologi yang terakhir ini, tidaktermasuk dalam cakupan buku ini; kita dap<strong>at</strong> mempelajarinya padapelajaran lain. Teknologi arus bolak-balik dengan sinyal sinusmerupakan teknologi yang sang<strong>at</strong> luas dipakai dalam pembangkitanmaupun penyaluran energi listrik, namun rangkaian arus bolak-balikini akan kita pelajari di bab lain; di bab ini kita hanya akan melih<strong>at</strong>rangkaian pemroses energi dengan tegangan dan arus searah, yangkita sebut rangkaian arus searah. Dalam rekayasa praktis, rangkaianpemroses energi yang pada umumnya merupakan rangkaianberbentuk tangga, digambarkan dengan cara yang lebih sederhanayaitu dengan menggunakan diagram s<strong>at</strong>u garis. Bagaimana diagramini dikembangkan, akan kita lih<strong>at</strong> pula di bab ini.Cakupan bahasan dalam bab ini meliputi al<strong>at</strong> ukur dan pengukuranarus searah, saluran dan jaringan distribusi daya arus searah,penyediaan b<strong>at</strong>ere sebagai sumber tenaga arus searah.Dengan mempelajari rangkaian pemroses energi ini, kita akan• mampu menghitung parameter penyalur daya arussearah.• mampu melakukan perhitungan penyaluran daya arussearah.• mampu melakukan analisis rangkaian arus searah yangdiberikan dalam bentuk diagram s<strong>at</strong>u garis.• mampu melakukan perhitungan dalam susunan b<strong>at</strong>ere.10.1. Pengukur Tegangan dan Arus SearahSalah s<strong>at</strong>u jenis al<strong>at</strong> pengukur tegangan dan arus searah adalah jeniskumparan berputar yang terdiri dari sebuah kumparan yang beradadalam su<strong>at</strong>u medan magnetik permanen. Kumparan yang disangga181
oleh sumbu dan dilengkapi dengan pegas ini akan berputar apabilaia dialiri arus. Perputaran akan mencapai kududukan tertentu padasa<strong>at</strong> momen putar yang timbul akib<strong>at</strong> adanya interaksi medanmagnetik dan arus kumparan, sama dengan momen lawan yangdiberikan oleh pegas. Sudut pada kedudukan seimbang ini kita sebutsudut defleksi. Defleksi maksimum terjadi pada arus maksimumyang diperbolehkan mengalir pada kumparan. Karena kumparanharus ringan, ia harus dibu<strong>at</strong> dari kaw<strong>at</strong> yang halus sehingga arusyang mengalir padanya sang<strong>at</strong> terb<strong>at</strong>as. Kaw<strong>at</strong> kumparan inimempunyai resistansi yang kita sebut resistansi internal al<strong>at</strong> ukur.Walaupun arus yang melalui kumparan sang<strong>at</strong> terb<strong>at</strong>as besarnya,namun kita dap<strong>at</strong> membu<strong>at</strong> al<strong>at</strong> ukur ini mampu mengukur arussampai r<strong>at</strong>usan amper dengan cara menambahkan resistor paralel(shunt). Terb<strong>at</strong>asnya arus yang diperbolehkan melalui kumparanjuga berarti bahwa tegangan pada terminal kumparan juga sang<strong>at</strong>terb<strong>at</strong>as; namun dengan menambahkan resistansi seri terhadapkumparan, kita dap<strong>at</strong> membu<strong>at</strong> al<strong>at</strong> ukur ini mampu mengukurtegangan sampai beberapa r<strong>at</strong>us volt.COTOH-10.1: Sebuah al<strong>at</strong> ukur kumparan berputar mempunyairesistansi internal 10 Ω dan berdefleksi maksimum jika arusyang mengalir pada kumparan adalah 50 mA. Tentukanresistansi seri yang harus ditambahkan agar al<strong>at</strong> ini mampumengukur tegangan sampai 750 V.Penyelesaian :10 ΩDengan penambahan resistorRseri R s terjadi pembagianstegangan antara R s dengan + v = 750 V −kumparan; dengan memilih nilaiR s yang tep<strong>at</strong> tegangan pada kumparan tetap pada b<strong>at</strong>as yangdiijinkan. <strong>Rangkaian</strong> al<strong>at</strong> ukur menjadi seperti gambar berikut.Dengan arus pada kumparan dib<strong>at</strong>asi pada 50 mA, maka:750−3750= 50 × 10 ⇒ Rs= − 10 = 14990 ΩR + 10−3s50 × 10182 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
COTOH-10.2: Al<strong>at</strong> ukur kumparan berputar pada contoh-10.1.(yang memiliki resistansi internal 10 Ω dan defleksi maksimumterjadi pada arus kumparan 50 mA) hendak digunakan untukmengukur arus sampai 100 A. Tentukan nilai resistasi shuntyang diperlukan.Penyelesaian:Dengan penambahan shunt R sh akan terjadi pembagian arusantara R sh dengan kumparan. Dengan memilih nil R sh yang tep<strong>at</strong>,arus yang mengalir pada kumparan tetap dalam b<strong>at</strong>as yangdiijinkan. <strong>Rangkaian</strong> al<strong>at</strong> ukur dengan shunt terlih<strong>at</strong> padagambar berikut. Dengan arus kumparan 50 mA, maka :10 Ω−3→ I sh + 50 × 10 = 100−3100 A→ I sh Rsh= 10 × 50 × 1050 mAI −3sh10 × 50 × 10⇒ Rsh== 0,005 Ω−3R sh100 − 50 × 1010.2. Pengukuran ResistansiSalah s<strong>at</strong>u metoda untuk mengukur resistansi adalah metodavoltmeter-amperemeter. Dalam metoda ini nilai resistansi dap<strong>at</strong>dihitung dengan mengukur tegangan dan arus secara simultan.Dalam contoh berikut ini diberikan dua macam rangkaian yangbiasa digunakan untuk mengukur resistansi dengan metodavoltmeter-amperemeter.COTOH-10.3: Resistansi R x hendak diukur dengan menggunakandua macam rangkaian berikut ini. Jika resistansi internalvoltmeter dan amperemeter masing-masing adalah R V dan R Idan penunjukan voltmeter dan amperemeter adalah V dan I,hitunglah R x pada kedua macam cara pengukuran tersebut.II+V R x+ V−−a). b).183
Penyelesaian :Untuk rangkaian a), tegangan pada R x adalah V sedangkan arusyang melalui R x adalahVI x = I −RsehinggaVV VRx= =I x I − ( V / RV)Jika pengukuran dilakukan dengan menggunakan rangkaian b),arus yang melalui R x adalah I sedangkan tegangan pada R xadalahsehinggaPemahaman :Vx = V − IR IV V − IRIVRx= = = − RII x I IKesalahan pengukuran akan kecil dan nilai R x dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akandengan R x = V/I jika R V cukup besar pada rangkaian a) <strong>at</strong>au R Icukup kecil pada rangkaian b).10.3. Resistansi Kabel Penyalur DayaKabel digunakan sebagai penyalur daya dari sumber ke beban.Setiap ukuran dan jenis kabel mempunyai b<strong>at</strong>as kemampuanpengaliran arus yang tidak boleh dilampaui; arus yang melebihib<strong>at</strong>as akan menyebabkan pemanasan pada kabel yang akanmemperpendek umur kabel. Di samping itu, resistansi konduktorkabel akan menyebabkan terjadinya beda tegangan antara sumberdan beban. Oleh karena itu pemilihan ukuran kabel harusdisesuaikan dengan besarnya beban. Selain resistansi konduktor,resistansi isolasi kabel juga merupakan parameter yang harusdiperh<strong>at</strong>ikan; menurunnya resistansi isolasi akan menyebabkankenaikan arus bocor.COTOH-10.4: Resistansi konduktor su<strong>at</strong>u kabel sepanjang 500 mpada 20 o C adalah 0.58 Ω dan resistansi isolasinya adalah 975MΩ. Carilah resistansi konduktor dan isolasinya per kilometer.184 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :Resistansi konduktor sebanding dengan panjangnya sesuaidengan relasi R = ρl/A, maka resistansi konduktor per kilometeradalahR konduktor= 2 × 0,58 = 1,16 Ωper km.Resistansi isolasi adalah resistansi antara konduktor dan tanah(selubung kabel). Luas penampang isolasi, yaitu luaspenampang yang dilih<strong>at</strong> oleh konduktor ke arah selubung,berbanding terbalik terhadap panjang kabel; makin panjangkabel, makin kecil resistansi isolasinya. Resistansi isolasi kabelper kilometer adalahR isolasi= ( 1/ 2) × 975 = 488 MΩper km.COTOH-10.5: Dua penggalan kabel, masing masing mempunyairesistansi konduktor 0,7 Ω dan 0,5 Ω dan resistansi isolasi 300MΩ dan 600 MΩ. Jika kedua penggalan kabel itudisambungkan untuk memperpanjang saluran, berapakahresistansi konduktor dan isolasi saluran ini ?Penyelesaian :Karena disambung seri, resistansi total adalah :R konduktor= 0,7 + 0,5 = 1,2 ΩSambungan seri kabel, menyebabkan resistansi isolasiny<strong>at</strong>erhubung paralel. Jadi resistansi isolasi total adalah :R isolasi300×600= = 200 MΩ300 + 60010.4. Penyaluran Daya Melalui Saluran UdaraSelain kabel, penyaluran daya dap<strong>at</strong> pula dilakukan denganmenggunakan saluran di <strong>at</strong>as tanah yang kita sebut saluran udara.Saluran udara ini dipasang dengan menggunakan tiang-tiang yangdilengkapi dengan isol<strong>at</strong>or penyangga <strong>at</strong>au isol<strong>at</strong>or gantung yangbiasanya terbu<strong>at</strong> dari keramik <strong>at</strong>au gelas. Konduktornya sendiridap<strong>at</strong> merupakan konduktor tanpa isolasi (telanjang) dan olehkarena itu permasalahan arus bocor terletak pada pemilihan isol<strong>at</strong>orpenyangga di tiang-tiang dan hampir tidak terkait pada panjangsaluran sebagaimana yang kita jumpai pada kabel.185
COTOH-10.6: Dari su<strong>at</strong>u gardu distribusi dengan tegangan kerja550 V disalurkan daya ke dua rangkaian kereta listrik. Duarangkaian kereta tersebut berada masing-masing pada jarak 1km dan 3 km dari gardu distribusi. Kereta pertama mengambilarus 40 A dan yang ke-dua 20 A. Resistansi kaw<strong>at</strong> saluranudara adalah 0,4 Ω per km, sedangkan resistansi rel sebagaisaluran balik adalah 0,03 Ω per km. Tentukanlah (a) tegangankerja di masing-masing kereta, (b). Daya yang diserap saluran(termasuk rel).Penyelesaian :Diagram rangkaian listrik dari sistem yang dimaksudkan dap<strong>at</strong>digambarkan seperti di bawah ini.GarduDistribusi+550V−40+20=60A0,4Ωa). Tegangan kerja kereta pertama (V 1 ) dan kereta kedua (V 2 )adalah:VV12= 550 − 60(0,4 + 0,03) = 524,2 V= V1+V 1−0,03Ω1 km− 20(0,8 + 0,06) = 507 Vb). Daya yang diserap saluran adalah10.5. Diagram S<strong>at</strong>u Garis20A40A3 km0,8Ω0,06Ω(0,4Ω/km)(0,03Ω/km)22p saluran = 60 (0,4 + 0,03) + 20 (0,8 + 0,06)= 1892 W = 1,89 kW20APenggambaran saluran distribusi seperti pada contoh 10.6. di <strong>at</strong>asdap<strong>at</strong> dilakukan dengan lebih sederhana, yaitu menggunakandiagram s<strong>at</strong>u garis. Cara inilah yang sering dilakukan dalampraktik. S<strong>at</strong>u saluran digambarkan dengan hanya s<strong>at</strong>u garis saja,beban diny<strong>at</strong>akan dengan kebutuhan daya <strong>at</strong>au besar arusnya. Posisigardu dan beban-beban diny<strong>at</strong>akan dalam panjang saluran <strong>at</strong>aupunresistansi saluran. Resistansi saluran diny<strong>at</strong>akan sebagai resistansitotal yaitu jumlah resistansi kaw<strong>at</strong> kirim dan resistansi kaw<strong>at</strong> balik.+V 2−186 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Sebagai contoh, diagram s<strong>at</strong>u garis dari sistem penyaluran daya padacontoh 10.6. dap<strong>at</strong> kita gambarkan sebagai berikut.550V1 km 2 km40A(resistansi saluran 0.43Ω/km)COTOH-10.7: Su<strong>at</strong>u saluran distribusi 2 kaw<strong>at</strong> dic<strong>at</strong>u dari keduaujungnya (A dan D) dengan tegangan 255 V dan 250 V. Bebansebesar 100 A dan 180B CA berada di titik Asimpul B dan C sepertiterlih<strong>at</strong> pada diagrams<strong>at</strong>u garis berikut.Resistansi yang terterapada gambar adalah resistansi s<strong>at</strong>u kaw<strong>at</strong>. Tentukanlahtegangan di tiap titik beban (B dan C) serta arus di tiap-tiapbagian saluran.Penyelesaian:20A<strong>at</strong>au550VDengan memperhitungkan saluran balik, resistansi saluranmenjadi dua kali lip<strong>at</strong>. Persamaan tegangan simpul untuk“simpul” B dan C adalah70 V B − 20 V C = 1265053 ,3VC − 20 V B = 8153 ,30,43Ω 0,86Ω40A0,01Ω 0,025Ω 0,015Ω100A180A12650 × 53,3 + 8153,3 × 20⇒ VB== 251,3 V53,3 × 70 − 4008153,3 + 20 × 251,3⇒ VC== 247,1 V53,3Arus pada segmen AB, BC dan CD adalah :20ADV − 255 − 251,3= A VIBAB == 185 A ;RAB0,02I BC = I AB −100= 85 A; I DC = 180 − I BC= 95A187
Penurunan Diagram S<strong>at</strong>u Garis. Bagaimana mungkin metod<strong>at</strong>egangan simpul dap<strong>at</strong> kita aplikasikan pada rangkaian yangdigambarkan dengan diagram s<strong>at</strong>u garis? Untuk menjawabpertanyaan ini, kita lih<strong>at</strong> diagram rangkaian sebenarnya (dua kaw<strong>at</strong>)sebagai berikut.I AB I BCI CDAV++1 V 2−−A'R ABR AB′B C DR BCR BC′R CDR CD′B' C' D'I AB′ I BC′ I CD′Jika simpul B dan B' serta C dan C' kita pandang sebagai dua simpulsuper, maka untuk keduanya berlakuI AB − I BC + I BC ' −IAB ' = 0 dan I BC − ICD+ I CD ' −IBC ' = 0Karena I AB = I AB ' (hubungan seri), maka haruslahI BC = I BC ' dan oleh karenanya ICD= ICD'Dengan kesamaan arus-arus ini maka aplikasi HTK untuk setiapmesh pada rangkaian di <strong>at</strong>as akan memberikanVVV'A A'B B'C Cyang dap<strong>at</strong> ditulis sebagai+ I ABRAB+ V+ I BC RBC+ V+ ICDRCD+ VV ' + IA A ABV ' + IB B BCV ' + IC C CD'BB'CC'DD+ I+ I+ I'AB'BCR'CDR'AB'BCR'CD= 0= 0= 0( RAB+ R ' ) + V ' = 0AB BB( RBC+ R ' ) + V ' = 0BC CC( R + R ' ) + V ' = 0CDTiga persamaan terakhir ini tidak lain adalah persamaan rangkaianyang berbentuk :CDDD188 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
AI AB I BCI CDB C D+ R AB +R AB’R BC +R BC’ R CD +R CD’V +1 V 2−−A'Dengan mengambil simpul B' sebagai simpul referensi kita dap<strong>at</strong>memperoleh persamaan tegangan untuk simpul B dan C sebagai⎛ 1 1 ⎞⎜⎟VAVCVB++ I ' − −''BB+ ' + '⎝RAB+ RABRBC+ RBC⎠RABRABRBCRBC⎛ 1V ⎜C'⎝RBC+ RBC1 ⎞⎟VBVD++ I ' − −+CCRCDR '+ ' + 'CD ⎠RBCRBCRCDRCD= 0Inilah persamaan tegangan simpul B dan C yang dap<strong>at</strong> kita perolehlangsung dari diagram s<strong>at</strong>u garis :AB' C' D'BR AB +R AB’ R BC +R BC’R CD +R CD’CD= 0I BB’I CC’Jadi, dengan menambahkan resistansi saluran balik pada salurankirim, maka saluran balik tidak lagi mengandung resistansi. Dengandemikian saluran balik ini dap<strong>at</strong> kita pakai sebagai simpul referensiyang bertegangan nol untuk seluruh panjang saluran balik tersebut.Dengan cara demikian ini, maka kita dap<strong>at</strong> memperoleh persamaan“tegangan simpul” langsung dari diagram s<strong>at</strong>u garis tanpa harusmenggambarkan diagram rangkaian sebenarnya, dengan c<strong>at</strong><strong>at</strong>anbahwa yang dimaksud dengan “tegangan simpul” adalah teganganantara saluran pengirim dan saluran balik di lokasi yang sama.10.6. Jaringan Distribusi DayaPenyaluran daya listrik dap<strong>at</strong> bermula dari s<strong>at</strong>u sumber ke beberap<strong>at</strong>itik beban <strong>at</strong>aupun dari beberapa sumber ke beberapa titik beban.Jaringan penyaluran daya ini, yang disebut jaringan distribusi daya,dap<strong>at</strong> berbentuk jaringan radial, mesh, <strong>at</strong>au ring. Ke-tiga bentuk189
jaringan tersebut akan kita lih<strong>at</strong> secara berturut-turut dalam contohberikut.COTOH-10.8: Tiga beban di A,X 250VB, dan C, masing-masingmemerlukan arus 50, 20, dan 600,04ΩA dic<strong>at</strong>u dengan jaringan radial 0,05Ωdari sumber X yangCtegangannya 250 V. Penyaluran A 0,1Ω60Adaya dari sumber ke beban 50Adilakukan melalui saluran yangBresistansi totalnya (saluranpengirim dan saluran balik)20Adiperlih<strong>at</strong>kan pada gambar.Carilah tegangan masing-masing beban dan daya diserapsaluran pada tiap cabang saluran.Penyelesaian :VA= VX− 0,05×50 = 247,5 V;VB= 250 − 0,1 × 20 = 248 V;VC= 250 − 0,04×60 = 247,6 V2pXA= (50) × 0,05 = 125 W;2pXC= (60) × 0,04 = 144 W2pXB= (20) × 0,1 = 40W;COTOH-10.9: Titik beban Adan B serta B dan C padacontoh 10.8, dihubungkandengan interkonektor yangresistansi masing-masingterlih<strong>at</strong> pada gambar disamping ini. Carilahtegangan masing-masingbeban dan daya diserapsaluran pada tiap cabangsaluran dan interconnector,serta arus saluran.X0,05Ω0,1ΩA50A0,1ΩB20A250V0,04ΩC0,15Ω60A190 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
191Penyelesaian :Persamaan tegangan simpul untuk simpul A, B, dan C adalah00,040,15600,1510,04100,10,150,1200,1510,110,1100,050,1500,110,051=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XBCXCABXBAVVVVVVVVVV062503206039502500320102038005000105030=−−+=−−−+=−−+BCCABBAVVVVVVVDari sini kita perolehV247,583247,75495V ;247,757247,6421239V;247,63=+==×+==ABCVVVDaya diserap saluran adalahW146,40,04247,63)(250W50,60,1247,75)(250W1170,05247,58)(250)(2222=−==−==−=−=XCXBXAAXXAppRVVp30954123949512500270013=−−CBAVVV18570744049509520020803001030=−−−−CBAVVV
2( V − )= A VpBAB0,12(247,58 − 247,75)=0,1= 0,3 W2(247,75 − 247,63)pBC== 0,1 W0,15Arus pada saluran:( VX−VA) (250 − 247,58)I XA = == 48,4 ARXA0,05(250 − 247,75)I XB == 22,5 A0,1(250 − 247,63)I XC == 59,3 A0,04COTOH-10.10: Gambar berikut ini adalah diagram s<strong>at</strong>u garisjaringan distribusi dengan sumber-sumber yang diny<strong>at</strong>akansebagai arus masuk ke jaringan dan beban-beban diny<strong>at</strong>akandengan arus keluar dari jaringan. Pada jaringan berstrukturcincin ini, hitunglah arus-arus pada tiap cabang saluran.30A I 280AB 0,02Ω CI 1 I 30,01Ω 0,02Ω70A ADI 60,01Ω 0,01IF 0,03Ω Ω E 4120A I 5 60A60APenyelesaian :Aplikasi HTK untuk loop dan HAK untuk lima “simpul”memberikan persamaan dalam bentuk m<strong>at</strong>riks sebagai berikut :192 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
0,01− 110000,020− 11000,0200− 1100,01000−110,030000− 10,0110000I1I2I3I4I5I6=0− 7030− 8060− 60Eliminasi Gauss memberikan :100000220000222000111100333330124671I1I2I3I4I5I6=0− 70−150− 390− 450− 81Dari sini kita peroleh :I6= −81A ; I5= 39 A ;I3= 39 A ; I 2 = −41A ;I 4 = −21A ;I1= −11ATanda neg<strong>at</strong>if : arah arus berlawanan dengan arah referensi.10.7. B<strong>at</strong>ereB<strong>at</strong>ere merupakan sumber daya arus searah yang banyak digunakan,terutama untuk daya yang tidak terlalu besar serta keadaan darur<strong>at</strong>.Untuk daya besar, susunan b<strong>at</strong>ere dic<strong>at</strong>u oleh sumber arus searahyang diperoleh dari penyearahan arus bolak-balik. Berikut ini kitaakan melih<strong>at</strong> penyediaan b<strong>at</strong>ere, sedangkan penyearahan arus bolakbalikakan kita lih<strong>at</strong> pada sub-bab berikutnya mengenai rangkaiandengan dioda.Su<strong>at</strong>u b<strong>at</strong>ere tersusun dari sel-sel yang merupakan sumber dayasearah melalui konversi energi kimia. Setiap sel mempunyaitegangan yang tidak besar dan oleh karena itu untuk memperolehtegangan sumber yang kita inginkan, kita harus menyususn sel-selitu menjadi su<strong>at</strong>u susunan b<strong>at</strong>ere. Sebagai contoh, sumber dayauntuk mobil merupakan sumber dengan tegangan 12 V yang193
tersusun dari 6 sel terhubung seri dan masing-masing selbertegangan 2 volt.Penyediaan b<strong>at</strong>ere haruslah diusahakan optimal baik dilih<strong>at</strong> daripertimbangan ekonomis maupun teknis. Berikut ini su<strong>at</strong>u contohperhitungan penyediaan b<strong>at</strong>ere.COTOH-10.11: Su<strong>at</strong>u susunan b<strong>at</strong>ere diperlukan untukmemberikan arus sebesar 6 A pada beban resistif sebesar 0,7 Ω.Jika sel-sel yang tersedia mempunyai ggl (emf) 2,1 V denganresistansi internal 0,5 Ω, tentukanlah jumlah sel dansusunannya.Penyelesaian :Jika kita anggap susunanb<strong>at</strong>ere kita sebagai su<strong>at</strong>u V+ R ThThsumber Thévenin, maka −untuk mencapai transferdaya maksimum resistansiThévenin harus sama dengan resistansi beban, yaituR Th = R beban = 0,7 ΩKarena arus ditetapkan sebesar 6 A, maka sumber teganganThévenin, V Th , haruslahV Th= 6 × (0,7 + 0,7) = 8,4Sel yang tersedia mempunyai ggl 2,1 V sehingga diperlukan 4buah sel dihubungkan seri untuk memperoleh tegangan 8,4 V.Susunan seri ini mempunyai resistansi total sebesar 4×0,5=2 Ω.Untuk memperoleh R Th sebesar 0,7 Ω (<strong>at</strong>au mendek<strong>at</strong>i)diperlukan tiga susunan paralel, yang akan meberikan R ekivalen =0,66 Ω. Jadi kita memerlukan 4 × 3 = 12 sel, yang tersusunmenjadi 4 seri 3 paralel seperti terlih<strong>at</strong> pada gambar di bawahini.V6 A0,7 Ω4×0,5 Ω+++6 A4×2,1 V0.7 0,7 Ω−−−194 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Pemahaman :Jika susunan seri kita kurangi jumlah sel-nya, menjadi hanya 3,maka tegangan total menjadi 3×2,1=6,3 V, dan resistansinyamenjadi 3×0,5=1,5 Ω. Dengan mempertahankan susunan tetap 3paralel, resistansi ekivalen menjadi 0,5 Ω. Arus beban akanmenjadi6,3/(0,5+0,7) = 5,025 A,kurang dari yang diharapkan yaitu 6 A.Jika kita coba menambah jumlah cabang paralelnya menjadi 4,resistansi ekivalen menjadi 1,5/4 = 0,375 Ω. Arus bebanmenjadi 6,3/(0,375+0,7) = 5,86 A; tetap masih kurang dari 6 A.Jadi susunan 12 sel menjadi 4 seri terparalel 3, adalah yangoptimal dengan arus beban 8,4/(0,66+0,7) = 6,17 A.10.7.1. Sel-sel Ujung (Sel Akhir)Pada umumnya pembebanan pada b<strong>at</strong>ere tidaklah selalu tetap. Jikaarus beban bertambah, maka tegangan b<strong>at</strong>ere akan menurun karenaada resistansi internal. Tegangan b<strong>at</strong>ere juga akan menurun padabeban konstan, seiring dengan berjalannya waktu. Oleh karena itujika diperlukan su<strong>at</strong>u tegangan keluaran yang tertentu besarnya,maka diperlukan sel ujung yang akan dimasukkan <strong>at</strong>aupundikeluarkan dari susunan b<strong>at</strong>ere agar perubahan tegangan keluaranmasih dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as yang diperbolehkan.COTOH-10.12: Dari su<strong>at</strong>u susunan b<strong>at</strong>ere diperlukan tegangankeluaran sebesar 220 V. Jika tegangan maksimum tiap seladalah 2,5 V sedangkan tegangan minimum yang masihdiperkenankan adalah 1,85 V, berapakah jumlah sel (terhubungseri) yang diperlukan, dan berapakah jumlah sel ujung.Penyelesaian :Jumlah sel yang diperlukan harus dihitung denganmemperh<strong>at</strong>ikan tegangan minimum sel agar pada teganganminimum ini tegangan keluaran b<strong>at</strong>ere masih bernilai 220 V.220Jadi jumlah sel yang diperlukan adalah = = 119 buah1,85Pada sa<strong>at</strong> sel bertegangan maksimum, jumlah sel yang220diperlukan hanyalah 0 = = 88 buah2,5Jadi jumlah sel ujung adalah u = 119 − 88 = 31 buah.195
10.7.2. Pengisian B<strong>at</strong>ereDalam proses pengisian b<strong>at</strong>ere, daya dari sumber ditransfer keb<strong>at</strong>ere. Daya yang dikeluarkan oleh sumber, selain untuk mengisib<strong>at</strong>ere sebagian akan hilang menjadi panas dalam b<strong>at</strong>ere (karenaadanya resistansi internal b<strong>at</strong>ere), hilang pada saluran, dan jugahilang pada sumber itu sendiri karena adanya resistansi internalsumber. Kita lih<strong>at</strong> contoh berikut ini.COTOH-10.13: Sebuah sumber tegangan searah 250 V denganresistansi internal sebesar 0,5 Ω digunakan untuk mengisib<strong>at</strong>ere yang terdiri dari 100 sel, masing-masing dengan ggl 2,2V dan resistansi internal 0,01 Ω. Hitunglah a) arus pengisian. b)daya pe- ngisian b<strong>at</strong>ere, c) daya hilang sebagai panas dalamb<strong>at</strong>ere, d) daya hilang sebagai panas pada sumber.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong>pengisisan b<strong>at</strong>ereadalah sepertigambar disamping ini.+−Ggl total b<strong>at</strong>ere dan resistansi internalnya adalah :GGL = 100 × 2,2 = 220 V ; Rb= 100 × 0,01 = 1 Ωa). Arus pengisisan adalah :+R sR b−250 V+−V − 250 − 220= sumber GGLI= = 20 ARs+ Rb0,5 + 1b). Daya untuk pengisisan b<strong>at</strong>ere adalah :p pengisian = GGL × I = 220 × 20 = 4400 W .c). Daya hilang sebagai panas dalam b<strong>at</strong>ere adalah ;(100 × 2,2) Vppanas = bI2 R = 20 2 × 1 = 400Wd). Daya hilang pada sumber :ppanas sumber = sumberI2 R = 20 2 × 0,5 = 200W196 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
10.8. Gener<strong>at</strong>or Arus SearahPembahasan secara rinci dari su<strong>at</strong>u gener<strong>at</strong>or arus searah dap<strong>at</strong> kitapelajari dalam pembahasan khusus mesin-mesin listrik. Gener<strong>at</strong>orarus searah dalam ulasan berikut ini dipandang sebagai piranti yangdap<strong>at</strong> dimodelkan secara sederhana, sebagai sebuah sumber arussearah selain b<strong>at</strong>ere yang kita bahas di <strong>at</strong>as.Kita mengenal beberapa jenis gener<strong>at</strong>or yang dibedakan menurutmacam pengu<strong>at</strong>an (eksitasi) yang digunakan, yaitu gener<strong>at</strong>orberpengu<strong>at</strong>an bebas, gener<strong>at</strong>or berpengu<strong>at</strong>an seri, dan gener<strong>at</strong>orberpengu<strong>at</strong>an shunt (paralel), gener<strong>at</strong>or berpengu<strong>at</strong>an kompon. Disini kita hanya akan melih<strong>at</strong> gener<strong>at</strong>or berpngu<strong>at</strong>an bebas.Gener<strong>at</strong>or arus searah berpengu<strong>at</strong>an bebas dap<strong>at</strong> dimodelkan dengansumber tegangan tak-bebas CCVS. Arus eksitasi, i f , mengalirmelalui kumparan eksitasi, yang merupakan kumparan st<strong>at</strong>or, danmenimbulkan medan magnet. Dalam medan magnetik inilah rotoryang mendukukung kumparan jangkar berputar dengan kecep<strong>at</strong>an nputaran per menit (n rpm) sehingga di kumparan jangkar ini timbultegangan. Tegangan jangkar ini menc<strong>at</strong>u beban yang dihubungkanke terminal gener<strong>at</strong>or; karena belitan jangkar memiliki resistansimaka terdap<strong>at</strong> resistansi seri yang terhubung ke tegangan yangterbangkit di kumparan jangkar yang disebut resistansi jangkar, R a .Tegangan yang terbangkit di kumparan jangkar sebanding denganfluksi magnetik di st<strong>at</strong>or dan kecep<strong>at</strong>an perputaran rotor sehingg<strong>at</strong>egangan jangkar dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan denganVg= k nφdengan k a su<strong>at</strong>u konstanta yang tergantung dari konstruksi jangkar, nkecep<strong>at</strong>an perputaran rotor, dan φ adalah fluksi magnet. Jika kitaanggap rangkaianmagnetik memilikikarakteristik linier makafluksi φ dap<strong>at</strong> kita anggapsebanding dengan aruseksitasiφ = k f i fsehingga tegangan gener<strong>at</strong>or dap<strong>at</strong> kita ny<strong>at</strong>akan sebagaidengan c g adalah su<strong>at</strong>u tetapan.a+_i f c g ni fR a+tegangan gener<strong>at</strong>or−V = cgCCVS, model gener<strong>at</strong>or arus searahgnif197
<strong>Rangkaian</strong> Arus SearahSoal-Soal1. Tegangan pada sebuah resistor R yang sedang dialiri arus searahdiukur dengan menggunakan sebuah voltmeter yang mempunyairesistansi internal 20 kΩ. Voltmeter menunjuk 200 V. Jika arustotal adalah 0,05 A, hitunglah nilai R.2. Arus yang melalui sebuah resistor R diukur menggunakanampermeter yang mempunyai resistansi internal 0,1 Ω (resistor Rdihubungkan seri dengan ampermeter). Jika tegangan yangdiberikan adalah 10 V dan ampermeter menunjuk 50 A. HitungR.3. Sebuah voltmeter jika dihubungkan langsung ke sumber teganganmenunjuk 240 V, jika melalui resistor seri 50 kΩ, iamenunjukkan 90 V. Berapakah resistansi internalnya ?.4. Sebuah voltmeter jika diserikan dengan resistor 50 kΩ menunjuk90 V pada tegangan sumber 240 V. Jika resistor 50 kΩ digantidengan su<strong>at</strong>u resistansi R x maka voltmeter menunjuk 3 V.Dengan membandingkan dua pengukuran tersebut, hitunglah R x .5. Dua buah voltmeter masing-masing mempunyai resistansi internal20 kΩ dan 30 kΩ. Jika mereka dihubungkan seri dan padahubungan seri ini diberikan tegangan 300 V, berapakahpenunjukkan masing-masing ?6. Su<strong>at</strong>u b<strong>at</strong>ere terdiri dari 10 buah sel masing-masing mempunyaiemf 1,8 V dan resistansi internal 0,02 Ω. Jika sepuluh sel itudihubungkan seri untuk menc<strong>at</strong>u beban resistor 2,8 Ω, berapakahdaya yang diserap beban ? Jika sepuluh sel tersebut dihubungkanparalel untuk menc<strong>at</strong>u beban yang sama, berapa daya diserapbeban ?7. Dua buah b<strong>at</strong>ere 120 V mempunyai resistansi internal berbeda,masing-masing 0,2 Ω dan 0,25 Ω. Kedua b<strong>at</strong>ere diparalelkanuntuk menc<strong>at</strong>u daya pada resistor 60 Ω. Hitunglah arus yangdiberikan oleh masing-masing b<strong>at</strong>ere.8. Sebuah beban memerlukan arus 100 mA pada tegangan 5 V.Sumber yang tersedia bertegangan 24 V. Untuk memenuhikeperluan itu digunakan potensiometer yang resistansi totalnya198 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
10 kΩ. Berapa daya diserap beban dan berapa daya diberikanoleh sumber ?9. Dua al<strong>at</strong> pemanas digunakan secara bersamaan pada tegangan 240V. Arus total yang mereka ambil adalah 15 A. Salah s<strong>at</strong>upemanas diketahui menyerap daya 1200 W. Berapa daya yangdiserap pemanas yang lain dan hitunglah resistansi masingmasingpemanas.10. Resistansi konduktor su<strong>at</strong>u jenis kabel adalah 0,014 Ω per 100m. Kabel jenis ini digunakan untuk menyalurkan daya searah kesebuah beban 100 A pada jarak 250 m dari pus<strong>at</strong> penc<strong>at</strong>u daya.Hitung perbedaan tegangan antara ujung kirim dan ujung terimakabel dan hitung daya hilang pada saluran ini.11. Tiga buah beban masing-masing 50 A, dihubungkan pada s<strong>at</strong>upus<strong>at</strong> penc<strong>at</strong>u daya searah melalui kabel-kabel yang terpisah.Resistansi kabel (saluran kirim + saluran balik) ke beban A, B,dan C berturut-turut adalah 0,05 , 0,1 , dan 0,02 Ω. Jika tegangandi penc<strong>at</strong>u daya adalah 250 V, hitung tegangan di masing-masingbeban.<strong>Rangkaian</strong> dengan Diagram S<strong>at</strong>u Garis12. Diagram s<strong>at</strong>u garis berikut ini menunjukkan penyaluran dayasearah ke tiga beban menggunakan s<strong>at</strong>u saluran kabel. Pus<strong>at</strong>penc<strong>at</strong>u daya di A bekerja pada tegangan 250 V. Tentukan pad<strong>at</strong>egangan berapa masing-masing beban beroperasi.I AI A 0,02Ω 0,04Ω 0,03Ω I D0,02Ω 0,02Ω 0,01ΩA B C80A 50A 30A13. Su<strong>at</strong>u kabel penyalur daya dic<strong>at</strong>u di kedua ujungnya untukmemberi daya pada dua beban seperti terlih<strong>at</strong> pada diagram s<strong>at</strong>ugaris berikut. Jika tegangan di A 255 V, dan di D 250 V,hitunglah tegangan di B dan C. Hitung pula arus masuk di A danD, dan arus di segmen B-C.A B C D100A150A199
14. Gambarkan diagram s<strong>at</strong>u garis untuk sistem pada soal 11. Jikabeban A dan B dihubungkan dengan kabel konektor yangresistansinya 0,1 Ω, dan beban B dan C dengan kabel konektor0,015 Ω. hitung tegangan di masing-masing beban.15. Diagram s<strong>at</strong>u garis su<strong>at</strong>u jaringan distribusi daya searah dengankonfigurasi cincin adalah sebagai berikut. Jika sumber di Abekerja pada 250 V, hitung tegangan masing-masing beban danarus di segmen-segmen jaringan distribusi.A120AC0,005Ω0,02Ω0,01ΩB 0,04Ω80AD0,02ΩE100A16. Sebuah beban 100 A berada pada jarak 250 m dari pus<strong>at</strong> penc<strong>at</strong>udaya. Jika tegangan j<strong>at</strong>uh pada beban tidak boleh lebih dari 5 Vdan jika resistivitas bahan konduktor kabel adalah 0,018Ω.mm 2 /m, hitunglah penampang konduktor kabel yangdiperlukan.200 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 11<strong>Rangkaian</strong> Pemroses Sinyal(<strong>Rangkaian</strong> Dioda dan OPAMP)Dalam bab ini kita akan melih<strong>at</strong> beberapa contoh aplikasi analisisrangkaian, dengan contoh-contoh rangkaian pemrosesan sinyal. Kitaakan melih<strong>at</strong> rangkaian-rangkaian dengan menggunakan dioda danrangkaian dengan OP AMP.Dengan mempelajari rangkaian pemroses sinyal di bab ini, kita akan• memahami rangkaian penyearah, pemotong gelombang;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian dioda;• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan resistor.• mampu melakukan analisis rangkaian-rangkaian OP AMPdengan elemen dinamis.• memahami hubungan-hubungan bertingk<strong>at</strong> rangkaian OPAMP.11.1. <strong>Rangkaian</strong> Dengan DiodaKita telah melih<strong>at</strong> bagaimana karakteristik dioda dan kita juga telahmempelajari rangkaian dengan dioda pada waktu membahas modelpiranti. <strong>Rangkaian</strong> yang telah kita kenal adalah penyearah setengahgelombang, penyearah gelombang penuh dengan emp<strong>at</strong> dioda(penyearah jemb<strong>at</strong>an), dan rangkaian pensaklran. Berikut ini kitamasih akan melih<strong>at</strong> penyearah gelombang penuh dari jenis yanglain, yaitu menggunakan transform<strong>at</strong>or. Namun untuk menging<strong>at</strong>kembali, kita sebutkan secara ringkas apa yang sudah kita pelajari.11.1.1. Penyearah Setengah Gelombang<strong>Rangkaian</strong> dan hasil penyearahan digambarkan lagi seperti terlih<strong>at</strong>pada Gb.11.1. Nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a arus adalah:Ias2π1=π ∫i2R0Vd(ωt)=m=πRImπ201
v sA+i+ v D −B+v RR L −CVv smi RI asωtGb.11.1. Penyearah setengah gelombang.00π2π11.1.2. Penyearah Gelombang Penuh (<strong>Rangkaian</strong> Jemb<strong>at</strong>an)<strong>Rangkaian</strong> penyearah jemb<strong>at</strong>an serta sinyal hasil pemrosesannyadigambarkan lagi seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.11.2.vD 2iC+AB+R LD 1D 4Gb.11.2. Penyearah gelombang penuh jemb<strong>at</strong>an.Dengan mudah dap<strong>at</strong> dihitung nilai arus searahIas2 V=π RmL2I=π11.1.3. Penyearah Gelombang Penuh Dengan Transform<strong>at</strong>orDiagram rangkaian penyearah ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.11.3.DV m00mvπi2πI asωtD 1v++v 1v 2+Ri 1i 2V m00v 1 v 2i 1 i 2π 2πI asωtD 2Gb.11.3. Penyearah gelombang penuhdengan transform<strong>at</strong>or ber-titik-tengah.202 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
<strong>Rangkaian</strong> ini menggunakan transform<strong>at</strong>or dengan belitan sekunderterbagi dua sama besar (belitan sekunder mempunyai titik tengah)sehingga dap<strong>at</strong> memberikan dua tegangan sekunder sama besar.Perbandingan lilitan transform<strong>at</strong>or untuk keperluan ini disesuaikandengan besar tegangan keluaran yang diinginkan.Aplikasi HTK untuk kedua loop di sekunder transform<strong>at</strong>ormemberikanv v V t vv v iR i1 − D11msinω− D11 − D1− = 0 → = =RRv v Vmt vDv v iR i2 − D2− 1 sinω− 22 − D2− = 0 → = =RRPada waktu D 1 konduksi,V1sin tim ω=R(11.1)yang hanya akan bernilai positif pada selang 0 ≤ ωt ≤ π. Dalamselang ini persamaan kedua dari (11.1) menjadiVm1sinωt−V=R1msinωt− vRD2→ vD2= −2Vm1sinωtJadi pada sa<strong>at</strong> D 1 konduksi, D 2 tidak konduksi karena v D2 < 0.(11.2)Pada setengah perioda berikutnya, D 2 konduksi sedangkan D 1 tidakkonduksi. Arus yang mengalir pada R akan tetap sama seperti padasetengah perioda sebelumnya. Tegangan balik maksimum yangdiderita oleh dioda adalah –2V m1 .11.1.4. Filter (Tapis) PasifTujuan dari penyearahan adalah memperoleh arus searah. Dalampenyearah yang kita bahas di <strong>at</strong>as, kita tidak memperoleh arussearah murni melainkan arus searah yang berubah secara periodik;jadi arus searah ini mengandung komponen arus bolak-balik. Variasitegangan ini disebut riak tegangan. Riak tegangan pada penyearahgelombang penuh lebih kecil dari riak tegangan pada penyearahsetengah gelombang. Untuk lebih memperkecil riak tegangan inidigunakan filter yang bertugas untuk meloloskan komponen searahdan mencegah komponen bolak-balik.203
Filter Kapasitor. Dengan menambahkan kapasitor paralel denganbeban R pada rangkaian penyearah setengah gelombang, maka riaktegangan akan sang<strong>at</strong> ditekan. Sebagaimana kita ketahui, kapasitordap<strong>at</strong> menyimpan energi. Pada sa<strong>at</strong> tegangan sumber naik, kapasitorakan terisi sampai mencapai tegangan maksimum. Pada sa<strong>at</strong>tegangan sumber menurun, kapasitor akan melepaskan energi yangdisimpannnya melalui beban (karena pada sa<strong>at</strong> ini dioda tidakkonduksi). Dengan demikian beban akan tetap memperoleh aliranenergi walaupun dioda tidak konduksi. Selanjutnya bila diodakonduksi lagi, kapasitor akan terisi dan energi yang tersimpan iniakan dilepaskan lagi pada waktu dioda tidak konduksi; dandemikian seterusnya. Filter semacam ini tentu saja dap<strong>at</strong> puladigunakan pada penyearah gelombang penuh.Gb.11.4. memperlih<strong>at</strong>kan rangkaian penyearah setengah gelombangdengan filter kapasitor. Jika v = Vm sin ωt, bagaimanakah bentuktegangan keluaran pada beban R ?Pada waktu dioda konduksi,kapasitor terisi sampai teganganmaksimum. Pada waktu v menuruntegangan sumber menjadi lebihkecil dari tegangan kapasitor dan vdioda tidak konduksi, v C = v R .Kapasitor melepaskan mu<strong>at</strong>annyamelalui R dan selama pelepasanmu<strong>at</strong>an ini, kita mempunyai looptertutup RC seri. Untuk loop ini berlakudvCv R vC= RiR= R −iC) = −RCdtPersamaan diferensial ini memberikanC1= − dt → lnvC= − t + KvCRCRCdvC( → RC + v = 0dt= Cdv )1 −(1/RC t⇒ vC= K1eNilai K 1 ditentukan oleh nilai awal tegangan kapasitor yaitu padasa<strong>at</strong> ia mulai melepaskan energinya yang hampir sama besar dengantegangan maksimum yang dicapai sesa<strong>at</strong> sebelum dioda berhenti−(1/ RC)tkonduksi, yaitu V m . Jadi vC= Vme. Dioda akan kembalikonduksi manakala v > v C . Maka tegangan pada R adalahpada waktu dioda konduksi: vpada waktu dioda tak konduksi: vR= vRC= v= VCi D+ v D −+v R−Gb.11.4. Filter kapasitor.sinωtVm−( 1/ RC)tVme=V204 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
151050-5-10-15v R=v vT0 0.05 0.1 0.15∆T∆v CωtDengan menambahkan kapasitor, riak tegangan dap<strong>at</strong> diperkecil.Kita dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> bahwa tegangan kapasitor menurun sebesar ∆v C .Penururnan tegangan ini menunjukkan adanya pelepasan mu<strong>at</strong>ansebesar C∆v C dan ini sama dengan jumlah mu<strong>at</strong>an yang ditransfermelalui R dalam selang waktu (T−∆T), yaitu sebesar I as (T−∆T).Dengan relasi ini kita dap<strong>at</strong> memperkirakan besarnya C yangdiperlukan untuk memb<strong>at</strong>asi tingk<strong>at</strong> riak tegangan (memb<strong>at</strong>asi ∆v C).∆ q⇒C= C ∆vCIasTC =∆vC= IasI=asf∆v( T − ∆T) ≈ ICV=asRf∆vCasT(11.3)COTOH-11.1: Pada penyearah dengan filter Gb.11.2, R = 5 kΩ,dan diinginkan tegangan dan arus di R adalah I as = 10 mA danV as = 50 V, sedangkan riak tegangan tak lebih dari 1% × V as ,berapakah nilai C dan berapa tegangan masukan v jikafrekuensinya 50 Hz ?Penyelesaian :Vas∆vC= 0,01Vas → = 0,1∆vCVas1→ C = = ×Rf∆vC5000 × 50Vas10,01= 400 µ F= 50 V →V≈ 50 V → v = 50sin(100πt)Vm(jika sumber yang tersedia 220 V, diperlukan transform<strong>at</strong>or).205
11.2. <strong>Rangkaian</strong> Dengan OP AMPKarakteristik OP AMP telah kita bahas pada waktu kita membahasmodel piranti di Bab-5. Dua rangkaian dasar OP AMP, yaiturangkaian penyangga dan rangkaian pengu<strong>at</strong> non-inversi telah pulakita pelajari. Di sub-bab ini kita akan membahas rangkaianrangkaianOP AMP yang lain termasuk rangkaian dengan elemendinamis. Apa yang telah kita pelajari mengenai OP AMP akan kitaulang secara ringkas.11.2.1. Karakteristik Pengu<strong>at</strong> Operasional (OP AMP) IdealOP AMPiadalah su<strong>at</strong>uPi opirantiv P ++v P = v (11.4)berbentuk−v ++ v o iP= i = 0rangkaiani −terintegrasiyang cukuprumit, terdiri Gb.11.5. <strong>Rangkaian</strong> dan karakteristikdari transistor,OP AMP ideal.resistor, dioda, kapasitor, yang semuanya terangkai dalam s<strong>at</strong>u chip.Walaupun rangkaiannya rumit, OP AMP dap<strong>at</strong> dimodelkan dengansu<strong>at</strong>u karakteristik i-v yang agak sederhana. <strong>Rangkaian</strong> dankarakteristik OP AMP ideal yang kita gunakan untuk melakukananalisis adalah seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.11.5.11.2.2. <strong>Rangkaian</strong> Penyangga<strong>Rangkaian</strong> penyangga serta relasi masukan-keluaran diperlih<strong>at</strong>kanlagi pada Gb.11.6.i Pv Pv o+v −v s +−Rv o = v s (11.5)i Gb.11.6 <strong>Rangkaian</strong> Penyangga.206 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
11.2.3. <strong>Rangkaian</strong> Pengu<strong>at</strong> on-Inversi<strong>Rangkaian</strong> pengu<strong>at</strong> non-inversi serta relasi masukan-keluarandiperlih<strong>at</strong>kan lagi pada Gb.11.7.i Pv Pv o+v −v s+R−1i R 2v oR1+ R 2R 2= (11.6)vsumpan balikGb.11.7. <strong>Rangkaian</strong> pengu<strong>at</strong> non-inversi11.2.4. <strong>Rangkaian</strong> Pengu<strong>at</strong> InversiDiagram rangkaian pengu<strong>at</strong> inversiterlih<strong>at</strong> pada Gb.11.8. Sinyalmasukan dan umpan balik,keduanya dihubungkan ke terminalmasukan inversi. Terminal noninversidihubungkan ke titikpentanahan, sehingga v P = 0.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalahv s+−R 1i 1i v v Pi 2umpan balikAGb.11.8. Pengu<strong>at</strong> inversi−+R 2v oOleh karena v = v P = 0 dan i = i P = 0, makav vs + o = 0R R1 2sehingga⎛ R ⎞v = − ⎜ 2 ⎟ voRs⎝ 1 ⎠(11.7)Kita lih<strong>at</strong> bahwa gain loop tertutup adalah K = − (R 2 / R 1 ). Tandaneg<strong>at</strong>if menunjukkan terjadinya pembalikan polaritas sinyal. Olehkarena itu rangkaian ini disebut pengu<strong>at</strong> inversi.207
COTOH-11.2: Disamping ini adalahsalah s<strong>at</strong>u variasirangkaian pengu<strong>at</strong>inversi. Tentukanlahhubungan keluaranmasukandanresistansi masukan.Penyelesaian :v s+−R 1R 3Persamaan tegangan simpul untuk simpul A (terminal inversi) :AR 2−++v oUntuk OP AMP ideal i = i P = 0, dan v = v P = 0 maka−vR1s−v+R208 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)2o= 0 →vvos−R=RKarena v A = v P = 0 maka i in = v s / R 1 . Resistansi masukan adalahvRin sin = = = R1iinvs/ R1Pengaruh adanya R 3 akan terlih<strong>at</strong> jika kita menggunakanrangkaian Gb.5.12.COTOH-11.3:Pada variasirangkaian pengu<strong>at</strong>inversi di sampingini, tentukanlahhubungan keluaranmasukandanresistansi masukan.Penyelesaian :v si in R 4+−Kita pandang rangkaian ini terdiri dari seksi sumber, yaiturangkaian sebelah kiri dari simpul B, dan seksi beban yaiturangkaian di sebelah kanan simpul B (rangkaian pengu<strong>at</strong>inversi). Jika seksi sumber kita ganti dengan rangkaian ekivalenThévenin-nya, maka rangkaian menjadi seperti di bawah ini.vR 5BR 112AR 2−++v o
V T+−R 1AR 2−++v oDengan cara seperti pada contoh sebelumnya, kita akanmemperolehMaka :vovoV R2R5R2R= × T = −× = −5vs VTvsR1+ R4|| R5R4+ R5( R1R5 + R1R4 + R4R5)Resistansi masukan adalah R in = v s / i in . Karena v A = v = v P = 0,maka i in = v s / (R 4 + R 1 ||R 5 ), sehinggavR4(R1R5) R1RR s+ + 5in = = R4+ R1|| R5=iinR1+ R511.2.5. <strong>Rangkaian</strong> PenjumlahDiagram rangkaian penjumlah<strong>at</strong>au adder terlih<strong>at</strong> padaGb.11.9. <strong>Rangkaian</strong> inimempunyai dua masukan dankeduanya dihubungkan keterminal masukan yang sama,yang disebut titik penjumlah.Terminal masukan noninversiditanahkan, sehinggav P = 0 = v dan i = 0(model ideal).i 1R 1v 1Persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah+−v 2+−R 2v v PA−+i FGb.11.9. <strong>Rangkaian</strong> penjumlah.v o209
⎛ 1 1 1 ⎞ 1 2 o+ v v vv⎜ + + ⎟ i− − − = 0⎝ R1R2RF⎠ R1R2RFv1v2vo→ + + = 0R1R2RFDari persamaan ini dap<strong>at</strong> diperoleh hubungan antara keluaran danmasukan yaituv⎛ vv⎞R1 2o = −RFvFF ⎜ + = − 1 − v2= K1v1+ K2v2R1R⎟(11.8)2 R1R2⎝⎠Jadi, tegangan keluaran merupakan jumlah dari tegangan masukanyang masing-masing dikalikan dengan gain yang berkaitan. Jumlahmasukan sudah barang tentu tidak terb<strong>at</strong>as hanya dua. Jika terdap<strong>at</strong>N masukan dengan tegangan masukan masing-masing v n danresistansi R n makavo=∑nKnvnRdenganKn= −RCOTOH-11.4: Carilahtegangan keluaran dari Rvrangkaian di samping 1−+ini.v 2RPenyelesaian :R Rv o = − v1− v2= −( v1+ v2)R RTegangan keluaran merupakan inversi dari jumlah teganganmasukan.RRFn(11.9)v oCOTOH-11.5: Carilahtegangan keluaran darirangkaian di sampingini.Penyelesaian :v 1v 2RRA+−RRv oPersamaan teganganuntuk simpul A adalah210 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
⎛ 1 1 ⎞ v1vv2P ⎜ + ⎟ + iP− − = 0⎝ R R ⎠ R Rv1+ v→ v2P =2Karena v = v o /2, maka :v1+ v2vo= → vo= v1+ v22 2Tegangan keluaran merupakan jumlah tegangan masukan.Pemahaman :Masing-masing sumber pada rangkaian ini mengeluarkan arus :v1− vPv1− v2v2− vPv2− v1i1= = ; i2= =R 2RR 2RSumber-sumber terbebani secara tidak mer<strong>at</strong>a (tidak sama).Pembebanan sumber tidak terjadi apabila v 1 = v 2 . Hal iniberbeda dengan rangkaian pada contoh 7.7.Pada contoh 7.23. masing-masing sumber mengeluarkan arusv1− v v1v2− vv2i1= = ; i2= =R RR RJadi pada rangkaian penjumlah inversi, sumber akan tetapterbebani walaupun v 1 = v 2 .COTOH 11.6:Carilah tegangan keluaranv o dari rangkaianpemjumlah di sampingini.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> penjumlah inimempunyai keluaranv 165 65v +13 5( 5vv )o = − v1− v2= − 1 13 265kΩPemahaman :Apabila kita diminta untuk merancang penjumlah denganformulasi v o seperti di <strong>at</strong>as, kita tidak akan memperoleh nilai+−13kΩv 2+−5kΩA−+v o211
esistor seperti apa yang tertera dalam diagran di <strong>at</strong>as. Dalamkeny<strong>at</strong>aan nilai-nilai resistansi pada rangkaian ini tidak ada dipasaran. Oleh karena itu kita harus melakukan modifikasidengan memilih nilai resistor yang ada di pasaran yangmendek<strong>at</strong>i nilai-nilai ini. Misalkan resistor 65 kΩ kita gantidengan 56 kΩ. Penggantian ini mengharuskan dua resistor yanglain bernilai masing-masing 11.2 kΩ dan 4.31 kΩ. Dengantoleransi ± 5 % kita dap<strong>at</strong> memilih resistor 11 kΩ dan 4.3 kΩ.Pemilihan nilai-nilai resistor yang ada di pasaran ini akanmemberikan formulasi tegangan keluaran56 56v = − v − v = − +11 4.3( 5,09v13, v )o 1 21 02Dalam perancangan, kita harus melakukan kompromi sepertiini. Tegangan keluaran yang kita peroleh akan mempunyaikesalahan jika dibandingkan terhadap formulasi ideal yangsemula diinginkan. Namun dengan pemilihan komponen yangtep<strong>at</strong>, kesalahan ini dap<strong>at</strong> dib<strong>at</strong>asi tidak lebih dari sesu<strong>at</strong>u nilaiyang ditetapkan; dalam contoh ini kesalahan tersebut tidaklebih dari 2 %.11.2.6. <strong>Rangkaian</strong> Pengurang <strong>at</strong>au Pengu<strong>at</strong> DiferensialDiagram rangkaian pengurang<strong>at</strong>au pengu<strong>at</strong>diferensial ini terlih<strong>at</strong> padaGb.11.10. Salah s<strong>at</strong>utegangan masukandihubungkan ke terminalmasukan inversi denganrangkaian inversi,sedangkan teganganmasukan yang laindihubungkan ke terminalmasukan non-inversi+−Gb.11.10. Pengu<strong>at</strong> diferensial.dengan rangkaian non inversi. Hubungan masukan – keluaran dap<strong>at</strong>dicari dengan menggunakan prinsip superposisi. Jika v 2 dim<strong>at</strong>ikanmaka terminal non inversi terhubung melalui resistor ke titikpentanahan, jadi v P = 0 karena i P = 0. Dalam keadaan ini rangkaianbekerja sebagai pengu<strong>at</strong> inversi; makav 2i 1R 2i v v 1 R 3−v P++−R 1R 4i P2i 2v o212 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Rv2o1 = − v1R(11.10)1Jika v 1 dim<strong>at</strong>ikan maka terminal inversi mendap<strong>at</strong> tegangan yangbesarnya adalahv R +Tegangan di terminal non-inversi=1vo2R1R(11.11)2Rv P+=4v2R3R(11.12)4Karena v = v P maka dari (11.11) dan (11.12) kita perolehR1R4⎛ R4⎞⎛ R1+ R2⎞vo2= v2<strong>at</strong>au vo2=v2R1R2R3R⎜4R3R⎟⎜4 R⎟+ +⎝ +(11.13)⎠⎝1 ⎠Keluaran total adalah⎛ R2⎞ ⎛ R4⎞ ⎛ R1+ R2⎞vo= vo1+ vo2= −⎜ v1v2R⎟ +⎜1 R3R⎟⎜4 R⎟⎝ ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ 1 ⎠= −K1v1+ K2v2(11.14)Dalam keadaan khusus, jika kita bu<strong>at</strong> R 1 = R 2 = R 3 = R 4 maka v o =v 2 − v 1 .COTOH 11.7:Carilah v o pada rangkaian di bawah ini.v 1R 2R v oR/2 −vB2 +RAPenyelesaian :Persamaan tegangan untuk simpul A dan B memberikan213
⎛ 1 1 ⎞ v1vo3vv⎜ + ⎟ + i− − = 0 →⎝ R 2R⎠ R 2R2R2v1vo→ v= +3 3⎛ 2 1 ⎞ 2v2 2vvi 0 v2P ⎜ + ⎟ + P − = → P =⎝ R R ⎠ R3Karena v = v P makaPemahaman :2v3v32v3v1vo= +R 2R1 o+ =2→ vo= 2v2− 2v1Dalam rangkaian di <strong>at</strong>as, arus yang keluar dari masing-masingsumber adalahv1− vv vi1 −1 = =R Rv 2vi2 22 = =R + R / 2 3RPv1− 2v=R2/ 3 3v1− 2v=3RTerlih<strong>at</strong> di sini bahwa masing-masing sumber mendap<strong>at</strong> bebanyang berbeda. Kejadian seperti ini harus diperh<strong>at</strong>ikan agarjangan terjadi pembebanan berlebihan pada salah s<strong>at</strong>u sumber.Pembeban-an pada sumber akan tetap terjadi walaupun v 1 = v 2 .Pembebanan pada sumber dap<strong>at</strong> ditiadakan denganmenghubungkan sumber langsung ke terminal masukan OPAMP sehingga sumber akan melih<strong>at</strong> resistansi masukan yangtak-hingga besarnya. <strong>Rangkaian</strong> yang kita bangun akanmemerlukan lebih dari s<strong>at</strong>u OP AMP yang terangkai secarabertingk<strong>at</strong>, su<strong>at</strong>u bentuk hubungan yang akan kita bahasberikut ini.11.2.7. Hubungan Bertingk<strong>at</strong> <strong>Rangkaian</strong> OP AMPHubungan bertingk<strong>at</strong> adalah hubungan dari dua <strong>at</strong>au lebih unitrangkaian dimana keluaran dari s<strong>at</strong>u unit rangkaian menjadimasukan bagi unit rangkaian berikutnya. Su<strong>at</strong>u contoh hubunganbertingk<strong>at</strong> diberikan pada Gb.11.11.2214 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
v 1 v 2 v 3 v oK1 K 2 K 3v 1 v 2v 3+ v o−+−+−Gb.11.11. Hubungan bertingk<strong>at</strong>.Keunggulan rangkaian OP AMP adalah bahwa mereka dap<strong>at</strong>dihubungkan secara bertingk<strong>at</strong> tanpa menyebabkan perubahanhubungan masukan-keluaran dari masing-masing rangkaian.Jika masing-masing rangkaian (masing-masing tingk<strong>at</strong>) dalamcontoh ini mempunyai gain K 1 , K 2 , dan K 3 , maka gainkeseluruhannya menjadi K 1 × K 2 × K 3 .<strong>Rangkaian</strong> OP AMP mempunyai resistansi keluaran nol. Olehkarena itu pada hubungan bertingk<strong>at</strong> tidak terjadi pengaruhpembebanan pada rangkaian OP AMP dan dengan demikian tidakmengubah hubungan masukan-keluaran. Walaupun demikian, dayayang diperlukan oleh su<strong>at</strong>u tingk<strong>at</strong> harus masih dalam b<strong>at</strong>askemampuan daya tingk<strong>at</strong> di depannya. Oleh karena itu kita perlumengetahui resistansi masukan rangkaian OP AMP agar kita dap<strong>at</strong>melakukan evaluasi apakah keperluan daya su<strong>at</strong>u tingk<strong>at</strong> tidakmelampaui kemampuan daya tingk<strong>at</strong> di depannya.Secara umum resistansi masukan dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai R in = v in /i in . Pada pengu<strong>at</strong> non-inversi, i in = i P = 0, sehingga pengu<strong>at</strong> noninversimempunyai resistansi masukan R in = ∞.v 1+−v oR 1R 2v 1 R 1 R 2_v o+Pengu<strong>at</strong> Non-InversiPengu<strong>at</strong> InversiPada pengu<strong>at</strong> inversi, i in = ( v in - v ) / R 1 ; karena v = v P = 0 makai in = v in / R 1 , sehingga untuk pengu<strong>at</strong> inversi R in = R 1 . Dalamhubungan bertingk<strong>at</strong>, resistansi masukan pengu<strong>at</strong> inversi yang215
nilainya berhingga ini akan membebani rangkaian tingk<strong>at</strong> didepannya. Dalam perancangan, kita cenderung untuk membu<strong>at</strong> R 1besar untuk memperkecil pembebanan ini. Tetapi gain loop tertutupdari pengu<strong>at</strong> ini berbanding terbalik dengan R 1 , yaitu K = −(R 2 /R 1 ); jadi jika R 1 diperbesar gain akan mengecil. Menghadapi haldemikian ini kita harus melakukan kompromi dalam memilih nilaiR 1 .COTOH-11.8: Tentukantegangan keluaran v o darihubungan bertingk<strong>at</strong> disamping ini.Pemahaman :⎛ 1 1 ⎞ vo1vvo ⎜ + ⎟ + i− − = 0⎝ R R ⎠ R R→ v = 2v− v = 2v− 2vov 1 +R −+oRPenyelesaian :Tingk<strong>at</strong> pertama v 2 +rangkaian ini berupapengu<strong>at</strong> non-inversi dengan keluaran v o1 = 2v1. Keluaran inimenjadi masukan di tingk<strong>at</strong> ke dua yang berupa sebuah pengu<strong>at</strong>diferensial dengan keluaran yang dap<strong>at</strong> diturunkan sebagaiberikut.o1Keluaran dari rangkaian ini sama dengan rangkaian pada contoh-11.7. Jelaslah bahwa su<strong>at</strong>u formulasi keluaran dap<strong>at</strong> dipenuhioleh lebih dari s<strong>at</strong>u macam rangkaian. <strong>Rangkaian</strong> mana yangdipilih dalam su<strong>at</strong>u perancangan tergantung dari berbagaipertimbangan, baik teknis maupun ekonomi.Jika kita bandingkan rangkaian pada contoh-11.7 dan 11.8 akanterlih<strong>at</strong> bahwa sumber-sumber pada contoh-11.7 terbebanisedangkan pada contoh-11.8 sumber-sumber tidak terbebanikarena mereka terhubung pada pengu<strong>at</strong> non-inversi yangresistansi masukannya tak-hingga. Jika daya sumber sang<strong>at</strong>terb<strong>at</strong>as, rangkaian pada contoh-11.8 akan menjadi pilihanwalaupun untuk itu diperlukan biaya lebih besar karena perludua OP AMP.2+−v o11RR+v216 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
11.3. Diagram BlokDalam rangkaian-rangkaian OP AMP yang kita bahas di <strong>at</strong>as(pengu<strong>at</strong> inversi, non-inversi, penjumlah, pengurang), terdap<strong>at</strong>hubungan linier antara keluaran dan masukan. Oleh karena itu kitadap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> setiap rangkaian sebagai su<strong>at</strong>u unit pemroses sinyalyang mengandung su<strong>at</strong>u konstanta tertentu yang menetapkanhubungan antara masukan dan keluarannya. Unit itu dap<strong>at</strong>digambarkan dengan su<strong>at</strong>u blok saja dengan menyebutkan konstantaproporsionalitasnya. Cara penggambaran seperti ini kita sebutdiagram blok. Gb.11.12 memperlih<strong>at</strong>kan rangkaian, diagram blok,dan konstanta proprosionalitas dari pengu<strong>at</strong> non-inversi dan pengu<strong>at</strong>inversi.v 1+_v oR 1R 2v 1Pengu<strong>at</strong> Non-InversiKR1+ RK = 2R2v ov 1 v ov 1v oR K1 R 2_+R2K = −R1Pengu<strong>at</strong> InversiGb.11.12. <strong>Rangkaian</strong> dan diagram blok pengu<strong>at</strong>non-inversi dan pengu<strong>at</strong> inversiGb.11.13. memperlih<strong>at</strong>kan rangkaian, diagram blok, dan konstantaproprosionalitas penjumlah dan pengurang. Su<strong>at</strong>u diagram blokmemperlih<strong>at</strong>kan urutan pemrosesan sinyal secara fungsional tanpamelih<strong>at</strong> detil rangkaian listriknya.217
v 1R 2R 1 v oR Fv 2−+Penjumlahv 1K 1v 2++K 2v oK1= −RFR1RFK2= −R2v 1R 2−+v 2R 3R 1vv 1oR 4PengurangK 1v 2++K 2v oR2K1= −R1⎛ R + ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ 1 R2RK⎟×⎜ 42⎟⎝ R1⎠ ⎝ R3+ R4⎠v o+Gb.11.13. <strong>Rangkaian</strong> dan diagram blok penjumlahdan pengurang.COTOH-11.9: Gambarkan diagram blok rangkaian di bawah inidan tentukan tegangan keluaran v o .10kΩv 1+10kΩ5kΩ−+v 2v o110kΩ10kΩ 10kΩ 5kΩ−+v o2−++ v oPenyelesaian :Tingk<strong>at</strong> pertama adalah pengu<strong>at</strong> inversi dengan K 1 = −0,5.Tingk<strong>at</strong> ke-dua adalah penjumlah inversi dengan K 2 = −1 untukmasukan v o1 dan v 2 .Tingk<strong>at</strong> ke-tiga adalah pengu<strong>at</strong> inversi dengan K 3 = −0,5.Diagram blok rangkaian ini dan keluarannya v o adalah sebagaiberikut:v 2−v−1 2+ 0,5v 1− v 2−0,25v 1− 0,5v 2−0,5v+1−0,5vv o1−0,5 −10,5v 1218 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
11.4. <strong>Rangkaian</strong> OP AMP Dinamik11.4.1. <strong>Rangkaian</strong> Integr<strong>at</strong>orIntegr<strong>at</strong>or adalah salah s<strong>at</strong>u rangkaianOP AMP dinamik. <strong>Rangkaian</strong> integr<strong>at</strong>ormirip dengan rangkaian pengu<strong>at</strong> inversitetapi resistor pada saluran umpan balikdiganti de-ngan kapasitor, sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.11.14. Bagaimanarangkaian ini berfungsi dap<strong>at</strong> kitaanalisis sebagai berikut.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A adalah:v⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ − C⎝ R ⎠ddtvR( v − v ) −s0o =Untuk OP AMP ideal v = v P = 0 = v A , sehingga persamaan di <strong>at</strong>asmenjadivs= −CRddtv ( t)1RCo( vo) <strong>at</strong>au∫d(vo) = −∫v o (0)t0v dtDari persamaan ini kita peroleh1 tvo= vo( 0) − ∫ v s dt(11.15.a)RC 0Karena v A = 0, maka v o = v C ; jika tegangan awal kapasitor adalahnol, maka v o (0) = v C (0) = 0, dan persamaan (11.15.a) menjadi1 tvo= − ∫ v s dt(11.15.b)RC 0Jadi tegangan keluaran v o merupakan integral dari teganganmasukan v s . <strong>Rangkaian</strong> ini merupakan rangkaian integr<strong>at</strong>or inversikarena konstanta proporsionalitasnya neg<strong>at</strong>if. Diagram blok dariintegr<strong>at</strong>or adalah sebagai berikut:v 1 v oKK = 1/RC∫s219
11.4.2. <strong>Rangkaian</strong> Diferensi<strong>at</strong>or<strong>Rangkaian</strong> diferensi<strong>at</strong>or diperolehdengan menukar posisi resistor dankapasitor pada rangkaian integr<strong>at</strong>or,seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.11.15.Persamaan tegangan simpul untuksimpul A dalam rangkaian iniadalah:v− CRddtvR( )ov − v − 0s =Karena v A = v = v P = 0 , makav d= −CR dto v ( t)1vs(0)s( vs) <strong>at</strong>au∫d(vs) = −∫Di sini v s merupakan tegangan kapasitor, dan jika tegangan awalkapasitor adalah nol maka1 tdvv = − ∫ v dt v = −RCsso <strong>at</strong>au o(11.16)RC 0dtJadi tegangan keluaran merupakan diferensiasi dari teganganmasukan. <strong>Rangkaian</strong> ini disebut diferensi<strong>at</strong>or inversi karenakonstanta proporsionalitasnya neg<strong>at</strong>if.RCDiagram blok dari diferensi<strong>at</strong>or adalah sebagai berikut:v dKv 1 o dtK = −RCi CA+v sC Ri v −v P +tv0 odti RGb.11.15. Diferensi<strong>at</strong>orinversi.+v oCOTOH-11.10:Tentukan tegangankeluaran v o padarangkaian di sampingini.Penyelesaian :v s +<strong>Rangkaian</strong> ini terdiri dari diferensi<strong>at</strong>or inversi dan penjumlahinversi. Diagram blok dari rangkaian ini adalah :C−+R 3R 1 R 2−+R 4+ v o220 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
v s−R 1 Cddt−RR324−RR4++v oTegangan keluaran adalahCOTOH-11.11:Tentukantegangankeluaran v o padarangkaian disamping ini.vo⎛ dvs⎞ ⎛ − R= R C4⎜ − 1 ⎟dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R2⎛ R1R4C⎞ dvs⎛ R=4⎜R⎟ −2 dt⎜⎝ ⎠ ⎝ R3⎞ ⎛ − R⎟ +⎜⎠ ⎝ R3⎞⎟ v⎠v 1 +R 1R 2v 2 +R 3s4⎞⎟ v⎠Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> ini terdiri dari pengu<strong>at</strong> diferensial dan integr<strong>at</strong>or.Diagram blok dari rangkaian ini adalah :R 4−+R 5s−+C+ v ov 1v 2R 4 R1+ R×R + R R34−R2R112++1−R 5 C∫v oTegangan keluaran adalaht1 ⎪⎧⎛ R( )4 R1+ R2⎞ ⎛ R2⎞ ⎪⎫vot = −v2v1⎬dt+ vo(0)R5C∫ ⎨⎜ ×R0⎪⎩ 3 R4R⎟ −⎜1 R⎟⎝ +⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭Pemahaman :Jika kita bu<strong>at</strong> semua resistor bernilai sama, R, maka keluarandari rangkaian di <strong>at</strong>as adalahv1t)= −RC ∫t{ v − v } dt + v (0)o( 2 1 o0221
COTOH-11.12: Tunjukkanlah bahwa keluaran rangkaian OPAMP dengan induktor di bawah ini masing-masing merupakanintegrasi dan diferensiasi tegangan masukannya.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> a) :di( )= = 0 → = =Lt iLtv vPvLvsL →∫vsdt= L0 ∫diLdti (0)i L (0) adalah arus awal induktor. Jika arus awal ini nol mak<strong>at</strong>i ( t)L∫ vsdt= L∫diL→ iL(t)=0Untuk terminal masukan inversi berlakuiL01L∫t0Lv dtv+o 1 t v+ 0 = 0 →∫vsdt+o= 0 sehinggaR L 0 RR tvo= − ∫ vsdtL 0<strong>Rangkaian</strong> b) : Jika arus awal induktor adalah nol maka1iL( t)=L∫tv0 oUntuk terminal masukan inversi berlakuiLv+sRDari sini diperoleh∫tLv dt = − vsR0 odt1 t v+ 0 = 0 → ∫ v dt +s=L 0 Rsehinggaso 0voL dv= −sR dt222 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Carilah tegangan v o rangkaian di samping ini, jika v s = 380cos314tV, dioda ideal.v s+−1µF1µF100kΩ+v o−2. Pada sebuah resistor 10 kΩ diperlukan tegangan searah agarmengalir arus 20 mA. Tegangan searah diberikan dari penyearahsetengah gelombang yang masukannya adalah tegangan bolakbalik220 V, 50 Hz. Tentukan kapasitor filter yang harusdiparalelkan dengan resistor agar riak gelombang tegangan tidaklebih dari 10%.3. Carilah hubungan antara tegangan keluaran v o dan teganganmasukan v s pada rangkaian-rangkaian berikut ini dan gambarkandiagram bloknya.223
4. Carilah hubungan antara v o dan i s rangkaian-rangkaian berikut.224 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
4. Gambarkan diagram blok dari rangkaian berikut ini dan dengandiagram blok tersebut tentukan tegangan keluaran v o .6. Carilah arus i pada rangkaian berikut ini jika v s = 4sin3000t V.12kΩ16kΩv s4kΩ+−−+8kΩ−+12kΩi7. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikutdiny<strong>at</strong>akan dalam v s dan gambarkan diagram bloknya .2kΩ 2kΩ−++2kΩv o+ v s2kΩ0,5µFa).225
+v s2µF 100kΩ−++100kΩ100kΩb).v oc).+v s2µF100kΩ100kΩ−+8. Tentukan tegangan keluaran v o pada rangkaian berikut diny<strong>at</strong>akandalam v s1 dan v s2.+v ov s1 +v s2 +4kΩ8kΩ0,5µF−++v o226 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 12Fasor, Impedansi, dan Kaidah<strong>Rangkaian</strong>Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan,ditransmisikan, serta dimanfa<strong>at</strong>kan dalam bentuk sinyal sinusdengan frekuensi 50 <strong>at</strong>au 60 Hz. Dalam teknik telekomunikasi,sinyal sinus dimanfa<strong>at</strong>kan dalam selang frekuensi yang lebih lebar,mulai dari beberapa Hz sampai jutaan Hz. Sejalan dengan itu, kitamemerlukan su<strong>at</strong>u cara analisis khusus untuk menanganni persoalanrangkaian listrik yang melib<strong>at</strong>kan sinyal sinus dalam keadaanmantap, yang kita sebut analisis arus bolak-balik keadaan mantap.<strong>Analisis</strong> rangkaian dengan sinyal sinus telah pernah kita lakukandengan meny<strong>at</strong>akan sinyal sinus sebagai fungsi waktu <strong>at</strong>au dengank<strong>at</strong>a lain kita melakukan analisis di kawasan waktu. Mulai bab inikita akan melakukan analisis di kawasan fasor. Dalam analisis ini,sinyal sinus kita ny<strong>at</strong>akan dalam bentuk fasor. Dengan sinyal sinusdiny<strong>at</strong>akan dalam fasor, perny<strong>at</strong>aan-perny<strong>at</strong>aan elemen rangkaianpun menjadi khusus pula. Kita k<strong>at</strong>akan bahwa rangkaian yang biasakita ny<strong>at</strong>akan dalam waktu, kita transformasikan menjadi rangkaiandalam fasor. Setelah ditransformasikan, kita melakukan analisis dimana semua besaran dan karakteristik elemen diny<strong>at</strong>akan dalamfasor. Dengan bekerja dalam fasor, kita terhindar dari persamaanrangkaian yang dikawasan waktu berbentuk persamaan integrodiferensial.Perny<strong>at</strong>aan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor dilakukan melaluiforrmulasi bilangan kompleks. Untuk menging<strong>at</strong> kembali mengenaibilangan kompleks ini, ulasan singk<strong>at</strong> mengenai bilangan kompleksdiberikan pada Lampiran III.Bab ini akan kita awali dengan pembahasan pengertian fasor danoperasi fasor, impedansi, dan dilanjutkan dengan pembahasantentang kaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor.Setelah mempelajari bab ini, kita akan• mampu meny<strong>at</strong>akan sinyal sinus ke dalam bentuk fasor.• memahami konsep impedansi di kawasan fasor.• memahami bagaimana aplikasi hukum-hukum dankaidah-kaidah rangkaian di kawasan fasor.227
12.1. Fasor Dan Impedansi12.1.1. Perny<strong>at</strong>aan Fasor dari Sinyal Sinus dan Operasi FasorKita mengenal perny<strong>at</strong>aan su<strong>at</strong>u bilangan kompleks yang berbentuk= cos x + j sin x(12.1)Dengan menggunakan hubungan ini maka sinyal sinus dap<strong>at</strong>diny<strong>at</strong>akan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitue jxjxjxcos x = Re e dan sin x = Im e(12.2)dengan Re dan Im masing-masing menunjukkan bahwa yangdimaksudkan adalah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangankompleks e jx . Jika kita tetapkan bahwa hanya bagian riil daribilangan kompleks e jx saja yang kita ambil untuk meny<strong>at</strong>akan sinyalsinus maka sinyal y = Acos(ωt+θ) dap<strong>at</strong> kita tulis sebagaij(ω t+θ)y = Acos(ωt+ θ)= Re Aejθjωt= Re Ae ejθjωt= Ae e(12.3)tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.Jika kita bekerja pada su<strong>at</strong>u frekuensi ω tertentu untuk seluruhsistem, maka faktor e jωt pada perny<strong>at</strong>aan fungsi sinus (12.3) tidakperlu dituliskan lagi. Kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan fungsi sinus cukupdengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadijθsinyal sinus v = Acos(ωt+ θ)diny<strong>at</strong>akandengan V = Ae (12.4)Perny<strong>at</strong>aan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini kita sebutfasor (dalam buku ini ditulis dengan huruf besar dan tebal) . Jadidengan notasi fasor, kita hanya memperh<strong>at</strong>ikan amplitudo dan sudutfasanya saja dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu.Karena kita hanya memperh<strong>at</strong>ikan amplitudo dan sudut fasa saja,maka fasor dap<strong>at</strong> kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dansudut fasanya. Jadi penulisan fasor dalam bentuk yang kita sebutbentuk polar adalahθV = Ae j(12.5)ditulis sebagaiV = A∠θFasor V = A∠θ dap<strong>at</strong> kita gambarkandalam bidang kompleks, sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.12.1. Panjang fasorIm|A|VGb.12.1. Fasor.θRe228 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
adalah nilai mutlak dari amplitudo A.Penulisan fasor dalam bentuk polar, dap<strong>at</strong> diubah ke bentuk sudutsiku,yaitu :( cos θ + sin θ)V = A∠θ = A j(12.6)Sebaliknya, dari perny<strong>at</strong>aan dalam bentuk sudut-siku dap<strong>at</strong> diubahke bentuk polar2 2 −1⎛ b ⎞V = a + jb = a + b ∠ tan ⎜ ⎟⎝ a(12.7)⎠Transformasi timbal balik antara perny<strong>at</strong>aan dalam bentuk sudutsikudan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasioperasifasor yang akan kita lih<strong>at</strong> berikut ini.12.1.2. Operasi FasorPerkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasordituliskan dalam bentuk polar.makaJikaA = A∠θ1C = AB = AB∠(θdandan1+ θB = B∠θHal ini mudah difahami, karena jikaA = Aejθ1C = Aejθ1B = BeBejθ2jθ22)kita2makamenuliskanj( θ1+θ= ABe2 ) = AB∠(θ1+ θ2)(12.8)Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasordituliskan dalam bentuk polar.Jika A = A∠θ1A A∠θ1D = =B B∠θ2dan B = B∠θ2A= ∠(θ1− θ2)Bmaka(12.9)229
Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskanjθA = Aemaka1danjθAeD =jθBe12jθB = Be2A jθ=1 − jθe eB2A j( θ1−θ2 ) A= e = ∠(θ1− θ2)BBPenjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan<strong>at</strong>aupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskanfasor dalam bentuk sudut-siku.JikamakaA = a1+ jb1C = A + B ==D = A − B ==Jika A = A∠θ1C = A + B =D = A − B =( a + a ) + j( b + b )2( a + a ) + ( b + b )121B = a2+ jb2( a + jb ) − ( a + jb )1dan2112 −1⎛b + ⎞∠⎜ 1 b22 tan⎟⎝ a1+ a2⎠⎛ b − b22 −1( a − ) + ( − ) ∠⎜ 1 21 a2b1b2tana − ⎟ 1 a2⎠dan2( A cos θ1+ B cos θ2) + j( Asinθ1+ B sin θ2)( A cos θ − B cos θ ) + j( Asinθ − B sin θ )1B21= B∠θ222⎝maka1⎞2(12.10)(12.11)Fasor eg<strong>at</strong>if dan Fasor Konjug<strong>at</strong>. Jika dituliskan dalam bentuksudut-siku, nilai neg<strong>at</strong>if fasor adalah neg<strong>at</strong>if dari masing-masingkomponen riil dan imajiner.ImJika A = a1+ jb1makaA|A|− A = −a1− jb1θFasor konjug<strong>at</strong> dari A ditulis A * Re. −A|A|Jika A = a1+ jb1makaA *A*= a1− jb1Dalam bentuk polar,Gb.12.2. Fasor dan neg<strong>at</strong>ifnyaserta konjug<strong>at</strong>nyaJikamakaA = A∠θ− A = A∠= A∠o( θ + 180 )o( θ −180)danA*=A∠ − θ(12.12)230 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Fasor Dengan Sudut Fasa 90 o dan 0 o . Bentuk sudut-siku darifasor dengan sudut 90 o dan 0 o adalahoA = A∠90= jA ;oB = B∠ − 90 = − jBoC = C∠0= C;(12.13)COTOH-12.1: Ubahlah perny<strong>at</strong>aan sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dengan bentuk polar maupun bentuk sudut-siku danlakukanlah operasi-operasi fasor yang diminta.oa). v1(t)= 10cos(500t− 45 )c). i1( t)= −4 cos1000tob). v2( t)= 15cos(500t+ 30 )od). i2( t)= 3cos(1000t− 90 )**e). I3= I1+ I 2 f). S1= V1I1; S 2 = V 2 I 2V1V2g). Z1= ; Z2=I1I 2Penyelesaian :a). Perny<strong>at</strong>aan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar danbentuk sudut siku adalahoV1= 10∠ − 45 <strong>at</strong>auooV1= 10 cos( −45) + j10sin(−45) = 7,07 − j7,07b). Perny<strong>at</strong>aan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoV2= 15∠30<strong>at</strong>auooV2= 15 cos(30 ) + j 15sin(30 ) = 12,99 + j7,5c). Perny<strong>at</strong>aan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 1 = −4∠0<strong>at</strong>au I1= −4 cos(0 ) − j4 sin(0 ) = −4d). Perny<strong>at</strong>aan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut sikuadalahoooI 2 = 3∠ − 90 <strong>at</strong>au I 2 = 3cos( −90) + j3sin(−90) = − j3231
e). Fasor hanya dap<strong>at</strong> dijumlahkan jika frekuensinya sama.Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama makafasornya dap<strong>at</strong> kita jumlahkan I 3 = I1+ I2= −4− j3.Hasil penjumlahan ini dap<strong>at</strong> kita ubah kembali dalam bentukpolar menjadiI2 2 −1⎛ − 3 ⎞o3 = ( −4)+ ( −3)∠ tan ⎜ ⎟ = 5∠216, 9⎝ − 4 ⎠f).*oooS 1 = V1I1 = ( 10∠ − 45 ) × ( −4∠0) = −40∠− 45* o ooS 2 = V 2 I 2 = ( 15∠30) × (3∠90) = 45∠120oV110∠ − 45og). Z 1 = = = −2.5∠− 45 ;I o1 − 4∠0Vo2 15∠30oZ 2 = = = 5∠ − 60I o2 3∠90COTOH-12.2: Ubahlah perny<strong>at</strong>aan fasor dari sinyal sinus berikutini ke perny<strong>at</strong>aan sinus di kawasan waktu.oa). V1= 150∠ − 45 V, pada frekuensi siklus 50 Hzb). V2= 30 + j40V, pada frekuensi sudut ω = 1000 rad/detik.oc). I = 15 + j5+ 10∠180mA , pada ω = 1000 rad/detik.Penyelesaian :a). Sinyal ini mempunyai amplitudo 150 V, dan sudut fasa −45 o .Frekuensi siklusnya 50 Hz yang berarti frekuensi sudutnyaω = 2π × 50 = 314 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyaloini adalah v 1(t)= 150cos(314 t − 45 ) Vb). Amplitudo sinyal ini adalah2 2V m = 30 + 40 = 50 V dan−140 osudut fasanya θ = tan = 53,1 . Karena ω = 100030rad/detik, maka perny<strong>at</strong>aan sinyal ini di kawasan waktuoadalah v 2 ( t)= 50 cos(1000 t + 53,1 )232 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
c). Sinyal ini diny<strong>at</strong>akan dalam fasor dan merupakan jumlahdari dua sinyal, s<strong>at</strong>u dalam bentuk sudut siku dan yang laindalam bentuk polar. Jika diny<strong>at</strong>akan dalam bentuk sudutsiku, sinyal ini menjadiooI = 15 + j5+ 10 cos180 + j10sin180= 15 + j5−10+ j0= 5 + j5mAAmplitudo dan sudut fasanya adalahI m=2 2−15 o5 + 5 = 7,07 mA ; φ = tan = 455Karena diketahui ω = 1000 rad/detik, makaoi ( t)= 7,07 cos(1000 t + 45 )12.2. Resistansi, Reaktansi, ImpedansiDengan fungsi sinus diny<strong>at</strong>akan dalam fasor, maka kita akanmendap<strong>at</strong>kan hubungan-hubungan tegangan dan arus pada elemenelemenpasif sebagai berikut.Resistor. Jika arus pada resistor adalahmaka tegangannya adalahj(ω t+θ)i R ( t)= I Rm cos( ωt+ θ)= I RmeJika diny<strong>at</strong>akan dalam fasor makaj(ω t+θ)v R ( t)= RiR( t)= RI RmeV R = RI R(12.14)Hubungan arus dan tegangan resistor tetap seperti yang tel;ah kitakenal selama ini, dengan faktor proporsionalitas R yang kita sebutresistansi.Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalahj(ω t+θ)i L ( t)= I Lm cos( ωt+ θ)= I Lmemaka tegangan induktor adalah233
diL( t)dv L ( t)= L = LdtDalam bentuk fasor,j(ω t+θ)( I Lme) j(ωt+θ)= jωL(I e )dtVL= jωLIL = jX LIL = Z LILdengan : X L = ωLdan Z L = jωLm(12.15)Jadi dengan perny<strong>at</strong>aan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan danarus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkanberbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z L = jX L ;X L kita sebut reaktansi induktif , Z L kita sebut impedansi induktorKapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalahmaka arus kapasitor adalahdvCdi C ( t)= C = Cdtj(ω t+θ)v C ( t)= VCmcos( ωt+ θ)= VCmej(ω t+θ)( V e )Cmdtyang dalam bentuk fasor dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagaiIC= jωCVC<strong>at</strong>au1VC= IC= −jωCωdengan: X C1=ωCjCj(ωt+θ)= jωC(VCme)IC= jX C IC= Z C ICjdan Z C = −ωC(12.16)Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan danarus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkanberupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z C =jX C ; X C kita sebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impedansikapasitor.12.3. Kaidah-Kaidah <strong>Rangkaian</strong> Impedansi12.3.1. Hubungan Seri dan Kaidah Pembagi TeganganTegangan total pada R dan L yang terhubung seri dengani(t)=I m e j(ωt+θ) adalah234 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
vRL( t)= v=R( t)+ vL( t)= RIj(ω t+θ)( R + jωL) I emmej(ωt+θ)+ jωLImej(ωt+θ)Dalam bentuk fasor,V RL seri = ( R + jωL)I(12.17)Perbandingan antara tegangan dan arus pada resistor dan induktoryang terhubung seri disebut impedansi dari hubungan seri ini, yaituZ RL seri = R + jωL(12.18)Dengan cara yang sama kita dap<strong>at</strong> memperoleh impedansi hubunganseri RC dan LC sebagaiVZVZRC seriRC seriLC seriLC seri⎛ 1 ⎞= ⎜ R + ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 j= R + = R −jωCωC⎛ 1 ⎞= ⎜ jωL+ ⎟ I ;⎝ jωC⎠1 ⎛ 1 ⎞= jωL+ = j⎜ωL− ⎟jωC⎝ ωC⎠(12.19)(12.20)Hubungan seri tidak terb<strong>at</strong>as hanya dua elemen tetapi bisa lebih,sehingga terbentuklah hubungan seri beberapa impedansi. Secaraumum impedansi total dari beberapa impedansi yang terhubung seriadalahVtotalseri = Z total seriIZ total seri = Z1+ Z 2 + Z 3+ ⋅⋅⋅⋅ +Z n(12.21)Dalam hubungan seri dari beberapa impedansi, tegangan padaimpedansi ke k adalah V k = IZ k ; sedangkan IZ total seri = V total seri .Dengan demikian maka berlaku kaidah pembagi teganganZ kV k = × VtotalZ(12.22)total seri235
12.3.2. Hubungan Paralel dan Kaidah Pembagi ArusDua <strong>at</strong>au lebih impedansi yang terhubung paralel akan bertegangansama. Jika tegangan ini adalah V maka arus pada impedansi ke kadalahI k= VYkVZ =(12.23)kdengan Y k = 1/Z k disebut admitansi.Arus total dalam hubungan paralel adalahdenganItotaln= ∑ Ik= ∑Y k V = Ynk= 1 k=1totalV(12.24)Ytotaln= ∑Ykk=11=Z11+Z2+ ⋅⋅⋅⋅ +1ZDari (12.23) dan (12.24) diturunkan kaidah pembagi arus12.3.3. Impedansi Secara Umumn(12.25)YkI k = YkV = ItotalY(12.26)totalSecara umum impedansi dap<strong>at</strong> kita tuliskanZ = R( ω)+ jX ( ω)(12.27)Bagian riil adalah resistansi dan bagian imajiner adalah reaktansi.Kedua bagian ini mungkin merupakan fungsi dari frekuensi ω.Reaktansi yang bernilai positif merupakan reaktansi induktif ,sedang yang bernilai neg<strong>at</strong>if merupakan reaktansi kapasitif. Sebagaicontoh, impedansi dari induktor yang terhubung seri dengankapasitor yang terparalel dengan resistor adalahZ L+R // CR(1/jωC)= jωL+R + (1/ jωC)=R⎛+ j⎜ωL−⎝2ωRC( ) ( )⎟ ⎟ 2 ⎜2ωRC+ 1 ωRC+ 1⎠⎞236 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa bagian riil maupun bagian imajiner merupakanfungsi dari frekuensi ω. Jadi baik resistansi maupun reaktansi dariimpedansi secara umum merupakan fungsi frekuensi.Perh<strong>at</strong>ian : Walaupun impedansi merupakan perny<strong>at</strong>aan yangberbentuk kompleks, akan tetapi impedansibukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakandua pengertian dari dua konsep yang berbeda.Fasor adalah perny<strong>at</strong>aan dari sinyal sinusImpedansi adalah perny<strong>at</strong>aan elemen.Walaupun impedansi bukan fasor, namun karena keduanya berupaperny<strong>at</strong>aan kompleks, maka operasi-operasi fasor dap<strong>at</strong> diterapkanpada keduanya. Sebagai contoh kita ambil hubungan seri RL :Z RL seri = R + jωL=2 2 −1ωLR + ( ωL)∠ tan = Z1∠λ1RJika fasor tegangan V s = V 1 ∠θ 1 diterapkan pada hubungan seri RLini, maka arus yang mengalir adalahV V1∠θ1 VI = s1RL = = ∠( θ1− λ1)Z RL seri Z1∠λ1Z(12.28)1Secara singk<strong>at</strong>, impedansi elemen dan hubungan arus-teganganelemen adalah sebagai berikut.Z R = R ;VR= RIR ;Z L = jωLVL= jωLIL;;Z C =VC=1 − j=jωCωC1IC=jωC−ωjCIC(12.29)Secara singk<strong>at</strong> dap<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan bahwa : dengan meny<strong>at</strong>akansinyal sinus ke dalam bentuk fasor, maka perbandingan antar<strong>at</strong>egangan elemen dan arus elemen merupakan su<strong>at</strong>u besarankompleks yang kita sebut impedansi di kawasan fasor. Denganmeny<strong>at</strong>akan elemen dalam impedansinya maka hubungan antar<strong>at</strong>egangan dan arus elemen menjadi mirip dengan relasi hukum Ohmdi kawasan waktu. Kaidah-kaidah rangkaian di kawasan waktuberlaku juga di kawasan fasor.237
COTOH-12.3: Arus yang melalui induktor 0,5 H adalahi L (t)=0,4cos(1000t) A. Tentukanlah: a) impedansi induktor; b)Fasor tegangan pada induktor; c) bentuk gelombang teganganpada induktor.Penyelesaian :a). Impedansi induktor adalah Z L = jωL. Dalam contoh ini ω =1000, jadiZ L = j × 1000×0,5 = j500Ωb). Fasor tegangan induktor adalah fasor arus kaliimpedansinya. Karena arus diny<strong>at</strong>akan di kawasan waktu,kita ubah dulu perny<strong>at</strong>aan arus ini ke kawasan fasor menjadiI L = 0,4 ∠ 0 o A. Tegangan induktor adalahoV L = Z LIL = ( j500)× 0,4∠0o oo= 500∠90× 0,4∠0= 200∠90Vc). Bentuk gelombang tegangan pada induktor yangdimaksudkan di sini adalah perny<strong>at</strong>aan di kawasan waktudari tegangan induktor. Dari hasil b) dengan mudah kitany<strong>at</strong>akanPemahaman:Fasor tegangan dan fasor aruspada induktor berbeda fasasebesar 90 o . Teganganmendahului arus dengan sudut90 o .ov L ( t)= 200cos(1000 t + 90 ) VImV LI Lteganganmendahuluiarus 90 oReCOTOH-12.4: Arus yang melalui kapasitor sebesar 50 pF adalahi C (t)=0,5cos(10 6 t) mA. Tentukanlah: a) impedansi kapasitor; b)fasor tegangan pada kapasitor; c) bentuk gelombang teganganpada kapasitor.Penyelesaian :238 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
a). Zb). Vc). vCCC1= =jωC10= ZCIC6× (50×10= (20×10 ∠ − 90 ) × (0,5×10= 10∠ − 90V( t)= 10 cos(10 t − 90 ) V.6− j3oo−12Pemahaman:Fasor tegangan dan fasor arus padainduktor berbeda fasa sebesar 90 o .Tegangan mendahului arus dengansudut 90 o .= − j20kΩ)oImV C−3I C∠0o)Rearusmendahuluitegangan 90 oCOTOH-12.5: Su<strong>at</strong>u beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+10 o ) V.Arus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t+40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :Tegangan dan arus dalam fasor adalahoV = 120∠10V danoI = 5∠40Impedansi beban adalah:AZ BoV 120∠10o= = = 24∠ − 30 ΩIo5∠40= 24 cos( −30)+ j24 sin( −30)= 20,8 − j12ΩPemahaman :Kita mengetahui bahwa impedansi induktor adalah Z L =jωL danimpedansi kapasitor adalah Z C = −j/ωC. Dari sini kita lih<strong>at</strong>bahwa sesu<strong>at</strong>u impedansi yang komponen imajinernya positifakan bersif<strong>at</strong> induktif sedangkan jika komponen imajinernyaneg<strong>at</strong>if akan bersif<strong>at</strong> kapasitif.239
Dalam contoh-12.5. ini impedansi beban mempunyai komponenimajiner neg<strong>at</strong>if. Jadi beban bersif<strong>at</strong> kapasitif. Pada bebankapasitif ini sudut fasa arus lebih besar dari sudut fasa tegangan.Kita k<strong>at</strong>akan bahwaarus mendahului Imarustegangan <strong>at</strong>au arusmendahuluiIleading terhadaptegangan Vtegangannya. Gambarfasor arus dan teganganRepada beban adalahseperti di samping ini.COTOH-12.6: Su<strong>at</strong>u beban diberi teganganv(t) = 120cos(314t+20 o ) VArus yang mengalir adalah i(t)= 5cos(314t−40 o ) A. Carilahimpedansi beban tersebut.Penyelesaian :oV 120∠20oZ B = = = 24∠60ΩIo5∠ − 40oo= 24 cos(60 ) + j24 sin(60 ) = 12 + j20,8ΩPemahaman :Dalam contoh ini Imkomponen imajinerVimpedansi beban bernilaipositif. Beban bersif<strong>at</strong>induktif. Pada beban yangRearusbersif<strong>at</strong> induktif sudut fasaI tertinggal dariarus lebih kecil dari sudutteganganfasa tegangan. Fasor arusketinggalan dari tegangan <strong>at</strong>au arus lagging terhadap tegangan.Fasor tegangan dan fasor arus dalam contoh ini digambarkanseperti di bawah ini.COTOH-12.7: Tegangan sumberpada rangkaian di samping iniadalah v s (t)=250cos500t V.v s+−100Ω20µF50mHa). Tentukan fasor arus padarangkaian.240 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
). Tentukan fasor tegangan di tiap elemen.c). Gambarkan fasor tegangan sumber dan elemen.d). Ny<strong>at</strong>akan bentuk gelombang arus dan tegangan elemen.Penyelesaian :Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kit<strong>at</strong>ransformasikan menjadi rangkaian impedansi dan sumbernyadiny<strong>at</strong>akan dalam fasor. Impedansi elemen dan tegangansumber menjadijZR= 100Ω; ZC= −= − j100Ω;−6500×20×10−3ZL= j500×50×10 = j25ΩoVs= 250∠0.<strong>Rangkaian</strong> di <strong>at</strong>asmenjadi sepertiberikutV s =250∠0 o V+−100Ω−j100Ωj25Ωa). Impedansi total rangkaian adalahZ tot = 100 − j100+ j25= 100 − j75Ω2 2 −1− 75o= (100) + (75) ∠ tan = 125∠ − 36,87 Ω100Arus pada rangkaian adalahVos 250∠0oI = == 2∠36,87AZotot 125∠ − 36,87b). Dengan menggunakan kaidah pembagi tegangan, tegangandi tiap elemen dap<strong>at</strong> dengan mudah dihitung.Z RVR=Z totZ CVC=Z totZ LVL=Z tot100ooVs=250∠0= 200∠36,87Vo125∠ − 36,87o100∠ − 90ooVs=250∠0= 200∠ − 53,13 Vo125∠ − 36,87o25∠90ooVs=250∠0= 50∠126,87Vo125∠ − 36,87241
c). Gambar fasor tegangansumber dan teganganteganganelemen adalahseperti di bawah ini.ImPerh<strong>at</strong>ikanlah bahwafasor-fasor tegangan inimemenuhi HTKV = V + V + VsCRd). Bentuk gelombang arusdan tegangan elemen adalahoi(t)= 2 cos(500t+ 36,87 )242 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)LovR( t)= 200 cos(500t+ 36,87 ) VovC( t)= 200 cos(500t− 53,13 ) VovL( t)= 50 cos(500t+ 126,87 ) VPemahaman :Tegangan di setiap elemen dap<strong>at</strong> pula dicari dengan mengalikanarus dan impedansinya.ooVR= Z RI= 100×2∠36,87= 200∠36,87VoooVC= ZCI = 100∠ − 90 × 2∠36,87= 200∠ − 53,13 VoooVL= Z LI= 25∠90× 2∠36,87= 50∠126,87VSesuai dengan HTK, V s = V C + V R + V LDiagram fasornyaadalah seperti disamping ini.Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwafasor V R = R Isejajar fasor IImIV LV RV sRefasor V C = −jX CI tegak lurus pada fasor I dengan pergeseran sudut fasa−90 o .fasor V L = jX L I tegak lurus pada fasor I dengan pergeseransudut fasa + 90 o .AV C =−jX C IV CV s = V C + V R + V LV L = jX L IV R = RIRe
COTOH-12.8: Arus sumberpada rangkaian di bawah ini300Ωadalah i s (t)=50cos1000t mA. i s2 µF0,4 Ha). Tentukan fasor tegangankapasitor.b). Tentukan fasor arus di tiap cabang.I 1 I 2c). Gambarkan fasor arus sumber dan arus cabang dan tegangankapasitor.d). Gambarkan fasor tegangan kapasitor, tegangan resistor daninduktor.Penyelesaian :Dengan ω = 1000, maka impedansi elemen dan fasor arussumber adalahZ R = 300 Ω ;jZ C = −= − j500Ω ;−61000×2 × 10oZ L = j1000×0,4 = j400Ω ; I s = 50∠0.Transformasi rangkaian ke kawasan fasor adalah seperti dibawah ini:50∠0 o mAa). Admitansi dari kedua cabang yang diparalel masing-masingadalah1−3YC= = j2×10 S ;− j500YRLAdmitansi total :−j500 Ω11= =300 + j400500∠tan= 12×10−4−1(4 / 3)− j16×10300 Ωj400 Ω−4−3−4−4Ytot= YC+ YRL= j2× 10 + 12 × 10 − j16× 10 S−4−4−4o= 12 × 10 + j4× 10 = 12,65×10 ∠18,4SS243
Tegangan pada kapasitor (yang sama dengan tegangan padaR dan L seri) adalahI sV C =Ytotb). Arus di tiap cabang adalah−3o50×10 ∠0o== 39,5∠ −18,4−412,65×10 ∠18,4VooC 39,5∠ −18,439,5∠ −18,4oI 1 = === 79∠61,6mAZ − j500oC 500∠ − 90VV2 = RL VCI =Z RL Z RLo= 79∠ − 71,5 mAo39,5∠ −18,4=300 + j400o39,5∠ −18,4=o500∠53,1c). Gambar fasor arus sumberdan arus cabang adalahseperti di samping ini :Perh<strong>at</strong>ikan bahwa:I s = I 2 + I 1 ; I 1 90 omendahului V C ;I 2 tertinggal dari V C .Imd). Gambar fasor tegangankapasitor, resistor daninduktor adalah seperti di bawah ini :I 1I sI 2ImReV CI 2V R = R I V L = jX L I 2 2ReV C244 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Ny<strong>at</strong>akanlah sinyal-sinyal sinus berikut ini kedalam fasor dangambarkanlah diagram fasornya.a). v1= 100 cos ωtb). v2o= 75cos( ωt− 90 )oc). v3= 50 cos( ωt+ 45 ) d). v4= v1+ v2e). v5= v1− v3f). v6= v1+ v32. Ny<strong>at</strong>akanlah fasor-fasor berikut ini kedalam sinyal di kawasanwaktu, jika frekuensi adalah 300 rad/s.oa). V1= 60∠30c). V3= V1+ V2b). V2o= 30∠ − 60d). V4= V1− V23. Tuliskanlah fasor-fasor pada soal 2 ke dalam bentuk sudut siku V= a + jb.4. Tuliskanlah fasor-fasor berikut ke dalam bentuk polar V = A∠θ.a). V1= 3+j6b). V2= 4 − j4c). V3= V1+ V2d). V4= V1− V25. Jika V = 3 + j4 dan I = 2 + j2, berapakah*Va). S = VI ; b). Z =ITuliskan S maupun Z dalam bentuk polar maupun bentuk sudutsiku.6. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 20 mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.7. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan kapasitor 1 µF. (a)Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000 rad/s;(b) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s; (c) Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1kHz.245
8. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan kapasitor 200nF.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.9. Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan paralel dengan induktor 50mH.a). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1000rad/s.b). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 4000rad/s.c). Berapakah impedansinya jika frekuensi kerja adalah 1 kHz.10. Pada hubungan seri antara resistor 50 Ω dengan induktor 50 mHditerapkan tegangan 10cos1000t V. Berapakah arus yangmengalir ? Gambarkan diagram fasornya.11. Pada hubungan paralel antara resistor 1 kΩ dengan kapasitor 0,2µF diterapkan tegangan 40cos1000t V. Berapakah arus yangmengalir di masing-masing elemen ? Gambarkan diagramfasornya.12. Pada hubungan seri antara resistor 400 Ω dengan induktor 2 H,diterapkan tegangan 380cos300t V. Berapakah tegangan dimasing-masing elemen ? Gambarkan diagram fasornya.13. Pada rangkaian berikut,hitunglah impedansi yangterlih<strong>at</strong> dari terminal A-B, jikafrekuensi adalah 1000 rad/s.AB50Ω40µF0,1H20µF20Ω14. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlih<strong>at</strong> dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 1000rad/s.15. Pada rangkaian berikut, hitunglahimpedansi yang terlih<strong>at</strong> dari terminalA-B, jika frekuensi adalah 50Hz.ABAB0,3H 1,6H20µF 1,2kΩ10µF 10µF 1H200Ω246 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 13Teorema dan Metoda <strong>Analisis</strong>di Kawasan FasorSetelah mempelajari bab ini, kita akan• memahami aplikasi teorema rangkaian dan metodaanalisis rangkaian di kawasan fasor.• mampu melakukan analisis rangkaian di kawasan fasor.• memahami bahwa pada rangkaian dengan induktor dankapasitor terdap<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u nilai frekuensi yang akanmenyebabkan terjadinya resonansi.• mampu mencari frekuensi resonansi, menentukan faktorkualitas, menentukan lebar pita resonansi.13.1. Teorema <strong>Rangkaian</strong> di Kawasan Fasor13.1.1. Prinsip ProporsionalitasPrinsip proporsionalitas meny<strong>at</strong>akan bahwa fasor keluaransebanding dengan fasor masukan, yang secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is dap<strong>at</strong>diny<strong>at</strong>akan denganY = KX(13.1)Y adalah fasor keluaran, X adalah fasor masukan, dan K adalahkonstanta proporsionalitas. Dalam kawasan fasor, K pada umumnyamerupakan bilangan kompleks. Lih<strong>at</strong> misalnya penyelesaian b) daricontoh 13.7.13.1.2. Prinsip SuperposisiKita harus berh<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>i dalam menerapkan prinsip superposisi dikawasan fasor. Fasor merupakan representasi sinyal sinus denganfrekuensi tertentu. Oleh karena itu prinsip superposisi hanya berlakujika seluruh sistem yang kita tinjau mempunyai frekuensi sama. Jikamemang demikian halnya, maka tanggapan rangkaian yangmengandung beberapa masukan dap<strong>at</strong> kita cari dengan memandangmasing-masing masukan secara terpisah. Tanggapan keseluruhanadalah jumlah dari tanggapan terhadap masing-masing masukan.Jika masukan-masukan mempunyai frekuensi yang berbeda, kit<strong>at</strong>idak dap<strong>at</strong> serta-merta menerapkan prinsip superposisi. Kita ing<strong>at</strong>bahwa impedansi tergantung dari frekuensi; oleh karena itu247
walaupun nilai-nilai elemen sama, nilai impedansi akan berbeda jikafrekuensi berbeda. Jadi jika kita ingin mencari tanggapan rangkaianterhadap masing-masing masukan, kita harus mencari nilaiimpedansi rangkaian untuk masing-masing masukan. Tanggapanrangkaian dalam bentuk fasor dari masing-masing masukan tidakdap<strong>at</strong> langsung dijumlahkan melainkan harus kita transformasikandulu ke kawasan t , dan barulah hasil di kawasan t untuk masingmasingmasukan ini dijumlahkan untuk memperoleh tanggapankeseluruhan. Secara singk<strong>at</strong> dik<strong>at</strong>akan, prinsip superposisi berlakudi kawasan waktu untuk setiap rangkaian linier, tetapi berlaku dikawasan fasor hanya apabila masukan-masukan mempunyaifrekuensi sama. Agar lebih jelas kita akan melih<strong>at</strong> tiga kasus berikut.Kasus-1: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangmempunyai frekuensi sama. <strong>Rangkaian</strong> ini kita pecah menjadidua rangkaian, masing-masing mengandung s<strong>at</strong>u sumber.Masing-masing rangkaian kita transformasikan menjadirangkaian fasor dan kemudian kita melakukan analisis dikawasan fasor.Hasil yang kita peroleh dari dua kali analisis tersebut tentulahmerupakan besaran-besaran fasor. Kedua hasil itu dap<strong>at</strong> langsungkita jumlahkan untuk memperoleh hasil total, tanpamentranformasikan lebih dulu ke kawasan t. Mengapa? Karenaseluruh sistem mempunyai frekuensi sama. Jadi apabila seluruhsistem berfrekuensi sama prinsip superposisi dap<strong>at</strong> diterapkandalam analisis fasor.Kasus-2: Sebuah rangkaian mengandung dua sumber yangfrekuensinya tidak sama. Kita memisahkan lebih dulu rangkaiantersebut menjadi dua rangkaian yang masing-masingmengandung hanya s<strong>at</strong>u sumber. Setelah dipisahkan, masingmasingrangkaian ditransformasikan menjadi rangkaian fasorkemudian dilakukan analisis di kawasan fasor. Hal ini dap<strong>at</strong>dilakukan karena masing-masing rangkaian mempunyaifrekuensi sendiri yang sama di seluruh rangkaian. Hasil analisisdari kedua rangkaian ini tentulah berbentuk fasor akan tetapimereka tidak dap<strong>at</strong> langsung dijumlahkan karena frekuensinyaberbeda. Oleh karena itu masing-masing hasil kit<strong>at</strong>ransformasikan kembali ke kawasan t, dan hasil transformasiinilah yang dap<strong>at</strong> kita jumlahkan untuk memperoleh hasil total.Jadi prinsip superposisi berlaku di kawasan fasor hanya apabilamasukan-masukan mempunyai frekuensi sama.248 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Kasus-3: Sebuah rangkaian mengandung tiga sumber, duadiantaranya mempunyai frekuensi sama dan sumber yang ke-tigafrekuensinya berbeda. Jika rangkaian ini kita pecah menjadi tigarangkaian yang masing-masing mengandung hanya s<strong>at</strong>u sumberuntuk dianalisis di kawasasn fasor, maka hasil fasor untuk duasumber yang frekuensinya sama dap<strong>at</strong> kita jumlahkan langsungdalam bentuk fasor. Akan tetapi kita tidak dap<strong>at</strong>menjumlahkannya dengan hasil analisis rangkaian ke-tiga yangfrekuensinya berbeda. Oleh karena itu hasil yang diperoleh harusditransformasi ke kawasan t lebih dulu sebelum penjumlahandilakukan.13.1.3. <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Thévenin dan ortonKonsep umum mengenai teorema Thévenin dan Norton di bidangfasor, sama dengan apa yang kita pelajari untuk rangkaian dikawasan waktu. Perbedaan yang perlu kita perh<strong>at</strong>ikan adalah bahwasinyal-sinyal diny<strong>at</strong>akan dalam fasor dengan impedansi danadmitansi yang berupa bilangan kompleks.Tegangan ekivalen Thévenin adalah tegangan hubungan terbukapada terminal beban. Arus ekivalen Norton adalah arus hubungsingk<strong>at</strong> pada terminal beban. Semua peubah ini diny<strong>at</strong>akan dalamfasor. Relasi peubah ini dengan impedansi ekivalen Thévenin, Z T ,dan admitansi ekivalen Norton, Y , adalah seperti berikut.1V T = ZTI ; I = YVT; Y=Z(13.2)THubungan (13.2) memberikan ketentuan untuk transformasi sumberdi kawasan fasor. Seperti yang telah kita lih<strong>at</strong> pada rangkaian dikawasan waktu, transformasi sumber dap<strong>at</strong> menyederhanakanperhitungan-perhitungan dalam analisis rangkaian.COTOH-13.1: Dari rangkaian di samping ini, carilah rangkaianekivalen Thévenin yang dilih<strong>at</strong> oleh induktor L.Penyelesaian:249
Jika induktor dilepaskan maka untuk simpul A dan B berlakuooVA= 100×0,1∠ − 90 = 10∠ − 90 V− j100ooVB= × 20∠45= 0,995∠ − 5,7 × 20∠4510 − j100= 19,9∠39,3oVTegangan Thévenin :VT= VA− VBoo= 10∠ − 90 −19,9∠39.3= − j10−( 15,4 + j12,6) = −15,6− j22,6VImpedansi Thévenin Z Th , dihitung dengan melih<strong>at</strong> impedansidari terminal AB dengan semua sumber dim<strong>at</strong>ikan.10 × ( − j100)Z T = 100 += 109,9 − j0,99Ω10 − j10013.2. Metoda-Metoda <strong>Analisis</strong> DasarMetoda-metoda analisis yang telah kita pelajari untuk rangkaian dikawasan waktu, dap<strong>at</strong> kita terapkan untuk rangkaian di kawasanfasor dengan menging<strong>at</strong> bahwa peubah sinyal diny<strong>at</strong>akan dalamfasor dan elemen-elemen diny<strong>at</strong>akan dalam impedansi <strong>at</strong>auadmitansinya yang pada umumya berupa bilangan kompleks.13.2.1. Metoda Keluaran S<strong>at</strong>u S<strong>at</strong>uanMetoda ini dap<strong>at</strong> kita aplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga,seperti contoh berikut.COTOH-13.2: Carilah i xpada rangkaian disamping ini.Penyelesaian:Untuk bekerja di kawasan fasor, rangkaian ini kit<strong>at</strong>ransformasikan sehingga berbentuk rangkaian impedansiseperti terlih<strong>at</strong> pada gambar berikut. Dari sinilah kita mulaibekerja.250 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Misalkan Ix = 1∠0 o A.VV = j3V; 4 =CC I = j1A;3I = I + I = (1 + j1)A;V3Bx= VC4+ ( − j3)I3= j3− j3(1+ j1)= 3 VVB1⎛ 4 ⎞I 2 = = A ⇒ I1= I2+ I3= ⎜ + j1⎟ A9 3⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞V A = VB+ ⎜ + j1⎟( 12 − j9) = 28 V⎝ 3 ⎠Iox 1 1 14∠0oK = = → I x = VA= = 0,5∠0VA28 28 28→ ix= 0,5 cos 2t13.2.2. Metoda SuperposisiMetoda superposisi sang<strong>at</strong> bermanfa<strong>at</strong> untuk menganalisis rangkaianyang mengandung lebih dari dua masukan, terutama jika kita inginmengetahui bagaimana kontribusi dari masing-masing masukanterhadap tanggapan keseluruhan. Sebagaimana telah disebutkan disub-bab sebelumnya, kita harus berh<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>i dalam menerapkanmetoda superposisi di kawasan fasor. Prinsip superposisi dap<strong>at</strong>diterapkan langsung di kawasan fasor hanya jika masukan-masukanmempunyai frekuensi sama. Jika tidak, kontribusi dari masingmasingmasukan harus kita transformasikan ke kawasan waktu lebihdahulu, baru kemudian dap<strong>at</strong> kita jumlahkan.COTOH-13.3:Carilah i opadarangkaian disamping ini.251
Penyelesaian:<strong>Rangkaian</strong> ini mengandung dua sumber tegangan dan sumberarus yang mempunyai frekuensi berbeda. Oleh karena itutransformasi rangkaian ke kawasan fasor untuk masing-masingsumber juga berbeda, seperti terlih<strong>at</strong> pada gambar berikut.Dari masing-masing rangkaian fasor ini, kita mencari tanggapanrangkaian di kawasan fasor kemudian ditransformasikan kekawasan t. Hasil di kawasan t inilah yang dap<strong>at</strong> dijumlahkan.Jika sumber arus dim<strong>at</strong>ikan, kita mempunyai rangkaian dikawasan fasor seperti pada gambar sebelah kiri, denganfrekuensi ω = 4. Untuk rangkaian ini, aplikasi HTKmemberikanoo20∠020∠020∠0oI o1 == = = 2∠− 36,9 A8 + j12− j68 + j6o10∠36,9Jika sumber tegangan dim<strong>at</strong>ikan, kita mempunyai rangkaianseperti pada gambar sebelah kanan, dengan frekuensi ω = 2.Kaidah pembagi arus memberikan :− j12(8+ j6)1/( − j12)o − j128 + j6oI o2 =× 3∠0== × 3∠01 18 + j6− j128 − j6+− j128 + j6o10∠36,9oo=× 3∠0= 3∠73,8Ao10∠ − 36,9I o1 dan I o2 tidak dap<strong>at</strong> dijumlahkan karena fasor ini diperolehdari sumber dengan frekuensinya yang tidak sama. Oleh karenaitu kita harus mengembalikannya ke kawasan waktu sebelumdijumlahkan. Dengan cara itu kita perolehooio1= 2 cos(4t− 36,9 ) A dan io2= 3cos(2t+ 73,8 ) Asehingga io= io1+ io2oo= 2 cos(4t− 36,9 ) + 3cos(2t+ 73,8 ) Ao252 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
13.2.3. Metoda <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen ThéveninContoh berikut ini menunjukkan bagaimana metoda rangkaianekivalen Thévenin kita gunakan di kawasan fasor.COTOH-13.4: Carilah i padarangkaian berikut ini.Penyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> ini setelahditransformasi ke kawasanfasor menjadi sepertiberikut.VT= Vht= × 18∠02 + 6 + j4Fasor tegangan terminal AByang terbuka memberikantegangan Thévenin. Sesuaikaidah pembagi tegangan,tegangan terminal AB yangterbuka memberikan2 o9=2 + j1sedangkan impedansi Thévenin adalah (yang terlih<strong>at</strong> dariterminal AB yang terbuka) adalahZ T( 6 + j4)2 16 + j8+ 12 + j87 + j4= 2 + ==2 + 6 + j48 + j42 + j1<strong>Rangkaian</strong> ekivalenA IThévenin serta beban diZ Tterminal AB setelah+j2Ω− V Tdisambungkan lagi adalah−j4Ωseperti di samping ini:BDari rangkaian ini kita hitung:VT9 (2 + j1)I == ×Z T + + j2− j4(2 + j1)(7 + j4)− j2(2+ j1)= 1∠0oA⇒ i = 1cos2tAVΩ253
13.2.4. Metoda Reduksi <strong>Rangkaian</strong>Contoh persoalan berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan penggunaan metodareduksi rangkaian.COTOH-13.5: Carilahi x pada rangkaianberikut:i 1 =Penyelesaian : 0.1cos100t A<strong>Rangkaian</strong> inimengandung sumber tegangan dan sumber arus yangberfrekuensi sama, yaitu ω = 100. Akan tetapi sumbertegangannya diny<strong>at</strong>akan dalam sinus sedangkan sumber arusnyadalam cosinus. Kita perlu mengubahnya dalam bentuk standar,yaitu bentuk cosinus, dengan kesamaanTransformasirangkaian kekawasan fasormenjadi seperti padagambar di sampingini.sinx = cos(90−x) =cos(x−90)Untuk menghitung I x kita dap<strong>at</strong> menggunakan metodasuperposisi; akan tetapi di sini kita akan menggunakantransformasi sumber.Dalam rangkaian ini sumber tegangan tersambung seri denganresistor 50 Ω yang diparalel dengan induktor j100 Ω. Sumberini dap<strong>at</strong> kita ganti dengan sumber arus ekivalen I 2 , yangbesarnya adalahI⎛⎜⎝ j11001 ⎞+ ⎟ =50 ⎠I 1 =0.1∠0 o A50 + j100j5000A− + Bv =10sin100t V( ) ( ) − j10= −0,1− 0,2 A2 = Vjsehingga rangkaianAakan menjadi sepertidi samping50ΩIini.Perh<strong>at</strong>ikan bahwa I 21 =dengan transformasi 0.1∠0 o A−j50Ωj100Ωsumber ini kitamenghilangkan simpul B. Arus I y yang sekarang mengalir254 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)200µF 1HAB− +V=10∠−90 o V−j50Ωi xI x50Ω50Ωj100ΩI y
melalui resistor 50Ω, bukanlah arus I x yang kita cari; sebab jikaI y dikalikan 50Ω, kita mendap<strong>at</strong>kan tegangan simpul A, danbukan tegangan simpul B temp<strong>at</strong> I x keluar.Sumber I 1 dan I 2 terhubung paralel, sehingga dap<strong>at</strong> digantikanoleh s<strong>at</strong>u sumber arusI ysaja yaitu I, sepertiterlih<strong>at</strong> pada gambar50Ωberikut, dengan I = I 1 − I 2−j50Ω j100ΩI = I1− I 2 = 0,1 − ( − 0,1 − j0,2)= 0,2 + j0,2AUntuk menghitung arus I y kita memanfa<strong>at</strong>kan kaidah pembagiarus.1( 0,2 + j0,2)500,2 + j0,2I y == A1 1 1 1+j0,5+ +50 j100− j5010 + j10→ VA= 50×I y = V1+j0.510 + j1015oVB= VA+ V = − j10= = 13,4∠ − 26,6 V1+j0,51+j0,5VI = Bx = 0,27∠ − 26,6 A → ix= 0,27cos(100t− 26,6) A.5013.3. Metoda-Metoda <strong>Analisis</strong> Umum13.3.1. Metoda Tegangan Simpul. Aplikasi metoda ini, kita lih<strong>at</strong>pada contoh berikut ini.COTOH-13.6: GunakanI A− + B xmetoda teganganV=simpul untukI 1 =10∠−90 o 50ΩVmenyelesaikan 0,1∠0 o Apersoalan pada contoh-−j50Ω j100Ω13.5.Penyelesaian :Untuk menyelesaikan persoalan ini rangkaian fasor daricontoh-13.5 digambar lagi seperti berikut:255
Simpul referensi kita tentukan seperti terlih<strong>at</strong> pada gambartersebut. Simpul A, B, dan sumber tegangan menjadi simpulsuperkarena A dan B keduanya bukan simpul referensi.Persamaan tegangan simpul dap<strong>at</strong> kita peroleh dengan carayang sama seperti untuk rangkaian di kawasan waktu, akantetapi di sini kita bekerja di kawasan fasor dengan impedansiimpedansi.VAA : − I1+ +− j50B :VBVB+ = 0j10050oVA− VB= −V= 10∠90= j10Untuk persamaan yang sederhana ini tentu dap<strong>at</strong> kita selesaikandengan metoda substitusi biasa. Namun di sini kita akanmenuliskannya dalam bentuk m<strong>at</strong>riks, dengan memasukkannilai I 1 dan V.⎡ 1⎢ − j 50⎢⎣ 11+j100−1150⎤⎡V⎤ ⎡ o ⎤⎥ A 0,1∠0⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎥ ⎣VoB ⎦ ⎢⎣10∠90⎥⎦⎦Untuk menyederhanakan bilangan, baris pertama dari m<strong>at</strong>riksini kita kalikan 100, dan menuliskan fasor dalam bentuk sudutsiku.⎡ j22 − j1⎤⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎣ 1 −1⎦ ⎣VB⎦ ⎣ j10⎦⎡ j2→ eliminasi Gauss: ⎢⎣ 0Dari sini kita peroleh2 − j1⎤ ⎡VA⎤ ⎡ 10 ⎤⎥ ⎢ ⎥ =− 2 − j1⎢ ⎥⎦ ⎣VB⎦ ⎣−30⎦− 30 −30(−2+ j1)VB= == 12 − j6= 13,4∠− 26,6o− 2 − j15oVA= j10+ VB= j10+ 12 − j6= 12 + j4= 12,6∠18,4VV256 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
13.3.2. Metoda Arus MeshPenggunaan metoda ini di kawasan fasor juga akan kita lih<strong>at</strong> melaluisebuah contoh.COTOH-13.7: Tentukanlah arus di semua cabang rangkaian padapersoalan contoh 13.6. dengan menggunakan metoda arusmesh.V=10∠−90 o VA− +BI =0,1∠0 o AI 1 I 2I 3−j50Ω j100Ω 50ΩPenyelesaian :<strong>Rangkaian</strong> adalah seperti berikutPersamaan fasor arus mesh dalam bentuk m<strong>at</strong>riks adalah⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j50− j50+ j100− j100⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j10⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j10050 + j100⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡I1⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎢j5j5− j10⎥ ⎢I⎥=⎢−⎥⎢⎥ ⎢ 2 j1⎥ ⎢ ⎥⎢⎣0 − j21+j2⎥⎦⎢⎣I3⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦Eliminasi Gauss memberikan<strong>at</strong>au⎡10⎢0 j5⎢⎢⎣0 0Dari sini kita dap<strong>at</strong>kan0 ⎤ ⎡I− j10⎥ ⎢I⎥ ⎢5 − j10⎥⎦⎢⎣I123⎤ ⎡ 0.1 ⎤⎥=⎢− j1.5⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎦⎢⎣− j3⎥⎦o0 − j33∠ − 90oI1 = 0,1∠0 A ; I3= == 0,27∠− 26,65 − j105 5∠ − 63,4A257
− j1,5+ j10I3I 2 =j5o3,35∠ −116,6=o5 5∠ − 63,4− j3−1,5− j3= −0,3+ 2 =5 − j105 − j10o= 0,3∠ − 53,2 A13.4. <strong>Rangkaian</strong> Resonansi13.4.1. Resonansi SeriImpedansi dari rangkaian seri RLC adalah:1 ⎛ 1 ⎞Z RLC seri = R + jωL+ = R + j⎜ωL− ⎟ (13.3)jωC⎝ ωC⎠Reaktansi dari impedansi ini mengandung bagian induktif (X L =jωL)maupun kapasitif (X C = 1/jωC), yang keduanya merupakan fungsidari frekuensi . Bagian induktif berbanding lurus dengan frekuensisementara bagian kapasitifnya berbanding terbalik. Pada su<strong>at</strong>u nilaifrekuensi tertentu, nilai reaktansi total menjadi nol, yaitu pada sa<strong>at</strong>⎛ 11L 0 <strong>at</strong>auC⎟ ⎞⎜ω − = ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.4)LCPada sa<strong>at</strong> itulah dik<strong>at</strong>akan bahwarangkaian beresonansi, dan ω 0disebut frekuensi resonansi. Padawaktu terjadi resonansi, jelasbahwa impedansi rangkaian inihanyalah R; reaktansi induktifsama dengan reaktansi kapasitifsehingga saling meniadakan.Dalam keadaan beresonansi, arusyang mengalir dalam rangkaianhanya ditentukan oleh R; jik<strong>at</strong>egangan sumber adalah V s maka I = V s / R.. Diagran fasor tegangandan arus terlih<strong>at</strong> seperti Gb.13.3..Beberapa parameter digunakan untuk meny<strong>at</strong>apkan resonansi secaralebih detil. Salah s<strong>at</strong>unya adalah faktor kualitas, Q , yangdidefinisikan sebagai perbandingan antara reaktansi induktif padasa<strong>at</strong> resonansi dengan resistansinya. Karena pada sa<strong>at</strong> resonansi |X L| = |X C | , makaImV L =jω 0 LI=jQV sIV R &V sReV C =−j(1/ω 0 C)I=−jQV sGb.13.3. Diagram fasorpada sa<strong>at</strong> resonansi.258 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
ω0L1 L / CQ = = =(13.5)R ω0RCRJelaslah bahwa, walaupun definisi Q menyebut “pada sa<strong>at</strong>resonansi”, Q sem<strong>at</strong>a-m<strong>at</strong>a tergantung dari parameter rangkaian.Faktor kualitas berbanding terbalik dengan rasio redaman Q = 1/2ζ.Parameter lain adalah lebar pita resonansi yang didefinisikansebagai selang frekuensi dimana impedansi tidak berbeda jauh darinilai impedansi pada sa<strong>at</strong> resonansi. Selang ini biasanya diambilselang frekuensi yang memberikan nilai Z = R − jR dan Z = R + jR .Jika b<strong>at</strong>as frekuensi rendah dan tingginyanya adalah ω 1 dan ω 2 ,maka⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜ω1L−⎟ = −Rdan⎜ω2L −⎟ = R <strong>at</strong>au⎝ ω1C⎠ ⎝ ω2C⎠22ω1LC + ω1RC−1= 0 dan ω2LC − ω2RC −1= 02Karena LC = 1/ω 0 dan RC = 1/ω 0 Q , maka persamaan di <strong>at</strong>asmenjadi22⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎛ ω1⎞ 1 ⎛ ω1⎞⎜⎟ +⎜⎟ −1= 0 dan⎜⎟ −⎜⎟ −1= 0 (13.6)⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠⎝ ω0⎠ Q ⎝ ω0⎠Masing-masing persamaan pada (13.6) mempunyai dua akar.Namun hanya akar yang mempunyai arti fisis yang kita pakai, yaituyang bernilai positif. Dengan pengertian itu maka⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω1= ω0⎜−+⎜⎟ + 1⎟dan⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠(13.7)⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω2= ω0⎜ +⎜⎟ + 1⎟⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠Lebar pita resonansi adalahω0BW res = ω2− ω1=(13.8)Qω 1 dan ω 2 disebut frekuensi cut-off untuk resonansi. Perubahanreaktansi dan impedansi terhadap frekuensi serta parameterparameterresonansi dijelas-kan pada Gb.13.4.259
X(ω)+R0−R|Z(ω)|X L = ωLR 2X L + X C R→ ω 0ω 1 ω 0 ω2|Z|ω 1 ω 0 ω2X LX C→ ωX C = −1/ωCGb.13.4. X L , X C , |Z|, ω resonansi, ω cut-off.13.4.2. Resonansi ParalelAdmitansi rangkaian paralel RLC adalahY 1 1 1 ⎛ ⎞= + + jωC= + j⎜ωC−1RLC paralel ⎟ (13.9)R jωLR ⎝ ωL⎠Bagian riil dari admitansi disebut konduktansi dan bagianimajinernya kita sebut suseptansi. Suseptansi dari rangkaian paralelRLC merupakan fungsi dari frekuensi. Seperti halnya reaktansi padarangkaian seri RLC, ada s<strong>at</strong>u nilai frekuensi yang membu<strong>at</strong>suseptansi pada (13.38) menjadi nol, yang kita sebut frekuaensiresonansi, ω 0 .⎛ 11C 0L⎟ ⎞⎜ω − = → ω = ω 0⎝ ω ⎠=(13.10)LCPersamaan (13.10) ini sama dengan (13.4). Jadi frekuensi resonansirangkaian paralel RLC sama dengan rangkaian serinya.Sesungguhnya admitansi rangkaian paralel dap<strong>at</strong> kita peroleh dariimpedansi ragkaian seri dengan penggantian :R ↔ G ; L ↔ C ; C ↔ LFaktor kualitas :ω0C1 RQ = = =G ω0GL(13.11)L / CFrekuensi cutoff:260 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω1= ω0⎜−+⎜⎟ + 1⎟dan⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠⎛2 ⎞⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ω2= ω0⎜ +⎜⎟ + 1⎟⎜ 2Q⎝ 2Q⎠ ⎟⎝⎠(13.12)ω0Lebar pita resonansi adalah: BW res = ω2− ω1=Q(13.13)Frekuensi tengah : ω 0 = ω1ω2(13.14)Jika arus total diny<strong>at</strong>akan dalam fasor I s , maka pada sa<strong>at</strong> resonansimasing-masing adalah :Soal-SoalI L = − jQ I s IC= jQ I s(13.15)1. Hitunglah tegangan keluaran v o pada rangkaian-rangkaian berikutini.261
2. Hitunglah tegangan pada resistor 60 Ω pada rangkaian a) dantegangan pada resistor 100 Ω pada rangkaian b) berikut ini.a)b)3. Carilah rangkaian ekivalen Thévenin di terminal A-B untukmenentukan impedansi yang harus dipasang pada terminal iniagar terjadi transfer daya maksimum dari sumber ke beban’.262 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
4. <strong>Rangkaian</strong> di samping ini adalahrangkaian T. Carilah hubunganantara V o dan V in jika frekuensioperasi adalah 2400 Hz.+V in−40Ω0,5µF40Ω+V o−5. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalahv s = Asinωt V. Tegangan keluaran dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai v o =β sin(ωt + φ) V. Berapakah β dan φ jika ωRC = 1.+v s−CRABCR+v o−6. Tentukan nilai R pada rangkaian di bawah ini sehingga padafrekuensi 1kHz terjadi perbedaan fasa 180 o antara v o dan v s .+v s−0,01µF 0,01µF 0,01µFR RR+v o−7. Tegangan di terminal masukan pada rangkaian berikut ini adalahv s = Asinωt V. Bagaimanakah bentuk tegangan keluaran v o ?Bagaimanakah jika ω = 0, ω → ∞, dan ω = 1/RC ?2R+v s−CCR/2+v o−<strong>Rangkaian</strong> Resonansi8. Su<strong>at</strong>u rangkaian RLC seri dengan R = 10 Ω, L = 0,5 mH, dan C =200 nF. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ? Berapafaktor kualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ? Berapakahnilai impedansi pada b<strong>at</strong>as frekuensi (cutoff frequency) <strong>at</strong>as danbawahnya ? Berapa nilai ke-dua b<strong>at</strong>as frekuensi tersebut ?263
9. Pada su<strong>at</strong>u rangkaian RLC seri L = 0,5 mH, dan C = 200 nF.Impedansi rangkaian ini pada b<strong>at</strong>as frekuensi <strong>at</strong>asnya adalah Z =20 + j20 Ω. Berapakah frekuensi resonansi rang-kaian ini ?Berapa faktor kualitasnya ? Berapa lebar pita resonansinya ?Berapa nilai ke-dua b<strong>at</strong>as frekuensi tersebut ?10. Sebuah rangkaian resonansi seri RLC dirancang untukberesonansi pada 50 Mrad/s, dengan lebar pita resonansi 8Mrad/s. Impedansi pada waktu resonansi adalah 24 Ω. Tentukanfaktor kualitasnya, nilai L dan C, b<strong>at</strong>as frekuensi <strong>at</strong>as dan bawah.11. Sebuah rangkaian resonansi paralel RLC beresonansi pada 100krad/s dan lebar pita resonansinya 5 krad/s. Dalam keadaanresonansi, impedansinya bernilai 8 kΩ. Tentukan L, C, faktorkualitas, b<strong>at</strong>as frekuensi <strong>at</strong>as dan bawah.12. Sebuah kapasitor variabel diparalel dengan resistor 100 Ω.<strong>Rangkaian</strong> paralel ini kemudian diserikan dengan induktor 10mH. Dengan frekuensi 5000 rad/s, pada nilai kapasitorberapakah impedansi rangkaian ini menjadi resistif ? Berapakahimpedansi tersebut ?13 Sebuah resistor 50 Ω dihubungkan seri dengan induktor 10 mH.<strong>Rangkaian</strong> seri ini diparalel dengan kapasitor 10 µF. Padafrekuensi berapakah impedansi totalnya menjadi resistif.Berapakah nilainya ?14. Sebuah induktor 20 mH mempunyai resistansi internal 20 Ω.Berapakah nilai kapasitor yang harus diserikan dengan induktortersebut agar terjadi resonansi pada frekuensi 10 krad/s ? Hitungfaktor kualitas rangkaian ini.264 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 14<strong>Analisis</strong> DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami pengertian pengertian daya ny<strong>at</strong>a, dayareaktif, daya kompleks, serta faktor daya;• mampu melakukan perhitungan alih daya ke beban sertafaktor daya beban;• mampu menentukan kondisi untuk tercapainya alih dayamaksimum.14.1. UmumDalam analisis rangkaian arus bolak-balik keadaan mantap pada babsebelumnya, kita lebih memus<strong>at</strong>kan perh<strong>at</strong>ian pada besaran arus dantegangan, belum mempersoalkan daya. Di bab inilah kita akanmembahas tentang daya.<strong>Analisis</strong> daya pada sistem arus bolak-balik, tertuju pada pemecahantiga macam persoalan yaitu:a. Mencari tanggapan rangkaian dengan rangkaian beban dansumber yang diketahui. Persoalan semacam inilah yang kitabahas pada sub-bab sebelumnya, dengan penekanan padaperhitungan tegangan dan arus. Persoalan ini masih akan kitalih<strong>at</strong> lagi, dengan penekanan pada persoalan dayanya.b. Mencari kondisi rangkaian beban agar terjadi alih dayamaksimum apabila rangkaian sumber diketahui. Persoalan inibanyak kita jumpai dalam sistem pemroses sinyal, yangmerupakan su<strong>at</strong>u rangkaian dengan sumber yang terb<strong>at</strong>askemampuannya. Pada rangkaian seperti ini kita harus berusahamelakukan penyesuaian-penyesuaian pada rangkaian bebanagar alih daya ke beban menjadi maksimum. Dengan k<strong>at</strong>a lainkita berusaha agar daya yang tersedia digunakan sebaikbaiknya.c. Mencari rangkaian sumber agar kebutuhan daya pada bebanterpenuhi dan sumber bekerja sesuai dengan kemampuannya.Persoalan ini kita jumpai dalam sistem tenaga listrik yangbertujuan memasok kebutuhan energi listrik pada su<strong>at</strong>u tingk<strong>at</strong>265
tegangan tertentu. <strong>Rangkaian</strong> seksi beban tidak mudahdisesuikan terhadap sisi sumber bahkan sebaliknya sisi sumberyang harus disesuaikan terhadap kebutuhan beban. Permintaandaya selalu berubah dari waktu ke waktu, sesuai keperluankonsumen, yang berarti bahwa pasokan di sisi sumber harusdisuaikan pula dari waktu ke waktu.Sebelum membahas persoalan-persoalan tersebut di <strong>at</strong>as, kita akanmembahas lebih dulu mengenai daya itu sendiri. Selama ini kitamengenal perny<strong>at</strong>aan daya di kawasan t sebagai hasil kali antar<strong>at</strong>egangan dan arus. Oleh karena dalam analisis rangkaian arus bolakbalikkita bekerja di kawasan fasor, maka kita memerlukanpengertian mengenai perny<strong>at</strong>aan daya di kawasan fasor, yang akankita kenal sebagai daya kompleks.14.2. Tinjauan Daya di Kawasan waktu : Daya R<strong>at</strong>a-R<strong>at</strong>a danDaya Reaktif14.2.1. Daya R<strong>at</strong>a-R<strong>at</strong>aMisalkan tegangan dan arus pada terminal su<strong>at</strong>u beban adalahv = Vmcos( ωt+ θ)dan i = I m cos ωt(14.1)Persamaan (14.1) ini merupakan perny<strong>at</strong>aan umum dari tegangandan arus yang berbentuk sinus, dengan mengambil referensi sudutfasa nol untuk arus dan perbedaan fasa antara arus dan tegangansebesar θ.Daya sesa<strong>at</strong> yang dialihkan melalui terminal ini ke beban adalahp = vi = VmIm cos( ωt+ θ) cosωt= VmIm{ cos ωtcosθ − sin ωtsin θ}cos ωt(14.2)VmImVmImVmIm= cos θ + cos θcos 2ωt− sin θsin 2ωt222Persamaan (14.2) memperlih<strong>at</strong>kan bahwa daya sesa<strong>at</strong> terdiri daridua komponen, yaitu :Komponen searah, ditunjukkan oleh suku pertama ruas kanan(14.2) yang bernilai konstan. Komponen ini ditentukan olehnilai maksimum dari tegangan dan arus serta beda sudutfasanya.266 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Komponen bolak-balik, ditunjukkan oleh suku kedua dan ketigayang berbentuk sinyal sinus dengan frekuensi 2ω.Jika kita menghitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a daya dari (14.2) dalam selangantara 0 sampai 2π , akan kita perolehπ1 2 VmImp rr = P = ω = θπ ∫pd t cos(14.3)220yang tidak lain adalah komponen searah dari (14.2) karena nilair<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dari suku kedua dan ke-tiga adalah nol.14.2.2. Daya ReaktifPada persamaan (14.2) amplitudo suku ke-dua sama dengan dayar<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a sehingga suku pertama dan ke-dua dap<strong>at</strong> kita gabung dan(14.2) menjadi⎡VmIm ⎤p = ⎢ cos θ⎥⎣ 2 ⎦= P( 1+cos 2ωt)⎡VmIm ⎤− ⎢ sin θ⎥cos 2ω1⎣ 2 ⎦V Im m( 1+cos 2ωt) − Q sin 2ωtdengan Q = sin θ2(14.4)Nilai suku pertama (14.4) selalu positif <strong>at</strong>au selalu neg<strong>at</strong>if ,tergantung dari nilai P tetapi tidak pernah berubah tanda karenafaktor (1+cos2ωt) selalu lebih besar dari 0 (minimal 0). Sedangkansuku kedua berbentuk sinus yang berubah nilai dari positif keneg<strong>at</strong>if dan sebaliknya secara periodik. Kalau kita melakukanintegrasi p dalam s<strong>at</strong>u perioda untuk mendap<strong>at</strong>kan alih energi, makaakan kita dap<strong>at</strong>kan bahwa hanya suku pertama yang memberikansu<strong>at</strong>u nilai netto; sedangkan suku kedua memberikan nilai alihenergi nol.= T T= (1 + cos 2ω) −∫Tw∫pdt( sin 2ω) = − 00 ∫P t dt Q t dt PT00(14.5)Jadi daya sesa<strong>at</strong> seperti ditunjukkan oleh (14.4) mengandung duakomponen daya. Komponen daya yang pertama memberikan alihenergi netto yang besarnya sama dengan alih energi yang diberikanoleh daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a. Komponen daya yang kedua tidak memberikanalih energi netto, dan disebut daya reaktif. Perh<strong>at</strong>ikan Gb.14.1.267
2Pp = P(1+cos2ωt) : komponen inimemberikan alih energi nettoP0Gb.14.1. Komponen-komponen Day<strong>at</strong>p = −Qsin2ωt : daya reaktif, tidakmemberikan alih energi netto14.3. Tinjauan Daya di Kawasan Fasor: Daya Kompleks, FaktorDayaDalam analisis rangkaian di kawasan fasor, kita perlu mencarihubungan antara komponen-komponen daya yang kita bahas di <strong>at</strong>asdengan besaran-besaran fasor. Dalam pembahasan mengenai fasoryang telah kita lakukan, besarnya fasor meny<strong>at</strong>akan nilai puncakdari sinyal sinus. Akan tetapi dalam analisis rangkaian arus bolakbalik,yang pada umumnya melib<strong>at</strong>kan analisis daya, perny<strong>at</strong>aanfasor tegangan dan fasor arus lebih baik diny<strong>at</strong>akan dalam nilai rmsnya,sehingga perny<strong>at</strong>aan fasor tegangan dan arus adalahjθjθviV = V e dan I = I e (14.6)rmsDengan perny<strong>at</strong>aan ini, keterkaitan antara besaran fasor dengan dayar<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a menjadi lebih sederhana. Besarnya daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a menjadiVmIm VmI mP = cos θ = cos θ = VrmsI rms cos θ2(14.7)2 2dengan θ = θ v − θ i , yaitu perbedaan sudut fasa antara fasor tegangandan fasor arus; dan besarnya daya reaktif menjadiVmI m VmI mQ = sin θ = sin θ = VrmsI rms sin θ2(14.8)2 2rms268 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
14.3.1. Daya KompleksSelanjutnya, dengan menggunakan fasor rms, kita mendefinisikandaya kompleks sebagai*= VIS (14.9)yang merupakan perkalian fasor tegangan dengan konjug<strong>at</strong> darifasor arus. Dengan menggunakan definisi ini dan persamaan (14.6),maka daya kompleks pada terminal beban menjadi* jθv− jθiS = VI = VrmseI rmsej(θv−θi)jθ= VrmsI rmse= VrmsI rmse(14.10)Perny<strong>at</strong>aan S bentuk polar (14.10) dap<strong>at</strong> kita tuliskan dalam bentuksudut sikujθS = VrmsIrmse== P + jQ[ V I ] cos θ + j[ V I ]rmsrmsrmsrmssin θ(14.11)Jadi, bagian riil dari daya kompleks S adalah daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a <strong>at</strong>aukemudian disebut juga daya ny<strong>at</strong>a, sedangkan bagian imajinernyaadalah daya reaktif. Perlu kita fahami bahwa daya kompleksbukanlah fasor, namun ia merupakan besaran kompleks. Pengertiandaya kompleks ini sang<strong>at</strong> bermanfa<strong>at</strong> jika tegangan dan arusdiny<strong>at</strong>akan dalam fasor.14.3.2. Segitiga DayaDengan pengertian daya kompleks, kita dap<strong>at</strong> menggambarkansegitiga daya, seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.14.2.ImS =VI *θPjQReImθS =VI *P− jQReGb.14.2. Segitiga Daya.Pada gambar ini P adalah positif, artinya alih daya terjadi dari arahsumber ke beban <strong>at</strong>au beban menyerap daya. Segitiga daya ini bisa269
terletak di kuadran pertama <strong>at</strong>au kuadran k<strong>ee</strong>mp<strong>at</strong>, tergantungapakah Q positif <strong>at</strong>au neg<strong>at</strong>if.Besar daya kompleks S adalahS = V rms I rms(14.12)yang kita sebut juga sebagai daya tampak dan mempunyai s<strong>at</strong>uanvolt-amper (VA).Hubungan antara daya kompleks dan daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a serta dayareaktif adalahS = P + jQP = S cosθ = VrmsIrmscos θQ = S sin θ = VrmsIrmssin θDaya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a P mempunyai s<strong>at</strong>uan w<strong>at</strong>t (W), sedangkan dayareaktif Q mempunyai s<strong>at</strong>uan volt-ampere-reaktif (VAR).14.3.3. Faktor Daya(14.13)Beda sudut fasa antara fasor tegangan dan arus adalah θ, dan cosθdisebut faktor daya.Pfaktor daya = cos θ =S(14.14)Sudut θ mempunyai rentang nilai antara −90 o sampai +90 o . Tetapikarena faktor daya adalah cosθ , maka nilainya selalu positif.Walaupun demikian faktor daya ini ini bisa lagging <strong>at</strong>au leading.Faktor daya disebut lagging jika segitiga daya berada di kwadranpertama yang berarti bahwa daya reaktif Q bernilai positif. Hal initerjadi jika fasor arus berada di belakang fasor tegangan <strong>at</strong>au aruslagging terhadap tegangan. Beban-beban industri dan jugaperumahan pada umumnya mempunyai faktor daya lagging, jadidaya reaktif bernilai positif. Perh<strong>at</strong>ikan Gb.14.3.Apabila fasor arus mendahului fasor tegangan <strong>at</strong>au arus leadingterhadap tegangan maka faktor daya disebut leading. Dalam hal inisegitiga daya berada di kwadran ke-emp<strong>at</strong> karena daya reaktif Qbernilai neg<strong>at</strong>if. Keadaan ini terjadi apabila beban bersif<strong>at</strong> kapasitif.Perh<strong>at</strong>ikan pula Gb.14.3.270 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
ImI *ImS =VI *V ReθI (lagging)θPjQReFaktor daya laggingImθI (leading)I *VReImθS =VI *P− jQReFaktor daya leadingGb.14.3. Fasor Tegangan dan Arus dan Segitiga Daya.14.4. Daya Kompleks dan Impedansi BebanImpedansi beban adalah perbandingan antara tegangan beban danarus beban. Jika tegangan beban adalah V , arus beban I, danimpedansi beban adalah Z B , makaVZ B = <strong>at</strong>au V = Z B I(14.15)IDengan hubungan ini maka daya kompleks yang dialihkan ke bebandap<strong>at</strong> diuraikan sebagai* * 2S = VI = Z BII = Z B I=2 22( R + jX ) I = R I + jX IBBrmsBrmsBrms(14.16)dengan R B dan X B masing-masing adalah resistansi dan reaktansibeban. Persamaan (14.16) dap<strong>at</strong> kita uraikan menjadi22S = P + jQ = RBI rms + jX B I rms(14.17)Dari (14.17) kita dap<strong>at</strong> mengambil kesimpulan bahwa271
22P = RBI rms dan Q = X B I rms(14.18)Persamaan pertama (14.18) menunjukkan bahwa daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong><strong>at</strong>erkait dengan resistansi beban. Nilai P yang positif menunjukkanbahwa seluruh daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a diserap oleh resistansi beban <strong>at</strong>audengan k<strong>at</strong>a lain resistansi bebanlah yang menyerap daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a.Persamaan kedua (14.18) menunjukkan bahwa daya reaktif terkaitdengan reaktansi beban. Jika daya reaktif Q bernilai positif, makareaktansi beban juga bernilai positif, yang berarti beban bersif<strong>at</strong>induktif. Jika Q neg<strong>at</strong>if berarti beban neg<strong>at</strong>if dan ini berarti bahwabeban bersif<strong>at</strong> kapasitif.Jika beban berupa resistor murni, maka tidak terdap<strong>at</strong> perbedaansudut fasa antara tegangan dan arus beban. Seluruh daya yangdialihkan ke beban adalah daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a. Untuk keadaan ini,22( R + j ) I = ( R ) ( R ) I2* *S R = VI = Z BII = B 0 B I = B rms(14.19)Jika beban berupa kapasitor, perbedaan sudut fasa antara tegangandan arus beban adalah −90 o dan daya yang dialihkan ke bebanhanya berupa daya reaktif yang neg<strong>at</strong>if. Untuk keadaan ini,SC==VI*= ZB*=( 0 + jX )222( jX ) I = ( jX ) I = ⎜−j ⎟ICI ICrmsCI⎛⎝21 ⎞rmsωC⎠(14.20)Jika beban berupa induktor, perbedaan sudut fasa antara tegangandan arus beban adalah +90 o dan daya yang dialihkan ke bebanhanya berupa daya reaktif yang positif. Untuk keadaan ini,2( 0 + jX ) I = ( jX )* *2S L = VI = Z BII = LL I= ( jX L ) I rms2 = ( jωL) I rms2(14.21)Persamaan (14.20) dan (14.21) menunjukkan bahwa daya yangdiserap oleh kapasitor maupun induktor merupakan daya reaktifakan tetapi berlawanan tanda. Kapasitor menyerap daya reaktifneg<strong>at</strong>if sedangkan induktor menyerap daya reaktif positif. Jikasu<strong>at</strong>u beban mengandung baik kapasitor maupun induktor, makadaya reaktif yang diserap beban ini adalah jumlah dari dua daya272 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
eaktif yang dalam keadaan tertentu akan saling meniadakan. Halini akan kita lih<strong>at</strong> dalam sub-bab mengenai rangkaian resonansi.Jika su<strong>at</strong>u beban bersif<strong>at</strong> terlalu induktif, artinya terlalu banyakmenyerap daya reaktif positif, kebutuhan daya reaktif tersebut dap<strong>at</strong>dikurangi dengan memasang kapasitor paralel dengan beban.Kapasitor yang diparalelkan itu akan menyerap daya reaktif neg<strong>at</strong>if,sehingga daya reaktif total akan berkurang. Inilah yang dilakukanorang untuk memperbaiki faktor daya beban yang juga akan kitalih<strong>at</strong> kemudian.COTOH-14.1: Pada terminal hubung AB antara seksi sumberdan seksi beban dari su<strong>at</strong>u rangkaian listrik terdap<strong>at</strong>tegangan dan arus sebesarooV = 480∠ + 75 V(rms) dan I = 8,75∠ + 105A(rms)Tentukan daya kompleks, daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif, faktordaya, serta impedansi beban.Penyelesaian :Daya kompleks adalahS = VI*= 480∠ + 75= 4200cos30oo× 8,75∠ −105− j4200sin 30oo= 4200∠ − 30= 3640 − j2100Daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan daya reaktif masing-masing adalahP = 3640 W dan Q = 2100 VARDaya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a ini positif, jadi beban menyerap daya.Daya reaktif bernilai neg<strong>at</strong>if, jadi faktor daya leading.faktor daya = cos( −30)= 0,866oVABahwa faktor daya ini leading sebenarnya telah terlih<strong>at</strong> dariperny<strong>at</strong>aan fasor arus dan tegangan. Sudut fasa arus, yaitu 105 o, lebih besar dari sudut fasa tegangan yang 75 o ; jadi arusmendahului tegangan.Resistansi beban adalahRP=2IReaktansi beban adalahBrms3640=(8,75)2= 47,5 Ω273
XBQ=2IrmsJadi impedansi beban adalah−2100=2(8,75)= −27,4ΩZ B = ( 47,5 − j27,4)ΩImpedansi beban ini bersif<strong>at</strong> kapasitif. Nilai kapasitansi bebandap<strong>at</strong> kita cari jika kita mengetahui berapa nilai frekuensi kerjadari sistem ini. Misalkan frekuensinya adalah 50 Hz, makaX C−11= = −27,4Ω → C == 116 µ FωC2π × 50 × 27,414.5. Alih DayaTeorema Tellegen meny<strong>at</strong>akan bahwa jika v k mengikuti hukumtegangan Kirchhoff (HTK) dan i k mengikuti hukum arus Kirchhoff(HAK), makaN∑vkk = 1× ik= 0Teorema ini meny<strong>at</strong>akan bahwa di setiap rangkaian listrik harus adaperimbangan yang tep<strong>at</strong> antara daya yang diserap oleh elemen pasifdan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai denganprinsip konservasi energi.Dalam analisis di kawasan fasor, kita mengenal daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, dayareaktif dan daya kompleks. Sementara itu kita juga mengetahuibahwa kapasitor dan induktor merupakan elemen pasif yang mampumenyerap dan mampu memberikan daya. Bagaimanakahperimbangan daya antara semua elemen yang ada dalam rangkaiandi kawasan fasor ?Dalam pembahasan alih daya antara sumber dan beban, kita melih<strong>at</strong>bahwa daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a P terkait dengan resistansi beban, sedangkandaya reaktif Q terkait dengan reaktansi beban. Jika kitamempersempit tinjauan kita, tidak ke su<strong>at</strong>u beban besar tetapi hanyake s<strong>at</strong>u elemen, kita harus mendap<strong>at</strong>kan hal yang serupa yaitubahwa daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a pada elemen berkaitan dengan resistansielemen, sedangkan daya reaktif pada elemen berkaitan denganreaktansi elemen. Ini berarti bahwa resistor hanya menyerap dayar<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, sedangkan kapasitor dan induktor hanya menyerap dayareaktif.274 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
C<strong>at</strong><strong>at</strong>an: Kita menggunakan istilah “menyerap daya” untukkapasitor dan induktor sesuai dengan konvensi pasif yangkita anut; daya yang diserap ini boleh positif <strong>at</strong>aupunneg<strong>at</strong>if. Jika daya positif berarti elemen sedang menyerapdaya, jika daya neg<strong>at</strong>if berarti elemen sedang memberikandaya.Jadi daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang diberikan oleh sumber akan diserap olehresistor-resistor sedangkan daya reaktif yang diberiken oleh sumberdiserap oleh kapasitor dan induktor. Penyerapan daya oleh kapasitordan induktor ini bisa saja tidak serempak; artinya pada su<strong>at</strong>u sa<strong>at</strong>tertentu sebagian elemen sedang menyerap sementara yang lainsedang memberikan daya.Jelaslah sekarang, kemana mengalirnya daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dan kemanapula mengalirnya daya reaktif. Oleh karena itu daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dandaya reaktif dap<strong>at</strong> digabungkan kedalam pengertian daya kompleks,dan muncullah prinsip konservasi daya kompleks (principle ofconserv<strong>at</strong>ion of complex power), yang berbunyiDalam rangkaian linier arus bolak-balik keadaan mantap,jumlah daya kompleks yang diberikan oleh sumber bebas,sama dengan jumlah daya kompleks yang diserap oleh elemenelemendalam rangkaian.Prinsip konservasi daya kompleks dalam analisis di kawasan fasorini menging<strong>at</strong>kan kita pada teorema Tellegen yang berlaku dikawasan waktu.COTOH-14.2: (a) Carilah daya kompleks yang diberikan olehmasing-masing sumber serta daya totalnya pada rangkaian berikutini. (b) Tentukan pula daya yang diserap oleh resistor, kapasitor daninduktor.V=10∠−90 o VAB− +I 1 =0,1∠0 o AI 2 I 4 I 5I 3−j50Ω j100Ω 50ΩCPenyelesaian :275
Dengan mengambil simpul B sebagai simpul referensi, simpulA menjadi terik<strong>at</strong> dan tinggallah simpul C yang perlu kita caritegangannya.VV⎡C ⎢⎣C150+1j1001 ⎤ ⎡+ ⎥ − VA⎢− j50⎦⎣−jo[ 2 + j1] − V [ j2] = −10∠0A150⎤ o⎥ + 0,1∠0 = 0⎦<strong>at</strong>auKarenao oV A = −V= −10∠ − 90 = 10∠90[ 2 + j1]V , makao ooVC− 2×10∠(90+ 90 ) = −10∠0− 30⇒ VC= = −12+ j6 V2 + j1Daya kompleks yang “diserap” oleh sumber arus adalaho[ −12+ j6− j10] × 0,1∠0 = −1,2− 0,4 VA*Si= ( V C − VA) I1 =jUntuk menghitung daya kompleks yang diberikan oleh sumbertegangan kita harus menghitung arus yang melalui sumber iniyaitu I 3 .I3 =I2 −I1VA− VCI 2 =− j50= −0,08+ j0,24Ao10∠90− ( −12+ j6)==− j50j10+ 12 − j6− j50o⇒ I3= I 2 − I1= −0,08+ j0,24− 0.1∠0= −0,18+ j0,24ADaya kompleks yang “diserap” oleh sumber tegangan adalah* oS v = VI 3 = 10∠ − 90 × ( −0,18− j0,24)= − j10× ( −0,18− j0,24)= −2,4+ j1,8VADaya kompleks total yang “diserap” oleh kedua sumber adalahStot = Si+ Sv= −1,2− j0,4− 2,4 + j1,8= −3,6+ j1,4VADaya kompleks total ini mengandung komponen r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>asebesar 3,6 W ; dan sebagaimana telah kita bahas, daya r<strong>at</strong>ar<strong>at</strong>aini harus diserap oleh resistor yang ada pada rangkaian ini276 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
yaitu resistor 50 Ω. Kita dap<strong>at</strong> memastikan hal ini denganmenghitung arus yang melalui resistor, yaitu I 5 .−VC12 − j6oI5= = = 0,24 − j0,12= 0,268∠26,6A50 502 22⇒ PR= RI rms = R I5= 50 × (0,268) = 3,6 WDaya reaktif yang diserap oleh kapasitor adalahQC222 2= X C I 2rms= ( −50)I2= −50(0,08+ 0,24 ) = −3,2VARArus yang melalui induktor adalahI4= −I− I35= −(−0,18+ j0,24+ 0,24 − j0,12)= −0,06− j0,12Adan daya reaktif yang diserap induktor adalah22 2Q L = X L I 4 = 100(0,06 + 0,12 ) = 1,8VARTotal daya kompleks yang diserap oleh resistor, kapasitor, daninduktor adalahStotbeban = PR+ jQC+ jQL= 3,6 − j3,2+ j1,8= 3,6 − j1,4VANilai ini sesuai dengan daya yang diberikan oleh keduasumber, yaituStot dari sumber = −Stot= −(−3,6+ j1,4)VADengan ini terbukti pula konservasi daya kompleks yangdikemukakan di depan.14.6. Alih Daya MaksimumTelah disebutkan di depan bahwa persoalan alih daya maksimumbanyak dijumpai dalam sistem komunikasi. Kita berusaha untukmengalihkan daya sebanyak mungkin dari sumber ke beban. Hal initidak berarti bahwa efisiensi alih daya menjadi tinggi, bahkansebaliknya.277
14.6.1. Alih Daya Maksimum Dengan Cara PenyesuaianImpedansiDalam cara ini kitamenggunakan rangkaianekivalen Thévenin untukseksi sumber sedangkanrangkaian beban kitasesuaikan sedemikian rupasehingga terjadi kesesuaianantara impedansi beban danimpedansi Thévenin.<strong>Rangkaian</strong> ekivalen Théveninuntuk rangkaian arus bolak-balik terdiri dari sumber teganganThévenin V T (dalam bentuk fasor) yang diserikan dengan impedansiZ T = R T + jX T . Sementara itu seksi beban diny<strong>at</strong>akan oleh impedansibeban Z B = R B + jX B dengan R B dan X B yang harus kita sesuaikanuntuk memperoleh alih daya maksimum. Lih<strong>at</strong> Gb.14.4.Daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a yang dialihkan melalui terminal hubung AB (dayapada beban) adalah2P B = I R B(14.22)Karena Z T dan Z B terhubung seri, arus I dap<strong>at</strong> dengan mudah kitaperoleh yaituI =( RTVTVTI = =Z T + Z B ( RT+ RB) + j(X T + X B )+ RBVT) + j(XT+ X( R278 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)B)=T+ RB)2VT+ ( XT+ Xsehingga daya pada beban adalah22VTRBPB= I RB=22( RT+ RB) + ( X T + X B )(14.23)Jika kita anggap bahwa resistansi beban konstan, maka apabila kitaingin agar P B menjadi tinggi, kita harus mengusahakan agar X B =−X T .pada persamaan (14.23). Hal ini selalu mungkin kita lakukankarena reaktansi dap<strong>at</strong> dibu<strong>at</strong> bernilai neg<strong>at</strong>if <strong>at</strong>aupun positif.Dengan menyesuaikan reaktansi beban, maka kita dap<strong>at</strong> membu<strong>at</strong>B)2
impedansi beban merupakan konjug<strong>at</strong> dari impedansi Thévenin.Dengan penyesuaian impedansi beban demikian ini kita dap<strong>at</strong>memperoleh alih daya yang tinggi. Langkah ini akan membu<strong>at</strong>impedansi keseluruhan yang dilih<strong>at</strong> oleh sumber tegangan Thévenintinggallah resistansi (R T + R B ) saja.Dengan membu<strong>at</strong> X B = −X T , maka besarnya daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a padabeban adalahPB2VTR=( R + RB )TB2(14.24)Inilah daya pada beban paling tinggi yang dap<strong>at</strong> diperoleh jika R Bbernilai konstan. Jika R B dap<strong>at</strong> diubah nilainya, maka denganmenerapkan persyar<strong>at</strong>an untuk alih daya maksimum pada rangkaianresistif yang telah pernah kita bahas yaitu bahwa resistansi bebanharus sama dengan resistansi Thévenin, maka persyar<strong>at</strong>an agarterjadi alih daya maksimum pada rangkaian arus bolak-balikharuslahRB= RTdan X B = −XT(14.25)Jika kondisi ini dicapai maka besarnya daya maksimum yangdialihkan adalah22VTRBVTPBMAX= =2(14.26)(2R4RB ) BPerh<strong>at</strong>ikanlah bahwa formula untuk terjadinya alih daya maksimumini diperoleh dengan kondisi sumber yang tetap sedangkanimpedansi beban disesuaikan untuk memperoleh kondisi yang kitasebut sebagai kesesuaian konjug<strong>at</strong>.COTOH-14.3:Terminal ABpadarangkaianberikut inimerupakanterminalhubung untuk menyambungkan beban ke seksi sumber.Hitunglah279
erapa daya maksimum yang dap<strong>at</strong> diperoleh dari rangkaianseksi sumber ini.Penyelesaian :Untuk memecahkan persoalan ini, kita mencari lebih dulurangkaian ekivalen Thévenin dari seksi sumber tersebut.Tegangan dan impedansi Thévenin adalahV− j50 o − j1T =× 10∠0= × 10 = −5− j5V50 + j100− j501 + j1Z T− j50(50+ j100)== 25 − j75− j50+ 50 + j100ΩAgar terjadi alih daya maksimum maka impedansi bebanharuslah Z B = 25 + j75 Ω. Daya maksimum yang dap<strong>at</strong>diperoleh dari terminal AB adalahPMAXVT=4R2− 5 − j5=4 × 252= 0,5 WBPemahaman :Arus yang melalui beban sama dengan arus yang diberikanoleh sumber ekivalen Thévenin, yaituVT−5 − j5oI B = = = −0,1− j0,1= 0,02∠ −135ZT+ Z B 50Arus yang dikeluarkan oleh sumber sesungguhnya, dap<strong>at</strong>dihitung dari rangkaian aslinya jika Z B dihubungkan keterminal AB seperti tergambar di bawah ini.ADari rangkaian inilah arus sumber harus kita hitung, yang akanmemberikan280 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
I so10∠0=( − j50)(25+ j75)50 + j100+− j50+ 25 + j7510o== 0,1∠0− j50+ 15050 + j100+1+j1ADaya yang diberikan oleh sumber adalah* o oS = V s I s = 10∠0× 0,1∠0 = 1 +j0VAPs2= 50Is + 25IB2= 50 × (0,1)2+ 25×(0,02)2= 1 WDaya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a P s = 1 W yang dikeluarkan oleh sumber inidiserap oleh resistor 50 Ω di rangkaian sumber dan resistor 25Ω di rangkaian beban.Untuk memungkinkan penyesuaian impedansi seksi beban kepadaimpedansi seksi sumber, seksi beban harus mengandung resistansi,kapasitansi <strong>at</strong>aupun induktansi yang dap<strong>at</strong> diubah nilainya. Olehkarena itu diperlukan resistor, kapasitor, dan induktor variabel di sisibeban.14.6.2. Alih Daya Maksimum Dengan Sisipan Transform<strong>at</strong>orPenyesuaian impedansi beban terhadap impedansi sumber dap<strong>at</strong>dilakukan dengan menemp<strong>at</strong>kan transform<strong>at</strong>or antara sumber danbeban. Kita telah membahas transform<strong>at</strong>or ideal, yang memberikankesamaan-kesamaanv11=v2 2danDi kawasan fasor, relasi tersebut menjadiV11=V22dani1 2=i21I1 2=I 2 1(14.27)Konsekuensi dari (14.27) adalah bahwa impedansi yang terlih<strong>at</strong> disisi primer adalah281
22V1( 1/ 2 ) V2⎛ 1⎞ V2⎛ 1⎞ 2Z 1 = ==Z2= a Z21 ( 2 / 1)⎜ =2 ⎟⎜2 2 ⎟II ⎝ ⎠ I ⎝ 2 ⎠(14.28)Jika impedansi beban adalah Z B = RB+ jX B , maka denganmenemp<strong>at</strong>kan transform<strong>at</strong>or antara seksi sumber dan seksi bebanseksi sumber akan melih<strong>at</strong> impedansi sebesar2Z 1 = R1+ jX1= a ( R B + jX B ) . Dengan sisipan transform<strong>at</strong>or ini kit<strong>at</strong>idak dap<strong>at</strong> membu<strong>at</strong> penyesuaian hanya pada reaktansi X 1melainkan penyesuaian pada impedansi Z 1 . Kita tidak melakukanperubahan apapun pada impedansi beban. Jika beban bersif<strong>at</strong>kapasitif <strong>at</strong>aupun induktif ia akan tetap sebagaimana adanyasehingga penyesuaian konjug<strong>at</strong> tidak dap<strong>at</strong> kita lakukan. Jika V T danZ T adalah tegangan dan impedansi Thévenin dari seksi sumber, danZ 1 kita tuliskan sebagai Z 1 = Z1cos θ + j Z1sin θ , maka dayayang dialihkan ke beban melalui transform<strong>at</strong>or adalahPB=2VTZ1cosθ2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ) 2(14.29)T 1T 1Kita harus mencari nilai |Z 1 | agar P B maksimum. Kita turunkan P Bterhadap |Z 1 | dan kita samakan dengan nol. Jika ini kita lakukanakan kita peroleh2 21 = RT+ X T ZT(14.30)Z =Dengan demikian maka Z 1 a Z B = ZTsehingga persyar<strong>at</strong>anuntuk trjadinya alih daya maksimum adalah= 2Z1 Ta = =(14.31) 2 Z BAlih daya maksimum yang kita peroleh dengan cara sisipantransform<strong>at</strong>or ini lebih kecil dari alih daya maksimum yang kitaperoleh dengan cara penyesuaian impedansi. Hal ini dap<strong>at</strong>dimaklumi karena dalam sisipan transform<strong>at</strong>or tidak terjadipenyesuaian konjug<strong>at</strong>. Walaupun daya beban maksimum lebih kecil,kita tidak memerlukan elemen-elemen variabel pada beban; kitacukup menyediakan transform<strong>at</strong>or dengan rasio transformasi a yangsesuai. Dalam cara ini yang kita peroleh bukanlah alih dayamaksimum melainkan efisiensi maksimum dari alih daya.282 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
COTOH-14.4: Terminal AB pada rangkaian berikut inimerupakan terminal hubung untuk menyambungkan beban keseksi sumber. Hitunglah rasio transformasi transform<strong>at</strong>or yangharus disisipkan pada terminal AB agar alih daya terjadidengan efisiensi maksimum dan hitunglah berapa daya yangdap<strong>at</strong> diperoleh beban pada kondisi ini.Penyelesaian :Tegangan dan impedansi Thévenin telah dihitung pada contohsebelumnya, yaituV T = −5 − j5 V dan Z T = 25 − j75 ΩAgar alih daya terjadi dengan efisiensi maksimum maka rasiotransformasi dari transform<strong>at</strong>or yang diperlukan adalah1a = 2=ZTZ B=2 225 + 752 225 + 60= 1,1028 ≈ 1,1Daya maksimum yang dap<strong>at</strong> diperoleh dari terminal AB adalahPB===2( R + Z cos θ) + ( X + Z sin θ)T12 22( R + a R ) + ( X + a X )T2VTZ1cos θ2 2VTa RBB T50×1,216×252( 25 + 1,216×25) + ( − 75 + 1,216×60)T1B22= 0,49 W2Pemahaman:Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa resistansi beban dalam contoh ini samadengan resistansi beban dalam contoh sebelumnya. Seandainyadigunakan cara penyesuaian impedansi, reaktansi beban dap<strong>at</strong>283
dibu<strong>at</strong> menjadi j75 dan daya beban menjadi 0,5 W. Dengan carasisipan transform<strong>at</strong>or, daya yang dap<strong>at</strong> diserap beban sedikitlebih kecil dibanding dengan daya maksimum beban jika carapenyesuaian impedansi digunakan.Bagaimanakah jika impedansi beban pada contoh ini bukan( 25 + j 60) Ω melainkan ( 25 − j 60) Ω ? Dalam hal ini Z Btidak berubah sehingga nilai a tetap seperti yang telah dihitungyaitu a =1, 1 <strong>at</strong>au a2 =1, 21 . Daya yang diserap beban menjadiP B=50 × 1,21×252( 25 + 1,21×25) + ( − 75 −1,21×60)2= 0,06Seandainya tidak disisipkan transform<strong>at</strong>or, daya pada bebanhampir sama besar yaituP B=50 × 252( 25 + 25) + ( − 75 − 60)2= 0,06Jadi dalam hal terakhir ini, di mana impedansi beban bersif<strong>at</strong>kapasitif sedangkan impedansi Thévenin juga kapasitif,penyisipan transform<strong>at</strong>or tidaklah memperbaiki alih daya.Penyisipan transform<strong>at</strong>or akan memperbaiki alih daya jikaimpedansi Thévenin dan impedansi beban memiliki sif<strong>at</strong> yangberlawanan; jika yang s<strong>at</strong>u kapasitif yang lain haruslah induktif.Rasio transformasi dari transform<strong>at</strong>or akan membu<strong>at</strong> impedansibeban mendek<strong>at</strong>i konjug<strong>at</strong> dari impedansi Thévenin, walaupuntidak dap<strong>at</strong> persis sama.WW284 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Soal-Soal1. Hitunglah daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif, dan faktor daya pada su<strong>at</strong>upiranti, jika tegangan dan arusnya adalaha). v = 100i = 22 cos( ωt+ 452 cos( ωt− 30 ) Aob). V = 100∠45oI = 2∠ − 30 A rms2. Hitunglah faktor daya (lagging <strong>at</strong>au leading), jika diketahui dayakompleksa). S = 1000 + j750VAb).S = 800 − j600VAc). S = −600+ j800VAoV rmsd).| S | = 10 kVA, Q = −8 kVAR, cosθ > 0.e).| S | = 10 kVA, P = 8 kW, cosθ > 0.3. Hitunglah daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap dayakompleks 15 kVA pada faktor daya 0,8 lagging.4. Hitunglah daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif, arus beban, serta impedansibeban jika pada tegangan 2400 V rms, beban menyerap daya 10kW pada faktor daya 0,8 lagging.5. Pada tegangan 220 V rms, sebuah beban dialiri arus 22 A rmspada faktor daya 0,9 lagging. Hitunglah daya kompleks, dayar<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif, serta impedansi beban.6. Sebuah resistor 100 Ω terhubung seri dengan induktor 100 mH.Hitunglah daya total yang diserap, faktor dayanya, daya yangdiserap masing-masing elemen, jika dihubungkan pada sumbertegangan 220 V rms, 50 Hz.7. Sebuah resistor 100 Ω terhubung paralel dengan kapasitor 50 µF.Hitunglah daya yang diserap beban serta faktor dayanya jikadihubungkan pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz.o);V285
8. Sebuah beban berupa hubungan paralel antara sebuah resistor dansebuah kapasitor. Pada tegangan 220 V rms, 50 Hz , beban inimenyerap daya kompleks S = 550 − j152 VA. Berapakah nilairesistor dan kapasitor ?9. Sebuah beban berupa resistor 40 Ω terhubung paralel denganinduktor yang reaktansinya 30 Ω pada frekuensi 50 Hz. Bebanini dic<strong>at</strong>u dari sebuah sumber tegangan 240 V rms, 50 Hz,melalui saluran yang memiliki impedansi 1 + j10 Ω per saluran.Hitunglah arus di saluran (rms), daya kompleks yang diserapbeban, daya kompleks yang diserap saluran.10. Pada soal nomer 9 berapakah faktor daya pada beban dan faktordaya di sisi sumber. Hitung pula tegangan pada beban.286 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 15Penyediaan DayaDengan mempelajari analisis daya di bab ini, kita akan• memahami cara kerja transform<strong>at</strong>or;• mampu menggambarkan diagram fasor.• mampu melakukan perhitungan-perhitungan pad<strong>at</strong>ransform<strong>at</strong>or s<strong>at</strong>u fasa;• mampu menghitung penyediaan daya pada sumber dantegangan sumber untuk menc<strong>at</strong>u beban;• mampu menentukan keperluan kapasitor dalam upayaperbaikan faktor daya.15.1. Transform<strong>at</strong>orTransform<strong>at</strong>or banyak digunakan dalam teknik elektro. Dalamsistem komunikasi, transform<strong>at</strong>or digunakan pada rentang frekuensiaudio sampai frekuensi radio dan video, untuk berbagai keperluan.Kita mengenal misalnya input transformers, interstagetransformers, output transformers pada rangkaian radio dan televisi.Transform<strong>at</strong>or juga dimanfa<strong>at</strong>kan dalam sistem komunikasi untukpenyesuaian impedansi agar tercapai transfer daya maksimum.Dalam penyaluran daya listrik banyak digunakan transform<strong>at</strong>orberkapasitas besar dan juga bertegangan tinggi. Dengantransform<strong>at</strong>or tegangan tinggi ini penyaluran daya listrik dap<strong>at</strong>dilakukan dalam jarak jauh dan susut daya pada jaringan dap<strong>at</strong>ditekan. Di jaringan distribusi listrik banyak digunakantransform<strong>at</strong>or penurun tegangan, dari tegangan menengah 20 kVmenjadi 380 V untuk distribusi ke rumah-rumah dan kantor-kantorpada tegangan 220 V. Transform<strong>at</strong>or daya tersebut pada umumnyamerupakan transform<strong>at</strong>or tiga fasa. Dalam pembahasan ini kita akanmelih<strong>at</strong> transform<strong>at</strong>or s<strong>at</strong>u fasa lebih dulu.Kita telah mempelajari transform<strong>at</strong>or ideal pada waktu membahasrangkaian listrik. Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> transform<strong>at</strong>or tidakideal sebagai piranti pemroses daya. Akan tetapi kita hanya akanmembahas hal-hal yang fundamental saja, karena transform<strong>at</strong>or akandipelajari secara lebih mendalam pada pelajaran mengenai mesinmesinlistrik.287
15.1.1. Transform<strong>at</strong>or Dua Belitan Tak BerbebanHubungan transform<strong>at</strong>or dua belitan tidak berbeban terlih<strong>at</strong> padaGb.15.1.I fφ+∼V s−E 1 1 2+E 2−Jika fluksi di rangkaian magnetiknya adalahφ = Φ maks sin ωtmaka fluksi ini akan menginduksikan tegangan di belitan primersebesar<strong>at</strong>au dalam bentuk fasordφe1 = 1= 1Φmaksωcosωt(15.1)dto 1ωΦmaks oE 1 = E1∠0 =∠0; E1= nilai efektif (15.2)2Karena ω = 2π f makaGb.15.1. Transform<strong>at</strong>or dua belitan.2πf 1E1= Φ maks = 4.44 f 1Φmaks2(15.3)Di belitan sekunder, fluksi tersebut menginduksikan tegangansebesarE2= 4 .44 f 2Φmaks(15.4)Dari (15.3) dan (15.4) kita perolehE11= ≡ a = rasio transformasiE22(15.5)288 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa E 1 sefasa dengan E 2 karena dibangkitkan(diinduksikan) oleh fluksi yang sama. Karena E 1 mendahului φdengan sudut 90 o maka E 2 juga mendahului φ dengan sudut 90 o . Jikarasio transformasi a = 1, dan resistansi belitan primer adalah R 1 ,diagram fasor tegangan dan arus adalah seperti ditunjukkan olehGb.15.2.a. Arus I f adalah arus magnetisasi, yang dap<strong>at</strong> dipandangsebagai terdiri dari dua komponen yaitu I φ (90 o dibelakang E 1 ) yangmenimbulkan φ dan I c (sefasa dengan E 1 ) yang meng<strong>at</strong>asi rugi-rugiinti. Resistansi belitan R 1 dalam diagram fasor ini muncul sebagaitegangan j<strong>at</strong>uh I f R 1 .I φφI c E 1 =E 2I f R 1I fV 1I φφV 1I cφ l E 1 =E 2I f R 1I fjI f X la). tak ada fluksi bocorb). ada fluksi bocorGb.15.2. Diagram fasor transform<strong>at</strong>or tak berbebanFluksi Bocor. Fluksi di belitan primer transform<strong>at</strong>or dibangkitkanoleh arus yang mengalir di belitan primer. Dalam keny<strong>at</strong>aan, tidaksemua fluksimagnit yangdibangkitkanI fφtersebut akanmelingkupibaik belitan V sprimer maupunsekunder.∼φ l1E 2Selisih antarafluksi yangdibangkitkan Gb.15.3. Transform<strong>at</strong>or tak berbeban. Fluksioleh belitanbocor belitan primer.primer denganfluksi bersama (fluksi yang melingkupi kedua belitan) disebut fluksibocor. Fluksi bocor transform<strong>at</strong>or tak berbeban ini hanyamelingkupi belitan primer saja dan tidak seluruhnya berada dalaminti transform<strong>at</strong>or tetapi juga melalui udara. (Lih<strong>at</strong> Gb.15.3). Olehkarena itu reluktansi yang dihadapi oleh fluksi bocor ini praktis289
adalah reluktansi udara. Dengan demikian fluksi bocor tidakmengalami gejala histerisis sehingga fluksi ini sefasa dengan arusmagnetisasi. Hal ini ditunjukkan dalam diagram fasor Gb.15.2.b.Fluksi bocor, secara tersendiri akan membangkitkan teganganinduksi di belitan primer (seperti halnya φ menginduksikan E 1 ).Tegangan induksi ini 90 o mendahului φ l1 (seperti halnya E 1 90 omendahului φ) dan dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai su<strong>at</strong>u tegangan j<strong>at</strong>uhekivalen, E l1 , di rangkaian primer dan diny<strong>at</strong>akan sebagaiE l 1 = jI f X 1(15.6)dengan X 1 disebut reaktansi bocor rangkaian primer. Hubungantegangan dan arus di rangkaian primer menjadiV +1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1jI1X1(15.7)Diagram fasor dengan memperhitungkan adanya fluksi bocor iniadalah Gb.15.2.b.15.1.2. Transform<strong>at</strong>or Berbeban<strong>Rangkaian</strong> transform<strong>at</strong>or berbeban resistif, R B , diperlih<strong>at</strong>kan olehGb.15.4. Tegangan induksi E 2 (yang telah timbul dalam keadaantranform<strong>at</strong>ortidak berbeban)akan menjadisumber dirangkaiansekunder danmemberikanarus sekunderI 2 . Arus I 2 inimembangkitkanfluksiV sI 1∼ φ l1V 2Gb.15.4. Transform<strong>at</strong>or berbeban.berlawanan arah dengan fluksi bersama φ dan sebagian akan bocor(kita sebut fluksi bocor sekunder). Fluksi bocor ini, φ l2 ,sefasa dengan I 2 dan menginduksikan tegangan E l2 di belitansekunder yang 90 o mendahului φ l2 . Seperti halnya untuk belitanprimer, tegangan E l2 ini diganti dengan su<strong>at</strong>u besaran ekivalen yaitutegangan j<strong>at</strong>uh ekivalen pada reaktansi bocor sekunder X 2 dirangkaian sekunder. Jika resistansi belitan sekunder adalah R 2 ,maka untuk rangkaian sekunder kita peroleh hubunganφφ l2I 2R B290 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
E +2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2jI2 X 2 (15.8)dengan V 2 adalah tegangan pada beban R B .Sesuai dengan hukum Lenz, arus sekunder membangkitkan fluksiyang melawan fluksi bersama. Oleh karena itu fluksi bersama akancenderung mengecil. Hal ini akan menyebabkan tegangan induksi dibelitan primer juga cenderung mengecil. Akan tetapi karena belitanprimer terhubung ke sumber yang tegangannya tak berubah, makaarus primer akan naik. Jadi arus primer yang dalam keadaantransform<strong>at</strong>or tidak berbeban hanyalah arus magnetisasi I f ,bertambah menjadi I 1 setelah transform<strong>at</strong>or berbeban. Pertambahanarus ini haruslah sedemikian rupa sehingga fluksi bersama φdipertahankan dan E 1 juga tetap seperti semula. Dengan demikianmaka persamaan rangkaian primer (15.7) tetap terpenuhi.Pertambahan arus primer dari I f menjadi I 1 adalah untukmengimbangi fluksi lawan yang dibangkitkan oleh I 2 sehingga φdipertahankan. Jadi haruslah( I − I ) − ( I ) 01 1 f 2 2 =(15.9)Pertambahan arus primer (I 1 − I f ) disebut arus penyeimbang yangakan mempertahankan φ. Makin besar arus sekunder, makin besarpula arus penyeimbang yang diperlukan yang berarti makin besarpula arus primer. Dengan cara inilah terjadinya transfer daya dariprimer ke sekunder. Dari (15.9) kita peroleh arus magnetisasiIf 2 I 2= I1− ( I 2 ) = I1−1a(15.10)15.1.3. Diagram FasorDengan persamaan (15.7) dan (15.8) kita dap<strong>at</strong> menggambarkansecara lengkap diagram fasor dari su<strong>at</strong>u transform<strong>at</strong>or.Penggambaran kita mulai dari belitan sekunder dengan langkahlangkahsebagai berikut.Gambarkan V 2 dan I 2 . Untuk beban resistif, I 2 sefasa denganV 2 . Selain itu kita dap<strong>at</strong> gambarkan I ’ 2 = I 2 /a yaitu besarnyaarus sekunder jika dilih<strong>at</strong> dari sisi primer.Dari V 2 dan I 2 kita dap<strong>at</strong> menggambarkan E 2 sesuai denganpersamaan (15.8) yaitu291
E 2 = V2+ I 2R2+ El2= V2+ I 2R2+ jI2 X 2Sampai di sini kita telah menggambarkan diagram fasorrangkaian sekunder. Untuk rangkaian primer, karena E 1 sefasa dengan E 2 maka E 1dap<strong>at</strong> kita gambarkan yang besarnya E 1 = aE 2 . Untuk menggambarkan arus magnetisasi I f kita gambarkanlebih dulu φ yang tertinggal 90 o dari E 1 . Kemudian kitagambarkan I f yang mendahului φ dengan sudut histerisis γ.Selanjutnya arus belitan primer adalah I 1 = I f + I ’ 2.Diagram fasor untuk rangkaian primer dap<strong>at</strong> kita lengkapisesuai dengan persamaan (15.7), yaituV 1 = E1+ I1R1+ El1= E1+ I1R1+ jI1XV 1jI 1 X 1E 1E 2 jI 2 X 2I 1 R 1I ’ I22 V 2 I 2 R 2I fφ γ I 1Gb.15.5. Diagram fasor lengkap, transform<strong>at</strong>or berbeban resistif (a> 1).Dengan demikian lengkaplah diagram fasor transform<strong>at</strong>orberbeban. Gb.15.5. adalah contoh diagram fasor yang dimaksud,yang dibu<strong>at</strong> dengan mengambil rasio transformasi 1 / 2 = a > 1.COTOH-15.1: Belitan primer su<strong>at</strong>u transform<strong>at</strong>or yang dibu<strong>at</strong>untuk tegangan 220 V(rms) mempunyai jumlah lilitan 160.Belitan ini dilengkapi dengan titik tengah (center tap). a).Berapa persenkah besarnya fluksi maksimum akan berkurangjika tegangan yang kita terapkan pada belitan primer adalah 110V(rms)? b). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kitamenerapkan tegangan 55 V (rms) pada setengah belitan primer?c). Berapa persenkah pengurangan tersebut jika kitamenerapkan tegangan 110 V (rms) pada setengah belitanprimer? d). Jika jumlah lilitan di belitan sekunder adalah 40,292 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
′′′bagaimanakah tegangan sekunder dalam kasus-kasus tersebut di<strong>at</strong>as?Penyelesaian :a). Dengan mengabaikan resistansi belitan, fluksi maksimumΦ m adalahΦmE12 V12 220 2= = = ω ω 160ω1Jika tegangan 110 V diterapkan pada belitan primer, maka1Φ′mV1′2= ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ′ m = Φ m / 2.b). Jika tegangan 55 V diterapkan pada setengah belitan primer,Φ ′′mV1′′2 55 2= =(1/ 2) ω 80ω1110 2=160ωPenurunan fluksi maksimum adalah 50 %, Φ″ m = Φ m / 2.c). Jika tegangan 110 V diterapkan pada setengah belitan makaVΦ ′′ ′1 2 110 2m = =(1/ 2) ω 80ω1220 2=160ωTidak terjadi penurunan fluksi maksimum, Φ′″ m =Φ m .d). Dengan 1 / 2 = 160/40 = 4 maka jika tegangan primer 220V, tegangan sekunder adalah 55 V. Jika tegangan primer110 V, tegangan sekundernya 27.5 V. Jika tegangan 55 Vditerapkan pada setengah belitan primer, tegangan sekunderadalah 27.5 V. Jika tegangan 110 V diterapkan padasetengah belitan primer, tegangan sekunder adalah 55 V.COTOH-15.2: Sebuah transform<strong>at</strong>or s<strong>at</strong>u fasa mempunyai belitanprimer dengan 400 lilitan dan belitan sekunder 1000 lilitan.Luas penampang inti efektif adalah 60 cm 2 . Jika belitan primerdihubungkan ke sumber 500 V (rms) yang frekuensinya 50 Hz,tentukanlah kerap<strong>at</strong>an fluksi maksimum dalam inti sert<strong>at</strong>egangan di belitan sekunder.293
Penyelesaian :Dengan mengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,makaV ωΦ2500 2=400 × 2π × 501 m1 = = 500 → Φ m=Kerap<strong>at</strong>an fluksi maksimum:B mTegangan belitan sekunder adalah=0.005630.0060.00563 weber= 0.942weber/m1000V 2 = × 500 = 1250 V400COTOH 15.3 : Dari sebuah transform<strong>at</strong>or s<strong>at</strong>u fasa diinginkansu<strong>at</strong>u perbandingan tegangan primer / sekunder dalam keadaantidak berbeban 6000/250 V. Jika frekuensi kerja adalah 50 Hzdan fluksi dalam inti transform<strong>at</strong>or dib<strong>at</strong>asi sekitar 0.06 weber,tentukan jumlah lilitan primer dan sekunder.Penyelesaian :Pemb<strong>at</strong>asan fluksi di sini adalah fluksi maksimum. Denganmengabaikan resistansi belitan dan reaktansi bocor,1ωΦV1=2m= 6000 → 1⇒ 6000 2== 4502π × 50 × 0.062=2506000× 450 = 18.75Pembul<strong>at</strong>an jumlah lilitan harus dilakukan. Dengan melakukanpembul<strong>at</strong>an ke <strong>at</strong>as, b<strong>at</strong>as fluksi maksimum Φ m tidak akanterlampaui. Jadi dap<strong>at</strong> kita tetapkan6000⇒ 2 = 20 lilitan ⇒ 1= × 20 = 480 lilitan250294 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
15.1.4. <strong>Rangkaian</strong> EkivalenTransform<strong>at</strong>or adalah piranti listrik. Dalam analisis, piranti-pirantilistrik biasanya dimodelkan dengan su<strong>at</strong>u rangkaian listrik ekivalenyang sesuai. Secara umum, rangkaian ekivalen hanyalah penafsiransecara rangkaian listrik dari su<strong>at</strong>u persamaan m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ik yangmenggambarkan perilaku su<strong>at</strong>u piranti. Untuk transform<strong>at</strong>or, ad<strong>at</strong>iga persamaan yang menggambarkan perilakunya, yaitu persamaan(15.7), (15.8), dan (15.10), yang kita tulis lagi sebagai s<strong>at</strong>u setpersamaan (15.11).V1= E1+ I1R1+ jI1X1E2= V2+ I2R2+ jI2 X 2(15.11) 2 I 2I1= I f + I′2 dengan I′2 = I 2 =1aDengan hubungan E 1 = aE 2 dan I′ 2 = I 2 /a maka persamaan ke-duadari (15.11) dap<strong>at</strong> ditulis sebagaiE1= V2+ aI′2R2+ jaI′2 X 2a22⇒ E1= aV2+ I′2 ( a R2) + jI′2 ( a X 2 )(15.12)= V2′+ I′2R2′+ jI′2 X 2′22dengan V2′= aV2; R2′= a R2; X 2′= a X 2Dengan (15.12) maka (15.11) menjadiV1= E1+ I1R1+ jI1X1E1= aV2+ I′2R2′+ jI′2 X 2′(15.13)I1= I f + I′2I′ 2 , R′ 2 , dan X′ 2 adalah arus, resistansi, dan reaktansi sekunderyang dilih<strong>at</strong> oleh sisi primer. Dari persamaan (15.13) dibangunlahrangkaian ekivalen transform<strong>at</strong>or seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.15.6. dibawah ini.Gb.15.6. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen diturunkan dari persamaan (15.13).295
Kita telah melih<strong>at</strong> bahwa pada diagram fasor Gb.15.5. arusmagnetisasi dap<strong>at</strong> dipandang sebagai terdiri dari dua komponen,yaitu I c dan I φ . I c sefasa dengan E 1 sedangkan I φ 90 o dibelakangE 1 . Dengan demikian maka impedansi Z pada rangkaian ekivalenGb.15.6. dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai hubungan paralel antara su<strong>at</strong>uresistansi R c dan impedansi induktif jX φ sehingga rangkaian ekivalentransform<strong>at</strong>or secara lebih detil menjadi seperti Gb.15.7.Gb.15.7. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen transform<strong>at</strong>or lebih detil.15.1.5. <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Yang DisederhanakanPada transform<strong>at</strong>or yang digunakan pada tegangan bolak-balik yangkonstan dengan frekuensi yang konstan pula (seperti misalny<strong>at</strong>ransform<strong>at</strong>or pada sistem tenaga listrik), besarnya arus magnetisasihanya sekitar 2 sampai 5 persen dari arus beban penuhtransform<strong>at</strong>or. Keadaan ini bisa dicapai karena inti transform<strong>at</strong>ordibangun dari m<strong>at</strong>erial dengan permeabilitas magnetik yang tinggi.Oleh karena itu, jika I f diabaikan terhadap I 1 kesalahan yang terjadidap<strong>at</strong> dianggap cukup kecil. Pengabaian ini akan membu<strong>at</strong>rangkaian ekivalen menjadi lebih sederhana seperti terlih<strong>at</strong> padaGb.15.8.Gb.15.8. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen yang disederhanakan dan diagramfasornya.296 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
15.1.6. Impedansi MasukanResistansi beban B adalah R B = V 2 /I 2 .resistansi tersebut menjadiDilih<strong>at</strong> dari sisi primerV2′aV VRB′ 2 2 2 2= = = a = a R BI 2′I 2 / a I(15.14)2Dengan melih<strong>at</strong> rangkaian ekivalen yang disederhanakan Gb.15.10,impedansi masukan adalahV12Z in = = Re+ a RB+ jX eI1(15.15)15.2. Penyediaan Daya dan Perbaikan Faktor DayaPada pembahasan mengenai alih daya maksimum dik<strong>at</strong>akan bahwapersoalan tersebut sering dijumpai pada sistem pemroses sinyal.Pembahasan mengenai aliran daya berikut ini merupakan persoalanyang dijumpai pada sistem tenaga listrik. Dalam sistem tenagalistrik, beban tidak mudah untuk disesuaikan dengan sumber karenabeban tergantung dari keperluan konsumen yang sang<strong>at</strong> bervariasi.Daya yang diperlukan konsumen selalu berubah dari waktu kewaktu, yang kita kenal sebagai kurva beban. Walaupun demikianperubahan kebutuhan daya itu masih jauh lebih lamb<strong>at</strong> jikadibandingkan dengan perubahan tegangan yang berfrekuensi 50 Hz(<strong>at</strong>au 60 Hz di Amerika). Oleh karena itu analisis aliran daya dap<strong>at</strong>dilakukan dalam keadaan mantap dengan menggunakan konsepfasor. Dalam analisis ini, kita harus mencari kondisi sumber agardap<strong>at</strong> memenuhi permintaan beban. Dalam memenuhi kebutuhanbeban itu, kondisi kerja sumber belum tentu baik; misalnya faktordaya terlalu rendah. Oleh karena itu kita harus melakukan usahauntuk memperbaiki faktor daya tersebut. Perbaikan faktor daya inidilakukan dengan menambahkan kapasitor paralel dengan beban(yang pada umumnya bersif<strong>at</strong> induktif) sehingga daya reaktif yangharus diberikan oleh sumber menurun tetapi daya ny<strong>at</strong>a yangdiperlukan beban tetap terpenuhi. Untuk menjelaskan persoalan inikita akan langsung melih<strong>at</strong> pada su<strong>at</strong>u contoh.COTOH-15.4: Dua buah beban dihubungkan paralel. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 0,8lagging. Beban kedua memerlukan 8 kW pada faktor daya0,75 lagging. Tegangan yang diberikan oleh sumber adalah380 V rms. Jika impedansi saluran dap<strong>at</strong> diabaikan,297
erapakah daya kompleks yang harus disediakan olehsumber ?Penyelesaian :Daya kompleks yang diperlukan oleh masing-masing bebanadalahPSsin11 = P1+ jQ1= P1+ j S1θ1= P1+ j sin θ1cosθ1= P1+ jP1tan θ1−1= 10 + j10 tan(cos 0,8) = 10 + j7,5kVA−1S 2 = P2+ jP2tan θ2= 8 + j8 tan(cos 0,75) = 8 + j7Daya total beban adalahkVAS 12 = S1+ S2= 10 + j7,5+ 8 + j7= 18 + j14,5kVAJika kita gambarkan segitiga dayanya, daya kompleks ini akanberada di kuadran pertama karena daya reaktif sebesar 14,5kVAR bernilai positif. Jadi beban total ini bersif<strong>at</strong> induktif,dengan faktor daya lagging.Dengan tidak memperhitungkan daya untuk meng<strong>at</strong>asi rugirugidi saluran, maka daya kompleks total yang harusdisediakan oleh sumber sama dengan kebutuhan total beban,yaituSs= S12= 18 + j14,5kVA ;⎛ Qscos cos ⎜− 1θ =tan⎝ Ps⎞⎟= 0,78⎠laggingCOTOH-15.5: Dalam contoh 15.4. di <strong>at</strong>as, hasil perhitunganmenunjukkan bahwa daya kompleks yang diberikan olehsumber serta faktor dayanya adalahS s = 18 + j14,5kVA ; cos θ = 0,78laggingTentukanlah kapasitor yang harus diparalelkan dengan bebanuntuk memperbaiki faktor daya menjadi 0.95 lagging, jikadiketahui bahwa sumber beroperasi pada frekuensi 50 Hz.298 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Penyelesaian :Dengan menghubungkan kapasitor paralel dengan beban, akanterjadi penambahan beban daya reaktif. Karena kapasitormenyerap daya reaktif neg<strong>at</strong>if , maka tambahan beban olehkapasitor ini akan memperkecil daya reaktif total beban.Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa beban semula tidak berubah; yangberubah adalah beban total setelah ada penambahan kapasitor.Jadi beban total yang semula adalahS12 = Ss = 18 + j14,5kVAsetelah ditambahkan kapasitor akan menjadiS 12C= S12+ jQc= 18 + j(14,5+ QC) kVAdengan Q C adalah daya reaktif yang diserap kapasitor.Beban total baru S 12C ini harus mempunyai faktor daya 0,95lagging. Jadi haruslah−1S12C= 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j18 tan(cos 0,95)Dari persamaan ini kita dap<strong>at</strong> mencari Q C , yaitu−114.5 + QC= 18 tan(cos 0,95) <strong>at</strong>au−1QC= 18 tan(cos 0,95) −14,5= 5,92 −14,5= −8,58Perh<strong>at</strong>ikanlah gambar segitiga daya di bawah ini.kVARImS 12Q 12S12CQ CQ 12CP 12ReS12= P12+ jQ12= day<strong>at</strong>otalsemulaQ = dayareaktifkapasitor (neg<strong>at</strong>if)CS12C= P12+ jQ12C= daya totalsetelah penambahankapasitor.Kebutuhan daya total setelah penambahan kapasitor menjadi299
S12C = 18 + j(14,5+ QC) = 18 + j5,92kVANilai kapasitor yang diperlukan dap<strong>at</strong> dicari karena tegangankerja maupun frekuensi kerjanya diketahui. Arus yang melaluikapasitor adalahVCI C = = jωCVCjX CDaya reaktif kapasitor dap<strong>at</strong> ditulis sebagai2 2 ⎛ −1⎞ 2QC= I C X C = jωCVC⎜ ⎟ = VC( − ωC)⎝ ωC⎠Dengan Q C = −8,58 kVAR , V Crms =380 V , dan f = 50 Hz ,maka28580− 8580 = 380 ( − 2π × 50C) <strong>at</strong>au C == 190 µ F2100π × 380COTOH-15.6: Pada contoh 15.5 impedansi saluran antarasumber dan beban diabaikan. Jika impedansi ini tidak dap<strong>at</strong>diabaikan, dan besarnya untuk setiap kaw<strong>at</strong> adalah Z k = (0,2 +j1) Ω , tentukanlah daya kompleks dan tegangan kerja sumber.Perh<strong>at</strong>ikan bahwa saluran terdiri dari dua kaw<strong>at</strong>.Penyelesaian :Dengan adanya impedansi saluran, daya kompleks yangdikeluarkan oleh sumber harus lebih besar dari keperluan bebankarena sumber harus meng<strong>at</strong>asi susut daya yang terjadi padasaluran. Dengan adanya perbedaan daya kompleks yangdikeluarkan oleh sumber dan daya kompleks yang sampai kebeban, maka tegangan sumber dan tegangan beban jugaberbeda. Daya yang harus sampai ke beban (setelahpenambahan kapasitor) adalahS12 C = 18 + j5,92kVADengan menggunakan tegangan beban sebagai referensi, arusbeban dap<strong>at</strong> dihitung, yaitu* S12C(18 + j5,92)× 1000I B = == 47,37 + j15,58AVoB 380∠0oI B = 47,37 − j15,58A = 49,87∠ −18,2A.300 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Arus beban ini mengalir melalui saluran yang terdiri dari duakaw<strong>at</strong>. Daya yang diserap oleh impedansi pada saluran adalahSk= 2 × Z × Ik2B= 0,99 + j4,97kVA= 2 × (0,2 + j1)× 49,87Total daya yang harus dikeluarkan oleh sumber adalahSs= S12C+ Sk= 18 + j5,92+ 0,99 + j4,97= 18,99 + j10,89kVATegangan kerja sumber haruslahSos Ss(18,99 + j10,89)× 1000 21891∠29,8Vs= = ==* *ooI s I B 49,87∠18,249,87∠18,2o= 439∠11,6V15.3. Diagram S<strong>at</strong>u GarisDiagram s<strong>at</strong>u garis untuk meny<strong>at</strong>akan rangkaian penyaluran energiarus searah yang telah kita pelajari sebelumnya, dap<strong>at</strong> kita perluasuntuk rangkaian penyaluran energi arus bolak-balik. Pada sistems<strong>at</strong>u fasa, impedansi saluran balik ditambahkan pada impedansisaluran kirim untuk digambarkan dalam diagram s<strong>at</strong>u garis.COTOH-15.7: Dua buah beban dic<strong>at</strong>u dari s<strong>at</strong>u sumber. Bebanpertama memerlukan daya 10 kW pada faktor daya 1, dic<strong>at</strong>umelalui saluran yang impedansinya 0,1 + j1 Ω. Dari lokasi bebanpertama, saluran diteruskan untuk menc<strong>at</strong>u beban keduamemerlukan 8 kW pada faktor daya 1, dengan saluran yangimpedansinya 0,1 + j1 Ω. Tegangan kerja beban kedua harus 380V rms. (a) Gambarkan diagram s<strong>at</strong>u garis sistem ini, (b) tentukandaya yang diberikan sumber dan tegangan sumber.Penyelesaian :a). Diagram s<strong>at</strong>u garis sistem ini adalah seperti gambar di bawahini2301
| V | = 380 V rmsV s0,2 + j2 Ω 0,2 + j2 Ωbeban 1beban 210 kW8 kWcos ϕ = 1cos ϕ = 1b). Beban 1 dan beban 2 masing-masing adalahS 1 = 10 + j0kVA ; S2= 8 + j0kVAArus untuk beban 2, dengan mengambil tegangannya sebagaireferensi, adalah* 8000 + j0ooI 2 = = 21∠0A → I 2 = 21∠0Ao380∠0Daya yang diserap saluran antara beban 1 dan beban 2 adalahS sal = (0,2 + 2) × I 2 = (0,2 + j2)× I 2+j2= 0,092j0,9kVADaya beban-2 ditambah daya saluran-2 adalahStot 2 = Ssal2+ S2= 8,09 + j0,9kVATegangan di beban 1 adalahS tot1 ∠22 8090 + j900oV = == 385,2 + j42,9 V = 387,6 6,4 V*oI 21∠02Arus untuk beban-1 adalahIS10000 + j0o== 25,8 6,4o387,6∠ − 6,411 =∠*V1Arus sumber sama dengan arus di saluran antara sumber danbeban 1, yaituo ooI s = I1 + I 2 = 25,8∠6,4+ 21∠0= 46,64 + j2,88= 46,73∠3,5AADaya yang diserap saluran antara sumber dan beban 1 adalahS22sal s+1 = (0,2 + j2)× I = (0,2 + j2)× 46,73 = 0,44 j4,37kVA302 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Daya yang diberikan oleh sumber adalahSs= Ssal1+ S1+ Ssal2+ S2= 0,44 + j4,37+ 10 + 8,09 + j0,9= 18,53 + j5,27kVATegangan sumber adalahSos 18530 + j527019265∠15,9oVs= === 412∠19,4V*ooI s 46,73∠ − 3,5 46,73∠ − 3,5Soal-Soal1. Sebuah beban menyerap daya 2,5 kVA pada faktor daya 0,9lagging. Beban ini dic<strong>at</strong>u melalui kabel dari sebuah sumber yangbekerja pada tegangan 2400 V rms. Di sisi sumber terc<strong>at</strong><strong>at</strong>bahwa daya yang keluar adalah 2,65 kVA dengan faktor daya0,88 lagging. Hitunglah arus saluran, impedansi saluran danimpedansi beban. Hitung pula pada tegangan berapa bebanberoperasi.2. Pada sumber tegangan 220 V rms, 50 Hz, dihubungkan dua buahbeban (paralel). Beban pertama menyerap daya 10 kVA padafaktor daya 0,9 lagging. Beban kedua menyerap daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a 8kW dan daya reaktif 6 kVAR. Jika impedansi saluran dap<strong>at</strong>diabaikan, berapakah daya total yang diberikan sumber sertafaktor dayanya ?3. Pada sumber s<strong>at</strong>u fasa 220 V rms, terhubung dua macam beban.Beban pertama adalah sebuah pemanas 500 W. Beban ke-duaadalah motor pompa 0,5 HP yang bekerja pada faktor daya 0,8lagging. Hitunglah: (a) daya kompleks (total); (b) faktor daya(total); (c) arus yang keluar dari sumber (rms).4. Di s<strong>at</strong>u lokasi terdap<strong>at</strong> dua beban, masing-masing menyerap daya20 kVA pada faktor daya 0,8 lagging, dan 25 kVA pada faktordaya 0,9 lagging. Kedua beban bekerja pada tegangan 2400 Vrms dan dic<strong>at</strong>u dari sumber melalui saluran yang impedansinya0,5 + j2 Ω per saluran. Hitunglah arus pada saluran, dayakompleks yang harus disediakan sumber untuk kedua beban,faktor daya di sisi sumber. Hitung pula tegangan sumber agarkebutuhan tegangan beban dap<strong>at</strong> dipenuhi.303
5. S<strong>at</strong>u sumber menc<strong>at</strong>u dua beban di dua lokasi berbeda. Bebanpertama 30 kVA dengan faktor 0,8 lagging dic<strong>at</strong>u dari sumbermelalui saluran dengan impedansi 1 + j4 Ω per saluran. Darilokasi beban pertama ini, saluran disambung untuk menc<strong>at</strong>ubeban kedua yang menyerap daya 15 kVA pada faktor daya 0,8lagging. Impedansi saluran antara beban pertama dan bebankedua adalah 0,5 + j2 Ω per saluran. Jika beban kedua harusberoperasi pada tegangan 2400 V rms, berapakah tegangansumber dan berapa daya yang harus disediakan oleh sumber ?6. Sekelompok beban beroperasi pada tegangan |V| = 220 V rms danmenyerap daya 40 kVA dengan faktor daya 0,8 lagging. Bebanini dic<strong>at</strong>u dari sumber tegangan menegah melalui sebuahtransform<strong>at</strong>or penurun tegangan yang mempunyai rasio 20:1 dandap<strong>at</strong> dianggap ideal. Sumber dihubungkan ke sisi primertansform<strong>at</strong>or melalui saluran yang impedansinya 0,4 + j2 Ω persaluran. Hitunglah arus di sisi primer transform<strong>at</strong>or, tegangansumber, dan daya yang diberikan oleh sumber.7. Sebuah motor mengambil arus 20 A pada faktor daya 0,7 lagging,dari sumber 220 V, 50 Hz. Tentukan nilai kapasitor yang harusdiparalelkan untuk memperbaiki faktor daya menjadi 0,9lagging.304 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
BAB 16Sistem Tiga FasaPembahasan sistem tiga fasa ini akan membu<strong>at</strong> kita• memahami hubungan sumber dan beban dalam sistem tigafasa seimbang.• mampu menentukan hubungan fasor arus dan fasortegangan pada sistem tiga fasa seimbang.• mampu melakukan analisis daya pada sistem tiga fasa.Sampai tahap ini kita telah membahas rangkaian arus bolak-baliksistem s<strong>at</strong>u fasa. Dengan arus bolak-balik inilah energi dalamjumlah besar dap<strong>at</strong> ditransmisikan. Namun demikian pembangkitandan penyaluran tenaga listrik pada umumnya tidak dilakukan denganmenggunakan sistem s<strong>at</strong>u fasa, melainkan dengan sistem tiga fasa.Transmisi daya dilakukan pada tegangan tinggi yang dap<strong>at</strong> diperolehdengan menggunakan transform<strong>at</strong>or penaik tegangan. Di ujungsaluran, tegangan diturunkan lagi sesuai dengan kebutuhan beban.Pemilihan sistem tiga fasa untuk pembangkitan dan penyaluranenergi listrik juga didasari oleh kelebihan unjuk kerja maupunkelebihan ekonomis yang dap<strong>at</strong> diperoleh dari sistem ini.Penyaluran daya dengan menggunakan sistem tiga fasa kurangberfluktuasi dibandingkan terhadap sistem s<strong>at</strong>u fasa. Selain daripada itu, untuk penyaluran daya tertentu pada tegangan tertentu akanmemerlukan arus lebih kecil sehingga dimensi saluran yangdiperlukan akan lebih kecil pula. Konversi elektris-mekanis jugalebih mudah dilakukan pada sistem tiga fasa dengan menggunakanmotor tiga fasa.Berikut ini kita akan membahas sistem tiga fasa yang sang<strong>at</strong> luasdigunakan pada pembangkitan dan penyaluran energi listrik. Namunkita tidak akan membahas tentang bagaimana pembangkitandilakukan <strong>at</strong>aupun piranti apa yang digunakan; hal-hal ini dap<strong>at</strong> kitapelajari pada pelajaran di tingk<strong>at</strong> yang lebih tinggi. Di sini kita akanmempelajari bagaimana hubungan-hubungan elemen serta analisisrangkaian tiga fasa, dan juga terb<strong>at</strong>as hanya pada pembebanan yangseimbang.305
16.1. Sumber Tiga Fasa dan Sambungan ke BebanSu<strong>at</strong>u sumber tiga fasa membangkitkan tegangan tiga fasa, yangdap<strong>at</strong> digambarkan sebagai tiga sumber tegangan yang terhubung Y(bintang) seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.16.1.a. Dalam keny<strong>at</strong>aannnya,tiga sumber tegangan ini dibangkitkan oleh s<strong>at</strong>u piranti. Titikhubung antara ketiga tegangan itu disebut titik netral, . Antara s<strong>at</strong>utegangan dengan tegangan yang lain berbeda fasa 120 o . Jika kitamengambil tegangan V A sebagai referensi, maka kita dap<strong>at</strong>menggambarkan diagram fasor tegangan dari sistem tiga fasa iniseperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.16.1.b. Urutan fasa dalam gambar inidisebut urutan positif. Bila fasor tegangan V B dan V Cdipertukarkan, kita akan memperoleh urutan fasa neg<strong>at</strong>if.Sumber tiga fasa pada umumnya dihubungkan Y karena jikadihubungkan ∆ akan terbentuk su<strong>at</strong>u rangkaian tertutup yang apabilaketiga tegangan tidak tep<strong>at</strong> berjumlah nol akan terjadi arus sirkulasiyang merugikan. Sumber tegangan tiga fasa ini dihubungkan kebeban tiga fasa yang terdiri dari tiga impedansi yang dap<strong>at</strong>terhubung Y <strong>at</strong>aupun ∆ seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.16.2. Dalamkeny<strong>at</strong>aan, beban tiga fasa dap<strong>at</strong> berupa s<strong>at</strong>u piranti tiga fasa,misalnya motor tiga fasa, <strong>at</strong>aupun tiga piranti s<strong>at</strong>u fasa yangdihubungkan secara Y <strong>at</strong>au ∆, misalnya resistor pemanas.Gb.16.1. Sumber tiga fasa.Dalam analisis rangkaian tiga fasa, kita mengenal enam macamtegangan yaitu tiga tegangan fasa-netral dan tiga tegangan fasa-fasa.Pada Gb.16.1 dan Gb.16.2, tegangan V A , V B , dan V C , adalahtegangan-tegangan fasa-netral, masing-masing dari fasa A, B, dan C.Tegangan fasa-fasa adalah tegangan yang diukur antara fasa denganfasa, misalnya antara fasa A dan B, B dan C, C dan A, sepertiterlih<strong>at</strong> pada Gb.16.2306 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Gb.16.2. Sumber dan beban tiga fasa.Jika kita mengambil tegangan fasa-netral V A sebagai teganganreferensi, maka hubungan antara fasor-fasor tegangan tersebutadalah:VVVABC= V= V= Vfnfnfn∠0o∠ −120o∠ − 240o(16.1)Tegangan antara fasa dengan fasa kita sebut tegangan fasa-fasa yaituV AB , V BC , dan V CA yang fasor-fasornya adalahVAB= VA+ VB= VA− VBVBC= VB+ VC= VB− VCVCA= VC+ VA= VC− VA(16.2)Hubungan antara tegangan fasa-netral dan fasa-fasa adalah(Gb.16.3)ooVAB= VA− VB= V fn∠0−Vfn∠ −120⎛= V (1 0) ⎜fn + j −Vfn −⎝o= V fn 3∠3012− j3 ⎞ ⎛⎟ ⎜3= V +2fn j⎠ ⎝ 232⎞⎟⎠(16.3)307
Gb.16.3. Fasor-fasor tegangan.Dengan cara yang sama seperti cara untuk mendap<strong>at</strong> relasi (16.3),kita memperoleh relasiVBC= V fnVCA= V fno3∠ − 90o3∠ − 210(16.4)Jadi amplitudo tegangan fasa-fasa adalah √3 kali lebih besar dariamplitudo tegangan fasa-netralff V fnsedangkan sudut fasanya berbeda 30 o .V = 3(16.5)COTOH-16.1: Jika tegangan fasa-netral adalah V A =220∠30 oV, berapakah tegangan fasa-netral dan teganganfasa-fasa yang lain ?Penyelesaian :VAVBVC0= 220∠30V ;0= 220∠ − 90 V ;0= 220∠ − 210 V0VAB= 380∠ + 60 V;0VBC= 380∠ − 60 V;0VBC= 380∠ − 190 V308 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Beban Terhubung Y. Gb.16.4. memperlih<strong>at</strong>kan beban seimbangyang terhubung Y. Arus saluran = arus fasa.Gb.16.4. Beban terhubung Y.Impedansi masing-masing fasa adalah Z. Dari gambar ini jelasterlih<strong>at</strong> bahwa arus yang mengalir di saluran sama dengan arus yangmengalir di masing-masing fasa. JadiVAVBVCI A = ; I B = ; IC=(16.6)Z Z ZDalam persamaan (16.6) V A , V B , dan V C adalah teganganteganganfasa yang berbeda fasa 120 o s<strong>at</strong>u terhadap lainnya. Karen<strong>at</strong>egangan ini dibagi oleh Z yang sama untuk mendap<strong>at</strong>kan arus fasa,jelaslah bahwa masing-masing arus fasa akan tergeser dengan sudutyang sama dari tegangan fasa yang bersangkutan.Jika kita tetap menggunakan V A sebagai referensi makaVAI A =ZVBI B =ZVCIC=ZoV fn∠0=Z ∠θoV fn∠ −120=Z ∠θoV fn∠ − 240=Z ∠θV fn= ∠ − θ = I f ∠ − θZV fn oo= ∠(−120− θ)= I f ∠(−θ −120)ZV fn oo= ∠(−240− θ)= I f ∠(−θ − 240 )Z(16.7)Persamaan (16.7) memperlih<strong>at</strong>kan bahwa arus-arus fasa mempunyaiamplitudo sama, dan s<strong>at</strong>u sama lain berbeda fasa 120 o . Diagramfasor tegangan dan arus diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.16.5.309
Jumlah arus-arus fasa iniadalahV CI CImI A + I B + IC= 0 (16.8)θJika kita aplikasikan HAKuntuk titik netral padaGb.16.4., makaI + I A + I B + IC= 0sehinggaI = −( I + I + I ) = 0ABC(16.9)IBV BθθI AV AReGb.16.5. Fasor tegangan dan arus bebanterhubung Y.Jadi dalam keadaan beban seimbang, arus netral sama dengan nol.Daya kompleks yang diserap oleh beban 3 fasa adalah jumlah daridaya yang diserap oleh masing-masing fasa, yaitu:* * *S3 f = VAI A + VBI B + VCICoo o= ( V fn ) ∠0( I f ∠θ)+ ( V fn ) ∠ −120( I f ∠120+ θ)o o+ ( V fn ) ∠ − 240 ( I f ∠240+ θ)= 3Vfn I f ∠θ = 3Vfn I A∠θ(16.10)Karena hubungan antara tegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasaadalah V ff = V fn √3, maka kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan daya kompleksdalam tegangan fasa-fasa, yaituS = V I 3∠θ(16.11)3 f ff ADaya ny<strong>at</strong>a dan daya reaktif adalahP3 fQ3 f= V= VffffIIAA3 cos θ = S3 sin θ = S3 f3 fcos θsin θ(16.12)310 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
COTOH-16.2: Sebuah beban terhubung Y mempunyai impedansidi setiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dic<strong>at</strong>u olehsumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 380 V (rms).Dengan menggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi,tentukanlah (a) arus saluran dan (b) daya kompleks, daya r<strong>at</strong>ar<strong>at</strong>a,daya reaktif.Penyelesaian :a). Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa yang diketahui adalah besarny<strong>at</strong>egangan fasa-fasa, tanpa diketahui sudut fasanya. Oleh karenaitu kita harus menentukan tegngan referensi lebih dulu. Dalamsoal ini, kita diminta untuk menggunakan tegangan fasa-netralV A sebagai tegangan referensi. Besarnya tegangan fasa-netraladalahV= fffnV 380= = 220 V3 3Tegangan-tegangan fasa-netral menjadiVAo= 220∠0V ( sebagai referensi) ;VBo= 220∠ −120V ;VCo= 220∠ − 240 VKarena beban terhubung Y, arus saluran sama dengan arus fasaVAI A =Zo220∠0=3 + j4o220∠0=o5∠36,8o= 44∠ − 36,8o ooI B = 44∠(−36,8−120) = 44∠ −156,8AoIC= 44∠ − 276,8 Ab). Daya kompleks tiga fasa, adalahA*oooS3 f = 3×V A I A = 3×220∠0× 44∠36,8= 29∠36,8kVADaya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a:oP 3 f = 29cos36.8 = 23,2kWDaya reaktif:oQ 3 f = 29sin 36.8 = 17,4kVAR311
Kita coba memastikan apakah benar P dan Q masing-masingadalah daya yang diserap oleh resistansi dan reaktansi beban,dengan mengalikan resistnsi dengan pangk<strong>at</strong> dua besar arus :2P 3 f == 3×4 × 44 = 23,2 kW dan2Q 3 f = 3×3×44 = 17,4kVARTerny<strong>at</strong>a hasilnya sesuai dengan hasil sebelumnya.Beban Terhubung ∆. Jika beban terhubung ∆ (Gb.16.6), arussaluran tidak sama dengan arus fasa, akan tetapi tegangan fasa-fas<strong>at</strong>erpasang pada impedansi tiap fasa.Gb.16.6. Beban terhubung ∆. Arus saluran ≠ Arus fasaJika kita hanya ingin menghitung arus saluran, kita dap<strong>at</strong>memanfa<strong>at</strong>kan transformasi hubungan Y-∆, sehingga beban yangterhubung ∆ menjadi terhubung Y denganZZ Y = (16.13)3dengan c<strong>at</strong><strong>at</strong>an bahwa bebannya seimbang. Setelah ditransformasikanmenjadi hubungan Y arus-arus saluran serta daya total dap<strong>at</strong>kita hitung.Jika kita perlu menghitung arus maupun daya di tiap fasa dalamkeadaan beban tetap terhubung ∆, kita memerlukan formulasihubungan antara arus-arus fasa I AB , I BC , I CA dengan teganganteganganfasa V AB , V BC , dan V CA . Dari Gb.16.6. terlih<strong>at</strong> bahwa312 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
VABVBCVCAI AB = ; I BC = ; I CA =(6.14)ZZZDari gambar ini pula kita memperoleh hubunganI A = I AB − I CA; I B = I BC − I AB ; IC= ICA− I BC (16.15)Diagram fasor tegangan dan arus untuk beban yang terhubung ∆ ini,dengan mengambil V AB sebagai referensi, terlih<strong>at</strong> pada Gb.16.7.V CAI CAθImI BCθθI ABV ABReV BC−I CAI AGb.16.7. Fasor tegangan dan arus; beban terhubung ∆.Dengan memperh<strong>at</strong>ikan gambar ini maka (16.14) menjadioV V ff ∠0VABffI AB = = =Z Z ∠θ ZoI BC = I AB∠ − θ −120;oI CA = I AB∠ − θ − 240∠ − θ(16.16)Gb.16.7. memperlih<strong>at</strong>kan bahwa sudut yang dibemtuk oleh fasor I ABdan −I CA adalah 60 o . Dengan demikian makaI A = I ABI B = I BCIC= ICAo3∠(−θ − 30 ) = I fo3∠(−θ −150) = I fo3∠(−θ − 270 ) = I fo3∠(−θ − 30 )o3∠(−θ −150)o3∠(−θ − 270 )(16.17)313
Daya kompleks tiga fasa adalah*oS3 f = 3×V AB I AB = 3×V ff ∠0× I f ∠θ = V ff I A 3∠θ(16.18)Daya ny<strong>at</strong>a dan daya reaktif adalahP3f = V ff I AQ3f = V ff I A3 cosθ = S3f3 sin θ = S3fcosθsin θ(16.19)Daya Kompleks Beban Secara Umum. Jika kita perh<strong>at</strong>ikanformulasi daya kompleks untuk beban terhubung Y dan yaitu(16.11) dan beban terhubung ∆ yaitu (16.18), keduanya memberikanformula yang sama yaituS= V I 3∠θ3 f ff AJadi tanpa melih<strong>at</strong> bagaimana hubungan beban, daya kompleks yangdiberikan ke beban adalahS 3 f = V ff I A 3(16.20)COTOH-16.3: Sebuah beban terhubung ∆ mempunyai impedansidi setiap fasa sebesar Z = 4 + j3 Ω. Beban ini dic<strong>at</strong>u olehsumber tiga fasa dengan tegangan fasa-fasa V ff = 80 V (rms).Dengan menggunakan V A sebagai fasor tegangan referensi,tentukanlah:a). tegangan fasa-fasa dan arus saluran; b). daya kompleks,daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a, daya reaktif.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita diminta untuk menggunakan teganganV A sebagai referensi. Titik netral pada hubungan ∆merupakan titik fiktif; namun perlu kita ing<strong>at</strong> bahwa sumbermempunyai titik netral yang ny<strong>at</strong>a. Untuk memudahkanmencari hubungan fasor-fasor tegangan, kitamenggambarkan hubungan beban sesuai dengan teganganreferensi yang diambil yaitu V A. .Dengan menggambil V A sebagai referensi maka teganganfasa-netral adalah314 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
VAVC380 oo= ∠0= 220∠0; VB3o= 220∠ − 240V CI CAθImo= 220∠ −120;−V B V ABIBCθθI ABV AReV BTegangan-tegangan fasa-fasa adalahVAB = V A 3∠(θ AoVBC= 380∠ − 90oVCA= 380∠ − 210Arus-arus fasa adalahoo+ 30 ) = 380∠30VABI AB =Zo380∠30=4 + j3o380∠30=o5∠36,8o ooI BC = 76∠ − 6,8 −120= 76∠ −126,8o ooICA= 76∠ − 6,8 − 240 = 76∠ − 246,8dan arus-arus saluran adalaho= 76∠ − 6,8AAAI A = I ABo o3∠(−6,8− 30 ) = 76oo3∠ − 36,8 = 131.6∠ − 36,8o ooI B = 131.6∠(−36,8−120) = 131,6∠ −156,8Ao ooIC= 131.6∠(−36,8− 240 ) = 131,6∠ − 276.8 AA315
). Daya kompleks 3 fasa adalahS3f*= 3VABIABo= 86.64∠36.8oo= 3×380∠30× 76∠ + 6.8= 69,3 + j52kVAJika kita mengkaji ulang nilai P 3f dan Q 3f , dengan menghitungdaya yang diserap resistansi dan reaktansi beban, akan kitaperoleh:P3fQ3f22= 3×R × I AB = 3×4 × (76) = 69,3 kW22= 3×X × I AB = 3×3×(76) = 52 kVARJika kita bandingkanlah besarnya arus saluran, arus fasa, dan day<strong>at</strong>iga fasa yang diserap beban pada hubungan Y dan ∆ pada duacontoh 16.2 dan 16.3 kita peroleh gambaran seperti dalam tabelberikut.Hubungan YHubungan ∆Arus saluran I s |I A | = 44 A |I A | = 131,6 AArus per fasa I f |I A | = 44 A |I AB | = 76 ADaya total |S 3f | 29 kVA 86,64 kVADari tabel ini terlih<strong>at</strong> bahwa pada hubungan Y arus fasa maupunarus saluran serta daya lebih rendah dari arus dan daya padahubungan ∆. Inilah prinsip starter Y-∆ untuk motor asinkron.Motor di-start pada hubungan Y kemudian hubungan diubah ke ∆setelah motor berjalan. Dengan demikian arus pada waktu start tidakterlalu tinggi.COTOH-16.4: Sebuah beban seimbang terhubung Y. Arus di fasaA adalah I A = 100∠−30 o A rms , dan tegangan jala-jala V AB =380∠30 o V rms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Hubungan beban adalah seperti gambar berikut.316 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Tegangan fasa-netral adalahV ABo 380 o ooV A = ∠(θv− 30 ) = ∠(30− 30 ) = 220∠033Impedansi per fasa adalahVVAZ =I Ao220∠0o== 2,2∠30o100∠ − 30= 1,9 + j1,1ΩCOTOH-16.5: Sebuah beban seimbangterhubung ∆. Arus di saluran fasa Aadalah I A = 100∠−30 o A rms , dantegangan jala-jala V AB = 380∠30 o Vrms. Tentukanlah impedansi per fasa.Penyelesaian :Karena beban terhubung ∆, arus fas<strong>at</strong>idak sama dengan arus saluran. Untukmenghitung impedansi di fasa AB, kita harus menentukan lebihdulu arus di fasa iniI Ao 100 o ooI AB = ∠(θi+ 30 ) = ∠(−30+ 30 ) = 57,7∠0Impe33dansi per fasaVZ =IABABo380∠30o= = 6,6∠30= 5,7 + j3,3Ωo57,7∠0317
16.2. <strong>Analisis</strong> Daya Pada Sistem Tiga FasaPada dasarnya analisis daya sistem tiga fasa tidak berbeda dengansistem s<strong>at</strong>u fasa. Kita akan melih<strong>at</strong> dalam contoh-contoh berikut ini.COTOH-16.6: Sebuah beban tiga fasa seimbang terhubung Y,menyerap daya 50 kVA pada faktor daya 0,9 lagging. Jik<strong>at</strong>egangan fasa-fasa pada saluran adalah V LL = 480 V rms,hitunglah: a). besarnya arus saluran; b). resistansi dan reaktansibeban per fasa.Penyelesaian :a). Dalam soal ini kita hanya diminta untuk menghitungbesarnya arus saluran tanpa mempersoalkan sudut fasanya.Dengan diketahuinya tegangan fasa-fasa daya, arus ini dap<strong>at</strong>dihitung melalui hubungan daya, yaituS3f*= 3VfnIf= 3×V fn∠θv× I f ∠ − θi= 3VfnIf ∠(θv− θi)⇒S3f= 3Vfn I f= V ff I f3Daya tiga fasa inilah yang diketahui yaitu |S 3f | = 50 kVA.Tegangan fasa-fasa juga diketahui, V ff = 480 V. Karena bebanterhubung Y, maka arus saluran sama dengan arus fasa, jadiIs= IfS=V3 fff50000= = 603 480 3Ab). Karena faktor daya juga diketahui, maka dengan mudah kitadap<strong>at</strong> menghitung daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a P dan daya reaktif Q.Kemudian dari nilai yang didap<strong>at</strong> ini kita menghitung resistansidan reaktansi bebanP = S3 fcos ϕ = 50×0,9 = 45kW;Q = S⇒⇒SS3 f3 fpersin ϕ = 50×0,436 = 21,8 kVAR= 45 + j21,8kVAfasaS=33 f= 15 + j7,3kVA318 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Dari daya perfasa dan arus fasa, kita peroleh impedansi,resistansi, dan reaktansiS per fasa (15 + j7,3)× 1000Z = == 4,16 + j2,0322I(60)f⇒R = 4,16 Ω ;X = 2,03 Ω.COTOH-16.7: Sebuah beban 100 kW dengan faktor daya 0,8lagging, dihubungkan ke jala-jala tiga fasa dengan teganganfasa-fasa 4800 V rms. Impedansi saluran antara sumber danbeban per fasa adalah 2 + j20 Ω . Berapakah daya kompleksyang harus dikeluarkan oleh sumber dan pada tegangan berapasumber harus bekerja ?≈I S Z = 2+j20 Ω I BbV SV Be100 kWb 4800 Va cosϕ = 0,9 lagnPenyelesaian :Dalam persoalan ini, beban 100 kW dihubungkan pada jala-jala4800 V, artinya tegangan beban harus 4800 V. Karena saluranantara sumber dan beban mempunyai impedansi, maka sumbertidak hanya memberikan daya ke beban saja, tetapi juga harusmengeluarkan daya untuk meng<strong>at</strong>asi rugi-rugi di saluran.Sementara itu, arus yang dikeluarkan oleh sumber harus samadengan arus yang melalui saluran dan sama pula dengan arusyang masuk ke beban, baik beban terhubung Y <strong>at</strong>aupun ∆.Daya beban :PQBB⇒= 100 kW = S= SSBBcos ϕsin ϕ = 125 × 0,6 = 75 kVAR= PBB+ jQB→SB= 100 + j75100= = 125 kVA0,8kVABesarnya arus yang mengalir ke beban dap<strong>at</strong> dicari karen<strong>at</strong>egangan beban diharuskan 4800 V :319
P100cos ϕ 3 → I == 154800 × 0,8 × 3B = VBI BBADaya kompleks yang diserap saluran adalah tiga kali (karenaada tiga kaw<strong>at</strong> saluran) tegangan j<strong>at</strong>uh di saluran kali arussaluran konjug<strong>at</strong>, <strong>at</strong>au tiga kali impedansi saluran kali pangk<strong>at</strong>dua besarnya arus :Jadisal2**23Vsal I sal = 3ZIsalIsal = 3Zsal3ZIsalS = I =S sal = 3×(2 + j20)× 15 = 1350 + j13500VA= 1,35 + j13,5kVA2Daya total yang harus dikeluarkan oleh sumber adalahS S = S B + Ssal= 100 + j75+ 1,35 + j13,5= 101,35 + j88,52 2S S = 101,35 + 88,5 = 134,5 kVAkVADari daya total yang harus dikeluarkan oleh sumber ini kitadap<strong>at</strong> menghitung tegangan sumber karena arus yang keluardari sumber harus sama dengan arus yang melalui saluran.SS⇒= VVSSISS=I3 = V IBSSB3134,5×1000== 51803 15 3V rms16.3. Diagram S<strong>at</strong>u GarisDiagram saru garis juga digunakan untuk menggambarkanrangkaian tiga fasa dengan model s<strong>at</strong>u fasa. Dalam model s<strong>at</strong>u fasaini, tegangan yang diambil adalah tegangan fasa-netral dan arusnyaadalah arus fasa.COTOH-16.8: Dua buah beban dihubungkan ke sumber sepertidigambarkan dalam diagram berikut ini. Saluran antara sumberdan beban pertama memiliki impedansi Z 1 = R1+ jX1Ω , danantara beban pertama dan kedua Z 2 = R2+ jX 2 Ω . Tegangan,daya, dan faktor daya masing-masing beban dicantumkan dalamgambar (faktor daya lagging). Gambarkan secara skem<strong>at</strong>is320 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
(tanpa skala) diagram fasor tegangan, dengan menggunakantegangan di beban ke-dua, V 2fn , sebagai referensi, sedemikiansehingga diperoleh fasor tegangan sumber V s .Z 1 = R1+ jX1V SPenyelesaian:Dengan tegangan beban ke-dua digunakan sebagai referensi,makaoV 2 = V2∠0,oI 2 = I 2 ∠ − ϕ 2Arus di saluran yang menuju beban ke-dua adalah:I l 2 = I 2Tegangan j<strong>at</strong>uh di saluran yang menuju beban ke-dua adalah∆V 2 = Z 2Il2= ( R2+ jX 2 ) Il2Tegangan di beban pertama V 1 menjadi:=+ ∆V1 V2V2Arus beban pertama I 1 adalah ϕ 1 di belakang V 1.Arus di saluran yang menuju beban pertama adalah:I l 1 = I l 2 + I1Tegangan j<strong>at</strong>uh di saluran pertama adalah:∆Tegangan sumber adalah:Z 2 = R2+ jX2V 1fncosϕ 1V 1 = ( R1+ jX1)Il1Vs= V 1 + ∆V 1Diagram fasor tegangan adalah sebagai berikut:V 2fncosϕ 2321
Soal-Soal1. Jika tegangan fasa-netral pada su<strong>at</strong>u rangkaian tiga fasa ABCyang terhubung Y adalah 220 V rms, tuliskan fasor-fasortegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambiltegangan fasa-netral V A sebagai fasor referensi. Urutan fasaadalah positif. Gambarkan pula diagram fasor tegangan-tegangantersebut.2. Jika tegangan fasa-fasa dalam su<strong>at</strong>u rangkaian tiga fasa ABCyang terhubung Y adalah 380 V rms, tuliskan fasor-fasortegangan fasa-netral dan tegangan fasa-fasa dengan mengambiltegangan fasa-fasa V AB sebagai fasor referensi. Urutan fasaadalah positif. Gambarkan pula diagram fasor tegangan-tegangantersebut.3. Jika arus fasa dalam su<strong>at</strong>u rangkaian tiga fasa ABC yangterhubung ∆ adalah 22 A rms, tuliskan fasor-fasor arus fasa danarus fasa saluran dengan mengambil arus fasa I AB sebagai fasorreferensi. Urutan fasa adalah positif. Gambarkan pula diagramfasor arus-arus tersebut.4. Su<strong>at</strong>u beban tiga fasa seimbang terhubung Y mempunyaiimpedansi per fasa 8 + j6 Ω, dihubungkan pada jaringan tiga fasaABC yang bertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif.Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasor arus salurandengan mengambil tegangan fasa-netral V A sebagai referensi.Berapakah daya kompleks total yang diserap beban ?5. Su<strong>at</strong>u beban tiga fasa seimbang terhubung ∆ mempunyaiimpedansi per fasa 20∠30 o Ω, dihubungkan pada jaringan tigafasa yang bertegangan fasa-fasa 380 V rms. Urutan fasa positif.322 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Hitung arus saluran dan gambarkan diagram fasor arus salurandengan mengambil tegangan fasa-fasa V AB sebagai referensi.Berapakah daya kompleks total yang diserap beban ?6. Su<strong>at</strong>u saluran tiga fasa ABC menc<strong>at</strong>u sebuah beban yangterhubung Y. Arus saluran adalah I A = 22∠−30 o A rmssedangkan tegangan fasa-fasa V AB = 380∠30 o V rms. Anggaplahurutan fasa positif. Hitunglah impedansi per fasa beban. Hitungdaya kompleks (3 fasa) yang diserap beban dan faktor dayanya.7. Sebuah beban tiga fasa terhubung Y menyerap daya 5 kVAdengan faktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms(fasa-fasa). Hitung arus fasa dan hitung resistansi serta reaktansiper fasa beban.8. Sebuah beban tiga fasa terhubung ∆ menyerap daya 5 kVAdengan faktor daya 0,9 lagging dari saluran tiga fasa 380 V rms(fasa-fasa). Hitung arus fasa, arus saluran, dan hitung resistansiserta reaktansi per fasa beban.9. Dua buah beban tiga fasa dihubungkan paralel pada saluran tigafasa bertegangan 380 V rms (fasa-fasa). Beban pertam<strong>at</strong>erhubung Y menyerap daya 25 kVA pada faktor daya 0,8lagging. Beban kedua terhubung ∆ mempunyai impedansi perfasa 40 +j0 Ω. Hitung arus saluran, daya total serta faktordayanya.10. Dua beban pada soal 3 terletak di s<strong>at</strong>u lokasi. Beban-bebantersebut dic<strong>at</strong>u dari sumber dengan menggunakan saluran yangimpedansi per fasanya 0,6 + j4 Ω. Berapa daya yang diserapsaluran ? Berapa daya yang harus disediakan oleh sumber ? Pad<strong>at</strong>egangan berapa sumber harus beroperasi agar tegangan padabeban dipertahankan 380 V rms (fasa-fasa).11. Sebuah gener<strong>at</strong>or tiga fasa membang-kitkan tegangan fasa-netral2400 V rms. Impedansi internal gener<strong>at</strong>or ini adalah j2 Ω perfasa. Gener<strong>at</strong>or ini menc<strong>at</strong>u beban melalui saluran tiga fasa yangmempunyai impedansi 1 + j5 Ω per fasa. Beban yang dic<strong>at</strong>uterhubung Y dengan impedansi per fasa 80 +j60 Ω. Gambarkandiagram rangkaian ini. Hitunglah : (a) arus di saluran; (b)tegangan di terminal beban; (c) daya kompleks yang diberikanoleh gener<strong>at</strong>or dan yang diserap oleh beban; (d) efisiensi saluran.323
12. Sebuah beban tiga fasa mempunyai impedansi per fasa 9 + j21Ω, ber-operasi pada tegangan fasa-fasa 380 Vrms. Beban inidic<strong>at</strong>u dari sumber melalui saluran yang impedansinya 2 + j4 Ωper fasa. Hitunglah daya yang diberikan oleh sumber dan dayayang diserap beban jika: (a) beban dihu-bungkan Y; (b) bebandihubungkan ∆.13. Sebuah pabrik dic<strong>at</strong>u dari jaringan tiga fasa , 380 V rms (f-f), 50Hz. Beban terdiri dari 10 buah motor induksi, masing-masing10 HP dengan efisiensi 85% pada beban penuh dan faktor daya0,85 lagging, dan 800 buah lampu pijar masing-masing 50 W,220 V. Dengan menganggap semua beban seimbang, danseluruh motor beroperasi dan seluruh lampu menyala, hitunglahdaya dan faktor daya total seluruh beban.14. Sebuah beban tiga fasa menyerap daya kompleks sebesar S = 16+ j12 kVA dan beroperasi pada tegangan fasa-fasa 440 V rms.(a) Tentukan besarnya arus saluran. (b) Jika impedansi saluran(antara sumber dan beban) adalah Z s = 0,6 + j4 Ω per fasa,berapakah daya yang diserap saluran ? (c) Berapakah tegangansumber ?324 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
Daftar Referensi1. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>”, PenerbitITB 2002, ISBN 979-9299-54-3.2. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “Pengembangan Metoda Unit OutputUntuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang TeganganMenengah”, Monograf, 2005, limited public<strong>at</strong>ion.3. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “Pengantar <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>”, C<strong>at</strong><strong>at</strong>anKuliah El 1001, Penerbit ITB, 2007.4. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Analisis</strong> Harmonisa DalamPermasalahan Kualitas Daya”, C<strong>at</strong><strong>at</strong>an Kuliah El 6004, 2008.5. P. C. Sen, “Power Electronics” McGraw-Hill, 3rd Reprint,1990, ISBN 0-07-451899-2.6. Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : “Circuits, Devices andSystems” ; John Wiley & Son Inc, 5 th ed, 1992.7. David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn :“Electric Circuit Analysis” ; Prentice-Hall Inc, 2 nd ed, 1992.8. Vincent Del Toro : “Electric Power Systems”, Prentice-HallIntern<strong>at</strong>ional, Inc., 1992.9. Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : “The Analysis And Designof Linier Circuits”, . Prentice-Hall Inc, 1994.10. Douglas K Lindner : “Introduction to Signals and Systems”,McGraw-Hill, 1999.325
Daftar otasiv <strong>at</strong>au v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu.V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah.V rr : tegangan, nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a.V rms : tegangan, nilai efektif.V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak.V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor.|V| : nilai mutlak fasor tegangan.V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s.i <strong>at</strong>au i(t) : arus sebagai fungsi waktu.I: arus dengan nilai tertentu, arus searah.I rr : arus, nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a.I rms : arus, nilai efektif.I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak.I: fasor arus dalam analisis di kawasan fasor.|I| : nilai mutlak fasor arus.I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s.p <strong>at</strong>au p(t) : daya sebagai fungsi waktu.p rr : daya, nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a.S : daya kompleks.|S| : daya kompleks, nilai mutlak.P : daya ny<strong>at</strong>a.Q : daya reaktif.q <strong>at</strong>au q(t) : mu<strong>at</strong>an, fungsi waktu.w : energi.R : resistor; resistansi.L : induktor; induktansi.C : kapasitor; kapasitansi.Z : impedansi.Y : admitansi.T V (s) : fungsi alih tegangan.T I (s) : fungsi alih arus.T Y (s) : admitansi alih.T Z (s) : impedansi alih.µ : gain tegangan.β : gain arus.r: resistansi alih, transresistance.g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance.326 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
IDEKSaalih daya 133, 274, 277, 281amplitudo 38anak tangga 16, 17analisis 3aperiodik 37arus 9arus mesh 169, 256bb<strong>at</strong>ere 193, 196beban terhubung Y 309beban terhubung ∆ 312besaran 4, 8ddaya 10, 266, 267daya kompleks 269, 271, 314daya r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a 266daya reaktif 267daya tiga fasa 318daya, faktor 270, 297daya, segitiga 269diagram 3diagram blok 116diagram fasor 291diagram s<strong>at</strong>u garis 186, 300diferensiu<strong>at</strong>or 220dioda 92, 201<strong>ee</strong>kivalen 295eksponensial 16, 18, 27, 33energi 2, 9, 10fFourier 46ggelombang 15, 37gelombang penuh 94gelombang penuh 49, 202gelombang, pemotong 95gigi gergaji 51hharmonisa 41hubungan bertingk<strong>at</strong> 214iimpedansi masukan 297impuls 24induktansi 124induktor 65informasi 2integr<strong>at</strong>or 219inversi 207jjaringan ditribusi 189kkaidah 6, 122kapasitansi 123kapasitor 60, 203kausal 37Kirchhoff 6, 111komposit 24konvensi 12, 72kubik 32llebar pita 45linier 4mMillman 130model 3mu<strong>at</strong>an 9, 10327
nnilai efektif 38nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a 38nilai sesa<strong>at</strong> 37non linier 149noninversi 103, 206non-kausal 37Norton 6, 130oOhm 6, 109OP AMP 99, 101, 206pparabolik 32pembagi arus 127pembagi tegangan 127pengurang 212penjumlah 209periodik 37peubah 3, 10piranti 2proporsionalitas 6, 128, 247rramp 26rangkaian 2, 3rangkaian penyangga 102,206reduksi rangkaian 144, 254resistansi 122, 182, 184resistor 57resonansi 258, 260ssaklar 75s<strong>at</strong>u s<strong>at</strong>uan 146, 247searah 41segitiga 51setengah gelombang 49, 92,201sinus 16, 19, 26, 41sinyal 11, 15spektrum 41struktur 4substitusi 135substitusi 6sumber 83, 85, 86, 89, 124superposisi 6, 129, 247, 251ttegangan 10tegangan simpul 159, 255Tellegen 6, 136teorema 6, 121, 128Thevenin 6, 130, 148, 253tiga fasa 306transformasi Y-∆ 125transform<strong>at</strong>or 76, 287transien 6uunit output 146, 250328 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, <strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)
ResistorLampiran I<strong>Rangkaian</strong> pemroses energi maupun pemroses sinyal memerlukanresistor yang sedap<strong>at</strong> mungkin “murni”. Gejala adanya induktansimaupun kapasitansi pada piranti ini harus diusahakan sekecilmungkin. Resistor juga harus mempunyai koefisien temper<strong>at</strong>ur yangrendah agar dalam operasinya perubahan nilai resistansi sebagaiakib<strong>at</strong> kenaikan temper<strong>at</strong>ur masih dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as yang dap<strong>at</strong>diterima. Nilai resistansi yang diperlukan dalam rangkaian listrikbisa tinggi bahkan sang<strong>at</strong> tinggi, terutama dalam rangkaianelektronika, antara 10 3 sampai 10 8 Ω. Sementara itu m<strong>at</strong>erial yangsesuai untuk membangun resistor mempunyai resistivitas ρ kurangdari 10 −6 Ωm. Oleh karena itu dikembangkan konstruksi serta caracarapembu<strong>at</strong>an resistor yang dap<strong>at</strong> memenuhi persyar<strong>at</strong>anpersayar<strong>at</strong>anteknis (termasuk dimensi) serta pertimbanganpertimbanganekonomis.I.1. KonstruksiLapisan Tipis (Thin Films). Di <strong>at</strong>as permukaan su<strong>at</strong>u bahanpendukung (substr<strong>at</strong>) dibu<strong>at</strong> lapisan tipis bahan resistif melaluiproses evaporasi (penguapan) <strong>at</strong>aupun sputtering dalam vakum.Bahan-bahan metal seperti aluminium, perak, emas, dan Ni-Cr dap<strong>at</strong>dengan mudah diuapkan dalam vakum untuk membentuk lapisantipis di <strong>at</strong>as permukaan substr<strong>at</strong>. Ketebalan lapisan yang diperolehadalah sekitar 10 nm. Setelah lapisan tipis ini terbentuk, dilakukan“pengupasan” lapisan menuruti pola-pola tertentu untukmemperoleh lebar dan panjang lapisan yang diinginkan sesuaidengan nilai resistansi yang diperlukan. Proses “pengupasan” dap<strong>at</strong>dilakukan dengan beberapa cara, misalnya dengan air jet yangmengandung partikel-partikel abrasif, <strong>at</strong>au penguapan denganberkas sinar laser <strong>at</strong>au berkas elektron. Sering juga digunakan prosesphotolithography.Lapisan Tebal (Thick Film). Tebal lapisan bahan resistif aktif disini adalah antara 10 − 15 µm, dibu<strong>at</strong> dengan teknik sablon. Polapolaalur resistor dibu<strong>at</strong> lebih dahulu pada scr<strong>ee</strong>n yang kemudiandiletakkan tetap sekitar 1 − 3 mm di <strong>at</strong>as permukaan substr<strong>at</strong>. C<strong>at</strong>dengan kekentalan tertentu, yang merupakan bahan resistor,329
diletakkan di <strong>at</strong>as scr<strong>ee</strong>n kemudian disapukan mer<strong>at</strong>a menggunakanpenyapu dari karet-keras dengan tekanan yang cukup agar scr<strong>ee</strong>nmenyentuh permukaan substr<strong>at</strong>. Jika penyapuan dihentikan scr<strong>ee</strong>nakan kembali pada posisi semula dan terbentuklah pola-pola c<strong>at</strong> di<strong>at</strong>as substr<strong>at</strong>. Kekentalan c<strong>at</strong> harus dibu<strong>at</strong> sedemikian rupa sehinggapada waktu scr<strong>ee</strong>n terangk<strong>at</strong>, c<strong>at</strong> yang berada di <strong>at</strong>as substr<strong>at</strong>meluber ke temp<strong>at</strong> yang semula tertutup oleh benang / kaw<strong>at</strong> scr<strong>ee</strong>n.Dengan demikian ketebalan lapisan tidak terlalu bervariasi.C<strong>at</strong> bahan resistor diperoleh melalui pencampuran tepung bahankonduktif (biasanya oksida misalnya PdO, RuO 2 , dengankoduktivitas 10 6 − 10 6 Sm −1 ) dengan tepung silik<strong>at</strong> (boro-silik<strong>at</strong>timbal) serta campuran bahan <strong>org</strong>anik. Setelah pola-pola resistorterbentuk di <strong>at</strong>as permukaan substr<strong>at</strong>, dilakukan pemanasan secar<strong>at</strong>erkendali pada temper<strong>at</strong>ur antara 100 − 150 o C sehingga larutan<strong>org</strong>anik menguap. Sisa-sisa bahan <strong>org</strong>anik yang masih tersisadihilangkan dengan pemanasan pada temper<strong>at</strong>ur 200 − 400 o C. Yangtertinggal adalah campuran silik<strong>at</strong> dan komponen resistif aktif yangakan melek<strong>at</strong> dengan baik pada permukaan substr<strong>at</strong> melaluipemanasan pada temper<strong>at</strong>ur 800 o C.Gulungan Kaw<strong>at</strong>. Untuk memperoleh kemampuan arus yang lebihtinggi, dibu<strong>at</strong> resistor dari gulungan kaw<strong>at</strong>. Untuk mengurangi efekinduktansi pada gulungan kaw<strong>at</strong> ini dilakukan cara penggulungantertentu, misalnya penggulungan bifilar.Resistor Dalam <strong>Rangkaian</strong> Terintegrasi. Selain konstruksi tersebutdi <strong>at</strong>as, kita mengenal resistor-resistor dalam rangkaian terintegrasi.I.2. ilai-ilai StandarResistor dibu<strong>at</strong> menuruti su<strong>at</strong>u nilai standard dengan toleransiseperti terlih<strong>at</strong> pada Tabel-I.1. Tabel-I.2 memu<strong>at</strong> macam resistordan rentang dayanya. Tabel-I.3 memu<strong>at</strong> macan potensiometer danrentang dayanya.330
Nilai Toleransi ±%Tabel-I.1: Nilai-Nilai Standar ResistorNilai Toleransi ±%Nilai Toleransi ±%10 5; 10; 20 22 5; 10; 20 47 5; 10; 2011 5 24 5 51 512 5; 10 27 5; 10 56 5; 1013 5 30 5 62 515 5; 10; 20 33 5; 10; 20 68 5; 10; 2016 5 36 5 75 518 5; 10 39 5; 10 82 5; 1020 5 43 5 91 5Tabel-I.2: Macam Resistor & Rentang DayanyaType & Nilai Numerik Toleransi ± % Daya [W]Komposit:5; 10; 20 1/8; ¼; ½; 1; 21 Ω - 20 MΩKarbon: 1 Ω - 20 MΩ 1; 2; 5 1/2 ÷ 2Lapisan Logam:10 Ω - 10 MΩ0.01 ÷ 1 1/20 ÷ 1/4.Gulungan Kaw<strong>at</strong>: 0.1 Ω - 200 kΩ 0.1 ÷ 2 1; 2; 5; 10; 25Tabel-I.3: PotensiometerType & Nilai Numerik Toleransi ±% Daya [W]Komposit: 50 Ω - 5 MΩ 10 2Lapisan Logam:50 Ω - 10 kΩ2,5 0,5 ÷ 1Kaw<strong>at</strong> gulung:10 Ω - 100 kΩ2,5 1 ÷ 1000331
KapasitorLampiran IIDalam rangkaian listrik kapasitor dap<strong>at</strong> melakukan berbagai fungsi,misalnya kopling kapasitif, pemisahan tegangan bolak-balik dantegangan searah, filtering (penapisan) dan penyimpanan energi.Kapasitor melew<strong>at</strong>kan arus bolak-balik tetapi menahan arus searahsehingga ia dap<strong>at</strong> mengkopel arus bolak-balik antara s<strong>at</strong>u bagianrangkaian dengan bagian lainnya sementara arus searah di keduabagian tersebut dipisahkan. Nilai kapasitor juga dap<strong>at</strong> dipilihsedemikian rupa guna memilah frekuensi yang berbeda. Sebagaipenyimpan mu<strong>at</strong>an ia dap<strong>at</strong> dimanfa<strong>at</strong>kan misalnya pada lampu kil<strong>at</strong>kamera.II.1. Efisiensi VolumeEfisiensi volume merupakan ukuran kapasitansi yang mungkindiperoleh untuk su<strong>at</strong>u ukuran (dimensi) tertentu. Untuk kapasitorpel<strong>at</strong> paralel dengan luas A dan jarak elektroda d (yang berarti jug<strong>at</strong>ebal dilistrik = d), serta permitivitas rel<strong>at</strong>if dilistrik adalah ε r , makakapasitansi adalahAC = εrε0(II.1)ddan efisiensi volume adalah C/volumeCvolumeCAdεrεd0= =2(II.2)Jadi efisiensi volume berbanding lurus dengan permitivitas rel<strong>at</strong>if ε rdan berbanding terbalik dengan kuadr<strong>at</strong> tebal dilistriknya. Hal iniberarti bahwa makin tinggi permitivitas rel<strong>at</strong>if dan makin tipis bahandilistriknya akan makin tinggi efisiensi volumenya. Akan tetapidilistrik tidak dap<strong>at</strong> dibu<strong>at</strong> terlalu tipis karena bahan dilistrikmempunyai keku<strong>at</strong>an menahan tegangan tertentu yang jikadilampaui akan terjadi tembus listrik.Jika ku<strong>at</strong> medan tembus dilistrik adalah E b sedangkan kapasitordirancang untuk tegangan kerja V k , maka dengan faktor keamananη kita akan membu<strong>at</strong>η Vk = Ebd(II.3)332
Dari (II.2) dan (II.3) kita dap<strong>at</strong> menentukan kerap<strong>at</strong>an energi dalamdilistrik yang diperkenankan, yaitu⎛ 1⎜ CV⎝ 22k⎞⎟⎠⎛ 1volume = ⎜ CV⎝ 22kCdε εJika tegangan bolak-balik diterapkan pada kapasitor ideal, tidakterjadi desipasi energi. Dalam keny<strong>at</strong>aan, kapasitor mengandung333⎞⎟⎠r20ε=2rε0Vk22dε=2rε0Eb22η(II.4)Persamaan (II.4) menunjukkan bahwa dalam memilih dilistrik untukkapasitor tegangan tinggi faktor ε r E b 2 perlu diperh<strong>at</strong>ikan.Mu<strong>at</strong>an yang dap<strong>at</strong> tersimpan dalam kapasitor adalahEfisiensi penyimpanan mu<strong>at</strong>an adalah q/ volume menjadiqvolumeCvolumeq = CVk.= V k(II.5)Jadi efisiensi penyinpanan mu<strong>at</strong>an sama dengan efisiensi volumekali tegangan kerjanya.II.2. Resistansi Arus SearahKapasitor ny<strong>at</strong>a (bukan ideal) mengandung resistansi arus searahyang besarnyaρdR c = dengan ρ adalah resistivitas dilistrik. (II.6)ASu<strong>at</strong>u kapasitor yang bermu<strong>at</strong>an Q 0 akan melepaskan mu<strong>at</strong>annyamelalui resistansi ini sesuai dengan relasi−t/ τQ(t)= Q0 e , dengan τ = R C(II.7)Konstanta waktu τ ini tidak tergantung dari dimensi kapasitor tetapiditentukan hanya oleh dilistriknya. Hal ini dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> jika kitamasukkan (II.6) dan (II.1) kita dap<strong>at</strong>kanτ =ρdε ε AA dr 0R cC= = ρ εrε0(II.8)Resistansi R c di <strong>at</strong>as adalah resistansi dari volume dilistrik. Untukkapasitor tegangan tinggi ( > 1kV ), kita harus memperh<strong>at</strong>ikan pulaadanya resistansi permukaan antara elektroda.II.3. <strong>Rangkaian</strong> Ekivalen Pada Tegangan Bolak-Balikc
esistansi baik resistansi kaw<strong>at</strong> terminasi, elektroda, maupunresistansi dilistriknya sendiri. Yang paling dominan adalah resistansidilistrik. Adanya resistansi ini menyebabkan terjadinya desipasienergi, yang diny<strong>at</strong>akan sebagai “faktor desipasi” <strong>at</strong>au tanδ. Untukmeny<strong>at</strong>akan adanya rugi-rugi ini, su<strong>at</strong>u kapasitor diny<strong>at</strong>akan denganrangkaian ekivalen yang terdiri dari kapasitor ideal paralel dengansebuah resistor R p seperti pada Gb.II.1. <strong>at</strong>au kapasitor ideal seridengan resistor R s seperti Gb.II.2.Gb.II.1. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen kapasitor dengan resistor paralel.334Gb.II.2. <strong>Rangkaian</strong> ekivalen kapasitor dengan resistor seri.Nilai R p dan R s untuk kedua rangkaian ekivalen ini masing-masingadalahV V 1R =C=Cp=IRI C tan δ ωCtan δ(II.9)RsV=IpRsRsVCtan δ tan δ= =I ωCC(II.10)<strong>Rangkaian</strong> ekivalen dengan resistor seri lebih mudah digunakandalam aplikasi praktis karena dalam rangkaian ekivalen ini resistorseri dilalui arus yang sama dengan arus kapasitor. Resistor seri yangdigunakan untuk meny<strong>at</strong>akan adanya gejala resistansi pada kapasitorini sering disebut e.s.r. (equivalent series resistance). Untukfrekuensi tinggi, selain resistansi kita perlu memperhitungkan pulaadanya gejala induktansi L pada sambungan-sambungan kaw<strong>at</strong> sertaelektroda. Dalam hal terakhir ini rangkaian ekivalen kapasitor
erupa rangkaian seri resistor R s , iduktor L s dan kapasitor ideal C,yang pada frekuensi tinggi tertentu bisa terjadi resonansi.II.4. Desipasi Daya Pada KapasitorDari diagram fasor Gb.II.1. dap<strong>at</strong> diformulasikan daya yangdidesipasi berupa panas, yaitu sebesar<strong>at</strong>au dari Gb.II.2.P = V C I Rp = VCI C tan δ = VCICtan δ (II.11)P = V RsIC = VCICtan δ = VCICtan δ (II.12)V C dan I C dalam kedua persamaan ini adalah nilai efektif tegangandan arus. Oleh karena I C = jωCVC<strong>at</strong>au IC= ωCVCmakapersamaan (II.11) <strong>at</strong>aupun (II.12) dap<strong>at</strong> dituliskan sebagaiP = VC ( ωCVC) tan δ = VC2 ωCtan δ (II.13)Jika tegangan kapasitor diny<strong>at</strong>akan sebagai fungsi sinusVmaksvC= Vmakssin ωt, nilai efektif tegangan adalah V C = dan2persamaan (II.13) dap<strong>at</strong> pula ditulis sebagaiKerap<strong>at</strong>an daya yang didesipasi adalahPvolume===12121P = V 2maks ωCtan δ(II.14)2( ε A / d )22VmaksωCtan δ 1 Vmaksω ε r 0=volume 2 A×d2Vmaksωεr ε0tan δ2d1 2Emaksωεr ε0tan δ2tan δ(II.15)σ AC = ωεrε0tan δ disebut konduktivitas dilistrik. (II.16)( εrtan δ ) disebut faktor rugi-rugi dilistrik335
II.5. Permitivitas KompleksRugi daya pada kapasitor sesungguhnya adalah rugi daya padadilistriknya, <strong>at</strong>au dengan k<strong>at</strong>a lain faktor rugi-rugi tanδ adalah sif<strong>at</strong>dari dilistriknya. Untuk mencakup adanya rugi-rugi dilistrik ini,dikenalkan pengertian permitivitas rel<strong>at</strong>if kompleks dari dilistrik,yaituε *r = ε′ r − jε r′′(II.17)dengan ε′ r adalah bagian riil dan ε′ ′ r adalah bagian imajiner daripermitivitas. Dengan pengertian ini maka arus kapasitor adalah* AIC= jωCVC= jωεrε0VCd(II.18)A= jω( ε′ r − jε ′ r) ε0VC= jωε′rC0VC+ ωε ′ rC0VCddengan C 0 adalah kapasitansi dalam vakum yang mempunyai*ε r = ε′ r − jε r ′′ = 1−j0.Arus kapasitor dalam rumusan (II.16) terdiri dari dua komponen.Komponen pertama adalah arus kapasitor tanpa rugi-rugi, dankomponen kedua adalah arus yang sefasa dengan tegangan. Diagramfasor arus ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.II.3.ωε′ r C 0 V CImI Cδ336Reωε′′ Vr C 0 V C CGb.II.3. Diagram fasor arus kapasitor.Pada Gb.II.3. jelas terlih<strong>at</strong> bahwaε r′′ε′ r= tan δ(II.19)Dari Gb.II.3. terlih<strong>at</strong> pula bahwa desipasi daya pada kapasitoradalah
2P = ωε r′′C0VC(II.20)Dengan memasukkan (II.17) ke (II.18) dap<strong>at</strong> kita perolehKerap<strong>at</strong>an daya yang didesipasi22P = ωε′ rC0VCtan δ = ωCVCtan δ (II.21)2P ωε′ rC0VCtan δ ωε′ rε0==volume A×d1= Emaksωε′rε0tan δ2( A/d )Persamaan ini identik dengan persamaan (II.15).II.6. Macam-Macam Konstruksi Kapasitor2Vmakstan δ2 × A×dMacam-macam kapasitor yang utama adalah sebagai berikut.(II.22)Kapasitor Pita Polimer. Pada dasarnya kapasitor ini dibangun daripita polimer sebagai dilistrik yang diletakkan diantara dua pitaaluminium (alluminium foil) sebagai elektroda dan digulung untukmemperoleh luas elektroda yang diinginkan. Gulungan ini kemudiandimasukkan ke dalam tabung aluminium <strong>at</strong>au dilindungi denganepoxy resin. Konstruksi lain adalah menggunakan lapisanaluminium yang diendapkan (melalui proses penguapan) langsungdi permukaan pita polimer sebagai elektroda. Tebal pita polimerhanya beberapa mikron sedangkan tebal lapisan elektroda yangdiendapkan di permukaan polimer adalah sekitar 0.025 µm; dengandemikian efisiensi volume menjadi tinggi.Polimer yang biasa digunakan adalah polystyrene, polypropylene,polyester, polycarbon<strong>at</strong>e. Kapasitor jenis ini banyak dipakai.Kapasitor dengan dillistrik polystyrene mempunyai faktor kerugian(tanδ) yang sang<strong>at</strong> rendah ( < 10 −3 ). Kapasitansi yang bisadicapai pada konstruksi ini adalah antara 10 −5 − 10 2 µF. Kertasdengan impregnasi juga sering digunakan juga sebagai dilistrik.337
digulungelektrodadielektrikGb.II.4. Kapasitor pita polimer.Kapasitor Elektrolit Aluminium. Kapasitor ini dibangun dari duapita aluminium yang sang<strong>at</strong> murni dengan ketebalan sekitar 50 µmsebagai elektroda, dan diantara keduanya diletakkan kertas berpori,kemudian digulung membentuk silinder. Salah s<strong>at</strong>u elektroda (yaituanoda) mempunyai lapisan alumina dengan tebal sekitar 0.1 µm,yang dibentuk secara anodik. Gulungan ini dimasukkan ke dalamtabung silinder kemudian kertas berporinya di-impregnasi dengansu<strong>at</strong>u elektrolit (misalnya amonium pentabor<strong>at</strong>). Dengan demikiantersusunlah kapasitor yang terdiri dari anoda pita aluminium, lapisanalumina sebagai dilistrik, serta elektrolit dan pita aluminium yanglain sebagai k<strong>at</strong>oda. Dalam penggunaan anoda harus tetapberpotensial positif. Kapasitor ini dibu<strong>at</strong> dalam rentang nilai antara10 −1 sampai 10 4 µF.b.II.5. Kapasitor elektrolit.Kapasitor Keramik. Kapasitor keramik dibu<strong>at</strong> untuk penggunaanpada tegangan dan daya rendah maupun tegangan dan daya tinggi.Untuk tegangan rendah kita mengenal konstruksi piringan,konstruksi tabung, dan konstruksi multilayer.338
dielektrikdielektrikdielektrikGb.II.6. Kapasitor KeramikKapasitor Mika. Konstruksi yang umum terdiri dari beberapalempeng mika dengan ketebalan antara 0.25 sampai 50 µm sebagaidilistrik dengan lapisan perak sebagai elektroda yang disusun dandiklem membentuk s<strong>at</strong>u susunan kapasitor terhubung paralel.Susunan ini kemudian dibungkus dengan thermosetting resin untukmelindunginya dari kelembaban. Kapasitor jenis ini dibu<strong>at</strong> dalamrentang 10 −5 sampai 10 −1 µF.II.7. ilai StandarNilai standar kapasitor tegangan rendah dan toleransinya samaseperti resistor yang diberikan dalam tabel I.1. Tabel II.1. memu<strong>at</strong>macam kapasitor dan r<strong>at</strong>ing tegangannya.339
Tabel II.1. KapasitorDilistrik Rentang nilai Toleransi± %Tegangan KerjaSearah [V]Gelas 1 ÷ 10 4 pF 5 100÷1250Mika 1 ÷ 10 5 pF 1; 2; 5 50÷500Kertas 10 pF÷10 µF 10 50÷400Plastik 1 pF ÷ 1 µF 2; 5; 10 50÷600Keramik 10 ÷ 10 6 pF 5; 10; 20 50÷1600II.8. Kapasitor Tegangan TinggiKonstruksi-konstruksi untuk tegangan rendah tidak dap<strong>at</strong> digunakanuntuk tegangan tinggi karena mempunyai kelemahan yaitu keduaelektrodanya tetap paralel sampai di bagian pinggirnya. Padakonstruksi yang demikian ini, walaupun ku<strong>at</strong> medan listrik di bagiantengah masih normal, di bagian pinggir elektroda dap<strong>at</strong> terjadi ku<strong>at</strong>medan yang lebih tinggi (bisa sampai dua kali lip<strong>at</strong> ku<strong>at</strong> medan r<strong>at</strong>ar<strong>at</strong>a). Selama ku<strong>at</strong> medan r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a kecil dibandingkan dengan ku<strong>at</strong>medan tembus dilistrik, hal ini tidak menjadi masalah besar. Akantetapi untuk kondens<strong>at</strong>or tegangan tinggi hal ini harus mendap<strong>at</strong>perh<strong>at</strong>ian khusus. Tembus permukaan bisa terjadi jika dilistrikkapasitor yang mempunyai permitivitas tinggi berb<strong>at</strong>asan dengandilistrik sekitarnya yang permitivitasnya lebih rendah, misalnyaudara. Untuk meng<strong>at</strong>asi situasi ini, pinggiran elektroda dibu<strong>at</strong>melengkung sedemikian rupa sehingga jarak ramb<strong>at</strong> permukaandilistrik di daerah pinggir menjadi panjang. Selain itu permukaandilistrik kapasitor juga perlu di glazur. Konstruksi yang seringdijumpai untuk kapasitor tegangan tinggi adalah konstruksi pot dankontruksi silinder.dielektrikdielektrikGb.II.7. Kapasitor tegangan tinggi.340
Biod<strong>at</strong>aNama: Sudary<strong>at</strong>no SudirhamLahir: di Blora pada 26 Juli 1943Istri: Ning UtariAnak: Arga AridarmaAria Ajidarma.1971 : Teknik Elektro – Institut Teknologi Bandung.1972 – 2008 : Dosen Institut Teknologi Bandung.1974 : Tertiary Educ<strong>at</strong>ion Research Center – UNSW − Australia.1979 : EDF – Paris Nord dan Fontainbleu − Perancis.1981 : INPT - Toulouse − Perancis; 1982 DEA; 1985 Doktor.Kuliah yang pernah diberikan: “Pengukuran <strong>Listrik</strong>”, “Pengantar TeknikElektro”, “Pengantar <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>”, “M<strong>at</strong>erial Elektroteknik”,“Phenomena Gas Terionisasi”, “Dinamika Plasma”, “Dielektrika”,“M<strong>at</strong>erial Biomedika”.Buku dan Artikel: “<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong>”, Penerbit ITB, ISBN979-9299-54-3, 2002; “Metoda Rasio TM/TR Untuk Estimasi SusutEnergi Jaringan Distribusi”, Penerbit ITB, ISBN 978-979-1344-38-8,2009; “Fungsi dan Grafik, Diferensial Dan Integral”, Penerbit ITB,ISBN 978-979-1344-37-1, 2009; “<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (1)”, 2010;“<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (2)”, 2010; “<strong>Analisis</strong> <strong>Rangkaian</strong> <strong>Listrik</strong> (3)”,2010; 2010; ”Mengenal Sif<strong>at</strong> M<strong>at</strong>erial (1)”, 2010; ”Estimasi SusutTeknik dan onteknik Jaringan Distribusi”, 2011.Bidang min<strong>at</strong>: Power Engin<strong>ee</strong>ring; M<strong>at</strong>erial Science.341