MATERI MATEMATIKA KELAS X - SKP

MATERI MATEMATIKA KELAS XAuthor : machmudah DraPublish : 05-08-2011 10:48:27MATERI KELAS XMacam –macam bilangan real1.1. Bilangan AsliHimpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf A, dan ditulis A = (1,2,3,4, ….)1.2. Bilangan CacahGabungan bilangan nol dan bilangan asli disebut bilangan cacahHimpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf C, dan ditulis (0,1,2,3, ….)1.3. Bilangan BulatGabungan bilangan negative dan bilangan cacah disebut bilangan bulatHimpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf B, dan ditulis B = (…, -2,-1,0,1,2, …)1.4. Bilangan RasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai , dengan a,b Є B dan b ≠ 0 , jadihimpunan bilangan rasional ditulis : Q = ( / a,b Є B, dan b ≠ 0)1.5. Bilangan IrasionalBilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai , dengan a,b Є B dan b ≠ 0Himpunan bilangan dilambangkan dengan huruf I, contoh – contoh bilangan irasional adalah , , ,log 2, π, dsb.1.6. Bilangan RealGabungan bilangan rasional dan bilangan irasional disebut bilangan real.Operasi pada bilangan bulat2.1. Penjumlahan Bilangan Bulat2.1.1. a + b = b + a a,b Є B2.1.2. a + (b + c) = (a + b) + c a,b, c Є B2.2. Pengurangan bilangan bulat2.2.1. a – b = a + (-b)2.3. Perkalian bilangan bulat2.3.1. a x b = b x a a,b Є B2.3.2. a x (b x c) = (a x b) x c a,b, c Є B2.3.3. a x (b + c) = (a x b) = (a x b) + (a x c) a,b, c Є B2.3.4. a x (b – c) = (a x b) – (a x c) a,b, c Є B2.4. Pembagian bilangan bulatBilangan positif : bilangan positif = bilangan positifBilangan positif : bilangan negatif = bilangan negatifBilangan negatif : bilangan negatif = bilangan positifOperasi pada bilangan pecahanPage 1

MATERI MATEMATIKA KELAS X3.1.Penjumlahan bilangan pecahan+ =3.2. Pengurangan bilangan bulat- =3.3. Perkalian bilangan bulatx =3.4. Pembagian bilangan pecahan: = xKonversi bilangan pecahan4.1. Konversi bilangan pecahan ke bentuk persen= …% dapat diselesaikan dengan cara = 100 %4.2. Konversi pecahan ke decimalDapat dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebutnya.Perbandingan5.1. Perbandingan senilai.=Contoh : harga buku dengan jumlah buku5.2. Perbandingan berbalik nilai=Contoh :Jumlah pekerja dengan lama waktu menyelesaikan pekerjaanWaktu dengan kecepatana. Pengertian PerpangkatanJika a suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif, maka asebanyak n factor.a = a x a x a x a x . . . x a sebanyak n factordidefinisikan sebagai perkalian ab. Jenis Pangkat Suatu BilanganPangkat sebenarnyaa x a= aBukti :a x a = ( a x a x a x . . . x a ) x ( a x a x a x . . . x a )= a x a x a x a x a x a x . . . x aPage 2

MATERI MATEMATIKA KELAS X= aa : a = = a Jika m > n dan a 0a : a = = Jika m < n dan a 0Bukti :a : a = == a( a ) = aBukti :( a ) = (a x a x a x . . . x a )= a= aPangkat tak sebenarnyaPangkat nola = 1 Jika a 0Bukti :a = a = = 1a = n 0Bukti :a = a x = = =Pangkat Pecahanü Pangkat pecahan aBukti :Jika x = a , maka = atau x = = aJika x = a , maka = atau x = = aJika x = a , maka = atau x = = a untuk n 2 dan n bilangan asliü Pangkat pecahan a= a = ( )Pangkat dari perkalian bilanganJika n bilangan bulat positif dan a,b R, maka berlaku ketentuan sebagai berikut :( a x b ) = a x bBukti :( a x b ) = ( a x b ) ( a x b ) ( a x b ) x . . . x ( a x b )= ( a x a x a x . . . x a ) x ( b x b x b x b x . . . x b )= a x bPage 3

MATERI MATEMATIKA KELAS XPangkat dari pembagian bilanganJika n bilangan bulat positif dan a,b R, maka berlaku ketentuan sebagai berikut := , b 0Bukti := x x x x . . . x= =a. Pengertian Bilangan IrasionalBilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk menjadidesimal tidak terhingga.Contoh :, ,atau bilangan yang banyaknyab. Bentuk AkarBentuk akar adalah akar bilangan rasional yang penggantinya bukan bilangan rasional.Contoh := 1,414213 . . . bentuk akar= 3 bukan bentuk akar2.1 Menyederhanakan bentuk akarDalam menyederhanakan bentuk akar menggunakan sifat := .Bukti := ( a.b ) = a . b = .2.2 Operasi aljabar bentuk akar2.2.1 Penjumlahan dan pengurangan bentuk akarBentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila masing-masing suku sejenis, artinya bilangan itumempunyai akar pangkat dan basis yang sama, maka berlaku ketentuan sebagai berikut :a b = ( a b )a b = ( a b )2.2.2 Perkalian dan pembagian bentuk akar2.2.2.1 x =2.2.2.2 x =2.2.2.3 c x d = (c x d )2.2.2.4 =2.2.2.5 =2.2.2.6 = a2.2.3 Merasionalkan Penyebut pecahan bentuk akarMerasionalkan penyebut suatu pecahan, berarti mengubah pecahan tersebut menjadi pecahan baru yangekuivalen, dengan penyebut bilangan rasional.2.2.3.1 Pecahan berbentukJika a dan b bilangan bulat dan b 0, maka berlaku ketentuan sebagai berikut := x =2.2.3.2 Pecahan berbentukPage 4

MATERI MATEMATIKA KELAS XUntuk merasionalkan penyebut bentuk tersebut diatas, pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan daripenyebut tersebut. Dalam hal ini :a + sekawannya a -a - sekawannya a +sehingga didapat bentuk rasional sebagai berikut := x== x=2.2.3.3 Pecahan berbentukBentuk rasional penyebutnya adalah sebagai berikut := x== x=II. Konsep LogaritmaPada pembahasan bilangan berpangkat, telah diketahui bahwa 2 = 8 disebut bilangan berpangkat, 2 disebutbilangan dasar (basis), 3 disebut pangkat (eksponen), dan 8 disebut hasil perpangkatan .Sekarang perhatikan bentuk 2 = 8, berapakah nilai x? Untuk mencari nilai x pada bentuk 2 = 8 disebutinvers dari perpangkatan (logaritma). Karena 2 = 8, mka selanjutnya dikatakan bahwa 3 adalah logaritma 2dari 8 yang ditulis log 8 = 3. secara umum, persamaannya ditulis sebagai berikut :a = c log c = b, a > 0, a 1 dan c > 0Sifat – sifat Logaritma1.1 Logaritma hasil kali bilangan-bilanganLogaritma hasil kali bilangan-bilangan sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.log ( a x b ) = log a + log bBukti :Misalnya log a = m dan log b = nKarena log a = m a = plog b = n b = pMaka :( a x b ) = p . p( a x b ) = plog ( a x b ) = log plog ( a x b ) = m + nlog ( a x b ) = log a + log b1.2 Logaritma hasil bagi suatu bilanganLogaritma sebuah hasil bagi sama dengan logaritma bilangan yang dibagi dikurangi logaritma pembaginya.log = log a - log bBukti :Misalnya log a = m dan log b = nKarena log a = m a = pMaka :=log b = n= = plog = log pb = pPage 5

MATERI MATEMATIKA KELAS Xlog = m - nlog = log a - log b1.3 Logaritma suatu bilangan berpangkatLogaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan logaritma bilangan itu dikalikan dengan pangkatnya.log a = n x log aBukti :Misalnyalog a = m a = pMaka :a = ( p )a = plog a = log plog a = n.mlog a = n x log a1.4 Penggantian bilangan pokok logaritmalog a =Bukti :Misalnyalog a = m a = pMaka :Kedua ruas diambil logaritmanya dengan bilangan pokok q :log a = log plog a = m . log pm =log a =1.5 Perkalian logaritma bilanganlog a x log b = log bBukti :log a x log b = x= x= 1. = = log b2. Pengertian pertidaksamaan linierPertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka yang memuat pertidaksamaan dimana peubahnyaberpangkat satutanda3. Penyelesaian pertidaksamaan linier4.1. Pertidaksamaan linier dengan satu peubah, cara penyelesaiannya :Memindahkan variable keruas kiri dan konstanta keruas kananMenyelesaikan masing – masing ruas4.2. Pertidaksamaan linier dengan dua peubahUntuk x, y Є R, penyelesaian pertidaksamaan linier dengan dua peubah berupa daerah yang diasirpada system koordinat.Page 6

MATERI MATEMATIKA KELAS XBAB IIPERRSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN1. Pengertian Persamaan Linier1.1. persamaan linier dengan satu peubah mepunyai bentuk umum :ax + b = 0 dengan a,b Є R dan a ≠ 01.2. Persamaan linier dengan dua peubah mempunyai bentuk umum :ax + by + c = 0 , a,b,c Є R , a,b ≠ 02.. PERSAMAAN GARIS– Persamaan garis yang melalui titik ( ) dan gradien adalah :– Persamaan garis yang melalui titik dan adalah : ,SMART :– Persamaan garis yang melalui dan adalahSMART persamaan garis lurus– Persamaan garis melalui dan sejajar garis adalah (ab ab)– Persamaan garis melalui dan tegak lurus garis adalah (ba ba)– MakaxJARAK TITIK TERHADAP GARISJarak titik ( ) terhadap garisadalah5. PERSAMAAN KUADRATBentuk Umum , untukjenisjenis akar– real berlainan (punya 2 akar real) bila– real bila– kembar (punya 1 akar real) bila– tidak real(tidak punya penyelesaia bilangan real) bilaPage 7

MATERI MATEMATIKA KELAS Xjumlah,selisih dan hasil kali–––––– (persamaan kuadrat yang akar-akarnyadan– pemfaktoran– ABC– Melengkapkan kuadrat6. hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar akar– jika kedua akar adalah real dan positif, maka D > 0 ; ;– jika kedua akar adalah real sama maka D > 0 ; ;– jika kedua akar adalah real sama, maka D = 0– jika kedua akar adalah real sama dan berlawanan tanda, maka D > 0 ;– jika kedua akar berkebalikan maka D > 0 ;– jika salah satu akar nol ,maka D > 0 ; c = 0Persamaan linier dua variabelBentuk umum persamaan linier dua variabel [Pengertian pertidaksamaanPertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda pertidaksamaan ” < , >, ”– Pertidaksamaan linier adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkattertingginya satu– Bentuk umum pertidaksamaan linier adalah ax + b” < , >, ” 0 dengan a,b Є R dana ≠ 0Page 8

MATERI MATEMATIKA KELAS X2. Penyelesaian pertidaksamaan linier– Pertidaksamaan linier dengan satu peubah, cara penyelesaiannya :Memindahkan variabel keruas kiri dan konstanta keruas kananMenyelesaikan masing – masing ruas3. Pertidaksamaan linier dengan dua peubahUntuk x, y Є R, penyelesaian pertidaksamaan linier dengan dua peubah berupa daerah yang diasirpada system koordinat.Bab IIIProgram linearDefinisi :Program linier merupakan cabang ilmu Matematika, yang bertujuan untuk memaksimumkan ataumeminimumkan fungsi obyektif (fungsi sasaran).Langkah – langkah penyelesaian :Tentukan model matematika yang sesuai.Gambarlah grafik dari model matematika tersebut.Tentukan daerah fisibel (yang mungkin).Tentukan titik vertex.Cari nilai optimal dari fungsi obyektif pada titik – titik vertex.Mencari persamaan garis :xPage 9

MATERI MATEMATIKA KELAS Xybaatau ax + by = abDiketahui gambar garis memotong sumbu x dan sumbu y.Page 10

MATERI MATEMATIKA KELAS XPersamaan garis melalui dan adalahBAB IV. MatriksPenjumlahan dan Pengurangan Matriks :Jika A = dan B = , maka : 1. A + B = + =2. A – B = – =Perkalian Matriks :Jika A = , maka kA = k =Jika A = , dan B = , maka AB = =Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika memenuhi : =Sifat - Sifat Matriks :1. A + B = B + A2. Jika A = , maka Transpose matriks A adalah3. Jika , maka matriks A disebut matriks Simetris4. Jika A I = I A = A, maka I disebut matriks identitas perkalian danDeterminan Matriks :Jika A = , maka determinan A = det(A) = = = ad – bcJika A = , maka det(A) = = = (aei + bfg + cdh) – (bdi + afh + ceg) atau dengan menggunakanminor kofaktor, yaitu :Jika A = , maka det(A) = = a – b + cJika Determinan matriks A sama dengan nol, maka matriks A disebut matriks Singular, sebaliknya jikaDeterminan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks A disebut matriks non Singular.Invers Matriks ordo 2 x 2 :1. Jika A = , maka invers matriks A adalah = adjoint A =2. Jika AX = B, maka X = B dan jika XA = B, maka X = BPage 11

MATERI MATEMATIKA KELAS XBAB V . LOGIKAI. 1. LOGIKA MATEMATIKALima penghubung logika matematika :1. Negasi (Ingkaran)Notasi : ~ atau –2. Konjungsi (Dan )Notasi :3. Disjungsi (Atau)Notasi :4. Implikasi (Jika … , Maka … )Notasi :5. Biimplikasi ( … Jika dan hanya jika … )Notasi :Page 12

MATERI MATEMATIKA KELAS Xpq~ p~ qpqpqpqPage 13

MATERI MATEMATIKA KELAS XpqBBSSBBBBBSSBSBPage 14

MATERI MATEMATIKA KELAS XSSSBBSSBBSSSBBSPage 15

MATERI MATEMATIKA KELAS XSBBTabel kebenarannya :Sifat – sifat :1.4.7.Page 16

MATERI MATEMATIKA KELAS X2.5.8.3.6.Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontra Posisi :1. Implikasi : (ekuivalen dengan) 3. Kontra Posisi :2. Inversi : (ekuivalen dengan) 4. Konversi :Kalimat berkuantor :1. artinya : Semua, atau Setiap (dalam fakta tidak ada yang tidak masuk pernyataan).2. artinya : Ada, beberapa, sebagian, atau lebih dari satu (dalam fakta boleh ada yang tidak masuk dalamPage 17

MATERI MATEMATIKA KELAS Xpernyataan dan harus ada minimal satu yang masuk pernyataan).Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan Majemuk :1.Negasi Konjungsi~ (p Ù q) º p v ~ q3.Negasi Implikasi~ (p q) º p Ù ~ q2.Negasi Disjungsi~ (p v q) º ~ p Ù ~ q4.Negasi Biimplikasi~ (p « q) º (p Ù ~ q) (q Ù ~ p)Page 18

MATERI MATEMATIKA KELAS XModel Penarikan Kesimpulan :Modus PonensModus TollensSilogismep q (B) ... Premis 1p (B) ... Premis 2\q (B) ... Kesimpulanp q (B) ... Premis 1~ q (B) ... Premis 2\~ p (B) ... Kesimpulanp q (B) ... Premis 1q r (B) ... Premis 2Page 19

MATERI MATEMATIKA KELAS X\p r (B) ... KesimpulanNegasi untuk Kalimat berkuantor :1. dibaca : “Tidak benar bahwa semua x adalah p” atau “Ada x yang tidak p”2. dibaca : “Tidak benar bahwa ada x yang p”Page 20