ლექცია № 1 რიცხვითი სისტემები ცნობილია, რომ N - ით

გადანაცვლება, წყობა, ჯუფთება, ნიუტონის ბინომიგადანაცვლება, n ელემენტიანი სიმრავლის ნებისმიერ დალაგებას n ელემენტიანიგადანაცვლება ეწოდება, რომელიც აღინიშნება P -ით და გამოითვლებაფორმულითPn=n!წყობა n ელემენტიანი სიმრავლის ყოველ m ელემენტიან დალაგებულქვესიმრავლეს ეწოდება n ელემენტიდან m ელემენტიანი წყობა, რომელიცაღინიშნებაA -ით და გამოითვლება ფორმულითmnmAn=n(n-1). . . (n-m+1)m n!An=( n - m)!ჯუფთება n ელემენტიანი სიმრავლის ყოველ m ელემენტიან ქვესიმრავლესეწოდება n ელემენტიდან m ელემენტიანი ჯუფთება, რომელიც აღინიშნება C -ით და გამოითვლება ფორმულითm n!Cn= .m!(n - m)!ჯუფთებათა რიცხვს აქვს შემდეგი თვისებები:m1. C = C -2.ვიცით, რომmnmnnnC + C =m+1nm+1C n + 1ნიუტონის ბინომი2 22( a + b)= a + 2ab+ b ,(a +b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 a b 2 +b 3ამ ფორმულებში a -ს ხარისხები ერთით იკლებს, ხოლო b -ს ხარისხები ერთით იმატებს,ამთვისების გამო ძნელი არ არის დავწეროთ ორწევრის ნებისმიერი ხარისხი, თუგვეცოდინება შესაკრებთა კოეფიციენტები. ეს კოეფიციენტები კი შეიძლება შემდეგიცხრილით გამოვთვალოთ11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1. . . . . . . . . . . .nmn

ამ ცხრილს პასკალის ცხრილი ეწოდება.ორწევრის ნებისმიერი ხარისხის გამოსათვლელად არსებობს ფორმულა რომელსაცნიუტონის ბინომი ეწოდება და რომელსაც აქვს სახე:( a +b ) n = a n +C 1 a n-1nb + C 2 a n-2nb 2 + . . . + C k a n-knb k + . . . +b nდავამტკიცოთ ნიუტონის ბინომი ინდუქციით1. n=1 -სთვის ეს ფორმულა სამართლიანია, მართლაც(a +b ) 1 = a 1 + b 12. ვთქვათ ფორმულა სამართლიანია n-სთვის, ვაჩვენოთ მისი სამართლიანობა n+1 -სთვის( a +b )n+1 =( a +b ) n ( a +b )=( a n +C 1 a n-1nb + C 2 a n-2nb 2 + . . . + C k a n-knb k + . . . +b n )( a +b )== a n + 1 +C 1 a n nb + C 2 a n-1nb 2 + . . . + C n a b n n+C 0 a n nb + C 1 a n-1nb 2 + . . . +b + 1= a n + 1 +(C 1 + C 0 ) a n n nb + (C 2 + C 1 ) a n-1n nb 2 + . . . +b n + 1 = a n + 1 +C 1 n+1a n b + C 2 + 1აქ გამოვიყენეთ თვისება C k+1n+ C k = C k+1n n+1na -1n =nb 2 + . . . +b n+ 1Ck + 1n+ Cknn!n!=+ =( k + 1)!( n - k -1)!k!(n - k)!n!(n + 1)== Ck!(n - k -1)!(k + 1)( n - k)k + 1n+1n!1 1( + ) =k!(n - k -1)!k + 1 n - k

Lleqcia # 4kompleqsuri ricxvebi1. moqmedebebi kompleqsur ricxvebze,2. kompleqsuri ricxvis geometriuli saxe,3. kompleqsuri ricxvis trigonometriuli saxe,4. kompleqsuri ricxvis axarisxeba, muavris formula,5. fesvis amoReba kompleqsuri ricxvidan.kompleqsuri ricxvebis Semotanis aucilebloba nakarnaxevia Semdegi garemoebiT:namdvil ricxvTa simravle araa sakmarisi nebismieri namdvilkoeficientebiani kvadratuligantolebis amosaxsnelad. MmagaliTad, erT-erTi aseTi gantoleba, romelsac ar aqvsnamdvili fesvebi aris x 2 +1=0.a+bi saxis ricxvs, sadac a da b namdvili ricxvebia, xolo i –s aqvs Tviseba, rom2i = _1, anu i= - 1 kompleqsuri ricxvi ewodeba. a –s ewodeba namdvili nawili, xolobi -s warmosaxviTi nawili. i–s ewodeba warmosaxviTi erTeuli.Oor kompleqsur ricxvs a+bi da c+di toli ewodeba, Tu maTi namdvili nawilebitolia da warmosaxviTi nawilebic toli a= c da b=d.M a+bi -s ewodeba kompleqsuri ricxvis algebruli saxe.moqmedebebi kompleqsur ricxvebzekompleqsur ricxvebze moqmedebebi gansazRvrulia Semdegnairad:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)ia + bi ( a + bi)(c - di)ac + bd + ( bc - ad)i==2 2 2c + di ( c + di)(c - di)c - d iTu c+di¹0.ac + bd + ( bc - ad)i=2 2c + dvTqvaT, mocemulia a=a+bi kompleqsuri ricxvi.a simboloTi aRiniSneba, ewodeba a ricxvis SeuRlebuli. cxadia, roma+ a =(a+bi)+(a-bi)=2a=2Rea,a- a =(a+bi)-(a-bi)=2bi=2iIma,a a =(a+bi)(a-bi)=a 2 +b 2a-bi kompleqsur ricxvs, romelica = a .kompleqsuri ricxvis geometriuli saxea=a+bi kompleqsuri ricxvi gamovsaxoT XOY sibrtyeze M(a,b) wertiliT, e.i. wertiliT,romlis koordinatebia a=Rea da b=Ima. cxadia, rom kompleqsur ricxvs Seesabamebagarkveuli wertili XOY sibrtyeze da XOY sibrtyis yovel wertils Seesabameba garkveuli

kompleqsuri ricxvi. M(a,b) wertils XOY sibrtyeze ewodeba a+bi kompleqsuri ricxvisafiqsi. rogorc viciT namdvili ricxvebi gamoisaxebian XOY sibrtyeze wertilebiT, romlisordinatebic 0-is tolia. e. i. wertilebiT abscisTa RerZze. ordinatTa RerZzeganlagdebian wminda warmosaxviTi bi ricxvebi. koordinatTa saTaves Seesabameba ricxvi 0.XOY sibrtyes, romelzedac gamoisaxebian kompleqsuri ricxvebi, ewodeba kompleqsurisibrtye. mis abscisTa RerZs ewodeba namdvili RerZi, xolo ordinatTa RerZs _warmosaxviTi RerZi.geometriulad kompleqsur ricxvs Seesabameba veqtori, romlis saTave koordinatTasaTaveSia, xolo bolo kompleqsuri ricxvis afiqsSia, e.i. afiqsis radius-veqtori.YewodebajrmaSasadame, a=a+bi kompleqsuri ricxvis namdvili nawili ada warmosaxviTi nawilis koeficienti b warmoadgenen amradius veqtoris gegmilebs namdvil da warmosaxviTRerZebze Sesabamisad (a da b-s niSnebis mxedvelobaSimiRebiT).r manZils koordinatTa saTavidan a ricxvis afiqsamdeanu rac igivea, a ricxvis afiqsis radius-veqtoris sigrZesewodeba a ricxvis moduli2 2a + b ricxvs da aRiniSneba |a| simboloTi,gansazRvreba: a=a+bi kompleqsuri ricxvis modulie.i. |a| =2 2a + bcxadia, rom |a|³0, amasTanave |a|=0 mxolod maSin, roca a=0.gansazRvreba: j kuTxes namdvili RerZis dadebiT mimarTulebasa da a ricxvis afiqsisradius-veqtors Soris ewodeba a ricxvis argumenti da aRiniSneba arga simboloTi.SevniSnoT, rom arga-s aqvs azri mxolod maSin, roca a¹0. roca a=0, maSin misi argumentiganusazRvrelia.rogorc naxazidan Cans,maSasadame,bM(a,b)O a Xa=rcosj, b=rsinj.a+bi=rcosj+irsinj=r(cosj+isinj).kompleqsuri ricxvis trigonometriuli saxeTu kompleqsuri ricxvis algebrul a=a+bi saxeSi SevitanT a=rcosj, b=rsinj.mniSvnelobebs, miviRebT, roma+bi=rcosj+irsinj=r(cosj+isinj).kompleqsuri ricxvis aseT saxes r(cosj+isinj) ewodeba kompleqsuri ricxvistrigonometriuli saxe, sadac r =2 2a ba + b , j= arga (cosj= , sinj= )r rvTqvaTa=r 1 (cosj 1 +isinj 1 ) da b=r 2 (cosj 2 +isinj 2 ).

vnaxoT rogoria kompleqsur ricxvTa namravlis trigomometriuli saxe.ab=r 1 r 2 (cosj 1 cosj 2 +isinj 1 cosj 2 + icosj 1 sinj 2 +i 2 sinj 1 sinj 2 )==r 1 r 2 [cosj 1 cosj 2 -sinj 1 sinj 2 + i(sinj 1 cosj 2 +cosj 1 sinj 2 )]==r 1 r 2 (cos(j 1 +j 2 )+isin(j 1 +j 2 )),e. i. |ab|=|a||b| da arg(ab)=arga+argb.vipovoT a kompleqsuri ricxvis SeuRlebulis da Sebrunebulis trigonometriulisaxeebi.e.i. | a|=|a| daa=r(cosj-isinj)=r(cos(-j)+isin(-j)),arg a= _ arga.(SevniSnoT, rom r(cosj - isinj) aris a-s SeuRlebuli, magram es ar aris misitrigonometriuli saxe, radganac trigonometriul saxeSi namdvil da wminda warmosaxviTnawilebs Soris aucileblad unda iyos niSani `+).vTqvaT a¹0,α-1=r2= (r(cosj+ isinj))= r-11==r(cosj+ isinj)r(cosj- isinj)r(cos( -j) + isin( -j))==2 2 22 2 2(cos j - i sin j)r (cos j + sin j)-1(cos(-j) + isin( -j) ),e.i. |a -1 |=|a| -1 da arg(a -1 )= _ arga.vnaxoT axla rogoria kompleqsur ricxvTa ganayofis trigonometriuli saxe.maSasadame,ab=abαβab-1= r × r1r1(cosj=r (cosj2r+ sinj1sinj2) =r12(cosj× cosj+ isin j1), e.i.+ isin j )= r (cosj+ isinj)(r-1211112221-12(cos(-j) + isin( -j)) =+ isinjcosjada arg = arg a - argb.b(cos( j - j ) + isin( j - j )).11222- icosjsinj+11222kompleqsuri ricxvis axarisxeba, muavris formuladavamtkicoT e. w. muavris formulan n( r(cosj+ i sinj)) = r (cos nj+ i sin nj)damtkiceba formula davamtkicoT maTematikuri induqciiT. roca n=2, maSin2 2( r(cosj isinj)) = r (cos2j+ isin2j)+ .davuSvaT, rom formula samarTliania n –sTvis

D vaCvenoT misi samarTlianoba n+1 –sTvis.= rn n( r(cos j + isinj)) = r ( cosnj+ isinnj),n+1( r(cosj+ i sinj)) = ( r (cosj+ i sinj))n + 1= rn( cosnj+ i sinnj)(cos (n + 1) j + i sin (n + 1) j).r(cosj+ i sinj)=nr(cosj+ i sinj)=fesvis amoReba kompleqsuri ricxvidanvTqvaT n naturaluri ricxvia. n-uri xarisxis fesvi a=r(cosj+isinj) kompleqsuriricxvidan ewodeba b=r(cosy+ +isiny) kompleqsur ricxvs (Tu ki aseTi sazogadodarsebobs), romelic n a simboloTi aRiniSneba da is Tviseba aqvs, rom β n =aα, e. i.n[ r(cosyisiny)] = r(cosj+ isinj).+ (1)vTqvaT, rom aseTi β ricxvi arsebobs, maSin muavris formulis Tanaxmad gveqneba:saidanacaqnr (cosny+ isinny) = r (cosj+ isinj)anu,ρ n =r da nψ=φ+2kπ (k nebismieri mTelia),ρ= n r daj + 2kpy = ,nn r aris dadebiTi r ricxvidan fesvis ariTmetikuli mniSvneloba. amgvarad, Tu kiarsebobs (1) Tvisebis mqone β kompleqsuri ricxvi, maSin mas eqneba saxe:e.i.β= n æ j + 2kpj + 2kpör çcos + isin ÷ . (2)è nn øæ j + 2kpj + 2kpn nör(cosj + isin j = rçcos+ isin ÷ ,è nn øaq k nebismieri mTelia, magram k-s gansxvavebuli mniSvnelobebisaTvis saZiebeli fesvismniSvnelobebi rodia gansxvavebuli. SeiZleba vaCvenoT, rom Tu k-s mivaniWebTmniSvnelobebs: 0, 1, 2, ..., n-1, maSin miviRebT fesvis n gansxvavebul mniSvnelobas. (marTlac,vTqvaT 0£k 1

amgvarad, n-uri xarisxis fesvi kompleqsuri a ricxvidan yovelTvis arsebobs da masaqvs n gansxvavebuli mniSvneloba, romlebic miiReba (2) formulidan, roca k=0, 1, 2, . . ., n-1 .gansxvavebuli mniSvneloba aqvs n-uri xarisxis fesvebs ricxvidan 1. (2) formulisTanaxmad,n n2kp2kp1 = cos0 + isin 0 = cos + isin= rk, k=0, 1, 2, . . . , n-1.n n

ლექცია 5moqmedebebi matricebze:matricTa jami,matricis ricxvze namravli,matricTa namravli,transponorebuli matrici.m × nmatrici K velis mimarT ewodeba m striqonian da n svetian marTkuTxovancxrils, romelSiac garkveuli rigiT Cawerilia Kvelis mn raodenobis nebismierielementebi, romlebsac matricis elementebi ewodeba. matricis elementi a ij imyofeba i-uri striqonisa da j-uri svetis gadakveTaze. amrigad, mxn rigis matricis zogadi saxeiqneba:æ a11a12L a1nöç÷ç a21a22L a2n÷A = ç÷ = ( aij).L L L Lç÷am1am2aè Lmn ø(adgilis Semcirebis mizniT zogjer davwerT , an A=(a ij ),sadac i=1,2,…,m; j=1,2,…,n).Tu m=n (e. i. striqonTa ricxvi svetebis ricxvis tolia), maSin A matrics n-uririgis kvadratuli matrici ewodeba.mxn rigis or A=(a ik ) da B=(b ik ) matrics toli vuwodoT da davweroT A=B, Tu maTiyvela Sesabamisi elementi tolia, e. i. a ik= b ik .ganvsazRvroT ZiriTadi operaciebi matricebze: MmatricTa Sekreba, matricisricxvze gamravleba da matricis matricze gamravleba.ori A m´ n =(a ik ) da B m´ n =(b ik ) matricebis jami ewodeba iseT C m´ n =(c ik ) matrics,romlis yoveli elementi udris A da B matricebis Sesabamisi elementebis jams, c ik =a ik +b ik. da weren C=A+B.æ a11a12L a1nö æ b11b12L b1n ö æ a11+ b11a12+ b21L a1n+ b1n öç÷ ç÷ ç÷ç a21a22L a2n÷ ç b21b22L b2n÷ ç a21+ b21a22+ b22L a2n+ b2n÷A + B = ç÷ + ç÷ = ç÷ .L L L L L L L L L L L Lç÷ ç÷ ç÷èam1am2L amnø èbm1bm2L bmnø èam1+ bm1am2+ bm2L amn+ bmnøgansazRvrebidan Cans, rom ori matrices Sekreba SeiZleba mxolod maSin, Tu MmaT erTida igive rigi aqvT.Am ´ nA m´ n =(a ik ) matricis namravli l ricxvze ewodeba iseT C m´ n =(c ik ) matrics,romlis elementebi miiReba A matricis elementebis l ricxvze gamravlebiT, c ik= l a ik. da weren C= l A.

æ a11çç a21lA= lçLçèam1aaa1222Lm2LLLLa1n ö æ la÷ ça2n÷ ç la÷ =L ç L÷ çamn ø èla1121m1lalala1222Lm2LLLLlalala1n2nLmnö÷÷÷ .÷øA l´ mmatricis namravli B m´ n matricze ewodeba iseT C l´ nmatrics, romlisyoveli elementi gamoiTvleba formuliT:cij=måk = 1aikbkj= ai1b1j+ ai2b2j+ ... + aimbmji=1,2, . . . ,l; j=1,2,. . . ,n.e.i. C matricis i-uri striqonisa da j-uri svetis gadakveTaze mdgomi elementi tolia Amatricis i-uri striqonis yvela elementis B matricis j-uri svetis Sesabamiselementebze namravlTa jamis da aRiniSneba ase C=A·B, am formulas koSi-binesformulas uwodeben.SevniSnoT, rom A matricis B matricze gamravleba yovelTvis ar arisSesaZlebeli, es SesaZlebelia maSin da mxolod maSin, roca A matricis svetebisraodenoba tolia B matricis striqonebis raodenobisa. AB matrics aqvs imdenistriqoni, ramdenic A-s da imdeni sveti, ramdenic B–s. orive namravli AB da BAganisazRvreba mxolod maSin, Tu A da B erTi da igive rigis kvadratuli matricebia.matrics, romlis yvela elementi nulia nulovani matrici ewodeba da aRiniSnebaO-iT, kvadratul matrics ewodeba erTeulovani matrici, Tu mTavari diagonalisyvela elementi erTis tolia, sxva elementebi ki nulia, aRiniSneba E-iT.æ 0 0 L 0 öæ 1 0 L 0 öç÷ç÷ç 0 0 L 0 ÷ç 0 1 L 0 ÷O = çLL L L÷, E = ç.L L L L÷ç÷ç÷è 0 0 L 0ø0 0 1è L ømoqmedebebs matricebze gaaCniaT Semdegi Tvisebebi:1. A+B=B+A,2. A+(B+C)=(A+B)+C,3. A+O=O+A=A,4. A-A=O,5. AE=EA=A,6. (AB)C=A(BC),7. (A+B)C=AC+BC, A(B+C)=AB+AC,8. l (A+B)= l A+ l B.SevniSnoT, rom matricTa gamravleba ar aris komutaciuri, sazogadod AB ¹ BA.

æ a11a12L a1nöç÷ç a21a22L a2n÷A = ç÷ = ( aij).L L L Lç÷am1am2aè Lmn øgansazRvreba n-uri rigis Amatricis n-uri rigis determinanti ewodeba n! wevris jams, sadac yoveliwevri aris Amatricis nelementis namravli; amasTanave, matricis yoveli striqonidan da yoveli svetidandeterminantis wevris Tanamamravlad aRebulia erTi da mxolod erTi elementi. determinantis wevriaiReba `+~ niSniT an `-~ niSniT imisda mixedviT Tanamamravlebis svetebis nomrebisagan Sedgeniligadanacvleba luwia Tu kentia, roca Tanamamravlebi dalagebulia striqonebis nomrebis zrdis mixedviT.n-uri rigis determinanti aRiniSneba simboloTi:a21 222nI ( i1, i2,..., in)A = (-1)a1i× a2i... a1 2 1in. . . . ( i1, i2,..., in)a11n1aa12n2La1na a L a= åLannsadac (i 1 ,i 2 ,…,i n )gairbens pirveli nnaturaluri ricxvis yvela n!gadanacvlebas.determinantis Tvisebebi. |A|determinantis transponirebuli ewodebadeterminants.Tviseba 1 . transponirebuli determinantebi tolia.AT=aaa1112.1nmarTlac, |A|-s yovel wevrs uniSnod aqvsaaa2122.2nLL.La a ... a1i1 2i2,aaani nn1n2.nnsaxe. magram es wevri |A T |-Sic Sedis,oRond aq pirveli indeqsebi aRniSnaven svetebis nomrebs, xolo meore indeqsebi _ striqonebisas.analogiurad |A T |-is yoveli wevri uniSnod |A|-Sic Sedis. aRebul wevrs orive determinantSi erTi daigive niSani eqneba.Tviseba 2. Tu determinantSi movaxdenT nebismieri ori striqonis transpozicias (adgilebisSecvlas), maSin is mopirdapireTi Seicvleba.vTqvaTaa.D = .aa11k1j1.n1aaaa12.k 2.j2.n2L.L.L.Laaaa1n.kn..jnnn( k),( j)D1=aaaa11.j1.k1.n1aaaa12.j2.k 2.n2L.L.L.Laaaa1n..kn.jnnn( k)( j)

D-s yovel wevrs uniSnod aqvs a1iai... aki... aji... anisaxe. es wevri D 1 -Sic Sedis, magram aqaris j-uri striqonis, xologanisazRvrebaaji ji1, i2, . . . , i k, . . . ,1 2 2kjn-k-uri striqonis warmomadgeneli. aRebuli wevris niSani D-Siij, . . . ,gadanacvlebis wyviladobiT, xolo D 1 -Sii1, i2, . . . , ij, . . . , i k, . . . , ingadanacvlebis wyviladobiT. magram es gadanacvlebebi ikda ijina kikelementebis transpoziciis SedegadmiiReba. maSasadame, maT sxvadasxva wyviladoba aqvT. amitom D-s aRebul wevrs D 1 -Si eqneba mopirdapireniSani. cxadia, D-s yvela sxva wevrsac D 1 -Si eqneba mopirdapire niSani. amrigad, D 1 = -D.Tviseba 3. Tu determinantis romelime ori striqonis yvela Sesabamisi elementi tolia, maSin esdeterminanti K nulis tolia.vTqvaT n-uri rigis determinantis j-uri da i-uri striqonebis Sesabamisi elementebi tolia, maSin TumovaxdenT am ori striqonis transpozicias, wina Teoremis ZaliT, determinanti niSans Seicvlis,meores mxriv, radgan striqonebi erTi da igivea, maTi transpoziciiT determinanti ar Seicvleba. e.i.D= -D anu 2D= 0, D= 0.Tviseba 4. Tu determinantis romelime striqonis yvela elements gavamravlebT K erTsa da imaveelementze, maSin determinantic gamravldeba amave elementze.a. . . .I( i1,...,i ,...,i )vTqvaT D = a a a ( ) k naiaki kani n,k kL =L L1 2knå -11 1( i1,...,i ,...,i ). . . .k nmaSinD1= ca.= ca.a11åk1n1aa( -1)( i1,...,ik ,...,in )11n1a12.ca.k 2n 2I ( i1aa12n2L.L.L,...,ik ,...,in )aaLLa1n.ca.knnn1i1=aaLa1nnnkikå( -1)( i1,...,ik ,...,in )LaninI ( i1= cD,...,ik ,...,in )a1i1L( ca )damtkicebuli Tviseba Semdegnairadac SeiZleba Camoyalibdes: determinantis raime striqonis yvelaelementis saerTo mamravli SeiZleba gatanil iqnes determinantis gareT.am Tvisebidan uSualod gamomdinareobs, roma) determinanti nulis tolia, Tu misi romelime striqonis yvela elementi nulia;b) determinanti nulis tolia, Tu misi romelime ori striqonis Sesabamisi elementebiproporciulia.Tviseba 5. Tu determinantis romelime striqonis yvela elementi ori Sesakrebis jamia, maSin aseTideterminanti ori determinantis jamis tolia. amasTanave pirveli determinantis Sesabamisi striqoniselementebi pirveli Sesakrebebia, xolo meore determinantis Sesabamisi striqonis elementebi meoreSesakrebebia, danarCeni striqonebi ki orive determinantSi igivea rac mocemul determinantSi.kikLanin=

aaaLi+1,1a1121n1aaai+1,2an2aaa1, k -12, k -1i+1, k -1an,k -1a1k2kiki+1, kanka1, k + 12, k + 1ai-1,1ai-1,2L ai-1, k -1ai-1, kai-1, k + 1L ai-1, nD =.0 0 L 0 a 0 L 0L1222LLLLLLLLLLaaLLaai+1, n+1aLLn,k + 1Tu am determinantSi movaxdenT i-uri da i-1 striqonebis transpozicias, Semdeg miRebuli i-1 da i-2striqonebis transpozicias da a. S. miRebuli meore da pirveli striqonebis transpozicias, maSin i-uristriqoni gadava pirvel striqonSi da Tviseba 2-is ZaliT, gveqneba:0 0 L 0 a 0 L 0D = (-1)i-1aaaLi-1,1i+1,1La11n1aaaLi-1,2i+1,2La12n2LLLLLLaaaLLLLLL1, k -1i-1,k -1i+1, k -1aLLn,k -1aaa1n2nLi+1, nLannaaaik1kLi-1,ki+1, kLankaaa1, k + 1i-1,k + 1i+1, k + 1Tu axla k-ur svets TandaTanobiTi gadaadgilebiT pirvel svetad movaTavsebT, kvlav Tviseba 2-isZaliT, miviRebT:1k0( i-1)+ ( k-1)D = (-1)a a L a a L a ( i),aaai-1,1i+1, kaikLLnkaa11Li-1,1i+1,1Lan1LLLLLLaa01, k-1i-1,k-1i+1, k-1aLLn,k-1aa01, k+1i-1,k+1i+1, k+1aLLn,k+1LLLLLLaa01nLi-1,ni+1, ne. i. miviReT wina SemTxvevaSi ganxiluli determinanti; amrigad,D =i+k(-1)aikMik= aikAik.Tviseba 8. n-uri rigis determinanti tolia misi nebismieri striqonis (svetis) yvela elementisSesabamis algebrul damatebaze namravlTa jamis.damtkiceba. gvaqvsa a L aa11a12L a1n11 121n. . . ... . .( n-1)-jer( n -2)-jer( n-1)-jer64748 64748 64748D = a= + + + + + + + + + + =i1ak2L aknai10 ... 0 0 ai20 ... 0 L 0 ... 0 ain. . . ... . .an1an2L annaa L a= a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in .n1n2LannnnaLLn,k + 1LLLLLLaaa1nLi-1,ni+1, nLann

maSasadame, samarTliania determinantis Semdegi daSla striqonis elementebis mixedviT:nD = å a ikAik.k = 1amitom Tviseba 1-is ZaliT, samarTliani iqneba agreTve determinantis Semdegi daSlac svetiselementebis mixedviT:nD = å a kiAki.k = 1Tviseba 9. n-uri rigis determinantis nebismieri striqonis (svetis) yvela elementis amavedeterminantis sxva romelime striqonis (svetis) Sesabamisi elementebis algebrul damatebaze namravlTajami nulovani elementis tolia.damtkiceba. vTqvaT mocemulia determinantiganvixiloT agreTve damxmareaLaaa11i1j1Ln1aLaaa12i2j 2Ln2LLLLLLaaaa1nLinjnLnn(i)D = L L L L .1aaaa11Li1i1Ln1aaaa12Li2i2Ln2LLLLLLaaaa1nLininLnn(j)( i)D = L L L L .( j)determinanti, romlis i-uri da j-uri striqonebi erTnairia, xolo danarCeni striqonebi, garda j-urisa, igivea rac D-Si. Tviseba 3-is ZaliT, D 1 =0. meore mxriv, Teorema 5-is ZaliT, Tu D 1 -s davSliT j-uristriqonis elementebis mixedviT, miviRebT:Dn= å a ikA1 jk,k = 1radganac D 1 determinantis j-uri striqonis a ik elementis algebruli damateba emTxveva Ddeterminantis j-uri striqonis a jk elementis A jk algebrul damatebas. maSasadame,analogiurad, gveqneba:nåk = 1nåk = 1a = 0.ikAjka = 0 .kiAkj

ლექცია 81. Sebrunebuli matrici,2. krameris Teorema wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsnadobis Sesaxeb,3. n უცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდით4. wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna matriculadSebrunebuli matricigansazRvreba. Amatrics ewodeba gadaugvarebeli, Tu misi determinanti |A|¹0, xolo A-s ewodeba gadagvarebuli,Tu |A|=0.matricebisaTvis samarTliania Semdegi TeoremamatricTa namravlis determinanti Tanamamravli matricebis determinantebis namravlistolia.anu |AB|=|A||B| .vTqvaT mocemulia n-uri rigisæ a11a12L açça21a22L aA = ç . . . .çèan1an2L amatrici. A matricis transponirebuli iqneba matriciæ a11a21L an1 öç÷çaT 12a22L an2÷A = ç . . . . ÷ç÷èa1na2nL annøTu A T matricSi elementebis nacvlad davwerT maT algebrul damatebebs, miviRebTmatricsæ A11A21L An1 öç÷ç A* 12A22L An2÷A = ç÷ ,. . . .ç÷è A1nA2nL Annøromelsac Amatricis mikavSirebuli matrici ewodeba.Teorema. imisaTvis, rom n-uri rigis A matrici iyos Sebrunebadi aucilebeli dasakmarisia, rom is iyos gadaugvarebeli.1n2nnnö÷÷÷÷ø

damtkiceba. vTqvaT A matrici gadaugvarebelia, e. i. |A|¹0. ganvixiloT matrici, romliselementebia A*matricis elementebis ganayofebi |A|-ze, e. i.æ A11A21An1 öçL ÷ç | A | | A | | A | ÷ç A12A22An2÷B = çL| A | | A | | A |÷ .ç÷ç . . . . ÷ç A1nA2nAnn÷Lè | A | | A | | A | øvaCvenoT, rom Bmatrici aris Amatricis Sebrunebuli, B=A -1 , anu, Tu A matricsgavamravlebT B matricze, miviRebT:AB=BA=E.marTlac, A matricis i-uri striqonis (inebismieri ricxvia 1,2, . . ., nricxvebidan) yvelaelementis B matricis i-uri svetebis Sesabamis elementebze namravlTa jamiAi1Ai2Ain-1ai1+ ai2+ L + ain= | A|( ai1Ai1+ ai2Ai2+ L+ainAin)= =|A| -1 |A|=1 e. i. AB namravlis| A|| A|| A|mTavar diagonalze iqnebaelementi 1.A matricis i-uri striqonis yvela elementis B matricis j-uri svetis (j¹i) Sesabamiselementebze namravlTa jami kiAj1Aj2Ajn -1-1ai1+ ai2+ L+ain= | A|( ai1Aj1+ ai2Aj2+ L+ainAjn) = | A | × 0 = 0| A|| A|| A|e. i. AB namravlis mTavari diagonalis gareT mdgomi elementebi iqneba 0. amitom AB=E.analogiurad damtkicdeba, rom BA=E.maSasadame,B=A -1da Teoremis sakmarisoba damtkicebulia.gadavideT axla aucileblobis damtkicebaze. vTqvaT A matrici Sebrunebadia, e. i.AA -1 =A -1 A=E.aqedan gamomdinareobs, rom|AA -1 |=|E|=1;meore mxriv|AA -1 |=|A||A -1 |am tolobebidan gamomdinareobs, rom|AA -1 |=1 e.i. |A|¹0.wrfiv gantolebaTa sistemebikrameris Teorema wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsnadobis SesaxebganvixiloT nucnobian wrfiv gantolebaTa sistema:

ìa11x1+ a12x2+ L + a1nxn= b1,ïa21x1+ a12x2+ L+a2nxn= b2,íï.. . . . . . . . .ïîam1x1+ am2x2+ L+amnxn= bmsadac a ik koeficientebia da b i Tavisufali wevrebi. ucnobTa ricxvi da gantolebaTaricxvi SeiZleba toli iyos da SeiZleba ara.gansazRvreba sistemis amonaxseni ewodeba elementTa ( c 1, c2, . . . ,cn) dalagebul n-euls, romelsac is Tviseba aqvs, rom Tu sistemaSi x 1 -is nacvlad CavwerT c1-s, x 2 -isnacvlad c2-s da a.S. x n -is nacvlad cn-s, tolobis orive mxareSi miviRebT tol elementebs.Tu sistemas erTi amonaxsni mainc aqvs, maSin mas Tavsebadi sistema ewodeba,xolo Tu mas arc erTi amonaxsni ar gaaCnia, maSin sistemas araTavsebadi ewodeba.jer SeviswavloT is kerZo SemTxveva, roca sistemaSi m=n, e. i. gantolebaTaricxvi udris ucnobTa ricxvs. aseTi sistemis ucnobebis koeficientebisagan SedgenilaaD =.a1121n1determinants ewodeba gantolebaTa sistemis determinanti.samarTliania Semdegikrameris Teorema. Tu Kn ucnobian nwrfiv gantolebaTa sistemis determinanti araris nulis toli, maSin sistema Tavsebadia da amasTanave aqvs erTaderTi amonaxseni,romelic gamoiTvleba krameris formulebiTsadacDx = 11,Daaa1222.n2Dx = 22, . . . ,DDkaa11a=.21n1aaa1222.n2LLLLL.Lbbb2naaa1n2n.nnDx = nn,Daris determinanti, romelic miRebulia D determinantisagan, Tu am ukanasknelSi ksvetsSevcvliT svetiT, Sedgenils gantolebaTa sistemis Tavisufali wevrebisagan.gansazRvreba wrfiv gantolebaTa sistemas ewodeba erTgvarovani, Tu yvelaTavisufali wevri nulovani elementia; sistemas ewodeba araerTgvarovani, Tu erTiTavisufali wevri mainc aranulovani elementia.vTqvaT mocemulia nucnobiani nwrfiv gantolebaTa erTgvarovani sistema1.LLLaaa1n2n.nn

ìa11x1+ a12x2+ L+a1nxn= 0,ïa21x1+ a22x2+ L+a2nxn= 0,íï.. . . . . . . .ïîan1x1+ an2x2+ L+annxn= 0,romlis determinanti D¹0. maSin krameris formulebis ZaliT,x = 01, x = 02, . . . , x = 0n,D DDradganac yvela D 0 (k=1,2,…, n). maSasadame, krameris Teoremis Tanaxmad, nucnobian nk =wrfiv gantolebaTa erTgvarovan sistemas mxolod nulovani amonaxseni gaaCnia, Tusistemis determinanti D¹0.nუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდითგანვიხილოთ n უცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემაìa11x1+ a12x2+ L + a1nxn= b1,ïa21x1+ a12x2+ L+a2nxn= b2,í(1)ï.. . . . . . . . .ïîam1x1+ am2x2+ L+amnxn= bmზოგადობის შუზღუდავად დავუშვათ a ¹ 110 (თუ a = 0 11, მაშინ პირველად ავიღებთიმ განტოლებას, რომლის x 1უცნობის კოეფიციენტი a ¹ i10), გარდავქმნათ ეს სისტემაისე, რომ პირველი განტოლება დარჩეს უცვლელად და ყველა სხვა განტოლებაში გარდაპირველისა x1უცნობის კოეფიციენტი გახდეს ნულის ტოლი. ეს შეიძლებაშემდეგნაირად განხორციელდეს: მეორე განტოლებას გამოვაკლოთ პირველიa21განტოლება გამრავლებული -ზე, მესამე განტოლებას გამოვაკლოთ პირველიaგამრავლებულიaa311111-ზე და ა. შ. m –ურ განტოლებას გამოვაკლოთ პირველიგანტოლება გამრავლებულიa m 1 -ზე, მივიღებთ:a11ìaïíïïî11x1+ a12x2+ ... + a11a x + ... + a x22...a x1m222+ ... + a2n1mnx1nnnxn= b11= b2.= b1m

1ზოგადობის შუზღუდავად ვთქვათ a ¹ 220 , პირველი და მეორე განტოლებადავტოვოთ უცვლელად და დანარჩენი განტოლებებისათვის ვიქცევით ანალოგიურად,როგორც ზემოთ. ამ გზით სისტემა შეიძლება მივიყვანოთ შემდეგ სახეზე:ìb11x1+ b12x2+ ... + b1nxn= c1ïb22x2+ ... + b2nxn= c2íï ...ïîbrrxr+ ... + brnxn= cr(2)თუ r=n, სისტემის ბოლო განტოლებას აქვს სახე: b x = c , b ¹ 0 და სისტემამიიყვანება ‘’სამკუთხა’’ სახეზე, განტოლებათა სისტემას აქვს ერთადერთი ამონახსნი.სისტემის ბოლო განტოლებიდან შეიძლება ვიპოვოთ x , ჩავსვათ ბოლოს წინაგანტოლებაში, საიდანაც მიიღება xn-1-ის მნიშვნელობა და ა. შ.თუ r

A aris mxn matrici, Sedgenili ucnobebis koeficientebisagan; B aris mx1 (erTsvetiani)matrici, Sedgenili Tavisufali wevrebisagan; X aris nx1 (erTsvetiani) matrici,Sedgenili ucnobebisagan.(1) sistema matriculad SeiZleba Caiweros Semdegnairad:e. i.æ açç aç .çèa1121m1aaa1222.m2m´nLL.Laaan´1 m´11n2n.mnö æ x1ö æ b1÷ ç ÷ ç÷ ç x2÷ ç b2÷ × ç ÷ =M ç M÷ ç ÷ çø è xnø èbmA × X = B(2)(2) aris (1) sistemis matriculi Cawera da mas matriculi gantoleba ewodeba.ganvixiloT gantoleba:A × X = B sadac |A|¹0.m´nn´1 m´1maSin A -1 matricis gansazRvrebisa da (2) formulis Tanaxmad, gveqneba,A -1 (AX)=A -1 BanuX=A -1 B.ö÷÷÷ ,÷ø