BILANGAN DAN RUANG oleh RISNAINI, S.Pd.I - Kemenag Sumsel

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang1. ALJABARA. Pengertian AljabarAljabar adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari masalhbilangan dan operasi perhitungannya.B. Bagian-bagian Aljabar1. BilanganBilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan symbolatau lambang dan bukan pula lambing bilangan. Bilangan memberikanketerangan mengenai banyaknya anggota suatu himpunan.Contoh:A= {a,b,c}B= {*, ¤, ©}Jenis dan Macam-macam bilangan: Bilangan asli adalah bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,…. jadi, himpunansemua bilangan asli adalah: {1,2,3,4,5,6,..}. Bilangan 0, bukanbilangan asli.ada 4 golongan bilangan asli, yaitu:- Bilangan genap: 2,4,6,8,…- Bilangan ganjil: 1,3,5,7,…- Bilangan prima: 2,3,5,7,11,…- Bilangan komposit, misalnya, 4,6,8,9,10,…Bilangan asli biasanya dilambangkan dengan huruf A. Bilangan Berpangkat, jika ditulis 2 4, dibaca: dua pangkat 4.2 4 adalah2x2x2x2. Ada empat macam pangkat suatu bilangan, yaitu:a. Berpangkat bilangan bulat positif.b. Berpangkat bilangan bulat negative.c. Berpangkat bilangan pecahand. Berpangkat bilangan nol.1

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang7 3 dibaca: tujuh berpangkat tiga, atau tujuh pangkat tiga. 7 disbutbilangan pokok, 3 disebut pangkat.Definisi.a badalah perkalian berulang yang mempunyai b factor dan tiap-tiapfaktornya sama dengan a.Pangkat senama adalah bilangan berpangkat yang pangkatnya sama.contoh: 5 3 ,7 3 ,8 3 , dan seterusnya.Pangkat sejenis adalah bilangan berpangkat yang factor-faktornya sama.contoh: 5 2 ,5 3 ,5 4 ,…A. OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT BULATPada bagian ini dibahas mengenai pengertian bilangan berpangkat dansifat-sifatnya. Bilangan berpangkat yaitu suatu bilangan yangdipangkatkan dengan bilangan lain. Pangkat dari suatu bilangan dapatberupa bilangan bulat atau pecahan. Diuraikan pula, semua sifat-sifatoperasi aljabar dari bilangan berpangkat dan penerapannya.I. PANGKAT BILANGAN POSITIFBiasanya penulisan bilangan yang cukup besar akan menjadi sederhanaapabila ditulis dalam bentuk perpangkatan, misalnya 2.000.000 dapatditulis sebagai 2 x 10 6 .DEFINISIUntuk bilangan bulat positif n dan sembarang bilangan real a, bilangan a n(dibaca: a pangkat n) mempunyai arti:a × a × a … × a (sebanyak n faktor yang sama)Bilangan a disebut basis dan bilangan n disebut pangkat atau eksponen.CONTOH1. 2 3 = 2 × 2 × 2 = 82

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangBilangan 2 dipangkatkan 3, artinya adalah bilangan 2 dikalikan dengandirinya sendiri sebanyak 3 kali.2. (-3) 2 = (-3) × (-3) = 9Bilangan -3 dipangkatkan 2, artinya adalah bilangan -3 dikalikan dengandirinya sendiri sebanyak 2 kali.3. 3 2 = - (3 × 3) = - 94. 1 2 512x12x12x121x 212x2x2x2x2162132Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Positif1. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,maka am n amx an2. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarangamdengan a ≠ 0, maka am nan3. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,maka( am)nmxna4. Jika m dan n bilangan bulat positif dan a bilangan real sembarang,maka berlaku :a.( axb)nanxbnb.n a b anbn,untuk b ≠ 0CONTOHBerikut ini adalah beberapa contoh bilangan berpangkat.1. 24 3 24 23 16 8 1283

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang2.241624 3 223 83. (32)3 32x3 36 7294. (-34)5 (-3)5 45 (-243) 1024 - 248.8325.4 2 3 24341681II.PANGKAT BILANGAN NEGATIF DAN NOLSebelumnya, telah dibahas mengenai perpangkatan dengan bilanganbulat positif, yang artinya perkalian atas basis bilangan (sebagai faktor)sebanyak pangkat yang diketahui. Bagaimana suatu bilanganberpangkat bilangan negatif atau berpangkat nol, seperti 10 -2 atau 7 0 ?.Gagasan-gagasan yang muncul dari sifat-sifat perpangkatan denganpangkat bilangan bulat positif dapat digunakan untuk mengungkapkanarti pangkat bilangan negatif ataupun pangkat nol.A. Bilangan Berpangkat NolUntuk memahami arti bilangan a 0 , perhatikan sifat perpangkatana 0 × a m = a 0+m = a mJika a m ≠ 0 maka haruslah a 0 = 1, agar kesamaan a 0 × a m = am dipenuhi.Selanjutnya dengan tambahan syarat untuk bilangan a, yaitu agar a m ≠ 0cukup dipilih a ≠0. Perhatikan definisi berikut ini.DEFINISIUntuk bilangan real a 0, a 0 ( dibaca: a pangkat 0 ) didefinisikansebagai:a 0 = 14

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangCONTOH1. 2 0 = 12. (-3) 0 = 13. (a + b) 0 = 1, apabila a + b ≠ 0B. Bilangan Berpangkat NegatifBagaimana kita mendefinisikan bilangan pangkat negatif ?. Mari kita lihatkembali sifat perpangkatanma namanJika a ≠ 0 dan m = 0 , maka didapat :a0an1an a0 n a nOleh karena itu dibuat definisi bilangan berpangkat negatif berikut ini.DEFINISIUntuk bilangan real a 0 ,ana n1an, didefinisikan sebagai:CONTOH1.12 5 251322. 5 7 211254925 5 . 5 257717495

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang3. 2x4111644 4 42x ( 2)x x1Sekarang kita telah mengenal bilangan berpangkat bilangan bulat, baikitu berpangkat bulat positif, bulat negatif, maupun berpangkat 0.CONTOHSederhanakanlah :1. ( 4 -8 x 2 -6 ) -1 ( 5 -2 x 25 -1 ) -22x3 22.2 5 3 2Penyelesaian :1. ( 4 -8 x 2 -6 ) -1 ( 5 -2 x 25 -1 ) -2 = ( (2 2 ) -8 x 2 6 ) -1 (5 -2 x(5 2 ) -1 ) -2= ( 2 -16 x 2 6 ) -1 ( 5 -2 x5 -2 ) -2= ( 2 -22 ) -1 ( 5 -4 ) -2= 2 -22 x 5 -82 5 22 3 2 32 32 x xx 2 5322532 5 2 2x3 622.32 25649 1664 72. VariabelVariabel adalah symbol atau notasi yang di beri tanda x atau lainnyapada suatu bilangan.Contoh : perhatikan bentuk x + 3, dengan x merupakan penggantipada bilangan bulat. Jika x dig anti -2 maka di peroleh -2 + 3 . Jika xdig anti 0 maka di peroleh 0 + 3. Jadi x di sini merupakan variabel.6

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang3. KonstantaArtinya bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung peubah.Contoh : dalam persamaan x + 3 = 5, 3 dan 5 di sebut konstanta2y = 18, 18 adalah konstanta4. KoofisienKoofisien adalah factor yang berupa konstanta.Contoh : Bentuk-bentuk aljabar seperti 2p 2 artinya 2 x P x P. 2 Padalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2P 2 adalah2,p,p 2 dan 2P.2. GEOMETRIA. Bangun DatarBangun datar ialah bangun yang di buat atau di lukis pada permukaandatar. Bangun bersisi empat ini di sebut bangun datar karena seluruhbangun ini terletak pada bidang datar. Ada bermacam-macam bangundatar diantaranya:No.BangundatarGambar bangundatarRumus luas bangun datar1. Persegi7

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang2.Persegipanjang3. Lingkaran4. Trapesium5. Segitiga6.Belahketupat7.Layanglayang8.JajargenjangB. Bangun RuangJika suatu bangun tidak seluruhnya terletak dalam bidang, makabangun tersebut di sebut bangun ruang. Bangun datar di bentuk olehdaerah segi banyak yang di sebut sisi. Ada bermacam-macam bangunruang di antaranya :8

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangBangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupunvolume.Bagian-bagian bangun ruang :1. Sisi bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangunruang dengan ruangan di sekitarnya.2. Rusuk pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada bangunruang.3. Titik sudut titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga ataulebih.KUBUS‣ Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen)‣ Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.‣ Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang.‣ Kubus mempunyai 8 titik sudut.‣ Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.Rumus Luas Permukaan KubusLrL = 6 x r x r: luas permukaan: panjang rusukRumus Volume KubusVrV = r x r x r: Volume: panjang rusuk9

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangBALOK‣ Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjangdimana 3 persegi panjang kongruen.‣ Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang.‣ Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.‣ Balok mempunyai 12 rusuk.‣ 4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.‣ Balok mempunyai 8 titik sudut.‣ Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.Rumus Luas Permukaan BalokLpltL = 2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ]: luas permukaan: panjang balok: lebar balok: tinggi balokRumus Volume BalokVplt: volume balok: panjang balok: lebar balok: tinggi balokV = p x l x t10

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangPRISMA‣ Prisma merupakan bangun ruang yang alas dan atasnya kongruen dansejajar.‣ Rusuk prisma alas dan atas yang berhadapan sama dan sejajar.‣ Rusuk tegak prisma sama dan sejajar.‣ Rusuk tegak prisma tegak lurus dengan alas dan atas prisma.‣ Rusuk tegak prisma disebut juga tinggi prisma.‣ Prisma terdiri dari prisma segitiga dan prisma beraturan.‣ Prisma segitiga mempunyai bidang alas dan bidang atas berupasegitiga yang kongruen.‣ Prisma segitiga mempunyai 5 sisi.‣ Prisma segitiga mempunyai 9 rusuk‣ Prisma segitiga mempunyai 6 titik sudut‣ Jaring-jaring prisma segitiga berupa 2 segitiga, dan 3 persegi panjang.Rumus Luas Permukaan Prisma SegitigaL∆tL = Keliling ∆ x t x ( 2 x Luas ∆): luas permukaan: alas dan atas segitiga: tinggi prismaVolume Prisma SegitigaV = Luas Alas x tV: VolumeLuas Alas : Luas ∆ = ( ½ a x t )t: tinggi prisma11

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang‣ Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titikpusat lingkaran atas.‣ Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung.‣ Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegipanjang.Rumus Luas Permukaan TabungLrdtL = 2 x ( π r 2 ) + π d x t: luas permukaan: jari-jari lingkaran alas: diameter lingkaran alas: tinggi tabungRumus Volume TabungVrtV = ⅓ ( π r 2 x t )Volume: jari-jari lingkaran alas atau atas: tinggi tabungBOLA‣ Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputarmengelilingi garis tengahnya,.‣ Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat.‣ Sisi bola disebut dinding bola.‣ Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk.‣ Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari.‣ Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter.Rumus Luas Permukaan Bola14

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangLrL = 4 π r 2: luas permukaan: jari-jari bolaRumus Volume BolaVrV = 4 /3 π r 3: volume: jari-jari bolaC. Bangun Berdimensi TigaBangun ruang juga di sebut berdimensi tiga, karena mengandung tigaunsur yaitu, panjang, lebar dan tinggi. Bangun-bangun seperti kubus,tabung, prisma, dan sebaginya adalah bangun-bangun tiga dimensi.Bangun tiga dimensi yang permukaannya datar di sebut Polider. Sebagaicontoh lihat pembahasan bangun ruang.D. TrigonometriTrigonometri berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri atas dua katayaitu, “trigonon” dan “ metron”. Trigonon artinya segitiga dan metronartinya ukuran. Trigonometri merupakan suatu unit matematika yangselalu berkaitan dengan besarnya ukuran sudut.E. Satuan LuasSatuan luas adalah lambing yang di gunakan dalam ukuran luas.Satuan standar internasionalnya adalah :Kilometer persegi atau Kilometer bujursangkar (Km 2 )15

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangKm 2 = 100 hektometer persegi (hm 2 )hm 2 = 100 dekameter persegi (dam 2 )dam 2 = 100 meter persegi ( m 2 )m 2 = 100 desimeter persegi ( dm 2 )dm 2 = 100 sentimeter persegi (cm 2 )cm 2 = 100 milimeter persegi (mm 2 )3. ARITMETIKAAritmetika adalah cabang ilmu matematika yang di sebut juga ilmu hitung.Arimetika atau ilmu hitung di sini banyak di gunakan dalam masalahkeuangan atau dunia perdagangan.A. Hitungan KeuanganPengertian Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi.Harga penjualan adalah nilai uang suatu barang yang kita jual. Hargapembelian adalah nilai uang suatu barang yang kita beli. Untung dan Rugiadalah besarnya keuntungan atau kerugian terhadap selisih antara hargapembelian dan harga penjualan.Untung = harga penjualan di kurangi harga pembelianRugi= harga pembelian dikurangi harga penjualanMenghitung harga pembalianContoh : Seorang pedagang menjual sepeda seharga Rp. 1.000.000,-dan ia memperoleh keuntungan dari penjualan Rp. 50.000,- Berapakahharga pembelian sepeda tersebut?Jawab : Harga penjualan = Rp. 1000.000,-16

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangKeuntungan = Rp. 50.000,-Untung = harga penjualan – harga pembelianRp. 50.000,- = Rp. 1000.000,- harga pembelianharga pembelian = Rp. 1000.000,- - Rp. 50.000,- = Rp. 9.050.000,-Menghitung Harga PenjualanContoh : Seorang pedagang membeli sepeda dengan harga Rp.170.000,-. Ia ingin memperoleh keuntungan sebesar Rp. 25.000,-. Denganharga berapakah sepeda itu akan di jual?Jawab : Harga pembelian = Rp. 170.000,-Untung = Rp. 25.000,-Untung = harga penjualan – harga pembelian25.000 = harga penjualan – 170.000harga penjulan = 17.000 + 25.000 = 195.000,- jadi hargapenjualan Rp. 195.000,-Menghitung untung atau RugiContoh : Seseorang membeli barang seharga Rp. 25.000,- Ia menjualdengan harga Rp. 28.500,-. Untung atau rugikah orang tersebut?Jawab :Harga pembelian = Rp. 25.000,-Harga Penjualan = Rp. 28.500,-harga penjualan lebih besar dari pada harga pembelian, jadi orangtersebut untung.Untung = harga penjualan – harga pembalian. 28.500 – 25.000 =3.500,-17

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 Palembang4. STATISTIKAStatistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara ilmiahuntuk mengumpulkan , mengolah, menyajikan data, menganalisis datadan mengambil kesimpulan.A. POPULASI DAN SAMPELPopulasi adalah himpunan semua objek yang menjadi sasaranpenelitian.Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anakyang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhananak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi.Sedangkan sampel adalah beberapa objek yang benar-benar kitacatat data-datanya yang mewakili seluruh objek itu. Jadi sampelmerupakan himpunan bagian dari populasi.Contoh : Jika seorang peneliti ingin mengetahui umur rata-rata anakyang baru masuk kelas I SMP di suatu kabupaten, maka keseluruhananak yang baru masuk ke SMP tersebut di sebut populasi. Sedangkanhimpunan dari beberapa jumlah anak yang akan kita catat umurnya disebut sampel.B. RATA-RATA HITUNG ATAU MEAN, MEDIAN, DAN MODUS DARISUATU DATANilai rata-rata hitung atau mean adalah jumlah semua ukuran di bagibanyaknya ukuran.Median adalah ukuran tengah dari data yang sejenis setelah data itudi urutkan. Median di dapat dengan cara megurutkan data dari yangpaling kecil ke yang paling besar, kemudian mengambil ukurantengah-tengahnya.18

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangModus adalah ukuran atau data yang paling sering muncul. Rata-rata,median, modus merupakan ukuran pemusatan atau ukuran tendensisentral dari sebuah penelitian atau percobaan artinya di pakai sebagaitolok ukur untuk mengadakan pemecahan masalah lebih lanjut.Contoh mean, median dan modus.1. Setiap caturwulan di adakan 5 kali ulangan harian untuk matapelajaran matematika. Nilai yang di peroleh Ika : 68, 78, 50, 84 dan72. Berapakah nilai rata-rata Ika?Jawab : Nilai rata-rata Ika=2. Perhatikan data berikut!I. 6,7,8,9,9II. 3,4,5,6,7,8Berapa median dari data di atas?Jawab : median I adalah 8median II adalah3. Perhatikan data berikut !7,5,4,5,5,6,7Berapa modus dari data tersebut?Jawab : 5 ( muncul 3 kali )19

Bilangan dan bangun RuangOleh: Risnaini,S.Pd.I Guru Matematika MIN 2 PalembangDAFTAR PUSTAKA1990Surbakty.BM, Matematika Bisnis dan Ekonomi, Kesaint Blanc Indah.Negoro.ST dkk, Ensiklopedia Matematika, Gahlia Indonesia. 1998Santoso, Singgih. 2002. SPSS Statistik Multivariat. Jakarta : PT. ElexMediaKompitundo.20