Download

Konvolusi dan Teorema Konvolusi
Konvolusi
dari
f
( t)
dan
g(
t)
adalah :
f
∗
g
=
∫ ∞ −∞
f
( λ)
g(
t
− λ)
dλ
• Teorema Konvolusi
Jika
F
{ f ( t)
} = F(
ω)
dan F{ g(
t)
}
=
G(
ω)
maka
:
F
{ f ∗ g}
=
F(
ω)
G(
ω)
f
∗
g
=
F
−1
{ F(
ω)
G(
ω)
}
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
1

Contoh : g(
t)
=
Hitunglah konvolusi dari f ∗ g dengan f ( t)
=
u(
t)
e
−2t
, dimana u(t) adalah fungsi tangga satuan,
kemudiankajidengan teorema konvolusi.
Penyelesaian :
u(
t)
e
−t
dan
Konvolusi
dari
f
( t)
dan
g(
t)
adalah :
f
∗
g
=
∫ ∞ −∞
f
( λ)
g(
t
− λ)
dλ
Untuk t
<
0
Jika
t
<
0
tidak ada bagian yang
overlaping,
sehingga
f
∗
g
=
0
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
2

Untuk t
≥
0
Jika
t
≥
0
terjadi
overlaping untuk nilai λ antara
0 dan t,
yaitu 0
≤
λ ≤
t
f ∗ g =
=
=
∫
∫
e
t
0
∞
−∞
e
2t
( f ∗ g)(
t)
=
t
e
e
⎧e
⎨
⎩
−2(
t −λ
)
dλ
=
−t
atau ( f ∗ g)(
t)
=
f ( λ)
g(
t − λ)
dλ
−λ
∫
0
λ
−
0
e
dλ
e
2t
−2t
u(
t)
[ e ]
λ
t
0
=
e
−t
untuk t ≥ 0
untuk < 0
(
−t
−2t
e − e )
−
e
−2t
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
3

Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
4
{ } )
(
)
(
teorema konvolusi
Verifikasi
ω
ω G
F
g
f
F =
∗
(Sifat linear transformasi Fourier)
{ }
{ }
{ } )
(
)
(
terbukti
Jadi
)
)(2
(1
1
)
)(2
(1
)
(1
)
(2
2
1
1
1
)
)(
(
)
)(2
(1
1
2
1
1
1
)
(
)
(
:
2
1
)
(
,
)
(
)
(
dan
1
1
)
(
,
)
(
)
(
Untuk
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
G
F
g
f
F
j
j
j
j
j
j
j
j
e
e
t
u
F
j
j
j
j
G
F
g
f
F
j
G
e
t
u
t
g
j
F
e
t
u
t
f
t
t
t
t
=
∗
+
+
=
+
+
+
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
∗
+
=
=
+
=
=
−
−
−
−

Korelasi dan Teorema Korelasi
Korelasi
dari
f
( t)
dan
g(
t)
adalah :
f * g =
∫ ∞ −∞
f
( λ)
g(
λ − t)
dλ
Teorema Korelasi
Jika F{ f(t) }=F(ω) dan F{ g(t) }=G(ω), maka
F{ f * g }= F(ω) G(-ω),
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
5

Hitunglah korelasi
dari
f
( t)
=
u(
t)
e
−t
dan
Contoh :
g(
t)
=
u(
t)
e
−2t
, dimana
u(t)
adalah
fungsi
tangga
satuan,
kemudian
kaji
dengan
teorema
korelasi.
Penyelesaian :
Korelasi
dari
f
( t)
dan
g(
t)
adalah :
f * g =
∫ ∞ −∞
f
( λ)
g(
λ − t)
dλ
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
6

Untuk t

Untuk t 0
Jika t 0 grafik overlap untuk t ≤ λ ≤∞
f
∗
Jadi
g
(
=
=
=
f
∫
∞
−∞
∫
t
e
∞
2t
∫
−λ
0
∞
* g)(
t)
f ( λ)
g(
λ − t)
dλ
e
e
e
−2(
λ−t
)
− 3λ
=
dλ
=
⎧1
⎪
e
3
⎨
1
⎪ e
⎩3
dλ
2t
−t
e
2t
−3
⎡e
⎢
⎣ − 3
λ
untuk
untuk
⎤ ∞
⎥
⎦ t
t
t
<
≥
=
0
0
1
3
e
−t
Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
8

Matematika Teknik II
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
9
{ } )
(
)
(
korelasi
teorema
Verifikasi
ω
ω
−
=
∗
G
F
g
f
F
{ }
{ } )
(
)
(
terbukti
Jadi
)
)(1
(2
1
)
)(1
9(2
)
3
(6
)
3
(3
)
3(1
1
)
3(2
1
0
)
1
3(
0
)
3(2
3
1
3
1
*
)
)(2
(1
1
2
1
1
1
)
(
)
(
:
2
1
)
(
,
)
(
)
(
dan
1
1
)
(
,
)
(
)
(
Untuk
)
1
(
)
(2
0
0
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
∗
+
−
=
+
−
−
+
+
=
+
+
−
=
∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
− ∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
+
=
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
=
∗
+
=
=
+
=
=
−
−
−
−∞
∞
−
−
−
−
−
∫
∫
G
F
g
f
F
j
j
j
j
j
j
j
j
j
e
j
e
dt
e
e
dt
e
e
g
f
F
j
j
j
j
G
F
g
f
j
G
e
t
u
t
g
j
F
e
t
u
t
f
t
j
t
j
t
j
t
t
j
t
t
t