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Konvolusi dan Teorema Konvolusi<br />
Konvolusi<br />
dari<br />
f<br />
( t)<br />
dan<br />
g(<br />
t)<br />
adalah :<br />
f<br />
∗<br />
g<br />
=<br />
∫ ∞ −∞<br />
f<br />
( λ)<br />
g(<br />
t<br />
− λ)<br />
dλ<br />
• Teorema Konvolusi<br />
Jika<br />
F<br />
{ f ( t)<br />
} = F(<br />
ω)<br />
dan F{ g(<br />
t)<br />
}<br />
=<br />
G(<br />
ω)<br />
maka<br />
:<br />
F<br />
{ f ∗ g}<br />
=<br />
F(<br />
ω)<br />
G(<br />
ω)<br />
f<br />
∗<br />
g<br />
=<br />
F<br />
−1<br />
{ F(<br />
ω)<br />
G(<br />
ω)<br />
}<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
1
Contoh : g(<br />
t)<br />
=<br />
Hitunglah konvolusi dari f ∗ g dengan f ( t)<br />
=<br />
u(<br />
t)<br />
e<br />
−2t<br />
, dimana u(t) adalah fungsi tangga satuan,<br />
kemudiankajidengan teorema konvolusi.<br />
Penyelesaian :<br />
u(<br />
t)<br />
e<br />
−t<br />
dan<br />
Konvolusi<br />
dari<br />
f<br />
( t)<br />
dan<br />
g(<br />
t)<br />
adalah :<br />
f<br />
∗<br />
g<br />
=<br />
∫ ∞ −∞<br />
f<br />
( λ)<br />
g(<br />
t<br />
− λ)<br />
dλ<br />
Untuk t<br />
<<br />
0<br />
Jika<br />
t<br />
<<br />
0<br />
tidak ada bagian yang<br />
overlaping,<br />
sehingga<br />
f<br />
∗<br />
g<br />
=<br />
0<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
2
Untuk t<br />
≥<br />
0<br />
Jika<br />
t<br />
≥<br />
0<br />
terjadi<br />
overlaping untuk nilai λ antara<br />
0 dan t,<br />
yaitu 0<br />
≤<br />
λ ≤<br />
t<br />
f ∗ g =<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
e<br />
t<br />
0<br />
∞<br />
−∞<br />
e<br />
2t<br />
( f ∗ g)(<br />
t)<br />
=<br />
t<br />
e<br />
e<br />
⎧e<br />
⎨<br />
⎩<br />
−2(<br />
t −λ<br />
)<br />
dλ<br />
=<br />
−t<br />
atau ( f ∗ g)(<br />
t)<br />
=<br />
f ( λ)<br />
g(<br />
t − λ)<br />
dλ<br />
−λ<br />
∫<br />
0<br />
λ<br />
−<br />
0<br />
e<br />
dλ<br />
e<br />
2t<br />
−2t<br />
u(<br />
t)<br />
[ e ]<br />
λ<br />
t<br />
0<br />
=<br />
e<br />
−t<br />
untuk t ≥ 0<br />
untuk < 0<br />
(<br />
−t<br />
−2t<br />
e − e )<br />
−<br />
e<br />
−2t<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
3
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
4<br />
{ } )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
teorema konvolusi<br />
Verifikasi<br />
ω<br />
ω G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
F =<br />
∗<br />
(Sifat linear transformasi Fourier)<br />
{ }<br />
{ }<br />
{ } )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
terbukti<br />
Jadi<br />
)<br />
)(2<br />
(1<br />
1<br />
)<br />
)(2<br />
(1<br />
)<br />
(1<br />
)<br />
(2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
)(<br />
(<br />
)<br />
)(2<br />
(1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
:<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
,<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
,<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
Untuk<br />
2<br />
2<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
F<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
e<br />
t<br />
u<br />
F<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
F<br />
j<br />
G<br />
e<br />
t<br />
u<br />
t<br />
g<br />
j<br />
F<br />
e<br />
t<br />
u<br />
t<br />
f<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
=<br />
∗<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
=<br />
=<br />
∗<br />
+<br />
=<br />
=<br />
+<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−
Korelasi dan Teorema Korelasi<br />
Korelasi<br />
dari<br />
f<br />
( t)<br />
dan<br />
g(<br />
t)<br />
adalah :<br />
f * g =<br />
∫ ∞ −∞<br />
f<br />
( λ)<br />
g(<br />
λ − t)<br />
dλ<br />
Teorema Korelasi<br />
Jika F{ f(t) }=F(ω) dan F{ g(t) }=G(ω), maka<br />
F{ f * g }= F(ω) G(-ω),<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
5
Hitunglah korelasi<br />
dari<br />
f<br />
( t)<br />
=<br />
u(<br />
t)<br />
e<br />
−t<br />
dan<br />
Contoh :<br />
g(<br />
t)<br />
=<br />
u(<br />
t)<br />
e<br />
−2t<br />
, dimana<br />
u(t)<br />
adalah<br />
fungsi<br />
tangga<br />
satuan,<br />
kemudian<br />
kaji<br />
dengan<br />
teorema<br />
korelasi.<br />
Penyelesaian :<br />
Korelasi<br />
dari<br />
f<br />
( t)<br />
dan<br />
g(<br />
t)<br />
adalah :<br />
f * g =<br />
∫ ∞ −∞<br />
f<br />
( λ)<br />
g(<br />
λ − t)<br />
dλ<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
6
Untuk t
Untuk t 0<br />
Jika t 0 grafik overlap untuk t ≤ λ ≤∞<br />
f<br />
∗<br />
Jadi<br />
g<br />
(<br />
=<br />
=<br />
=<br />
f<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
∫<br />
t<br />
e<br />
∞<br />
2t<br />
∫<br />
−λ<br />
0<br />
∞<br />
* g)(<br />
t)<br />
f ( λ)<br />
g(<br />
λ − t)<br />
dλ<br />
e<br />
e<br />
e<br />
−2(<br />
λ−t<br />
)<br />
− 3λ<br />
=<br />
dλ<br />
=<br />
⎧1<br />
⎪<br />
e<br />
3<br />
⎨<br />
1<br />
⎪ e<br />
⎩3<br />
dλ<br />
2t<br />
−t<br />
e<br />
2t<br />
−3<br />
⎡e<br />
⎢<br />
⎣ − 3<br />
λ<br />
untuk<br />
untuk<br />
⎤ ∞<br />
⎥<br />
⎦ t<br />
t<br />
t<br />
<<br />
≥<br />
=<br />
0<br />
0<br />
1<br />
3<br />
e<br />
−t<br />
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
8
Matematika Teknik II<br />
( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)<br />
9<br />
{ } )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
korelasi<br />
teorema<br />
Verifikasi<br />
ω<br />
ω<br />
−<br />
=<br />
∗<br />
G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
F<br />
{ }<br />
{ } )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
terbukti<br />
Jadi<br />
)<br />
)(1<br />
(2<br />
1<br />
)<br />
)(1<br />
9(2<br />
)<br />
3<br />
(6<br />
)<br />
3<br />
(3<br />
)<br />
3(1<br />
1<br />
)<br />
3(2<br />
1<br />
0<br />
)<br />
1<br />
3(<br />
0<br />
)<br />
3(2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
*<br />
)<br />
)(2<br />
(1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
:<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
,<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
,<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
Untuk<br />
)<br />
1<br />
(<br />
)<br />
(2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
−<br />
=<br />
∗<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
∞<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
+<br />
− ∞<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
=<br />
−<br />
=<br />
∗<br />
+<br />
=<br />
=<br />
+<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−∞<br />
∞<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
F<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
e<br />
j<br />
e<br />
dt<br />
e<br />
e<br />
dt<br />
e<br />
e<br />
g<br />
f<br />
F<br />
j<br />
j<br />
j<br />
j<br />
G<br />
F<br />
g<br />
f<br />
j<br />
G<br />
e<br />
t<br />
u<br />
t<br />
g<br />
j<br />
F<br />
e<br />
t<br />
u<br />
t<br />
f<br />
t<br />
j<br />
t<br />
j<br />
t<br />
j<br />
t<br />
t<br />
j<br />
t<br />
t<br />
t