2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4
2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4 2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4
26 ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: Ai ( i 1, 2 ) – i -ური ყუთიდან ამოღებული ბურთი თეთრია; B – მესამე ყუთიდან ამოღებული ბურთი თეთრია. მესამე ყუთში შესაძლებელია აღმოჩნდეს: ორი თეთრი ბურთი – ხდომილება A ; ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი 1 A 2 ( 1 2 1 A2 1 A2 – ხდომილება A A ) ( A ) ან ორი შავი ბურთი – ხდომილება A . გასაგებია, რომ ხდომილებები A1 A 2 , A1 A2 , A1 A2 და A1 A2 ქმნის ხდომილებათა სრულ სის- ტემას. აღვნიშნოთ ეს ხდომილებები შესაბამისად , , და H -ით. ცხადია, რომ ხდო- H1 H 2 H 3 4 მილებათა წყვილები A1, A 2 ; A1, A2 ; A1, A2 და A 1 , A2 დამოუკიდებელია. ამიტომ გვაქვს: a c P( H1) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) a b c d b c P( H ) b d 3 ; P( H . a b c d ) 2 a b c d a d ; P( H ) 2 ; a b c d გარდა ამისა, ცხადია, რომ: P( B | H1) 1; P B | H ) P( B | H ) 1/ 2 ; P( B | H 4) 0 . შესაბამისად, ( 2 3 სრული ალბათობის ფორმულის თანახმად, ვღებულობთ: a c a d 1 b c 1 2ac ad bc P( B) 1 0 . a b c d a b c d 2 a b c d 2 2( a b)( c d) შენიშვნა. იგივე იქნება ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ყუთიდან შემთხვევით ამოღებული ბურთი თეთრია. მართლაც, ვინაიდან ამ შემთხვევაში ხდომილებათა სრული სისტემა იქნება: შეირჩა I ყუთი (აღვნიშნოთ ის C1 -ით) ან შეირჩა II ყუთი (აღვნიშნოთ ის C2 - ით, ცხადია, რომ P C ) P( C ) 1/ 2 ), ამიტომ სრული ალბათობის ფორმულა გვაძლევს: ( 1 2 1 a c 2ac ad bc P( B) P( C1) P( B | C1) P( C2 ) P( B | C2 ) [ ] . 2 a b c d 2( a b)( c d) ახლა განვიხილოთ სიტუაცია, როცა ცნობილია პირობითი ალბათობები ერთი მიმართულე- ბით და გამოსათვლელია "შებრუნებული" პირობითი ალბათობები. შესაბამის შედეგს წარმო- ადგენს ბაიესის ფორმულა, რომელიც მიიღება ნამრავლის ალბათობისა და სრული ალბათო- ბის ფორმულის გამოყენებით და რომელსაც კერძო შემთხვევაში აქვს სახე:
27 P( B | A) P( B A) P( A) P( B) P( A | B) . P( B) P( A | B) P( B) P( A | B) მაგალითი 5. სიცრუის დეტექტორი (პოლიგრაფი) 95 % შემთხვევაში იძლევა ზუსტ პასუხს. ცნობილია, რომ საშუალოდ ყოველი ათასი ადამიანიდან ერთი ცრუობს. განვიხილოთ შემ- თხვევით შერჩეული ადამიანი, რომელიც გადის ტესტირებას დეტექტორზე და რომელსაც გა- დაწყვეტილი აქვს, იცრუოს. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ დეტექტორი აღმოაჩენს, რომ ის ცრუობს ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილებები: L={ადამიანი ცრუობს}, LP={დეტექტორმა დაადგინა რომ ადამიანი ცრუობს}. ამოცანის პირობის თანახმად P( L) 1/1000 0.001 და P( L | L) P( L | L) 95/100 0.95 . საძიებელია პირობითი ალბათობა P L | L ) , რომელიც, P ბაიესის ფორმულის თანახმად, იქნება: P( L) P( LP | L) 0.95 0.001 P( L | LP ) 0.02 . P( L) P( L | L) P( L) P( L | L) 0.95 0.001 0.05 0.999 ალბათობის თეორია განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება სამართალწარმოებაში, როცა მტკიცებულებებში ფიგურირებს ადამიანის "დნმ". განვიხილოთ ე. წ. კუნძულის ამოცანა. მაგალითი 6. (კუნძულის ამოცანა). კუნძულზე მოკლეს ადამიანი და მკვლელი უნდა იყოს კუნძულის დარჩენილი n მცხოვრებიდან ერთ-ერთი. დანაშაულის ადგილის შესწავლისას გაკეთებულმა "დნმ"-ს ანალიზმა აჩვენა, რომ მკვლელს გააჩნია განსაკუთრებული გენოტიპი, რომელიც ცნობილია და მთელ მოსახლეობაში გვხვდება p პროპორციით. ვიგულისხმოთ, რომ კუნძულის მცხოვრებთა გენოტიპები დამოუკიდებელია. გამომძიებელმა დაიწყო კუნძუ- ლის მცხოვრებთა გენოტიპების შემოწმება. პირველი, ვინც შეამოწმეს, იყო ბატონი ზეზვა და მას აღმოაჩნდა მკვლელის გენოტიპი. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ბატონი ზეზვა დამ- ნაშავეა ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: C={ბატონი ზეზვა დამნაშავეა} და D={ბატონი ზეზვას გენოტიპი აღმოჩენილია მკვლელობის ადგილზე}. საძიებელია პირობითი ალბათობა P( C | D) , რომლის გამოსათვლელად უნდა ვისარგებლოთ ბაიესის ფორმულით, სადაც დაგ- ვჭირდება როგორც P (C) -ს, ისე "პირდაპირი" პირობითი ალბათობების ცოდნა. P(C) არის ალბათობა იმისა, რომ ბატონი ზეზვა დამნაშავეა მანამ, სანამ გენოტიპების შემოწმება დაწყე- ბულა და, თუ ჩვენ დავუშვებთ, რომ არანაირი მიზეზი არ არსებობს იმისა, რომ რომელიმე პერსონაში მეტი ეჭვი შევიტანოთ, ვიდრე სხვა რომელიმეში, მაშინ ბუნებრივია ჩავთვალოთ, რომ P ( C) 1/ n . თუ ბატონი ზეზვა დამნაშავეა, მაშინ მისი გენოტიპი აუცილებლად აღმოჩ- ნდება დანაშაულის ადგილზე და, შესაბამისად, P( D | C) 1 . თუკი ბატონი ზეზვა უდანაშა- ულოა, მაშინ მისი გენოტიპი ისევ შეიძლება აღმოჩნდეს დანაშაულის ადგილზე იმ ალბათო- ბით, რა პროპორციითაც გვხვდება აღნიშნული გენოტიპი საზოგადოდ ადამიანთა პოპულა- ციაში, ანუ P P( D | C) p . ამიტომ: P P ( P
- Page 1 and 2: 1 მათემატიკურ
- Page 3 and 4: 3 თუ პ=მ, მაშინ =
- Page 5 and 6: 5 1. 27 იყოფა 3-ზე
- Page 7 and 8: 7 ამოხსნა. ეს ნ
- Page 9 and 10: 9 ენაში როცა ვ
- Page 11 and 12: 11 პირობითი ალ
- Page 13 and 14: 13 A { I sadguri sworad icnobs ami
- Page 15 and 16: 15 და, შესაბამი
- Page 17 and 18: 17 ამოხსნა. ერთ
- Page 19 and 20: 19 2 ა) P( A) P( A A ) P( A )
- Page 21 and 22: 21 3. რაიონულ ცე
- Page 23 and 24: 23 განვიხილოთ
- Page 25: 25 ვიდრე A კამა
- Page 29 and 30: 29 P( A P( A2 ) P( B | A2 ) | B) P
- Page 31 and 32: 31 მნება არანა
26<br />
ამოხსნა. შემოვიღოთ ხდომილობები: Ai<br />
( i 1, 2 ) – i -ური ყუთიდან ამოღებული ბურთი<br />
თეთრია; B – მესამე ყუთიდან ამოღებული ბურთი თეთრია. მესამე ყუთში შესაძლებელია<br />
აღმოჩნდეს: ორი თეთრი ბურთი – ხდომილება A ; ერთი თეთრი და ერთი შავი ბურთი<br />
1<br />
A 2<br />
(<br />
1<br />
<br />
2 1<br />
A2<br />
1<br />
A2<br />
– ხდომილება A A ) ( A ) ან ორი შავი ბურთი – ხდომილება A . გასაგებია,<br />
რომ ხდომილებები A1 A 2<br />
, A1 A2<br />
, A1 A2<br />
და A1 A2<br />
ქმნის ხდომილებათა სრულ სის-<br />
ტემას. აღვნიშნოთ ეს ხდომილებები შესაბამისად , , და H -ით. ცხადია, რომ ხდო-<br />
H1<br />
H<br />
2<br />
H<br />
3 4<br />
მილებათა წყვილები A1, A 2<br />
; A1, A2<br />
; A1, A2<br />
და A 1<br />
, A2<br />
დამოუკიდებელია. ამიტომ გვაქვს:<br />
a c<br />
P( H1)<br />
P(<br />
A1<br />
A2<br />
) P(<br />
A1<br />
) P(<br />
A2<br />
) <br />
a b c d<br />
b c<br />
P( H )<br />
b d<br />
3<br />
; P( H<br />
.<br />
a b c d<br />
) 2<br />
<br />
a b c d<br />
a d<br />
; P( H ) 2<br />
;<br />
a b c d<br />
გარდა ამისა, ცხადია, რომ: P( B | H1)<br />
1; P B | H ) P(<br />
B | H ) 1/ 2 ; P( B | H<br />
4)<br />
0 . შესაბამისად,<br />
(<br />
2 3<br />
<br />
სრული ალბათობის ფორმულის თანახმად, ვღებულობთ:<br />
a c a d 1 b c 1 2ac<br />
ad bc<br />
P(<br />
B)<br />
1<br />
0 <br />
.<br />
a b c d a b c d 2 a b c d 2 2( a b)(<br />
c d)<br />
შენიშვნა. იგივე იქნება ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული ყუთიდან შემთხვევით<br />
ამოღებული ბურთი თეთრია. მართლაც, ვინაიდან ამ შემთხვევაში ხდომილებათა სრული<br />
სისტემა იქნება: შეირჩა I ყუთი (აღვნიშნოთ ის C1<br />
-ით) ან შეირჩა II ყუთი (აღვნიშნოთ ის C2<br />
-<br />
ით, ცხადია, რომ P C ) P(<br />
C ) 1/ 2 ), ამიტომ სრული ალბათობის ფორმულა გვაძლევს:<br />
(<br />
1 2<br />
<br />
1 a c 2ac<br />
ad bc<br />
P( B)<br />
P(<br />
C1)<br />
P(<br />
B | C1)<br />
P(<br />
C2<br />
) P(<br />
B | C2<br />
) [<br />
] <br />
.<br />
2 a b c d 2( a b)(<br />
c d)<br />
ახლა განვიხილოთ სიტუაცია, როცა ცნობილია პირობითი ალბათობები ერთი მიმართულე-<br />
ბით და გამოსათვლელია "შებრუნებული" პირობითი ალბათობები. შესაბამის შედეგს წარმო-<br />
ადგენს ბაიესის ფორმულა, რომელიც მიიღება ნამრავლის ალბათობისა და სრული ალბათო-<br />
ბის ფორმულის გამოყენებით და რომელსაც კერძო შემთხვევაში აქვს სახე:
Change language