2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4
2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4 2. âááá ááá áá áá¡ á¡áá¥áá áááááá¡ ááááá¥áááá¥á " áá áá¡ á 4
22 11. თამაში მდგომარეობს შემდეგში: თქვენ დებთ 1 ლარს, აგორებენ წესიერ სათამაშო კა- მათელს და თუ კამათელზე მოვიდა 6 ქულა, თქვენ იგებთ 4 ლარს, წინააღმდეგ შემ- თხვევაში კარგავთ თქვენს 1 ლარს. თუ თქვენ გეძლევათ უფლება, დაასახელოთ კა- მათლის გაგორებათა რიცხვი, რომლის შემდეგაც თქვენ წყვეტთ თამაშს, როგორ უნდა შეარჩიოთ ის ისე, რომ მაქსიმალური იყოს თქვენი შანსი, დარჩეთ მოგებულ მდგომარეობაში და რას უდრის ამის ალბათობა 12. სტუდენტმა უნდა გაიაროს ტესტირება ლაბორატორიაში მუშაობის დასაწყებად. ტეს- ტირების გავლის შემდეგ სტუდენტი ტესტს უკან არ აბრუნებს. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული სტუდენტი ტესტირებას გაივლის პირველ ცდაზე, არის 1/3. განმეორებითი ტესტირების შემთხვევაში ჩაჭრის ალბათობა არის წინა ცდაზე ჩაჭრის ალბათობის ნახევარი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ სტუდენტი: ა) გაივლის ტესტირე- ბას არა უმეტეს 3 მცდელობის შედეგად; ბ) გაივლის ტესტირებას პირველ მცდელობაზე, თუ ცნობილია, რომ მან ტესტირება გაიარა არა უმეტეს 3 მცდელობით. 13. მოყვარული სინოპტიკოსის თეორიის თანახმად, თუ ერთ წელს იყო წყალდიდობა, მა- შინ ალბათობა იმისა, რომ იგი განმეორდება მომდევნო წელს, არის 0.7, ხოლო თუ ერთ წელს არ იყო წყალდიდობა, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ იგი არ იქნება მომდევნო წელს არის 0.6. გასულ წელს წყალდიდობა არ ყოფილა. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ წყალდიდობა იქნება: ა) მომდევნო სამ წელიწადს ზედიზედ; ბ) ზუსტად ერთხელ, მომდევნო სამი წლის განმავლობაში. 14. ჩანთაში დევს 25 დისკი, რომელთაგან ნაწილი თეთრია და დანარჩენი შავი. ჩანთიდან ერთდროულად შემთხვევით იღებენ ორ დისკს. ალბათობა იმისა, რომ ამოღებული დისკები ერთი და იგივე ფერისაა, ემთხვევა ალბათობას იმისა, რომ ეს დისკები სხვა- დასხვა ფერისაა. რამდენი თეთრი დისკია ჩანთაში სრული ალბათობის ფორმულა. განმეორებითი ცდები ხდომილებათა ერთობლიობას A A i j Ø, როცა i j და A (მაგალითად, A და A ). i1 ეწოდება ხდომილებათა სრული სისტემა, თუ თუ A 1 , A2 ,..., A n ხდომილებათა სრული სისტემაა ( PA ( i) 0, i1,2,..., n), მაშინ ადგილი აქვს სრული ალბათობის ფორმულას: P( B) n P( A ) P( B | A ) . A A ,..., 1 , 2 თუ A A ,..., ხდომილებათა სრული სისტემაა, P( ) 0 i 1,2,..., n , მაშინ ადგილი აქვს ბაიესის ფორმულას: P( Ai) P( B | Ai) P( Ai | B) . n ( ) ( | ) j P A 1 j P B Aj n i i i i1 1 , 2 A n A i , A n
23 განვიხილოთ ერთი და იგივე ექსპერიმენტების სერია, რომლებიც ტარდება ერთსა და იმავე პირობებში, ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად. ამასთანავე, ყოველ კონკრეტულ ექსპერიმენ- ტში ჩვენ განვასხვავებთ მხოლოდ ორ შედეგს: გარკვეული A ხდომილების მოხდენა (რო- მელსაც პირობითად "წარმატებას" უწოდებენ) და მისი არმოხდენა – A (რომელსაც "მარცხს" უწოდებენ). A ხდომილების მოხდენის ალბათობა ნებისმიერი ექსპერიმენტისათვის მუდმი- ვია და ტოლია P( A) p , სადაც 0 p 1. შესაბამისად, P( A) 1 P( A) 1 p : q ( p q 1). ალბათობას იმისას, რომ n ექსპერიმენტში A ხდომილება მოხდა k -ჯერ, გამოითვლება ე. წ. ბერნულის ფორმულით: . ალბათობების ერთობლიობას P ( n k ) , როცა k 0,1,..., n ეწოდება ალბათობების ბინომიალუ- რი განაწილება. ისეთ k0 რიცხვს, რომლის შესაბამისი ალბათობა P ( n k ) 0 უდიდესია P n (0) , P (1 n ) ,..., P n (n) ალბათობებს შორის, უალბათესი რიცხვი ეწოდება. უალბათესი რიცხვი გვიჩვენებს n დამო- უკიდებელ ცდაში წარმატებათა რა რაოდენობაა ყველაზე უფრო მოსალოდნელი. უალბათესი რიცხვი წარმოადგენს შემდეგი უტოლობის მთელ ამონახსნს: np q k np p . მაგალითი 1. სიტყვიდან "სამშობლო" შემთხვევით ვიღებთ ორ ასოს და შემდეგ შემთხვევით ვდებთ უკან ამ ასოებს ცარიელ ადგილებზე. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ისევ მივი- ღებთ სიტყვას "სამშობლო". ამოხსნა. განვიხილოთ ორი განსხვავებული შემთხვევა: 1) ამოღებულია ორივე "ო", რომელ შემთხვევაშიც ნებისმიერი დაბრუნებისას მიიღება სიტყვა "სამშობლო" და 2) ამოღებულია სხვადასხვა ასო, რომელ შემთხვევაშიც სიტყვა "სამშობლო" მიიღება, თუ ასოების დაბრუნება მოხდება მათ საწყის მდებარეობაზე. ცხადია, რომ ეს ორი შემთხვევა გამორიცხავს ერთმანეთს და ამოწურავს ყველა შესაძლებლობას. შესაბამისად, სრული ალბათობის ფორმულის გამოყე- ნება შესაძლებელია. ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ზუსტად აღწერის გარეშე ჩვენ შეგვიძლია განვმარტოთ ხდომილებები: A { miiReba sityva " samSoblo"} და B { orive asoa " o" } . ცხადია, რომ n! Pn( k) Cn p q p q k!( n k)! k k n k k nk P( A | B) 1. თუ ასოები განსხვავებულია, მაშინ ისინი თავიანთ მდებარეობას დაუბრუნდება ალბათობით 1/2, ანუ P( A | B) 1/ 2 . ორი ასოს შერჩევა 8-დან შესაძლებელია C 28 სხვადასხვანაირად, რომელთა შორის მხოლოდ ერთ (ფორმალურად C 2 1 2 ) შემ- 2 8 თხვევაში შეგვხვდება ორი "ო". შესაბამისად, P( B) 1/ 28 და P( B) 27 / 28 (შედეგი არ 0
- Page 1 and 2: 1 მათემატიკურ
- Page 3 and 4: 3 თუ პ=მ, მაშინ =
- Page 5 and 6: 5 1. 27 იყოფა 3-ზე
- Page 7 and 8: 7 ამოხსნა. ეს ნ
- Page 9 and 10: 9 ენაში როცა ვ
- Page 11 and 12: 11 პირობითი ალ
- Page 13 and 14: 13 A { I sadguri sworad icnobs ami
- Page 15 and 16: 15 და, შესაბამი
- Page 17 and 18: 17 ამოხსნა. ერთ
- Page 19 and 20: 19 2 ა) P( A) P( A A ) P( A )
- Page 21: 21 3. რაიონულ ცე
- Page 25 and 26: 25 ვიდრე A კამა
- Page 27 and 28: 27 P( B | A) P( B A) P( A) P( B)
- Page 29 and 30: 29 P( A P( A2 ) P( B | A2 ) | B) P
- Page 31 and 32: 31 მნება არანა
23<br />
განვიხილოთ ერთი და იგივე ექსპერიმენტების სერია, რომლებიც ტარდება ერთსა და იმავე<br />
პირობებში, ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად. ამასთანავე, ყოველ კონკრეტულ ექსპერიმენ-<br />
ტში ჩვენ განვასხვავებთ მხოლოდ ორ შედეგს: გარკვეული A ხდომილების მოხდენა (რო-<br />
მელსაც პირობითად "წარმატებას" უწოდებენ) და მისი არმოხდენა – A (რომელსაც "მარცხს"<br />
უწოდებენ). A ხდომილების მოხდენის ალბათობა ნებისმიერი ექსპერიმენტისათვის მუდმი-<br />
ვია და ტოლია P( A)<br />
p , სადაც 0 p 1. შესაბამისად, P(<br />
A)<br />
1<br />
P(<br />
A)<br />
1<br />
p : q (<br />
p q 1).<br />
ალბათობას იმისას, რომ n ექსპერიმენტში A ხდომილება მოხდა k -ჯერ, გამოითვლება ე. წ.<br />
ბერნულის ფორმულით:<br />
.<br />
ალბათობების ერთობლიობას P ( n<br />
k ) , როცა k 0,1,..., n ეწოდება ალბათობების ბინომიალუ-<br />
რი განაწილება.<br />
ისეთ k0<br />
რიცხვს, რომლის შესაბამისი ალბათობა P ( n<br />
k ) 0<br />
უდიდესია P<br />
n<br />
(0)<br />
, P (1 n<br />
) ,..., P n<br />
(n)<br />
ალბათობებს შორის, უალბათესი რიცხვი ეწოდება. უალბათესი რიცხვი გვიჩვენებს n დამო-<br />
უკიდებელ ცდაში წარმატებათა რა რაოდენობაა ყველაზე უფრო მოსალოდნელი. უალბათესი<br />
რიცხვი წარმოადგენს შემდეგი უტოლობის მთელ ამონახსნს: np q k np p .<br />
მაგალითი 1. სიტყვიდან "სამშობლო" შემთხვევით ვიღებთ ორ ასოს და შემდეგ შემთხვევით<br />
ვდებთ უკან ამ ასოებს ცარიელ ადგილებზე. რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ ისევ მივი-<br />
ღებთ სიტყვას "სამშობლო".<br />
ამოხსნა. განვიხილოთ ორი განსხვავებული შემთხვევა: 1) ამოღებულია ორივე "ო", რომელ<br />
შემთხვევაშიც ნებისმიერი დაბრუნებისას მიიღება სიტყვა "სამშობლო" და 2) ამოღებულია<br />
სხვადასხვა ასო, რომელ შემთხვევაშიც სიტყვა "სამშობლო" მიიღება, თუ ასოების დაბრუნება<br />
მოხდება მათ საწყის მდებარეობაზე. ცხადია, რომ ეს ორი შემთხვევა გამორიცხავს ერთმანეთს<br />
და ამოწურავს ყველა შესაძლებლობას. შესაბამისად, სრული ალბათობის ფორმულის გამოყე-<br />
ნება შესაძლებელია. ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ზუსტად აღწერის გარეშე ჩვენ<br />
შეგვიძლია განვმარტოთ ხდომილებები:<br />
A { miiReba sityva " samSoblo"} და B { orive asoa " o" } .<br />
ცხადია, რომ<br />
n!<br />
Pn( k)<br />
Cn<br />
p q p q<br />
k!( n k)!<br />
k k n k k nk<br />
P( A | B)<br />
1. თუ ასოები განსხვავებულია, მაშინ ისინი თავიანთ მდებარეობას<br />
დაუბრუნდება ალბათობით 1/2, ანუ<br />
P( A | B)<br />
1/ 2 . ორი ასოს შერჩევა 8-დან შესაძლებელია<br />
C 28 სხვადასხვანაირად, რომელთა შორის მხოლოდ ერთ (ფორმალურად C 2<br />
1<br />
2<br />
) შემ-<br />
2<br />
8<br />
თხვევაში შეგვხვდება ორი "ო". შესაბამისად, P( B)<br />
1/<br />
28 და P(<br />
B)<br />
27 / 28 (შედეგი არ<br />
0
Change language