Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2 - Ee-cafe.org

11.2. Konvolusi dan Fungsi Alih
Analisis Menggunakan Transformasi Fourier
Jika h(t) adalah tanggapan rangkaian terhadap sinyal impuls dan x(t) adalah
sinyal masukan, maka sinyal keluaran y(t) dapat diperoleh melalui
integral konvolusi yaitu
∫
y ( t)
= t h(
τ)
x(
t − τ)
dτ
(11.2)
0
Dalam integral konvolusi ini batas integrasi adalah τ = 0 sampai τ = t
karena dalam penurunan formulasi ini h(t) dan x(t) merupakan bentuk
gelombang kausal. Jika batas integrasi tersebut diperlebar mulai dari τ =
−∞ sampai τ = +∞, (11.2) menjadi
( t)
=
∫ +∞ h(
τ)
x(
t − τ dτ
(11.3)
τ= −∞
y )
Persamaan (11.3) ini merupakan bentuk umum dari integral konvolusi
yang berlaku untuk bentuk gelombang kausal maupun non-kausal.
Transformasi Fourier untuk kedua ruas (11.3) adalah
F
⎡
( = Y ( ω)
= F ⎢
⎣
[ y t)
]
=
∫
∞
t=−∞
⎡
⎢
⎣
∫
∫
+∞
τ=−∞
+∞
τ=−∞
⎤
h(
τ)
x(
t − τ)
dτ⎥
⎦
⎤
h(
τ)
x(
t − τ)
dτ⎥
e
⎦
Pertukaran urutan integrasi pada (11.4) memberikan
− jωt
dt
(11.4)
Y ( ω)
=
=
∫
∫
∞
τ=−∞
∞
τ=−∞
⎡
⎢
⎣
∫
+∞
t=−∞
⎡
h(
τ)
⎢
⎣
∫
h(
τ)
x(
t − τ)
e
+∞
t=−∞
x(
t − τ)
e
− jωt
− jωt
⎤
dt⎥dτ
⎦
⎤
dt⎥dτ
⎦
(11.5)
Mengingat sifat pergeseran waktu pada transformasi Fourier, maka
(11.5) dapat ditulis
Y ( ω)
=
∫
∞
⎡
= ⎢
⎣
τ=−∞
∫
∞
τ=−∞
h(
τ)
e
h(
τ)
e
− jωτ
− jωτ
X ( ω)
dτ
⎤
dτ⎥
X ( ω)
⎦
= H(
ω)
X ( ω)
(11.6)
227