Penyelesaian Soal UTS Statistika MPSP 2008 - istiarto

2008
Statistika
Ujian Tengah Semester
Soal-jawab UTS Statistika MPSP 2008. Langkah kerja dalam menjawab soal
dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan
program aplikasi spreadsheet.
Istiarto
Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM
23-Jun-08

Istiarto
Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008
Senin, 23 Juni 2008, Open Book, 100 menit
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.
Catatan
Soal ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain.
Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung.
Setiap butir soal berbobot nilai sama.
Jika dikerjakan dengan spreadsheet, file dikumpulkan (copykan kedalam flash-disk yang
telah disediakan). Pada lembar kertas jawaban, tuliskan resume hasil dan/atau keterangan
penunjuk (nama file, nama sheet, letak grafik, dsb).
Soal
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah
keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan
Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:
11 6 9 14 5 11 2 18
7 15 12 11 10 6 4 11
14 13 16 20 8 16 13 12
9 12 14 11 15 11 6 9
13 9 8 10 11 16 7 15
1. Hitung jumlah keluarga miskin rata-rata di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.
2. Hitung simpangan baku jumlah keluarga miskin di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.
3. Buat tabel frekuensi dengan rentang klas 3 (klas pertama 0.5 3.5).
4. Buat histogram data tersebut (batang dan garis) berdasarkan tabel frekuensi yang telah
Saudara buat. Sumbu horizontal (absis) adalah rentang klas dan sumbu vertikal (ordinat)
adalah frekuensi relatif.
5. Lengkapi tabel Saudara dengan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal (frekuensi
relatif teoretik).
6. Plotkan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal tersebut pada histogram yang telah
Saudara buat.
7. Dengan asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di setiap RT di wilayah Kecamatan Giripura
berdistribusi normal, perkirakanlah:
a) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8,
b) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13,
c) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14,
d) rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah
Kecamatan Giripura.
8. Dengan tetap mempertahankan asumsi distribusi normal, lakukan uji hipotesis yang
menyatakan bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan
Giripura adalah 10 keluarga. Gunakan tingkat keyakinan 95%.
-o0o-
Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 2

Istiarto
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.
Soal
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah
keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan
Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:
11 6 9 14 5 11 2 18
7 15 12 11 10 6 4 11
14 13 16 20 8 16 13 12
9 12 14 11 15 11 6 9
13 9 8 10 11 16 7 15
Hitunglah berbagai parameter statistik data tersebut.
Penyelesaian
Berbagai parameter statistik yang ditanyakan pada soal di atas dapat dihitung dengan bantuan
program aplikasi spreadsheet MSExcel.
Nilai rata-rata dan simpangan baku
Jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin dengan mudah
dapat dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, yaitu
=AVERAGE(…) dan =STDEV(…). Apabila data jumlah keluarga miskin di 40 RT tersebut dituliskan
pada cell A1:H5, maka:
A B C D E F G H
1 11 6 9 14 5 11 2 18
2 7 15 12 11 10 6 4 11
3 14 13 16 20 8 16 13 12
4 9 12 14 11 15 11 6 9
5 13 9 8 10 11 16 7 15
− jumlah keluarga miskin minimum dalam satu RT =MIN($A$1:$H$5) = 2
− jumlah keluarga miskin maximum dalam satu RT =MAX($A$1:$H$5) = 20
− jumlah keluarga miskin rata-rata =AVERAGE($A$1:$H$5) = 11
− simpangan baku jumlah keluarga miskin =STDEV($A$1:$H$5) = 4
Perlu dicatat bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga
miskin adalah bilangan bulat positif, sedangkan fungsi =AVERAGE(…) dan =STDEV(…) dapat
menghasilkan nilai pecahan. Hal ini dapat disiasati dengan memformat cell yang berisi hasil
hitungan kedua fungsi tersebut sedemikian hingga berupa bilangan tanpa desimal. Cara lain
yang lebih tepat adalah dengan memakai fungsi =ROUND(…,0) yang akan membulatkan angka
(tanpa angka desimal):
− jumlah keluarga miskin rata-rata =ROUND(AVERAGE($A$1:$H$5),0) = 11
− simpangan baku jumlah keluarga miskin =ROUND(STDEV($A$1:$H$5),0) = 4
Hitungan nilai rata-rata dan simpangan baku dapat pula dilakukan dalam bentuk tabulasi seperti
ditampilkan berikut ini.
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 3

Istiarto
Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f) f × X f × X 2
0.5 − 3.5 2 1 2 4
3.5 − 6.5 5 5 25 125
6.5 − 9.5 8 8 64 512
9.5 − 12.5 11 12 132 1452
12.5 − 15.5 14 9 126 1764
15.5 − 18.5 17 4 68 1156
18.5 − 21.5 20 1 20 400
Jumlah (Σ) 40 437 5413
Jumlah keluarga miskin rata-rata, X, dan simpangan baku jumlah keluarga miskin, s X , dihitung
dengan cara sebagai berikut:
X =
s X =
fX
X = 437
40 = 11
fX 2 − f X 2
=
f − 1
5413 − 40 × 11 2
= 4
40 − 1
Tabel frekuensi
Tabel frekuensi dibuat dengan bantuan MSExcel. Di bawah ini dicuplikkan beberapa langkah
pembuatan tabel frekuensi.
N O P Q R S T U V
Frek Rel Frek Rel Teoretik Dist
Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f)
11
(f/f)
Normal
12 (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
13 0.5−3.5 0.5 − 3.5 2 1 0.025 0.023805 0.026064
14 3.5−6.5 3.5 − 6.5 5 5 0.125 0.097138 0.099898
15 6.5−9.5 6.5 − 9.5 8 8 0.2 0.225853 0.223536
16 9.5−12.5 9.5 − 12.5 11 12 0.3 0.299207 0.29234
17 12.5−15.5 12.5 − 15.5 14 9 0.225 0.225853 0.223536
18 15.5−18.5 15.5 − 18.5 17 4 0.1 0.097138 0.099898
19 18.5−21.5 18.5 − 21.5 20 1 0.025 0.023805 0.026064
20 Σ = 40 1
21
22 Lebar klas = 3
23 Jumlah keluarga miskin rata-rata = 11
24 Simpangan baku = 4
Kolom ke-0 (kolom N) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai
sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan
mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke-1 dan ke-3 menjadi karakter text, misal
N13=TEXT(O13,”0.0”)&P13&TEXT(Q13,”0.0”). Copy-kan cell ini ke cell N14 s.d. N19.
Kolom ke-1 merupakan batas bawah rentang klas jumlah keluarga miskin dan kolom ke-3 adalah
batas atas jumlah keluarga miskin. Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas
sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama diisikan langsung, O13=0.5, sedangkan nilai
batas bawah klas-klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi
O14=Q13 dan copy-kan cell ini ke cell O15 s.d. O19.
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 4

Istiarto
Nilai pada kolom ke-3 diperoleh dengan menambahkan 3 pada nilai pada kolom ke-2, misal
Q13=O13+3. Copykan cell ini ke cell Q14 s.d. Q19.
Kolom ke-4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang
klas, misal R13=(O13+Q13)/2. Copy-kan cell ini ke cell R14 s.d. R19.
Frekuensi (f) pada kolom ke-5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan
langkah sebagai berikut:
−
−
−
−
−
−
−
pilih cell S13:S19,
tulis =FREQUENCY(,
pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:H5,
tulis tanda baca koma,
pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, Q13:Q18,
tulis tanda baca kurung tutup,
tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama-sama.
Jumlahkan frekuensi seluruh klas jumlah keluarga miskin, S20=SUM(S13:S19).
Frekuensi relatif pada kolom ke-6 diperoleh dengan mudah dengan membagi nilai pada
frekuensi dengan nilai jumlah frekuensi seluruh klas, misal T13=S13/$S$20. Copy-kan cell ini ke
cell T14 s.d. T19. Jumlah frekuensi relatif seluruh klas haruslah sama dengan satu,
T20=SUM(T13:T19).
Frekuensi relatif teoretik menurut distribusi normal dihitung dengan dua cara. Cara pertama
adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut:
f X x = ∆x ∙ p X x
Dalam persamaan di atas, f X (x) adalah frekuensi relatif, Δx adalah rentang (lebar) klas, dan p X (x)
adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 3 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung
dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi
relatif klas pertama, dengan demikian adalah U13=$S$22*NORMDIST(R13,$S$23,$S$24,FALSE).
Copy-kan cell ini ke cell U14 s.d. U19.
Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan mengingat hubungan antara pdf
dan cdf sebagai berikut:
f X x = ∆x ∙ p X x
= ∆x dP X x
dx
≈ ∆x
P X x batas at as − P X x batas bawa h
∆x
≈ P X x batas atas − P X x batas bawa h
Dalam persamaan di atas, P X (x batas atas ) = prob(X < x batas atas ) dan P X (x batas bawah ) = prob(X <
x batas bawah ). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam
MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah
V13=NORMDIST(Q13,$S$23,$S$24,TRUE) NORMDIST(O13,$S$23,$S$24,TRUE). Copy-kan cell
ini ke cell V14 s.d. V19.
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 5

Istiarto
Frekuensi Relatif
Histogram
Histogram dibuat dengan bantuan fasilitas chart yang telah disediakan dalam MSExcel. Ada
beberapa cara untuk membuat histogram dengan MSExcel. Di bawah ini dicuplilkkan salah satu
di antaranya.
− pilih tiga kolom, kolom ke-6, 7, dan 8,
− pilih Insert | Chart | Column,
− edit ketiga seri bar chart dengan memilih kolom ke-0 sebagai absis,
− ubah seri ke-3 dari column chart menjadi line chart tanpa simbol dan haluskan kurva
dengan memilih jenis smoothed line,
− ubah seri ke-2 dari column chart menjadi line chart dengan simbol,
− edit chart dengan menambahkan judul pada kedua sumbu, legenda, dan hal-hal lain
agar chart mudah dibaca.
0.35
0.30
0.25
Data
Distribusi Normal (teoretik)
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.5−3.5 3.5−6.5 6.5−9.5 9.5−12.5 12.5−15.5 15.5−18.5 18.5−21.5
Jumlah Keluarga Miskin
Nilai probabiliti
Nilai berbagai probabiliti dapat dengan mudah dihitung dengan bantuan fungsi
=NORMDIST(…,…,…,TRUE) yang telah disediakan dalam MSExcel.
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8:
prob(X < 8) = P X (8) =NORMDIST(8, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 6

Istiarto
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13:
prob(9 < X < 13) = prob(X < 13) − prob(X < 9) = P X (13) − P X (9)
= NORMDIST(13, $S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(9, $S$23,$S$24,TRUE)
= 0.3829
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14:
prob(X > 14) = 1 – prob(X < 14) = 1 – P X (14)
= 1 – NORMDIST(14, $S$23,$S$24,TRUE)
= 0.2266
Rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah
Kecamatan Giripura
Rentang keyakinan (confidence interval) jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di
wilayah Kecamatan Giripura didefinisikan sebagai rentang jumlah keluarga miskin dengan batas
bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan
probabilitas (1 – ), nilai temperatur air rata-rata, X , berada di dalam rentang tersebut:
prob(L < X < U) = 1
Mengingat asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura
berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai V =
X − μ X s X berdistribusi t. Dengan demikian, rentang keyakinan jumlah keluarga miskin ratarata
dapat dicari dari:
prob v 1 < X − μ X
s X
< v 2 = 1 − α
Jika nilai v 1 dan v 2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v 1 ) = prob(t > v 2 ), dan dengan
demikian prob(t < v 1 ) = prob(t > v 2 ) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan batas
atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata dapat diperoleh dari:
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 7

Istiarto
prob t ∝ 2,n−1 < X − μ X
s X
< t 1−∝ 2,n−1 = 1 − α
prob X + t ∝ 2,n−1 ∙ s X < X − μ X
s X
< X + t 1−∝ 2,n−1 ∙ s X = 1 − α
Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = f), t /2 dan t /2 masing-masing adalah
nilai t sedemikian hingga prob(T < t /2 ) = /2 dan prob(T < t /2 ) = − untuk n−
degrees of freedom, serta s X = s X n. Nilai batas bawah dan batas atas jumlah keluarga miskin
rata-rata dengan demikian adalah:
l = X + t ∝ 2,n−1 ∙ s X dan u = X + t 1−∝ 2,n−1 ∙ s X
Karena nilai degrees of freedom = 39 dan tingkat keyakinan − = 0.90 ( = 0.05 dan
− = 0.95), maka dengan memakai fungsi =TINV(…,…), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:
prob(T < t 0.95,39 ) = 0.95 t 0.95,39 =TINV(2*(1−0.95),39) = 1.6849
prob(T < t 0.05,39 ) = 0.05 t 0.05,39 = −t 0.95,39 = −1.6849
Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin ratarata
di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah:
l = 11 − 1.6849 4 40 = 10 dan u = 11 + 1.6849 4 40 = 12
sehingga rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah
Kecamatan Giripura adalah 10 < X < 12.
Catatan: dalam memakai fungsi =TINV(…,…) untuk mencari nilai t perlu diperhatikan bahwa
fungsi =TINV(p,) memberikan nilai t sedemikian hingga p = prob(T > t) untuk degrees of
freedom dengan asumsi two-tailed distribution. Apabila hendak mencari nilai t dengan asumsi
one-tailed distribution, dipakai =TINV(2p,). Dalam soal ini, nilai yang dicari adalah nilai t
sedemikian hingga q = prob(T < t) = 1 – prob(T > t) = 1 – p untuk degrees of freedom dan onetailed
distribution. Oleh karena itu, nilai t dihitung dengan cara =TINV(2*(1−q),). Catatan ini
akan lebih mudah difahami dengan mencermati sketsa di bawah ini.
=TINV(p,)
two-tailed distribution
=TINV(p,)
=TINV(2p,)
one-tailed distribution
=TINV(2p,)
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 8

Istiarto
Uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan
Giripura
Data jumlah keluarga miskin diperoleh dari sampel. Dengan demikian, nilai simpangan baku
adalah nilai sampel (s X ), sehingga nilai simpangan baku populasi ( X ) tidak diketahui. Oleh
karena itu, dalam uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata ini, bentuk hipotesis dan statistik
ujinya adalah sebagai berikut:
Hipotesis:
Statistik uji:
H 0 : X = 10
H 1 : X ≠ 10
T =
n
s X
X − 10 berdistribusi t
T = 40
4
11 − 10 = 1.5811
Dengan tingkat keyakinan 1 − = 0.95, maka batas kritis nilai t adalah:
t 1−α 2,n−1 = t 0.975,39 = TDIST 2 ∗ 1 − 0.975 , 39 = 2.0227
Karena T < t 1−α 2,n−1 maka H 0 tidak ditolak. Jadi, hipotesis bahwa jumlah keluarga miskin ratarata
di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 dapat diterima.
-o0o-
Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008 9