Penyelesaian Soal UTS Statistika MPSP 2008 - istiarto
Penyelesaian Soal UTS Statistika MPSP 2008 - istiarto
Penyelesaian Soal UTS Statistika MPSP 2008 - istiarto
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>2008</strong><br />
<strong>Statistika</strong><br />
Ujian Tengah Semester<br />
<strong>Soal</strong>-jawab <strong>UTS</strong> <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong>. Langkah kerja dalam menjawab soal<br />
dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan<br />
program aplikasi spreadsheet.<br />
Istiarto<br />
Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM<br />
23-Jun-08
Istiarto<br />
<strong>Soal</strong> Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong><br />
Senin, 23 Juni <strong>2008</strong>, Open Book, 100 menit<br />
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.<br />
Catatan<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>Soal</strong> ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain.<br />
Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung.<br />
Setiap butir soal berbobot nilai sama.<br />
Jika dikerjakan dengan spreadsheet, file dikumpulkan (copykan kedalam flash-disk yang<br />
telah disediakan). Pada lembar kertas jawaban, tuliskan resume hasil dan/atau keterangan<br />
penunjuk (nama file, nama sheet, letak grafik, dsb).<br />
<strong>Soal</strong><br />
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah<br />
keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan<br />
Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:<br />
11 6 9 14 5 11 2 18<br />
7 15 12 11 10 6 4 11<br />
14 13 16 20 8 16 13 12<br />
9 12 14 11 15 11 6 9<br />
13 9 8 10 11 16 7 15<br />
1. Hitung jumlah keluarga miskin rata-rata di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.<br />
2. Hitung simpangan baku jumlah keluarga miskin di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.<br />
3. Buat tabel frekuensi dengan rentang klas 3 (klas pertama 0.5 3.5).<br />
4. Buat histogram data tersebut (batang dan garis) berdasarkan tabel frekuensi yang telah<br />
Saudara buat. Sumbu horizontal (absis) adalah rentang klas dan sumbu vertikal (ordinat)<br />
adalah frekuensi relatif.<br />
5. Lengkapi tabel Saudara dengan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal (frekuensi<br />
relatif teoretik).<br />
6. Plotkan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal tersebut pada histogram yang telah<br />
Saudara buat.<br />
7. Dengan asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di setiap RT di wilayah Kecamatan Giripura<br />
berdistribusi normal, perkirakanlah:<br />
a) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8,<br />
b) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13,<br />
c) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14,<br />
d) rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah<br />
Kecamatan Giripura.<br />
8. Dengan tetap mempertahankan asumsi distribusi normal, lakukan uji hipotesis yang<br />
menyatakan bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan<br />
Giripura adalah 10 keluarga. Gunakan tingkat keyakinan 95%.<br />
-o0o-<br />
<strong>Soal</strong> Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 2
Istiarto<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong><br />
Dr. Ir. Istiarto, M.Eng.<br />
<strong>Soal</strong><br />
Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah<br />
keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan<br />
Giripura. Dari ke-40 RT, diperoleh data sebagai berikut:<br />
11 6 9 14 5 11 2 18<br />
7 15 12 11 10 6 4 11<br />
14 13 16 20 8 16 13 12<br />
9 12 14 11 15 11 6 9<br />
13 9 8 10 11 16 7 15<br />
Hitunglah berbagai parameter statistik data tersebut.<br />
<strong>Penyelesaian</strong><br />
Berbagai parameter statistik yang ditanyakan pada soal di atas dapat dihitung dengan bantuan<br />
program aplikasi spreadsheet MSExcel.<br />
Nilai rata-rata dan simpangan baku<br />
Jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin dengan mudah<br />
dapat dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, yaitu<br />
=AVERAGE(…) dan =STDEV(…). Apabila data jumlah keluarga miskin di 40 RT tersebut dituliskan<br />
pada cell A1:H5, maka:<br />
A B C D E F G H<br />
1 11 6 9 14 5 11 2 18<br />
2 7 15 12 11 10 6 4 11<br />
3 14 13 16 20 8 16 13 12<br />
4 9 12 14 11 15 11 6 9<br />
5 13 9 8 10 11 16 7 15<br />
− jumlah keluarga miskin minimum dalam satu RT =MIN($A$1:$H$5) = 2<br />
− jumlah keluarga miskin maximum dalam satu RT =MAX($A$1:$H$5) = 20<br />
− jumlah keluarga miskin rata-rata =AVERAGE($A$1:$H$5) = 11<br />
− simpangan baku jumlah keluarga miskin =STDEV($A$1:$H$5) = 4<br />
Perlu dicatat bahwa jumlah keluarga miskin rata-rata dan simpangan baku jumlah keluarga<br />
miskin adalah bilangan bulat positif, sedangkan fungsi =AVERAGE(…) dan =STDEV(…) dapat<br />
menghasilkan nilai pecahan. Hal ini dapat disiasati dengan memformat cell yang berisi hasil<br />
hitungan kedua fungsi tersebut sedemikian hingga berupa bilangan tanpa desimal. Cara lain<br />
yang lebih tepat adalah dengan memakai fungsi =ROUND(…,0) yang akan membulatkan angka<br />
(tanpa angka desimal):<br />
− jumlah keluarga miskin rata-rata =ROUND(AVERAGE($A$1:$H$5),0) = 11<br />
− simpangan baku jumlah keluarga miskin =ROUND(STDEV($A$1:$H$5),0) = 4<br />
Hitungan nilai rata-rata dan simpangan baku dapat pula dilakukan dalam bentuk tabulasi seperti<br />
ditampilkan berikut ini.<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 3
Istiarto<br />
Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f) f × X f × X 2<br />
0.5 − 3.5 2 1 2 4<br />
3.5 − 6.5 5 5 25 125<br />
6.5 − 9.5 8 8 64 512<br />
9.5 − 12.5 11 12 132 1452<br />
12.5 − 15.5 14 9 126 1764<br />
15.5 − 18.5 17 4 68 1156<br />
18.5 − 21.5 20 1 20 400<br />
Jumlah (Σ) 40 437 5413<br />
Jumlah keluarga miskin rata-rata, X, dan simpangan baku jumlah keluarga miskin, s X , dihitung<br />
dengan cara sebagai berikut:<br />
X =<br />
s X =<br />
fX<br />
X = 437<br />
40 = 11<br />
fX 2 − f X 2<br />
=<br />
f − 1<br />
5413 − 40 × 11 2<br />
= 4<br />
40 − 1<br />
Tabel frekuensi<br />
Tabel frekuensi dibuat dengan bantuan MSExcel. Di bawah ini dicuplikkan beberapa langkah<br />
pembuatan tabel frekuensi.<br />
N O P Q R S T U V<br />
Frek Rel Frek Rel Teoretik Dist<br />
Jumlah keluarga miskin (X) Frek (f)<br />
11<br />
(f/f)<br />
Normal<br />
12 (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)<br />
13 0.5−3.5 0.5 − 3.5 2 1 0.025 0.023805 0.026064<br />
14 3.5−6.5 3.5 − 6.5 5 5 0.125 0.097138 0.099898<br />
15 6.5−9.5 6.5 − 9.5 8 8 0.2 0.225853 0.223536<br />
16 9.5−12.5 9.5 − 12.5 11 12 0.3 0.299207 0.29234<br />
17 12.5−15.5 12.5 − 15.5 14 9 0.225 0.225853 0.223536<br />
18 15.5−18.5 15.5 − 18.5 17 4 0.1 0.097138 0.099898<br />
19 18.5−21.5 18.5 − 21.5 20 1 0.025 0.023805 0.026064<br />
20 Σ = 40 1<br />
21<br />
22 Lebar klas = 3<br />
23 Jumlah keluarga miskin rata-rata = 11<br />
24 Simpangan baku = 4<br />
Kolom ke-0 (kolom N) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai<br />
sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan<br />
mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke-1 dan ke-3 menjadi karakter text, misal<br />
N13=TEXT(O13,”0.0”)&P13&TEXT(Q13,”0.0”). Copy-kan cell ini ke cell N14 s.d. N19.<br />
Kolom ke-1 merupakan batas bawah rentang klas jumlah keluarga miskin dan kolom ke-3 adalah<br />
batas atas jumlah keluarga miskin. Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas<br />
sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama diisikan langsung, O13=0.5, sedangkan nilai<br />
batas bawah klas-klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi<br />
O14=Q13 dan copy-kan cell ini ke cell O15 s.d. O19.<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 4
Istiarto<br />
Nilai pada kolom ke-3 diperoleh dengan menambahkan 3 pada nilai pada kolom ke-2, misal<br />
Q13=O13+3. Copykan cell ini ke cell Q14 s.d. Q19.<br />
Kolom ke-4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang<br />
klas, misal R13=(O13+Q13)/2. Copy-kan cell ini ke cell R14 s.d. R19.<br />
Frekuensi (f) pada kolom ke-5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan<br />
langkah sebagai berikut:<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
pilih cell S13:S19,<br />
tulis =FREQUENCY(,<br />
pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:H5,<br />
tulis tanda baca koma,<br />
pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, Q13:Q18,<br />
tulis tanda baca kurung tutup,<br />
tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama-sama.<br />
Jumlahkan frekuensi seluruh klas jumlah keluarga miskin, S20=SUM(S13:S19).<br />
Frekuensi relatif pada kolom ke-6 diperoleh dengan mudah dengan membagi nilai pada<br />
frekuensi dengan nilai jumlah frekuensi seluruh klas, misal T13=S13/$S$20. Copy-kan cell ini ke<br />
cell T14 s.d. T19. Jumlah frekuensi relatif seluruh klas haruslah sama dengan satu,<br />
T20=SUM(T13:T19).<br />
Frekuensi relatif teoretik menurut distribusi normal dihitung dengan dua cara. Cara pertama<br />
adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut:<br />
f X x = ∆x ∙ p X x<br />
Dalam persamaan di atas, f X (x) adalah frekuensi relatif, Δx adalah rentang (lebar) klas, dan p X (x)<br />
adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 3 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung<br />
dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi<br />
relatif klas pertama, dengan demikian adalah U13=$S$22*NORMDIST(R13,$S$23,$S$24,FALSE).<br />
Copy-kan cell ini ke cell U14 s.d. U19.<br />
Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan mengingat hubungan antara pdf<br />
dan cdf sebagai berikut:<br />
f X x = ∆x ∙ p X x<br />
= ∆x dP X x<br />
dx<br />
≈ ∆x<br />
P X x batas at as − P X x batas bawa h<br />
∆x<br />
≈ P X x batas atas − P X x batas bawa h<br />
Dalam persamaan di atas, P X (x batas atas ) = prob(X < x batas atas ) dan P X (x batas bawah ) = prob(X <<br />
x batas bawah ). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam<br />
MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah<br />
V13=NORMDIST(Q13,$S$23,$S$24,TRUE) NORMDIST(O13,$S$23,$S$24,TRUE). Copy-kan cell<br />
ini ke cell V14 s.d. V19.<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 5
Istiarto<br />
Frekuensi Relatif<br />
Histogram<br />
Histogram dibuat dengan bantuan fasilitas chart yang telah disediakan dalam MSExcel. Ada<br />
beberapa cara untuk membuat histogram dengan MSExcel. Di bawah ini dicuplilkkan salah satu<br />
di antaranya.<br />
− pilih tiga kolom, kolom ke-6, 7, dan 8,<br />
− pilih Insert | Chart | Column,<br />
− edit ketiga seri bar chart dengan memilih kolom ke-0 sebagai absis,<br />
− ubah seri ke-3 dari column chart menjadi line chart tanpa simbol dan haluskan kurva<br />
dengan memilih jenis smoothed line,<br />
− ubah seri ke-2 dari column chart menjadi line chart dengan simbol,<br />
− edit chart dengan menambahkan judul pada kedua sumbu, legenda, dan hal-hal lain<br />
agar chart mudah dibaca.<br />
0.35<br />
0.30<br />
0.25<br />
Data<br />
Distribusi Normal (teoretik)<br />
0.20<br />
0.15<br />
0.10<br />
0.05<br />
0.00<br />
0.5−3.5 3.5−6.5 6.5−9.5 9.5−12.5 12.5−15.5 15.5−18.5 18.5−21.5<br />
Jumlah Keluarga Miskin<br />
Nilai probabiliti<br />
Nilai berbagai probabiliti dapat dengan mudah dihitung dengan bantuan fungsi<br />
=NORMDIST(…,…,…,TRUE) yang telah disediakan dalam MSExcel.<br />
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8:<br />
prob(X < 8) = P X (8) =NORMDIST(8, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 6
Istiarto<br />
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13:<br />
prob(9 < X < 13) = prob(X < 13) − prob(X < 9) = P X (13) − P X (9)<br />
= NORMDIST(13, $S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(9, $S$23,$S$24,TRUE)<br />
= 0.3829<br />
Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14:<br />
prob(X > 14) = 1 – prob(X < 14) = 1 – P X (14)<br />
= 1 – NORMDIST(14, $S$23,$S$24,TRUE)<br />
= 0.2266<br />
Rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah<br />
Kecamatan Giripura<br />
Rentang keyakinan (confidence interval) jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di<br />
wilayah Kecamatan Giripura didefinisikan sebagai rentang jumlah keluarga miskin dengan batas<br />
bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan<br />
probabilitas (1 – ), nilai temperatur air rata-rata, X , berada di dalam rentang tersebut:<br />
prob(L < X < U) = 1 <br />
Mengingat asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura<br />
berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai V =<br />
X − μ X s X berdistribusi t. Dengan demikian, rentang keyakinan jumlah keluarga miskin ratarata<br />
dapat dicari dari:<br />
prob v 1 < X − μ X<br />
s X<br />
< v 2 = 1 − α<br />
Jika nilai v 1 dan v 2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v 1 ) = prob(t > v 2 ), dan dengan<br />
demikian prob(t < v 1 ) = prob(t > v 2 ) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan batas<br />
atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata-rata dapat diperoleh dari:<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 7
Istiarto<br />
prob t ∝ 2,n−1 < X − μ X<br />
s X<br />
< t 1−∝ 2,n−1 = 1 − α<br />
prob X + t ∝ 2,n−1 ∙ s X < X − μ X<br />
s X<br />
< X + t 1−∝ 2,n−1 ∙ s X = 1 − α<br />
Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = f), t /2 dan t /2 masing-masing adalah<br />
nilai t sedemikian hingga prob(T < t /2 ) = /2 dan prob(T < t /2 ) = − untuk n−<br />
degrees of freedom, serta s X = s X n. Nilai batas bawah dan batas atas jumlah keluarga miskin<br />
rata-rata dengan demikian adalah:<br />
l = X + t ∝ 2,n−1 ∙ s X dan u = X + t 1−∝ 2,n−1 ∙ s X<br />
Karena nilai degrees of freedom = 39 dan tingkat keyakinan − = 0.90 ( = 0.05 dan<br />
− = 0.95), maka dengan memakai fungsi =TINV(…,…), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:<br />
prob(T < t 0.95,39 ) = 0.95 t 0.95,39 =TINV(2*(1−0.95),39) = 1.6849<br />
prob(T < t 0.05,39 ) = 0.05 t 0.05,39 = −t 0.95,39 = −1.6849<br />
Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin ratarata<br />
di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah:<br />
l = 11 − 1.6849 4 40 = 10 dan u = 11 + 1.6849 4 40 = 12<br />
sehingga rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah<br />
Kecamatan Giripura adalah 10 < X < 12.<br />
Catatan: dalam memakai fungsi =TINV(…,…) untuk mencari nilai t perlu diperhatikan bahwa<br />
fungsi =TINV(p,) memberikan nilai t sedemikian hingga p = prob(T > t) untuk degrees of<br />
freedom dengan asumsi two-tailed distribution. Apabila hendak mencari nilai t dengan asumsi<br />
one-tailed distribution, dipakai =TINV(2p,). Dalam soal ini, nilai yang dicari adalah nilai t<br />
sedemikian hingga q = prob(T < t) = 1 – prob(T > t) = 1 – p untuk degrees of freedom dan onetailed<br />
distribution. Oleh karena itu, nilai t dihitung dengan cara =TINV(2*(1−q),). Catatan ini<br />
akan lebih mudah difahami dengan mencermati sketsa di bawah ini.<br />
=TINV(p,)<br />
two-tailed distribution<br />
=TINV(p,)<br />
=TINV(2p,)<br />
one-tailed distribution<br />
=TINV(2p,)<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 8
Istiarto<br />
Uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan<br />
Giripura<br />
Data jumlah keluarga miskin diperoleh dari sampel. Dengan demikian, nilai simpangan baku<br />
adalah nilai sampel (s X ), sehingga nilai simpangan baku populasi ( X ) tidak diketahui. Oleh<br />
karena itu, dalam uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata-rata ini, bentuk hipotesis dan statistik<br />
ujinya adalah sebagai berikut:<br />
Hipotesis:<br />
Statistik uji:<br />
H 0 : X = 10<br />
H 1 : X ≠ 10<br />
T =<br />
n<br />
s X<br />
X − 10 berdistribusi t<br />
T = 40<br />
4<br />
11 − 10 = 1.5811<br />
Dengan tingkat keyakinan 1 − = 0.95, maka batas kritis nilai t adalah:<br />
t 1−α 2,n−1 = t 0.975,39 = TDIST 2 ∗ 1 − 0.975 , 39 = 2.0227<br />
Karena T < t 1−α 2,n−1 maka H 0 tidak ditolak. Jadi, hipotesis bahwa jumlah keluarga miskin ratarata<br />
di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 dapat diterima.<br />
-o0o-<br />
Jawaban Ujian Tengah Semester <strong>Statistika</strong> <strong>MPSP</strong> <strong>2008</strong> 9