Bilangan Kompleks dan Fasor - Ee-cafe.org
Bilangan Kompleks dan Fasor - Ee-cafe.org
Bilangan Kompleks dan Fasor - Ee-cafe.org
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
<strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong><br />
oleh: Sudaryatno Sudirham<br />
1. <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
1.1. Definisi<br />
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan<br />
kompleks sebagai berikut [1]<br />
<strong>Bilangan</strong> kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari<br />
bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan<br />
z = ( x,<br />
y)<br />
Kita namakan x bagian nyata (real part) dari z <strong>dan</strong> y bagian<br />
khayal (imaginary part) dari z <strong>dan</strong> kita lambangkan<br />
Re z = x Im z = y<br />
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari<br />
pengertian tentang bilangan nyata.<br />
<strong>Bilangan</strong> yata. Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3<br />
<strong>dan</strong> seterusnya; bilangan nyata rasional ¼, ½, ¾ <strong>dan</strong> seterusnya,<br />
serta bilangan nyata irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai<br />
rasio bilangan bulat, seperti π yang nilainya adalah 3,14…….,<br />
dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.<br />
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu<br />
sumbu yang disebut sumbu nyata, seperti diperlihatkan oleh Gb.1.1.<br />
1
| | | | | | | |<br />
-2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
m<br />
Gb.1.1. Posisi bilangan nyata di sumbu nyata.<br />
Tinjaulah suatu fungsi y = x dengan x adalah bilangan bulat. Jika<br />
kita plot nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti<br />
Gb.1.2.<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Gb.1.2. Plot<br />
y =<br />
x<br />
Pada Gb.1.2. ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana<br />
bilangan-bilangan nyata di posisikan. Sumbu tegak juga merupakan<br />
sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai<br />
y diposisikan. Bi<strong>dan</strong>g yang dibatasi oleh kedua sumbu–nyata ini<br />
disebut bi<strong>dan</strong>g-nyata. Kita lihat di bi<strong>dan</strong>g-nyata ini bahwa kita<br />
hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x = 0, karena<br />
untuk x < 0 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan<br />
nyata.<br />
Walaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif,<br />
namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu<br />
bilangan imajiner (khayal).<br />
Jika didefinisikan bahwa<br />
2 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
−1 = j<br />
(1.1).<br />
maka<br />
− 4 =<br />
− 9 =<br />
−81<br />
= j9<br />
−100<br />
= j10<br />
−1×<br />
4 =<br />
−1×<br />
9 = j3<br />
dst.<br />
−1×<br />
4 = j2<br />
Sekarang kita dapat meman<strong>dan</strong>g j sebagai sebuah operator; artinya<br />
jika j beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan<br />
bilangan imajiner j5 <strong>dan</strong> jika beroperasi pada bilangan nyata b kita<br />
mendapatkan bilangan imajiner jb.<br />
Sumbu tegak pada Gb.1.2. dapat diubah menjadi sumbu imajiner<br />
untuk memosisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang<br />
membatasi bi<strong>dan</strong>g sekarang adalah sumbu nyata (diberi tanda Re)<br />
<strong>dan</strong> sumbu imajiner (diberi tanda Im); bi<strong>dan</strong>g yang dibatasi oleh<br />
kedua sumbu ini disebut bi<strong>dan</strong>g kompleks.<br />
Jika setiap titik di bi<strong>dan</strong>g kompleks menunjukkan posisi bilangankompleks<br />
(x,,y) dengan x adalah komponen nyata <strong>dan</strong> y adalah<br />
komponen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian<br />
bilangan kompleks yang diberikan di awal sub-bab ini.<br />
1.2. Pernyataan <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
Jika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu<br />
bilangan-kompleks juga mempunyai satu nilai namun satu nilai ini<br />
terdiri dari dua komponen yaitu komponen nyata <strong>dan</strong> komponen<br />
imajiner. Jadi satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari<br />
komponen nyata <strong>dan</strong> komponen imajiner <strong>dan</strong> dituliskan<br />
z = a + jb<br />
(1.2)<br />
dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, <strong>dan</strong> jb adalah<br />
bilangan imajiner.<br />
Perhatikan Gb.1.3. yang merupakan plot dari satu bilangan<br />
kompleks z.<br />
3
Im<br />
jb<br />
Gb.1.3. Representasi grafis bilangan kompleks.<br />
Bentuk penulisan bilangan kompleks seperti (1.1) disebut bentuk<br />
sudut siku. Sebutan ini mudah difahami jika kita melihat Gb.1.3 di<br />
mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a<br />
<strong>dan</strong> jb.<br />
<strong>Bilangan</strong> kompleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu<br />
dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik<br />
asal dengan z, yang dalam Gb.1.3. diberi nama ρ, <strong>dan</strong> sudut yang<br />
dibentuk oleh garis ini dengan sumbu nyata yang pada Gb.1.3.<br />
diberi tanda θ. Dari Gb.1.3. jelas terlihat bahwa<br />
a = ρ cos θ <strong>dan</strong> b = ρ sin θ<br />
(1.3)<br />
sehingga bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai<br />
z = ρ(cos<br />
θ + j sin θ)<br />
(1.4)<br />
Sudut θ disebut argumen (ditulis argz) <strong>dan</strong> penggal garis yang<br />
menghubungkan titik z ke titik awal disebut modulus. Dari Gb.1.3.<br />
jelas bahwa<br />
se<strong>dan</strong>gakan modulus z adalah ρ<br />
−1<br />
⎛ b ⎞<br />
arg z = θ = tan ⎜ ⎟<br />
(1.5)<br />
⎝ a ⎠<br />
2 2<br />
= ρ = a b<br />
(1.6)<br />
modulus z +<br />
Dengan demikian maka (1.2) dapat ditulis sebagai<br />
2<br />
ρ<br />
θ<br />
a<br />
2<br />
• z = a +<br />
Re<br />
z = a + b (cos θ + j sin θ)<br />
(1.7)<br />
jb<br />
4 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
COTOH:<br />
1). Suatu bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku<br />
z 1 = 3 + j4<br />
Sudut dengan sumbu nyata adalah<br />
−1<br />
o<br />
θ1 = tan (4 / 3) ≈ 53, 1<br />
Pernyataan z 1 dapat kita tuliskan<br />
z<br />
1<br />
=<br />
2 2 o<br />
o<br />
3 + 4 ( cos 53,1 + j sin 53,1 )<br />
o<br />
( + j sin 53,1<br />
o )<br />
= 5 cos 53,1<br />
2). Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai<br />
o<br />
o<br />
( cos 20 sin )<br />
z 2 = 10 + j 20<br />
Pernyataan ini dapat kita tuliskan<br />
z<br />
2<br />
o<br />
o<br />
( + j sin 20 )<br />
= 10 cos 20<br />
≈ 10(0,94 + j0,34)<br />
= 9,4 + j3,4)<br />
2 2<br />
Kesamaan <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong>. ρ = a + b merupakan nilai<br />
mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua atau lebih<br />
bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi<br />
dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai θ<br />
sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. Dua bilangan kompleks<br />
sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun θ yang sama<br />
besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata <strong>dan</strong> bagian<br />
imajiner yang sama besar..<br />
egatif dari <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong>. Nilai negatif dari suatu bilangan<br />
kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya. Jadi jika<br />
z = a + jb maka − z = −a<br />
− jb . Perhatikan representasi grafis pada<br />
Gb.1.4.<br />
5
Im<br />
jb<br />
o<br />
θ +180<br />
ρ<br />
ρ<br />
θ<br />
• z = a +<br />
a<br />
Re<br />
jb<br />
COTOH:<br />
−z<br />
= −a<br />
•<br />
− jb<br />
Gb.1.4. Negatif dari suatu bilangan kompleks.<br />
1). Jika z 1 = 4 + j6<br />
maka z2 = −z1<br />
= −4<br />
− j6<br />
2). Sudut dengan sumbu nyata<br />
3). z 1 dapat dinyatakan sebagai<br />
− z<br />
1<br />
z<br />
1<br />
θ<br />
θ<br />
−1<br />
o<br />
1 = tan (6 / 4) = 56, 3<br />
o o o<br />
2 = 56 ,3 + 180 = 236, 3<br />
2 2 o<br />
o<br />
4 + 6 ( cos 56,3 + j sin 56,3 )<br />
o<br />
o<br />
7,2( cos 56,3 + j sin 56,3 )<br />
o o<br />
o o<br />
( + 180 ) + j sin(56,3 + 180 ))<br />
=<br />
=<br />
= 7,2 cos(56,3<br />
= 7,2<br />
( − 0,55 − j0,83) = −3,96<br />
− j6<br />
Konjugat <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong>. Konjugat dari suatu bilangan<br />
kompleks z adalah bilangan kompleks z * yang memiliki komponen<br />
nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif<br />
dari komponen imajiner z.<br />
Perhatikan Gb.1.5.<br />
Jika z = a + jb maka z = a − jb (1.8)<br />
∗<br />
6 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
Im<br />
jb<br />
− jb<br />
ρ<br />
θ<br />
−θ a<br />
• z = a +<br />
∗<br />
Re<br />
jb<br />
• z = a − jb<br />
Gb.1.5. <strong>Kompleks</strong> konjugat.<br />
COTOH:<br />
∗<br />
1). Jika z = 5+<br />
j6<br />
maka z = 5 − j6<br />
2). Sudut dengan sumbu nyata<br />
−1<br />
o<br />
θ = tan (6 / 5) = 50,2<br />
o<br />
θ ∗ = −50,2<br />
3). z dapat dinyatakan sebagai<br />
z =<br />
z<br />
∗<br />
5<br />
2<br />
2 o<br />
o<br />
+ 6 ( cos 50,2 + j sin 50,2 )<br />
o<br />
o<br />
( + j sin 50,2 )<br />
= 7,8 cos 50,2<br />
o<br />
o<br />
( − sin 50,2 )<br />
= 7,8 cos 50,2 j<br />
∗<br />
4). Jika z = −5 − j6<br />
maka z = −5 + j6<br />
7
z<br />
∗<br />
= −5 + j6<br />
•<br />
Im<br />
Re<br />
z = −5 − j6<br />
•<br />
∗<br />
5). Jika z = 5 − j6<br />
maka z = 5 + j6<br />
Im<br />
∗<br />
• z = 5 + j6<br />
Re<br />
• z = 5 − j6<br />
8 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
2. Operasi-Operasi Aljabar<br />
Seperti halnya bilangan nyata, operasi aljabar juga dapat dilakukan<br />
pada bilangan kompleks<br />
2.1. Penjumlahan <strong>dan</strong> Pengurangan <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
Karena bilangan kompleks terdiri dari dua komponen maka operasi<br />
penjumlahan harus dilakukan pada kedua komponen. Hasil<br />
penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks<br />
yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata <strong>dan</strong><br />
komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.<br />
Demikian pula selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan<br />
kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen<br />
nyata <strong>dan</strong> komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen<br />
imajiner.<br />
COTOH:<br />
z<br />
z<br />
1<br />
1<br />
+ z<br />
− z<br />
2<br />
2<br />
= ( a<br />
1<br />
= ( a<br />
= ( a<br />
1<br />
= ( a<br />
+ jb ) + ( a<br />
+ jb ) − ( a<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ a ) + j(<br />
b<br />
2<br />
− a ) + j(<br />
b<br />
Jika s 1 = 2 + j3<br />
<strong>dan</strong> s2<br />
= 3 + j4<br />
maka<br />
s + s<br />
1<br />
2<br />
= 5 + j7<br />
+ jb<br />
1<br />
1<br />
+ jb<br />
− b<br />
2<br />
+ b<br />
= (2 + j3)<br />
+ (3+<br />
j4)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
)<br />
)<br />
)<br />
(2.1)<br />
s − s<br />
1<br />
2<br />
= (2 + j3)<br />
− (3+<br />
j4)<br />
= −1−<br />
j1<br />
9
2.2. Perkalian <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita<br />
melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan<br />
perkalian komponen per komponen.<br />
( z<br />
1<br />
)( z<br />
2<br />
) = ( a<br />
1<br />
1<br />
1<br />
= a a<br />
= a a<br />
+ jb )( a<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
+ jb a<br />
2<br />
+ 2 jb a<br />
+ jb<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
)<br />
+ jb a<br />
− b b<br />
2<br />
2<br />
− b b<br />
1<br />
2<br />
(2.2)<br />
Jika<br />
∗<br />
z 2 = z 1 maka<br />
∗<br />
z 1 × z 1 adalah<br />
× z1 z1<br />
= ( a + jb)(<br />
a − jb)<br />
2<br />
2<br />
= a − jba + jba + b<br />
(2.3)<br />
2 2<br />
= a + b<br />
COTOH:<br />
Jika z 1 = 2 + j3<br />
<strong>dan</strong> z2<br />
= 3 + j4<br />
maka<br />
( z1)(<br />
z2<br />
) = (2 + j3)(3<br />
+ j4)<br />
= 6 + j9<br />
+ j9<br />
−12<br />
= −6<br />
+ j18<br />
COTOH:<br />
∗<br />
Jika z1 = 2 + j3<br />
<strong>dan</strong> z2<br />
= z1<br />
= 2 − j3<br />
maka<br />
∗<br />
( z1)(<br />
z1<br />
) = (2 + j3)(2<br />
− j3)<br />
= 4 − j6<br />
+ j6<br />
+ 9<br />
= −5<br />
+ 9 = 4<br />
Jadi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan<br />
menghasilkan bilangan nyata. Sifat ini akan kita manfaatkan dalam<br />
melakukan pembagian bilangan kompleks.<br />
10 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
2.3. Pembagian <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><br />
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu<br />
dikalikan dengan 1. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan<br />
kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan 1 <strong>dan</strong> bilangan 1 ini<br />
kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi<br />
dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan<br />
memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah<br />
bilangan nyata.<br />
COTOH:<br />
z1<br />
a1<br />
+ jb1<br />
a2<br />
− jb<br />
= × 2<br />
z2<br />
a2<br />
+ jb2<br />
a2<br />
− jb2<br />
( a1a<br />
2 + b1<br />
b2<br />
) + j(<br />
b1<br />
a2<br />
− b2a1<br />
)<br />
=<br />
2 2<br />
a2<br />
+ b2<br />
Jika z 1 = 2 + j3<br />
<strong>dan</strong> z2<br />
= 3 + j4<br />
maka<br />
(2.3)<br />
z1<br />
z2<br />
2 + j3<br />
3 − j4<br />
(6 + 12) + j(<br />
−8<br />
+ 9)<br />
= × =<br />
=<br />
3 + j4<br />
3 − j4<br />
2 2<br />
3 + 4<br />
18<br />
25<br />
+ j<br />
1<br />
25<br />
2.4. Pernyataan <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong> Bentuk Polar<br />
Pernyataan bilangan kompleks bentuk sudut siku adalah seperti yang<br />
kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu<br />
z = a + jb . Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui<br />
relasi geometri sederhana. Relasi (1.3), (1.5), <strong>dan</strong> (1.6), yaitu<br />
σ = ρcosθ<br />
ρ =<br />
2 2<br />
σ + ω<br />
<strong>dan</strong><br />
<strong>dan</strong><br />
ω = ρsin<br />
θ<br />
−1⎛<br />
ω ⎞<br />
θ = tan ⎜ ⎟<br />
⎝ σ ⎠<br />
Memungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk polar<br />
<strong>dan</strong> juga sebaliknya. Bentuk polar diturunkan dari fungsi<br />
eksponensial kompleks yang akan kita lihat lebih dulu.<br />
11
Fungsi Eksponensial <strong>Kompleks</strong>. Kita telah mengenal fungsi<br />
eksponensial nyata. Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi<br />
ekponensial<br />
x<br />
y = e<br />
merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata.<br />
Jika z adalah bilangan kompleks<br />
fungsi eksponensial kompleks<br />
e<br />
z<br />
= e<br />
( σ+ jθ)<br />
dengan e<br />
σ<br />
= e<br />
σ<br />
z = σ + jθ<br />
maka didefinisikan<br />
(cos θ + j sin θ)<br />
adalah fungsi eksponensial riil`<br />
;<br />
(2.4)<br />
θ<br />
Melalui identitas Euler, e j = cos θ + j sin θ<br />
kompleks (2.4) dapat kita tuliskan<br />
fungsi exponensial<br />
z σ jθ<br />
e e e<br />
(2.5)<br />
=<br />
Bentuk Polar. Relasi (2.5) memberikan memberikan jalan untuk<br />
representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar<br />
jθ<br />
z e<br />
(2.6)<br />
= ρ<br />
Modulus z (nilai absolut) adalah ρ, ditulis<br />
2 2<br />
z <strong>dan</strong><br />
| | = ρ = σ + θ<br />
argumen z kita dituliskan juga sebagai ∠z. Perhatikan representasi<br />
grafis Gb.2.1.<br />
Im<br />
ρ<br />
• z<br />
θ<br />
Re<br />
Gb.2.1.<br />
jθ<br />
z = ρe<br />
; arg z = ∠z<br />
= θ .<br />
12 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
COTOH:<br />
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5 .<br />
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 <strong>dan</strong> argumennya<br />
∠z = 0,5 rad.<br />
Bentuk sudut sikunya adalah:<br />
z = 10 (cos 0,5 + j sin 0,5)<br />
= 10 (0,88 + j0,48)<br />
= 8,8 + j4,8<br />
Im<br />
10<br />
• z = 5e<br />
j0,5<br />
0,5 rad<br />
Re<br />
COTOH:<br />
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4.<br />
2 2<br />
Modulus z adalah | z | = ρ = 3 + 4 = 5<br />
− 4<br />
Argumennya adalah ∠z = θ = tan 1 = 0,93 rad .<br />
3<br />
Representasi polar adalah: z = 5e j0,93<br />
Im<br />
5<br />
• z = 5e<br />
j0,93<br />
0,93 rad<br />
Re<br />
13
COTOH:<br />
Misalkan suatu bilangan kompleks z = −2 + j0<br />
.<br />
Modulus z adalah | z | = ρ = 4 + 0 = 2 .<br />
−<br />
Argumen θ = tan 1 ( 0 / − 2) = ± π tidak bernilai tunggal. Kita<br />
harus berhati-hati menentukan argumennya. Di sini kita harus<br />
memilih θ = π rad karena komponen imajiner 0 se<strong>dan</strong>gkan<br />
jπ<br />
komponen nyata −2. Representasi polar adalah z = 2 e .<br />
Im<br />
jπ<br />
z = 2e<br />
•<br />
−2<br />
Re<br />
COTOH:<br />
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 0 − j2<br />
.<br />
Modulus z adalah | z | = ρ = 0 + 4 = 2 .<br />
−<br />
tan 1<br />
Argumen θ = ( − 2 / 0) = −π<br />
/ 2<br />
se<strong>dan</strong>gkan komponen nyata −2.<br />
− jπ<br />
/ 2<br />
Representasi polar adalah z = 2e<br />
.<br />
Im<br />
; komponen imajiner 0<br />
Re<br />
− j2 •<br />
− jπ<br />
/ 2<br />
z = 2e<br />
14 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
2.5. Manfaat Bentuk Polar<br />
Perkalian <strong>dan</strong> Pembagian <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong>. Representasi polar<br />
dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian <strong>dan</strong><br />
pembagian.<br />
jθ1<br />
jθ2<br />
( z1)(<br />
z2<br />
) = ρ1e<br />
ρ2e<br />
j(<br />
θ1<br />
+θ2)<br />
= ρ1ρ2e<br />
jθ1<br />
z1<br />
ρ1e<br />
=<br />
z jθ2<br />
2 ρ2e<br />
ρ1<br />
j(<br />
θ1<br />
−θ2)<br />
= e<br />
ρ2<br />
COTOH:<br />
Misalkan bilangan kompleks z 1 = 10 e j0,5 <strong>dan</strong> z 2 = 5 e j0,4 .<br />
(2.7)<br />
j0,5<br />
j0,4<br />
j0,9<br />
z 1z2<br />
= 10e<br />
× 5e<br />
= 50e<br />
z1<br />
z2<br />
j0,5<br />
10e<br />
j0,1<br />
= = 2e<br />
j0,4<br />
5e<br />
Konjugat <strong>Kompleks</strong>. Konjugat dari suatu bilangan kompleks yang<br />
dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperoleh dengan mengganti j<br />
dengan −j seperti diperlihatkan secara grafis pada Gb.2.2.a; hal ini<br />
telah kita pelajari.<br />
Im<br />
• z = σ + jθ<br />
Re<br />
∗<br />
• z = σ + jθ<br />
Im<br />
a) b)<br />
Gb. 2.2. <strong>Bilangan</strong> kompleks konjugat.<br />
jθ<br />
• z = ρe<br />
θ<br />
Re<br />
−θ<br />
∗ − jθ<br />
• z = ρe<br />
15
Jika dinyatakan dalam bentuk polar, sudut argumen konjugat<br />
berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya, seperti<br />
diperlihatkan secara grafis oleh Gb.2.2.b.<br />
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya<br />
adalah sebagai berikut.<br />
( z)(<br />
z*)<br />
= | z |<br />
[ ] (<br />
*<br />
* )(<br />
*<br />
z z = z z )<br />
1<br />
⎡ z<br />
⎢<br />
⎣ z<br />
1<br />
2<br />
2<br />
*<br />
⎤ z<br />
*<br />
1<br />
⎥ =<br />
⎦ z<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
atau<br />
2<br />
|z| =<br />
s s<br />
*<br />
(2.7)<br />
COTOH:<br />
j0,5<br />
1 = 10e<br />
<strong>dan</strong> z2<br />
5<br />
z =<br />
∗ j0,5<br />
− j0,5<br />
z1z1<br />
= 10e<br />
× 10e<br />
= 100<br />
1).<br />
∗<br />
z2z2<br />
= 25<br />
∗ j0,5<br />
j0,4<br />
∗ j0,9<br />
2).<br />
[ z1z2<br />
] = [ 10e<br />
× 5e<br />
] = [ 50e<br />
]<br />
− j0,5<br />
− j0,4<br />
− j0,9<br />
= 10e<br />
× 5e<br />
= 50e<br />
e<br />
j0,4<br />
∗ − j0,9<br />
= 50e<br />
3).<br />
⎡ z1<br />
⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ z2<br />
⎦<br />
∗<br />
⎡10e<br />
= ⎢<br />
⎢⎣<br />
5e<br />
10e<br />
=<br />
5e<br />
j0,5<br />
j0,4<br />
− j0,5<br />
− j0,4<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
∗<br />
=<br />
= 2e<br />
j0,1<br />
[ 2e<br />
]<br />
− j0,1<br />
∗<br />
= 50e<br />
− j0,1<br />
16 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
3. <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong> untuk Menyatakan Fugsi Sinus<br />
Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kompleks untuk<br />
menyatakan fungsi sinus. Tindakan demikian ini kita jumpai dalam<br />
analisis rangkaian listrik.<br />
3.1. Fungsi Sinus<br />
Sinyal listrik sebagai fungsi waktu<br />
adalah<br />
yang berbentuk sinusoidal<br />
y = Asin( ωt)<br />
(3.1)<br />
dengan A adalah amplitudo (simpangan maksimum), ω adalah<br />
frekuensi sudut ω = 2 πf<br />
dengan f frekuensi siklus. Namun<br />
pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi<br />
cosinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap normal:<br />
y = A cos( ωt<br />
− θ)<br />
(3.2)<br />
jika puncak pertama fungsi terjadi pada ωt > 0 <strong>dan</strong><br />
θ disebut sudut fasa.<br />
seperti terlihat pada Gb.3.1.<br />
A<br />
y<br />
A<br />
y<br />
−A<br />
0<br />
0<br />
ωt<br />
−A<br />
0 0 θ<br />
ωt<br />
a) y = Acos ωt<br />
b) y = Acos(<br />
ωt<br />
− θ)<br />
Gb.3.1. Fungsi sinusoidal dinyatakan dengan fungsi cosinus.<br />
Dengan bentuk normal ini maka fungsi<br />
y = Asin( ωt)<br />
dituliskan sebagai<br />
y = A cos( ωt<br />
− π / 2)<br />
di mana θ = π/2 pada Gb.3.1.b.<br />
17
3.2. <strong>Fasor</strong><br />
Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk<br />
z = Ae<br />
jθ<br />
( θ + sin θ)<br />
= A cos j<br />
(3.3)<br />
Dengan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus <strong>dan</strong><br />
sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu<br />
A cos θ = Re Ae<br />
Asin<br />
x = Im Ae<br />
jθ<br />
jx<br />
= komponen nyata dari z,<br />
<strong>dan</strong><br />
= komponen imajiner dari z<br />
(3.4)<br />
Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan<br />
dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan<br />
bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks Ae jx saja yang<br />
diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal sinus<br />
y = Acos(ωt+θ) dapat kita tulis sebagai<br />
y = Acos(<br />
ωt<br />
+ θ)<br />
= Re Ae<br />
= Ae<br />
jθ<br />
e<br />
jωt<br />
j(<br />
ωt+θ)<br />
tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.<br />
= Re Ae<br />
jθ<br />
e<br />
jωt<br />
(3.5)<br />
Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh<br />
sistem rangkaian, maka faktor e jωt pada pernyataan fungsi sinus (3.5)<br />
tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus<br />
cukup dengan mengambil besar <strong>dan</strong> sudut fasa-nya saja. Jadi<br />
sinyal sinus v = A cos( ωt<br />
+ θ)<br />
dinyatakan dengan<br />
jθ<br />
V = Ae<br />
(3.6)<br />
Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor<br />
yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya.<br />
<strong>Fasor</strong> ini merupakan bilangan kompleks <strong>dan</strong> dapat digambarkan<br />
secara grafis seperti terlihat pada Gb.3.2. Gambar grafis seperti ini<br />
disebut diagram fasor.<br />
18 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
Im<br />
|A|<br />
θ<br />
V<br />
Re<br />
jθ<br />
Gb.3.1. <strong>Fasor</strong> V = Ae<br />
Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo <strong>dan</strong><br />
sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa<br />
frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan<br />
amplitudo <strong>dan</strong> sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan<br />
menyebutkan besarnya <strong>dan</strong> sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen<br />
dengan modulus <strong>dan</strong> argumen pada bilangan kompleks. Jadi<br />
penulisan fasor dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk polar<br />
adalah<br />
θ<br />
V = Ae j<br />
ditulis sebagai V = A∠θ<br />
(3.7)<br />
<strong>Fasor</strong> V = A∠θ<br />
kita gambarkan dalam bi<strong>dan</strong>g kompleks, seperti<br />
terlihat pada Gb.3.1.<br />
Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor<br />
dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu :<br />
( cos θ + sin θ)<br />
V = A∠θ = A j<br />
(3.8)<br />
Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah<br />
ke bentuk polar<br />
2 2 −1<br />
⎛ b ⎞<br />
V = a + jb = a + b ∠ tan ⎜ ⎟<br />
(3.9)<br />
⎝ a ⎠<br />
Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudutsiku<br />
<strong>dan</strong> bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasioperasi<br />
fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya<br />
sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah<br />
kita pelajari.<br />
19
3.3. Operasi <strong>Fasor</strong><br />
Perkalian <strong>Fasor</strong>. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor<br />
dituliskan dalam bentuk polar.<br />
Jika A = A∠θ1<br />
<strong>dan</strong> B = B∠θ2<br />
C = AB = AB∠(<br />
θ1<br />
+ θ2<br />
)<br />
maka<br />
(3.10)<br />
Hal ini mudah difahami, karena jika kita<br />
jθ<br />
A = Ae<br />
maka<br />
1<br />
<strong>dan</strong><br />
jθ<br />
B = Be<br />
jθ1<br />
jθ<br />
C = Ae Be<br />
2<br />
2<br />
menuliskan<br />
j( θ ) 1+θ2 = ABe = AB∠(<br />
θ1<br />
+ θ2<br />
)<br />
Pembagian <strong>Fasor</strong>. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor<br />
dituliskan dalam bentuk polar.<br />
maka<br />
Jika<br />
A = A∠θ<br />
A A∠θ<br />
D = =<br />
B B∠θ<br />
<strong>dan</strong><br />
1<br />
1<br />
2<br />
<strong>dan</strong><br />
A<br />
= ∠(<br />
θ<br />
B<br />
B = B∠θ<br />
1<br />
− θ<br />
2<br />
)<br />
2<br />
maka<br />
Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskan<br />
A = Ae<br />
jθ<br />
1<br />
Ae<br />
D =<br />
Be<br />
jθ<br />
1<br />
jθ<br />
2<br />
B = Be<br />
A<br />
= e<br />
B<br />
jθ<br />
jθ<br />
1<br />
2<br />
e<br />
− jθ<br />
2<br />
A<br />
= e<br />
B<br />
j( θ −θ ) 2<br />
1<br />
A<br />
= ∠(<br />
θ<br />
B<br />
1<br />
(3.11)<br />
− θ<br />
2<br />
)<br />
Penjumlahan <strong>dan</strong> Pengurangan <strong>Fasor</strong>. Operasi penjumlahan<br />
ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan<br />
fasor dalam bentuk sudut-siku.<br />
20 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong>
Jika<br />
maka<br />
A = a1<br />
+ jb1<br />
C = A + B =<br />
=<br />
=<br />
( a + a ) + j( b + b )<br />
2<br />
( a + a ) + ( b + b )<br />
1<br />
D = A − B =<br />
2<br />
1<br />
B = a2<br />
+ jb2<br />
( a + jb ) − ( a + jb )<br />
1<br />
<strong>dan</strong><br />
2<br />
1<br />
1<br />
2 −1⎛<br />
b + ⎞<br />
∠<br />
⎜ 1 b2<br />
2 tan<br />
⎟<br />
⎝ a1<br />
+ a2<br />
⎠<br />
⎛ b − b<br />
2<br />
2 −1<br />
( a − ) + ( − ) ∠<br />
⎜ 1 2<br />
1 a2<br />
b1<br />
b2<br />
tan<br />
a − ⎟ 1 a2<br />
⎠<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎝<br />
⎞<br />
(3.12)<br />
Jika fasor dinyatakan dalam bentuk polar, kita ubah dulu ke bentuk<br />
sudut siku untuk mudah dijumlahkan / dikurangkan<br />
Jika A = A∠θ<br />
C = A + B<br />
= 1<br />
D = A − B<br />
=<br />
( A cos θ + B cos θ ) + j( Asin<br />
θ + B sin θ )<br />
( A cos θ − B cos θ ) + j( Asin<br />
θ − B sin θ )<br />
1<br />
1<br />
<strong>dan</strong> B = B∠θ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
maka<br />
2<br />
2<br />
(3.13)<br />
<strong>Fasor</strong> egatif <strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong> Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk<br />
sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing<br />
komponen riil <strong>dan</strong> imajiner.<br />
Im<br />
A<br />
A<br />
θ<br />
Re<br />
− A<br />
∗<br />
A<br />
Gb.12.2. <strong>Fasor</strong> <strong>dan</strong> negatifnya serta konjugatnya<br />
Jika A = a1 + jb1<br />
maka − A = −a1<br />
− jb1<br />
Jika A = a1 + jb1<br />
maka A = a1<br />
− jb1<br />
*<br />
21
Dalam bentuk polar,<br />
Jika<br />
maka<br />
A = A∠θ<br />
− A = A∠<br />
= A∠<br />
o<br />
( θ + 180 )<br />
o<br />
( θ −180<br />
)<br />
<strong>dan</strong><br />
A<br />
*<br />
= A∠ − θ<br />
<strong>Fasor</strong> Dengan Sudut Fasa 90 o <strong>dan</strong> 0 o . Bentuk sudut-siku dari<br />
fasor dengan sudut 90 o <strong>dan</strong> 0 o adalah<br />
COTOH:<br />
A = A∠90<br />
B = B∠ − 90<br />
C = C∠0<br />
o<br />
o<br />
= jA<br />
o<br />
= C<br />
a). v 1(<br />
t)<br />
= 10 cos(500t<br />
− 45<br />
;<br />
= − jB<br />
o<br />
)<br />
Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar <strong>dan</strong><br />
bentuk sudut siku adalah<br />
V1<br />
V1<br />
= 10∠ − 45<br />
o<br />
o<br />
atau<br />
= 10 cos( −45<br />
) + j10 sin( −45<br />
) = 7,07 − j7,07<br />
b). v 2 ( t)<br />
= 15cos(500t<br />
+ 30<br />
o<br />
)<br />
Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar <strong>dan</strong><br />
bentuk sudut siku adalah<br />
;<br />
o<br />
(3.14)<br />
(3.15)<br />
V2<br />
V2<br />
= 15∠30<br />
o<br />
o<br />
atau<br />
= 15 cos(30 ) + j 15sin(30 ) = 12,99 + j7,5<br />
o<br />
c). i1<br />
( t)<br />
= −4 cos1000t<br />
Pernyataan fasor dalam bentuk polar <strong>dan</strong> bentuk sudut siku<br />
adalah<br />
o<br />
I 1 = −4∠0<br />
atau I1<br />
= −4 cos(0 ) − j4 sin(0 ) = −4<br />
22 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong><br />
o<br />
o
d). i 2 ( t)<br />
= 3cos(1000t<br />
− 90<br />
e).<br />
o<br />
)<br />
Pernyataan fasor dalam bentuk polar <strong>dan</strong> bentuk sudut siku<br />
adalah<br />
o<br />
I 2 = 3∠ − 90 atau I 2 = 3cos( −90<br />
) + j3sin(<br />
−90<br />
) = − j3<br />
I 3 = I1<br />
+ I 2 dari c) <strong>dan</strong> d)<br />
<strong>Fasor</strong> hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama.<br />
Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka<br />
fasornya dapat kita jumlahkan I 3 = I1<br />
+ I 2 = −4<br />
− j3<br />
.<br />
Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk<br />
polar menjadi<br />
f). S<br />
1<br />
g). Z<br />
2 2 −1<br />
o<br />
I 3 = ( −4)<br />
+ ( −3)<br />
∠ tan ⎜ ⎟ = 5∠<br />
216, 9<br />
*<br />
*<br />
V 1I1<br />
; 2 = V2I<br />
2<br />
= S<br />
*<br />
V1<br />
1<br />
o<br />
o<br />
⎛ − 3 ⎞<br />
⎝ − 4 ⎠<br />
S 1 = I = ( 10∠ − 45 ) × ( −4∠0<br />
) = −40∠<br />
− 45<br />
*<br />
V2<br />
2<br />
o<br />
S 2 = I = ( 15∠30<br />
) × (3∠90<br />
) = 45∠120<br />
V1<br />
1 = ; Z2<br />
I1<br />
=<br />
V2<br />
I 2<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
Z<br />
Z<br />
V<br />
o<br />
1<br />
1 = −<br />
I 1<br />
V<br />
o<br />
2 15∠30<br />
o<br />
2 = = = 5∠ − 60<br />
I o<br />
2 3∠90<br />
10∠ − 45<br />
o<br />
= = −2.5∠<br />
45<br />
o<br />
− 4∠0<br />
;<br />
23
3.3. Konsekuensi Pernyataan Sinyal Sinus dalam <strong>Fasor</strong><br />
Karakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan oleh<br />
hubungan antara arus <strong>dan</strong> tegangannya. Untuk resistor , induktor,<br />
<strong>dan</strong> kapasitor hubungan tersebut adalah:<br />
Resistor :<br />
Induktor :<br />
Kapasitor :<br />
vR<br />
= RiR<br />
diL<br />
vL<br />
= L<br />
dt<br />
dvC<br />
iC<br />
= C<br />
dt<br />
1<br />
atau vC<br />
=<br />
C<br />
24 Sudaryatno Sudirham: <strong>Bilangan</strong> <strong>Kompleks</strong><strong>dan</strong> <strong>Fasor</strong><br />
∫<br />
iC<br />
dt<br />
(3.16)<br />
R, L, <strong>dan</strong> C berturut-turut adalah resistansi, induktansi, <strong>dan</strong><br />
kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. Relasi-relasi ini adalah<br />
relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. Jika<br />
tegangan <strong>dan</strong> arus dinyatakan dalam bentuk fasor maka harus<br />
dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut.<br />
Resistor. Jika arus pada resistor adalah<br />
maka tegangannya adalah<br />
j(<br />
ω t+θ)<br />
i R ( t)<br />
= I Rm cos( ωt<br />
+ θ)<br />
= I Rme<br />
Jika dinyatakan dalam fasor maka<br />
j(<br />
ωt+θ)<br />
v R ( t)<br />
= RiR<br />
( t)<br />
= RI Rme<br />
V R = RI R<br />
(3.17)<br />
Hubungan arus <strong>dan</strong> tegangan resistor ini mirip dengan hubungan<br />
tegangan <strong>dan</strong> arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu.<br />
Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalah<br />
j(<br />
ω t+θ)<br />
i L ( t)<br />
= I Lm cos( ωt<br />
+ θ)<br />
= I Lme<br />
maka tegangan induktor adalah<br />
diL<br />
( t)<br />
d<br />
v L ( t)<br />
= L = L<br />
dt<br />
j(<br />
ω t+θ)<br />
( I Lme<br />
) j(<br />
ωt+θ)<br />
= jωL(<br />
I e )<br />
dt<br />
m
Dalam bentuk fasor,<br />
VL<br />
= jωLI<br />
L = jX LI<br />
L = Z LI<br />
L<br />
dengan : X L = ωL<br />
<strong>dan</strong> Z L = jωL<br />
(3.18)<br />
Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan <strong>dan</strong><br />
arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan<br />
berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z L = jX L ;<br />
X L disebut reaktansi induktif , Z L disebut impe<strong>dan</strong>si induktor.<br />
Kapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah<br />
maka arus kapasitor adalah<br />
dvC<br />
d<br />
i C ( t)<br />
= C = C<br />
dt<br />
j(<br />
ω t+θ)<br />
v C ( t)<br />
= VCm<br />
cos( ωt<br />
+ θ)<br />
= VCme<br />
j(<br />
ω t+θ)<br />
( V e )<br />
Cm<br />
dt<br />
yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai<br />
IC<br />
= jωC<br />
VC<br />
1<br />
VC<br />
= IC<br />
jωC<br />
dengan : X C<br />
atau<br />
= −<br />
ω<br />
1<br />
=<br />
ωC<br />
j<br />
C<br />
ZC<br />
= −<br />
j(<br />
ωt+θ)<br />
= jωC(<br />
VCme<br />
)<br />
IC<br />
= jX C IC<br />
= Z C IC<br />
<strong>dan</strong><br />
j<br />
ωC<br />
(3.19)<br />
Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan <strong>dan</strong><br />
arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan<br />
berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar Z C =<br />
jX C ; X C kita sebut reaktansi kapasitif, Z C kita sebut impe<strong>dan</strong>si<br />
kapasitor.<br />
Pembaca dapat mempelajari lebih lanjut analisis rangkaian listrik<br />
dengan buku ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1” oleh Sudaryatno<br />
Sudirham.<br />
25