gd3111 hitung perataan ii
gd3111 hitung perataan ii
gd3111 hitung perataan ii
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)<br />
Dari sekumpulan pengamatan y diperoleh:<br />
v<br />
=<br />
y<br />
−<br />
i<br />
y i<br />
Dalam bentuk notasi matrik<br />
v<br />
=<br />
y<br />
−<br />
y<br />
Untuk <strong>perataan</strong> diterapkan syarat<br />
φ<br />
= v t Wv<br />
⇒<br />
minimum<br />
Bentuk umum persamaan syarat<br />
( l + v) + Bx d<br />
A =<br />
pengamatan<br />
Parameter anu<br />
Av + Bx = d − Al =<br />
f<br />
B. SETYADJI - November 2006 1
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
KASUS-KASUS KHUSUS DARI PERATAAN DENGAN KONDISI SAJA<br />
Perataan Pengamatannya Saja<br />
Parameter tidak dilibatkan, u = 0.<br />
c = r saja.<br />
Matriks B menjadi matriks nol.<br />
Sering digunakan untuk masalah geometri yang sederhana.<br />
Hasil <strong>hitung</strong>an (langsung) proses kuadrat terkecil adalah multiplikator<br />
Lagrange, k, dan residu, v.<br />
B. SETYADJI - November 2006 2
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
KASUS-KASUS KHUSUS DARI PERATAAN DENGAN KONDISI SAJA<br />
Perataan Pengamatan Tak-langsung<br />
Mirip dengan bentuk umumnya.<br />
Persamaan kondisi diupayakan hanya mengandung satu pengamatan.<br />
Parameter-parameter dilibatkan, c = n, dan u = n 0 .<br />
Matriks A menjadi matriks identitas.<br />
Persamaan kondisi pengamatan merupakan fungsi dari parameter-parameter.<br />
Hasil <strong>hitung</strong>an (langsung) proses kuadrat terkecil adalah nilai parameter dan<br />
matriks kofaktornya.<br />
B. SETYADJI - November 2006 3
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
−<br />
Wv<br />
+<br />
Ak<br />
Bk<br />
METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)<br />
=<br />
=<br />
0<br />
0<br />
v<br />
=<br />
W<br />
l e<br />
= Al<br />
−1<br />
t<br />
A k<br />
=<br />
QA<br />
t<br />
k<br />
t<br />
AQA k + Bx =<br />
Av + Bx =<br />
f<br />
f<br />
Q =<br />
e<br />
AQA<br />
t<br />
k<br />
=<br />
Q<br />
−1<br />
e<br />
Q k<br />
e<br />
+ Bx = f<br />
( − Bx + f ) = W ( − Bx + f )<br />
e<br />
(<br />
t<br />
) (<br />
t<br />
B W B x = B W f )<br />
e<br />
atau<br />
[ ( ) ]<br />
t t<br />
t<br />
B AQA B x = B (<br />
t<br />
AQA )<br />
[ ] f<br />
−1 −1<br />
e<br />
B. SETYADJI - November 2006 4
Karena tidak ada unsur parameter,<br />
bentuk persamaan syarat linier<br />
menjadi:<br />
⎡− W<br />
⎢<br />
⎢<br />
A<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
A<br />
0<br />
B<br />
t<br />
t<br />
⎡− W<br />
⎢<br />
⎣ A<br />
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
0⎤⎡v⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎥<br />
B<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
⎥<br />
k f<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0⎥<br />
⎦⎢⎣<br />
x⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0⎥⎦<br />
PERATAAN BERSYARAT<br />
(Perataan Pengamatannya Saja)<br />
B = 0<br />
Syarat minimum kuadrat residu<br />
A<br />
0<br />
t<br />
⎤⎡v⎤<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
⎦⎣k⎦<br />
=<br />
⎡0⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣f<br />
⎦<br />
→<br />
atau<br />
v<br />
k<br />
=<br />
=<br />
Q<br />
= −W<br />
A<br />
Av<br />
−1<br />
e<br />
f<br />
( l + v)<br />
=<br />
=<br />
d<br />
W f<br />
(<br />
t<br />
AQA )<br />
−1<br />
f<br />
−1<br />
t<br />
A k<br />
=<br />
d<br />
− Al<br />
e<br />
=<br />
t<br />
= QA W f<br />
e<br />
f<br />
B. SETYADJI - November 2006 5
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
MATRIKS KOFAKTOR PERATAAN BERSYARAT<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
ff<br />
kk<br />
vv<br />
ll ˆˆ<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
AQA<br />
W Q W<br />
e e e<br />
t<br />
QA WeAQ<br />
t<br />
(<br />
t<br />
I − QA W A)<br />
Q −<br />
Q −<br />
t<br />
QA WeAQ<br />
Q<br />
vv<br />
=<br />
Q<br />
=<br />
e<br />
e<br />
W<br />
e<br />
2<br />
Q<br />
B. SETYADJI - November 2006 6
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
PERATAAN PARAMETER<br />
(Perataan Pengamatan Tak-langsung)<br />
Satu persamaan hanya<br />
mengandung satu pengamatan:<br />
t<br />
φ = v Wv<br />
=<br />
=<br />
t<br />
( f − Bx) W( f − Bx)<br />
t t t<br />
( f − x B )( Wf − WBx)<br />
t t<br />
t<br />
t<br />
= x B WBx − 2f<br />
WBx + f Wf<br />
v<br />
kuadrat residu<br />
syarat minimum<br />
= l ˆ − l<br />
A = I<br />
∂φ<br />
∂x<br />
=<br />
→<br />
2x<br />
t<br />
atau<br />
t<br />
B WB<br />
(<br />
t<br />
)<br />
t<br />
B WB x = B Wf<br />
lˆ<br />
= l<br />
l<br />
v<br />
+<br />
+<br />
+<br />
v<br />
− 2fWB<br />
+<br />
Bx<br />
=<br />
Bx<br />
=<br />
0<br />
t<br />
( f − Bx)<br />
d<br />
=<br />
−<br />
d<br />
l<br />
=<br />
f<br />
B. SETYADJI - November 2006 7
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
MATRIKS KOFAKTOR PERATAAN PARAMETER<br />
Q<br />
xx<br />
=<br />
N<br />
Q<br />
ff<br />
−1<br />
t<br />
B WQ<br />
ff<br />
vv<br />
Q<br />
ll<br />
Q<br />
=<br />
Q<br />
ll<br />
Q<br />
= Q<br />
=<br />
−<br />
= Q −<br />
Q<br />
WBN<br />
BN<br />
Q<br />
−1<br />
vv<br />
B<br />
t<br />
=<br />
N<br />
−1<br />
B. SETYADJI - November 2006 8
Av + Bx = d − Al =<br />
GD3111 HITUNG PERATAAN II<br />
f<br />
BENTUK UMUM (KOMBINASI)<br />
vs<br />
PERATAAN BERSYARAT<br />
vs<br />
PERATAAN PARAMETER<br />
B = 0<br />
A = I<br />
Tergantung pada<br />
(kerumitan/kesederhanaan) model<br />
matematis permasalahan yang ingin<br />
diselesaikan,<br />
Ketersediaan alat <strong>hitung</strong>;<br />
Ukuran (matriks) permasalahan;<br />
Kemampuan memformulasikan<br />
masalah.<br />
B. SETYADJI - November 2006 9