SDP06 Distribusi Probabilitas Variabel Random - istiarto
SDP06 Distribusi Probabilitas Variabel Random - istiarto
SDP06 Distribusi Probabilitas Variabel Random - istiarto
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
DISTRIBUSI PROBABILITAS<br />
VARIABEL RANDOM<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong>
2<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong><br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> probabilitas variabel<br />
random diskrit<br />
q <strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q Proses Bernoulli<br />
n <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
n <strong>Distribusi</strong> Geometrik<br />
n <strong>Distribusi</strong> Binomial Negatif<br />
q Proses Poisson<br />
n <strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
n <strong>Distribusi</strong> Exponensial<br />
n <strong>Distribusi</strong> Gamma<br />
q <strong>Distribusi</strong> Multinomial<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> probabilitas variabel<br />
random kontinu<br />
q<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
<strong>Distribusi</strong> t<br />
q <strong>Distribusi</strong> Chi-kuadrat (χ 2 )<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> F<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
3<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong> Diskrit<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
4<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q<br />
q<br />
Situasi<br />
q Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu<br />
populasi berukuran N<br />
q Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok,<br />
masing-masing berukuran k dan (N – k)<br />
Contoh<br />
q Suatu populasi berupa<br />
n hari hujan dan hari tak hujan<br />
n stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek<br />
n sukses dan gagal<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
5<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q<br />
Persamaan/rumus<br />
q<br />
Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi<br />
⎛N⎞<br />
⎜ =<br />
n<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
N!<br />
( N − n) ! n!<br />
q<br />
Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – x) gagal dari<br />
suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah:<br />
⎛k<br />
⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎜ =<br />
x<br />
⎟<br />
⎜<br />
n x<br />
⎟<br />
⎝ ⎠⎝<br />
− ⎠<br />
k!<br />
! x!<br />
( k − x)<br />
( N − k)<br />
!<br />
( N − k − n + x) !( n − x)!<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
6<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q<br />
Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang<br />
diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah<br />
⎛k<br />
⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎛N⎞<br />
( x;<br />
N,<br />
n k) =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎝ x ⎠⎝<br />
n − x ⎠ ⎝ n ⎠<br />
f X ,<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang<br />
adalah:<br />
F<br />
X<br />
( x;<br />
N,<br />
n,<br />
k) = ∑<br />
x<br />
i=<br />
0<br />
⎛k⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ i ⎠⎝<br />
n − i ⎠<br />
⎛N⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
7<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q<br />
q<br />
q<br />
Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah<br />
( X)<br />
E =<br />
Varian<br />
nk<br />
N<br />
nk<br />
Var( X)<br />
=<br />
2<br />
Catatan:<br />
( N − n)( N − n)<br />
N ( N −1)<br />
x<br />
≤ k;<br />
x ≤ n;<br />
k ≤ N;<br />
n ≤ N;<br />
n − x<br />
≤ N − k<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
8<br />
q<br />
Contoh<br />
q Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2<br />
diantaranya dalam keadaan rusak.<br />
q<br />
q<br />
Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja.<br />
Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah<br />
peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
9<br />
Hypergeometric Distributions<br />
q<br />
Penyelesaian<br />
q populasi, N = 12<br />
q jumlah stasiun rusak, k = 2<br />
q ukuran sampel, n = 6<br />
q<br />
peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam<br />
sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang<br />
memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah:<br />
⎛k<br />
⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎛N⎞<br />
( x;<br />
N,<br />
n k) =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎝ x⎠⎝<br />
n − x ⎠ ⎝ n ⎠<br />
f X ,<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong><br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
10<br />
( ) ⎟ ⎟ ⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
n<br />
N<br />
x<br />
n<br />
k<br />
N<br />
x<br />
k<br />
k<br />
n<br />
N<br />
x<br />
f X ,<br />
,<br />
;<br />
( )<br />
( )<br />
( ) 2273<br />
0.<br />
6<br />
12<br />
0<br />
6<br />
2<br />
12<br />
0<br />
2<br />
0;12,6,2<br />
0 :<br />
0.5454<br />
6<br />
12<br />
1<br />
6<br />
2<br />
12<br />
1<br />
2<br />
1;12,6,2<br />
1:<br />
0.2273<br />
6<br />
12<br />
2<br />
6<br />
2<br />
12<br />
2<br />
2<br />
2;12,6,2<br />
2:<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
=<br />
X<br />
X<br />
X<br />
f<br />
x<br />
f<br />
x<br />
f<br />
x
11<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
q<br />
Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah:<br />
q<br />
nk<br />
6×<br />
2<br />
E = = N 12<br />
atau<br />
( X) = 1<br />
M<br />
2<br />
1 = ∑ xi<br />
fX<br />
i<br />
=<br />
i= 0<br />
( x ) = 0×<br />
0.2273+<br />
1×<br />
0.5454 + 2×<br />
0.2273 1<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
12<br />
<strong>Distribusi</strong> Hipergeometrik<br />
⎛k<br />
⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎛N⎞<br />
( x;<br />
N,<br />
n k) =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ ⎝ x⎠⎝<br />
n − x ⎠ ⎝ n ⎠<br />
f X ,<br />
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,FALSE)<br />
F<br />
X<br />
( x;<br />
N,<br />
n,<br />
k) = ∑<br />
x<br />
i=<br />
0<br />
⎛k⎞⎛N<br />
− k⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ i ⎠⎝<br />
n − i ⎠<br />
⎛N⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,TRUE)<br />
f X (2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273<br />
f X (1;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(1,6,2,12,FALSE) = 0.5454<br />
f X (0;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(0,6,2,12,FALSE) = 0.2273<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
13<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong> Diskrit<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Contoh Ilustrasi<br />
14<br />
q<br />
Investigasi thd suatu populasi<br />
q<br />
q<br />
karakteristik populasi → variabel<br />
nilai variabel<br />
n nilai ujian: 0 s.d. 100<br />
n status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda<br />
n usia: 0 s.d. ...<br />
n cuaca: cerah, berawan, hujan<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Contoh Ilustrasi<br />
15<br />
q<br />
Contoh lain<br />
q<br />
Jawaban pertanyaan:<br />
n ya / tidak<br />
n benar / salah<br />
n menang / kalah<br />
n lulus / tak-lulus<br />
n sukses / gagal<br />
SUKSES<br />
vs<br />
GAGAL<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
16<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
Jika<br />
q variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil<br />
q probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil<br />
eksperimen sebelumnya<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
<strong>Probabilitas</strong> hasil suatu distribusi binomial<br />
q prob(sukses) = p<br />
q prob(gagal) = q = 1 – p<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
17<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
Ilustrasi<br />
q Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p<br />
q Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q<br />
q 1x eksperimen:<br />
q<br />
n peluang sukses p<br />
n peluang gagal q<br />
2x eksperimen:<br />
n peluang sukses kmd sukses (S,S): pp<br />
n peluang sukses kmd gagal (S,G): pq<br />
n peluang gagal kmd sukses (G,S): qp<br />
n peluang gagal kmd gagal (G,G): qq<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
18<br />
Sukses-Gagal dalam 2x Eksperimen<br />
Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses <strong>Probabilitas</strong> sukses<br />
2 SS 1 pp 1 p 2 q 0<br />
1 SG atau GS 2 pq+qp 2 p 1 q 1<br />
0 GG 1 qq 1 p 0 q 2<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
19<br />
Sukses-Gagal dalam 3x Eksperimen<br />
Jumlah<br />
sukses<br />
Cara sukses<br />
Jumlah cara<br />
sukses<br />
<strong>Probabilitas</strong> sukses<br />
3 SSS 1 ppp 1 p 3 q 0<br />
2 SSG, SGS, GSS 3 ppq+pqp+qpp 3 p 2 q 1<br />
1 SGG, GSG, GGS 3 pqq+qpq+qqp 3 p 1 q 2<br />
0 GGG 1 qqq 1 p 0 q 3<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
20<br />
Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Eksperimen<br />
q<br />
q<br />
3x eksperimen:<br />
q<br />
q<br />
peluang sukses pada eksperimen ke-3: qqp<br />
peluang sukses di salah satu eksperimen: pqq + qpq + qqp<br />
5x eksperimen:<br />
q<br />
⎛5⎞<br />
⎜ ⎟ p q = 10 p q<br />
⎝2⎠<br />
2 3 2 3<br />
peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
21<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
q<br />
Jika<br />
q<br />
q<br />
peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p<br />
probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain<br />
Maka<br />
q<br />
peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah:<br />
⎛n⎞<br />
fX ⎜<br />
...,<br />
x ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
x n−x<br />
( x; n,<br />
p) = ⎜ ⎟ p ( 1 − p) , x = 0, 1, 2, n<br />
koefisien binomial<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
=COMBIN(n,x)<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
22<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> binomial dan distribusi binomial kumulatif<br />
f<br />
F<br />
X<br />
X<br />
;<br />
⎛n⎞<br />
n−x<br />
⎜ ⎟ ,<br />
⎝ x ⎠<br />
x = 0, 1, 2, ..., n =BINOM.DIST(x,n,p,FALSE)<br />
x<br />
⎛n⎞<br />
n−i<br />
∑⎜<br />
⎟<br />
i=<br />
⎝ i<br />
0 ⎠<br />
=BINOM.DIST(x,n,p,TRUE)<br />
x<br />
( x n,<br />
p) = ⎜ ⎟ p ( 1 − p)<br />
i<br />
( x;<br />
n,<br />
p) = ⎜ ⎟ p ( 1 − p)<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
23<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
Nilai rerata dan varian<br />
E<br />
( X)<br />
= n p<br />
( X) = n pq<br />
VAR<br />
q<br />
Koefisien skewness<br />
c s<br />
p = q à simetris<br />
q − p<br />
=<br />
q > p à negative skew<br />
n pq<br />
q < p à positive skew<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
24<br />
q Contoh #1<br />
q<br />
q<br />
Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi<br />
dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).<br />
Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang<br />
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).<br />
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?<br />
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
25<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
q<br />
Setiap kali pemilihan<br />
n prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih<br />
prob(As) = ¼ = 0.25 = p<br />
n prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih<br />
prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q<br />
Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x<br />
adalah:<br />
⎛5⎞<br />
3<br />
5−3<br />
fX ( x;<br />
n,<br />
p) = f X<br />
( 3;5,0.25) =<br />
⎜ 0.25 ( 1 − 0.25) = 0. 0879<br />
3<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
26<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
Jumlah sukses Jumlah cara sukses <strong>Probabilitas</strong><br />
0 1 0.237<br />
1 5 0.396<br />
2 10 0.264<br />
3 10 0.088<br />
4 5 0.015<br />
5 1 0.001<br />
Jumlah = 1.000<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
27<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong> Diskrit<br />
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
28<br />
q<br />
Situasi<br />
q<br />
q<br />
Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya<br />
suatu event dalam selang waktu tersebut.<br />
Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi<br />
kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np<br />
konstan, maka<br />
n ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
29<br />
q<br />
Sifat<br />
q<br />
Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu.<br />
n Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah<br />
sebuah distribusi diskrit,<br />
n akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ken<br />
adalah distribusi kontinu.<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
30<br />
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
q<br />
<strong>Probabilitas</strong> distribusi Poisson<br />
f<br />
X<br />
x<br />
λ e<br />
x!<br />
−λ<br />
( x; λ) = , x = 0, 1, 2, ... dan λ = n p > 0<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> Poisson kumulatif<br />
F<br />
X<br />
x<br />
( x;<br />
λ) = ∑<br />
i=<br />
0<br />
λ<br />
i<br />
e<br />
i!<br />
−λ<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
31<br />
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
q<br />
Nilai rerata dan varian<br />
E<br />
( X) = λ VAR( X) = λ<br />
q<br />
Skewness coefficient<br />
c s<br />
− 1 2<br />
= λ<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
32<br />
<strong>Distribusi</strong> Poisson<br />
q<br />
q<br />
Contoh<br />
q Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2<br />
kesalahan per halaman.<br />
q<br />
Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman.<br />
Penyelesaian<br />
λ = 2, x = 1<br />
f<br />
X<br />
2 e<br />
1!<br />
−2<br />
2<br />
e<br />
( x λ) = f ( 1;2) = = = 0. 2707<br />
; X<br />
2<br />
1<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
33<br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong> Kontinu<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
34<br />
q<br />
Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan<br />
q<br />
q<br />
Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan<br />
alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).<br />
Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang<br />
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).<br />
q Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×,<br />
0×?<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
35<br />
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
<strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana<br />
Histogram distribusi probabilitas<br />
kegiatan A mendapatkan dana<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
36<br />
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
q<br />
q<br />
Setiap kali pemilihan<br />
q<br />
q<br />
prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih<br />
prob(As) = ¼ = 0.25 = p<br />
prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih<br />
prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q<br />
Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x<br />
adalah:<br />
f<br />
⎛5⎞<br />
⎜3⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3<br />
5−3<br />
( x;<br />
n,<br />
p) = ( 3;5,0.25) = ⎜ ⎟ 0.25 ( 1 − 0.25) = 0. 0879<br />
X f X<br />
=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
37<br />
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
Jumlah sukses Jumlah cara sukses <strong>Probabilitas</strong><br />
0 1 0.2373<br />
1 5 0.3955<br />
2 10 0.2637<br />
3 10 0.0879<br />
4 5 0.0146<br />
5 1 0.0010<br />
Jumlah = 1.0000<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
38<br />
<strong>Distribusi</strong> probabilitas kegiatan A mendapatkan dana<br />
<strong>Probabilitas</strong><br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
0.3955<br />
0.2373<br />
0.2637<br />
0.0879<br />
0.0146 0.0010<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Frekuensi perolehan dana<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
39<br />
q<br />
Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang<br />
q<br />
q<br />
q<br />
10 tahun<br />
20 tahun<br />
n tahun<br />
n diperoleh n + 1 kemungkinan hasil<br />
n Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah<br />
n kali, n – 1 kali, ... 0 kali<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
40<br />
Flash-back <strong>Distribusi</strong> Binomial<br />
0.3<br />
0.25<br />
0.25<br />
n = 10 n = 20<br />
0.2<br />
<strong>Probabilitas</strong><br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
<strong>Probabilitas</strong><br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Frekuensi perolehan dana<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
Frekuensi perolehan dana<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Binomial vs Kurva Normal<br />
41<br />
q Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n »<br />
q<br />
q<br />
histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki<br />
selang (interval) kecil<br />
garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti<br />
lonceng<br />
Kurva Normal<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> probabilitas kegiatan A mendapatkan dana<br />
0.25<br />
n = 20<br />
0.2<br />
Peobabilitas<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
Frekuensi perolehan dana<br />
42<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> probabilitas kegiatan A mendapatkan dana<br />
0.14<br />
0.12<br />
n = 50<br />
0.1<br />
Peobabilitas<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50<br />
Frekuensi perolehan dana<br />
43<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
44<br />
Kurva Normal dan <strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q<br />
q<br />
q<br />
q<br />
Kurva Normal<br />
q berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu<br />
q tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal<br />
Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut <strong>Distribusi</strong> Normal<br />
Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan<br />
distribusi normal<br />
<strong>Distribusi</strong> normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena<br />
karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan)<br />
q tabel distribusi normal<br />
q perintah/fungsi dalam MSExcel<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
45<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q<br />
Karakteristika distribusi normal<br />
q<br />
q<br />
q<br />
simetris terhadap nilai rerata (mean)<br />
score mengumpul di sekitar nilai rerata<br />
kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran<br />
tiga kali simpangan baku dari nilai rerata<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
46<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
luas = 1<br />
−∞<br />
μ−3σ<br />
μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ +∞<br />
X<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
47<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
luas = 0.00135<br />
luas = 0.9973<br />
luas = 0.00135<br />
−∞ μ−3σ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ<br />
μ +∞<br />
X<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
48<br />
pdf <strong>Distribusi</strong> Normal<br />
p X (x)<br />
pdf (probability density function)<br />
N(μ,σ 2 −1<br />
2<br />
) 2 2 −1<br />
( x−µ<br />
) σ<br />
( ) ( )<br />
2<br />
p x = 2πσ<br />
e<br />
X<br />
−∞ μ−3σ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ<br />
μ +∞<br />
X<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
49<br />
pdf <strong>Distribusi</strong> Normal<br />
p X (x)<br />
μ 1 =μ 2 =μ 3<br />
σ 1 > σ 2 > σ 3<br />
N(μ 1 ,σ 12 )<br />
N(μ 2 ,σ 22 )<br />
N(μ 3 ,σ 32 )<br />
−∞ μ 1 =μ 2 =μ 3 +∞<br />
X<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
50<br />
pdf <strong>Distribusi</strong> Normal<br />
p X (x)<br />
μ 1 < μ 2 < μ 3<br />
σ 1 = σ 2 = σ 3<br />
N(μ 1 ,σ 12 )<br />
N(μ 2 ,σ 22 )<br />
N(μ 3 ,σ 32 )<br />
−∞ μ 1 μ 2 μ 3<br />
+∞<br />
X<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
51<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q<br />
Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ 2 ), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:<br />
x<br />
−1<br />
2 2 −1<br />
( t−µ<br />
)<br />
( X ≤ x) = PX<br />
( x) =<br />
∫<br />
pX<br />
( t) dt<br />
=<br />
∫ ( 2πσ<br />
) e<br />
prob<br />
2<br />
−∞<br />
x<br />
−∞<br />
σ<br />
2<br />
dt<br />
luas di bawah kurva pdf<br />
(dari −∞ s.d. x) à cdf<br />
cdf (cumulative distribution function)<br />
−∞<br />
x<br />
+∞<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
52<br />
pdf - cdf<br />
P X (x)<br />
p X (x)<br />
cdf<br />
1<br />
pdf<br />
–∞<br />
µ <br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong><br />
0<br />
+∞
53<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q<br />
Luas di bawah kurva pdf<br />
q<br />
q<br />
menunjukkan probabilitas suatu event<br />
menunjukkan percentile rank<br />
q prob(X ≤ x) = prob(-∞ ≤ X ≤ x)<br />
= luas di bawah kurva antara -∞ s.d. x<br />
q prob(-∞ ≤ X ≤ +∞) = 1<br />
= luas di bawah kurva antara -∞ s.d. +∞<br />
q prob(X ≥ x) = prob(x ≤ X ≤ +∞)<br />
= luas di bawah kurva antara x s.d. +∞<br />
= 1 – prob(X ≤ x)<br />
-∞ x<br />
+∞ <br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
54<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q<br />
<strong>Probabilitas</strong><br />
q prob(X ≤ µ) = prob(X ≥ µ) = 0.50<br />
q<br />
prob(µ-x ≤ X ≤ µ) = prob(µ ≤ X ≤ µ+x)<br />
−∞<br />
µ +∞<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
55<br />
q<br />
<strong>Probabilitas</strong><br />
q<br />
prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x<br />
= 0<br />
q prob(X ≤ x) = prob(X < x)<br />
q prob(X ≥ x) = prob(X > x)<br />
q prob(x a ≤ X ≤ x b ) = prob(x a < X < x b )<br />
x a<br />
-∞ x b<br />
+∞ <br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
56<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar<br />
q<br />
dinyatakan dalam variabel Z<br />
Z x<br />
= X − µ<br />
σ<br />
q<br />
Z x berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1)<br />
à disebut dengan nama distribusi normal standar<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
57<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
luas = 1<br />
−∞ μ−3σ μ−2σ μ−σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ +∞ X<br />
−∞ −3 −2 −1 0 1 2 3 +∞ Z<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
58<br />
Tabel <strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
q<br />
q<br />
Tabel z vs ordinat kurva normal standar<br />
q z vs ordinat pdf (probability density function) à file1<br />
Tabel z vs luas di bawah kurva<br />
q<br />
z vs cdf (cumulative distribution function)<br />
q luas kurva dari 0 s.d. z x à file2<br />
q luas kurva dari −∞ s.d. z x à file3<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
59<br />
Tabel <strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
q<br />
Contoh<br />
q Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12,<br />
dan simpangan baku 3<br />
q<br />
q<br />
q<br />
prob(X < 15)= prob(Z < 1)= … (lihat tabel)<br />
prob(X < 9)= prob(Z < −1)= … (lihat tabel)<br />
prob(9 < X < 15)= prob(−1 < Z < 1)= … (lihat tabel)<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
60<br />
Perintah (Fungsi) MS Excel<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal<br />
q NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)<br />
q<br />
n x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya<br />
n mean = nilai rerata (aritmetik)<br />
n standard_dev = nilai simpangan baku<br />
n cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin<br />
menghitung pdf<br />
NORM.INV(probability,mean,standard_dev)<br />
n probability = probabilitas suatu distribusi normal<br />
n mean = nilai rerata (aritmetik)<br />
n standar_dev = nilai simpangan baku<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
61<br />
Perintah (Fungsi) MS Excel<br />
q<br />
q<br />
<strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
q NORM.S.DIST(z,TRUE)<br />
q<br />
q<br />
n menghitung nilai cdf distribusi normal standar<br />
NORM.S.DIST(z,FALSE)<br />
n menghitung nilai pdf distribusi normal standar<br />
NORM.S.INV(probability)<br />
n kebalikan dari NORM.S.DIST(z)<br />
n mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui<br />
Ingat<br />
q <strong>Distribusi</strong> Normal Standar<br />
n mean = 0<br />
n simpangan baku = 1<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
Perintah (Fungsi) MS Excel<br />
62<br />
q Contoh 1<br />
q<br />
q<br />
NORM.DIST(15,12,3,TRUE)<br />
n rerata = 12<br />
n simpangan baku = 3<br />
n prob(X < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413<br />
NORM.INV(0.8,12,3)<br />
n prob(X < x) = 0.8<br />
n x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
63<br />
Perintah (Fungsi) MS Excel<br />
q Contoh 2<br />
q NORM.S.DIST(3,TRUE)<br />
n rerata = 0<br />
n simpangan baku = 1<br />
q<br />
n prob(Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987<br />
n prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – 0.5 = 0.4987<br />
n prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – NORM.S.DIST(1,TRUE)<br />
n prob(Z > 1.5) = 1 – NORM.S.DIST(1.5,TRUE)<br />
NORM.S.INV(0.65)<br />
n prob(Z < z) = 0.65<br />
n z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>
64<br />
Statistika dan <strong>Probabilitas</strong><br />
<strong>Distribusi</strong> <strong>Probabilitas</strong> <strong>Variabel</strong> <strong>Random</strong>