σχολη εφαρμοσμένων μαθηματικων και φυσικων ... - DSpace

ανή (exp(-2r 2 /L 2 )), με πλάτος φωνονίων στα όρια των νάνο-κρυστάλλων να ι-
σούται με 1/e του αντίστοιχου πλάτους στο «κέντρο» των κρυστάλλων. Οι
Campbell και Fauchet [33], των οποίων την προσέγγιση χρησιμοποιήσαμε και θα
αναλύσουμε στη συνέχεια, προχώρησαν στην εισαγωγή επιπλέον εξάρτησης και
από το σχήμα του νάνο-κρυσταλλίτη στη συνάρτηση χωρικού περιορισμού.
Στα πλαίσια λοιπόν αυτού του μοντέλου, ξεκινώντας από την κυματοσυνάρτηση
ενός φωνονίου με κυματάνυσμα q σε έναν άπειρο κρύσταλλο η οποία έχει
0
την μορφή ενός κύματος Bloch:
0
q r u q r e (21)
, ( , )
0 0
iq r
όπου u( q0, r Rn
) u( q0, r ) περιοδική συνάρτηση που ακολουθεί την περιοδικότητα
του κρυσταλλικού πλέγματος
του φωνονίου μέσα σε ένα νάνο-κρύσταλλο διαμέτρου L:
R
n
, την περιορίζουμε για την περίπτωση
( q0, r) W( r, L) q0, r ( q0, r) u( q0, r )
(22)
Για να προσδιορίσουμε το αποτέλεσμα αυτού του περιορισμού στο φάσμα
Raman αναπτύσσουμε την
σε σειρά Fourier:
3
( q0, r) C( q0, q) e iq r d q (23)
με τους συντελεστές του αναπτύγματος Fourier να ορίζονται ως:
1 1
iq r 3 i q q r 3
0 3 0
3
0
C( q , q) ( q , r ) e d r W r,
L e d r (24)
(2 ) (2 )
Όταν L W r, L 1, και τότε θα έπρεπε C q0,
q
q , επομένως
θα πρέπει να είναι q
0
0 . Συνεπώς, το κύμα που συνδέεται με ένα φωνόνιο περιορισμένο
μέσα σε ένα νάνο-κρυσταλλίτη είναι η υπέρθεση επίπεδων κυμάτων
2
με τη συνάρτηση βαρύτητας C(0, q ) , όπου έχουμε υποθέσει q 0 0 δηλαδή
σκέδαση ενός φωνονίου. Συνδυάζοντας το αποτέλεσμα αυτό με το ότι κάθε φωνόνιο
αντιστοιχεί σε μία Λορεντζιανή κορυφή στο φάσμα, η συνολική ένταση του
πρώτης τάξης φάσματος Raman θα δίνεται από:
I( )
( )
C(0, q)
2
2 2
0
( ( q)) ( / 2)
3
d q
(25)
39