σχολη εφαρμοσμένων μαθηματικων και φυσικων ... - DSpace

ενέργειας του αδιατάρακτου συστήματος, αλλά τη μετάβαση του συστήματος από
την μία κατάσταση στην άλλη.
Το αδιατάρακτο σύστημα αποτελείται από την ροή των εισερχόμενων φωτονίων
και το αέριο των φωνονίων, τα οποία υπόκεινται σε μία θερμική κατανομή
Plank. Δύο είναι οι πιθανές περιπτώσεις μη ελαστικής κρούσης μεταξύ των φωτονίων
και των φωνονίων. Στη πρώτη (Stokes), ένα εισερχόμενο φωτόνιο με κυματάνυσμα
k , υπό την επίδραση της ύπαρξης του αερίου των φωνονίων, διασπάται
σε ένα φωτόνιο με k μικρότερης ενέργειας (και άρα και συχνότητας) από
το αρχικό και σε ένα φωνόνιο με q και ενέργεια ίση με τη διαφορά ενεργειών των
δύο φωτονίων. Στη δεύτερη περίπτωση (Anti-Stokes), το εισερχόμενο φωτόνιο
συναντά ένα ήδη υπάρχον φωνόνιο και το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασής τους
είναι ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με το άθροισμα των ενεργειών των αρχικών
σωματιδίων. Από αυτή τη περιγραφή προκύπτει η σχέση διατήρησης της ενέργειας:
k k q (13)
Η σχέση με το θετικό πρόσημο αντιστοιχεί στην σκέδαση Stokes, ενώ η αντίστοιχη
με το αρνητικό στην Anti-Stokes.
Ο φορμαλισμός της δεύτερης κβάντωσης με τη χρήση των τελεστών δημιουργίας
και καταστροφής που εισάγει, δίνει την δυνατότητα μίας εύκολης περιγραφής.
Στη Χαμιλτωνιανή του αδιατάραχτου συστήματος προσθέτουμε αυτή της διαταραχής
η οποία ισούται με:
H
Raman
V
0
3
Q E Ed r
Q
(14)
,όπου τα πεδία που εισάγονται στο ολοκλήρωμα ισούται με:
iq r
†
k
Q( r)
c e c e
k
2 V
q
q
q r
(15)
0
ik r
†
k
E( r ) i a e a e
k
2 V
k
k
k r
(16)
Στις παραπάνω σχέσεις V είναι ο όγκος αλληλεπίδρασης ε 0 η διηλεκτρική σταθερά
του κενού, χ η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του υλικού,
†
c και c οι τελεστές δημιουργίας
και καταστροφής φωνονίων,
†
a και a οι αντίστοιχοι για τα φωτόνια.
34