Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat
dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau
P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan
Sementara itu
x = OQ = OP cos( α + β)
y = PQ = OPsin( α + β)
x'
= OQ' = OP cosβ
y'
= PQ' = OPsin β
Dengan kesamaan (Catatan: lihat fungsi trigonometri di Bab-6)
cos( α + β)
= cosαcosβ − sin αsin
β
sin( α + β)
= sin αcosβ + cosαsin
β
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi
x = x'cosα − y'sin
α
y = x'sin
α + y'cosα
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada
Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehingga
cos α = sin α = 1/ 2 . Oleh karena itu kita peroleh
x' −y'
x' + y'
x = dan y =
2
2
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan
x'
−y'
x'
+ y'
2 2 2
2 × = ( x')
− ( y')
= a
2 2
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)
sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah
sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45 o .
Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi
lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar
sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita
pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan
demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana
sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu
koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
68
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”