Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

CONTOH: Carilah koefisien Fourier c n dari fungsi pada contoh-10.1.
Solusi :
1
cn
=
To
T / 2
− jnωot
A e dt =
−T
/ 2
∫
o
/ 2
o
A ⎛ jnω
T − jnω
T
⎜ e − e
=
nωoT
⎜
o ⎝
j
20.4. Transformasi Fourier
T
o
A ⎛ − jnω
t
e ⎞
⎜ ⎟
T ⎜
o jn ⎟
⎝
− ωo
⎠ −T
/ 2
/ 2
/ 2
⎞
⎟ 2A
= sin
⎟
⎠
nωoTo
( nω
T / 2)
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh
(20.12) hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik
seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat
direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyal
demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum
kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan
perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω 0 = 2π/T 0 , maka (20.13) menjadi
∞
⎛ 1 T0
/ 2
f ( t)
= ∑
⎜
∫−
=−∞⎝
T
n 0 T0
/ 2
∞
1 ⎛ T0
/ 2
= ∑ ⎜
2π
∫−
n=−∞⎝
T0
/ 2
− jnω
⎞
0t
⎟ jnω0t
f ( t)
e dt
e
⎠
− jnω
⎞
0t
jnω0t
f ( t)
e dt ⎟ ω0
e
⎠
o
(20.14)
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T 0 diperbesar. Karena
ω 0 = 2π/T 0 maka jika T 0 makin besar, ω 0 akan makin kecil. Beda
frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu
∆ ω =
( n + 1) ω
0
− nω
0
= ω
0
2π
=
T
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu
jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T 0
diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu,
∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan nω 0 menjadi
0
280 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”