Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

e
cosα =
jα +
e
2
− jα
.
Dengan menggunakan relasi ini maka (20.2) akan menjadi
∞
⎡ 2 2
f ( t)
= a ∑ ( )
⎤
0 + an
+ bn
cos( nω0t
− θn)
⎢⎣
⎥⎦
n=
1
∞ ⎡ j(
nω0t−θn
) − j(
nω0t−θn
)
+
⎤
2 2 e
e
= a0
+ ∑ ⎢ an
+ bn
⎥
= 1⎢⎣
2
n
⎥⎦
∞ ⎡
= a ⎢
0 + ∑ ⎢
n=
1
⎣
2 2
∞
a
⎤ ⎡
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥ + ⎢
2
⎥ ∑ ⎢
⎦ n=
1
⎣
2 2
a
⎤
n + bn
− j(
nω0t−θn
)
e ⎥
2
⎥
⎦
(20.6)
Suku ketiga (20.6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika
penjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan
penyesuaian a n menjadi a −n , b n menjadi b −n , dan θ n menjadi θ −n , maka
menurut (20.3) perubahan ini berakibat
2 T0
/ 2
2 T0
/ 2
a−n
= f ( t)cos(
n 0t)
dt
f ( t)cos(
n 0t)
dt an
T ∫
− ω =
ω =
0 −T0
/ 2
T ∫
0 −T0
/ 2
2 T0
/ 2
2 T0
/ 2
b−n
= f ( t)sin(
n 0t)
dt
f ( t)sin(
n 0t)
dt b
T ∫
− ω = −
ω = −
0 −T0
/ 2
T ∫
0 −T0
/ 2
b
tan n − b
θ
n
n = −
− = ⇒ θ−n
= −θn
a−n
an
(20.7)
Dengan (20.7) ini maka (20.6) menjadi
∞ ⎡
f ( t)
= ⎢
∑ ⎢
n=
0⎣
2 2
−∞
a
⎤ ⎡
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥ + ⎢
2
⎥ ∑ ⎢
⎦ n=−1⎣
2 2
a
⎤
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥
2
⎥
⎦
(20.8)
Suku pertama dari (20.8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n
= 0 untuk memasukkan a 0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini.
Dengan cara ini maka (20.8) dapat ditulis menjadi
278 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”