Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

jika
L
−1
F(
s)
= F1
( s)
F2
( s)
t
[ F(
s)
] = f ( t)
=
∫
f1(
τ)
f2(
t − τ)
dτ =
∫
0
maka
t
f2(
τ)
f1(
t − τ)
dτ
0
(19.23)
Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh
dengan melakukan konvolusi dari kedua bentuk gelombang yang
bersangkutan. Kedua bentuk integral pada (19.23) disebut integral
konvolusi.
Pandanglah dua fungsi waktu f 1 (t) dan f 2 (t). Transformasi Laplace
masing-masing adalah
∫ ∞
1 s)
= f1(
τ)
0
−sτ
F ( e dτ
dan
∫ ∞ −st
F2 ( s)
= f2(
t)
e dt .
0
Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akan
kita peroleh
∫ ∞ −sτ
F1
( s)
F2
( s)
= f1(
τ)
e F2
( s)
dτ
0
Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e −sτ F 2 (s) adalah
transformasi Laplace dari [ f 2 (t−τ) ] u(t−τ) sehingga persamaan tersebut
dapat ditulis
∞ ⎡ ∞
−st
⎤
F1 ( s)
F2
( s)
=
∫
f1(
τ)
⎢∫
f2(
t − τ)
u(
t − τ)
e dt⎥dτ
0 ⎣ 0 ⎦
Karena untuk τ > t nilai u(t−τ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam
kurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja,
sehingga
∞ t
1 2
−
=
∫
τ ⎢∫
− τ ⎥ τ
0 1
⎣ 0 2
st
F ( s)
F ( s)
f ( ) f ( t ) e dt d
⎦
∞ ⎡ t
−st
⎤
=
∫ ⎢∫
f1(
τ)
f2(
t − τ)
e dt⎥dτ
0 0
Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh
⎣
⎡
⎦
⎤
268 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”