Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Bukti dari sifat ini dapat langsung diperoleh dari definisinya. Dengan
mengganti peubah t menjadi τ = at maka transformasi Laplace dari f(at)
adalah:
∫
∞
0
f ( at)
e
−st
1
dt =
a
∫
∞
0
f ( τ)
e
s
− τ
a
1 ⎛
dτ
= F⎜
a ⎝
s
a
⎞
⎟
⎠
(19.13)
Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecil
dan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skala
frekuensi menjadi besar.
Nilai Awal dan Nilai Akhir. Sifat transformasi Laplace berkenaan
dengan nilai awal dan nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut.
Nilai awal : lim f ( t)
= lim sF(
s)
t→0+
Nilai akhir : lim f ( t)
= lim sF(
s)
t→∞
s→∞
s→0
Jadi nilai f(t) pada t = 0 + di kawasan waktu (nilai awal) sama dengan
nilai sF(s) pada tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞
(nilai akhir) sama dengan nilai sF(s) pada titik asal di kawasan s. Sifat
ini dapat diturunkan dari sifat diferensiasi.
CONTOH: Transformasi Laplace dari suatu sinyal adalah
Solusi :
Nilai awal adalah :
s + 3
V ( s)
= 100
s(
s + 5)( s + 20)
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).
lim v(
t)
= lim sV ( s)
t→0+
s→∞
⎡
s + 3 ⎤
= lim ⎢s
× 100
= 0
( 5)( 20)
⎥
s→∞⎣
s s + s + ⎦
Nilai akhir adalah :
⎡
s + 3 ⎤
lim v(
t)
= lim sV ( s)
= lim ⎢s
× 100
= 3
0
0 ( 5)( 20)
⎥
t→∞
s→
s→
⎣ s s + s + ⎦
259