Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

CONTOH: a). Carilah transformasi Laplace dari :
−2t
v1 ( t)
= (1 + 3e
) u(
t)
b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae −at u(t)
adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari v 2 (t)=Acosωt
u(t).
Solusi :
−2t
1 3
a). v1
( t)
= (1 + 3e
) u(
t)
→V
1(
s)
= +
s s + 2
jωt
− jωt
e + e
b). v2(t)
= Acos(
ωt)
u(
t)
= A
u(
t)
2
A jωt
− jωt
= ( e u(
t)
+ e u(
t)
)
2
A ⎛ 1 1 ⎞ A ⎛ 2s
⎞ As
V2(
s)
= ⎜ + ⎟ = ⎜ ⎟ =
2
2 2 2 2 2
⎝ s − jω
s + jω
⎠ ⎝ s + ω ⎠ s + ω
Integrasi. Transformasi Laplace dari integrasi suatu fungsi dapat kita
lihat sebagai berikut.
t
Misalkan f ( t)
=
∫
f ( )
0 1 x dx . Maka
∞
⎛
F(
s)
= ⎜
⎝
0
∫ ∫
t
−st
⎞ ⎡
−st
e ⎛
f x dx⎟
e dt = ⎢ ⎜
0 1 ( )
⎠ ⎢⎣
− s ⎝
∞ ∞
t
st
⎞⎤
e −
f x dx⎟⎥
−
0 1 ( )
⎠
∫
⎥⎦
− s
0 0
∫
f1(
t)
dt
Suku pertama ruas kanan persamaan di atas akan bernilai nol untuk t = ∞
karena e −st = 0 pada t→∞ , dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karena
integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).
Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi
∞
e − st
∞
1 −st
F ( s)
F( s)
= − f ( t)
dt f ( t)
e dt 1
∫ 1 = 1 =
− s s ∫
(19.8)
s
0
0
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp r(t)=tu(t).
Solusi :
Kita mengetahui bahwa fungsi ramp adalah integral dari fungsi anak
tangga.
255