Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Bab 19 Transformasi Laplace
Transformasi Laplace, didefinisikan sebagai suatu integral
∫ ∞ −st
F ( s)
= f ( t)
e dt
(19.1)
0
dengan s merupakan peubah kompleks, s = σ + jω. Batas bawah integrasi
ini adalah nol yang berarti bahwa dalam kita hanya meninjau besaran
dengan nilai lebih besar dari nol. Untuk itu kita menggunakan fungsi
anak tangga satuan u(t) untuk menyatakan f(t).
19.1. Transformasi Laplace
Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula
dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s
adalah peubah kompleks.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) yang didefinisikan sebagai
∫ ∞ −st
F ( s)
= f ( t)
e dt kita tuliskan dengan notasi :
0
∫ ∞ −st
L [ f ( t)]
= F(
s)
= f ( t)
e dt
(19.2)
0
Fungsi Tetapan. Kita lihat lebih dulu fungsi tetapan f ( t)
= Au(
t)
sehingga
∞
∞
∞
−(
σ+ jω)
t
−st
−st
Ae
L [ Au(t) ] =
∫
Au(
t)
e dt =
∫
Ae dt = −
0
0
σ + jω
0
Batas atas, dengan σ > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah
memberikan nilai A/s.
Jadi
A
L [ Au ( t)]
=
(19.3)
s
Fungsi Eksponensial. Transformasi Laplace fungsi eksponensial
−at
beramplitudo A, yaitu f ( t)
= Ae u(
t)
adalah
L
[ Ae
−at
u(
t)]
∞
−at
−st
∞
=
∫
A e e u(
t)
dt =
0 ∫0
Ae
−(
s+
a)
t
∞
−(
s+
a)
t
Ae
= −
s + a
0
251