Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Persamaan (17.48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor
solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A
ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah
bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan
bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks
koefisien A pada (17.47) adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi
tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti
bahwa vektor x pada (17.48) dapat kita peroleh jika rank A −1 sama
dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n × n tak singular jika
rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A
lebih kecil dari n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi
Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (17.47). Jika X adalah
kebalikan matriks A maka
AX = I
~
dan kita
lakukan eliminasi Gauss pada A ~ sehingga matriks gandengan ini
U H dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan A = [ A I]
berubah menjadi [ ]
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ U H]
dengan
mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk
matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan [ I X]
.
Perhatikan contoh berikut.
Kita akan mencari kebalikan dari matriks
⎡ 1
⎢
A =
⎢
3
⎢
⎣−
2
Kita bentuk matriks gandengan [ A I]
2
− 2
4
2⎤
⎥
2
⎥
1⎥
⎦
[ A I]
⎡ 1
⎢
=
⎢
3
⎢
⎣−
2
2
− 2
4
2
2
1
|
|
|
1
0
0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
⎦
238 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”