Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor
berdimensi 2.
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa
solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui
dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi
(n − r).
Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya
dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian
ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks
yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks
identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A −1 sehingga definisi
ini memberikan relasi
−1 −1
A = I = AA
A (17.45)
Jika A berukuran n × n maka A −1 juga berukuran n × n dan demikian pula
matriks identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki
kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak
singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A;
dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal
ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya
P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya
mungkin terjadi jika P = Q.
P = IP = ( AQ)
P = QAP = Q(
AP)
= QI = Q
(17.46)
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan
matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu
Ax = b
(17.47)
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan
(17.47), akan kita peroleh
A
−1 −1
−1
Ax = A b → Ix = x = A b
(17.48)
237