Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita
nyatakan sebagai
x ∑x
(17.42)
j = c
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan
homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh
melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar (17.40) dan
penjumlahan vektor-vektor solusi (17.42). Kita katakan bahwa solusi
dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang
vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa
setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x 1
walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana terlihat
pada (17.41).
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh
vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya
unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam
kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak
diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita
akan melihat kasus yang lain.
• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat
sistem berikut.
xA
− xB
= 0
− xA
+ 4xB
− 5xC
+ 2xD
= 0
xA
− 4xB
+ 5xC
− 2xD
= 0
− xA
+ 7xB
−10xC
+ 4xD
= 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
(17.43)
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 4
7
0
− 5
5
−10
0
2
− 2
4
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
eliminasi Gauss
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
0
− 5
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui
4. Sistem persamaan menjadi
3
0
0
0
0
0
2
0
0
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
235