Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor
Misalkan a 1 , a2
, L am
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A
=[a bk ]. Kita tinjau suatu persamaan vektor
c1 a1
+ c2a2
+ L + c m am
= 0
(17.29)
Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c 1 …
c m ) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang
tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien
yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,
maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan (17.29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektorvektor
tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (17.29)
(atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain;
misalnya vektor a 1 dapat dinyatakan sebagai
c2
c
a1 = − a2
−L −
m
am
= 0
(17.30)
c1
c1
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Kita ambil contoh dua vektor baris
a [ 2 3 1 2]
dan a [ 4 2 6 2]
1 =
Vektor a 1 dan a 2 adalah bebas linier karena
2 =
[ 3 1 2] + [ 4 2 6 2] 0
c1 a 1 + c2a2
= c1
2 c2
=
hanya akan terjadi jika c = c 0
Ambil vektor ketiga a [ 4 6 2 4]
1 2 =
3 =
. Vektor a 3 dan a 1 tidak bebas
linier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagai
a 3 = 2a
1 = 2[ 2 3 1 2] = [ 4 6 2 4]
. Vektor a 1 , a 2 dan a 3 juga tidak
bebas linier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagai
[ 2 3 1 2] + 0 [ 4 2 6 2] [ 4 6 2 4]
a 3 = 2a1
+ 0a2
= 2
=
Akan tetapi jika kita hanya melihat a 3 dan a 2 saja, mereka adalah bebas
linier.
229