Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi
Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang
berbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan
nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0
c). Dua akar kompleks konjugat s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0.
Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengan
contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.
Dua Akar Nyata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kita
terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan
yaitu
+
y(0
) = y
+
p
(0 ) + K + K
y'(0
) = y′
(0 ) + s K + s K
p
+
+
1
1
1
2
2
dan
2
(16.9)
yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebut
B
maka kita peroleh
0
0
+
+
p
+
A = y(0
) − y (0 )
+
= y′
(0 ) − y′
(0 )
p
dan
(16.10)
dan dari sini kita memperoleh
K =
1 + K2
= A0
dan s1K1
+ s2K2
B0
s2A0
− B0
K1 =
dan
s − s
sehingga solusi total menjadi
2
1
s A − B
K
2
s A
s1
A0
− B0
=
s − s
2 0 0 s1t
1 0 0 s t
= y p + e + e (16.11)
s2
− s1
s1
− s2
1
− B
y
2
Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan orde
pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi
2
203