Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Bab 16 Persamaan Diferensial Orde-2
16.1. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua
Secara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk
2
d y dy
a + b + cy = f ( t)
(16.1)
2
dt dt
Pada persamaan diferensial orde satu kita telah melihat bahwa solusi
total terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus.
Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yang
dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada
persamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan ini
terletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdapat dua
kondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaan
solusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah
+ − dy + −
y (0 ) = y(0
) dan (0 ) = y'(0
)
(16.2)
dt
Solusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaian
dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25),
sehingga persamaan menjadi
2
d y dy
a + b + cy = 0
(16.3)
2
dt dt
Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai
bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial y a =
Ke st dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi
dugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh :
aKs
2
e
st
st
st
2
( as + bs + ) = 0
+ bKse + cKe = 0 atau Ke
c
st
(16.4)
Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak
diperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. Satusatunya
jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah
2
as + bs + c = 0
(16.4)
201