Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

sehingga
2
y
2
− ln x = K
atau
2
y = ln x + K′
15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
dy ⎛ y ⎞
= F⎜
⎟
dx ⎝ x ⎠
(15.3)
Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah
bebas baru
Dengan peubah baru ini maka
Persamaan (14.2) menjadi
y = vx dan
y
v =
x
dy
dx
= v +
dv
x
dx
dv
v + x = F(v)
(15.4)
dx
yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.
dx dv
+ = 0
x v − F(
v)
(15.5)
Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x
setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.
2 2
Kita ambil contoh: ( x + y ) dx + 2xydy
= 0
Persamaan ini dapat kita tulis 2 y
x (1 + ) dx + 2xydy
= 0 atau
2
x
2
2
y y
(1 + ) dx = −2
dy sehingga
dy 1 + ( y / x)
= − = F(
y / x)
2
x x
dx 2( y / x)
2
189