Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

13.2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai
suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu
kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang
diarsir pada Gb.13.4.a.
Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan
kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian
menjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmen
kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada
Gb.13.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas
yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luas
segmen bawah).
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas
segmen seperti tergambar pada Gb.13.4.c, kita akan memperoleh luas
yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas
segmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas).
Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan
terjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlihat pada
Gb.13.4.d. Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen kek,
yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlaku
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x)
(13.18)
k
k
Jika pertidaksamaan (13.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecil
dan bernilai positif, maka
f
k
( xk
) ∆ xk
≤ f ( x0 k ) ∆xk
≤ f ( xk
+ ∆x)
∆xk
(13.19)
Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (13.19) kita
jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita
buat), kita akan memperoleh
n
n
n
∑ f ( xk
) ∆xk
≤∑
f ( x0k
) ∆xk
≤ ∑ f ( xk
+ ∆x)
∆xk
(13.20)
k = 1
k = 1
k = 1
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas paling
kanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalah
jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa
162 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”