Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

4
=
2 2
2 2
( r + a + 2ar
cosθ) × ( r + a − 2ar
cosθ)
= r
= r
4
4
+ a
+ a
4
4
+ 2a
2
+ 2a
r
2
2
2
− (2ar
cosθ)
2
r (1 − 2cos
θ)
2
(9.12)
Kita manfaatkan identitas trigonometri
2 2 2
cos 2θ
= cos θ − sin θ = 2cos θ −1
untuk menuliskan (9.12) sebagai
4 4 4 2 2
b = r + a − 2a
r cos 2θ
(9.13)
Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13)
ini dapat kita tuliskan
Untuk r > 0, persamaan ini menjadi
4 2 2
4 4
0 = r − 2a
r cos 2θ + a (1 − k )
2 2
2 2
4
r = a cos 2θ ± a cos 2θ − (1 − k )
(9.14)
Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada
2
kondisi khusus (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau PF1 × PF 2 = a .
Pada kondisi ini persamaan (9.14) menjadi
2 2 2
0 = r ( r − 2a
cos 2θ)
Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua
memberikan persamaan
r
2 = 2a
2 cos 2θ
Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada
Gb.9.10.
115