Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

dan dengan (9.7) menjadi
r = e s PD ; sedangkan
PD = AB = AF + FB = k + r cosθ
sehingga r = es
( k + r cosθ)
= esk
+ esr
cosθ
Dari sini kita dapatkan
r =
esk
− e cosθ
(9.8)
1 s
Nilai e s menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan
peroleh.
Parabola. Jika e s = 1, yang berarti PF = PD, maka
k
r =
(9.9)
1−
cosθ
Inilah persamaan parabola.
Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga.
Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurva
dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah
antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5.
Elips. Jika e s < 1, misalnya e s = 0, 5 , PF = PD/2, maka
k
r =
(9.10)
2 − cosθ
Inilah persamaan elips.
Perhatikan bahwa karena − 1 ≤ cosθ ≤ + 1 maka penyebut pada
persamaan (9.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu
mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P
mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π
maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F.
Hiperbola. Jika e s > 1, misal e s = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka
2k
r =
(9.11)
1 − 2cosθ
Inilah persamaan hiperbola.
113