Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org
Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org
Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham<br />
<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong><br />
<strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong><br />
(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )<br />
Darpublic – Edisi Juli 2012
<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong><br />
(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )<br />
oleh<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham<br />
i
Hak cipta pada penulis.<br />
SUDIRHAM, SUDARYATNO<br />
Beberapa <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong> dan Aplikasinya<br />
Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135.<br />
ii<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Pengantar<br />
Buku ini berisi bahasan mengenai topik-topik m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika yang dipilih<br />
terkait dengan penggunaannya dalam Analisis Rangkaian Listrik. Sudah<br />
barang tentu bahwa m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika sebagai ilmu dasar tidak hanya terpakai<br />
dalam analisis rangkaian listrik. Namun uraian dalam buku ini dikaitkan<br />
dengan buku-buku lain yang penulis susun, bahkan contoh-contoh<br />
persoalan yang diberikan banyak diambil dari buku-buku tersebut;<br />
dengan penulisan buku ini penulis bermaksud memberi penjelasan<br />
mengenai dasar m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika yang digunakan di dalamnya. Dalam buku<br />
ini penulis mencoba menyajikan bahasan m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika dari sisi pandang<br />
aplikasi teknik, dengan sang<strong>at</strong> memb<strong>at</strong>asi penggunaan ungkapan<br />
m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is; pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti<br />
dengan perny<strong>at</strong>aan-perny<strong>at</strong>aan serta gambaran grafis yang lebih mudah<br />
difahami. Dengan cara demikian penulis berharap bahwa pengertian<br />
m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is yang diperlukan bisa difahami dengan lebih mudah.<br />
Pendalaman lebih lanjut dap<strong>at</strong> diperoleh dari buku-buku tentang<br />
m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika yang digunakan sebagai referensi dalam kuliah m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika.<br />
Kemajuan teknologi komputer telah sang<strong>at</strong> membantu proses pemecahan<br />
persoalan di bidang teknik. Namun buku ini tidak membahas cara<br />
perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan<br />
menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang topik<br />
m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika yang dipilih, yang penulis anggap dap<strong>at</strong> memberikan<br />
pemahaman mengenai proses perhitungan dengan menggunakan<br />
komputer.<br />
Akhir k<strong>at</strong>a, penulis harapkan tulisan ini bermanfa<strong>at</strong> bagi pembaca.<br />
Bandung, Juli 2012<br />
Wassalam,<br />
Penulis<br />
iii
Darpublic<br />
Kanayakan D-30, Bandung, 40135<br />
Open Courses<br />
Open Course Ware disediakan oleh Darpublic di<br />
www.<strong>ee</strong>-<strong>cafe</strong>.<strong>org</strong><br />
dalam form<strong>at</strong> .ppsx beranimasi<br />
iv<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Daftar Isi<br />
Pengantar<br />
Daftar Isi<br />
iii<br />
v<br />
Bab 1: Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan Grafik 1<br />
Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk<br />
Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak.<br />
Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordin<strong>at</strong> Polar.<br />
Pemb<strong>at</strong>asan Bahasan dan Sajian Bahasan.<br />
Bab 2: Fungsi Linier 15<br />
Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis<br />
Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.<br />
Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 29<br />
Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian<br />
Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.<br />
Bab 4: Mononom dan Polinom 39<br />
Mononom: Mononom Pangk<strong>at</strong> Dua, Mononom Pangk<strong>at</strong><br />
Tiga. Polinom: Fungsi Kuadr<strong>at</strong>. Penambahan Mononom<br />
Pangk<strong>at</strong> Tiga pada Fungsi Kuadr<strong>at</strong>.<br />
Bab 5: Bangun Geometris 57<br />
Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.<br />
Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderaj<strong>at</strong> Dua.<br />
Perputaran Sumbu.<br />
Bab 6: Fungsi Trigonometri 71<br />
Peubah Bebas Bers<strong>at</strong>uan Deraj<strong>at</strong>. Peubah Bebas<br />
Bers<strong>at</strong>uan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.<br />
Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 87<br />
Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus.<br />
Spetrum Dan Lebar Pita Fungsi Periodik.<br />
Bab 8: Fungsi Logaritma. N<strong>at</strong>ural, Eksponensial, Hiperbolik 97<br />
Fungsi Logaritma N<strong>at</strong>ural. Fungsi Exponensial. Fungsi<br />
Hiperbolik.<br />
Bab 9: Koordin<strong>at</strong> Polar 107<br />
Relasi koordin<strong>at</strong> Polar dan Koordin<strong>at</strong> Sudut-siku.<br />
Persamaan Kurva Dalam Koordin<strong>at</strong> Polar. Persamaan<br />
Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemnisk<strong>at</strong> dan<br />
Oval Cassini. Luas Bidang.<br />
v
Bab 10: Turunan Fungsi Polinom 119<br />
Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak.<br />
Garis Singgung.<br />
Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi 135<br />
Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangk<strong>at</strong> Dari<br />
Su<strong>at</strong>u Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi<br />
Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong>. Kaidah Rantai. Diferensial dx<br />
dan dy.<br />
Bab 12: Turunan Fungsi-Fungsi Transenden 147<br />
Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi.<br />
Fungsi Trigonometri Dari Su<strong>at</strong>u Fungsi. Fungsi<br />
Logaritmik. Fungsi Eksponensial.<br />
Bab 13: Integral 155<br />
Macam-macam Integral. Integral Tak Tentu, Integral<br />
Tentu. Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral. Aplikasi.<br />
Bab 14: Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi 177<br />
Fungsi Tetapan. Mononom. Polinom. Fungsi Pangk<strong>at</strong><br />
dari Fungsi. Fungsi Berpangk<strong>at</strong> S<strong>at</strong>u. Fungsi<br />
Eksponensial. Tetapan Berpangk<strong>at</strong> Fungsi. Fungsi<br />
Trigonometri. Fungsi Hiperbolik. Integral<br />
Menghasilkan Fungsi Trigonometri. Tabel Relasi<br />
Diferensial-Integral.<br />
Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1 187<br />
Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde S<strong>at</strong>u<br />
Dengan Peubah Yang Dap<strong>at</strong> Dipisahkan. Persamaan<br />
Diferensial Homogen Orde S<strong>at</strong>u. Persamaan Diferensial<br />
Linier Orde S<strong>at</strong>u. Solusi Pada Berbagai Fungsi<br />
Pemaksa.<br />
Bab 16: Persamaan Diferensial Orde-2 201<br />
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga<br />
Kemungkinan Bentuk Solusi.<br />
Bab 17: M<strong>at</strong>riks 211<br />
Konsep Dasar M<strong>at</strong>riks. Pengertian dan Operasi M<strong>at</strong>riks.<br />
M<strong>at</strong>riks Khusus. Putaran M<strong>at</strong>riks. Sistem Persamaan<br />
Linier. Eliminasi Gauss. Kebalikan M<strong>at</strong>riks, Eliminasi<br />
Gauss-Jordan.<br />
vi<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 18: Bilangan dan Peubah Kompleks 241<br />
Pengertian dan Definisi. Operasi-Operasi Aljabar.<br />
Repersentasi Grafis. Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar.<br />
Fungsi Kompleks. Pole dan Zero. Aplikasi untuk<br />
Meny<strong>at</strong>akan Fungsi Sinus.<br />
Bab 19: Transformasi Laplace 251<br />
Pemahaman Transformasi Laplace. Transformasi Laplace.<br />
Sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> Transformasi Laplace. Transformasi Balik<br />
Bab 20: Deret dan Transformasi Fourier 271<br />
Deret Fourier. Koefisien Fourier. Deret Fourier Bentuk<br />
Eksponensial. Transformasi Fourier. Sif<strong>at</strong>-Sif<strong>at</strong><br />
Transformasi Fourier. Transformasi Balik.<br />
Daftar Pustaka 297<br />
Biod<strong>at</strong>a penulis 298<br />
vii
viii Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 1 Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan<br />
Grafik<br />
Fungsi dan dan bentuk-bentuk kurvanya akan kita gunakan secara luas di<br />
buku ini untuk memahami berbagai relasi m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is. Oleh karena itu<br />
bab pertama ini kita akan mempelajari secara umum lebih dulu mengenai<br />
fungsi dan grafik.<br />
1.1. Fungsi<br />
Apabila su<strong>at</strong>u besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran<br />
lain x, maka dik<strong>at</strong>akan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi<br />
besaran x. Contoh: panjang b<strong>at</strong>ang logam merupakan fungsi temper<strong>at</strong>ur.<br />
Secara umum su<strong>at</strong>u fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan<br />
y = f (x)<br />
(1.1)<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa penulisan y = f (x)<br />
bukanlah berarti y sama dengan f<br />
kali x, melainkan untuk meny<strong>at</strong>akan bahwa y merupakan fungsi dari x<br />
yang tidak lain adalah sebuah <strong>at</strong>uran <strong>at</strong>au sebuah ketentuan berapakah y<br />
akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan su<strong>at</strong>u nilai.<br />
y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan sebagai peubah-takbebas<br />
(y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari su<strong>at</strong>u<br />
besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari su<strong>at</strong>u set bilangan.<br />
Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai<br />
yang dimiliki x.<br />
Dilih<strong>at</strong> dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah<br />
sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.<br />
Kita ambil contoh dalam relasi fisis<br />
L T<br />
= L 0 (1 + λT<br />
)<br />
dengan L T adalah panjang seb<strong>at</strong>ang logam pada temper<strong>at</strong>ur T, L 0 adalah<br />
panjang pada temper<strong>at</strong>ur nol, T temper<strong>at</strong>ur dan λ adalah koefisien muai<br />
panjang. Panjang b<strong>at</strong>ang tergantung dari temper<strong>at</strong>ur; makin tinggi<br />
temper<strong>at</strong>ur makin panjang b<strong>at</strong>ang logam. Namun sebaliknya, makin<br />
panjang b<strong>at</strong>ang logam tidak selalu berarti temper<strong>at</strong>urnya makin tinggi.<br />
1
Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan<br />
bertambah panjang namun tidak berarti temper<strong>at</strong>urnya meningk<strong>at</strong>.<br />
Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,<br />
sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus<br />
ditenttukan seb<strong>at</strong>as mana ia boleh bervariasi.<br />
1.2. Domain<br />
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x<br />
bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk<br />
sebagai berikut:<br />
a). rentang nilai berupa bilangan-ny<strong>at</strong>a yang terletak antara dua nilai a<br />
dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai<br />
a < x < b<br />
Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun<br />
lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dap<strong>at</strong><br />
kita gambarkan sebagi berikut:<br />
a<br />
a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.<br />
b). rentang nilai<br />
kita gambarkan sebagai<br />
a<br />
a ≤ x < b<br />
Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan<br />
rentang setengah terbuka.<br />
c). rentang nilai<br />
a ≤ x ≤ b<br />
Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini<br />
adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan<br />
b<br />
b<br />
a<br />
b<br />
2<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri<br />
Kurva. Fungsi y = f (x)<br />
dap<strong>at</strong> divisualisasikan secara grafis. Dalam<br />
visualisasi ini kita memerlukan koordin<strong>at</strong>. Su<strong>at</strong>u garis horisontal<br />
memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan<br />
sebagai sumbu-x <strong>at</strong>au absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi<br />
0 serta panjang s<strong>at</strong>uan skala, sedemikian rupa sehingga kita dap<strong>at</strong><br />
menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lih<strong>at</strong> Gb.1.1); peubah x<br />
memiliki nilai yang berupa bilangan-ny<strong>at</strong>a.<br />
3<br />
Q[-2,2]<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
x<br />
III -1 IV<br />
R[-3,-3]<br />
y<br />
II<br />
-2<br />
-3<br />
P[2,1]<br />
S[3,-2]<br />
-4<br />
Gb.1.1. Sistem koordin<strong>at</strong> x-y <strong>at</strong>au koordin<strong>at</strong> sudut-siku.<br />
C<strong>at</strong><strong>at</strong>an: Su<strong>at</strong>u bilangan-ny<strong>at</strong>a dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengan desimal<br />
terb<strong>at</strong>as maupun desimal tak terb<strong>at</strong>as. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah<br />
bilangan-ny<strong>at</strong>a bul<strong>at</strong>; 1,586 adalah bilangan-ny<strong>at</strong>a dengan desimal<br />
terb<strong>at</strong>as; π adalah bilangan-ny<strong>at</strong>a dengan desimal tak terb<strong>at</strong>as, yang<br />
jika hanya dilih<strong>at</strong> sampai sembilan angka di belakang koma nilainya<br />
adalah 3,141592654.<br />
Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x,<br />
memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke <strong>at</strong>as, yang melew<strong>at</strong>i<br />
titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordin<strong>at</strong>. Titik perpotongan<br />
sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasal<br />
dan kita tulis berkoordin<strong>at</strong> [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga<br />
s<strong>at</strong>uan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita<br />
untuk menggambarkan posisi bilangan-ny<strong>at</strong>a di sumbu-y. Besaran fisik<br />
yang diny<strong>at</strong>akan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak<br />
harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x<br />
I<br />
3
menunjukkan waktu dengan s<strong>at</strong>uan detik/skala, sedangkan sumbu-y<br />
menunjukkan jarak dengan s<strong>at</strong>uan meter/skala.<br />
Bidang d<strong>at</strong>ar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y,<br />
selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu<br />
kuadran I, II, III dan IV seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.1.<br />
Setiap titik K pada bidang d<strong>at</strong>ar ini dap<strong>at</strong> kita ny<strong>at</strong>akan posisinya sebagai<br />
K[x k ,y k ], dengan x k dan y k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di<br />
sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada<br />
Gb.1.1. misalnya, posisi emp<strong>at</strong> titik yang digambarkan di kuadran I, II,<br />
III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan<br />
S[3,-2].<br />
Dengan demikian setiap pasangan bilangan-ny<strong>at</strong>a akan berkaitan dengan<br />
s<strong>at</strong>u titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki<br />
oleh ruas kiri dan ruas kanan su<strong>at</strong>u fungsi y = f(x) dap<strong>at</strong> divisualisasikan<br />
pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang<br />
x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan<br />
perny<strong>at</strong>aan fungsi yang divisualisasikannya.<br />
Contoh: sebuah fungsi<br />
y = 0, 5x<br />
(1.2)<br />
Setiap nilai x akan menentukan s<strong>at</strong>u nilai y. Jika kita mu<strong>at</strong>kan dalam<br />
su<strong>at</strong>u tabel, nilai x dan y akan terlih<strong>at</strong> seperti pada Tabel-1.1.<br />
Tabel-1.1.<br />
x -1 0 1 2 3 4 dst.<br />
y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.<br />
Fungsi y = 0, 5x<br />
yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti<br />
tercantum dalam Tabel-1.1. di <strong>at</strong>as akan memberikan kurva seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal<br />
[0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari<br />
lebih lanjut); persamaan garis ini adalah y = 0, 5x<br />
.<br />
Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional,<br />
setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu<br />
persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan<br />
persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita<br />
4<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
isa mendap<strong>at</strong>kan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan<br />
sebaliknya kita juga dap<strong>at</strong> memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.<br />
P<br />
y<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
Gb.1.2. Kurva dari fungsi<br />
y = 0, 5x<br />
Dengan contoh di <strong>at</strong>as kita mengerti bahwa fungsi y = 0, 5x<br />
membentuk<br />
kurva dengan persamaan y = 0, 5x<br />
di bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitik<br />
P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordin<strong>at</strong> P[-1,-0.5],<br />
Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini<br />
perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara<br />
paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.<br />
Kekontinyuan. Su<strong>at</strong>u fungsi yang kontinyu dalam su<strong>at</strong>u rentang nilai x<br />
tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang<br />
tersebut. Syar<strong>at</strong> untuk terjadinya fungsi yang kontinyu diny<strong>at</strong>akan<br />
sebagai berikut:<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dik<strong>at</strong>akan<br />
kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syar<strong>at</strong>, yaitu:<br />
(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x =<br />
c;<br />
(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; perny<strong>at</strong>aan ini kita<br />
tuliskan sebagai lim f ( x)<br />
= f ( c)<br />
yang kita baca limit f(x)<br />
x→c<br />
untuk x menuju c sama dengan f(c).<br />
Q<br />
∆x<br />
∆y<br />
0 1 2 3 x 4<br />
R<br />
Contoh: Kita lih<strong>at</strong> misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini<br />
tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dap<strong>at</strong> kita tentukan berapa nilainya;<br />
lim f ( x)<br />
tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyar<strong>at</strong>an<br />
x→c<br />
5
kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x<br />
= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0<br />
(lih<strong>at</strong> selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai<br />
y = u(<br />
x),<br />
y = 1 untuk x ≥ 0<br />
y = 0 untuk x < 0<br />
yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perh<strong>at</strong>ikan<br />
Gb.1.3.<br />
1<br />
y<br />
y = 1/x<br />
-10 -5<br />
0<br />
0 5 x 10<br />
y = 1/x<br />
-1<br />
Tak terdefinikan di x = 0.<br />
y<br />
1<br />
0<br />
0<br />
y = u(x)<br />
Gb.1.3. Fungsi<br />
x<br />
Terdefinisikan di x = 0<br />
y = 1/<br />
x dan y = u(x)<br />
Simetri. Kurva su<strong>at</strong>u fungsi mungkin simetris terhadap garis <strong>at</strong>au titik<br />
tertentu<br />
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka<br />
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;<br />
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva<br />
fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.<br />
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva<br />
fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.<br />
6<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,<br />
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].<br />
Contoh: Perh<strong>at</strong>ikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.<br />
Kurva y = 0,3x 2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x =<br />
2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangk<strong>at</strong> genap.<br />
Kurva y = 0,05x 3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x<br />
berpangk<strong>at</strong> ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti<br />
– x dan y diganti – y.<br />
2 2<br />
Kurva x + y = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap<br />
sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga<br />
simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.<br />
y = 0,3x 2<br />
6<br />
3<br />
y<br />
tidak berubah bila x diganti −x<br />
tidak berubah jika x dan y<br />
diganti dengan −x dan −y<br />
0<br />
-6 -3 0 3 6<br />
-3 y 2 + x 2 = 9<br />
y = 0,05x 3 tidak berubah jika<br />
x diganti −x<br />
x dan y diganti dengan −x dan −y<br />
-6<br />
x dan y dipertukarkan<br />
y diganti dengan −y<br />
Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.<br />
1.4. Bentuk Implisit<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi kebanyakan diny<strong>at</strong>akan dalam bentuk eksplisit dimana<br />
peubah-tak-bebas y secara eksplisit diny<strong>at</strong>akan dalam x, seperti<br />
y = f (x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana<br />
nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah<br />
beberapa contoh bentuk implisisit.<br />
x<br />
7
x<br />
2<br />
xy = 1<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
= x<br />
= 1<br />
+ xy + y<br />
2<br />
= 8<br />
(1.3)<br />
Walaupun tidak diny<strong>at</strong>akan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x<br />
akan memberikan s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>au lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh<br />
pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk<br />
eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem<br />
koordin<strong>at</strong> x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh<br />
yang ke-emp<strong>at</strong> agak sulit, namun persamaan tersebut dap<strong>at</strong> dijadikan<br />
bentuk persamaan kuadr<strong>at</strong><br />
yang akar-akarnya adalah<br />
2<br />
2<br />
2 ( 2 =<br />
x + xy + y = 8 ⇒ y + xy + x −8)<br />
0<br />
y , y<br />
1<br />
2<br />
− x ±<br />
=<br />
x<br />
2<br />
− 4( x<br />
2<br />
2<br />
− 8)<br />
Nilai y 1 dan y 2 dap<strong>at</strong> dihitung untuk setiap x yang masih memberikan<br />
nilai ny<strong>at</strong>a untuk y. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa akar-akar persamaan ini dap<strong>at</strong> kita<br />
tuliskan sebagai<br />
2<br />
2<br />
− x x − 4( x − 8)<br />
y = ±<br />
(1.4)<br />
2 2<br />
yang merupakan bentuk perny<strong>at</strong>aan eksplisit y = f (x)<br />
. Kurva fungsi<br />
ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.5.<br />
8<br />
y<br />
4<br />
0<br />
x<br />
-4 -2 0 2 4<br />
-4<br />
-8<br />
2 2<br />
− x x − 4( x − 8)<br />
Gb.1.5. Kurva y = ±<br />
2 2<br />
8<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak<br />
Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki s<strong>at</strong>u nilai<br />
peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi<br />
bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.<br />
1).<br />
2<br />
y = 0,5x<br />
.<br />
Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan s<strong>at</strong>u nilai y. Kurva<br />
dari fungsi ini diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva<br />
fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini<br />
terutama diperlih<strong>at</strong>kan rentang x ≥ 0.<br />
8<br />
y<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-1 0 1 2 3 x 4<br />
Gb.1.6. Kurva<br />
y = 0,5x<br />
2<br />
2). y = + x .<br />
Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia<br />
bernilai tunggal dengan kurva seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb 1.7.<br />
y<br />
1,6<br />
1,2<br />
0,8<br />
0,4<br />
0<br />
0 0,5 1 1,<br />
5<br />
Gb.1.7. Kurva<br />
y = +<br />
x<br />
x<br />
2<br />
9
3). y = − x .<br />
Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai neg<strong>at</strong>if. Oleh karena itu<br />
ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.8.<br />
Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva<br />
y = + x . Hal ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai<br />
baik positif maupun neg<strong>at</strong>if.<br />
0<br />
0 0,5 1 1,5 x 2<br />
-0,4<br />
-0,8<br />
4). y = log10<br />
x .<br />
-1,2<br />
y<br />
-1,6<br />
Gb.1.8. Kurva<br />
y = −<br />
x<br />
Sebelum melih<strong>at</strong> kurva fungsi ini ada baiknya kita menging<strong>at</strong><br />
kembali tentang logaritma.<br />
log 10 adalah logaritma dengan basis 10; log 10 a berarti<br />
berapakah 10 harus dipangk<strong>at</strong>kan agar diperoleh a. Jadi<br />
y = log10<br />
x berarti 10<br />
y = x<br />
y 1 = log 10 1 = 0 ;<br />
y 2 = log 10 1000 = 3 ;<br />
y 3 = log 10 2 = 0,30103 ; ...dst.<br />
Kurva fungsi<br />
y = log10<br />
x terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.9.<br />
0,8<br />
y<br />
0,4<br />
0<br />
-0,4<br />
0 1 2 3 x 4<br />
-0,8<br />
Gb.1.9. Kurva<br />
y = log10<br />
x<br />
10<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
5). 2<br />
y = x = x .<br />
Fungsi ini berlaku untuk nilai x neg<strong>at</strong>if maupun positif.<br />
2<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan<br />
± x. Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.10.<br />
Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x 2<br />
Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk s<strong>at</strong>u nilai peubah-bebas terdap<strong>at</strong><br />
lebih dari s<strong>at</strong>u nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai<br />
banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.<br />
1). Fungsi y = ± x .<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya<br />
x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong><br />
pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif <strong>at</strong>au neg<strong>at</strong>if<br />
saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan<br />
pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .<br />
y 2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-1<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4<br />
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3<br />
x<br />
-1,5<br />
-2<br />
Gb.1.11. Kurva<br />
y = ±<br />
x<br />
11
2). Fungsi y<br />
2 1<br />
= .<br />
x<br />
Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.<br />
Kurva fungsi ini diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.1.12.<br />
10<br />
y<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
0 1 2 3<br />
x<br />
-10<br />
Gb.1.12. Kurva<br />
y 2 = 1/<br />
x ⇒ y = ± 1/<br />
x<br />
1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas<br />
Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari s<strong>at</strong>u<br />
peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.<br />
Misalkan su<strong>at</strong>u fungsi dengan dua peubah bebas x dan t diny<strong>at</strong>akan<br />
sebagai<br />
y = f ( x,<br />
t)<br />
(1.5)<br />
Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan<br />
fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang<br />
berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi<br />
(x) dan waktu (t).<br />
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak<br />
sebagai<br />
w = f ( x,<br />
y,<br />
z,<br />
u,<br />
v)<br />
(1.6)<br />
untuk meny<strong>at</strong>akan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,<br />
z,u,dan v.<br />
Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,<br />
misalnya<br />
12<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2 2 2 2<br />
ρ = x + y + z<br />
(1.7)<br />
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif<br />
dari ρ dan kita ny<strong>at</strong>akan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai<br />
2 2 2<br />
ρ = + x + y + z<br />
(1.8)<br />
1.7. Sistem Koordin<strong>at</strong> Polar<br />
Selain sistem koordin<strong>at</strong> sudut-siku di mana posisi titik diny<strong>at</strong>akan dalam<br />
skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordin<strong>at</strong> polar.<br />
Dalam sistem koordin<strong>at</strong> polar ini posisi titik diny<strong>at</strong>akan oleh jarak titik<br />
ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r<br />
dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordin<strong>at</strong> sudut-siku<br />
posisi titik diny<strong>at</strong>akan sebagai P(x,y) maka dalam koordin<strong>at</strong> polar<br />
diny<strong>at</strong>akan sebagai P(r,θ).<br />
Hubungan antara koordin<strong>at</strong> susut siku dan koordin<strong>at</strong> polar adalah<br />
y = r sin θ ;<br />
x = r cos θ ;<br />
2<br />
r = x + y<br />
2<br />
−<br />
θ = tan 1 ( y / x)<br />
Hubungan ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.1.13.<br />
y<br />
rcosθ<br />
r<br />
θ<br />
x<br />
Gb.1.13. Hubungan koordin<strong>at</strong> sudut-siku dan koordin<strong>at</strong> polar.<br />
P<br />
rsinθ<br />
13
1.8. Fungsi Parametrik<br />
Dalam koordin<strong>at</strong> sudut-siku fungsi y = f (x)<br />
mungkin juga dituliskan<br />
sebagai<br />
y = y(t) x = x(t)<br />
(1.10)<br />
jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang<br />
demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.<br />
14<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 2 Fungsi Linier<br />
2.1. Fungsi Tetapan<br />
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.<br />
Kita tuliskan<br />
y = k<br />
[2.1]<br />
dengan k bilangan-ny<strong>at</strong>a. Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.2.1. berupa<br />
garis lurus mend<strong>at</strong>ar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞<br />
sampai +∞.<br />
y 5<br />
y = 4<br />
0<br />
-5 0 x 5<br />
-4<br />
y = −3,5<br />
Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):<br />
y = 4 dan y = −3, 5 .<br />
2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus<br />
Persamaan (2.1) adalah s<strong>at</strong>u contoh persamaan garis lurus yang<br />
merupakan garis mend<strong>at</strong>ar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak<br />
sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.<br />
Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap<br />
perubahan x, <strong>at</strong>au kita tuliskan<br />
∆y<br />
⎛ "delta y"<br />
⎞<br />
kemiringan = m = , ⎜dibaca : ⎟ (2.2)<br />
∆x<br />
⎝ "delta x"<br />
⎠<br />
15
Dalam hal garis lurus, rasio<br />
∆y<br />
memberikan hasil yang sama di titik<br />
∆x<br />
manapun kita menghitungnya. Artinya su<strong>at</strong>u garis lurus hanya<br />
mempunyai s<strong>at</strong>u nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada<br />
fungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan emp<strong>at</strong> contoh kurva<br />
garis lurus yang semuanya melew<strong>at</strong>i titik-asal [0,0] akan tetapi dengan<br />
kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dari<br />
y = 0, 5x , garis y = 2x<br />
lebih miring dari y = x dan jauh lebih miring<br />
dari y = 0, 5x<br />
, dan ketiganya miring ke <strong>at</strong>as. Makin besar nilai m, garis<br />
akan semakin miring. Garis yang ke-emp<strong>at</strong> memiliki m neg<strong>at</strong>if −1,5 dan<br />
ia miring ke bawah (menurun).<br />
8<br />
y<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-4<br />
-6<br />
y = 2x<br />
0<br />
-1 0<br />
-2<br />
1 2 3 x 4<br />
y = -1,5 x<br />
Gb.2.2. Emp<strong>at</strong> contoh kurva garis lurus<br />
y = mx .<br />
Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah<br />
y = mx<br />
(2.3)<br />
dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan<br />
semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke <strong>at</strong>as (naik). Jika<br />
m bernilai neg<strong>at</strong>if, garis akan miring ke bawah (menurun).<br />
2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis<br />
y = x<br />
y = 0,5x<br />
Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]<br />
melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini<br />
memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk su<strong>at</strong>u nilai x,<br />
sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah<br />
2. Oleh karena itu kita dap<strong>at</strong> menuliskan persamaa garis ini sebagai<br />
y = 2 x + 2 . Perh<strong>at</strong>ikan Gb.2.3.<br />
16<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.<br />
Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong<br />
sumbu-y di [0,b] adalah<br />
( y − b)<br />
= mx<br />
(2.4)<br />
b bisa positif <strong>at</strong>aupun neg<strong>at</strong>if. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah<br />
sumbu-y positif (ke <strong>at</strong>as) yang berarti garis memotong sumbu-y di <strong>at</strong>as<br />
titik [0,0]. Jika b neg<strong>at</strong>if, garis tergeser kearah sumbu-y neg<strong>at</strong>if (ke<br />
bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singk<strong>at</strong>, b<br />
pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong<br />
sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lih<strong>at</strong> Gb.2.4.<br />
Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2x<br />
,<br />
setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2x<br />
; <strong>at</strong>au<br />
dengan k<strong>at</strong>a lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan<br />
nilai x pada garis y = 2x<br />
dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini<br />
terjadi pada x = x 1 dan hal ini terjadi pada x = ( x 1 −1)<br />
pada kurva<br />
y = 2x .<br />
y<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-4<br />
8<br />
y = 2x + 2<br />
y = 2x<br />
0<br />
-1 0<br />
-2<br />
1 2 3 x 4<br />
6<br />
4<br />
2<br />
y = 2x<br />
y =2(x–1)<br />
0<br />
-1 0 1 2<br />
-2 x 1 −1 x 1<br />
3 x 4<br />
-4<br />
Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].<br />
17
Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan<br />
kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan<br />
y = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah<br />
y = m( x − a)<br />
(2.5)<br />
Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arah<br />
sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a neg<strong>at</strong>if garis itu tergeser ke arah<br />
sumbu-x neg<strong>at</strong>if (ke kiri). Secara singk<strong>at</strong> a pada (2.5) menunjukkan<br />
pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.<br />
Pada contoh di <strong>at</strong>as, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan<br />
memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2].<br />
Su<strong>at</strong>u garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,<br />
pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di <strong>at</strong>as, kemiringannya<br />
adalah<br />
∆y<br />
0 − ( −2)<br />
2<br />
m = = = = 2<br />
∆x 1 1<br />
dan persamaan garis adalah<br />
y = 2x<br />
− 2<br />
(2.6)<br />
Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan<br />
memberikan m = 2 dan b = −2.<br />
Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordin<strong>at</strong><br />
di [a,0] dan [0,b] adalah<br />
Contoh:<br />
y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-4<br />
y = mx + b<br />
-1 0 1 2 3 x 4<br />
-2<br />
b<br />
dengan m = −<br />
(2.7)<br />
a<br />
garis memotong sumbu x di 2,<br />
dan memotong sumbu y di 4<br />
4<br />
Persamaan garis: y = − x + 4 = −2x<br />
+ 4<br />
2<br />
18<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlih<strong>at</strong> perpotongannya<br />
dengan sumbu-sumbu koordin<strong>at</strong>? Persamaan garis demikian ini dap<strong>at</strong><br />
dicari jika diketahui koordin<strong>at</strong> dua titik yang ada pada garis tersebut.<br />
Lih<strong>at</strong> Gb.2.5.<br />
Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu<br />
∆y<br />
( y2<br />
− y1)<br />
m = =<br />
(2.8)<br />
∆x<br />
( x − x )<br />
y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-4<br />
2<br />
1<br />
Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.<br />
Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua<br />
titik yang diketahui koordin<strong>at</strong>nya. Jadi secara umum harus berlaku<br />
m<br />
y<br />
[x 1 ,y 1 ]<br />
−<br />
−<br />
y<br />
2 1<br />
= (2.9)<br />
x2<br />
x1<br />
Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini<br />
adalah<br />
y − y = m( x − 1 )<br />
(2.10)<br />
1 x<br />
[x 2 ,y 2 ]<br />
0<br />
-1 0 1 2 x 3<br />
-2<br />
Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m<br />
yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y 1 dan<br />
bergeser searah sumbu-x sebesar x 1 .<br />
Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan<br />
Q(1,2).<br />
19
y P − yQ<br />
7 − 2<br />
Kemiringan garis ini adalah m = = = 1, 25<br />
x p − xQ<br />
5 −1<br />
Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik<br />
asal y = 1, 25x<br />
. Persamaan garis dengan kemiringan ini yang<br />
melalui titik P(5,7) adalah<br />
y − 7 = 1,25( x − 5) → y = 1,25 x − 6,25 + 7<br />
y = 1,25 x + 0,75<br />
Kita bisa melih<strong>at</strong> secara umum, bahwa kurva su<strong>at</strong>u fungsi<br />
y = f (x)<br />
akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x 1 skala jika x diganti dengan (x −<br />
x 1 ), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y 1 skala jika y diganti dengan (y<br />
− y 1 )<br />
y = f (x) menjadi y = f x − x ) <strong>at</strong>au y − y = f ( ) (2.11)<br />
( 1<br />
1 x<br />
Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia<br />
berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan<br />
kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.<br />
Contoh:<br />
y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
-4<br />
y = 2x<br />
2<br />
0<br />
-1 0<br />
-2<br />
1 2 3 x 4<br />
kurva semula<br />
y + 2 = 2x (pergeseran –2<br />
searah sumbu-y)<br />
<strong>at</strong>au<br />
y = 2(x – 1) (pergeseran +1<br />
searah sumbu-x)<br />
Contoh:<br />
Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis<br />
yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan<br />
20<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah<br />
y = 1, 25x<br />
. Garis ini<br />
harus kita geser menjadi ( y − b)<br />
= 1,25( x − a)<br />
agar melalui titik P<br />
dan Q. Nilai a dan b dap<strong>at</strong> kita peroleh jika kita masukkan<br />
koordin<strong>at</strong> titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan<br />
memasukkan koordin<strong>at</strong> titik ini kita dap<strong>at</strong>kan persamaan<br />
7 − b = 1,25(5 − a)<br />
dan 2 − b = 1,25(1 − a)<br />
Dari sini kita akan mendap<strong>at</strong>kan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75<br />
sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)<br />
dap<strong>at</strong> diperoleh, yaitu y − 0 ,75 = 1, 25x<br />
<strong>at</strong>au y = 1 ,25( x + 0,6)<br />
.<br />
Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di<br />
−0,6.<br />
2.4. Perpotongan Garis<br />
Dua garis lurus<br />
y +<br />
1 = a1x<br />
b1<br />
dan y 2 = a2x<br />
+ b2<br />
berpotongan di titik P sehingga koordin<strong>at</strong> P memenuhi y 1 = y2<br />
sehingga<br />
Contoh:<br />
⇒ x<br />
⇒<br />
P<br />
y<br />
P<br />
b2<br />
− b<br />
=<br />
1<br />
a − a<br />
1<br />
= a x<br />
1<br />
P<br />
a +<br />
2<br />
1xP<br />
+ b1<br />
= a2xp<br />
b2<br />
+ b<br />
1<br />
<strong>at</strong>au<br />
y<br />
P<br />
= a<br />
2<br />
x<br />
P<br />
+ b<br />
Titik potong dua garis y 1 = 2x<br />
+ 3 dan y2<br />
= 4x<br />
− 8<br />
y 1 = y2<br />
→ 2x<br />
+ 3 = 4x<br />
− 8 → 2x<br />
= 11<br />
2<br />
(2.12)<br />
11<br />
x P = = 5,5 ; y P = 2x<br />
+ 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14<br />
2<br />
<strong>at</strong>au y = 4 × 5,5 − 8 14<br />
P =<br />
Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perh<strong>at</strong>ikan Gb.2.6. berikut<br />
ini.<br />
21
y<br />
30<br />
20<br />
y 1<br />
y 2<br />
10<br />
0<br />
-10 -5 0 5 10<br />
-10<br />
P ⇒ Koordin<strong>at</strong> P memenuhi<br />
persamaan y 1 maupun y 2 .<br />
x<br />
-20<br />
-30<br />
Gb.2.6. Perpotongan dua garis.<br />
Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita<br />
tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dik<strong>at</strong>akan juga<br />
mereka berpotongan di ∞.<br />
Contoh: Dua garis y 1 = 4x<br />
+ 3 dan y2<br />
= 4x<br />
− 8 adalah sejajar.<br />
2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordin<strong>at</strong><br />
Pada penggambaran kurva-kurva di <strong>at</strong>as, panjang per skala kedua sumbu<br />
koordin<strong>at</strong> tidak sama. Apabila panjang per skala dibu<strong>at</strong> sama kita akan<br />
memiliki kemiringan garis<br />
m = tan θ<br />
(2.13)<br />
dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x<br />
<strong>at</strong>au dengan garis mend<strong>at</strong>ar, seperti pada Gb.2.7.<br />
y<br />
5 −<br />
m = tan θ<br />
θ<br />
|<br />
|<br />
5<br />
x<br />
−5 −<br />
Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.<br />
Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian<br />
skala di kedua sumbu koordin<strong>at</strong> sama besar <strong>at</strong>aupun tidak. Namun jika<br />
22<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlih<strong>at</strong> dalam grafik<br />
menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama<br />
besar sudut θ yang terlih<strong>at</strong> pada grafik bukanlah sudut sebenarnya<br />
sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan<br />
bukan dilih<strong>at</strong> dari grafik.<br />
2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri<br />
Pada fungsi linier<br />
y = m( x − a)<br />
+ b , peubah y akan selalu memiliki nilai,<br />
berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga<br />
kontinyu dalam rentang tersebut.<br />
Kurva fungsi<br />
y = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini<br />
tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.<br />
2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier<br />
Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa<br />
fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,<br />
merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.<br />
1). Su<strong>at</strong>u benda dengan massa m yang mendap<strong>at</strong> gaya F akan<br />
memperoleh percep<strong>at</strong>an.<br />
F = ma ; a adalah percep<strong>at</strong>an<br />
Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percep<strong>at</strong>an a<br />
benda akan memiliki kecep<strong>at</strong>an sebagai fungsi waktu sebagai<br />
v ( t)<br />
v + <strong>at</strong><br />
= 0<br />
v kecep<strong>at</strong>an gerak benda, v 0 kecep<strong>at</strong>an awal, t waktu. Jika kecep<strong>at</strong>an<br />
awal adalah nol maka kecep<strong>at</strong>an gerak benda pada waktu t adalah<br />
v ( t)<br />
= <strong>at</strong><br />
2) Dalam tabung k<strong>at</strong>oda, jika beda tegangan antara anoda dan k<strong>at</strong>oda<br />
adalah V , dan jarak antara anoda dan k<strong>at</strong>oda adalah l maka antara<br />
anoda dan k<strong>at</strong>oda terdap<strong>at</strong> medan listrik sebesar<br />
V<br />
E =<br />
l<br />
23
Elektron yang<br />
muncul di<br />
permukaan k<strong>at</strong>oda<br />
akan mendap<strong>at</strong><br />
percep<strong>at</strong>an dari<br />
adanya medan<br />
listrik sebesar<br />
anoda<br />
a = eE<br />
a adalah percep<strong>at</strong>an yang dialami elektron, e mu<strong>at</strong>an elektron, E<br />
medan listrik. Jika kecep<strong>at</strong>an awal elektron adalah nol, dan waktu<br />
tempuh dari anoda ke k<strong>at</strong>oda adalah t, maka kecep<strong>at</strong>an elektron pada<br />
waktu mencapai k<strong>at</strong>oda adalah<br />
v k = <strong>at</strong><br />
3) Su<strong>at</strong>u pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada<br />
posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam b<strong>at</strong>as<br />
elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas<br />
sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.<br />
dengan k adalah konstanta pegas.<br />
F = kx<br />
4) Dalam seb<strong>at</strong>ang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i<br />
jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V.<br />
Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan<br />
relasi<br />
V<br />
i = GV = , dengan G =<br />
1<br />
R<br />
R<br />
G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut<br />
resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan<br />
V = iR<br />
yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.<br />
]<br />
Jika penampang logam adalah A dan r<strong>at</strong>a sepanjang logam, maka<br />
resistansi dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengan<br />
R =<br />
ρl<br />
A<br />
ρ disebut resistivitas bahan logam.<br />
l<br />
k<strong>at</strong>oda<br />
24<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Kerap<strong>at</strong>an arus dalam logam adalah<br />
<strong>at</strong>as kita peroleh<br />
j =<br />
i<br />
A<br />
=<br />
V<br />
RA<br />
1<br />
=<br />
ρ<br />
i<br />
j = dan dari persamaan di<br />
A<br />
V<br />
l<br />
= σE<br />
dengan E = V / l adalah ku<strong>at</strong> medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ<br />
adalah konduktivitas bahan logam.<br />
Secara infinitisimal ku<strong>at</strong> medan listrik adalah gradien potensial <strong>at</strong>au<br />
dV<br />
gradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertian<br />
dx<br />
gradien akan kita pelajari di Bab-9.<br />
5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk<br />
terjadinya difusi,<br />
yaitu penyebaran<br />
m<strong>at</strong>eri menembus<br />
m<strong>at</strong>eri lain, adalah<br />
adanya perbedaan<br />
m<strong>at</strong>eri masuk<br />
di x a C a<br />
konsentrasi. Situasi<br />
ini analog dengan<br />
C x<br />
peristiwa aliran<br />
mu<strong>at</strong>an listrik di mana<br />
faktor pendorong<br />
x a ∆x x<br />
untuk terjadinya aliran mu<strong>at</strong>an adalah perbedaan tegangan.<br />
m<strong>at</strong>eri keluar<br />
di x<br />
Analog dengan peristiwa listrik, fluksi m<strong>at</strong>eri yang berdifusi dap<strong>at</strong><br />
kita tuliskan sebagai<br />
dC<br />
J x = −D<br />
dx<br />
D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam<br />
keadaan mantap di mana C 0 dan C x bernilai konstan. Relasi ini<br />
disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal meny<strong>at</strong>akan bahwa<br />
fluksi dari m<strong>at</strong>eri yang berdifusi sebanding dengan gradien<br />
konsentrasi; dengan k<strong>at</strong>a lain fluksi m<strong>at</strong>eri yang berdifusi merupakan<br />
fungsi linier dari gradien konsentrasi.<br />
Berikut ini tersaji soal-soal untuk l<strong>at</strong>ihan. Soal-soal ini hanya berkenaan<br />
dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di <strong>at</strong>as kita<br />
menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar perny<strong>at</strong>aan su<strong>at</strong>u<br />
25
garis lurus melainkan su<strong>at</strong>u bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam<br />
praktik rekayasa.<br />
Soal-Soal<br />
1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima<br />
yang tergambar di bawah ini.<br />
5<br />
4<br />
y<br />
3<br />
y 1 y 2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
-1<br />
y 5<br />
y 3<br />
-2<br />
-3<br />
y 4<br />
-4<br />
-5<br />
x<br />
2. Carilah koordin<strong>at</strong> titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada<br />
soal nomer-1 di <strong>at</strong>as.<br />
3. Carilah persamaan garis yang<br />
a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y 2 ;<br />
b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y 3 .<br />
4. Carilah persamaan garis yang melalui<br />
a) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 3 – y 4 ;<br />
b) titik potong y 3 − y 4 dan titik potong y 1 – y 5 ;<br />
c) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 4 – y 5 .<br />
5. Carilah persamaan garis yang<br />
a) melalui titik potong y 1 – y 5 dan sejajar dengan garis y 2 ;<br />
b) melalui titik potong y 4 – y 5 dan sejajar dengan garis y 1 .<br />
26<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 3 Gabungan Fungsi Linier<br />
Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membu<strong>at</strong> model dari<br />
perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin<br />
merupakan fungsi waktu, temper<strong>at</strong>ur, tekanan <strong>at</strong>au yang lain. Artinya<br />
waktu, temper<strong>at</strong>ur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,<br />
sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak<br />
bebas, y.<br />
Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika<br />
dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as tertentu perubahan tersebut dap<strong>at</strong> dianggap linier,<br />
besaran fisis tersebut dap<strong>at</strong> dimodelkan dengan memanfa<strong>at</strong>kan fungsifungsi<br />
linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis<br />
tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis<br />
rangkaian listrik.<br />
3.1. Fungsi Anak Tangga<br />
Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita<br />
menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan<br />
membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang<br />
disebut fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan yang didefinisikan bernilai nol untuk<br />
x < 0, dan bernilai s<strong>at</strong>u untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x)<br />
. Jadi<br />
u(<br />
x)<br />
= 1 untuk x ≥ 0<br />
= 0 untuk x < 0<br />
(3.1)<br />
Jika su<strong>at</strong>u fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tangga<br />
s<strong>at</strong>uan, akan kita peroleh su<strong>at</strong>u fungsi lain yang kita sebut fungsi anak<br />
tangga (disebut juga undak), yaitu<br />
y = ku(x)<br />
(3.2)<br />
Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x<br />
≥ 0. Gb.3.1. memperlih<strong>at</strong>kan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi<br />
y = 3,5u<br />
( x)<br />
dan fungsi y = −2,5u(<br />
x)<br />
yang bernilai nol untuk x < 0<br />
dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.<br />
27
y<br />
5<br />
y = 3,5 u(x)<br />
0<br />
-5 0 x 5<br />
-4<br />
y = −2,5 u(x)<br />
Gb.3.1. Fungsi anak tangga.<br />
Fungsi anak tangga seperti (3.2) dik<strong>at</strong>akan mulai muncul pada x = 0 dan<br />
k disebut amplitudo. Kita lih<strong>at</strong> sekarang fungsi anak tangga yang baru<br />
muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.<br />
Fungsi demikian ini diny<strong>at</strong>akan dengan mengganti peubah x dengan<br />
( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tangga<br />
y = ku( x − a)<br />
(3.3)<br />
merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak<br />
tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini<br />
bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika neg<strong>at</strong>if bergeser ke arah neg<strong>at</strong>if<br />
sumbu-x. Gb.3.2. memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi seperti ini.<br />
y 5<br />
y = 3,5 u(x−1)<br />
0<br />
-5 0 1<br />
x 5<br />
-4<br />
Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi<br />
di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan<br />
fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).<br />
28<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
3.2. Fungsi Ramp<br />
Telah kita lih<strong>at</strong> bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan<br />
kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.<br />
Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x<br />
< 0, yang dap<strong>at</strong> diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak<br />
tangga s<strong>at</strong>uan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk<br />
x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah<br />
y = axu(x)<br />
(3.4)<br />
Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp s<strong>at</strong>uan.<br />
Fungsi ramp tergeser adalah<br />
y = a( x − g)<br />
u(<br />
x − g)<br />
(3.5)<br />
dengan g adalah pergeserannya. Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa pada (3.5)<br />
bagian y1 = a(<br />
x − g)<br />
adalah fungsi linier tergeser sedangkan<br />
y2 = u(<br />
x − g)<br />
adalah fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan yang tergeser. Gb.3.3.<br />
memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi ramp s<strong>at</strong>uan y 1 = xu(<br />
x)<br />
, fungsi ramp<br />
y 2 = 2xu(<br />
x)<br />
, dan fungsi ramp tergeser y 3 = 1,5( x − 2) u(<br />
x − 2)<br />
.<br />
3.3. Pulsa<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
y 2 = 2xu(x)<br />
y 1 = xu(x)<br />
0<br />
-1 0 1 2 3 x 4<br />
Gb.3.3. Ramp s<strong>at</strong>uan y 1 = xu(x), ramp y 2 = 2xu(x),<br />
ramp tergeser y 3 = 1,5(x-2)u(x-2).<br />
y 3 = 1,5(x-2)u(x-2)<br />
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada su<strong>at</strong>u nilai x 1 tertentu dan<br />
menghilang pada x 2 >x 1 . Bentuk pulsa ini dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dengan<br />
gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi<br />
29
erlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya<br />
adalah<br />
y = au x − x ) − au(<br />
x − )<br />
(3.6)<br />
( 1 x2<br />
x 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x 2<br />
adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x 2 > x 1 .<br />
Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk<br />
pulsa, yang muncul pada x = x 1 dan menghilang pada x = x 2 . Selisih<br />
( x2 − x1 ) disebut lebar pulsa<br />
lebar pulsa = x 2 − x 1<br />
(3.7)<br />
Gb.3.4. memperlih<strong>at</strong>kan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x<br />
= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah<br />
y = 2u(<br />
x −1)<br />
− 2u(<br />
x − 2)<br />
= 2<br />
{ u(<br />
x −1)<br />
− u(<br />
x − 2) }<br />
lebar<br />
pulsa<br />
2<br />
1<br />
y 1 =2u(x-1)<br />
y 1 +y 2 = 2u(x-1)-2u(x-2)<br />
0<br />
-1 0 1 2 3 x 4<br />
-1<br />
y 2 = -2u(x-2)<br />
-2<br />
Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)<br />
Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu<br />
y ′ = { u( x −1)<br />
− u(<br />
x − 2) }, adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada<br />
x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang<br />
muncul pada x = x 1 dan berakhir pada x = x 2 adalah<br />
y′ = A{ u( x − x1 ) − u(<br />
x − x2)<br />
}; lebar pulsa ini adalah (x 2 – x 1 ).<br />
Contoh: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan<br />
amplitudo 4, memiliki persamaan<br />
{ u(<br />
x)<br />
− u(<br />
3) }<br />
y = 4 x − .<br />
30<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar<br />
lebar pulsanya, ( x2 − x1)<br />
, dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena<br />
itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki<br />
nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.<br />
Dalam praktik, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.<br />
memperlih<strong>at</strong>kan deretan pulsa<br />
perioda<br />
y<br />
Gb.3.5. Deretan Pulsa.<br />
Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul<br />
biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang<br />
diberi simbol t off . S<strong>at</strong>u perioda T = t on + t off . Nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a deretan pulsa<br />
adalah<br />
ton<br />
y rr pulsa = ymaks<br />
(3.8)<br />
T<br />
dengan y maks adalah amplitudo pulsa.<br />
x<br />
3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.<br />
Persamaan umumnya adalah<br />
{ ( x − x ) − u(<br />
x − )}<br />
y = mxu( x)<br />
× A u 1 x2<br />
(3.9)<br />
dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan<br />
amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dap<strong>at</strong> kita tulis<br />
y = mAx<br />
{ u x − x ) − u(<br />
x − )}<br />
( 1 x2<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa u ( x)<br />
= 1 karena ia adalah fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan.<br />
Gb.3.6. memperlih<strong>at</strong>kan perkalian fungsi ramp y 1 = 2xu(<br />
x)<br />
dengan<br />
fungsi pulsa y 2 = 1,5{ u(<br />
x −1)<br />
− u(<br />
x − 3) } yang hanya memiliki nilai<br />
antara x = 1 dan x = 3. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki<br />
31
nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil<br />
kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.<br />
y<br />
3<br />
= y<br />
1<br />
= 3x<br />
y2<br />
= 2xu(<br />
x)<br />
× 1,5{ u(<br />
x −1)<br />
− u(<br />
x − 3) }<br />
{ u(<br />
x −1)<br />
− u(<br />
x − 3) }<br />
10<br />
8<br />
6<br />
y<br />
y 3 = y 1 y 2<br />
y 1 =2xu(x)<br />
4<br />
y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)}<br />
2<br />
0<br />
-1 0 1 2 3 4 x 5<br />
Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y 1 dan pulsa y 2 .<br />
Perkalian fungsi ramp y 1 = mxu(<br />
x)<br />
dengan pulsa y2 = 1{ u(<br />
x)<br />
− u(<br />
x − b)<br />
}<br />
membentuk fungsi gigi gergaji y = ( m × 1) x{ u(<br />
x)<br />
− u(<br />
x − b)<br />
} yang<br />
muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).<br />
10<br />
8<br />
y<br />
y 1 =mxu(x)<br />
6<br />
y 3 = y 1 y 2 =mx{u(x)-u(x-b)}<br />
4<br />
2<br />
y 2 ={u(x)-u(x-b)}<br />
0<br />
b<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
Gb.3.7. Kurva gigi gergaji<br />
Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara<br />
periodik, dengan perioda T, seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.8.<br />
Nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a fungsi gigi gergaji adalah<br />
y rr gigi - gergaji =<br />
ymaks<br />
2<br />
(3.10)<br />
x<br />
32<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dengan y maks adalah nilai puncak gigi gergaji.<br />
y<br />
6<br />
4<br />
T<br />
2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 x 5<br />
Gb.3.8. Fungsi gigi gergaji terjadi secara periodik.<br />
3.5. Gabungan Fungsi Ramp<br />
Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk<br />
y = axu(<br />
x)<br />
+ b(<br />
x − x1)<br />
u(<br />
x − x1<br />
)<br />
+ c(<br />
x − x2)<br />
u(<br />
x − x2)<br />
+ .......<br />
(3.11)<br />
Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(<br />
x)<br />
dan<br />
y 2 = −2(<br />
x − 2) u(<br />
x − 2) seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.9. Gabungan dua<br />
fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena<br />
mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi<br />
gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada sa<strong>at</strong><br />
mencapai x = 2.<br />
y<br />
12<br />
10<br />
8<br />
y 1 =2xu(x)<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2 0 1 2 3 4 5<br />
x<br />
-4<br />
y<br />
-6<br />
2 = −2(x−2)u(x−2)<br />
-8<br />
y 3 = 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)<br />
Gb.3.9. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .<br />
Gb.3.10. memperlih<strong>at</strong>kan kurva gabungan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(<br />
x)<br />
dan y = −4(<br />
x − 2) u(<br />
x − 2)<br />
. Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan<br />
33
neg<strong>at</strong>if dua kali lip<strong>at</strong> dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh<br />
karena itu fungsi gabungan y 3 = y 1 + y 2 akan menurun mulai dari x = 2.<br />
y<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
y 1 =2xu(x)<br />
y 2 = −4(x−2)u(x−2)<br />
y 3 = 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
x<br />
Gb.3.10. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .<br />
Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa<br />
y pulsa = u( x −1)<br />
− u(<br />
x − 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.11.<br />
y<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
-5<br />
x<br />
-10<br />
y 2 = −4(x-2)u(x-2)<br />
y 3 = {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}<br />
y 1 =2xu(x)<br />
Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}<br />
Gabungan fungsi ramp dap<strong>at</strong> digunakan untuk meny<strong>at</strong>akan bentuk<br />
gelombang segitiga seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.3.12.<br />
y<br />
Gb.3.12. Gelombang segitiga.<br />
x<br />
34<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam<br />
bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.<br />
Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji<br />
misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.<br />
3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri<br />
Fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan yang tergeser y = u( x − a)<br />
hanya mempunyai<br />
nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan<br />
dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥<br />
a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.<br />
Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang<br />
memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris<br />
terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan<br />
yang tergeser.<br />
Soal-Soal<br />
Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada<br />
bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.<br />
1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak<br />
tangga berikut ini :<br />
a) y 1 : y maks = 5, muncul pada x = 0.<br />
b) y 2 : y maks = 10 , muncul pada x = 1.<br />
c) y 3 : y maks = −5 , muncul pada x = 2.<br />
2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 1, gambarkanlah kurva fungsi<br />
berikut ini.<br />
a). y<br />
c). y<br />
4<br />
b). y<br />
5<br />
6<br />
= y + y<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= y + y<br />
2<br />
;<br />
= y + y ;<br />
+ y<br />
3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :<br />
a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.<br />
b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.<br />
c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.<br />
3<br />
35
4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan<br />
pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.<br />
5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan<br />
amplitudo 10 dan perioda 0,5.<br />
6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang<br />
digambarkan di bawah ini.<br />
y<br />
5<br />
perioda<br />
0 x<br />
1 2 3 4 5 6<br />
−3<br />
7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik<br />
yang digambarkan di bawah ini.<br />
y<br />
5<br />
0 x<br />
1 2 3 4 5 6<br />
−5<br />
perioda<br />
36<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 4 Mononom dan Polinom<br />
Mononom adalah perny<strong>at</strong>aan tunggal yang berbentuk kx n , dengan k<br />
adalah tetapan dan n adalah bilangan bul<strong>at</strong> termasuk nol.<br />
Fungsi polinom merupakan jumlah terb<strong>at</strong>as dari mononom. Berikut ini<br />
beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit<br />
3 2<br />
y1<br />
= x + 5x<br />
− 3x<br />
+ 7<br />
2 2<br />
y2<br />
= ( x − 5)<br />
y3<br />
= 10x<br />
y4<br />
= 5<br />
Contoh yang pertama, y 1 , adalah fungsi polinom berpangk<strong>at</strong> tiga, yaitu<br />
pangk<strong>at</strong> tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y 2 , adalah fungsi<br />
berpangk<strong>at</strong> emp<strong>at</strong>. Contoh y 3 dan y 4 adalah fungsi mononom berpangk<strong>at</strong><br />
s<strong>at</strong>u dan berpangk<strong>at</strong> nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan<br />
fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.<br />
4.1. Mononom<br />
Mononom Pangk<strong>at</strong> Dua. Mononom pangk<strong>at</strong> dua kita pandang sebagai<br />
fungsi genap, kita tuliskan<br />
2<br />
y = kx<br />
(4.1)<br />
Karena x di-kuadr<strong>at</strong>kan, maka mengganti x dengan −x tidak akan<br />
mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya<br />
akan neg<strong>at</strong>if manakala k neg<strong>at</strong>if.<br />
Kita ing<strong>at</strong> bahwa pada fungsi linier y = kx nilai k merupakan<br />
kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah<br />
positif sumbu-x, dan jika neg<strong>at</strong>if garis akan menurun. Jika k makin besar<br />
kemiringan garis makin tajam.<br />
Pada fungsi mononom pangk<strong>at</strong> dua, kurva akan berada di <strong>at</strong>as sumbu-x<br />
jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k neg<strong>at</strong>if . Jika k<br />
makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.<br />
memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.<br />
37
Makin besar nilai k akan membu<strong>at</strong> lengkungan kurva makin tajam.<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.<br />
10<br />
y y = 5x 2 y = 3x 2<br />
9<br />
8<br />
7<br />
y = x 2<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-3 -2 -1<br />
0<br />
0 1 2 3<br />
Gb.4.1. Kurva fungsi<br />
2<br />
y = kx dengan k positif.<br />
Gb.4.2 memperlih<strong>at</strong>kan bentuk kurva jika k bernilai neg<strong>at</strong>if. Jika kurva<br />
dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada<br />
titik [0,0], kurva untuk k neg<strong>at</strong>if menunjukkan adanya nilai y maksimum<br />
pada titik [0,0].<br />
x<br />
x<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0<br />
-20<br />
1 2 3 4 5<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
y<br />
-100<br />
y = −10x 2<br />
y = −2x 2<br />
Gb.4.2. Kurva fungsi<br />
2<br />
y = kx dengan k neg<strong>at</strong>if.<br />
Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;<br />
kita akan melih<strong>at</strong> bagaimana jika kurva mononom digeser. Pergeseran<br />
kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan<br />
peubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala<br />
diperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian<br />
persamaan mononom pangk<strong>at</strong> dua yang tergeser menjadi<br />
2<br />
− b)<br />
= k(<br />
x − )<br />
(4.3)<br />
( y<br />
a<br />
38<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Kurva fungsi seperti ini diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,<br />
a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =<br />
10, persamaan dap<strong>at</strong> kita tuliskan menjadi<br />
2<br />
y 1 = 10x<br />
y<br />
2<br />
2 = 10(<br />
x − 2)<br />
y 3 = 10( x − 2) + 30<br />
2<br />
100<br />
y<br />
y 3 = 10(x−2) 2 + 30<br />
y 1 = 10x 2 50<br />
y 2 = 10(x−2) 2<br />
0<br />
-5 -3 -1 1 3 5<br />
Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangk<strong>at</strong> dua dan tergeser.<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa y 2 adalah pergeseran dari y 1 ke arah positif sumbu-x<br />
sebesar 2 skala; y 3 adalah pergeseran dari y 2 ke arah positif sumbu-y<br />
sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.<br />
Mononom Pangk<strong>at</strong> Genap. Mononom pangk<strong>at</strong> genap yang lain adalah<br />
berpangk<strong>at</strong> 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangk<strong>at</strong> genap akan<br />
membentuk kurva yang memiliki sif<strong>at</strong> seperti pada mononom pangk<strong>at</strong><br />
dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di <strong>at</strong>as sumbu-x jika k<br />
positif dan berada di bawah sumbu-x jika k neg<strong>at</strong>if. Gb.4.4.<br />
memperlih<strong>at</strong>kan perbedaan bentuk kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap yang<br />
memiliki koefisien k sama besar.<br />
Kita lih<strong>at</strong> pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangk<strong>at</strong> mononom makin<br />
cep<strong>at</strong> nilai y bertambah namun hal ini hanya terlih<strong>at</strong> mulai dari x = 1.<br />
Pada nilai x lebih kecil dari s<strong>at</strong>u, kurva makin landai jika pangk<strong>at</strong> makin<br />
tinggi. Dengan k<strong>at</strong>a lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dap<strong>at</strong><br />
dimengerti karena pangk<strong>at</strong> bilangan pecahan bernilai makin kecil jika<br />
pangk<strong>at</strong> makin besar.<br />
x<br />
39
y<br />
3<br />
2<br />
y 1 = 2x 2<br />
y 2 = 2x 4<br />
1<br />
y 3 = 2x 6 0<br />
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5<br />
Gb.4.4. Kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap dengan koefisien<br />
sama.<br />
Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangk<strong>at</strong> dua, bahwa jika<br />
koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang<br />
sama terjadi juga pada kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap yang lebih tinggi.<br />
Gb.4.5. memperlih<strong>at</strong>kan kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap dengan<br />
koefisien yang yang meningk<strong>at</strong> dengan meningk<strong>at</strong>nya pangk<strong>at</strong>.<br />
y 1 = 6x 6<br />
y 2 = 3x 4<br />
y 3 = 2x 2<br />
Gb.4.5. Kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap dengan koefisien tak sama.<br />
Pada Gb.4.5 terlih<strong>at</strong> bahwa makin besar k, nilai y juga makin cep<strong>at</strong><br />
meningk<strong>at</strong>. Kecep<strong>at</strong>an peningk<strong>at</strong>an y dengan koefisien yang lebih besar<br />
sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari s<strong>at</strong>u. Gejala kelandaian pada<br />
nilai x yang kecil tetap terlih<strong>at</strong>.<br />
Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang<br />
makin besar pada pangk<strong>at</strong> yang makin besar. Bila koefisien makin<br />
kecilpada pangk<strong>at</strong> yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah<br />
seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.6 berikut ini.<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5<br />
y<br />
x<br />
40<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y = 6x 2<br />
y = 3x 4<br />
y = x 6<br />
Gb.4.6. Kurva mononom pangk<strong>at</strong> genap dengan<br />
koefisien yang makin rendah pada mononom<br />
berpangk<strong>at</strong> tinggi.<br />
Kelandaian kurva pangk<strong>at</strong> tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.<br />
Kurva pangk<strong>at</strong> tinggi baru akan menyusul kurva berpangk<strong>at</strong> rendah pada<br />
nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangk<strong>at</strong><br />
rendah terjadi pada nilai y yang besar.<br />
Contoh Fungsi Mononom Pangk<strong>at</strong> Dua. Kita ambil beberapa contoh<br />
peristiwa fisis.<br />
1). Su<strong>at</strong>u benda dengan massa m yang mendap<strong>at</strong> gaya F akan<br />
memperoleh percep<strong>at</strong>an a sehingga kecep<strong>at</strong>an benda sebagai fungsi<br />
waktu (apabila kecep<strong>at</strong>an awal adalah nol) dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai<br />
v ( t)<br />
= <strong>at</strong><br />
Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5<br />
1<br />
s ( t)<br />
= <strong>at</strong><br />
2<br />
2). Dalam tabung k<strong>at</strong>oda, jika kecep<strong>at</strong>an awal elektron adalah nol, dan<br />
waktu tempuh dari anoda ke k<strong>at</strong>oda adalah t, maka kecep<strong>at</strong>an<br />
elektron pada waktu mencapai k<strong>at</strong>oda adalah<br />
v k = <strong>at</strong><br />
2<br />
41
anoda<br />
]<br />
k<strong>at</strong>oda<br />
l<br />
(lih<strong>at</strong> contoh fungsi linier sub-bab-2.7).<br />
Waktu tempuh dap<strong>at</strong> dihitung dari formula<br />
= l.<br />
1<br />
2<br />
2<br />
s ( t)<br />
= <strong>at</strong> , di mana s(t)<br />
3). Dalam teori <strong>at</strong>om, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,<br />
fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan<br />
j r<br />
sentral adalah ψ = e k dengan k adalah vektor bilangan gelombang<br />
yang searah dengan ramb<strong>at</strong>an gelombang.<br />
gelombang<br />
Energi kinetik elektron sebagai<br />
gelombang, E k , adalah<br />
E<br />
k =<br />
2<br />
h k<br />
2m<br />
2<br />
e<br />
k = 2π , λ : panjang<br />
λ<br />
E k<br />
m e massa electron, h su<strong>at</strong>u konstanta.<br />
E k dan k memiliki relasi mononomial<br />
pangk<strong>at</strong> dua<br />
(Dari Bab-8, ref. [4])<br />
k<br />
Mononom Pangk<strong>at</strong> Ganjil. Pangk<strong>at</strong> ganjil paling kecil adalah 1 dan<br />
dalam hal demikian ini kita mendap<strong>at</strong>kan persamaan garis y = kx .<br />
Pangk<strong>at</strong> ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.<br />
memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi mononom berpangk<strong>at</strong> ganjil.<br />
Kurva fungsi mononom pangk<strong>at</strong> ganjil simetris terhadap titik asal. Ia<br />
bernilai positif untuk x positif dan bernilai neg<strong>at</strong>if untuk x neg<strong>at</strong>if. Makin<br />
tinggi pangk<strong>at</strong> mononom makin cep<strong>at</strong> perubahan nilai y untuk x > 1.<br />
42<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam<br />
“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1 ≤ x ≤ 1.<br />
Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangk<strong>at</strong> ganjil.<br />
Apabila peningk<strong>at</strong>an pangk<strong>at</strong> disertai juga dengan peningk<strong>at</strong>an koefisien<br />
k, perpotongan kurva dengan garis y = kx bisa terjadi pada nilai x < 1.<br />
4.2. Polinom Pangk<strong>at</strong> Dua<br />
Fungsi polinom pangk<strong>at</strong> dua berbentuk<br />
2<br />
y = ax + bx + c<br />
(4.4)<br />
Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> apa yang terjadi pada proses penambahan<br />
mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing<br />
mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom<br />
positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva<br />
masing-masing mononom diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.4.6.<br />
150<br />
y<br />
y 1 =2x 2<br />
0<br />
-10 0<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.5 -1 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5<br />
-2<br />
-3<br />
y = 2x y = 2x 5<br />
y 2 =15x<br />
y 3 =13<br />
y = 2x 3<br />
x<br />
-150<br />
Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadr<strong>at</strong>.<br />
43
Jika kurva y 2 = 15x ditambahkan pada y 1 = 2x 2 maka kurva y 1 akan<br />
bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di<br />
sebelah kiri titik [0,0] seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.7.a.<br />
y 1 =2x 2<br />
150<br />
y<br />
y 4 =2x 2 +15x<br />
-10 0<br />
0<br />
x<br />
(a)<br />
x = −15/2<br />
y 2 =15x<br />
-150<br />
150<br />
sumbu simetri y<br />
−15/4<br />
y 4 =2x 2 +15x<br />
−15/2<br />
-10 0<br />
0<br />
x<br />
(b)<br />
sumbu simetri<br />
150<br />
y<br />
-150<br />
y 5 = 2x 2 +15x+13<br />
y 4 = 2x 2 +15x<br />
-10 0<br />
0<br />
x<br />
(c)<br />
-150<br />
Gb.4.7. Penjumlahan y 1 = 2x 2 , y 2 = 15x, dan y 3 = 13<br />
44<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Karena y2 = 15x<br />
melalui titik [0,0] dan y 1 = 2x 2 juga melalui titik [0,0]<br />
maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva<br />
y = y + y = x 15x<br />
(4.5)<br />
4 1 2 2 2 +<br />
yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga<br />
memotong sumbu-x di x = −15 / 2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan<br />
x = −15 / 2 ) memenuhi persamaan y 3 = 2x<br />
2 + 15x<br />
= 0 . Kurva ini<br />
memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = −15 / 4 seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y 4<br />
tebentuklah<br />
y 5 = 2x<br />
2 + 15x<br />
+ 13<br />
(4.6)<br />
yang merupakan pergeseran dari y 4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13<br />
skala, seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.7.c.<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang bentuk umum fungsi pangk<strong>at</strong> dua (4.4)<br />
yang dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
⎛ 2<br />
y = a⎜<br />
x +<br />
⎝<br />
⎛<br />
= a⎜<br />
x +<br />
⎝<br />
b<br />
a<br />
b<br />
2a<br />
2<br />
y = ax + bx + c<br />
b<br />
a<br />
⎞ ⎛<br />
x⎟<br />
+ c = a⎜<br />
x +<br />
⎠ ⎝ 2<br />
2 2<br />
⎞ b − 4ac<br />
⎟ −<br />
⎠ 4a<br />
2 2<br />
⎞ b<br />
⎟ − + c<br />
⎠ 4a<br />
(4.7)<br />
Kurva dari fungsi (4.7) ini dap<strong>at</strong> kita fahami sebagai berikut: kurva y<br />
adalah kurva y = ax 2<br />
b<br />
yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh −<br />
2a<br />
kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh<br />
Perh<strong>at</strong>ikan Gb.4.8.<br />
⎛ 2 ⎞<br />
⎜<br />
b − 4ac<br />
− ⎟ .<br />
⎜ ⎟<br />
⎝<br />
4a<br />
⎠<br />
45
y<br />
y = ax 2 +bx +c<br />
x 1<br />
x 2<br />
y = ax 2<br />
b<br />
−<br />
2a<br />
}<br />
Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax 2 sejajar sumbu-x ke kiri<br />
sejauh<br />
–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah<br />
sejauh –(b 2 −4ac)/4a.<br />
b<br />
Sumbu simetri terletak pada x = − dan kurva memotong sumbu-x di<br />
2a<br />
sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x 1 dan x 2 . Dari<br />
persamaan (4.7) kita dap<strong>at</strong>kan<br />
0<br />
-50<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
b<br />
−<br />
⎝<br />
2<br />
x<br />
− 4ac<br />
⎞<br />
⎟<br />
4a<br />
⎠<br />
2 2<br />
⎛ b ⎞ b − 4ac<br />
y = a⎜<br />
x + ⎟ − = 0 →<br />
⎝ 2a<br />
⎠ 4a<br />
⎛<br />
a⎜<br />
x +<br />
⎝<br />
b<br />
2a<br />
2 2<br />
⎞ b − 4ac<br />
⎟ =<br />
⎠ 4a<br />
2 2<br />
2<br />
⎛ b ⎞ b − 4ac<br />
⎛ b ⎞ b − 4ac<br />
→ ⎜ x + ⎟ = → ⎜ x + ⎟ = ±<br />
2a<br />
2<br />
2<br />
⎝ ⎠ 4a<br />
⎝ 2a<br />
⎠ 4a<br />
x , x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
b b − 4ac<br />
= − ±<br />
(4.8)<br />
2a<br />
2a<br />
yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadr<strong>at</strong>.<br />
Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadr<strong>at</strong> bersinggungan<br />
dengan sumbu-x; dua akar ny<strong>at</strong>a dari persamaan kuadr<strong>at</strong> menjadi sama<br />
besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol<br />
46<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2<br />
b − 4ac<br />
2<br />
− = 0 ⇒ ( b − 4ac)<br />
= 0<br />
4a<br />
(4.9)<br />
Jika ( b 2 − 4ac)<br />
< 0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini<br />
memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.<br />
Tinjauan di <strong>at</strong>as memberikan hal-hal berikut:<br />
2<br />
1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax + bx yang memotong sumbu-<br />
b<br />
b<br />
x di x = 0 dan x = − dan memiliki sumbu simetri di x = −<br />
a<br />
2a<br />
yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadr<strong>at</strong><br />
2<br />
y = ax + bx + c .<br />
2<br />
2. Nilai puncak fungsi y = ax + bx + c<br />
2<br />
y = ax + bx ditambah c yaitu<br />
2<br />
b<br />
y = − + c<br />
4 a<br />
adalah nilai puncak<br />
2<br />
b − 4 ac<br />
<strong>at</strong>au − .<br />
4a<br />
2<br />
3. Fungsi kuadr<strong>at</strong> y = ax + bx + c<br />
memotong sumbu-x di<br />
x1,2<br />
= −<br />
b<br />
±<br />
2a<br />
2<br />
b − 4ac<br />
2a<br />
Fungsi Polinom Pangk<strong>at</strong> Dua Sebagai Mononom Tergeser. Mononom<br />
2<br />
pangk<strong>at</strong> dua yang tergeser tergeser adalah ( y − b)<br />
= k(<br />
x − a)<br />
yang<br />
dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
dengan<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
y = kx − 2 akx + ka + b = Ax + Bx + C<br />
A = kx , B = −2akx<br />
, C = ka + b .<br />
Jadi bentuk kurva polinom pangk<strong>at</strong> dua memiliki bentuk yang sama<br />
dengan mononom tergeser.<br />
2<br />
47
4.3. Mononom dan Polinom Pangk<strong>at</strong> Tiga<br />
3<br />
Fungsi mononom pangk<strong>at</strong> tiga kita tuliskan y = kx . Jika k positif, fungsi<br />
ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai neg<strong>at</strong>if untuk x<br />
neg<strong>at</strong>if. Jika k neg<strong>at</strong>if maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva<br />
fungsi ini diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.4.9.<br />
3<br />
y = −2x<br />
500<br />
y<br />
400<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2<br />
-100<br />
-1 0 1 2 3 4 5<br />
x<br />
3<br />
y = 2x<br />
300<br />
200<br />
100<br />
-200<br />
-300<br />
-400<br />
-500<br />
Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx 3 .<br />
Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan<br />
pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan<br />
(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh<br />
dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangk<strong>at</strong> tiga yang<br />
tergeser akan menjadi<br />
dengan bentuk kurva diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.4.10.<br />
3<br />
3<br />
y = 2x<br />
3<br />
y = −2x<br />
y = k( x − a)<br />
+ b<br />
(4.10)<br />
48<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
600<br />
y<br />
400<br />
y = 10x 3<br />
200<br />
0<br />
-5 -3 -1 1 3 5<br />
-200<br />
y = 10(x−2) 3<br />
x<br />
-400<br />
y = 10(x−2) 3 + 100<br />
-600<br />
Gb.4.10. Kurva fungsi pangk<strong>at</strong> tiga tergeser.<br />
Jika mononom pangk<strong>at</strong> tiga ditambahkan pada polinom pangk<strong>at</strong> dua,<br />
terbentuklan polinom pangk<strong>at</strong> tiga, dengan persamaan umum yang<br />
berbentuk<br />
3 2<br />
y = ax + bx + cx + d<br />
(4.11)<br />
3<br />
Karena y = kx naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan<br />
ke fungsi kuadr<strong>at</strong> akan menyebabkan kurva fungsi kuadr<strong>at</strong> naik di<br />
sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].<br />
3<br />
Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y 1 = ax dan b =19, c = −80, d<br />
2<br />
= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y 2 = bx + cx + d seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.4.11.a.<br />
49
y2 = 19x<br />
2 − 80x<br />
− 200<br />
2000<br />
y<br />
y 1 =<br />
4x 3<br />
-<br />
10<br />
0<br />
0 10<br />
x<br />
(a)<br />
-2000<br />
y<br />
3<br />
= y<br />
1<br />
3<br />
= 4x<br />
+ y<br />
2<br />
+ 19x<br />
2<br />
− 80x<br />
− 200<br />
y 2<br />
2000<br />
y<br />
0<br />
-10 0 10<br />
x<br />
(b)<br />
y 1<br />
-2000<br />
Gb.4.11. Mononom pangk<strong>at</strong> tiga y 1 dan fungsi kuadr<strong>at</strong> y 2 .<br />
Dengan a positif maka kurva y 1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai<br />
neg<strong>at</strong>if untuk x < 0. Kurva fungsi kuadr<strong>at</strong> y 2 telah kita kenal. Jika y 1<br />
ditambahkan pada y 2 maka nilai-nilai y 2 di sebelah kiri titik [0,0] akan<br />
berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.<br />
Kurva yang kita peroleh akan terlih<strong>at</strong> seperti pada Gb.4.9.b.<br />
Terlih<strong>at</strong> pada gambar ini bahwa penjumlahan y 1 dan y 2 menghasilkan<br />
kurva y 3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa<br />
3 2<br />
persamaan pangk<strong>at</strong> tiga ax + bx + cx + d = 0 (dengan nilai koefisien<br />
yang kita ambil) memiliki tiga akar ny<strong>at</strong>a, yang ditunjukkan oleh<br />
perpotongan fungsi y 3 dengan sumbu-x tersebut.<br />
50<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,<br />
penurunan kurva y 1 di daerah x neg<strong>at</strong>if tidak terlalu tajam. Hal ini<br />
menyebabkan pengurangan nilai y 2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.<br />
Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini<br />
fungsi pangk<strong>at</strong> tiga memotong sumbu-x di tiga temp<strong>at</strong> akan tetapi yang<br />
terlih<strong>at</strong> hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x neg<strong>at</strong>if.<br />
Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan<br />
yang ke-tiga ini.<br />
2000<br />
y 2<br />
y 3 = y 1 + y 2<br />
y 1<br />
-2000<br />
-10 10<br />
(a) a kurang positif<br />
2000<br />
y 2<br />
-10 15<br />
(b) a terlalu positif<br />
y 3 = y 1 +y 2<br />
y 1<br />
-2000<br />
Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangk<strong>at</strong> tiga y = y 1 + y 2 .<br />
Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y 1 di daerah neg<strong>at</strong>if sang<strong>at</strong><br />
tajam. Pengurangan y 2 di daerah ini terjadi sang<strong>at</strong> besar. Kurva yang kita<br />
51
peroleh akan terlih<strong>at</strong> seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak<br />
memotong sumbu-x di daerah neg<strong>at</strong>if. Hanya ada s<strong>at</strong>u titik potong di<br />
sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadr<strong>at</strong> yang sudah kita<br />
bahas di sub-bab sebelumnya.<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang keadaan di mana a bernilai neg<strong>at</strong>if. Nilai a neg<strong>at</strong>if<br />
akan membu<strong>at</strong> kurva y 1 bernilai positif di daerah x neg<strong>at</strong>if dan bernilai<br />
neg<strong>at</strong>if di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y 2 akan bertambah<br />
di daerah neg<strong>at</strong>if dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak<br />
terlalu neg<strong>at</strong>if, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlih<strong>at</strong><br />
pada Gb.4.13.a.<br />
y 3 = y 1 + y 2<br />
2000<br />
y 1<br />
y 2<br />
0<br />
-10 0 15<br />
(a)<br />
-2000<br />
y 3 = y 1 + y 2<br />
y 2<br />
15<br />
y 1<br />
0<br />
-10 0<br />
(b)<br />
-2000<br />
Gb.4.13. Fungsi pangk<strong>at</strong> tiga y 3 = y 1 + y 2 dengan a neg<strong>at</strong>if.<br />
Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga temp<strong>at</strong>. Akan tetapi<br />
perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin neg<strong>at</strong>if a<br />
52<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu neg<strong>at</strong>if kurva<br />
berpotongan dengan sumbu-x di s<strong>at</strong>u temp<strong>at</strong>, seperti terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb.4.13.b.<br />
CATATAN: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangk<strong>at</strong> tiga<br />
dengan sumbu-x tidak sem<strong>at</strong>a-m<strong>at</strong>a ditentukan oleh nilai koefisien<br />
a pada mononom pertama ax 3 . Bentuk dan posisi kurva fungsi<br />
kuadr<strong>at</strong>nya, juga akan menentukan letak titik potong.<br />
4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri<br />
Peubah x pada semua fungsi polinom dap<strong>at</strong> mengambil nilai dari −∞<br />
sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom<br />
kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita<br />
mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan<br />
polinom, y = y 1 × y2<br />
.<br />
Kita telah melih<strong>at</strong> bahwa kurva mononom pangk<strong>at</strong> dua<br />
2<br />
y = kx simetris<br />
terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah<br />
fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang<br />
berpangk<strong>at</strong> genap. Keny<strong>at</strong>aan ini menimbulkan istilah simetri genap<br />
untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi<br />
cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.<br />
Kita juga telah melih<strong>at</strong> bahwa kurva mononom pangk<strong>at</strong> tiga<br />
3<br />
y = kx<br />
simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan<br />
penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku<br />
pula untuk semua kurva mononom berpangk<strong>at</strong> ganjil. Istilah simetri<br />
ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],<br />
seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.<br />
Penjumlahan antara mononom berpangk<strong>at</strong> genap dengan mononom<br />
berpangk<strong>at</strong> ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu<br />
simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi<br />
mononom berpangk<strong>at</strong> genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan<br />
untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangk<strong>at</strong> ganjil.<br />
Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangk<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u yang juga<br />
merupakan mononom berpangk<strong>at</strong> ganjil. Kurva dari fungsi ini juga<br />
simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier<br />
dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi<br />
mononom pangk<strong>at</strong> tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan<br />
53
dengan kurva mononom pangk<strong>at</strong> dua menghasilkan pergeseran kurva<br />
fungsi pangk<strong>at</strong> dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri<br />
yang sejajar dengan sumbu-y.<br />
Soal-Soal<br />
1. Tentukanlah koordin<strong>at</strong> titik puncak dan perpotongan dengan<br />
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.<br />
2<br />
2<br />
y1<br />
= 4x<br />
; y2<br />
= 5x<br />
− 7 ;<br />
2<br />
2<br />
y3<br />
= 3x<br />
−12 ; y4<br />
= −4x<br />
+ 8<br />
2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordin<strong>at</strong> titik perpotongan<br />
antara kurva-kurva fungsi berikut ini<br />
y<br />
1 dan y2<br />
; y2<br />
dan y3<br />
; y3<br />
dan<br />
3. Tentukanlah koordin<strong>at</strong> titik puncak dan perpotongan dengan<br />
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
3 +<br />
y = 5x<br />
−10x<br />
; y = 3x<br />
−12x<br />
; y = −4x<br />
2x<br />
4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordin<strong>at</strong> titik perpotongan<br />
kurva-kurva fungsi berikut.<br />
y<br />
1 dan y2<br />
; y2<br />
dan y3<br />
; y1<br />
dan<br />
5. Tentukanlah koordin<strong>at</strong> titik puncak dan perpotongan dengan<br />
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.<br />
y<br />
y<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
y = 5x<br />
= 3x<br />
2<br />
= −4x<br />
−10x<br />
− 7 ;<br />
−12x<br />
+ 2 ;<br />
2<br />
+ 2x<br />
+ 8<br />
6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordin<strong>at</strong> titik perpotongan<br />
kurva-kurva fungsi berikut.<br />
y<br />
1 dan y2<br />
; y2<br />
dan y3<br />
; y1<br />
dan<br />
y<br />
y<br />
3<br />
4<br />
y<br />
3<br />
54<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 5 Bangun Geometris<br />
5.1. Persamaan Kurva<br />
Persamaan su<strong>at</strong>u kurva secara umum dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
F ( x,<br />
y)<br />
= 0<br />
(5.1)<br />
Persamaan ini menentukan temp<strong>at</strong> kedudukan titik-titik yang memenuhi<br />
persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi<br />
persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak<br />
pada kurva.<br />
Berikut ini adalah karakteristik umum su<strong>at</strong>u kurva. Beberapa di<br />
antaranya telah kita pelajari di bab pertama.<br />
Simetri. Kurva su<strong>at</strong>u fungsi mungkin simetris terhadap garis <strong>at</strong>au titik<br />
tertentu<br />
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka<br />
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;<br />
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva<br />
funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.<br />
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva<br />
funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.<br />
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,<br />
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].<br />
Nilai Peubah. Dalam melih<strong>at</strong> bentuk-bentuk geometris hanya nilai-ny<strong>at</strong>a<br />
dari y dan x yang kita perh<strong>at</strong>ikan. Apabila dalam su<strong>at</strong>u persamaan<br />
terdap<strong>at</strong> pangk<strong>at</strong> genap su<strong>at</strong>u peubah maka akan terlib<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u nilai yang<br />
berasal dari akar pangk<strong>at</strong> dua (pangk<strong>at</strong> genap) dari peubah tersebut.<br />
Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan neg<strong>at</strong>if tidak<br />
memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini<br />
telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pemb<strong>at</strong>asan<br />
pembahasan.<br />
2 2<br />
Contoh: y + x = 1. Jika kita cari nilai y kita dap<strong>at</strong>kan<br />
y = ±<br />
1−<br />
x<br />
2<br />
55
Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di<br />
bawah tanda akar akan neg<strong>at</strong>if. Dalam hal demikian ini kita<br />
memb<strong>at</strong>asi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1. Karena kurva ini<br />
simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terb<strong>at</strong>as<br />
pada rentang −1≤<br />
y ≤1<br />
.<br />
Titik Potong Dengan Sumbu Koordin<strong>at</strong>. Koordin<strong>at</strong> titik potong dengan<br />
sumbu-x dap<strong>at</strong> diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan<br />
koordin<strong>at</strong> titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x<br />
= 0.<br />
2 2<br />
Contoh: y + x = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan<br />
Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1].<br />
Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan<br />
mendap<strong>at</strong>kan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak<br />
akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak<br />
memotong sumbu-x maupun sumbu-y.<br />
Asimptot. Su<strong>at</strong>u titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva<br />
menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dek<strong>at</strong> dengan su<strong>at</strong>u garis<br />
tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan<br />
asimptot dari kurva.<br />
2<br />
2<br />
Contoh: y ( x − x)<br />
= x + 10 .<br />
2<br />
Persamaan ini memberikan<br />
y = ±<br />
2<br />
x + 10<br />
x(<br />
x − 1)<br />
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh neg<strong>at</strong>if. Hal ini<br />
berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari s<strong>at</strong>u<br />
agar x(x−1) positif; jika x neg<strong>at</strong>if maka x(x−1) akan tetap positif.<br />
Jadi haruslah x < 0 <strong>at</strong>au x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada<br />
antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah<br />
asimptot dari kurva. Lih<strong>at</strong> Gb.5.1.<br />
56<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
4<br />
y<br />
0<br />
-4 0<br />
x<br />
4<br />
Soal-Soal:<br />
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis p<strong>at</strong>ah-p<strong>at</strong>ah).<br />
Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai<br />
-4<br />
2<br />
2<br />
2 x + 10 1 + 10 / x<br />
y = =<br />
2<br />
x − x 1 − 1/ x<br />
Jika x → ±∞ maka y 2 = 1, dan y = ±1. Garis mend<strong>at</strong>ar y = 1 dan y<br />
= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.<br />
Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu<br />
koordin<strong>at</strong>, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:<br />
1<br />
y = x + ; = x 2 1<br />
y + 1 ; y =<br />
x<br />
2 ;<br />
x + 1<br />
y = x 2 −1;<br />
y 1<br />
=<br />
x<br />
2 −1<br />
.<br />
5.2. Jarak Antara Dua Titik<br />
Jika koordin<strong>at</strong> dua titik diketahui, misalnya P[x p ,y p ) dan Q[x q ,y q ], maka<br />
jarak antara keduanya adalah<br />
PQ<br />
2<br />
2<br />
= ( x p − xq<br />
) + ( y p − yq<br />
)<br />
(5.2)<br />
Formula ini sang<strong>at</strong> bermanfa<strong>at</strong> jika kita hendak mencari temp<strong>at</strong><br />
kedudukan titik yang berjarak tertentu dari su<strong>at</strong>u titik lain. Kita akan<br />
melih<strong>at</strong>nya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.<br />
57
Soal-Soal:<br />
1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan<br />
persamaan persamaan (5.2) tentukan temp<strong>at</strong> kedudukan titik-titik<br />
yang berjarak sama terhadap P dan Q.<br />
2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan<br />
persamaan persamaan (5.2) tentukan temp<strong>at</strong> kedudukan R yang<br />
sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.<br />
5.3. Parabola<br />
Kita telah melih<strong>at</strong> bentuk kurva<br />
2<br />
y = kx<br />
(5.3)<br />
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.<br />
Dalam persamaan ini, ada su<strong>at</strong>u nilai k sedemikian rupa sehingga jarak<br />
antara s<strong>at</strong>u titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak<br />
di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan su<strong>at</strong>u garis tertentu,<br />
seperti diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,<br />
dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak<br />
parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.<br />
y<br />
y=kx 2<br />
Q[0,p]<br />
P[x,y]<br />
[0,0]<br />
x<br />
R[x,−p]<br />
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.<br />
Hubungan antara k dan p dap<strong>at</strong> dicari sebagai berikut.<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
PQ = (PR − p)<br />
+ x = ( y − p)<br />
+ x = y − 2 py + p + x<br />
PR = (y + p)<br />
58<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Karena PQ = PR, maka<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
y − 2 py + p + x = y + p<br />
2<br />
y − 2 py + p + x = y + 2 py + p<br />
2<br />
+<br />
x<br />
y = yang berarti<br />
4 p<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x = + 4 py<br />
<strong>at</strong>au<br />
k = 1<br />
4 p<br />
<strong>at</strong>au<br />
2<br />
1<br />
p =<br />
4k<br />
Dengan demikian persamaan parabola dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].<br />
1 2<br />
y = x<br />
(5.4)<br />
4 p<br />
Contoh: Persamaan parabola<br />
2<br />
y = 0,5x<br />
dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
Soal-Soal:<br />
y =<br />
1<br />
2<br />
x<br />
2<br />
1<br />
= x<br />
4 × 0,5<br />
dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0, 5 dan<br />
titik fokus di Q[0,(0,5)].<br />
Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:<br />
2<br />
y + 4x<br />
= 8 ; x − 8y<br />
= 4 ;<br />
2<br />
5.4. Lingkaran<br />
x + 2x<br />
− 4y<br />
− 3 = 0 ; y + x + y = 0<br />
Lingkaran merupakan temp<strong>at</strong> kedudukan titik-titik yang berjarak sama<br />
terhadap s<strong>at</strong>u titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pus<strong>at</strong> lingkaran.<br />
Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak su<strong>at</strong>u titik X[x,y]<br />
ke titik-asal adalah<br />
2<br />
2<br />
2<br />
XO =<br />
2<br />
x + y<br />
2<br />
59
Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka<br />
x 2 + y<br />
2 = r<br />
Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pus<strong>at</strong> [0,0] adalah<br />
2 2 2<br />
+ y r<br />
(5.5)<br />
x =<br />
dengan r adalah jari-jari lingkaran.<br />
Jika titik pus<strong>at</strong> lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dap<strong>at</strong><br />
melih<strong>at</strong>nya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pus<strong>at</strong> di<br />
P[a,b] mempunyai persamaan<br />
2 2 2<br />
− a)<br />
+ ( y − b)<br />
(5.6)<br />
( x = r<br />
Gb.5.3. memperlih<strong>at</strong>kan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut<br />
2 2<br />
lingkaran-s<strong>at</strong>uan, berpus<strong>at</strong> di [0,0] dengan persamaan x + y = 1 .<br />
y 1<br />
y<br />
1<br />
0,5<br />
-1 [0,0]<br />
0,5<br />
1 x<br />
Gb.5.3. Lingkaran<br />
Pada Gb.5.3 ini pula diperlih<strong>at</strong>kan lingkaran dengan r 2 = 0,4 berpus<strong>at</strong> di<br />
[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5<br />
skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan<br />
( x − 0,5)<br />
2<br />
-1<br />
+ ( y − 0,5)<br />
2<br />
= 0,4<br />
60<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Soal-Soal:<br />
Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu<br />
koordin<strong>at</strong> lingkaran berikut<br />
5.5. Elips<br />
1) Titik pus<strong>at</strong> di P(1,2), jari-jari 4.<br />
2) Titik pus<strong>at</strong> di Q(-2,1), jari-jari 5.<br />
3) Titik pus<strong>at</strong> R(2,3) jari-jari 3.<br />
4) Titik pus<strong>at</strong> S(3,2) jari-jari 2.<br />
Elips adalah temp<strong>at</strong> kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik<br />
tertentu adalah konstan. Kedua<br />
titik tertentu tersebut merupakan<br />
X[x,y]<br />
dua titik fokus dari elips.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan Gb.5.4. Misalkan<br />
diketahui posisi dua titik P[−a,0]<br />
dan Q(a,0]. Jarak antara titik<br />
sembarang X[x,y] dengan kedua<br />
titik tersebut masing-masing<br />
adalah<br />
2 2<br />
XP = ( x + c)<br />
+ y dan<br />
P[-c, 0] Q[c, 0] x<br />
Gb.5.4. Elips<br />
XQ =<br />
2 2<br />
( x − c)<br />
+ y<br />
Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka<br />
2 2<br />
2 2<br />
( x + c)<br />
+ y + ( x − c)<br />
+ y = 2a<br />
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di<br />
kuadr<strong>at</strong>kan, akan kita peroleh<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
( x + c)<br />
+ y = 4a<br />
− 4a<br />
( x − c)<br />
+ y + ( x − c)<br />
+ y<br />
yang dap<strong>at</strong> disederhanakan menjadi<br />
c<br />
2 2<br />
a − x = ( x − c)<br />
+ y<br />
a<br />
61
Jika kedua ruas di kuadr<strong>at</strong>kan kita dap<strong>at</strong>kan<br />
2<br />
2 c 2 2<br />
2 2<br />
a − 2cx<br />
+ x = x − 2cx<br />
+ c + y<br />
2<br />
a<br />
yang dap<strong>at</strong> disederhanakan menjadi<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 2 2<br />
a a − c<br />
Kita perh<strong>at</strong>ikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir<br />
ini, dengan melih<strong>at</strong> pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi<br />
selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ <strong>at</strong>au 2a > 2c,<br />
sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar<br />
ny<strong>at</strong>a; misalkan<br />
persamaan elips<br />
a 2 − c<br />
2 = b . Dengan demikian kita mendap<strong>at</strong>kan<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = 1<br />
2 b<br />
2<br />
a<br />
(5.7)<br />
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong<br />
dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi su<strong>at</strong>u elips dilingkupi oleh s<strong>at</strong>u segi<br />
panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu<br />
pendeknya. (Perh<strong>at</strong>ikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita<br />
mendap<strong>at</strong>kan persamaan lingkaran).<br />
Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa<br />
melih<strong>at</strong>nya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah<br />
2<br />
2<br />
( x − p)<br />
( y − q)<br />
+ = 1<br />
2<br />
2<br />
a b<br />
(5.8)<br />
dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran<br />
sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan<br />
2<br />
2<br />
( x − 0,5) ( y − 0,25)<br />
+<br />
1<br />
2<br />
0,5<br />
= 1<br />
62<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
1<br />
y<br />
0<br />
-1 0 1 x 2<br />
Soal-Soal:<br />
Gb.5.5. Elips tergeser.<br />
Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:<br />
5.6. Hiperbola<br />
2 2<br />
1) 9x + 4x<br />
= 36 ;<br />
2<br />
-1<br />
2) 4x + 9y<br />
= 144 ;<br />
2<br />
2 2<br />
3) 4x + y = 1;<br />
2<br />
4) 16( x − 2) + 9( y + 3) = 144<br />
Hiperbola merupakan temp<strong>at</strong> kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya<br />
antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola<br />
dap<strong>at</strong> dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di<br />
<strong>at</strong>as.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan<br />
Q(c,0].<br />
Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasing<br />
adalah<br />
2 2<br />
XP = ( x + c)<br />
+ y dan<br />
2<br />
XQ =<br />
2 2<br />
( x − c)<br />
+ y<br />
63
y<br />
X(x,y)<br />
P[-c,0]<br />
Q[c,0]<br />
x<br />
Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].<br />
Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka<br />
2<br />
2<br />
( x + c)<br />
+ y − ( x − c)<br />
+ y = 2a<br />
Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di<br />
kuadr<strong>at</strong>kan, kemudian dilakukan penyederhanaan<br />
( c / a)<br />
x − a = ( x − c)<br />
+ y<br />
Jika kedua ruas dikuadr<strong>at</strong>kan akan diperoleh<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
−<br />
c<br />
2<br />
y<br />
2<br />
− a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
Kita lih<strong>at</strong> lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu<br />
lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua<br />
2 2 2<br />
ruas kiri selalu positif, misalkan c − a = b . Dengan demikian kita<br />
dap<strong>at</strong>kan persamaan<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
−<br />
b<br />
y<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.<br />
2<br />
2<br />
(5.9)<br />
64<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
+∞<br />
X(x,y)<br />
-c -a a c<br />
x<br />
Gb.5.7. Kurva hiperbola<br />
Dengan memberi nilai y = 0, kita dap<strong>at</strong>kan titik potong hiperbola dengan<br />
sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak<br />
memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada<br />
bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.<br />
Soal-Soal:<br />
Gambarkan (skets) hiperbola berikut:<br />
1) x 2 2<br />
− y = 1<br />
9 16<br />
; 2) y 2 2<br />
− x =<br />
9 16<br />
1 ;<br />
3) x 2 2<br />
− y = 1<br />
16 9<br />
; 4) x 2 2<br />
− y = −<br />
9 16<br />
1<br />
5.4. Kurva Berderaj<strong>at</strong> Dua<br />
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus<br />
kurva berderaj<strong>at</strong> dua, <strong>at</strong>au kurva pangk<strong>at</strong> dua. Bentuk umum persamaan<br />
berderaj<strong>at</strong> dua adalah<br />
2<br />
2<br />
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0<br />
(5.10)<br />
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan<br />
−∞<br />
B = C = D = F = 0;<br />
A = 1; E = −4<br />
p<br />
65
1 2<br />
sehingga diperoleh persamaan (5.4) y = x .<br />
4 p<br />
Lingkaran s<strong>at</strong>uan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan<br />
B = D = E = 0 ; A = 1; C = 1; F = −1<br />
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari<br />
(5.10), di mana<br />
A = B = C = 0 ;<br />
D = −a;<br />
E = 1;<br />
F = −b<br />
yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam<br />
kasus terakhir ini persamaan berderaj<strong>at</strong> dua (5.10) berubah st<strong>at</strong>us menjadi<br />
persamaan berderaj<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u.<br />
Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderaj<strong>at</strong> dua yang telah<br />
sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun<br />
bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderaj<strong>at</strong> dua, belum pernah<br />
kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lih<strong>at</strong>.<br />
5.5. Perputaran Sumbu Koordin<strong>at</strong><br />
Dalam bangun geometris yang sudah kita lih<strong>at</strong>, mulai dari parabola<br />
sampai hiperbola, tidak s<strong>at</strong>upun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini<br />
sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordin<strong>at</strong>. Dalam<br />
bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]<br />
dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong<br />
sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di<br />
P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.<br />
y<br />
X<br />
P[-a,-a]<br />
Q[a,a]<br />
x<br />
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]<br />
Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a<br />
66<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2 2<br />
2 2<br />
( x + a)<br />
+ ( y + a)<br />
− ( x − a)<br />
+ ( y − a)<br />
= 2a<br />
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua<br />
ruas dikuadr<strong>at</strong>kan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh<br />
x + y − a =<br />
2 2<br />
( x − a)<br />
+ ( y − a)<br />
Jika ruas kanan dan kiri dikuadr<strong>at</strong>kan lagi kita dap<strong>at</strong>kan<br />
2<br />
2xy = a<br />
(5.11)<br />
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva<br />
persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II<br />
dan III seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.5.9.<br />
5<br />
y<br />
0<br />
-5 0<br />
x<br />
-5<br />
Gb.5.9. Kurva 2xy = a 2 .<br />
Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola<br />
sebelumnya pada Gb.5.7. terlih<strong>at</strong> bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki<br />
sumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran<br />
jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.<br />
Apakah memang demikian? Kita akan lih<strong>at</strong> secara umum mengenai<br />
perputaran sumbu ini. Perh<strong>at</strong>ikan Gb.5.10.<br />
y<br />
P[x,y]<br />
y’<br />
P[x’,y’]<br />
x’<br />
O<br />
β<br />
α<br />
Q<br />
Q’<br />
x<br />
Gb.5.10. Perputaran sumbu.<br />
67
Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dap<strong>at</strong><br />
diny<strong>at</strong>akan dengan dua koordin<strong>at</strong> P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, <strong>at</strong>au<br />
P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dap<strong>at</strong>kan<br />
Sementara itu<br />
x = OQ = OP cos( α + β)<br />
y = PQ = OPsin( α + β)<br />
x'<br />
= OQ' = OP cosβ<br />
y'<br />
= PQ' = OPsin β<br />
Dengan kesamaan (C<strong>at</strong><strong>at</strong>an: lih<strong>at</strong> fungsi trigonometri di Bab-6)<br />
cos( α + β)<br />
= cosαcosβ − sin αsin<br />
β<br />
sin( α + β)<br />
= sin αcosβ + cosαsin<br />
β<br />
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi<br />
x = x'cosα − y'sin<br />
α<br />
y = x'sin<br />
α + y'cosα<br />
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.<br />
(5.12)<br />
(5.13)<br />
(5.14)<br />
(5.15)<br />
Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada<br />
Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehingga<br />
cos α = sin α = 1/ 2 . Oleh karena itu kita peroleh<br />
x' −y'<br />
x' + y'<br />
x = dan y =<br />
2<br />
2<br />
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendap<strong>at</strong>kan<br />
x'<br />
−y'<br />
x'<br />
+ y'<br />
2 2 2<br />
2 × = ( x')<br />
− ( y')<br />
= a<br />
2 2<br />
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)<br />
sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah<br />
sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45 o .<br />
Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi<br />
lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar<br />
sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dap<strong>at</strong> pula kita<br />
pandang sebagai pergeseran <strong>at</strong>au translasi sumbu koordin<strong>at</strong>. Dengan<br />
demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordin<strong>at</strong>, di mana<br />
sumbu-sumbu simetri dari su<strong>at</strong>u kurva tidak berimpit dengan sumbu<br />
koordin<strong>at</strong>, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].<br />
68<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 6 Fungsi Trigonometri<br />
Trigon adalah poligon yang paling sederhana. Ia bersisi tiga yang disebut<br />
segitiga; ia unik. Su<strong>at</strong>u segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c adalah<br />
s<strong>at</strong>u-s<strong>at</strong>unya segitiga yang memiliki sisi-sisi ini; tidak ada segitiga lain<br />
yang memiliki sisi-sisi a, b, dan c, yang berbeda bentuk dan ukuran dari<br />
segitiga ABC. Bentuk dan ukuran yang pasti ini menjamin adanya relasi<br />
yang pasti antara sisi-sisi dan sudutnya. Dengan kepastian ini ia menjadi<br />
wahana transformasi dari berbagai gejala fisis yang kita kenal; bentuk<br />
segitiga yang digunakan untuk keperluan ini adalah segitiga siku-siku.<br />
Segitiga siku-siku dengan sisi-miring c<br />
dan sisi siku-siku b dan c, dan sudut α<br />
adalah antara sisi b dan c, mempunyai<br />
relasi pasti<br />
a = c sin α dan<br />
b = c cos α<br />
Sinus dan cosinus adalah fungsi-fungsi trigonometri. Sudut α menjadi<br />
peubah bebas dan a menjadi peubah tak bebas yang nilainya tergantung<br />
dari α, dengan c merupakan tetapan; kita dap<strong>at</strong> menuliskan fungsi<br />
y<br />
= Asin α<br />
Jika α bervariasi terhadap waktu, a = ωt<br />
, maka<br />
y = Asin<br />
ωt<br />
Inilah fungsi sinus yang sering kita jumpai, yang digunakan untuk<br />
meny<strong>at</strong>akan berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu secara<br />
sinusoidal. Sebagai contoh: getaran garpu tala, gelombang suara gong<br />
yang ditabuh, gelombang tegangan saluran transmisi enegi listrik,<br />
gelombang tegangan medan listrik pemancar radio, dan sebagainya.<br />
ω dalam contoh di <strong>at</strong>as disebut frekuensi sudut, t adalah waktu yang<br />
biasanya diny<strong>at</strong>akan dalam s<strong>at</strong>uan detik, dan sudut α dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan<br />
dalam s<strong>at</strong>uan deraj<strong>at</strong> <strong>at</strong>aupun radian; jadi ω memiliki s<strong>at</strong>uan<br />
deraj<strong>at</strong>/detik <strong>at</strong>au radian/detik.<br />
A<br />
α<br />
c<br />
b = c cos α<br />
B<br />
a<br />
C<br />
= csin α<br />
69
6.1. Peubah Bebas Bers<strong>at</strong>uan Deraj<strong>at</strong><br />
Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai<br />
peubah-bebas.<br />
y = sin θ<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
= cos θ<br />
sin θ<br />
= tan θ =<br />
cos θ<br />
cos θ<br />
= cot θ =<br />
sin θ<br />
1<br />
= sec θ =<br />
cos θ<br />
1<br />
= csc θ =<br />
sin θ<br />
(6.1)<br />
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkarans<strong>at</strong>uan,<br />
yaitu lingkaran berjari-jari s<strong>at</strong>u. Bentuk lingkaran ini<br />
diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif<br />
berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijari<br />
r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.<br />
y<br />
1<br />
O<br />
θ<br />
-1 [0,0] -θ Q 1 x<br />
r<br />
P<br />
-1<br />
P’<br />
Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.<br />
70<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Fungsi sinus. Dengan membu<strong>at</strong> jari-jari r = OP = 1, maka<br />
PQ<br />
sin θ = = PQ<br />
(6.2)<br />
r<br />
PQ = 0 pada waktu θ = 0 o , dan membesar jika θ membesar sampai<br />
mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90 o . Kemudian PQ<br />
menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180 o . Sesudah itu PQ<br />
menjadi neg<strong>at</strong>if (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada<br />
waktu θ = 270 o , kemudian meningk<strong>at</strong> lagi mencapai PQ = 0 pada waktu<br />
θ = 360 o . Setelah itu keadaan akan berulang, dan s<strong>at</strong>u siklus berikutnya<br />
terjadi pada waktu θ = 720 o . Kejadian berulang lagi dan demikian<br />
seterusnya. Kejadian s<strong>at</strong>u siklus kita sebut s<strong>at</strong>u perioda. Secara singk<strong>at</strong><br />
kita memperoleh<br />
sin 0<br />
o<br />
sin 270<br />
= 0;<br />
o<br />
= −1;<br />
sin 90<br />
o<br />
= 1;<br />
sin 360<br />
o<br />
sin180<br />
= 0<br />
o<br />
= 0;<br />
Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka<br />
OQ<br />
cos θ = = OQ<br />
r<br />
(6.3)<br />
OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai<br />
mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ<br />
meningk<strong>at</strong> lagi tetapi neg<strong>at</strong>if dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π.<br />
Sesudah itu OQ mengecil dan tetap neg<strong>at</strong>if dan mencapai minimum OQ<br />
= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningk<strong>at</strong> lagi mencapai OQ = 1<br />
pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan s<strong>at</strong>u siklus<br />
berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan<br />
demikian seterusnya. Secara singk<strong>at</strong><br />
cos0<br />
o<br />
cos 270<br />
= 1;<br />
o<br />
= 0;<br />
cos90<br />
o<br />
= 0;<br />
cos360<br />
o<br />
cos180<br />
= 1<br />
o<br />
= −1;<br />
Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil<br />
Pitagoras memberikan PQ 2 + OQ 2 = OP 2 =1, maka<br />
Dari Gb.6.1. dap<strong>at</strong> kita peroleh juga<br />
2<br />
2<br />
sin ( θ ) + cos ( θ)<br />
= 1<br />
(6.4.a)<br />
71
P′<br />
Q −PQ<br />
sin( −θ)<br />
= = = −sin<br />
θ<br />
r r<br />
OQ<br />
cos( −θ)<br />
= = cosθ<br />
r<br />
(6.4.b)<br />
(6.4.c)<br />
Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil<br />
dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai<br />
antara −1 dan +1.<br />
Fungsi Tangent.<br />
PQ<br />
tan θ =<br />
(6.4.d)<br />
OQ<br />
P′<br />
Q −PQ<br />
tan( −θ)<br />
= = = − tan θ<br />
(6.4.e)<br />
OQ OQ<br />
Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0 o , dan akan menuju +∞ jika θ menuju<br />
90 o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada<br />
waktu θ menuju −90 o . Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.<br />
Nilai tanθ = 1 bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1<br />
jika θ = −45 o . Lih<strong>at</strong> pula kurva pada Gb.6.5.<br />
Fungsi Cotangent.<br />
OQ<br />
cot θ =<br />
(6.4.f)<br />
PQ<br />
OQ OQ<br />
cot( −θ)<br />
= = = −cot<br />
θ<br />
(6.4.g)<br />
P′<br />
Q − PQ<br />
Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0 o karena PQ akan menuju 0<br />
walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90 o karena OQ = 0.<br />
Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan<br />
menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90 o karena P’Q menuju −∞. Lih<strong>at</strong> pula<br />
kurva Gb.6.6.<br />
72<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Fungsi Secan dan Cosecan<br />
1 r<br />
secθ = =<br />
(6.4.h)<br />
cosθ<br />
OQ<br />
1 r<br />
cscθ = =<br />
(6.4.i)<br />
sin θ PQ<br />
Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90 o karena OQ menuju 0 dan secθ =<br />
1 pada waktu θ = 0 o karena pada waktu itu OQ = r <strong>at</strong>au cosθ = 1.<br />
Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju<br />
0. Lih<strong>at</strong> pula Gb.6.7.<br />
Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dap<strong>at</strong> kita turunkan dengan<br />
mengunakan Gb.6.2., yaitu<br />
cosα<br />
y<br />
1<br />
sinα cosβ<br />
β<br />
sinα<br />
sinα sinβ<br />
α<br />
cosα sinβ<br />
β<br />
-1 [0,0] 1 x<br />
cosα cosβ<br />
-1<br />
Gb.6.2. Relasi-relasi<br />
sin( α + β)<br />
= sin αcosβ + cosαsin<br />
β<br />
cos( α + β)<br />
= cosαcosβ − sin αsin<br />
β<br />
(6.5)<br />
Karena<br />
sin( −β)<br />
= −sinβ<br />
dan cos( −β)<br />
= cosβ<br />
maka kita peroleh pula<br />
sin( α − β)<br />
= sin αcosβ − cosαsin<br />
β<br />
cos( α − β)<br />
= cosαcosβ + sin αsin<br />
β<br />
(6.6)<br />
73
6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordin<strong>at</strong> x-y<br />
r<br />
θ<br />
s<br />
Bilangan-ny<strong>at</strong>a dengan desimal yang tidak terb<strong>at</strong>as,<br />
π, digunakan untuk meny<strong>at</strong>akan besar sudut dengan<br />
s<strong>at</strong>uan radian. Jumlah radian dalam sudut θ<br />
didefinisikan dengan persamaan<br />
θ =<br />
s , s = rθ<br />
(6.7)<br />
r<br />
Jika θ = 360 o maka s menjadi penuh s<strong>at</strong>u keliling lingkaran, <strong>at</strong>au s = 2πr .<br />
Jadi jumlah radian dalam sudut 360 o adalah 2π. Dengan demikian maka<br />
ukuran sudut<br />
θ 1 = 180 o adalah π rad.<br />
θ 2 = 90 o adalah 0,5π<br />
rad.<br />
θ = adalah ( /180) rad. dst.<br />
3 1 o π<br />
Fungsi Sinus. Dengan menggunakan s<strong>at</strong>uan radian, fungsi trigonometri<br />
akan kita gambarkan pada sistem koordin<strong>at</strong> x-y, yang kita ketahui bahwa<br />
sumbu-x adalah sumbu bilangan-ny<strong>at</strong>a, termasuk π. Bentuk kurva fungsi<br />
sinus<br />
y = sin(x)<br />
(6.8)<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.3. yang dibu<strong>at</strong> untuk nilai x dari −2π sampai +2π.<br />
Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 <strong>at</strong>au θ = 90 o ,<br />
mencapai nilai nol pada x = π <strong>at</strong>au θ = 180 o , mencapai minimum −1 (arah<br />
neg<strong>at</strong>if) pada x = 1,5π <strong>at</strong>au θ = 270 o , kembali nol pada x = 2π <strong>at</strong>au θ =<br />
360 o ; inilah s<strong>at</strong>u perioda.<br />
−2π<br />
y<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
−π<br />
0<br />
0<br />
-0,5<br />
π 2π<br />
-1<br />
-1,5<br />
Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.<br />
x<br />
74<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus<br />
y = cos(x)<br />
(6.9)<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0<br />
<strong>at</strong>au θ = 0 o , mencapai nilai nol pada x = π/2 <strong>at</strong>au θ = 90 o , mencapai<br />
minimum −1 (arah neg<strong>at</strong>if) pada x = π <strong>at</strong>au θ = 180 o , kembali nol pada x<br />
= 1,5π <strong>at</strong>au θ = 270 o , dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah s<strong>at</strong>u<br />
perioda, 2π.<br />
−π<br />
1,5<br />
y<br />
1<br />
0,5<br />
-1,5<br />
Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.<br />
Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan<br />
perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang<br />
sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlih<strong>at</strong>, yaitu<br />
sin( x)<br />
= −sin(<br />
−x)<br />
sedangkan cos( x)<br />
= cos( −x)<br />
(6.10)<br />
Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki<br />
simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut<br />
memiliki simetri genap.<br />
Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lih<strong>at</strong> bahwa fungsi<br />
sinus dap<strong>at</strong> dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar<br />
sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dap<strong>at</strong> kita ny<strong>at</strong>akan<br />
dalam cosinus<br />
y = sin( x)<br />
= cos( x − π / 2)<br />
(6.11)<br />
Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lih<strong>at</strong> fungsi<br />
-1<br />
perioda<br />
0<br />
0 π 2π x<br />
-0,5<br />
sin( x)<br />
y = tan( x)<br />
=<br />
(6.12)<br />
cos( x)<br />
75
Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak<br />
hingga pada x = +π/2 dan −π/2.<br />
3<br />
y<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Gb.6.5. Kurva y = tan(x)<br />
Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.<br />
cos( x)<br />
1<br />
y = cot( x)<br />
= =<br />
(6.13)<br />
sin( x)<br />
tan( x)<br />
Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.<br />
Lih<strong>at</strong> Gb.6.6.<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Gb.6.6. Kurva y = cot (x)<br />
76<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.<br />
1<br />
y = sec( x)<br />
=<br />
(6.14.a)<br />
cos( x)<br />
Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.7.a. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa sec(x) bernilai<br />
1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.<br />
Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.<br />
1<br />
y = csc( x)<br />
=<br />
(6.14.b)<br />
sin( x)<br />
Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara<br />
pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π<br />
-1<br />
-2<br />
(a) y = sec(x)<br />
-3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1,5π -π<br />
0<br />
-0,5π 0<br />
-1<br />
0,5π π 1,5π<br />
-2<br />
-3<br />
(b) y = csc(x)<br />
Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)<br />
77
Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:<br />
y = 2sin x ; y = 3sin 2x<br />
; y = 2cos3x<br />
;<br />
y = 3cos(2x<br />
+ π / 4) ; y = 2 tan( x / 3)<br />
6.3. Fungsi Trigonometri Inversi<br />
Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan y = sin(x)<br />
, maka fungsi<br />
sinus inversi dituliskan sebagai<br />
−1<br />
y = arcsin x <strong>at</strong>au y = sin x<br />
(6.15)<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa sin −1 x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x<br />
yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan<br />
x.<br />
Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi<br />
y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb.6.8.a.<br />
Ia akan terlih<strong>at</strong> bernilai tunggal jika kita memb<strong>at</strong>asi nilai y; kita hanya<br />
meninjau fungsi sinus inversi pada<br />
π π<br />
− ≤ y ≤ . Dengan pemb<strong>at</strong>asan ini<br />
2 2<br />
maka kita hanya terlib<strong>at</strong> dengan nilai-nilai utama dari sin −1 x. Jadi nilai<br />
utama y = sin −1 x terletak pada<br />
π −1 π<br />
− ≤ sin x ≤ . Kurva fungsi<br />
2 2<br />
y = sin −1 x yang dib<strong>at</strong>asi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.8.b.<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa pada x = 0, y = sin −1 x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =<br />
0 = x. Pada x = 1, y = sin −1 x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.<br />
Contoh:<br />
−<br />
y = sin 1 (1) = 0,5π<br />
;<br />
−<br />
y = sin 1 ( −1)<br />
= −0,5π<br />
−<br />
sin 1 π<br />
y = (0,5) = ;<br />
6<br />
−<br />
sin 1 π<br />
y = ( −0,5)<br />
= −<br />
6<br />
78<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2π<br />
y<br />
π<br />
-1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
x<br />
0,5π<br />
y<br />
0,25π<br />
−2π<br />
−π<br />
0<br />
-1 -0,5 0 0,5 x 1<br />
-0,25π<br />
-0,5π<br />
a) b)<br />
Gb.6.8. Kurva y = sin −1 x<br />
Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.<br />
(fungsi sinus) terlih<strong>at</strong> bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan<br />
horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan<br />
memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang<br />
π π<br />
− ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita memb<strong>at</strong>asi nilai y pada fungsi<br />
2 2<br />
sinus inversi, <strong>at</strong>au rentang nilai utama fungsi sinus inversi.<br />
Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan<br />
−1<br />
π −1<br />
y = cos x = − sin x<br />
(6.16)<br />
2<br />
Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip<br />
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan sin α = cosβ<br />
.<br />
Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga<br />
−1<br />
cos x<br />
= β = π<br />
−1<br />
/ 2 − α = π / 2 − sin x<br />
79
Karena dengan pemb<strong>at</strong>asan<br />
π π<br />
− ≤ y ≤ pada fungsi sinus inversi<br />
2 2<br />
memberikan<br />
π −1 π<br />
1<br />
− ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos − x akan<br />
2 2<br />
terletak pada ≤<br />
− 1<br />
0 cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi<br />
cosinus inversi pada nilai utama.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y<br />
digambar horizontal, kita dap<strong>at</strong>kan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.<br />
dalam rentang 0 ≤ x ≤ π .<br />
y<br />
π<br />
1π<br />
y<br />
-1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
x<br />
0,75π<br />
0,5π<br />
−π<br />
0,25π<br />
0<br />
-1 -0,5 0 0,5 x 1<br />
a) b)<br />
Gb.6.9. Kurva y = cos −1 x<br />
Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah<br />
y = tan −1 x<br />
(6.17)<br />
π<br />
dengan nilai utama<br />
1 π<br />
− < tan<br />
− x <<br />
2<br />
2<br />
Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2)<br />
tidak kita masukkan pada<br />
pemb<strong>at</strong>asan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada<br />
nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlih<strong>at</strong>kan kurva y = tan −1 x lengkap<br />
sedangkan Gb.6.10.b. dib<strong>at</strong>asi pada nilai − 0,5π < y < 0. 5π<br />
.<br />
80<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
1,5π<br />
y<br />
π<br />
0,5π<br />
-3 -2<br />
0<br />
-1 0 1 2 3<br />
-0,5π<br />
-π<br />
x<br />
0,5π<br />
y<br />
0,25π<br />
0<br />
-10 -5 0 5 x 10<br />
-0,25π<br />
-1,5π<br />
a) b)<br />
Gb.6.10. Kurva<br />
y = tan −1 x<br />
Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b<br />
ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,<br />
dalam rentang<br />
π −1 π<br />
− < tan x <<br />
2<br />
2<br />
Inilah b<strong>at</strong>as nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.<br />
Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan<br />
−1<br />
π −1<br />
y = cot x = − tan x<br />
(6.18)<br />
2<br />
dengan nilai utama <<br />
− 1<br />
0 cot x < π<br />
0 dan π tidak masuk dalam pemb<strong>at</strong>asan y karena pada nilai tersebut y<br />
menjadi tak hingga.<br />
Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip<br />
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan tan α = cotβ<br />
.<br />
Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga<br />
−1<br />
cot x<br />
= β = π<br />
-0,5π<br />
−1<br />
/ 2 − α = π / 2 − tan x<br />
Kurva fungsi cotangent inversi terlih<strong>at</strong> pada Gb.6.11.<br />
81
1π<br />
y<br />
0,5π<br />
0<br />
x<br />
-10 -5 0 5 10<br />
Gb.6.11. Kurva<br />
y<br />
= cot −1<br />
x<br />
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan<br />
bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.<br />
Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi<br />
1<br />
y = sec<br />
−1 x = cos<br />
−1<br />
(6.19)<br />
x<br />
dengan nilai utama<br />
π<br />
≤<br />
− 1<br />
0 sec x ≤ π .<br />
0,75π<br />
0,5π<br />
0,25<br />
π<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
Gb.6.12. Kurva<br />
y<br />
= sec −1<br />
x<br />
Fungsi Cosecan Inversi.<br />
1<br />
csc<br />
−1 x = sin<br />
−1<br />
(6.20)<br />
x<br />
dengan nilai utama<br />
π −1 π<br />
− ≤ csc x ≤<br />
2 2<br />
82<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi<br />
terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.<br />
0,5π<br />
y<br />
0,25π<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4<br />
-0,25π<br />
-0,5π<br />
Gb.6.12. Kurva<br />
y = csc −1 x<br />
Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi<br />
dengan fungsi-fungsi non-inversi dap<strong>at</strong> kita cari dengan menggunakan<br />
gambar segitiga siku-siku.<br />
1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu<br />
sudut y yang sinus-nya adalah x<br />
dap<strong>at</strong> kita gambarkan segitiga<br />
siku-siku dengan sisi miring sama<br />
dengan 1 seperti terlih<strong>at</strong> di<br />
samping ini.<br />
Dari gambar ini selain fungsi<br />
y = sin −1 x dan sin y = x , kita dap<strong>at</strong> peroleh<br />
2<br />
cos y = 1−<br />
x ,<br />
tan y<br />
x<br />
= , dst.<br />
2<br />
1 − x<br />
y<br />
1<br />
2<br />
1 − x<br />
x<br />
2). Dari fungsi cosinus inversi<br />
y = cos −1 x dap<strong>at</strong> kita<br />
gambarkan segitiga siku-siku<br />
seperti di samping ini.<br />
1 2<br />
1 x −<br />
y<br />
x<br />
83
Selain<br />
cos y = x dari gambar ini kita dap<strong>at</strong>kan<br />
2<br />
sin y = 1 − x ,<br />
1 − x<br />
tan y = , dst.<br />
x<br />
2<br />
3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita<br />
gambarkan segitiga seperti di samping<br />
ini.<br />
Selain<br />
tan y =<br />
x , kita peroleh<br />
x<br />
sin y = ,<br />
2<br />
1 + x<br />
cos y<br />
1<br />
= , dst<br />
2<br />
1 + x<br />
2<br />
1 + x<br />
y<br />
1<br />
x<br />
4). Dari fungsi y = sec −1 x kita<br />
gambarkan segitiga seperti di<br />
samping ini.<br />
y<br />
x<br />
x 2 − 1<br />
Dari gambar ini kita peroleh<br />
2<br />
tan y = 1 − x ,<br />
2 −<br />
1<br />
x 1<br />
sin y = , dst.<br />
x<br />
Soal-Soal:<br />
1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y<br />
2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y<br />
84<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 7 Gabungan Fungsi Sinus<br />
7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus<br />
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya<br />
gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan<br />
listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi<br />
waktu, sehingga kita akan melih<strong>at</strong>nya dengan menggunakan waktu<br />
sebagai peubah bebas, dengan simbol t, s<strong>at</strong>uan detik.<br />
Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik<br />
disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan s<strong>at</strong>uan Hertz (1 Hz = 1<br />
siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T 0 maka<br />
1<br />
f 0 = (7.1)<br />
T0<br />
Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan<br />
jumlah radian untuk meny<strong>at</strong>akan sudut. Karena s<strong>at</strong>u siklus perubahan<br />
sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per<br />
detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi<br />
siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan s<strong>at</strong>uan<br />
radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut<br />
(ω), dan juga dengan perioda (T 0 ), adalah<br />
2π<br />
ω = 2πf0<br />
=<br />
(7.2)<br />
T0<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A<br />
dituliskan sebagai<br />
⎛ 2πt<br />
⎞<br />
y = Acosωt<br />
= Acos⎜<br />
⎟<br />
(7.3)<br />
⎝ T0<br />
⎠<br />
C<strong>at</strong><strong>at</strong>an: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit c<strong>at</strong><strong>at</strong>an<br />
yang perlu dicerm<strong>at</strong>i. Di bab sebelum ini kita meny<strong>at</strong>akan fungsi<br />
sinus y = sin(x)<br />
<strong>at</strong>au fungsi cosinus y = cos(x)<br />
dengan x sebagai<br />
peubah bebas dengan s<strong>at</strong>uan radian. Pada (7.3) kita meny<strong>at</strong>akan<br />
fungsi cosinus y = cos ωt<br />
dengan t sebagai peubah bebas dengan<br />
s<strong>at</strong>uan detik. Faktor ω-lah yang membu<strong>at</strong> s<strong>at</strong>uan detik menjadi<br />
radian; ω disebut frekuensi susut, s<strong>at</strong>uan rad/detik.<br />
85
Gb.7.1. memperlih<strong>at</strong>kan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita<br />
geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendap<strong>at</strong>kan fungsi<br />
sinus. Gb.7.2.<br />
⎛ π ⎞<br />
⎛ 2πt<br />
⎞<br />
y = Acos⎜<br />
ωt<br />
− ⎟ = Asin<br />
ωt<br />
= Asin⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
(7.4)<br />
⎝ T0<br />
⎠<br />
y<br />
A<br />
T 0<br />
0<br />
0 t<br />
-A<br />
Gb.7.1. Fungsi cosinus<br />
y<br />
⎛ 2πt<br />
⎞<br />
y = Acosωt<br />
= Acos⎜<br />
⎟<br />
⎝ T0<br />
⎠<br />
A<br />
T 0<br />
0<br />
0 t<br />
-A<br />
Gb.7.2. Fungsi sinus<br />
⎛ 2πt<br />
⎞ ⎛ π ⎞<br />
y = Asin<br />
ωt<br />
= Asin⎜<br />
⎟<br />
= Acos⎜ωt<br />
− ⎟<br />
⎝ T0<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.7.3.<br />
Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah<br />
y = Acosω<br />
⎛ 2πt<br />
( t − T ) = Acos⎜<br />
−<br />
s<br />
s<br />
T ⎟ 0 T0<br />
⎠<br />
⎝<br />
2πT<br />
⎞<br />
86<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
A<br />
T 0<br />
0<br />
0 T s<br />
t<br />
-A<br />
Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser<br />
Kita perh<strong>at</strong>ikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan<br />
pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran<br />
adalah T s . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi<br />
kurva fungsi sinus. Jadi akan sang<strong>at</strong> mudah menuliskan persamaan su<strong>at</strong>u<br />
fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk<br />
cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang<br />
ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.<br />
Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal<br />
kita ny<strong>at</strong>akan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap<br />
sebagai bentuk normal<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga<br />
fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3)<br />
yang dap<strong>at</strong> pula kita tuliskan<br />
y = Acos<br />
ω<br />
y = Acos<br />
( t − )<br />
T s<br />
( ωt<br />
− ω )<br />
Pada penulisan terakhir ini, ωT s mempunyai s<strong>at</strong>uan radian, sama dengan<br />
s<strong>at</strong>uan ωt. Selanjutnya<br />
2πTs<br />
ϕ = ωTs<br />
=<br />
(7.5)<br />
T0<br />
disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak<br />
pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita<br />
tuliskan<br />
( ω − ϕ)<br />
T s<br />
y = cos t<br />
(7.6)<br />
87
Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah<br />
fungsi sinus ke dalam form<strong>at</strong> normal (menggunakan fungsi cosinus) kita<br />
menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.<br />
7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.<br />
Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan<br />
adalah fungsi sinus yang diny<strong>at</strong>akan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.<br />
Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang<br />
bukan sinus, dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.<br />
Atau dengan k<strong>at</strong>a lain su<strong>at</strong>u fungsi periodik dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi<br />
jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut<br />
fasa, dan frekuensi yang berlainan s<strong>at</strong>u sama lain. Dalam penguraian itu,<br />
fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen<br />
searah (nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi<br />
dasar f 0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf 0 .<br />
Sebaliknya dap<strong>at</strong> juga dik<strong>at</strong>akan bahwa jumlah dari beberapa fungsi<br />
sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang<br />
berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk<br />
sinus. Gb.7.4. memperlih<strong>at</strong>kan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk<br />
fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang<br />
menyusunnya.<br />
Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelip<strong>at</strong>an<br />
bul<strong>at</strong> n dari frekuensi dasar f 0 . Frekuensi f 0 kita sebut sebagai frekuensi<br />
dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T 0 = 1/f 0 .<br />
Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisa<br />
ketiga (3f 0 ), dan seterusnya, yang secara umum kita k<strong>at</strong>akan harmonisa<br />
ke-n mempunyai frekuensi nf 0 .<br />
7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.<br />
Spektrum. Jika kita menghadapi su<strong>at</strong>u fungsi periodik, kita bisa<br />
mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.<br />
Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, <strong>at</strong>au<br />
dengan singk<strong>at</strong> bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga<br />
mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen<br />
tersebut.<br />
88<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
4<br />
y<br />
y<br />
4<br />
0<br />
-5 15<br />
t<br />
0<br />
-5 15<br />
t<br />
-4<br />
y = 3 cos 2f 0t<br />
-4<br />
y = 1 + 3 cos 2f 0t<br />
4<br />
y<br />
0<br />
t<br />
- 5 15<br />
- 4<br />
y = 1+<br />
3cos 2πf0t<br />
− 2cos(2π(2<br />
f0<br />
) t)<br />
1<br />
-5 15<br />
-4<br />
y = 1+<br />
3cos 2π f0t<br />
− 2cos(2π(2<br />
f0)<br />
t + π / 4)<br />
Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.<br />
Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u contoh fungsi yang diny<strong>at</strong>akan<br />
dengan persamaan<br />
( 2πf<br />
t) + 15sin( 2π(2<br />
f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t)<br />
y = 10 + 30 cos 0 0<br />
π 0)<br />
Fungsi ini merupakan jumlah dari s<strong>at</strong>u komponen konstan dan tiga<br />
komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen<br />
berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen<br />
sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen<br />
inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku<br />
ketiga dan k<strong>ee</strong>mp<strong>at</strong> adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3<br />
tidak ada.<br />
Fungsi ini diny<strong>at</strong>akan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk<br />
melih<strong>at</strong> bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku<br />
dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dik<strong>at</strong>akan<br />
89
di depan bahwa bentuk normal perny<strong>at</strong>aan fungsi sinusoidal adalah<br />
menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = Acos(<br />
2πft<br />
+ ϕ)<br />
.<br />
Dengan menggunakan kesamaan<br />
sin( 2πft ) = cos(2πft<br />
− π / 2) dan −cos(<br />
2πft<br />
) = cos(2πft<br />
+ π)<br />
persamaan fungsi di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kita tulis<br />
y = 10 + 30 cos(2πf0t)<br />
+ 15cos(2π2<br />
f0t<br />
− π / 2) + 7,5cos(2π4<br />
f0t<br />
+ π)<br />
Dalam perny<strong>at</strong>aan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam<br />
bentuk standar, dan kita dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> amplitudo dan sudut fasa dari tiap<br />
komponen seperti dalam tabel berikut.<br />
Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0<br />
Amplitudo 10 30 15 7,5<br />
Sudut fasa − 0 −π/2 π<br />
Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan perny<strong>at</strong>aan<br />
su<strong>at</strong>u sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan<br />
apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Su<strong>at</strong>u<br />
spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo<br />
maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari<br />
frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi emp<strong>at</strong> macam frekuensi, yaitu<br />
: 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut<br />
adalah 10, 30, 15, dan 7,5 s<strong>at</strong>uan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal<br />
tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f 0 , 2f 0 dan<br />
4f 0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.<br />
Dari tabel tersebut di <strong>at</strong>as kita dap<strong>at</strong> menggambarkan dua grafik yaitu<br />
grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi<br />
frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)<br />
dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).<br />
90<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
40<br />
Amplitudo<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Frekuensi [×f 0]<br />
Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo<br />
2π<br />
Sudut Fasa<br />
π/2<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
−π/2<br />
−2π<br />
Frekuensi [×f 0]<br />
Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.<br />
Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dap<strong>at</strong><br />
dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syar<strong>at</strong> tertentu.<br />
Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi<br />
jumlah harmonisa sinus. Emp<strong>at</strong> suku pertama dari persamaan hasil uraian<br />
fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :<br />
A<br />
y = Acos(2πf<br />
0t<br />
− π / 2) + cos(2π3<br />
f0t<br />
− π/<br />
2)<br />
3<br />
A<br />
A<br />
+ cos(2π5<br />
f0t<br />
− π/<br />
2) + cos(2π7<br />
f0t<br />
− π/<br />
2) + ....<br />
5<br />
7<br />
Dari persamaan ini, terlih<strong>at</strong> bahwa semua harmonisa mempunyai sudut<br />
fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningk<strong>at</strong>nya<br />
frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada<br />
harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.<br />
91
Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 .. nf 0<br />
Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n<br />
Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2<br />
Gb.7.6. berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan bagaimana fungsi persegi dibangun<br />
dari harmonisa-harmonisanya.<br />
a) b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.<br />
a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.<br />
c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.<br />
d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +<br />
harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada<br />
harmonisa ke-21.<br />
Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di <strong>at</strong>as, terlih<strong>at</strong> bahwa dengan<br />
menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan<br />
makin mendek<strong>at</strong>i bentuk persegi. Penambahan ini dap<strong>at</strong> kita lakukan<br />
terus sampai ke su<strong>at</strong>u harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi<br />
yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dek<strong>at</strong> dengan bentuk<br />
yang kita inginkan.<br />
Pada spektrum amplitudo, kita juga dap<strong>at</strong> melih<strong>at</strong> bahwa makin tinggi<br />
frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak<br />
hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.<br />
Oleh karena itu secara umum kita dap<strong>at</strong> menetapkan su<strong>at</strong>u b<strong>at</strong>as<br />
92<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
frekuensi tertinggi dari su<strong>at</strong>u fungsi periodik, dengan menganggap<br />
amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di <strong>at</strong>as frekuensi<br />
tertinggi ini dap<strong>at</strong> diabaikan. B<strong>at</strong>as frekuensi tertinggi tersebut dap<strong>at</strong> kita<br />
tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%<br />
dari amplitudo sinus dasar.<br />
Jika b<strong>at</strong>as frekuensi tertinggi kita tetapkan, b<strong>at</strong>as frekuensi terendah juga<br />
perlu kita tetapkan. B<strong>at</strong>as frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar<br />
jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.<br />
Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah<br />
nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band<br />
width).<br />
93
Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum<br />
1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini<br />
dalam form<strong>at</strong> cosinus y = Acos(<br />
x − xs<br />
) :<br />
a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi<br />
siklus 10 siklus/skala.<br />
b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,<br />
frekuensi siklus 10 siklus/skala.<br />
c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi sudut 10<br />
rad/skala.<br />
d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi sudut<br />
10 rad/skala.<br />
2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan<br />
sinus berikut ini:<br />
y = 4 + 5sin 2π2000t<br />
− 2cos 2π4000t<br />
+ 0,2sin 2π8000t<br />
Dengan mengambil b<strong>at</strong>as amplitudo harmonisa tertinggi 5%,<br />
tentukan lebar pita fungsi ini.<br />
3. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan<br />
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan<br />
mengambil b<strong>at</strong>as amplitudo harmonisa tertinggi 5%.<br />
o<br />
y = 3cos(2π1000t<br />
− 60 ) - 2sin2π2000t<br />
+ cos2π8000t<br />
4. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan<br />
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan<br />
mengambil b<strong>at</strong>as amplitudo harmonisa tertinggi 5%.<br />
y = 10cos100t<br />
+ 2cos300t<br />
+ cos500t<br />
+ 0.2cos1500t<br />
+ 0,02cos5000t<br />
5. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan<br />
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan<br />
mengambil b<strong>at</strong>as amplitudo harmonisa tertinggi 5%.<br />
y = 10 + 10cos 2π500t<br />
+ 3cos 2π1000t<br />
+ 2cos 2π1500t<br />
+ 0,2cos 2π2000t<br />
94<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 8 Fungsi Logaritma N<strong>at</strong>ural,<br />
Eksponensial, Hiperbolik<br />
8.1. Fungsi Logarithma N<strong>at</strong>ural.<br />
Definisi. Logaritma n<strong>at</strong>ural adalah logaritma dengan menggunakan basis<br />
bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilanganny<strong>at</strong>a<br />
dengan desimal tak terb<strong>at</strong>as. Sampai dengan 10 angka di belakang<br />
koma, nilainya adalah<br />
e = 2,7182818284<br />
Bilangan e merupakan salah s<strong>at</strong>u bilangan-ny<strong>at</strong>a yang sang<strong>at</strong> penting<br />
dalam m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika:<br />
ln e = 1<br />
(8.1)<br />
ln e a = a ln e = a<br />
(8.2)<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang fungsi logaritma n<strong>at</strong>ural. Fungsi logaritma n<strong>at</strong>ural<br />
dari x dituliskan sebagai<br />
y = ln x<br />
(8.3)<br />
Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita<br />
pelajari pada Bab-12), yaitu<br />
=<br />
∫<br />
x 1<br />
ln x dt<br />
(8.4)<br />
1 t<br />
Di sini kita akan melih<strong>at</strong> definisi tersebut secara grafis di mana integral<br />
dengan b<strong>at</strong>as tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t<br />
dan sumbu-x yang dib<strong>at</strong>asi oleh t = 1 dan t = x . Perh<strong>at</strong>ikan Gb.8.1. Nilai<br />
fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh kurva (1/t) dan<br />
sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.<br />
6<br />
y<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1/t<br />
ln x<br />
0<br />
t<br />
0 1 2 x 3 4<br />
Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.<br />
97
Kurva fungsi y = ln x dalam koordin<strong>at</strong> x-y adalah seperti pada Gb.8.2.<br />
Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e.<br />
y<br />
Gb.8.2. Kurva y = ln x.<br />
Sif<strong>at</strong>-Sif<strong>at</strong>. Sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> logaritma n<strong>at</strong>ural mirip dengan logaritma biasa.<br />
Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:<br />
ln ax = ln a + ln x<br />
ln<br />
ln x<br />
ln e = 1<br />
ln e<br />
x<br />
= ln x − ln a;<br />
a<br />
n<br />
x<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
0<br />
-0,5<br />
1 2 e 3 x 4<br />
-1<br />
-1,5<br />
-2<br />
= nln<br />
x<br />
= x<br />
ln x bernilai neg<strong>at</strong>if untuk x < 1<br />
y = ln x<br />
(8.5)<br />
Soal-Soal<br />
Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1<br />
dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendek<strong>at</strong>i luas segmen<br />
sebagai luas trapesium, hitunglah<br />
1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,5<br />
98<br />
Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
8.2. Fungsi Eksponensial<br />
Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi<br />
dari logaritma; kita melih<strong>at</strong>nya sebagai su<strong>at</strong>u fungsi<br />
x = ln y<br />
(8.6)<br />
Menging<strong>at</strong> sif<strong>at</strong> logaritma sebagaimana disebutkan di <strong>at</strong>as, ekspresi ini<br />
ekivalen dengan<br />
yang disebut fungsi eksponensial.<br />
x<br />
y = e<br />
(8.7)<br />
Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi<br />
eksponensial dengan eksponen neg<strong>at</strong>if; fungsi ini dianggap mulai muncul<br />
pada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan, tidak<br />
dituliskan.<br />
y = ae<br />
−<br />
bx<br />
; x ≥ 0<br />
(8.8)<br />
Eksponen neg<strong>at</strong>if ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai<br />
fungsi makin kecil. untuk su<strong>at</strong>u nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini<br />
akan makin menurun. Makin besar b akan makin cep<strong>at</strong> penurunan<br />
tersebut.<br />
Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melih<strong>at</strong> bentuk kurva fungsi<br />
eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlih<strong>at</strong> bahwa makin besar nilai b,<br />
makin cep<strong>at</strong> fungsi menurun.<br />
y<br />
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
e − x<br />
e −2x<br />
0,4<br />
0,2<br />
0<br />
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 4<br />
Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e −x dan y = e −2x .<br />
99
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%<br />
dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada sa<strong>at</strong> x = 1/b. Pada sa<strong>at</strong> x<br />
= 5b kurva sudah sang<strong>at</strong> menurun mendek<strong>at</strong>i sumbu-x, nilai fungsi sudah<br />
di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial<br />
biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.<br />
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah<br />
−<strong>at</strong><br />
y = Ae u(t)<br />
(8.9)<br />
Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga s<strong>at</strong>uan untuk meny<strong>at</strong>akan bahwa<br />
kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cep<strong>at</strong><br />
jika a makin besar. Didefinisikanlah<br />
sehingga (8.9) dituliskan<br />
1<br />
τ =<br />
(8.10)<br />
a<br />
−t / τ<br />
y = Ae u(<br />
t)<br />
(8.11)<br />
τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cep<strong>at</strong> fungsi<br />
eksponensial menurun.<br />
Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang<br />
banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu<br />
penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai<br />
amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya<br />
juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah<br />
−t<br />
/ τ1 −t<br />
/ τ2<br />
( − e ) u(<br />
t)<br />
y = A e<br />
(8.12)<br />
Bentuk kurva dari fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.8.4.<br />
Fungsi ini dap<strong>at</strong> digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja<br />
(surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cep<strong>at</strong> sampai<br />
su<strong>at</strong>u nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih<br />
lamb<strong>at</strong>. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan labor<strong>at</strong>orium<br />
berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan<br />
dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.<br />
100 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
5<br />
A<br />
4<br />
3<br />
y = Ae<br />
1<br />
y<br />
2<br />
−t<br />
/ τ<br />
1<br />
= Ae<br />
−t<br />
/ τ<br />
y = A e<br />
2<br />
−t<br />
/ τ1 −t<br />
/ τ2<br />
( − e )<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 t/τ 5<br />
Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.<br />
Soal-Soal<br />
1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial<br />
yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini :<br />
a). y a = amplitudo 5, τ = 2.<br />
b). y b = amplitudo 10, τ = 2.<br />
c). y c = amplitudo −5, τ = 4.<br />
2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi<br />
berikut.<br />
a). y<br />
c). y<br />
d<br />
b). y<br />
e<br />
f<br />
= y<br />
= y<br />
a<br />
a<br />
= y<br />
a<br />
+ y<br />
+ y<br />
b<br />
c<br />
+ y<br />
b<br />
+ y<br />
c<br />
3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut.<br />
a).<br />
b).<br />
−0,5x<br />
10{ 1−<br />
e }<br />
−0,2x<br />
{ 10 − 5e<br />
}<br />
y1 =<br />
u(<br />
x)<br />
y2 =<br />
u(<br />
x)<br />
101
8.3. Fungsi Hiperbolik<br />
Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi<br />
hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)<br />
v<br />
−v<br />
−v<br />
e + e<br />
e − e<br />
cosh v = ; sinh v =<br />
(8.13)<br />
2<br />
2<br />
Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan<br />
sinus hiperbolik. Definisi ini menging<strong>at</strong>kan kita pada fungsi trigonometri<br />
biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan<br />
y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan<br />
“lingkaran s<strong>at</strong>uan” (berjari-jari 1), yaitu<br />
2<br />
2<br />
x + y = 1 = sin θ + cos θ .<br />
Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsifungsi<br />
ini memenuhi persamaan “hiperbola s<strong>at</strong>uan”:<br />
x<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
Hal ini dap<strong>at</strong> kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v<br />
untuk y dan kita akan mendap<strong>at</strong>kan bahwa persamaan “hiperbola s<strong>at</strong>uan”<br />
akan terpenuhi. Kita coba:<br />
x<br />
2<br />
− y<br />
2<br />
= cosh<br />
2<br />
v − sinh<br />
2<br />
e<br />
v =<br />
2v<br />
+ 2 + e<br />
4<br />
v<br />
−2v<br />
2<br />
e<br />
−<br />
2v<br />
− 2 + e<br />
4<br />
−2v<br />
Bentuk kurva fungsi hiperbolik s<strong>at</strong>uan terlih<strong>at</strong> pada Gb. 8.5. dengan<br />
e<br />
x = cosh v =<br />
v<br />
+ e<br />
2<br />
−v<br />
y<br />
;<br />
e<br />
y = sinh v =<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
v = 0<br />
v<br />
− e<br />
2<br />
−v<br />
v = ∞<br />
P[x,y]<br />
x<br />
0 1 2 3 4<br />
Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik s<strong>at</strong>uan.<br />
=<br />
4<br />
= 1<br />
4<br />
102 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Jika kita masukkan<br />
e<br />
x = cosh v =<br />
v<br />
+ e<br />
2<br />
−v<br />
;<br />
e<br />
y = sinh v =<br />
v<br />
− e<br />
2<br />
maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena e v<br />
selalu bernilai positif dan e −v = 1/e v juga selalu positif untuk semua nilai<br />
ny<strong>at</strong>a dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah<br />
kanan sumbu-y) kurva hiperbolik.<br />
Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain<br />
didefinisikan sebagai<br />
v −v<br />
v −v<br />
sinh v e − e<br />
cosh v e + e<br />
tanh v = = ; coth v = =<br />
(8.14)<br />
cosh v v −v<br />
v v −v<br />
e + e<br />
sinh e − e<br />
1<br />
cosh<br />
1<br />
sinh v<br />
sech v = = ; csch v = = (8.15)<br />
v −v<br />
v −v<br />
v<br />
e<br />
2<br />
+ e<br />
e<br />
−v<br />
2<br />
− e<br />
Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lih<strong>at</strong> di bawah ini.<br />
1). 2 2<br />
cosh v − sinh v = 1 . Identitas ini telah kita buktikan di <strong>at</strong>as.<br />
Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa.<br />
2 2<br />
2). 1 − tanh v = sech v . Identitas ini diperoleh dengan membagi<br />
identitas pertama dengan cosh 2 v.<br />
2<br />
2<br />
3). coth v − 1 = csch v . Identitas ini diperoleh dengan membagi<br />
identitas pertama dengan sinh 2 v.<br />
4).<br />
5).<br />
cosh v + sinh v = e<br />
u<br />
. Ini merupakan konsekuensi definisinya.<br />
−u<br />
cosh v − sinh v = e . Ini juga merupakan konsekuensi<br />
definisinya.<br />
103
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlih<strong>at</strong>kan<br />
kurva fungsi-fungsi hiperbolik.<br />
(a)<br />
1<br />
e<br />
2<br />
x<br />
4<br />
y<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
y = sinh x<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-1<br />
1<br />
− e − x<br />
-2<br />
2<br />
y = cosh x<br />
-3<br />
-4<br />
4<br />
3<br />
y<br />
x<br />
2<br />
c)<br />
b)<br />
1<br />
y = sech x<br />
0<br />
-2 -1 0 1<br />
x<br />
2<br />
-1<br />
4<br />
y = cosh x y<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1 x<br />
e<br />
y = sinh x<br />
2<br />
0<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
x<br />
104 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
4<br />
y<br />
3<br />
2<br />
y = coth x<br />
1<br />
y = tanh x<br />
0<br />
x<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-1<br />
y = coth x<br />
-2<br />
-3<br />
d)<br />
-4<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
y = cschx<br />
y = sinh x<br />
1<br />
-2 -1<br />
0<br />
0<br />
-1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
-2<br />
e)<br />
y = cschx<br />
-3<br />
-4<br />
Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.<br />
105
Soal-Soal<br />
1). Turunkan relasi sinh( u + v)<br />
dan cosh( u + v)<br />
.<br />
2). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, coth v, dan csch v.<br />
3). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.<br />
106 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 9 Koordin<strong>at</strong> Polar<br />
9.1. Relasi Koordin<strong>at</strong> Polar dan Koordin<strong>at</strong> Sudut-siku<br />
Pada perny<strong>at</strong>aan posisi s<strong>at</strong>u titik P[x P ,y P ] pada sistem koordin<strong>at</strong> sudutsiku<br />
terdap<strong>at</strong> hubungan<br />
y = r sin θ ; x = r cosθ<br />
(9.1)<br />
P<br />
P<br />
dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalah<br />
sudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb. 17.1.<br />
y<br />
y P<br />
r<br />
P[r,θ]<br />
θ<br />
[0,0] x P x<br />
Gb.9.1. Posisi titik P pada sistem koordin<strong>at</strong> polar.<br />
Dalam koordin<strong>at</strong> polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk meny<strong>at</strong>akan<br />
posisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 17.1. dituliskan sebagai<br />
P[r,θ].<br />
17.2. Persamaan Kurva Dalam Koordin<strong>at</strong> Polar<br />
Di Bab-5 kita telah melih<strong>at</strong> persamaan lingkaran berjari-jari c berpus<strong>at</strong> di<br />
O[a,b] dalam koordin<strong>at</strong> sudut-siku, yaitu<br />
2<br />
( x − a)<br />
+ ( y − b)<br />
= c<br />
Kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan lingkaran ini dalam koordin<strong>at</strong> polar dengan<br />
mengganti x dan y menurut relasi (9.1), yaitu<br />
yang dap<strong>at</strong> dituliskan sebagai<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
θ − a)<br />
+ ( r sin θ − b)<br />
(9.2.a)<br />
( r cos<br />
= c<br />
107
( r<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
θ − 2ra<br />
cosθ + a<br />
2<br />
( r − 2r(<br />
a cosθ + bsin<br />
θ)<br />
)<br />
r<br />
) + ( r<br />
sin<br />
= 0<br />
2 2 2<br />
( r − 2( a cosθ + bsin<br />
θ)<br />
) + a + b − c = 0<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
2<br />
+ b<br />
dengan bentuk kurva seperti Gb.9.2.a<br />
2<br />
2<br />
θ − 2rbsin<br />
θ + b<br />
− c<br />
2<br />
2<br />
) − c<br />
2<br />
= 0<br />
(9.2.b)<br />
Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpus<strong>at</strong> di O[a,0] maka<br />
persamaan (9.2.b) menjadi<br />
r ( r − 2a<br />
cosθ)<br />
= 0<br />
(9.2.c)<br />
Pada faktor pertama, jika kita mengambil r = 0 , kita menemui titik<br />
pus<strong>at</strong>. Faktor ke-dua adalah<br />
r − 2 a cosθ<br />
= 0<br />
(9.2.d)<br />
merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada<br />
Gb.9.2.b.<br />
b<br />
y<br />
[0,0]<br />
θ<br />
r<br />
a<br />
(a)<br />
P[r,θ]<br />
[0,0]<br />
Gb.9.2. Lingkaran<br />
Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordin<strong>at</strong> bola.<br />
x<br />
Contoh: r = 2(1<br />
− cosθ)<br />
. Bentuk kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.9.3<br />
yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti h<strong>at</strong>i.<br />
y<br />
θ<br />
r<br />
a<br />
(b)<br />
P[r,θ]<br />
x<br />
108 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
3<br />
P[r,θ]<br />
2<br />
r<br />
1<br />
y<br />
θ<br />
0<br />
-5 -3 -1<br />
-1<br />
1<br />
x<br />
Gb.9.3 Kurva kardioid, r = 2(1<br />
− cosθ)<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π,<br />
r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2.<br />
Contoh:<br />
2<br />
r = 16cosθ<br />
. Bentuk kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.9.4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-5 -3 -1<br />
0<br />
1 3 x 5<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Gb.9.4 Kurva<br />
2<br />
r = 16cosθ<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π,<br />
r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0.<br />
Contoh: r θ = 2 . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb.9.5<br />
y<br />
-2<br />
-3<br />
r<br />
θ<br />
P[r,θ]<br />
109
2<br />
y<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
r<br />
θ<br />
P[r,θ]<br />
0<br />
-1 0 1 2 x 3<br />
θ = π<br />
-0,5<br />
θ = 3π θ = 4π θ = 2π<br />
-1<br />
Gb.9.5 Kurva r θ = 2<br />
y = 2<br />
Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; su<strong>at</strong>u hal yang tidak<br />
benar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian<br />
dengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendek<strong>at</strong>i nol maka r mendek<strong>at</strong>i ∞;<br />
garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa<br />
perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ<br />
= π, 2π, 3π, 4π, dst.<br />
17.3. Persamaan Garis Lurus<br />
Salah s<strong>at</strong>u cara untuk meny<strong>at</strong>akan persamaan kurva dalam koordin<strong>at</strong><br />
polar adalah menggunakan relasi (9.1) jika persamaan dalam koordin<strong>at</strong><br />
sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan<br />
lingkaran (9.2.a) menjadi (9.2.b) <strong>at</strong>au (9.2.c). Berikut ini kita akan<br />
menurunkan persamaan kurva dalam koordin<strong>at</strong> polar langsung dari<br />
bentuk / persyar<strong>at</strong>an kurva.<br />
Gb.9.6 memperlih<strong>at</strong>kan kurva dua garis lurus l 1 sejajar sumbu-x dan l 2<br />
sejajar sumbu-y.<br />
y<br />
l 1<br />
y<br />
O<br />
r<br />
θ<br />
a<br />
P[r,θ]<br />
x<br />
b<br />
O<br />
l 2<br />
r<br />
θ<br />
P[r,θ]<br />
x<br />
Gb.9.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0].<br />
Garis l 1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini<br />
harus memenuhi<br />
110 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Inilah persamaan garis l 1 .<br />
r cos θ = a<br />
(9.3)<br />
Garis l 2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini<br />
harus memenuhi<br />
Inilah persamaan garis l 2 .<br />
r sin θ = b<br />
(9.4)<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang garis l 3 yang berjarak a dari titik asal dengan<br />
kemiringan positif seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.9.7. Karena garis memiliki<br />
kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l 3 , yaitu β<br />
juga tertentu. Kita manfa<strong>at</strong>kan β untuk mencari persamaan garis l 3 . Jika<br />
titik P harus terletak pada l 3 maka<br />
Inilah persamaan garis l 3 .<br />
r cos( β − θ)<br />
= a<br />
(9.5)<br />
y<br />
P[r,θ]<br />
A<br />
α<br />
l 3<br />
a<br />
β<br />
r<br />
θ<br />
O<br />
x<br />
Gb.9.7. Garis lurus l 3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif.<br />
Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (9.3) terlih<strong>at</strong><br />
bahwa persamaan (9.5) ini adalah bentuk umum dari (9.3), yang akan<br />
kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita<br />
lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif,<br />
maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (9.5). Apabila perputaran<br />
sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l 4 , memiliki<br />
kemiringan neg<strong>at</strong>if, seperti pada Gb.9.8., maka persamaan garis adalah<br />
r cos( θ − β)<br />
= a<br />
(9.6)<br />
111
y<br />
P[r,θ]<br />
r a<br />
θ<br />
β<br />
l 4<br />
O<br />
x<br />
Gb.9.8. Garis lurus l 4 berjarak a dari [0,0], kemiringan neg<strong>at</strong>if.<br />
17.4. Parabola, Elips, Hiperbola<br />
Ketiga bangun geometris ini telah kita lih<strong>at</strong> pada Bab-5 dalam koordin<strong>at</strong><br />
sudut-siku. Kita akan melih<strong>at</strong>nya sekarang dalam koordin<strong>at</strong> polar.<br />
Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah<br />
menyimpang dari yang umum. Dalam m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika, eksentrisitas adalah<br />
rasio antara jarak su<strong>at</strong>u titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antara<br />
titik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dan<br />
garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada<br />
waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan<br />
pengertian eksentrisitas ini kita dap<strong>at</strong> membahas sekaligus parabola,<br />
elips, dan hiperbola.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan Gb.9.8. Jika e s adalah eksentrisitas, maka<br />
PF<br />
e s =<br />
(9.7)<br />
PD<br />
D<br />
A<br />
direktriks<br />
r<br />
θ<br />
F<br />
Gb.9.8. Titik fokus dan garis direktriks.<br />
Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka<br />
k<br />
y<br />
PF = r<br />
B<br />
P[r,θ]<br />
x<br />
112 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dan dengan (9.7) menjadi<br />
r = e s PD ; sedangkan<br />
PD = AB = AF + FB = k + r cosθ<br />
sehingga r = es<br />
( k + r cosθ)<br />
= esk<br />
+ esr<br />
cosθ<br />
Dari sini kita dap<strong>at</strong>kan<br />
r =<br />
esk<br />
− e cosθ<br />
(9.8)<br />
1 s<br />
Nilai e s menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan<br />
peroleh.<br />
Parabola. Jika e s = 1, yang berarti PF = PD, maka<br />
k<br />
r =<br />
(9.9)<br />
1−<br />
cosθ<br />
Inilah persamaan parabola.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa jika θ mendek<strong>at</strong>i nol, maka r mendek<strong>at</strong>i tak hingga.<br />
Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurva<br />
dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah<br />
antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lih<strong>at</strong> di Bab-5.<br />
Elips. Jika e s < 1, misalnya e s = 0, 5 , PF = PD/2, maka<br />
k<br />
r =<br />
(9.10)<br />
2 − cosθ<br />
Inilah persamaan elips.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa karena − 1 ≤ cosθ ≤ + 1 maka penyebut pada<br />
persamaan (9.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu<br />
mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P<br />
mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π<br />
maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdek<strong>at</strong> dengan F.<br />
Hiperbola. Jika e s > 1, misal e s = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka<br />
2k<br />
r =<br />
(9.11)<br />
1 − 2cosθ<br />
Inilah persamaan hiperbola.<br />
113
Jika θ mendek<strong>at</strong>i π/3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π / 2 maka r =<br />
2k. Jika θ = π , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.<br />
17.4. Lemnisk<strong>at</strong> dan Oval Cassini<br />
Di laut Aegea di hadapan sel<strong>at</strong> Dardanella, terdap<strong>at</strong> sebuah pulau yang<br />
penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos <strong>at</strong>au Limnos. Pulau<br />
vulkanik ini berbentuk tak ber<strong>at</strong>uran dengan dua teluk yang menjorok<br />
dalam ke dar<strong>at</strong>an di pantai utara dan pantai sel<strong>at</strong>an.<br />
Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique<br />
Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan emp<strong>at</strong><br />
di antara sembilan <strong>at</strong>au sepuluh s<strong>at</strong>elit planet S<strong>at</strong>urnus. Ia pula yang<br />
menemukan celah cincin S<strong>at</strong>urnus, antara cincin terluar dengan cincin<br />
ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.<br />
Bangun-geometris yang disebut lemnisk<strong>at</strong> dan oval Cassini merupakan<br />
situasi khusus dari kurva yang merupakan temp<strong>at</strong> kedudukan titik-titik<br />
yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan.<br />
Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F 1 [a,π] dan F 2 [a,0]. Lih<strong>at</strong><br />
Gb.9.9.<br />
θ = π/2<br />
P[r,θ]<br />
r<br />
θ = π<br />
F 1[a,π]<br />
θ<br />
F 2[a,0]<br />
θ = 0<br />
Dari Gb.9.9. kita dap<strong>at</strong>kan<br />
Gb.9.9. Menurunkan persamaan kurva dengan<br />
persyar<strong>at</strong>an PF 1 ×PF 2 = konstan<br />
2<br />
2<br />
( PF ) = ( r sin θ) + ( a + r cosθ)<br />
1<br />
= r<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
+ 2ar<br />
cosθ<br />
2<br />
2<br />
( PF ) = ( r sin θ) + ( a − r cosθ)<br />
2<br />
= r<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
− 2ar<br />
cosθ<br />
2<br />
2<br />
Misalkan hasil kali<br />
PF<br />
2<br />
1 × PF 2 = b , maka kita peroleh relasi<br />
114 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
4<br />
=<br />
2 2<br />
2 2<br />
( r + a + 2ar<br />
cosθ) × ( r + a − 2ar<br />
cosθ)<br />
= r<br />
= r<br />
4<br />
4<br />
+ a<br />
+ a<br />
4<br />
4<br />
+ 2a<br />
2<br />
+ 2a<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− (2ar<br />
cosθ)<br />
2<br />
r (1 − 2cos<br />
θ)<br />
2<br />
(9.12)<br />
Kita manfa<strong>at</strong>kan identitas trigonometri<br />
2 2 2<br />
cos 2θ<br />
= cos θ − sin θ = 2cos θ −1<br />
untuk menuliskan (9.12) sebagai<br />
4 4 4 2 2<br />
b = r + a − 2a<br />
r cos 2θ<br />
(9.13)<br />
Jika b kita bu<strong>at</strong> ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13)<br />
ini dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
Untuk r > 0, persamaan ini menjadi<br />
4 2 2<br />
4 4<br />
0 = r − 2a<br />
r cos 2θ + a (1 − k )<br />
2 2<br />
2 2<br />
4<br />
r = a cos 2θ ± a cos 2θ − (1 − k )<br />
(9.14)<br />
Lemnisk<strong>at</strong>. Bentuk kurva yang disebut lemnisk<strong>at</strong> ini diperoleh pada<br />
2<br />
kondisi khusus (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a <strong>at</strong>au PF1 × PF 2 = a .<br />
Pada kondisi ini persamaan (9.14) menjadi<br />
2 2 2<br />
0 = r ( r − 2a<br />
cos 2θ)<br />
Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua<br />
memberikan persamaan<br />
r<br />
2 = 2a<br />
2 cos 2θ<br />
Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb.9.10.<br />
115
θ = π/2<br />
0,6<br />
θ = π<br />
0,2<br />
θ = 0<br />
-1,5 -1<br />
0<br />
-0,5 0<br />
-0,2<br />
0,5 1 1,5<br />
Gb.9.10. Kurva persamaan (9.14), k = 1 = a.<br />
Bentuk lemnisk<strong>at</strong> masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1.<br />
Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang<br />
akan diperoleh terlih<strong>at</strong> seperti pada Gb.9.11.<br />
θ = π<br />
-0,6<br />
θ = π/2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
-1<br />
-1,5<br />
θ = 0<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-0,5<br />
Gb.9.11. Kurva persamaan (9.14), k = 1,1 & a = 1.<br />
Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k =<br />
0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah<br />
seperti pada Gb.9.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah<br />
menjadi dua bagian, menging<strong>at</strong>kan kita pada Cassini’s division di planet<br />
S<strong>at</strong>urnus.<br />
116 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
θ = π/2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
θ = π<br />
0<br />
θ = 0<br />
-2 -1 0 1 2<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
Gb.9.12. Kurva persamaan (9.14), k = 0,8 & a = 1.<br />
17.5. Luas Bidang Dalam Koordin<strong>at</strong> Polar<br />
Kita akan menghitung luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh su<strong>at</strong>u kurva dan<br />
dua garis masing-masing mempunyai sudut kemiringan α dan β. Lih<strong>at</strong><br />
Gb.9.12<br />
y<br />
θ = β<br />
∆θ<br />
Gb.9.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis.<br />
Antara α dan β kita bagi dalam n segmen.<br />
β − α<br />
∆ θ =<br />
n<br />
Luas setiap segmen bisa didek<strong>at</strong>i dengan luas sektor lingkaran. Antara θ<br />
dan (θ + ∆θ) ada su<strong>at</strong>u nilai θ k sedemikian rupa sehingga luas sektor<br />
lingkaran adalah<br />
2<br />
A k = ( r k ∆θ<br />
) / 2<br />
Luas antara θ = α dan θ = β menjadi<br />
θ<br />
θ = α<br />
x<br />
117
2<br />
2<br />
∑ ( r k ∆θ)<br />
/ 2 = ∑( f ( θk<br />
))<br />
∆θ<br />
A αβ =<br />
/ 2<br />
Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dap<strong>at</strong> menuliskan luas bidang<br />
menjadi<br />
<strong>at</strong>au<br />
A<br />
αβ<br />
=<br />
∆θ→0<br />
β<br />
1<br />
=<br />
2<br />
lim<br />
∫<br />
α<br />
∑<br />
( r<br />
[ f ( θ)<br />
]<br />
2<br />
k<br />
2<br />
A<br />
∆θ) / 2 =<br />
dθ<br />
αβ<br />
2<br />
lim<br />
∆θ→0<br />
∫ β r<br />
= dθ<br />
α 2<br />
∑<br />
[ f ( θ)<br />
]<br />
2<br />
∆θ / 2<br />
(9.15)<br />
118 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 10 Turunan Fungsi Polinom<br />
10.1. Pengertian Dasar<br />
Kita telah melih<strong>at</strong> bahwa apabila koordin<strong>at</strong> dua titik yang terletak pada<br />
su<strong>at</strong>u garis lurus diketahui, misalnya [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ], maka kemiringan<br />
garis tersebut diny<strong>at</strong>akan oleh persamaan<br />
∆y<br />
( y2<br />
− y1)<br />
m = =<br />
(10.1)<br />
∆x<br />
( x − x )<br />
2<br />
Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ]<br />
berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan<br />
garis lengkung? Perh<strong>at</strong>ikan Gb.10.1.<br />
y<br />
1<br />
y = f(x)<br />
P 2<br />
∆y<br />
P 1<br />
∆x<br />
(a)<br />
y<br />
y = f(x)<br />
x<br />
P 1<br />
∆x′<br />
P′ 2<br />
∆y′<br />
x<br />
(b)<br />
Gb.10.1. Tentang kemiringan garis.<br />
Pada Gb.10.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P 1 P 2 dan bukan<br />
kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlih<strong>at</strong><br />
pada GB.10.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan<br />
garis lurus P 1 P′ 2 . Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dap<strong>at</strong>kan<br />
119
kemiringan garis lurus yang sang<strong>at</strong> dek<strong>at</strong> dengan titik P 1 , dan jika ∆x<br />
mendek<strong>at</strong>i nol maka kita mendap<strong>at</strong>kan kemiringan garis singgung kurva<br />
y di titik P 1 . Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x)<br />
dan<br />
melih<strong>at</strong> pada su<strong>at</strong>u titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x<br />
mendek<strong>at</strong>i nol, persamaan (10.1) dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
∆y<br />
f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
lim = lim<br />
= f ′(<br />
x)<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
(10.2)<br />
f ′(x)<br />
merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita<br />
tinjau f ′(x)<br />
memiliki nilai berbeda; f ′(x)<br />
disebut fungsi turunan dari<br />
f (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x)<br />
bernilai konstan<br />
dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (10.1)<br />
tidak hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendek<strong>at</strong>i nol, maka ia<br />
dap<strong>at</strong> diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa<br />
kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva<br />
lengkung di titik [x,y]. Perh<strong>at</strong>ikan Gb. 11.2.<br />
y<br />
(x 2 ,y 2 )<br />
(x 1 ,y 1 )<br />
Gb.10.2. Garis singgung pada garis lengkung.<br />
Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x)<br />
maka f ′(x)<br />
pada titik [x 1 ,y 1 ]<br />
adalah kemiringan garis singgung di titik [x 1 ,y 1 ], dan f ′(x) di titik (x 2 ,y 2 )<br />
adalah kemiringan garis singgung di [x 2 ,y 2 ]. Bagaimana mencari f ′(x)<br />
akan kita pelajari lebih lanjut.<br />
∆y<br />
Jika pada su<strong>at</strong>u titik x 1 di mana lim seperti yang diny<strong>at</strong>akan oleh<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
(10.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dan<br />
dik<strong>at</strong>akan sebagai “dap<strong>at</strong> didiferensiasi di titik tersebut” dan nilai<br />
x<br />
120 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
∆y<br />
lim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
kemiringan garis singgung di titik tersebut).<br />
Persamaan (10.2) biasanya ditulis<br />
dy d<br />
∆y<br />
= ( y)<br />
= lim<br />
dx dx ∆ x→0<br />
∆x<br />
(10.3)<br />
f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
= lim<br />
= f ′(<br />
x)<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
dy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, <strong>at</strong>au “turunan fungsi y<br />
dx<br />
terhadap x”. Penurunan ini dap<strong>at</strong> dilakukan jika y memang merupakan<br />
fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dap<strong>at</strong> dilakukan.<br />
Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t)<br />
; maka penurunan y hanya bisa<br />
dilakukan terhadap t, tidak terhadap x.<br />
10.2. Fungsi Mononom<br />
Kita lih<strong>at</strong> uraian-uraian berikut ini.<br />
dy df ( t)<br />
y ′ = = = f ′(<br />
t)<br />
dt dt<br />
1). y 0 = f ( x)<br />
= k , bernilai konstan. Di sini<br />
2). y1 = f1 ( x)<br />
= 2x<br />
f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
0<br />
y0 ′ = lim<br />
= = 0<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
∆x<br />
⇒<br />
2( x + ∆x)<br />
− 2x<br />
2∆x<br />
f1 ′(<br />
x)<br />
= lim<br />
= = 2<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
∆x<br />
121
y<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
f ( x)<br />
2x<br />
1<br />
=<br />
f 1<br />
′(<br />
x)<br />
= 2<br />
Gb.10.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.<br />
Kurva f 1′ ( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilai<br />
konstan 2 untuk semua x.<br />
3). 2<br />
y 2 = f2( x)<br />
= 2x<br />
0<br />
2( x + ∆x)<br />
− 2x<br />
f2′<br />
( x)<br />
= lim<br />
= lim<br />
∆ x→0<br />
∆x<br />
= lim (2 × 2x<br />
+ 2∆x)<br />
= 4x<br />
∆x→0<br />
2<br />
2<br />
∆x→0<br />
2( x<br />
2<br />
+ 2x∆x<br />
+ ∆x<br />
) − 2x<br />
∆x<br />
Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan<br />
4.<br />
4). 3<br />
y 3 = f3( x)<br />
= 2x<br />
0 1 2 3 4 5<br />
x<br />
3 3<br />
2( x + ∆x)<br />
− 2x<br />
f3′<br />
( x)<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
3 2<br />
3 3 3<br />
2( x + 3x<br />
∆x<br />
+ 3x∆x<br />
+ ∆x<br />
) − 2x<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
= lim<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 × 3x<br />
+ 2 × 3x∆x<br />
+ 2∆x<br />
= 6x<br />
∆x→0<br />
Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.<br />
2<br />
2<br />
122 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
′′′<br />
5). Secara umum, turunan mononom<br />
adalah<br />
n<br />
( x mx<br />
(10.4)<br />
y = f ) =<br />
′<br />
( n−1)<br />
y = ( m × n)<br />
x<br />
(10.5)<br />
Jika n pada (10.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x)<br />
akan<br />
berbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan,<br />
y ′ = f ′(<br />
x)<br />
= k<br />
Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,<br />
y ′ = f ′(x)<br />
. Dengan demikian maka fungsi turunan ini dap<strong>at</strong><br />
diturunkan lagi dan kita mendap<strong>at</strong>kan fungsi turunan berikutnya<br />
y ′′ = f ′<br />
(x)<br />
yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dap<strong>at</strong><br />
diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagi<br />
dan demikian seterusnya.<br />
Contoh:<br />
y ′′ ′ = f ′′′<br />
(x)<br />
dy<br />
y ′ = f ′( x)<br />
= kita sebut turunan pertama,<br />
dx<br />
2<br />
d y<br />
y = f ′′ ( x)<br />
=<br />
2<br />
dx<br />
′′ turunan kedua,<br />
3<br />
d y<br />
y = f ′′′ ( x)<br />
=<br />
3<br />
dx<br />
′′′ turunan ke-tiga, dst.<br />
3<br />
y 4 = f4( x)<br />
= 2x<br />
(3 1) 2<br />
(2 1)<br />
4 ′ −<br />
2(3)<br />
6 ; 4′′<br />
−<br />
y = x = x y = 6(2) x = 12x;<br />
y4<br />
= 12<br />
6) Dari (10.4) dan (10.5) kita dap<strong>at</strong> mencari titik-potong antara kurva<br />
su<strong>at</strong>u fungsi dengan kurva fungsi turunannya.<br />
Fungsi mononom n<br />
y = f ( x)<br />
= mx memiliki turunan<br />
′<br />
( n−1)<br />
y = ( m × n)<br />
x . Koordin<strong>at</strong> titik potong P antara kurva mononom<br />
f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan<br />
123
y = y′<br />
→ mx<br />
n<br />
= ( m × n)<br />
x<br />
( n−1)<br />
⇒ x P = n dan n<br />
yP = mxP<br />
Koordin<strong>at</strong> titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan<br />
selanjutnya dap<strong>at</strong> pula dicari.<br />
Gb.10.4. memperlih<strong>at</strong>kan kurva mononom<br />
4<br />
y = x dan turunanturunannya<br />
3<br />
y ′<br />
2<br />
= 4x , y ′′ =12x , y ′′ ′ = 24x<br />
, y ′′′′ = 24 .<br />
2<br />
y ′′ = 12x<br />
4<br />
y = x<br />
200<br />
100<br />
0<br />
y ′′ = 12x<br />
3<br />
y ′ = 4x<br />
y ′′′ = 24x<br />
2<br />
y ′′′ ′ = 24<br />
3<br />
y ′ = 4x<br />
-3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
-100<br />
10.3. Fungsi Polinom<br />
Gb.10.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.<br />
Polinom merupakan jumlah terb<strong>at</strong>as dari mononom. Kita lih<strong>at</strong> contohcontoh<br />
berikut.<br />
1). y 1 = f1 ( x)<br />
= 4x<br />
+ 2<br />
{ 4( x + ∆x)<br />
+ 2} − { 4x<br />
+ 2}<br />
f1 ′(<br />
x)<br />
= lim<br />
= 4<br />
∆x→x<br />
∆x<br />
Kurva fungsi ini dan turunannya terlih<strong>at</strong> pada Gb.10.5.<br />
124 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Gb.10.5. f 1 (x) = 4x + 2 dan turunannya.<br />
Suku yang bernilai konstan pada f 1 (x), berapapun besarnya, positif<br />
maupun neg<strong>at</strong>if, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.<br />
2). y 2 = f2 ( x)<br />
= 4( x − 2)<br />
⇒ f 2(<br />
x)<br />
= 4x<br />
− 8<br />
3). 2<br />
y 3 = f3(<br />
x)<br />
= 4x<br />
+ 2x<br />
− 5<br />
y<br />
10<br />
⇒ f 2 ′(<br />
x)<br />
= 4<br />
-15<br />
Gb.10.6. f 2 (x) = 4(x – 2) dan turunannya.<br />
2<br />
2<br />
{ 4( x + ∆x)<br />
+ 2( x + ∆x)<br />
− 5} − { 4x<br />
+ 2x<br />
− 5}<br />
y3′<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
= 4 × 2x<br />
+ 2 = 8x<br />
+ 2<br />
4). 3 2<br />
y 4 = f4(<br />
x)<br />
= 5x<br />
+ 4x<br />
+ 2x<br />
− 5<br />
5<br />
y<br />
f 2 ′ ( x)<br />
= 4<br />
0<br />
-1 0 1 2 3 x 4<br />
-5<br />
f 2 ( x)<br />
= 4( x − 2)<br />
-10<br />
∆x<br />
3<br />
2<br />
3 2<br />
{ 5( x + ∆x)<br />
+ 4( x + ∆x)<br />
+ 2( x + ∆x)<br />
− 5} − { 5x<br />
+ 4x<br />
+ 2x<br />
− 5}<br />
y4′<br />
= lim<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
2<br />
2<br />
= 5 × 3x<br />
+ 4 × 2x<br />
+ 2 = 15x<br />
+ 8x<br />
+ 2<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-4<br />
f 1(x) = 4x + 2<br />
f 1′(x) = 4<br />
0<br />
-1 -0,5 0<br />
-2<br />
0,5 1 1,5 x 2<br />
125
5) Secara Umum: Turunan su<strong>at</strong>u polinom, yang merupakan jumlah<br />
beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing<br />
mononom dengan syar<strong>at</strong> setiap mononom yang membentuk polinom<br />
itu memang memiliki turunan.<br />
10.4. Nilai Puncak<br />
Kita telah melih<strong>at</strong> bahwa turunan fungsi di su<strong>at</strong>u nilai x merupakan<br />
kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik<br />
[x p ,y p ] adalah titik puncak su<strong>at</strong>u kurva, maka garis singgung di titik<br />
[x p ,y p ] tersebut akan berupa garis mend<strong>at</strong>ar yang kemiringannya nol.<br />
Dengan k<strong>at</strong>a lain posisi titik puncak su<strong>at</strong>u kurva adalah posisi titik di<br />
mana turunan pertama fungsi bernilai nol.<br />
Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi<br />
kuadr<strong>at</strong>):<br />
Turunan pertama fungsi ini adalah<br />
y = 2x<br />
2 + 15x<br />
+ 13<br />
y ′ = 4 x +15<br />
Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dap<strong>at</strong>kan nilai x p dari titik puncak yaitu<br />
x p = −(15/4) = −3,75<br />
Jika nilai x p ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita<br />
dap<strong>at</strong>kan nilai puncak y p .<br />
2<br />
y p = 2x<br />
p + 15xp<br />
+ 13<br />
2<br />
= 2(-3,75) + 15×<br />
( −3,75)<br />
+ 13 = −15,125<br />
Secara umum, x p dari fungsi kuadr<strong>at</strong><br />
dengan membu<strong>at</strong><br />
2<br />
y = ax + bx + c<br />
dap<strong>at</strong> diberoleh<br />
y ′ = 2 ax + b = 0<br />
(10.6)<br />
sehingga diperoleh<br />
b<br />
x p = −<br />
(10.7)<br />
2a<br />
126 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Nilai puncak, y p dari fungsi kuadr<strong>at</strong><br />
dengan memasukkan x p<br />
2<br />
y = ax + bx + c<br />
dap<strong>at</strong> diperoleh<br />
2 2<br />
2 b b − 4ac<br />
y p = axp<br />
+ bxp<br />
+ c = − + c = −<br />
(10.8)<br />
4a<br />
4a<br />
Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan<br />
apakah su<strong>at</strong>u nilai puncak merupakan nilai minimum <strong>at</strong>au maksimum?<br />
Kita manfa<strong>at</strong>kan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lih<strong>at</strong><br />
Gb.10.7.<br />
P<br />
y<br />
y′<br />
y′<br />
x<br />
Q<br />
Gb.10.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.<br />
Turunan pertama di su<strong>at</strong>u titik pada kurva adalah garis singgung pada<br />
kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke<br />
kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di<br />
titik puncak kemudian menjadi neg<strong>at</strong>if. Ini berarti turunan pertama y′ di<br />
sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di<br />
titik maksimum bernilai neg<strong>at</strong>if.<br />
Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan,<br />
kemiringan garis singgung terus meningk<strong>at</strong> sampai menjadi nol di titik<br />
puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar<br />
titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik<br />
minimum bernilai positif.<br />
Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai neg<strong>at</strong>if, titik puncak<br />
tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak<br />
bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.<br />
127
2<br />
Dalam kasus fungsi kuadr<strong>at</strong> y = ax + bx + c , turunan pertama adalah<br />
y ′ = 2 ax + b dan turunan kedua adalah y′ = 2a<br />
. Jadi pada fungsi<br />
kuadr<strong>at</strong>, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a<br />
neg<strong>at</strong>if ia memiliki nilai maksimum.<br />
Contoh: Kita lih<strong>at</strong> kembali contoh fungsi kuadr<strong>at</strong> yang dibahas di <strong>at</strong>as.<br />
y = 2x<br />
2 + 15x<br />
+ 13<br />
Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15, 125 dan ini merupakan<br />
nilai minimum, karena turunan keduanya y ′′ = 4 adalah positif.<br />
Lih<strong>at</strong> pula Gb.10.5.c.<br />
Contoh: Kita ubah contoh di <strong>at</strong>as menjadi:<br />
y = −2x<br />
2 + 15x<br />
+ 13<br />
Turunan pertama fungsi menjadi<br />
y = −4 x + 15 , yang jika y′<br />
= 0 memberi x = + 3,75<br />
′ p<br />
Nilai puncak adalah<br />
y p<br />
= −2 (3,75)^2 + 15 × 3,75 + 13 = + 41,125<br />
Turunan kedua adalah y ′′ = −4<br />
bernilai neg<strong>at</strong>if. Ini berarti<br />
bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.<br />
Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta<br />
menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga<br />
perkaliannya mencapai nilai maksimum, sementara jumlahnya<br />
tetap 20.<br />
Jika salah s<strong>at</strong>u bilangan kita sebut x maka bilangan yang<br />
lain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi<br />
2<br />
y = x( 20 − x)<br />
= 20x<br />
− x<br />
Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan<br />
memberikan nilai x yang memberikan y puncak .<br />
y ′ = 20 − 2x<br />
= 0 memberikan x = 10<br />
dan nilai puncaknya adalah<br />
128 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y puncak<br />
= 200 −100<br />
= 100<br />
Turunan kedua adalah y ′′ = −2<br />
; ia bernilai neg<strong>at</strong>if. Jadi<br />
y puncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; kedua<br />
bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva<br />
dari fungsi dalam contoh ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.10.8.<br />
y<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
-5 -20 0 5 10 15 20 x 25<br />
-40<br />
0<br />
Gb.11.8. Kurva y = x( 20 − x)<br />
Kurva tersebut memotong sumbu-x di<br />
y = x( 20 − x)<br />
= 0 ⇒ x = 0 dan x2<br />
1 =<br />
Dalam contoh di <strong>at</strong>as kita memperoleh hanya s<strong>at</strong>u nilai maksimum;<br />
semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilai<br />
maksimum y puncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kita<br />
sebut nilai maksimum absolut.<br />
Jika seandainya y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia<br />
akan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut.<br />
Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta<br />
menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga<br />
perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara selisihnya tetap<br />
20.<br />
Jika salah s<strong>at</strong>u bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan<br />
yang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanya<br />
menjadi<br />
2 +<br />
y = x(<br />
x + 20) = x 20x<br />
20<br />
129
Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan<br />
memberikan nilai x yang memberikan y puncak .<br />
y ′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10<br />
dan nilai puncak adalah<br />
y puncak<br />
= 100 − 200 = −100<br />
Turunan kedua adalah y ′′ = + 2 ; ia bernilai positif. Jadi<br />
y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; kedua<br />
bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10.<br />
Kurva fungsi dalam contoh ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.10.9.<br />
y 40<br />
-25 -20 -15 -10 -5 -20 0 x 5<br />
Gb.10.9. Kurva y = x( x + 20)<br />
Polinom Orde Tiga. Fungsi pangk<strong>at</strong> tiga diberikan secara umum oleh<br />
20<br />
0<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
-100<br />
-120<br />
3<br />
y = ax + bx + cx + d<br />
2<br />
(10.10)<br />
Turunan dari (10.29) adalah<br />
y ′ = 3ax<br />
2 + 2bx<br />
+ c<br />
(10.11)<br />
Dengan membu<strong>at</strong> y ′ = 0 kita akan mendap<strong>at</strong>kan x p .<br />
Ada dua posisi nilai puncak, yaitu<br />
y′ = 0 = 3ax<br />
p + 2bx<br />
p + c<br />
2<br />
130 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
x<br />
p1<br />
, x<br />
p2<br />
− 2b<br />
±<br />
=<br />
− b ±<br />
=<br />
b<br />
2<br />
3a<br />
4b<br />
6a<br />
2<br />
− 3ac<br />
−12ac<br />
(10.12)<br />
Dengan memasukkan x p1 dan x p2 ke peny<strong>at</strong>aan fungsi (10.11) kita peroleh<br />
nilai puncak y p1 dan y p2 . Namun bila x p1 = x p2 berarti dua titik puncak<br />
berimpit <strong>at</strong>au kita sebut titik belok.<br />
Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi<br />
3 2<br />
y = 2x<br />
− 3x<br />
+ 3 dan apakah nilai puncak merupakan nilai<br />
minimum <strong>at</strong>au maksimum.<br />
Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol,<br />
akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurva<br />
terjadi.<br />
y′<br />
= 6x<br />
2 − 6x<br />
= 6x(<br />
x −1)<br />
= 0<br />
memberikan x = 0 dan x = 1<br />
Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya<br />
memberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.<br />
x = 0<br />
x = 1<br />
memberikan<br />
memberikan<br />
y puncak = + 3<br />
y puncak = + 2<br />
Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah<br />
nilai puncak y puncak minimum <strong>at</strong>au maksimum kita lih<strong>at</strong> dari<br />
turunan kedua dari fungsi y<br />
y ′′ = 12x<br />
− 6<br />
Untuk x = 0 ⇒ y ′′ = −6<br />
Untuk x = 1⇒<br />
y ′′ = + 6<br />
Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah su<strong>at</strong>u nilai maksimum,<br />
sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurva<br />
dari fungsi dalam contoh ini terlih<strong>at</strong> pada Gb.10.10.<br />
131
15<br />
y<br />
10<br />
5<br />
P[0,3] Q[1,2]<br />
R<br />
0<br />
-2 -1,5 -1 -0,5<br />
-5<br />
0 0,5 1 1,5 2<br />
x<br />
2,5<br />
-10<br />
y s<br />
-20<br />
3 2<br />
Gb.10.10. Kurva y = 2x<br />
− 3x<br />
+ 3 dan garis singgung di R.<br />
10.5. Garis Singgung<br />
-15<br />
Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva su<strong>at</strong>u fungsi<br />
y = f (x) secara umum adalah y s = mx dengan kemiringan m adalah<br />
turunan pertama fungsi di titik R.<br />
3 2<br />
Contoh: Lih<strong>at</strong> fungsi y = 2x<br />
− 3x<br />
+ 3 yang kurvanya diberikan pada<br />
Gb.10.10.<br />
Turunan pertama adalah y ′ = 6x<br />
2 − 6x<br />
= 6x(<br />
x −1)<br />
. Titik R dengan<br />
absis x R = 2 , memiliki ordin<strong>at</strong> y R = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadi<br />
koordin<strong>at</strong> R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R<br />
adalah m = 6 × 2 × 1=<br />
12 .<br />
Persamaan garis singgung y s =12 x + K . Garis ini harus melalui<br />
R(2,7) dengan k<strong>at</strong>a lain koordin<strong>at</strong> R harus memenuhi persamaan<br />
garis singgung. Jika koordin<strong>at</strong> R kita masukkan ke persamaan<br />
garis singgung akan kita dap<strong>at</strong>kan nilai K.<br />
y s =12 x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = −17<br />
.<br />
Persamaan garis singgung di titk R adalah y s = 12x<br />
−17<br />
132 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
10.6. Contoh Hubungan Diferensial<br />
Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)<br />
Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah mu<strong>at</strong>an listrik yang mengalir per<br />
detik, melalui su<strong>at</strong>u luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran<br />
mu<strong>at</strong>an. Kalau arus diberi simbol i dan mu<strong>at</strong>an diberi simbol q maka<br />
dq<br />
i =<br />
dt<br />
S<strong>at</strong>uan arus adalah ampere (A), s<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an adalah coulomb (C). Jadi<br />
1 A = 1 C/detik.<br />
Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan<br />
energi per s<strong>at</strong>uan mu<strong>at</strong>an. Kalau tegangan diberi simbol v dan energi<br />
diberi simbol w, maka<br />
dw<br />
v =<br />
dq<br />
S<strong>at</strong>uan daya adalah w<strong>at</strong>t (W). S<strong>at</strong>uan energi adalah joule (J). Jadi 1 W =<br />
1 J/detik.<br />
Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi.<br />
Jika daya diberi simbol p maka<br />
dw<br />
p =<br />
dt<br />
Dari definisi tegangan dan arus kita dap<strong>at</strong>kan<br />
dw dw dq<br />
p = = = vi<br />
dt dq dt<br />
Karakteristik Induktor. Karakteristik su<strong>at</strong>u piranti listrik diny<strong>at</strong>akan<br />
dengan relasi antara arus yang melew<strong>at</strong>i piranti dengan tegangan yang<br />
ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dan<br />
i L masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus<br />
dan tegangan induktor adalah<br />
di<br />
v L<br />
L<br />
L =<br />
dt<br />
Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi<br />
kapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, maka<br />
iC =<br />
dv<br />
C<br />
dt<br />
c<br />
133
Soal-Soal<br />
1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan<br />
nilai puncak<br />
2<br />
y1<br />
= 5x<br />
− 10x<br />
− 7;<br />
2<br />
y2<br />
= 3x<br />
− 12x<br />
+ 2 ;<br />
2<br />
y3<br />
= −4x<br />
+ 2x<br />
+ 8<br />
2. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan<br />
nilai puncak<br />
3 2<br />
y1<br />
= 2x<br />
− 5x<br />
+ 4x<br />
− 2 ;<br />
4 3 2<br />
y2<br />
= x − 7x<br />
+ 2x<br />
+ 6 ;<br />
7 3 2<br />
y3<br />
= 3x<br />
− 7x<br />
+ 21x<br />
134 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 11 Turunan Perkalian Fungsi, Pangk<strong>at</strong><br />
Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit<br />
11.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi<br />
Misalkan kita memiliki dua fungsi x, v (x)<br />
dan w (x)<br />
, dan kita hendak<br />
mencari turunan terhadap x dari fungsi y = vw . Misalkan nilai x berubah<br />
sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar<br />
∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian<br />
rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y = vw tetap<br />
berlaku, yaitu<br />
( y + ∆y)<br />
= ( v + ∆v)(<br />
w + ∆w)<br />
(11.1)<br />
= ( vw + v∆w<br />
+ w∆v<br />
+ ∆w∆v)<br />
Dari sini kita dap<strong>at</strong>kan<br />
∆ y ( y + ∆y)<br />
− y ( wv + v∆w<br />
+ w∆v<br />
+ ∆w∆v<br />
− vw<br />
=<br />
=<br />
)<br />
∆x<br />
∆x<br />
∆x<br />
∆w<br />
∆v<br />
∆v∆w<br />
= v + w +<br />
∆x<br />
∆x<br />
∆x<br />
Jika ∆x mendek<strong>at</strong>i nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga<br />
juga mendek<strong>at</strong>i nol. Persamaan (11.2) akan memberikan<br />
(11.2)<br />
∆v∆w<br />
∆x<br />
dy d( vw)<br />
dw dv<br />
= = v + w<br />
(11.3)<br />
dx dx dx dx<br />
Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua<br />
fungsi.<br />
Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melih<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u fungsi<br />
mononom 5<br />
y = 6x yang kita tahu turunannya adalah 4<br />
y ′ = 30x .<br />
Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi<br />
135
y = vw dengan 3<br />
v = 2x dan 2<br />
w = 3x . Menurut (11.3) turunan dari<br />
y menjadi<br />
3 2<br />
d(2x<br />
× 3x<br />
) 3 2 2 4 4 4<br />
y ′ =<br />
= 2x<br />
× 6x<br />
+ 3x<br />
× 6x<br />
= 12x<br />
+ 18x<br />
= 30x<br />
dx<br />
Terny<strong>at</strong>a sesuai dengan apa yang diharapkan.<br />
Bagaimanakah<br />
d ( uvw)<br />
jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita<br />
dx<br />
aplikasikan (11.3) secara bertahap seperti berikut.<br />
d(<br />
uvw)<br />
d(<br />
uv)(<br />
w)<br />
dw d(<br />
uv)<br />
= = ( uv)<br />
+ w<br />
dx dx dx dx<br />
dw ⎧ dv du ⎫<br />
= ( uv)<br />
+ w⎨u<br />
+ v ⎬<br />
dx ⎩ dx dx ⎭<br />
dw dv du<br />
= ( uv)<br />
+ ( uw)<br />
+ ( vw)<br />
dx dx dx<br />
(11.4)<br />
Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji<br />
sebelumnya, yaitu 5<br />
y = 6x yang kita tahu turunannya adalah<br />
4<br />
y ′ = 30x . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga<br />
fungsi y = uvw dengan u = 2x<br />
,<br />
(11.9) turunan dari y adalah<br />
dy d(<br />
uvw)<br />
= = (2x<br />
dx dx<br />
+ (3x<br />
2<br />
2<br />
× 3x<br />
2<br />
× x)(4x)<br />
= 6x<br />
2<br />
v = 3x , dan w = x . Menurut<br />
)(1) + (2x<br />
4<br />
2<br />
+ 12x<br />
Terny<strong>at</strong>a sesuai dengan yang kita harapkan.<br />
× x)(6x)<br />
4<br />
+ 12x<br />
4<br />
= 30x<br />
11.2. Fungsi Yang Merupakan Pangk<strong>at</strong> Dari Su<strong>at</strong>u Fungsi<br />
Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan<br />
dy jika y = v n dengan<br />
dx<br />
v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bul<strong>at</strong>. Kita ambil contoh fungsi<br />
6<br />
3<br />
2<br />
y 1 = v = v × v × v dengan v merupakan fungsi x. Jika kita<br />
aplikasikan formulasi (11.4) akan kita dap<strong>at</strong>kan<br />
4<br />
136 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dy1<br />
= ( v<br />
dx<br />
= v<br />
= v<br />
5<br />
5<br />
= 6v<br />
3 2 dv 3 dv 2 dv<br />
v ) + ( v v)<br />
+ ( v v)<br />
dx dx dx<br />
2<br />
dv 4 ⎛ dv dv ⎞ ⎛<br />
3 2 dv dv ⎞<br />
+ v ⎜v<br />
+ v ⎟ + v ⎜v<br />
+ v ⎟<br />
dx ⎝ dx dx ⎠ ⎜ dx dx ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
dv<br />
+ 2v<br />
dx<br />
5<br />
dv<br />
dx<br />
5<br />
dv<br />
+ v<br />
dx<br />
Contoh ini memperlih<strong>at</strong>kan bahwa<br />
yang secara umum dap<strong>at</strong> kita tulis<br />
6<br />
6<br />
dv dv dv 5<br />
= = 6v<br />
dx dv dx<br />
n<br />
dv<br />
dx<br />
5<br />
2<br />
dv 4 ⎛ dv dv ⎞<br />
+ v ⎜v<br />
+ v ⎟<br />
dx ⎝ dx dx ⎠<br />
dv<br />
dx<br />
3<br />
n−1<br />
dv<br />
= nv<br />
(11.5)<br />
dx<br />
Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkalian<br />
dan pangk<strong>at</strong> dua fungsi.<br />
2 3 3<br />
y = x + x<br />
( 1) ( −1)<br />
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan<br />
pangk<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u fungsi.<br />
dy<br />
= ( x<br />
dx<br />
= ( x<br />
2<br />
= 6x<br />
2<br />
2<br />
( x<br />
= 6x(<br />
x<br />
+ 1)<br />
+ 1) 2( x<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
+ 1) ( x<br />
−1)(<br />
x<br />
d(<br />
x −1)<br />
dx<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
−1)(3<br />
x<br />
3<br />
+ ( x<br />
−1)<br />
+ 6x(<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ 1) (2x<br />
) + ( x<br />
3<br />
3<br />
−1)<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
+ x −1)<br />
d(<br />
x + 1)<br />
dx<br />
2<br />
−1)<br />
3( x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−1)<br />
( x<br />
2<br />
3<br />
+ 1)<br />
+ 1)<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
137
11.3. Fungsi Rasional<br />
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi<br />
v<br />
y = (11.6)<br />
w<br />
Tinjauan <strong>at</strong>as fungsi demikian ini hanya terb<strong>at</strong>as pada keadaan w ≠ 0 .<br />
Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:<br />
−1<br />
y = vw<br />
(11.7)<br />
Kalau kita aplikasikan (11.3) pada (11.7) kita peroleh<br />
<strong>at</strong>au<br />
−1<br />
−1<br />
dy d ⎛ v ⎞ d(<br />
vw ) dw −<br />
= ⎜ ⎟ = = v + w<br />
dx dx ⎝ w ⎠ dx dx<br />
−2<br />
dv −1<br />
dv − v dv 1 dv<br />
= −vw<br />
+ w = +<br />
dx dx 2<br />
w dx w dx<br />
1 ⎛ dv dw ⎞<br />
= ⎜ w − v ⎟<br />
2<br />
w ⎝ dx dx ⎠<br />
d<br />
dx<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
v<br />
w<br />
⎛ dv dw ⎞<br />
⎜w<br />
− v ⎟<br />
⎞ ⎝ dx dx ⎠<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
2<br />
w<br />
138 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”<br />
1<br />
dv<br />
dx<br />
(11.8)<br />
Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya<br />
merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w.<br />
(Pangk<strong>at</strong> tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangk<strong>at</strong> tertinggi<br />
peubah x dari w).<br />
Contoh:<br />
2<br />
1).<br />
x − 3<br />
y =<br />
3<br />
x<br />
2).<br />
2 1<br />
2<br />
y = x +<br />
x<br />
3<br />
2x<br />
=<br />
4<br />
− (3x<br />
x<br />
6<br />
4<br />
2<br />
dy x (2x)<br />
− ( x<br />
=<br />
dx<br />
6<br />
x<br />
− 3)(3x<br />
− 9x<br />
2<br />
2<br />
)<br />
2<br />
) − x<br />
=<br />
x<br />
4<br />
+ 9
2<br />
dy x × 0 −1×<br />
2x<br />
2<br />
= 2x<br />
+<br />
= 2x<br />
−<br />
dx<br />
4<br />
3<br />
x<br />
2<br />
3).<br />
x + 1 2<br />
y = ; dengan x ≠ 1 (agar penyebut tidak nol)<br />
2<br />
x −1<br />
2<br />
2<br />
dy ( x −1)2<br />
x − ( x + 1)2 x<br />
=<br />
dx<br />
2 2<br />
( x −1)<br />
2x<br />
=<br />
3<br />
− 2x<br />
− 2x<br />
( x<br />
2<br />
−1)<br />
2<br />
3<br />
− 2x<br />
− 4x<br />
=<br />
2<br />
( x −1)<br />
11.4. Fungsi Implisit<br />
Sebagian fungsi implisit dap<strong>at</strong> diubah ke dalam bentuk explisit namun<br />
sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dap<strong>at</strong> diubah dalam bentuk<br />
eksplisit, turunan fungsi dap<strong>at</strong> dicari dengan cara seperti yang sudah kita<br />
pelajari di <strong>at</strong>as. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dap<strong>at</strong> diubah ke<br />
dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi<br />
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dap<strong>at</strong><br />
didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.<br />
Contoh:<br />
1). 2 2<br />
x + xy + y = 8 . Fungsi implisit ini merupakan sebuah<br />
persamaan. Jika kita melakukan operasi m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is di ruas kiri,<br />
maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar<br />
kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di<br />
kedua ruas, dan kita akan peroleh<br />
dy dx dy<br />
2x<br />
+ x + y + 2y<br />
= 0<br />
dx dx dx<br />
dy<br />
( x + 2y)<br />
= −2x<br />
− y<br />
dx<br />
Untuk titik-titik di mana ( x + 2y)<br />
≠ 0 kita peroleh turunan<br />
dy<br />
dx<br />
= −<br />
2x<br />
+ y<br />
x + 2y<br />
Untuk su<strong>at</strong>u titik tertentu, misalnya [1,2], maka<br />
2<br />
139
dy 2 + 2<br />
= − = −0,8<br />
.<br />
dx 1 + 4<br />
Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y<br />
bentuk implisit yang sedang kita hadapi.<br />
2). 4 3 4<br />
x + 4xy<br />
− 3y<br />
= 4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah<br />
persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita<br />
akan memperoleh<br />
3<br />
4<br />
3 dy 3 d(4x)<br />
d(3y<br />
)<br />
4x<br />
+ 4x<br />
+ y − = 0<br />
dx dx dx<br />
3 2 dy 3 3 dy<br />
4x<br />
+ 4x(3y<br />
) + 4y<br />
−12y<br />
= 0<br />
dx<br />
dx<br />
2 3 dy 3 3<br />
(12 xy − 12y<br />
) = −4(<br />
x + y )<br />
dx<br />
Di semua titik di mana 2 3<br />
( xy − y ) ≠ 0 kita dap<strong>at</strong> memperoleh<br />
turunan<br />
3 3<br />
dy − ( x + y )<br />
=<br />
dx 2 3<br />
3( xy − y )<br />
11.5. Fungsi Berpangk<strong>at</strong> Tidak Bul<strong>at</strong><br />
Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangk<strong>at</strong> dari<br />
su<strong>at</strong>u fungsi lain, y = v n , kita syar<strong>at</strong>kan bahwa n adalah bilangan bul<strong>at</strong>.<br />
Kita akan melih<strong>at</strong> sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio<br />
p<br />
n = dengan p dan q adalah bilangan bul<strong>at</strong> dan q ≠ 0, serta v adalah<br />
q<br />
fungsi yang bisa diturunkan.<br />
Fungsi (11.9) dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
y<br />
p / q<br />
= v<br />
(11.9)<br />
q p<br />
y = v<br />
(11.10)<br />
yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi<br />
terhadap x di kedua ruas (11.10) kita peroleh<br />
q−1 dy p−1<br />
qy = pv<br />
dx<br />
dv<br />
dx<br />
140 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Jika y ≠ 0, kita dap<strong>at</strong>kan<br />
p / q<br />
p−1<br />
dy d(<br />
v ) pv dv<br />
= =<br />
(11.11)<br />
dx dx q−1<br />
qy dx<br />
Akan tetapi dari (11.9) kita lih<strong>at</strong> bahwa<br />
sehingga (11.11) menjadi<br />
y<br />
p / q<br />
dy d(<br />
v<br />
=<br />
dx dx<br />
p / q q−1<br />
p−(<br />
p / )<br />
( v ) = v<br />
q−1 q<br />
=<br />
) pv<br />
=<br />
p−<br />
qv<br />
=<br />
=<br />
p<br />
q<br />
p<br />
q<br />
v<br />
v<br />
p−1<br />
( p / q)<br />
( p / q)<br />
−1<br />
dv<br />
dx<br />
( p−1)<br />
− p+<br />
( p / q)<br />
dv<br />
dx<br />
dv<br />
dx<br />
(11.12)<br />
Formulasi (11.12) ini mirip dengan (11.5), hanya perlu persyar<strong>at</strong>an<br />
bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.<br />
11.6. Kaidah Rantai<br />
Apabila kita mempunyai persamaan<br />
x = f ( t)<br />
dan y = f ( t)<br />
(11.13)<br />
maka relasi antara x dan y dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dalam t. Persamaan demikian<br />
disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita<br />
eliminasi t dari kedua persamaan di <strong>at</strong>as, kita dap<strong>at</strong>kan persamaan yang<br />
berbentuk<br />
y = F(x)<br />
(11.14)<br />
Bagaimanakah<br />
dy<br />
= F ′(x)<br />
dari (11.14) ber-relasi dengan<br />
dx<br />
dy<br />
dx<br />
= g′<br />
( t)<br />
dan = f ′(<br />
t)<br />
?<br />
dt<br />
dt<br />
Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.<br />
141
Jika y = F(x)<br />
dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap x dan<br />
x = f (t) dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap t, maka<br />
y = F( f ( t)<br />
) = g(<br />
t)<br />
dap<strong>at</strong> diturunkan terhadap t<br />
menjadi<br />
dy dy dx =<br />
dt dx dt<br />
(11.15)<br />
Relasi ini sudah kita kenal.<br />
11.7. Diferensial dx dan dy<br />
Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai<br />
∆y<br />
( y<br />
m = =<br />
∆x<br />
( x<br />
2 − y1<br />
2 − x1<br />
kita lih<strong>at</strong> kasus jika ∆x mendek<strong>at</strong>i nol namun tidak sama dengan nol.<br />
Limit ini kita gunakan untuk meny<strong>at</strong>akan turunan fungsi y(x) terhadap x<br />
pada formulasi<br />
)<br />
)<br />
dy<br />
dx<br />
∆y<br />
= lim =<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
f ′(<br />
x)<br />
Sekarang kita akan melih<strong>at</strong> dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa<br />
sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap<br />
x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan<br />
fungsi dari x:<br />
Kita ambil definisi sebagai berikut<br />
y = F(x)<br />
(11.16)<br />
1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan ny<strong>at</strong>a<br />
berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain<br />
selain x;<br />
2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx<br />
yang diny<strong>at</strong>akan dengan<br />
dy = F'<br />
( x)<br />
dx<br />
(11.17)<br />
Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai<br />
142 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dy<br />
= f ′(x)<br />
.<br />
dx<br />
Perh<strong>at</strong>ikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan<br />
turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang<br />
relasi ini sebagai su<strong>at</strong>u rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan<br />
memperoleh relasi (11.17), namun sesungguhnya (11.17) didefinisikan<br />
dan bukan berasal dari relasi ini.<br />
Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilih<strong>at</strong> secara geometris seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.11.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar<br />
dx s<strong>at</strong>uan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan<br />
berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia<br />
“mengarah ke kanan” dan neg<strong>at</strong>if jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy<br />
dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke <strong>at</strong>as” dan neg<strong>at</strong>if jika<br />
“mengarah ke bawah”.<br />
y<br />
y<br />
dy<br />
dx<br />
P<br />
dx<br />
P<br />
dy<br />
θ<br />
x<br />
θ<br />
x<br />
y<br />
y<br />
P<br />
dx<br />
dy<br />
dy<br />
dx<br />
P<br />
θ<br />
θ<br />
x<br />
Gb.11.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.<br />
dy<br />
= tan θ ; dy = (tan θ)<br />
dx<br />
dx<br />
dy<br />
1. adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.<br />
dx<br />
2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis<br />
singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah<br />
sebesar dx skala.<br />
x<br />
143
Dengan pengertian diferensial seperti di <strong>at</strong>as, kita kumpulkan formula<br />
turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam<br />
tabel ini v adalah fungsi x.<br />
Tabel-11.1<br />
Turunan Fungsi<br />
Diferensial<br />
dc<br />
1. = 0 ; c = konstan 1. dc = 0 ; c = konstan<br />
dx<br />
2.<br />
dcv dv = c<br />
2. dcv = cdv<br />
dx dx<br />
d( v + w)<br />
dv dw<br />
3. = +<br />
3. d ( v + w)<br />
= dv + dw<br />
dx dx dx<br />
4.<br />
dvw dw dv<br />
= v + w 4. d ( vw)<br />
= vdw + wdv<br />
dx dx dx<br />
⎛ v ⎞<br />
d⎜<br />
⎟<br />
⎝ w ⎠<br />
5. =<br />
dx<br />
dv<br />
w<br />
dx<br />
− v<br />
2<br />
w<br />
dw<br />
dx<br />
⎛<br />
5. d⎜<br />
⎝<br />
v<br />
w<br />
⎞ wdv − vdw<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
2<br />
w<br />
n<br />
dv<br />
6.<br />
dx<br />
n−1<br />
dv<br />
n n−1<br />
= nv<br />
6. dv = nv dv<br />
dx<br />
−1<br />
7.<br />
dcx n<br />
n<br />
= cnx<br />
7. n n−1<br />
d(<br />
cx ) = cnx dx<br />
dx<br />
Ada dua cara untuk mencari diferensial su<strong>at</strong>u fungsi.<br />
1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-11.1),<br />
kemudian dikalikan dengan dx.<br />
2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan<br />
Tabel-10.1)<br />
Kita ambil su<strong>at</strong>u contoh: cari dy dari fungsi<br />
3 3 2 −<br />
y = x − x + 5x<br />
6<br />
144 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Turunan y adalah : y ′ = 3x<br />
2 − 6x<br />
+ 5<br />
sehingga<br />
2<br />
dy = (3x<br />
− 6x<br />
+ 5)<br />
dx<br />
Kita dap<strong>at</strong> pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam<br />
tabel di <strong>at</strong>as:<br />
3 2<br />
2<br />
dy = d(<br />
x ) + d(<br />
−3x<br />
) + d(5x)<br />
+ d(<br />
−6)<br />
= 3x<br />
dx − 6xdx<br />
+ 5dx<br />
2<br />
= (3x<br />
− 6x<br />
+ 5) dx<br />
145
146 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”<br />
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.<br />
3<br />
2<br />
2<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1)<br />
(<br />
2)<br />
(<br />
;<br />
)<br />
2<br />
(<br />
;<br />
3)<br />
(<br />
1)<br />
(<br />
−<br />
+<br />
+<br />
=<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
=<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
1<br />
3<br />
2<br />
;<br />
1<br />
1<br />
;<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
y<br />
2<br />
2<br />
1;<br />
;<br />
;<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
xy
Bab 12 Turunan Fungsi Trigonometri,<br />
Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial<br />
12.1. Turunan Fungsi Trigonometri<br />
Jika<br />
y = sin x maka<br />
dy d sin x sin( x + ∆x)<br />
− sin x<br />
= =<br />
dx dx<br />
∆x<br />
sin x cos ∆x<br />
+ cos xsin<br />
∆x<br />
− sin x<br />
=<br />
∆x<br />
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh<br />
karena itu<br />
Jika<br />
y = cos x maka<br />
d sin x<br />
= cos x<br />
(12.1)<br />
dx<br />
dy d cos x cos( x + ∆x)<br />
− cos x cos x cos ∆x<br />
− sin xsin<br />
∆x<br />
− cos x<br />
= =<br />
=<br />
dx dx<br />
∆x<br />
∆x<br />
Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu<br />
d cos x<br />
= − sin x<br />
(12.2)<br />
dx<br />
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.<br />
2<br />
d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x(<br />
−sin<br />
x)<br />
1 2<br />
= ⎜ ⎟ =<br />
= = sec x<br />
dx dx cos x<br />
2<br />
2<br />
⎝ ⎠ cos x cos x<br />
2<br />
d 2<br />
cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin<br />
= ⎜ ⎟ =<br />
dx dx ⎝ sin x ⎠<br />
d sec x<br />
=<br />
dx<br />
d csc x<br />
=<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x − cos x(cos<br />
x)<br />
−1<br />
= = −csc<br />
2<br />
2<br />
sin x sin x<br />
1 ⎞ 0 − ( −sin<br />
x)<br />
sin x<br />
⎟ =<br />
= = sec x tan x<br />
cos x<br />
2<br />
2<br />
⎠ cos x cos x<br />
1 ⎞ 0 − (cos x)<br />
− cos x<br />
⎟ = = = −csc<br />
x cot x<br />
sin x 2<br />
2<br />
⎠ sin x sin x<br />
x<br />
147
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.<br />
2<br />
y = tan( 4x<br />
) ; y = 5sin (3x) ; y = 3cos<br />
y = cot(3x<br />
+ 6) ;<br />
4<br />
4<br />
2<br />
3<br />
y = sin (2x)<br />
− cos(2x)<br />
y = sec x − tan x ; y = (csc x + cot x)<br />
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong><br />
turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4).<br />
1). Tegangan pada su<strong>at</strong>u kapasitor merupakan fungsi sinus v C =<br />
200sin400t volt. Kita akan melih<strong>at</strong> bentuk arus yang mengalir pada<br />
kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10 -6 farad ini.<br />
Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah<br />
dv<br />
i C C<br />
C =<br />
dt<br />
Arus yang melalui kapasitor adalah<br />
dv<br />
6 d<br />
i C C<br />
C = = 2 × 10 ×<br />
=<br />
dt<br />
dt<br />
2<br />
( 200sin 400t) 0,160cos 400t<br />
ampere<br />
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap<br />
kapasitor adalah<br />
pC<br />
= vCiC<br />
= 200sin 400t<br />
× 0,16cos 400t<br />
= 32cos 400t<br />
sin 400t<br />
= 16sin 800t<br />
w<strong>at</strong>t<br />
Bentuk kurva tegangan dan arus terlih<strong>at</strong> pada gambar di bawah ini.<br />
v C<br />
i C<br />
p C<br />
200<br />
100<br />
i C<br />
v C<br />
p C<br />
2<br />
x<br />
-100<br />
0<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05<br />
t [detik]<br />
-200<br />
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai<br />
menurun dari nilai maksimumnya. Dengan k<strong>at</strong>a lain kurva arus<br />
mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dik<strong>at</strong>akan<br />
148 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
ahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan<br />
kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor<br />
besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangan dengan beda<br />
fasa sebesar 90 o .<br />
Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali<br />
lip<strong>at</strong> dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris<br />
terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah<br />
perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya.<br />
Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini<br />
disebut daya reaktif.<br />
2). Arus pada su<strong>at</strong>u inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus<br />
terhadap waktu sebagai i L = −0,2cos400t ampere. Berapakah<br />
tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ?<br />
Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah<br />
diL<br />
vL = L<br />
dt<br />
diL<br />
d<br />
vL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t<br />
= 2,5 × 0,2 × sin 400t<br />
× 400 = 200sin 400<br />
dt dt<br />
( ) t<br />
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.<br />
pL<br />
= vLiL<br />
= 200sin 400t<br />
× ( −0.2cos 400t)<br />
= −40sin 400t<br />
cos 400t<br />
= −20sin 800t<br />
W<br />
Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.<br />
v L<br />
i L<br />
p L<br />
200<br />
100<br />
v L i L<br />
p L<br />
0<br />
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]<br />
-100<br />
-200<br />
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari<br />
kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus <strong>at</strong>au lebih sering<br />
dik<strong>at</strong>akan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan<br />
kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 o , artinya<br />
arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90 o .<br />
Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu,<br />
yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.<br />
149
12.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi<br />
1) y = sin −1 x<br />
1<br />
y<br />
2<br />
1 − x<br />
x<br />
x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒<br />
dy<br />
dx<br />
=<br />
1<br />
1 − x<br />
2<br />
dy<br />
dx<br />
=<br />
1<br />
cos<br />
y<br />
2) y = cos −1 x<br />
1 2<br />
1 − x<br />
y<br />
x<br />
x = cos y ⇒ dx = −sin<br />
ydy ⇒<br />
dy<br />
dx<br />
= −1<br />
sin y<br />
;<br />
dy<br />
dx<br />
=<br />
−1<br />
1 − x<br />
2<br />
3) y = tan −1 x<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
y<br />
1<br />
4) y = cot −1 x<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
y<br />
x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
x = tan y ⇒ dx = dy ⇒<br />
2<br />
cos y<br />
dy 2<br />
= cos y ;<br />
dx<br />
dy 1<br />
=<br />
dx 1+<br />
x<br />
−1<br />
x = cot y ⇒ dx = dy ⇒<br />
2<br />
sin y<br />
dy 2<br />
= −sin y ;<br />
dx<br />
dy<br />
dx<br />
2<br />
−1<br />
=<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
150 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
5) y = sec −1 x ⇒<br />
x<br />
y<br />
1<br />
1<br />
0 − ( −sin<br />
x)<br />
x = sec y = ⇒ dx =<br />
dy<br />
cos y<br />
2<br />
cos y<br />
2<br />
dy cos y 1 ⎛ ⎞<br />
⎜ x<br />
= = × ⎟<br />
x 2 − 1 dx sin y 2<br />
x ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ x − 1 ⎠<br />
1<br />
=<br />
2<br />
x x − 1<br />
6) y = csc −1 x<br />
x<br />
y<br />
x 2 − 1<br />
1<br />
1 0 − (cos x)<br />
x = csc y = ⇒ dx = dy<br />
sin y<br />
2<br />
sin y<br />
2<br />
dy sin y 1 x<br />
= = − ×<br />
dx − cos y 2<br />
x 2<br />
x − 1<br />
− 1<br />
=<br />
2<br />
x x − 1<br />
Soal-Soal<br />
1). Jika α = sin −1<br />
(0.5)<br />
carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α .<br />
−<br />
2). Jika α = cos 1 ( −0.5)<br />
carilah<br />
sin α , tan α , sec α , dan csc α .<br />
−1<br />
−1<br />
3). Hitunglah sin (1) − sin ( −1)<br />
.<br />
−1<br />
−1<br />
4). Hitunglah tan (1) − tan ( −1)<br />
.<br />
−1<br />
−1<br />
5). Hitunglah sec (2) − sec ( −2)<br />
.<br />
12.3. Fungsi Trigonometri Dari Su<strong>at</strong>u Fungsi<br />
Jika v = f(x), maka<br />
d(sin<br />
v)<br />
d(sin<br />
v)<br />
=<br />
dx dv<br />
d(cosv)<br />
d(cosv)<br />
=<br />
dx dv<br />
dv<br />
dx<br />
dv<br />
dx<br />
= cosv<br />
dv<br />
dx<br />
= −sin<br />
v<br />
dv<br />
dx<br />
151
152 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”<br />
dx<br />
dv<br />
v<br />
dx<br />
dv<br />
x<br />
x<br />
x<br />
v<br />
v<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
v<br />
d 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
sec<br />
cos<br />
sin<br />
cos<br />
cos<br />
sin<br />
)<br />
(tan<br />
=<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
dx<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
v<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
v<br />
d 2<br />
csc<br />
sin<br />
cos<br />
)<br />
(cot<br />
= −<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
dx<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
dx<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
v<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
v<br />
d<br />
tan<br />
sec<br />
cos<br />
sin<br />
0<br />
cos<br />
1<br />
)<br />
(sec<br />
2<br />
=<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
dx<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
v<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
v<br />
d<br />
cot<br />
csc<br />
sin<br />
1<br />
)<br />
(csc<br />
= −<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
=<br />
Jika w = f(x), maka<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(sin<br />
−<br />
=<br />
−<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(cos<br />
−<br />
= −<br />
−<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(tan<br />
+<br />
=<br />
−<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(cot<br />
+<br />
= −<br />
−<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(sec<br />
2<br />
1<br />
−<br />
=<br />
−<br />
dx<br />
dw<br />
w<br />
w<br />
dx<br />
w<br />
d<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(csc<br />
2<br />
1<br />
−<br />
= −<br />
−<br />
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
4<br />
sec<br />
;<br />
3<br />
tan<br />
3<br />
1<br />
)<br />
(2<br />
cos<br />
) ;<br />
(0,5<br />
sin<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=
12.4. Turunan Fungsi Logaritmik<br />
Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah<br />
mengetahui bahwa fungsi f ( x)<br />
= ln x didefinisikan melalui su<strong>at</strong>u<br />
integrasi (lih<strong>at</strong> bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)<br />
x 1<br />
f ( x)<br />
= ln x =<br />
∫<br />
dt ( x > 0)<br />
1 t<br />
y = ln x adalah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di<br />
selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.<br />
6<br />
5<br />
y<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1/t lnx<br />
ln(x+∆x)−lnx<br />
Kita lih<strong>at</strong> pula<br />
0<br />
0 1 2<br />
x<br />
3<br />
t<br />
x<br />
4<br />
1/x<br />
x+∆x<br />
1/(x+∆x)<br />
Gb.12.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.<br />
ln( x + ∆x)<br />
− ln( x)<br />
1 ⎛ ∆ ⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
∆ ∆ ∫<br />
x+ x 1<br />
dt<br />
(12.3)<br />
x x ⎝ x t ⎠<br />
Apa yang berada dalam tanda kurung (12.3) adalah luas bidang yang<br />
dib<strong>at</strong>asi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas<br />
bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika<br />
∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendek<strong>at</strong>i (∆x × 1/x);<br />
dan jika ∆x mendek<strong>at</strong>i nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada<br />
keadaan b<strong>at</strong>as ini (12.3) akan bernilai (1/x). Jadi<br />
d ln x 1<br />
= (12.4)<br />
dx x<br />
153
Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan<br />
memanfa<strong>at</strong>kan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x<br />
2 + 4<br />
2<br />
d ln v d ln v dv 1 d(3x<br />
+ 4) 6x<br />
= =<br />
=<br />
dx dv dx 2<br />
2<br />
3x<br />
+ 4 dx 3x<br />
+ 4<br />
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.<br />
ln( 2<br />
x<br />
y = x + 2x) ; y = ln ; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x)<br />
2 + 2x<br />
12.5. Turunan Fungsi Eksponensial<br />
Fungsi eksponensial berbentuk<br />
x<br />
y = e<br />
(12.5)<br />
Persamaan (12.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan<br />
penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dap<strong>at</strong>kan<br />
d ln y 1<br />
=<br />
dx<br />
dy<br />
y dx<br />
= 1<br />
<strong>at</strong>au<br />
dy<br />
dx<br />
x<br />
= y = e<br />
(12.6)<br />
Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang<br />
tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan<br />
dap<strong>at</strong> dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan<br />
dari<br />
x<br />
y = e adalah<br />
x<br />
y ′ = e<br />
y ′′<br />
= e<br />
x<br />
′<br />
x<br />
dst.<br />
y ′′ = e<br />
Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan su<strong>at</strong>u<br />
fungsi, v = v(x)<br />
.<br />
Kita ambil contoh:<br />
tan x<br />
y = e<br />
−1<br />
dy tan<br />
= e<br />
dx<br />
v v<br />
de de dv v dv<br />
= = e<br />
(12.7)<br />
dx dv dx dx<br />
−1<br />
x<br />
d tan<br />
−1<br />
−1<br />
tan x<br />
x e<br />
=<br />
dx<br />
2<br />
+ x<br />
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.<br />
x −x<br />
x −x<br />
2 x e − e e − e<br />
−1<br />
sin x 1/ x<br />
y = x e ; y = ; y = ; y = e ; y = e<br />
2<br />
x −x<br />
e + e<br />
1<br />
154 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 13 Integral<br />
Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah s<strong>at</strong>u bagian utama<br />
kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas<br />
bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.<br />
Dalam pengertian sehari-hari, k<strong>at</strong>a “integral” mengandung arti<br />
“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan<br />
keseluruhan” <strong>at</strong>au “memberikan total”; dalam m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika berarti<br />
“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.<br />
Misalkan dari su<strong>at</strong>u fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk<br />
mencari su<strong>at</strong>u fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x<br />
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan<br />
dy = f (x)<br />
(13.1)<br />
dx<br />
Persamaan seperti (13.1) ini, yang meny<strong>at</strong>akan turunan fungsi sebagai<br />
fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)<br />
disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:<br />
dy<br />
= 2x<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
d y<br />
+ 6xy<br />
2<br />
dx<br />
+ 5x<br />
+ 6<br />
dy<br />
dx<br />
2<br />
+ 3x<br />
y<br />
2<br />
= 0<br />
Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan<br />
diferensial seperti contoh yang pertama.<br />
13.1. Integral Tak Tentu<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi y = F(x)<br />
dik<strong>at</strong>akan sebagai solusi dari persamaan<br />
diferensial (13.1) jika dalam rentang a< x < b ia dap<strong>at</strong> diturunkan dan<br />
dap<strong>at</strong> memenuhi<br />
dF(<br />
x)<br />
= f ( x)<br />
(13.2)<br />
dx<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa jika F(x) memenuhi (13.2) maka F ( x)<br />
+ K dengan K<br />
adalah su<strong>at</strong>u nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (13.2) sebab<br />
155
d<br />
[ F(<br />
x)<br />
+ K ]<br />
dx<br />
dF(<br />
x)<br />
dK<br />
= +<br />
dx dx<br />
Jadi secara umum dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
dF(<br />
x)<br />
= + 0<br />
dx<br />
(13.3)<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
+ K<br />
(13.4)<br />
yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.<br />
Persamaan (13.2) dap<strong>at</strong> pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu<br />
dF ( x)<br />
= f ( x)<br />
dx<br />
yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan<br />
∫<br />
dF x)<br />
=<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx<br />
( (13.5)<br />
Jika kita bandingkan (13.5) dan (13.4), kita dap<strong>at</strong> menyimpulkan bahwa<br />
∫<br />
dF ( x)<br />
= F(<br />
x)<br />
+ K<br />
(13. 6)<br />
Jadi integral dari diferensial su<strong>at</strong>u fungsi adalah fungsi itu sendiri<br />
ditambah su<strong>at</strong>u nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak<br />
tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.<br />
Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini.<br />
1) Cari solusi persamaan diferensial<br />
dy = 5x<br />
dx<br />
Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial<br />
dy = 5x<br />
4<br />
dx<br />
Menurut relasi (11.4) dan (11.5) di Bab-9,<br />
Oleh karena itu<br />
5<br />
d( x ) = 5x<br />
4<br />
dx<br />
4<br />
5 5<br />
y =<br />
∫<br />
5 x dx =<br />
∫<br />
d(<br />
x ) = x + K<br />
4<br />
156 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2). Carilah solusi persamaan dy = x<br />
2 y<br />
dx<br />
Kita tuliskan dalam bentuk diferensial<br />
2<br />
dy = x ydx<br />
dan kita<br />
kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri<br />
mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya<br />
mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi<br />
kedua ruas dengan √y.<br />
y<br />
−1 / 2<br />
dy = x<br />
Ruas kiri memberikan diferensial d ( 2y<br />
) y dy<br />
memberikan diferensial<br />
2<br />
dx<br />
⎛ 1 3 ⎞ 2<br />
d⎜<br />
x ⎟ = x dx , sehingga<br />
⎝ 3 ⎠<br />
d<br />
( 1/ 2 ⎛ 1 3 ⎞<br />
2y<br />
) = d⎜<br />
x ⎟<br />
⎠<br />
Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh<br />
1/ 2 −1/<br />
2<br />
= dan ruas kanan<br />
⎝ 3<br />
1/ 2 1 3<br />
2y + K1<br />
= x + K2<br />
<strong>at</strong>au<br />
3<br />
1 / 2 1 3<br />
1 3<br />
2 y = x + K2<br />
− K1<br />
= x + K<br />
3<br />
3<br />
Dua contoh telah kita lih<strong>at</strong>. Dalam proses integrasi seperti di <strong>at</strong>as terasa<br />
adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.<br />
Beberapa hal tersebut di bawah ini dap<strong>at</strong> memperingan upaya pendugaan<br />
tersebut.<br />
1. Integral dari su<strong>at</strong>u diferensial dy adalah y ditambah konstanta<br />
sembarang K.<br />
∫<br />
dy = y + K<br />
2. Su<strong>at</strong>u konstanta yang berada di dalam tanda integral dap<strong>at</strong><br />
dikeluarkan<br />
∫<br />
ady = a∫<br />
dy<br />
157
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan<br />
menambah pangk<strong>at</strong> n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya<br />
dengan (n + 1).<br />
∫<br />
n+<br />
1<br />
n y<br />
y dy = + K,<br />
n + 1<br />
jika n ≠ −1<br />
Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdap<strong>at</strong><br />
su<strong>at</strong>u nilai K yang merupakan bilangan ny<strong>at</strong>a sembarang. Ini berarti<br />
bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan<br />
banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.<br />
Dalam pemanfa<strong>at</strong>an integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan<br />
menerapkan apa yang disebut sebagai syar<strong>at</strong> awal <strong>at</strong>au kondisi awal.<br />
Kita akan mencoba memahami melalui pengam<strong>at</strong>an kurva. Jika kita<br />
2<br />
gambarkan kurva y = 10x kita akan mendap<strong>at</strong>kan kurva bernilai<br />
tunggal seperti Gb.13.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi<br />
10x<br />
∫<br />
3 dx tidak hanya s<strong>at</strong>u kurva yang dap<strong>at</strong> memenuhi syar<strong>at</strong> akan<br />
3<br />
tetapi banyak kurva seperti pada Gb.13.1.b; kita akan mendap<strong>at</strong>kan s<strong>at</strong>u<br />
kurva jika K dap<strong>at</strong> ditentukan.<br />
y i = 10x 2 +K i<br />
y = 10x 2 50<br />
100<br />
y<br />
100<br />
y<br />
50<br />
K 1<br />
K 2<br />
K 3<br />
x<br />
x<br />
-5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5<br />
a) b)<br />
Gb.13.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.<br />
Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan<br />
kecep<strong>at</strong>an sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecep<strong>at</strong>an sebuah benda<br />
bergerak diny<strong>at</strong>akan sebagai v = <strong>at</strong> = 3t<br />
, dengan v adalah kecep<strong>at</strong>an, a<br />
adalah percep<strong>at</strong>an yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi<br />
158 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
awal benda adalah s 0 = 3 pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda<br />
pada t = 4.<br />
Kita ing<strong>at</strong> pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecep<strong>at</strong>an<br />
ds<br />
adalah laju perubahan jarak, v = ; sedangkan percep<strong>at</strong>an adalah laju<br />
dt<br />
dv<br />
perubahan kecep<strong>at</strong>an, a = . Karena kecep<strong>at</strong>an sebagai fungsi t<br />
dt<br />
diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi<br />
ds<br />
v = yang memberikan ds = vdt<br />
dt<br />
sehingga integrasinya memberikan<br />
2<br />
t<br />
2<br />
s =<br />
∫<br />
<strong>at</strong>dt = 3 + K = 1,5t<br />
+ K<br />
2<br />
Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s 0 = 3 pada t = 0.<br />
3 = 0 + K yang memberikan K = 3<br />
Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s = 1,5t<br />
2 + 3<br />
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s 4 = 27<br />
Luas Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral. Kita akan mencari luas bidang yang<br />
dib<strong>at</strong>asi oleh su<strong>at</strong>u kurva y = f (x)<br />
, sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x<br />
= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan y = 2 seperti<br />
terlih<strong>at</strong> pada Gb.13.2.<br />
2<br />
y<br />
y = f(x) =2<br />
A px<br />
∆A px<br />
x<br />
0 p x x+∆x q<br />
Gb.13.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.<br />
159
Jika luas dari p sampai x adalah A px , dan kita bisa mencari fungsi<br />
pertambahan luas ∆A px yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi<br />
x+∆x, maka kita dap<strong>at</strong> menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai<br />
dari x = p sampai x = q untuk memperoleh A pq yaitu luas dari p sampai q.<br />
Pertambahan luas yang dimaksud tentulah<br />
∆A px<br />
∆A px = 2 ∆x <strong>at</strong>au = 2 = f ( x)<br />
∆x<br />
Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dap<strong>at</strong>kan limit<br />
lim<br />
∆x→0<br />
Dari (13.8) kita peroleh<br />
A<br />
∆A<br />
px<br />
∆x<br />
dA<br />
=<br />
dx<br />
px<br />
= f ( x)<br />
= 2<br />
(13.7)<br />
(13.8)<br />
=<br />
∫<br />
dApx<br />
=<br />
∫<br />
2 dx = 2x<br />
K<br />
(13.9)<br />
px +<br />
Kondisi awal (kondisi b<strong>at</strong>as) adalah A px = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini<br />
kita terapkan pada (13.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu<br />
sehingga<br />
0 = 2 p + K <strong>at</strong>au K = −2<br />
p<br />
(13.10)<br />
A px = 2x<br />
− 2 p<br />
(13.11)<br />
Kita mendap<strong>at</strong>kan luas A px (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan<br />
fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh<br />
A pq<br />
= 2q<br />
− 2 p = 2( q − p)<br />
(13.12)<br />
Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri<br />
yang meny<strong>at</strong>akan bahwa luas segi emp<strong>at</strong> adalah panjang kali lebar yang<br />
dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.<br />
Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi<br />
tetapan? Kita lih<strong>at</strong> kasus fungsi sembarang dengan syar<strong>at</strong> bahwa ia<br />
kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q seperti digambarkan pada Gb.13.3.<br />
160 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
f(x)<br />
f(x+∆x )<br />
y = f(x)<br />
∆A px<br />
A px<br />
Gb.13.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤ x ≤ b<br />
Dalam kasus ini, ∆A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah<br />
dalam menghitungnya kita memilih ∆A px = f(x)∆x <strong>at</strong>au ∆A px = f(x+∆x)∆x.<br />
Namun kita akan mempunyai nilai<br />
∆ = f ( x)<br />
∆x<br />
≤ f ( x0 ) ∆x<br />
≤ f ( x + ∆x)<br />
∆x<br />
(13.13)<br />
A px<br />
dengan x 0 adalah su<strong>at</strong>u nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x<br />
kita bu<strong>at</strong> mendek<strong>at</strong>i nol kita akan mempunyai<br />
∆ = f ( x)<br />
∆x<br />
= f ( x0 ) ∆x<br />
= f ( x + ∆x)<br />
∆x<br />
(13.14)<br />
A px<br />
Dengan demikian kita akan mendap<strong>at</strong>kan limit<br />
lim<br />
∆x→0<br />
Dari sini kita peroleh<br />
A<br />
0<br />
∆A<br />
px<br />
∆x<br />
dA<br />
=<br />
dx<br />
px<br />
= f ( x)<br />
(13.15)<br />
=<br />
∫<br />
dApx<br />
=<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
K<br />
(13.16)<br />
px +<br />
Dengan memasukkan kondisi awal A px = 0 untuk x = p dan kemudian<br />
memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh<br />
A<br />
p x x+∆x q<br />
pq = F( q)<br />
− F(<br />
p)<br />
= F(<br />
x)<br />
] q p<br />
(13.17)<br />
x<br />
161
13.2. Integral Tentu<br />
Integral tentu merupakan integral yang b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasinya jelas.<br />
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai<br />
su<strong>at</strong>u limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh su<strong>at</strong>u<br />
kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang<br />
diarsir pada Gb.13.4.a.<br />
Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan<br />
kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian<br />
menjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmen<br />
kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada<br />
Gb.13.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas<br />
yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luas<br />
segmen bawah).<br />
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas<br />
segmen seperti tergambar pada Gb.13.4.c, kita akan memperoleh luas<br />
yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas<br />
segmen ini A pqa (jumlah luas segmen <strong>at</strong>as).<br />
Kedua macam perhitungan tersebut di <strong>at</strong>as akan mengakib<strong>at</strong>kan<br />
terjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlih<strong>at</strong> pada<br />
Gb.13.4.d. Jika x 0k adalah su<strong>at</strong>u nilai x di antara kedua b<strong>at</strong>as segmen kek,<br />
yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlaku<br />
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x)<br />
(13.18)<br />
k<br />
k<br />
Jika pertidaksamaan (13.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecil<br />
dan bernilai positif, maka<br />
f<br />
k<br />
( xk<br />
) ∆ xk<br />
≤ f ( x0 k ) ∆xk<br />
≤ f ( xk<br />
+ ∆x)<br />
∆xk<br />
(13.19)<br />
Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (13.19) kita<br />
jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita<br />
bu<strong>at</strong>), kita akan memperoleh<br />
n<br />
n<br />
n<br />
∑ f ( xk<br />
) ∆xk<br />
≤∑<br />
f ( x0k<br />
) ∆xk<br />
≤ ∑ f ( xk<br />
+ ∆x)<br />
∆xk<br />
(13.20)<br />
k = 1<br />
k = 1<br />
k = 1<br />
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas paling<br />
kanan adalah jumlah luas segmen <strong>at</strong>as, A pqa ; ruas yang di tengah adalah<br />
jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa<br />
162 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
A<br />
pqb ≤ An<br />
≤ Apqa<br />
(13.21)<br />
y<br />
y = f(x)<br />
(a)<br />
0<br />
p x 2 x k x k+1 x n<br />
x<br />
y<br />
y = f(x)<br />
(b)<br />
0<br />
p x 2 x k x k+1 x n<br />
x<br />
y<br />
y = f(x)<br />
(c)<br />
0<br />
y<br />
p x 2 x k x k+1 x n<br />
y = f(x)<br />
x<br />
(d)<br />
0<br />
p x 2 x k x k+1 x n<br />
Gb.13.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.<br />
Nilai A n dap<strong>at</strong> dipakai sebagai pendek<strong>at</strong>an pada luas bidang yang kita<br />
cari. Error yang terjadi sang<strong>at</strong> tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n<br />
x<br />
163
kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆x k menuju nol, maka luas<br />
bidang yang kita cari adalah<br />
A<br />
pq = lim Apqb<br />
= lim An<br />
= lim Apqa<br />
(13.22)<br />
∆x<br />
→0<br />
∆x<br />
→0<br />
∆x<br />
→<br />
k k<br />
k<br />
0<br />
Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit<br />
yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, <strong>at</strong>au<br />
<strong>at</strong>as, <strong>at</strong>au pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,<br />
dituliskan<br />
∫<br />
A f ( x)<br />
dx<br />
(13.23)<br />
= q pq<br />
p<br />
Integral tertentu (13.23) ini terkait dengan integral tak tentu (11.12)<br />
A<br />
pq<br />
q<br />
=<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
] = F(<br />
q)<br />
− F(<br />
p)<br />
(13.24)<br />
p<br />
q<br />
p<br />
Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,<br />
penjumlahan segmen <strong>at</strong>as, maupun penjumlahan segmen pertengahan<br />
dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:<br />
a. integrasi untuk memperoleh F ( x)<br />
=<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx ;<br />
b. masukkan b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>as x = q untuk mendap<strong>at</strong> F(q);<br />
c. masukkan b<strong>at</strong>as bawah x = p untuk mendap<strong>at</strong> F(p);<br />
d. kurangkan perolehan b<strong>at</strong>as bawah dari b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>as, F(q) − F(p).<br />
Walaupun dalam pembahasan di <strong>at</strong>as kita mengambil contoh fungsi yang<br />
bernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan itu<br />
berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q semp<strong>at</strong><br />
bernilai neg<strong>at</strong>if. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang<br />
disebut dengan A px dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang<br />
baru ini akan berlaku umum, yaitu<br />
A px adalah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh y = f (x)<br />
dan<br />
sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian<br />
yang berada di <strong>at</strong>as sumbu-x dikurangi dengan luas bagian<br />
yang di bawah sumbu-x.<br />
164 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan<br />
menghitung luas antara y = x<br />
3 −12x<br />
dan sumbu-x dari x = −3 sampai x<br />
= +3. Bentuk kurva diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.13.5.<br />
3 −<br />
y = x 12 x<br />
20<br />
10<br />
0<br />
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4<br />
- 10<br />
x<br />
Gb.13.5. Kurva<br />
- 20<br />
y = x<br />
3 −12x<br />
Di sini terlih<strong>at</strong> bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di <strong>at</strong>as sumbu-x<br />
dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian<br />
yang di <strong>at</strong>as sumbu-x kita mempunyai luas<br />
A a<br />
=<br />
∫<br />
0<br />
−3<br />
( x<br />
3<br />
4<br />
x ⎤<br />
2<br />
−12x)<br />
dx = − 6x<br />
⎥<br />
4 ⎥⎦<br />
0<br />
−3<br />
Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dap<strong>at</strong>kan<br />
A b<br />
3<br />
4<br />
3 x ⎤<br />
=<br />
2<br />
∫<br />
( x −12x)<br />
dx = − 6x<br />
⎥<br />
0<br />
4 ⎥⎦<br />
3<br />
0<br />
= −0<br />
− (20,25 − 54) = 33,75<br />
= 20,25 − 54 − (0) = −33,75<br />
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di <strong>at</strong>as sumbu-x<br />
dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x<br />
A<br />
pq<br />
= Aa<br />
− Ab<br />
= 33 ,75 − ( −33,755)<br />
= 67,5<br />
Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai<br />
A px , formulasi<br />
q<br />
A =<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
q)<br />
− F p<br />
p<br />
( ))<br />
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di <strong>at</strong>as maupun di<br />
bawah sumbu-x.<br />
165
Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.13.6. kita<br />
dap<strong>at</strong>kan<br />
A pq = −A<br />
+<br />
1 + A2<br />
− A3<br />
A4<br />
yang kita peroleh dari A f ( x)<br />
dx = F(<br />
q)<br />
− F( p)<br />
)<br />
pq<br />
=<br />
∫<br />
q<br />
p<br />
y<br />
y = f(x)<br />
p<br />
A 4<br />
A 1<br />
A 2<br />
A 3<br />
q<br />
x<br />
Gb.13.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.<br />
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang<br />
di antara kurva y 1 = f1 ( x)<br />
dan y 2 = f2 ( x)<br />
pada b<strong>at</strong>as antara x = p dan x<br />
= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam<br />
rentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x)<br />
berada di <strong>at</strong>as<br />
y 2 = f2 ( x)<br />
meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang<br />
berada di bawah sumbu-x. Perh<strong>at</strong>ikan Gb.13.7.<br />
y<br />
y 1<br />
p<br />
0<br />
y 2<br />
x<br />
x+∆x<br />
q<br />
x<br />
Gb.13.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.<br />
Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah s<strong>at</strong>unya<br />
diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.13.7. dengan b<strong>at</strong>as kiri x dan b<strong>at</strong>as kanan (x+∆x),<br />
dimana ∆ x = ( q − p)<br />
/ n .<br />
166 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Luas segmen dap<strong>at</strong> didek<strong>at</strong>i dengan<br />
{ f1 ( x)<br />
− f2(<br />
x } ∆x<br />
(13.25)<br />
A segmen = )<br />
yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh<br />
n<br />
∑<br />
1<br />
x=<br />
q−∆x<br />
∑{ f1 ( x)<br />
− f2(<br />
x }<br />
A =<br />
) ∆x<br />
segmen<br />
x=<br />
p<br />
(13.25)<br />
Dengan membu<strong>at</strong> n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita<br />
sampai pada su<strong>at</strong>u limit<br />
n→∞<br />
∑<br />
∫<br />
{ f ( x)<br />
− f ( x }<br />
A pq = lim Asegmen<br />
= 1 2 ) dx<br />
Kita lih<strong>at</strong> beberapa contoh.<br />
1<br />
q<br />
p<br />
(13.26)<br />
1). Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2<br />
dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3.<br />
A pq<br />
=<br />
∫<br />
+ 3<br />
−2<br />
+<br />
{ 4 − ( −2)<br />
} dx = 6x] = 18 − ( −12)<br />
= 30<br />
(<br />
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas<br />
yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2<br />
= 6<br />
dan panjang x 2 − x1<br />
= 5 .<br />
2<br />
2). Jika y 1 = x dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh y 1<br />
dan y 2 .<br />
Terlebih dulu kita cari b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasi yaitu nilai x pada<br />
perpotongan antara y 1 dan y 2 .<br />
2<br />
3<br />
− 2<br />
y 1 = y2<br />
→ x = 4 ⇒ x1<br />
= p = −2,<br />
x2<br />
= q = 2<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa y 1 adalah fungsi pangk<strong>at</strong> dua dengan titik puncak<br />
minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian<br />
kurva y 1 yang memb<strong>at</strong>asi bidang yang akan kita cari luasnya, berada<br />
di di bawah y 2 = 4.<br />
167
2<br />
2<br />
⎛ 3 ⎞⎤<br />
2<br />
8 8 16 16 32<br />
(4 ) ⎜<br />
x ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ −<br />
A pq = 4 ⎟⎥<br />
∫<br />
− x dx = x − = ⎜8<br />
− ⎟ − ⎜−<br />
8 − ⎟ = − =<br />
− 2<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠⎥<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3<br />
⎦-2<br />
Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akan<br />
melakukan kesalahan:<br />
2<br />
2<br />
⎛ 3 ⎞⎤<br />
2<br />
8 8 16 16<br />
* ( 4) ⎜<br />
x<br />
⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − +<br />
A pq = 4 ⎟⎥<br />
∫<br />
x − dx = − x = ⎜ − 8⎟ − ⎜ + 8⎟<br />
= − = 0<br />
− 2<br />
⎜ 3 ⎟<br />
⎝ ⎠⎥<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3<br />
⎦-2<br />
2<br />
3). Jika y 1 = −x<br />
+ 2 dan y2 = −x<br />
berapakah luas bidang yang<br />
dib<strong>at</strong>asi oleh y 1 dan y 2 .<br />
Terlebih dulu kita perh<strong>at</strong>ikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi<br />
y 1 adalah fungsi kuadr<strong>at</strong> dengan titik puncak maksimum yang<br />
memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurus<br />
melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan neg<strong>at</strong>if −1, yang<br />
berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka<br />
bagian kurva y 1 yang memb<strong>at</strong>asi bidang yang akan kita cari<br />
luasnya berada di <strong>at</strong>as y 2 .<br />
B<strong>at</strong>as integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.<br />
y = y<br />
1<br />
2<br />
⇒ −x<br />
2<br />
+ 2 = −x<br />
2<br />
<strong>at</strong>au<br />
− x<br />
2<br />
+ x + 2 = 0<br />
−1<br />
+ 1 + 8<br />
−1<br />
− 1 + 8<br />
x1<br />
= p =<br />
= −1;<br />
x2<br />
= q =<br />
= 2<br />
− 2<br />
− 2<br />
2<br />
2<br />
⎛ 3 2 ⎞⎤<br />
2<br />
( 2 ) ⎜ x x<br />
A 2 ⎟<br />
pq =<br />
⎥<br />
∫<br />
−x<br />
+ + x dx = − + + x<br />
−1<br />
⎜ 3 2 ⎟<br />
⎝<br />
⎠⎥<br />
⎦−1<br />
⎛ 8 ⎞ ⎛ −1<br />
1 ⎞<br />
= ⎜−<br />
+ 2 + 4⎟<br />
− ⎜−<br />
+ − 2⎟<br />
= 4,5<br />
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠<br />
Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di <strong>at</strong>as terfokus pada<br />
penghitungan luas bidang di bawah su<strong>at</strong>u kurva. Dalam praktik kita tidak<br />
selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,<br />
yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dap<strong>at</strong><br />
pula divisualisasi dengan membu<strong>at</strong> absis dengan s<strong>at</strong>uan waktu dan<br />
2<br />
168 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
ordin<strong>at</strong> dengan s<strong>at</strong>uan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian<br />
seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua<br />
contoh dalam kelistrikan.<br />
1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan<br />
200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8<br />
jam ?<br />
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p<br />
dan energi diberi simbol w, maka<br />
dw<br />
p = yang memberikan w =<br />
dt<br />
∫<br />
pdt<br />
Perh<strong>at</strong>ikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau<br />
b<strong>at</strong>as bawah dari wktu kita bu<strong>at</strong> 0, maka b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>asnya adalah 8,<br />
dengan s<strong>at</strong>uan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap<br />
selama 8 jam adalah<br />
8 8<br />
w =<br />
∫<br />
pdt = 100 = 100<br />
0 ∫<br />
dt t<br />
0<br />
8<br />
0<br />
= 800 W<strong>at</strong>t.hour [Wh]<br />
= 0,8 kilo W<strong>at</strong>t hour [kWh]<br />
2). Arus yang melalui su<strong>at</strong>u piranti berubah terhadap waktu sebagai<br />
i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah mu<strong>at</strong>an yang<br />
dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?<br />
Arus i adalah laju perubahan transfer mu<strong>at</strong>an, q.<br />
dq<br />
i = sehingga q =<br />
dt ∫<br />
idt<br />
Jumlah mu<strong>at</strong>an yang dipindahkan dalam 5 detik adalah<br />
5 5<br />
5<br />
0,05 2 1,25<br />
q =<br />
∫<br />
idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb<br />
0 ∫<br />
tdt t<br />
0 2 0 2<br />
Pendek<strong>at</strong>an Numerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita<br />
fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung su<strong>at</strong>u integral adalah:<br />
1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses<br />
perhitungan menjadi sederhana bu<strong>at</strong> segmen yang sama lebar,<br />
∆x.<br />
2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai<br />
169
∫<br />
q<br />
n<br />
f ( x)<br />
dx = lim ∑ f ( xk<br />
) ∆xk<br />
p<br />
∆x→0<br />
k = 1<br />
dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yang<br />
besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi<br />
dalam segmen ∆x k jika ∆x menuju nol.<br />
Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan su<strong>at</strong>u nilai ∆x<br />
sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilai<br />
terendah <strong>at</strong>aupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendah<br />
<strong>at</strong>aupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi<br />
masih berada dalam b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as toleransi yang dap<strong>at</strong> kita terima. Dengan<br />
cara ini kita mendek<strong>at</strong>i secara numerik perhitungan su<strong>at</strong>u integral, dan<br />
kita dap<strong>at</strong> menghitung dengan bantuan komputer.<br />
Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi<br />
oleh kurva y = x<br />
3 −12x<br />
dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas<br />
ini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini perhitungan<br />
=<br />
∫ 3 3<br />
A pq ( x −12x)<br />
dx akan kita lakukan dengan pendek<strong>at</strong>an numerik<br />
− 3<br />
dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas<br />
antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah<br />
sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =<br />
0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen.<br />
Perhitungan menghasilkan<br />
40<br />
3<br />
A pq = ∑ ( xk<br />
−12xk<br />
) = 67,39875 ≈ 67,4<br />
k = 1<br />
Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.<br />
Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi<br />
dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan<br />
A pq<br />
120<br />
3<br />
= ∑ ( xk<br />
−12xk<br />
) = 67,48875 ≈ 67,5<br />
k = 1<br />
Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.<br />
170 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,<br />
maka hasil pendek<strong>at</strong>an numerik sebesar 67,4 cukup memadai.<br />
Perhitungan numerik di <strong>at</strong>as dilakukan dengan menghitung luas setiap<br />
segmen sebagai hasilkali nilai minimum <strong>at</strong>aupun nilai maksimum<br />
masing-masing segmen dengan ∆x. S<strong>at</strong>u altern<strong>at</strong>if lain untuk menghitung<br />
luas segmen adalah dengan melih<strong>at</strong>nya sebagai sebuah trapesium. Luas<br />
setiap segmen menjadi<br />
A<br />
( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x<br />
/ 2<br />
segmen = k<br />
kmaks<br />
(13.27)<br />
Perhitungan pendek<strong>at</strong>an numerik ini kita lakukan dengan bantuan<br />
komputer. Kita bisa memanfa<strong>at</strong>kan program aplikasi yang ada, <strong>at</strong>aupun<br />
menggunakan spread sh<strong>ee</strong>t jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.<br />
Soal-Soal:<br />
1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan<br />
sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh kurva<br />
fungsi dengan sumbu-x.<br />
2 3<br />
y = 2 x − x<br />
2 ; y − y = x<br />
2. Carilah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh kurva dan garis berikut.<br />
2<br />
Luas antara kurva y = x dan garis x = 4<br />
Luas antara kurva<br />
y = 2x<br />
− x<br />
2<br />
dan garis x = −3<br />
3. Carilah luas bidang yang dib<strong>at</strong>asi oleh dua kurva berikut.<br />
y<br />
4 2<br />
= x − 2x dan<br />
13.3. Volume Sebagai Su<strong>at</strong>u Integral<br />
2<br />
y = 2x<br />
y = 2x<br />
2 − 5 dan y = −2x<br />
2 + 5<br />
Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai su<strong>at</strong>u<br />
integral. Berikut ini kita akan melih<strong>at</strong> penggunaan integral untuk<br />
menghitung volume.<br />
Balok. Kita ambil contoh sebuah balok seperti tergambar pada Gb.13.8.<br />
Balok ini dib<strong>at</strong>asi oleh dua bidang d<strong>at</strong>ar paralel di p dan q. Balok ini<br />
diiris tipis-tipis dengan tebal irisan ∆x sehingga volume balok, V,<br />
merupakan jumlah dari volume semua irisan.<br />
171
Gb.13.8. Balok<br />
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan<br />
di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah<br />
Volume balok V adalah<br />
A(<br />
x)<br />
∆ x ≤ ∆V<br />
≤ A(<br />
x + ∆x)<br />
∆x<br />
∑<br />
V A(<br />
x)<br />
∆ x<br />
=<br />
q<br />
p<br />
dengan A (x)<br />
adalah luas r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a irisan antara A(x) dan A(x+∆x).<br />
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A (x)<br />
maka kita memperoleh pendek<strong>at</strong>an dari nilai V, yaitu<br />
∑<br />
V A(<br />
x)<br />
∆ x<br />
≈<br />
q<br />
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka<br />
q<br />
p<br />
∑ A(<br />
x)<br />
∆x<br />
=<br />
∫<br />
q<br />
V = lim A(<br />
x)<br />
dx<br />
(13.28)<br />
∆x→o<br />
p<br />
∆x<br />
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x. S<strong>at</strong>u kerucut dap<strong>at</strong> dibayangkan<br />
sebagai segitiga yang berputar sekitar salah s<strong>at</strong>u sisinya. Segitiga ini akan<br />
menyapu s<strong>at</strong>u volume kerucut seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.13.9. Segitiga<br />
OPQ, dengan OQ berimpit dengan sumbu-x, berputar mengelilingi<br />
sumbu-x.<br />
p<br />
172 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
P<br />
O<br />
Q<br />
x<br />
Gb.13.9. Rotasi Segitiga OPQ mengelilingi sumbu-x<br />
Formula (13.28) dap<strong>at</strong> kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah<br />
luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan<br />
garis OP.<br />
V =<br />
∫<br />
h<br />
0<br />
∫<br />
h<br />
2<br />
[ r(<br />
x)<br />
] dx =<br />
∫<br />
h<br />
A( x)<br />
dx = π<br />
πm<br />
x dx (13.29)<br />
0<br />
dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula<br />
(13.29) akan memberikan volume kerucut<br />
2 3<br />
2 3<br />
πm<br />
h π(PQ/OQ)<br />
h 2 h<br />
Vkerucut<br />
= =<br />
= πr<br />
(13.30)<br />
3 3<br />
3<br />
dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.<br />
Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan<br />
memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut<br />
terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis<br />
OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y = mx berubah menjadi<br />
y = mx + b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.<br />
Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x) kontinyu pada a ≤ x ≤ b , rotasi<br />
bidang antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x antara a ≤ x ≤ b<br />
sekeliling sumbu-x akan membangun su<strong>at</strong>u volume benda yang dap<strong>at</strong><br />
dihitung menggunakan relasi (13.10).<br />
y<br />
∆x<br />
f(x)<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0 a b<br />
x<br />
∆x<br />
Gb.13.10. Rotasi bidang mengelilingi sumbu-x<br />
173
Dalam menghitung integral (13.28) penyesuaian harus dilakukan pada<br />
A(x) dan b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as integrasi.<br />
A( x)<br />
= π r(<br />
x)<br />
2 = π f ( x)<br />
( ) ( ) 2<br />
∫ π<br />
sehingga V ( f x)<br />
)<br />
=<br />
b<br />
a<br />
2<br />
( dx<br />
(13.31)<br />
Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada (13.31) merupakan gabungan<br />
fungsi linier, kita akan mendap<strong>at</strong>kan situasi seperti pada Gb.13.11.<br />
y<br />
2000<br />
0 a b<br />
x<br />
Gb.13.11. Fungsi f(x) merupakan gabungan fungsi linier.<br />
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.13.11. terdap<strong>at</strong> tiga<br />
rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dap<strong>at</strong> menghitung volume<br />
total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.<br />
Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (13.29) menunjukkan bahwa<br />
dalam menghitung volume, f(x) dikuadr<strong>at</strong>kan. Oleh karena itu jika ada<br />
bagian fungsi yang bernilai neg<strong>at</strong>if, dalam penghitungan volume bagian<br />
ini akan menjadi positif.<br />
13.4. Panjang Kurva Pada Bidang D<strong>at</strong>ar<br />
Jika kurva y = f (x)<br />
kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar<br />
∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah<br />
∆x<br />
∆ l = PQ =<br />
2 2<br />
∆x<br />
+ ∆y<br />
Salah s<strong>at</strong>u segmen diperlih<strong>at</strong>kan pada Gb.13.12.<br />
Ada s<strong>at</strong>u titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak<br />
antara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′)<br />
, yang merupakan garis<br />
singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′)<br />
ini,<br />
∆l dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai<br />
∆l<br />
=<br />
2<br />
∆x<br />
+<br />
2<br />
2<br />
[( y′<br />
( P ′))<br />
∆x] = 1+<br />
( y′<br />
(P′)) ∆x<br />
174 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y<br />
y = f(x)<br />
∆x<br />
x<br />
a<br />
b<br />
Gb.13.12. Salah s<strong>at</strong>u segmen pada kurva y = f (x)<br />
.<br />
Setiap segmen memiliki y ′(P′)<br />
masing-masing yaitu y′<br />
k , dan ∆l<br />
masing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibu<strong>at</strong> menuju ∞, panjang kurva dari x =<br />
a ke x = b adalah<br />
n<br />
n<br />
n<br />
lab<br />
= lim ∑∆lk<br />
= lim ∑ 1 + ∑<br />
k<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
∆x→0<br />
k = 1<br />
k = 1<br />
k = 1<br />
P<br />
∆l<br />
Q<br />
∆y<br />
2<br />
2<br />
( y′<br />
) ∆x<br />
= lim 1 + ( y′<br />
) ∆x<br />
k<br />
<strong>at</strong>au<br />
b<br />
2<br />
⎛ dy ⎞<br />
lab =<br />
∫<br />
1 + ⎜ ⎟ dx<br />
(13.32)<br />
a ⎝ dx ⎠<br />
Perlu kita ing<strong>at</strong> bahwa panjang su<strong>at</strong>u kurva tidak tergantung dari posisi<br />
sumbu koordin<strong>at</strong>. Oleh karena itu (13.32) dap<strong>at</strong> ditulis juga sebagai<br />
b dx<br />
lab ∫ ′<br />
2<br />
⎛<br />
dy<br />
a′ dy<br />
⎟ ⎞<br />
= 1 +<br />
⎜ dengan a′ dan b′ adalah b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as peubah<br />
⎝ ⎠<br />
bebas.<br />
13.5. Nilai R<strong>at</strong>a-R<strong>at</strong>a Su<strong>at</strong>u Fungsi<br />
Untuk fungsi y = f (x)<br />
yang kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q nilai<br />
r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a fungsi ini didefinisikan sebagai<br />
y 1 q<br />
( rr ) x =<br />
− ∫<br />
f ( x dx<br />
q p<br />
)<br />
(13.33)<br />
p<br />
(Penulisan (y rr ) x untuk meny<strong>at</strong>akan nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a fungsi x)<br />
Definisi (13.33) dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
175
q<br />
( y rr ) x ⋅(<br />
q − p)<br />
=<br />
∫<br />
f ( x)<br />
dx<br />
(13.34)<br />
Ruas kanan (13.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)<br />
dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (13.34) dap<strong>at</strong><br />
ditafsirkan sebagai luas segi emp<strong>at</strong> dengan panjang (q − p) dan lebar<br />
(y rr ) x . Namun kita perlu h<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>i sebab dalam menghitung ruas kanan<br />
(13.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)<br />
dengan sumbux<br />
bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif<br />
pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai r<strong>at</strong>ar<strong>at</strong>a<br />
(13.33) kontibusi tersebut adalah neg<strong>at</strong>if.<br />
Sebagai contoh, kita ambil fungsi<br />
3 −<br />
p<br />
3 −<br />
y = x 12x<br />
. Luas bidang antara<br />
y = x 12x<br />
dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,<br />
A = 67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita<br />
pq<br />
menghitung nilai r<strong>at</strong>a-r<strong>at</strong>a fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya<br />
adalah (y rr ) x = 0 karena bagian kurva yang berada di <strong>at</strong>as dan di bawah<br />
sumbu-x akan saling meniadakan.<br />
176 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 14 Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi<br />
Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan<br />
integral. Salah s<strong>at</strong>u cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan<br />
pendek<strong>at</strong>an numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang<br />
mengandung error. Namun error dalam pendek<strong>at</strong>an numerik bisa ditekan<br />
sampai pada b<strong>at</strong>as-b<strong>at</strong>as toleransi. Dalam bab ini kita akan melih<strong>at</strong><br />
perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.<br />
14.1. Integral Fungsi Tetapan:<br />
∫ adx<br />
∫ adx = ax + K karena dax = adx<br />
Contoh:<br />
y =<br />
∫<br />
2 dx = 2x<br />
+ K<br />
14.2. Integral Fungsi Mononom:<br />
∫<br />
x n dx<br />
n+<br />
1<br />
n n−1<br />
n x<br />
Karena dx = x dx dengan syar<strong>at</strong> n ≠ −1, maka<br />
∫<br />
x dx = + K<br />
n + 1<br />
2 2 2 3<br />
Contoh: y =<br />
∫<br />
2 x dx = 2∫<br />
x dx = x + K<br />
3<br />
n m<br />
14.3. Integral Fungsi Polinom<br />
∫<br />
( x + x ) dx<br />
Polinom merupakan jumlah terb<strong>at</strong>as dari mononom. Integral su<strong>at</strong>u<br />
polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.<br />
n m n m<br />
Karena d( x + x ) = x dx + x dx maka<br />
∫<br />
( x<br />
n<br />
+ x<br />
m<br />
n+<br />
1<br />
m+<br />
1<br />
x x<br />
) dx = + + K,<br />
n + 1 m + 1<br />
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.<br />
∫<br />
5dx<br />
;<br />
∫<br />
∫<br />
2xdx;<br />
1<br />
2<br />
( x − 2x<br />
+ 4) dx ;<br />
0<br />
∫<br />
∫<br />
4<br />
4x<br />
dx;<br />
dengan syar<strong>at</strong> n ≠ −1,<br />
m ≠ −1<br />
∫<br />
(2x<br />
+ 5) dx ;<br />
3 2<br />
(4x<br />
+ 6x<br />
+ 4x<br />
+ 2) dx<br />
177
14.4. Integral Fungsi Pangk<strong>at</strong> Dari Fungsi:<br />
∫<br />
v n dx<br />
n+<br />
1<br />
n v<br />
Jika v adalah polinom, maka<br />
∫<br />
v dv = dv + K<br />
n + 1<br />
karena<br />
n+<br />
1<br />
v n<br />
d = v dv dengan syar<strong>at</strong> n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk<br />
n + 1<br />
mencari<br />
∫<br />
v n dx .<br />
Contoh: Hitunglah y =<br />
∫<br />
( 2x<br />
+ 1) dx<br />
2<br />
dv<br />
Misalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx<br />
→ dx =<br />
2<br />
2 3<br />
3 2<br />
2 v v 8x<br />
+ 12x<br />
+ 6x<br />
+ 1<br />
y =<br />
∫<br />
(2x<br />
+ 1) dx =<br />
∫<br />
dv = + K =<br />
+ K<br />
2 6<br />
6<br />
4 3 2 1<br />
= x + 2x<br />
+ x + + K<br />
3<br />
6<br />
Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan<br />
diperoleh jika polinom kita kuadr<strong>at</strong>kan lebih dulu.<br />
3 2<br />
2<br />
2<br />
4x<br />
4x<br />
y = x + dx = x + x + dx = + + x + K′<br />
∫<br />
(2 1)<br />
∫<br />
(4 4 1)<br />
3 2<br />
Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,<br />
K ′ = K + 1/ 6 .<br />
Contoh: Hitunglah<br />
2<br />
Misalkan 1 − x = v →<br />
3x<br />
y =<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
1 − x<br />
dv<br />
dx<br />
dv<br />
= −2x<br />
→ dx =<br />
− 2x<br />
1/ 2<br />
3x<br />
3x<br />
dv 3 − 1/ 2 3 v<br />
y =<br />
∫<br />
dx = = − v dv = −<br />
2 1/ 2<br />
1−<br />
x v − 2x<br />
2 ∫<br />
2 1/ 2<br />
= −3<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.<br />
2<br />
∫<br />
( 1) dx ;<br />
∫<br />
4x<br />
+<br />
x + 1 dx ;<br />
1<br />
x<br />
∫<br />
2 + 5xdx<br />
;<br />
∫<br />
dx ;<br />
+<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
(3x<br />
2)<br />
2<br />
2x<br />
+ 1<br />
178 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
14.5. Integral Fungsi Berpangk<strong>at</strong> -1:<br />
∫ v<br />
dv<br />
Karena<br />
dv<br />
dv<br />
d (ln v)<br />
= , maka v K<br />
v ∫<br />
= ln + . Integrasi ini<br />
v<br />
memecahkan masalah persyar<strong>at</strong>an n ≠ −1 pada integrasi<br />
∫<br />
v n dx .<br />
2x<br />
Contoh: Carilah integral y =<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
x + 1<br />
2<br />
Misalkan v = x + 1→<br />
dv<br />
dx<br />
dv<br />
= 2x<br />
→ dx =<br />
2x<br />
2x<br />
2x<br />
dv<br />
2<br />
y =<br />
∫<br />
dx =<br />
∫<br />
= ln v + K = ln( x + 1)<br />
+ K<br />
2<br />
x + 1 v 2x<br />
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.<br />
2<br />
dx x dx dx xdx xdx xdx<br />
+ 1<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
− − + ∫<br />
;<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
4 2 3 1 2<br />
1 −<br />
∫ 2<br />
x x x x 4x<br />
+<br />
14.6. Integral Fungsi Eksponensial:<br />
∫<br />
e v dv<br />
Karena de<br />
v = v<br />
e dv maka v v<br />
e dv = e + K<br />
Soal-Soal:<br />
2<br />
2x<br />
x<br />
x / 3<br />
∫<br />
e dx ;<br />
∫<br />
xe dx ;<br />
∫<br />
e dx ;<br />
∫<br />
1 +<br />
∫<br />
x<br />
e dx<br />
x<br />
2e<br />
14.7. Integral Tetapan Berpangk<strong>at</strong> Fungsi :<br />
∫<br />
a v dv<br />
Karena<br />
v<br />
v v<br />
v a<br />
da = a ln adv maka<br />
∫<br />
a dv = + K<br />
ln a<br />
179
Contoh: Carilah<br />
∫<br />
2x<br />
y = 3 dx<br />
Misalkan v = 2x →<br />
14.8. Integral Fungsi Trigonometri<br />
dv<br />
dv<br />
= 2 → dx =<br />
dx<br />
2<br />
v 2x<br />
2x<br />
3 1 3<br />
y =<br />
∫<br />
3 dx =<br />
∫<br />
dv = + K<br />
2 2 ln 3<br />
Karena d sin v = cosvdv<br />
maka cos v dx = sin v + K<br />
Karena d cosv<br />
= −sin<br />
vdx maka sin v dx = −cosv<br />
+ K<br />
∫<br />
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain<br />
termu<strong>at</strong> dalam Tabel-13.1.<br />
Contoh: Carilah integral tak tentu<br />
∫<br />
∫<br />
y = sin 2xdx<br />
dv<br />
dv<br />
Misalkan v = 2x<br />
→ = 2 → dx =<br />
dx<br />
2<br />
sin v −cosv<br />
y =<br />
∫<br />
sin 2xdx<br />
=<br />
∫<br />
dv =<br />
2 2<br />
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.<br />
= −<br />
cos 2x<br />
2<br />
∫<br />
4xdx ;<br />
∫<br />
cos(2x<br />
+ 2) dx ;<br />
∫<br />
4cos3xdx<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
sin .<br />
2sin x cos xdx ;<br />
2<br />
sin xdx ;<br />
∫<br />
∫<br />
2<br />
cos axdx<br />
2<br />
sin x cos xdx .<br />
sin 2x<br />
cos 2 x sin xdx ;<br />
∫<br />
dx .<br />
2 − cos 2x<br />
180 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
14.9. Integral Fungsi Hiperbolik<br />
Karena d(sinh v)<br />
= cosh v maka cosh vdv = sinh v + K<br />
Karena d(cosh v)<br />
= sinh vdv maka sinh vdv = cosh v + K<br />
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termu<strong>at</strong><br />
dalam Tabel-13.1.<br />
Contoh: Carilah y =<br />
∫<br />
cosh( 2x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
∫<br />
∫<br />
Misalkan<br />
dv<br />
dv<br />
v = 2x<br />
+ 1→<br />
= 2 → dx =<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
sinh<br />
2<br />
1<br />
y =<br />
∫<br />
cosh(2x<br />
+ 1) dx =<br />
∫<br />
cosh( v)<br />
dv =<br />
2<br />
1<br />
= sinh(2x<br />
+ 1) + K<br />
2<br />
Soal-Soal: Carilah integral berikut<br />
v + K<br />
∫<br />
sinh<br />
x<br />
x 2 sinh x<br />
2<br />
dx ;<br />
∫<br />
tanh xdx ;<br />
∫<br />
cosh 2xdx<br />
;<br />
∫<br />
dx ;<br />
∫<br />
tanh xdx<br />
4<br />
cosh x<br />
14.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi<br />
Integral fungsi-fungsi yang berbentuk<br />
∫<br />
dv<br />
1 − v<br />
2<br />
dv<br />
,<br />
∫ +<br />
2<br />
1 v<br />
dv<br />
∫<br />
dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,<br />
2<br />
v v −1<br />
menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.<br />
Contoh: Carilah y =<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
1 − 4x<br />
,<br />
181
2 dv<br />
Jika kita membu<strong>at</strong> pemisalan v = 1 − 4x<br />
maka = −8x<br />
<strong>at</strong>au<br />
dx<br />
dv<br />
dx = . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan<br />
− 8x<br />
integral yang diberikan, kita akan mendap<strong>at</strong>kan bentuk<br />
1 / 2 dv<br />
∫<br />
v<br />
−<br />
− 8x<br />
yang tidak dap<strong>at</strong> diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dap<strong>at</strong><br />
ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.<br />
Namun bentuk<br />
dx<br />
ini dap<strong>at</strong> kita transformasi menjadi bentuk<br />
∫ 2<br />
1 − 4x<br />
yang termu<strong>at</strong> dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x<br />
dv<br />
dv<br />
yang akan memberikan = 2 <strong>at</strong>au dx = . Persoalan integral kita<br />
dx<br />
2<br />
menjadi<br />
y =<br />
∫<br />
dx dv 1 dv<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
2<br />
2 ∫<br />
1 − 4x<br />
2 1 − v<br />
2<br />
1 − v<br />
2<br />
yang menghasilkan<br />
y =<br />
1 −1<br />
1 −<br />
sin v + K = sin<br />
1 (2x)<br />
+ K<br />
2<br />
2<br />
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.<br />
∫<br />
dx dx dx dx dx<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
;<br />
2 2<br />
2<br />
2 ∫<br />
1 + 4x<br />
1 − x 4 + x x 4 + x 1 − x<br />
2<br />
182 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
14.9. Relasi Diferensial dan Integral<br />
Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.<br />
Beberapa di antaranya perlu untuk diing<strong>at</strong>, misalnya formula 1 sampai 9<br />
dan 16, 17 yang sering kita temui.<br />
Tabel-14.1.<br />
dv<br />
1. dv = dx<br />
1. dv = v + K<br />
dx<br />
∫<br />
2. d ( kv)<br />
= kdv<br />
2.<br />
∫<br />
kdv = k∫<br />
dv<br />
3. d ( v + w)<br />
= dv + dw<br />
3. ∫<br />
( dv + dw)<br />
=<br />
∫<br />
dv +<br />
∫ dw<br />
n n−1<br />
4. dv = nv dv<br />
n+<br />
1<br />
n v<br />
4.<br />
∫<br />
v dv = + C ; n≠1<br />
n + 1<br />
5.<br />
dv<br />
dv<br />
d (ln v)<br />
=<br />
5. v K<br />
v<br />
∫<br />
= ln +<br />
v<br />
6. de<br />
v = v<br />
e dv<br />
6. v v<br />
e dv = e + K<br />
∫<br />
v v<br />
7. da = a ln adv<br />
v<br />
v a<br />
7.<br />
∫<br />
a dv = + K<br />
ln a<br />
8. d (sin v)<br />
= cosvdv<br />
8. cos vdv = sin v + K<br />
9. d(cosv)<br />
= −sin<br />
vdv<br />
9. sin vdv = −cosv<br />
+ K<br />
2<br />
10. d(tan v)<br />
= sec vdv 10.<br />
∫<br />
sec 2 vdv = tan v + K<br />
∫<br />
∫<br />
183
2<br />
11. d(cotv)<br />
= −csc<br />
vdv 11. csc 2 vdv = −cotv<br />
+ K<br />
∫<br />
12. d(sec v)<br />
= sec v tan vdv<br />
13. d(cscv)<br />
= −cscv<br />
cot vdv<br />
∫<br />
12. sec tan vdv = sec v + K<br />
∫<br />
13. csc cot vdv = −cscv<br />
+ K<br />
14. d (sinh v)<br />
= cosh v<br />
14. cosh vdv = sinh v + K<br />
∫<br />
15. d(cosh v)<br />
= sinh vdv<br />
∫<br />
15. sinh vdv = cosh v + K<br />
2<br />
16. d(tanh v)<br />
= sech vdv 16. sec h<br />
2 vdv = tanh v + K<br />
2<br />
17. d(coth<br />
v)<br />
= −csch<br />
vdv 17. csch<br />
2 vdv = −cothv<br />
+ K<br />
∫<br />
∫<br />
18. d( sechv)<br />
= −sechv<br />
tanh vdv<br />
19. d( cschv)<br />
= −cschvcoth<br />
vdv<br />
∫<br />
18. sec hv tanh vdv = −sechv<br />
+ K<br />
∫<br />
19. csch v coth vdv = −coshv<br />
+ K<br />
1 dv<br />
20. d(sin<br />
− v)<br />
=<br />
20. ∫ dv −1<br />
= sin v + K<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
v<br />
1 − v<br />
1 dv<br />
21. d(cos<br />
− −<br />
v)<br />
=<br />
21. ∫ dv −1<br />
= − cos v + K ′<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
v<br />
1 − v<br />
22.<br />
d tan<br />
−1<br />
dv<br />
v =<br />
1+<br />
v<br />
2<br />
dv −1<br />
22.<br />
∫<br />
= tan v + K<br />
2<br />
1 + v<br />
184 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
23.<br />
d cot<br />
−1<br />
−dv<br />
v =<br />
1 + v<br />
2<br />
dv −1<br />
23.<br />
∫<br />
= −cot<br />
v + K<br />
2<br />
1+<br />
v<br />
24.<br />
−1<br />
dv<br />
dv −1<br />
d sec v =<br />
24.<br />
2 ∫<br />
= sec v + K , v >0<br />
2<br />
v v −1<br />
v v −1<br />
dv 1<br />
−1<br />
−dv<br />
25. d csc v =<br />
−<br />
25.<br />
2 ∫ = − csc v +<br />
v v −1<br />
2<br />
26.<br />
v v −1<br />
1 dv<br />
d(sinh<br />
− v)<br />
=<br />
26. ∫ dv −1<br />
= sinh v + K<br />
2<br />
2<br />
1+<br />
v<br />
1 + v<br />
−1<br />
dv<br />
27. d (cosh v)<br />
=<br />
27.<br />
dv −1<br />
∫<br />
= cosh v + K<br />
2<br />
2<br />
v −1<br />
v − 1<br />
1 dv<br />
28. d(tanh<br />
− v)<br />
=<br />
28. ∫ dv −1<br />
= tanh v<br />
2<br />
+ K ; jika |v|1<br />
2<br />
1−<br />
v<br />
−1<br />
−dv<br />
dv<br />
−1<br />
30. d(sech<br />
v)<br />
=<br />
30.<br />
2 ∫<br />
= −sech<br />
v + K;<br />
2<br />
v 1−<br />
v<br />
v 1−<br />
v<br />
−1<br />
−dv<br />
31. d(csch<br />
v)<br />
=<br />
v 1+<br />
v<br />
C<strong>at</strong><strong>at</strong>an Tentang Isi Tabel-14.1.<br />
2<br />
dv<br />
−1<br />
31.<br />
∫<br />
= −csch<br />
v + K;<br />
2<br />
v 1+<br />
v<br />
Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dap<strong>at</strong><br />
melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:<br />
Fungsi mononom dan polinom:<br />
∫ vdv<br />
K<br />
, v >0<br />
Fungsi polinom berpangk<strong>at</strong>:<br />
Fungsi exponensial:<br />
∫<br />
∫<br />
v<br />
e dv ;<br />
v n dv ;<br />
∫<br />
v<br />
a dv<br />
∫<br />
dv<br />
v<br />
185
2<br />
2<br />
Fungsi trigonometri:<br />
∫<br />
cos vdv ;<br />
∫sin vdv ;<br />
∫sec vdv ;<br />
∫<br />
csc vdv ;<br />
∫<br />
sec tan vdv ;<br />
∫<br />
csc cot vdv .<br />
tetapi tidak:<br />
∫<br />
tan vdv ;<br />
∫<br />
cot vdv ;<br />
∫sec vdv ;<br />
∫<br />
csc vdv .<br />
Fungsi hiperbolik:<br />
∫<br />
cosh vdv ;<br />
∫<br />
vdv<br />
∫<br />
2<br />
csc h vdv ;<br />
∫<br />
sec hv tanh vdv ;<br />
∫<br />
csch v coth vdv .<br />
2<br />
sinh ;<br />
∫<br />
sec h vdv ;<br />
tetapi tidak:<br />
∫<br />
tanh vdv ;<br />
∫<br />
coth vdv ;<br />
∫sec hvdv<br />
;<br />
∫<br />
csc hvdv<br />
.<br />
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri<br />
inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti<br />
∫<br />
dv<br />
1 − v<br />
2<br />
dv<br />
;<br />
∫ +<br />
2<br />
1 v<br />
dv<br />
;<br />
∫ ;<br />
2 ∫<br />
v v −1<br />
dv<br />
1 + v<br />
2<br />
;<br />
∫<br />
dv<br />
2<br />
v<br />
− 1<br />
dv<br />
;<br />
∫ −<br />
2<br />
1 v<br />
dv ;<br />
∫<br />
v 1 − v<br />
2<br />
dv<br />
;<br />
∫<br />
v 1 + v<br />
2<br />
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti<br />
∫<br />
sin<br />
−1<br />
vdv<br />
;<br />
∫<br />
tan<br />
−1<br />
xdx<br />
;<br />
∫sinh<br />
−1<br />
vdv<br />
.<br />
;<br />
∫<br />
tanh<br />
−1<br />
vdv<br />
Tabel-14.1 tidak memu<strong>at</strong> relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang<br />
dv<br />
berbentuk<br />
2 2<br />
2 2<br />
∫<br />
;<br />
∫<br />
a ± v dv;<br />
∫<br />
v − a dv;<br />
dsb<br />
2 2<br />
a + v<br />
186 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 15 Persamaan Diferensial Orde-1<br />
15.1. Pengertian<br />
Persamaan diferensial adalah su<strong>at</strong>u persamaan di mana terdap<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>au<br />
lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:<br />
1. Menurut jenis <strong>at</strong>au tipe: ada persamaan diferensial biasa dan<br />
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita<br />
pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan<br />
s<strong>at</strong>u peubah bebas.<br />
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi<br />
3<br />
d y<br />
turunan fungsi yang ada dalam persamaan. adalah orde<br />
3<br />
dx<br />
tiga;<br />
2<br />
d y<br />
2<br />
dx<br />
dy<br />
adalah orde dua;<br />
dx<br />
adalah orde s<strong>at</strong>u.<br />
3. Menurut deraj<strong>at</strong>: deraj<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u persamaan diferensial adalah<br />
pangk<strong>at</strong> tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.<br />
2 5<br />
⎛ 3<br />
d y ⎞ ⎛ 2<br />
d y ⎞ y x<br />
Sebagai contoh: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + = e adalah persamaan<br />
⎜ 3<br />
dx ⎟ ⎜ 2<br />
dx ⎟ 2<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x + 1<br />
diferensial biasa, orde tiga, deraj<strong>at</strong> dua.<br />
Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,<br />
orde s<strong>at</strong>u dan orde dua, deraj<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u.<br />
15.2. Solusi<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi y = f(x) dik<strong>at</strong>akan merupakan solusi su<strong>at</strong>u persamaan<br />
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya<br />
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.<br />
−x<br />
Kita ambil s<strong>at</strong>u contoh: y = ke adalah solusi dari persamaan<br />
dy<br />
+ y = 0 karena turunan<br />
−x<br />
dy<br />
y = ke adalah<br />
− x<br />
= −ke<br />
, dan jika ini kita<br />
dt<br />
dt<br />
−x<br />
−x<br />
masukkan dalam persamaan akan kita peroleh − ke + ke = 0 .;<br />
persamaan terpenuhi.<br />
187
Pada contoh di <strong>at</strong>as kita lih<strong>at</strong> bahwa persamaan diferensial orde s<strong>at</strong>u<br />
mempunyai solusi yang melib<strong>at</strong>kan s<strong>at</strong>u tetapan sembarang yaitu k. Pada<br />
umumnya su<strong>at</strong>u persamaan orde n akan memiliki solusi yang<br />
mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua<br />
yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi<br />
dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh<br />
kondisi awal.<br />
15.3. Persamaan Diferensial Orde S<strong>at</strong>u Dengan Peubah Yang Dap<strong>at</strong><br />
Dipisahkan<br />
Solusi su<strong>at</strong>u persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah<br />
dap<strong>at</strong> dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua<br />
y dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan maka<br />
persamaan tersebut dap<strong>at</strong> kita tuliskan dalam bentuk<br />
f ( y)<br />
dy + g(<br />
x)<br />
dx = 0<br />
(15.1)<br />
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendap<strong>at</strong>kan solusi umum<br />
dengan s<strong>at</strong>u tetapan sembarang K, yaitu<br />
Kita ambil dua contoh.<br />
∫<br />
f y)<br />
dy<br />
∫<br />
g(<br />
x)<br />
dx)<br />
=<br />
( + K<br />
(15.2)<br />
1).<br />
dy x−<br />
y<br />
dy<br />
= e . Persamaan ini dap<strong>at</strong> kita tuliskan =<br />
dx<br />
dx<br />
sehingga kita dap<strong>at</strong>kan persamaan dengan peubah terpisah<br />
sehingga<br />
y x<br />
e dy − e dx = 0<br />
dan<br />
y x<br />
y x<br />
e − e = K <strong>at</strong>au e = e + K<br />
∫<br />
y<br />
e dy −<br />
x<br />
∫<br />
e dx = K<br />
x<br />
e<br />
y<br />
e<br />
dy<br />
2).<br />
dx<br />
= 1<br />
xy<br />
. Pemisahan peubah akan memberikan bentuk<br />
dx<br />
dx<br />
ydy − = 0 dan K<br />
x ∫<br />
ydy −<br />
∫<br />
=<br />
x<br />
188 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
sehingga<br />
2<br />
y<br />
2<br />
− ln x = K<br />
<strong>at</strong>au<br />
2<br />
y = ln x + K′<br />
15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde S<strong>at</strong>u<br />
Su<strong>at</strong>u persamaan disebut homogen jika ia dap<strong>at</strong> dituliskan dalam bentuk<br />
dy ⎛ y ⎞<br />
= F⎜<br />
⎟<br />
dx ⎝ x ⎠<br />
(15.3)<br />
Persamaan demikian ini dap<strong>at</strong> dipecahkan dengan membu<strong>at</strong> peubah<br />
bebas baru<br />
Dengan peubah baru ini maka<br />
Persamaan (14.2) menjadi<br />
y = vx dan<br />
y<br />
v =<br />
x<br />
dy<br />
dx<br />
= v +<br />
dv<br />
x<br />
dx<br />
dv<br />
v + x = F(v)<br />
(15.4)<br />
dx<br />
yang kemudian dap<strong>at</strong> dicari solusinya melalui pemisahan peubah.<br />
dx dv<br />
+ = 0<br />
x v − F(<br />
v)<br />
(15.5)<br />
Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x<br />
setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.<br />
2 2<br />
Kita ambil contoh: ( x + y ) dx + 2xydy<br />
= 0<br />
Persamaan ini dap<strong>at</strong> kita tulis 2 y<br />
x (1 + ) dx + 2xydy<br />
= 0 <strong>at</strong>au<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
y y<br />
(1 + ) dx = −2<br />
dy sehingga<br />
dy 1 + ( y / x)<br />
= − = F(<br />
y / x)<br />
2<br />
x x<br />
dx 2( y / x)<br />
2<br />
189
yang merupakan bentuk persamaan homogen.<br />
Peubah baru v = y/x memberikan<br />
y = vx dan<br />
dan membu<strong>at</strong> persamaan menjadi<br />
2<br />
dv 1 + v<br />
v + x = − <strong>at</strong>au<br />
dx 2v<br />
Dari sini kita dap<strong>at</strong>kan<br />
dv dx<br />
= −<br />
2<br />
(1 + 3v<br />
) / 2v<br />
x<br />
dy<br />
dx<br />
= v +<br />
dv<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
dv 1 + v 1 + 3v<br />
x = −v<br />
− = −<br />
dx 2v<br />
2v<br />
dx 2vdv<br />
<strong>at</strong>au + 0<br />
x 2<br />
1 + 3v<br />
=<br />
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendap<strong>at</strong>kan v<br />
sebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini.<br />
Kita tahu bahwa<br />
d(ln<br />
x)<br />
1<br />
= . Kita coba hitung<br />
dx x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
d ln(1 + 3x<br />
) d ln(1 + 3x<br />
) d(1<br />
+ 3x<br />
) 1<br />
=<br />
= (6x)<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
d(1<br />
+ 3x<br />
) dx 1 + 3x<br />
Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di <strong>at</strong>as<br />
kita dap<strong>at</strong>kan solusi dari<br />
adalah<br />
dx 2vdv<br />
+ 0<br />
x 2<br />
1 + 3v<br />
=<br />
1 2 1<br />
ln x + ln(1 + 3v<br />
) = K = ln K′<br />
3<br />
3<br />
<strong>at</strong>au<br />
2<br />
3ln x + ln(1 + 3v<br />
) = K = ln K′<br />
Dalam x dan y solusi ini adalah<br />
sehingga<br />
3 2<br />
x (1 + 3v<br />
) = K′<br />
2<br />
2 2<br />
( 1 + 3( y / x)<br />
) = K <strong>at</strong>au ( x + 3 y ) = K<br />
3<br />
x ′<br />
x ′<br />
190 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde S<strong>at</strong>u<br />
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderaj<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u <strong>at</strong>au nol.<br />
Dalam menentukan deraj<strong>at</strong> ini kita harus memperhitungkan pangk<strong>at</strong> dari<br />
peubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderaj<strong>at</strong> dua karena y<br />
dan dy/dx masing-masing berpangk<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u dan harus kita jumlahkan<br />
untuk menentukan deraj<strong>at</strong> dari y(dy/dx).<br />
Persamaan diferensial orde s<strong>at</strong>u yang juga linier dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
dalam bentuk<br />
dy<br />
+ Py = Q<br />
(15.6)<br />
dx<br />
dengan P dan Q merupakan fungsi x <strong>at</strong>au tetapan. Persamaan diferensial<br />
bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan memb<strong>at</strong>asi pada<br />
situasi dimana P adalah su<strong>at</strong>u tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita<br />
akan langsung melih<strong>at</strong> pemanfa<strong>at</strong>an praktis dengan contoh yang terjadi<br />
pada analisis rangkaian listrik.<br />
Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus<br />
merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang<br />
akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai<br />
dy<br />
a + by = f (t)<br />
(15.7)<br />
dt<br />
Persamaan diferensial linier orde s<strong>at</strong>u seperti ini biasa kita temui pada<br />
peristiwa transien (<strong>at</strong>au peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara<br />
yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan.<br />
Peubah y adalah keluaran rangkaian (<strong>at</strong>au biasa disebut tanggapan<br />
rangkaian) yang dap<strong>at</strong> berupa tegangan <strong>at</strong>aupun arus sedangkan nilai a<br />
dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.<br />
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dap<strong>at</strong> berupa tegangan<br />
<strong>at</strong>aupun arus dan disebut fungsi pemaksa <strong>at</strong>au fungsi penggerak.<br />
Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai solusi total yang<br />
merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus<br />
adalah fungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusi<br />
homogen adalah fungsi yang dap<strong>at</strong> memenuhi persamaan homogen<br />
dy<br />
a + by = 0<br />
(15.8)<br />
dt<br />
191
Hal ini dap<strong>at</strong> difahami karena jika f 1 (t) memenuhi (15.7) dan fungsi f 2 (t)<br />
memenuhi (15.8), maka y = (f 1 +f 2 ) akan memenuhi (15.7) sebab<br />
( f + f )<br />
dy d<br />
a + by = a 1 2 + b(<br />
f1<br />
+ f2)<br />
dt<br />
dt<br />
df<br />
= 1 df<br />
+ 2 df<br />
a bf<br />
1<br />
1 + a + bf2<br />
= a + bf1<br />
+ 0<br />
dt dt dt<br />
Jadi y = (f 1 +f 2 ) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut solusi total yang<br />
terdiri dari solusi khusus f 1 dari (15.7) dan solusi homogen f 2 dari (15.8).<br />
Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan<br />
diferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selang<br />
peralihan dari su<strong>at</strong>u keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain..<br />
Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yang<br />
kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan<br />
yaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesa<strong>at</strong> setelah mulai perubahan kita beri<br />
tanda t = 0 + dan sesa<strong>at</strong> sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0 − .<br />
Solusi Homogen. Persamaan (15.8) meny<strong>at</strong>akan bahwa y ditambah<br />
dengan su<strong>at</strong>u koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua<br />
nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama.<br />
Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu<br />
sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dap<strong>at</strong> menduga bahwa solusi<br />
dari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K 1 e st . Jika solusi dugaan<br />
ini kita masukkan ke (15.8), kita peroleh<br />
st<br />
st<br />
( as + b) 0<br />
aK1 se + bK1e<br />
= 0 <strong>at</strong>au K1<br />
y =<br />
(15.9)<br />
Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K 1 juga tidak<br />
boleh bernilai nol karena hal itu akan membu<strong>at</strong> y bernilai nol untuk<br />
seluruh t. S<strong>at</strong>u-s<strong>at</strong>unya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalah<br />
as + b = 0<br />
(15.10)<br />
Persamaan (15.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde<br />
pertama. Persamaan ini hanya mempunyai s<strong>at</strong>u akar yaitu s = −(b/a). Jadi<br />
solusi homogen yang kita cari adalah<br />
y<br />
st −(<br />
b / a)<br />
t<br />
a = K1e<br />
= K1e<br />
(15.11)<br />
Nilai K 1 masih harus kita tentukan melalui penerapan su<strong>at</strong>u persyar<strong>at</strong>an<br />
tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0 + sesa<strong>at</strong><br />
192 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telah<br />
mempunyai nilai tertentu pada t = 0 + sehingga nilai K 1 haruslah<br />
sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0 + tersebut dap<strong>at</strong> dipenuhi.<br />
Akan tetapi kondisi awal ini tidak dap<strong>at</strong> kita terapkan pada solusi<br />
homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi<br />
awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi<br />
homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih<br />
dulu agar solusi total dap<strong>at</strong> kita peroleh untuk kemudian menerapkan<br />
kondisi awal.<br />
Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsi<br />
pemaksa f(t). Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dap<strong>at</strong><br />
melakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslah<br />
sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (15.7) maka<br />
ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang<br />
sama. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka y p dan turunannya harus<br />
mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai<br />
bentuk f(t), solusi khusus dugaan y p adalah sebagai berikut.<br />
Jika f ( t)<br />
= 0 , maka y p = 0<br />
Jika f ( t)<br />
= A = konstan, maka y p = konstan = K<br />
Jika<br />
Jika<br />
αt<br />
f ( t)<br />
= Ae = eksponensial, maka<br />
αt<br />
y p = eksponensial = Ke<br />
f ( t)<br />
= Asin<br />
ωt<br />
, <strong>at</strong>au f ( t)<br />
= Acosωt<br />
, maka<br />
y p = Kc<br />
cosωt<br />
+ Ks<br />
sin ωt<br />
Perh<strong>at</strong>ikan : y = Kc<br />
cosωt<br />
+ Ks<br />
sin ωt<br />
adalah<br />
bentuk umum fungsi sinus maupun cosinus .<br />
Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka solusi total adalah<br />
s t<br />
y = y p + ya<br />
= y p + K1e<br />
(15.12)<br />
Pada solusi lengkap inilah kita dap<strong>at</strong> menerapkan kondisi awal yang akan<br />
memberikan nilai K 1 .<br />
Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya<br />
perubahan yaitu pada t = 0 + . Dalam menurunkan persamaan diferensial<br />
pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah<br />
193
st<strong>at</strong>us. Peubah st<strong>at</strong>us harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini,<br />
sesa<strong>at</strong> sesudah dan sesa<strong>at</strong> sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama.<br />
Jika kondisi awal ini kita sebut y(0 + ) maka<br />
−<br />
y (0<br />
+ ) = y(0<br />
)<br />
(15.13)<br />
Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12)<br />
akan kita peroleh nilai K 1 .<br />
+ +<br />
+<br />
( = p 1 1<br />
p<br />
y 0 ) y (0 ) + K → K = y(0<br />
) − y (0 ) (15.14)<br />
y p (0 + ) adalah nilai solusi khusus pada t = 0 + . Nilai y(0 + ) dan y p (0 + ) adalah<br />
tertentu (yaitu nilai pada t = 0 + ). Jika kita sebut<br />
+<br />
+<br />
+<br />
y( 0 ) − y p (0 ) = A<br />
0<br />
(15.15)<br />
maka solusi total menjadi<br />
s t<br />
y = y p + A0<br />
e<br />
(15.16)<br />
15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa<br />
Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kita<br />
peroleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam<br />
mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada,<br />
akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus<br />
diterapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri dari<br />
solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol).<br />
Kondisi awal tidak dap<strong>at</strong> diterapkan hanya pada solusi homogen saja<br />
<strong>at</strong>au solusi khusus saja.<br />
Contoh: Dari su<strong>at</strong>u analisis rangkaian diperoleh persamaan<br />
dv<br />
+ 1000 v = 0<br />
dt<br />
untuk t > 0. Kondisi awal adalah v(0 + ) = 12 V.<br />
Persamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −1000<br />
Dugaan solusi homogen :<br />
Dugaan solusi khusus :<br />
Dugaan solusi total<br />
−1000t<br />
va<br />
= A0e<br />
v p = 0 (karena tidak ada<br />
st<br />
−1000t<br />
: v = v p + A0e<br />
= 0 + A0e<br />
fungsi<br />
pemaksa)<br />
194 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
+ −<br />
Kondisi awal : v(0<br />
) = v(0<br />
) = 12 V.<br />
Penerapan<br />
kondisi<br />
awal<br />
pada<br />
dugaan<br />
memberikan : 12 = 0 + A0<br />
→ A0<br />
= 12<br />
−1000<br />
t<br />
Solusi total menjadi : v = 12 e V<br />
solusi total<br />
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 10<br />
menghasilkan persamaan<br />
dv<br />
+ 3 v = 0<br />
dt<br />
V, analisis transien<br />
Persamaan karakteristik : s + 3 = 0 → s = −3<br />
Dugaan<br />
Dugaan solusi khusus :<br />
Dugaan<br />
solusi homogen :<br />
solusi total:<br />
+<br />
Kondisi awal : v(0<br />
) = 10 V<br />
−3<br />
t<br />
va<br />
= A0e<br />
v p = 0<br />
−3t<br />
v = vp<br />
+ A0e<br />
Penerapan kondisi awal memberikan : 10 = 0 + A0<br />
−3t<br />
Solusi total menjadi: v = 10 e V<br />
Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari<br />
bahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan<br />
bernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan<br />
untuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
sebagai f(t) = A (tetapan).<br />
Contoh: Su<strong>at</strong>u analisis rangkaian memberikan persamaan<br />
−<br />
10 3 dv<br />
+ v =12<br />
dt<br />
dengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V.<br />
−3<br />
−3<br />
Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10<br />
= −1000<br />
Dugaan<br />
solusi homogen :<br />
−1000<br />
t<br />
va<br />
= A0e<br />
195
Karena f(t) = 12 konstan, kita dap<strong>at</strong> menduga bahwa solusi khusus<br />
akan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehingga<br />
kedua ruas persamaan tersebut dap<strong>at</strong> berisi su<strong>at</strong>u nilai konstan.<br />
Dugaan<br />
solusi khusus :<br />
Masukkan v p dugaan<br />
vp<br />
= K<br />
ini ke persamaan :<br />
−1000<br />
t<br />
Dugaan solusi total : v = 12 + A0e<br />
V<br />
+<br />
Kondisi awal : v(0<br />
) = v(0−)<br />
= 0.<br />
0 + K = 12 ⇒ vp<br />
= 12<br />
Penerapan kondisi awal memberikan : 0 = 12 + A0<br />
→ A0<br />
= −12<br />
−1000t<br />
Solusi total menjadi : v = 12 −12<br />
e V<br />
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 11 V, analisis transien<br />
menghasilkan persamaan<br />
dv<br />
+ 5 v = 200<br />
dt<br />
Persamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5<br />
Dugaan<br />
Dugaan<br />
Dugaan<br />
Kondisi<br />
solusi homogen :<br />
solusi khusus :<br />
solusi lengkap:<br />
awal :<br />
−5<br />
t<br />
va<br />
= A0e<br />
v p = K → 0 + 5K<br />
= 200 → v p = 40<br />
−5t<br />
−5t<br />
v = v p + A0e<br />
= 40 + A0e<br />
+<br />
v(0<br />
) = 11V. Penerapan<br />
kondisi<br />
11 = 40 + A0<br />
→ A0<br />
= −29<br />
−5t<br />
Tanggapan total: v = 40 − 29 e V.<br />
awal<br />
memberikan :<br />
Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusi<br />
jika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak<br />
tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen<br />
dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lih<strong>at</strong> pada contoh-contoh<br />
sebelumnya. Jadi dalam hal ini perh<strong>at</strong>ian kita lebih kita tujukan pada<br />
pencarian solusi khusus.<br />
Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0,<br />
bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskan<br />
y = Acos( ωt<br />
+ θ)<br />
196 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Melalui relasi<br />
{ cosωt<br />
cosθ − sin ωt<br />
θ}<br />
y = Acos(<br />
ωt<br />
+ θ)<br />
= A<br />
sin<br />
bentuk umum fungsi sinus dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
y = Ac<br />
cosωt<br />
+ As<br />
sin ωt<br />
dengan Ac<br />
= Acosθ<br />
dan<br />
As<br />
= −Asin<br />
θ<br />
Dengan bentuk umum seperti di <strong>at</strong>as kita terhindar dari perhitungan<br />
sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien A c dan A s .<br />
Koefisien A c dan A s tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka A s = 0<br />
dan jika θ = 90 o maka A c = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari<br />
fungsi sinus yang diny<strong>at</strong>akan dengan perny<strong>at</strong>aan umum, kita dap<strong>at</strong><br />
As<br />
menggunakan relasi tan θ = .<br />
Ac<br />
Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu,<br />
penjumlahan y = sinωt dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.<br />
y = A cos ωt<br />
+ A sin ωt<br />
;<br />
c<br />
dy<br />
= −Ac<br />
ωsin<br />
ωt<br />
+ Asω<br />
cosωt<br />
dt<br />
2<br />
d y<br />
= −Ac<br />
ω<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
s<br />
cos ωt<br />
− A ω<br />
s<br />
2<br />
;<br />
sin ωt<br />
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 0 V su<strong>at</strong>u analisis transien<br />
dv<br />
menghasilkan persamaan + 5 v =100cos10t<br />
dt<br />
Persamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5<br />
Dugaan<br />
solusi homogen :<br />
−5<br />
t<br />
va<br />
= A0e<br />
Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akan<br />
berbentuk sinus juga.<br />
197
Dugaan<br />
solusi khusus :<br />
vp<br />
= Ac<br />
cos10t<br />
+ As<br />
sin10t<br />
Substitusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan :<br />
−10Ac<br />
sin10t<br />
+ 10As<br />
cos10t<br />
+ 5Ac<br />
cos10t<br />
+ 5As<br />
sin10t<br />
= 100cos10t<br />
→ −10Ac<br />
+ 5As<br />
= 0 dan 10As<br />
+ 5Ac<br />
= 100<br />
→ As<br />
= 2Ac<br />
→ 20Ac<br />
+ 5Ac<br />
= 100 ⇒ Ac<br />
= 4 dan As<br />
= 8<br />
Solusi khusus : vp<br />
= 4cos10t<br />
+ 8sin10t<br />
−5<br />
t<br />
Dugaan solusi total : v = 4cos10t<br />
+ 8sin10t<br />
+ A0e<br />
+<br />
Kondisi awal v(0<br />
) = 0.<br />
Penerapan kondisi awal : 0 = 4 + A0<br />
→ A0<br />
= −4<br />
−5t<br />
Jadi: v = 4cos10t<br />
+ 8sin10t<br />
− 4e<br />
V<br />
Contoh: Apabila kondisi awal adalah v(0 + ) = 10 V, bagaimanakah<br />
solusi pada contoh sebelum ini?<br />
Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah.<br />
−5t<br />
Solusi total : v = 4 cos10t<br />
+ 8sin10t<br />
+ A0e<br />
+<br />
Kondisi awal v(0<br />
) = 10 → 10 = 4 + A0<br />
→ A0<br />
= 6<br />
−5<br />
t<br />
Jadi : v = 4 cos10t<br />
+ 8sin10t<br />
+ 6 e V<br />
Ringkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen.<br />
Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu<br />
yang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam hal<br />
rangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi<br />
khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa,<br />
yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar;<br />
solusi khusus merupakan bagian mantap <strong>at</strong>au kondisi final.<br />
198 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
y = y<br />
( ) − t / τ<br />
p t + A0<br />
e<br />
Solusi khusus :<br />
ditentukan oleh fungsi pemaksa.<br />
merupakan komponen mantap;<br />
tetap ada untuk t →∞.<br />
Solusi homogen :<br />
tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa.<br />
merupakan komponen transien; hilang pada t<br />
→∞; sudah dap<strong>at</strong> dianggap hilang pada t = 5τ.<br />
konstanta waktu τ = a/b pada (14.10)<br />
Soal-Soal:<br />
1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
dv<br />
+<br />
a). + 10v<br />
= 0 , v(0<br />
) = 10 ;<br />
dt<br />
dv<br />
+<br />
b). + 15v<br />
= 0 , v(0<br />
) = 5<br />
dt<br />
2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
di<br />
+<br />
a). + 8i<br />
= 0 , i(0<br />
) = 2 ;<br />
dt<br />
di 4<br />
+<br />
b). + 10 i = 0 , i(0<br />
) = −0,005<br />
dt<br />
199
3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
dv<br />
+<br />
a). + 10v<br />
= 10u(<br />
t)<br />
, v(0<br />
) = 0 ;<br />
dt<br />
dv<br />
+<br />
b). + 10v<br />
= 10u(<br />
t)<br />
, v(0<br />
) = 5<br />
dt<br />
4. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
di 4<br />
+<br />
a). + 10 i = 100u(<br />
t)<br />
, i(0<br />
) = 0 ;<br />
dt<br />
di 4<br />
+<br />
b). + 10 i = 100u(<br />
t)<br />
, i(0<br />
) = −0,02<br />
dt<br />
5. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
dv<br />
+<br />
a). + 5v<br />
= 10cos(5t)<br />
u(<br />
t)<br />
, v(0<br />
) = 0 ;<br />
dt<br />
dv<br />
+<br />
b). + 10v<br />
= 10cos(5t)<br />
u(<br />
t)<br />
, v(0<br />
) = 5<br />
dt<br />
200 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 16 Persamaan Diferensial Orde-2<br />
16.1. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua<br />
Secara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk<br />
2<br />
d y dy<br />
a + b + cy = f ( t)<br />
(16.1)<br />
2<br />
dt dt<br />
Pada persamaan diferensial orde s<strong>at</strong>u kita telah melih<strong>at</strong> bahwa solusi<br />
total terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus.<br />
Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yang<br />
dengan mudah dap<strong>at</strong> ditunjukkan secara m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>is seperti halnya pada<br />
persamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan ini<br />
terletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdap<strong>at</strong> dua<br />
kondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaan<br />
solusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah<br />
+ − dy + −<br />
y (0 ) = y(0<br />
) dan (0 ) = y'(0<br />
)<br />
(16.2)<br />
dt<br />
Solusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaian<br />
dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25),<br />
sehingga persamaan menjadi<br />
2<br />
d y dy<br />
a + b + cy = 0<br />
(16.3)<br />
2<br />
dt dt<br />
Agar persamaan ini dap<strong>at</strong> dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai<br />
bentuk sama sehingga dap<strong>at</strong> diduga y berbentuk fungsi eksponensial y a =<br />
Ke st dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi<br />
dugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh :<br />
aKs<br />
2<br />
e<br />
st<br />
st<br />
st<br />
2<br />
( as + bs + ) = 0<br />
+ bKse + cKe = 0 <strong>at</strong>au Ke<br />
c<br />
st<br />
(16.4)<br />
Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak<br />
diperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. S<strong>at</strong>us<strong>at</strong>unya<br />
jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah<br />
2<br />
as + bs + c = 0<br />
(16.4)<br />
201
Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensial<br />
orde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk<br />
persamaan kwadr<strong>at</strong> itu mempunyai dua akar yaitu:<br />
s , s<br />
1<br />
2<br />
2<br />
− b ± b − 4ac<br />
= (16.5)<br />
2a<br />
Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua<br />
akar riil berbeda, dua akar sama, <strong>at</strong>au dua akar kompleks konjug<strong>at</strong>.<br />
Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap<br />
bentuk solusi akan kita lih<strong>at</strong> lebih lanjut. Untuk sementara ini kita<br />
melih<strong>at</strong> secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua<br />
akar.<br />
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi<br />
homogen, yaitu:<br />
s1t<br />
s t<br />
a1 = K1e<br />
dan ya2<br />
= K2e<br />
(16.6)<br />
y<br />
2<br />
Jika y a1 merupakan solusi dan y a2 juga merupakan solusi, maka jumlah<br />
keduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cari<br />
akan berbentuk<br />
Konstanta K 1<br />
solusi total.<br />
s1t<br />
s t<br />
a = K1 e + K2e<br />
(16.7)<br />
y<br />
2<br />
dan K 2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada<br />
Solusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusi<br />
khusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara menduga<br />
bentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaan<br />
orde s<strong>at</strong>u. Kita umpamakan solusi khusus y khusus = y p .<br />
Solusi Total. Dengan solusi khusus y p maka solusi total menjadi<br />
s1t<br />
s t<br />
= y p + ya<br />
= y p + K1 e + K2e<br />
(16.8)<br />
y<br />
2<br />
202 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi<br />
Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang<br />
berbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dap<strong>at</strong> mempunyai tiga kemungkinan<br />
nilai akar, yaitu:<br />
a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;<br />
b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0<br />
c). Dua akar kompleks konjug<strong>at</strong> s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0.<br />
Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga<br />
kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lih<strong>at</strong> berikut ini, dengan<br />
contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.<br />
Dua Akar Ny<strong>at</strong>a Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kita<br />
terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan<br />
yaitu<br />
+<br />
y(0<br />
) = y<br />
+<br />
p<br />
(0 ) + K + K<br />
y'(0<br />
) = y′<br />
(0 ) + s K + s K<br />
p<br />
+<br />
+<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
dan<br />
2<br />
(16.9)<br />
yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebut<br />
B<br />
maka kita peroleh<br />
0<br />
0<br />
+<br />
+<br />
p<br />
+<br />
A = y(0<br />
) − y (0 )<br />
+<br />
= y′<br />
(0 ) − y′<br />
(0 )<br />
p<br />
dan<br />
(16.10)<br />
dan dari sini kita memperoleh<br />
K =<br />
1 + K2<br />
= A0<br />
dan s1K1<br />
+ s2K2<br />
B0<br />
s2A0<br />
− B0<br />
K1 =<br />
dan<br />
s − s<br />
sehingga solusi total menjadi<br />
2<br />
1<br />
s A − B<br />
K<br />
2<br />
s A<br />
s1<br />
A0<br />
− B0<br />
=<br />
s − s<br />
2 0 0 s1t<br />
1 0 0 s t<br />
= y p + e + e (16.11)<br />
s2<br />
− s1<br />
s1<br />
− s2<br />
1<br />
− B<br />
y<br />
2<br />
Berikut ini kita lih<strong>at</strong> su<strong>at</strong>u contoh. Seperti halnya pada persamaan orde<br />
pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi<br />
2<br />
203
persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentang<br />
kondisi awal, yang hanya dap<strong>at</strong> diterapkan pada solusi total. Persamaan<br />
yang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaan<br />
dengan solusi khusus yang bernilai nol.<br />
Contoh: Dari analisis transien su<strong>at</strong>u rangkaian listrik diperoleh<br />
persamaan<br />
2<br />
d v<br />
3 dv 6<br />
+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 0<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
dengan kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + ) = 0<br />
2<br />
3 6<br />
Persamaan karkteristik : s + 8,5 × 10 s + 4 × 10 = 0<br />
→ akar<br />
- akar<br />
Dugaan solusi total:<br />
Kondisi awal :<br />
3 2<br />
: s1,<br />
s2<br />
= −4250<br />
± 10 (4,25) − 4<br />
s1<br />
= −500,<br />
s2<br />
= −8000<br />
( dua akar riil berbeda).<br />
−500t<br />
−8000t<br />
v = 0 + K1e<br />
+ K2e<br />
(solusi homogen nol)<br />
+ −<br />
a). v(0<br />
) = v(0<br />
) = 15 V →15<br />
= K1<br />
+ K2<br />
⇒ K2<br />
= 15 − K1<br />
dv +<br />
b). (0 ) = 0 → 0 = K1s1<br />
+ K2s2<br />
= K1s1<br />
+ (15 − K1)<br />
s2<br />
dt<br />
− 15s2<br />
− 15( −8000)<br />
⇒ K1<br />
= =<br />
= 16 ⇒ K2<br />
= 15 − K1<br />
= −1<br />
s1<br />
− s2<br />
− 500 + 8000<br />
−500<br />
t −8000t<br />
Solusi total: v = 16e<br />
− e V<br />
(hanya terdiri dari solusi homogen).<br />
Dua Akar Ny<strong>at</strong>a Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut<br />
dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
s 1 = s dan s2<br />
= s + δ ; dengan δ → 0<br />
(16.12)<br />
Dengan demikian maka solusi total dap<strong>at</strong> kita tulis sebagai<br />
y = y<br />
= y<br />
p<br />
p<br />
s1t<br />
1<br />
+ K e<br />
+ K e<br />
1<br />
st<br />
+ K<br />
+ K<br />
s2t<br />
2e<br />
( s+δ)<br />
t<br />
2e<br />
(16.13)<br />
204 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Kalau kondisi awal pertama y(0 + ) kita terapkan, kita akan memperoleh<br />
+<br />
y(0<br />
) = y<br />
p<br />
→ K + K<br />
1<br />
+<br />
(0 ) + K + K<br />
2<br />
1<br />
+<br />
2<br />
= y(0<br />
) − y<br />
p<br />
+<br />
(0 ) = A<br />
Jika kondisi awal kedua dy/dt (0 + ) kita terapkan, kita peroleh<br />
+<br />
y′<br />
(0 ) = y′<br />
(0 ) + K s + K ( s + δ)<br />
→ ( K<br />
1<br />
p<br />
+ K ) s + K<br />
Dari kedua persamaan ini kita dap<strong>at</strong>kan<br />
2<br />
+<br />
2<br />
1<br />
2<br />
+<br />
δ = y′<br />
(0 ) − y′<br />
(0 ) = B<br />
p<br />
+<br />
0<br />
0<br />
A0<br />
s + K2δ = B0<br />
→<br />
→<br />
B0<br />
− A0<br />
s<br />
K2<br />
=<br />
δ<br />
B0<br />
K1<br />
= A0<br />
−<br />
−<br />
δ<br />
A0<br />
s<br />
(16.14)<br />
Solusi total menjadi<br />
⎛ B0<br />
− A0<br />
s ⎞ st B0<br />
− A0<br />
s ( s+δ)<br />
t<br />
y = y p + ⎜ A0<br />
− ⎟e<br />
+ e<br />
⎝ δ ⎠ δ<br />
⎡⎛<br />
B0<br />
= y p + ⎢⎜<br />
A0<br />
−<br />
⎣⎝<br />
−<br />
δ<br />
A0<br />
s ⎞ B0<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
−<br />
δ<br />
A0<br />
s δ t ⎤ st<br />
e ⎥ e<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎛ δ t<br />
1 e ⎞⎤<br />
st<br />
= y p + ⎢A0<br />
+ ( B0<br />
− A0<br />
s)<br />
⎜−<br />
+ ⎟⎥<br />
e<br />
⎢<br />
⎜ ⎟<br />
⎣<br />
⎝<br />
δ δ<br />
⎠⎥<br />
⎦<br />
(16.15.a)<br />
Karena<br />
⎛ δ t<br />
1 e ⎞ ⎛ δt<br />
e 1⎞<br />
lim ⎜<br />
lim ⎜ −<br />
− + ⎟ =<br />
⎟ = t<br />
δ→0⎜<br />
⎟ 0⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
δ δ δ→<br />
⎠ ⎝<br />
δ<br />
⎠<br />
maka solusi total dap<strong>at</strong> kita tulis<br />
y<br />
[ A + B A s)<br />
t] e<br />
st<br />
= y p + 0 ( 0 − 0<br />
(16.15.b)<br />
Solusi total seperti diny<strong>at</strong>akan oleh (16.15.b) merupakan bentuk khusus<br />
yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama<br />
besar. A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi<br />
awal. Dengan demikian kita dap<strong>at</strong> menuliskan (16.15.b) sebagai<br />
205
y<br />
[ K + K t] e<br />
st<br />
= y p + a b<br />
(16.15.c)<br />
dengan nilai K a yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai K b<br />
ditentukan oleh kondisi awal dan s. Dalam rangkaian listrik, nilai s<br />
tergantung dari elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada<br />
kaitannya dengan kondisi awal. Dengan k<strong>at</strong>a lain, jika kita mengetahui<br />
bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang<br />
sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti<br />
yang ditunjukkan oleh (16.15.c).<br />
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + )=0, analisis<br />
transien rangkaian listrik memberikan persamaan<br />
Di sini<br />
solusi total<br />
akan<br />
2<br />
d v 3 dv 6<br />
+ 4 × 10 + 4 × 10 v = 0<br />
2<br />
dt dt<br />
2<br />
6<br />
Persamaan karakteristik : s + 4000s<br />
+ 4 × 10 = 0<br />
6 6<br />
: s1,<br />
s2<br />
= −2000<br />
± 4 × 10 − 4 × 10 = −2000<br />
= s<br />
terdap<strong>at</strong> dua akar sama besar; oleh karena itu<br />
akar - akar<br />
v = v p +<br />
Jadi : v =<br />
berbentuk :<br />
st<br />
st<br />
( K + K t) e = 0 + ( K + K t) e , karena v = 0.<br />
a<br />
Aplikasi kondisi awal pertama<br />
b<br />
+<br />
v(0<br />
) = 15 = Ka.<br />
dv +<br />
Aplikasi kondisi awal kedua (0 ) = 0<br />
dt<br />
dv st<br />
st<br />
memberikan = Kbe<br />
+ ( Ka<br />
+ Kbt)<br />
s e<br />
dt<br />
dv +<br />
→ (0 ) = 0 = Kb<br />
+ Kas<br />
→<br />
dt<br />
−2000 t<br />
( 15 + 30000t) e V<br />
a<br />
b<br />
pada solusi total ini memberikan<br />
Kb<br />
= −Kas<br />
= 30000<br />
p<br />
206 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Akar-Akar Kompleks Konjug<strong>at</strong>. Kita belum membahas bilangan<br />
kompleks di buku ini. Kita baru memandang fungsi-fungsi yang<br />
memiliki nilai bilangan ny<strong>at</strong>a. Namun agar pembahasan menjadi<br />
lengkap, berikut ini diberikan solusinya.<br />
Dua akar kompleks konjug<strong>at</strong> dap<strong>at</strong> dituliskan sebagai<br />
s 2<br />
Solusi total dari situasi ini adalah<br />
1 = α + jβ<br />
dan s = α − jβ<br />
y = y<br />
= y<br />
p<br />
p<br />
+ K<br />
+<br />
( α+ jβ)<br />
t<br />
1e<br />
+ K<br />
+ jβ<br />
t − jβ<br />
t αt<br />
( K e + K e ) e<br />
1<br />
2<br />
( α− jβ)<br />
t<br />
2e<br />
Aplikasikan kondisi awal yang pertama, y(0 + ),<br />
y(0<br />
) = y<br />
→<br />
+<br />
K + K<br />
1<br />
p<br />
(0 ) +<br />
2<br />
+<br />
( K + K )<br />
+<br />
1<br />
2<br />
= y(0<br />
) − y<br />
p<br />
+<br />
(0 ) = A<br />
0<br />
(16.16)<br />
dv + +<br />
Aplikasi kondisi awal yang kedua, (0 ) = y′<br />
(0 ) ,<br />
dt<br />
dy<br />
dt<br />
+<br />
Kita akan memperoleh<br />
dy p<br />
jβt<br />
− jβt<br />
= + ( jβK1e<br />
− jβK2e<br />
)<br />
dt<br />
jβt<br />
− jβt<br />
αt<br />
( K e + K e ) α e<br />
1<br />
dy +<br />
(0 ) y′<br />
+<br />
(0 ) y′<br />
+<br />
= = p (0 ) +<br />
dt<br />
→ jβ<br />
jβ<br />
2<br />
e<br />
αt<br />
( jβK<br />
− jβK<br />
) + ( K + K )<br />
( K1<br />
K2<br />
) ( K1<br />
K2<br />
) y′<br />
+<br />
(0 ) y′<br />
+<br />
− + α + = − p (0 ) = B0<br />
K1<br />
+ K2<br />
= A0<br />
( K − K ) + α( K + K )<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
B0<br />
− αA0<br />
2 = B0<br />
→ K1<br />
− K2<br />
=<br />
jβ<br />
A0<br />
+ ( B0<br />
− αA0<br />
) / jβ<br />
A0<br />
− ( B0<br />
− αA0<br />
) / jβ<br />
K 1 =<br />
K2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
Solusi total menjadi<br />
2<br />
1<br />
2<br />
α<br />
207
y = y<br />
= y<br />
= y<br />
p<br />
p<br />
p<br />
⎛ A + B<br />
+<br />
0 ( 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜ A<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
e<br />
+ jβ<br />
t<br />
+ e<br />
2<br />
− jβ<br />
t<br />
⎛ ( B<br />
+<br />
⎜ A cosβt<br />
+<br />
0<br />
0<br />
⎝<br />
− αA0<br />
) / jβ<br />
e<br />
2<br />
( B<br />
+<br />
+ jβ<br />
t<br />
0<br />
− αA0<br />
) e<br />
β<br />
− αA0<br />
) ⎞<br />
sinβt<br />
⎟ e<br />
β ⎠<br />
A − ( B<br />
+<br />
0 0<br />
αt<br />
+ jβ<br />
t<br />
− αA0<br />
) / jβ<br />
e<br />
2<br />
− e<br />
2 j<br />
− jβ<br />
t<br />
⎞<br />
⎟ e<br />
⎟<br />
⎠<br />
αt<br />
− jβ<br />
t<br />
⎞<br />
⎟ e<br />
⎠<br />
αt<br />
(16.17)<br />
A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal<br />
sedangkan α dan β memiliki nilai tertentu (dalam rangkaian listrik<br />
ditentukan oleh nilai elemen rangkaian). Dengan demikian solusi total<br />
dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
y = y<br />
p<br />
+<br />
αt<br />
( K βt<br />
+ K sinβt) e<br />
a cos b<br />
(16.18)<br />
dengan K a dan K b yang masih harus ditentukan melalui penerapan<br />
kondisi awal. Ini adalah bentuk solusi total khusus untuk persamaan<br />
diferensial yang memiliki persamaan karakteristik dengan dua akar<br />
kompleks konjug<strong>at</strong>.<br />
Persamaan (16.18) menunjukkan bahwa bila persamaan karakteristik<br />
memberikan dua akar kompleks konjug<strong>at</strong>, maka solusi persamaan<br />
diferensial orde dua akan terdiri dari solusi khusus y p ditambah fungsi<br />
sinus yang teredam.<br />
208 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
209<br />
Soal-Soal:<br />
1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
5<br />
)<br />
(0<br />
0 ,<br />
)<br />
(0<br />
0 ;<br />
5<br />
4<br />
c).<br />
10<br />
)<br />
(0<br />
0 ,<br />
)<br />
(0<br />
0 ;<br />
4<br />
4<br />
b).<br />
15<br />
)<br />
(0<br />
0,<br />
)<br />
(0<br />
0 ;<br />
10<br />
7<br />
a).<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
10<br />
(0)<br />
5,<br />
)<br />
(0<br />
);<br />
(<br />
100<br />
25<br />
8<br />
c).<br />
10<br />
(0)<br />
5,<br />
)<br />
(0<br />
);<br />
(<br />
100<br />
25<br />
10<br />
b).<br />
25<br />
(0)<br />
5,<br />
)<br />
(0<br />
) ;<br />
(<br />
100<br />
24<br />
10<br />
a).<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.<br />
0<br />
)<br />
(0<br />
0,<br />
)<br />
(0<br />
,<br />
)<br />
(<br />
]<br />
100[cos1000<br />
8<br />
6<br />
a).<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
t<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
0<br />
)<br />
(0<br />
0,<br />
)<br />
(0<br />
,<br />
)<br />
(<br />
]<br />
100[cos1000<br />
9<br />
6<br />
b).<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
t<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d<br />
0<br />
)<br />
(0<br />
0,<br />
)<br />
(0<br />
) ,<br />
(<br />
]<br />
100[cos1000<br />
10<br />
2<br />
c).<br />
2<br />
2<br />
=<br />
=<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
dt<br />
dv<br />
v<br />
t<br />
u<br />
t<br />
v<br />
dt<br />
dv<br />
dt<br />
v<br />
d
210 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 17 M<strong>at</strong>riks<br />
17.1. Konsep Dasar M<strong>at</strong>riks<br />
M<strong>at</strong>rik adalah susunan ter<strong>at</strong>ur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom<br />
yang membentuk su<strong>at</strong>u susunan persegi panjang yang kita perlakukan<br />
sebagai su<strong>at</strong>u kes<strong>at</strong>uan. Dalam penulisannya m<strong>at</strong>riks dib<strong>at</strong>asi oleh su<strong>at</strong>u<br />
kurung siku (<strong>at</strong>aupun dengan kurung biasa) seperti contoh berikut<br />
⎡2<br />
⎢<br />
⎢<br />
1<br />
⎢<br />
⎣3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3⎤<br />
⎥<br />
4<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
⎡2⎤<br />
; ⎢ ⎥<br />
⎣4<br />
⎦<br />
⎡2<br />
4 1⎤<br />
3 ; ⎢ ⎥<br />
⎣3<br />
0 2 ⎦<br />
; [ 2 4]<br />
(17.1)<br />
Dalam contoh m<strong>at</strong>riks (17.1) ini, banyaknya baris m<strong>at</strong>riks yang pertama<br />
sama dengan banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut m<strong>at</strong>riks<br />
bujur sangkar. Yang kedua terdiri dari dua baris dan s<strong>at</strong>u kolom,<br />
disebut m<strong>at</strong>riks kolom <strong>at</strong>au vektor kolom. Yang ketiga terdiri dari s<strong>at</strong>u<br />
baris tiga kolom, disebut m<strong>at</strong>riks baris <strong>at</strong>au vektor baris. Yang<br />
k<strong>ee</strong>mp<strong>at</strong> adalah m<strong>at</strong>rik persegi panjang dengan dua baris dan tiga<br />
kolom.<br />
Secara umum su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>rik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga<br />
su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>rik akan terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen<br />
m<strong>at</strong>riks ini dap<strong>at</strong> berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapi<br />
dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melih<strong>at</strong> m<strong>at</strong>riks dengan<br />
elemen yang berupa bilangan ny<strong>at</strong>a, dan disebut m<strong>at</strong>riks ny<strong>at</strong>a. Secara<br />
umum setiap elemen m<strong>at</strong>riks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam<br />
m<strong>at</strong>riks. Jika b (b = 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah<br />
nomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemen<br />
m<strong>at</strong>riks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama m<strong>at</strong>riks adalah<br />
huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan<br />
sebagai notasi untuk vektor baris <strong>at</strong>aupun kolom, seperti contoh berikut.<br />
⎡2<br />
0 3⎤<br />
⎢ ⎥ ⎡2<br />
4 1⎤<br />
⎡2⎤<br />
A = ⎢<br />
1 2 4<br />
⎥ ; B = ⎢ ⎥ ; a = ⎢ ⎥⎦<br />
⎢<br />
⎣3<br />
2 1⎥<br />
⎣3<br />
0 2 ⎦ ⎣4<br />
⎦<br />
Secara umum, m<strong>at</strong>riks A dap<strong>at</strong> kita tuliskan<br />
; b = [ 2 4]<br />
3 (17.2)<br />
211
⎡ a11<br />
a12<br />
L a1<br />
n ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
a21<br />
a22<br />
L a2n<br />
A =<br />
⎥ = [ abk<br />
]<br />
(17.3)<br />
⎢ L L L L ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
am2<br />
L amn<br />
⎥⎦<br />
Posisi elemen-elemen a 11 …a mn disebut diagonal utama m<strong>at</strong>riks.<br />
Banyaknya baris dan kolom merupakan ukuran m<strong>at</strong>rik. Dalam contoh<br />
(17.1), berturut-turut kita mempunyai m<strong>at</strong>riks dengan ukuran 3×3, 2×1,<br />
1×3, dan 2×3. M<strong>at</strong>riks dengan m = n disebut m<strong>at</strong>riks bujur sangkar, dan<br />
kita k<strong>at</strong>akan m<strong>at</strong>riks ini berordo n. M<strong>at</strong>riks A pada contoh (17.2) adalah<br />
m<strong>at</strong>riks bujur sangkar berordo 3.<br />
Anak m<strong>at</strong>riks <strong>at</strong>au sub-m<strong>at</strong>riks adalah m<strong>at</strong>riks yang diperoleh dengan<br />
menghilangkan sebagian baris dan/<strong>at</strong>au sebagian kolom dari su<strong>at</strong>u<br />
m<strong>at</strong>riks. Sebagai contoh, m<strong>at</strong>riks<br />
⎡2<br />
B = ⎢<br />
⎣3<br />
mempunyai dua anak m<strong>at</strong>riks 1× 3 , yaitu [ 2 4 1]<br />
, [ 0 2]<br />
tiga anak m<strong>at</strong>riks 2× 1, yaitu<br />
4<br />
0<br />
1⎤<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
3 ;<br />
⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡1 ⎤<br />
⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ;<br />
⎣3<br />
⎦ ⎣0<br />
⎦ ⎣2<br />
⎦<br />
enam anak m<strong>at</strong>riks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];<br />
enam anak m<strong>at</strong>riks 1×2 yaitu [ 2 4]<br />
, [ 2 1]<br />
, [ 4 1]<br />
, [ 3 0]<br />
, [ 3 2]<br />
, [ 0 2]<br />
;<br />
tiga anak m<strong>at</strong>riks 2×2 yaitu<br />
⎡2<br />
⎢<br />
⎣3<br />
4⎤<br />
⎡2<br />
1⎤<br />
⎡4<br />
1⎤<br />
⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ .<br />
0 ⎦ ⎣3<br />
2 ⎦ ⎣0<br />
2 ⎦<br />
Dengan menggunakan pengertian anak m<strong>at</strong>riks ini, kita dap<strong>at</strong><br />
memandang m<strong>at</strong>riks sebagai tersusun dari anak-anak m<strong>at</strong>riks yang<br />
berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, m<strong>at</strong>riks<br />
⎡2<br />
⎢<br />
A= ⎢<br />
1<br />
⎢<br />
⎣3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3⎤<br />
⎥<br />
4<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
⎡a1<br />
⎤<br />
⎢ ⎥<br />
dap<strong>at</strong> kita pandang sebagai m<strong>at</strong>riks A =<br />
⎢<br />
a2⎥<br />
⎢<br />
⎣a3⎥<br />
⎦<br />
212 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dengan anak-anak m<strong>at</strong>riks berupa vektor baris 1 = [ 2 0 3]<br />
a [ 1 2 4]<br />
, a [ 3 2 1]<br />
a ,<br />
2 =<br />
3 = . Dengan cara pandang ini m<strong>at</strong>riks A mirip<br />
bentuknya dengan vektor kolom.<br />
M<strong>at</strong>riks A juga dap<strong>at</strong> kita pandang sebagai m<strong>at</strong>riks A = [ a a ]<br />
1 2 a3<br />
⎡2⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎡3⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
dengan anak-anak m<strong>at</strong>riks a 1 =<br />
⎢<br />
1<br />
⎥ , a 2 =<br />
⎢<br />
2<br />
⎥ , a 3 =<br />
⎢<br />
4<br />
⎥ yang berupa<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣2⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣1⎥<br />
⎦<br />
vektor-vektor kolom. Dengan cara ini m<strong>at</strong>riks A terlih<strong>at</strong> seperti vektor<br />
baris.<br />
17.2. Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi M<strong>at</strong>riks<br />
Kesamaan M<strong>at</strong>riks<br />
Dua m<strong>at</strong>riks A dan B sama jika dan hanya jika berukuran sama dan<br />
elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan<br />
kesamaan ini A = B.<br />
⎡2<br />
4⎤<br />
⎡2<br />
4⎤<br />
Jika A = ⎢ ⎥ maka haruslah B = ⎢ ⎥ .<br />
⎣3<br />
0 ⎦ ⎣3<br />
0 ⎦<br />
Penjumlahan<br />
Penjumlahan dua m<strong>at</strong>riks hanya didefinisikan untuk m<strong>at</strong>riks yang<br />
berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua<br />
m<strong>at</strong>riks tersebut sama). Jumlah dari dua m<strong>at</strong>riks A dan B yang masingmasing<br />
berukuran m×n adalah sebuah m<strong>at</strong>riks C berukuran m×n yang<br />
elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen m<strong>at</strong>riks A dan<br />
B yang posisinya sama.<br />
Jika A=<br />
⎡2<br />
⎢<br />
⎣3<br />
4⎤<br />
⎡1<br />
⎥ dan B= ⎢<br />
0 ⎦ ⎣2<br />
3⎤<br />
⎡3<br />
7⎤<br />
⎥ , maka C= A + B = ⎢ ⎥<br />
2 ⎦ ⎣5<br />
2 ⎦<br />
Penjumlahan m<strong>at</strong>riks mempunyai sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> sebagai berikut<br />
M<strong>at</strong>riks Nol.<br />
a. A + B = B + A<br />
b. ( A B) + C = A + ( B + C)<br />
+ (17.4)<br />
M<strong>at</strong>riks nol, 0, yang berukuran m×n adalah m<strong>at</strong>riks yang berukuran m×n<br />
dengan semua elemennya bernilai nol.<br />
213
M<strong>at</strong>riks Neg<strong>at</strong>if<br />
Neg<strong>at</strong>if dari m<strong>at</strong>riks berukuran m×n adalah m<strong>at</strong>riks berukuran m×n yang<br />
diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1).<br />
Operasi penjumlahan yang melib<strong>at</strong>kan m<strong>at</strong>riks nol dan m<strong>at</strong>riks neg<strong>at</strong>if<br />
adalah<br />
Perkalian M<strong>at</strong>riks dengan Bilangan Skalar<br />
c). A + 0 = A<br />
d). A + ( −A)<br />
= A − A = 0<br />
(17.5)<br />
Hasil kali su<strong>at</strong>u bilangan skalar a dengan m<strong>at</strong>riks berukuran m×n adalah<br />
m<strong>at</strong>riks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. Kita<br />
menuliskan perkalian m<strong>at</strong>riks A dengan bilangan skalar a sebagai aA =<br />
Aa.<br />
⎡2<br />
2 1⎤<br />
⎡2<br />
2 1⎤<br />
⎡4<br />
4 2⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
2<br />
⎢<br />
1 3 2<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
1 3 2<br />
⎥<br />
2 =<br />
⎢<br />
2 6 4<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣3<br />
2 3⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣3<br />
2 3⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣6<br />
4 6⎥<br />
⎦<br />
Perkalian m<strong>at</strong>riks dengan bilangan skalar ini mempunyai sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong><br />
sebagai berikut.<br />
a. a ( A + B) = aA<br />
+ aB<br />
b. ( a + b) A = aA<br />
+ bA<br />
c. a [ bA] = ( ab)A<br />
(17.6)<br />
Perkalian M<strong>at</strong>riks dengan M<strong>at</strong>riks<br />
Perkalian antara dua m<strong>at</strong>riks A dan B yaitu C=AB (dalam urutan<br />
perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom m<strong>at</strong>riks<br />
A sama dengan banyaknya baris m<strong>at</strong>riks B. Jadi jika m<strong>at</strong>riks A<br />
berukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dap<strong>at</strong><br />
dilakukan jika n = p. Hasil kali m<strong>at</strong>riks AB akan berupa m<strong>at</strong>riks yang<br />
berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k<br />
merupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari<br />
m<strong>at</strong>riks A dan vektor kolom ke k dari m<strong>at</strong>riks B (m<strong>at</strong>riks A dipandang<br />
sebagai terdiri dari anak-anak m<strong>at</strong>riks yang berupa vektor baris dan<br />
m<strong>at</strong>riks B terdiri dari anak m<strong>at</strong>riks yang berupa vektor kolom). Jadi<br />
214 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
jika A = [ a b ] dan B = [ b k ] maka C = AB = [ cbk<br />
] = [ ab<br />
• bk<br />
]<br />
Mengalikan m<strong>at</strong>riks A ke m<strong>at</strong>riks B dari sebelah kiri seperti di <strong>at</strong>as kita<br />
sebut menggandaawalkan m<strong>at</strong>riks A ke m<strong>at</strong>riks B. Akan kita lih<strong>at</strong><br />
bahwa menggandaawalkan A ke B tidak selalu sama dengan<br />
menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.<br />
• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris a = [ 2 3]<br />
⎡4⎤<br />
dan vektor kolom b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom a adalah 2, sama<br />
⎣ 3⎦ dengan banyaknya baris b, maka perkalian internal c = a • b dap<strong>at</strong><br />
kita lakukan, yaitu<br />
⎡4⎤<br />
c = a • b = [ 2 3] ⎢ ⎥ = [ 2 × 4 + 3×<br />
3] = [ 17]<br />
.<br />
⎣3⎦<br />
Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan<br />
banyaknya baris a, maka. kita dap<strong>at</strong> melakukan perkalian<br />
⎡4⎤<br />
d = b • a = ⎢ ⎥<br />
⎣3⎦<br />
⎡4<br />
× 2<br />
⎢<br />
⎣3×<br />
2<br />
4×<br />
3⎤<br />
⎥<br />
3×<br />
3⎦<br />
⎡8<br />
⎢<br />
⎣6<br />
12<br />
⎤<br />
[ 2 3] =<br />
= ⎥ ⎦<br />
Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya perkalian ini dap<strong>at</strong><br />
dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian m<strong>at</strong>riks<br />
tidak komut<strong>at</strong>if.<br />
⎡2<br />
1⎤<br />
• Perkalian m<strong>at</strong>riks dengan vektor. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan<br />
⎣3<br />
4 ⎦<br />
⎡2⎤<br />
b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka<br />
⎣ 3 ⎦<br />
perkalian Ab dap<strong>at</strong> dilakukan. M<strong>at</strong>riks A kita pandang sebagai<br />
⎡a1<br />
⎤<br />
A = ⎢ ⎥ , yaitu m<strong>at</strong>rik dengan anak m<strong>at</strong>riks berupa vektor baris<br />
⎣a2⎦<br />
2 1 a 3 4 . Perkalian C = Ab adalah<br />
a [ ] dan [ ]<br />
1 =<br />
2 =<br />
⎡a1<br />
⎤ ⎡a<br />
C = Ab = ⎢ ⎥ b = ⎢<br />
⎣a2⎦<br />
⎣a<br />
1<br />
2<br />
• b⎤<br />
⎡2<br />
× 2 + 1×<br />
3⎤<br />
⎡ 7 ⎤<br />
⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥<br />
• b⎦<br />
⎣3×<br />
2 + 4 × 3⎦<br />
⎣18⎦<br />
Jika urutan perkalian dibalik D = bA , perkalian tak dap<strong>at</strong> dilakukan<br />
karena b terdiri dari s<strong>at</strong>u kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.<br />
9<br />
215
⎡2<br />
1⎤<br />
• Perkalian dua m<strong>at</strong>riks bujur sangkar. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan<br />
⎣3<br />
4 ⎦<br />
⎡4<br />
2⎤<br />
B = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B;<br />
⎣5<br />
3⎦<br />
oleh karena itu kita dap<strong>at</strong> melakukan perkalian C = AB . M<strong>at</strong>riks A<br />
⎡a1<br />
⎤<br />
kita pandang sebagai A = ⎢ ⎥ , yaitu m<strong>at</strong>rik dengan anak m<strong>at</strong>riks<br />
⎣a2<br />
⎦<br />
berupa vektor baris a 1 = [ 2 1]<br />
dan a 2 = [ 3 4]<br />
. M<strong>at</strong>riks B kita<br />
pandang sebagai B = [ b 1 b 2 ], yaitu m<strong>at</strong>riks dengan dua anak<br />
m<strong>at</strong>riks berupa vektor kolom<br />
C = AB adalah<br />
⎡a1<br />
⎤<br />
C = AB = ⎢ ⎥<br />
⎣a2⎦<br />
⎡2<br />
× 4 + 1×<br />
5<br />
= ⎢<br />
⎣3×<br />
4 + 4 × 5<br />
[ b b ]<br />
1<br />
2<br />
⎡4⎤<br />
⎡2⎤<br />
b 1 = ⎢ ⎥ dan b 2 = ⎢ ⎥ . Perkalian<br />
⎣ 5⎦ ⎣ 3⎦ ⎡a1<br />
• b1<br />
= ⎢<br />
⎣a2<br />
• b1<br />
2 × 2 + 1×<br />
3⎤<br />
⎡13<br />
⎥ = ⎢<br />
3×<br />
2 + 4 × 3⎦<br />
⎣32<br />
a1<br />
• b2<br />
⎤<br />
⎥<br />
a2<br />
• b2⎦<br />
7 ⎤<br />
⎥<br />
18⎦<br />
⎡2<br />
4 3⎤<br />
• Perkalian dua m<strong>at</strong>riks persegi panjang. Misalkan A = ⎢ ⎥<br />
⎣1<br />
3 2 ⎦<br />
⎡1<br />
2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
dan B =<br />
⎢<br />
4 3<br />
⎥ . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan<br />
⎢<br />
⎣2<br />
3⎥<br />
⎦<br />
banyaknya baris B. Kita dap<strong>at</strong> melakukan perkalian<br />
⎡1<br />
2⎤<br />
⎡2<br />
4 3⎤<br />
⎢ ⎥ ⎡2<br />
× 1+<br />
4 × 4 + 3×<br />
2 2 × 2 + 4 × 3 + 3×<br />
3⎤<br />
⎡25<br />
C = AB = ⎢ ⎥ ⎢<br />
4 3<br />
⎥<br />
= ⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣1<br />
3 2⎦<br />
⎣1×<br />
1+<br />
3×<br />
4 + 2 × 2 1×<br />
2 + 3×<br />
3 + 2 × 3<br />
⎢ ⎥<br />
⎦ ⎣17<br />
⎣2<br />
3⎦<br />
25⎤<br />
⎥<br />
17⎦<br />
Perny<strong>at</strong>aan m<strong>at</strong>riks dengan anak m<strong>at</strong>riks pada perhitungan di <strong>at</strong>as<br />
adalah sebagai<br />
⎡a1<br />
⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣a2⎦<br />
A , B = [ ]<br />
b 1 b 2<br />
, sehingga<br />
⎡a1<br />
⎤ ⎡a1<br />
• b1<br />
a1<br />
• b2<br />
⎤<br />
C = AB = ⎢ ⎥ [ b1<br />
b2] = ⎢<br />
⎥ .<br />
⎣a2⎦<br />
⎣a2<br />
• b1<br />
a2<br />
• b2<br />
⎦<br />
216 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Dalam operasi perkalian m<strong>at</strong>rike, m<strong>at</strong>riks yang pertama kita susun<br />
dari anak m<strong>at</strong>riks yang berupa vektro baris sedangkan m<strong>at</strong>riks yang<br />
kedua kita susun dari anak m<strong>at</strong>riks yang berupa vektor kolom. Jadi<br />
perkalian m<strong>at</strong>riks adalah perkalian dari baris ke kolom.<br />
Perkalian m<strong>at</strong>riks mempunyai sif<strong>at</strong> sebagai berikut.<br />
a. Asosi<strong>at</strong>if dan distributif terhadap penjumlahan<br />
( a A) B = a( AB) = A( aB)<br />
( BC) ( AB)C<br />
A =<br />
( A + B) C = AC + BC<br />
(17.7)<br />
( A + B) = CA CB<br />
C +<br />
b. Tidak komut<strong>at</strong>if. Jika perkalian AB maupun BA<br />
terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA<br />
c. Hukum pemb<strong>at</strong>alan tidak selalu berlaku.<br />
Jika AB = 0 tidak selalu berakib<strong>at</strong> A = 0 <strong>at</strong>au B = 0.<br />
M<strong>at</strong>riks-M<strong>at</strong>riks Khusus<br />
Melih<strong>at</strong> pada nilai-nilai elemen dari m<strong>at</strong>riks, terdap<strong>at</strong> beberapa bentuk<br />
m<strong>at</strong>riks khusus.<br />
• M<strong>at</strong>riks Segitiga. M<strong>at</strong>riks segitiga ada dua macam yaitu m<strong>at</strong>riks<br />
segitiga bawah dan m<strong>at</strong>riks segitiga <strong>at</strong>as. M<strong>at</strong>riks segitiga bawah<br />
adalah m<strong>at</strong>riks yang elemen-elemen di <strong>at</strong>as diagonal utamanya<br />
bernilai nol. M<strong>at</strong>riks segitiga <strong>at</strong>as adalah m<strong>at</strong>riks yang elemenelemen<br />
di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perh<strong>at</strong>ikan contoh<br />
berikut.<br />
M<strong>at</strong>riks segitiga bawah :<br />
T 1<br />
⎡ 2<br />
⎢<br />
=<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢<br />
⎣ 3<br />
0<br />
1<br />
4<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
3⎥<br />
⎦<br />
M<strong>at</strong>riks segitiga <strong>at</strong>as :<br />
T 2<br />
⎡2<br />
⎢<br />
=<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
− 2<br />
1<br />
0<br />
1⎤<br />
⎥<br />
3<br />
⎥<br />
3⎥<br />
⎦<br />
217
• M<strong>at</strong>riks Diagonal. M<strong>at</strong>riks diagonal adalah m<strong>at</strong>riks yang elemenelemen<br />
di <strong>at</strong>as maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.<br />
Contoh :<br />
⎡2<br />
⎢<br />
D =<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
• M<strong>at</strong>riks S<strong>at</strong>uan. M<strong>at</strong>riks s<strong>at</strong>uan, disebut juga m<strong>at</strong>riks identitas,<br />
adalah m<strong>at</strong>riks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. M<strong>at</strong>riks<br />
ini dilambangkan dengan I.<br />
⎡1<br />
⎢<br />
I =<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
Su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>rik jika dikalikan dengan m<strong>at</strong>riks s<strong>at</strong>uan akan kembali<br />
pada m<strong>at</strong>riks asalnya.<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎦<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
AI = IA = A<br />
(17.8)<br />
Putaran M<strong>at</strong>riks<br />
Putaran m<strong>at</strong>riks <strong>at</strong>au transposisi dari m<strong>at</strong>riks A berukuran m×n adalah<br />
su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks A T yang berukuran n×m dengan kolom-kolom m<strong>at</strong>riks A<br />
sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris m<strong>at</strong>riks A<br />
menjadi kolom-kolom m<strong>at</strong>riks A T .<br />
⎡ a11<br />
a12<br />
L a1<br />
n ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
a a L a<br />
A<br />
⎥<br />
bk maka<br />
⎢ L L L L<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
am2<br />
L amn<br />
⎥⎦<br />
Jika ⎢ 21 22 2n<br />
=<br />
⎥ = [ a ]<br />
Perh<strong>at</strong>ikan contoh-contoh berikut ini.<br />
⎡a11<br />
a21<br />
L am1<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
T ⎢<br />
a12<br />
a22<br />
L am2<br />
A =<br />
⎥ = [ apq<br />
]<br />
(17.9)<br />
⎢ L L L L ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
a1n<br />
a2n<br />
L amn<br />
⎥⎦<br />
218 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan<br />
menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan<br />
menjadi vektor baris.<br />
⎡2⎤<br />
T ⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
a = [ 2 4 3]<br />
⇒ a = 4 ; b = 4 ⇒ b<br />
T = [ 5 4 3]<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
⎡5⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris<br />
sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor.<br />
Jika a = [ 2 4 3] dan b = [ 1 3 2]<br />
maka a + b = [ 3 7 5]<br />
⎡3⎤<br />
⎡2⎤<br />
⎡1⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .<br />
⎢<br />
⎣5⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣2⎥<br />
⎦<br />
T<br />
T T<br />
( a b) = 7 = 4 + 3 = a + b<br />
T T<br />
Secara umum : ( a b) = a + b<br />
T<br />
+ (17.10)<br />
• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kali<br />
vektor baris dengan vektor kolom <strong>at</strong>au vektor kolom dengan vektor<br />
baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan<br />
dibalik.<br />
⎡1⎤<br />
⎢ ⎥<br />
Jika a = [ 2 4 3]<br />
dan b = 3 maka ab = [ 2 × 1+<br />
4 × 3 + 3×<br />
2]<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣2⎥<br />
⎦<br />
⎡2⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
T<br />
T T<br />
⇒ ab = [ 2 × 1+<br />
4×<br />
3 + 3×<br />
2] = [ 1 3 2] 4 = b a<br />
⎡2⎤<br />
a<br />
⎢ ⎥<br />
maka<br />
⎢<br />
⎣3⎥<br />
⎦<br />
⎢ ⎥<br />
Jika = 4 dan b = [ 1 3 2]<br />
⎡2<br />
× 1<br />
⎢<br />
ab =<br />
⎢<br />
4 × 1<br />
⎢<br />
⎣3×<br />
1<br />
2 × 3<br />
4 × 3<br />
3×<br />
3<br />
2 × 2⎤<br />
⎥<br />
4 × 2<br />
⎥<br />
3×<br />
2⎥<br />
⎦<br />
T<br />
⎡2<br />
× 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣2<br />
× 2<br />
4×<br />
1<br />
3×<br />
1⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
3×<br />
2⎥<br />
⎦<br />
⎡1⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎣2⎥<br />
⎦<br />
T T<br />
⇒ ( ab ) = 2 × 3 4 × 3 3×<br />
3 = 3 [ 2 4 3] = b a<br />
4×<br />
2<br />
219
T T<br />
Secara umum : ( ) b a<br />
T<br />
ab = (17.11)<br />
• Putaran m<strong>at</strong>riks persegi panjang.<br />
⎡2<br />
1⎤<br />
⎡2<br />
4 3⎤<br />
T ⎢ ⎥<br />
Jika A = ⎢ ⎥ maka A =<br />
⎣1<br />
3 2<br />
⎢<br />
4 3<br />
⎥<br />
⎦ ⎢<br />
⎣3<br />
2⎥<br />
⎦<br />
Jika m<strong>at</strong>riks A diny<strong>at</strong>akan sebagai susunan dsri vektor baris<br />
⎡ a1<br />
⎤<br />
⎢ ⎥<br />
T T T<br />
A =<br />
⎢<br />
L<br />
⎥ maka putarannya adalah A = [ a1<br />
L a m ]. Di sini<br />
⎢<br />
⎣a m ⎥<br />
⎦<br />
terlih<strong>at</strong> jelas bagaimana baris-baris di A menjadi kolom-kolom di<br />
A T . Sebaliknya, jika m<strong>at</strong>riks A diny<strong>at</strong>akan dengan vektor kolom<br />
A = [ a1<br />
a2<br />
L a m ] maka putarannya akan berbentuk m<strong>at</strong>riks<br />
dengan anak-anak m<strong>at</strong>riks berupa vektor baris.<br />
• Putaran jumlah m<strong>at</strong>riks. Putaran jumlah dua m<strong>at</strong>riks sama dengan<br />
jumlah putaran masing-masing m<strong>at</strong>riks. Hal ini telah kita lih<strong>at</strong> pada<br />
putaran jumlah vektor baris.<br />
T T T<br />
( A B) = A + B<br />
+ (17.12)<br />
Jika A = [ a L ] dan B = [ b L ]<br />
1<br />
a m<br />
1<br />
b m<br />
maka A + B = [ a + b L + ]<br />
Dengan demikian<br />
( + B)<br />
( a + b )<br />
1 1 a m b m .<br />
⎡ T ⎤ ⎡ T T T T<br />
1 1 a1<br />
+ b ⎤ ⎡<br />
1 a ⎤ ⎡<br />
1 b ⎤<br />
1<br />
T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T T<br />
A = ⎢ L ⎥ = ⎢ L ⎥ = ⎢L⎥<br />
+ ⎢L<br />
⎥ = A + B<br />
⎢<br />
T T T T T<br />
( a b )<br />
⎥ ⎢<br />
a b<br />
⎥ ⎢<br />
a<br />
⎥ ⎢<br />
b<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
+<br />
⎣ m + m ⎦ ⎣ m m ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
m ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
m ⎥⎦<br />
• Putaran hasil kali m<strong>at</strong>riks. Putaran hasilkali dua m<strong>at</strong>riks sama<br />
dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang<br />
dibalik. Hal ini telah kita lih<strong>at</strong> pada putaran hasil kali vektor baris<br />
dan vektor kolom.<br />
T T T<br />
( ) B A<br />
AB = (17.13)<br />
220 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Jika<br />
⎡ a1<br />
⎤<br />
⎢ ⎥<br />
A =<br />
⎢<br />
L<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣a m ⎥<br />
⎦<br />
dan B [ b L ]<br />
= maka<br />
⎡ a 1 • b 1 L a 1 • bn<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
AB =<br />
⎢<br />
L L L<br />
⎥ . Dengan demikian maka<br />
⎢<br />
⎣am<br />
• bn<br />
L am<br />
• bn⎥<br />
⎦<br />
⎡ a1<br />
• b1<br />
L a1<br />
• bn<br />
⎤ ⎡b1<br />
⎤<br />
T ⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
AB =<br />
⎢<br />
L L L<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
L<br />
⎥ 1 m =<br />
⎢<br />
⎣am<br />
• bn<br />
L am<br />
• bn⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣bn<br />
⎥<br />
⎦<br />
1<br />
b n<br />
T T<br />
[ a L a ] B A<br />
• M<strong>at</strong>riks simetris. Berkaitan dengan putaran m<strong>at</strong>riks, kita mengenal<br />
kesimetrisan pada m<strong>at</strong>riks ny<strong>at</strong>a. M<strong>at</strong>riks simetris adalah m<strong>at</strong>riks<br />
yang putarannya sama dengan m<strong>at</strong>riksnya sendiri. Jadi m<strong>at</strong>riks A<br />
dik<strong>at</strong>akan simetris apabila A = A<br />
T<br />
T .<br />
Jika B = −B<br />
dik<strong>at</strong>akan bahwa m<strong>at</strong>riks B adalah simetris miring.<br />
Karena dalam putaran m<strong>at</strong>riks elemen-elemen diagonal utama tidak<br />
berubah nilai, maka m<strong>at</strong>riks simetris miring dap<strong>at</strong> terjadi jika<br />
elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.<br />
17.3. Sistem Persamaan Linier<br />
Su<strong>at</strong>u sistem persamaan linier (<strong>at</strong>au himpunan persaman linier simultan)<br />
adalah s<strong>at</strong>u set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.<br />
Bentuk umum sistem persamaan linier ini adalah<br />
a11x1<br />
+ L+<br />
a1n<br />
xn<br />
= b1<br />
a21x1<br />
+ L + a2nxn<br />
= b2<br />
. . . . . . . . . . .<br />
am1x1<br />
+ L+<br />
amnxn<br />
= bm<br />
(17.14)<br />
Sistem (17.14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak<br />
diketahui yaitu x 1 ….x n . Bilangan a 11 …..a mn disebut koefisien dari sistem<br />
itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.<br />
Bilangan-bilangan b 1 ….b m juga merupakan bilangan-bilangan yang<br />
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b<br />
bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan<br />
homogen.<br />
221
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu s<strong>at</strong>u set nilai<br />
dari x 1 , …x n yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini<br />
homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x 1 = 0,<br />
…., x n = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem<br />
persamaan ini adalah sebagai berikut.<br />
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?<br />
b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?<br />
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari s<strong>at</strong>u solusi, bagaimanakah<br />
himpunan solusi tersebut?<br />
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tep<strong>at</strong> mempunyai s<strong>at</strong>u<br />
solusi?<br />
Memperh<strong>at</strong>ikan sistem persamaan (17.14) kita dap<strong>at</strong> melakukan operasioperasi<br />
yang kita sebut operasi baris sebagai berikut.<br />
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dap<strong>at</strong> dikalikan<br />
dengan faktor bukan nol yang sama tanpa mempengaruhi<br />
himpunan sistem persamaan tersebut.<br />
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dap<strong>at</strong> dijumlahkan ke ruas kiri<br />
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan.<br />
Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan<br />
tersebut.<br />
c). Mempertukarkan temp<strong>at</strong> (urutan) persamaan tidaklah<br />
mengganggu himpunan sistem persamaan.<br />
Sistem persamaan (17.14) dap<strong>at</strong> kita tuliskan dalam bentuk m<strong>at</strong>riks<br />
dengan memanfa<strong>at</strong>kan pengertian perkalian m<strong>at</strong>riks. Bentuk itu adalah<br />
⎡a11<br />
⎢<br />
⎢<br />
a21<br />
⎢ L<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
a12<br />
a22<br />
L<br />
a<br />
m2<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
a1n<br />
⎤ ⎡ x1<br />
⎤ ⎡ b1<br />
⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
a2n<br />
⎥ ⎢<br />
x2⎥<br />
= ⎢<br />
b2<br />
⎥<br />
L ⎥ ⎢L⎥<br />
⎢L⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
amn<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
xn<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
bm<br />
⎥⎦<br />
(17.15)<br />
<strong>at</strong>au secara singk<strong>at</strong><br />
dengan<br />
Ax = b<br />
(17.16)<br />
⎡ a11<br />
a12<br />
L a1n<br />
⎤ ⎡ x1<br />
⎤ ⎡ b1<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢<br />
a21<br />
a22<br />
L a2n<br />
⎥ = ⎢<br />
x2<br />
⎥ = ⎢<br />
b2<br />
A =<br />
; x ; b ⎥ (17.17)<br />
⎢ L L L L ⎥ ⎢L⎥<br />
⎢L⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
am2<br />
L amn<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
xn⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
bm<br />
⎥⎦<br />
222 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Dari (17.17) kita dap<strong>at</strong> membangun su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks baru yang kita sebut<br />
m<strong>at</strong>riks gandengan, yaitu dengan menggandengkan m<strong>at</strong>riks A dengan b<br />
menjadi<br />
⎡ a11<br />
a12<br />
L a1n<br />
| b1<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
~<br />
= ⎢<br />
a21<br />
a22<br />
L a2n<br />
| b2<br />
A ⎥<br />
(17.18)<br />
⎢ L L L L | L⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
am2<br />
L amn<br />
| bm<br />
⎥⎦<br />
M<strong>at</strong>riks gandengan ini meny<strong>at</strong>akan sistem persamaan linier (17.14)<br />
secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan (17.14)<br />
kita terjemahkan ke dalam m<strong>at</strong>riks gandengan (17.18) menjadi sebagai<br />
berikut.<br />
a). Setiap elemen dari baris yang sama (17.18) dap<strong>at</strong> dikalikan<br />
dengan faktor bukan nol yang sama.<br />
b). S<strong>at</strong>u baris dari (17.18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.<br />
c). Temp<strong>at</strong> baris (urutan baris) dap<strong>at</strong> dipertukarkan.<br />
Setiap operasi baris akan menghasilkan m<strong>at</strong>riks gandengan baru. M<strong>at</strong>riks<br />
gandengan baru ini kita sebut sebagai setara baris dengan m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan yang lama. Operasi baris dap<strong>at</strong> kita lakukan lagi pada m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan baru dan menghasilkan m<strong>at</strong>riks gandengan yang lebih baru<br />
lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan m<strong>at</strong>riks gandengan<br />
yang lama. Dengan singk<strong>at</strong> kita k<strong>at</strong>akan bahwa operasi baris<br />
menghasilkan m<strong>at</strong>riks gandengan yang setara baris dengan m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa m<strong>at</strong>riks gandengan baru<br />
meny<strong>at</strong>akan sistem persamaan linier yang sama dengan m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan asalnya.<br />
Eliminasi Gauss<br />
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistem<strong>at</strong>is untuk<br />
memecahkan sistem persamaan linier. Karena m<strong>at</strong>riks gandengan<br />
merupakan perny<strong>at</strong>aan lengkap dari su<strong>at</strong>u sistem persamaan linier, maka<br />
eliminasi Gauss cukup dilakukan pada m<strong>at</strong>riks gandengan ini.<br />
Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lih<strong>at</strong> melalui<br />
contoh berikut ini.<br />
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.<br />
223
x A − xB<br />
= 8<br />
− x A + 4xB<br />
− 2xC<br />
= 0<br />
(17.19)<br />
x A − 3xB<br />
+ 5xC<br />
− 2xD<br />
= 8<br />
− x A + 4xB<br />
− 3xC<br />
+ 2xD<br />
= 0<br />
Sistem persamaan ini dap<strong>at</strong> kita tuliskan dalam bentuk m<strong>at</strong>riks sebagai<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣−1<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
4<br />
0<br />
− 2<br />
5<br />
− 3<br />
0 ⎤ ⎡x<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
x<br />
− 2⎥<br />
⎢x<br />
⎥ ⎢<br />
2<br />
⎦<br />
⎣x<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
⎤ ⎡8⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
= ⎥<br />
⎥ ⎢8⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎦<br />
⎣0<br />
⎦<br />
dengan m<strong>at</strong>riks gandeng<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣−1<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
4<br />
0<br />
− 2<br />
5<br />
− 3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
8⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil<br />
baris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama barisbaris<br />
berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan<br />
baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3<br />
dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
− 2<br />
3<br />
0<br />
− 2<br />
5<br />
− 3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
8<br />
⎦<br />
pivot<br />
+ baris1<br />
− baris1<br />
+ baris1<br />
Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari m<strong>at</strong>riks<br />
gandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua<br />
baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-<br />
2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan<br />
mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah<br />
224 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
⇒<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
− 2<br />
5 − 4 /3<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
− 6<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
16/3⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
16⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
× 3<br />
pivot<br />
+ 2/3 baris 2<br />
− baris 2<br />
Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot<br />
dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dap<strong>at</strong> kita lakukan<br />
dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan<br />
kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 6<br />
16<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
16⎥<br />
⎥<br />
16<br />
⎦<br />
pivot<br />
× 11+<br />
baris 3<br />
(17.20)<br />
M<strong>at</strong>riks gandeng terakhir ini meny<strong>at</strong>akan persamaan linier:<br />
xA<br />
− xB<br />
= 8<br />
3xB<br />
− 2xC<br />
= 8<br />
11xC<br />
− 6xD<br />
= 16<br />
16xD<br />
= 16<br />
yang dengan substitusi mundur akan memberikan:<br />
x D = 1 ; xC<br />
= 2 ; xB<br />
= 4 ; xA<br />
= 12 .<br />
Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan<br />
Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan<br />
eliminasi Gauss di <strong>at</strong>as kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang<br />
memberikan tep<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u solusi. Sistem tertentu terjadi jika banyaknya<br />
unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya persamaan dan<br />
persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya<br />
persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka<br />
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu<br />
225
memberikan tidak hanya s<strong>at</strong>u solusi akan tetapi banyak solusi. Jika<br />
banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak<br />
diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang<br />
tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu<br />
dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak<br />
memberikan solusi. Berikut ini akan kita lih<strong>at</strong> contoh sistem yang<br />
memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi<br />
• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lih<strong>at</strong><br />
persamaan berikut.<br />
x<br />
A<br />
− x<br />
− x<br />
A<br />
− 3x<br />
+ 4x<br />
B<br />
B<br />
= 8<br />
B<br />
+ 2x<br />
− 2x<br />
C<br />
C<br />
= −8<br />
= 0<br />
M<strong>at</strong>riks gandeng dari sistem ini adalah<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
− 8⎥<br />
⎦<br />
(17.21)<br />
Eliminasi Gauss dari m<strong>at</strong>riks gandeng ini kita lakukan seperti pada<br />
contoh di <strong>at</strong>as, yang akan menghasilkan<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
− 3<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤ ⎡1<br />
⎥ ⎢<br />
8<br />
⎥ ⇒ ⎢<br />
0<br />
− 8⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎦<br />
M<strong>at</strong>riks gandengan ini meny<strong>at</strong>akan sistem persamaan :<br />
x<br />
A<br />
3x<br />
− x<br />
B<br />
0 = 0<br />
B<br />
− 2x<br />
= 8<br />
C<br />
= 8<br />
(17.22)<br />
(17.23)<br />
Dari persamaan ke-2 kita mendap<strong>at</strong>kan x b = ( 8 + 2xc<br />
)/ 3 yang<br />
kemudian memberikan x a = 8 + (8 + 2xc<br />
) / 3 . Karena x c tetap<br />
sembarang maka kita mendap<strong>at</strong>kan banyak solusi. Kita hanya akan<br />
memperoleh nilai x a dan x b jika kita menentukan nilai x c lebih dulu.<br />
• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem<br />
persamaan berikut.<br />
226 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
x<br />
A<br />
− x<br />
− x<br />
A<br />
− 3x<br />
+ 4x<br />
B<br />
B<br />
= 8<br />
B<br />
+ 2x<br />
− 2x<br />
C<br />
C<br />
= −10<br />
= 0<br />
M<strong>at</strong>riks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan<br />
(17.24)<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
−10⎥<br />
⎦<br />
⇒<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
− 3<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
−10⎥<br />
⎦<br />
⇒<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
− 2⎥<br />
⎦<br />
Sistem persamaan dari m<strong>at</strong>riks gandeng terakhir ini adalah<br />
x<br />
A<br />
3x<br />
− x<br />
B<br />
B<br />
− 2x<br />
0 = −2<br />
= 8<br />
C<br />
= 8<br />
(17.25)<br />
(17.26)<br />
Kita lih<strong>at</strong> di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya<br />
menghasilkan su<strong>at</strong>u kontradiksi yang dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> pada baris<br />
terakhir (17.26).. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan<br />
yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.<br />
Bentuk m<strong>at</strong>riks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti m<strong>at</strong>riks<br />
pada (17.20), (17.22) dan (17.25) disebut bentuk eselon. Dari (17.25)<br />
misalnya, bentuk eselon m<strong>at</strong>riks koefisien dan m<strong>at</strong>riks gandengannya<br />
adalah<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
− 2<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎦<br />
dan<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
− 2⎥<br />
⎦<br />
Secara umum bentuk eselon m<strong>at</strong>riks gandengan adalah<br />
227
⎡a11<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
a12<br />
c22<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
krr<br />
L<br />
L<br />
L<br />
a1n<br />
c2n<br />
M<br />
krn<br />
0<br />
M<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
b1<br />
⎤<br />
⎥<br />
b2′<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
br′<br />
⎥<br />
b′<br />
⎥<br />
r+<br />
1⎥<br />
⎥<br />
b<br />
⎥<br />
m ⎦<br />
(17.27)<br />
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan<br />
berbentuk<br />
a x + a<br />
11 1<br />
c<br />
12<br />
22<br />
x + LLLL + a<br />
2<br />
x + LLLL + a<br />
2<br />
k<br />
rr<br />
x + L+<br />
k<br />
r<br />
1n<br />
n<br />
2n<br />
n<br />
M<br />
x<br />
x<br />
x<br />
= b<br />
= b′<br />
= b′<br />
rn n r<br />
0 = br′<br />
+ 1<br />
M<br />
0 = b′<br />
dengan a ≠ , a ≠ 0 , k 0 , dan r ≤ n. Perh<strong>at</strong>ikan (17.28) ini.<br />
11 0 22 rr ≠<br />
1<br />
m<br />
2<br />
(17.28)<br />
a). Jika r = n dan b r′ + 1,<br />
K,<br />
bm′<br />
sama dengan nol <strong>at</strong>au tidak ada, maka<br />
sistem persamaan ini akan memberikan tep<strong>at</strong> s<strong>at</strong>u solusi.<br />
b). Jika r < n dan b r′ + 1,<br />
K,<br />
bm′<br />
sama dengan nol <strong>at</strong>au tidak ada, maka<br />
sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.<br />
c). Jika r = n <strong>at</strong>aupun r < n dan b r′ + 1,<br />
K,<br />
bm′<br />
tidak sama dengan nol<br />
<strong>at</strong>au mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak<br />
memberikan solusi.<br />
Jadi su<strong>at</strong>u sistem persamaan akan memberikan solusi jika<br />
b r′ + 1,<br />
K,<br />
b m ′ sama dengan nol <strong>at</strong>au tidak ada. Pada su<strong>at</strong>u sistem persamaan<br />
yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n ; jika<br />
r < n akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan pada (17.27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang<br />
bebas linier dalam m<strong>at</strong>riks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier<br />
vektor-vektor kita bahas berikut ini.<br />
228 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor<br />
Misalkan a 1 , a2<br />
, L am<br />
adalah vektor-vektor baris dari su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks A<br />
=[a bk ]. Kita tinjau su<strong>at</strong>u persamaan vektor<br />
c1 a1<br />
+ c2a2<br />
+ L + c m am<br />
= 0<br />
(17.29)<br />
Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c 1 …<br />
c m ) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier.<br />
Jika persamaan vektor tersebut dap<strong>at</strong> dipenuhi dengan koefisien yang<br />
tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada s<strong>at</strong>u koefisien<br />
yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.<br />
Jika s<strong>at</strong>u himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,<br />
maka tak s<strong>at</strong>upun dari vektor-vektor itu dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dalam<br />
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dap<strong>at</strong> dimengerti karena<br />
dalam persamaan (17.29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektorvektor<br />
tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (17.29)<br />
(<strong>at</strong>au setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka s<strong>at</strong>u vektor<br />
dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain;<br />
misalnya vektor a 1 dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai<br />
c2<br />
c<br />
a1 = − a2<br />
−L −<br />
m<br />
am<br />
= 0<br />
(17.30)<br />
c1<br />
c1<br />
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol<br />
Kita ambil contoh dua vektor baris<br />
a [ 2 3 1 2]<br />
dan a [ 4 2 6 2]<br />
1 =<br />
Vektor a 1 dan a 2 adalah bebas linier karena<br />
2 =<br />
[ 3 1 2] + [ 4 2 6 2] 0<br />
c1 a 1 + c2a2<br />
= c1<br />
2 c2<br />
=<br />
hanya akan terjadi jika c = c 0<br />
Ambil vektor ketiga a [ 4 6 2 4]<br />
1 2 =<br />
3 =<br />
. Vektor a 3 dan a 1 tidak bebas<br />
linier karena kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan a 3 sebagai<br />
a 3 = 2a<br />
1 = 2[ 2 3 1 2] = [ 4 6 2 4]<br />
. Vektor a 1 , a 2 dan a 3 juga tidak<br />
bebas linier karena kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan a 3 sebagai<br />
[ 2 3 1 2] + 0 [ 4 2 6 2] [ 4 6 2 4]<br />
a 3 = 2a1<br />
+ 0a2<br />
= 2<br />
=<br />
Akan tetapi jika kita hanya melih<strong>at</strong> a 3 dan a 2 saja, mereka adalah bebas<br />
linier.<br />
229
Kita lih<strong>at</strong> vektor lain yaitu a [ 6 7 5 5]<br />
4 =<br />
. Vektor a 4 , a 1 dan a 2 tidak<br />
bebas linier karena kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan a 4 sebagai<br />
[ 2 3 1 2] + 0.5 [ 4 2 6 2] [ 6 7 5 5]<br />
a 4 = 2a1<br />
+ 0.5a<br />
2 = 2<br />
=<br />
Rank m<strong>at</strong>riks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier,<br />
didefinisikan rank m<strong>at</strong>riks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier<br />
dalam su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks A = [a bk ] disebut rank m<strong>at</strong>riks A disingk<strong>at</strong> rank A.<br />
Rank m<strong>at</strong>riks B = 0 adalah nol.<br />
Bagaimanakah menentukan rank su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks? Kita mengetahui bahwa<br />
operasi baris menghasilkan m<strong>at</strong>riks yang setara baris dengan m<strong>at</strong>riks<br />
asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank m<strong>at</strong>riks baru sama dengan rank<br />
m<strong>at</strong>riks asalnya. Dengan perk<strong>at</strong>aan lain operasi baris tidak mengubah<br />
rank m<strong>at</strong>riks. Jadi rank su<strong>at</strong>u m<strong>at</strong>riks dap<strong>at</strong> diperoleh melalui operasi<br />
baris, yaitu sama dengan rank m<strong>at</strong>riks yang dihasilkan pada langkah<br />
terakhir eliminasi Gauss.<br />
Bentuk eselon m<strong>at</strong>riks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi<br />
Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor<br />
yang tak bebas linier telah tereliminasi. Kita ambil contoh m<strong>at</strong>riks pada<br />
(17.20), (17.22) dan (17.25).<br />
• Bentuk eselon m<strong>at</strong>riks koefisien dan m<strong>at</strong>riks gandengannya dari<br />
(17.20), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan solusi<br />
tunggal, adalah<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
− 6⎥<br />
⎥<br />
16<br />
⎦<br />
dan<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 6<br />
16<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
16⎥<br />
⎥<br />
16<br />
⎦<br />
Dalam kasus ini rank m<strong>at</strong>riks koefisien sama dengan rank m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank m<strong>at</strong>riks sama dengan<br />
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4<br />
• Bentuk eselon m<strong>at</strong>riks koefisien dan m<strong>at</strong>riks gandengannya dari<br />
(17.22), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan banyak<br />
solusi, adalah<br />
230 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
− 2<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎦<br />
dan<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
Dalam kasus ini rank m<strong>at</strong>riks koefisien sama dengan rank m<strong>at</strong>riks<br />
gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank m<strong>at</strong>riks ini lebih kecil dari<br />
banyaknya unsur yang tak diketahui.<br />
• Bentuk eselon m<strong>at</strong>riks koefisien dan m<strong>at</strong>riks gandengannya dari<br />
(17.25), yaitu dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi,<br />
adalah<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0 ⎤<br />
⎥<br />
− 2<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
⎦<br />
dan<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
8⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎦<br />
8 ⎤<br />
⎥<br />
8<br />
⎥<br />
− 2⎥<br />
⎦<br />
Dalam kasus ini rank m<strong>at</strong>riks koefisien tidak sama dengan rank<br />
m<strong>at</strong>riks gandengan. Rank m<strong>at</strong>riks koefisien adalah 2 sedangkan rank<br />
m<strong>at</strong>riks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua<br />
m<strong>at</strong>riks ini menunjukkan tidak adanya solusi.<br />
Apa yang kita am<strong>at</strong>i dalam contoh-contoh di <strong>at</strong>as terny<strong>at</strong>a berlaku umum.<br />
Kita melih<strong>at</strong> bahwa<br />
(a) agar su<strong>at</strong>u sistem persamaan memberikan solusi maka rank<br />
m<strong>at</strong>riks koefisien harus sama dengan rank m<strong>at</strong>riks<br />
gandengannya;<br />
(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank<br />
m<strong>at</strong>riks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak<br />
diketahui;<br />
(c) jika rank m<strong>at</strong>riks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur<br />
yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.<br />
Sistem Persamaan Homogen<br />
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari<br />
sistem seperti (17.14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu<br />
disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk<br />
231
a11x1<br />
+ a12<br />
x2<br />
+ L + a1n<br />
xn<br />
= 0<br />
a21x1<br />
+ a22x2<br />
+ L + a2nxn<br />
= 0<br />
. . . . . . . . . . .<br />
am1x1<br />
+ am2x2<br />
+ L+<br />
amnxn<br />
= 0<br />
Bentuk m<strong>at</strong>riks gandengan sistem ini adalah<br />
(17.31)<br />
⎡ a11<br />
a12<br />
L a1n<br />
| 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
~<br />
= ⎢<br />
a21<br />
a22<br />
L a2n<br />
| 0<br />
A ⎥<br />
(17.32)<br />
⎢ L L L L | L⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
am1<br />
am2<br />
L amn<br />
| 0 ⎥⎦<br />
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan<br />
⎡a11<br />
′ a12<br />
′ L a1′<br />
n | 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
~ ⎢<br />
0 a′<br />
22 L a′<br />
2n<br />
| 0<br />
A ′ =<br />
⎥<br />
(17.33)<br />
⎢L<br />
L L L | L⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
0 0 0 amn<br />
′ | 0 ⎥⎦<br />
Jika rank m<strong>at</strong>riks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur<br />
yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk<br />
a11<br />
′ x1<br />
+ a12<br />
′ x2<br />
+ L+<br />
a1′<br />
nxn<br />
= 0<br />
a22<br />
′ x2<br />
+ L+<br />
a′<br />
2nxn<br />
= 0<br />
M<br />
amn<br />
′ xn<br />
= 0<br />
(17.34)<br />
Dari (17.34) terlih<strong>at</strong> bahwa xn<br />
= 0 dan substitusi mundur akhirnya<br />
memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi<br />
trivial ini diakib<strong>at</strong>kan oleh keny<strong>at</strong>aan bahwa r = n. Solusi tak trivial<br />
hanya akan diperoleh jika r < n . Kita akan melih<strong>at</strong> beberapa contoh.<br />
• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial<br />
xA<br />
− xB<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 4xB<br />
− 2xC<br />
= 0<br />
xA<br />
− 3xB<br />
+ 5xC<br />
− 2xD<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 4xB<br />
− 3xC<br />
+ 2xD<br />
= 0<br />
(17.35)<br />
M<strong>at</strong>riks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah<br />
232 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣−1<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
4<br />
0<br />
− 2<br />
5<br />
− 3<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
2<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
eliminasi Gauss<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 6<br />
Rank m<strong>at</strong>rik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui<br />
juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi<br />
xA<br />
− xB<br />
= 0<br />
3xB<br />
− 2xC<br />
= 0<br />
11xC<br />
− 6xD<br />
= 0<br />
16xD<br />
= 0<br />
⇒ yang akhirnya memberikan<br />
16<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
x D = xC<br />
= xB<br />
= xA<br />
= 0<br />
(17.36)<br />
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan<br />
r = n .<br />
• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial<br />
xA<br />
− xB<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 4xB<br />
− 2xC<br />
= 0<br />
xA<br />
− 3xB<br />
+ 5xC<br />
− 2xD<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 4xB<br />
−13xC<br />
+ 6xD<br />
= 0<br />
M<strong>at</strong>riks gandengan dan hasil eliminasinya adalah<br />
(17.37)<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣−1<br />
−1<br />
4<br />
− 3<br />
4<br />
0<br />
− 2<br />
5<br />
−13<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
6<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
eliminasi Gauss<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 2<br />
11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 6<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
dan sistem persamaan menjadi<br />
x − x = 0<br />
A<br />
3x<br />
B<br />
11x<br />
0 = 0<br />
− 2x<br />
C<br />
B<br />
C<br />
− 6x<br />
D<br />
= 0<br />
= 0<br />
(17.38)<br />
233
Jika kita mengambil nilai x = 1 maka akan diperoleh<br />
6 12 12<br />
x C = ; xB<br />
= ; xA<br />
= . Solusi ini membentuk vektor solusi<br />
11 33 33<br />
⎡12<br />
/ 33⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
12/33<br />
x ⎥<br />
1 = yang jika digandaawalkan dengan m<strong>at</strong>riks koefisiennya<br />
⎢ 6/11 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 1<br />
⎦<br />
akan menghasilkan vektor nol b = 0.<br />
D<br />
⎡1<br />
−1<br />
0 0 ⎤ ⎡12/33⎤<br />
⎡0⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢<br />
0 3 − 2 0<br />
⎥ ⎢<br />
12/33<br />
⎥ = ⎢<br />
0<br />
Ax ⎥<br />
1 =<br />
(17.39)<br />
⎢0<br />
0 11 − 6⎥<br />
⎢ 6/11 ⎥ ⎢0⎥<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣0<br />
0 0 0<br />
⎦<br />
⎣ 1<br />
⎦<br />
⎣0<br />
⎦<br />
Jika kita menetapkan nilai x D yang lain, misalnya x = 33 akan<br />
⎡12⎤<br />
⎢ ⎥<br />
12<br />
diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu x 2 = ⎢ ⎥ = 33x1<br />
, yang jika<br />
⎢18⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣33<br />
⎦<br />
digandaawalkan dengan m<strong>at</strong>riks koefisiennya juga menghasilkan<br />
vektor nol.. Vektor solusi x 2 ini merupakan perkalian solusi<br />
sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang<br />
sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi<br />
berbentuk<br />
xc = cx 1<br />
(17.40)<br />
dengan c adalah skalar sembarang.<br />
Vektor solusi yang lain lagi dap<strong>at</strong> kita peroleh dengan<br />
menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x 1 dan x 2 .<br />
⎡12/33⎤<br />
⎡12⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
12/33 12<br />
x 3 = x1<br />
+ x2<br />
= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = x1<br />
+ 33x1<br />
= 34x1<br />
(17.41)<br />
⎢ 6/11 ⎥ ⎢18⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎣ 1<br />
⎦<br />
⎣33<br />
⎦<br />
Jelas bahwa x 3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan<br />
akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi<br />
D<br />
234 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
dap<strong>at</strong> juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita<br />
ny<strong>at</strong>akan sebagai<br />
x ∑x<br />
(17.42)<br />
j = c<br />
Contoh di <strong>at</strong>as memperlih<strong>at</strong>kan bahwa solusi dari sistem persamaan<br />
homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dap<strong>at</strong> diperoleh<br />
melalui perkalian salah s<strong>at</strong>u vektor solusi dengan skalar (17.40) dan<br />
penjumlahan vektor-vektor solusi (17.42). Kita k<strong>at</strong>akan bahwa solusi<br />
dari sistem persamaan homogen membentuk su<strong>at</strong>u ruang vektor.<br />
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang<br />
vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi s<strong>at</strong>u. Perh<strong>at</strong>ikan bahwa<br />
setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x 1<br />
walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana terlih<strong>at</strong><br />
pada (17.41).<br />
Jika kita perh<strong>at</strong>ikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh<br />
vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya<br />
unsur yang tak diketahui dengan rank m<strong>at</strong>riks koefisien. Dalam<br />
kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak<br />
diketahui adalah 3 sedangkan rank m<strong>at</strong>riks koefisien adalah 2. Kita<br />
akan melih<strong>at</strong> kasus yang lain.<br />
• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lih<strong>at</strong><br />
sistem berikut.<br />
xA<br />
− xB<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 4xB<br />
− 5xC<br />
+ 2xD<br />
= 0<br />
xA<br />
− 4xB<br />
+ 5xC<br />
− 2xD<br />
= 0<br />
− xA<br />
+ 7xB<br />
−10xC<br />
+ 4xD<br />
= 0<br />
M<strong>at</strong>riks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah<br />
(17.43)<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢ 1<br />
⎢<br />
⎣−1<br />
−1<br />
4<br />
− 4<br />
7<br />
0<br />
− 5<br />
5<br />
−10<br />
0<br />
2<br />
− 2<br />
4<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
eliminasi Gauss<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
0<br />
− 5<br />
Rank m<strong>at</strong>riks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui<br />
4. Sistem persamaan menjadi<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
|<br />
|<br />
|<br />
|<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎥<br />
0<br />
⎦<br />
235
x<br />
A<br />
3x<br />
− x<br />
B<br />
0 = 0<br />
0 = 0<br />
B<br />
− 5x<br />
= 0<br />
C<br />
+ 2x<br />
D<br />
= 0<br />
(17.44)<br />
Jika kita memberi nilai x C = 1 dan xD<br />
= 0 , kita akan mendap<strong>at</strong>kan<br />
x 5 /3 ; x = 5/3 .<br />
B = A<br />
⎡5/3⎤<br />
⎢ ⎥<br />
Vektor ⎢<br />
5/3<br />
x ⎥<br />
1 = adalah salah s<strong>at</strong>u vektor solusi; jika kita gandaawalkan<br />
⎢ 1 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 0<br />
⎦<br />
m<strong>at</strong>riks koe fisien dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor b = 0<br />
Ax 1<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
=<br />
⎢0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
−1<br />
3<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− 5<br />
0<br />
0<br />
0⎤<br />
⎡5/3⎤<br />
⎡ 5/3 − 5/3 ⎤ ⎡0⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
5/3<br />
⎥ ⎢<br />
0 + 5 − 5 + 0<br />
=<br />
⎥ = ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
0⎥<br />
⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
0<br />
⎦<br />
⎣ 0<br />
⎦<br />
⎣ 0<br />
⎦<br />
⎣0<br />
⎦<br />
Jika Ax 1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan<br />
A k 1x1<br />
= 0 , A k 2x1<br />
= 0 , dan Ak 1 x1<br />
+ Ak2x1<br />
= A( k1<br />
+ k2)<br />
x1<br />
= Ac1x<br />
1 = 0 .<br />
Dengan k<strong>at</strong>a lain, jika x 1 adalah vektor solusi, maka<br />
k 1x1<br />
, k2x1<br />
, ( k1x1<br />
+ k2x1)<br />
adalah juga vektor-vektor solusi dan<br />
sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi<br />
nilai x 1 dan x = 0 .<br />
C = D<br />
Jika x 0 dan x = 1 akan kita peroleh x = −2/ 3 dan x = −2/ 3<br />
C = D<br />
⎡ −2 /3⎤<br />
⎢ ⎥<br />
yang membentuk vektor solusi ⎢<br />
− 2 /3<br />
x ⎥<br />
2 = . Dengan skalar l<br />
⎢ 0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 1<br />
⎦<br />
sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain<br />
seperti l x l x , ( l x + l ) .<br />
1 2 , 2 2 1 2 2x2<br />
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah<br />
x = k x 1 + lx 2<br />
(17.45)<br />
B<br />
A<br />
236 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor<br />
berdimensi 2.<br />
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang meng<strong>at</strong>akan bahwa<br />
solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui<br />
dan rank m<strong>at</strong>riks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi<br />
(n − r).<br />
Kebalikan m<strong>at</strong>riks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan<br />
Pengertin tentang kebalikan m<strong>at</strong>riks (inversi m<strong>at</strong>riks) er<strong>at</strong> kaitannya<br />
dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian<br />
ini khusus ditujukan untuk m<strong>at</strong>riks bujur sangkar n × n.<br />
Kebalikan m<strong>at</strong>riks A (inversi m<strong>at</strong>riks A) didefinisikan sebagai m<strong>at</strong>riks<br />
yang jika digandaawalkan ke m<strong>at</strong>riks A akan menghasilkan m<strong>at</strong>riks<br />
identitas. Kebalikan m<strong>at</strong>riks A dituliskan sebagai A −1 sehingga definisi<br />
ini memberikan relasi<br />
−1 −1<br />
A = I = AA<br />
A (17.45)<br />
Jika A berukuran n × n maka A −1 juga berukuran n × n dan demikian pula<br />
m<strong>at</strong>riks identitasnya. Tidak semua m<strong>at</strong>riks bujur sangkar memiliki<br />
kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut m<strong>at</strong>riks tak<br />
singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut m<strong>at</strong>riks singular.<br />
Jika A adalah m<strong>at</strong>riks tak singular maka hanya ada s<strong>at</strong>u kebalikan A;<br />
dengan k<strong>at</strong>a lain kebalikan m<strong>at</strong>riks adalah unik <strong>at</strong>au bersif<strong>at</strong> tunggal. Hal<br />
ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya<br />
P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya<br />
mungkin terjadi jika P = Q.<br />
P = IP = ( AQ)<br />
P = QAP = Q(<br />
AP)<br />
= QI = Q<br />
(17.46)<br />
Berbekal pengertian kebalikan m<strong>at</strong>riks, kita akan meninjau persamaan<br />
m<strong>at</strong>riks dari su<strong>at</strong>u sistem persamaan linier tak homogen, yaitu<br />
Ax = b<br />
(17.47)<br />
Jika kita menggandaawalkan kebalikan m<strong>at</strong>riks A ke ruas kiri dan kanan<br />
(17.47), akan kita peroleh<br />
A<br />
−1 −1<br />
−1<br />
Ax = A b → Ix = x = A b<br />
(17.48)<br />
237
Persamaan (17.48) menunjukkan bahwa kita dap<strong>at</strong> memperoleh vektor<br />
solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan m<strong>at</strong>riks koefisien A<br />
ada, <strong>at</strong>au jika m<strong>at</strong>riks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah<br />
bagaimana mengetahui apakah m<strong>at</strong>riks A singular <strong>at</strong>au tak singular dan<br />
bagaimana mencari kebalikan m<strong>at</strong>riks A jika ia tak singular.<br />
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika m<strong>at</strong>riks<br />
koefisien A pada (17.47) adalah m<strong>at</strong>riks bujur sangkar n × n, maka solusi<br />
tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti<br />
bahwa vektor x pada (17.48) dap<strong>at</strong> kita peroleh jika rank A −1 sama<br />
dengan n. Dengan perk<strong>at</strong>aan lain<br />
m<strong>at</strong>riks A yang berukuran n × n tak singular jika<br />
rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A<br />
lebih kecil dari n.<br />
Mencari kebalikan m<strong>at</strong>riks A dap<strong>at</strong> kita lakukan dengan cara eliminasi<br />
Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (17.47). Jika X adalah<br />
kebalikan m<strong>at</strong>riks A maka<br />
AX = I<br />
~<br />
dan kita<br />
lakukan eliminasi Gauss pada A ~ sehingga m<strong>at</strong>riks gandengan ini<br />
U H dengan U berbentuk m<strong>at</strong>riks segitiga <strong>at</strong>as.<br />
Untuk mencari X kita bentuk m<strong>at</strong>riks gandengan A = [ A I]<br />
berubah menjadi [ ]<br />
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ U H]<br />
dengan<br />
mengeliminasi unsur-unsur segitiga <strong>at</strong>as pada U sehingga U berbentuk<br />
m<strong>at</strong>riks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan [ I X]<br />
.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan contoh berikut.<br />
Kita akan mencari kebalikan dari m<strong>at</strong>riks<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
A =<br />
⎢<br />
3<br />
⎢<br />
⎣−<br />
2<br />
Kita bentuk m<strong>at</strong>riks gandengan [ A I]<br />
2<br />
− 2<br />
4<br />
2⎤<br />
⎥<br />
2<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
[ A I]<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
=<br />
⎢<br />
3<br />
⎢<br />
⎣−<br />
2<br />
2<br />
− 2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
238 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Kita lakukan eliminasi Gauss pada m<strong>at</strong>riks gandengan ini<br />
⎡1<br />
2 2 | 1 0 0⎤<br />
pivot<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 − 8 − 4 | − 3 1 0<br />
⎥<br />
− 3×<br />
baris1 ⇒<br />
⎢<br />
⎣0<br />
8 5 | 2 0 1⎥<br />
⎦ + 2 × baris1<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
2 2<br />
− 8 − 4<br />
| 1<br />
| − 3<br />
0 1 | −1<br />
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan<br />
0 0⎤<br />
⎥<br />
1 0<br />
⎥<br />
pivot<br />
1 1⎥<br />
⎦ + baris 2<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1/ 2<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
1<br />
3/8<br />
−1<br />
0 0⎤<br />
⎥<br />
− 1/8 0<br />
⎥<br />
× ( −1/8)<br />
⇒<br />
1 1⎥<br />
⎦<br />
⎡1<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
|<br />
|<br />
|<br />
3<br />
7 /8<br />
−1<br />
− 2<br />
− 5/8<br />
1<br />
− 2 ⎤<br />
⎥<br />
−1/<br />
2<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
− 2 × baris 3<br />
− 0.5×<br />
baris3<br />
⎡1 0 0 | 10/8 − 6/8 −1<br />
⎤ − 2 × baris 2<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
0 1 0 | 7 /8 − 5/8 −1/<br />
2<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0 1 | −1<br />
1 1 ⎥<br />
⎦<br />
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan m<strong>at</strong>riks A, yaitu :<br />
⎡10/8<br />
−1<br />
⎢<br />
A =<br />
⎢<br />
7 /8<br />
⎢<br />
⎣ −1<br />
− 6/8<br />
− 5/8<br />
1<br />
−1<br />
⎤<br />
⎥<br />
−1/<br />
2<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
Hasil ini dap<strong>at</strong> kita teliti balik dengan menggandaawalkannya dengan<br />
m<strong>at</strong>riks A<br />
⎡10/8<br />
− ⎢<br />
A<br />
1 A =<br />
⎢<br />
7 /8<br />
⎢<br />
⎣ −1<br />
− 6/8<br />
− 5/8<br />
1<br />
⎡10/8<br />
−18/8<br />
+ 2<br />
⎢<br />
=<br />
⎢<br />
7 /8 −15/8<br />
+ 1<br />
⎢<br />
⎣ −1+<br />
3 − 2<br />
−1<br />
⎤ ⎡ 1 2 2⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
−1/<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
3 − 2 2<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣−<br />
2 4 1⎥<br />
⎦<br />
20/8 + 12/8 − 4<br />
14/8 + 10/8 − 2<br />
− 2 − 2 + 4<br />
20/8 −12/8<br />
−1<br />
⎤ ⎡1<br />
⎥ ⎢<br />
14/8 −10/8<br />
−1/<br />
2<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0<br />
− 2 + 2 + 1 ⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎤<br />
⎥<br />
0<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
239
Dengan demikian untuk su<strong>at</strong>u sistem persamaan linier tak homogen yang<br />
persamaan m<strong>at</strong>riksnya<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
⎢<br />
3<br />
⎢<br />
⎣−<br />
2<br />
2<br />
− 2<br />
4<br />
2⎤<br />
⎡ x1<br />
⎤ ⎡8⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
x2⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
1⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣x3<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣0⎥<br />
⎦<br />
vektor solusinya adalah<br />
⎡ x1<br />
⎤ ⎡ 1<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎢<br />
x2⎥<br />
=<br />
⎢<br />
3<br />
⎢<br />
⎣x3<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣−<br />
2<br />
2<br />
− 2<br />
4<br />
−1<br />
2⎤<br />
⎡8⎤<br />
⎡10/8<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
7 /8<br />
1⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣0⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣ −1<br />
− 6 /8<br />
− 5/8<br />
1<br />
−1<br />
⎤ ⎡8⎤<br />
⎡10<br />
⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
−1/<br />
2<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
7<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣0⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣−<br />
8⎥<br />
⎦<br />
Kebalikan m<strong>at</strong>riks diagonal. Kebalikan m<strong>at</strong>riks diagonal dap<strong>at</strong> dengan<br />
mudah kita peroleh.<br />
⎡a11<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
⎣ 0<br />
−1<br />
0 0 ⎤ ⎡1/<br />
a11<br />
0 0 ⎤<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
L 0<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0 L 0<br />
⎥<br />
(17.49)<br />
0 ann ⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣ 0 0 1/ a nn ⎥<br />
⎦<br />
Kebalikan dari kebalikan m<strong>at</strong>riks. Kebalikan dari kebalikan m<strong>at</strong>riks<br />
adalah m<strong>at</strong>riks itu sendiri.<br />
−1<br />
( A ) − 1<br />
= A<br />
(17.50)<br />
Kebalikan dari perkalian m<strong>at</strong>riks. Kebalikan dari perkalian dua m<strong>at</strong>riks<br />
adalah perkalian dari kebalikan masing-masing m<strong>at</strong>riks dengan urutan<br />
dibalik.<br />
AB<br />
− 1 = B<br />
−1<br />
A<br />
−<br />
(17.51)<br />
( )<br />
1<br />
Hal ini dap<strong>at</strong> dibuktikan sebagai berikut<br />
−1<br />
A I = A<br />
A<br />
B<br />
−1<br />
( )<br />
−1<br />
−1<br />
= B AB<br />
− 1 − 1 − 1<br />
A<br />
= B<br />
( AB)( ) −1<br />
I = AB<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
( AB)( AB) = ( A A) B( AB) = IB( AB)<br />
−<br />
( ) 1 −<br />
( ) 1 −<br />
= I AB = ( AB) 1<br />
B AB<br />
−1<br />
240 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 18 Bilangan dan Peubah Kompleks<br />
Jika kita menggambarkan kurva fungsi<br />
y =<br />
x<br />
dengan x adalah peubah bebas yang merupakan bilangan-bilangan ny<strong>at</strong>a<br />
seperti yang kita temui dalam bab-bab sebelumnya, maka penggambaran<br />
kurva hanya dap<strong>at</strong> kita lakukan untuk nilai x > 0.<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0 1 2 3 4<br />
Maka dibu<strong>at</strong> pengertian bilangan khayal dengan oper<strong>at</strong>or<br />
j = −1 sehingga jika dari bilangan ny<strong>at</strong>a 1 kita peroleh<br />
bilangan khayal j1, dari bilangan ny<strong>at</strong>a 2 kita dap<strong>at</strong>kan<br />
bilangan khayal j2 dan seterusnya.<br />
Dalam penggambaran grafis, bilangan ny<strong>at</strong>a digambarkan di<br />
sumbu mend<strong>at</strong>ar yang selanjutnya disebut sumbu-ny<strong>at</strong>a<br />
(real-axis) diberi tanda Re, sedangkan bilangan khayal <strong>at</strong>au<br />
bilangan imajiner digambarkan pada sumbu yang tegak<br />
lurus pada sumbu-ny<strong>at</strong>a yang diberi tanda Im. Bidang yang<br />
dib<strong>at</strong>asi oleh kedua sumbu ini kita sebut bidang kompleks.<br />
18.1. Definisi Bilangan Kompleks<br />
Su<strong>at</strong>u bilangan kompleks s didefinisikan sebagai<br />
s = σ + jω<br />
(18.1)<br />
dengan σ dan ω keduanya adalah bilangan ny<strong>at</strong>a (σ ∈ R dan ω ∈ R).<br />
241
Representasi bilangan kompleks seperti di <strong>at</strong>as disebut representasi sudut<br />
siku ; σ adalah bagian riil dari s dan ditulis Re(s) = σ, ω adalah bagian<br />
imajiner dari s dituliskan Im(s) = ω.<br />
18.2. Representasi Grafis<br />
Su<strong>at</strong>u bilangan kompleks dap<strong>at</strong> kita pandang sebagai pasangan berurut<br />
dari dua bilangan riil.<br />
s = σ + jω<br />
⇔ (σ,ω) (18.2)<br />
Dengan demikian kita dap<strong>at</strong> menggambarkan bilangan kompleks di<br />
bidang kompleks seperti pada Gb.18.1.a. Bidang dengan sumbu<br />
koordin<strong>at</strong> Re (sumbu riil) dan Im (sumbu imajiner) ini disebut bidang<br />
kompleks <strong>at</strong>au bidang s. Su<strong>at</strong>u kumpulan bilangan kompleks akan<br />
terletak di bidang kompleks ini.<br />
Pasangan berurut (σ,ω) dap<strong>at</strong> pula diasosiasikan dengan sebuah vektor<br />
seperti terlih<strong>at</strong> pada Gb.18.1.b.; dengan k<strong>at</strong>a lain vektor tersebut<br />
merepresentasikan bilangan kompleks. Dengan representasi vektor ini<br />
kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan bilangan kompleks sebagai<br />
s = σ + jω = A(cos<br />
θ + j sin θ)<br />
(18.3)<br />
dengan A adalah panjang vektor dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh<br />
arah vektor dengan sumbu ny<strong>at</strong>a. Bentuk perny<strong>at</strong>aan bilangan kompleks<br />
seperti (18.3) ini disebut bentuk sudut siku. Selain bentuk susut siku kita<br />
mengenal juga perny<strong>at</strong>aan dalam bentuk polar.<br />
Im<br />
jω • s(σ,ω)<br />
jω<br />
ρ<br />
A<br />
θ<br />
σ<br />
Re<br />
σ<br />
Re<br />
a) Pasangan berurut bilangan (σ,ω) b). Representasi bilangan<br />
pada bidang kompleks<br />
kompleks secara vektor<br />
Gb.18.1.. Representasi grafis bilangan kompleks.<br />
Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometri<br />
sederhana. Jika panjang vektor pada Gb.18.1.b. adalah A, dan θ adalah<br />
sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut dengan sumbu Re maka<br />
Im
σ = Acos<br />
θ dan ω = Asin<br />
θ<br />
2 2<br />
A = σ + ω dan θ = tan<br />
Melalui persamaan <strong>at</strong>au identitas Euler, yaitu<br />
−1<br />
⎛ ω ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ σ ⎠<br />
(18.4)<br />
θ<br />
e j = cos θ + j sin θ<br />
(18.5)<br />
representasi polar dari bilangan kompleks menjadi<br />
jθ<br />
s = Ae<br />
(18.7)<br />
2 2<br />
Nilai absolut (magnitude) s adalah A, ditulis | s | = A = σ + ω . Sudut<br />
−<br />
θ disebut sudut fasa, ditulis ∠s<br />
= θ = tan 1 ( ω/<br />
σ)<br />
. Perny<strong>at</strong>aan dalam<br />
bentuk sudut siku dap<strong>at</strong> diubah ke dalam bentuk polar; sebaliknya<br />
perny<strong>at</strong>aan dalam bentuk polar dap<strong>at</strong> pula diubah ke dalam bentuk sudut<br />
siku.<br />
18.3. Operasi-Operasi Aljabar<br />
Penjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleks<br />
adalah sebagai berikut:<br />
s1<br />
+ s2<br />
= ( σ1<br />
+ jω1)<br />
+ ( σ2<br />
+ jω2)<br />
= ( σ1<br />
+ σ2)<br />
+ j(<br />
ω1<br />
+ ω2)<br />
s1<br />
− s2<br />
= ( σ1<br />
+ jω1)<br />
− ( σ2<br />
+ jω2)<br />
= ( σ1<br />
− σ2)<br />
+ j(<br />
ω1<br />
− ω2)<br />
Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut.<br />
( s1)(<br />
s2)<br />
= ( σ1<br />
+ jω1)(<br />
σ2<br />
+ jω2)<br />
= ( σ1σ<br />
2 − ω1ω<br />
2)<br />
+ j(<br />
ω1σ<br />
2 + σ1ω2<br />
)<br />
Pembagian. Pembagian s<strong>at</strong>u bilangan kompleks oleh bilangan kompleks<br />
yang lain adalah sebagai berikut.<br />
s<br />
s<br />
σ<br />
+ jω<br />
σ<br />
− jω<br />
σ σ<br />
+ ω ω<br />
+ j ω σ<br />
− σ ω<br />
1 1 1 2 2 ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 )<br />
= × =<br />
2 2<br />
2 σ2<br />
+ jω2<br />
σ2<br />
− jω2<br />
σ2<br />
+ ω2<br />
243
CONTOH: Jika s 1 = 2 + j3<br />
dan s2<br />
= 3 + j4<br />
maka<br />
s<br />
s<br />
1<br />
1<br />
( s<br />
+ s<br />
− s<br />
1<br />
)( s<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= (2 + j3)<br />
+ (3 + j4)<br />
= 5 + j7<br />
= (2 + j3)<br />
− (3 + j4)<br />
= −1<br />
− j1<br />
) = (2 + j3)(3<br />
+ j4)<br />
= (6 −12)<br />
+ j(8<br />
+ 9) = −6<br />
+<br />
j17<br />
s<br />
s<br />
1<br />
2<br />
2 + j3<br />
3 −<br />
= ×<br />
3 + j4<br />
3 −<br />
j4<br />
(6 + 12) + j(<br />
−8<br />
+ 9)<br />
=<br />
=<br />
j4<br />
2 2<br />
3 + 4<br />
18<br />
25<br />
+<br />
j<br />
1<br />
25<br />
CONTOH: Misalkan su<strong>at</strong>u bilangan kompleks s = 10 e j0,5 .<br />
Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya ∠s =<br />
0,5 rad.<br />
Bentuk sudut sikunya adalah:<br />
s = 10 (cos0,5 + j sin 0,5) = 10 (0,88 + j0,48)<br />
= 8,8 + j4,8<br />
CONTOH: Misalkan su<strong>at</strong>u bilangan kompleks s = 3+ j4.<br />
2 2<br />
Nilai absolut s adalah | s | = ρ = 3 + 4 = 5<br />
− 4<br />
Sudut fasanya adalah ∠s = θ = tan 1 = 0,93 rad .<br />
3<br />
Representasi polar adalah: s = 5e j0,93<br />
CONTOH: Misalkan su<strong>at</strong>u bilangan kompleks s = −1.<br />
Representasi polar adalah : s = −1 = e jπ = e −jπ<br />
− ⎛ 0 ⎞<br />
Pemahaman : tan 1 ⎜ ⎟ tidak bernilai tunggal. Kita harus<br />
⎝ −1<br />
⎠<br />
berh<strong>at</strong>i-h<strong>at</strong>i menentukan sudut fasanya. Di sini kita harus memilih π<br />
rad.<br />
CONTOH: Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah<br />
operasi perkalian dan pembagian.<br />
( s )( s<br />
1<br />
2<br />
) = ρ e<br />
1<br />
jθ<br />
1<br />
ρ<br />
2<br />
e<br />
jθ<br />
2<br />
= ρ ρ e<br />
1<br />
2<br />
j(<br />
θ +θ )<br />
1<br />
2<br />
244 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
s<br />
jθ1<br />
1 ρ1e<br />
ρ1<br />
j(<br />
θ1−θ2<br />
)<br />
= = e<br />
jθ2<br />
2 ρ ρ<br />
2e<br />
2<br />
s<br />
Konjug<strong>at</strong> Kompleks. Konjug<strong>at</strong> dari su<strong>at</strong>u bilangan kompleks diperoleh<br />
dengan mengganti j dengan −j .<br />
Im<br />
s = σ + jω<br />
Re<br />
s*= σ − jω<br />
Gb.17.2. Konjug<strong>at</strong> bilangan kompleks.<br />
Perh<strong>at</strong>ikan Gb.18.2. Jika s = σ + jω<br />
maka konjug<strong>at</strong>nya adalah<br />
s = σ − jω<br />
.<br />
Relasi-relasi antara su<strong>at</strong>u bilangan kompleks dengan konjug<strong>at</strong>nya adalah<br />
sebagai berikut.<br />
2<br />
( s )( s*)<br />
= | s | <strong>at</strong>au |s| = s s * ;<br />
[ s + s ]<br />
1<br />
∗ ∗ ∗<br />
2 = s1<br />
+ s2<br />
∗ ∗ ∗<br />
[ s s ] = ( s )( s )<br />
1 2 1<br />
∗<br />
⎡ ⎤ ∗<br />
s1<br />
s<br />
⎢ ⎥ = 1<br />
∗<br />
⎣ s2<br />
⎦ s2<br />
2<br />
18.4. Fungsi Kompleks<br />
Fungsi kompleks X(s) merupakan su<strong>at</strong>u fungsi yang memetakan su<strong>at</strong>u set<br />
peubah bebas kompleks ke dalam s<strong>at</strong>u set peubah tak bebas kompleks.<br />
Peubah bebas kompleks adalah peubah bebas yang berupa bilangan<br />
kompleks; dan peubah tak bebas kompleks adalah peubah tak bebas yang<br />
juga berupa bilangan kompleks.<br />
245
Zero. Kita lih<strong>at</strong> fungsi kompleks<br />
X ( s)<br />
= 2s<br />
− 4<br />
Untuk beberapa nilai s kita dap<strong>at</strong> nilai X(s) pada tabel dan gambar<br />
berikut:<br />
s<br />
X(s)<br />
s 1 1+ j1<br />
X 1 − 2 + j2<br />
s 2 2 + j2<br />
X 2 0 + j4<br />
s 3 2 + j0<br />
X 3 0 + j0<br />
X<br />
4 2<br />
3<br />
X 1<br />
s<br />
2<br />
2<br />
s<br />
1<br />
1<br />
X 3<br />
s 3<br />
0<br />
-2 -1 0 1 2<br />
Setiap nilai s memberikan X(s). Ada s<strong>at</strong>u nilai s yang khusus yaitu yang<br />
memberikan nilai X ( s)<br />
= 0 + j0<br />
; s ini kita sebut zero yang artinya<br />
membu<strong>at</strong> fungsi kompleks menjadi bernilai nol.<br />
Su<strong>at</strong>u fungsi kompleks X(s) dik<strong>at</strong>akan mempunyai zero di s = z 1 jika<br />
Pole. Kita lih<strong>at</strong> sekarang fungsi<br />
lim X ( s)<br />
= 0<br />
s→z<br />
1<br />
1<br />
X ( s)<br />
=<br />
2 s − 4<br />
Kita dap<strong>at</strong> membu<strong>at</strong> tabel dan gambar seperti pada pembahasan<br />
mengenai zero, akan tetapi tidak kita lakukan. Kita lebih tertarik pada<br />
peubah s yang khusus, yaitu yang membu<strong>at</strong> fungsi kompleks menjadi<br />
bernilai tak hingga; s ini kita sebut pole. pada fungsi kompleks yang<br />
diambil contoh ini zero ada di<br />
2s − 4 = 0 ⇒ s = 2 + j0<br />
246 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Su<strong>at</strong>u fungsi kompleks X(s) dik<strong>at</strong>akan mempunyai pole di s = p 1 jika<br />
lim<br />
s→<br />
p<br />
1<br />
X ( s)<br />
= ∞<br />
s − b<br />
CONTOH: Tinjau su<strong>at</strong>u fungsi kompleks X ( s)<br />
= , a ≠ b<br />
s − a<br />
Fungsi ini mempunyai pole di s = a dan zero di s = b<br />
18.5. Fungsi Rasional Kompleks<br />
Fungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasio<br />
dua polinomial kompleks dengan koefisien-koefisien ny<strong>at</strong>a.<br />
b s<br />
X ( s)<br />
=<br />
a s<br />
m m−1<br />
m + bm−1s<br />
+ L+<br />
b0<br />
=<br />
n n−1<br />
n + an−1s<br />
+ L + a0<br />
B(<br />
s)<br />
A(<br />
s)<br />
Kita definisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Polinomial B(s)<br />
disebut numer<strong>at</strong>or (kita mengguanakan istilah pembilang), sedangkan<br />
A(s) disebut denomin<strong>at</strong>or (kita menggunakan istilah penyebut). Dalam<br />
penulisan fungsi rasional biasanya diambil a n = 1 (dengan mengeluarkan<br />
a n dari suku-suku penyebut).<br />
Fungsi rasional X(s) dik<strong>at</strong>akan proper (kita menggunakan istilah p<strong>at</strong>ut)<br />
jika m ≤ n ; dik<strong>at</strong>akan not proper (kurang p<strong>at</strong>ut) jika m > n. Fungsi<br />
rasional dengan m > n sering juga disebut fungsi non-kausal.<br />
Jika X(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien ny<strong>at</strong>a, kita dap<strong>at</strong><br />
meny<strong>at</strong>akan B(s) dan A(s) dalam faktor-faktor yang linier.<br />
K(<br />
s − z1)(<br />
s − z2<br />
) L(<br />
s − zm<br />
)<br />
X ( s)<br />
=<br />
( s − p )( s − p ) L(<br />
s − p )<br />
1<br />
2<br />
n<br />
(18.11)<br />
Jika koefisien X(s) ny<strong>at</strong>a maka akar-akar kompleks dari B(s) dan A(s)<br />
akan berupa pasangan konjug<strong>at</strong>. Bentuk perny<strong>at</strong>aan fungsi rasional<br />
seperti (18.11) ini memperlih<strong>at</strong>kan dengan jelas pole dan zero-nya. Pada<br />
umumnya kita menghadapi fungsi yang proper, sehingga jumlah zero<br />
lebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian sering kita<br />
menganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n − m) zero di tak<br />
hingga.<br />
247
CONTOH : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional<br />
( s + 1)( s + 2)<br />
X ( s)<br />
=<br />
( s + 2)( s + 4)<br />
Fungsi ini dap<strong>at</strong> ditulis sebagai<br />
( 1)<br />
1 ( s +<br />
X s)<br />
= .<br />
( s + 4)<br />
X 1 (s) merupakan bentuk tereduksi dari X(s). Numer<strong>at</strong>or dan<br />
denomin<strong>at</strong>or dari fungsi X(s) mempunyai faktor yang sama yaitu (s +<br />
2) dan faktor yang sama ini dap<strong>at</strong> dieliminir.<br />
Numer<strong>at</strong>or dan denomin<strong>at</strong>or dari fungsi tereduksi X 1 (s) mempunyai<br />
pula faktor sama, yaitu 1. Jadi faktor yang sama antara polinom B 1 (s)<br />
dan A 1 (s) pada X 1 (s) adalah 1; rasio dua polinom yang demikian ini<br />
disebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja pada<br />
bentuk yang sudah tereduksi; kita bekerja pada numer<strong>at</strong>or dan<br />
denomin<strong>at</strong>or yang coprime.<br />
18.6. Diagram Pole-Zero<br />
Fungsi rasional dap<strong>at</strong> direpresentasikan secara grafis, yaitu dengan hanya<br />
menggambarkan pole dan zero yang dimilikinya. Pole diberi tanda “×”<br />
sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero.<br />
CONTOH: Tinjau fungsi<br />
5( s −1)<br />
X ( s)<br />
= .<br />
( s + 1)( s + 2 + j1)(<br />
s + 2 − j1)<br />
×<br />
−2<br />
×<br />
Im<br />
1<br />
×<br />
−1 −1 1<br />
Re<br />
Zero ada di s = 1 ;<br />
Pole ada di s = −1, (−2−j1), (−2+j1).<br />
248 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
18.7. Aplikasi Bilangan Kompleks untuk Meny<strong>at</strong>akan Fungsi Sinus<br />
Kita telah melih<strong>at</strong> di sub-bab 18.2. bahwa melalui persamaan <strong>at</strong>au<br />
identitas Euler, representasi polar dari bilangan kompleks adalah<br />
s = Ae<br />
jθ<br />
= Acos θ + jAsin θ<br />
(18.12)<br />
Dari relasi (18.2) ini kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan bahwa A cos θ adalah bagian<br />
jθ<br />
ny<strong>at</strong>a dari bilangan kompleks Ae yang kita tuliskan<br />
jθ<br />
A cos θ = Re Ae<br />
(18.13)<br />
Jika relasi (18.13) ini kita tetapkan sebagai relasi untuk meny<strong>at</strong>akan fungsi<br />
sinus (yang dalam hal ini diny<strong>at</strong>akan sebagai cosinus) maka penulisan Re di<br />
ruas kanan (18.13) tidak perlu dituliskan lagi sehingga<br />
jθ<br />
Acos θ = Ae<br />
(18.14)<br />
Relasi (18.14) inilah perny<strong>at</strong>aan besaran sinusoidal menggunakan bilangan<br />
kompleks: A di ruas kiri adalah amplitudo besaran sinusoidal, dan A di ruas<br />
kanan adalah panjang vektor perny<strong>at</strong>aan bilangan komplek secara vektor.<br />
Karena dalam perny<strong>at</strong>aan bilangan kompleks secara vektor θ adalah sudut<br />
antara arah vektor dengan sumbu ny<strong>at</strong>a, maka kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan<br />
bilangan kompleks dengan meny<strong>at</strong>akan panjang vektor dan sudutnya<br />
sehingga (18.14) menjadi<br />
θ<br />
Ae j = A∠θ<br />
(18.15)<br />
Acos θ = A∠θ<br />
(18.16)<br />
Dalam besaran-besaran berbentuk sinusoidal dengan amlitudo A, misalnya<br />
tegangan sinusoidal, θ merupakan fungsi waktu yang dap<strong>at</strong> kita tulis<br />
θ = ωt + ψ ; ω adalah frekuensi sudut dalam radian/detik, dan ψ adalah<br />
sudut fasa yaitu pergeseran sudut yang sudah terjadi pada t = 0 . Dari<br />
(18.16) kita dap<strong>at</strong> meny<strong>at</strong>akan<br />
A cos( ωt<br />
+ ψ)<br />
= A∠(<br />
ωt<br />
+ ψ)<br />
= A∠ψ<br />
(18.17)<br />
t = 0<br />
Inilah perny<strong>at</strong>aan besaran sinusoidal dalam fasor. Dalam meny<strong>at</strong>akan<br />
besaran sinusoidal ke dalam bentuk fasor, kita mengambil bentuk seperti<br />
ruas paling kanan (18.17) tanpa menyebut lagi t = 0, karena hanya<br />
amplitudo dan sudut fasa sajalah yang membedakan s<strong>at</strong>u besaran sinusoidal<br />
249
dengan besaran sinusoidal yang lain, dan perbedaan itu kita am<strong>at</strong>i pada t =<br />
0.<br />
Hubungan antara cosinus dan sinus su<strong>at</strong>u sudut adalah<br />
sin ωt<br />
= cos( ωt<br />
− π / 2) . Oleh karena itu bentuk fasor dari<br />
A sin( ωt<br />
+ ψ)<br />
adalah A∠(<br />
ψ − π / 2)<br />
(18.18)<br />
Dalam analisis rangkaian listrik, penulisan dalam bentuk fasor dilakukan<br />
seperti contoh berikut:<br />
v = V cos( ωt<br />
+ α)<br />
i = I cos( ωt<br />
+ β)<br />
menjadi<br />
menjadi<br />
V = V∠α<br />
I = I∠β<br />
Operasi perkalian fasor menjadi lebih mudah dilakukan<br />
jα1<br />
jα<br />
2<br />
V1<br />
= V1∠α<br />
1 = V1e<br />
; V2<br />
= V2∠α2<br />
= V2e<br />
j(<br />
α1<br />
+α<br />
2<br />
)<br />
⇒ V1<br />
× V2<br />
= V1V<br />
2e<br />
= V1V<br />
2∠(<br />
α1<br />
+ α2)<br />
∗<br />
V1<br />
= V1∠α<br />
1 , I1<br />
= I1∠β1<br />
⇒ I1<br />
= I1∠ − β1<br />
∗<br />
⇒ V1<br />
× I1<br />
= V1I1∠ ( α1<br />
− β1)<br />
Penjumlahan dan pengurangan akan lebih mudah jika fasor-fasor<br />
diny<strong>at</strong>akan dalam bentuk sudut siku<br />
V<br />
V<br />
1 = V1∠α<br />
1 = V1<br />
(cosα1<br />
+ jsin<br />
α1)<br />
2 = V2∠α2<br />
= V2<br />
(cosα2<br />
+ jsin<br />
α2)<br />
V1<br />
+ V2<br />
= 1 1 2 2<br />
⇒<br />
( V cosα<br />
+ V cosα<br />
) + j( V sin α + V sin α )<br />
Selanjutnya lih<strong>at</strong> ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” pada bab Fasor dan<br />
Impedansi.<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
250 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bab 19 Transformasi Laplace<br />
Transformasi Laplace, didefinisikan sebagai su<strong>at</strong>u integral<br />
∫ ∞ −st<br />
F ( s)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
(19.1)<br />
0<br />
dengan s merupakan peubah kompleks, s = σ + jω. B<strong>at</strong>as bawah integrasi<br />
ini adalah nol yang berarti bahwa dalam kita hanya meninjau besaran<br />
dengan nilai lebih besar dari nol. Untuk itu kita menggunakan fungsi<br />
anak tangga s<strong>at</strong>uan u(t) untuk meny<strong>at</strong>akan f(t).<br />
19.1. Transformasi Laplace<br />
Melalui transformasi Laplace kita meny<strong>at</strong>akan su<strong>at</strong>u fungsi yang semula<br />
diny<strong>at</strong>akan sebagai fungsi waktu, t, menjadi su<strong>at</strong>u fungsi s di mana s<br />
adalah peubah kompleks.<br />
Transformasi Laplace dari su<strong>at</strong>u fungsi f(t) yang didefinisikan sebagai<br />
∫ ∞ −st<br />
F ( s)<br />
= f ( t)<br />
e dt kita tuliskan dengan notasi :<br />
0<br />
∫ ∞ −st<br />
L [ f ( t)]<br />
= F(<br />
s)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
(19.2)<br />
0<br />
Fungsi Tetapan. Kita lih<strong>at</strong> lebih dulu fungsi tetapan f ( t)<br />
= Au(<br />
t)<br />
sehingga<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
−(<br />
σ+ jω)<br />
t<br />
−st<br />
−st<br />
Ae<br />
L [ Au(t) ] =<br />
∫<br />
Au(<br />
t)<br />
e dt =<br />
∫<br />
Ae dt = −<br />
0<br />
0<br />
σ + jω<br />
0<br />
B<strong>at</strong>as <strong>at</strong>as, dengan σ > 0, memberikan nilai 0, sedangkan b<strong>at</strong>as bawah<br />
memberikan nilai A/s.<br />
Jadi<br />
A<br />
L [ Au ( t)]<br />
=<br />
(19.3)<br />
s<br />
Fungsi Eksponensial. Transformasi Laplace fungsi eksponensial<br />
−<strong>at</strong><br />
beramplitudo A, yaitu f ( t)<br />
= Ae u(<br />
t)<br />
adalah<br />
L<br />
[ Ae<br />
−<strong>at</strong><br />
u(<br />
t)]<br />
∞<br />
−<strong>at</strong><br />
−st<br />
∞<br />
=<br />
∫<br />
A e e u(<br />
t)<br />
dt =<br />
0 ∫0<br />
Ae<br />
−(<br />
s+<br />
a)<br />
t<br />
∞<br />
−(<br />
s+<br />
a)<br />
t<br />
Ae<br />
= −<br />
s + a<br />
0<br />
251
Dengan a > 0, b<strong>at</strong>as <strong>at</strong>as memberikan nilai 0 sedangkan b<strong>at</strong>as bawah<br />
memberikan A/(s+a).<br />
Jadi<br />
− A<br />
L [ Ae <strong>at</strong> u(<br />
t)]<br />
=<br />
(19.4)<br />
s + a<br />
Fungsi Sinus. Transformasi Laplace fungsi sinus<br />
f(t) = (A cos ωt) u(t) adalah :<br />
∞<br />
−st<br />
∞<br />
−st<br />
L [(<br />
Acos<br />
ωt)<br />
u(<br />
t)<br />
] = ( Acos<br />
ωt)<br />
e u(<br />
t)<br />
dt = ( Acos<br />
ωt)<br />
e dt<br />
Dengan memanfa<strong>at</strong>kan hubungan Euler<br />
∫<br />
0<br />
cosω<br />
= ( e<br />
j ω t<br />
+<br />
ruas kanan persamaan di <strong>at</strong>as menjadi<br />
2<br />
e<br />
− jωt<br />
2<br />
) / 2<br />
∞ jωt<br />
+ − jωt<br />
e e −st<br />
∞ A ( jω−s)<br />
t<br />
∞ A ( − jω<br />
)<br />
e dt =<br />
+<br />
− s t<br />
A<br />
0 2 ∫<br />
e dt<br />
0 2 ∫<br />
e<br />
0 2<br />
∫<br />
=<br />
s<br />
As<br />
+ ω<br />
s<br />
L ( Acos<br />
ωt)<br />
u(<br />
t)<br />
= A<br />
(19.5)<br />
s + ω<br />
Jadi [ ]<br />
2 2<br />
Dengan cara yang sama, diperoleh<br />
ω<br />
L [(<br />
Asin<br />
ωt)<br />
u(<br />
t)<br />
] = A<br />
(19.6)<br />
2 2<br />
s + ω<br />
19.2. Tabel Transformasi Laplace<br />
Mencari transformasi Laplace dari beberapa di <strong>at</strong>as merupakan contoh<br />
bagaimana su<strong>at</strong>u transformasi dari fungsi t ke dalam fungsi s dilakukan.<br />
Kita lih<strong>at</strong> bahwa nilai tetapan A, selalu muncul sebagai faktor pengali<br />
dalam perny<strong>at</strong>aan fungsi di kawasan s. Transformasi dari beberapa fungsi<br />
yang lain termu<strong>at</strong> dalam Tabel-19.1. dengan mengambil nilai tetapan A<br />
= 1.<br />
∫<br />
0<br />
dt<br />
252 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Tabel-19.1. Pasangan Transformasi Laplace<br />
Perny<strong>at</strong>aan Fungsi<br />
di Kawasan t : f(t)<br />
Perny<strong>at</strong>aan Fungsi di<br />
Kawasan s : L[f(t)]=F(s)<br />
impuls : δ(t) 1<br />
anak tangga :<br />
eksponensial :<br />
cosinus :<br />
sinus :<br />
u(t)<br />
[e −<strong>at</strong> ]u(t)<br />
[cos ωt] u(t)<br />
[sin ωt] u(t)<br />
cosinus teredam : [e −<strong>at</strong> cos ωt] u(t)<br />
sinus teredam :<br />
[e −<strong>at</strong> sin ωt] u(t)<br />
cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t)<br />
sinus tergeser :<br />
ramp :<br />
ramp teredam :<br />
[sin (ωt + θ)] u(t)<br />
[ t ] u(t)<br />
[ t e −<strong>at</strong> ] u(t)<br />
1<br />
s<br />
1<br />
s + a<br />
s<br />
2 2<br />
s + ω<br />
ω<br />
2 2<br />
s + ω<br />
s + a<br />
2<br />
+ a + ω<br />
2<br />
( s )<br />
ω<br />
2 2<br />
( s + a) + ω<br />
s cos<br />
s sin<br />
θ − ω<br />
2 2<br />
s + ω<br />
θ + ω<br />
2 2<br />
s + ω<br />
1<br />
2<br />
s<br />
1<br />
( s + a) 2<br />
sin θ<br />
cos θ<br />
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut:<br />
a). f ( t)<br />
= 5cos(10t<br />
) u(<br />
t)<br />
1<br />
b). f<br />
c). f<br />
2<br />
3<br />
( t)<br />
= 5sin(10t<br />
) u(<br />
t)<br />
( t)<br />
= 3e<br />
−2t<br />
u(<br />
t)<br />
253
Solusi : Dengan menggunakan Tabel-3.1 kita peroleh :<br />
5s<br />
5s<br />
a). f1(<br />
t)<br />
= 5cos(10t<br />
) u(<br />
t)<br />
→ F1<br />
( s)<br />
= =<br />
2 2 2<br />
s + (10) s + 100<br />
5 × 10 50<br />
b). f2(<br />
t)<br />
= 5sin(10t<br />
) u(<br />
t)<br />
→ F2<br />
( s)<br />
= =<br />
2 2 2<br />
s + (10) s + 100<br />
−2t<br />
c). f3(<br />
t)<br />
= 3e<br />
u(<br />
t)<br />
3<br />
→ F3<br />
( s)<br />
=<br />
s + 2<br />
19.3. Sif<strong>at</strong>-Sif<strong>at</strong> Transformasi Laplace<br />
Sif<strong>at</strong> Unik. Sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi<br />
balik dari F(s) adalah f(t).<br />
Bukti dari perny<strong>at</strong>aan ini tidak kita bahas di sini. Sif<strong>at</strong> ini memudahkan<br />
kita untuk mencari F(s) dari su<strong>at</strong>u fungsi f(t) dan sebaliknya mencari<br />
fungsi f(t) dari su<strong>at</strong>u fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi<br />
Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari su<strong>at</strong>u fungsi F(s) disebut mencari<br />
transformasi balik dari F(s), dengan notasi L −1 [F(s)] = f(t) . Hal terakhir<br />
ini akan kita bahas lebih lanjut setelah membahas sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> transformasi<br />
Laplace.<br />
Sif<strong>at</strong> Linier. Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka<br />
ia bersif<strong>at</strong> linier.<br />
Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah<br />
jumlah dari transformasi masing-masing fungsi.<br />
Jika f ( t)<br />
= A1 f1(<br />
t)<br />
+ A2<br />
f2(<br />
t)<br />
maka transformasi Laplace-nya adalah<br />
F(<br />
s)<br />
= ∞<br />
∞<br />
st<br />
[ A1<br />
f1(<br />
t)<br />
+ A2<br />
f2(<br />
t)<br />
] e dt = A 1 f ( ) 2 ( )<br />
0<br />
0 1 t dt + A<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
f<br />
0 2 t dt<br />
(19.7)<br />
= A1<br />
F1<br />
( s)<br />
+ A2<br />
F2<br />
( s)<br />
dengan F 1 (s) dan F 2 (s) adalah transformasi Laplace dari f 1 (t) dan f 2 (t).<br />
254 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
CONTOH: a). Carilah transformasi Laplace dari :<br />
−2t<br />
v1 ( t)<br />
= (1 + 3e<br />
) u(<br />
t)<br />
b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae −<strong>at</strong> u(t)<br />
adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari v 2 (t)=Acosωt<br />
u(t).<br />
Solusi :<br />
−2t<br />
1 3<br />
a). v1<br />
( t)<br />
= (1 + 3e<br />
) u(<br />
t)<br />
→V<br />
1(<br />
s)<br />
= +<br />
s s + 2<br />
jωt<br />
− jωt<br />
e + e<br />
b). v2(t)<br />
= Acos(<br />
ωt)<br />
u(<br />
t)<br />
= A<br />
u(<br />
t)<br />
2<br />
A jωt<br />
− jωt<br />
= ( e u(<br />
t)<br />
+ e u(<br />
t)<br />
)<br />
2<br />
A ⎛ 1 1 ⎞ A ⎛ 2s<br />
⎞ As<br />
V2(<br />
s)<br />
= ⎜ + ⎟ = ⎜ ⎟ =<br />
2<br />
2 2 2 2 2<br />
⎝ s − jω<br />
s + jω<br />
⎠ ⎝ s + ω ⎠ s + ω<br />
Integrasi. Transformasi Laplace dari integrasi su<strong>at</strong>u fungsi dap<strong>at</strong> kita<br />
lih<strong>at</strong> sebagai berikut.<br />
t<br />
Misalkan f ( t)<br />
=<br />
∫<br />
f ( )<br />
0 1 x dx . Maka<br />
∞<br />
⎛<br />
F(<br />
s)<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
∫ ∫<br />
t<br />
−st<br />
⎞ ⎡<br />
−st<br />
e ⎛<br />
f x dx⎟<br />
e dt = ⎢ ⎜<br />
0 1 ( )<br />
⎠ ⎢⎣<br />
− s ⎝<br />
∞ ∞<br />
t<br />
st<br />
⎞⎤<br />
e −<br />
f x dx⎟⎥<br />
−<br />
0 1 ( )<br />
⎠<br />
∫<br />
⎥⎦<br />
− s<br />
0 0<br />
∫<br />
f1(<br />
t)<br />
dt<br />
Suku pertama ruas kanan persamaan di <strong>at</strong>as akan bernilai nol untuk t = ∞<br />
karena e −st = 0 pada t→∞ , dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karena<br />
integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).<br />
Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi<br />
∞<br />
e − st<br />
∞<br />
1 −st<br />
F ( s)<br />
F( s)<br />
= − f ( t)<br />
dt f ( t)<br />
e dt 1<br />
∫ 1 = 1 =<br />
− s s ∫<br />
(19.8)<br />
s<br />
0<br />
0<br />
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp r(t)=tu(t).<br />
Solusi :<br />
Kita mengetahui bahwa fungsi ramp adalah integral dari fungsi anak<br />
tangga.<br />
255
(<br />
t)<br />
= tu(<br />
t)<br />
=<br />
→ R(<br />
s)<br />
=<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
∞<br />
u(<br />
x)<br />
dx<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∫ ∫<br />
t<br />
0 0<br />
⎞<br />
u(<br />
x)<br />
dx⎟<br />
e<br />
⎠<br />
Hasil ini sudah tercantum dalam Tabel.3.1.<br />
−st<br />
1<br />
dt =<br />
2<br />
s<br />
Diferensiasi. Transformasi Laplace dari su<strong>at</strong>u diferensiasi dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong><br />
sebagai berikut.<br />
Misalkan<br />
df ( t)<br />
f ( t)<br />
=<br />
1<br />
maka<br />
dt<br />
− st ∞<br />
[ f1(<br />
t)<br />
e ]<br />
0 −<br />
∫<br />
∞ df −<br />
∞<br />
−<br />
= 1 ( t)<br />
st<br />
st<br />
F ( s)<br />
∫<br />
e dt =<br />
f1(<br />
t)(<br />
−s)<br />
e dt<br />
0 dt<br />
0<br />
Suku pertama ruas kanan bernilai nol untuk t = ∞ karena e −st = 0 untuk<br />
t→ ∞ , dan bernilai −f(0) untuk t = 0. Dengan demikian dap<strong>at</strong> kita<br />
tuliskan<br />
⎡df<br />
1 ( t)<br />
⎤<br />
st<br />
⎢ = s f ( t)<br />
e dt − f (0) = sF1<br />
( s)<br />
− f 1(0)<br />
dt ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
∫ ∞ −<br />
L (19.9)<br />
0<br />
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi cos(ωt) dengan<br />
memandang fungsi ini sebagai turunan dari sin(ωt).<br />
Solusi :<br />
1 d sin( ωt)<br />
f ( t)<br />
= cos( ωt)<br />
=<br />
ω dt<br />
1 ⎛ ω ⎞<br />
→ F(<br />
s)<br />
= ⎜ s − sin(0) ⎟ =<br />
ω 2 2<br />
⎝ s + ω ⎠ s<br />
Penurunan di <strong>at</strong>as dap<strong>at</strong> kita kembangkan lebih lanjut sehingga kita<br />
mendap<strong>at</strong>kan transformasi dari fungsi-fungsi yang merupakan fungsi<br />
turunan yang lebih tinggi.<br />
2<br />
s<br />
+ ω<br />
2<br />
256 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
2<br />
d f ( )<br />
jika ( ) 1 t<br />
f t =<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
→ F(<br />
s)<br />
= s F1<br />
( s)<br />
− sf1(0)<br />
− f1′<br />
(0)<br />
3<br />
d f ( )<br />
jika ( ) 1 t<br />
f t =<br />
3<br />
dt<br />
3 2<br />
→ F ( s)<br />
= s F1<br />
( s)<br />
− s f1(0)<br />
− sf1′<br />
(0) − f1′′<br />
(0)<br />
(19.10)<br />
Translasi di Kawasan t. Sif<strong>at</strong> transformasi Laplace berkenaan dengan<br />
translasi di kawasan t ini dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut<br />
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi<br />
Laplace dari f(t−a)u(t−a) untuk a > 0 adalah e −as F(s).<br />
Hal ini dap<strong>at</strong> kita lih<strong>at</strong> sebagai berikut. Menurut definisi, transformasi<br />
Laplace dari f(t−a)u(t−a) adalah<br />
∫ ∞<br />
0<br />
−st<br />
f ( t − a)<br />
u(<br />
t − a)<br />
e dt<br />
Karena u(t−a) bernilai nol untuk t < a dan bernilai s<strong>at</strong>u untuk t > a ,<br />
bentuk integral ini dap<strong>at</strong> kita ubah b<strong>at</strong>as bawahnya serta tidak lagi<br />
menuliskan faktor u(t−a), menjadi<br />
∫<br />
∞<br />
0<br />
−st<br />
f ( t − a)<br />
u(<br />
t − a)<br />
e dt = f ( t − a)<br />
e<br />
Kita ganti peubah integrasinya dari t menjadi τ dengan su<strong>at</strong>u hubungan τ<br />
= (t−a). Dengan penggantian ini maka dt menjadi dτ dan τ = 0 ketika t =<br />
a dan τ = ∞ ketika t = ∞. Persamaan di <strong>at</strong>as menjadi<br />
∫<br />
∞<br />
a<br />
−st<br />
∞<br />
−st<br />
∞<br />
−s(<br />
τ+ a)<br />
f ( t − a)<br />
u(<br />
t − a)<br />
e dt = f ( ) e d<br />
0<br />
∫<br />
τ τ<br />
0<br />
−as<br />
∞<br />
−sτ<br />
−as<br />
= e<br />
∫<br />
f ( τ)<br />
e dτ<br />
= e F(<br />
s)<br />
0<br />
∫<br />
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari<br />
bentuk gelombang sinyal seperti yang<br />
tergambar di samping ini.<br />
Solusi :<br />
Model bentuk gelombang ini dap<strong>at</strong> kita<br />
tuliskan sebagai<br />
A<br />
f ( t)<br />
= Au(<br />
t)<br />
− Au(<br />
t − a)<br />
.<br />
dt<br />
f(t)<br />
(19.11)<br />
0 a →t<br />
257
Transformasi Laplace-nya adalah :<br />
F(<br />
s)<br />
=<br />
A<br />
− e<br />
s<br />
−as<br />
−as )<br />
A A(1<br />
− e<br />
=<br />
s s<br />
Translasi di Kawasan s. Sif<strong>at</strong> mengenai translasi di kawasan s dap<strong>at</strong><br />
diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka<br />
transformasi Laplace dari e −αt f(t) adalah F(s + α).<br />
Bukti dari perny<strong>at</strong>aan ini dap<strong>at</strong> langsung diperoleh dari definisi<br />
transformasi Laplace, yaitu<br />
∫<br />
∞<br />
0<br />
e<br />
−αt<br />
f ( t)<br />
e<br />
−st<br />
dt =<br />
∫<br />
∞<br />
0<br />
f ( t)<br />
e<br />
−(<br />
s+α)<br />
t<br />
dt = F(<br />
s + α)<br />
(19.12)<br />
Sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> digunakan untuk menentukan transformasi fungsi teredam<br />
jika diketahui bentuk transformasi fungsi tak teredamnya.<br />
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi ramp<br />
teredam dan sinus teredam berikut ini :<br />
−αt<br />
−αt<br />
1 t<br />
a). v = tu(<br />
t)<br />
e ; b). v2<br />
= e<br />
cosωt<br />
u(<br />
)<br />
Solusi :<br />
1<br />
a).Karena untuk v(<br />
t)<br />
= tu(<br />
t)<br />
→ F(<br />
s)<br />
= ,<br />
2<br />
s<br />
−αt<br />
1<br />
maka jika v1<br />
( t)<br />
= tu(<br />
t)<br />
e ⇒ V1<br />
( s)<br />
=<br />
( s + α)<br />
s<br />
b). Karena untuk v(<br />
t)<br />
= cosωt<br />
u(<br />
t)<br />
→ V ( s)<br />
= ,<br />
2 2<br />
s + ω<br />
−αt<br />
s + α<br />
maka jika v2(<br />
t)<br />
= e cosωt<br />
u(<br />
t)<br />
⇒ V2<br />
( s)<br />
=<br />
2<br />
( s + α)<br />
+ ω<br />
Pen-skalaan (scaling). Sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai :<br />
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a<br />
1 ⎛ s ⎞<br />
> 0 transformasi dari f(<strong>at</strong>) adalah F⎜<br />
⎟ .<br />
a ⎝ a ⎠<br />
2<br />
2<br />
258 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Bukti dari sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> langsung diperoleh dari definisinya. Dengan<br />
mengganti peubah t menjadi τ = <strong>at</strong> maka transformasi Laplace dari f(<strong>at</strong>)<br />
adalah:<br />
∫<br />
∞<br />
0<br />
f ( <strong>at</strong>)<br />
e<br />
−st<br />
1<br />
dt =<br />
a<br />
∫<br />
∞<br />
0<br />
f ( τ)<br />
e<br />
s<br />
− τ<br />
a<br />
1 ⎛<br />
dτ<br />
= F⎜<br />
a ⎝<br />
s<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(19.13)<br />
Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecil<br />
dan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skala<br />
frekuensi menjadi besar.<br />
Nilai Awal dan Nilai Akhir. Sif<strong>at</strong> transformasi Laplace berkenaan<br />
dengan nilai awal dan nilai akhir dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
Nilai awal : lim f ( t)<br />
= lim sF(<br />
s)<br />
t→0+<br />
Nilai akhir : lim f ( t)<br />
= lim sF(<br />
s)<br />
t→∞<br />
s→∞<br />
s→0<br />
Jadi nilai f(t) pada t = 0 + di kawasan waktu (nilai awal) sama dengan<br />
nilai sF(s) pada tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞<br />
(nilai akhir) sama dengan nilai sF(s) pada titik asal di kawasan s. Sif<strong>at</strong><br />
ini dap<strong>at</strong> diturunkan dari sif<strong>at</strong> diferensiasi.<br />
CONTOH: Transformasi Laplace dari su<strong>at</strong>u sinyal adalah<br />
Solusi :<br />
Nilai awal adalah :<br />
s + 3<br />
V ( s)<br />
= 100<br />
s(<br />
s + 5)( s + 20)<br />
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).<br />
lim v(<br />
t)<br />
= lim sV ( s)<br />
t→0+<br />
s→∞<br />
⎡<br />
s + 3 ⎤<br />
= lim ⎢s<br />
× 100<br />
= 0<br />
( 5)( 20)<br />
⎥<br />
s→∞⎣<br />
s s + s + ⎦<br />
Nilai akhir adalah :<br />
⎡<br />
s + 3 ⎤<br />
lim v(<br />
t)<br />
= lim sV ( s)<br />
= lim ⎢s<br />
× 100<br />
= 3<br />
0<br />
0 ( 5)( 20)<br />
⎥<br />
t→∞<br />
s→<br />
s→<br />
⎣ s s + s + ⎦<br />
259
Tabel 19.2. memu<strong>at</strong> sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> transformasi Laplace yang dibahas di <strong>at</strong>as<br />
kecuali sif<strong>at</strong> yang terakhir yaitu konvolusi. Konvolusi akan dibahas di<br />
bagian akhir dari pembahasan mengenai transformasi balik.<br />
Tabel 19.2. Sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> Transformasi Laplace<br />
Perny<strong>at</strong>aan f(t)<br />
Perny<strong>at</strong>aan F(s) =L[f(t)]<br />
linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t) A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)<br />
integrasi :<br />
∫ t<br />
f ( x)<br />
dx<br />
0<br />
F ( s)<br />
s<br />
diferensiasi :<br />
df ( t)<br />
−<br />
sF ( s)<br />
− f (0 )<br />
dt<br />
2<br />
d f ( t)<br />
2 −<br />
s F(<br />
s)<br />
− sf (0 ) − f ′(0<br />
− )<br />
2<br />
dt<br />
3<br />
d f ( t)<br />
3<br />
dt<br />
linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t)<br />
translasi di t: [ f ( t a)<br />
] u(<br />
t − a)<br />
3<br />
2<br />
s F(<br />
s)<br />
− s<br />
−<br />
f (0<br />
−<br />
− sf (0 ) − f ′′(0<br />
)<br />
A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)<br />
− e −as<br />
F(s)<br />
translasi di s : e − <strong>at</strong> f (t)<br />
F ( s + a )<br />
penskalaan : f (<strong>at</strong>)<br />
1<br />
a<br />
⎛<br />
F⎜<br />
⎝<br />
nilai awal : lim f ( t)<br />
lim sF ( s)<br />
t→0+<br />
s→∞<br />
nilai akhir : lim f ( t)<br />
t→∞<br />
s→0<br />
s<br />
a<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
lim sF ( s)<br />
)<br />
−<br />
konvolusi :<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
f ( x)<br />
f<br />
( t<br />
1 2 −<br />
x)<br />
dx<br />
F 1( s)<br />
F2<br />
( s)<br />
260 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
19.4. Transformasi Balik<br />
Berikut ini kita akan membahas mengenai transformasi balik, yaitu<br />
mencari f(t) dari su<strong>at</strong>u F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari<br />
transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita<br />
punyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s)<br />
berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sederhana dan tidak selalu<br />
ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk meng<strong>at</strong>asi hal itu, F(s) kita<br />
uraikan menjadi su<strong>at</strong>u penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam<br />
tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari bentukbentuk<br />
fungsi sederhana. Dengan perk<strong>at</strong>aan lain kita membu<strong>at</strong> F(s)<br />
menjadi transformasi dari su<strong>at</strong>u gelombang komposit dan kelinieran dari<br />
transformasi Laplace akan memberikan transformasi balik dari F(s) yang<br />
berupa jumlah dari bentuk-bentuk gelombang sederhana.<br />
Pole dan Zero. Tentang pole dan zero telah kita pelajari di bab<br />
sebelumnya. Pada umumnya, transformasi Laplace berbentuk rasio<br />
polinom<br />
m m−1<br />
b s b<br />
( )<br />
1s<br />
b1s<br />
b<br />
F s<br />
m + m + + +<br />
=<br />
− L 0<br />
(19.14)<br />
n n−1<br />
ans<br />
+ an−1s<br />
+ L + a1s<br />
+ a0<br />
yang masing-masing polinom dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan dalam bentuk faktor<br />
menjadi<br />
( s − z )( ) ( )<br />
( )<br />
1 s − z2<br />
L s − z<br />
F s = K<br />
m<br />
( s − p )( s − p ) L(<br />
s − p )<br />
dengan K = b m /a n dan disebut faktor skala.<br />
1<br />
2<br />
n<br />
(19.15)<br />
Akar-akar dari pembilang dari perny<strong>at</strong>aan F(s) di <strong>at</strong>as memberikan zero<br />
sedangkan akar-akar dari penyebut memberikan pole. Pole dan zero<br />
disebut frekuensi kritis karena pada nilai-nilai itu F(s) menjadi nol <strong>at</strong>au<br />
tak-hingga.<br />
CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari<br />
1<br />
a). F(<br />
s)<br />
=<br />
s + 1<br />
A(<br />
s + a)<br />
b). F(<br />
s)<br />
=<br />
2 2<br />
( s + a)<br />
+ b<br />
1<br />
c). F(<br />
s)<br />
=<br />
s<br />
261
Solusi :<br />
a). Fungsi ini mempunyai pole di s = −1<br />
tanpa zero<br />
tertentu.<br />
b). Fungsi ini mempunyai zero di s = −a.<br />
Pole dap<strong>at</strong> dicari dari<br />
2<br />
2<br />
( s + a)<br />
+ b = 0 → pole di s = −a<br />
± jb<br />
c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu<br />
sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 +<br />
j0.<br />
×<br />
−1<br />
−a<br />
jω<br />
jω<br />
+jb<br />
jω<br />
−jb<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
Bentuk Umum F(s). Bentuk umum F(s) adalah seperti (19.15) yaitu<br />
( s − z )( ) ( )<br />
( )<br />
1 s − z2<br />
L s − z<br />
F s = K<br />
m<br />
( s − p )( s − p ) L(<br />
s − p )<br />
1<br />
Jika fungsi ini memiliki pole yang semuanya berbeda, jadi p i ≠ p j untuk i<br />
≠ j , maka dik<strong>at</strong>akan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada<br />
pole yang berupa bilangan kompleks kita k<strong>at</strong>akan bahwa fungsi ini<br />
mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita<br />
k<strong>at</strong>akan bahwa fungsi ini mempunyai pole ganda.<br />
Fungsi Dengan Pole Sederhana. Apabila fungsi rasional F(s) hanya<br />
mempunyai pole sederhana, maka ia dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi berbentuk<br />
2<br />
k<br />
( )<br />
1 k2<br />
k<br />
F s = + + L +<br />
n (19.16)<br />
( s − p ) ( s − p ) ( s − p )<br />
1<br />
Jadi F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana;<br />
konstanta k yang berkaitan dengan setiap fungsi pembangun F(s) itu kita<br />
sebut residu. Kita ing<strong>at</strong> bahwa transformasi balik dari masing-masing<br />
fungsi sederhana itu berbentuk ke −αt . Dengan demikian maka<br />
transformasi balik dari F(s) menjadi<br />
2<br />
n<br />
n<br />
262 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
p1t<br />
p2t<br />
pnt<br />
( t)<br />
= k1e<br />
+ k2e<br />
+ L kne<br />
(19.17)<br />
f +<br />
Persoalan kita sekarang adalah bagaimana menentukan residu. Untuk<br />
mencari k 1 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 1 ) sehingga<br />
faktor (s− p 1 ) hilang dari ruas kiri sedangkan ruas kanan menjadi k 1<br />
ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s− p 1 ).<br />
Kemudian kita substitusikan s = p 1 sehingga semua suku di ruas kanan<br />
bernilai nol kecuali k 1 dan dengan demikian diperoleh nilai k 1 . Untuk<br />
mencari k 2 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 2 ) kemudian kita<br />
substitusikan s = p 2 ; demikian seterusnya sampai semua nilai k diperoleh,<br />
dan transformasi balik dap<strong>at</strong> dicari.<br />
CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.<br />
4<br />
a). F(<br />
s)<br />
=<br />
;<br />
( s + 1)( s + 3)<br />
6( s + 2)<br />
c). F(<br />
s)<br />
=<br />
s(<br />
s + 1)( s + 4)<br />
4( s + 2)<br />
b). F(<br />
s)<br />
=<br />
;<br />
( s + 1)( s + 3)<br />
a).<br />
Solusi :<br />
4 k<br />
( )<br />
1 k<br />
F s =<br />
= + 2<br />
( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3<br />
4 k<br />
→ F(<br />
s)<br />
× ( s + 1) → = k 2<br />
1 + ( s + 1)<br />
( s + 3) s + 3<br />
→ F(<br />
s)<br />
× ( s + 3) dan substitusi<br />
2 − 2<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
= +<br />
s + 1 s + 3<br />
4<br />
→ substitusi s = −1<br />
→ = k1<br />
→ k1<br />
= 2<br />
−1+<br />
3<br />
⇒ f ( t)<br />
= 2e<br />
4<br />
s = −3<br />
→ = k<br />
− 3 + 1<br />
−t<br />
− 2e<br />
−3t<br />
2<br />
→ k<br />
2<br />
= −2<br />
263
).<br />
4( s + 2) k<br />
( )<br />
1 k<br />
F s =<br />
= + 2<br />
( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3<br />
→ F(<br />
s)<br />
× ( s + 1) dan substitusi<br />
4( −1+<br />
2)<br />
s = −1<br />
→ = k1<br />
→ k1<br />
= 2<br />
−1+<br />
3<br />
→ F(<br />
s)<br />
× ( s + 3) dan substitusi<br />
4( −3<br />
+ 2)<br />
s = −3<br />
→ = k2<br />
→ k2<br />
= 2<br />
− 3 + 1<br />
2 2<br />
t −3t<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
= + ⇒ f ( t)<br />
= 2e<br />
+ 2e<br />
s + 1 s + 3<br />
c).<br />
6( s + 2) k<br />
( )<br />
1 k2<br />
k<br />
F s =<br />
= + +<br />
3<br />
s(<br />
s + 1)( s + 4) s s + 1 s + 4<br />
Dengan cara seperti di a) dan b) kita peroleh<br />
6( s + 2)<br />
→ k1<br />
=<br />
( s + 1)( s + 4)<br />
k<br />
3<br />
6( s + 2)<br />
=<br />
s(<br />
s + 1)<br />
s=−4<br />
s=<br />
0<br />
= −1<br />
3 − 2 −1<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
= + +<br />
s s + 1 s + 4<br />
= 3;<br />
k<br />
2<br />
6( s + 2)<br />
=<br />
s(<br />
s + 4)<br />
s=−1<br />
−t<br />
→ f ( t)<br />
= 3 − 2e<br />
− e<br />
= −2 ;<br />
−4t<br />
Fungsi Dengan Pole Kompleks. Fungsi F(s) merupakan rasio polinomial<br />
dengan koefisien ny<strong>at</strong>a. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang<br />
berbentuk p = −α + jβ, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang<br />
berbentuk p* = −α − jβ; sebab jika tidak maka koefisien polinomial<br />
tersebut tidak akan ny<strong>at</strong>a. Jadi pole kompleks dari F(s) haruslah<br />
berpasangan konjug<strong>at</strong>. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung<br />
dua suku yang berbentuk<br />
k k *<br />
F( s)<br />
= L + + +L (19.18)<br />
s + α − jβ<br />
s + α + jβ<br />
Residu k dan k* pada pole konjug<strong>at</strong> juga merupakan residu konjug<strong>at</strong><br />
sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini<br />
dap<strong>at</strong> kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian<br />
fungsi dengan pole sederhana. Kita cukup mencari salah s<strong>at</strong>u residu dari<br />
pole kompleks karena residu yang lain merupakan konjug<strong>at</strong>nya.<br />
264 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks akan berupa<br />
cosinus teredam. Tansformasi balik dari dua suku pada (19.18) adalah<br />
f<br />
k<br />
( t)<br />
= ke<br />
=<br />
=<br />
k e<br />
k e<br />
= 2 k e<br />
−(<br />
α− jβ)<br />
t<br />
+ k * e<br />
jθ<br />
−(<br />
α− jβ)<br />
t<br />
e<br />
−(<br />
α− j(<br />
β+θ))<br />
t<br />
−αt<br />
e<br />
+<br />
+<br />
j(<br />
β+θ)<br />
t<br />
−(<br />
α+ jβ)<br />
t<br />
k e<br />
k e<br />
+ e<br />
2<br />
Jadi f(t) dari (19.18) akan berbentuk :<br />
− jθ<br />
−(<br />
α+ jβ)<br />
t<br />
e<br />
−(<br />
α+ j(<br />
β+θ))<br />
t<br />
− j(<br />
β+θ)<br />
t<br />
= 2 k e<br />
−αt<br />
−αt<br />
f ( t)<br />
= L + 2 k e cos( β + θ)<br />
+L<br />
cos( β + θ)<br />
CONTOH: Carilah transformasi balik dari<br />
8<br />
F ( s)<br />
=<br />
2<br />
s(<br />
s + 4s<br />
+ 8)<br />
Solusi :<br />
Fungsi ini mempunyai pole sederhana di s = 0, dan pole kompleks<br />
yang dap<strong>at</strong> ditentukan dari faktor penyebut yang berbentuk kwadr<strong>at</strong>,<br />
yaitu<br />
− 4 ± 16 − 32<br />
s =<br />
= −2<br />
± j2<br />
2<br />
Uraian dari F(s), penentuan residu, serta transformasi baliknya<br />
adalah sebagai berikut.<br />
∗<br />
8 k<br />
( )<br />
1 k2<br />
k<br />
F s =<br />
= + + 2<br />
2<br />
s(<br />
s + 4s<br />
+ 8) s s + 2 − j2<br />
s + 2 + j2<br />
8<br />
8<br />
→ k1<br />
=<br />
× s = = 1<br />
2<br />
s(<br />
s + 4s<br />
+ 8) 8<br />
s=<br />
0<br />
8<br />
→ k2<br />
=<br />
× ( s + 2 − j2)<br />
2<br />
s(<br />
s + 4s<br />
+ 8)<br />
∗<br />
→ k2<br />
=<br />
s=−2+<br />
j2<br />
8<br />
8<br />
=<br />
= =<br />
s(<br />
s + 2 + j2)<br />
− 8 − j8<br />
s=−2+<br />
j2<br />
2 − j(3π<br />
/ 4)<br />
e<br />
2<br />
2 j(3π<br />
/ 4)<br />
e<br />
2<br />
265
⇒<br />
f(t) = u(<br />
t)<br />
+<br />
= u(<br />
t)<br />
+<br />
= u(<br />
t)<br />
+<br />
2<br />
e<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2e<br />
j(3π<br />
/ 4) −(2−<br />
j2)<br />
t<br />
e<br />
−2t<br />
−2t<br />
e<br />
+<br />
j(3π<br />
/ 4+<br />
2t)<br />
− j(3π<br />
/ 4+<br />
2t)<br />
[ e + e ]<br />
cos(2t<br />
+ 3π<br />
/ 4)<br />
2<br />
e<br />
2<br />
− j(3π<br />
/ 4) −(2+<br />
j2)<br />
t<br />
e<br />
Fungsi Dengan Pole Ganda. Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dap<strong>at</strong><br />
mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan<br />
dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan<br />
untuk mendap<strong>at</strong>kan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dap<strong>at</strong><br />
diuraikan seperti biasanya. Untuk jelasnya kita ambil su<strong>at</strong>u fungsi yang<br />
mengandung pole ganda (dua pole sama) seperti berikut ini.<br />
F(<br />
s)<br />
K(<br />
s − z )<br />
=<br />
1<br />
(19.19)<br />
2<br />
( s − p1)(<br />
s − p2)<br />
Dengan mengeluarkan salah s<strong>at</strong>u faktor yang mengandung pole ganda<br />
kita dap<strong>at</strong>kan<br />
1 ⎡ K(<br />
s − z ) ⎤<br />
F ( s)<br />
=<br />
1<br />
⎢<br />
⎥<br />
(19.20)<br />
s − p2 ⎣(<br />
s − p1)(<br />
s − p2)<br />
⎦<br />
Bagian yang didalam tanda kurung dari (19.20) mengandung pole<br />
sederhana sehingga kita dap<strong>at</strong> menguraikannya seperti biasa.<br />
F ( s)<br />
1<br />
⎡<br />
K(<br />
s − z )<br />
⎤<br />
k<br />
=<br />
1<br />
1 2<br />
⎢<br />
⎥ = +<br />
(19.21)<br />
( s − p1)(<br />
s − p2)<br />
s − p1<br />
s − p2<br />
⎣<br />
Residu pada (19.21) dap<strong>at</strong> ditentukan, misalnya k 1 = A dan k 2 = B , dan<br />
faktor yang kita keluarkan kita masukkan kembali sehingga (19.20)<br />
menjadi<br />
1<br />
F(<br />
s)<br />
=<br />
s − p<br />
⎡<br />
⎢<br />
A<br />
+<br />
B<br />
⎤<br />
⎥ =<br />
⎦<br />
2<br />
2 ⎣ s − p1<br />
s − p2<br />
⎦ ( s − p2)(<br />
s − p1)<br />
( s − p2)<br />
dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadi<br />
F(<br />
s)<br />
k<br />
k<br />
B<br />
A<br />
=<br />
11<br />
+<br />
12<br />
+<br />
(19.22)<br />
s − p<br />
2<br />
1 s − p2<br />
( s − p2)<br />
k<br />
+<br />
B<br />
266 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Transformasi balik dari (19.22) adalah<br />
p t<br />
11<br />
p t<br />
12<br />
p t<br />
1<br />
2<br />
2<br />
f ( t)<br />
= k e + k e + Bte<br />
CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi:<br />
s<br />
F ( s)<br />
=<br />
2<br />
( s + 1)( s + 2)<br />
Solusi :<br />
s<br />
F(<br />
s)<br />
=<br />
( s + 1)( s + 2)<br />
1 ⎡ k1<br />
k2<br />
⎤<br />
=<br />
( 2) ⎢ +<br />
s + 1 2⎥<br />
⎣ s + s + ⎦<br />
→ k<br />
1<br />
s<br />
=<br />
( s + 2)<br />
2<br />
1 ⎡ s ⎤<br />
=<br />
( s + 2)<br />
⎢<br />
( 1)( 2)<br />
⎥<br />
⎣ s + s + ⎦<br />
= −1<br />
k11<br />
k12<br />
2<br />
= + +<br />
s + 1 s + 2 2<br />
( s + 2)<br />
→ k<br />
s<br />
=<br />
( s + 1)<br />
2<br />
s= −1<br />
s=−2<br />
= 2<br />
1 ⎡ −1<br />
2 ⎤ −1<br />
2<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
=<br />
( 2) ⎢ + =<br />
+<br />
s + 1 2⎥<br />
( + 1)( + 2) 2<br />
⎣ s + s + ⎦ s s ( s + 2)<br />
−1<br />
−1<br />
→ k11<br />
= = −1<br />
→ k12<br />
= = 1<br />
s + 2 s=−1<br />
s + 1 s=−2<br />
−1<br />
1 2<br />
−t<br />
−2t<br />
−2t<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
= + + ⇒ f ( t)<br />
= −e<br />
+ e + 2te<br />
s + 1 s + 2 2<br />
( s + 2)<br />
Konvolusi. Transformasi Laplace meny<strong>at</strong>akan secara timbal balik bahwa<br />
jika f ( t)<br />
= f1(<br />
t)<br />
+ f2(<br />
t)<br />
maka F(s)<br />
= F1<br />
( s)<br />
+ F2<br />
( s)<br />
jika F ( s)<br />
= F1 ( s)<br />
+ F2<br />
( s)<br />
maka f (t) = f1(<br />
t)<br />
+ f2(<br />
t)<br />
Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadi<br />
jika F(<br />
s)<br />
= F1 ( s)<br />
F2<br />
( s)<br />
maka f ( t)<br />
≠ f1(<br />
t)<br />
f2(<br />
t)<br />
Mencari fungsi f(t) dari su<strong>at</strong>u fungsi F(s) yang merupakan hasil kali dua<br />
fungsi s yang berlainan, melib<strong>at</strong>kan sif<strong>at</strong> transformasi Laplace yang kita<br />
sebut konvolusi. Sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
267
jika<br />
L<br />
−1<br />
F(<br />
s)<br />
= F1<br />
( s)<br />
F2<br />
( s)<br />
t<br />
[ F(<br />
s)<br />
] = f ( t)<br />
=<br />
∫<br />
f1(<br />
τ)<br />
f2(<br />
t − τ)<br />
dτ =<br />
∫<br />
0<br />
maka<br />
t<br />
f2(<br />
τ)<br />
f1(<br />
t − τ)<br />
dτ<br />
0<br />
(19.23)<br />
Kita k<strong>at</strong>akan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh<br />
dengan melakukan konvolusi dari kedua bentuk gelombang yang<br />
bersangkutan. Kedua bentuk integral pada (19.23) disebut integral<br />
konvolusi.<br />
Pandanglah dua fungsi waktu f 1 (t) dan f 2 (t). Transformasi Laplace<br />
masing-masing adalah<br />
∫ ∞<br />
1 s)<br />
= f1(<br />
τ)<br />
0<br />
−sτ<br />
F ( e dτ<br />
dan<br />
∫ ∞ −st<br />
F2 ( s)<br />
= f2(<br />
t)<br />
e dt .<br />
0<br />
Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akan<br />
kita peroleh<br />
∫ ∞ −sτ<br />
F1<br />
( s)<br />
F2<br />
( s)<br />
= f1(<br />
τ)<br />
e F2<br />
( s)<br />
dτ<br />
0<br />
Sif<strong>at</strong> translasi di kawasan waktu meny<strong>at</strong>akan bahwa e −sτ F 2 (s) adalah<br />
transformasi Laplace dari [ f 2 (t−τ) ] u(t−τ) sehingga persamaan tersebut<br />
dap<strong>at</strong> ditulis<br />
∞ ⎡ ∞<br />
−st<br />
⎤<br />
F1 ( s)<br />
F2<br />
( s)<br />
=<br />
∫<br />
f1(<br />
τ)<br />
⎢∫<br />
f2(<br />
t − τ)<br />
u(<br />
t − τ)<br />
e dt⎥dτ<br />
0 ⎣ 0 ⎦<br />
Karena untuk τ > t nilai u(t−τ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam<br />
kurung pada persamaan di <strong>at</strong>as cukup dilakukan dari 0 sampai t saja,<br />
sehingga<br />
∞ t<br />
1 2<br />
−<br />
=<br />
∫<br />
τ ⎢∫<br />
− τ ⎥ τ<br />
0 1<br />
⎣ 0 2<br />
st<br />
F ( s)<br />
F ( s)<br />
f ( ) f ( t ) e dt d<br />
⎦<br />
∞ ⎡ t<br />
−st<br />
⎤<br />
=<br />
∫ ⎢∫<br />
f1(<br />
τ)<br />
f2(<br />
t − τ)<br />
e dt⎥dτ<br />
0 0<br />
Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎦<br />
⎤<br />
268 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
269<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
τ<br />
− τ<br />
τ<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
τ<br />
− τ<br />
τ<br />
= ∫<br />
∫ ∫<br />
∞<br />
−<br />
t<br />
st<br />
t<br />
d<br />
t<br />
f<br />
f<br />
dt<br />
e<br />
d<br />
t<br />
f<br />
f<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0 0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
( L<br />
CONTOH: Carilah f(t) dari F(s) berikut.<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
c).<br />
)<br />
)(<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
b).<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
a).<br />
2<br />
2<br />
a<br />
s<br />
s<br />
s<br />
F<br />
b<br />
s<br />
a<br />
s<br />
s<br />
F<br />
a<br />
s<br />
s<br />
F<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
Solusi : a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari dua<br />
fungsi.<br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
ax<br />
<strong>at</strong><br />
ax<br />
t<br />
x<br />
t<br />
a<br />
ax<br />
t<br />
<strong>at</strong><br />
te<br />
dx<br />
e<br />
dx<br />
e<br />
dx<br />
e<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
t<br />
f<br />
x<br />
f<br />
t<br />
f<br />
e<br />
t<br />
f<br />
t<br />
f<br />
a<br />
s<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
⇒<br />
=<br />
=<br />
→<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
dengan<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
b). Fungsi ini juga merupakan perkalian dari dua fungsi.<br />
bt<br />
<strong>at</strong><br />
e<br />
t<br />
f<br />
e<br />
t<br />
f<br />
b<br />
s<br />
s<br />
F<br />
a<br />
s<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
→<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
=<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
dengan<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( )<br />
b<br />
a<br />
e<br />
e<br />
b<br />
a<br />
e<br />
e<br />
b<br />
a<br />
e<br />
e<br />
dx<br />
e<br />
e<br />
dx<br />
e<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
t<br />
f<br />
x<br />
f<br />
t<br />
f<br />
bt<br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
b<br />
a<br />
bt<br />
t<br />
x<br />
b<br />
a<br />
bt<br />
t<br />
x<br />
b<br />
a<br />
bt<br />
t<br />
x<br />
t<br />
b<br />
ax<br />
t<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
⇒<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
2<br />
1
270 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”<br />
c). Fungsi ketiga ini juga dap<strong>at</strong> dipandang sebagai perkalian dua<br />
fungsi.<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
)<br />
(<br />
1<br />
)<br />
(<br />
dan<br />
1<br />
)<br />
(<br />
dengan<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
a<br />
e<br />
<strong>at</strong><br />
a<br />
e<br />
a<br />
te<br />
e<br />
a<br />
e<br />
a<br />
te<br />
e<br />
dx<br />
a<br />
e<br />
a<br />
xe<br />
e<br />
dx<br />
xe<br />
e<br />
dx<br />
xe<br />
dx<br />
x<br />
t<br />
f<br />
x<br />
f<br />
t<br />
f<br />
e<br />
t<br />
f<br />
t<br />
t<br />
f<br />
a<br />
s<br />
s<br />
F<br />
s<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
s<br />
F<br />
<strong>at</strong><br />
<strong>at</strong><br />
<strong>at</strong><br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
ax<br />
<strong>at</strong><br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
ax<br />
t<br />
ax<br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
ax<br />
<strong>at</strong><br />
t<br />
x<br />
t<br />
a<br />
t<br />
<strong>at</strong><br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
⇒<br />
=<br />
=<br />
→<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫
Bab 20 Deret dan Transformasi Fourier<br />
Pada kasus tertentu dijumpai keadaan dimana pemecahan persoalan tidak<br />
dap<strong>at</strong> dilakukan dengan menggunakan transformasi Laplace akan tetapi<br />
dap<strong>at</strong> dilakukan melalui transformasi Fourier. <strong>Topik</strong>-topik yang akan kita<br />
bahas berikut ini meliputi: deret Fourier, transformasi Fourier, sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong><br />
transformasi Fourier.<br />
20.1. Deret Fourier<br />
Koefisien Fourier. Su<strong>at</strong>u fungsi periodik dap<strong>at</strong> diuraikan menjadi<br />
komponen-komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah perny<strong>at</strong>aan<br />
fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik<br />
yang memenuhi persyar<strong>at</strong>an Dirichlet, maka f(t) dap<strong>at</strong> diny<strong>at</strong>akan<br />
sebagai deret Fourier :<br />
yang dap<strong>at</strong> kita tuliskan sebagai<br />
[ a cos( nω<br />
t)<br />
+ b sin( nω<br />
t ]<br />
∑ ∞ f ( t)<br />
= a0 + n 0 n 0 ) (20.1)<br />
n=<br />
1<br />
∑ ∞ ⎡ 2 2<br />
f ( t)<br />
= a + + ( ω − θ )<br />
⎤<br />
0 an<br />
bn<br />
cos( n 0t<br />
n ) (20.2)<br />
n=<br />
1<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
Koefisien Fourier a 0 , a n , dan b n ditentukan dengan hubungan berikut.<br />
a<br />
a<br />
b<br />
0<br />
n<br />
n<br />
1<br />
=<br />
T<br />
0<br />
2<br />
=<br />
T<br />
0<br />
2<br />
=<br />
T<br />
0<br />
∫<br />
−T<br />
/ 2<br />
∫<br />
−T<br />
/ 2<br />
∫<br />
T / 2<br />
0<br />
T / 2<br />
0<br />
T / 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−T<br />
/ 2<br />
0<br />
f ( t)<br />
dt<br />
f ( t) cos( nω<br />
f ( t)sin(<br />
nω<br />
0<br />
0<br />
t)<br />
dt<br />
t)<br />
dt<br />
;<br />
;<br />
n > 0<br />
n > 0<br />
(20.3)<br />
Hubungan (20.3) dap<strong>at</strong> diperoleh dari (20.1). Misalkan kita mencari a n :<br />
kita kalikan (20.1) dengan cos(kω o t) kemudian kita integrasikan antara<br />
−T o /2 sampai T o /2 dan kita akan memperoleh<br />
271
∫<br />
T / 2<br />
o<br />
−T<br />
/ 2<br />
o<br />
f ( t) cos( kω<br />
t)<br />
dt =<br />
o<br />
+<br />
∫<br />
T / 2<br />
o<br />
−T<br />
/ 2<br />
o<br />
⎡<br />
o<br />
∞ ⎢∫−<br />
T<br />
⎢<br />
∑<br />
⎢<br />
n=<br />
1<br />
⎢+<br />
∫<br />
⎣<br />
a<br />
0<br />
T / 2<br />
o<br />
T /<br />
cos( kω<br />
/ 2<br />
o<br />
−T<br />
/ 2<br />
o<br />
o<br />
t)<br />
dt<br />
⎤<br />
an<br />
cos( nω0t) cos( kωot)<br />
dt ⎥<br />
⎥<br />
2<br />
⎥<br />
bn<br />
sin( nω0t) cos( kωot)<br />
dt⎥<br />
⎦<br />
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri<br />
1<br />
1<br />
cos α cos β = cos( α − β)<br />
+ cos( α + β)<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
cos α sin β = sin( α − β)<br />
+ sin( α + β)<br />
2<br />
2<br />
maka persamaan di <strong>at</strong>as menjadi<br />
To<br />
/ 2<br />
f ( t)cos(<br />
kωot)<br />
dt =<br />
−T<br />
/ 2<br />
∫<br />
o<br />
∫<br />
⎡a<br />
To<br />
/ 2<br />
n<br />
∞ ⎢ ∫−<br />
⎢<br />
2 To<br />
/ 2<br />
+ ∑⎢<br />
b To<br />
/ 2<br />
n=<br />
1⎢+<br />
n<br />
⎣ 2 ∫ −To<br />
/ 2<br />
To<br />
/ 2<br />
a0<br />
cos( kωot)<br />
dt<br />
−T<br />
/ 2<br />
o<br />
( cos(( n − k)<br />
ω t)<br />
+ cos(( n + k)<br />
ω t)<br />
)<br />
0<br />
( sin(( n − k)<br />
ω t)<br />
+ sin(( n + k)<br />
ω t)<br />
)<br />
0<br />
⎤<br />
o dt ⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
o dtdt⎥<br />
⎦<br />
Karena integral untuk s<strong>at</strong>u perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka<br />
semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali s<strong>at</strong>u yaitu<br />
a<br />
T<br />
n<br />
o<br />
/ 2<br />
∫ − T / 2<br />
2<br />
o<br />
a<br />
n<br />
( cos(( n − k)<br />
ω t)<br />
) dt = yang terjadi jika n = k<br />
oleh karena itu a n =<br />
∫<br />
f ( t) cos( nω<br />
T − T / 2<br />
0<br />
2 To<br />
/ 2<br />
o<br />
o<br />
2<br />
0<br />
t)<br />
dt<br />
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisienkoefisien<br />
Fourier-nya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh<br />
kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melih<strong>at</strong>nya dalam urain berikut ini.<br />
20.2. Kesimetrisan Fungsi<br />
Simetri Genap. Su<strong>at</strong>u fungsi dik<strong>at</strong>akan mempunyai simetri genap jika<br />
f(t) = f(−t). Salah s<strong>at</strong>u contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah<br />
fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1)<br />
kita dap<strong>at</strong>kan<br />
272 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
∞<br />
f ( t)<br />
= a0<br />
+ ∑ n<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
f ( −t)<br />
= a0<br />
+<br />
n=<br />
1<br />
[ a cos( nω<br />
t)<br />
+ b sin( nω<br />
t)<br />
]<br />
0<br />
∑[ an<br />
cos( nω0t)<br />
− bn<br />
sin( nω0t)<br />
]<br />
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b n = 0, dan f(t)<br />
menjadi<br />
CONTOH: Tentukan deret Fourier<br />
dari bentuk gelombang<br />
deretan pulsa berikut ini.<br />
n<br />
0<br />
dan<br />
∑ ∞ f ( t)<br />
= ao + [ an<br />
cos( nω0t)<br />
]<br />
(20.4)<br />
n=<br />
1<br />
Solusi :<br />
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda<br />
T o , lebar pulsa T.<br />
1<br />
ao<br />
=<br />
To<br />
2<br />
an<br />
=<br />
To<br />
A<br />
n<br />
=<br />
π<br />
T / 2<br />
T / 2 At AT<br />
Adt = = ; bn<br />
= 0 ;<br />
−T<br />
/ 2 To<br />
T<br />
−T/<br />
2 o<br />
T / 2<br />
2A<br />
T / 2<br />
Acos(<br />
nωot)<br />
dt = sin nωot<br />
−T<br />
/ 2<br />
T ω<br />
− / 2<br />
o on<br />
T<br />
∫<br />
∫<br />
⎡ ⎛ nπT<br />
⎞⎤<br />
2A<br />
⎡ ⎛ nπT<br />
⎞⎤<br />
⎢2sin⎜<br />
⎟⎥<br />
= ⎢ ⎜ ⎟<br />
sin<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ To<br />
⎠⎥⎦<br />
πn<br />
⎢⎣<br />
⎝ To<br />
⎠⎥⎦<br />
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), a n = 0; a n hanya mempunyai nilai<br />
untuk n = 1, 3, 5, …. (ganjil).<br />
f ( t)<br />
=<br />
=<br />
Pemahaman :<br />
AT<br />
T<br />
o<br />
AT<br />
T<br />
o<br />
+<br />
+<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1, ganjil<br />
2A<br />
⎡ ⎛ nπT<br />
⎞⎤<br />
⎢sin⎜<br />
⎟⎥<br />
cos( nωot)<br />
nπ<br />
⎢⎣<br />
T<br />
⎝ ⎠⎥⎦<br />
n=<br />
1,<br />
ganjil<br />
o<br />
∞<br />
∑<br />
2A<br />
nπ<br />
A<br />
v(t)<br />
−T/2 0 T/2<br />
T o<br />
( n−<br />
/ 2<br />
( −1) 1) cos( nω<br />
t)<br />
o<br />
T<br />
273
Pada fungsi yang memiliki simetri genap, b n = 0. Oleh karena itu<br />
sudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = 0 yang berarti θ n = 0 o .<br />
Simetri Ganjil. Su<strong>at</strong>u fungsi dik<strong>at</strong>akan mempunyai simetri ganjil jika f(t)<br />
= −f(−t). Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus,<br />
sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dap<strong>at</strong>kan<br />
∑ ∞ − f ( −t)<br />
= −a0 + n 0 n 0 )<br />
n=<br />
1<br />
Kalau fungsi ini harus sama dengan<br />
[ − a cos( nω<br />
t)<br />
+ b sin( nω<br />
t ]<br />
∑ ∞ f ( t)<br />
= a0 + n 0 n 0 )<br />
n=<br />
1<br />
maka haruslah<br />
[ a cos( nω<br />
t)<br />
+ b sin( nω<br />
t ]<br />
[ b sin( nω<br />
t)<br />
]<br />
0 0 dan 0 ( ) ∑ ∞ a = an<br />
= ⇒ f t = n 0 (20.5)<br />
n=<br />
1<br />
CONTOH: Carilah deret Fourier dari<br />
bentuk gelombang persegi di<br />
samping ini.<br />
Solusi:<br />
Bentuk gelombang ini memiliki<br />
simetri ganjil, amplitudo A, perioda<br />
T o = T.<br />
a o = 0 ; an<br />
= 0<br />
;<br />
v(t)<br />
A<br />
−A<br />
2 ⎛ T / 2<br />
T<br />
⎞<br />
bn<br />
= ⎜ sin( o )<br />
sin( o ) ⎟<br />
⎝∫<br />
A nω<br />
t dt +<br />
0 ∫<br />
− A nω<br />
t dt<br />
T<br />
T / 2<br />
⎠<br />
2A<br />
/ 2<br />
⎜<br />
⎛<br />
T<br />
T<br />
= − cos( nωot)<br />
+ cos( nωot)<br />
⎟<br />
⎞<br />
Tnω<br />
0<br />
/ 2<br />
o ⎝<br />
T ⎠<br />
A 2<br />
= ( 1+<br />
cos ( nπ)<br />
− 2cos( nπ)<br />
)<br />
nπ<br />
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1.<br />
Dengan demikian maka<br />
T<br />
t<br />
274 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
A<br />
bn<br />
=<br />
nπ<br />
A<br />
bn<br />
=<br />
nπ<br />
( 1 + 1 + 2)<br />
4A<br />
=<br />
nπ<br />
untuk n ganjil<br />
( 1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap<br />
∑ ∞ 4A<br />
⇒ v(<br />
t)<br />
=<br />
nω<br />
t<br />
nπ<br />
sin( o )<br />
n=<br />
1, ganjil<br />
Pemahaman:<br />
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, a n = 0. Oleh karena<br />
itu sudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = ∞ <strong>at</strong>au θ n = 90 o .<br />
Simetri Setengah Gelombang. Su<strong>at</strong>u fungsi dik<strong>at</strong>akan mempunyai<br />
simetri setengah gelombang jika f(t) = −f(t−T o /2). Fungsi dengan sif<strong>at</strong> ini<br />
tidak berubah bentuk dan nilainya jika diinversi kemudian digeser<br />
setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita inversikan<br />
kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt).<br />
Demikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi,<br />
dan gelombang segitiga.<br />
− f ( t − To<br />
/ 2) = −a0<br />
+<br />
= −a0<br />
+<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
[ − a cos( nω<br />
( t − π))<br />
− b sin( nω<br />
( t − π))<br />
]<br />
∞<br />
n<br />
n<br />
∑[ − ( −1)<br />
an<br />
cos( nω0t)<br />
− ( −1)<br />
bn<br />
sin( nω0t)<br />
]<br />
n=<br />
1<br />
Kalau fungsi ini harus sama dengan<br />
n<br />
∑ ∞ f ( t)<br />
= a0 + n 0 n 0 )<br />
n=<br />
1<br />
0<br />
[ a cos( nω<br />
t)<br />
+ b sin( nω<br />
t ]<br />
maka haruslah a o = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi<br />
ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.<br />
Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier pada<br />
beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk gelombang yang<br />
tercantum disini adalah bentuk gelombang yang persamaan<br />
m<strong>at</strong>em<strong>at</strong>isnya mudah diperoleh, sehingga pencarian koefisien Fourier<br />
menggunakan hubungan (20.3) dap<strong>at</strong> dilakukan.<br />
n<br />
0<br />
275
Penyearahan Setengah Gelombang:<br />
v<br />
T 0<br />
a0<br />
= A / π<br />
2A<br />
/ π<br />
an<br />
= n genap; a = 0<br />
2<br />
n<br />
1−<br />
n<br />
t<br />
b1<br />
= A / 2 ; bn<br />
= 0 n ≠ 1<br />
n<br />
ganjil<br />
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu a 0 ≠ 0 .<br />
Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi<br />
(3.12).<br />
Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:<br />
v<br />
A<br />
T 0<br />
a0<br />
= 2A<br />
/ π<br />
4A<br />
/ π<br />
an<br />
= n genap; an<br />
= 0<br />
2<br />
1−<br />
n<br />
t<br />
bn<br />
= 0 untuk semua n<br />
n<br />
ganjil<br />
Sinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandung<br />
komponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu<br />
waktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lip<strong>at</strong> dari<br />
penyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk n<br />
genap bernilai dua kali lip<strong>at</strong> dari penyearahan setengah gelombang.<br />
Sinyal Persegi:<br />
v T 0<br />
A<br />
t<br />
a<br />
a<br />
b<br />
0<br />
n<br />
n<br />
= 0<br />
= 0 semua n ;<br />
4A<br />
=<br />
nπ<br />
n ganjil;<br />
b<br />
n<br />
= 0<br />
n<br />
genap<br />
Sinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidak<br />
mengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetris<br />
terhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.<br />
276 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Deretan Pulsa:<br />
T<br />
A<br />
v<br />
T 0<br />
t<br />
a0<br />
= AT / T0<br />
2A<br />
nπT<br />
an<br />
= sin<br />
nπ<br />
T0<br />
bn<br />
= 0 untuk semua n<br />
Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuk semua n.<br />
Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu a 0 ≠ 0 .<br />
Sinyal Segitiga:<br />
v<br />
A<br />
T 0<br />
t<br />
a0<br />
= 0<br />
8A<br />
an<br />
=<br />
2<br />
( nπ)<br />
bn<br />
= 0<br />
n ganjil; an<br />
= 0 n genap<br />
untuk semua n<br />
Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0<br />
untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.<br />
Sinyal Gigi Gergaji:<br />
v<br />
A<br />
T 0<br />
t<br />
a0<br />
= A/<br />
2<br />
an<br />
= 0 untuk semua n<br />
bn<br />
= −<br />
A<br />
nπ<br />
untuk semua n<br />
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Ia memiliki<br />
simetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.<br />
20.3. Deret Fourier Bentuk Eksponensial<br />
Deret Fourier dalam bentuk seperti (20.1) sering disebut sebagai bentuk<br />
sinus-cosinus. Bentuk ini dap<strong>at</strong> kita ubah kedalam cosinus seperti (20.2).<br />
Sekarang bentuk (20.2) akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial<br />
dengan menggunakan hubungan<br />
277
e<br />
cosα =<br />
jα +<br />
e<br />
2<br />
− jα<br />
.<br />
Dengan menggunakan relasi ini maka (20.2) akan menjadi<br />
∞<br />
⎡ 2 2<br />
f ( t)<br />
= a ∑ ( )<br />
⎤<br />
0 + an<br />
+ bn<br />
cos( nω0t<br />
− θn)<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
n=<br />
1<br />
∞ ⎡ j(<br />
nω0t−θn<br />
) − j(<br />
nω0t−θn<br />
)<br />
+<br />
⎤<br />
2 2 e<br />
e<br />
= a0<br />
+ ∑ ⎢ an<br />
+ bn<br />
⎥<br />
= 1⎢⎣<br />
2<br />
n<br />
⎥⎦<br />
∞ ⎡<br />
= a ⎢<br />
0 + ∑ ⎢<br />
n=<br />
1<br />
⎣<br />
2 2<br />
∞<br />
a<br />
⎤ ⎡<br />
n + bn<br />
j(<br />
nω0t−θn<br />
)<br />
e ⎥ + ⎢<br />
2<br />
⎥ ∑ ⎢<br />
⎦ n=<br />
1<br />
⎣<br />
2 2<br />
a<br />
⎤<br />
n + bn<br />
− j(<br />
nω0t−θn<br />
)<br />
e ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
(20.6)<br />
Suku ketiga (20.6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika<br />
penjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan<br />
penyesuaian a n menjadi a −n , b n menjadi b −n , dan θ n menjadi θ −n , maka<br />
menurut (20.3) perubahan ini berakib<strong>at</strong><br />
2 T0<br />
/ 2<br />
2 T0<br />
/ 2<br />
a−n<br />
= f ( t)cos(<br />
n 0t)<br />
dt<br />
f ( t)cos(<br />
n 0t)<br />
dt an<br />
T ∫<br />
− ω =<br />
ω =<br />
0 −T0<br />
/ 2<br />
T ∫<br />
0 −T0<br />
/ 2<br />
2 T0<br />
/ 2<br />
2 T0<br />
/ 2<br />
b−n<br />
= f ( t)sin(<br />
n 0t)<br />
dt<br />
f ( t)sin(<br />
n 0t)<br />
dt b<br />
T ∫<br />
− ω = −<br />
ω = −<br />
0 −T0<br />
/ 2<br />
T ∫<br />
0 −T0<br />
/ 2<br />
b<br />
tan n − b<br />
θ<br />
n<br />
n = −<br />
− = ⇒ θ−n<br />
= −θn<br />
a−n<br />
an<br />
(20.7)<br />
Dengan (20.7) ini maka (20.6) menjadi<br />
∞ ⎡<br />
f ( t)<br />
= ⎢<br />
∑ ⎢<br />
n=<br />
0⎣<br />
2 2<br />
−∞<br />
a<br />
⎤ ⎡<br />
n + bn<br />
j(<br />
nω0t−θn<br />
)<br />
e ⎥ + ⎢<br />
2<br />
⎥ ∑ ⎢<br />
⎦ n=−1⎣<br />
2 2<br />
a<br />
⎤<br />
n + bn<br />
j(<br />
nω0t−θn<br />
)<br />
e ⎥<br />
2<br />
⎥<br />
⎦<br />
(20.8)<br />
Suku pertama dari (20.8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n<br />
= 0 untuk memasukkan a 0 sebagai salah s<strong>at</strong>u suku penjumlahan ini.<br />
Dengan cara ini maka (20.8) dap<strong>at</strong> ditulis menjadi<br />
278 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
+∞ ⎛ 2 2 ⎞<br />
+∞<br />
⎜ an<br />
+ bn<br />
− jθ<br />
⎟<br />
n j(<br />
nω0<br />
t)<br />
j(<br />
nω0t)<br />
f ( t)<br />
= ∑ ⎜ e ⎟ e = ∑cn<br />
e (20.9)<br />
n=−∞<br />
2<br />
⎝<br />
⎠<br />
n=−∞<br />
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan c n adalah koefisien<br />
Fourier yang mungkin berupa besaran kompleks.<br />
c<br />
n<br />
=<br />
a<br />
2<br />
n<br />
+ b<br />
2<br />
2<br />
n<br />
e<br />
− jθ<br />
a<br />
=<br />
n<br />
− jb<br />
2<br />
n<br />
(20.10)<br />
2 2<br />
an<br />
+ bn<br />
cn<br />
=<br />
2<br />
−1⎛ − b ⎞<br />
θn<br />
= tan ⎜ n ⎟<br />
⎝ an<br />
⎠<br />
dan<br />
jika<br />
∠cn<br />
= θn<br />
dengan<br />
−1⎛<br />
b ⎞<br />
0; n tan ⎜ n<br />
an<br />
< θ = ⎟<br />
⎝ an<br />
⎠<br />
jika<br />
an<br />
> 0<br />
(20.11)<br />
Jika a n dan b n pada (20.3) kita masukkan ke (20.10) akan kita dap<strong>at</strong>kan<br />
a<br />
− jb<br />
1<br />
T0<br />
/ 2<br />
− ω<br />
=<br />
n n<br />
jn n t<br />
cn<br />
=<br />
∫<br />
f ( t)<br />
e dt (20.12)<br />
2 T0<br />
− T0<br />
/ 2<br />
dan dengan (20.12) ini maka (20.9) menjadi<br />
+∞<br />
+∞<br />
j(<br />
nω<br />
t)<br />
⎛ 1 T0<br />
/ 2<br />
− ω ⎞<br />
0<br />
ω<br />
= ∑ = ∑<br />
⎜<br />
jn<br />
ot<br />
⎟ j(<br />
n<br />
0t)<br />
f ( t)<br />
cn<br />
e<br />
∫<br />
f ( t)<br />
e dt<br />
−<br />
e (20.13)<br />
=−∞<br />
n=−∞⎝<br />
T T / 2<br />
n<br />
0 0<br />
⎠<br />
Persamaan (20.11) menunjukkan bahwa 2|c n | adalah amplitudo dari<br />
harmonisa ke-n dan sudut fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠c n . Persamaan<br />
(20.10) <strong>at</strong>aupun (20.12) dap<strong>at</strong> kita pandang sebagai pengubahan sinyal<br />
periodik f(t) menjadi su<strong>at</strong>u spektrum yang terdiri dari spektrum<br />
amplitudo dan spektrum sudut fasa seperti telah kita kenal di Bab-1.<br />
Persamaan (20.9) <strong>at</strong>aupun (20.13) memberikan f(t) apabila komposisi<br />
harmonisanya c n diketahui. Persamaan (20.12) menjadi cikal bakal<br />
transformasi Fourier, sedangkan persamaan (20.13) adalah transformasi<br />
baliknya.<br />
279
CONTOH: Carilah koefisien Fourier c n dari fungsi pada contoh-10.1.<br />
Solusi :<br />
1<br />
cn<br />
=<br />
To<br />
T / 2<br />
− jnωot<br />
A e dt =<br />
−T<br />
/ 2<br />
∫<br />
o<br />
/ 2<br />
o<br />
A ⎛ jnω<br />
T − jnω<br />
T<br />
⎜ e − e<br />
=<br />
nωoT<br />
⎜<br />
o ⎝<br />
j<br />
20.4. Transformasi Fourier<br />
T<br />
o<br />
A ⎛ − jnω<br />
t<br />
e ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
T ⎜<br />
o jn ⎟<br />
⎝<br />
− ωo<br />
⎠ −T<br />
/ 2<br />
/ 2<br />
/ 2<br />
⎞<br />
⎟ 2A<br />
= sin<br />
⎟<br />
⎠<br />
nωoTo<br />
( nω<br />
T / 2)<br />
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh<br />
(20.12) hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik<br />
seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dap<strong>at</strong><br />
direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyal<br />
demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum<br />
kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan<br />
perioda tak-hingga.<br />
Jika diing<strong>at</strong> bahwa ω 0 = 2π/T 0 , maka (20.13) menjadi<br />
∞<br />
⎛ 1 T0<br />
/ 2<br />
f ( t)<br />
= ∑<br />
⎜<br />
∫−<br />
=−∞⎝<br />
T<br />
n 0 T0<br />
/ 2<br />
∞<br />
1 ⎛ T0<br />
/ 2<br />
= ∑ ⎜<br />
2π<br />
∫−<br />
n=−∞⎝<br />
T0<br />
/ 2<br />
− jnω<br />
⎞<br />
0t<br />
⎟ jnω0t<br />
f ( t)<br />
e dt<br />
e<br />
⎠<br />
− jnω<br />
⎞<br />
0t<br />
jnω0t<br />
f ( t)<br />
e dt ⎟ ω0<br />
e<br />
⎠<br />
o<br />
(20.14)<br />
Kita lih<strong>at</strong> sekarang apa yang terjadi jika perioda T 0 diperbesar. Karena<br />
ω 0 = 2π/T 0 maka jika T 0 makin besar, ω 0 akan makin kecil. Beda<br />
frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu<br />
∆ ω =<br />
( n + 1) ω<br />
0<br />
− nω<br />
0<br />
= ω<br />
0<br />
2π<br />
=<br />
T<br />
juga akan makin kecil yang berarti untuk su<strong>at</strong>u selang frekuensi tertentu<br />
jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T 0<br />
diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu,<br />
∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan nω 0 menjadi<br />
0<br />
280 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (20.14) menjadi integral. Jadi<br />
dengan membu<strong>at</strong> T 0 → ∞ maka (20.14) menjadi<br />
1 ∞ ⎛ ∞<br />
− jωt<br />
⎞ jωt<br />
1 ∞<br />
jωt<br />
f ( t)<br />
=<br />
∫<br />
⎜<br />
−∞ ∫<br />
f ( t)<br />
e dt ⎟ e dω =<br />
−∞<br />
∫<br />
F(<br />
ω)<br />
e dω<br />
(20.15)<br />
2π<br />
⎝<br />
⎠ 2π<br />
−∞<br />
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian<br />
rupa sehingga<br />
F<br />
∫ ∞ − jωt<br />
( ω)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
(20.16)<br />
−∞<br />
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi<br />
F<br />
[ f ( t)<br />
] = F(<br />
ω)<br />
Proses transformasi balik dap<strong>at</strong> kita lakukan melalui persamaan (20.15).<br />
F<br />
f ( t)<br />
= −1 ( ω)<br />
CONTOH: Carilah transformasi Fourier<br />
dari bentuk gelombang pulsa di samping<br />
ini.<br />
Solusi :<br />
−T/2 0 T/2<br />
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik<br />
yang hanya mempunyai nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untuk<br />
t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu integrasi yang diminta oleh<br />
(20.16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja.<br />
T / 2<br />
T / 2<br />
/ 2 / 2<br />
A<br />
A ⎡ jωT<br />
− jωT<br />
e e ⎤<br />
− jωt<br />
− jωt<br />
−<br />
F(<br />
ω)<br />
=<br />
∫<br />
A e dt = − e = ⎢<br />
⎥<br />
−T<br />
/ 2<br />
jω<br />
ω/<br />
2 j2<br />
−T<br />
/ 2 ⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
sin( ωT<br />
/ 2)<br />
= AT<br />
ωT<br />
/ 2<br />
Kita bandingkan transformasi Fourier (20.16)<br />
F(<br />
ω)<br />
=<br />
∫ ∞ −∞<br />
− jωt<br />
f ( t)<br />
e dt<br />
dengan koefisien Fourier<br />
A<br />
v(t)<br />
281
an<br />
− jbn<br />
1 T0<br />
/ 2<br />
− jnω<br />
n t<br />
cn<br />
= =<br />
∫<br />
f ( t)<br />
e dt<br />
(20.17)<br />
2 T0<br />
− T0<br />
/ 2<br />
Koefisien Fourier c n merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda<br />
T 0 yang terdiri dari spektrum amplitudo |c n | dan spektrum sudut fasa ∠c n ,<br />
dan keduanya merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai<br />
pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit). Sementara itu<br />
transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan perioda<br />
sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita<br />
anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T 0<br />
pada c n dikeluarkan untuk memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum<br />
kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)| maupun spektrum sudut fasa<br />
∠ F(ω).<br />
CONTOH: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh<br />
sebelumnya.<br />
Solusi :<br />
Spektrum amplitudo<br />
sinyal aperiodik ini<br />
merupakan spektrum<br />
kontinyu |F(jω)|.<br />
F ( ω)<br />
=<br />
Pemahaman:<br />
sin( ωT<br />
/ 2)<br />
AT<br />
ωT<br />
/ 2<br />
-5<br />
−6π<br />
T<br />
−4π<br />
T 0<br />
−2π<br />
T<br />
|F(ω)|<br />
0 2π 4π 6π ω<br />
T T T<br />
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah<br />
nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perh<strong>at</strong>ikan<br />
pula bahwa |F(ω)| mempunyai spektrum di dua sisi, ω positif<br />
maupun neg<strong>at</strong>if; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0 yaitu pada ω =<br />
±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu pada<br />
waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.<br />
282 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e −αt ] u(t) dan<br />
gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.<br />
Solusi :<br />
∞<br />
−αt<br />
− jωt<br />
∞<br />
−(<br />
α+ jω)<br />
t<br />
F(<br />
ω)<br />
=<br />
∫<br />
Ae u(<br />
t)<br />
e dt =<br />
−∞ ∫<br />
Ae dt<br />
0<br />
∞<br />
−(<br />
α+ jω)<br />
t<br />
e<br />
A<br />
= − A<br />
= untuk α > 0<br />
α + jω<br />
α + jω<br />
0<br />
|F(ω)|<br />
25 A/α<br />
⇒ F(<br />
ω)<br />
=<br />
α<br />
| A |<br />
+ ω<br />
⇒ θ(<br />
ω)<br />
= ∠F(<br />
jω)<br />
= − tan<br />
2<br />
2<br />
−1<br />
θ(ω)<br />
90<br />
ω<br />
α<br />
+90 o<br />
ω<br />
−90 o<br />
Pemahaman:<br />
Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi<br />
menjadi tidak konvergen.<br />
20.3. Transformasi Balik<br />
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan<br />
mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (20.15). Hal ini dap<strong>at</strong><br />
dimengerti karena aplikasi formula tersebut rel<strong>at</strong>if mudah dilakukan<br />
CONTOH: Carilah f(t) dari<br />
F( ω)<br />
= 2πδ(<br />
ω)<br />
283
Solusi:<br />
f ( t)<br />
=<br />
Pemahaman :<br />
1<br />
2π<br />
∞<br />
jωt<br />
2πδ(<br />
ω)<br />
e dω =<br />
−∞<br />
∫<br />
+<br />
α<br />
=<br />
∫<br />
δ(<br />
ω)(1)<br />
dω = 1<br />
−<br />
α<br />
1<br />
2π<br />
+<br />
0<br />
jωt<br />
2πδ(<br />
ω)<br />
e dω<br />
−<br />
0<br />
Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya<br />
mempunyai nilai di ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya<br />
mempunyai nilai di ω=0 sebesar e j0t =1. Karena fungsi hanya<br />
mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup<br />
dilakukan dari 0 − sampai 0 + , yaitu sedikit di bawah dan di <strong>at</strong>as ω=0.<br />
Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal<br />
searah beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).<br />
∫<br />
CONTOH: Carilah f(t) dari<br />
Solusi :<br />
f ( t)<br />
=<br />
1<br />
2<br />
F( jω)<br />
= 2πδ(<br />
ω − α)<br />
∞<br />
jωt<br />
πδ ω − α e dω =<br />
π ∫<br />
2 ( )<br />
−∞<br />
+<br />
jαt<br />
α<br />
jαt<br />
= e<br />
∫<br />
δ(<br />
ω − α)<br />
dω = e<br />
−<br />
α<br />
Pemahaman :<br />
1<br />
2<br />
+<br />
α<br />
jωt<br />
πδ ω − α e dω<br />
π ∫<br />
2 ( )<br />
−<br />
α<br />
Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya<br />
mempunyai nilai di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya<br />
mempunyai nilai di ω=α sebesar e jαt . Karena fungsi hanya<br />
mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup<br />
dilakukan dari α − sampai α + , yaitu sedikit di bawah dan di <strong>at</strong>as ω=α.<br />
284 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
CONTOH: Carilah f(t) dari<br />
Solusi :<br />
πA<br />
F( ω)<br />
=<br />
α<br />
α<br />
[ u(<br />
ω + α)<br />
− u(<br />
ω − )]<br />
1 ∞ πA<br />
jωt<br />
f ( t)<br />
= [ u ω + α − u ω − α ] e dω<br />
π ∫<br />
( ) ( )<br />
2 −∞ α<br />
α<br />
jωt<br />
1 ∞ πA<br />
jωt<br />
A e<br />
= [ ] e dω<br />
=<br />
π ∫<br />
1<br />
2 −∞ α<br />
2α<br />
jt<br />
−α<br />
jαt<br />
− jαt<br />
jαt<br />
− jαt<br />
A e − e A e − e sin( αt)<br />
=<br />
=<br />
= A<br />
2α<br />
jt αt<br />
j2<br />
αt<br />
Pemahaman:<br />
Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α
20.5. Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier<br />
Untuk beberapa sinyal, terdap<strong>at</strong> hubungan sederhana antara transformasi<br />
Fourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui,<br />
transformasi Laplace didefinisikan melalui (19.1) sebagai<br />
∫ ∞ −st<br />
F( s)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
0<br />
(20.18)<br />
dengan s = σ + jω adalah peubah frekuensi kompleks. B<strong>at</strong>as bawah<br />
integrasi adalah nol, artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t)<br />
memenuhi persyar<strong>at</strong>an Dirichlet maka integrasi tersebut di <strong>at</strong>as akan<br />
tetap konvergen jika σ = 0, dan formulasi transformasi Laplace ini<br />
menjadi<br />
∫ ∞ − jωt<br />
F( s)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
0<br />
(20.19)<br />
Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup<br />
dilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal<br />
menjadi<br />
∫ ∞ − jωt<br />
F( ω)<br />
= f ( t)<br />
e dt<br />
0<br />
Bentuk (20.20) sama benar dengan (20.19), sehingga kita dap<strong>at</strong><br />
simpulkan bahwa<br />
(20.20)<br />
untuk sinyal f ( t)<br />
kausal dan dap<strong>at</strong> di - integrasi<br />
F(<br />
ω)<br />
= F(<br />
s)<br />
σ= 0<br />
berlaku<br />
(20.21)<br />
Persyar<strong>at</strong>an “dap<strong>at</strong> di-integrasi” pada hubungan (20.21) dap<strong>at</strong> dipenuhi<br />
jika f(t) mempunyai durasi yang terb<strong>at</strong>as <strong>at</strong>au cep<strong>at</strong> menurun menuju nol<br />
sehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=∞ konvergen. Ini berarti bahwa<br />
pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Jika<br />
persyar<strong>at</strong>an-persyar<strong>at</strong>an tersebut di <strong>at</strong>as dipenuhi, pencarian transformasi<br />
balik dari F(ω) dap<strong>at</strong> pula dilakukan dengan metoda transformasi balik<br />
Laplace.<br />
CONTOH: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah<br />
transformasi Fourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap α, β > 0).<br />
286 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Solusi:<br />
a). f ( t)<br />
= A e<br />
b). f<br />
c) f<br />
1<br />
3<br />
2<br />
( t)<br />
= δ(<br />
t)<br />
( t)<br />
= A e<br />
−αt<br />
u(<br />
t)<br />
−αt<br />
[ sin βt] u(<br />
t)<br />
−αt<br />
a). f1(<br />
t)<br />
= Ae u(<br />
t)<br />
→ fungsi kausal dan dap<strong>at</strong> di - integrasi<br />
A<br />
→ F(<br />
s)<br />
= → pole p1<br />
= −α (di kiri sumbu imag)<br />
s + α<br />
1<br />
→ F(<br />
ω)<br />
=<br />
jω + α<br />
b). f2(<br />
t)<br />
= δ(<br />
t)<br />
→ fungsi kausal dan dap<strong>at</strong> di - integrasi<br />
→ F(<br />
s)<br />
= 1 → F(<br />
ω)<br />
= 1<br />
−αt<br />
[ sin βt]<br />
c). f3(<br />
t)<br />
= A e u(<br />
t)<br />
→ fungsi kausal, dap<strong>at</strong><br />
A<br />
→ F(<br />
s)<br />
=<br />
→ pole p = −α ± jβ<br />
2 2<br />
( s + α)<br />
+ β<br />
A<br />
a<br />
→ F(<br />
ω)<br />
=<br />
=<br />
2 2 2 2 2<br />
( jω + α)<br />
+ β α + β − ω + j2αω<br />
di - integrasi<br />
(di kiri sumbu<br />
im)<br />
CONTOH: Carilah f(t) dari<br />
10<br />
F ( ω)<br />
=<br />
( jω + 3)( jω + 4)<br />
Solusi :<br />
Jika kita ganti jω dengan s kita dap<strong>at</strong>kan<br />
10<br />
F ( s)<br />
=<br />
( s + 3)( s + 4)<br />
Pole dari fungsi ini adalah p 1 = −3 dan p 2 = −4, keduanya di sebelah<br />
kiri sumbu imajiner.<br />
287
10 k<br />
( )<br />
1 k<br />
F s =<br />
= + 2<br />
( s + 3)( s + 4) s + 3 s + 4<br />
10<br />
→ k1<br />
= = 10 ;<br />
s + 4 s=−3<br />
10 10<br />
⇒ F(<br />
s)<br />
= −<br />
s + 3 s + 4<br />
Transformasi balik dari F(ω) adalah :<br />
10<br />
k2<br />
= = −10<br />
s + 3 s=−4<br />
f ( t)<br />
=<br />
−3t<br />
−4t<br />
[ 10 e −10<br />
e ] u(<br />
t)<br />
20.6. Sif<strong>at</strong>-Sif<strong>at</strong> Transformasi Fourier<br />
Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sif<strong>at</strong> utama transformasi<br />
Fourier adalah kelinieran.<br />
Jika<br />
maka<br />
:<br />
:<br />
F<br />
[ f<br />
1<br />
( t)<br />
] = F1<br />
( ω)<br />
dan F[ f ( t)<br />
] = F2<br />
(<br />
[ Af ( t)<br />
+ Bf ( t)<br />
] = AF ( ω)<br />
+ BF ( ω)<br />
F<br />
2<br />
1<br />
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosβt.<br />
Solusi:<br />
2<br />
1<br />
2<br />
ω)<br />
(20.22)<br />
Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi<br />
Laplace tidak dap<strong>at</strong> di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan<br />
dalam bentuk eksponensial.<br />
F<br />
⎡ jβt<br />
− jβt<br />
e + e ⎤ 1 jβt<br />
1 − jβt<br />
[ cosβt] = F⎢<br />
⎥ = F[ e ] + F[ e ]<br />
⎢⎣<br />
2<br />
Dari contoh 10.8. kita ketahui bahwa F<br />
⎡<br />
e<br />
jωt<br />
⎤<br />
= 2πδ(<br />
ω − β)<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
F<br />
Jadi [ cosβt] = πδ( ω − β)<br />
+ πδ(<br />
ω + β)<br />
⎥⎦<br />
2<br />
2<br />
288 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Diferensiasi. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut<br />
Persamaan (20.15) meny<strong>at</strong>akan<br />
⎡df<br />
( t)<br />
⎤<br />
F ⎢ ⎥ = jωF<br />
( ω)<br />
(20.23)<br />
⎣ dt ⎦<br />
1 ∞<br />
jωt<br />
f ( t)<br />
= ( ω)<br />
ω<br />
2π<br />
∫<br />
F e d<br />
−∞<br />
df ( t)<br />
d ⎛ 1 ∞<br />
→ = ⎜ ( ω)<br />
⎝ 2π<br />
∫<br />
F e<br />
dt dt −∞<br />
1 ∞<br />
j<br />
= ω ( ω)<br />
2π<br />
∫<br />
j F e<br />
−∞<br />
⎡df<br />
( t)<br />
⎤<br />
→ F⎢<br />
⎥ = jωF<br />
( ω)<br />
⎣ dt ⎦<br />
jωt<br />
ωt<br />
⎞ 1<br />
dω⎟<br />
=<br />
⎠ 2π<br />
dω<br />
Integrasi. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
⎡ d<br />
⎢<br />
⎣dt<br />
jωt<br />
( F(<br />
ω)<br />
e dω)<br />
⎡ t ⎤ F(<br />
ω)<br />
F ⎢∫ f ( x)<br />
dx⎥<br />
= + πF(0)<br />
δ(<br />
ω)<br />
(20.24)<br />
⎣ −∞<br />
⎦ jω<br />
Suku kedua ruas kanan (20.24) merupakan komponen searah jika<br />
sekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nol<br />
akan kita dap<strong>at</strong>kan<br />
∫ ∞ −∞<br />
F ( 0) = f ( t)<br />
dt<br />
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t).<br />
Solusi:<br />
Metoda transformasi Laplace tidak dap<strong>at</strong> diterapkan untuk fungsi<br />
anak tangga. Dari contoh (10.b) kita dap<strong>at</strong>kan bahwa F [ δ( t)<br />
] = 1.<br />
Karena fungsi anak tangga adalah integral dari fungsi impuls, kita<br />
dap<strong>at</strong> menerapkan hbungan (20.24) tersebut di <strong>at</strong>as.<br />
F<br />
t<br />
1<br />
j ω<br />
[ u( t)<br />
] = F∫ δ(<br />
x)<br />
dx = + πδ(<br />
ω)<br />
∞<br />
−<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
289
Pembalikan. Pembalikan su<strong>at</strong>u fungsi f(t) adalah mengganti t dengan −t.<br />
Jika kita membalikkan su<strong>at</strong>u fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi<br />
yang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula.<br />
Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikan<br />
dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal ini dap<strong>at</strong><br />
dituliskan sebagai<br />
Jika<br />
Menurut (20.16)<br />
F<br />
→<br />
[ f ( −t)<br />
]<br />
F<br />
[ f ( t)<br />
] = F ( ω)<br />
maka F[ f ( −t)<br />
] = F ( −ω)<br />
F (20.25)<br />
=<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
f ( −t)<br />
e<br />
[ f ( −t)<br />
] = F[ f ( τ)<br />
]<br />
− jωt<br />
= −<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
∞<br />
−∞<br />
dt<br />
−∞<br />
;<br />
f ( τ)<br />
e<br />
f ( τ)<br />
e<br />
Misalkan<br />
jωτ<br />
− jωτ<br />
dτ<br />
− t = τ<br />
dτ<br />
= F(<br />
−ω)<br />
Sif<strong>at</strong> pembalikan ini dap<strong>at</strong> kita manfa<strong>at</strong>kan untuk mencari transformasi<br />
Fourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi.<br />
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan<br />
eksponensial dua sisi breikut ini.<br />
−u(−t)<br />
Solusi :<br />
1<br />
v(t)<br />
0<br />
−1<br />
u(t)<br />
signum : sgn(t) = u(t) − u(−t)<br />
t<br />
e −α(−t) u(−t)<br />
v(t)<br />
1<br />
1<br />
F = maka<br />
jω<br />
Contoh 10.13. memberikan [ u( t)<br />
] + πδ(<br />
ω)<br />
e −αt u(t)<br />
0<br />
t<br />
eksponensial dua sisi :<br />
e −α| t | = e −αt u(t) + e −α(−t) u(−t)<br />
F<br />
[ sgn( t)<br />
] = F[ u(<br />
t)<br />
− u(<br />
−t)<br />
]<br />
=<br />
2<br />
jω<br />
290 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
−α<br />
F e u(<br />
t)<br />
= maka<br />
t 1<br />
Contoh 10.10.a memberikan [ ]<br />
α + jω<br />
−α |<br />
( )<br />
[ ] [ ]<br />
| t −αt<br />
−α −t<br />
F e = F e u(<br />
t)<br />
+ e u(<br />
−t)<br />
1 1<br />
= + =<br />
α + jω<br />
α + j(<br />
−ω)<br />
α<br />
2<br />
2α<br />
Komponen Ny<strong>at</strong>a dan Imajiner dari F(ω). Pada umumnya<br />
transformasi Fourier dari f(t), F(ω), berupa fungsi kompleks yang dap<strong>at</strong><br />
kita tuliskan sebagai<br />
dengan<br />
F(<br />
ω)<br />
=<br />
A<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
f ( t)<br />
e<br />
− jωt<br />
dt =<br />
∞<br />
−∞<br />
= A(<br />
ω)<br />
+ jB(<br />
ω)<br />
= F(<br />
ω)<br />
e<br />
∫<br />
f ( t)<br />
cosωt<br />
dt − j<br />
j<br />
θ ω<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
+ ω<br />
2<br />
f ( t)<br />
sinωt<br />
dt<br />
∞<br />
∞<br />
( ω)<br />
=<br />
∫<br />
f ( t)cos<br />
ωt<br />
dt ; B(<br />
ω)<br />
= −<br />
−∞<br />
∫<br />
f ( t)sin<br />
ωt<br />
dt (20.26)<br />
−∞<br />
2 2<br />
−1⎛<br />
B(<br />
ω)<br />
⎞<br />
F ( ω)<br />
= A ( ω)<br />
+ B ( ω)<br />
; θ(<br />
ω)<br />
= tan<br />
⎜<br />
⎟ (20.27)<br />
⎝ A(<br />
ω)<br />
⎠<br />
Jika f(t) fungsi ny<strong>at</strong>a, maka dari (20.26) dan (20.27) dap<strong>at</strong> kita simpulkan<br />
bahwa<br />
1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena A(−ω)<br />
= A(ω).<br />
2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karena<br />
B(−ω) =− B(ω).<br />
3. |F(ω)| merupakan fungsi genap, karena |F(−ω)| = |F(ω)|.<br />
4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ(−ω) =− θ(ω).<br />
5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakib<strong>at</strong>kan : kebalikan F(ω) adalah<br />
konjug<strong>at</strong>-nya, F(−ω) = A(ω) − jB(ω) = F * (ω) .<br />
6. Kesimpulan (5) mengakib<strong>at</strong>kan : F(ω) × F(−ω) = F(ω) × F * (ω)<br />
= |F(ω)| 2 .<br />
7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) = 0, yang berarti F(ω) riil.<br />
291
8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) = 0, yang berarti F(ω)<br />
imajiner.<br />
Kesimetrisan. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan secara umum sebagai berikut.<br />
Jika<br />
[ f ( t)<br />
] = F(<br />
ω)<br />
maka F[ F(<br />
t)<br />
] = 2π<br />
f ( −ω)<br />
F (20.28)<br />
Sif<strong>at</strong> ini dap<strong>at</strong> diturunkan dari formulasi transformasi balik.<br />
∞<br />
jωt<br />
∞<br />
− jωt<br />
2π<br />
f ( t)<br />
=<br />
∫<br />
F(<br />
ω)<br />
e dω → 2π<br />
f ( −t)<br />
=<br />
−∞<br />
∫<br />
F(<br />
ω)<br />
e dω<br />
−∞<br />
∞<br />
− jωt<br />
Jika t dan ω dipertukarkan maka : 2π<br />
f ( −ω)<br />
=<br />
∫<br />
F(<br />
t)<br />
e dω<br />
−∞<br />
Pergeseran Waktu. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
Jika<br />
− jωT<br />
[ f ( t)<br />
] = F(<br />
ω)<br />
maka F[ f ( t − T )] = e F(<br />
ω)<br />
F (20.29)<br />
Sif<strong>at</strong> ini mudah diturunkan dari definisinya.<br />
Pergeseran Frekuensi. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
[ ]<br />
1<br />
jβt<br />
F(<br />
ω)<br />
= f ( t)<br />
maka F−<br />
[ F(<br />
ω − β)<br />
] = e f ( t)<br />
Jika F<br />
−1<br />
(20.30)<br />
Sif<strong>at</strong> ini juga mudah diturunkan dari definisinya.<br />
Penskalaan. Sif<strong>at</strong> ini diny<strong>at</strong>akan sebagai berikut.<br />
1 ⎛ ω ⎞<br />
Jika F [ f ( t)<br />
] = F(<br />
ω)<br />
maka F[ f ( <strong>at</strong>)<br />
] = F⎜<br />
⎟ (20.31)<br />
| a | ⎝ a ⎠<br />
Tabel: Tabel-20.1 berikut ini memu<strong>at</strong> pasangan transformasi Fourier<br />
sedangkan sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> transformasi Fourier termu<strong>at</strong> dalam Tabel-20.2.<br />
292 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Tabel-20.1. Pasangan transformasi Fourier.<br />
Sinyal f(t) F(ω)<br />
Impuls δ(t) 1<br />
Sinyal searah (konstan) 1 2π δ(ω)<br />
Fungsi anak tangga u(t) 1<br />
+ πδ(<br />
ω)<br />
jω<br />
Signum<br />
sgn(t)<br />
Exponensial (kausal) −αt<br />
( e ) u(t)<br />
Eksponensial (dua sisi) |<br />
e α |t<br />
Eksponensial kompleks<br />
2<br />
jω<br />
1<br />
α + j<br />
2α<br />
ω<br />
−<br />
2 2<br />
α<br />
+ ω<br />
j t<br />
e β 2π<br />
δ(<br />
ω − β)<br />
Kosinus cosβt π [ δ( ω − β)<br />
+ δ(<br />
ω + β)<br />
]<br />
Sinus sinβt − j π [ δ( ω − β)<br />
− δ(<br />
ω + β)<br />
]<br />
Tabel-20.2. Sif<strong>at</strong>-sif<strong>at</strong> transformasi Fourier.<br />
Sif<strong>at</strong> Kawasan Waktu Kawasan Frekuensi<br />
Sinyal f(t) F(ω)<br />
Kelinieran A f 1 (t) + B f 2 (t) AF 1 (ω) + BF 2 (ω)<br />
Diferensiasi<br />
Integrasi<br />
df ( t)<br />
jωF(ω)<br />
dt<br />
t<br />
F(<br />
ω)<br />
f ( x)<br />
dx<br />
+ π F(0)<br />
δ(<br />
ω)<br />
∫ −∞<br />
jω<br />
Kebalikan f (−t) F(−ω)<br />
Simetri F (t) 2π f (−ω)<br />
Pergeseran waktu f (t − T) − jωT<br />
e F(ω)<br />
Pergeseran frekuensi e j β t f (t) F(ω − β)<br />
Penskalaan |a| f (<strong>at</strong>) ⎛ ω ⎞<br />
F ⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
293
Soal-Soal<br />
Deret Fourier Bentuk Sinus-Cosinus.<br />
1. a). Tentukan deret Fourier dari fungsi yang digambarkan berikut ini.<br />
b). Carilah koefisien kompleks deret<br />
v 1ms<br />
5V<br />
t<br />
a). −5V<br />
v<br />
1ms<br />
10V<br />
b).<br />
v<br />
20ms<br />
t<br />
150V<br />
t<br />
c).<br />
v<br />
150V<br />
d).<br />
v<br />
20ms<br />
1ms<br />
10V<br />
t<br />
e).<br />
−5V<br />
t<br />
294 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Transformasi Fourier<br />
2. Carilah transformasi Fourier dari bentuk-bentuk gelombang berikut:<br />
At<br />
T<br />
a). v( t)<br />
= [ u(<br />
t)<br />
− u(<br />
t − T )]<br />
b).<br />
⎛ 2πt<br />
⎞⎡<br />
⎞ ⎞⎤<br />
⎢ ⎜<br />
⎛ T<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
v ( t)<br />
= Acos⎜<br />
⎟ u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ ⎝ T ⎠⎣<br />
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦<br />
A ⎡<br />
⎤<br />
c).<br />
⎛ 2πt<br />
⎞⎤<br />
⎡ ⎞ ⎞<br />
⎢ ⎜<br />
⎛ T<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
v ( t)<br />
= ⎢1<br />
+ cos⎜<br />
⎟⎥<br />
u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ 2 ⎣ ⎝ T ⎠⎦<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦<br />
d). v ( t)<br />
= 2 + 2u(<br />
t)<br />
e). v ( t)<br />
= 2sgn( −t)<br />
+ 6u(<br />
t)<br />
−2t<br />
f). v(<br />
t)<br />
= [ 2e<br />
u(<br />
t)<br />
+ 2sgn( t)<br />
] δ(<br />
t + 2)<br />
−2(<br />
t−2)<br />
−2(<br />
t+<br />
2)<br />
g). v(<br />
t)<br />
= 2e<br />
u(<br />
t − 2) + 2e<br />
u(<br />
t + 2)<br />
3. Tentukan transformasi balik dari fungsi-fungsi berikut:<br />
a). F ( ω)<br />
=<br />
π<br />
α<br />
e<br />
πA<br />
β<br />
−α|<br />
ω|<br />
b). F ( ω)<br />
= [ u(<br />
ω + β)<br />
− u(<br />
ω − β)<br />
]<br />
c).<br />
d).<br />
e).<br />
F ( ω)<br />
=<br />
F ( ω)<br />
=<br />
F ( ω)<br />
=<br />
1000<br />
( jω + 20) ( jω + 50)<br />
jω<br />
( jω + 20) ( jω + 50)<br />
2<br />
− ω<br />
( jω + 20) ( jω + 50)<br />
f). F ( ω)<br />
=<br />
1000<br />
jω(<br />
jω + 20) ( jω + 50)<br />
295
g).<br />
j500ω<br />
F ( ω)<br />
=<br />
( − jω + 50) ( jω + 50)<br />
h).<br />
i).<br />
j).<br />
F ( ω)<br />
=<br />
F ( ω)<br />
=<br />
F ( ω)<br />
=<br />
j5ω<br />
( jω + 50) ( jω + 50)<br />
5000<br />
jω(<br />
− jω + 50) ( jω + 50)<br />
5000δ(<br />
ω)<br />
2<br />
− ω + j200ω + 2500<br />
k).<br />
l).<br />
−2ω<br />
F ( ω)<br />
= 4π δ(<br />
ω)<br />
+ e<br />
−<br />
4π δ(<br />
ω − 4)e j2<br />
F ( ω)<br />
=<br />
jω<br />
ω<br />
m).<br />
F ( ω)<br />
=<br />
4π δ(<br />
ω)<br />
+ 4( jω + 1)<br />
jω(2<br />
+ jω)<br />
n).<br />
F ( ω)<br />
= 4π δ(<br />
ω)<br />
+ e<br />
−2ω<br />
o). F ( ω)<br />
= 4π δ(<br />
ω)<br />
+ 4π δ(<br />
ω − 2) + 4π δ(<br />
ω + 2)<br />
296 Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “<strong>Pilihan</strong> <strong>Topik</strong> <strong>M<strong>at</strong>em<strong>at</strong>ika</strong>”
Daftar Pustaka<br />
1. Ge<strong>org</strong>e B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison<br />
Wesley, 1956.<br />
2. Erwin Kreyszig, “Advanced Engin<strong>ee</strong>ring M<strong>at</strong>hem<strong>at</strong>ics”, John Wiley<br />
& Son, Inc, 1988.<br />
3. D.W. Jordan, P. Smith, “M<strong>at</strong>hem<strong>at</strong>ical Techniques”, Oxford U<br />
Press, 3 rd edition, 2002<br />
4. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,<br />
2002.<br />
5. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham, “Mengenal Sif<strong>at</strong> M<strong>at</strong>erial 1”, Darpublic,<br />
Bandung, 2010.<br />
6. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”,<br />
Darpublic, Bandung, 2012.<br />
7. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”,<br />
Darpublic, Bandung, 2012.<br />
8. Sudary<strong>at</strong>no Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-3”,<br />
Darpublic, Bandung, 2012.<br />
Biod<strong>at</strong>a Penulis 297
Biod<strong>at</strong>a Penulis<br />
Nama: Sudary<strong>at</strong>no Sudirham<br />
Lahir: 26 Juli 1943, di Blora.<br />
Istri: Ning Utari<br />
Anak: Arga Aridarma, Aria Ajidarma.<br />
Pendidikan & Pekerjaan:<br />
1971 : Teknik Elektro, Institut Teknologi Bandung.<br />
1982 : DEA, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.<br />
1985 : Doktor, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.<br />
1972−2008 : Dosen Teknik Elektro, ITB.<br />
Training & Pengalaman lain:<br />
1974 : TERC, UNSW, Australia; 1975 − 1978 : Berca Indonesia PT,<br />
Jakarta; 1979 : Electricité de France, Perancis; 1981 : Cour d”Ete,<br />
Grenoble, Perancis; 1991 : Tokyo Intitute of Technology, Tokyo, Jepang;<br />
2005 : Asian Institute of Technology, Bangkok, Thailand; 2005 − 2009 :<br />
Tenaga Ahli, Dewan Komisaris PT PLN (Persero); 2006 − 2011 :<br />
Komisaris PT EU – ITB.<br />
298 Biod<strong>at</strong>a Penulis