Pilihan Topik Matematika - at ee-cafe.org

Sudaryatno Sudirham
Pilihan Topik
Matematika
(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )
Darpublic – Edisi Juli 2012

Pilihan Topik Matematika
(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )
oleh
Sudaryatno Sudirham
i

Hak cipta pada penulis.
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Beberapa Topik Matematika dan Aplikasinya
Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
ii
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Pengantar
Buku ini berisi bahasan mengenai topik-topik matematika yang dipilih
terkait dengan penggunaannya dalam Analisis Rangkaian Listrik. Sudah
barang tentu bahwa matematika sebagai ilmu dasar tidak hanya terpakai
dalam analisis rangkaian listrik. Namun uraian dalam buku ini dikaitkan
dengan buku-buku lain yang penulis susun, bahkan contoh-contoh
persoalan yang diberikan banyak diambil dari buku-buku tersebut;
dengan penulisan buku ini penulis bermaksud memberi penjelasan
mengenai dasar matematika yang digunakan di dalamnya. Dalam buku
ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika dari sisi pandang
aplikasi teknik, dengan sangat membatasi penggunaan ungkapan
matematis; pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti
dengan pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah
difahami. Dengan cara demikian penulis berharap bahwa pengertian
matematis yang diperlukan bisa difahami dengan lebih mudah.
Pendalaman lebih lanjut dapat diperoleh dari buku-buku tentang
matematika yang digunakan sebagai referensi dalam kuliah matematika.
Kemajuan teknologi komputer telah sangat membantu proses pemecahan
persoalan di bidang teknik. Namun buku ini tidak membahas cara
perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan
menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang topik
matematika yang dipilih, yang penulis anggap dapat memberikan
pemahaman mengenai proses perhitungan dengan menggunakan
komputer.
Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini bermanfaat bagi pembaca.
Bandung, Juli 2012
Wassalam,
Penulis
iii

Darpublic
Kanayakan D-30, Bandung, 40135
Open Courses
Open Course Ware disediakan oleh Darpublic di
www.ee-cafe.org
dalam format .ppsx beranimasi
iv
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Daftar Isi
Pengantar
Daftar Isi
iii
v
Bab 1: Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan Grafik 1
Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk
Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak.
Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar.
Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.
Bab 2: Fungsi Linier 15
Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis
Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.
Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 29
Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian
Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.
Bab 4: Mononom dan Polinom 39
Mononom: Mononom Pangkat Dua, Mononom Pangkat
Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom
Pangkat Tiga pada Fungsi Kuadrat.
Bab 5: Bangun Geometris 57
Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola.
Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua.
Perputaran Sumbu.
Bab 6: Fungsi Trigonometri 71
Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas
Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.
Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 87
Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus.
Spetrum Dan Lebar Pita Fungsi Periodik.
Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 97
Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi
Hiperbolik.
Bab 9: Koordinat Polar 107
Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku.
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan
Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan
Oval Cassini. Luas Bidang.
v

Bab 10: Turunan Fungsi Polinom 119
Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak.
Garis Singgung.
Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi 135
Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari
Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi
Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx
dan dy.
Bab 12: Turunan Fungsi-Fungsi Transenden 147
Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi.
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi
Logaritmik. Fungsi Eksponensial.
Bab 13: Integral 155
Macam-macam Integral. Integral Tak Tentu, Integral
Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Aplikasi.
Bab 14: Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi 177
Fungsi Tetapan. Mononom. Polinom. Fungsi Pangkat
dari Fungsi. Fungsi Berpangkat Satu. Fungsi
Eksponensial. Tetapan Berpangkat Fungsi. Fungsi
Trigonometri. Fungsi Hiperbolik. Integral
Menghasilkan Fungsi Trigonometri. Tabel Relasi
Diferensial-Integral.
Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1 187
Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu
Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan
Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial
Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi
Pemaksa.
Bab 16: Persamaan Diferensial Orde-2 201
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga
Kemungkinan Bentuk Solusi.
Bab 17: Matriks 211
Konsep Dasar Matriks. Pengertian dan Operasi Matriks.
Matriks Khusus. Putaran Matriks. Sistem Persamaan
Linier. Eliminasi Gauss. Kebalikan Matriks, Eliminasi
Gauss-Jordan.
vi
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 18: Bilangan dan Peubah Kompleks 241
Pengertian dan Definisi. Operasi-Operasi Aljabar.
Repersentasi Grafis. Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar.
Fungsi Kompleks. Pole dan Zero. Aplikasi untuk
Menyatakan Fungsi Sinus.
Bab 19: Transformasi Laplace 251
Pemahaman Transformasi Laplace. Transformasi Laplace.
Sifat-sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik
Bab 20: Deret dan Transformasi Fourier 271
Deret Fourier. Koefisien Fourier. Deret Fourier Bentuk
Eksponensial. Transformasi Fourier. Sifat-Sifat
Transformasi Fourier. Transformasi Balik.
Daftar Pustaka 297
Biodata penulis 298
vii

viii Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 1 Pendahuluan: Pengertian Fungsi dan
Grafik
Fungsi dan dan bentuk-bentuk kurvanya akan kita gunakan secara luas di
buku ini untuk memahami berbagai relasi matematis. Oleh karena itu
bab pertama ini kita akan mempelajari secara umum lebih dulu mengenai
fungsi dan grafik.
1.1. Fungsi
Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran
lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi
besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur.
Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan
y = f (x)
(1.1)
Perhatikan bahwa penulisan y = f (x)
bukanlah berarti y sama dengan f
kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x
yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y
akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.
y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan sebagai peubah-takbebas
(y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu
besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan.
Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai
yang dimiliki x.
Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah
sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda.
Kita ambil contoh dalam relasi fisis
L T
= L 0 (1 + λT
)
dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L 0 adalah
panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai
panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi
temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin
panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.
1

Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan
bertambah panjang namun tidak berarti temperaturnya meningkat.
Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas,
sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus
ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.
1.2. Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x
bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk
sebagai berikut:
a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a
dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai
a < x < b
Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun
lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat
kita gambarkan sebagi berikut:
a
a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.
b). rentang nilai
kita gambarkan sebagai
a
a ≤ x < b
Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan
rentang setengah terbuka.
c). rentang nilai
a ≤ x ≤ b
Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini
adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan
b
b
a
b
2
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri
Kurva. Fungsi y = f (x)
dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam
visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal
memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan
sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi
0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat
menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x
memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.
3
Q[-2,2]
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
III -1 IV
R[-3,-3]
y
II
-2
-3
P[2,1]
S[3,-2]
-4
Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.
Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal
terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah
bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal
terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang
jika hanya dilihat sampai sembilan angka di belakang koma nilainya
adalah 3,141592654.
Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x,
memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati
titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan
sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasal
dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga
satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita
untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik
yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak
harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x
I
3

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y
menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.
Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y,
selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu
kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.
Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai
K[x k ,y k ], dengan x k dan y k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di
sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada
Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II,
III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan
S[3,-2].
Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan
satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki
oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan
pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang
x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan
pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.
Contoh: sebuah fungsi
y = 0, 5x
(1.2)
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam
suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.
Tabel-1.1.
x -1 0 1 2 3 4 dst.
y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.
Fungsi y = 0, 5x
yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti
tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti
terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal
[0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari
lebih lanjut); persamaan garis ini adalah y = 0, 5x
.
Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional,
setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu
persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan
persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita
4
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

isa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan
sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.
P
y
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
Gb.1.2. Kurva dari fungsi
y = 0, 5x
Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0, 5x
membentuk
kurva dengan persamaan y = 0, 5x
di bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitik
P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0.5],
Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini
perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara
paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.
Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x
tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang
tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan
sebagai berikut:
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan
kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat, yaitu:
(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x =
c;
(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita
tuliskan sebagai lim f ( x)
= f ( c)
yang kita baca limit f(x)
x→c
untuk x menuju c sama dengan f(c).
Q
∆x
∆y
0 1 2 3 x 4
R
Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini
tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;
lim f ( x)
tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan
x→c
5

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x
= 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0
(lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai
y = u(
x),
y = 1 untuk x ≥ 0
y = 0 untuk x < 0
yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan
Gb.1.3.
1
y
y = 1/x
-10 -5
0
0 5 x 10
y = 1/x
-1
Tak terdefinikan di x = 0.
y
1
0
0
y = u(x)
Gb.1.3. Fungsi
x
Terdefinisikan di x = 0
y = 1/
x dan y = u(x)
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik
tertentu
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva
fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva
fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
6
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.
Kurva y = 0,3x 2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x =
2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap.
Kurva y = 0,05x 3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x
berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti
– x dan y diganti – y.
2 2
Kurva x + y = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap
sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga
simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.
y = 0,3x 2
6
3
y
tidak berubah bila x diganti −x
tidak berubah jika x dan y
diganti dengan −x dan −y
0
-6 -3 0 3 6
-3 y 2 + x 2 = 9
y = 0,05x 3 tidak berubah jika
x diganti −x
x dan y diganti dengan −x dan −y
-6
x dan y dipertukarkan
y diganti dengan −y
Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.
1.4. Bentuk Implisit
Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana
peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti
y = f (x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana
nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah
beberapa contoh bentuk implisisit.
x
7

x
2
xy = 1
y
x
2
2
+ y
2
= x
= 1
+ xy + y
2
= 8
(1.3)
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x
akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh
pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk
eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem
koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh
yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan
bentuk persamaan kuadrat
yang akar-akarnya adalah
2
2
2 ( 2 =
x + xy + y = 8 ⇒ y + xy + x −8)
0
y , y
1
2
− x ±
=
x
2
− 4( x
2
2
− 8)
Nilai y 1 dan y 2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan
nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita
tuliskan sebagai
2
2
− x x − 4( x − 8)
y = ±
(1.4)
2 2
yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit y = f (x)
. Kurva fungsi
ini terlihat pada Gb.1.5.
8
y
4
0
x
-4 -2 0 2 4
-4
-8
2 2
− x x − 4( x − 8)
Gb.1.5. Kurva y = ±
2 2
8
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak
Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai
peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi
bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.
1).
2
y = 0,5x
.
Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva
dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva
fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini
terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.
8
y
6
4
2
0
-1 0 1 2 3 x 4
Gb.1.6. Kurva
y = 0,5x
2
2). y = + x .
Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia
bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.
y
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0 0,5 1 1,
5
Gb.1.7. Kurva
y = +
x
x
2
9

3). y = − x .
Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu
ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8.
Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva
y = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai
baik positif maupun negatif.
0
0 0,5 1 1,5 x 2
-0,4
-0,8
4). y = log10
x .
-1,2
y
-1,6
Gb.1.8. Kurva
y = −
x
Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat
kembali tentang logaritma.
log 10 adalah logaritma dengan basis 10; log 10 a berarti
berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi
y = log10
x berarti 10
y = x
y 1 = log 10 1 = 0 ;
y 2 = log 10 1000 = 3 ;
y 3 = log 10 2 = 0,30103 ; ...dst.
Kurva fungsi
y = log10
x terlihat pada Gb.1.9.
0,8
y
0,4
0
-0,4
0 1 2 3 x 4
-0,8
Gb.1.9. Kurva
y = log10
x
10
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

5). 2
y = x = x .
Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif.
2
Perhatikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan
± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.
Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x 2
Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat
lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai
banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.
1). Fungsi y = ± x .
Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya
x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat
pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif
saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan
pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .
y 2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
y
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x
-1,5
-2
Gb.1.11. Kurva
y = ±
x
11

2). Fungsi y
2 1
= .
x
Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x.
Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.
10
y
5
0
-5
0 1 2 3
x
-10
Gb.1.12. Kurva
y 2 = 1/
x ⇒ y = ± 1/
x
1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu
peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain.
Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan
sebagai
y = f ( x,
t)
(1.5)
Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan
fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang
berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi
(x) dan waktu (t).
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak
sebagai
w = f ( x,
y,
z,
u,
v)
(1.6)
untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y,
z,u,dan v.
Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak,
misalnya
12
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2 2 2 2
ρ = x + y + z
(1.7)
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif
dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai
2 2 2
ρ = + x + y + z
(1.8)
1.7. Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam
skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar.
Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik
ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r
dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku
posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar
dinyatakan sebagai P(r,θ).
Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah
y = r sin θ ;
x = r cos θ ;
2
r = x + y
2
−
θ = tan 1 ( y / x)
Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.
y
rcosθ
r
θ
x
Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.
P
rsinθ
13

1.8. Fungsi Parametrik
Dalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x)
mungkin juga dituliskan
sebagai
y = y(t) x = x(t)
(1.10)
jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang
demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.
14
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 2 Fungsi Linier
2.1. Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.
Kita tuliskan
y = k
[2.1]
dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa
garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞
sampai +∞.
y 5
y = 4
0
-5 0 x 5
-4
y = −3,5
Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):
y = 4 dan y = −3, 5 .
2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus
Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang
merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti
terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak
sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu.
Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap
perubahan x, atau kita tuliskan
∆y
⎛ "delta y"
⎞
kemiringan = m = , ⎜dibaca : ⎟ (2.2)
∆x
⎝ "delta x"
⎠
15

Dalam hal garis lurus, rasio
∆y
memberikan hasil yang sama di titik
∆x
manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya
mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada
fungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva
garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan
kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dari
y = 0, 5x , garis y = 2x
lebih miring dari y = x dan jauh lebih miring
dari y = 0, 5x
, dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis
akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan
ia miring ke bawah (menurun).
8
y
6
4
2
-4
-6
y = 2x
0
-1 0
-2
1 2 3 x 4
y = -1,5 x
Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus
y = mx .
Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah
y = mx
(2.3)
dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan
semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika
m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).
2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis
y = x
y = 0,5x
Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0]
melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini
memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x,
sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah
2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai
y = 2 x + 2 . Perhatikan Gb.2.3.
16
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.
Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong
sumbu-y di [0,b] adalah
( y − b)
= mx
(2.4)
b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah
sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas
titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke
bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b
pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.
Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong
sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4.
Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2x
,
setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2x
; atau
dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan
nilai x pada garis y = 2x
dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini
terjadi pada x = x 1 dan hal ini terjadi pada x = ( x 1 −1)
pada kurva
y = 2x .
y
10
8
6
4
2
-4
8
y = 2x + 2
y = 2x
0
-1 0
-2
1 2 3 x 4
6
4
2
y = 2x
y =2(x–1)
0
-1 0 1 2
-2 x 1 −1 x 1
3 x 4
-4
Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].
17

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan
kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan
y = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah
y = m( x − a)
(2.5)
Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arah
sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah
sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan
pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.
Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan
memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2].
Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui,
pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya
adalah
∆y
0 − ( −2)
2
m = = = = 2
∆x 1 1
dan persamaan garis adalah
y = 2x
− 2
(2.6)
Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan
memberikan m = 2 dan b = −2.
Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat
di [a,0] dan [0,b] adalah
Contoh:
y
8
6
4
2
0
-4
y = mx + b
-1 0 1 2 3 x 4
-2
b
dengan m = −
(2.7)
a
garis memotong sumbu x di 2,
dan memotong sumbu y di 4
4
Persamaan garis: y = − x + 4 = −2x
+ 4
2
18
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya
dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat
dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut.
Lihat Gb.2.5.
Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu
∆y
( y2
− y1)
m = =
(2.8)
∆x
( x − x )
y
8
6
4
2
-4
2
1
Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.
Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua
titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku
m
y
[x 1 ,y 1 ]
−
−
y
2 1
= (2.9)
x2
x1
Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini
adalah
y − y = m( x − 1 )
(2.10)
1 x
[x 2 ,y 2 ]
0
-1 0 1 2 x 3
-2
Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m
yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y 1 dan
bergeser searah sumbu-x sebesar x 1 .
Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan
Q(1,2).
19

y P − yQ
7 − 2
Kemiringan garis ini adalah m = = = 1, 25
x p − xQ
5 −1
Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik
asal y = 1, 25x
. Persamaan garis dengan kemiringan ini yang
melalui titik P(5,7) adalah
y − 7 = 1,25( x − 5) → y = 1,25 x − 6,25 + 7
y = 1,25 x + 0,75
Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi
y = f (x)
akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x 1 skala jika x diganti dengan (x −
x 1 ), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y 1 skala jika y diganti dengan (y
− y 1 )
y = f (x) menjadi y = f x − x ) atau y − y = f ( ) (2.11)
( 1
1 x
Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia
berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan
kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.
Contoh:
y
8
6
4
-4
y = 2x
2
0
-1 0
-2
1 2 3 x 4
kurva semula
y + 2 = 2x (pergeseran –2
searah sumbu-y)
atau
y = 2(x – 1) (pergeseran +1
searah sumbu-x)
Contoh:
Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis
yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan
20
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah
y = 1, 25x
. Garis ini
harus kita geser menjadi ( y − b)
= 1,25( x − a)
agar melalui titik P
dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan
koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan
memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan
7 − b = 1,25(5 − a)
dan 2 − b = 1,25(1 − a)
Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75
sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2)
dapat diperoleh, yaitu y − 0 ,75 = 1, 25x
atau y = 1 ,25( x + 0,6)
.
Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di
−0,6.
2.4. Perpotongan Garis
Dua garis lurus
y +
1 = a1x
b1
dan y 2 = a2x
+ b2
berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y 1 = y2
sehingga
Contoh:
⇒ x
⇒
P
y
P
b2
− b
=
1
a − a
1
= a x
1
P
a +
2
1xP
+ b1
= a2xp
b2
+ b
1
atau
y
P
= a
2
x
P
+ b
Titik potong dua garis y 1 = 2x
+ 3 dan y2
= 4x
− 8
y 1 = y2
→ 2x
+ 3 = 4x
− 8 → 2x
= 11
2
(2.12)
11
x P = = 5,5 ; y P = 2x
+ 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14
2
atau y = 4 × 5,5 − 8 14
P =
Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5), . Perhatikan Gb.2.6. berikut
ini.
21

y
30
20
y 1
y 2
10
0
-10 -5 0 5 10
-10
P ⇒ Koordinat P memenuhi
persamaan y 1 maupun y 2 .
x
-20
-30
Gb.2.6. Perpotongan dua garis.
Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita
tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga
mereka berpotongan di ∞.
Contoh: Dua garis y 1 = 4x
+ 3 dan y2
= 4x
− 8 adalah sejajar.
2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat
Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu
koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan
memiliki kemiringan garis
m = tan θ
(2.13)
dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x
atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.
y
5 −
m = tan θ
θ
|
|
5
x
−5 −
Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.
Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian
skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika
22
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik
menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama
besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya
sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan
bukan dilihat dari grafik.
2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri
Pada fungsi linier
y = m( x − a)
+ b , peubah y akan selalu memiliki nilai,
berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga
kontinyu dalam rentang tersebut.
Kurva fungsi
y = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini
tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.
2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier
Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa
fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus,
merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa.
1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan
memperoleh percepatan.
F = ma ; a adalah percepatan
Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a
benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai
v ( t)
v + at
= 0
v kecepatan gerak benda, v 0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan
awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah
v ( t)
= at
2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda
adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara
anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar
V
E =
l
23

Elektron yang
muncul di
permukaan katoda
akan mendapat
percepatan dari
adanya medan
listrik sebesar
anoda
a = eE
a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E
medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu
tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada
waktu mencapai katoda adalah
v k = at
3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada
posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas
elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas
sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.
dengan k adalah konstanta pegas.
F = kx
4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i
jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V.
Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan
relasi
V
i = GV = , dengan G =
1
R
R
G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut
resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan
V = iR
yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.
]
Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka
resistansi dapat dinyatakan dengan
R =
ρl
A
ρ disebut resistivitas bahan logam.
l
katoda
24
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kerapatan arus dalam logam adalah
atas kita peroleh
j =
i
A
=
V
RA
1
=
ρ
i
j = dan dari persamaan di
A
V
l
= σE
dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ
adalah konduktivitas bahan logam.
Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau
dV
gradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertian
dx
gradien akan kita pelajari di Bab-9.
5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk
terjadinya difusi,
yaitu penyebaran
materi menembus
materi lain, adalah
adanya perbedaan
materi masuk
di x a C a
konsentrasi. Situasi
ini analog dengan
C x
peristiwa aliran
muatan listrik di mana
faktor pendorong
x a ∆x x
untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.
materi keluar
di x
Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat
kita tuliskan sebagai
dC
J x = −D
dx
D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam
keadaan mantap di mana C 0 dan C x bernilai konstan. Relasi ini
disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa
fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien
konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan
fungsi linier dari gradien konsentrasi.
Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan
dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita
menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu
25

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam
praktik rekayasa.
Soal-Soal
1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima
yang tergambar di bawah ini.
5
4
y
3
y 1 y 2
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
y 5
y 3
-2
-3
y 4
-4
-5
x
2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada
soal nomer-1 di atas.
3. Carilah persamaan garis yang
a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y 2 ;
b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y 3 .
4. Carilah persamaan garis yang melalui
a) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 3 – y 4 ;
b) titik potong y 3 − y 4 dan titik potong y 1 – y 5 ;
c) titik potong y 1 − y 2 dan titik potong y 4 – y 5 .
5. Carilah persamaan garis yang
a) melalui titik potong y 1 – y 5 dan sejajar dengan garis y 2 ;
b) melalui titik potong y 4 – y 5 dan sejajar dengan garis y 1 .
26
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 3 Gabungan Fungsi Linier
Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari
perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin
merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya
waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x,
sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak
bebas, y.
Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika
dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier,
besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi
linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis
tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis
rangkaian listrik.
3.1. Fungsi Anak Tangga
Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita
menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan
membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang
disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk
x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x)
. Jadi
u(
x)
= 1 untuk x ≥ 0
= 0 untuk x < 0
(3.1)
Jika suatu fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tangga
satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak
tangga (disebut juga undak), yaitu
y = ku(x)
(3.2)
Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x
≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi
y = 3,5u
( x)
dan fungsi y = −2,5u(
x)
yang bernilai nol untuk x < 0
dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.
27

y
5
y = 3,5 u(x)
0
-5 0 x 5
-4
y = −2,5 u(x)
Gb.3.1. Fungsi anak tangga.
Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan
k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru
muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser.
Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan
( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tangga
y = ku( x − a)
(3.3)
merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak
tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini
bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif
sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.
y 5
y = 3,5 u(x−1)
0
-5 0 1
x 5
-4
Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.
Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi
di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan
fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).
28
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

3.2. Fungsi Ramp
Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan
kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞.
Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x
< 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak
tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk
x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah
y = axu(x)
(3.4)
Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.
Fungsi ramp tergeser adalah
y = a( x − g)
u(
x − g)
(3.5)
dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5)
bagian y1 = a(
x − g)
adalah fungsi linier tergeser sedangkan
y2 = u(
x − g)
adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3.
memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y 1 = xu(
x)
, fungsi ramp
y 2 = 2xu(
x)
, dan fungsi ramp tergeser y 3 = 1,5( x − 2) u(
x − 2)
.
3.3. Pulsa
y
6
5
4
3
2
1
y 2 = 2xu(x)
y 1 = xu(x)
0
-1 0 1 2 3 x 4
Gb.3.3. Ramp satuan y 1 = xu(x), ramp y 2 = 2xu(x),
ramp tergeser y 3 = 1,5(x-2)u(x-2).
y 3 = 1,5(x-2)u(x-2)
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu dan
menghilang pada x 2 >x 1 . Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan
gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi
29

erlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya
adalah
y = au x − x ) − au(
x − )
(3.6)
( 1 x2
x 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x 2
adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x 2 > x 1 .
Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk
pulsa, yang muncul pada x = x 1 dan menghilang pada x = x 2 . Selisih
( x2 − x1 ) disebut lebar pulsa
lebar pulsa = x 2 − x 1
(3.7)
Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x
= 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah
y = 2u(
x −1)
− 2u(
x − 2)
= 2
{ u(
x −1)
− u(
x − 2) }
lebar
pulsa
2
1
y 1 =2u(x-1)
y 1 +y 2 = 2u(x-1)-2u(x-2)
0
-1 0 1 2 3 x 4
-1
y 2 = -2u(x-2)
-2
Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)
Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu
y ′ = { u( x −1)
− u(
x − 2) }, adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada
x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang
muncul pada x = x 1 dan berakhir pada x = x 2 adalah
y′ = A{ u( x − x1 ) − u(
x − x2)
}; lebar pulsa ini adalah (x 2 – x 1 ).
Contoh: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan
amplitudo 4, memiliki persamaan
{ u(
x)
− u(
3) }
y = 4 x − .
30
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar
lebar pulsanya, ( x2 − x1)
, dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena
itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki
nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai.
Dalam praktik, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5.
memperlihatkan deretan pulsa
perioda
y
Gb.3.5. Deretan Pulsa.
Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul
biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang
diberi simbol t off . Satu perioda T = t on + t off . Nilai rata-rata deretan pulsa
adalah
ton
y rr pulsa = ymaks
(3.8)
T
dengan y maks adalah amplitudo pulsa.
x
3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa.
Persamaan umumnya adalah
{ ( x − x ) − u(
x − )}
y = mxu( x)
× A u 1 x2
(3.9)
dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan
amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis
y = mAx
{ u x − x ) − u(
x − )}
( 1 x2
Perhatikan bahwa u ( x)
= 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.
Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y 1 = 2xu(
x)
dengan
fungsi pulsa y 2 = 1,5{ u(
x −1)
− u(
x − 3) } yang hanya memiliki nilai
antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki
31

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil
kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.
y
3
= y
1
= 3x
y2
= 2xu(
x)
× 1,5{ u(
x −1)
− u(
x − 3) }
{ u(
x −1)
− u(
x − 3) }
10
8
6
y
y 3 = y 1 y 2
y 1 =2xu(x)
4
y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)}
2
0
-1 0 1 2 3 4 x 5
Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y 1 dan pulsa y 2 .
Perkalian fungsi ramp y 1 = mxu(
x)
dengan pulsa y2 = 1{ u(
x)
− u(
x − b)
}
membentuk fungsi gigi gergaji y = ( m × 1) x{ u(
x)
− u(
x − b)
} yang
muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).
10
8
y
y 1 =mxu(x)
6
y 3 = y 1 y 2 =mx{u(x)-u(x-b)}
4
2
y 2 ={u(x)-u(x-b)}
0
b
-1 0 1 2 3 4 5
Gb.3.7. Kurva gigi gergaji
Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara
periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.
Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah
y rr gigi - gergaji =
ymaks
2
(3.10)
x
32
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dengan y maks adalah nilai puncak gigi gergaji.
y
6
4
T
2
0
0 1 2 3 4 x 5
Gb.3.8. Fungsi gigi gergaji terjadi secara periodik.
3.5. Gabungan Fungsi Ramp
Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk
y = axu(
x)
+ b(
x − x1)
u(
x − x1
)
+ c(
x − x2)
u(
x − x2)
+ .......
(3.11)
Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(
x)
dan
y 2 = −2(
x − 2) u(
x − 2) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua
fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena
mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi
gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat
mencapai x = 2.
y
12
10
8
y 1 =2xu(x)
6
4
2
0
-2 0 1 2 3 4 5
x
-4
y
-6
2 = −2(x−2)u(x−2)
-8
y 3 = 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)
Gb.3.9. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .
Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y 1 = 2xu(
x)
dan y = −4(
x − 2) u(
x − 2)
. Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan
33

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh
karena itu fungsi gabungan y 3 = y 1 + y 2 akan menurun mulai dari x = 2.
y
15
10
5
0
-5
-10
y 1 =2xu(x)
y 2 = −4(x−2)u(x−2)
y 3 = 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
0 1 2 3 4 5
x
Gb.3.10. Gabungan ramp y 1 dan ramp tergeser y 2 .
Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa
y pulsa = u( x −1)
− u(
x − 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti
terlihat pada Gb.3.11.
y
15
10
5
0
5
0 1 2 3 4 5
-5
x
-10
y 2 = −4(x-2)u(x-2)
y 3 = {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
y 1 =2xu(x)
Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}
Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk
gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.
y
Gb.3.12. Gelombang segitiga.
x
34
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam
bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika.
Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji
misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.
3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri
Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y = u( x − a)
hanya mempunyai
nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan
dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥
a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.
Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang
memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris
terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan
yang tergeser.
Soal-Soal
Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada
bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.
1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak
tangga berikut ini :
a) y 1 : y maks = 5, muncul pada x = 0.
b) y 2 : y maks = 10 , muncul pada x = 1.
c) y 3 : y maks = −5 , muncul pada x = 2.
2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 1, gambarkanlah kurva fungsi
berikut ini.
a). y
c). y
4
b). y
5
6
= y + y
1
1
1
2
3
= y + y
2
;
= y + y ;
+ y
3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini :
a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.
b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1.
c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.
3
35

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan
pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.
5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan
amplitudo 10 dan perioda 0,5.
6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang
digambarkan di bawah ini.
y
5
perioda
0 x
1 2 3 4 5 6
−3
7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik
yang digambarkan di bawah ini.
y
5
0 x
1 2 3 4 5 6
−5
perioda
36
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 4 Mononom dan Polinom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n , dengan k
adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.
Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini
beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit
3 2
y1
= x + 5x
− 3x
+ 7
2 2
y2
= ( x − 5)
y3
= 10x
y4
= 5
Contoh yang pertama, y 1 , adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu
pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y 2 , adalah fungsi
berpangkat empat. Contoh y 3 dan y 4 adalah fungsi mononom berpangkat
satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan
fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.
4.1. Mononom
Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai
fungsi genap, kita tuliskan
2
y = kx
(4.1)
Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan
mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya
akan negatif manakala k negatif.
Kita ingat bahwa pada fungsi linier y = kx nilai k merupakan
kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah
positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar
kemiringan garis makin tajam.
Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x
jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k
makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.
memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.
37

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.
Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.
10
y y = 5x 2 y = 3x 2
9
8
7
y = x 2
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1
0
0 1 2 3
Gb.4.1. Kurva fungsi
2
y = kx dengan k positif.
Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva
dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada
titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum
pada titik [0,0].
x
x
0
-5 -4 -3 -2 -1 0
-20
1 2 3 4 5
-40
-60
-80
y
-100
y = −10x 2
y = −2x 2
Gb.4.2. Kurva fungsi
2
y = kx dengan k negatif.
Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;
kita akan melihat bagaimana jika kurva mononom digeser. Pergeseran
kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan
peubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala
diperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian
persamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi
2
− b)
= k(
x − )
(4.3)
( y
a
38
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,
a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =
10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi
2
y 1 = 10x
y
2
2 = 10(
x − 2)
y 3 = 10( x − 2) + 30
2
100
y
y 3 = 10(x−2) 2 + 30
y 1 = 10x 2 50
y 2 = 10(x−2) 2
0
-5 -3 -1 1 3 5
Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua dan tergeser.
Perhatikanlah bahwa y 2 adalah pergeseran dari y 1 ke arah positif sumbu-x
sebesar 2 skala; y 3 adalah pergeseran dari y 2 ke arah positif sumbu-y
sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.
Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah
berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan
membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat
dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k
positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4.
memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang
memiliki koefisien k sama besar.
Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin
cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.
Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin
tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat
dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika
pangkat makin besar.
x
39

y
3
2
y 1 = 2x 2
y 2 = 2x 4
1
y 3 = 2x 6 0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5
Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien
sama.
Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika
koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang
sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.
Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan
koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.
y 1 = 6x 6
y 2 = 3x 4
y 3 = 2x 2
Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.
Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat
meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar
sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada
nilai x yang kecil tetap terlihat.
Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang
makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin
kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah
seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.
6
5
4
3
2
1
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
x
40
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y = 6x 2
y = 3x 4
y = x 6
Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan
koefisien yang makin rendah pada mononom
berpangkat tinggi.
Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.
Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada
nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat
rendah terjadi pada nilai y yang besar.
Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh
peristiwa fisis.
1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan
memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi
waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai
v ( t)
= at
Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
1
s ( t)
= at
2
2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan
waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan
elektron pada waktu mencapai katoda adalah
v k = at
2
41

anoda
]
katoda
l
(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).
Waktu tempuh dapat dihitung dari formula
= l.
1
2
2
s ( t)
= at , di mana s(t)
3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,
fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan
j r
sentral adalah ψ = e k dengan k adalah vektor bilangan gelombang
yang searah dengan rambatan gelombang.
gelombang
Energi kinetik elektron sebagai
gelombang, E k , adalah
E
k =
2
h k
2m
2
e
k = 2π , λ : panjang
λ
E k
m e massa electron, h suatu konstanta.
E k dan k memiliki relasi mononomial
pangkat dua
(Dari Bab-8, ref. [4])
k
Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan
dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis y = kx .
Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.
memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.
Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia
bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin
tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.
42
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam
“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang −1 ≤ x ≤ 1.
Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.
Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien
k, perpotongan kurva dengan garis y = kx bisa terjadi pada nilai x < 1.
4.2. Polinom Pangkat Dua
Fungsi polinom pangkat dua berbentuk
2
y = ax + bx + c
(4.4)
Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan
mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing
mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom
positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva
masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.
150
y
y 1 =2x 2
0
-10 0
3
2
1
0
-1.5 -1 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5
-2
-3
y = 2x y = 2x 5
y 2 =15x
y 3 =13
y = 2x 3
x
-150
Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.
43

Jika kurva y 2 = 15x ditambahkan pada y 1 = 2x 2 maka kurva y 1 akan
bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di
sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.
y 1 =2x 2
150
y
y 4 =2x 2 +15x
-10 0
0
x
(a)
x = −15/2
y 2 =15x
-150
150
sumbu simetri y
−15/4
y 4 =2x 2 +15x
−15/2
-10 0
0
x
(b)
sumbu simetri
150
y
-150
y 5 = 2x 2 +15x+13
y 4 = 2x 2 +15x
-10 0
0
x
(c)
-150
Gb.4.7. Penjumlahan y 1 = 2x 2 , y 2 = 15x, dan y 3 = 13
44
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Karena y2 = 15x
melalui titik [0,0] dan y 1 = 2x 2 juga melalui titik [0,0]
maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva
y = y + y = x 15x
(4.5)
4 1 2 2 2 +
yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga
memotong sumbu-x di x = −15 / 2 karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan
x = −15 / 2 ) memenuhi persamaan y 3 = 2x
2 + 15x
= 0 . Kurva ini
memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = −15 / 4 seperti
terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y 4
tebentuklah
y 5 = 2x
2 + 15x
+ 13
(4.6)
yang merupakan pergeseran dari y 4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13
skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.
Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)
yang dapat kita tuliskan sebagai
⎛ 2
y = a⎜
x +
⎝
⎛
= a⎜
x +
⎝
b
a
b
2a
2
y = ax + bx + c
b
a
⎞ ⎛
x⎟
+ c = a⎜
x +
⎠ ⎝ 2
2 2
⎞ b − 4ac
⎟ −
⎠ 4a
2 2
⎞ b
⎟ − + c
⎠ 4a
(4.7)
Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y
adalah kurva y = ax 2
b
yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh −
2a
kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh
Perhatikan Gb.4.8.
⎛ 2 ⎞
⎜
b − 4ac
− ⎟ .
⎜ ⎟
⎝
4a
⎠
45

y
y = ax 2 +bx +c
x 1
x 2
y = ax 2
b
−
2a
}
Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax 2 sejajar sumbu-x ke kiri
sejauh
–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah
sejauh –(b 2 −4ac)/4a.
b
Sumbu simetri terletak pada x = − dan kurva memotong sumbu-x di
2a
sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x 1 dan x 2 . Dari
persamaan (4.7) kita dapatkan
0
-50
0
⎛
⎜
b
−
⎝
2
x
− 4ac
⎞
⎟
4a
⎠
2 2
⎛ b ⎞ b − 4ac
y = a⎜
x + ⎟ − = 0 →
⎝ 2a
⎠ 4a
⎛
a⎜
x +
⎝
b
2a
2 2
⎞ b − 4ac
⎟ =
⎠ 4a
2 2
2
⎛ b ⎞ b − 4ac
⎛ b ⎞ b − 4ac
→ ⎜ x + ⎟ = → ⎜ x + ⎟ = ±
2a
2
2
⎝ ⎠ 4a
⎝ 2a
⎠ 4a
x , x
1
2
2
b b − 4ac
= − ±
(4.8)
2a
2a
yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.
Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan
dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama
besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol
46
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2
b − 4ac
2
− = 0 ⇒ ( b − 4ac)
= 0
4a
(4.9)
Jika ( b 2 − 4ac)
< 0 maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini
memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.
Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:
2
1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax + bx yang memotong sumbu-
b
b
x di x = 0 dan x = − dan memiliki sumbu simetri di x = −
a
2a
yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat
2
y = ax + bx + c .
2
2. Nilai puncak fungsi y = ax + bx + c
2
y = ax + bx ditambah c yaitu
2
b
y = − + c
4 a
adalah nilai puncak
2
b − 4 ac
atau − .
4a
2
3. Fungsi kuadrat y = ax + bx + c
memotong sumbu-x di
x1,2
= −
b
±
2a
2
b − 4ac
2a
Fungsi Polinom Pangkat Dua Sebagai Mononom Tergeser. Mononom
2
pangkat dua yang tergeser tergeser adalah ( y − b)
= k(
x − a)
yang
dapat kita tuliskan sebagai
dengan
2
2
2 2
y = kx − 2 akx + ka + b = Ax + Bx + C
A = kx , B = −2akx
, C = ka + b .
Jadi bentuk kurva polinom pangkat dua memiliki bentuk yang sama
dengan mononom tergeser.
2
47

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga
3
Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan y = kx . Jika k positif, fungsi
ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x
negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva
fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.
3
y = −2x
500
y
400
0
-5 -4 -3 -2
-100
-1 0 1 2 3 4 5
x
3
y = 2x
300
200
100
-200
-300
-400
-500
Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx 3 .
Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan
pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan
(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh
dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang
tergeser akan menjadi
dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.
3
3
y = 2x
3
y = −2x
y = k( x − a)
+ b
(4.10)
48
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

600
y
400
y = 10x 3
200
0
-5 -3 -1 1 3 5
-200
y = 10(x−2) 3
x
-400
y = 10(x−2) 3 + 100
-600
Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.
Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,
terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang
berbentuk
3 2
y = ax + bx + cx + d
(4.11)
3
Karena y = kx naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan
ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di
sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].
3
Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan y 1 = ax dan b =19, c = −80, d
2
= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi y 2 = bx + cx + d seperti
terlihat pada Gb.4.11.a.
49

y2 = 19x
2 − 80x
− 200
2000
y
y 1 =
4x 3
-
10
0
0 10
x
(a)
-2000
y
3
= y
1
3
= 4x
+ y
2
+ 19x
2
− 80x
− 200
y 2
2000
y
0
-10 0 10
x
(b)
y 1
-2000
Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y 1 dan fungsi kuadrat y 2 .
Dengan a positif maka kurva y 1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai
negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y 2 telah kita kenal. Jika y 1
ditambahkan pada y 2 maka nilai-nilai y 2 di sebelah kiri titik [0,0] akan
berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.
Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.
Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y 1 dan y 2 menghasilkan
kurva y 3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa
3 2
persamaan pangkat tiga ax + bx + cx + d = 0 (dengan nilai koefisien
yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh
perpotongan fungsi y 3 dengan sumbu-x tersebut.
50
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,
penurunan kurva y 1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini
menyebabkan pengurangan nilai y 2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.
Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini
fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang
terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.
Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan
yang ke-tiga ini.
2000
y 2
y 3 = y 1 + y 2
y 1
-2000
-10 10
(a) a kurang positif
2000
y 2
-10 15
(b) a terlalu positif
y 3 = y 1 +y 2
y 1
-2000
Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y 1 + y 2 .
Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y 1 di daerah negatif sangat
tajam. Pengurangan y 2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita
51

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak
memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di
sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita
bahas di sub-bab sebelumnya.
Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif
akan membuat kurva y 1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai
negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y 2 akan bertambah
di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak
terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat
pada Gb.4.13.a.
y 3 = y 1 + y 2
2000
y 1
y 2
0
-10 0 15
(a)
-2000
y 3 = y 1 + y 2
y 2
15
y 1
0
-10 0
(b)
-2000
Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y 3 = y 1 + y 2 dengan a negatif.
Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi
perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a
52
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva
berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada
Gb.4.13.b.
CATATAN: Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga
dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien
a pada mononom pertama ax 3 . Bentuk dan posisi kurva fungsi
kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.
4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri
Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞
sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom
kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita
mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan
polinom, y = y 1 × y2
.
Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua
2
y = kx simetris
terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah
fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang
berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap
untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi
cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.
Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga
3
y = kx
simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan
penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku
pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri
ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],
seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.
Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom
berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu
simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi
mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan
untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.
Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga
merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga
simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier
dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi
mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan
53

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva
fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri
yang sejajar dengan sumbu-y.
Soal-Soal
1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
2
2
y1
= 4x
; y2
= 5x
− 7 ;
2
2
y3
= 3x
−12 ; y4
= −4x
+ 8
2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan
antara kurva-kurva fungsi berikut ini
y
1 dan y2
; y2
dan y3
; y3
dan
3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
2
2
2
1 2
3 +
y = 5x
−10x
; y = 3x
−12x
; y = −4x
2x
4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan
kurva-kurva fungsi berikut.
y
1 dan y2
; y2
dan y3
; y1
dan
5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
y
y
1
2
3
2
y = 5x
= 3x
2
= −4x
−10x
− 7 ;
−12x
+ 2 ;
2
+ 2x
+ 8
6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan
kurva-kurva fungsi berikut.
y
1 dan y2
; y2
dan y3
; y1
dan
y
y
3
4
y
3
54
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 5 Bangun Geometris
5.1. Persamaan Kurva
Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai
F ( x,
y)
= 0
(5.1)
Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi
persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi
persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak
pada kurva.
Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di
antaranya telah kita pelajari di bab pertama.
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik
tertentu
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva
funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva
funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Nilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata
dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan
terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang
berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.
Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak
memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini
telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan
pembahasan.
2 2
Contoh: y + x = 1. Jika kita cari nilai y kita dapatkan
y = ±
1−
x
2
55

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di
bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita
membatasi x hanya pada rentang −1 ≤ x ≤ 1. Karena kurva ini
simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas
pada rentang −1≤
y ≤1
.
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan
sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan
koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x
= 0.
2 2
Contoh: y + x = 1 . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan
Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1].
Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan
mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak
akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak
memotong sumbu-x maupun sumbu-y.
Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva
menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis
tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan
asimptot dari kurva.
2
2
Contoh: y ( x − x)
= x + 10 .
2
Persamaan ini memberikan
y = ±
2
x + 10
x(
x − 1)
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini
berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu
agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.
Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada
antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah
asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.
56
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4
y
0
-4 0
x
4
Soal-Soal:
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).
Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai
-4
2
2
2 x + 10 1 + 10 / x
y = =
2
x − x 1 − 1/ x
Jika x → ±∞ maka y 2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y
= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.
Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu
koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:
1
y = x + ; = x 2 1
y + 1 ; y =
x
2 ;
x + 1
y = x 2 −1;
y 1
=
x
2 −1
.
5.2. Jarak Antara Dua Titik
Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[x p ,y p ) dan Q[x q ,y q ], maka
jarak antara keduanya adalah
PQ
2
2
= ( x p − xq
) + ( y p − yq
)
(5.2)
Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat
kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan
melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.
57

Soal-Soal:
1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap P dan Q.
2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang
sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.
5.3. Parabola
Kita telah melihat bentuk kurva
2
y = kx
(5.3)
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.
Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak
antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak
di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,
seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,
dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak
parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.
y
y=kx 2
Q[0,p]
P[x,y]
[0,0]
x
R[x,−p]
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.
Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.
2 2
2 2 2
2 2
PQ = (PR − p)
+ x = ( y − p)
+ x = y − 2 py + p + x
PR = (y + p)
58
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Karena PQ = PR, maka
2
2
2 2
y − 2 py + p + x = y + p
2
y − 2 py + p + x = y + 2 py + p
2
+
x
y = yang berarti
4 p
2
2
2
x = + 4 py
atau
k = 1
4 p
atau
2
1
p =
4k
Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].
1 2
y = x
(5.4)
4 p
Contoh: Persamaan parabola
2
y = 0,5x
dapat kita tuliskan
Soal-Soal:
y =
1
2
x
2
1
= x
4 × 0,5
dan parabola ini memiliki direktrik y = − p = −0, 5 dan
titik fokus di Q[0,(0,5)].
Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:
2
y + 4x
= 8 ; x − 8y
= 4 ;
2
5.4. Lingkaran
x + 2x
− 4y
− 3 = 0 ; y + x + y = 0
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.
Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]
ke titik-asal adalah
2
2
2
XO =
2
x + y
2
59

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka
x 2 + y
2 = r
Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah
2 2 2
+ y r
(5.5)
x =
dengan r adalah jari-jari lingkaran.
Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat
melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di
P[a,b] mempunyai persamaan
2 2 2
− a)
+ ( y − b)
(5.6)
( x = r
Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut
2 2
lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan x + y = 1 .
y 1
y
1
0,5
-1 [0,0]
0,5
1 x
Gb.5.3. Lingkaran
Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r 2 = 0,4 berpusat di
[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5
skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan
( x − 0,5)
2
-1
+ ( y − 0,5)
2
= 0,4
60
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Soal-Soal:
Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu
koordinat lingkaran berikut
5.5. Elips
1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.
2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.
3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.
4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik
tertentu adalah konstan. Kedua
titik tertentu tersebut merupakan
X[x,y]
dua titik fokus dari elips.
Perhatikan Gb.5.4. Misalkan
diketahui posisi dua titik P[−a,0]
dan Q(a,0]. Jarak antara titik
sembarang X[x,y] dengan kedua
titik tersebut masing-masing
adalah
2 2
XP = ( x + c)
+ y dan
P[-c, 0] Q[c, 0] x
Gb.5.4. Elips
XQ =
2 2
( x − c)
+ y
Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka
2 2
2 2
( x + c)
+ y + ( x − c)
+ y = 2a
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, akan kita peroleh
2 2 2
2 2 2 2
( x + c)
+ y = 4a
− 4a
( x − c)
+ y + ( x − c)
+ y
yang dapat disederhanakan menjadi
c
2 2
a − x = ( x − c)
+ y
a
61

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan
2
2 c 2 2
2 2
a − 2cx
+ x = x − 2cx
+ c + y
2
a
yang dapat disederhanakan menjadi
2 2
x y
+ = 1
2 2 2
a a − c
Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir
ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi
selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,
sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar
nyata; misalkan
persamaan elips
a 2 − c
2 = b . Dengan demikian kita mendapatkan
2 2
x y
+ = 1
2 b
2
a
(5.7)
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong
dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi
panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu
pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita
mendapatkan persamaan lingkaran).
Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa
melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah
2
2
( x − p)
( y − q)
+ = 1
2
2
a b
(5.8)
dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran
sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan
2
2
( x − 0,5) ( y − 0,25)
+
1
2
0,5
= 1
62
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1
y
0
-1 0 1 x 2
Soal-Soal:
Gb.5.5. Elips tergeser.
Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:
5.6. Hiperbola
2 2
1) 9x + 4x
= 36 ;
2
-1
2) 4x + 9y
= 144 ;
2
2 2
3) 4x + y = 1;
2
4) 16( x − 2) + 9( y + 3) = 144
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya
antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola
dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di
atas.
Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan
Q(c,0].
Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masingmasing
adalah
2 2
XP = ( x + c)
+ y dan
2
XQ =
2 2
( x − c)
+ y
63

y
X(x,y)
P[-c,0]
Q[c,0]
x
Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].
Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka
2
2
( x + c)
+ y − ( x − c)
+ y = 2a
Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan
( c / a)
x − a = ( x − c)
+ y
Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh
x
a
2
2
−
c
2
y
2
− a
2
2
2
= 1
Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu
lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua
2 2 2
ruas kiri selalu positif, misalkan c − a = b . Dengan demikian kita
dapatkan persamaan
x
a
2
2
−
b
y
2
2
= 1
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.
2
2
(5.9)
64
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
+∞
X(x,y)
-c -a a c
x
Gb.5.7. Kurva hiperbola
Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan
sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak
memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada
bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.
Soal-Soal:
Gambarkan (skets) hiperbola berikut:
1) x 2 2
− y = 1
9 16
; 2) y 2 2
− x =
9 16
1 ;
3) x 2 2
− y = 1
16 9
; 4) x 2 2
− y = −
9 16
1
5.4. Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus
kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan
berderajat dua adalah
2
2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
(5.10)
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
−∞
B = C = D = F = 0;
A = 1; E = −4
p
65

1 2
sehingga diperoleh persamaan (5.4) y = x .
4 p
Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
B = D = E = 0 ; A = 1; C = 1; F = −1
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari
(5.10), di mana
A = B = C = 0 ;
D = −a;
E = 1;
F = −b
yang memberikan persamaan garis lurus y = ax + b . Namun dalam
kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi
persamaan berderajat satu.
Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah
sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun
bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah
kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.
5.5. Perputaran Sumbu Koordinat
Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola
sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini
sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam
bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]
dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong
sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di
P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.
y
X
P[-a,-a]
Q[a,a]
x
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]
Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a
66
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2 2
2 2
( x + a)
+ ( y + a)
− ( x − a)
+ ( y − a)
= 2a
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua
ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh
x + y − a =
2 2
( x − a)
+ ( y − a)
Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan
2
2xy = a
(5.11)
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva
persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II
dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.
5
y
0
-5 0
x
-5
Gb.5.9. Kurva 2xy = a 2 .
Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola
sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki
sumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.
Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai
perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.
y
P[x,y]
y’
P[x’,y’]
x’
O
β
α
Q
Q’
x
Gb.5.10. Perputaran sumbu.
67

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat
dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau
P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan
Sementara itu
x = OQ = OP cos( α + β)
y = PQ = OPsin( α + β)
x'
= OQ' = OP cosβ
y'
= PQ' = OPsin β
Dengan kesamaan (Catatan: lihat fungsi trigonometri di Bab-6)
cos( α + β)
= cosαcosβ − sin αsin
β
sin( α + β)
= sin αcosβ + cosαsin
β
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi
x = x'cosα − y'sin
α
y = x'sin
α + y'cosα
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada
Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45 o sehingga
cos α = sin α = 1/ 2 . Oleh karena itu kita peroleh
x' −y'
x' + y'
x = dan y =
2
2
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan
x'
−y'
x'
+ y'
2 2 2
2 × = ( x')
− ( y')
= a
2 2
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)
sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah
sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45 o .
Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi
lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar
sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita
pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan
demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana
sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu
koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
68
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 6 Fungsi Trigonometri
Trigon adalah poligon yang paling sederhana. Ia bersisi tiga yang disebut
segitiga; ia unik. Suatu segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c adalah
satu-satunya segitiga yang memiliki sisi-sisi ini; tidak ada segitiga lain
yang memiliki sisi-sisi a, b, dan c, yang berbeda bentuk dan ukuran dari
segitiga ABC. Bentuk dan ukuran yang pasti ini menjamin adanya relasi
yang pasti antara sisi-sisi dan sudutnya. Dengan kepastian ini ia menjadi
wahana transformasi dari berbagai gejala fisis yang kita kenal; bentuk
segitiga yang digunakan untuk keperluan ini adalah segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku dengan sisi-miring c
dan sisi siku-siku b dan c, dan sudut α
adalah antara sisi b dan c, mempunyai
relasi pasti
a = c sin α dan
b = c cos α
Sinus dan cosinus adalah fungsi-fungsi trigonometri. Sudut α menjadi
peubah bebas dan a menjadi peubah tak bebas yang nilainya tergantung
dari α, dengan c merupakan tetapan; kita dapat menuliskan fungsi
y
= Asin α
Jika α bervariasi terhadap waktu, a = ωt
, maka
y = Asin
ωt
Inilah fungsi sinus yang sering kita jumpai, yang digunakan untuk
menyatakan berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu secara
sinusoidal. Sebagai contoh: getaran garpu tala, gelombang suara gong
yang ditabuh, gelombang tegangan saluran transmisi enegi listrik,
gelombang tegangan medan listrik pemancar radio, dan sebagainya.
ω dalam contoh di atas disebut frekuensi sudut, t adalah waktu yang
biasanya dinyatakan dalam satuan detik, dan sudut α dapat dinyatakan
dalam satuan derajat ataupun radian; jadi ω memiliki satuan
derajat/detik atau radian/detik.
A
α
c
b = c cos α
B
a
C
= csin α
69

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat
Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai
peubah-bebas.
y = sin θ
y
y
y
y
y
1
2
3
4
5
6
= cos θ
sin θ
= tan θ =
cos θ
cos θ
= cot θ =
sin θ
1
= sec θ =
cos θ
1
= csc θ =
sin θ
(6.1)
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan,
yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini
diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif
berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijari
r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
y
1
O
θ
-1 [0,0] -θ Q 1 x
r
P
-1
P’
Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.
70
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka
PQ
sin θ = = PQ
(6.2)
r
PQ = 0 pada waktu θ = 0 o , dan membesar jika θ membesar sampai
mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90 o . Kemudian PQ
menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180 o . Sesudah itu PQ
menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada
waktu θ = 270 o , kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu
θ = 360 o . Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya
terjadi pada waktu θ = 720 o . Kejadian berulang lagi dan demikian
seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat
kita memperoleh
sin 0
o
sin 270
= 0;
o
= −1;
sin 90
o
= 1;
sin 360
o
sin180
= 0
o
= 0;
Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka
OQ
cos θ = = OQ
r
(6.3)
OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai
mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ
meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π.
Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ
= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1
pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus
berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan
demikian seterusnya. Secara singkat
cos0
o
cos 270
= 1;
o
= 0;
cos90
o
= 0;
cos360
o
cos180
= 1
o
= −1;
Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil
Pitagoras memberikan PQ 2 + OQ 2 = OP 2 =1, maka
Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga
2
2
sin ( θ ) + cos ( θ)
= 1
(6.4.a)
71

P′
Q −PQ
sin( −θ)
= = = −sin
θ
r r
OQ
cos( −θ)
= = cosθ
r
(6.4.b)
(6.4.c)
Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil
dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai
antara −1 dan +1.
Fungsi Tangent.
PQ
tan θ =
(6.4.d)
OQ
P′
Q −PQ
tan( −θ)
= = = − tan θ
(6.4.e)
OQ OQ
Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0 o , dan akan menuju +∞ jika θ menuju
90 o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada
waktu θ menuju −90 o . Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.
Nilai tanθ = 1 bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1
jika θ = −45 o . Lihat pula kurva pada Gb.6.5.
Fungsi Cotangent.
OQ
cot θ =
(6.4.f)
PQ
OQ OQ
cot( −θ)
= = = −cot
θ
(6.4.g)
P′
Q − PQ
Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0 o karena PQ akan menuju 0
walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90 o karena OQ = 0.
Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan
menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90 o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula
kurva Gb.6.6.
72
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Secan dan Cosecan
1 r
secθ = =
(6.4.h)
cosθ
OQ
1 r
cscθ = =
(6.4.i)
sin θ PQ
Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90 o karena OQ menuju 0 dan secθ =
1 pada waktu θ = 0 o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1.
Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju
0. Lihat pula Gb.6.7.
Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan
mengunakan Gb.6.2., yaitu
cosα
y
1
sinα cosβ
β
sinα
sinα sinβ
α
cosα sinβ
β
-1 [0,0] 1 x
cosα cosβ
-1
Gb.6.2. Relasi-relasi
sin( α + β)
= sin αcosβ + cosαsin
β
cos( α + β)
= cosαcosβ − sin αsin
β
(6.5)
Karena
sin( −β)
= −sinβ
dan cos( −β)
= cosβ
maka kita peroleh pula
sin( α − β)
= sin αcosβ − cosαsin
β
cos( α − β)
= cosαcosβ + sin αsin
β
(6.6)
73

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
r
θ
s
Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,
π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan
satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ
didefinisikan dengan persamaan
θ =
s , s = rθ
(6.7)
r
Jika θ = 360 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr .
Jadi jumlah radian dalam sudut 360 o adalah 2π. Dengan demikian maka
ukuran sudut
θ 1 = 180 o adalah π rad.
θ 2 = 90 o adalah 0,5π
rad.
θ = adalah ( /180) rad. dst.
3 1 o π
Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri
akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa
sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi
sinus
y = sin(x)
(6.8)
terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.
Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90 o ,
mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180 o , mencapai minimum −1 (arah
negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270 o , kembali nol pada x = 2π atau θ =
360 o ; inilah satu perioda.
−2π
y
1,5
1
0,5
−π
0
0
-0,5
π 2π
-1
-1,5
Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.
x
74
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus
y = cos(x)
(6.9)
terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0
atau θ = 0 o , mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90 o , mencapai
minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180 o , kembali nol pada x
= 1,5π atau θ = 270 o , dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu
perioda, 2π.
−π
1,5
y
1
0,5
-1,5
Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.
Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan
perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang
sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu
sin( x)
= −sin(
−x)
sedangkan cos( x)
= cos( −x)
(6.10)
Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki
simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut
memiliki simetri genap.
Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi
sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar
sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan
dalam cosinus
y = sin( x)
= cos( x − π / 2)
(6.11)
Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi
-1
perioda
0
0 π 2π x
-0,5
sin( x)
y = tan( x)
=
(6.12)
cos( x)
75

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak
hingga pada x = +π/2 dan −π/2.
3
y
2
1
0
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-1
-2
-3
Gb.6.5. Kurva y = tan(x)
Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.
cos( x)
1
y = cot( x)
= =
(6.13)
sin( x)
tan( x)
Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.
Lihat Gb.6.6.
3
2
1
0
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-1
-2
-3
Gb.6.6. Kurva y = cot (x)
76
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.
1
y = sec( x)
=
(6.14.a)
cos( x)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai
1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.
Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.
1
y = csc( x)
=
(6.14.b)
sin( x)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara
pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.
3
2
1
0
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-1
-2
(a) y = sec(x)
-3
3
2
1
-1,5π -π
0
-0,5π 0
-1
0,5π π 1,5π
-2
-3
(b) y = csc(x)
Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)
77

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:
y = 2sin x ; y = 3sin 2x
; y = 2cos3x
;
y = 3cos(2x
+ π / 4) ; y = 2 tan( x / 3)
6.3. Fungsi Trigonometri Inversi
Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan y = sin(x)
, maka fungsi
sinus inversi dituliskan sebagai
−1
y = arcsin x atau y = sin x
(6.15)
Perhatikan bahwa sin −1 x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x
yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan
x.
Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi
y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada
Gb.6.8.a.
Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya
meninjau fungsi sinus inversi pada
π π
− ≤ y ≤ . Dengan pembatasan ini
2 2
maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin −1 x. Jadi nilai
utama y = sin −1 x terletak pada
π −1 π
− ≤ sin x ≤ . Kurva fungsi
2 2
y = sin −1 x yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.
Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin −1 x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =
0 = x. Pada x = 1, y = sin −1 x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.
Contoh:
−
y = sin 1 (1) = 0,5π
;
−
y = sin 1 ( −1)
= −0,5π
−
sin 1 π
y = (0,5) = ;
6
−
sin 1 π
y = ( −0,5)
= −
6
78
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2π
y
π
-1
0
0
1
x
0,5π
y
0,25π
−2π
−π
0
-1 -0,5 0 0,5 x 1
-0,25π
-0,5π
a) b)
Gb.6.8. Kurva y = sin −1 x
Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.
(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan
horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan
memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang
π π
− ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi
2 2
sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.
Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan
−1
π −1
y = cos x = − sin x
(6.16)
2
Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π/ 2 − α dan sin α = cosβ
.
Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga
−1
cos x
= β = π
−1
/ 2 − α = π / 2 − sin x
79

Karena dengan pembatasan
π π
− ≤ y ≤ pada fungsi sinus inversi
2 2
memberikan
π −1 π
1
− ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos − x akan
2 2
terletak pada ≤
− 1
0 cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi
cosinus inversi pada nilai utama.
Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y
digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.
dalam rentang 0 ≤ x ≤ π .
y
π
1π
y
-1
0
0
1
x
0,75π
0,5π
−π
0,25π
0
-1 -0,5 0 0,5 x 1
a) b)
Gb.6.9. Kurva y = cos −1 x
Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah
y = tan −1 x
(6.17)
π
dengan nilai utama
1 π
− < tan
− x <
2
2
Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2)
tidak kita masukkan pada
pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada
nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva y = tan −1 x lengkap
sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai − 0,5π < y < 0. 5π
.
80
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

1,5π
y
π
0,5π
-3 -2
0
-1 0 1 2 3
-0,5π
-π
x
0,5π
y
0,25π
0
-10 -5 0 5 x 10
-0,25π
-1,5π
a) b)
Gb.6.10. Kurva
y = tan −1 x
Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b
ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,
dalam rentang
π −1 π
− < tan x <
2
2
Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.
Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan
−1
π −1
y = cot x = − tan x
(6.18)
2
dengan nilai utama <
− 1
0 cot x < π
0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y
menjadi tak hingga.
Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan tan α = cotβ
.
Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga
−1
cot x
= β = π
-0,5π
−1
/ 2 − α = π / 2 − tan x
Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.
81

1π
y
0,5π
0
x
-10 -5 0 5 10
Gb.6.11. Kurva
y
= cot −1
x
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan
bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.
Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi
1
y = sec
−1 x = cos
−1
(6.19)
x
dengan nilai utama
π
≤
− 1
0 sec x ≤ π .
0,75π
0,5π
0,25
π
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gb.6.12. Kurva
y
= sec −1
x
Fungsi Cosecan Inversi.
1
csc
−1 x = sin
−1
(6.20)
x
dengan nilai utama
π −1 π
− ≤ csc x ≤
2 2
82
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi
terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.
0,5π
y
0,25π
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4
-0,25π
-0,5π
Gb.6.12. Kurva
y = csc −1 x
Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi
dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan
gambar segitiga siku-siku.
1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu
sudut y yang sinus-nya adalah x
dapat kita gambarkan segitiga
siku-siku dengan sisi miring sama
dengan 1 seperti terlihat di
samping ini.
Dari gambar ini selain fungsi
y = sin −1 x dan sin y = x , kita dapat peroleh
2
cos y = 1−
x ,
tan y
x
= , dst.
2
1 − x
y
1
2
1 − x
x
2). Dari fungsi cosinus inversi
y = cos −1 x dapat kita
gambarkan segitiga siku-siku
seperti di samping ini.
1 2
1 x −
y
x
83

Selain
cos y = x dari gambar ini kita dapatkan
2
sin y = 1 − x ,
1 − x
tan y = , dst.
x
2
3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita
gambarkan segitiga seperti di samping
ini.
Selain
tan y =
x , kita peroleh
x
sin y = ,
2
1 + x
cos y
1
= , dst
2
1 + x
2
1 + x
y
1
x
4). Dari fungsi y = sec −1 x kita
gambarkan segitiga seperti di
samping ini.
y
x
x 2 − 1
Dari gambar ini kita peroleh
2
tan y = 1 − x ,
2 −
1
x 1
sin y = , dst.
x
Soal-Soal:
1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y
2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y
84
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 7 Gabungan Fungsi Sinus
7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya
gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan
listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi
waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu
sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.
Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik
disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1
siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T 0 maka
1
f 0 = (7.1)
T0
Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan
jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan
sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per
detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi
siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan
radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut
(ω), dan juga dengan perioda (T 0 ), adalah
2π
ω = 2πf0
=
(7.2)
T0
Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A
dituliskan sebagai
⎛ 2πt
⎞
y = Acosωt
= Acos⎜
⎟
(7.3)
⎝ T0
⎠
Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan
yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi
sinus y = sin(x)
atau fungsi cosinus y = cos(x)
dengan x sebagai
peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan
fungsi cosinus y = cos ωt
dengan t sebagai peubah bebas dengan
satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi
radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.
85

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita
geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi
sinus. Gb.7.2.
⎛ π ⎞
⎛ 2πt
⎞
y = Acos⎜
ωt
− ⎟ = Asin
ωt
= Asin⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
(7.4)
⎝ T0
⎠
y
A
T 0
0
0 t
-A
Gb.7.1. Fungsi cosinus
y
⎛ 2πt
⎞
y = Acosωt
= Acos⎜
⎟
⎝ T0
⎠
A
T 0
0
0 t
-A
Gb.7.2. Fungsi sinus
⎛ 2πt
⎞ ⎛ π ⎞
y = Asin
ωt
= Asin⎜
⎟
= Acos⎜ωt
− ⎟
⎝ T0
⎠ ⎝ 2 ⎠
Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3.
Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah
y = Acosω
⎛ 2πt
( t − T ) = Acos⎜
−
s
s
T ⎟ 0 T0
⎠
⎝
2πT
⎞
86
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
A
T 0
0
0 T s
t
-A
Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser
Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan
pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran
adalah T s . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi
kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu
fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk
cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang
ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.
Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal
kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap
sebagai bentuk normal
Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga
fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3)
yang dapat pula kita tuliskan
y = Acos
ω
y = Acos
( t − )
T s
( ωt
− ω )
Pada penulisan terakhir ini, ωT s mempunyai satuan radian, sama dengan
satuan ωt. Selanjutnya
2πTs
ϕ = ωTs
=
(7.5)
T0
disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak
pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita
tuliskan
( ω − ϕ)
T s
y = cos t
(7.6)
87

Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah
fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita
menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.
7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.
Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan
adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.
Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang
bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.
Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi
jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut
fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,
fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen
searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi
dasar f 0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf 0 .
Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi
sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang
berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk
sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk
fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang
menyusunnya.
Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan
bulat n dari frekuensi dasar f 0 . Frekuensi f 0 kita sebut sebagai frekuensi
dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T 0 = 1/f 0 .
Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2f o ), harmonisa
ketiga (3f 0 ), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa
ke-n mempunyai frekuensi nf 0 .
7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.
Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa
mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.
Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau
dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga
mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen
tersebut.
88
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4
y
y
4
0
-5 15
t
0
-5 15
t
-4
y = 3 cos 2f 0t
-4
y = 1 + 3 cos 2f 0t
4
y
0
t
- 5 15
- 4
y = 1+
3cos 2πf0t
− 2cos(2π(2
f0
) t)
1
-5 15
-4
y = 1+
3cos 2π f0t
− 2cos(2π(2
f0)
t + π / 4)
Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.
Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan
dengan persamaan
( 2πf
t) + 15sin( 2π(2
f ) t) − 7,5cos( 2 (4 f t)
y = 10 + 30 cos 0 0
π 0)
Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga
komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen
berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen
sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen
inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku
ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3
tidak ada.
Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk
melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku
dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan
89

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah
menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = Acos(
2πft
+ ϕ)
.
Dengan menggunakan kesamaan
sin( 2πft ) = cos(2πft
− π / 2) dan −cos(
2πft
) = cos(2πft
+ π)
persamaan fungsi di atas dapat kita tulis
y = 10 + 30 cos(2πf0t)
+ 15cos(2π2
f0t
− π / 2) + 7,5cos(2π4
f0t
+ π)
Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam
bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap
komponen seperti dalam tabel berikut.
Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0
Amplitudo 10 30 15 7,5
Sudut fasa − 0 −π/2 π
Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan
suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan
apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu
spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo
maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari
frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu
: 0, f 0 , 2f 0 , dan 4f 0 . Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut
adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal
tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f 0 , 2f 0 dan
4f 0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.
Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu
grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi
frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)
dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).
90
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

40
Amplitudo
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5
Frekuensi [×f 0]
Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo
2π
Sudut Fasa
π/2
0
0 1 2 3 4 5
−π/2
−2π
Frekuensi [×f 0]
Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.
Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat
dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.
Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi
jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian
fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :
A
y = Acos(2πf
0t
− π / 2) + cos(2π3
f0t
− π/
2)
3
A
A
+ cos(2π5
f0t
− π/
2) + cos(2π7
f0t
− π/
2) + ....
5
7
Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut
fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya
frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada
harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.
91

Frekuensi: 0 f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 .. nf 0
Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n
Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2
Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun
dari harmonisa-harmonisanya.
a) b)
c)
d)
e)
Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.
a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.
c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +
harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada
harmonisa ke-21.
Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan
menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan
makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan
terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi
yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk
yang kita inginkan.
Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi
frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak
hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.
Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas
92
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap
amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi
tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita
tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%
dari amplitudo sinus dasar.
Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga
perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar
jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.
Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah
nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band
width).
93

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum
1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini
dalam format cosinus y = Acos(
x − xs
) :
a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi
siklus 10 siklus/skala.
b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,
frekuensi siklus 10 siklus/skala.
c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0 o , frekuensi sudut 10
rad/skala.
d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30 o , frekuensi sudut
10 rad/skala.
2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan
sinus berikut ini:
y = 4 + 5sin 2π2000t
− 2cos 2π4000t
+ 0,2sin 2π8000t
Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,
tentukan lebar pita fungsi ini.
3. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan
mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.
o
y = 3cos(2π1000t
− 60 ) - 2sin2π2000t
+ cos2π8000t
4. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan
mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.
y = 10cos100t
+ 2cos300t
+ cos500t
+ 0.2cos1500t
+ 0,02cos5000t
5. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan
sinus berikut ini, dan tentukan juga lebar pita fungsi ini dengan
mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%.
y = 10 + 10cos 2π500t
+ 3cos 2π1000t
+ 2cos 2π1500t
+ 0,2cos 2π2000t
94
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 8 Fungsi Logaritma Natural,
Eksponensial, Hiperbolik
8.1. Fungsi Logarithma Natural.
Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis
bilangan e. Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangannyata
dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang
koma, nilainya adalah
e = 2,7182818284
Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting
dalam matematika:
ln e = 1
(8.1)
ln e a = a ln e = a
(8.2)
Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural
dari x dituliskan sebagai
y = ln x
(8.3)
Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita
pelajari pada Bab-12), yaitu
=
∫
x 1
ln x dt
(8.4)
1 t
Di sini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral
dengan batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t
dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilai
fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.
6
y
5
4
3
2
1
1/t
ln x
0
t
0 1 2 x 3 4
Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.
97

Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2.
Nilai ln x = 1 terjadi pada nilai x = e.
y
Gb.8.2. Kurva y = ln x.
Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa.
Jika x dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:
ln ax = ln a + ln x
ln
ln x
ln e = 1
ln e
x
= ln x − ln a;
a
n
x
2
1,5
1
0,5
0
0
-0,5
1 2 e 3 x 4
-1
-1,5
-2
= nln
x
= x
ln x bernilai negatif untuk x < 1
y = ln x
(8.5)
Soal-Soal
Dengan membagi luas bidang di bawah kurva (1/t) pada Gb.8.1
dalam segmen-segmen selebar ∆t = 0,1 dan mendekati luas segmen
sebagai luas trapesium, hitunglah
1). ln 1,5 2). ln 2 ; 3). ln 0,5
98
Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

8.2. Fungsi Eksponensial
Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi
dari logaritma; kita melihatnya sebagai suatu fungsi
x = ln y
(8.6)
Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini
ekivalen dengan
yang disebut fungsi eksponensial.
x
y = e
(8.7)
Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi
eksponensial dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul
pada x = 0 walaupun faktor u(x), yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak
dituliskan.
y = ae
−
bx
; x ≥ 0
(8.8)
Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai
fungsi makin kecil. untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini
akan makin menurun. Makin besar b akan makin cepat penurunan
tersebut.
Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi
eksponensial (8.8) untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti
terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini terlihat bahwa makin besar nilai b,
makin cepat fungsi menurun.
y
1
0,8
0,6
e − x
e −2x
0,4
0,2
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 4
Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e −x dan y = e −2x .
99

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%
dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x
= 5b kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah
di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu fungsi eksponensial
biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah
−at
y = Ae u(t)
(8.9)
Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa
kita hanya meninjau keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat
jika a makin besar. Didefinisikanlah
sehingga (8.9) dituliskan
1
τ =
(8.10)
a
−t / τ
y = Ae u(
t)
(8.11)
τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi
eksponensial menurun.
Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang
banyak dijumpai dalam rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu
penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua fungsi mempunyai
amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari keduanya
juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah
−t
/ τ1 −t
/ τ2
( − e ) u(
t)
y = A e
(8.12)
Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4.
Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja
(surge) merupakan jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai
suatu nilai maksimum tertentu kemudian menurun dengan agak lebih
lambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk keperluan laboratorium
berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering dimodelkan
dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.
100 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
5
A
4
3
y = Ae
1
y
2
−t
/ τ
1
= Ae
−t
/ τ
y = A e
2
−t
/ τ1 −t
/ τ2
( − e )
2
1
0
0 1 2 3 4 t/τ 5
Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.
Soal-Soal
1. Gambarkan dan tentukan persamaan kurva fungsi eksponensial
yang muncul pada x = 0 dan konstanta τ , berikut ini :
a). y a = amplitudo 5, τ = 2.
b). y b = amplitudo 10, τ = 2.
c). y c = amplitudo −5, τ = 4.
2. Dari fungsi pada soal 10, gambarkanlah bentuk kurva fungsi
berikut.
a). y
c). y
d
b). y
e
f
= y
= y
a
a
= y
a
+ y
+ y
b
c
+ y
b
+ y
c
3. Gambarkanlah bentuk kurva fungsi berikut.
a).
b).
−0,5x
10{ 1−
e }
−0,2x
{ 10 − 5e
}
y1 =
u(
x)
y2 =
u(
x)
101

8.3. Fungsi Hiperbolik
Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi
hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
v
−v
−v
e + e
e − e
cosh v = ; sinh v =
(8.13)
2
2
Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan
sinus hiperbolik. Definisi ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri
biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonometri biasa, jika x = cosθ dan
y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi persamaan
“lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu
2
2
x + y = 1 = sin θ + cos θ .
Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsifungsi
ini memenuhi persamaan “hiperbola satuan”:
x
2
− y
2
2
= 1
Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v
untuk y dan kita akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan”
akan terpenuhi. Kita coba:
x
2
− y
2
= cosh
2
v − sinh
2
e
v =
2v
+ 2 + e
4
v
−2v
2
e
−
2v
− 2 + e
4
−2v
Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan
e
x = cosh v =
v
+ e
2
−v
y
;
e
y = sinh v =
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
v = 0
v
− e
2
−v
v = ∞
P[x,y]
x
0 1 2 3 4
Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan.
=
4
= 1
4
102 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika kita masukkan
e
x = cosh v =
v
+ e
2
−v
;
e
y = sinh v =
v
− e
2
maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena e v
selalu bernilai positif dan e −v = 1/e v juga selalu positif untuk semua nilai
nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu berada di bagian positif (sebelah
kanan sumbu-y) kurva hiperbolik.
Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain
didefinisikan sebagai
v −v
v −v
sinh v e − e
cosh v e + e
tanh v = = ; coth v = =
(8.14)
cosh v v −v
v v −v
e + e
sinh e − e
1
cosh
1
sinh v
sech v = = ; csch v = = (8.15)
v −v
v −v
v
e
2
+ e
e
−v
2
− e
Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini.
1). 2 2
cosh v − sinh v = 1 . Identitas ini telah kita buktikan di atas.
Identitas ini mirip dengan identitas fungsi trigonometri biasa.
2 2
2). 1 − tanh v = sech v . Identitas ini diperoleh dengan membagi
identitas pertama dengan cosh 2 v.
2
2
3). coth v − 1 = csch v . Identitas ini diperoleh dengan membagi
identitas pertama dengan sinh 2 v.
4).
5).
cosh v + sinh v = e
u
. Ini merupakan konsekuensi definisinya.
−u
cosh v − sinh v = e . Ini juga merupakan konsekuensi
definisinya.
103

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan
kurva fungsi-fungsi hiperbolik.
(a)
1
e
2
x
4
y
3
2
1
0
y = sinh x
-2 -1 0 1 2
-1
1
− e − x
-2
2
y = cosh x
-3
-4
4
3
y
x
2
c)
b)
1
y = sech x
0
-2 -1 0 1
x
2
-1
4
y = cosh x y
3
2
1
1 x
e
y = sinh x
2
0
-2 -1 0 1 2
-1
-2
-3
-4
x
104 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4
y
3
2
y = coth x
1
y = tanh x
0
x
-2 -1 0 1 2
-1
y = coth x
-2
-3
d)
-4
y
4
3
2
y = cschx
y = sinh x
1
-2 -1
0
0
-1
1
x
2
-2
e)
y = cschx
-3
-4
Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.
105

Soal-Soal
1). Turunkan relasi sinh( u + v)
dan cosh( u + v)
.
2). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, coth v, dan csch v.
3). Diketahui sinh v = −3/ 4 . Hitung cosh v, tanhv, dan sech v.
106 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 9 Koordinat Polar
9.1. Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
Pada pernyataan posisi satu titik P[x P ,y P ] pada sistem koordinat sudutsiku
terdapat hubungan
y = r sin θ ; x = r cosθ
(9.1)
P
P
dengan r adalah jarak antara titik P dengan titik-asal [0,0] dan θ adalah
sudut yang dibentuk oleh arah r dengan sumbu-x, seperti terlihat pada
Gb. 17.1.
y
y P
r
P[r,θ]
θ
[0,0] x P x
Gb.9.1. Posisi titik P pada sistem koordinat polar.
Dalam koordinat polar, r dan θ inilah yang digunakan untuk menyatakan
posisi titik P. Posisi titik P seperti pada Gb. 17.1. dituliskan sebagai
P[r,θ].
17.2. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Di Bab-5 kita telah melihat persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di
O[a,b] dalam koordinat sudut-siku, yaitu
2
( x − a)
+ ( y − b)
= c
Kita dapat menyatakan lingkaran ini dalam koordinat polar dengan
mengganti x dan y menurut relasi (9.1), yaitu
yang dapat dituliskan sebagai
2
2
2
2 2
θ − a)
+ ( r sin θ − b)
(9.2.a)
( r cos
= c
107

( r
2
cos
2
θ − 2ra
cosθ + a
2
( r − 2r(
a cosθ + bsin
θ)
)
r
) + ( r
sin
= 0
2 2 2
( r − 2( a cosθ + bsin
θ)
) + a + b − c = 0
2
+ a
2
2
+ b
dengan bentuk kurva seperti Gb.9.2.a
2
2
θ − 2rbsin
θ + b
− c
2
2
) − c
2
= 0
(9.2.b)
Jika lingkaran ini berjari-jari c = a dan berpusat di O[a,0] maka
persamaan (9.2.b) menjadi
r ( r − 2a
cosθ)
= 0
(9.2.c)
Pada faktor pertama, jika kita mengambil r = 0 , kita menemui titik
pusat. Faktor ke-dua adalah
r − 2 a cosθ
= 0
(9.2.d)
merupakan persamaan lingkaran dengan bentuk kurva seperti pada
Gb.9.2.b.
b
y
[0,0]
θ
r
a
(a)
P[r,θ]
[0,0]
Gb.9.2. Lingkaran
Berikut ini tiga contoh bentuk kurva dalam koordinat bola.
x
Contoh: r = 2(1
− cosθ)
. Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.3
yang disebut kardioid (cardioid) karena bentuk yang seperti hati.
y
θ
r
a
(b)
P[r,θ]
x
108 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

3
P[r,θ]
2
r
1
y
θ
0
-5 -3 -1
-1
1
x
Gb.9.3 Kurva kardioid, r = 2(1
− cosθ)
Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 0; pada θ = π/2 , r = 2; pada θ = π,
r = 4; pada θ = 1,5π, r = 2.
Contoh:
2
r = 16cosθ
. Bentuk kurva fungsi ini terlihat pada Gb.9.4
3
2
1
-5 -3 -1
0
1 3 x 5
-1
-2
-3
Gb.9.4 Kurva
2
r = 16cosθ
Perhatikan bahwa pada θ = 0, r = 4; pada θ = π/2 , r = 0; pada θ = π,
r = 4; pada θ = 1,5π, r = 0.
Contoh: r θ = 2 . Untuk θ > 0 bentuk kurva fungsi ini terlihat pada
Gb.9.5
y
-2
-3
r
θ
P[r,θ]
109

2
y
1,5
1
0,5
r
θ
P[r,θ]
0
-1 0 1 2 x 3
θ = π
-0,5
θ = 3π θ = 4π θ = 2π
-1
Gb.9.5 Kurva r θ = 2
y = 2
Pada persamaan kurva ini jika θ = 0 maka 0 = 2; suatu hal yang tidak
benar. Ini berarti bahwa tidak ada titik pada kurva yang bersesuaian
dengan θ = 0. Akan tetapi jika θ mendekati nol maka r mendekati ∞;
garis y = 2 merupakan asimptot dari kurva ini. Perhatikanlah bahwa
perpotongan kurva dengan sumbu-x tidak berarti θ = 0 dan terjadi pada θ
= π, 2π, 3π, 4π, dst.
17.3. Persamaan Garis Lurus
Salah satu cara untuk menyatakan persamaan kurva dalam koordinat
polar adalah menggunakan relasi (9.1) jika persamaan dalam koordinat
sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalnya pada persamaan
lingkaran (9.2.a) menjadi (9.2.b) atau (9.2.c). Berikut ini kita akan
menurunkan persamaan kurva dalam koordinat polar langsung dari
bentuk / persyaratan kurva.
Gb.9.6 memperlihatkan kurva dua garis lurus l 1 sejajar sumbu-x dan l 2
sejajar sumbu-y.
y
l 1
y
O
r
θ
a
P[r,θ]
x
b
O
l 2
r
θ
P[r,θ]
x
Gb.9.6 Garis lurus melalui titik-asal [0,0].
Garis l 1 berjarak a dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini
harus memenuhi
110 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Inilah persamaan garis l 1 .
r cos θ = a
(9.3)
Garis l 2 berjarak b dari titik-asal; setiap titik P yang berada pada garis ini
harus memenuhi
Inilah persamaan garis l 2 .
r sin θ = b
(9.4)
Kita lihat sekarang garis l 3 yang berjarak a dari titik asal dengan
kemiringan positif seperti terlihat pada Gb.9.7. Karena garis memiliki
kemiringan tertentu maka sudut antara garis tegak-lurus ke l 3 , yaitu β
juga tertentu. Kita manfaatkan β untuk mencari persamaan garis l 3 . Jika
titik P harus terletak pada l 3 maka
Inilah persamaan garis l 3 .
r cos( β − θ)
= a
(9.5)
y
P[r,θ]
A
α
l 3
a
β
r
θ
O
x
Gb.9.7. Garis lurus l 3 berjarak a dari [0,0], memiliki kemiringan positif.
Jika kita bandingkan persamaan ini dengan persamaan (9.3) terlihat
bahwa persamaan (9.5) ini adalah bentuk umum dari (9.3), yang akan
kita peroleh jika kita melakukan perputaran sumbu. Jika perputaran kita
lakukan sedemikian rupa sehingga memperoleh kemiringan garis positif,
maka akan kita peroleh persamaan garis seperti (9.5). Apabila perputaran
sumbu kita lakukan sehingga garis yang kita hadapi, l 4 , memiliki
kemiringan negatif, seperti pada Gb.9.8., maka persamaan garis adalah
r cos( θ − β)
= a
(9.6)
111

y
P[r,θ]
r a
θ
β
l 4
O
x
Gb.9.8. Garis lurus l 4 berjarak a dari [0,0], kemiringan negatif.
17.4. Parabola, Elips, Hiperbola
Ketiga bangun geometris ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koordinat
sudut-siku. Kita akan melihatnya sekarang dalam koordinat polar.
Eksentrisitas. Pengertian sehari-hari dari istilah eksentrik adalah
menyimpang dari yang umum. Dalam matematika, eksentrisitas adalah
rasio antara jarak suatu titik P terhadap titik tertentu dengan jarak antara
titik P terhadap garis tertentu. Titik tertentu itu disebut titik fokus dan
garis tertentu itu disebut direktriks; kedua istilah ini telah kita kenal pada
waktu pembahasan mengenai parabola di Bab-5. Sesungguhnya, dengan
pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola,
elips, dan hiperbola.
Perhatikan Gb.9.8. Jika e s adalah eksentrisitas, maka
PF
e s =
(9.7)
PD
D
A
direktriks
r
θ
F
Gb.9.8. Titik fokus dan garis direktriks.
Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka
k
y
PF = r
B
P[r,θ]
x
112 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dan dengan (9.7) menjadi
r = e s PD ; sedangkan
PD = AB = AF + FB = k + r cosθ
sehingga r = es
( k + r cosθ)
= esk
+ esr
cosθ
Dari sini kita dapatkan
r =
esk
− e cosθ
(9.8)
1 s
Nilai e s menentukan persamaan bangun geometris yang kita akan
peroleh.
Parabola. Jika e s = 1, yang berarti PF = PD, maka
k
r =
(9.9)
1−
cosθ
Inilah persamaan parabola.
Perhatikan bahwa jika θ mendekati nol, maka r mendekati tak hingga.
Jika θ = π/2 maka r = k. Jika θ = π titik P akan mencapai puncak kurva
dan r = k/2, yang berarti bahwa puncak parabola berada di tegah-tengah
antara garis direktriks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5.
Elips. Jika e s < 1, misalnya e s = 0, 5 , PF = PD/2, maka
k
r =
(9.10)
2 − cosθ
Inilah persamaan elips.
Perhatikan bahwa karena − 1 ≤ cosθ ≤ + 1 maka penyebut pada
persamaan (9.10) tidak akan pernah nol. Oleh karena itu r selalu
mempunyai nilai untuk semua nilai θ. Jika θ = 0 maka r = k, titik P
mencapai jarak terjauh dari F. dan jika θ = π/2 maka r = k/2 . Jika θ = π
maka r = k/3, titik P mencapai jarak terdekat dengan F.
Hiperbola. Jika e s > 1, misal e s = 2 , berarti PF = 2 × PD , maka
2k
r =
(9.11)
1 − 2cosθ
Inilah persamaan hiperbola.
113

Jika θ mendekati π/3 maka r menuju tak hingga. Jika θ = π / 2 maka r =
2k. Jika θ = π , titik P ada di puncak kurva, dan r = k/3 = PF.
17.4. Lemniskat dan Oval Cassini
Di laut Aegea di hadapan selat Dardanella, terdapat sebuah pulau yang
penting dalam mitologi Yunani yaitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau
vulkanik ini berbentuk tak beraturan dengan dua teluk yang menjorok
dalam ke daratan di pantai utara dan pantai selatan.
Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique
Cassini (1625 – 1712) adalah astronom Italia. Cassini menemukan empat
di antara sembilan atau sepuluh satelit planet Saturnus. Ia pula yang
menemukan celah cincin Saturnus, antara cincin terluar dengan cincin
ke-dua yang paling terang; celah itu kemudian disebut Cassini’s division.
Bangun-geometris yang disebut lemniskat dan oval Cassini merupakan
situasi khusus dari kurva yang merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan.
Misalkan dua titik tertentu tersebut adalah F 1 [a,π] dan F 2 [a,0]. Lihat
Gb.9.9.
θ = π/2
P[r,θ]
r
θ = π
F 1[a,π]
θ
F 2[a,0]
θ = 0
Dari Gb.9.9. kita dapatkan
Gb.9.9. Menurunkan persamaan kurva dengan
persyaratan PF 1 ×PF 2 = konstan
2
2
( PF ) = ( r sin θ) + ( a + r cosθ)
1
= r
2
+ a
2
+ 2ar
cosθ
2
2
( PF ) = ( r sin θ) + ( a − r cosθ)
2
= r
2
+ a
2
− 2ar
cosθ
2
2
Misalkan hasil kali
PF
2
1 × PF 2 = b , maka kita peroleh relasi
114 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

4
=
2 2
2 2
( r + a + 2ar
cosθ) × ( r + a − 2ar
cosθ)
= r
= r
4
4
+ a
+ a
4
4
+ 2a
2
+ 2a
r
2
2
2
− (2ar
cosθ)
2
r (1 − 2cos
θ)
2
(9.12)
Kita manfaatkan identitas trigonometri
2 2 2
cos 2θ
= cos θ − sin θ = 2cos θ −1
untuk menuliskan (9.12) sebagai
4 4 4 2 2
b = r + a − 2a
r cos 2θ
(9.13)
Jika b kita buat ber-relasi dengan a yaitu b = ka maka persamaan (9.13)
ini dapat kita tuliskan
Untuk r > 0, persamaan ini menjadi
4 2 2
4 4
0 = r − 2a
r cos 2θ + a (1 − k )
2 2
2 2
4
r = a cos 2θ ± a cos 2θ − (1 − k )
(9.14)
Lemniskat. Bentuk kurva yang disebut lemniskat ini diperoleh pada
2
kondisi khusus (9.14) yaitu k = 1, yang berarti b = a atau PF1 × PF 2 = a .
Pada kondisi ini persamaan (9.14) menjadi
2 2 2
0 = r ( r − 2a
cos 2θ)
Faktor pertama r = 0 akan memberikan sebuah titik. Faktor yang ke-dua
memberikan persamaan
r
2 = 2a
2 cos 2θ
Dengan mengambil a = 1, kurva dari persamaan ini terlihat pada
Gb.9.10.
115

θ = π/2
0,6
θ = π
0,2
θ = 0
-1,5 -1
0
-0,5 0
-0,2
0,5 1 1,5
Gb.9.10. Kurva persamaan (9.14), k = 1 = a.
Bentuk lemniskat masih akan diperoleh pada k > 1, misalnya k = 1,1.
Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang
akan diperoleh terlihat seperti pada Gb.9.11.
θ = π
-0,6
θ = π/2
1,5
1
0,5
0
-1
-1,5
θ = 0
-2 -1 0 1 2
-0,5
Gb.9.11. Kurva persamaan (9.14), k = 1,1 & a = 1.
Oval Cassini. Kondisi khusus yang ke-tiga adalah k < 1, misalkan k =
0,8. Dengan tetap mengambil a = 1, bentuk kurva yang diperoleh adalah
seperti pada Gb.9.12, yang disebut “oval Cassini”. Kurva ini terbelah
menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini’s division di planet
Saturnus.
116 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

θ = π/2
1,5
1
0,5
θ = π
0
θ = 0
-2 -1 0 1 2
-0,5
-1
-1,5
Gb.9.12. Kurva persamaan (9.14), k = 0,8 & a = 1.
17.5. Luas Bidang Dalam Koordinat Polar
Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva dan
dua garis masing-masing mempunyai sudut kemiringan α dan β. Lihat
Gb.9.12
y
θ = β
∆θ
Gb.9.12. Mencari luas bidang antara kurva dan dua garis.
Antara α dan β kita bagi dalam n segmen.
β − α
∆ θ =
n
Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sektor lingkaran. Antara θ
dan (θ + ∆θ) ada suatu nilai θ k sedemikian rupa sehingga luas sektor
lingkaran adalah
2
A k = ( r k ∆θ
) / 2
Luas antara θ = α dan θ = β menjadi
θ
θ = α
x
117

2
2
∑ ( r k ∆θ)
/ 2 = ∑( f ( θk
))
∆θ
A αβ =
/ 2
Jika n menuju ∞, ∆θ menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang
menjadi
atau
A
αβ
=
∆θ→0
β
1
=
2
lim
∫
α
∑
( r
[ f ( θ)
]
2
k
2
A
∆θ) / 2 =
dθ
αβ
2
lim
∆θ→0
∫ β r
= dθ
α 2
∑
[ f ( θ)
]
2
∆θ / 2
(9.15)
118 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 10 Turunan Fungsi Polinom
10.1. Pengertian Dasar
Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik yang terletak pada
suatu garis lurus diketahui, misalnya [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ], maka kemiringan
garis tersebut dinyatakan oleh persamaan
∆y
( y2
− y1)
m = =
(10.1)
∆x
( x − x )
2
Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [x 1, y 1 ] dan [x 2 ,y 2 ]
berada. Bagaimanakah jika yang kita hadapi bukan garis lurus melainkan
garis lengkung? Perhatikan Gb.10.1.
y
1
y = f(x)
P 2
∆y
P 1
∆x
(a)
y
y = f(x)
x
P 1
∆x′
P′ 2
∆y′
x
(b)
Gb.10.1. Tentang kemiringan garis.
Pada Gb.10.1.a. ∆y/∆x merupakan kemiringan garis lurus P 1 P 2 dan bukan
kemiringan garis lengkung y = f(x). Jika ∆x kita perkecil, seperti terlihat
pada GB.10.1.b., ∆y/∆x menjadi ∆y′/∆x′ yang merupakan kemiringan
garis lurus P 1 P′ 2 . Jika ∆x terus kita perkecil maka kita dapatkan
119

kemiringan garis lurus yang sangat dekat dengan titik P 1 , dan jika ∆x
mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva
y di titik P 1 . Jadi jika kita mempunyai persamaan garis y = f (x)
dan
melihat pada suatu titik tertentu [x,y], maka pada kondisi dimana ∆x
mendekati nol, persamaan (10.1) dapat kita tuliskan
∆y
f ( x + ∆x)
− f ( x)
lim = lim
= f ′(
x)
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
(10.2)
f ′(x)
merupakan fungsi dari x karena untuk setiap posisi titik yang kita
tinjau f ′(x)
memiliki nilai berbeda; f ′(x)
disebut fungsi turunan dari
f (x) , dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f ′(x)
bernilai konstan
dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (10.1)
tidak hanya berlaku untuk garis lurus. Jika ∆x mendekati nol, maka ia
dapat diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa
kemiringan m adalah kemiringan garis lurus yang menyinggung kurva
lengkung di titik [x,y]. Perhatikan Gb. 11.2.
y
(x 2 ,y 2 )
(x 1 ,y 1 )
Gb.10.2. Garis singgung pada garis lengkung.
Jika fungsi garis lengkung adalah y = f (x)
maka f ′(x)
pada titik [x 1 ,y 1 ]
adalah kemiringan garis singgung di titik [x 1 ,y 1 ], dan f ′(x) di titik (x 2 ,y 2 )
adalah kemiringan garis singgung di [x 2 ,y 2 ]. Bagaimana mencari f ′(x)
akan kita pelajari lebih lanjut.
∆y
Jika pada suatu titik x 1 di mana lim seperti yang dinyatakan oleh
∆x→0
∆x
(10.2) benar ada, fungsi f(x) memiliki turunan di titik tersebut dan
dikatakan sebagai “dapat didiferensiasi di titik tersebut” dan nilai
x
120 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

∆y
lim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan
∆x→0
∆x
kemiringan garis singgung di titik tersebut).
Persamaan (10.2) biasanya ditulis
dy d
∆y
= ( y)
= lim
dx dx ∆ x→0
∆x
(10.3)
f ( x + ∆x)
− f ( x)
= lim
= f ′(
x)
∆x→0
∆x
dy kita baca “turunan terhadap x dari fungsi y”, atau “turunan fungsi y
dx
terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan
fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
Misalnya y merupakan fungsi t , y = f (t)
; maka penurunan y hanya bisa
dilakukan terhadap t, tidak terhadap x.
10.2. Fungsi Mononom
Kita lihat uraian-uraian berikut ini.
dy df ( t)
y ′ = = = f ′(
t)
dt dt
1). y 0 = f ( x)
= k , bernilai konstan. Di sini
2). y1 = f1 ( x)
= 2x
f ( x + ∆x)
− f ( x)
0
y0 ′ = lim
= = 0
∆x→0
∆x
∆x
⇒
2( x + ∆x)
− 2x
2∆x
f1 ′(
x)
= lim
= = 2
∆x→0
∆x
∆x
121

y
10
8
6
4
2
f ( x)
2x
1
=
f 1
′(
x)
= 2
Gb.10.3. Fungsi mononom y = 2x dan turunannya.
Kurva f 1′ ( x ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-x; ia bernilai
konstan 2 untuk semua x.
3). 2
y 2 = f2( x)
= 2x
0
2( x + ∆x)
− 2x
f2′
( x)
= lim
= lim
∆ x→0
∆x
= lim (2 × 2x
+ 2∆x)
= 4x
∆x→0
2
2
∆x→0
2( x
2
+ 2x∆x
+ ∆x
) − 2x
∆x
Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan
4.
4). 3
y 3 = f3( x)
= 2x
0 1 2 3 4 5
x
3 3
2( x + ∆x)
− 2x
f3′
( x)
= lim
∆x→0
∆x
3 2
3 3 3
2( x + 3x
∆x
+ 3x∆x
+ ∆x
) − 2x
= lim
∆x→0
∆x
= lim
2
2 2 2
2 × 3x
+ 2 × 3x∆x
+ 2∆x
= 6x
∆x→0
Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola.
2
2
122 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

′′′
5). Secara umum, turunan mononom
adalah
n
( x mx
(10.4)
y = f ) =
′
( n−1)
y = ( m × n)
x
(10.5)
Jika n pada (10.4) bernilai 1 maka kurva fungsi y = f (x)
akan
berbentuk garis lurus dan turunannya akan berupa nilai konstan,
y ′ = f ′(
x)
= k
Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
y ′ = f ′(x)
. Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapat
diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya
y ′′ = f ′
(x)
yang mungkin masih juga merupakan fungsi x dan masih dapat
diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutnya lagi
dan demikian seterusnya.
Contoh:
y ′′ ′ = f ′′′
(x)
dy
y ′ = f ′( x)
= kita sebut turunan pertama,
dx
2
d y
y = f ′′ ( x)
=
2
dx
′′ turunan kedua,
3
d y
y = f ′′′ ( x)
=
3
dx
′′′ turunan ke-tiga, dst.
3
y 4 = f4( x)
= 2x
(3 1) 2
(2 1)
4 ′ −
2(3)
6 ; 4′′
−
y = x = x y = 6(2) x = 12x;
y4
= 12
6) Dari (10.4) dan (10.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva
suatu fungsi dengan kurva fungsi turunannya.
Fungsi mononom n
y = f ( x)
= mx memiliki turunan
′
( n−1)
y = ( m × n)
x . Koordinat titik potong P antara kurva mononom
f(x) dengan turunan pertamanya diperoleh dengan
123

y = y′
→ mx
n
= ( m × n)
x
( n−1)
⇒ x P = n dan n
yP = mxP
Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan
selanjutnya dapat pula dicari.
Gb.10.4. memperlihatkan kurva mononom
4
y = x dan turunanturunannya
3
y ′
2
= 4x , y ′′ =12x , y ′′ ′ = 24x
, y ′′′′ = 24 .
2
y ′′ = 12x
4
y = x
200
100
0
y ′′ = 12x
3
y ′ = 4x
y ′′′ = 24x
2
y ′′′ ′ = 24
3
y ′ = 4x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-100
10.3. Fungsi Polinom
Gb.10.4. Mononom dan fungsi turunan-nya.
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contohcontoh
berikut.
1). y 1 = f1 ( x)
= 4x
+ 2
{ 4( x + ∆x)
+ 2} − { 4x
+ 2}
f1 ′(
x)
= lim
= 4
∆x→x
∆x
Kurva fungsi ini dan turunannya terlihat pada Gb.10.5.
124 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Gb.10.5. f 1 (x) = 4x + 2 dan turunannya.
Suku yang bernilai konstan pada f 1 (x), berapapun besarnya, positif
maupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunannya.
2). y 2 = f2 ( x)
= 4( x − 2)
⇒ f 2(
x)
= 4x
− 8
3). 2
y 3 = f3(
x)
= 4x
+ 2x
− 5
y
10
⇒ f 2 ′(
x)
= 4
-15
Gb.10.6. f 2 (x) = 4(x – 2) dan turunannya.
2
2
{ 4( x + ∆x)
+ 2( x + ∆x)
− 5} − { 4x
+ 2x
− 5}
y3′
= lim
∆x→0
= 4 × 2x
+ 2 = 8x
+ 2
4). 3 2
y 4 = f4(
x)
= 5x
+ 4x
+ 2x
− 5
5
y
f 2 ′ ( x)
= 4
0
-1 0 1 2 3 x 4
-5
f 2 ( x)
= 4( x − 2)
-10
∆x
3
2
3 2
{ 5( x + ∆x)
+ 4( x + ∆x)
+ 2( x + ∆x)
− 5} − { 5x
+ 4x
+ 2x
− 5}
y4′
= lim
∆x→0
∆x
2
2
= 5 × 3x
+ 4 × 2x
+ 2 = 15x
+ 8x
+ 2
10
8
6
4
2
-4
f 1(x) = 4x + 2
f 1′(x) = 4
0
-1 -0,5 0
-2
0,5 1 1,5 x 2
125

5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah
beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing
mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom
itu memang memiliki turunan.
10.4. Nilai Puncak
Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai x merupakan
kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [x,y]. Jika titik
[x p ,y p ] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik
[x p ,y p ] tersebut akan berupa garis mendatar yang kemiringannya nol.
Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di
mana turunan pertama fungsi bernilai nol.
Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi
kuadrat):
Turunan pertama fungsi ini adalah
y = 2x
2 + 15x
+ 13
y ′ = 4 x +15
Jika kita beri y ′ = 0 maka kita dapatkan nilai x p dari titik puncak yaitu
x p = −(15/4) = −3,75
Jika nilai x p ini kita masukkan ke fungsi asalnya, maka akan kita
dapatkan nilai puncak y p .
2
y p = 2x
p + 15xp
+ 13
2
= 2(-3,75) + 15×
( −3,75)
+ 13 = −15,125
Secara umum, x p dari fungsi kuadrat
dengan membuat
2
y = ax + bx + c
dapat diberoleh
y ′ = 2 ax + b = 0
(10.6)
sehingga diperoleh
b
x p = −
(10.7)
2a
126 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Nilai puncak, y p dari fungsi kuadrat
dengan memasukkan x p
2
y = ax + bx + c
dapat diperoleh
2 2
2 b b − 4ac
y p = axp
+ bxp
+ c = − + c = −
(10.8)
4a
4a
Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan
apakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum?
Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lihat
Gb.10.7.
P
y
y′
y′
x
Q
Gb.10.7. Garis singgung di sekitar titik puncak.
Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada
kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke
kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di
titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama y′ di
sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di
titik maksimum bernilai negatif.
Sebaliknya, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan,
kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titik
puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama y′ di sekitar
titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik
minimum bernilai positif.
Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak
tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak
bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum.
127

2
Dalam kasus fungsi kuadrat y = ax + bx + c , turunan pertama adalah
y ′ = 2 ax + b dan turunan kedua adalah y′ = 2a
. Jadi pada fungsi
kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a
negatif ia memiliki nilai maksimum.
Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat yang dibahas di atas.
y = 2x
2 + 15x
+ 13
Nilai puncak fungsi ini adalah y p = −15, 125 dan ini merupakan
nilai minimum, karena turunan keduanya y ′′ = 4 adalah positif.
Lihat pula Gb.10.5.c.
Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi:
y = −2x
2 + 15x
+ 13
Turunan pertama fungsi menjadi
y = −4 x + 15 , yang jika y′
= 0 memberi x = + 3,75
′ p
Nilai puncak adalah
y p
= −2 (3,75)^2 + 15 × 3,75 + 13 = + 41,125
Turunan kedua adalah y ′′ = −4
bernilai negatif. Ini berarti
bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum.
Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah 20. Kita diminta
menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga
perkaliannya mencapai nilai maksimum, sementara jumlahnya
tetap 20.
Jika salah satu bilangan kita sebut x maka bilangan yang
lain adalah (20−x). Perkalian antara keduanya menjadi
2
y = x( 20 − x)
= 20x
− x
Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan
memberikan nilai x yang memberikan y puncak .
y ′ = 20 − 2x
= 0 memberikan x = 10
dan nilai puncaknya adalah
128 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y puncak
= 200 −100
= 100
Turunan kedua adalah y ′′ = −2
; ia bernilai negatif. Jadi
y puncak yang kita peroleh adalah nilai maksimum; kedua
bilangan yang dicari adalah 10 dan (20−10) = 10. Kurva
dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.8.
y
120
100
80
60
40
20
-5 -20 0 5 10 15 20 x 25
-40
0
Gb.11.8. Kurva y = x( 20 − x)
Kurva tersebut memotong sumbu-x di
y = x( 20 − x)
= 0 ⇒ x = 0 dan x2
1 =
Dalam contoh di atas kita memperoleh hanya satu nilai maksimum;
semua nilai x yang lain akan memberikan nilai y dibawah nilai
maksimum y puncak yang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kita
sebut nilai maksimum absolut.
Jika seandainya y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia
akan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut.
Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih 20. Kita diminta
menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga
perkaliannya mencapai nilai minimum, sementara selisihnya tetap
20.
Jika salah satu bilangan kita sebut x (positif) maka bilangan
yang lain adalah (x + 20). Perkalian antara keduanya
menjadi
2 +
y = x(
x + 20) = x 20x
20
129

Turunan pertama yang disamakan dengan nol akan
memberikan nilai x yang memberikan y puncak .
y ′ = 2 x + 20 = 0 sehingga x = −10
dan nilai puncak adalah
y puncak
= 100 − 200 = −100
Turunan kedua adalah y ′′ = + 2 ; ia bernilai positif. Jadi
y puncak yang kita peroleh adalah nilai minimum; kedua
bilangan yang dicari adalah −10 dan (−10+20) = +10.
Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.9.
y 40
-25 -20 -15 -10 -5 -20 0 x 5
Gb.10.9. Kurva y = x( x + 20)
Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh
20
0
-40
-60
-80
-100
-120
3
y = ax + bx + cx + d
2
(10.10)
Turunan dari (10.29) adalah
y ′ = 3ax
2 + 2bx
+ c
(10.11)
Dengan membuat y ′ = 0 kita akan mendapatkan x p .
Ada dua posisi nilai puncak, yaitu
y′ = 0 = 3ax
p + 2bx
p + c
2
130 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

x
p1
, x
p2
− 2b
±
=
− b ±
=
b
2
3a
4b
6a
2
− 3ac
−12ac
(10.12)
Dengan memasukkan x p1 dan x p2 ke penyataan fungsi (10.11) kita peroleh
nilai puncak y p1 dan y p2 . Namun bila x p1 = x p2 berarti dua titik puncak
berimpit atau kita sebut titik belok.
Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi
3 2
y = 2x
− 3x
+ 3 dan apakah nilai puncak merupakan nilai
minimum atau maksimum.
Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol,
akan kita peroleh nilai x di mana puncak-puncak kurva
terjadi.
y′
= 6x
2 − 6x
= 6x(
x −1)
= 0
memberikan x = 0 dan x = 1
Memasukkan nilai x yang diperoleh ke persamaan asalnya
memberikan nilai y, yaitu nilai puncaknya.
x = 0
x = 1
memberikan
memberikan
y puncak = + 3
y puncak = + 2
Jadi posisi titik puncak adalah di P[0,3] dan Q[1,2]. Apakah
nilai puncak y puncak minimum atau maksimum kita lihat dari
turunan kedua dari fungsi y
y ′′ = 12x
− 6
Untuk x = 0 ⇒ y ′′ = −6
Untuk x = 1⇒
y ′′ = + 6
Jadi nilai puncak di P[0,3] adalah suatu nilai maksimum,
sedangkan nilai puncak di Q[1,2] adalah minimum. Kurva
dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.10.10.
131

15
y
10
5
P[0,3] Q[1,2]
R
0
-2 -1,5 -1 -0,5
-5
0 0,5 1 1,5 2
x
2,5
-10
y s
-20
3 2
Gb.10.10. Kurva y = 2x
− 3x
+ 3 dan garis singgung di R.
10.5. Garis Singgung
-15
Persamaan garis singgung pada titik R yang terletak di kurva suatu fungsi
y = f (x) secara umum adalah y s = mx dengan kemiringan m adalah
turunan pertama fungsi di titik R.
3 2
Contoh: Lihat fungsi y = 2x
− 3x
+ 3 yang kurvanya diberikan pada
Gb.10.10.
Turunan pertama adalah y ′ = 6x
2 − 6x
= 6x(
x −1)
. Titik R dengan
absis x R = 2 , memiliki ordinat y R = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7 ; jadi
koordinat R adalah R(2,7). Kemiringan garis singgung di titik R
adalah m = 6 × 2 × 1=
12 .
Persamaan garis singgung y s =12 x + K . Garis ini harus melalui
R(2,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaan
garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaan
garis singgung akan kita dapatkan nilai K.
y s =12 x + K ⇒ 7 = 12 × 2 + K ⇒ K = 7 − 24 = −17
.
Persamaan garis singgung di titk R adalah y s = 12x
−17
132 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

10.6. Contoh Hubungan Diferensial
Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [3] Bab-2)
Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik yang mengalir per
detik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran
muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q maka
dq
i =
dt
Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi
1 A = 1 C/detik.
Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan
energi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energi
diberi simbol w, maka
dw
v =
dq
Satuan daya adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W =
1 J/detik.
Daya Listrik. Daya listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi.
Jika daya diberi simbol p maka
dw
p =
dt
Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan
dw dw dq
p = = = vi
dt dq dt
Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinyatakan
dengan relasi antara arus yang melewati piranti dengan tegangan yang
ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dan
i L masing-masing adalah tegangan dan arus-nya, maka relasi antara arus
dan tegangan induktor adalah
di
v L
L
L =
dt
Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi
kapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, maka
iC =
dv
C
dt
c
133

Soal-Soal
1. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan
nilai puncak
2
y1
= 5x
− 10x
− 7;
2
y2
= 3x
− 12x
+ 2 ;
2
y3
= −4x
+ 2x
+ 8
2. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut untuk kemudian menentukan
nilai puncak
3 2
y1
= 2x
− 5x
+ 4x
− 2 ;
4 3 2
y2
= x − 7x
+ 2x
+ 6 ;
7 3 2
y3
= 3x
− 7x
+ 21x
134 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 11 Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat
Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
11.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Misalkan kita memiliki dua fungsi x, v (x)
dan w (x)
, dan kita hendak
mencari turunan terhadap x dari fungsi y = vw . Misalkan nilai x berubah
sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v berubah sebesar
∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian
rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan y = vw tetap
berlaku, yaitu
( y + ∆y)
= ( v + ∆v)(
w + ∆w)
(11.1)
= ( vw + v∆w
+ w∆v
+ ∆w∆v)
Dari sini kita dapatkan
∆ y ( y + ∆y)
− y ( wv + v∆w
+ w∆v
+ ∆w∆v
− vw
=
=
)
∆x
∆x
∆x
∆w
∆v
∆v∆w
= v + w +
∆x
∆x
∆x
Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga
juga mendekati nol. Persamaan (11.2) akan memberikan
(11.2)
∆v∆w
∆x
dy d( vw)
dw dv
= = v + w
(11.3)
dx dx dx dx
Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua
fungsi.
Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi
mononom 5
y = 6x yang kita tahu turunannya adalah 4
y ′ = 30x .
Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi
135

y = vw dengan 3
v = 2x dan 2
w = 3x . Menurut (11.3) turunan dari
y menjadi
3 2
d(2x
× 3x
) 3 2 2 4 4 4
y ′ =
= 2x
× 6x
+ 3x
× 6x
= 12x
+ 18x
= 30x
dx
Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan.
Bagaimanakah
d ( uvw)
jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita
dx
aplikasikan (11.3) secara bertahap seperti berikut.
d(
uvw)
d(
uv)(
w)
dw d(
uv)
= = ( uv)
+ w
dx dx dx dx
dw ⎧ dv du ⎫
= ( uv)
+ w⎨u
+ v ⎬
dx ⎩ dx dx ⎭
dw dv du
= ( uv)
+ ( uw)
+ ( vw)
dx dx dx
(11.4)
Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji
sebelumnya, yaitu 5
y = 6x yang kita tahu turunannya adalah
4
y ′ = 30x . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga
fungsi y = uvw dengan u = 2x
,
(11.9) turunan dari y adalah
dy d(
uvw)
= = (2x
dx dx
+ (3x
2
2
× 3x
2
× x)(4x)
= 6x
2
v = 3x , dan w = x . Menurut
)(1) + (2x
4
2
+ 12x
Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan.
× x)(6x)
4
+ 12x
4
= 30x
11.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan
dy jika y = v n dengan
dx
v adalah fungsi x, dan n adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi
6
3
2
y 1 = v = v × v × v dengan v merupakan fungsi x. Jika kita
aplikasikan formulasi (11.4) akan kita dapatkan
4
136 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dy1
= ( v
dx
= v
= v
5
5
= 6v
3 2 dv 3 dv 2 dv
v ) + ( v v)
+ ( v v)
dx dx dx
2
dv 4 ⎛ dv dv ⎞ ⎛
3 2 dv dv ⎞
+ v ⎜v
+ v ⎟ + v ⎜v
+ v ⎟
dx ⎝ dx dx ⎠ ⎜ dx dx ⎟
⎝
⎠
dv
+ 2v
dx
5
dv
dx
5
dv
+ v
dx
Contoh ini memperlihatkan bahwa
yang secara umum dapat kita tulis
6
6
dv dv dv 5
= = 6v
dx dv dx
n
dv
dx
5
2
dv 4 ⎛ dv dv ⎞
+ v ⎜v
+ v ⎟
dx ⎝ dx dx ⎠
dv
dx
3
n−1
dv
= nv
(11.5)
dx
Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkalian
dan pangkat dua fungsi.
2 3 3
y = x + x
( 1) ( −1)
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan
pangkat suatu fungsi.
dy
= ( x
dx
= ( x
2
= 6x
2
2
( x
= 6x(
x
+ 1)
+ 1) 2( x
3
2
3
3
+ 1) ( x
−1)(
x
d(
x −1)
dx
3
3
2
3
−1)(3
x
3
+ ( x
−1)
+ 6x(
x
2
2
2
+ 1) (2x
) + ( x
3
3
−1)
3
3
2
2
+ x −1)
d(
x + 1)
dx
2
−1)
3( x
2
2
2
−1)
( x
2
3
+ 1)
+ 1)
2
2
2x
137

11.3. Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
v
y = (11.6)
w
Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan w ≠ 0 .
Kita coba memandang fungsi ini sebagai perkalian dari dua fungsi:
−1
y = vw
(11.7)
Kalau kita aplikasikan (11.3) pada (11.7) kita peroleh
atau
−1
−1
dy d ⎛ v ⎞ d(
vw ) dw −
= ⎜ ⎟ = = v + w
dx dx ⎝ w ⎠ dx dx
−2
dv −1
dv − v dv 1 dv
= −vw
+ w = +
dx dx 2
w dx w dx
1 ⎛ dv dw ⎞
= ⎜ w − v ⎟
2
w ⎝ dx dx ⎠
d
dx
⎛
⎜
⎝
v
w
⎛ dv dw ⎞
⎜w
− v ⎟
⎞ ⎝ dx dx ⎠
⎟ =
⎠
2
w
138 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”
1
dv
dx
(11.8)
Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya
merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w.
(Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi
peubah x dari w).
Contoh:
2
1).
x − 3
y =
3
x
2).
2 1
2
y = x +
x
3
2x
=
4
− (3x
x
6
4
2
dy x (2x)
− ( x
=
dx
6
x
− 3)(3x
− 9x
2
2
)
2
) − x
=
x
4
+ 9

2
dy x × 0 −1×
2x
2
= 2x
+
= 2x
−
dx
4
3
x
2
3).
x + 1 2
y = ; dengan x ≠ 1 (agar penyebut tidak nol)
2
x −1
2
2
dy ( x −1)2
x − ( x + 1)2 x
=
dx
2 2
( x −1)
2x
=
3
− 2x
− 2x
( x
2
−1)
2
3
− 2x
− 4x
=
2
( x −1)
11.4. Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun
sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk
eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita
pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke
dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat
didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.
Contoh:
1). 2 2
x + xy + y = 8 . Fungsi implisit ini merupakan sebuah
persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,
maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar
kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di
kedua ruas, dan kita akan peroleh
dy dx dy
2x
+ x + y + 2y
= 0
dx dx dx
dy
( x + 2y)
= −2x
− y
dx
Untuk titik-titik di mana ( x + 2y)
≠ 0 kita peroleh turunan
dy
dx
= −
2x
+ y
x + 2y
Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka
2
139

dy 2 + 2
= − = −0,8
.
dx 1 + 4
Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y
bentuk implisit yang sedang kita hadapi.
2). 4 3 4
x + 4xy
− 3y
= 4 . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah
persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita
akan memperoleh
3
4
3 dy 3 d(4x)
d(3y
)
4x
+ 4x
+ y − = 0
dx dx dx
3 2 dy 3 3 dy
4x
+ 4x(3y
) + 4y
−12y
= 0
dx
dx
2 3 dy 3 3
(12 xy − 12y
) = −4(
x + y )
dx
Di semua titik di mana 2 3
( xy − y ) ≠ 0 kita dapat memperoleh
turunan
3 3
dy − ( x + y )
=
dx 2 3
3( xy − y )
11.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari
suatu fungsi lain, y = v n , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat.
Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan sebuah rasio
p
n = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah
q
fungsi yang bisa diturunkan.
Fungsi (11.9) dapat kita tuliskan
y
p / q
= v
(11.9)
q p
y = v
(11.10)
yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi
terhadap x di kedua ruas (11.10) kita peroleh
q−1 dy p−1
qy = pv
dx
dv
dx
140 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika y ≠ 0, kita dapatkan
p / q
p−1
dy d(
v ) pv dv
= =
(11.11)
dx dx q−1
qy dx
Akan tetapi dari (11.9) kita lihat bahwa
sehingga (11.11) menjadi
y
p / q
dy d(
v
=
dx dx
p / q q−1
p−(
p / )
( v ) = v
q−1 q
=
) pv
=
p−
qv
=
=
p
q
p
q
v
v
p−1
( p / q)
( p / q)
−1
dv
dx
( p−1)
− p+
( p / q)
dv
dx
dv
dx
(11.12)
Formulasi (11.12) ini mirip dengan (11.5), hanya perlu persyaratan
bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
11.6. Kaidah Rantai
Apabila kita mempunyai persamaan
x = f ( t)
dan y = f ( t)
(11.13)
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian
disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita
eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang
berbentuk
y = F(x)
(11.14)
Bagaimanakah
dy
= F ′(x)
dari (11.14) ber-relasi dengan
dx
dy
dx
= g′
( t)
dan = f ′(
t)
?
dt
dt
Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.
141

Jika y = F(x)
dapat diturunkan terhadap x dan
x = f (t) dapat diturunkan terhadap t, maka
y = F( f ( t)
) = g(
t)
dapat diturunkan terhadap t
menjadi
dy dy dx =
dt dx dt
(11.15)
Relasi ini sudah kita kenal.
11.7. Diferensial dx dan dy
Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai
∆y
( y
m = =
∆x
( x
2 − y1
2 − x1
kita lihat kasus jika ∆x mendekati nol namun tidak sama dengan nol.
Limit ini kita gunakan untuk menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x
pada formulasi
)
)
dy
dx
∆y
= lim =
∆x→0
∆x
f ′(
x)
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa
sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap
x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan
fungsi dari x:
Kita ambil definisi sebagai berikut
y = F(x)
(11.16)
1. dx, kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata
berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain
selain x;
2. dy, kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx
yang dinyatakan dengan
dy = F'
( x)
dx
(11.17)
Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai
142 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dy
= f ′(x)
.
dx
Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan
turunan fungsi y terhadap x. Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang
relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan
memperoleh relasi (11.17), namun sesungguhnya (11.17) didefinisikan
dan bukan berasal dari relasi ini.
Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti
terlihat pada Gb.11.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar
dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan
berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia
“mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy
dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika
“mengarah ke bawah”.
y
y
dy
dx
P
dx
P
dy
θ
x
θ
x
y
y
P
dx
dy
dy
dx
P
θ
θ
x
Gb.11.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.
dy
= tan θ ; dy = (tan θ)
dx
dx
dy
1. adalah laju perubahan y terhadap perubahan x.
dx
2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis
singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah
sebesar dx skala.
x
143

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula
turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam
tabel ini v adalah fungsi x.
Tabel-11.1
Turunan Fungsi
Diferensial
dc
1. = 0 ; c = konstan 1. dc = 0 ; c = konstan
dx
2.
dcv dv = c
2. dcv = cdv
dx dx
d( v + w)
dv dw
3. = +
3. d ( v + w)
= dv + dw
dx dx dx
4.
dvw dw dv
= v + w 4. d ( vw)
= vdw + wdv
dx dx dx
⎛ v ⎞
d⎜
⎟
⎝ w ⎠
5. =
dx
dv
w
dx
− v
2
w
dw
dx
⎛
5. d⎜
⎝
v
w
⎞ wdv − vdw
⎟ =
⎠
2
w
n
dv
6.
dx
n−1
dv
n n−1
= nv
6. dv = nv dv
dx
−1
7.
dcx n
n
= cnx
7. n n−1
d(
cx ) = cnx dx
dx
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-11.1),
kemudian dikalikan dengan dx.
2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan
Tabel-10.1)
Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi
3 3 2 −
y = x − x + 5x
6
144 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Turunan y adalah : y ′ = 3x
2 − 6x
+ 5
sehingga
2
dy = (3x
− 6x
+ 5)
dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam
tabel di atas:
3 2
2
dy = d(
x ) + d(
−3x
) + d(5x)
+ d(
−6)
= 3x
dx − 6xdx
+ 5dx
2
= (3x
− 6x
+ 5) dx
145

146 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
3
2
2
4
3
2
3
1)
(
2)
(
;
)
2
(
;
3)
(
1)
(
−
+
+
=
−
=
+
−
=
x
x
y
x
x
y
x
x
y
1
3
2
;
1
1
;
1
1
2
2
2
2
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
+
=
x
x
y
x
x
y
x
x
y
2
2
1;
;
;
2
3
3
2
2
2
2
2
=
−
−
=
+
+
=
+
=
+
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
xy

Bab 12 Turunan Fungsi Trigonometri,
Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial
12.1. Turunan Fungsi Trigonometri
Jika
y = sin x maka
dy d sin x sin( x + ∆x)
− sin x
= =
dx dx
∆x
sin x cos ∆x
+ cos xsin
∆x
− sin x
=
∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh
karena itu
Jika
y = cos x maka
d sin x
= cos x
(12.1)
dx
dy d cos x cos( x + ∆x)
− cos x cos x cos ∆x
− sin xsin
∆x
− cos x
= =
=
dx dx
∆x
∆x
Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu
d cos x
= − sin x
(12.2)
dx
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
2
d tan x d ⎛ sin x ⎞ cos x − sin x(
−sin
x)
1 2
= ⎜ ⎟ =
= = sec x
dx dx cos x
2
2
⎝ ⎠ cos x cos x
2
d 2
cot x d ⎛ cos x ⎞ − sin
= ⎜ ⎟ =
dx dx ⎝ sin x ⎠
d sec x
=
dx
d csc x
=
dx
d
dx
d
dx
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
x − cos x(cos
x)
−1
= = −csc
2
2
sin x sin x
1 ⎞ 0 − ( −sin
x)
sin x
⎟ =
= = sec x tan x
cos x
2
2
⎠ cos x cos x
1 ⎞ 0 − (cos x)
− cos x
⎟ = = = −csc
x cot x
sin x 2
2
⎠ sin x sin x
x
147

Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
2
y = tan( 4x
) ; y = 5sin (3x) ; y = 3cos
y = cot(3x
+ 6) ;
4
4
2
3
y = sin (2x)
− cos(2x)
y = sec x − tan x ; y = (csc x + cot x)
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat
turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4).
1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus v C =
200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada
kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10 -6 farad ini.
Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah
dv
i C C
C =
dt
Arus yang melalui kapasitor adalah
dv
6 d
i C C
C = = 2 × 10 ×
=
dt
dt
2
( 200sin 400t) 0,160cos 400t
ampere
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap
kapasitor adalah
pC
= vCiC
= 200sin 400t
× 0,16cos 400t
= 32cos 400t
sin 400t
= 16sin 800t
watt
Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.
v C
i C
p C
200
100
i C
v C
p C
2
x
-100
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
t [detik]
-200
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai
menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus
mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan
148 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

ahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan
kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor
besarnya adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangan dengan beda
fasa sebesar 90 o .
Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali
lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris
terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah
perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya.
Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini
disebut daya reaktif.
2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus
terhadap waktu sebagai i L = −0,2cos400t ampere. Berapakah
tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ?
Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah
diL
vL = L
dt
diL
d
vL = L = 2 ,5 × − 0,2 cos 400t
= 2,5 × 0,2 × sin 400t
× 400 = 200sin 400
dt dt
( ) t
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.
pL
= vLiL
= 200sin 400t
× ( −0.2cos 400t)
= −40sin 400t
cos 400t
= −20sin 800t
W
Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.
v L
i L
p L
200
100
v L i L
p L
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
-100
-200
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari
kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering
dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan
kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 o , artinya
arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90 o .
Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu,
yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.
149

12.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
1) y = sin −1 x
1
y
2
1 − x
x
x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒
dy
dx
=
1
1 − x
2
dy
dx
=
1
cos
y
2) y = cos −1 x
1 2
1 − x
y
x
x = cos y ⇒ dx = −sin
ydy ⇒
dy
dx
= −1
sin y
;
dy
dx
=
−1
1 − x
2
3) y = tan −1 x
2
1+
x
y
1
4) y = cot −1 x
2
1+
x
y
x
x
1
1
x = tan y ⇒ dx = dy ⇒
2
cos y
dy 2
= cos y ;
dx
dy 1
=
dx 1+
x
−1
x = cot y ⇒ dx = dy ⇒
2
sin y
dy 2
= −sin y ;
dx
dy
dx
2
−1
=
1+
x
2
150 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

5) y = sec −1 x ⇒
x
y
1
1
0 − ( −sin
x)
x = sec y = ⇒ dx =
dy
cos y
2
cos y
2
dy cos y 1 ⎛ ⎞
⎜ x
= = × ⎟
x 2 − 1 dx sin y 2
x ⎜ 2 ⎟
⎝ x − 1 ⎠
1
=
2
x x − 1
6) y = csc −1 x
x
y
x 2 − 1
1
1 0 − (cos x)
x = csc y = ⇒ dx = dy
sin y
2
sin y
2
dy sin y 1 x
= = − ×
dx − cos y 2
x 2
x − 1
− 1
=
2
x x − 1
Soal-Soal
1). Jika α = sin −1
(0.5)
carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α .
−
2). Jika α = cos 1 ( −0.5)
carilah
sin α , tan α , sec α , dan csc α .
−1
−1
3). Hitunglah sin (1) − sin ( −1)
.
−1
−1
4). Hitunglah tan (1) − tan ( −1)
.
−1
−1
5). Hitunglah sec (2) − sec ( −2)
.
12.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d(sin
v)
d(sin
v)
=
dx dv
d(cosv)
d(cosv)
=
dx dv
dv
dx
dv
dx
= cosv
dv
dx
= −sin
v
dv
dx
151

152 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”
dx
dv
v
dx
dv
x
x
x
v
v
dx
d
dx
v
d 2
2
2
2
sec
cos
sin
cos
cos
sin
)
(tan
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
dx
dv
v
v
v
dx
d
dx
v
d 2
csc
sin
cos
)
(cot
= −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
dx
dv
v
v
dx
dv
v
v
v
dx
d
dx
v
d
tan
sec
cos
sin
0
cos
1
)
(sec
2
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
dx
dv
v
v
v
dx
d
dx
v
d
cot
csc
sin
1
)
(csc
= −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Jika w = f(x), maka
dx
dw
w
dx
w
d
2
1
1
1
)
(sin
−
=
−
dx
dw
w
dx
w
d
2
1
1
1
)
(cos
−
= −
−
dx
dw
w
dx
w
d
2
1
1
1
)
(tan
+
=
−
dx
dw
w
dx
w
d
2
1
1
1
)
(cot
+
= −
−
dx
dw
w
w
dx
w
d
1
1
)
(sec
2
1
−
=
−
dx
dw
w
w
dx
w
d
1
1
)
(csc
2
1
−
= −
−
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
x
y
x
y
x
y
x
y
4
sec
;
3
tan
3
1
)
(2
cos
) ;
(0,5
sin
1
1
1
1
−
−
−
−
=
=
=
=

12.4. Turunan Fungsi Logaritmik
Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah
mengetahui bahwa fungsi f ( x)
= ln x didefinisikan melalui suatu
integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)
x 1
f ( x)
= ln x =
∫
dt ( x > 0)
1 t
y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di
selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.
6
5
y
4
3
2
1
1/t lnx
ln(x+∆x)−lnx
Kita lihat pula
0
0 1 2
x
3
t
x
4
1/x
x+∆x
1/(x+∆x)
Gb.12.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.
ln( x + ∆x)
− ln( x)
1 ⎛ ∆ ⎞
= ⎜ ⎟
∆ ∆ ∫
x+ x 1
dt
(12.3)
x x ⎝ x t ⎠
Apa yang berada dalam tanda kurung (12.3) adalah luas bidang yang
dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas
bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika
∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x);
dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada
keadaan batas ini (12.3) akan bernilai (1/x). Jadi
d ln x 1
= (12.4)
dx x
153

Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan
memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x
2 + 4
2
d ln v d ln v dv 1 d(3x
+ 4) 6x
= =
=
dx dv dx 2
2
3x
+ 4 dx 3x
+ 4
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
ln( 2
x
y = x + 2x) ; y = ln ; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x)
2 + 2x
12.5. Turunan Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial berbentuk
x
y = e
(12.5)
Persamaan (12.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan
penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan
d ln y 1
=
dx
dy
y dx
= 1
atau
dy
dx
x
= y = e
(12.6)
Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang
tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan
dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan
dari
x
y = e adalah
x
y ′ = e
y ′′
= e
x
′
x
dst.
y ′′ = e
Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu
fungsi, v = v(x)
.
Kita ambil contoh:
tan x
y = e
−1
dy tan
= e
dx
v v
de de dv v dv
= = e
(12.7)
dx dv dx dx
−1
x
d tan
−1
−1
tan x
x e
=
dx
2
+ x
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
x −x
x −x
2 x e − e e − e
−1
sin x 1/ x
y = x e ; y = ; y = ; y = e ; y = e
2
x −x
e + e
1
154 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 13 Integral
Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama
kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas
bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.
Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti
“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan
keseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti
“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
dy = f (x)
(13.1)
dx
Persamaan seperti (13.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai
fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)
disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:
dy
= 2x
dx
2
2
d y
+ 6xy
2
dx
+ 5x
+ 6
dy
dx
2
+ 3x
y
2
= 0
Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan
diferensial seperti contoh yang pertama.
13.1. Integral Tak Tentu
Suatu fungsi y = F(x)
dikatakan sebagai solusi dari persamaan
diferensial (13.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dan
dapat memenuhi
dF(
x)
= f ( x)
(13.2)
dx
Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (13.2) maka F ( x)
+ K dengan K
adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (13.2) sebab
155

d
[ F(
x)
+ K ]
dx
dF(
x)
dK
= +
dx dx
Jadi secara umum dapat kita tuliskan
dF(
x)
= + 0
dx
(13.3)
∫
f ( x)
dx = F(
x)
+ K
(13.4)
yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.
Persamaan (13.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu
dF ( x)
= f ( x)
dx
yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan
∫
dF x)
=
∫
f ( x)
dx
( (13.5)
Jika kita bandingkan (13.5) dan (13.4), kita dapat menyimpulkan bahwa
∫
dF ( x)
= F(
x)
+ K
(13. 6)
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.
Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini.
1) Cari solusi persamaan diferensial
dy = 5x
dx
Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial
dy = 5x
4
dx
Menurut relasi (11.4) dan (11.5) di Bab-9,
Oleh karena itu
5
d( x ) = 5x
4
dx
4
5 5
y =
∫
5 x dx =
∫
d(
x ) = x + K
4
156 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2). Carilah solusi persamaan dy = x
2 y
dx
Kita tuliskan dalam bentuk diferensial
2
dy = x ydx
dan kita
kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri
mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya
mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi
kedua ruas dengan √y.
y
−1 / 2
dy = x
Ruas kiri memberikan diferensial d ( 2y
) y dy
memberikan diferensial
2
dx
⎛ 1 3 ⎞ 2
d⎜
x ⎟ = x dx , sehingga
⎝ 3 ⎠
d
( 1/ 2 ⎛ 1 3 ⎞
2y
) = d⎜
x ⎟
⎠
Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh
1/ 2 −1/
2
= dan ruas kanan
⎝ 3
1/ 2 1 3
2y + K1
= x + K2
atau
3
1 / 2 1 3
1 3
2 y = x + K2
− K1
= x + K
3
3
Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa
adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.
Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan
tersebut.
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta
sembarang K.
∫
dy = y + K
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat
dikeluarkan
∫
ady = a∫
dy
157

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan
menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya
dengan (n + 1).
∫
n+
1
n y
y dy = + K,
n + 1
jika n ≠ −1
Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat
suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti
bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan
banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita
2
gambarkan kurva y = 10x kita akan mendapatkan kurva bernilai
tunggal seperti Gb.13.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi
10x
∫
3 dx tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan
3
tetapi banyak kurva seperti pada Gb.13.1.b; kita akan mendapatkan satu
kurva jika K dapat ditentukan.
y i = 10x 2 +K i
y = 10x 2 50
100
y
100
y
50
K 1
K 2
K 3
x
x
-5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5
a) b)
Gb.13.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.
Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan
kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda
bergerak dinyatakan sebagai v = at = 3t
, dengan v adalah kecepatan, a
adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi
158 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

awal benda adalah s 0 = 3 pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda
pada t = 4.
Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan
ds
adalah laju perubahan jarak, v = ; sedangkan percepatan adalah laju
dt
dv
perubahan kecepatan, a = . Karena kecepatan sebagai fungsi t
dt
diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi
ds
v = yang memberikan ds = vdt
dt
sehingga integrasinya memberikan
2
t
2
s =
∫
atdt = 3 + K = 1,5t
+ K
2
Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s 0 = 3 pada t = 0.
3 = 0 + K yang memberikan K = 3
Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s = 1,5t
2 + 3
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s 4 = 27
Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang
dibatasi oleh suatu kurva y = f (x)
, sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x
= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan y = 2 seperti
terlihat pada Gb.13.2.
2
y
y = f(x) =2
A px
∆A px
x
0 p x x+∆x q
Gb.13.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.
159

Jika luas dari p sampai x adalah A px , dan kita bisa mencari fungsi
pertambahan luas ∆A px yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi
x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai
dari x = p sampai x = q untuk memperoleh A pq yaitu luas dari p sampai q.
Pertambahan luas yang dimaksud tentulah
∆A px
∆A px = 2 ∆x atau = 2 = f ( x)
∆x
Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit
lim
∆x→0
Dari (13.8) kita peroleh
A
∆A
px
∆x
dA
=
dx
px
= f ( x)
= 2
(13.7)
(13.8)
=
∫
dApx
=
∫
2 dx = 2x
K
(13.9)
px +
Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini
kita terapkan pada (13.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu
sehingga
0 = 2 p + K atau K = −2
p
(13.10)
A px = 2x
− 2 p
(13.11)
Kita mendapatkan luas A px (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan
fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh
A pq
= 2q
− 2 p = 2( q − p)
(13.12)
Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri
yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang
dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.
Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi
tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia
kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q seperti digambarkan pada Gb.13.3.
160 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
f(x)
f(x+∆x )
y = f(x)
∆A px
A px
Gb.13.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤ x ≤ b
Dalam kasus ini, ∆A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah
dalam menghitungnya kita memilih ∆A px = f(x)∆x atau ∆A px = f(x+∆x)∆x.
Namun kita akan mempunyai nilai
∆ = f ( x)
∆x
≤ f ( x0 ) ∆x
≤ f ( x + ∆x)
∆x
(13.13)
A px
dengan x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x
kita buat mendekati nol kita akan mempunyai
∆ = f ( x)
∆x
= f ( x0 ) ∆x
= f ( x + ∆x)
∆x
(13.14)
A px
Dengan demikian kita akan mendapatkan limit
lim
∆x→0
Dari sini kita peroleh
A
0
∆A
px
∆x
dA
=
dx
px
= f ( x)
(13.15)
=
∫
dApx
=
∫
f ( x)
dx = F(
x)
K
(13.16)
px +
Dengan memasukkan kondisi awal A px = 0 untuk x = p dan kemudian
memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh
A
p x x+∆x q
pq = F( q)
− F(
p)
= F(
x)
] q p
(13.17)
x
161

13.2. Integral Tentu
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai
suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu
kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang
diarsir pada Gb.13.4.a.
Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan
kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian
menjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmen
kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada
Gb.13.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas
yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luas
segmen bawah).
Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas
segmen seperti tergambar pada Gb.13.4.c, kita akan memperoleh luas
yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas
segmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas).
Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan
terjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlihat pada
Gb.13.4.d. Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen kek,
yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlaku
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x)
(13.18)
k
k
Jika pertidaksamaan (13.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecil
dan bernilai positif, maka
f
k
( xk
) ∆ xk
≤ f ( x0 k ) ∆xk
≤ f ( xk
+ ∆x)
∆xk
(13.19)
Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (13.19) kita
jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita
buat), kita akan memperoleh
n
n
n
∑ f ( xk
) ∆xk
≤∑
f ( x0k
) ∆xk
≤ ∑ f ( xk
+ ∆x)
∆xk
(13.20)
k = 1
k = 1
k = 1
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas paling
kanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalah
jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwa
162 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

A
pqb ≤ An
≤ Apqa
(13.21)
y
y = f(x)
(a)
0
p x 2 x k x k+1 x n
x
y
y = f(x)
(b)
0
p x 2 x k x k+1 x n
x
y
y = f(x)
(c)
0
y
p x 2 x k x k+1 x n
y = f(x)
x
(d)
0
p x 2 x k x k+1 x n
Gb.13.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.
Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita
cari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n
x
163

kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆x k menuju nol, maka luas
bidang yang kita cari adalah
A
pq = lim Apqb
= lim An
= lim Apqa
(13.22)
∆x
→0
∆x
→0
∆x
→
k k
k
0
Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit
yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau
atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,
dituliskan
∫
A f ( x)
dx
(13.23)
= q pq
p
Integral tertentu (13.23) ini terkait dengan integral tak tentu (11.12)
A
pq
q
=
∫
f ( x)
dx = F(
x)
] = F(
q)
− F(
p)
(13.24)
p
q
p
Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,
penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan
dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:
a. integrasi untuk memperoleh F ( x)
=
∫
f ( x)
dx ;
b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);
c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);
d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).
Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang
bernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan itu
berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempat
bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang
disebut dengan A px dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang
baru ini akan berlaku umum, yaitu
A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x)
dan
sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian
yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian
yang di bawah sumbu-x.
164 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan
menghitung luas antara y = x
3 −12x
dan sumbu-x dari x = −3 sampai x
= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.13.5.
3 −
y = x 12 x
20
10
0
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
- 10
x
Gb.13.5. Kurva
- 20
y = x
3 −12x
Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x
dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian
yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas
A a
=
∫
0
−3
( x
3
4
x ⎤
2
−12x)
dx = − 6x
⎥
4 ⎥⎦
0
−3
Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan
A b
3
4
3 x ⎤
=
2
∫
( x −12x)
dx = − 6x
⎥
0
4 ⎥⎦
3
0
= −0
− (20,25 − 54) = 33,75
= 20,25 − 54 − (0) = −33,75
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x
dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x
A
pq
= Aa
− Ab
= 33 ,75 − ( −33,755)
= 67,5
Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai
A px , formulasi
q
A =
∫
f ( x)
dx = F(
q)
− F p
p
( ))
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di
bawah sumbu-x.
165

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.13.6. kita
dapatkan
A pq = −A
+
1 + A2
− A3
A4
yang kita peroleh dari A f ( x)
dx = F(
q)
− F( p)
)
pq
=
∫
q
p
y
y = f(x)
p
A 4
A 1
A 2
A 3
q
x
Gb.13.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang
di antara kurva y 1 = f1 ( x)
dan y 2 = f2 ( x)
pada batas antara x = p dan x
= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam
rentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x)
berada di atas
y 2 = f2 ( x)
meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang
berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.13.7.
y
y 1
p
0
y 2
x
x+∆x
q
x
Gb.13.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.
Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya
diperlihatkan pada Gb.13.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),
dimana ∆ x = ( q − p)
/ n .
166 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Luas segmen dapat didekati dengan
{ f1 ( x)
− f2(
x } ∆x
(13.25)
A segmen = )
yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh
n
∑
1
x=
q−∆x
∑{ f1 ( x)
− f2(
x }
A =
) ∆x
segmen
x=
p
(13.25)
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita
sampai pada suatu limit
n→∞
∑
∫
{ f ( x)
− f ( x }
A pq = lim Asegmen
= 1 2 ) dx
Kita lihat beberapa contoh.
1
q
p
(13.26)
1). Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2
dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3.
A pq
=
∫
+ 3
−2
+
{ 4 − ( −2)
} dx = 6x] = 18 − ( −12)
= 30
(
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas
yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2
= 6
dan panjang x 2 − x1
= 5 .
2
2). Jika y 1 = x dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1
dan y 2 .
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y 1 dan y 2 .
2
3
− 2
y 1 = y2
→ x = 4 ⇒ x1
= p = −2,
x2
= q = 2
Perhatikan bahwa y 1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak
minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian
kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada
di di bawah y 2 = 4.
167

2
2
⎛ 3 ⎞⎤
2
8 8 16 16 32
(4 ) ⎜
x ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ −
A pq = 4 ⎟⎥
∫
− x dx = x − = ⎜8
− ⎟ − ⎜−
8 − ⎟ = − =
− 2
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠⎥
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3
⎦-2
Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akan
melakukan kesalahan:
2
2
⎛ 3 ⎞⎤
2
8 8 16 16
* ( 4) ⎜
x
⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − +
A pq = 4 ⎟⎥
∫
x − dx = − x = ⎜ − 8⎟ − ⎜ + 8⎟
= − = 0
− 2
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠⎥
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3
⎦-2
2
3). Jika y 1 = −x
+ 2 dan y2 = −x
berapakah luas bidang yang
dibatasi oleh y 1 dan y 2 .
Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi
y 1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang
memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurus
melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang
berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka
bagian kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari
luasnya berada di atas y 2 .
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.
y = y
1
2
⇒ −x
2
+ 2 = −x
2
atau
− x
2
+ x + 2 = 0
−1
+ 1 + 8
−1
− 1 + 8
x1
= p =
= −1;
x2
= q =
= 2
− 2
− 2
2
2
⎛ 3 2 ⎞⎤
2
( 2 ) ⎜ x x
A 2 ⎟
pq =
⎥
∫
−x
+ + x dx = − + + x
−1
⎜ 3 2 ⎟
⎝
⎠⎥
⎦−1
⎛ 8 ⎞ ⎛ −1
1 ⎞
= ⎜−
+ 2 + 4⎟
− ⎜−
+ − 2⎟
= 4,5
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠
Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada
penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak
selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,
yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat
pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan
2
168 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian
seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua
contoh dalam kelistrikan.
1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan
200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8
jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p
dan energi diberi simbol w, maka
dw
p = yang memberikan w =
dt
∫
pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau
batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,
dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap
selama 8 jam adalah
8 8
w =
∫
pdt = 100 = 100
0 ∫
dt t
0
8
0
= 800 Watt.hour [Wh]
= 0,8 kilo Watt hour [kWh]
2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai
i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang
dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
dq
i = sehingga q =
dt ∫
idt
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
5 5
5
0,05 2 1,25
q =
∫
idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb
0 ∫
tdt t
0 2 0 2
Pendekatan Numerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita
fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:
1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses
perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,
∆x.
2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai
169

∫
q
n
f ( x)
dx = lim ∑ f ( xk
) ∆xk
p
∆x→0
k = 1
dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yang
besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi
dalam segmen ∆x k jika ∆x menuju nol.
Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x
sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilai
terendah ataupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendah
ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi
masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan
cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan
kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.
Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi
oleh kurva y = x
3 −12x
dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas
ini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini perhitungan
=
∫ 3 3
A pq ( x −12x)
dx akan kita lakukan dengan pendekatan numerik
− 3
dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas
antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah
sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =
0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen.
Perhitungan menghasilkan
40
3
A pq = ∑ ( xk
−12xk
) = 67,39875 ≈ 67,4
k = 1
Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.
Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi
dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan
A pq
120
3
= ∑ ( xk
−12xk
) = 67,48875 ≈ 67,5
k = 1
Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.
170 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,
maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.
Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap
segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum
masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung
luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas
setiap segmen menjadi
A
( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x
/ 2
segmen = k
kmaks
(13.27)
Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan
komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun
menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.
Soal-Soal:
1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan
sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva
fungsi dengan sumbu-x.
2 3
y = 2 x − x
2 ; y − y = x
2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.
2
Luas antara kurva y = x dan garis x = 4
Luas antara kurva
y = 2x
− x
2
dan garis x = −3
3. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.
y
4 2
= x − 2x dan
13.3. Volume Sebagai Suatu Integral
2
y = 2x
y = 2x
2 − 5 dan y = −2x
2 + 5
Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu
integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk
menghitung volume.
Balok. Kita ambil contoh sebuah balok seperti tergambar pada Gb.13.8.
Balok ini dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p dan q. Balok ini
diiris tipis-tipis dengan tebal irisan ∆x sehingga volume balok, V,
merupakan jumlah dari volume semua irisan.
171

Gb.13.8. Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan
di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah
Volume balok V adalah
A(
x)
∆ x ≤ ∆V
≤ A(
x + ∆x)
∆x
∑
V A(
x)
∆ x
=
q
p
dengan A (x)
adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A (x)
maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu
∑
V A(
x)
∆ x
≈
q
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka
q
p
∑ A(
x)
∆x
=
∫
q
V = lim A(
x)
dx
(13.28)
∆x→o
p
∆x
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x. Satu kerucut dapat dibayangkan
sebagai segitiga yang berputar sekitar salah satu sisinya. Segitiga ini akan
menyapu satu volume kerucut seperti terlihat pada Gb.13.9. Segitiga
OPQ, dengan OQ berimpit dengan sumbu-x, berputar mengelilingi
sumbu-x.
p
172 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
P
O
Q
x
Gb.13.9. Rotasi Segitiga OPQ mengelilingi sumbu-x
Formula (13.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah
luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan
garis OP.
V =
∫
h
0
∫
h
2
[ r(
x)
] dx =
∫
h
A( x)
dx = π
πm
x dx (13.29)
0
dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula
(13.29) akan memberikan volume kerucut
2 3
2 3
πm
h π(PQ/OQ)
h 2 h
Vkerucut
= =
= πr
(13.30)
3 3
3
dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.
Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan
memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut
terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis
OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y = mx berubah menjadi
y = mx + b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.
Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x) kontinyu pada a ≤ x ≤ b , rotasi
bidang antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x antara a ≤ x ≤ b
sekeliling sumbu-x akan membangun suatu volume benda yang dapat
dihitung menggunakan relasi (13.10).
y
∆x
f(x)
0
2
2
0 a b
x
∆x
Gb.13.10. Rotasi bidang mengelilingi sumbu-x
173

Dalam menghitung integral (13.28) penyesuaian harus dilakukan pada
A(x) dan batas-batas integrasi.
A( x)
= π r(
x)
2 = π f ( x)
( ) ( ) 2
∫ π
sehingga V ( f x)
)
=
b
a
2
( dx
(13.31)
Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada (13.31) merupakan gabungan
fungsi linier, kita akan mendapatkan situasi seperti pada Gb.13.11.
y
2000
0 a b
x
Gb.13.11. Fungsi f(x) merupakan gabungan fungsi linier.
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.13.11. terdapat tiga
rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume
total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (13.29) menunjukkan bahwa
dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada
bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian
ini akan menjadi positif.
13.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar
Jika kurva y = f (x)
kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar
∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah
∆x
∆ l = PQ =
2 2
∆x
+ ∆y
Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.13.12.
Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak
antara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′)
, yang merupakan garis
singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′)
ini,
∆l dapat dinyatakan sebagai
∆l
=
2
∆x
+
2
2
[( y′
( P ′))
∆x] = 1+
( y′
(P′)) ∆x
174 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y
y = f(x)
∆x
x
a
b
Gb.13.12. Salah satu segmen pada kurva y = f (x)
.
Setiap segmen memiliki y ′(P′)
masing-masing yaitu y′
k , dan ∆l
masing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =
a ke x = b adalah
n
n
n
lab
= lim ∑∆lk
= lim ∑ 1 + ∑
k
n→∞
n→∞
∆x→0
k = 1
k = 1
k = 1
P
∆l
Q
∆y
2
2
( y′
) ∆x
= lim 1 + ( y′
) ∆x
k
atau
b
2
⎛ dy ⎞
lab =
∫
1 + ⎜ ⎟ dx
(13.32)
a ⎝ dx ⎠
Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi
sumbu koordinat. Oleh karena itu (13.32) dapat ditulis juga sebagai
b dx
lab ∫ ′
2
⎛
dy
a′ dy
⎟ ⎞
= 1 +
⎜ dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah
⎝ ⎠
bebas.
13.5. Nilai Rata-Rata Suatu Fungsi
Untuk fungsi y = f (x)
yang kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q nilai
rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai
y 1 q
( rr ) x =
− ∫
f ( x dx
q p
)
(13.33)
p
(Penulisan (y rr ) x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)
Definisi (13.33) dapat kita tuliskan
175

q
( y rr ) x ⋅(
q − p)
=
∫
f ( x)
dx
(13.34)
Ruas kanan (13.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)
dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (13.34) dapat
ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar
(y rr ) x . Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan
(13.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)
dengan sumbux
bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif
pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai ratarata
(13.33) kontibusi tersebut adalah negatif.
Sebagai contoh, kita ambil fungsi
3 −
p
3 −
y = x 12x
. Luas bidang antara
y = x 12x
dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,
A = 67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita
pq
menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya
adalah (y rr ) x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah
sumbu-x akan saling meniadakan.
176 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 14 Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi
Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan
integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan
pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang
mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan
sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat
perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.
14.1. Integral Fungsi Tetapan:
∫ adx
∫ adx = ax + K karena dax = adx
Contoh:
y =
∫
2 dx = 2x
+ K
14.2. Integral Fungsi Mononom:
∫
x n dx
n+
1
n n−1
n x
Karena dx = x dx dengan syarat n ≠ −1, maka
∫
x dx = + K
n + 1
2 2 2 3
Contoh: y =
∫
2 x dx = 2∫
x dx = x + K
3
n m
14.3. Integral Fungsi Polinom
∫
( x + x ) dx
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu
polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.
n m n m
Karena d( x + x ) = x dx + x dx maka
∫
( x
n
+ x
m
n+
1
m+
1
x x
) dx = + + K,
n + 1 m + 1
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫
5dx
;
∫
∫
2xdx;
1
2
( x − 2x
+ 4) dx ;
0
∫
∫
4
4x
dx;
dengan syarat n ≠ −1,
m ≠ −1
∫
(2x
+ 5) dx ;
3 2
(4x
+ 6x
+ 4x
+ 2) dx
177

14.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:
∫
v n dx
n+
1
n v
Jika v adalah polinom, maka
∫
v dv = dv + K
n + 1
karena
n+
1
v n
d = v dv dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk
n + 1
mencari
∫
v n dx .
Contoh: Hitunglah y =
∫
( 2x
+ 1) dx
2
dv
Misalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx
→ dx =
2
2 3
3 2
2 v v 8x
+ 12x
+ 6x
+ 1
y =
∫
(2x
+ 1) dx =
∫
dv = + K =
+ K
2 6
6
4 3 2 1
= x + 2x
+ x + + K
3
6
Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan
diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
3 2
2
2
4x
4x
y = x + dx = x + x + dx = + + x + K′
∫
(2 1)
∫
(4 4 1)
3 2
Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,
K ′ = K + 1/ 6 .
Contoh: Hitunglah
2
Misalkan 1 − x = v →
3x
y =
∫
dx
2
1 − x
dv
dx
dv
= −2x
→ dx =
− 2x
1/ 2
3x
3x
dv 3 − 1/ 2 3 v
y =
∫
dx = = − v dv = −
2 1/ 2
1−
x v − 2x
2 ∫
2 1/ 2
= −3
2
1−
x
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
2
∫
( 1) dx ;
∫
4x
+
x + 1 dx ;
1
x
∫
2 + 5xdx
;
∫
dx ;
+
∫
dx
2
(3x
2)
2
2x
+ 1
178 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:
∫ v
dv
Karena
dv
dv
d (ln v)
= , maka v K
v ∫
= ln + . Integrasi ini
v
memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi
∫
v n dx .
2x
Contoh: Carilah integral y =
∫
dx
2
x + 1
2
Misalkan v = x + 1→
dv
dx
dv
= 2x
→ dx =
2x
2x
2x
dv
2
y =
∫
dx =
∫
= ln v + K = ln( x + 1)
+ K
2
x + 1 v 2x
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
2
dx x dx dx xdx xdx xdx
+ 1
∫
;
∫
;
∫
;
∫
;
− − + ∫
;
2x
3
3
4 2 3 1 2
1 −
∫ 2
x x x x 4x
+
14.6. Integral Fungsi Eksponensial:
∫
e v dv
Karena de
v = v
e dv maka v v
e dv = e + K
Soal-Soal:
2
2x
x
x / 3
∫
e dx ;
∫
xe dx ;
∫
e dx ;
∫
1 +
∫
x
e dx
x
2e
14.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :
∫
a v dv
Karena
v
v v
v a
da = a ln adv maka
∫
a dv = + K
ln a
179

Contoh: Carilah
∫
2x
y = 3 dx
Misalkan v = 2x →
14.8. Integral Fungsi Trigonometri
dv
dv
= 2 → dx =
dx
2
v 2x
2x
3 1 3
y =
∫
3 dx =
∫
dv = + K
2 2 ln 3
Karena d sin v = cosvdv
maka cos v dx = sin v + K
Karena d cosv
= −sin
vdx maka sin v dx = −cosv
+ K
∫
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain
termuat dalam Tabel-13.1.
Contoh: Carilah integral tak tentu
∫
∫
y = sin 2xdx
dv
dv
Misalkan v = 2x
→ = 2 → dx =
dx
2
sin v −cosv
y =
∫
sin 2xdx
=
∫
dv =
2 2
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
= −
cos 2x
2
∫
4xdx ;
∫
cos(2x
+ 2) dx ;
∫
4cos3xdx
∫
∫
∫
sin .
2sin x cos xdx ;
2
sin xdx ;
∫
∫
2
cos axdx
2
sin x cos xdx .
sin 2x
cos 2 x sin xdx ;
∫
dx .
2 − cos 2x
180 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.9. Integral Fungsi Hiperbolik
Karena d(sinh v)
= cosh v maka cosh vdv = sinh v + K
Karena d(cosh v)
= sinh vdv maka sinh vdv = cosh v + K
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat
dalam Tabel-13.1.
Contoh: Carilah y =
∫
cosh( 2x
+ 1)
dx
∫
∫
Misalkan
dv
dv
v = 2x
+ 1→
= 2 → dx =
dx
2
1
sinh
2
1
y =
∫
cosh(2x
+ 1) dx =
∫
cosh( v)
dv =
2
1
= sinh(2x
+ 1) + K
2
Soal-Soal: Carilah integral berikut
v + K
∫
sinh
x
x 2 sinh x
2
dx ;
∫
tanh xdx ;
∫
cosh 2xdx
;
∫
dx ;
∫
tanh xdx
4
cosh x
14.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi
Integral fungsi-fungsi yang berbentuk
∫
dv
1 − v
2
dv
,
∫ +
2
1 v
dv
∫
dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,
2
v v −1
menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.
Contoh: Carilah y =
∫
dx
2
1 − 4x
,
181

2 dv
Jika kita membuat pemisalan v = 1 − 4x
maka = −8x
atau
dx
dv
dx = . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan
− 8x
integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk
1 / 2 dv
∫
v
−
− 8x
yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat
ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.
Namun bentuk
dx
ini dapat kita transformasi menjadi bentuk
∫ 2
1 − 4x
yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x
dv
dv
yang akan memberikan = 2 atau dx = . Persoalan integral kita
dx
2
menjadi
y =
∫
dx dv 1 dv
=
∫
=
2
2 ∫
1 − 4x
2 1 − v
2
1 − v
2
yang menghasilkan
y =
1 −1
1 −
sin v + K = sin
1 (2x)
+ K
2
2
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫
dx dx dx dx dx
;
∫
;
∫
;
∫
;
2 2
2
2 ∫
1 + 4x
1 − x 4 + x x 4 + x 1 − x
2
182 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

14.9. Relasi Diferensial dan Integral
Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya.
Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9
dan 16, 17 yang sering kita temui.
Tabel-14.1.
dv
1. dv = dx
1. dv = v + K
dx
∫
2. d ( kv)
= kdv
2.
∫
kdv = k∫
dv
3. d ( v + w)
= dv + dw
3. ∫
( dv + dw)
=
∫
dv +
∫ dw
n n−1
4. dv = nv dv
n+
1
n v
4.
∫
v dv = + C ; n≠1
n + 1
5.
dv
dv
d (ln v)
=
5. v K
v
∫
= ln +
v
6. de
v = v
e dv
6. v v
e dv = e + K
∫
v v
7. da = a ln adv
v
v a
7.
∫
a dv = + K
ln a
8. d (sin v)
= cosvdv
8. cos vdv = sin v + K
9. d(cosv)
= −sin
vdv
9. sin vdv = −cosv
+ K
2
10. d(tan v)
= sec vdv 10.
∫
sec 2 vdv = tan v + K
∫
∫
183

2
11. d(cotv)
= −csc
vdv 11. csc 2 vdv = −cotv
+ K
∫
12. d(sec v)
= sec v tan vdv
13. d(cscv)
= −cscv
cot vdv
∫
12. sec tan vdv = sec v + K
∫
13. csc cot vdv = −cscv
+ K
14. d (sinh v)
= cosh v
14. cosh vdv = sinh v + K
∫
15. d(cosh v)
= sinh vdv
∫
15. sinh vdv = cosh v + K
2
16. d(tanh v)
= sech vdv 16. sec h
2 vdv = tanh v + K
2
17. d(coth
v)
= −csch
vdv 17. csch
2 vdv = −cothv
+ K
∫
∫
18. d( sechv)
= −sechv
tanh vdv
19. d( cschv)
= −cschvcoth
vdv
∫
18. sec hv tanh vdv = −sechv
+ K
∫
19. csch v coth vdv = −coshv
+ K
1 dv
20. d(sin
− v)
=
20. ∫ dv −1
= sin v + K
2
2
1−
v
1 − v
1 dv
21. d(cos
− −
v)
=
21. ∫ dv −1
= − cos v + K ′
2
2
1−
v
1 − v
22.
d tan
−1
dv
v =
1+
v
2
dv −1
22.
∫
= tan v + K
2
1 + v
184 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

23.
d cot
−1
−dv
v =
1 + v
2
dv −1
23.
∫
= −cot
v + K
2
1+
v
24.
−1
dv
dv −1
d sec v =
24.
2 ∫
= sec v + K , v >0
2
v v −1
v v −1
dv 1
−1
−dv
25. d csc v =
−
25.
2 ∫ = − csc v +
v v −1
2
26.
v v −1
1 dv
d(sinh
− v)
=
26. ∫ dv −1
= sinh v + K
2
2
1+
v
1 + v
−1
dv
27. d (cosh v)
=
27.
dv −1
∫
= cosh v + K
2
2
v −1
v − 1
1 dv
28. d(tanh
− v)
=
28. ∫ dv −1
= tanh v
2
+ K ; jika |v|1
2
1−
v
−1
−dv
dv
−1
30. d(sech
v)
=
30.
2 ∫
= −sech
v + K;
2
v 1−
v
v 1−
v
−1
−dv
31. d(csch
v)
=
v 1+
v
Catatan Tentang Isi Tabel-14.1.
2
dv
−1
31.
∫
= −csch
v + K;
2
v 1+
v
Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat
melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:
Fungsi mononom dan polinom:
∫ vdv
K
, v >0
Fungsi polinom berpangkat:
Fungsi exponensial:
∫
∫
v
e dv ;
v n dv ;
∫
v
a dv
∫
dv
v
185

2
2
Fungsi trigonometri:
∫
cos vdv ;
∫sin vdv ;
∫sec vdv ;
∫
csc vdv ;
∫
sec tan vdv ;
∫
csc cot vdv .
tetapi tidak:
∫
tan vdv ;
∫
cot vdv ;
∫sec vdv ;
∫
csc vdv .
Fungsi hiperbolik:
∫
cosh vdv ;
∫
vdv
∫
2
csc h vdv ;
∫
sec hv tanh vdv ;
∫
csch v coth vdv .
2
sinh ;
∫
sec h vdv ;
tetapi tidak:
∫
tanh vdv ;
∫
coth vdv ;
∫sec hvdv
;
∫
csc hvdv
.
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri
inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
∫
dv
1 − v
2
dv
;
∫ +
2
1 v
dv
;
∫ ;
2 ∫
v v −1
dv
1 + v
2
;
∫
dv
2
v
− 1
dv
;
∫ −
2
1 v
dv ;
∫
v 1 − v
2
dv
;
∫
v 1 + v
2
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti
∫
sin
−1
vdv
;
∫
tan
−1
xdx
;
∫sinh
−1
vdv
.
;
∫
tanh
−1
vdv
Tabel-14.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang
dv
berbentuk
2 2
2 2
∫
;
∫
a ± v dv;
∫
v − a dv;
dsb
2 2
a + v
186 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 15 Persamaan Diferensial Orde-1
15.1. Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau
lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita
pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan
satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
3
d y
turunan fungsi yang ada dalam persamaan. adalah orde
3
dx
tiga;
2
d y
2
dx
dy
adalah orde dua;
dx
adalah orde satu.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
2 5
⎛ 3
d y ⎞ ⎛ 2
d y ⎞ y x
Sebagai contoh: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + = e adalah persamaan
⎜ 3
dx ⎟ ⎜ 2
dx ⎟ 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x + 1
diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,
orde satu dan orde dua, derajat satu.
15.2. Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
−x
Kita ambil satu contoh: y = ke adalah solusi dari persamaan
dy
+ y = 0 karena turunan
−x
dy
y = ke adalah
− x
= −ke
, dan jika ini kita
dt
dt
−x
−x
masukkan dalam persamaan akan kita peroleh − ke + ke = 0 .;
persamaan terpenuhi.
187

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu
mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu k. Pada
umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua
yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi
dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh
kondisi awal.
15.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat
Dipisahkan
Solusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah-peubah
dapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua
y dengan dy dan semua x dengan dx. Jika hal ini bisa dilakukan maka
persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y)
dy + g(
x)
dx = 0
(15.1)
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum
dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
Kita ambil dua contoh.
∫
f y)
dy
∫
g(
x)
dx)
=
( + K
(15.2)
1).
dy x−
y
dy
= e . Persamaan ini dapat kita tuliskan =
dx
dx
sehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisah
sehingga
y x
e dy − e dx = 0
dan
y x
y x
e − e = K atau e = e + K
∫
y
e dy −
x
∫
e dx = K
x
e
y
e
dy
2).
dx
= 1
xy
. Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
dx
dx
ydy − = 0 dan K
x ∫
ydy −
∫
=
x
188 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

sehingga
2
y
2
− ln x = K
atau
2
y = ln x + K′
15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
dy ⎛ y ⎞
= F⎜
⎟
dx ⎝ x ⎠
(15.3)
Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah
bebas baru
Dengan peubah baru ini maka
Persamaan (14.2) menjadi
y = vx dan
y
v =
x
dy
dx
= v +
dv
x
dx
dv
v + x = F(v)
(15.4)
dx
yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.
dx dv
+ = 0
x v − F(
v)
(15.5)
Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan v dengan y/x
setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.
2 2
Kita ambil contoh: ( x + y ) dx + 2xydy
= 0
Persamaan ini dapat kita tulis 2 y
x (1 + ) dx + 2xydy
= 0 atau
2
x
2
2
y y
(1 + ) dx = −2
dy sehingga
dy 1 + ( y / x)
= − = F(
y / x)
2
x x
dx 2( y / x)
2
189

yang merupakan bentuk persamaan homogen.
Peubah baru v = y/x memberikan
y = vx dan
dan membuat persamaan menjadi
2
dv 1 + v
v + x = − atau
dx 2v
Dari sini kita dapatkan
dv dx
= −
2
(1 + 3v
) / 2v
x
dy
dx
= v +
dv
x
dx
2
2
dv 1 + v 1 + 3v
x = −v
− = −
dx 2v
2v
dx 2vdv
atau + 0
x 2
1 + 3v
=
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v
sebagai fungsi x. Kita perlu pengalaman untuk ini.
Kita tahu bahwa
d(ln
x)
1
= . Kita coba hitung
dx x
2
2
2
d ln(1 + 3x
) d ln(1 + 3x
) d(1
+ 3x
) 1
=
= (6x)
dx
2
2
d(1
+ 3x
) dx 1 + 3x
Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di atas
kita dapatkan solusi dari
adalah
dx 2vdv
+ 0
x 2
1 + 3v
=
1 2 1
ln x + ln(1 + 3v
) = K = ln K′
3
3
atau
2
3ln x + ln(1 + 3v
) = K = ln K′
Dalam x dan y solusi ini adalah
sehingga
3 2
x (1 + 3v
) = K′
2
2 2
( 1 + 3( y / x)
) = K atau ( x + 3 y ) = K
3
x ′
x ′
190 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol.
Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari
peubah dan turunannya; misal y(dy/dx) adalah berderajat dua karena y
dan dy/dx masing-masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan
untuk menentukan derajat dari y(dy/dx).
Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan
dalam bentuk
dy
+ Py = Q
(15.6)
dx
dengan P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan. Persamaan diferensial
bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi pada
situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita
akan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadi
pada analisis rangkaian listrik.
Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus
merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang
akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai
dy
a + by = f (t)
(15.7)
dt
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara
yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan.
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a
dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan
ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.
Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai solusi total yang
merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus
adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusi
homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen
dy
a + by = 0
(15.8)
dt
191

Hal ini dapat difahami karena jika f 1 (t) memenuhi (15.7) dan fungsi f 2 (t)
memenuhi (15.8), maka y = (f 1 +f 2 ) akan memenuhi (15.7) sebab
( f + f )
dy d
a + by = a 1 2 + b(
f1
+ f2)
dt
dt
df
= 1 df
+ 2 df
a bf
1
1 + a + bf2
= a + bf1
+ 0
dt dt dt
Jadi y = (f 1 +f 2 ) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut solusi total yang
terdiri dari solusi khusus f 1 dari (15.7) dan solusi homogen f 2 dari (15.8).
Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan
diferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selang
peralihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain..
Peralihan kita anggap mulai terjadi pada t = 0 dan peristiwa transien yang
kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan
yaitu dalam kurun waktu t > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beri
tanda t = 0 + dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda t = 0 − .
Solusi Homogen. Persamaan (15.8) menyatakan bahwa y ditambah
dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua
nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt berbentuk sama.
Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu
sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi
dari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial y = K 1 e st . Jika solusi dugaan
ini kita masukkan ke (15.8), kita peroleh
st
st
( as + b) 0
aK1 se + bK1e
= 0 atau K1
y =
(15.9)
Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K 1 juga tidak
boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untuk
seluruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalah
as + b = 0
(15.10)
Persamaan (15.10) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde
pertama. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = −(b/a). Jadi
solusi homogen yang kita cari adalah
y
st −(
b / a)
t
a = K1e
= K1e
(15.11)
Nilai K 1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan
tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0 + sesaat
192 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

setelah mulainya perubahan keadaan. Ada kemungkinan bahwa y telah
mempunyai nilai tertentu pada t = 0 + sehingga nilai K 1 haruslah
sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0 + tersebut dapat dipenuhi.
Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusi
homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi
awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi
homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih
dulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan
kondisi awal.
Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsi
pemaksa f(t). Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dapat
melakukan pendugaan pada solusi khusus. Bentuk solusi khusus haruslah
sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan (15.7) maka
ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang
sama. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka y p dan turunannya harus
mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai
bentuk f(t), solusi khusus dugaan y p adalah sebagai berikut.
Jika f ( t)
= 0 , maka y p = 0
Jika f ( t)
= A = konstan, maka y p = konstan = K
Jika
Jika
αt
f ( t)
= Ae = eksponensial, maka
αt
y p = eksponensial = Ke
f ( t)
= Asin
ωt
, atau f ( t)
= Acosωt
, maka
y p = Kc
cosωt
+ Ks
sin ωt
Perhatikan : y = Kc
cosωt
+ Ks
sin ωt
adalah
bentuk umum fungsi sinus maupun cosinus .
Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut y p , maka solusi total adalah
s t
y = y p + ya
= y p + K1e
(15.12)
Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan
memberikan nilai K 1 .
Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya
perubahan yaitu pada t = 0 + . Dalam menurunkan persamaan diferensial
pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut peubah
193

status. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini,
sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama.
Jika kondisi awal ini kita sebut y(0 + ) maka
−
y (0
+ ) = y(0
)
(15.13)
Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12)
akan kita peroleh nilai K 1 .
+ +
+
( = p 1 1
p
y 0 ) y (0 ) + K → K = y(0
) − y (0 ) (15.14)
y p (0 + ) adalah nilai solusi khusus pada t = 0 + . Nilai y(0 + ) dan y p (0 + ) adalah
tertentu (yaitu nilai pada t = 0 + ). Jika kita sebut
+
+
+
y( 0 ) − y p (0 ) = A
0
(15.15)
maka solusi total menjadi
s t
y = y p + A0
e
(15.16)
15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa
Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika f(t) =0 maka solusi yang akan kita
peroleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam
mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada,
akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus
diterapkan pada solusi total, sedangkan solusi total harus terdiri dari
solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol).
Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen saja
atau solusi khusus saja.
Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv
+ 1000 v = 0
dt
untuk t > 0. Kondisi awal adalah v(0 + ) = 12 V.
Persamaan karakteristik : s + 1000 = 0 → s = −1000
Dugaan solusi homogen :
Dugaan solusi khusus :
Dugaan solusi total
−1000t
va
= A0e
v p = 0 (karena tidak ada
st
−1000t
: v = v p + A0e
= 0 + A0e
fungsi
pemaksa)
194 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

+ −
Kondisi awal : v(0
) = v(0
) = 12 V.
Penerapan
kondisi
awal
pada
dugaan
memberikan : 12 = 0 + A0
→ A0
= 12
−1000
t
Solusi total menjadi : v = 12 e V
solusi total
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 10
menghasilkan persamaan
dv
+ 3 v = 0
dt
V, analisis transien
Persamaan karakteristik : s + 3 = 0 → s = −3
Dugaan
Dugaan solusi khusus :
Dugaan
solusi homogen :
solusi total:
+
Kondisi awal : v(0
) = 10 V
−3
t
va
= A0e
v p = 0
−3t
v = vp
+ A0e
Penerapan kondisi awal memberikan : 10 = 0 + A0
−3t
Solusi total menjadi: v = 10 e V
Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari
bahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan
bernilai konstan untuk t > 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan
untuk t > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskan
sebagai f(t) = A (tetapan).
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
−
10 3 dv
+ v =12
dt
dengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V.
−3
−3
Persamaan karakteristik : 10 s + 1 = 0 → s = −1/10
= −1000
Dugaan
solusi homogen :
−1000
t
va
= A0e
195

Karena f(t) = 12 konstan, kita dapat menduga bahwa solusi khusus
akan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehingga
kedua ruas persamaan tersebut dapat berisi suatu nilai konstan.
Dugaan
solusi khusus :
Masukkan v p dugaan
vp
= K
ini ke persamaan :
−1000
t
Dugaan solusi total : v = 12 + A0e
V
+
Kondisi awal : v(0
) = v(0−)
= 0.
0 + K = 12 ⇒ vp
= 12
Penerapan kondisi awal memberikan : 0 = 12 + A0
→ A0
= −12
−1000t
Solusi total menjadi : v = 12 −12
e V
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 11 V, analisis transien
menghasilkan persamaan
dv
+ 5 v = 200
dt
Persamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5
Dugaan
Dugaan
Dugaan
Kondisi
solusi homogen :
solusi khusus :
solusi lengkap:
awal :
−5
t
va
= A0e
v p = K → 0 + 5K
= 200 → v p = 40
−5t
−5t
v = v p + A0e
= 40 + A0e
+
v(0
) = 11V. Penerapan
kondisi
11 = 40 + A0
→ A0
= −29
−5t
Tanggapan total: v = 40 − 29 e V.
awal
memberikan :
Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusi
jika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak
tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen
dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh
sebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada
pencarian solusi khusus.
Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada t > 0,
bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 kita tuliskan
y = Acos( ωt
+ θ)
196 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Melalui relasi
{ cosωt
cosθ − sin ωt
θ}
y = Acos(
ωt
+ θ)
= A
sin
bentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagai
y = Ac
cosωt
+ As
sin ωt
dengan Ac
= Acosθ
dan
As
= −Asin
θ
Dengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungan
sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien A c dan A s .
Koefisien A c dan A s tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka A s = 0
dan jika θ = 90 o maka A c = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari
fungsi sinus yang dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapat
As
menggunakan relasi tan θ = .
Ac
Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu,
penjumlahan y = sinωt dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.
y = A cos ωt
+ A sin ωt
;
c
dy
= −Ac
ωsin
ωt
+ Asω
cosωt
dt
2
d y
= −Ac
ω
2
dt
2
s
cos ωt
− A ω
s
2
;
sin ωt
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + ) = 0 V suatu analisis transien
dv
menghasilkan persamaan + 5 v =100cos10t
dt
Persamaan karakteristik : s + 5 = 0 → s = −5
Dugaan
solusi homogen :
−5
t
va
= A0e
Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akan
berbentuk sinus juga.
197

Dugaan
solusi khusus :
vp
= Ac
cos10t
+ As
sin10t
Substitusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan :
−10Ac
sin10t
+ 10As
cos10t
+ 5Ac
cos10t
+ 5As
sin10t
= 100cos10t
→ −10Ac
+ 5As
= 0 dan 10As
+ 5Ac
= 100
→ As
= 2Ac
→ 20Ac
+ 5Ac
= 100 ⇒ Ac
= 4 dan As
= 8
Solusi khusus : vp
= 4cos10t
+ 8sin10t
−5
t
Dugaan solusi total : v = 4cos10t
+ 8sin10t
+ A0e
+
Kondisi awal v(0
) = 0.
Penerapan kondisi awal : 0 = 4 + A0
→ A0
= −4
−5t
Jadi: v = 4cos10t
+ 8sin10t
− 4e
V
Contoh: Apabila kondisi awal adalah v(0 + ) = 10 V, bagaimanakah
solusi pada contoh sebelum ini?
Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah.
−5t
Solusi total : v = 4 cos10t
+ 8sin10t
+ A0e
+
Kondisi awal v(0
) = 10 → 10 = 4 + A0
→ A0
= 6
−5
t
Jadi : v = 4 cos10t
+ 8sin10t
+ 6 e V
Ringkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen.
Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu
yang ditentukan oleh tetapan-tetapan dalam persamaan, yang dalam hal
rangkaian listrik ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Solusi
khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa,
yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar;
solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final.
198 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

y = y
( ) − t / τ
p t + A0
e
Solusi khusus :
ditentukan oleh fungsi pemaksa.
merupakan komponen mantap;
tetap ada untuk t →∞.
Solusi homogen :
tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa.
merupakan komponen transien; hilang pada t
→∞; sudah dapat dianggap hilang pada t = 5τ.
konstanta waktu τ = a/b pada (14.10)
Soal-Soal:
1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
dv
+
a). + 10v
= 0 , v(0
) = 10 ;
dt
dv
+
b). + 15v
= 0 , v(0
) = 5
dt
2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
di
+
a). + 8i
= 0 , i(0
) = 2 ;
dt
di 4
+
b). + 10 i = 0 , i(0
) = −0,005
dt
199

3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
dv
+
a). + 10v
= 10u(
t)
, v(0
) = 0 ;
dt
dv
+
b). + 10v
= 10u(
t)
, v(0
) = 5
dt
4. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
di 4
+
a). + 10 i = 100u(
t)
, i(0
) = 0 ;
dt
di 4
+
b). + 10 i = 100u(
t)
, i(0
) = −0,02
dt
5. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
dv
+
a). + 5v
= 10cos(5t)
u(
t)
, v(0
) = 0 ;
dt
dv
+
b). + 10v
= 10cos(5t)
u(
t)
, v(0
) = 5
dt
200 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 16 Persamaan Diferensial Orde-2
16.1. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua
Secara umum persamaan diferensial linier orde dua berbentuk
2
d y dy
a + b + cy = f ( t)
(16.1)
2
dt dt
Pada persamaan diferensial orde satu kita telah melihat bahwa solusi
total terdiri dari dua komponen yaitu solusi homogen dan solusi khusus.
Hal yang sama juga terjadi pada persamaan diferensial orde dua yang
dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada
persamaan orde pertama. Perbedaan dari kedua macam persamaan ini
terletak pada kondisi awalnya. Pada persamaan orde dua terdapat dua
kondisi awal dan kedua kondisi awal ini harus diterapkan pada dugaan
solusi total. Dua kondisi awal tersebut adalah
+ − dy + −
y (0 ) = y(0
) dan (0 ) = y'(0
)
(16.2)
dt
Solusi homogen. Solusi homogen diperoleh dari persamaan rangkaian
dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (4.25),
sehingga persamaan menjadi
2
d y dy
a + b + cy = 0
(16.3)
2
dt dt
Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai
bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial y a =
Ke st dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi
dugaan ini dimasukkan ke (16.3) akan diperoleh :
aKs
2
e
st
st
st
2
( as + bs + ) = 0
+ bKse + cKe = 0 atau Ke
c
st
(16.4)
Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak
diperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. Satusatunya
jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah
2
as + bs + c = 0
(16.4)
201

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensial
orde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk
persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu:
s , s
1
2
2
− b ± b − 4ac
= (16.5)
2a
Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua
akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat.
Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap
bentuk solusi akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita
melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua
akar.
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi
homogen, yaitu:
s1t
s t
a1 = K1e
dan ya2
= K2e
(16.6)
y
2
Jika y a1 merupakan solusi dan y a2 juga merupakan solusi, maka jumlah
keduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cari
akan berbentuk
Konstanta K 1
solusi total.
s1t
s t
a = K1 e + K2e
(16.7)
y
2
dan K 2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada
Solusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusi
khusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara menduga
bentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaan
orde satu. Kita umpamakan solusi khusus y khusus = y p .
Solusi Total. Dengan solusi khusus y p maka solusi total menjadi
s1t
s t
= y p + ya
= y p + K1 e + K2e
(16.8)
y
2
202 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi
Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang
berbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan
nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0
c). Dua akar kompleks konjugat s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0.
Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengan
contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.
Dua Akar Nyata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kita
terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan
yaitu
+
y(0
) = y
+
p
(0 ) + K + K
y'(0
) = y′
(0 ) + s K + s K
p
+
+
1
1
1
2
2
dan
2
(16.9)
yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebut
B
maka kita peroleh
0
0
+
+
p
+
A = y(0
) − y (0 )
+
= y′
(0 ) − y′
(0 )
p
dan
(16.10)
dan dari sini kita memperoleh
K =
1 + K2
= A0
dan s1K1
+ s2K2
B0
s2A0
− B0
K1 =
dan
s − s
sehingga solusi total menjadi
2
1
s A − B
K
2
s A
s1
A0
− B0
=
s − s
2 0 0 s1t
1 0 0 s t
= y p + e + e (16.11)
s2
− s1
s1
− s2
1
− B
y
2
Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan orde
pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi
2
203

persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentang
kondisi awal, yang hanya dapat diterapkan pada solusi total. Persamaan
yang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaan
dengan solusi khusus yang bernilai nol.
Contoh: Dari analisis transien suatu rangkaian listrik diperoleh
persamaan
2
d v
3 dv 6
+ 8,5 × 10 + 4 × 10 v = 0
2
dt
dt
dengan kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + ) = 0
2
3 6
Persamaan karkteristik : s + 8,5 × 10 s + 4 × 10 = 0
→ akar
- akar
Dugaan solusi total:
Kondisi awal :
3 2
: s1,
s2
= −4250
± 10 (4,25) − 4
s1
= −500,
s2
= −8000
( dua akar riil berbeda).
−500t
−8000t
v = 0 + K1e
+ K2e
(solusi homogen nol)
+ −
a). v(0
) = v(0
) = 15 V →15
= K1
+ K2
⇒ K2
= 15 − K1
dv +
b). (0 ) = 0 → 0 = K1s1
+ K2s2
= K1s1
+ (15 − K1)
s2
dt
− 15s2
− 15( −8000)
⇒ K1
= =
= 16 ⇒ K2
= 15 − K1
= −1
s1
− s2
− 500 + 8000
−500
t −8000t
Solusi total: v = 16e
− e V
(hanya terdiri dari solusi homogen).
Dua Akar Nyata Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut
dapat kita tuliskan sebagai
s 1 = s dan s2
= s + δ ; dengan δ → 0
(16.12)
Dengan demikian maka solusi total dapat kita tulis sebagai
y = y
= y
p
p
s1t
1
+ K e
+ K e
1
st
+ K
+ K
s2t
2e
( s+δ)
t
2e
(16.13)
204 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kalau kondisi awal pertama y(0 + ) kita terapkan, kita akan memperoleh
+
y(0
) = y
p
→ K + K
1
+
(0 ) + K + K
2
1
+
2
= y(0
) − y
p
+
(0 ) = A
Jika kondisi awal kedua dy/dt (0 + ) kita terapkan, kita peroleh
+
y′
(0 ) = y′
(0 ) + K s + K ( s + δ)
→ ( K
1
p
+ K ) s + K
Dari kedua persamaan ini kita dapatkan
2
+
2
1
2
+
δ = y′
(0 ) − y′
(0 ) = B
p
+
0
0
A0
s + K2δ = B0
→
→
B0
− A0
s
K2
=
δ
B0
K1
= A0
−
−
δ
A0
s
(16.14)
Solusi total menjadi
⎛ B0
− A0
s ⎞ st B0
− A0
s ( s+δ)
t
y = y p + ⎜ A0
− ⎟e
+ e
⎝ δ ⎠ δ
⎡⎛
B0
= y p + ⎢⎜
A0
−
⎣⎝
−
δ
A0
s ⎞ B0
⎟ +
⎠
−
δ
A0
s δ t ⎤ st
e ⎥ e
⎦
⎡
⎛ δ t
1 e ⎞⎤
st
= y p + ⎢A0
+ ( B0
− A0
s)
⎜−
+ ⎟⎥
e
⎢
⎜ ⎟
⎣
⎝
δ δ
⎠⎥
⎦
(16.15.a)
Karena
⎛ δ t
1 e ⎞ ⎛ δt
e 1⎞
lim ⎜
lim ⎜ −
− + ⎟ =
⎟ = t
δ→0⎜
⎟ 0⎜
⎟
⎝
δ δ δ→
⎠ ⎝
δ
⎠
maka solusi total dapat kita tulis
y
[ A + B A s)
t] e
st
= y p + 0 ( 0 − 0
(16.15.b)
Solusi total seperti dinyatakan oleh (16.15.b) merupakan bentuk khusus
yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama
besar. A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi
awal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (16.15.b) sebagai
205

y
[ K + K t] e
st
= y p + a b
(16.15.c)
dengan nilai K a yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai K b
ditentukan oleh kondisi awal dan s. Dalam rangkaian listrik, nilai s
tergantung dari elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada
kaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahui
bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang
sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti
yang ditunjukkan oleh (16.15.c).
Contoh: Pada kondisi awal v(0 + )=15 V dan dv/dt(0 + )=0, analisis
transien rangkaian listrik memberikan persamaan
Di sini
solusi total
akan
2
d v 3 dv 6
+ 4 × 10 + 4 × 10 v = 0
2
dt dt
2
6
Persamaan karakteristik : s + 4000s
+ 4 × 10 = 0
6 6
: s1,
s2
= −2000
± 4 × 10 − 4 × 10 = −2000
= s
terdapat dua akar sama besar; oleh karena itu
akar - akar
v = v p +
Jadi : v =
berbentuk :
st
st
( K + K t) e = 0 + ( K + K t) e , karena v = 0.
a
Aplikasi kondisi awal pertama
b
+
v(0
) = 15 = Ka.
dv +
Aplikasi kondisi awal kedua (0 ) = 0
dt
dv st
st
memberikan = Kbe
+ ( Ka
+ Kbt)
s e
dt
dv +
→ (0 ) = 0 = Kb
+ Kas
→
dt
−2000 t
( 15 + 30000t) e V
a
b
pada solusi total ini memberikan
Kb
= −Kas
= 30000
p
206 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Akar-Akar Kompleks Konjugat. Kita belum membahas bilangan
kompleks di buku ini. Kita baru memandang fungsi-fungsi yang
memiliki nilai bilangan nyata. Namun agar pembahasan menjadi
lengkap, berikut ini diberikan solusinya.
Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagai
s 2
Solusi total dari situasi ini adalah
1 = α + jβ
dan s = α − jβ
y = y
= y
p
p
+ K
+
( α+ jβ)
t
1e
+ K
+ jβ
t − jβ
t αt
( K e + K e ) e
1
2
( α− jβ)
t
2e
Aplikasikan kondisi awal yang pertama, y(0 + ),
y(0
) = y
→
+
K + K
1
p
(0 ) +
2
+
( K + K )
+
1
2
= y(0
) − y
p
+
(0 ) = A
0
(16.16)
dv + +
Aplikasi kondisi awal yang kedua, (0 ) = y′
(0 ) ,
dt
dy
dt
+
Kita akan memperoleh
dy p
jβt
− jβt
= + ( jβK1e
− jβK2e
)
dt
jβt
− jβt
αt
( K e + K e ) α e
1
dy +
(0 ) y′
+
(0 ) y′
+
= = p (0 ) +
dt
→ jβ
jβ
2
e
αt
( jβK
− jβK
) + ( K + K )
( K1
K2
) ( K1
K2
) y′
+
(0 ) y′
+
− + α + = − p (0 ) = B0
K1
+ K2
= A0
( K − K ) + α( K + K )
1
2
1
1
B0
− αA0
2 = B0
→ K1
− K2
=
jβ
A0
+ ( B0
− αA0
) / jβ
A0
− ( B0
− αA0
) / jβ
K 1 =
K2
=
2
2
Solusi total menjadi
2
1
2
α
207

y = y
= y
= y
p
p
p
⎛ A + B
+
0 ( 0
⎜
⎝
⎛
+ ⎜ A
⎜
⎝
0
e
+ jβ
t
+ e
2
− jβ
t
⎛ ( B
+
⎜ A cosβt
+
0
0
⎝
− αA0
) / jβ
e
2
( B
+
+ jβ
t
0
− αA0
) e
β
− αA0
) ⎞
sinβt
⎟ e
β ⎠
A − ( B
+
0 0
αt
+ jβ
t
− αA0
) / jβ
e
2
− e
2 j
− jβ
t
⎞
⎟ e
⎟
⎠
αt
− jβ
t
⎞
⎟ e
⎠
αt
(16.17)
A 0 dan B 0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal
sedangkan α dan β memiliki nilai tertentu (dalam rangkaian listrik
ditentukan oleh nilai elemen rangkaian). Dengan demikian solusi total
dapat kita tuliskan sebagai
y = y
p
+
αt
( K βt
+ K sinβt) e
a cos b
(16.18)
dengan K a dan K b yang masih harus ditentukan melalui penerapan
kondisi awal. Ini adalah bentuk solusi total khusus untuk persamaan
diferensial yang memiliki persamaan karakteristik dengan dua akar
kompleks konjugat.
Persamaan (16.18) menunjukkan bahwa bila persamaan karakteristik
memberikan dua akar kompleks konjugat, maka solusi persamaan
diferensial orde dua akan terdiri dari solusi khusus y p ditambah fungsi
sinus yang teredam.
208 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

209
Soal-Soal:
1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
5
)
(0
0 ,
)
(0
0 ;
5
4
c).
10
)
(0
0 ,
)
(0
0 ;
4
4
b).
15
)
(0
0,
)
(0
0 ;
10
7
a).
2
2
2
2
2
2
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
dt
dv
v
v
dt
dv
dt
v
d
dt
dv
v
v
dt
dv
dt
v
d
dt
dv
v
v
dt
dv
dt
v
d
2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
10
(0)
5,
)
(0
);
(
100
25
8
c).
10
(0)
5,
)
(0
);
(
100
25
10
b).
25
(0)
5,
)
(0
) ;
(
100
24
10
a).
2
2
2
2
2
2
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
dt
dv
v
t
u
v
dt
dv
dt
v
d
dt
dv
v
t
u
v
dt
dv
dt
v
d
dt
dv
v
t
u
v
dt
dv
dt
v
d
3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.
0
)
(0
0,
)
(0
,
)
(
]
100[cos1000
8
6
a).
2
2
=
=
=
+
+
+
+
dt
dv
v
t
u
t
v
dt
dv
dt
v
d
0
)
(0
0,
)
(0
,
)
(
]
100[cos1000
9
6
b).
2
2
=
=
=
+
+
+
+
dt
dv
v
t
u
t
v
dt
dv
dt
v
d
0
)
(0
0,
)
(0
) ,
(
]
100[cos1000
10
2
c).
2
2
=
=
=
+
+
+
+
dt
dv
v
t
u
t
v
dt
dv
dt
v
d

210 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 17 Matriks
17.1. Konsep Dasar Matriks
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom
yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan
sebagai suatu kesatuan. Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu
kurung siku (ataupun dengan kurung biasa) seperti contoh berikut
⎡2
⎢
⎢
1
⎢
⎣3
0
2
2
3⎤
⎥
4
⎥
1⎥
⎦
⎡2⎤
; ⎢ ⎥
⎣4
⎦
⎡2
4 1⎤
3 ; ⎢ ⎥
⎣3
0 2 ⎦
; [ 2 4]
(17.1)
Dalam contoh matriks (17.1) ini, banyaknya baris matriks yang pertama
sama dengan banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks
bujur sangkar. Yang kedua terdiri dari dua baris dan satu kolom,
disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri dari satu
baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang
keempat adalah matrik persegi panjang dengan dua baris dan tiga
kolom.
Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga
suatu matrik akan terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen
matriks ini dapat berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapi
dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat matriks dengan
elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara
umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam
matriks. Jika b (b = 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah
nomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemen
matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama matriks adalah
huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan
sebagai notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.
⎡2
0 3⎤
⎢ ⎥ ⎡2
4 1⎤
⎡2⎤
A = ⎢
1 2 4
⎥ ; B = ⎢ ⎥ ; a = ⎢ ⎥⎦
⎢
⎣3
2 1⎥
⎣3
0 2 ⎦ ⎣4
⎦
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan
; b = [ 2 4]
3 (17.2)
211

⎡ a11
a12
L a1
n ⎤
⎢
⎥
⎢
a21
a22
L a2n
A =
⎥ = [ abk
]
(17.3)
⎢ L L L L ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
am1
am2
L amn
⎥⎦
Posisi elemen-elemen a 11 …a mn disebut diagonal utama matriks.
Banyaknya baris dan kolom merupakan ukuran matrik. Dalam contoh
(17.1), berturut-turut kita mempunyai matriks dengan ukuran 3×3, 2×1,
1×3, dan 2×3. Matriks dengan m = n disebut matriks bujur sangkar, dan
kita katakan matriks ini berordo n. Matriks A pada contoh (17.2) adalah
matriks bujur sangkar berordo 3.
Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu
matriks. Sebagai contoh, matriks
⎡2
B = ⎢
⎣3
mempunyai dua anak matriks 1× 3 , yaitu [ 2 4 1]
, [ 0 2]
tiga anak matriks 2× 1, yaitu
4
0
1⎤
⎥
2 ⎦
3 ;
⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡1 ⎤
⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ;
⎣3
⎦ ⎣0
⎦ ⎣2
⎦
enam anak matriks 1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
enam anak matriks 1×2 yaitu [ 2 4]
, [ 2 1]
, [ 4 1]
, [ 3 0]
, [ 3 2]
, [ 0 2]
;
tiga anak matriks 2×2 yaitu
⎡2
⎢
⎣3
4⎤
⎡2
1⎤
⎡4
1⎤
⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ .
0 ⎦ ⎣3
2 ⎦ ⎣0
2 ⎦
Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat
memandang matriks sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang
berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks
⎡2
⎢
A= ⎢
1
⎢
⎣3
0
2
2
3⎤
⎥
4
⎥
1⎥
⎦
⎡a1
⎤
⎢ ⎥
dapat kita pandang sebagai matriks A =
⎢
a2⎥
⎢
⎣a3⎥
⎦
212 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris 1 = [ 2 0 3]
a [ 1 2 4]
, a [ 3 2 1]
a ,
2 =
3 = . Dengan cara pandang ini matriks A mirip
bentuknya dengan vektor kolom.
Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks A = [ a a ]
1 2 a3
⎡2⎤
⎡0⎤
⎡3⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
dengan anak-anak matriks a 1 =
⎢
1
⎥ , a 2 =
⎢
2
⎥ , a 3 =
⎢
4
⎥ yang berupa
⎢
⎣3⎥
⎦
⎢
⎣2⎥
⎦
⎢
⎣1⎥
⎦
vektor-vektor kolom. Dengan cara ini matriks A terlihat seperti vektor
baris.
17.2. Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks
Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B sama jika dan hanya jika berukuran sama dan
elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan
kesamaan ini A = B.
⎡2
4⎤
⎡2
4⎤
Jika A = ⎢ ⎥ maka haruslah B = ⎢ ⎥ .
⎣3
0 ⎦ ⎣3
0 ⎦
Penjumlahan
Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang
berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua
matriks tersebut sama). Jumlah dari dua matriks A dan B yang masingmasing
berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang
elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan
B yang posisinya sama.
Jika A=
⎡2
⎢
⎣3
4⎤
⎡1
⎥ dan B= ⎢
0 ⎦ ⎣2
3⎤
⎡3
7⎤
⎥ , maka C= A + B = ⎢ ⎥
2 ⎦ ⎣5
2 ⎦
Penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
Matriks Nol.
a. A + B = B + A
b. ( A B) + C = A + ( B + C)
+ (17.4)
Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n
dengan semua elemennya bernilai nol.
213

Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang
diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1).
Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif
adalah
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
c). A + 0 = A
d). A + ( −A)
= A − A = 0
(17.5)
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah
matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a kali. Kita
menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA =
Aa.
⎡2
2 1⎤
⎡2
2 1⎤
⎡4
4 2⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2
⎢
1 3 2
⎥
=
⎢
1 3 2
⎥
2 =
⎢
2 6 4
⎥
⎢
⎣3
2 3⎥
⎦
⎢
⎣3
2 3⎥
⎦
⎢
⎣6
4 6⎥
⎦
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat
sebagai berikut.
a. a ( A + B) = aA
+ aB
b. ( a + b) A = aA
+ bA
c. a [ bA] = ( ab)A
(17.6)
Perkalian Matriks dengan Matriks
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB (dalam urutan
perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks
A sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A
berukuran m×n dan B berukuran p×q maka perkalian AB hanya dapat
dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa matriks yang
berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k
merupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari
matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B (matriks A dipandang
sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor baris dan
matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi
214 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

jika A = [ a b ] dan B = [ b k ] maka C = AB = [ cbk
] = [ ab
• bk
]
Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita
sebut menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat
bahwa menggandaawalkan A ke B tidak selalu sama dengan
menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.
• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris a = [ 2 3]
⎡4⎤
dan vektor kolom b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom a adalah 2, sama
⎣ 3⎦ dengan banyaknya baris b, maka perkalian internal c = a • b dapat
kita lakukan, yaitu
⎡4⎤
c = a • b = [ 2 3] ⎢ ⎥ = [ 2 × 4 + 3×
3] = [ 17]
.
⎣3⎦
Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan
banyaknya baris a, maka. kita dapat melakukan perkalian
⎡4⎤
d = b • a = ⎢ ⎥
⎣3⎦
⎡4
× 2
⎢
⎣3×
2
4×
3⎤
⎥
3×
3⎦
⎡8
⎢
⎣6
12
⎤
[ 2 3] =
= ⎥ ⎦
Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya perkalian ini dapat
dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks
tidak komutatif.
⎡2
1⎤
• Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan
⎣3
4 ⎦
⎡2⎤
b = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris b, maka
⎣ 3 ⎦
perkalian Ab dapat dilakukan. Matriks A kita pandang sebagai
⎡a1
⎤
A = ⎢ ⎥ , yaitu matrik dengan anak matriks berupa vektor baris
⎣a2⎦
2 1 a 3 4 . Perkalian C = Ab adalah
a [ ] dan [ ]
1 =
2 =
⎡a1
⎤ ⎡a
C = Ab = ⎢ ⎥ b = ⎢
⎣a2⎦
⎣a
1
2
• b⎤
⎡2
× 2 + 1×
3⎤
⎡ 7 ⎤
⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
• b⎦
⎣3×
2 + 4 × 3⎦
⎣18⎦
Jika urutan perkalian dibalik D = bA , perkalian tak dapat dilakukan
karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
9
215

⎡2
1⎤
• Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan A = ⎢ ⎥ dan
⎣3
4 ⎦
⎡4
2⎤
B = ⎢ ⎥ . Banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B;
⎣5
3⎦
oleh karena itu kita dapat melakukan perkalian C = AB . Matriks A
⎡a1
⎤
kita pandang sebagai A = ⎢ ⎥ , yaitu matrik dengan anak matriks
⎣a2
⎦
berupa vektor baris a 1 = [ 2 1]
dan a 2 = [ 3 4]
. Matriks B kita
pandang sebagai B = [ b 1 b 2 ], yaitu matriks dengan dua anak
matriks berupa vektor kolom
C = AB adalah
⎡a1
⎤
C = AB = ⎢ ⎥
⎣a2⎦
⎡2
× 4 + 1×
5
= ⎢
⎣3×
4 + 4 × 5
[ b b ]
1
2
⎡4⎤
⎡2⎤
b 1 = ⎢ ⎥ dan b 2 = ⎢ ⎥ . Perkalian
⎣ 5⎦ ⎣ 3⎦ ⎡a1
• b1
= ⎢
⎣a2
• b1
2 × 2 + 1×
3⎤
⎡13
⎥ = ⎢
3×
2 + 4 × 3⎦
⎣32
a1
• b2
⎤
⎥
a2
• b2⎦
7 ⎤
⎥
18⎦
⎡2
4 3⎤
• Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan A = ⎢ ⎥
⎣1
3 2 ⎦
⎡1
2⎤
⎢ ⎥
dan B =
⎢
4 3
⎥ . Banyaknya kolom A adalah 3, sama dengan
⎢
⎣2
3⎥
⎦
banyaknya baris B. Kita dapat melakukan perkalian
⎡1
2⎤
⎡2
4 3⎤
⎢ ⎥ ⎡2
× 1+
4 × 4 + 3×
2 2 × 2 + 4 × 3 + 3×
3⎤
⎡25
C = AB = ⎢ ⎥ ⎢
4 3
⎥
= ⎢
⎥ = ⎢
⎣1
3 2⎦
⎣1×
1+
3×
4 + 2 × 2 1×
2 + 3×
3 + 2 × 3
⎢ ⎥
⎦ ⎣17
⎣2
3⎦
25⎤
⎥
17⎦
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atas
adalah sebagai
⎡a1
⎤
= ⎢ ⎥
⎣a2⎦
A , B = [ ]
b 1 b 2
, sehingga
⎡a1
⎤ ⎡a1
• b1
a1
• b2
⎤
C = AB = ⎢ ⎥ [ b1
b2] = ⎢
⎥ .
⎣a2⎦
⎣a2
• b1
a2
• b2
⎦
216 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Dalam operasi perkalian matrike, matriks yang pertama kita susun
dari anak matriks yang berupa vektro baris sedangkan matriks yang
kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi
perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom.
Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
( a A) B = a( AB) = A( aB)
( BC) ( AB)C
A =
( A + B) C = AC + BC
(17.7)
( A + B) = CA CB
C +
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA
terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
Matriks-Matriks Khusus
Melihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentuk
matriks khusus.
• Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks
segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah
adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya
bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemenelemen
di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan contoh
berikut.
Matriks segitiga bawah :
T 1
⎡ 2
⎢
=
⎢
−1
⎢
⎣ 3
0
1
4
0⎤
⎥
0
⎥
3⎥
⎦
Matriks segitiga atas :
T 2
⎡2
⎢
=
⎢
0
⎢
⎣0
− 2
1
0
1⎤
⎥
3
⎥
3⎥
⎦
217

• Matriks Diagonal. Matriks diagonal adalah matriks yang elemenelemen
di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh :
⎡2
⎢
D =
⎢
0
⎢
⎣0
• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas,
adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriks
ini dilambangkan dengan I.
⎡1
⎢
I =
⎢
0
⎢
⎣0
Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembali
pada matriks asalnya.
0
1
0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎦
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
⎦
AI = IA = A
(17.8)
Putaran Matriks
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah
suatu matriks A T yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A
sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A
menjadi kolom-kolom matriks A T .
⎡ a11
a12
L a1
n ⎤
⎢
⎥
a a L a
A
⎥
bk maka
⎢ L L L L
⎢
⎥
⎢⎣
am1
am2
L amn
⎥⎦
Jika ⎢ 21 22 2n
=
⎥ = [ a ]
Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
⎡a11
a21
L am1
⎤
⎢
⎥
T ⎢
a12
a22
L am2
A =
⎥ = [ apq
]
(17.9)
⎢ L L L L ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
a1n
a2n
L amn
⎥⎦
218 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan
menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan
menjadi vektor baris.
⎡2⎤
T ⎢ ⎥
⎢ ⎥
a = [ 2 4 3]
⇒ a = 4 ; b = 4 ⇒ b
T = [ 5 4 3]
⎢ ⎥
⎢
⎣3⎥
⎦
⎡5⎤
⎢ ⎥
⎢
⎣3⎥
⎦
• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris
sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor.
Jika a = [ 2 4 3] dan b = [ 1 3 2]
maka a + b = [ 3 7 5]
⎡3⎤
⎡2⎤
⎡1⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .
⎢
⎣5⎥
⎦
⎢
⎣3⎥
⎦
⎢
⎣2⎥
⎦
T
T T
( a b) = 7 = 4 + 3 = a + b
T T
Secara umum : ( a b) = a + b
T
+ (17.10)
• Putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Putaran hasil kali
vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor
baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan
dibalik.
⎡1⎤
⎢ ⎥
Jika a = [ 2 4 3]
dan b = 3 maka ab = [ 2 × 1+
4 × 3 + 3×
2]
⎢ ⎥
⎢
⎣2⎥
⎦
⎡2⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣3⎥
⎦
T
T T
⇒ ab = [ 2 × 1+
4×
3 + 3×
2] = [ 1 3 2] 4 = b a
⎡2⎤
a
⎢ ⎥
maka
⎢
⎣3⎥
⎦
⎢ ⎥
Jika = 4 dan b = [ 1 3 2]
⎡2
× 1
⎢
ab =
⎢
4 × 1
⎢
⎣3×
1
2 × 3
4 × 3
3×
3
2 × 2⎤
⎥
4 × 2
⎥
3×
2⎥
⎦
T
⎡2
× 1
⎢
⎢
⎢
⎣2
× 2
4×
1
3×
1⎤
⎥
⎥
3×
2⎥
⎦
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣2⎥
⎦
T T
⇒ ( ab ) = 2 × 3 4 × 3 3×
3 = 3 [ 2 4 3] = b a
4×
2
219

T T
Secara umum : ( ) b a
T
ab = (17.11)
• Putaran matriks persegi panjang.
⎡2
1⎤
⎡2
4 3⎤
T ⎢ ⎥
Jika A = ⎢ ⎥ maka A =
⎣1
3 2
⎢
4 3
⎥
⎦ ⎢
⎣3
2⎥
⎦
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dsri vektor baris
⎡ a1
⎤
⎢ ⎥
T T T
A =
⎢
L
⎥ maka putarannya adalah A = [ a1
L a m ]. Di sini
⎢
⎣a m ⎥
⎦
terlihat jelas bagaimana baris-baris di A menjadi kolom-kolom di
A T . Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom
A = [ a1
a2
L a m ] maka putarannya akan berbentuk matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris.
• Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama dengan
jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada
putaran jumlah vektor baris.
T T T
( A B) = A + B
+ (17.12)
Jika A = [ a L ] dan B = [ b L ]
1
a m
1
b m
maka A + B = [ a + b L + ]
Dengan demikian
( + B)
( a + b )
1 1 a m b m .
⎡ T ⎤ ⎡ T T T T
1 1 a1
+ b ⎤ ⎡
1 a ⎤ ⎡
1 b ⎤
1
T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T T
A = ⎢ L ⎥ = ⎢ L ⎥ = ⎢L⎥
+ ⎢L
⎥ = A + B
⎢
T T T T T
( a b )
⎥ ⎢
a b
⎥ ⎢
a
⎥ ⎢
b
⎥
⎢ ⎥ ⎢
+
⎣ m + m ⎦ ⎣ m m ⎥⎦
⎢⎣
m ⎥⎦
⎢⎣
m ⎥⎦
• Putaran hasil kali matriks. Putaran hasilkali dua matriks sama
dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang
dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris
dan vektor kolom.
T T T
( ) B A
AB = (17.13)
220 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Jika
⎡ a1
⎤
⎢ ⎥
A =
⎢
L
⎥
⎢
⎣a m ⎥
⎦
dan B [ b L ]
= maka
⎡ a 1 • b 1 L a 1 • bn
⎤
⎢
⎥
AB =
⎢
L L L
⎥ . Dengan demikian maka
⎢
⎣am
• bn
L am
• bn⎥
⎦
⎡ a1
• b1
L a1
• bn
⎤ ⎡b1
⎤
T ⎢
⎥ ⎢ ⎥
AB =
⎢
L L L
⎥
=
⎢
L
⎥ 1 m =
⎢
⎣am
• bn
L am
• bn⎥
⎦
⎢
⎣bn
⎥
⎦
1
b n
T T
[ a L a ] B A
• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal
kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks
yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A
dikatakan simetris apabila A = A
T
T .
Jika B = −B
dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.
Karena dalam putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak
berubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika
elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.
17.3. Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan)
adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
Bentuk umum sistem persamaan linier ini adalah
a11x1
+ L+
a1n
xn
= b1
a21x1
+ L + a2nxn
= b2
. . . . . . . . . . .
am1x1
+ L+
amnxn
= bm
(17.14)
Sistem (17.14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak
diketahui yaitu x 1 ….x n . Bilangan a 11 …..a mn disebut koefisien dari sistem
itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b 1 ….b m juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b
bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan
homogen.
221

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai
dari x 1 , …x n yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini
homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x 1 = 0,
…., x n = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem
persamaan ini adalah sebagai berikut.
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah
himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu
solusi?
Memperhatikan sistem persamaan (17.14) kita dapat melakukan operasioperasi
yang kita sebut operasi baris sebagai berikut.
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama tanpa mempengaruhi
himpunan sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan.
Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan
tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah
mengganggu himpunan sistem persamaan.
Sistem persamaan (17.14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks
dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
⎡a11
⎢
⎢
a21
⎢ L
⎢
⎢⎣
am1
a12
a22
L
a
m2
L
L
L
L
a1n
⎤ ⎡ x1
⎤ ⎡ b1
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
a2n
⎥ ⎢
x2⎥
= ⎢
b2
⎥
L ⎥ ⎢L⎥
⎢L⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
amn
⎥⎦
⎢⎣
xn
⎥⎦
⎢⎣
bm
⎥⎦
(17.15)
atau secara singkat
dengan
Ax = b
(17.16)
⎡ a11
a12
L a1n
⎤ ⎡ x1
⎤ ⎡ b1
⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
a21
a22
L a2n
⎥ = ⎢
x2
⎥ = ⎢
b2
A =
; x ; b ⎥ (17.17)
⎢ L L L L ⎥ ⎢L⎥
⎢L⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣
am1
am2
L amn
⎥⎦
⎢⎣
xn⎥⎦
⎢⎣
bm
⎥⎦
222 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Dari (17.17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut
matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b
menjadi
⎡ a11
a12
L a1n
| b1
⎤
⎢
⎥
~
= ⎢
a21
a22
L a2n
| b2
A ⎥
(17.18)
⎢ L L L L | L⎥
⎢
⎥
⎢⎣
am1
am2
L amn
| bm
⎥⎦
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (17.14)
secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan (17.14)
kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan (17.18) menjadi sebagai
berikut.
a). Setiap elemen dari baris yang sama (17.18) dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris dari (17.18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru. Matriks
gandengan baru ini kita sebut sebagai setara baris dengan matriks
gandengan yang lama. Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks
gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru
lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan
yang lama. Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris
menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks
gandengan asalnya. Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru
menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks
gandengan asalnya.
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk
memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan
merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka
eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melalui
contoh berikut ini.
Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.
223

x A − xB
= 8
− x A + 4xB
− 2xC
= 0
(17.19)
x A − 3xB
+ 5xC
− 2xD
= 8
− x A + 4xB
− 3xC
+ 2xD
= 0
Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 3
4
0
− 2
5
− 3
0 ⎤ ⎡x
⎥ ⎢
0
⎥ ⎢
x
− 2⎥
⎢x
⎥ ⎢
2
⎦
⎣x
A
B
C
D
⎤ ⎡8⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0
= ⎥
⎥ ⎢8⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦
⎣0
⎦
dengan matriks gandeng
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 3
4
0
− 2
5
− 3
0
0
− 2
2
|
|
|
|
8⎤
⎥
0
⎥
8⎥
⎥
0
⎦
Langkah 1 : Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan menghilangkan suku pertama barisbaris
berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan
baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3
dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
− 2
3
0
− 2
5
− 3
0
0
− 2
2
|
|
|
|
8⎤
⎥
8
⎥
0⎥
⎥
8
⎦
pivot
+ baris1
− baris1
+ baris1
Langkah 2 : Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
gandeng yang baru saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua
baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-
2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan
mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah
224 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⇒
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
0
− 2
5 − 4 /3
−1
3
0
0
−1
0
− 2
11
−1
0
0
− 2
2
0
0
− 6
2
|
|
|
|
|
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
16/3⎥
⎥
0
⎦
8 ⎤
⎥
8
⎥
16⎥
⎥
0
⎦
× 3
pivot
+ 2/3 baris 2
− baris 2
Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot
dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan
dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan
kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
11
0
0
0
− 6
16
|
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
16⎥
⎥
16
⎦
pivot
× 11+
baris 3
(17.20)
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:
xA
− xB
= 8
3xB
− 2xC
= 8
11xC
− 6xD
= 16
16xD
= 16
yang dengan substitusi mundur akan memberikan:
x D = 1 ; xC
= 2 ; xB
= 4 ; xA
= 12 .
Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan
Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan
eliminasi Gauss di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang
memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika banyaknya
unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya persamaan dan
persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya
persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu
225

memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jika
banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak
diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang
tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu
dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak
memberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yang
memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi
• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihat
persamaan berikut.
x
A
− x
− x
A
− 3x
+ 4x
B
B
= 8
B
+ 2x
− 2x
C
C
= −8
= 0
Matriks gandeng dari sistem ini adalah
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢
⎣ 0
−1
4
− 3
0
− 2
2
|
|
|
8 ⎤
⎥
0
⎥
− 8⎥
⎦
(17.21)
Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti pada
contoh di atas, yang akan menghasilkan
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
− 3
0
− 2
2
|
|
|
8 ⎤ ⎡1
⎥ ⎢
8
⎥ ⇒ ⎢
0
− 8⎥
⎦
⎢
⎣0
−1
3
0
0
− 2
0
|
|
|
8⎤
⎥
8
⎥
0⎥
⎦
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
x
A
3x
− x
B
0 = 0
B
− 2x
= 8
C
= 8
(17.22)
(17.23)
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan x b = ( 8 + 2xc
)/ 3 yang
kemudian memberikan x a = 8 + (8 + 2xc
) / 3 . Karena x c tetap
sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan
memperoleh nilai x a dan x b jika kita menentukan nilai x c lebih dulu.
• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem
persamaan berikut.
226 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

x
A
− x
− x
A
− 3x
+ 4x
B
B
= 8
B
+ 2x
− 2x
C
C
= −10
= 0
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
(17.24)
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢
⎣ 0
−1
4
− 3
0
− 2
2
|
|
|
8 ⎤
⎥
0
⎥
−10⎥
⎦
⇒
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
− 3
0
− 2
2
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
−10⎥
⎦
⇒
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
− 2
0
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
− 2⎥
⎦
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
x
A
3x
− x
B
B
− 2x
0 = −2
= 8
C
= 8
(17.25)
(17.26)
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya
menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir (17.26).. Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan
yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matriks
pada (17.20), (17.22) dan (17.25) disebut bentuk eselon. Dari (17.25)
misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya
adalah
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0 ⎤
⎥
− 2
⎥
0 ⎥
⎦
dan
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
− 2
0
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
− 2⎥
⎦
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
227

⎡a11
⎢
⎢
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a12
c22
L
L
L
L
krr
L
L
L
a1n
c2n
M
krn
0
M
0
|
|
|
|
|
|
|
b1
⎤
⎥
b2′
⎥
⎥
⎥
br′
⎥
b′
⎥
r+
1⎥
⎥
b
⎥
m ⎦
(17.27)
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan
berbentuk
a x + a
11 1
c
12
22
x + LLLL + a
2
x + LLLL + a
2
k
rr
x + L+
k
r
1n
n
2n
n
M
x
x
x
= b
= b′
= b′
rn n r
0 = br′
+ 1
M
0 = b′
dengan a ≠ , a ≠ 0 , k 0 , dan r ≤ n. Perhatikan (17.28) ini.
11 0 22 rr ≠
1
m
2
(17.28)
a). Jika r = n dan b r′ + 1,
K,
bm′
sama dengan nol atau tidak ada, maka
sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika r < n dan b r′ + 1,
K,
bm′
sama dengan nol atau tidak ada, maka
sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika r = n ataupun r < n dan b r′ + 1,
K,
bm′
tidak sama dengan nol
atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak
memberikan solusi.
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika
b r′ + 1,
K,
b m ′ sama dengan nol atau tidak ada. Pada suatu sistem persamaan
yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n ; jika
r < n akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks
gandengan pada (17.27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang
bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier
vektor-vektor kita bahas berikut ini.
228 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor
Misalkan a 1 , a2
, L am
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A
=[a bk ]. Kita tinjau suatu persamaan vektor
c1 a1
+ c2a2
+ L + c m am
= 0
(17.29)
Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c 1 …
c m ) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang
tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien
yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier,
maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan (17.29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektorvektor
tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (17.29)
(atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain;
misalnya vektor a 1 dapat dinyatakan sebagai
c2
c
a1 = − a2
−L −
m
am
= 0
(17.30)
c1
c1
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Kita ambil contoh dua vektor baris
a [ 2 3 1 2]
dan a [ 4 2 6 2]
1 =
Vektor a 1 dan a 2 adalah bebas linier karena
2 =
[ 3 1 2] + [ 4 2 6 2] 0
c1 a 1 + c2a2
= c1
2 c2
=
hanya akan terjadi jika c = c 0
Ambil vektor ketiga a [ 4 6 2 4]
1 2 =
3 =
. Vektor a 3 dan a 1 tidak bebas
linier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagai
a 3 = 2a
1 = 2[ 2 3 1 2] = [ 4 6 2 4]
. Vektor a 1 , a 2 dan a 3 juga tidak
bebas linier karena kita dapat menyatakan a 3 sebagai
[ 2 3 1 2] + 0 [ 4 2 6 2] [ 4 6 2 4]
a 3 = 2a1
+ 0a2
= 2
=
Akan tetapi jika kita hanya melihat a 3 dan a 2 saja, mereka adalah bebas
linier.
229

Kita lihat vektor lain yaitu a [ 6 7 5 5]
4 =
. Vektor a 4 , a 1 dan a 2 tidak
bebas linier karena kita dapat menyatakan a 4 sebagai
[ 2 3 1 2] + 0.5 [ 4 2 6 2] [ 6 7 5 5]
a 4 = 2a1
+ 0.5a
2 = 2
=
Rank matriks. Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier,
didefinisikan rank matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier
dalam suatu matriks A = [a bk ] disebut rank matriks A disingkat rank A.
Rank matriks B = 0 adalah nol.
Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwa
operasi baris menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks
asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank
matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah
rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi
baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah
terakhir eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi
Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor
yang tak bebas linier telah tereliminasi. Kita ambil contoh matriks pada
(17.20), (17.22) dan (17.25).
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
(17.20), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan solusi
tunggal, adalah
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
11
0
0 ⎤
⎥
0
⎥
− 6⎥
⎥
16
⎦
dan
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
11
0
0
0
− 6
16
|
|
|
|
8 ⎤
⎥
8
⎥
16⎥
⎥
16
⎦
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks
gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
(17.22), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan banyak
solusi, adalah
230 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0 ⎤
⎥
− 2
⎥
0 ⎥
⎦
dan
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
− 2
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks
gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari
banyaknya unsur yang tak diketahui.
• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
(17.25), yaitu dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi,
adalah
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0 ⎤
⎥
− 2
⎥
0 ⎥
⎦
dan
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
0
|
|
|
|
|
|
8⎤
⎥
8
⎥
0⎥
⎦
8 ⎤
⎥
8
⎥
− 2⎥
⎦
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank
matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank
matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua
matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
Kita melihat bahwa
(a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank
matriks koefisien harus sama dengan rank matriks
gandengannya;
(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank
matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak
diketahui;
(c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur
yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari
sistem seperti (17.14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu
disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
231

a11x1
+ a12
x2
+ L + a1n
xn
= 0
a21x1
+ a22x2
+ L + a2nxn
= 0
. . . . . . . . . . .
am1x1
+ am2x2
+ L+
amnxn
= 0
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
(17.31)
⎡ a11
a12
L a1n
| 0 ⎤
⎢
⎥
~
= ⎢
a21
a22
L a2n
| 0
A ⎥
(17.32)
⎢ L L L L | L⎥
⎢
⎥
⎢⎣
am1
am2
L amn
| 0 ⎥⎦
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
⎡a11
′ a12
′ L a1′
n | 0 ⎤
⎢
⎥
~ ⎢
0 a′
22 L a′
2n
| 0
A ′ =
⎥
(17.33)
⎢L
L L L | L⎥
⎢
⎥
⎢⎣
0 0 0 amn
′ | 0 ⎥⎦
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur
yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk
a11
′ x1
+ a12
′ x2
+ L+
a1′
nxn
= 0
a22
′ x2
+ L+
a′
2nxn
= 0
M
amn
′ xn
= 0
(17.34)
Dari (17.34) terlihat bahwa xn
= 0 dan substitusi mundur akhirnya
memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi
trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial
hanya akan diperoleh jika r < n . Kita akan melihat beberapa contoh.
• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial
xA
− xB
= 0
− xA
+ 4xB
− 2xC
= 0
xA
− 3xB
+ 5xC
− 2xD
= 0
− xA
+ 4xB
− 3xC
+ 2xD
= 0
(17.35)
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
232 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 3
4
0
− 2
5
− 3
0
0
− 2
2
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
eliminasi Gauss
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
11
0
0
0
− 6
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui
juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
xA
− xB
= 0
3xB
− 2xC
= 0
11xC
− 6xD
= 0
16xD
= 0
⇒ yang akhirnya memberikan
16
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
x D = xC
= xB
= xA
= 0
(17.36)
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan
r = n .
• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial
xA
− xB
= 0
− xA
+ 4xB
− 2xC
= 0
xA
− 3xB
+ 5xC
− 2xD
= 0
− xA
+ 4xB
−13xC
+ 6xD
= 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
(17.37)
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 3
4
0
− 2
5
−13
0
0
− 2
6
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
eliminasi Gauss
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 2
11
0
0
0
− 6
0
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
dan sistem persamaan menjadi
x − x = 0
A
3x
B
11x
0 = 0
− 2x
C
B
C
− 6x
D
= 0
= 0
(17.38)
233

Jika kita mengambil nilai x = 1 maka akan diperoleh
6 12 12
x C = ; xB
= ; xA
= . Solusi ini membentuk vektor solusi
11 33 33
⎡12
/ 33⎤
⎢ ⎥
⎢
12/33
x ⎥
1 = yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya
⎢ 6/11 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1
⎦
akan menghasilkan vektor nol b = 0.
D
⎡1
−1
0 0 ⎤ ⎡12/33⎤
⎡0⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
0 3 − 2 0
⎥ ⎢
12/33
⎥ = ⎢
0
Ax ⎥
1 =
(17.39)
⎢0
0 11 − 6⎥
⎢ 6/11 ⎥ ⎢0⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
0 0 0
⎦
⎣ 1
⎦
⎣0
⎦
Jika kita menetapkan nilai x D yang lain, misalnya x = 33 akan
⎡12⎤
⎢ ⎥
12
diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu x 2 = ⎢ ⎥ = 33x1
, yang jika
⎢18⎥
⎢ ⎥
⎣33
⎦
digandaawalkan dengan matriks koefisiennya juga menghasilkan
vektor nol.. Vektor solusi x 2 ini merupakan perkalian solusi
sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang
sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi
berbentuk
xc = cx 1
(17.40)
dengan c adalah skalar sembarang.
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan
menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x 1 dan x 2 .
⎡12/33⎤
⎡12⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
12/33 12
x 3 = x1
+ x2
= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = x1
+ 33x1
= 34x1
(17.41)
⎢ 6/11 ⎥ ⎢18⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 1
⎦
⎣33
⎦
Jelas bahwa x 3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan
akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi
D
234 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita
nyatakan sebagai
x ∑x
(17.42)
j = c
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan
homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh
melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar (17.40) dan
penjumlahan vektor-vektor solusi (17.42). Kita katakan bahwa solusi
dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang
vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa
setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x 1
walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana terlihat
pada (17.41).
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh
vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara banyaknya
unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam
kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak
diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita
akan melihat kasus yang lain.
• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat
sistem berikut.
xA
− xB
= 0
− xA
+ 4xB
− 5xC
+ 2xD
= 0
xA
− 4xB
+ 5xC
− 2xD
= 0
− xA
+ 7xB
−10xC
+ 4xD
= 0
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
(17.43)
⎡ 1
⎢
⎢
−1
⎢ 1
⎢
⎣−1
−1
4
− 4
7
0
− 5
5
−10
0
2
− 2
4
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
eliminasi Gauss
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎣0
−1
0
− 5
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui
4. Sistem persamaan menjadi
3
0
0
0
0
0
2
0
0
|
|
|
|
0⎤
⎥
0
⎥
0⎥
⎥
0
⎦
235

x
A
3x
− x
B
0 = 0
0 = 0
B
− 5x
= 0
C
+ 2x
D
= 0
(17.44)
Jika kita memberi nilai x C = 1 dan xD
= 0 , kita akan mendapatkan
x 5 /3 ; x = 5/3 .
B = A
⎡5/3⎤
⎢ ⎥
Vektor ⎢
5/3
x ⎥
1 = adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan
⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0
⎦
matriks koe fisien dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor b = 0
Ax 1
⎡1
⎢
⎢
0
=
⎢0
⎢
⎣0
−1
3
0
0
0
− 5
0
0
0⎤
⎡5/3⎤
⎡ 5/3 − 5/3 ⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2
⎥ ⎢
5/3
⎥ ⎢
0 + 5 − 5 + 0
=
⎥ = ⎢
0
⎥
0⎥
⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0
⎦
⎣ 0
⎦
⎣ 0
⎦
⎣0
⎦
Jika Ax 1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan
A k 1x1
= 0 , A k 2x1
= 0 , dan Ak 1 x1
+ Ak2x1
= A( k1
+ k2)
x1
= Ac1x
1 = 0 .
Dengan kata lain, jika x 1 adalah vektor solusi, maka
k 1x1
, k2x1
, ( k1x1
+ k2x1)
adalah juga vektor-vektor solusi dan
sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi
nilai x 1 dan x = 0 .
C = D
Jika x 0 dan x = 1 akan kita peroleh x = −2/ 3 dan x = −2/ 3
C = D
⎡ −2 /3⎤
⎢ ⎥
yang membentuk vektor solusi ⎢
− 2 /3
x ⎥
2 = . Dengan skalar l
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1
⎦
sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain
seperti l x l x , ( l x + l ) .
1 2 , 2 2 1 2 2x2
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
x = k x 1 + lx 2
(17.45)
B
A
236 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor
berdimensi 2.
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa
solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui
dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi
(n − r).
Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya
dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian
ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks
yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks
identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A −1 sehingga definisi
ini memberikan relasi
−1 −1
A = I = AA
A (17.45)
Jika A berukuran n × n maka A −1 juga berukuran n × n dan demikian pula
matriks identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki
kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak
singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A;
dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal
ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya
P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya
mungkin terjadi jika P = Q.
P = IP = ( AQ)
P = QAP = Q(
AP)
= QI = Q
(17.46)
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan
matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu
Ax = b
(17.47)
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan
(17.47), akan kita peroleh
A
−1 −1
−1
Ax = A b → Ix = x = A b
(17.48)
237

Persamaan (17.48) menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor
solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A
ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah
bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan
bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks
koefisien A pada (17.47) adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi
tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti
bahwa vektor x pada (17.48) dapat kita peroleh jika rank A −1 sama
dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n × n tak singular jika
rank A sama dengan n dan akan singular jika rank A
lebih kecil dari n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi
Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (17.47). Jika X adalah
kebalikan matriks A maka
AX = I
~
dan kita
lakukan eliminasi Gauss pada A ~ sehingga matriks gandengan ini
U H dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan A = [ A I]
berubah menjadi [ ]
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada [ U H]
dengan
mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk
matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan [ I X]
.
Perhatikan contoh berikut.
Kita akan mencari kebalikan dari matriks
⎡ 1
⎢
A =
⎢
3
⎢
⎣−
2
Kita bentuk matriks gandengan [ A I]
2
− 2
4
2⎤
⎥
2
⎥
1⎥
⎦
[ A I]
⎡ 1
⎢
=
⎢
3
⎢
⎣−
2
2
− 2
4
2
2
1
|
|
|
1
0
0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
⎦
238 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
⎡1
2 2 | 1 0 0⎤
pivot
⎢
⎥
⎢
0 − 8 − 4 | − 3 1 0
⎥
− 3×
baris1 ⇒
⎢
⎣0
8 5 | 2 0 1⎥
⎦ + 2 × baris1
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
2 2
− 8 − 4
| 1
| − 3
0 1 | −1
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
0 0⎤
⎥
1 0
⎥
pivot
1 1⎥
⎦ + baris 2
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
2
1
0
2
1/ 2
1
|
|
|
1
3/8
−1
0 0⎤
⎥
− 1/8 0
⎥
× ( −1/8)
⇒
1 1⎥
⎦
⎡1
⎢
⎢
0
⎢
⎣0
2
1
0
0
0
1
|
|
|
3
7 /8
−1
− 2
− 5/8
1
− 2 ⎤
⎥
−1/
2
⎥
1 ⎥
⎦
− 2 × baris 3
− 0.5×
baris3
⎡1 0 0 | 10/8 − 6/8 −1
⎤ − 2 × baris 2
⎢
⎥
⎢
0 1 0 | 7 /8 − 5/8 −1/
2
⎥
⎢
⎣0
0 1 | −1
1 1 ⎥
⎦
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu :
⎡10/8
−1
⎢
A =
⎢
7 /8
⎢
⎣ −1
− 6/8
− 5/8
1
−1
⎤
⎥
−1/
2
⎥
1 ⎥
⎦
Hasil ini dapat kita teliti balik dengan menggandaawalkannya dengan
matriks A
⎡10/8
− ⎢
A
1 A =
⎢
7 /8
⎢
⎣ −1
− 6/8
− 5/8
1
⎡10/8
−18/8
+ 2
⎢
=
⎢
7 /8 −15/8
+ 1
⎢
⎣ −1+
3 − 2
−1
⎤ ⎡ 1 2 2⎤
⎥ ⎢ ⎥
−1/
2
⎥ ⎢
3 − 2 2
⎥
1 ⎥
⎦
⎢
⎣−
2 4 1⎥
⎦
20/8 + 12/8 − 4
14/8 + 10/8 − 2
− 2 − 2 + 4
20/8 −12/8
−1
⎤ ⎡1
⎥ ⎢
14/8 −10/8
−1/
2
⎥
=
⎢
0
− 2 + 2 + 1 ⎥
⎦
⎢
⎣0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
⎦
239

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang
persamaan matriksnya
⎡ 1
⎢
⎢
3
⎢
⎣−
2
2
− 2
4
2⎤
⎡ x1
⎤ ⎡8⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2
⎥ ⎢
x2⎥
=
⎢
0
⎥
1⎥
⎦
⎢
⎣x3
⎥
⎦
⎢
⎣0⎥
⎦
vektor solusinya adalah
⎡ x1
⎤ ⎡ 1
⎢ ⎥ ⎢
⎢
x2⎥
=
⎢
3
⎢
⎣x3
⎥
⎦
⎢
⎣−
2
2
− 2
4
−1
2⎤
⎡8⎤
⎡10/8
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
2
⎥ ⎢
0
⎥
=
⎢
7 /8
1⎥
⎦
⎢
⎣0⎥
⎦
⎢
⎣ −1
− 6 /8
− 5/8
1
−1
⎤ ⎡8⎤
⎡10
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1/
2
⎥ ⎢
0
⎥
=
⎢
7
⎥
1 ⎥
⎦
⎢
⎣0⎥
⎦
⎢
⎣−
8⎥
⎦
Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat dengan
mudah kita peroleh.
⎡a11
⎢
⎢
0
⎢
⎣ 0
−1
0 0 ⎤ ⎡1/
a11
0 0 ⎤
⎥ ⎢
⎥
L 0
⎥
=
⎢
0 L 0
⎥
(17.49)
0 ann ⎥
⎦
⎢
⎣ 0 0 1/ a nn ⎥
⎦
Kebalikan dari kebalikan matriks. Kebalikan dari kebalikan matriks
adalah matriks itu sendiri.
−1
( A ) − 1
= A
(17.50)
Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriks
adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan
dibalik.
AB
− 1 = B
−1
A
−
(17.51)
( )
1
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
−1
A I = A
A
B
−1
( )
−1
−1
= B AB
− 1 − 1 − 1
A
= B
( AB)( ) −1
I = AB
−1
−1
−1
( AB)( AB) = ( A A) B( AB) = IB( AB)
−
( ) 1 −
( ) 1 −
= I AB = ( AB) 1
B AB
−1
240 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 18 Bilangan dan Peubah Kompleks
Jika kita menggambarkan kurva fungsi
y =
x
dengan x adalah peubah bebas yang merupakan bilangan-bilangan nyata
seperti yang kita temui dalam bab-bab sebelumnya, maka penggambaran
kurva hanya dapat kita lakukan untuk nilai x > 0.
2
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4
Maka dibuat pengertian bilangan khayal dengan operator
j = −1 sehingga jika dari bilangan nyata 1 kita peroleh
bilangan khayal j1, dari bilangan nyata 2 kita dapatkan
bilangan khayal j2 dan seterusnya.
Dalam penggambaran grafis, bilangan nyata digambarkan di
sumbu mendatar yang selanjutnya disebut sumbu-nyata
(real-axis) diberi tanda Re, sedangkan bilangan khayal atau
bilangan imajiner digambarkan pada sumbu yang tegak
lurus pada sumbu-nyata yang diberi tanda Im. Bidang yang
dibatasi oleh kedua sumbu ini kita sebut bidang kompleks.
18.1. Definisi Bilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks s didefinisikan sebagai
s = σ + jω
(18.1)
dengan σ dan ω keduanya adalah bilangan nyata (σ ∈ R dan ω ∈ R).
241

Representasi bilangan kompleks seperti di atas disebut representasi sudut
siku ; σ adalah bagian riil dari s dan ditulis Re(s) = σ, ω adalah bagian
imajiner dari s dituliskan Im(s) = ω.
18.2. Representasi Grafis
Suatu bilangan kompleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurut
dari dua bilangan riil.
s = σ + jω
⇔ (σ,ω) (18.2)
Dengan demikian kita dapat menggambarkan bilangan kompleks di
bidang kompleks seperti pada Gb.18.1.a. Bidang dengan sumbu
koordinat Re (sumbu riil) dan Im (sumbu imajiner) ini disebut bidang
kompleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan kompleks akan
terletak di bidang kompleks ini.
Pasangan berurut (σ,ω) dapat pula diasosiasikan dengan sebuah vektor
seperti terlihat pada Gb.18.1.b.; dengan kata lain vektor tersebut
merepresentasikan bilangan kompleks. Dengan representasi vektor ini
kita dapat menyatakan bilangan kompleks sebagai
s = σ + jω = A(cos
θ + j sin θ)
(18.3)
dengan A adalah panjang vektor dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh
arah vektor dengan sumbu nyata. Bentuk pernyataan bilangan kompleks
seperti (18.3) ini disebut bentuk sudut siku. Selain bentuk susut siku kita
mengenal juga pernyataan dalam bentuk polar.
Im
jω • s(σ,ω)
jω
ρ
A
θ
σ
Re
σ
Re
a) Pasangan berurut bilangan (σ,ω) b). Representasi bilangan
pada bidang kompleks
kompleks secara vektor
Gb.18.1.. Representasi grafis bilangan kompleks.
Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometri
sederhana. Jika panjang vektor pada Gb.18.1.b. adalah A, dan θ adalah
sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut dengan sumbu Re maka
Im

σ = Acos
θ dan ω = Asin
θ
2 2
A = σ + ω dan θ = tan
Melalui persamaan atau identitas Euler, yaitu
−1
⎛ ω ⎞
⎜ ⎟
⎝ σ ⎠
(18.4)
θ
e j = cos θ + j sin θ
(18.5)
representasi polar dari bilangan kompleks menjadi
jθ
s = Ae
(18.7)
2 2
Nilai absolut (magnitude) s adalah A, ditulis | s | = A = σ + ω . Sudut
−
θ disebut sudut fasa, ditulis ∠s
= θ = tan 1 ( ω/
σ)
. Pernyataan dalam
bentuk sudut siku dapat diubah ke dalam bentuk polar; sebaliknya
pernyataan dalam bentuk polar dapat pula diubah ke dalam bentuk sudut
siku.
18.3. Operasi-Operasi Aljabar
Penjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleks
adalah sebagai berikut:
s1
+ s2
= ( σ1
+ jω1)
+ ( σ2
+ jω2)
= ( σ1
+ σ2)
+ j(
ω1
+ ω2)
s1
− s2
= ( σ1
+ jω1)
− ( σ2
+ jω2)
= ( σ1
− σ2)
+ j(
ω1
− ω2)
Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut.
( s1)(
s2)
= ( σ1
+ jω1)(
σ2
+ jω2)
= ( σ1σ
2 − ω1ω
2)
+ j(
ω1σ
2 + σ1ω2
)
Pembagian. Pembagian satu bilangan kompleks oleh bilangan kompleks
yang lain adalah sebagai berikut.
s
s
σ
+ jω
σ
− jω
σ σ
+ ω ω
+ j ω σ
− σ ω
1 1 1 2 2 ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 2 )
= × =
2 2
2 σ2
+ jω2
σ2
− jω2
σ2
+ ω2
243

CONTOH: Jika s 1 = 2 + j3
dan s2
= 3 + j4
maka
s
s
1
1
( s
+ s
− s
1
)( s
2
2
2
= (2 + j3)
+ (3 + j4)
= 5 + j7
= (2 + j3)
− (3 + j4)
= −1
− j1
) = (2 + j3)(3
+ j4)
= (6 −12)
+ j(8
+ 9) = −6
+
j17
s
s
1
2
2 + j3
3 −
= ×
3 + j4
3 −
j4
(6 + 12) + j(
−8
+ 9)
=
=
j4
2 2
3 + 4
18
25
+
j
1
25
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = 10 e j0,5 .
Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya ∠s =
0,5 rad.
Bentuk sudut sikunya adalah:
s = 10 (cos0,5 + j sin 0,5) = 10 (0,88 + j0,48)
= 8,8 + j4,8
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = 3+ j4.
2 2
Nilai absolut s adalah | s | = ρ = 3 + 4 = 5
− 4
Sudut fasanya adalah ∠s = θ = tan 1 = 0,93 rad .
3
Representasi polar adalah: s = 5e j0,93
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks s = −1.
Representasi polar adalah : s = −1 = e jπ = e −jπ
− ⎛ 0 ⎞
Pemahaman : tan 1 ⎜ ⎟ tidak bernilai tunggal. Kita harus
⎝ −1
⎠
berhati-hati menentukan sudut fasanya. Di sini kita harus memilih π
rad.
CONTOH: Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah
operasi perkalian dan pembagian.
( s )( s
1
2
) = ρ e
1
jθ
1
ρ
2
e
jθ
2
= ρ ρ e
1
2
j(
θ +θ )
1
2
244 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

s
jθ1
1 ρ1e
ρ1
j(
θ1−θ2
)
= = e
jθ2
2 ρ ρ
2e
2
s
Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh
dengan mengganti j dengan −j .
Im
s = σ + jω
Re
s*= σ − jω
Gb.17.2. Konjugat bilangan kompleks.
Perhatikan Gb.18.2. Jika s = σ + jω
maka konjugatnya adalah
s = σ − jω
.
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah
sebagai berikut.
2
( s )( s*)
= | s | atau |s| = s s * ;
[ s + s ]
1
∗ ∗ ∗
2 = s1
+ s2
∗ ∗ ∗
[ s s ] = ( s )( s )
1 2 1
∗
⎡ ⎤ ∗
s1
s
⎢ ⎥ = 1
∗
⎣ s2
⎦ s2
2
18.4. Fungsi Kompleks
Fungsi kompleks X(s) merupakan suatu fungsi yang memetakan suatu set
peubah bebas kompleks ke dalam satu set peubah tak bebas kompleks.
Peubah bebas kompleks adalah peubah bebas yang berupa bilangan
kompleks; dan peubah tak bebas kompleks adalah peubah tak bebas yang
juga berupa bilangan kompleks.
245

Zero. Kita lihat fungsi kompleks
X ( s)
= 2s
− 4
Untuk beberapa nilai s kita dapat nilai X(s) pada tabel dan gambar
berikut:
s
X(s)
s 1 1+ j1
X 1 − 2 + j2
s 2 2 + j2
X 2 0 + j4
s 3 2 + j0
X 3 0 + j0
X
4 2
3
X 1
s
2
2
s
1
1
X 3
s 3
0
-2 -1 0 1 2
Setiap nilai s memberikan X(s). Ada satu nilai s yang khusus yaitu yang
memberikan nilai X ( s)
= 0 + j0
; s ini kita sebut zero yang artinya
membuat fungsi kompleks menjadi bernilai nol.
Suatu fungsi kompleks X(s) dikatakan mempunyai zero di s = z 1 jika
Pole. Kita lihat sekarang fungsi
lim X ( s)
= 0
s→z
1
1
X ( s)
=
2 s − 4
Kita dapat membuat tabel dan gambar seperti pada pembahasan
mengenai zero, akan tetapi tidak kita lakukan. Kita lebih tertarik pada
peubah s yang khusus, yaitu yang membuat fungsi kompleks menjadi
bernilai tak hingga; s ini kita sebut pole. pada fungsi kompleks yang
diambil contoh ini zero ada di
2s − 4 = 0 ⇒ s = 2 + j0
246 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Suatu fungsi kompleks X(s) dikatakan mempunyai pole di s = p 1 jika
lim
s→
p
1
X ( s)
= ∞
s − b
CONTOH: Tinjau suatu fungsi kompleks X ( s)
= , a ≠ b
s − a
Fungsi ini mempunyai pole di s = a dan zero di s = b
18.5. Fungsi Rasional Kompleks
Fungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasio
dua polinomial kompleks dengan koefisien-koefisien nyata.
b s
X ( s)
=
a s
m m−1
m + bm−1s
+ L+
b0
=
n n−1
n + an−1s
+ L + a0
B(
s)
A(
s)
Kita definisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Polinomial B(s)
disebut numerator (kita mengguanakan istilah pembilang), sedangkan
A(s) disebut denominator (kita menggunakan istilah penyebut). Dalam
penulisan fungsi rasional biasanya diambil a n = 1 (dengan mengeluarkan
a n dari suku-suku penyebut).
Fungsi rasional X(s) dikatakan proper (kita menggunakan istilah patut)
jika m ≤ n ; dikatakan not proper (kurang patut) jika m > n. Fungsi
rasional dengan m > n sering juga disebut fungsi non-kausal.
Jika X(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien nyata, kita dapat
menyatakan B(s) dan A(s) dalam faktor-faktor yang linier.
K(
s − z1)(
s − z2
) L(
s − zm
)
X ( s)
=
( s − p )( s − p ) L(
s − p )
1
2
n
(18.11)
Jika koefisien X(s) nyata maka akar-akar kompleks dari B(s) dan A(s)
akan berupa pasangan konjugat. Bentuk pernyataan fungsi rasional
seperti (18.11) ini memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. Pada
umumnya kita menghadapi fungsi yang proper, sehingga jumlah zero
lebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian sering kita
menganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n − m) zero di tak
hingga.
247

CONTOH : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional
( s + 1)( s + 2)
X ( s)
=
( s + 2)( s + 4)
Fungsi ini dapat ditulis sebagai
( 1)
1 ( s +
X s)
= .
( s + 4)
X 1 (s) merupakan bentuk tereduksi dari X(s). Numerator dan
denominator dari fungsi X(s) mempunyai faktor yang sama yaitu (s +
2) dan faktor yang sama ini dapat dieliminir.
Numerator dan denominator dari fungsi tereduksi X 1 (s) mempunyai
pula faktor sama, yaitu 1. Jadi faktor yang sama antara polinom B 1 (s)
dan A 1 (s) pada X 1 (s) adalah 1; rasio dua polinom yang demikian ini
disebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja pada
bentuk yang sudah tereduksi; kita bekerja pada numerator dan
denominator yang coprime.
18.6. Diagram Pole-Zero
Fungsi rasional dapat direpresentasikan secara grafis, yaitu dengan hanya
menggambarkan pole dan zero yang dimilikinya. Pole diberi tanda “×”
sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero.
CONTOH: Tinjau fungsi
5( s −1)
X ( s)
= .
( s + 1)( s + 2 + j1)(
s + 2 − j1)
×
−2
×
Im
1
×
−1 −1 1
Re
Zero ada di s = 1 ;
Pole ada di s = −1, (−2−j1), (−2+j1).
248 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

18.7. Aplikasi Bilangan Kompleks untuk Menyatakan Fungsi Sinus
Kita telah melihat di sub-bab 18.2. bahwa melalui persamaan atau
identitas Euler, representasi polar dari bilangan kompleks adalah
s = Ae
jθ
= Acos θ + jAsin θ
(18.12)
Dari relasi (18.2) ini kita dapat menyatakan bahwa A cos θ adalah bagian
jθ
nyata dari bilangan kompleks Ae yang kita tuliskan
jθ
A cos θ = Re Ae
(18.13)
Jika relasi (18.13) ini kita tetapkan sebagai relasi untuk menyatakan fungsi
sinus (yang dalam hal ini dinyatakan sebagai cosinus) maka penulisan Re di
ruas kanan (18.13) tidak perlu dituliskan lagi sehingga
jθ
Acos θ = Ae
(18.14)
Relasi (18.14) inilah pernyataan besaran sinusoidal menggunakan bilangan
kompleks: A di ruas kiri adalah amplitudo besaran sinusoidal, dan A di ruas
kanan adalah panjang vektor pernyataan bilangan komplek secara vektor.
Karena dalam pernyataan bilangan kompleks secara vektor θ adalah sudut
antara arah vektor dengan sumbu nyata, maka kita dapat menyatakan
bilangan kompleks dengan menyatakan panjang vektor dan sudutnya
sehingga (18.14) menjadi
θ
Ae j = A∠θ
(18.15)
Acos θ = A∠θ
(18.16)
Dalam besaran-besaran berbentuk sinusoidal dengan amlitudo A, misalnya
tegangan sinusoidal, θ merupakan fungsi waktu yang dapat kita tulis
θ = ωt + ψ ; ω adalah frekuensi sudut dalam radian/detik, dan ψ adalah
sudut fasa yaitu pergeseran sudut yang sudah terjadi pada t = 0 . Dari
(18.16) kita dapat menyatakan
A cos( ωt
+ ψ)
= A∠(
ωt
+ ψ)
= A∠ψ
(18.17)
t = 0
Inilah pernyataan besaran sinusoidal dalam fasor. Dalam menyatakan
besaran sinusoidal ke dalam bentuk fasor, kita mengambil bentuk seperti
ruas paling kanan (18.17) tanpa menyebut lagi t = 0, karena hanya
amplitudo dan sudut fasa sajalah yang membedakan satu besaran sinusoidal
249

dengan besaran sinusoidal yang lain, dan perbedaan itu kita amati pada t =
0.
Hubungan antara cosinus dan sinus suatu sudut adalah
sin ωt
= cos( ωt
− π / 2) . Oleh karena itu bentuk fasor dari
A sin( ωt
+ ψ)
adalah A∠(
ψ − π / 2)
(18.18)
Dalam analisis rangkaian listrik, penulisan dalam bentuk fasor dilakukan
seperti contoh berikut:
v = V cos( ωt
+ α)
i = I cos( ωt
+ β)
menjadi
menjadi
V = V∠α
I = I∠β
Operasi perkalian fasor menjadi lebih mudah dilakukan
jα1
jα
2
V1
= V1∠α
1 = V1e
; V2
= V2∠α2
= V2e
j(
α1
+α
2
)
⇒ V1
× V2
= V1V
2e
= V1V
2∠(
α1
+ α2)
∗
V1
= V1∠α
1 , I1
= I1∠β1
⇒ I1
= I1∠ − β1
∗
⇒ V1
× I1
= V1I1∠ ( α1
− β1)
Penjumlahan dan pengurangan akan lebih mudah jika fasor-fasor
dinyatakan dalam bentuk sudut siku
V
V
1 = V1∠α
1 = V1
(cosα1
+ jsin
α1)
2 = V2∠α2
= V2
(cosα2
+ jsin
α2)
V1
+ V2
= 1 1 2 2
⇒
( V cosα
+ V cosα
) + j( V sin α + V sin α )
Selanjutnya lihat ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” pada bab Fasor dan
Impedansi.
1
1
2
2
250 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bab 19 Transformasi Laplace
Transformasi Laplace, didefinisikan sebagai suatu integral
∫ ∞ −st
F ( s)
= f ( t)
e dt
(19.1)
0
dengan s merupakan peubah kompleks, s = σ + jω. Batas bawah integrasi
ini adalah nol yang berarti bahwa dalam kita hanya meninjau besaran
dengan nilai lebih besar dari nol. Untuk itu kita menggunakan fungsi
anak tangga satuan u(t) untuk menyatakan f(t).
19.1. Transformasi Laplace
Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula
dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s
adalah peubah kompleks.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) yang didefinisikan sebagai
∫ ∞ −st
F ( s)
= f ( t)
e dt kita tuliskan dengan notasi :
0
∫ ∞ −st
L [ f ( t)]
= F(
s)
= f ( t)
e dt
(19.2)
0
Fungsi Tetapan. Kita lihat lebih dulu fungsi tetapan f ( t)
= Au(
t)
sehingga
∞
∞
∞
−(
σ+ jω)
t
−st
−st
Ae
L [ Au(t) ] =
∫
Au(
t)
e dt =
∫
Ae dt = −
0
0
σ + jω
0
Batas atas, dengan σ > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah
memberikan nilai A/s.
Jadi
A
L [ Au ( t)]
=
(19.3)
s
Fungsi Eksponensial. Transformasi Laplace fungsi eksponensial
−at
beramplitudo A, yaitu f ( t)
= Ae u(
t)
adalah
L
[ Ae
−at
u(
t)]
∞
−at
−st
∞
=
∫
A e e u(
t)
dt =
0 ∫0
Ae
−(
s+
a)
t
∞
−(
s+
a)
t
Ae
= −
s + a
0
251

Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawah
memberikan A/(s+a).
Jadi
− A
L [ Ae at u(
t)]
=
(19.4)
s + a
Fungsi Sinus. Transformasi Laplace fungsi sinus
f(t) = (A cos ωt) u(t) adalah :
∞
−st
∞
−st
L [(
Acos
ωt)
u(
t)
] = ( Acos
ωt)
e u(
t)
dt = ( Acos
ωt)
e dt
Dengan memanfaatkan hubungan Euler
∫
0
cosω
= ( e
j ω t
+
ruas kanan persamaan di atas menjadi
2
e
− jωt
2
) / 2
∞ jωt
+ − jωt
e e −st
∞ A ( jω−s)
t
∞ A ( − jω
)
e dt =
+
− s t
A
0 2 ∫
e dt
0 2 ∫
e
0 2
∫
=
s
As
+ ω
s
L ( Acos
ωt)
u(
t)
= A
(19.5)
s + ω
Jadi [ ]
2 2
Dengan cara yang sama, diperoleh
ω
L [(
Asin
ωt)
u(
t)
] = A
(19.6)
2 2
s + ω
19.2. Tabel Transformasi Laplace
Mencari transformasi Laplace dari beberapa di atas merupakan contoh
bagaimana suatu transformasi dari fungsi t ke dalam fungsi s dilakukan.
Kita lihat bahwa nilai tetapan A, selalu muncul sebagai faktor pengali
dalam pernyataan fungsi di kawasan s. Transformasi dari beberapa fungsi
yang lain termuat dalam Tabel-19.1. dengan mengambil nilai tetapan A
= 1.
∫
0
dt
252 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Tabel-19.1. Pasangan Transformasi Laplace
Pernyataan Fungsi
di Kawasan t : f(t)
Pernyataan Fungsi di
Kawasan s : L[f(t)]=F(s)
impuls : δ(t) 1
anak tangga :
eksponensial :
cosinus :
sinus :
u(t)
[e −at ]u(t)
[cos ωt] u(t)
[sin ωt] u(t)
cosinus teredam : [e −at cos ωt] u(t)
sinus teredam :
[e −at sin ωt] u(t)
cosinus tergeser : [cos (ωt + θ)] u(t)
sinus tergeser :
ramp :
ramp teredam :
[sin (ωt + θ)] u(t)
[ t ] u(t)
[ t e −at ] u(t)
1
s
1
s + a
s
2 2
s + ω
ω
2 2
s + ω
s + a
2
+ a + ω
2
( s )
ω
2 2
( s + a) + ω
s cos
s sin
θ − ω
2 2
s + ω
θ + ω
2 2
s + ω
1
2
s
1
( s + a) 2
sin θ
cos θ
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari bentuk gelombang berikut:
a). f ( t)
= 5cos(10t
) u(
t)
1
b). f
c). f
2
3
( t)
= 5sin(10t
) u(
t)
( t)
= 3e
−2t
u(
t)
253

Solusi : Dengan menggunakan Tabel-3.1 kita peroleh :
5s
5s
a). f1(
t)
= 5cos(10t
) u(
t)
→ F1
( s)
= =
2 2 2
s + (10) s + 100
5 × 10 50
b). f2(
t)
= 5sin(10t
) u(
t)
→ F2
( s)
= =
2 2 2
s + (10) s + 100
−2t
c). f3(
t)
= 3e
u(
t)
3
→ F3
( s)
=
s + 2
19.3. Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Sifat Unik. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Jika f(t) mempunyai transformasi Laplace F(s) maka transformasi
balik dari F(s) adalah f(t).
Bukti dari pernyataan ini tidak kita bahas di sini. Sifat ini memudahkan
kita untuk mencari F(s) dari suatu fungsi f(t) dan sebaliknya mencari
fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) dengan menggunakan tabel transformasi
Lapalace. Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) disebut mencari
transformasi balik dari F(s), dengan notasi L −1 [F(s)] = f(t) . Hal terakhir
ini akan kita bahas lebih lanjut setelah membahas sifat-sifat transformasi
Laplace.
Sifat Linier. Karena transformasi Laplace adalah sebuah integral, maka
ia bersifat linier.
Transformasi Laplace dari jumlah beberapa fungsi t adalah
jumlah dari transformasi masing-masing fungsi.
Jika f ( t)
= A1 f1(
t)
+ A2
f2(
t)
maka transformasi Laplace-nya adalah
F(
s)
= ∞
∞
st
[ A1
f1(
t)
+ A2
f2(
t)
] e dt = A 1 f ( ) 2 ( )
0
0 1 t dt + A
∫
∞
−
∫
∫
f
0 2 t dt
(19.7)
= A1
F1
( s)
+ A2
F2
( s)
dengan F 1 (s) dan F 2 (s) adalah transformasi Laplace dari f 1 (t) dan f 2 (t).
254 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: a). Carilah transformasi Laplace dari :
−2t
v1 ( t)
= (1 + 3e
) u(
t)
b). Jika transformasi Laplace fungsi eksponensial Ae −at u(t)
adalah 1/(s+a), carilah transformasi dari v 2 (t)=Acosωt
u(t).
Solusi :
−2t
1 3
a). v1
( t)
= (1 + 3e
) u(
t)
→V
1(
s)
= +
s s + 2
jωt
− jωt
e + e
b). v2(t)
= Acos(
ωt)
u(
t)
= A
u(
t)
2
A jωt
− jωt
= ( e u(
t)
+ e u(
t)
)
2
A ⎛ 1 1 ⎞ A ⎛ 2s
⎞ As
V2(
s)
= ⎜ + ⎟ = ⎜ ⎟ =
2
2 2 2 2 2
⎝ s − jω
s + jω
⎠ ⎝ s + ω ⎠ s + ω
Integrasi. Transformasi Laplace dari integrasi suatu fungsi dapat kita
lihat sebagai berikut.
t
Misalkan f ( t)
=
∫
f ( )
0 1 x dx . Maka
∞
⎛
F(
s)
= ⎜
⎝
0
∫ ∫
t
−st
⎞ ⎡
−st
e ⎛
f x dx⎟
e dt = ⎢ ⎜
0 1 ( )
⎠ ⎢⎣
− s ⎝
∞ ∞
t
st
⎞⎤
e −
f x dx⎟⎥
−
0 1 ( )
⎠
∫
⎥⎦
− s
0 0
∫
f1(
t)
dt
Suku pertama ruas kanan persamaan di atas akan bernilai nol untuk t = ∞
karena e −st = 0 pada t→∞ , dan juga akan bernilai nol untuk t = 0 karena
integral yang di dalam tanda kurung akan bernilai nol (intervalnya nol).
Tinggallah suku kedua ruas kanan; jadi
∞
e − st
∞
1 −st
F ( s)
F( s)
= − f ( t)
dt f ( t)
e dt 1
∫ 1 = 1 =
− s s ∫
(19.8)
s
0
0
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi ramp r(t)=tu(t).
Solusi :
Kita mengetahui bahwa fungsi ramp adalah integral dari fungsi anak
tangga.
255

(
t)
= tu(
t)
=
→ R(
s)
=
∫
t
0
∞
u(
x)
dx
⎛
⎜
⎝
∫ ∫
t
0 0
⎞
u(
x)
dx⎟
e
⎠
Hasil ini sudah tercantum dalam Tabel.3.1.
−st
1
dt =
2
s
Diferensiasi. Transformasi Laplace dari suatu diferensiasi dapat kita lihat
sebagai berikut.
Misalkan
df ( t)
f ( t)
=
1
maka
dt
− st ∞
[ f1(
t)
e ]
0 −
∫
∞ df −
∞
−
= 1 ( t)
st
st
F ( s)
∫
e dt =
f1(
t)(
−s)
e dt
0 dt
0
Suku pertama ruas kanan bernilai nol untuk t = ∞ karena e −st = 0 untuk
t→ ∞ , dan bernilai −f(0) untuk t = 0. Dengan demikian dapat kita
tuliskan
⎡df
1 ( t)
⎤
st
⎢ = s f ( t)
e dt − f (0) = sF1
( s)
− f 1(0)
dt ⎥
⎣ ⎦
∫ ∞ −
L (19.9)
0
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi cos(ωt) dengan
memandang fungsi ini sebagai turunan dari sin(ωt).
Solusi :
1 d sin( ωt)
f ( t)
= cos( ωt)
=
ω dt
1 ⎛ ω ⎞
→ F(
s)
= ⎜ s − sin(0) ⎟ =
ω 2 2
⎝ s + ω ⎠ s
Penurunan di atas dapat kita kembangkan lebih lanjut sehingga kita
mendapatkan transformasi dari fungsi-fungsi yang merupakan fungsi
turunan yang lebih tinggi.
2
s
+ ω
2
256 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

2
d f ( )
jika ( ) 1 t
f t =
2
dt
2
→ F(
s)
= s F1
( s)
− sf1(0)
− f1′
(0)
3
d f ( )
jika ( ) 1 t
f t =
3
dt
3 2
→ F ( s)
= s F1
( s)
− s f1(0)
− sf1′
(0) − f1′′
(0)
(19.10)
Translasi di Kawasan t. Sifat transformasi Laplace berkenaan dengan
translasi di kawasan t ini dapat dinyatakan sebagai berikut
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s), maka transformasi
Laplace dari f(t−a)u(t−a) untuk a > 0 adalah e −as F(s).
Hal ini dapat kita lihat sebagai berikut. Menurut definisi, transformasi
Laplace dari f(t−a)u(t−a) adalah
∫ ∞
0
−st
f ( t − a)
u(
t − a)
e dt
Karena u(t−a) bernilai nol untuk t < a dan bernilai satu untuk t > a ,
bentuk integral ini dapat kita ubah batas bawahnya serta tidak lagi
menuliskan faktor u(t−a), menjadi
∫
∞
0
−st
f ( t − a)
u(
t − a)
e dt = f ( t − a)
e
Kita ganti peubah integrasinya dari t menjadi τ dengan suatu hubungan τ
= (t−a). Dengan penggantian ini maka dt menjadi dτ dan τ = 0 ketika t =
a dan τ = ∞ ketika t = ∞. Persamaan di atas menjadi
∫
∞
a
−st
∞
−st
∞
−s(
τ+ a)
f ( t − a)
u(
t − a)
e dt = f ( ) e d
0
∫
τ τ
0
−as
∞
−sτ
−as
= e
∫
f ( τ)
e dτ
= e F(
s)
0
∫
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari
bentuk gelombang sinyal seperti yang
tergambar di samping ini.
Solusi :
Model bentuk gelombang ini dapat kita
tuliskan sebagai
A
f ( t)
= Au(
t)
− Au(
t − a)
.
dt
f(t)
(19.11)
0 a →t
257

Transformasi Laplace-nya adalah :
F(
s)
=
A
− e
s
−as
−as )
A A(1
− e
=
s s
Translasi di Kawasan s. Sifat mengenai translasi di kawasan s dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka
transformasi Laplace dari e −αt f(t) adalah F(s + α).
Bukti dari pernyataan ini dapat langsung diperoleh dari definisi
transformasi Laplace, yaitu
∫
∞
0
e
−αt
f ( t)
e
−st
dt =
∫
∞
0
f ( t)
e
−(
s+α)
t
dt = F(
s + α)
(19.12)
Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan transformasi fungsi teredam
jika diketahui bentuk transformasi fungsi tak teredamnya.
CONTOH: Carilah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi ramp
teredam dan sinus teredam berikut ini :
−αt
−αt
1 t
a). v = tu(
t)
e ; b). v2
= e
cosωt
u(
)
Solusi :
1
a).Karena untuk v(
t)
= tu(
t)
→ F(
s)
= ,
2
s
−αt
1
maka jika v1
( t)
= tu(
t)
e ⇒ V1
( s)
=
( s + α)
s
b). Karena untuk v(
t)
= cosωt
u(
t)
→ V ( s)
= ,
2 2
s + ω
−αt
s + α
maka jika v2(
t)
= e cosωt
u(
t)
⇒ V2
( s)
=
2
( s + α)
+ ω
Pen-skalaan (scaling). Sifat ini dapat dinyatakan sebagai :
Jika transformasi Laplace dari f(t) adalah F(s) , maka untuk a
1 ⎛ s ⎞
> 0 transformasi dari f(at) adalah F⎜
⎟ .
a ⎝ a ⎠
2
2
258 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Bukti dari sifat ini dapat langsung diperoleh dari definisinya. Dengan
mengganti peubah t menjadi τ = at maka transformasi Laplace dari f(at)
adalah:
∫
∞
0
f ( at)
e
−st
1
dt =
a
∫
∞
0
f ( τ)
e
s
− τ
a
1 ⎛
dτ
= F⎜
a ⎝
s
a
⎞
⎟
⎠
(19.13)
Jadi, jika skala waktu diperbesar (a > 1) maka skala frekuensi s mengecil
dan sebaliknya apabila skala waktu diperkecil (a < 1) maka skala
frekuensi menjadi besar.
Nilai Awal dan Nilai Akhir. Sifat transformasi Laplace berkenaan
dengan nilai awal dan nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut.
Nilai awal : lim f ( t)
= lim sF(
s)
t→0+
Nilai akhir : lim f ( t)
= lim sF(
s)
t→∞
s→∞
s→0
Jadi nilai f(t) pada t = 0 + di kawasan waktu (nilai awal) sama dengan
nilai sF(s) pada tak hingga di kawasan s. Sedangkan nilai f(t) pada t = ∞
(nilai akhir) sama dengan nilai sF(s) pada titik asal di kawasan s. Sifat
ini dapat diturunkan dari sifat diferensiasi.
CONTOH: Transformasi Laplace dari suatu sinyal adalah
Solusi :
Nilai awal adalah :
s + 3
V ( s)
= 100
s(
s + 5)( s + 20)
Carilah nilai awal dan nilai akhir dari v(t).
lim v(
t)
= lim sV ( s)
t→0+
s→∞
⎡
s + 3 ⎤
= lim ⎢s
× 100
= 0
( 5)( 20)
⎥
s→∞⎣
s s + s + ⎦
Nilai akhir adalah :
⎡
s + 3 ⎤
lim v(
t)
= lim sV ( s)
= lim ⎢s
× 100
= 3
0
0 ( 5)( 20)
⎥
t→∞
s→
s→
⎣ s s + s + ⎦
259

Tabel 19.2. memuat sifat-sifat transformasi Laplace yang dibahas di atas
kecuali sifat yang terakhir yaitu konvolusi. Konvolusi akan dibahas di
bagian akhir dari pembahasan mengenai transformasi balik.
Tabel 19.2. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Pernyataan f(t)
Pernyataan F(s) =L[f(t)]
linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t) A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)
integrasi :
∫ t
f ( x)
dx
0
F ( s)
s
diferensiasi :
df ( t)
−
sF ( s)
− f (0 )
dt
2
d f ( t)
2 −
s F(
s)
− sf (0 ) − f ′(0
− )
2
dt
3
d f ( t)
3
dt
linier : A 1 f 1 (t) + A 2 f 2 (t)
translasi di t: [ f ( t a)
] u(
t − a)
3
2
s F(
s)
− s
−
f (0
−
− sf (0 ) − f ′′(0
)
A 1 F 1 (s) + A 2 F 2 (s)
− e −as
F(s)
translasi di s : e − at f (t)
F ( s + a )
penskalaan : f (at)
1
a
⎛
F⎜
⎝
nilai awal : lim f ( t)
lim sF ( s)
t→0+
s→∞
nilai akhir : lim f ( t)
t→∞
s→0
s
a
⎞
⎟
⎠
lim sF ( s)
)
−
konvolusi :
∫
t
0
f ( x)
f
( t
1 2 −
x)
dx
F 1( s)
F2
( s)
260 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

19.4. Transformasi Balik
Berikut ini kita akan membahas mengenai transformasi balik, yaitu
mencari f(t) dari suatu F(s) yang diketahui. Jika F(s) yang ingin dicari
transformasi baliknya ada dalam tabel transformasi Laplace yang kita
punyai, pekerjaan kita cukup mudah. Akan tetapi pada umumnya F(s)
berupa rasio polinomial yang bentuknya tidak sederhana dan tidak selalu
ada pasangannya seperti dalam tabel. Untuk mengatasi hal itu, F(s) kita
uraikan menjadi suatu penjumlahan dari bentuk-bentuk yang ada dalam
tabel, sehingga kita akan memperoleh f(t) sebagai jumlah dari bentukbentuk
fungsi sederhana. Dengan perkataan lain kita membuat F(s)
menjadi transformasi dari suatu gelombang komposit dan kelinieran dari
transformasi Laplace akan memberikan transformasi balik dari F(s) yang
berupa jumlah dari bentuk-bentuk gelombang sederhana.
Pole dan Zero. Tentang pole dan zero telah kita pelajari di bab
sebelumnya. Pada umumnya, transformasi Laplace berbentuk rasio
polinom
m m−1
b s b
( )
1s
b1s
b
F s
m + m + + +
=
− L 0
(19.14)
n n−1
ans
+ an−1s
+ L + a1s
+ a0
yang masing-masing polinom dapat dinyatakan dalam bentuk faktor
menjadi
( s − z )( ) ( )
( )
1 s − z2
L s − z
F s = K
m
( s − p )( s − p ) L(
s − p )
dengan K = b m /a n dan disebut faktor skala.
1
2
n
(19.15)
Akar-akar dari pembilang dari pernyataan F(s) di atas memberikan zero
sedangkan akar-akar dari penyebut memberikan pole. Pole dan zero
disebut frekuensi kritis karena pada nilai-nilai itu F(s) menjadi nol atau
tak-hingga.
CONTOH: Gambarkan diagram pole-zero dari
1
a). F(
s)
=
s + 1
A(
s + a)
b). F(
s)
=
2 2
( s + a)
+ b
1
c). F(
s)
=
s
261

Solusi :
a). Fungsi ini mempunyai pole di s = −1
tanpa zero
tertentu.
b). Fungsi ini mempunyai zero di s = −a.
Pole dapat dicari dari
2
2
( s + a)
+ b = 0 → pole di s = −a
± jb
c). Fungsi ini tidak mempunyai zero tertentu
sedangkan pole terletak di titik asal, s = 0 +
j0.
×
−1
−a
jω
jω
+jb
jω
−jb
σ
σ
σ
Bentuk Umum F(s). Bentuk umum F(s) adalah seperti (19.15) yaitu
( s − z )( ) ( )
( )
1 s − z2
L s − z
F s = K
m
( s − p )( s − p ) L(
s − p )
1
Jika fungsi ini memiliki pole yang semuanya berbeda, jadi p i ≠ p j untuk i
≠ j , maka dikatakan bahwa F(s) mempunyai pole sederhana. Jika ada
pole yang berupa bilangan kompleks kita katakan bahwa fungsi ini
mempunyai pole kompleks. Jika ada pole-pole yang bernilai sama kita
katakan bahwa fungsi ini mempunyai pole ganda.
Fungsi Dengan Pole Sederhana. Apabila fungsi rasional F(s) hanya
mempunyai pole sederhana, maka ia dapat diuraikan menjadi berbentuk
2
k
( )
1 k2
k
F s = + + L +
n (19.16)
( s − p ) ( s − p ) ( s − p )
1
Jadi F(s) merupakan kombinasi linier dari beberapa fungsi sederhana;
konstanta k yang berkaitan dengan setiap fungsi pembangun F(s) itu kita
sebut residu. Kita ingat bahwa transformasi balik dari masing-masing
fungsi sederhana itu berbentuk ke −αt . Dengan demikian maka
transformasi balik dari F(s) menjadi
2
n
n
262 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

p1t
p2t
pnt
( t)
= k1e
+ k2e
+ L kne
(19.17)
f +
Persoalan kita sekarang adalah bagaimana menentukan residu. Untuk
mencari k 1 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 1 ) sehingga
faktor (s− p 1 ) hilang dari ruas kiri sedangkan ruas kanan menjadi k 1
ditambah suku-suku lain yang semuanya mengandung faktor (s− p 1 ).
Kemudian kita substitusikan s = p 1 sehingga semua suku di ruas kanan
bernilai nol kecuali k 1 dan dengan demikian diperoleh nilai k 1 . Untuk
mencari k 2 , kita kalikan kedua ruas (19.16) dengan (s − p 2 ) kemudian kita
substitusikan s = p 2 ; demikian seterusnya sampai semua nilai k diperoleh,
dan transformasi balik dapat dicari.
CONTOH: Carilah f(t) dari fungsi transformasi berikut.
4
a). F(
s)
=
;
( s + 1)( s + 3)
6( s + 2)
c). F(
s)
=
s(
s + 1)( s + 4)
4( s + 2)
b). F(
s)
=
;
( s + 1)( s + 3)
a).
Solusi :
4 k
( )
1 k
F s =
= + 2
( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
4 k
→ F(
s)
× ( s + 1) → = k 2
1 + ( s + 1)
( s + 3) s + 3
→ F(
s)
× ( s + 3) dan substitusi
2 − 2
⇒ F(
s)
= +
s + 1 s + 3
4
→ substitusi s = −1
→ = k1
→ k1
= 2
−1+
3
⇒ f ( t)
= 2e
4
s = −3
→ = k
− 3 + 1
−t
− 2e
−3t
2
→ k
2
= −2
263

).
4( s + 2) k
( )
1 k
F s =
= + 2
( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
→ F(
s)
× ( s + 1) dan substitusi
4( −1+
2)
s = −1
→ = k1
→ k1
= 2
−1+
3
→ F(
s)
× ( s + 3) dan substitusi
4( −3
+ 2)
s = −3
→ = k2
→ k2
= 2
− 3 + 1
2 2
t −3t
⇒ F(
s)
= + ⇒ f ( t)
= 2e
+ 2e
s + 1 s + 3
c).
6( s + 2) k
( )
1 k2
k
F s =
= + +
3
s(
s + 1)( s + 4) s s + 1 s + 4
Dengan cara seperti di a) dan b) kita peroleh
6( s + 2)
→ k1
=
( s + 1)( s + 4)
k
3
6( s + 2)
=
s(
s + 1)
s=−4
s=
0
= −1
3 − 2 −1
⇒ F(
s)
= + +
s s + 1 s + 4
= 3;
k
2
6( s + 2)
=
s(
s + 4)
s=−1
−t
→ f ( t)
= 3 − 2e
− e
= −2 ;
−4t
Fungsi Dengan Pole Kompleks. Fungsi F(s) merupakan rasio polinomial
dengan koefisien nyata. Jika F(s) mempunyai pole kompleks yang
berbentuk p = −α + jβ, maka ia juga harus mempunyai pole lain yang
berbentuk p* = −α − jβ; sebab jika tidak maka koefisien polinomial
tersebut tidak akan nyata. Jadi pole kompleks dari F(s) haruslah
berpasangan konjugat. Oleh karena itu uraian F(s) harus mengandung
dua suku yang berbentuk
k k *
F( s)
= L + + +L (19.18)
s + α − jβ
s + α + jβ
Residu k dan k* pada pole konjugat juga merupakan residu konjugat
sebab F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien rasional. Residu ini
dapat kita cari dengan cara yang sama seperti mencari residu pada uraian
fungsi dengan pole sederhana. Kita cukup mencari salah satu residu dari
pole kompleks karena residu yang lain merupakan konjugatnya.
264 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi balik dari dua suku dengan pole kompleks akan berupa
cosinus teredam. Tansformasi balik dari dua suku pada (19.18) adalah
f
k
( t)
= ke
=
=
k e
k e
= 2 k e
−(
α− jβ)
t
+ k * e
jθ
−(
α− jβ)
t
e
−(
α− j(
β+θ))
t
−αt
e
+
+
j(
β+θ)
t
−(
α+ jβ)
t
k e
k e
+ e
2
Jadi f(t) dari (19.18) akan berbentuk :
− jθ
−(
α+ jβ)
t
e
−(
α+ j(
β+θ))
t
− j(
β+θ)
t
= 2 k e
−αt
−αt
f ( t)
= L + 2 k e cos( β + θ)
+L
cos( β + θ)
CONTOH: Carilah transformasi balik dari
8
F ( s)
=
2
s(
s + 4s
+ 8)
Solusi :
Fungsi ini mempunyai pole sederhana di s = 0, dan pole kompleks
yang dapat ditentukan dari faktor penyebut yang berbentuk kwadrat,
yaitu
− 4 ± 16 − 32
s =
= −2
± j2
2
Uraian dari F(s), penentuan residu, serta transformasi baliknya
adalah sebagai berikut.
∗
8 k
( )
1 k2
k
F s =
= + + 2
2
s(
s + 4s
+ 8) s s + 2 − j2
s + 2 + j2
8
8
→ k1
=
× s = = 1
2
s(
s + 4s
+ 8) 8
s=
0
8
→ k2
=
× ( s + 2 − j2)
2
s(
s + 4s
+ 8)
∗
→ k2
=
s=−2+
j2
8
8
=
= =
s(
s + 2 + j2)
− 8 − j8
s=−2+
j2
2 − j(3π
/ 4)
e
2
2 j(3π
/ 4)
e
2
265

⇒
f(t) = u(
t)
+
= u(
t)
+
= u(
t)
+
2
e
2
2
2
2e
j(3π
/ 4) −(2−
j2)
t
e
−2t
−2t
e
+
j(3π
/ 4+
2t)
− j(3π
/ 4+
2t)
[ e + e ]
cos(2t
+ 3π
/ 4)
2
e
2
− j(3π
/ 4) −(2+
j2)
t
e
Fungsi Dengan Pole Ganda. Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dapat
mempunyai pole ganda. Penguraian F(s) yang demikian ini dilakukan
dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan
untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat
diuraikan seperti biasanya. Untuk jelasnya kita ambil suatu fungsi yang
mengandung pole ganda (dua pole sama) seperti berikut ini.
F(
s)
K(
s − z )
=
1
(19.19)
2
( s − p1)(
s − p2)
Dengan mengeluarkan salah satu faktor yang mengandung pole ganda
kita dapatkan
1 ⎡ K(
s − z ) ⎤
F ( s)
=
1
⎢
⎥
(19.20)
s − p2 ⎣(
s − p1)(
s − p2)
⎦
Bagian yang didalam tanda kurung dari (19.20) mengandung pole
sederhana sehingga kita dapat menguraikannya seperti biasa.
F ( s)
1
⎡
K(
s − z )
⎤
k
=
1
1 2
⎢
⎥ = +
(19.21)
( s − p1)(
s − p2)
s − p1
s − p2
⎣
Residu pada (19.21) dapat ditentukan, misalnya k 1 = A dan k 2 = B , dan
faktor yang kita keluarkan kita masukkan kembali sehingga (19.20)
menjadi
1
F(
s)
=
s − p
⎡
⎢
A
+
B
⎤
⎥ =
⎦
2
2 ⎣ s − p1
s − p2
⎦ ( s − p2)(
s − p1)
( s − p2)
dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadi
F(
s)
k
k
B
A
=
11
+
12
+
(19.22)
s − p
2
1 s − p2
( s − p2)
k
+
B
266 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi balik dari (19.22) adalah
p t
11
p t
12
p t
1
2
2
f ( t)
= k e + k e + Bte
CONTOH: Tentukan transformasi balik dari fungsi:
s
F ( s)
=
2
( s + 1)( s + 2)
Solusi :
s
F(
s)
=
( s + 1)( s + 2)
1 ⎡ k1
k2
⎤
=
( 2) ⎢ +
s + 1 2⎥
⎣ s + s + ⎦
→ k
1
s
=
( s + 2)
2
1 ⎡ s ⎤
=
( s + 2)
⎢
( 1)( 2)
⎥
⎣ s + s + ⎦
= −1
k11
k12
2
= + +
s + 1 s + 2 2
( s + 2)
→ k
s
=
( s + 1)
2
s= −1
s=−2
= 2
1 ⎡ −1
2 ⎤ −1
2
⇒ F(
s)
=
( 2) ⎢ + =
+
s + 1 2⎥
( + 1)( + 2) 2
⎣ s + s + ⎦ s s ( s + 2)
−1
−1
→ k11
= = −1
→ k12
= = 1
s + 2 s=−1
s + 1 s=−2
−1
1 2
−t
−2t
−2t
⇒ F(
s)
= + + ⇒ f ( t)
= −e
+ e + 2te
s + 1 s + 2 2
( s + 2)
Konvolusi. Transformasi Laplace menyatakan secara timbal balik bahwa
jika f ( t)
= f1(
t)
+ f2(
t)
maka F(s)
= F1
( s)
+ F2
( s)
jika F ( s)
= F1 ( s)
+ F2
( s)
maka f (t) = f1(
t)
+ f2(
t)
Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadi
jika F(
s)
= F1 ( s)
F2
( s)
maka f ( t)
≠ f1(
t)
f2(
t)
Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) yang merupakan hasil kali dua
fungsi s yang berlainan, melibatkan sifat transformasi Laplace yang kita
sebut konvolusi. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
267

jika
L
−1
F(
s)
= F1
( s)
F2
( s)
t
[ F(
s)
] = f ( t)
=
∫
f1(
τ)
f2(
t − τ)
dτ =
∫
0
maka
t
f2(
τ)
f1(
t − τ)
dτ
0
(19.23)
Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh
dengan melakukan konvolusi dari kedua bentuk gelombang yang
bersangkutan. Kedua bentuk integral pada (19.23) disebut integral
konvolusi.
Pandanglah dua fungsi waktu f 1 (t) dan f 2 (t). Transformasi Laplace
masing-masing adalah
∫ ∞
1 s)
= f1(
τ)
0
−sτ
F ( e dτ
dan
∫ ∞ −st
F2 ( s)
= f2(
t)
e dt .
0
Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akan
kita peroleh
∫ ∞ −sτ
F1
( s)
F2
( s)
= f1(
τ)
e F2
( s)
dτ
0
Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e −sτ F 2 (s) adalah
transformasi Laplace dari [ f 2 (t−τ) ] u(t−τ) sehingga persamaan tersebut
dapat ditulis
∞ ⎡ ∞
−st
⎤
F1 ( s)
F2
( s)
=
∫
f1(
τ)
⎢∫
f2(
t − τ)
u(
t − τ)
e dt⎥dτ
0 ⎣ 0 ⎦
Karena untuk τ > t nilai u(t−τ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam
kurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja,
sehingga
∞ t
1 2
−
=
∫
τ ⎢∫
− τ ⎥ τ
0 1
⎣ 0 2
st
F ( s)
F ( s)
f ( ) f ( t ) e dt d
⎦
∞ ⎡ t
−st
⎤
=
∫ ⎢∫
f1(
τ)
f2(
t − τ)
e dt⎥dτ
0 0
Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh
⎣
⎡
⎦
⎤
268 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

269
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
τ
− τ
τ
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
τ
− τ
τ
= ∫
∫ ∫
∞
−
t
st
t
d
t
f
f
dt
e
d
t
f
f
s
F
s
F
0
2
1
0 0
2
1
2
1 )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( L
CONTOH: Carilah f(t) dari F(s) berikut.
)
(
1
)
(
c).
)
)(
(
1
)
(
b).
)
(
1
)
(
a).
2
2
a
s
s
s
F
b
s
a
s
s
F
a
s
s
F
+
=
+
+
=
+
=
Solusi : a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari dua
fungsi.
at
t
at
t
ax
at
ax
t
x
t
a
ax
t
at
te
dx
e
dx
e
dx
e
e
dx
x
t
f
x
f
t
f
e
t
f
t
f
a
s
s
F
s
F
s
F
s
F
s
F
−
−
+
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
−
=
⇒
=
=
→
+
=
=
=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
)
(
0
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
dengan
)
(
)
(
)
(
b). Fungsi ini juga merupakan perkalian dari dua fungsi.
bt
at
e
t
f
e
t
f
b
s
s
F
a
s
s
F
s
F
s
F
s
F
−
−
=
=
→
+
=
+
=
=
)
(
dan
)
(
)
(
1
)
(
dan
)
(
1
)
(
dengan
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
( )
b
a
e
e
b
a
e
e
b
a
e
e
dx
e
e
dx
e
e
dx
x
t
f
x
f
t
f
bt
at
t
b
a
bt
t
x
b
a
bt
t
x
b
a
bt
t
x
t
b
ax
t
+
−
−
=
+
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
=
=
−
=
⇒
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
2
1

270 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”
c). Fungsi ketiga ini juga dapat dipandang sebagai perkalian dua
fungsi.
2
2
0
2
0
0
0
0
)
(
0
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
dan
)
(
1
)
(
dan
1
)
(
dengan
)
(
)
(
)
(
a
e
at
a
e
a
te
e
a
e
a
te
e
dx
a
e
a
xe
e
dx
xe
e
dx
xe
dx
x
t
f
x
f
t
f
e
t
f
t
t
f
a
s
s
F
s
s
F
s
F
s
F
s
F
at
at
at
at
t
ax
at
at
t
ax
t
ax
at
t
ax
at
t
x
t
a
t
at
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
=
=
−
=
⇒
=
=
→
+
=
=
=
∫
∫
∫
∫

Bab 20 Deret dan Transformasi Fourier
Pada kasus tertentu dijumpai keadaan dimana pemecahan persoalan tidak
dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi Laplace akan tetapi
dapat dilakukan melalui transformasi Fourier. Topik-topik yang akan kita
bahas berikut ini meliputi: deret Fourier, transformasi Fourier, sifat-sifat
transformasi Fourier.
20.1. Deret Fourier
Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi
komponen-komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan
fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik
yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t) dapat dinyatakan
sebagai deret Fourier :
yang dapat kita tuliskan sebagai
[ a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t ]
∑ ∞ f ( t)
= a0 + n 0 n 0 ) (20.1)
n=
1
∑ ∞ ⎡ 2 2
f ( t)
= a + + ( ω − θ )
⎤
0 an
bn
cos( n 0t
n ) (20.2)
n=
1
⎢⎣
⎥⎦
Koefisien Fourier a 0 , a n , dan b n ditentukan dengan hubungan berikut.
a
a
b
0
n
n
1
=
T
0
2
=
T
0
2
=
T
0
∫
−T
/ 2
∫
−T
/ 2
∫
T / 2
0
T / 2
0
T / 2
0
0
0
−T
/ 2
0
f ( t)
dt
f ( t) cos( nω
f ( t)sin(
nω
0
0
t)
dt
t)
dt
;
;
n > 0
n > 0
(20.3)
Hubungan (20.3) dapat diperoleh dari (20.1). Misalkan kita mencari a n :
kita kalikan (20.1) dengan cos(kω o t) kemudian kita integrasikan antara
−T o /2 sampai T o /2 dan kita akan memperoleh
271

∫
T / 2
o
−T
/ 2
o
f ( t) cos( kω
t)
dt =
o
+
∫
T / 2
o
−T
/ 2
o
⎡
o
∞ ⎢∫−
T
⎢
∑
⎢
n=
1
⎢+
∫
⎣
a
0
T / 2
o
T /
cos( kω
/ 2
o
−T
/ 2
o
o
t)
dt
⎤
an
cos( nω0t) cos( kωot)
dt ⎥
⎥
2
⎥
bn
sin( nω0t) cos( kωot)
dt⎥
⎦
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
1
1
cos α cos β = cos( α − β)
+ cos( α + β)
2
2
1
1
cos α sin β = sin( α − β)
+ sin( α + β)
2
2
maka persamaan di atas menjadi
To
/ 2
f ( t)cos(
kωot)
dt =
−T
/ 2
∫
o
∫
⎡a
To
/ 2
n
∞ ⎢ ∫−
⎢
2 To
/ 2
+ ∑⎢
b To
/ 2
n=
1⎢+
n
⎣ 2 ∫ −To
/ 2
To
/ 2
a0
cos( kωot)
dt
−T
/ 2
o
( cos(( n − k)
ω t)
+ cos(( n + k)
ω t)
)
0
( sin(( n − k)
ω t)
+ sin(( n + k)
ω t)
)
0
⎤
o dt ⎥
⎥
⎥
o dtdt⎥
⎦
Karena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka
semua integral di ruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu
a
T
n
o
/ 2
∫ − T / 2
2
o
a
n
( cos(( n − k)
ω t)
) dt = yang terjadi jika n = k
oleh karena itu a n =
∫
f ( t) cos( nω
T − T / 2
0
2 To
/ 2
o
o
2
0
t)
dt
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisienkoefisien
Fourier-nya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh
kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnya dalam urain berikut ini.
20.2. Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika
f(t) = f(−t). Salah satu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah
fungsi cosinus, cos(ωt) = cos(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1)
kita dapatkan
272 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

∞
f ( t)
= a0
+ ∑ n
n=
1
∞
f ( −t)
= a0
+
n=
1
[ a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t)
]
0
∑[ an
cos( nω0t)
− bn
sin( nω0t)
]
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah b n = 0, dan f(t)
menjadi
CONTOH: Tentukan deret Fourier
dari bentuk gelombang
deretan pulsa berikut ini.
n
0
dan
∑ ∞ f ( t)
= ao + [ an
cos( nω0t)
]
(20.4)
n=
1
Solusi :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda
T o , lebar pulsa T.
1
ao
=
To
2
an
=
To
A
n
=
π
T / 2
T / 2 At AT
Adt = = ; bn
= 0 ;
−T
/ 2 To
T
−T/
2 o
T / 2
2A
T / 2
Acos(
nωot)
dt = sin nωot
−T
/ 2
T ω
− / 2
o on
T
∫
∫
⎡ ⎛ nπT
⎞⎤
2A
⎡ ⎛ nπT
⎞⎤
⎢2sin⎜
⎟⎥
= ⎢ ⎜ ⎟
sin
⎥
⎢⎣
⎝ To
⎠⎥⎦
πn
⎢⎣
⎝ To
⎠⎥⎦
Untuk n = 2, 4, 6, …. (genap), a n = 0; a n hanya mempunyai nilai
untuk n = 1, 3, 5, …. (ganjil).
f ( t)
=
=
Pemahaman :
AT
T
o
AT
T
o
+
+
∞
∑
n=
1, ganjil
2A
⎡ ⎛ nπT
⎞⎤
⎢sin⎜
⎟⎥
cos( nωot)
nπ
⎢⎣
T
⎝ ⎠⎥⎦
n=
1,
ganjil
o
∞
∑
2A
nπ
A
v(t)
−T/2 0 T/2
T o
( n−
/ 2
( −1) 1) cos( nω
t)
o
T
273

Pada fungsi yang memiliki simetri genap, b n = 0. Oleh karena itu
sudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = 0 yang berarti θ n = 0 o .
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t)
= −f(−t). Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus,
sin(ωt) = −sin(−ωt). Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
∑ ∞ − f ( −t)
= −a0 + n 0 n 0 )
n=
1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
[ − a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t ]
∑ ∞ f ( t)
= a0 + n 0 n 0 )
n=
1
maka haruslah
[ a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t ]
[ b sin( nω
t)
]
0 0 dan 0 ( ) ∑ ∞ a = an
= ⇒ f t = n 0 (20.5)
n=
1
CONTOH: Carilah deret Fourier dari
bentuk gelombang persegi di
samping ini.
Solusi:
Bentuk gelombang ini memiliki
simetri ganjil, amplitudo A, perioda
T o = T.
a o = 0 ; an
= 0
;
v(t)
A
−A
2 ⎛ T / 2
T
⎞
bn
= ⎜ sin( o )
sin( o ) ⎟
⎝∫
A nω
t dt +
0 ∫
− A nω
t dt
T
T / 2
⎠
2A
/ 2
⎜
⎛
T
T
= − cos( nωot)
+ cos( nωot)
⎟
⎞
Tnω
0
/ 2
o ⎝
T ⎠
A 2
= ( 1+
cos ( nπ)
− 2cos( nπ)
)
nπ
Untuk n ganjil cos(nπ) = −1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) = 1.
Dengan demikian maka
T
t
274 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

A
bn
=
nπ
A
bn
=
nπ
( 1 + 1 + 2)
4A
=
nπ
untuk n ganjil
( 1 + 1 − 2) = 0 untuk n genap
∑ ∞ 4A
⇒ v(
t)
=
nω
t
nπ
sin( o )
n=
1, ganjil
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, a n = 0. Oleh karena
itu sudut fasa harmonisa tanθ n = b n /a n = ∞ atau θ n = 90 o .
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai
simetri setengah gelombang jika f(t) = −f(t−T o /2). Fungsi dengan sifat ini
tidak berubah bentuk dan nilainya jika diinversi kemudian digeser
setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kita inversikan
kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt).
Demikain pula halnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi,
dan gelombang segitiga.
− f ( t − To
/ 2) = −a0
+
= −a0
+
∞
∑
n=
1
[ − a cos( nω
( t − π))
− b sin( nω
( t − π))
]
∞
n
n
∑[ − ( −1)
an
cos( nω0t)
− ( −1)
bn
sin( nω0t)
]
n=
1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
n
∑ ∞ f ( t)
= a0 + n 0 n 0 )
n=
1
0
[ a cos( nω
t)
+ b sin( nω
t ]
maka haruslah a o = 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi
ini hanya mempunyai harmonisa ganjil saja.
Berikut ini diberikan formula untuk menentukan koefisien Fourier pada
beberapa bentuk gelombang periodik. Bentuk-bentuk gelombang yang
tercantum disini adalah bentuk gelombang yang persamaan
matematisnya mudah diperoleh, sehingga pencarian koefisien Fourier
menggunakan hubungan (20.3) dapat dilakukan.
n
0
275

Penyearahan Setengah Gelombang:
v
T 0
a0
= A / π
2A
/ π
an
= n genap; a = 0
2
n
1−
n
t
b1
= A / 2 ; bn
= 0 n ≠ 1
n
ganjil
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; oleh karena itu a 0 ≠ 0 .
Perhitungan a 0 , a n , b n lebih mudah dilakukan dengan menggunakan relasi
(3.12).
Penyearahan Gelombang Penuh Sinyal Sinus:
v
A
T 0
a0
= 2A
/ π
4A
/ π
an
= n genap; an
= 0
2
1−
n
t
bn
= 0 untuk semua n
n
ganjil
Sinyal ini memiliki simetri genap sehingga ia tidak mengandung
komponen sinus; b n = 0 untuk semua n. Ia tidak simetris terhadap sumbu
waktu oleh karena itu a 0 ≠ 0 , dengan nilai dua kali lipat dari
penyearahan setengah gelombang. Demikian pula halnya a n untuk n
genap bernilai dua kali lipat dari penyearahan setengah gelombang.
Sinyal Persegi:
v T 0
A
t
a
a
b
0
n
n
= 0
= 0 semua n ;
4A
=
nπ
n ganjil;
b
n
= 0
n
genap
Sinyal persegi yang tergam-bar ini memiliki simetri ganjil. Ia tidak
mengandung komponen cosinus; a n = 0 untuk semua n. Ia simetris
terhadap sumbu waktu, jadi a 0 = 0.
276 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Deretan Pulsa:
T
A
v
T 0
t
a0
= AT / T0
2A
nπT
an
= sin
nπ
T0
bn
= 0 untuk semua n
Sinyal yang tergambar ini memiliki simetri genap; b n = 0 untuk semua n.
Ia tidak simetris terhadap sumbu waktu, oleh karena itu a 0 ≠ 0 .
Sinyal Segitiga:
v
A
T 0
t
a0
= 0
8A
an
=
2
( nπ)
bn
= 0
n ganjil; an
= 0 n genap
untuk semua n
Sinyal segitiga yang tergambar ini mempunyai simetri genap; b n = 0
untuk semua n. Ia simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = 0.
Sinyal Gigi Gergaji:
v
A
T 0
t
a0
= A/
2
an
= 0 untuk semua n
bn
= −
A
nπ
untuk semua n
Sinyal ini tidak simetris terhadap sumbu waktu; a 0 = A / 2. Ia memiliki
simetri ganjil; a n = 0 untuk semua n.
20.3. Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (20.1) sering disebut sebagai bentuk
sinus-cosinus. Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (20.2).
Sekarang bentuk (20.2) akan kita ubah ke dalam bentuk eksponensial
dengan menggunakan hubungan
277

e
cosα =
jα +
e
2
− jα
.
Dengan menggunakan relasi ini maka (20.2) akan menjadi
∞
⎡ 2 2
f ( t)
= a ∑ ( )
⎤
0 + an
+ bn
cos( nω0t
− θn)
⎢⎣
⎥⎦
n=
1
∞ ⎡ j(
nω0t−θn
) − j(
nω0t−θn
)
+
⎤
2 2 e
e
= a0
+ ∑ ⎢ an
+ bn
⎥
= 1⎢⎣
2
n
⎥⎦
∞ ⎡
= a ⎢
0 + ∑ ⎢
n=
1
⎣
2 2
∞
a
⎤ ⎡
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥ + ⎢
2
⎥ ∑ ⎢
⎦ n=
1
⎣
2 2
a
⎤
n + bn
− j(
nω0t−θn
)
e ⎥
2
⎥
⎦
(20.6)
Suku ketiga (20.6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =∞. Jika
penjumlahan ini kita ubah mulai dari n = −1 sampai n = −∞, dengan
penyesuaian a n menjadi a −n , b n menjadi b −n , dan θ n menjadi θ −n , maka
menurut (20.3) perubahan ini berakibat
2 T0
/ 2
2 T0
/ 2
a−n
= f ( t)cos(
n 0t)
dt
f ( t)cos(
n 0t)
dt an
T ∫
− ω =
ω =
0 −T0
/ 2
T ∫
0 −T0
/ 2
2 T0
/ 2
2 T0
/ 2
b−n
= f ( t)sin(
n 0t)
dt
f ( t)sin(
n 0t)
dt b
T ∫
− ω = −
ω = −
0 −T0
/ 2
T ∫
0 −T0
/ 2
b
tan n − b
θ
n
n = −
− = ⇒ θ−n
= −θn
a−n
an
(20.7)
Dengan (20.7) ini maka (20.6) menjadi
∞ ⎡
f ( t)
= ⎢
∑ ⎢
n=
0⎣
2 2
−∞
a
⎤ ⎡
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥ + ⎢
2
⎥ ∑ ⎢
⎦ n=−1⎣
2 2
a
⎤
n + bn
j(
nω0t−θn
)
e ⎥
2
⎥
⎦
(20.8)
Suku pertama dari (20.8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n
= 0 untuk memasukkan a 0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini.
Dengan cara ini maka (20.8) dapat ditulis menjadi
278 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

+∞ ⎛ 2 2 ⎞
+∞
⎜ an
+ bn
− jθ
⎟
n j(
nω0
t)
j(
nω0t)
f ( t)
= ∑ ⎜ e ⎟ e = ∑cn
e (20.9)
n=−∞
2
⎝
⎠
n=−∞
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan c n adalah koefisien
Fourier yang mungkin berupa besaran kompleks.
c
n
=
a
2
n
+ b
2
2
n
e
− jθ
a
=
n
− jb
2
n
(20.10)
2 2
an
+ bn
cn
=
2
−1⎛ − b ⎞
θn
= tan ⎜ n ⎟
⎝ an
⎠
dan
jika
∠cn
= θn
dengan
−1⎛
b ⎞
0; n tan ⎜ n
an
< θ = ⎟
⎝ an
⎠
jika
an
> 0
(20.11)
Jika a n dan b n pada (20.3) kita masukkan ke (20.10) akan kita dapatkan
a
− jb
1
T0
/ 2
− ω
=
n n
jn n t
cn
=
∫
f ( t)
e dt (20.12)
2 T0
− T0
/ 2
dan dengan (20.12) ini maka (20.9) menjadi
+∞
+∞
j(
nω
t)
⎛ 1 T0
/ 2
− ω ⎞
0
ω
= ∑ = ∑
⎜
jn
ot
⎟ j(
n
0t)
f ( t)
cn
e
∫
f ( t)
e dt
−
e (20.13)
=−∞
n=−∞⎝
T T / 2
n
0 0
⎠
Persamaan (20.11) menunjukkan bahwa 2|c n | adalah amplitudo dari
harmonisa ke-n dan sudut fasa harmonisa ke-n ini adalah ∠c n . Persamaan
(20.10) ataupun (20.12) dapat kita pandang sebagai pengubahan sinyal
periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrum
amplitudo dan spektrum sudut fasa seperti telah kita kenal di Bab-1.
Persamaan (20.9) ataupun (20.13) memberikan f(t) apabila komposisi
harmonisanya c n diketahui. Persamaan (20.12) menjadi cikal bakal
transformasi Fourier, sedangkan persamaan (20.13) adalah transformasi
baliknya.
279

CONTOH: Carilah koefisien Fourier c n dari fungsi pada contoh-10.1.
Solusi :
1
cn
=
To
T / 2
− jnωot
A e dt =
−T
/ 2
∫
o
/ 2
o
A ⎛ jnω
T − jnω
T
⎜ e − e
=
nωoT
⎜
o ⎝
j
20.4. Transformasi Fourier
T
o
A ⎛ − jnω
t
e ⎞
⎜ ⎟
T ⎜
o jn ⎟
⎝
− ωo
⎠ −T
/ 2
/ 2
/ 2
⎞
⎟ 2A
= sin
⎟
⎠
nωoTo
( nω
T / 2)
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh
(20.12) hanya berlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik
seperti sinyal eksponensial dan sinyal anak tangga tidak dapat
direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyal-sinyal
demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum
kontinyu. Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan
perioda tak-hingga.
Jika diingat bahwa ω 0 = 2π/T 0 , maka (20.13) menjadi
∞
⎛ 1 T0
/ 2
f ( t)
= ∑
⎜
∫−
=−∞⎝
T
n 0 T0
/ 2
∞
1 ⎛ T0
/ 2
= ∑ ⎜
2π
∫−
n=−∞⎝
T0
/ 2
− jnω
⎞
0t
⎟ jnω0t
f ( t)
e dt
e
⎠
− jnω
⎞
0t
jnω0t
f ( t)
e dt ⎟ ω0
e
⎠
o
(20.14)
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T 0 diperbesar. Karena
ω 0 = 2π/T 0 maka jika T 0 makin besar, ω 0 akan makin kecil. Beda
frekuensi antara dua harmonisa yang berturutan, yaitu
∆ ω =
( n + 1) ω
0
− nω
0
= ω
0
2π
=
T
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu
jumlah harmonisa semakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T 0
diperbesar menuju ∞ maka spektrum sinyal menjadi spektrum kontinyu,
∆ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal), dan nω 0 menjadi
0
280 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (20.14) menjadi integral. Jadi
dengan membuat T 0 → ∞ maka (20.14) menjadi
1 ∞ ⎛ ∞
− jωt
⎞ jωt
1 ∞
jωt
f ( t)
=
∫
⎜
−∞ ∫
f ( t)
e dt ⎟ e dω =
−∞
∫
F(
ω)
e dω
(20.15)
2π
⎝
⎠ 2π
−∞
dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian
rupa sehingga
F
∫ ∞ − jωt
( ω)
= f ( t)
e dt
(20.16)
−∞
dan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasi
F
[ f ( t)
] = F(
ω)
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (20.15).
F
f ( t)
= −1 ( ω)
CONTOH: Carilah transformasi Fourier
dari bentuk gelombang pulsa di samping
ini.
Solusi :
−T/2 0 T/2
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik
yang hanya mempunyai nilai antara −T/2 dan +T/2, sedangkan untuk
t yang lain nilainya nol. Oleh karena itu integrasi yang diminta oleh
(20.16) cukup dilakukan antara −T/2 dan +T/2 saja.
T / 2
T / 2
/ 2 / 2
A
A ⎡ jωT
− jωT
e e ⎤
− jωt
− jωt
−
F(
ω)
=
∫
A e dt = − e = ⎢
⎥
−T
/ 2
jω
ω/
2 j2
−T
/ 2 ⎢⎣
⎥⎦
sin( ωT
/ 2)
= AT
ωT
/ 2
Kita bandingkan transformasi Fourier (20.16)
F(
ω)
=
∫ ∞ −∞
− jωt
f ( t)
e dt
dengan koefisien Fourier
A
v(t)
281

an
− jbn
1 T0
/ 2
− jnω
n t
cn
= =
∫
f ( t)
e dt
(20.17)
2 T0
− T0
/ 2
Koefisien Fourier c n merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda
T 0 yang terdiri dari spektrum amplitudo |c n | dan spektrum sudut fasa ∠c n ,
dan keduanya merupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai
pada frekuensi-frekuensi tertentu yang diskrit). Sementara itu
transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkan perioda
sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita
anggap sebagai sinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T 0
pada c n dikeluarkan untuk memperoleh F(ω) yang merupakan spektrum
kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jω)| maupun spektrum sudut fasa
∠ F(ω).
CONTOH: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh
sebelumnya.
Solusi :
Spektrum amplitudo
sinyal aperiodik ini
merupakan spektrum
kontinyu |F(jω)|.
F ( ω)
=
Pemahaman:
sin( ωT
/ 2)
AT
ωT
/ 2
-5
−6π
T
−4π
T 0
−2π
T
|F(ω)|
0 2π 4π 6π ω
T T T
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah
nol sehingga spektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan
pula bahwa |F(ω)| mempunyai spektrum di dua sisi, ω positif
maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2)=0 yaitu pada ω =
±2kπ/T (k = 1,2,3,…); nilai maksimum terjadi pada ω = 0, yaitu pada
waktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) = 1.
282 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = [A e −αt ] u(t) dan
gambarkan spektrum amplitudo dan fasanya.
Solusi :
∞
−αt
− jωt
∞
−(
α+ jω)
t
F(
ω)
=
∫
Ae u(
t)
e dt =
−∞ ∫
Ae dt
0
∞
−(
α+ jω)
t
e
A
= − A
= untuk α > 0
α + jω
α + jω
0
|F(ω)|
25 A/α
⇒ F(
ω)
=
α
| A |
+ ω
⇒ θ(
ω)
= ∠F(
jω)
= − tan
2
2
−1
θ(ω)
90
ω
α
+90 o
ω
−90 o
Pemahaman:
Untuk α < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi
menjadi tidak konvergen.
20.3. Transformasi Balik
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan
mengaplikasikan relasi formalnya yaitu persamaan (20.15). Hal ini dapat
dimengerti karena aplikasi formula tersebut relatif mudah dilakukan
CONTOH: Carilah f(t) dari
F( ω)
= 2πδ(
ω)
283

Solusi:
f ( t)
=
Pemahaman :
1
2π
∞
jωt
2πδ(
ω)
e dω =
−∞
∫
+
α
=
∫
δ(
ω)(1)
dω = 1
−
α
1
2π
+
0
jωt
2πδ(
ω)
e dω
−
0
Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya
mempunyai nilai di ω=0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya
mempunyai nilai di ω=0 sebesar e j0t =1. Karena fungsi hanya
mempunyai nilai di ω=0 maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup
dilakukan dari 0 − sampai 0 + , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=0.
Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal
searah beramplitudo 1 adalah 2πδ(ω).
∫
CONTOH: Carilah f(t) dari
Solusi :
f ( t)
=
1
2
F( jω)
= 2πδ(
ω − α)
∞
jωt
πδ ω − α e dω =
π ∫
2 ( )
−∞
+
jαt
α
jαt
= e
∫
δ(
ω − α)
dω = e
−
α
Pemahaman :
1
2
+
α
jωt
πδ ω − α e dω
π ∫
2 ( )
−
α
Fungsi 2πδ(ω−α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya
mempunyai nilai di ω=α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya
mempunyai nilai di ω=α sebesar e jαt . Karena fungsi hanya
mempunyai nilai di ω=α maka integral dari −∞ sampai +∞ cukup
dilakukan dari α − sampai α + , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω=α.
284 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

CONTOH: Carilah f(t) dari
Solusi :
πA
F( ω)
=
α
α
[ u(
ω + α)
− u(
ω − )]
1 ∞ πA
jωt
f ( t)
= [ u ω + α − u ω − α ] e dω
π ∫
( ) ( )
2 −∞ α
α
jωt
1 ∞ πA
jωt
A e
= [ ] e dω
=
π ∫
1
2 −∞ α
2α
jt
−α
jαt
− jαt
jαt
− jαt
A e − e A e − e sin( αt)
=
=
= A
2α
jt αt
j2
αt
Pemahaman:
Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang −α

20.5. Dari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier
Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi
Fourier dan transformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui,
transformasi Laplace didefinisikan melalui (19.1) sebagai
∫ ∞ −st
F( s)
= f ( t)
e dt
0
(20.18)
dengan s = σ + jω adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah
integrasi adalah nol, artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t)
memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasi tersebut di atas akan
tetap konvergen jika σ = 0, dan formulasi transformasi Laplace ini
menjadi
∫ ∞ − jωt
F( s)
= f ( t)
e dt
0
(20.19)
Sementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup
dilakukan dari nol, sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal
menjadi
∫ ∞ − jωt
F( ω)
= f ( t)
e dt
0
Bentuk (20.20) sama benar dengan (20.19), sehingga kita dapat
simpulkan bahwa
(20.20)
untuk sinyal f ( t)
kausal dan dapat di - integrasi
F(
ω)
= F(
s)
σ= 0
berlaku
(20.21)
Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (20.21) dapat dipenuhi
jika f(t) mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol
sehingga integrasi |f(t)| dari t=0 ke t=∞ konvergen. Ini berarti bahwa
pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kiri sumbu imajiner. Jika
persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencarian transformasi
balik dari F(ω) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik
Laplace.
CONTOH: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah
transformasi Fourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap α, β > 0).
286 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Solusi:
a). f ( t)
= A e
b). f
c) f
1
3
2
( t)
= δ(
t)
( t)
= A e
−αt
u(
t)
−αt
[ sin βt] u(
t)
−αt
a). f1(
t)
= Ae u(
t)
→ fungsi kausal dan dapat di - integrasi
A
→ F(
s)
= → pole p1
= −α (di kiri sumbu imag)
s + α
1
→ F(
ω)
=
jω + α
b). f2(
t)
= δ(
t)
→ fungsi kausal dan dapat di - integrasi
→ F(
s)
= 1 → F(
ω)
= 1
−αt
[ sin βt]
c). f3(
t)
= A e u(
t)
→ fungsi kausal, dapat
A
→ F(
s)
=
→ pole p = −α ± jβ
2 2
( s + α)
+ β
A
a
→ F(
ω)
=
=
2 2 2 2 2
( jω + α)
+ β α + β − ω + j2αω
di - integrasi
(di kiri sumbu
im)
CONTOH: Carilah f(t) dari
10
F ( ω)
=
( jω + 3)( jω + 4)
Solusi :
Jika kita ganti jω dengan s kita dapatkan
10
F ( s)
=
( s + 3)( s + 4)
Pole dari fungsi ini adalah p 1 = −3 dan p 2 = −4, keduanya di sebelah
kiri sumbu imajiner.
287

10 k
( )
1 k
F s =
= + 2
( s + 3)( s + 4) s + 3 s + 4
10
→ k1
= = 10 ;
s + 4 s=−3
10 10
⇒ F(
s)
= −
s + 3 s + 4
Transformasi balik dari F(ω) adalah :
10
k2
= = −10
s + 3 s=−4
f ( t)
=
−3t
−4t
[ 10 e −10
e ] u(
t)
20.6. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi
Fourier adalah kelinieran.
Jika
maka
:
:
F
[ f
1
( t)
] = F1
( ω)
dan F[ f ( t)
] = F2
(
[ Af ( t)
+ Bf ( t)
] = AF ( ω)
+ BF ( ω)
F
2
1
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosβt.
Solusi:
2
1
2
ω)
(20.22)
Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi
Laplace tidak dapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan
dalam bentuk eksponensial.
F
⎡ jβt
− jβt
e + e ⎤ 1 jβt
1 − jβt
[ cosβt] = F⎢
⎥ = F[ e ] + F[ e ]
⎢⎣
2
Dari contoh 10.8. kita ketahui bahwa F
⎡
e
jωt
⎤
= 2πδ(
ω − β)
⎢⎣ ⎥⎦
F
Jadi [ cosβt] = πδ( ω − β)
+ πδ(
ω + β)
⎥⎦
2
2
288 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut
Persamaan (20.15) menyatakan
⎡df
( t)
⎤
F ⎢ ⎥ = jωF
( ω)
(20.23)
⎣ dt ⎦
1 ∞
jωt
f ( t)
= ( ω)
ω
2π
∫
F e d
−∞
df ( t)
d ⎛ 1 ∞
→ = ⎜ ( ω)
⎝ 2π
∫
F e
dt dt −∞
1 ∞
j
= ω ( ω)
2π
∫
j F e
−∞
⎡df
( t)
⎤
→ F⎢
⎥ = jωF
( ω)
⎣ dt ⎦
jωt
ωt
⎞ 1
dω⎟
=
⎠ 2π
dω
Integrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
∫
∞
−∞
⎡ d
⎢
⎣dt
jωt
( F(
ω)
e dω)
⎡ t ⎤ F(
ω)
F ⎢∫ f ( x)
dx⎥
= + πF(0)
δ(
ω)
(20.24)
⎣ −∞
⎦ jω
Suku kedua ruas kanan (20.24) merupakan komponen searah jika
sekiranya ada. Faktor F(0) terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nol
akan kita dapatkan
∫ ∞ −∞
F ( 0) = f ( t)
dt
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari f(t) = Au(t).
Solusi:
Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi
anak tangga. Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F [ δ( t)
] = 1.
Karena fungsi anak tangga adalah integral dari fungsi impuls, kita
dapat menerapkan hbungan (20.24) tersebut di atas.
F
t
1
j ω
[ u( t)
] = F∫ δ(
x)
dx = + πδ(
ω)
∞
−
⎤
⎥
⎦
289

Pembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan −t.
Jika kita membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi
yang baru berlawanan dengan urutan kejadian pada fungsi semula.
Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkan sama dengan kebalikan
dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapat
dituliskan sebagai
Jika
Menurut (20.16)
F
→
[ f ( −t)
]
F
[ f ( t)
] = F ( ω)
maka F[ f ( −t)
] = F ( −ω)
F (20.25)
=
∫
∞
−∞
f ( −t)
e
[ f ( −t)
] = F[ f ( τ)
]
− jωt
= −
=
∫
∫
∞
∞
−∞
dt
−∞
;
f ( τ)
e
f ( τ)
e
Misalkan
jωτ
− jωτ
dτ
− t = τ
dτ
= F(
−ω)
Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi
Fourier dari fungsi signum dan fungsi eksponensial dua sisi.
CONTOH: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan
eksponensial dua sisi breikut ini.
−u(−t)
Solusi :
1
v(t)
0
−1
u(t)
signum : sgn(t) = u(t) − u(−t)
t
e −α(−t) u(−t)
v(t)
1
1
F = maka
jω
Contoh 10.13. memberikan [ u( t)
] + πδ(
ω)
e −αt u(t)
0
t
eksponensial dua sisi :
e −α| t | = e −αt u(t) + e −α(−t) u(−t)
F
[ sgn( t)
] = F[ u(
t)
− u(
−t)
]
=
2
jω
290 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

−α
F e u(
t)
= maka
t 1
Contoh 10.10.a memberikan [ ]
α + jω
−α |
( )
[ ] [ ]
| t −αt
−α −t
F e = F e u(
t)
+ e u(
−t)
1 1
= + =
α + jω
α + j(
−ω)
α
2
2α
Komponen Nyata dan Imajiner dari F(ω). Pada umumnya
transformasi Fourier dari f(t), F(ω), berupa fungsi kompleks yang dapat
kita tuliskan sebagai
dengan
F(
ω)
=
A
∫
∞
−∞
f ( t)
e
− jωt
dt =
∞
−∞
= A(
ω)
+ jB(
ω)
= F(
ω)
e
∫
f ( t)
cosωt
dt − j
j
θ ω
∫
∞
−∞
+ ω
2
f ( t)
sinωt
dt
∞
∞
( ω)
=
∫
f ( t)cos
ωt
dt ; B(
ω)
= −
−∞
∫
f ( t)sin
ωt
dt (20.26)
−∞
2 2
−1⎛
B(
ω)
⎞
F ( ω)
= A ( ω)
+ B ( ω)
; θ(
ω)
= tan
⎜
⎟ (20.27)
⎝ A(
ω)
⎠
Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (20.26) dan (20.27) dapat kita simpulkan
bahwa
1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena A(−ω)
= A(ω).
2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karena
B(−ω) =− B(ω).
3. |F(ω)| merupakan fungsi genap, karena |F(−ω)| = |F(ω)|.
4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ(−ω) =− θ(ω).
5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(ω) adalah
konjugat-nya, F(−ω) = A(ω) − jB(ω) = F * (ω) .
6. Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(ω) × F(−ω) = F(ω) × F * (ω)
= |F(ω)| 2 .
7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) = 0, yang berarti F(ω) riil.
291

8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) = 0, yang berarti F(ω)
imajiner.
Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.
Jika
[ f ( t)
] = F(
ω)
maka F[ F(
t)
] = 2π
f ( −ω)
F (20.28)
Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.
∞
jωt
∞
− jωt
2π
f ( t)
=
∫
F(
ω)
e dω → 2π
f ( −t)
=
−∞
∫
F(
ω)
e dω
−∞
∞
− jωt
Jika t dan ω dipertukarkan maka : 2π
f ( −ω)
=
∫
F(
t)
e dω
−∞
Pergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
Jika
− jωT
[ f ( t)
] = F(
ω)
maka F[ f ( t − T )] = e F(
ω)
F (20.29)
Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.
Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
[ ]
1
jβt
F(
ω)
= f ( t)
maka F−
[ F(
ω − β)
] = e f ( t)
Jika F
−1
(20.30)
Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.
Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
1 ⎛ ω ⎞
Jika F [ f ( t)
] = F(
ω)
maka F[ f ( at)
] = F⎜
⎟ (20.31)
| a | ⎝ a ⎠
Tabel: Tabel-20.1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier
sedangkan sifat-sifat transformasi Fourier termuat dalam Tabel-20.2.
292 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Tabel-20.1. Pasangan transformasi Fourier.
Sinyal f(t) F(ω)
Impuls δ(t) 1
Sinyal searah (konstan) 1 2π δ(ω)
Fungsi anak tangga u(t) 1
+ πδ(
ω)
jω
Signum
sgn(t)
Exponensial (kausal) −αt
( e ) u(t)
Eksponensial (dua sisi) |
e α |t
Eksponensial kompleks
2
jω
1
α + j
2α
ω
−
2 2
α
+ ω
j t
e β 2π
δ(
ω − β)
Kosinus cosβt π [ δ( ω − β)
+ δ(
ω + β)
]
Sinus sinβt − j π [ δ( ω − β)
− δ(
ω + β)
]
Tabel-20.2. Sifat-sifat transformasi Fourier.
Sifat Kawasan Waktu Kawasan Frekuensi
Sinyal f(t) F(ω)
Kelinieran A f 1 (t) + B f 2 (t) AF 1 (ω) + BF 2 (ω)
Diferensiasi
Integrasi
df ( t)
jωF(ω)
dt
t
F(
ω)
f ( x)
dx
+ π F(0)
δ(
ω)
∫ −∞
jω
Kebalikan f (−t) F(−ω)
Simetri F (t) 2π f (−ω)
Pergeseran waktu f (t − T) − jωT
e F(ω)
Pergeseran frekuensi e j β t f (t) F(ω − β)
Penskalaan |a| f (at) ⎛ ω ⎞
F ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
293

Soal-Soal
Deret Fourier Bentuk Sinus-Cosinus.
1. a). Tentukan deret Fourier dari fungsi yang digambarkan berikut ini.
b). Carilah koefisien kompleks deret
v 1ms
5V
t
a). −5V
v
1ms
10V
b).
v
20ms
t
150V
t
c).
v
150V
d).
v
20ms
1ms
10V
t
e).
−5V
t
294 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Transformasi Fourier
2. Carilah transformasi Fourier dari bentuk-bentuk gelombang berikut:
At
T
a). v( t)
= [ u(
t)
− u(
t − T )]
b).
⎛ 2πt
⎞⎡
⎞ ⎞⎤
⎢ ⎜
⎛ T
⎜
⎛ T
v ( t)
= Acos⎜
⎟ u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ ⎝ T ⎠⎣
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦
A ⎡
⎤
c).
⎛ 2πt
⎞⎤
⎡ ⎞ ⎞
⎢ ⎜
⎛ T
⎜
⎛ T
v ( t)
= ⎢1
+ cos⎜
⎟⎥
u t + ⎟ − u t − ⎟⎥ 2 ⎣ ⎝ T ⎠⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦
d). v ( t)
= 2 + 2u(
t)
e). v ( t)
= 2sgn( −t)
+ 6u(
t)
−2t
f). v(
t)
= [ 2e
u(
t)
+ 2sgn( t)
] δ(
t + 2)
−2(
t−2)
−2(
t+
2)
g). v(
t)
= 2e
u(
t − 2) + 2e
u(
t + 2)
3. Tentukan transformasi balik dari fungsi-fungsi berikut:
a). F ( ω)
=
π
α
e
πA
β
−α|
ω|
b). F ( ω)
= [ u(
ω + β)
− u(
ω − β)
]
c).
d).
e).
F ( ω)
=
F ( ω)
=
F ( ω)
=
1000
( jω + 20) ( jω + 50)
jω
( jω + 20) ( jω + 50)
2
− ω
( jω + 20) ( jω + 50)
f). F ( ω)
=
1000
jω(
jω + 20) ( jω + 50)
295

g).
j500ω
F ( ω)
=
( − jω + 50) ( jω + 50)
h).
i).
j).
F ( ω)
=
F ( ω)
=
F ( ω)
=
j5ω
( jω + 50) ( jω + 50)
5000
jω(
− jω + 50) ( jω + 50)
5000δ(
ω)
2
− ω + j200ω + 2500
k).
l).
−2ω
F ( ω)
= 4π δ(
ω)
+ e
−
4π δ(
ω − 4)e j2
F ( ω)
=
jω
ω
m).
F ( ω)
=
4π δ(
ω)
+ 4( jω + 1)
jω(2
+ jω)
n).
F ( ω)
= 4π δ(
ω)
+ e
−2ω
o). F ( ω)
= 4π δ(
ω)
+ 4π δ(
ω − 2) + 4π δ(
ω + 2)
296 Sudaryatno Sudirham, “Pilihan Topik Matematika”

Daftar Pustaka
1. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison
Wesley, 1956.
2. Erwin Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, John Wiley
& Son, Inc, 1988.
3. D.W. Jordan, P. Smith, “Mathematical Techniques”, Oxford U
Press, 3 rd edition, 2002
4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,
2002.
5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, Darpublic,
Bandung, 2010.
6. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”,
Darpublic, Bandung, 2012.
7. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”,
Darpublic, Bandung, 2012.
8. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik Jilid-3”,
Darpublic, Bandung, 2012.
Biodata Penulis 297

Biodata Penulis
Nama: Sudaryatno Sudirham
Lahir: 26 Juli 1943, di Blora.
Istri: Ning Utari
Anak: Arga Aridarma, Aria Ajidarma.
Pendidikan & Pekerjaan:
1971 : Teknik Elektro, Institut Teknologi Bandung.
1982 : DEA, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.
1985 : Doktor, l’ENSEIHT, INPT, Perancis.
1972−2008 : Dosen Teknik Elektro, ITB.
Training & Pengalaman lain:
1974 : TERC, UNSW, Australia; 1975 − 1978 : Berca Indonesia PT,
Jakarta; 1979 : Electricité de France, Perancis; 1981 : Cour d”Ete,
Grenoble, Perancis; 1991 : Tokyo Intitute of Technology, Tokyo, Jepang;
2005 : Asian Institute of Technology, Bangkok, Thailand; 2005 − 2009 :
Tenaga Ahli, Dewan Komisaris PT PLN (Persero); 2006 − 2011 :
Komisaris PT EU – ITB.
298 Biodata Penulis