安德烈·塞迈雷迪的工作

安 德 烈 · 塞 迈 雷 迪 的 工 作
W. T. Gowers/ 文 史 永 堂 / 译
1. 引 言
安 德 烈 • 塞 迈 雷 迪 是 数 学 中 组 合 数 学 领 域 的 杰 出 人 物 ,
特 别 是 在 极 值 组 合 论 这 一 子 领 域 做 出 了 重 要 的 贡 献 。 稍 后 我
将 解 释 这 些 术 语 的 意 思 , 但 是 这 里 我 们 首 先 来 介 绍 一 下 关
于 他 非 凡 数 学 成 就 的 一 些 枯 燥 的 事 实 。 他 的 最 著 名 的 成 就
是 , 在 1975 年 给 出 了 众 所 周 知 的 埃 尔 德 什 (Paul Erdös) 和
Turán 提 出 的 一 个 具 有 几 十 年 历 史 的 猜 想 的 证 明 , 现 在 被 称
为 是 Szemerédi 定 理 。 这 个 定 理 不 仅 是 二 十 世 纪 数 学 的 重 要
贡 献 之 一 , 而 且 也 是 当 前 大 量 研 究 的 核 心 所 在 。 他 给 出 的
Szemerédi 正 则 引 理 , 是 源 于 Szemerédi 定 理 证 明 的 一 个 结
果 , 但 是 也 已 经 逐 渐 成 为 极 值 组 合 论 的 一 个 重 要 工 具 。 除 此
之 外 , 他 已 经 发 表 了 200 余 篇 论 文 , 其 中 很 多 论 文 都 描 述 了
重 要 的 进 展 。 我 将 会 选 择 其 中 一 两 个 问 题 来 讲 解 , 但 是 我 们
应 该 知 道 的 是 , 它 们 仅 仅 是 对 很 多 领 域 的 数 学 思 想 有 深 远 影
响 的 巨 大 成 就 中 的 一 个 小 的 例 子 。
那 么 , 什 么 是 组 合 数 学 呢 ? 一 个 可 能 的 定 义 是 组 合 数
学 是 来 研 究 离 散 结 构 的 。 那 么 什 么 是 离 散 结 构 呢 ?“ 离 散 ”
这 个 词 是 跟 “ 连 续 ” 对 应 的 : 一 个 结 构 是 连 续 的 , 如 果 你 可
以 从 一 个 部 分 平 滑 地 移 动 到 另 一 部 分 ; 如 果 你 不 得 不 跳 跃 ,
就 是 离 散 的 。 例 如 , 如 果 你 在 建 立 流 体 流 动 的 模 型 , 那 么 你
研 究 的 数 学 结 构 将 是 连 续 的 , 因 为 你 将 考 虑 类 似 于 不 同 点 的
速 度 和 压 力 的 一 些 东 西 , 并 且 这 些 是 平 滑 地 变 化 的 。 相 反 地 ,
如 果 你 在 建 立 计 算 机 内 部 东 西 的 模 型 , 那 么 你 将 会 对 0-1 序
列 感 兴 趣 , 这 是 离 散 结 构 的 一 个 例 子 , 因 为 要 从 一 个 这 样 的
序 列 得 到 另 一 个 序 列 , 你 将 不 得 不 从 0 跳 到 1 至 少 一 次 , 反
之 亦 然 。
另 一 个 离 散 结 构 , 也 许 是 组 合 数 学 中 的 一 个 最 重 要 的
结 构 , 是 图 。 它 包 含 一 些 点 , 以 及 连 接 某 些 点 的 线 。 点 称 为
顶 点 , 线 称 为 边 。
你 可 能 会 认 为 图 是 连 续 的 , 因 为 你 可 以 沿 着 它 的 边 连
续 地 移 动 。 然 而 , 连 续 的 仅 仅 是 图 片 , 而 不 是 图 本 身 。 对 一
个 图 , 我 们 所 关 心 的 是 , 顶 点 中 的 哪 些 对 是 由 边 连 接 的 , 这
可 以 被 看 作 为 一 个 简 单 的 列 表 。 例 如 , 如 果 一 个 图 由 一 个
正 方 形 的 顶 点 和 边 构 成 , 我 们 可 以 称 它 的 顶 点 为 a, b, c, d,
边 记 为 ab, bc, cd, da。
2. Szemerédi 定 理
并 不 是 离 散 结 构 的 所 有 研 究 都 被 划 为 组 合 数 学 。 大 部
分 题 目 的 另 一 个 特 征 是 这 些 问 题 都 可 以 以 容 易 理 解 的 方 式
叙 述 , 至 少 要 比 许 多 其 他 领 域 的 问 题 要 容 易 得 多 。 同 样 , 证
明 经 常 是 初 等 的 , 不 是 像 歇 洛 克 • 福 尔 摩 斯 那 样 用 到 整 个 世
界 , 而 是 仅 仅 用 到 某 种 数 学 。 当 一 个 数 学 家 描 述 某 个 证 明 是
初 等 的 时 候 , 这 意 味 着 证 明 不 会 用 到 深 层 次 的 概 念 , 或 者 不
依 赖 于 之 前 建 立 的 某 些 复 杂 的 结 果 。 但 是 我 们 不 应 该 认 为 这
意 味 着 证 明 是 简 单 的 : 人 们 可 以 以 极 其 复 杂 的 方 式 将 一 些 初
等 的 元 素 放 在 一 起 , 而 且 有 些 “ 初 等 的 ” 证 明 在 数 学 中 是 困
难 的 。 相 反 地 , 一 些 很 高 级 的 证 明 , 当 你 花 足 够 的 时 间 去 理
解 它 们 所 依 赖 的 定 理 时 , 实 际 上 可 能 是 非 常 简 单 的 。( 当 然 ,
也 确 实 存 在 一 些 简 单 的 初 等 证 明 以 及 困 难 的 高 级 证 明 。)
Szemerédi 定 理 是 对 我 刚 才 所 讲 内 容 的 一 个 完 美 的 解
释 。 它 有 一 个 吸 引 人 的 叙 述 , 并 且 塞 迈 雷 迪 给 出 的 证 明 既 是
初 等 的 又 是 极 其 困 难 的 。 让 我 以 解 释 定 理 的 内 容 开 始 讲 起 。
为 了 讲 解 定 理 的 内 容 , 我 需 要 等 差 级 数 ( 或 称 为 算 术 级 数 )
的 概 念 。 一 个 等 差 级 数 是 指 一 个 数 的 序 列 , 每 一 项 都 增 加 相 同
的 大 小 ( 称 为 公 差 )。 所 以 序 列 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39 是 一 个
等 差 级 数 , 它 的 公 差 为 6, 而 序 列 4, 7, 11, 14, 17, 21 不 是 等 差
级 数 , 因 为 相 邻 两 项 的 差 是 不 相 同 的 ( 有 些 是 3, 有 些 是 4)。
一 种 理 解 Szemerédi 定 理 的 方 法 是 去 想 象 下 面 的 单 玩 家
的 比 赛 。 告 诉 你 一 个 比 较 小 的 数 字 , 比 如 是 5, 和 一 个 大 的
数 字 , 比 如 是 10000。 你 的 任 务 是 在 1 和 10000 之 间 尽 可 能
地 选 择 尽 量 多 的 整 数 , 你 要 遵 守 的 规 则 是 你 所 选 的 整 数 中 不
阿 贝 尔 委 员 会 关 于 塞 迈 雷 迪 获 奖 的 海 报
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 3 期 17

应 该 包 含 5- 项 的 等 差 级 数 。 举 例 来 说 , 如 果 你 碰 巧 选 择 了
数 字 101, 1103, 2105, 3107 和 4109( 以 及 一 些 其 他 的 数 字 ),
那 么 你 将 输 掉 比 赛 , 因 为 这 五 个 数 字 构 成 了 一 个 五 项 的 等 差
级 数 , 他 们 的 公 差 是 1002。
显 然 地 , 最 终 你 是 注 定 要 输 掉 这 个 比 赛 的 , 因 为 我 们 可
以 给 出 一 个 既 初 等 又 极 其 简 单 的 证 明 , 如 果 你 要 保 持 足 够 长
的 选 择 , 最 终 你 将 选 择 1 到 10000 中 的 所 有 数 字 , 这 将 包 含
许 多 5- 项 的 等 差 级 数 。 但 是 Szemerédi 定 理 告 诉 我 们 一 些 更
有 趣 的 事 情 : 即 使 你 使 用 最 好 的 回 避 等 差 级 数 的 策 略 , 在 你
远 远 还 没 接 近 选 择 所 有 数 字 之 前 , 你 就 已 经 输 掉 比 赛 了 。
为 了 更 准 确 地 叙 述 这 个 结 果 , 我 将 需 要 一 点 代 数 的 知
识 , 我 的 意 思 是 希 望 用 两 个 字 母 来 表 示 我 们 开 始 时 的 那 两
个 数 字 。 用 k 表 示 我 们 希 望 避 免 的 级 数 的 长 度 ,n 表 示 我 们
希 望 从 中 选 择 的 初 始 数 字 的 个 数 。( 在 我 们 上 面 的 讨 论 中 ,k
是 5,n 是 10000。) 现 在 用 S(k, n) 表 示 在 避 免 k- 项 等 差 级
数 出 现 的 前 提 下 , 所 能 选 择 数 字 的 最 大 数 目 。 塞 迈 雷 迪 证 明
了 : 当 n 很 大 时 ,S(k, n) 是 n 的 一 个 非 常 小 的 百 分 数 。 那 么
有 多 小 呢 ? 要 多 小 有 多 小 , 只 要 假 设 n 是 足 够 大 的 。
例 如 , 如 果 你 尝 试 去 回 避 长 为 23 的 级 数 ,Szemerédi
定 理 告 诉 我 们 存 在 某 个 n( 可 能 非 常 巨 大 , 但 是 它 是 存 在 的 )
满 足 下 面 的 条 件 : 如 果 我 们 用 n 个 数 字 来 玩 比 赛 , 在 我 们 输
掉 比 赛 之 前 , 我 们 不 会 选 择 多 于 n/1000 个 数 字 , 即 总 数 的
0.1%。 而 且 , 这 个 结 果 对 任 何 其 它 的 级 数 长 度 和 任 何 其 它
的 正 的 百 分 数 都 是 成 立 的 。
那 么 怎 么 去 证 明 呢 ? 这 里 我 不 打 算 去 告 诉 你 , 我 将 再
次 说 明 从 技 巧 意 义 上 来 说 那 是 初 等 的 , 并 且 我 将 从 塞 迈 雷 迪
的 原 始 文 章 中 复 制 一 个 图 表 来 尝 试 使 你 相 信 这 也 是 困 难 的 。
F 1 F 2 F 3 L 1 L 1
L 5 F 10
F 5 F 7
L 2 L 3
L 4
F 0
T
F 11
vdw t m
F12 L 6
F 4 F 6
D
C
F9
3. 为 什 么 我 们 要 关 心 等 差 级 数 的 寻 找 呢 ?
我 在 现 实 生 活 中 并 没 有 看 到 如 下 情 形 的 重 要 性 : 一 个
小 的 整 数 集 合 包 含 一 个 长 为 10 的 等 差 级 数 。 即 使 出 现 这
种 情 形 ,Szemerédi 定 理 告 诉 你 你 所 需 要 的 n 将 会 远 远 大
于 宇 宙 中 原 子 的 数 目 , 或 者 是 这 个 数 字 的 指 数 。 这 将 使 定
理 远 离 任 何 实 际 应 用 的 领 域 。 那 么 , 数 学 家 们 到 底 发 现 了
Szemerédi 定 理 的 哪 些 方 面 是 如 此 的 迷 人 呢 ?
对 这 个 问 题 , 有 很 多 回 答 。 最 显 而 易 见 的 是 ,
Szemerédi 定 理 叙 述 的 简 单 与 其 证 明 ( 以 及 所 有 随 后 发 现 的
证 明 ) 的 困 难 之 间 的 对 比 。 通 常 情 况 下 , 一 个 简 单 的 、 自 然
的 数 学 陈 述 要 么 有 一 个 简 单 的 证 明 , 要 么 有 一 个 简 单 的 反
例 。 然 而 , 有 些 时 候 人 们 惊 奇 地 看 到 : 一 个 形 式 无 误 的 问 题
的 解 决 要 远 比 人 们 的 期 望 困 难 得 多 。 这 些 问 题 中 的 大 部 分 被
证 明 太 难 了 , 以 至 于 没 有 人 相 信 在 与 当 前 完 全 不 同 的 新 思 想
出 现 之 前 它 们 将 能 够 被 解 决 (e+π 是 否 是 无 理 数 的 问 题 就 是
一 个 例 子 )。 但 是 有 些 问 题 不 是 这 样 的 : 问 题 的 提 出 很 简 单
并 且 难 于 回 答 , 但 是 它 们 跟 某 些 问 题 有 足 够 的 联 系 , 使 得
人 们 感 觉 尝 试 解 决 它 们 并 不 是 完 全 没 有 希 望 的 事 情 。Erdös-
Turán 猜 想 就 可 以 归 于 这 一 类 。
第 二 个 回 答 是 ,Szemerédi 定 理 有 很 多 数 学 的 应 用 , 尽
管 它 没 有 什 么 实 际 的 应 用 。 其 中 非 常 著 名 的 是 Ben Green 和
陶 哲 轩 的 一 个 定 理 : 你 可 以 发 现 仅 包 含 素 数 的 任 意 长 的 等
差 级 数 。 这 个 结 果 并 不 是 直 接 源 于 Szemerédi 定 理 , 但 是
Green 和 陶 哲 轩 发 现 了 一 个 极 其 巧 妙 的 方 法 将 他 们 的 问 题 转
化 为 一 个 可 以 用 Szemerédi 定 理 来 解 决 的 形 式 。
然 而 , 如 果 你 坚 持 要 求 实 际 应 用 的 话 , 那 么 一 切 并 没
有 丢 失 , 只 要 你 能 够 接 受 非 直 接 的 应 用 而 不 是 直 接 的 应 用 。
数 学 的 一 个 重 要 的 但 不 值 得 充 分 赞 赏 的 方 面 是 , 你 要 证 明 的
结 果 往 往 没 有 你 证 明 它 所 用 的 方 法 更 有 意 思 。 这 一 趋 势 在 组
合 数 学 中 尤 为 明 显 , 组 合 数 学 中 的 一 些 公 开 问 题 往 往 越 来 越
受 关 注 , 不 是 因 为 我 们 渴 望 知 道 它 们 的 答 案 , 而 是 因 为 它 们
包 含 了 许 多 更 一 般 的 困 难 , 这 些 困 难 让 我 们 感 觉 到 我 们 又 真
正 地 回 到 了 数 学 。 当 一 个 这 样 的 问 题 得 到 解 决 时 , 它 的 解 常
常 包 含 新 的 数 学 工 具 的 发 展 , 这 些 新 的 工 具 能 够 在 许 多 其 他
情 况 下 得 到 使 用 。
Szemerédi 定 理 就 是 这 种 现 象 的 一 个 奇 妙 的 解 释 , 正 如
我 们 将 要 看 到 的 。
4. Szemerédi 正 则 引 理
到 目 前 为 止 我 还 没 有 讲 什 么 是 极 值 组 合 论 , 那 么 现 在
让 我 开 始 讲 。 这 里 有 一 个 极 值 图 论 的 问 题 : 如 果 一 个 图 有 n
个 顶 点 , 那 么 在 保 证 任 意 三 个 点 都 不 构 成 三 角 形 的 情 况 下 ,
它 可 以 有 多 少 条 边 呢 ? 一 般 来 说 , 极 值 组 合 论 中 的 问 题 是 在
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 3 期 18

Ben Green( 左 ) 和 陶 哲 轩 著 名 的 数 论 工 作 用 到 了 Szemerédi 定 理
限 制 某 些 其 他 情 况 发 生 的 前 提 下 , 问 某 个 量 可 以 达 到 多 大 。
Szemerédi 定 理 本 身 就 是 另 外 一 个 这 样 的 例 子 , 它 描 述 了 一
个 这 样 的 问 题 : 在 限 制 长 为 k 的 等 差 级 数 出 现 的 情 况 下 , 你
可 以 从 1 到 n 中 选 择 多 少 个 数 字 。
这 些 问 题 自 然 地 分 为 两 部 分 。 一 部 分 是 去 寻 找 能 够 避
免 你 希 望 避 免 的 结 构 的 例 子 , 以 这 样 的 方 式 使 得 你 感 兴 趣 的
量 能 够 尽 可 能 的 大 。 另 一 部 分 是 去 证 明 如 果 问 题 中 的 量 达 到
某 个 数 值 , 那 么 你 将 不 能 避 免 你 希 望 避 免 的 结 构 。 埃 尔 德 什
的 一 个 深 刻 的 观 察 , 在 很 多 情 况 下 是 解 决 第 一 部 分 问 题 的 一
个 出 奇 得 好 的 方 法 , 即 去 随 机 地 选 择 你 的 结 构 。 例 如 , 如 果
你 的 结 构 是 n 个 顶 点 的 图 , 如 果 每 对 顶 点 x 和 y 是 否 有 边 相
连 仅 仅 是 靠 投 掷 硬 币 来 决 定 ( 如 果 你 希 望 你 的 随 机 图 包 含 很
少 的 边 , 那 么 你 可 以 使 用 一 枚 扁 的 硬 币 ), 那 么 对 某 些 问 题 ,
你 将 得 到 非 常 好 的 解 答 。 尽 管 看 起 来 你 可 能 对 随 机 定 义 的 结
构 不 能 说 什 么 , 但 是 如 果 你 正 在 寻 找 完 全 确 定 的 事 情 , 那 么
这 差 不 多 是 正 确 的 。 然 而 , 如 果 我 们 仅 仅 要 求 接 近 确 定 的 事
情 , 那 么 我 们 就 有 很 多 可 以 说 的 了 , 这 正 是 我 们 要 讲 的 。 如
果 我 们 可 以 说 一 个 随 机 选 取 的 结 构 几 乎 确 定 地 具 有 我 们 希
望 的 性 质 , 那 么 我 们 就 可 以 给 出 一 个 弱 得 多 的 结 论 : 至 少 存
在 一 个 结 构 具 有 我 们 希 望 的 性 质 , 这 样 就 足 够 了 。
埃 尔 德 什 的 观 察 诞 生 了 随 机 图 论 , 现 在 已 经 成 为 组 合
数 学 的 一 个 主 要 的 子 领 域 。 作 为 一 个 结 果 , 组 合 数 学 家 们 不
认 为 随 机 图 是 讨 厌 的 、 混 乱 的 东 西 , 而 认 为 从 许 多 方 面 来 说
都 是 容 易 理 解 的 东 西 。 为 了 更 清 楚 地 表 达 , 我 不 再 说 随 机 图
论 是 一 个 容 易 的 领 域 : 如 果 你 问 关 于 一 个 随 机 图 的 足 够 详 细
的 问 题 , 那 么 回 答 它 们 需 要 非 常 精 密 的 、 困 难 的 概 率 估 计 。
但 是 随 机 图 在 以 下 方 面 具 有 重 要 意 义 , 随 机 图 ( 几 乎 总 ) 是
可 预 言 的 并 且 效 果 良 好 。
由 于 这 一 背 景 ,Szemerédi 正 则 引 理 应 该 得 到 大 家 理 解 。
在 介 绍 正 则 引 理 之 前 , 我 们 假 设 图 被 认 为 是 没 有 结 构 的 东
西 。 最 后 , 当 你 介 绍 一 个 图 时 , 对 每 对 顶 点 x 和 y 你 需 要 决
定 是 否 用 一 条 边 连 接 它 们 , 并 且 你 的 决 定 没 有 任 何 限 制 。 然
而 塞 迈 雷 迪 意 识 到 , 一 旦 你 丢 掉 你 对 随 机 性 的 恐 惧 , 你 就 可
以 对 完 全 任 意 的 图 给 出 一 个 有 用 的 结 构 描 述 。
在 这 里 我 不 能 给 出 这 个 结 果 的 一 个 精 确 的 叙 述 , 但 是
大 致 的 思 想 是 这 样 的 。 给 定 任 意 一 个 图 , 存 在 一 种 如 下 的 方
式 将 它 的 所 有 顶 点 划 分 为 一 些 集 合 , 这 些 集 合 的 数 目 比 较
小 : 如 果 你 取 出 连 接 其 中 任 意 两 个 集 合 的 边 , 那 么 它 们 看 起
来 像 是 被 随 机 选 择 的 ( 事 实 上 , 尽 管 这 个 大 致 的 思 想 是 过 于
简 单 的 , 但 是 对 这 些 目 的 它 将 起 作 用 )。 简 言 之 , 每 个 图 都
是 由 数 目 很 少 的 随 机 图 构 成 的 。
这 告 诉 我 们 , 可 以 使 用 很 小 数 目 的 数 据 来 给 我 们 的 图
一 个 好 的 刻 画 : 将 顶 点 划 分 成 引 理 告 诉 我 们 的 一 些 集 合 , 我
们 只 需 要 粗 略 地 说 每 对 集 合 之 间 有 多 少 条 边 , 并 且 我 们 知 道
这 些 边 是 以 一 种 看 起 来 随 机 的 方 式 分 配 的 。 这 并 不 能 确 切 地
告 诉 我 们 这 个 图 是 什 么 样 子 的 , 但 是 更 多 情 形 下 两 个 随 机 图
的 差 别 是 不 重 要 的 , 因 为 它 们 都 是 随 机 的 , 所 以 它 们 都 具 有
你 希 望 一 个 随 机 图 所 具 有 的 性 质 。
Szemerédi 正 则 引 理 很 快 成 为 , 并 且 现 在 仍 然 是 极 值 图
论 的 一 个 核 心 的 工 具 , 它 的 间 接 的 影 响 , 如 随 后 的 许 多 变 形
和 推 广 , 仍 然 非 常 广 泛 。
我 许 诺 过 要 讨 论 正 则 引 理 的 一 些 间 接 的 实 际 应 用 。 所
以 让 我 以 一 个 具 有 明 显 实 际 重 要 性 的 人 工 智 能 问 题 开 始 , 然
后 回 到 正 则 引 理 。 没 有 人 可 以 否 认 : 如 果 有 人 可 以 设 计 一 个
能 够 从 经 验 中 学 习 的 计 算 机 程 序 , 那 么 这 个 程 序 将 有 无 数 的
实 际 应 用 。 试 图 去 做 这 件 事 的 人 工 智 能 的 一 个 分 支 称 为 机 器
学 习 。 一 个 被 称 为 PAC 学 习 的 著 名 的 抽 象 模 型 是 由 Leslie
Valiant 提 出 的 , 是 研 究 机 器 学 习 的 一 种 好 的 结 构 。[ 字 母
PAC 代 表 “probably approximately correct”( 概 率 近 似 正 确 )]。
这 引 出 了 一 个 被 归 入 一 般 性 能 测 试 的 纯 数 学 的 问 题 。 粗 略 地
讲 , 你 有 一 个 结 构 , 你 希 望 去 证 明 它 要 么 有 某 个 性 质 , 要 么
它 可 能 非 常 类 似 于 一 个 不 具 有 这 个 性 质 的 结 构 。 例 如 , 给 你
一 个 图 , 让 你 去 证 明 它 包 含 一 个 三 角 形 , 或 者 它 跟 一 个 不 包
含 三 角 形 的 图 只 有 略 微 的 不 同 。 从 机 器 学 习 的 角 度 来 看 , 我
们 感 兴 趣 的 是 这 些 通 常 可 以 被 格 外 快 地 处 理 : 程 序 会 执 行 很
小 数 目 的 一 些 简 单 的 测 试 , 然 后 形 成 一 个 可 靠 的 假 设 ( 也 就
是 , 一 个 概 率 近 似 正 确 的 假 设 )。 允 许 我 们 去 证 明 这 件 事 的
工 具 是 什 么 呢 ? 那 就 是 Szemerédi 正 则 引 理 。
5. 排 序
塞 迈 雷 迪 也 因 成 为 Miklos Ajtai, Janos Komlos 和 Endre
Szemerédi ( 简 称 AKS) 三 人 之 一 而 著 名 。 我 将 论 述 他 们 工
作 的 两 个 最 著 名 的 部 分 , 但 是 我 必 须 强 调 这 只 是 一 个 小 样
本 。 当 我 说 “ 最 著 名 ” 的 时 候 , 我 的 意 思 是 类 似 于 高 速 公 路
上 的 光 线 : 它 们 非 常 的 昂 贵 , 但 是 它 们 也 非 常 的 多 。
计 算 机 科 学 中 的 一 个 古 老 的 话 题 是 排 序 算 法 。 给 你 一
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 3 期 19