5. Konvolusi dan Transformasi Fourier ∫ ∑

Pasangan Transformasi Fourier Diskrit untuk fungsi dengan satu peubah:
F
f
u
x
=
=
∑ −1
1 − 2 /
= 0
N
i ux N
f xe
N x
∑ − N 1
i2πux
/ N
Fue
u=
0
π , u = 0, 1, 2, …, N – 1 (5.25)
, x = 0, 1, 2, …, N – 1 (5.26)
Dengan mengingat kesamaan Euler, pasangan Transformasi Fourier Diskrit dapat ditulis dalam
bentuk
F
f
u
x
N 1
∑
x 0
−
=
1
= [ f x cos( 2πux
/ N ) − i f x sin( 2πux
/ N )]
(5.27)
N
N 1
∑[ u 0
−
=
= F cos( 2πux
/ N ) + i F sin( 2πux
/ N )]
(5.28)
u
u
Interpretasi dari TFD adalah sebagai berikut: TFD mengkonversi data diskrit menjadi sejumlah
sinusoida diskrit yang frekuensinya dinomori dengan u = 0, 1, 2, …, N – 1, dan ampiltudonya
diberikan oleh F(u).
Faktor 1/N pada persamaan F(u) adalah faktor skala yang dapat disertakan dalam persamaan F(u)
atau dalam persamaan f(x), tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh 5.2. [MEN89] Diketahui fungsi sinyal f(t) dengan hasil penerokan ke dalam nilai-nilai
diskrit sebagai berikut (N = 4):
x0 = 0.5, f0 = 2
x1 = 0.75, f1 = 3
x2 = 1.0, f2= 4
x3 = 1.25, f3= 4
Transformasi Fourier Diskrit adalah sebagai berikut:
F
F
0
1
3
1 −i.
0.
2πx
/ 4 1 0 1
= ∑ f xe
= ∑ f xe
= ∑ f
4
4 4
3
3
1
(
4
x 0 1 2
x=
0
x=
0
x=
0
3
1 −i.
1.
2πx
/ 4 1 0 −iπ
/ 2 −iπ
−i3π
/ 2
f xe
= ( f0e
+ f1e
+ f 2e
+ f3e
4 x=
0
4
= ∑
=
f
+
f
+
f
+
)
f ) = 3.
25
1
= ( 2 + 3[cos(
π / 2)
− i sin( π / 2)]
+ 4[cos(
π ) − i sin( π )] + 4[cos(
3π
/ 2)
− i
4
1
1
= ( 2 + 3[
0 − i ] + 4[
−1
− 0]
+ 4[
0 + i])
= ( −
2 − i)
4
4
3
sin(3π
/ 2)])
15