5. Konvolusi dan Transformasi Fourier ∫ ∑

Untuk f(x) real, F(u) adalah fungsi kompleks dan dapat dituliskan sebagai:
F(u) = R(u) + iI(u) =
F(
u)
e
iφ(
u)
Amplitudo atau ⎢F(u) ⎢disebut spektrum Fourier dari f(x) dan didefinisikan sebagai:
2
2
(5.15)
F ( u)
= R ( u)
+ I ( u)
(5.16)
Sudut fase spektrum,
−1
I(
u)
Θ ( u)
= tan [ ]
R(
u)
(5.17)
menyatakan pergeseran fase atau sudut fase dari setiap frekuensi u.
Dengan mengingat kesamaan Euler
e ix ±
= cos( x)
± i sin(
x)
maka pasangan transformasi Euler dapat juga ditulis sebagai
∞
−i2πux
∫ f ( x)
e dx = ∫
−∞
∞
F(
u)
= f ( x){cos(
2πux)
− i sin ( 2πux)}
dx
∞
−∞
i2πux
∫ F(
u)
e du = ∫
−∞
∞
f ( x)
= F(
u){cos(
2πux)
+ i sin ( 2πux)}
du
Transformasi Fourier untuk fungsi dengan dua peubah adalah
F(
u,
v)
=
∞ ∞
∫∫
−∞−∞
f ( x,
y)
e
−∞
−i2π
( ux+
uy)
dudv
sedangkan Transformasi Fourier Balikannya adalah
f ( x,
y)
=
∞ ∞
∫∫
−∞−∞
F(
u,
v)
e
i2π
( ux+
uy)
dudv
yang dalam hal ini, x dan y adalah peubah spasial, sedangkan u dan v adalah peubah frekuensi.
Spektrum Fourier dari fungsi dua peubah:
2
2
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
F ( u,
v)
= R ( u,
v)
+ I ( u,
v)
(5.23)
13