Kuliah 6 – Momentum dan Tumbukan

MOMENTUM
LINEAR
dan
TUMBUKAN

Momentum Linear :
(9-1)
p ≡ mv
Hukum Newton II :
p =
x
p =
y
p =
z
mv
mv
mv
x
y
z
(9-2)
Laju perubahan momentum
dp
F = (9-3)
dt
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?
(9-4) dp = Fdt
Impuls
(9-5)
Δp
= p
f
− p
i
=
∫
t
t
i
f
Fdt

Impuls :
(9-6)
F
t i
t
f
I ≡ ∫ Fdt
= Δp
t f
t
i
t
Impuls suatu gaya F sama dengan
perubahan momentum benda.
Teorema Impuls-Momentum
Gaya rata-rata :
1
F ≡
Δt
∫
t
t
i
f
Fdt
I = Δp
= FΔt
Untuk F konstan :
(9-7)
(9-8)
I = Δp
= FΔt
(9-9)

m 1
p 1
p 2
KEKEKALAN MOMENTUM LINIER
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL
F12 F21 p 1 = m 1 v 1
m 2 p 2 = m 2 v 2
P = p + p
1
2
dp1 F 12 =
dt
F + F = 0
12
21
dp dp
+
dt dt
1 2 =
0
F =
21
d 2
p
dt
d
dt
( p1
+ p2
Hukum Newton III
F = −F
) = 0
P = p + p = konstan
(9-10)
1
P ix = Pfx
iy Pfy
2
P = P iz = Pfz
Momentum partikel di dalam
suatu sistem tertutup selalu tetap
Hukum kekekalan momentum
m1v1i m2v
2i
= m1v1
f + m2v
2 f
+ (9-11)
p +
p = p + p
1i
2i
1 f 2 f
12
21
(9-12)

F 12
F 12 F21
m 1 m 2
F
p
+
F 12
F 21
++
He 4
t
F 21
TUMBUKAN
Interaksi antar partikel yang berlangsung
dalam selang waktu yang sangat singkat
Kontak langsung
Proses hamburan
Hukum Newton III
F = −F
12
Δp
= −Δp
1
Δp + Δp
1 2
( 1 + 2
2
21
= 0
Gaya impulsiv
Diasumsikan jauh lebih besar
dari gaya luar yang ada
Δp
Δp
1
2
=
=
t
t
∫
2
1 12
t
t
∫
2
1
F
F
21
dt
dt
dp
F = (9-3)
dt
Δ p p ) = 0 P = p + p = konstan
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan
1
2

Tumbukan Lenting Sempurna
Klasifikasi Tumbukan
Berlaku hukum kekekalan momentum
dan kekekalan energi
Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)
Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi
m 2
Sebelum tumbukan
v 2i
v 1i
m 1
Hukum kekekalan momentum :
1i
2i
Setelah tumbukan
m 1 + m 2
m v + m v = m + m ) v (9-13)
v
f
1
2
m1v1i
+ m2v
=
m + m
1
2
( 1 2
2i
f
v f
(9-14)

Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi
m 2
Sebelum tumbukan
v 2i
v 1i
m 1
Hukum kekekalan momentum :
m1 v1i
m2v2i
= m1v1
f + m2v2
f
1
2
1
+ (9-15)
2 1 2 1 2 1 2
1i
+ 2 m2v2i
= 2 m1v1
f 2 m2v2
f (9-16)
m v
+
2 2
2 2
1 1i
1 f 2 2 f 2i
m ( v − v ) = m ( v − v
)
m v − v )( v + v ) = m ( v − v )( v + v ) (9-17)
v 2f
1( 1i
1 f 1i
1 f 2 2 f 2i
2 f 2i
m v − v ) = m ( v − v ) (9-18)
1( 1i
1 f 2 2 f 2i
v1 i + v1
f = v2
f + v2i
v − v = − v − v ) (9-19)
1i 2i
( 1 f 2 f
Setelah tumbukan
m 2
⎛ m
= ⎜
⎝ m
m 1
− m
+ m
⎛ 2m1
= ⎜
⎝ m1
+ m
⎞
⎟v
⎠
v1 f
1 2
1i
1 2
⎞
⎟v
⎠
v2 f
1i
2
+
+
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
m
m
2
1
v 1f
2m2
m + m
1
2
− m
+ m
1
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(9-20)
(9-21)

m 1
TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan
v 1i
m 2
θ
φ
m 2
-v 2f sin φ
v 1f sin θ
v 2f
m 1
v 2f cos φ
Komponen ke arah x : m v = m v θ + m v cosφ
(9-24a)
Jika tumbukan lenting sempurna :
1 1i
1 1 f cos 2 2 f
= m v sinθ
− m v sinφ
(9-24b)
0 1 1 f
2 2 f
1
2
1
2
1i
1
2
1
2
1 f
1
2
2
2
2 f
v 1f
v 1f cos θ
m v = m v + m v (9-24a)

PM x
Pusat Massa Sistem Partikel

y 2
y 1
Y
⊗
m 2
m 1
y c
X
y c
m1
y1
≡
m
1
+ m
+ m
Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?
y
c
≡
m
1
y1
+ m2
y2
+ ⋅⋅
⋅ + m
m + m + ⋅⋅
⋅ + m
1
2
n
Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?
n
y
n
=
n
∑ m
i=
1
n
∑ m
i=
1
i
y
i
i
2
2
y
2
n
∑ m
i = =1
i
M
y
i

y
x
z
c
c
c
n
∑ m
i = =1
n
i
M
∑ m
i = =1
n
M
i
∑ m
i = =1
M
i
y
x
z
i
i
i
r
r
c
c
r
c
r
c
= x ˆi
+ y ˆj
+ z
=
c
∑
c
c
kˆ
x ˆ
ii
+ ∑ mi
y ˆ
ij
+ ∑ mi
z kˆ
M
mi i
∑ mi ( x ˆ
ii
+ y ˆ
ij
+ z ˆ
ik)
=
M
∑ miri =
r ˆi
ˆj
kˆ
i = x i + yi
+ zi
M
Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?

Y
Z
r i
r c
Δmi ⊗
PM
X
r
r
mi c ∑ Δ
≈
ri
M
c = lim
Δm
→0
r
c
x c
i
∑ri Δ
M
1
= ∫rdm
M
y c
z c
1
= ∫ xdm
M
1
= ∫ ydm
M
1
= ∫ zdm
M
m i

Gerak Sistem Partikel
Kecepatan :
Momentum :
Percepatan :
v =
c
d c
r
dt
=
Mv ∑ m v
c = i i
d c
1 dr
∑m
i
i
M dt
v 1
a c = = ∑m
dt M
Ma ∑ m a ∑F
c = i i = i
F = 0
0 =
dP
dt
∑ i
= ∑p
= P
i
dv
dt
i
=
∑ iv
=
M
m i
1
∑m
a
M
= i i
dP
dt
P
= Mvc
= konstan

M+Δm
p = ( M + Δm)
v
i
v
Kecepatan bahan bakar
relatip terhadap roket
M
Δm
v e
v+Δv
v - v e
( M + Δm)
v = M ( v + Δv)
+ Δm(
v − ve
)
M eΔ = Δ v v
m
Untuk interval waktu yang sangat pendek :
Mdv = vedm
dm = −dM
v v − =
Md e
v
dM
f
∫ dv
= −ve∫
v
v
i
f
− v
i
=
v
e
Massa bahan bakar
yang terbakar
M
M
i
Pengurangan
massa roket
f
dM
M
⎛
⎜
M
ln
⎜
⎝ M
i
f
⎞
⎟
⎠