Kuliah 6 – Momentum dan Tumbukan
Kuliah 6 – Momentum dan Tumbukan
Kuliah 6 – Momentum dan Tumbukan
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
MOMENTUM<br />
LINEAR<br />
<strong>dan</strong><br />
TUMBUKAN
<strong>Momentum</strong> Linear :<br />
(9-1)<br />
p ≡ mv<br />
Hukum Newton II :<br />
p =<br />
x<br />
p =<br />
y<br />
p =<br />
z<br />
mv<br />
mv<br />
mv<br />
x<br />
y<br />
z<br />
(9-2)<br />
Laju perubahan momentum<br />
dp<br />
F = (9-3)<br />
dt<br />
Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada<br />
gaya yang bekerja pada benda tersebut ?<br />
(9-4) dp = Fdt<br />
Impuls<br />
(9-5)<br />
Δp<br />
= p<br />
f<br />
− p<br />
i<br />
=<br />
∫<br />
t<br />
t<br />
i<br />
f<br />
Fdt
Impuls :<br />
(9-6)<br />
F<br />
t i<br />
t<br />
f<br />
I ≡ ∫ Fdt<br />
= Δp<br />
t f<br />
t<br />
i<br />
t<br />
Impuls suatu gaya F sama dengan<br />
perubahan momentum benda.<br />
Teorema Impuls-<strong>Momentum</strong><br />
Gaya rata-rata :<br />
1<br />
F ≡<br />
Δt<br />
∫<br />
t<br />
t<br />
i<br />
f<br />
Fdt<br />
I = Δp<br />
= FΔt<br />
Untuk F konstan :<br />
(9-7)<br />
(9-8)<br />
I = Δp<br />
= FΔt<br />
(9-9)
m 1<br />
p 1<br />
p 2<br />
KEKEKALAN MOMENTUM LINIER<br />
UNTUK SISTEM DUA PARTIKEL<br />
F12 F21 p 1 = m 1 v 1<br />
m 2 p 2 = m 2 v 2<br />
P = p + p<br />
1<br />
2<br />
dp1 F 12 =<br />
dt<br />
F + F = 0<br />
12<br />
21<br />
dp dp<br />
+<br />
dt dt<br />
1 2 =<br />
0<br />
F =<br />
21<br />
d 2<br />
p<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
( p1<br />
+ p2<br />
Hukum Newton III<br />
F = −F<br />
) = 0<br />
P = p + p = konstan<br />
(9-10)<br />
1<br />
P ix = Pfx<br />
iy Pfy<br />
2<br />
P = P iz = Pfz<br />
<strong>Momentum</strong> partikel di dalam<br />
suatu sistem tertutup selalu tetap<br />
Hukum kekekalan momentum<br />
m1v1i m2v<br />
2i<br />
= m1v1<br />
f + m2v<br />
2 f<br />
+ (9-11)<br />
p +<br />
p = p + p<br />
1i<br />
2i<br />
1 f 2 f<br />
12<br />
21<br />
(9-12)
F 12<br />
F 12 F21<br />
m 1 m 2<br />
F<br />
p<br />
+<br />
F 12<br />
F 21<br />
++<br />
He 4<br />
t<br />
F 21<br />
TUMBUKAN<br />
Interaksi antar partikel yang berlangsung<br />
dalam selang waktu yang sangat singkat<br />
Kontak langsung<br />
Proses hamburan<br />
Hukum Newton III<br />
F = −F<br />
12<br />
Δp<br />
= −Δp<br />
1<br />
Δp + Δp<br />
1 2<br />
( 1 + 2<br />
2<br />
21<br />
= 0<br />
Gaya impulsiv<br />
Diasumsikan jauh lebih besar<br />
dari gaya luar yang ada<br />
Δp<br />
Δp<br />
1<br />
2<br />
=<br />
=<br />
t<br />
t<br />
∫<br />
2<br />
1 12<br />
t<br />
t<br />
∫<br />
2<br />
1<br />
F<br />
F<br />
21<br />
dt<br />
dt<br />
dp<br />
F = (9-3)<br />
dt<br />
Δ p p ) = 0 P = p + p = konstan<br />
Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem<br />
sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan<br />
jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan<br />
Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan<br />
1<br />
2
<strong>Tumbukan</strong> Lenting Sempurna<br />
Klasifikasi <strong>Tumbukan</strong><br />
Berlaku hukum kekekalan momentum<br />
<strong>dan</strong> kekekalan energi<br />
<strong>Tumbukan</strong> Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang<br />
(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)<br />
<strong>Tumbukan</strong> Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu<br />
Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi<br />
m 2<br />
Sebelum tumbukan<br />
v 2i<br />
v 1i<br />
m 1<br />
Hukum kekekalan momentum :<br />
1i<br />
2i<br />
Setelah tumbukan<br />
m 1 + m 2<br />
m v + m v = m + m ) v (9-13)<br />
v<br />
f<br />
1<br />
2<br />
m1v1i<br />
+ m2v<br />
=<br />
m + m<br />
1<br />
2<br />
( 1 2<br />
2i<br />
f<br />
v f<br />
(9-14)
Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi<br />
m 2<br />
Sebelum tumbukan<br />
v 2i<br />
v 1i<br />
m 1<br />
Hukum kekekalan momentum :<br />
m1 v1i<br />
m2v2i<br />
= m1v1<br />
f + m2v2<br />
f<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ (9-15)<br />
2 1 2 1 2 1 2<br />
1i<br />
+ 2 m2v2i<br />
= 2 m1v1<br />
f 2 m2v2<br />
f (9-16)<br />
m v<br />
+<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 1i<br />
1 f 2 2 f 2i<br />
m ( v − v ) = m ( v − v<br />
)<br />
m v − v )( v + v ) = m ( v − v )( v + v ) (9-17)<br />
v 2f<br />
1( 1i<br />
1 f 1i<br />
1 f 2 2 f 2i<br />
2 f 2i<br />
m v − v ) = m ( v − v ) (9-18)<br />
1( 1i<br />
1 f 2 2 f 2i<br />
v1 i + v1<br />
f = v2<br />
f + v2i<br />
v − v = − v − v ) (9-19)<br />
1i 2i<br />
( 1 f 2 f<br />
Setelah tumbukan<br />
m 2<br />
⎛ m<br />
= ⎜<br />
⎝ m<br />
m 1<br />
− m<br />
+ m<br />
⎛ 2m1<br />
= ⎜<br />
⎝ m1<br />
+ m<br />
⎞<br />
⎟v<br />
⎠<br />
v1 f<br />
1 2<br />
1i<br />
1 2<br />
⎞<br />
⎟v<br />
⎠<br />
v2 f<br />
1i<br />
2<br />
+<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
m<br />
m<br />
2<br />
1<br />
v 1f<br />
2m2<br />
m + m<br />
1<br />
2<br />
− m<br />
+ m<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(9-20)<br />
(9-21)
m 1<br />
TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI<br />
Sebelum tumbukan Setelah tumbukan<br />
v 1i<br />
m 2<br />
θ<br />
φ<br />
m 2<br />
-v 2f sin φ<br />
v 1f sin θ<br />
v 2f<br />
m 1<br />
v 2f cos φ<br />
Komponen ke arah x : m v = m v θ + m v cosφ<br />
(9-24a)<br />
Jika tumbukan lenting sempurna :<br />
1 1i<br />
1 1 f cos 2 2 f<br />
= m v sinθ<br />
− m v sinφ<br />
(9-24b)<br />
0 1 1 f<br />
2 2 f<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1i<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 f<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 f<br />
v 1f<br />
v 1f cos θ<br />
m v = m v + m v (9-24a)
PM x<br />
Pusat Massa Sistem Partikel
y 2<br />
y 1<br />
Y<br />
⊗<br />
m 2<br />
m 1<br />
y c<br />
X<br />
y c<br />
m1<br />
y1<br />
≡<br />
m<br />
1<br />
+ m<br />
+ m<br />
Bagaimana jika massanya lebih dari dua ?<br />
y<br />
c<br />
≡<br />
m<br />
1<br />
y1<br />
+ m2<br />
y2<br />
+ ⋅⋅<br />
⋅ + m<br />
m + m + ⋅⋅<br />
⋅ + m<br />
1<br />
2<br />
n<br />
Bagaimana jika massanya tersebar di dalam ruang ?<br />
n<br />
y<br />
n<br />
=<br />
n<br />
∑ m<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑ m<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
y<br />
i<br />
i<br />
2<br />
2<br />
y<br />
2<br />
n<br />
∑ m<br />
i = =1<br />
i<br />
M<br />
y<br />
i
y<br />
x<br />
z<br />
c<br />
c<br />
c<br />
n<br />
∑ m<br />
i = =1<br />
n<br />
i<br />
M<br />
∑ m<br />
i = =1<br />
n<br />
M<br />
i<br />
∑ m<br />
i = =1<br />
M<br />
i<br />
y<br />
x<br />
z<br />
i<br />
i<br />
i<br />
r<br />
r<br />
c<br />
c<br />
r<br />
c<br />
r<br />
c<br />
= x ˆi<br />
+ y ˆj<br />
+ z<br />
=<br />
c<br />
∑<br />
c<br />
c<br />
kˆ<br />
x ˆ<br />
ii<br />
+ ∑ mi<br />
y ˆ<br />
ij<br />
+ ∑ mi<br />
z kˆ<br />
M<br />
mi i<br />
∑ mi ( x ˆ<br />
ii<br />
+ y ˆ<br />
ij<br />
+ z ˆ<br />
ik)<br />
=<br />
M<br />
∑ miri =<br />
r ˆi<br />
ˆj<br />
kˆ<br />
i = x i + yi<br />
+ zi<br />
M<br />
Bagaimana untuk benda pejal (sistem partikel kontinyu) ?
Y<br />
Z<br />
r i<br />
r c<br />
Δmi ⊗<br />
PM<br />
X<br />
r<br />
r<br />
mi c ∑ Δ<br />
≈<br />
ri<br />
M<br />
c = lim<br />
Δm<br />
→0<br />
r<br />
c<br />
x c<br />
i<br />
∑ri Δ<br />
M<br />
1<br />
= ∫rdm<br />
M<br />
y c<br />
z c<br />
1<br />
= ∫ xdm<br />
M<br />
1<br />
= ∫ ydm<br />
M<br />
1<br />
= ∫ zdm<br />
M<br />
m i
Gerak Sistem Partikel<br />
Kecepatan :<br />
<strong>Momentum</strong> :<br />
Percepatan :<br />
v =<br />
c<br />
d c<br />
r<br />
dt<br />
=<br />
Mv ∑ m v<br />
c = i i<br />
d c<br />
1 dr<br />
∑m<br />
i<br />
i<br />
M dt<br />
v 1<br />
a c = = ∑m<br />
dt M<br />
Ma ∑ m a ∑F<br />
c = i i = i<br />
F = 0<br />
0 =<br />
dP<br />
dt<br />
∑ i<br />
= ∑p<br />
= P<br />
i<br />
dv<br />
dt<br />
i<br />
=<br />
∑ iv<br />
=<br />
M<br />
m i<br />
1<br />
∑m<br />
a<br />
M<br />
= i i<br />
dP<br />
dt<br />
P<br />
= Mvc<br />
= konstan
M+Δm<br />
p = ( M + Δm)<br />
v<br />
i<br />
v<br />
Kecepatan bahan bakar<br />
relatip terhadap roket<br />
M<br />
Δm<br />
v e<br />
v+Δv<br />
v - v e<br />
( M + Δm)<br />
v = M ( v + Δv)<br />
+ Δm(<br />
v − ve<br />
)<br />
M eΔ = Δ v v<br />
m<br />
Untuk interval waktu yang sangat pendek :<br />
Mdv = vedm<br />
dm = −dM<br />
v v − =<br />
Md e<br />
v<br />
dM<br />
f<br />
∫ dv<br />
= −ve∫<br />
v<br />
v<br />
i<br />
f<br />
− v<br />
i<br />
=<br />
v<br />
e<br />
Massa bahan bakar<br />
yang terbakar<br />
M<br />
M<br />
i<br />
Pengurangan<br />
massa roket<br />
f<br />
dM<br />
M<br />
⎛<br />
⎜<br />
M<br />
ln<br />
⎜<br />
⎝ M<br />
i<br />
f<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠