INF-104 Matematika Diskrit - Himpunan - cs.unsyiah.ac.id.
INF-104 Matematika Diskrit - Himpunan - cs.unsyiah.ac.id.
INF-104 Matematika Diskrit - Himpunan - cs.unsyiah.ac.id.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
<strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong><br />
<strong>Himpunan</strong><br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong><br />
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah<br />
February 13, 2012<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Apakah <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong> Itu?<br />
<strong>Matematika</strong> diskrit: cabang matematika yang mengkaji<br />
objek-objek diskrit.<br />
”Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?<br />
Objek disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga<br />
elemen yang berbeda dan elemen-elemennya t<strong>id</strong>ak<br />
bersambungan (unconnected).<br />
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)<br />
Lawan kata diskrit adalah kontinyu (continue).<br />
Contoh: himpunan bilangan riil (real)<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
<strong>Himpunan</strong> (set) adalah koleksi dari objek-objek yang<br />
terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik<br />
dimaksudkan bahwa untuk sebarang objek x yang<br />
diberikan dapat kita tentukan apakah objek x tersebut<br />
kepunyaan dari suatu himpunan atau bukan.<br />
Objek yang merupakan kepunyaan dari suatu himpunan<br />
disebut elemen atau anggota.<br />
Kita akan nyatakan himpunan dengan huruf besar, seperti<br />
A atau X dan elemen dengan huruf kecil, seperti a atau x.<br />
Jika a adalah elemen dari himpunan A, kita tulis a ∈ A<br />
dan jika a adalah bukan elemen dari himpunan A, kita<br />
tulis a /∈ A.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
<strong>Himpunan</strong> dapat dinyatakan dengan mendaftarkan semua<br />
elemennya di dalam sepasang tanda kurung atau dengan<br />
menyatakan sifat-sifat keanggotaannya sehingga dapat<br />
ditentukan apakah suatu objek adalah elemen dari suatu<br />
himpunan atau bukan. Kita dapat tuliskan<br />
X = {x1, x2, · · · , xn}<br />
untuk himpunan yang memuat elemen-elemen x1, x2, · · · , xn<br />
atau<br />
X = {x : x memenuhi ℘}<br />
jika setiap x di dalam X memenuhi suatu sifat tertentu dari ℘.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
jika E adalah himpunan bilangan bulat genap, kita dapat<br />
nyatakan E dengan menuliskan ke dalam salah satu notasi<br />
atau<br />
E = {2, 4, 6, · · · }<br />
E = {x : x adalah bilangan bulat genap dan x > 0}.<br />
Kita tuliskan 2 ∈ E bila kita ingin mengatakan bahwa 2 adalah<br />
elemen dari E, dan −3 ∈ E untuk mengatakan bahwa −3<br />
adalah bukan elemen dari E.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Berikut ini adalah beberapa himpunan penting yang akan<br />
sering digunakan dalam pembahasan kita selanjutnya:<br />
N = {n : n adalah bilangan asli } = {1, 2, 3, · · · };<br />
Z = {n : n adalah bilangan bulat } = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · };<br />
Q = {r : r adalah bilangan rasional } = { p<br />
q : p, q ∈<br />
Z dimana q = 0};<br />
R = {x : x adalah bilangan real };<br />
C = {z : z adalah bilangan kompleks }.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Kita dapat menemukan berbagai relasi antara<br />
himpunan-himpunan dan juga dapat melakukan operasi-operasi<br />
pada himpunan. <strong>Himpunan</strong> A adalah subhimpunan (subset)<br />
dari B, ditulis A ⊂ B atau B ⊃ A, jika setiap elemen dari A<br />
juga elemen dari B. Sebagai contoh,<br />
dan<br />
{4, 5, 8} ⊂ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}<br />
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Kita juga akan menemukan suatu himpunan tanpa unsur-unsur<br />
di dalamnya. <strong>Himpunan</strong> yang seperti ini disebut himpunan<br />
kosong (empty set) dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Sebagai<br />
catatan bahwa himpunan kosong adalah sub- himpunan dari<br />
setiap himpunan.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Untuk memperoleh sebuah himpunan baru dari<br />
himpunan-himpunan yang telah ada, kita dapat melakukan<br />
operasi-operasi tertentu:<br />
gabungan (union) A ∪ B dari himpunan A dan B d<strong>id</strong>efinisikan<br />
sebagai<br />
A ∪ B = {x : x ∈ A atau x ∈ B;<br />
irisan (intersection) A ∩ B dari himpunan A dan B<br />
d<strong>id</strong>efinisikan sebagai<br />
A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B.<br />
Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 9}, maka<br />
dan<br />
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 9}<br />
A ∩ B = {1, 3}.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Untuk kasus dimana gabungan dan irisan melibatkan lebih dari<br />
dua himpunan yaitu A1, A2, · · · , An, maka untuk gabungan dan<br />
irisan secara berurutan kita tuliskan sebagai<br />
dan<br />
n<br />
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · An<br />
i=1<br />
n<br />
Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · An<br />
i=1<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Jika dua buah himpunan t<strong>id</strong>ak memiliki elemen yang sama<br />
maka kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas<br />
(disjoint). Sebagai contoh, jika E himpunan bilangan bulat<br />
genap dan O himpunan bilangan bulat ganjil, maka E dan O<br />
adalah saling lepas. Dua buah himpunan A dan B adalah saling<br />
lepas jika A ∩ B = ∅.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Kadang-kadang kita akan bekerja dalam suatu himpunan<br />
tertentu U yang disebut dengan himpunan semesta<br />
(universal set). Untuk setiap himpunan A ⊂ U, kita definisikan<br />
komplemen (complement) dari A, dinotasikan dengan A ′ ,<br />
adalah himpunan<br />
A ′ = {x : x ∈ U dan x ∈ A}.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Selanjutnya kita definisikan selisih (difference) dari dua<br />
himpuan A dan B sebagai<br />
A − B = A ∩ B ′ = {x : x ∈ A dan x ∈ B}.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Contoh<br />
Misalkan R adalah himpunan semesta dan anggap bahwa bahwa<br />
dan<br />
maka<br />
A = {x ∈ R : 0 < x ≤ 3}<br />
B = {x ∈ R : 2 ≤ x < 4}<br />
A ∩ B = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 3}<br />
A ∪ B = {x ∈ R : 0 < x < 4}<br />
A − B = {x ∈ R : 0 < x < 2}<br />
A ′ = {x ∈ R : x ≤ 0 atau x > 3}<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Berikut ini adalah beberapa sifat penting operasi gabungan dan<br />
irisan:<br />
1 A ∪ A = A, A ∩ A = A, dan A − A = ∅;<br />
2 A ∪ ∅ = A dan A ∩ ∅ = ∅;<br />
3 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C dan A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;<br />
4 A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A;<br />
5 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);<br />
6 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Disini akan dibuktikan hasil (1) dan (3), sisanya sebagai latihan.<br />
(1) Perhatikan bahwa<br />
dan<br />
A ∪ A = {x : x ∈ A atau x ∈ A}<br />
= {x : x ∈ A}<br />
= A<br />
A ∩ A = {x : x ∈ A dan x ∈ A}<br />
= {x : x ∈ A}<br />
= A<br />
Juga, A − A = A ∩ A ′ = ∅.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
(3) Untuk himpunan A, B dan C,<br />
Pengertian<br />
A ∪ (B ∪ C) = A ∪ {x : x ∈ B atau x ∈ C}<br />
= {x : x ∈ A atau x ∈ B, atau x ∈ C}<br />
= {x : x ∈ A atau x ∈ B} ∪ C<br />
= (A ∪ B) ∪ C.<br />
Dengan langkah yang sama dapat ditunjukkan bahwa<br />
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Teorema berikut ini dikenal sebagai Hukum De Morgan’s.<br />
Teorema<br />
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan maka<br />
1 (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ ;<br />
2 (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′ .<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
Kita harus tunjukkan bahwa (A ∪ B) ′ ⊂ A ′ ∩ B ′ dan<br />
(A ∪ B) ′ ⊃ A ′ ∩ B ′ . Misalkan x ∈ (A ∪ B) ′ maka x ∈ A ∪ B.<br />
Dari definisi gabungan himpunan, maka x bukan elemen dari A<br />
dan juga bukan elemen dari B. Dari definisi komplemen x ∈ A ′<br />
dan x ∈ B ′ . Sehingga x ∈ A ′ ∩ B ′ dan kita peroleh<br />
(A ∪ B) ′ ⊂ A ′ ∩ B ′ .<br />
Untuk menunjukkan dalam arah sebaliknya, andaikan bahwa<br />
x ∈ A ′ ∩ B ′ . Maka x ∈ A ′ dan x ∈ B ′ , sehingga x ∈ A dan<br />
x ∈ B. Jadi x ∈ A ∪ B dan diperoleh x ∈ (A ∪ B) ′ . Dengan<br />
demikian (A ∪ B) ′ ⊃ A ′ ∩ B ′ sehingga (A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ .<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>
Contoh<br />
Buktikan bahwa<br />
Perhatikan bahwa<br />
Pendahuluan<br />
<strong>Himpunan</strong><br />
Pengertian<br />
(A − B) ∩ (B − A) = ∅<br />
(A − B) ∩ (B − A) = (A ∩ B ′ ) ∩ (B ∩ A ′ )<br />
= A ∩ A ′ ∩ B ∩ B ′<br />
= ∅.<br />
zahnur@informatika.<strong>unsyiah</strong>.<strong>ac</strong>.<strong>id</strong> <strong>INF</strong>-<strong>104</strong> <strong>Matematika</strong> <strong>Diskrit</strong>