FISIKA 11

T e r o p o n g
Integral merupakan kebalikan
dari differensial/
turunan. Untuk menyelesaikan
integral, kita bisa
menggunakan persamaan
berikut.
Jika integral dibatasi,
maka berlaku persamaan
(p t ) dt =
berikut.
1
n n+1
∫
pt +c
n +1
Contoh
Perhatikan contoh berikut.
1. Sebuah mobil bergerak dengan persamaan
kecepatan r v = (4t i + 8t j ) m/s.
Seseorang melihat mobil tersebut bergerak
dari koordinat (5,10) m. Nyatakan
posisi mobil pada saat t = 1 s dan t = 3 s.
Penyelesaian:
Diketahui:
r
v = (4t i + 8t j ) m/s
Posisi awal pada koordinat (5,10)
r r
Ditanyakan: r = untuk t = 1 s dan t = 3 s
8
(p t ) dt = 1
n
∫ t ) dt
1
n +1
n
+1
pt +c
(pt )dt = 1
b
n
(p t ) dt ∫ = p b − a
a n +1
1
n n+1
∫
pt +c
n +1
(pt )dt = 1
b
n
∫
n+1 n+1
p ( b − a )
a n +1
Fisika Kelas XI
n+1 n+1
t 0
c. Mencari Vektor Posisi dari Vektor Kecepatan
Jika kecepatan sebagai fungsi waktu diketahui, kita dapat mencari
persamaan vektor posisi dengan operasi integral. Persamaan vektor kecepatan
sebagai fungsi waktu, yang telah kalian pelajari, dirumuskan sebagai
berikut.
r
r
v(t) =
r r
r r
r r r
r r r
dr
dt
r
r
v(t)
v dt
=
atau dapat = dituliskan dr dalam bentuk,
r r
t
∫v
dt = ∫ dr
r r0
r
∫v
dt = rt - r0
r r r
t
r t = r0 + ∫v
dt
r r 0 r
r r r
r t = r0 + v t
r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
dt r
r
v(t) v dt = = dr
rt rJika kedua r ruas diintegralkan, kita akan mendapatkan persamaan vektor
posisi. ∫v
dt = ∫ dr
r0
r r
∫v
dt = rt - r0
r rt r
r t = r0 + ∫v
dt
0
rr r r
r t = rr0 + vrt r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
dt
r
v dt = dr
r
v(t) =
rt v dt = dr
r r
∫ ∫
r0
r r
∫v
dt = rt - r0
t
r r r
Dari persamaan tersebut, vektor posisi pada waktu t (
r t = r0 + ∫v
dt
0
r r r
r t = r0 + v t
r r r
r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
r
r
v(t) = dt
r r
v dt = dr
rt r r
∫v
dt = ∫ dr
r0
r r r
∫v
dt = rt ) - rdinyatakan
0
sebagai berikut.
t
r r r
r t = r0 + ∫v
dt
0
r r r
r t = r0 + v t
r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
r
r
v(t) =
dt
r r
v dt = dr
rt r r
∫v
dt = ∫ dr
r0
r r r
∫v
dt = rt - r0
t
Keterangan:
r r r
r t = r0 + ∫v
dt
0
r r r
r t = r0 + v t
r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
r
r
v(t) =
dt
v dt = dr
r r
rt v dt = dr
r ∫ r∫
r0
∫v
dt = rt - r0
r r r
t
r t = rvektor 0 + ∫v
dt posisi pada saat t
r r r 0
r r r
r t = r0 + v t
r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
dt
r v dt = dr
r
v(t) = rt r r ∫v
dt = ∫ dr
r0
r r
∫v
dt = rt - r0
t
r r r r t = r = 0 + vektor ∫v
dt posisi mula-mula
0
r r r
Jika t0 = 0, dan v konstan r t = r0 (GLB), + v t didapatkan persamaan vektor posisi
r r r
setiap waktu sebagai berikut. r
v = (4t i + 8 t j)
r 0 = 5i + 10 j
dr
dt
v dt = dr
rt ∫v
dt = ∫ dr
r0
∫v
dt = rt - r0
t
r t = r0 + ∫v
dt
0
r r r
r t = r0 + v t
r
v = (4t i + 8 t j)
r = 5i + 10 j
0
Jawab: Posisi awal mobil pada koordinat
(5,10), berarti r r = 5 i + 1
0 j j.
r r r
r = r + v dt
t 0
t
∫
0
0
= (5 5 i + 1
0 j ) +
(4t i + 8 t j ) dt
t
∫
0
2
= (55 i 1 0 j )
) ( t i
1
2 4
2 1 2
5 i + 1 0 j )
) +
× 4 t i +
+ × 8 t j
)
2
2 2
2
= (5 5 i + 10 110
1 110
0 j ) +
+ (2 t i
+ 4 t j
)
2 2
2
= (5 5 + 2 t ) i
+
+ ( (10 ( (10 ( 10 + 4 t ) j