You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
nana jafariZe � maia wilosani � nani wulaia<br />
maTematika<br />
moswavlis wigni<br />
7
s a r C e v i<br />
I <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1 VI klasSi Seswavlili masalis gameoreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1 . wiladebi da maTze moqmedebani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2 . ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3 . ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
Tema: Tvlis sistemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2 gamosaxulebaTa mniSvnelobebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
3 ricxvis naturaluri xarisxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
4 gayofadobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
jgufuri mecadineoba: viTamaSoT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
5 ricxvTa gayofadobis zogierTi Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
Tema: sxva moqmedeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
6 simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
7 simravleTa toloba . qvesimravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
8 simravleTa TanakveTa da gaerTianeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
I <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
II <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
1 geometriuli figurebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2 wrfisa da wertilebis urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
3 wrfeebis urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
4 sxivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
5 monakveTi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
6 naxevarsibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
7 kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
8 kuTxis gazomva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
9 kuTxis biseqtrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
10 mosazRvre kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
11 vertikaluri kuTxeebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
12 kuTxe or wrfes Soris; wrfeTa marTobuloba . . . . . . . . . . . . . 97<br />
13 texili, mravalkuTxedi, samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
14 samkuTxedis simaRle,biseqtrisa, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
15 wrewiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
Tema: geometriuli agebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
II <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
III <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
1 monacemebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120<br />
2 cxrilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
3 wriuli diagrama . piktograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />
jgufuri mecadineoba: avagoT diagrama kompiuterSi . . . . . . . . . . . . 130<br />
4 monacemTa saSualo, moda, mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />
5 procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
6 ricxvis povna misi procentis mixedviT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
7 ori ricxvis Sefardebis procentuli gamosaxuleba . . . . 143<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
8 proporcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />
9 proporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<br />
10 ricxvis dayofa proporciul nawilebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br />
Tema: oqros kveTa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
11 ukuproporciuli sidideebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
Tema: ariTmetikuli saSualos gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . 165<br />
III <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br />
III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />
IV <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173<br />
1 uaryofiTi ricxvebi . ricxviTi RerZi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />
2 racionaluri ricxvebis Sedareba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
3 ricxvis moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192<br />
4 racionaluri ricxvebis Sekreba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<br />
5 racionaluri ricxvebis gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br />
6 racionaluri ricxvebis gamravleba-gayofa . . . . . . . . . . . . . 205<br />
7 gamravlebis ganrigebadobis kanoni, frCxilebis gaxsna . . 210<br />
8 gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213<br />
9 gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216<br />
10 amocanebis amoxsna gantolebebis meSveobiT . . . . . . . . . . . . . 222<br />
11 problemis moZieba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231<br />
Tema: amocanebis amoxsnis xelovneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<br />
IV <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240<br />
IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241<br />
V <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243<br />
1 mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244<br />
2 sakoordinato sibrtye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250<br />
3 grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4 paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259<br />
5 RerZuli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262<br />
6 wrfeTa paralelobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265<br />
7 paralelur wrfeTa Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268<br />
8 samkuTxedis kuTxeebis jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270<br />
9 samkuTxedebis tolobis I da II niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272<br />
10 tolferda samkuTxedis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275<br />
11 samkuTxedis tolferdobis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277<br />
12 monakveTis SuamarTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279<br />
13 samkuTxedebis tolobis III niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br />
14 samkuTxedis gare kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283<br />
15 samkuTxedis utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286<br />
16 marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290<br />
17 kuTxis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292<br />
18 paralelogrami . paralelogramis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . 294<br />
19 rombi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298<br />
20 marTkuTxedi . kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301<br />
II <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308<br />
V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310<br />
VI <strong>Tavi</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311<br />
1 xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312<br />
2 erTwevri . erTwevrebis gamravleba da axarisxeba . . . . . . . 317<br />
3 mravalwevri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319<br />
4 erTwevrisa da mravalwevris namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323<br />
5 mravalwevrebis namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326<br />
6 igiveoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329<br />
7 Semoklebuli gamravlebis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331<br />
8 mravalwevris daSla mamravlebad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336<br />
9 kubebis jami da kubebis sxvaoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341<br />
es sainteresoa: Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyeneba<br />
miaxloebiT gamoTvlebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344<br />
Tema: paskalis samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345<br />
VI <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346<br />
Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350<br />
VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352<br />
pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6<br />
rogor visargebloT wigniT<br />
wignze muSaoba rom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleT gagacnoT<br />
wignis agebuleba.<br />
wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli <strong>Tavi</strong> _ paragrafebisgan.<br />
yovel TavSi mocemulia testebi rubrikiT `Seamowme Seni codna~. testebze<br />
muSaoba dagexmarebaT TviTSemowmebasa da Seswavlili masalis<br />
ganmtkicebaSi. wignSi ganmartebebi dabeWdilia muqi SriftiT, xolo<br />
Tvisebebi, formulebi, zogierTi saWiro daskvna _ ferad fonSi.<br />
TiTqmis yovel TavSi mocemulia am TavSi gadmocemul masalasTan dakav-<br />
Sirebuli saintereso Tema.<br />
yovel paragrafSi SexvdebiT zogierTs Semdegi niSnebidan:<br />
*<br />
s.f.<br />
- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnis<br />
procesSi Tavad moswavlem unda gasces pasuxi;<br />
- wyvilebSi samuSao;<br />
- SedarebiT rTuli amocana;<br />
- savarjiSoebi, romelic emsaxureba gavlili masalis<br />
gameorebas;<br />
- sagulisxmo faqti.<br />
wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebeli da Semoklebuli aRniSvnebisTvis<br />
gamoyenebuli maTematikuri niSnebi. gTavazobT agreTve zomis<br />
erTeulebs, laTinur da berZnul anbans, kvadratebis cxrils da amocanebis<br />
pasuxebs, damxmare literaturis CamonaTvals.<br />
gisurvebT warmatebebs!
I <strong>Tavi</strong><br />
am TavSi gavecnobiT ricxvTa gayofadobis niSnebs<br />
da Tvisebebs. simravleebs da maTze moqmedebebs,<br />
ricxvis naturaluri xarisxis cnebas.
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
8<br />
1 VI<br />
klasSi Seswavlili masalis<br />
gameoreba<br />
1. wiladebi da maTze moqmedebani<br />
1. wiladis ZiriTadi Tviseba: wiladis sidide ar Seicvleba, Tu<br />
mis mricxvelsa da mniSvnels gavamravlebT an gavyofT erTsa<br />
da imave naturalur ricxvze.<br />
magaliTad: 5 25 18 3<br />
= ; = .<br />
8 40 24 4<br />
2. wiladebis gasaerTmniSvnelianeblad saWiroa:<br />
a) vipovoT mocemuli wiladebis mniSvnelebis (umciresi) saer-<br />
To jeradi, romelic (umciresi) saerTo mniSvneli iqneba.<br />
b) TiToeuli wiladisTvis vipovoT damatebiTi mamravli,<br />
risTvisac saerTo mniSvneli gavyoT mocemuli wiladebis mniSvnelebze.<br />
g) TiToeuli wiladis mniSvneli da mricxveli gavamravloT mis<br />
damatebiT mamravlze.<br />
magaliTad: 1 1 1<br />
, , . daviyvanoT umcires saerTo mniSvnelze.<br />
6 15 20<br />
u. s. j. (6;15;20)=60. 1<br />
6<br />
10 1 4 1 3<br />
= , = , = .<br />
60 15 60 20 60<br />
3. tolmniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT),<br />
saWiroa pirveli wiladis mricxvels davumatoT (gamovakloT)<br />
meore wiladis mricxveli, mniSvneli ki igive davtovoT<br />
magaliTad: 3 2 5 7 3 4 1<br />
+ = ; − = = .<br />
11 11 11 8 8 8 2<br />
4. sxvadasxvamniSvneliani wiladebi rom SevkriboT (gamovakloT),<br />
saWiroa:<br />
a) es wiladebi gavaerTmniSvnelianoT.<br />
b) SevkriboT (gamovakloT) isini tolmniSvneliani wiladebis<br />
Sekrebis (gamoklebis) wesis mixedviT.<br />
magaliTad: 8<br />
9<br />
7 32 21 53<br />
12 36 36 117<br />
+<br />
+ = = = .<br />
36<br />
5. Sereuli wiladebi rom SevkriboT, saWiroa, cal-calke SevkriboT<br />
maTi mTeli da wiladi nawilebi.<br />
6. Sereuli wiladebi rom gamovakloT, saWiroa cal-calke gamovakloT<br />
maTi mTeli da wiladi nawilebi. Tu maklebis wiladi<br />
nawili metia saklebis wilad nawilze, maSin saklebis erTi er-<br />
Teuli unda gadavaqcioT arawesier wiladad.
magaliTad:<br />
a) 2 5<br />
7 12<br />
14<br />
125 1<br />
5 35<br />
11 −<br />
− = = ; b) 4<br />
35<br />
2<br />
2<br />
9<br />
7 10 21 45 10 21<br />
2 1 1<br />
15 45 45<br />
34<br />
− + −<br />
− = =<br />
= .<br />
45<br />
7. wiladebi rom gadavamravloT, saWiroa maTi mricxvelebis namravli<br />
davweroT mricxvelad, xolo mniSvnelebis namravli ki<br />
_ mniSvnelad (Tu Sesakvecia, sasurvelia gadamravlebamde<br />
SevkvecoT).<br />
magaliTad: 12 34 4 2 8<br />
⋅ =<br />
17 39 13 13<br />
⋅ = .<br />
8. wiladi rom wiladze gavyoT saWiroa gasayofi gavamravloT<br />
gamyofis Sebrunebul ricxvze:<br />
8 16 8 15 5 5<br />
: = ⋅ = = .<br />
9 15 9 16 3⋅ 2 6<br />
9. Sereuli wiladebi rom gadavamravloT (gavyoT), saWiroa isini<br />
jer gadavaqcioT arawesier wiladebad da Semdeg gadavamravloT<br />
(gavyoT):<br />
5 3<br />
11 210<br />
58 11 29<br />
1<br />
11 11 32 16<br />
13<br />
: = ⋅ = = .<br />
16<br />
10. aTwiladi rom Cveulebriv wiladad gadavaqcioT, saWiroa<br />
mZime ukuvagdoT da miRebuli ricxvi davweroT mricxvelSi,<br />
xolo mniSvnelSi ki davweroT ricxvi gamosaxuli 1-iT da<br />
marjvniv miwerili imdeni nuliT, ramdeni aTwiladi niSanic<br />
iyo aTwiladSi.<br />
275 11<br />
magaliTad: 2 75<br />
2<br />
100 4<br />
3<br />
, = = =<br />
4<br />
11. Cveulebrivi wiladi rom aTwiladad gadavaqcioT, saWiroa<br />
mricxveli gavyoT mniSvnelze.<br />
a) 3<br />
=0,375;<br />
8<br />
7<br />
b)<br />
20 =0,35;<br />
g) 1<br />
=0,166...;<br />
6<br />
5<br />
d) =0,555...;<br />
9<br />
2<br />
e) =0,181818... .<br />
11<br />
SevniSnoT, rom g), d) da e) SemTxvevaSi gayofis procesi<br />
usasrulod grZeldeba. aseT aTwiladebs perioduli<br />
aTwiladebi ewodeba. 0,1666... perioduli aTwiladis CanawerSi<br />
meordeba cifri 6. mas periods uwodeben, 0,166... ricxvs<br />
mokled ase weren: 0,1(6). aseve 0,555...=0,(5). 0,1818...=0,(18).<br />
12. Tu ukveci wiladis mniSvnels ar gaaCnia 2-isa da 5-isagan gansxvavebuli<br />
martivi mamravli, maSin wiladi gadaiqceva sasrul<br />
aTwiladad. yvela sxva SemTxvevaSi miiReba perioduli<br />
aTwiladi.<br />
9
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
10<br />
savarjiSoebi:<br />
gamoiangariSeT:<br />
1.<br />
a) 2 5 3<br />
+ 3 ;<br />
9 4<br />
b) 7 5<br />
− ;<br />
8 6<br />
g) 2<br />
7 − 3 ;<br />
9<br />
d) 2 5 7<br />
+ ;<br />
6 8<br />
e) 7 3<br />
v) 8 2<br />
5<br />
+ 1 ;<br />
4 12<br />
3<br />
− ;<br />
8<br />
z) 8 7<br />
− ;<br />
9<br />
T) 7 4 5<br />
− ;<br />
11<br />
i) 7 3 5<br />
− 5 ;<br />
4 6<br />
k) 3 8 7<br />
− .<br />
17 12<br />
2.<br />
a) 9 5<br />
⋅ ;<br />
10 6<br />
b) 3<br />
24 4 ⋅ ;<br />
5<br />
g)<br />
26 39<br />
57 74<br />
⋅ ; d) ⋅ ;<br />
37 85<br />
e) 23 5<br />
v)<br />
⋅ ;<br />
69<br />
7<br />
30 12 ⋅ ; z) 5 2 1<br />
⋅ ;<br />
5<br />
T) 6 2 1<br />
⋅ 10 ; i)<br />
9 8<br />
14 6<br />
⋅ 6 ;<br />
15 11<br />
k) 8 9<br />
⋅ 1 .<br />
15 16<br />
3.<br />
a) 3 1 2<br />
: ;<br />
2 3<br />
b) 4<br />
15 31 : ; g) 4<br />
5<br />
3<br />
4 3 : ;<br />
5 1<br />
d) : ;<br />
9 3<br />
e) 1 7<br />
9 13 : ; v)<br />
5 7 1 3<br />
: 4 ;<br />
8 4<br />
z) 1 1<br />
8<br />
3<br />
2<br />
3 14<br />
9 33<br />
8 15 1<br />
8<br />
5<br />
⎛<br />
⎞<br />
⋅⎜ : − + ⎟ − ;<br />
⎝<br />
⎠ 6<br />
T) 2 3 1<br />
3<br />
5<br />
1<br />
4 13<br />
2<br />
: + : :<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ;<br />
⎝ ⎠<br />
i) 3 1 1<br />
1<br />
15 15 13<br />
2<br />
2<br />
5 5<br />
1<br />
7 11<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜ − : + ⎟ ⋅ − ;<br />
⎝<br />
⎠ 7<br />
k) 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 14 ⎞<br />
⎜ + + +<br />
5<br />
⎝ 2 4 8 6 ⎟ ⋅ ⎜ +<br />
⎠ ⎝ 3 15 ⎟ : .<br />
⎠<br />
4.<br />
a) 5<br />
7 4<br />
: 0, 125 + 1, 456 : + 4, 5⋅ ;<br />
16 25 5<br />
b) 10 3 75 2 1 ⎛ ⎞<br />
− , ⎜ + 1, 4 15<br />
⎝ 3 ⎟ : ;<br />
⎠ 9<br />
6 4<br />
g)<br />
1<br />
0 03<br />
2<br />
3 1<br />
⎛<br />
−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ : ,<br />
⎝ ⎠ ;<br />
⎛<br />
2<br />
⎜ − 2, 65<br />
⎞<br />
4<br />
⎝ 20 ⎟ ⋅ +<br />
⎠ 5<br />
3<br />
0 3 1<br />
20<br />
d)<br />
1<br />
2<br />
1 88 2 3<br />
⎛<br />
, −<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ :<br />
⎝ ⎠ .<br />
⎛<br />
1<br />
, +<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝ 25 ⎟ ⋅<br />
⎠ 80<br />
5.<br />
a) 2<br />
-<br />
8 3<br />
+<br />
1<br />
1 ; b)<br />
2 1 2 4<br />
5 : 3 1 $ 2 ;<br />
3 23 4 6<br />
9 9 5 5<br />
g) 1<br />
5 +<br />
3<br />
3 -<br />
4<br />
4<br />
5 10 15<br />
15<br />
+<br />
127<br />
1 5<br />
4 +<br />
2<br />
3 - 2<br />
4 6 3<br />
12 ;<br />
13<br />
d) 1<br />
5 +<br />
7<br />
3 -<br />
11<br />
1<br />
12 36 18<br />
2<br />
: 1 -<br />
5<br />
5 7<br />
4 +<br />
13<br />
2 - 5<br />
6 24 18<br />
43<br />
· 1 .<br />
101
2. ricxviTi gamosaxuleba . cvladiani gamosaxuleba<br />
gamosaxulebas, romelic cvlads Seicavs, cvladiani gamosaxuleba<br />
ewodeba.<br />
gamosaxuleba SesaZloa Seicavdes erT an ramdenime cvlads.<br />
2x(y+3), 3x2 –5xy+7 _ cvladiani gamosa xulebebia.<br />
2 1 3 2<br />
4 7<br />
5 18<br />
2<br />
1 1<br />
− ⋅ ;<br />
+<br />
;<br />
1 3<br />
− 2 : 3 _ ricxviTi gamosa xulebebia.<br />
3 2 4<br />
cxadia, nebismier ricxviT gamosaxulebas erTi garkveuli mniSvneloba<br />
aqvs.<br />
cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba rom vipovoT, gamosaxulebaSi<br />
cvladis nacvlad am cvladis winaswar mocemuli mniSvneloba<br />
unda CavsvaT.<br />
savarjiSoebi:<br />
1<br />
1 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba, Tu a=3, b=<br />
5<br />
, c=2,3.<br />
a) 2a; b) 10b; g) 5c; d) 3,2a;<br />
e) 5–b;<br />
i) 2a–1,5;<br />
1<br />
v) a–1 3 ;<br />
k) 9–3b;<br />
3<br />
z) b+3<br />
10<br />
;<br />
l) 5c+7,2;<br />
T) 7–c;<br />
m) 8b+3,1;<br />
n) 4a+b; o) 17b–c; p) 0,5c+a;<br />
1<br />
J) a +b.<br />
5<br />
2 cnobilia, rom a da b cvladebis raRac mniSvnelobebisaTvis<br />
a + b = 8. ra mniSvnelobas miiRebs a da b cvladebis imave mniSvnelobebisaTvis<br />
Semdegi gamosaxuleba.<br />
a) 2<br />
a + b<br />
; b) a+b+ 8<br />
a + b ; g) 3(a+b); d) a + b<br />
+<br />
4 .<br />
2 a + b<br />
3 SeadgineT naxazze mocemuli CarCos farTobis gamosaTvleli<br />
gamosa xuleba.<br />
4* CawereT cvladiani gamosaxuleba mocemuli mimdevrobisaTvis:<br />
a) 5·1, 5·2, 5·3, 5·4, 5·5, 5·6, . . . ;<br />
b) 7+1, 7+2, 7+3, 7+4, 7+5, 7+6, . . . ;<br />
g) 2·1+3, 2·2+3, 2·3+3, 2·4+3, 2·5+3, 2·6+3, . . . ;<br />
d)<br />
7· 1 - 2 ,<br />
3· 1<br />
7· 2 - 2 ,<br />
3· 2<br />
7· 3 - 2 ,<br />
3· 3<br />
7· 4 - 2 ,<br />
3· 4<br />
7· 5 - 2 ,<br />
3· 5<br />
7· 6 - 2 , . . . .<br />
3· 6<br />
6 eqvsi wlis win ani P-jer ufrosi iyo nikaze. Tu ani axla 18 wlisaa,<br />
ramdeni wlis aris nika (SeadgineT Sesabamisi gamosaxuleba)?<br />
7 meqoTne erTi doqis gaakeTebas a saaTs undeba, xolo erT qoTans<br />
igi a saaTSi amzadebs. ramden saaTSi daamzadebs meqoTne 10 doqsa<br />
2<br />
da 6 qoTans?<br />
sami wertili<br />
` . . . ~ niSnavs ` da<br />
a.S. ~<br />
11
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
msgavsi wevrebi rom<br />
SevkriboT, saWiroa<br />
S e v k r i b o T m a T i<br />
k o e f i c i e n t e b i ,<br />
a s o i T i n a w i l i k i<br />
u c v l e l a d g a d a -<br />
vitanoT.<br />
12<br />
3. ariTmetikul moqmedebaTa Tvisebebi<br />
nebismieri a, b da c ricxvebisaTvis sruldeba:<br />
1. gadanacvlebadobis Tviseba:<br />
a) a + b = b + a SekrebisaTvis<br />
b) ab = ba gamravlebisaTvis<br />
2. jufTebadobis Tviseba:<br />
a) (a + b) + c = a + (b + c) SekrebisaTvis<br />
b) (ab)c = a(bc) gamravlebisaTvis<br />
3. ganrigebadobis Tviseba:<br />
savarjiSoebi:<br />
a(b+c)=ab+ac jamisTvis<br />
a(b–c)=ab–ac sxvaobisTvis<br />
1 gamoTvaleT yvelaze racionaluri xerxiT:<br />
a) 2,24+8,13+5,76+2,87; b) 2,14+3,15–1,14+4,85;<br />
g) 7,27–8,12+9,73–1,88–1,5; d) 4,08–3,75+3,92–2,25;<br />
3 3 4 1<br />
e) 8 7 – 2<br />
4<br />
+ 5<br />
7<br />
– 1<br />
4<br />
; v) 3,76 · 7,81 · 0 · 37;<br />
z) 2·57·5; T) 4·78·25; i) 3,75 · 0,125 · 2 · 8;<br />
k) 0,6·3,4·5; l) 0,5·7,1·20; m) 1,25·8,91·8.<br />
2 isargebleT namravlis ganrigebadobis TvisebiT da SeasruleT<br />
moqmedeba:<br />
a) 5,8·2,7+5,8·1,3;<br />
e) 7·0,32+7·0,18;<br />
3 gaamartiveT:<br />
b) 52·35;<br />
v) 39·45;<br />
2<br />
g) 4 3 ·6;<br />
z) 31·62;<br />
1<br />
d) 4 2 ·8;<br />
T) 3<br />
5<br />
·4.<br />
12<br />
a) 2,7a·3,1; b) 12,5m·2n; g) 3(n+5);<br />
d) 8(10+n); e) 4,5(8–n); v) 8(2n+0,2);<br />
3 3<br />
z) 2 x·7 ;<br />
4 11<br />
T) 1 (8n+16);<br />
4<br />
i) 2(<br />
1 1<br />
x– ).<br />
3 2<br />
4 gaamartiveT gamosaxuleba da gamoTvaleT misi mniSvneloba,<br />
roca m=0,1 da n=2.<br />
a) 4m+7n–2,1n; b) 17,58m–5,105m+7n;<br />
1 2<br />
2<br />
g) 19 n - 3 n + 9m<br />
; d) 31 n +<br />
5<br />
4 m +<br />
5<br />
5 -<br />
2<br />
1<br />
6 3<br />
9 12 18 3 .
5 gaxseniT frCxilebi da SeaerTeT msgavsi wevrebi:<br />
a) 3x+2(4x–1); b) 5+0,3(3x–2);<br />
g) 5(t+2)+3(2t–1); d) 4(2x+2)+2x–1.<br />
6 gaamartiveT gamosaxuleba:<br />
a) 3a+7a; b) 4b+9b; g) 8a–4a;<br />
d) 10x–4x; e) 7,8x+4,5x; v) 257,05a–18,3a;<br />
z) 2<br />
a +<br />
1<br />
1 a -<br />
1<br />
b ;<br />
3 3 3<br />
1<br />
T) m + m -<br />
3<br />
n<br />
4 4 ; i)<br />
5<br />
x<br />
6<br />
1<br />
1 x<br />
3<br />
3<br />
4<br />
a<br />
2a<br />
5a<br />
3a<br />
1<br />
4<br />
+ ;<br />
k) 3,7a+4,1b–3,4b; l) 18,27x–5,4x+7y; m) 37,01b+4,9a–3,18a.<br />
7 gadaixazeT qvemoT mocemuli cxrili rveulSi da SeavseT:<br />
a) x y 2x 4y 2x–4y+7 b) u v 3(u+v) 2uv 3(u+v)–2uv<br />
3 0 3 2<br />
1,5 0,25 5 1<br />
4 2<br />
8 ipoveT naxazze mocemuli oTxkuTxedis<br />
perimetri, Tu a tolia:<br />
a) 3,1 dm; b) 2,4 sm;<br />
g)5,02 sm; d) 4 dm.<br />
9* arsebobs Tu ara naturaluri ricxvi, romlis cifrebis namravlia<br />
588?<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
13
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
14<br />
Tvlis sistemebi<br />
Tema<br />
Tvlis sistema - aris ricxvebis Caweris saSualeba, ise rom<br />
maTi wakiTxva da maTze ariTmetikuli moqmedebis Sesruleba<br />
moxerxebuli iyos.<br />
naturaluri ricxvebis Caweris umartives sistemaSi ricxvebi,<br />
mxolod erTi cifriT Caiwereboda, magaliTad: erTi - I ; ori -<br />
I I ; sami - I I I ; . . . . Tvlis aseT sistemaSi ricxvebze moqmedebebi<br />
martivad ganisazRvreboda. magaliTad:<br />
cxadia, aseTi Canaweri didi ricxvebisaTvis sakmaod mouxerxebelia<br />
da maTze ariTmetikuli moqmedebebis Sesrulebis dros<br />
didia Secdomis daSvebis Sansic.<br />
arqeologiuri gaTxrebis Sedegad dadasturda, rom paleoliTis<br />
xanidan, adamianebi cdilobdnen dasaTvleli<br />
sagnebi daejgufebinaT 3, 4, 5 an 7-eulebad. aseTi dajgufeba<br />
aadvilebda Tvlas da radgan, yvelaze xSirad isini TiTebis<br />
daxmarebiT iTvlidnen, amitom daiwyes dajgufeba 5-5-ad, an<br />
10-10-ad. SemdgomSi 10 aseuli – 1 aTaseuli... Tu daTvlisas<br />
aRmoCndeboda, rom sagnebis raodenoba iyo 2 aseuli, 7 aTeuli<br />
da kidev 4 sagani, maSin 2-jer imeorebdnen aseulebis niSans,<br />
7-jer – aTeulebis niSans da 4-jer erTeulebis niSans. cxadia<br />
es niSnebi ar gavda erTmaneTs, da amitom aseT CanawerSi<br />
niSnebi SeiZleboda ganlagebuliyo nebismieri mimdevrobiT,<br />
anu CanawerSi niSnakebis mdebareobas ar hqonda mniSvneloba,<br />
mniSvneloba hqonda mxolod maT raodenobas. Tvlis aseT sistemebs<br />
arapo ziciuri ewodeba.<br />
Zvel romSi ricxvebis aRsaniSnad specialuri simboloebi<br />
arsebobda: 1 – I, 5 – V , 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D da 1000 – M-iT<br />
aRiniSneboda.
omauli ricxvebis saSualebiT ricxvebi 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14, 19,<br />
20, .... Sesabamisad ase aRiniSneba:<br />
ricxvebis Caweris Tanamedrove, AaTobiTi sistema, Zvel indoeTSi<br />
Caisaxa. mogvianebiT ki arabebis meSveobiT evropaSic<br />
(X s.) gavrcelda.<br />
Tanamedrove poziciur sistemaSi cifris mniSvneloba<br />
damokidebulia imaze, Tu romel adgilze dgas igi. magali-<br />
Tad, 728-Si aseulebis TanrigSi weria 7, rac imas niSnavs, rom<br />
am ricxvSi Svidi aseulia. Sesabamisad, 2 aTeuli da 8 erTeuli.<br />
es ricxvi ase Caiwereba: 728 = 7·100 + 2·10 + 8.<br />
Tu, sazogadod, samniSna ricxvs abc -Ti aRvniSnavT, maSin<br />
abc = 100a + 10b + c. Sesabamisad oTxniSna ricxvi ase gamoisaxeba:<br />
abcd = 1000a + 100b + 10c + d.<br />
proeqti damoukidebeli kvlevisTvis:<br />
moiZieT informacia Cvenamde moRweuli Tvlis sistemebis<br />
Sesaxeb. moamzadeT Tema „Tvlis sistemebi“ da waikiTxeT<br />
gakveTilze, risTvisac gamoiyeneT wignis bolos miTiTebuli<br />
literatura da internet misamarTi.<br />
15
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
16<br />
Tbilisi<br />
180 km<br />
2 gamosaxulebaTa<br />
210 km<br />
mniSvnelobebis<br />
Sedareba<br />
1. ori avtomanqana erTdroulad gavida<br />
Tbilisidan erTi da imave mimar-<br />
TulebiT. pirveli moZraobda 60 km/sT,<br />
meore ki _ 70 km/sT siCqariT. romeli avtomanqana<br />
ufro Sors iqneba Tbi lisidan<br />
3 sT-is Semdeg da ramdeni kilometriT?<br />
amoxsna:<br />
3 saaTSi I avtomanqana gaivlida 3·60=180<br />
km-s, xolo meore – 3·70=210 km-s. radgan<br />
210 km metia, vidre 180 km, amitom<br />
Tbilisidan ufro Sors II avtomanqana<br />
iqneba. Tan 210 – 180 = 30 km-iT.<br />
2. nika 1974 wlis 26 maiss daibada, misi da nato ki – 1976 wlis 26<br />
maiss. CamoTvlili winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli<br />
mcdari?<br />
a) nato da nika asakiT tolebi arian;<br />
b) nato ufrosia nikaze;<br />
g) nato umcrosia nikaze.<br />
cxadia, radgan nika 2 wliT adre daibada vidre nato, amitom WeSmariti<br />
iqneba g) winadadeba. danarCeni ori ki – mcdari.<br />
yoveli ori a da b ricxvisaTvis marTebulia erTerTi Semdegi<br />
sami Tanafardobidan, danarCeni ori ki – mcdari.<br />
sityvierad: simboloTi:<br />
a naklebia bze a < b<br />
a metia bze a > b<br />
a udris bs a = b<br />
`~ simboloebs utolobis niSnebi ewodeba.<br />
or gamosaxulebas, SeerTebuls `~ niSniT, utoloba<br />
ewodeba.<br />
magaliTad, 2·80 < 7·50 – ricxviTi utolobaa.<br />
CavweroT utolobis saxiT:<br />
1) temperatura zafxulSi 25 gradusze meti da 40 gradusze naklebi<br />
iyo. Tu temperaturas t asoTi aRvniSnavT, miviRebT, rom t>25° da<br />
t
miRebuli ori utoloba SesaZlebelia erTi, egreTwodebuli, ormagi<br />
utolobis saxiT ase CavweroT:<br />
25° < t < 40°.<br />
2) moswavleTa raodenoba skolis nebismier klasSi ar aris naklebi<br />
28-ze da ar aRemateba 40-s.<br />
moswavleTa raodenoba ar aris naklebi 28-ze niSnavs, rom klasSi<br />
SesaZlebelia iyos 28 an 28-ze meti moswavle da Tu moswavleTa raodenobas<br />
n-iT aRvniSnavT, maSin SegviZlia CavweroT: n>28 an n=28,<br />
rac mokled ase Caiwereba: n ≥ 28.<br />
moswavleTa raodenoba ar aRemateba 40-s, niSnavs, rom klasSi<br />
SesaZlebelia iyos 40 an 40-ze naklebi moswavle, e. i. n an < niSnebiTaa Sedgenili, mkacri<br />
utolobebi ewodeba, xolo ≥ an ≤ niSnebiT Sedgenils _ aramkacri<br />
utolobebi.<br />
magaliTi 1.<br />
SeadareT ricxvebi: a) 18,324 da 18,334; b) 3,61 da 3,057.<br />
amoxsna:<br />
a) 18,324<br />
18,334 ) → radgan 20,<br />
amitom 18,324 < 18,334. amitom 3,61 > 3,057.<br />
magaliTi 2.<br />
1-el a) magaliTSi wiTeli cifrebi SecvaleT ise, rom<br />
ricxvebi erTmaneTis toli aRmoCndes. SesaZloa Tu ara,<br />
rom igive movimoqmedoT 1-el b) maga liTSic?<br />
SeadareT a + b da 2a – b gmosaxulebaTa mniSvnelobebi, Tu:<br />
a) a = 0 da b = 0; b) a = 2 da b = 3; g) a = 8 da b = 2.<br />
amoxsna:<br />
a) a + b = 0 + 0 = 0, 2a – b = 2·0 – 0 = 0.<br />
e.i. roca a = b = 0, maSin a + b = 2a – b.<br />
b) a + b = 2 + 3 = 5, 2a – b = 2·2 – 3 = 1.<br />
e.i. roca a = 2 da b = 3, maSin a + b > 2a – b.<br />
g) a + b = 8 + 2 = 10, 2a – b = 2·8 – 2 = 14.<br />
roca a = 8 da b = 2, maSin a + b < 2a – b.<br />
C a n a w e r i<br />
28 > a < 40<br />
arasworia!<br />
17
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
18<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
1. or gamosaxulebas, SeerTebuls „>“ an „ 3m + 1;<br />
b) 21,5 < 3,7 ≤ 8; d) 18<br />
2<br />
≥ x ≥ 3,7.<br />
9<br />
6 CawereT ormagi utolobis saxiT:<br />
a) 2m > 5 da 2m < 10; g) x metia 8-ze da naklebia 9-ze;<br />
b) 3n + 1 ≤ 3 da 3n + 1 > 3; d) 2a ar aRemateba 18-s da metia 12-ze.
7 CawereT utolobis saxiT:<br />
a) x naklebia 7-ze an udris 7-s;<br />
b) y ar aRemateba 17-s;<br />
g) 2a–1 metia 9-ze da ar aRemateba 20-s;<br />
d) x araa naklebi 7-ze da naklebia 16-ze;<br />
e) a metia 9-ze an udris 9-s;<br />
v) x metia an tolia 0-ze.<br />
8 gakveTilis bolos moswavlebma maswavlebels davalebisa da<br />
sakontrolo weris rveulebi Caabares, sul 49 cali. yvela moswavlem<br />
Caabara Tu ara orive rveuli?<br />
9 daasaxeleT 3-is jeradi ricxvi, romelic iyofa 20-ze.<br />
10* ramdeni samSabaTi iyo im TveSi, romlis 5 ricxvi iyo samSabaTi.<br />
11 wris ra nawilia daStrixuli?<br />
12 dawereT udidesi da umciresi naturaluri<br />
ricxvebi, romelTa CanawerSi yvela cifri TiTojer gvxvdeba.<br />
13* amoxseniT gantoleba:<br />
a) ((2(x+1)+10):5+8)·3–6=30.<br />
b) (((((5x+7):2–1):2+25):3+4)·5=70.<br />
14* mocemulia naturalur ricxvTa mimdevroba: 6; 11; 16; 21; 26 ...<br />
daakvirdiT mas da gamoTqviT varaudi, ra kanonzomierebiTaa<br />
es mimdevroba Sedgenili. ekuTvnis Tu ara am mimdevrobas<br />
ricxvebi: 91; 125; 137; 226?<br />
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:<br />
15 erTi kviris ganmavlobaSi daakvirdiT, ra dros andomebT<br />
TiToeuli sagnis momzadebas. gamoitaneT daskvna, romel<br />
sagans ufro swrafad amzadebT da romlis momzadebas uTmobT<br />
yvelaze met dros.<br />
19
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
(7,24,25)<br />
20<br />
(35,12,37)<br />
(5, 12, 13)<br />
(65,72,97)<br />
10 1 = 10<br />
10 2 = 100<br />
10 3 = 1 000<br />
10 4 = 10 000 = 10 aTasi<br />
10 5 = 100 000 = 100 aTasi<br />
10 6 = 1 milioni<br />
10 9 = 1000 milioni =<br />
= 1 miliardi<br />
10 12 = 1000 miliardi =<br />
= 1 trilioni<br />
10 15 = 1000 trilioni =<br />
= 1 kvadrilioni<br />
10 18 = 1000 kvadrilioni =<br />
= 1 kvintilioni<br />
kvadratis farTobia:<br />
S = a2 a sm<br />
(kv. sm)<br />
kubis moculoba:<br />
V = 33 = 27 sm3 3 sm<br />
(33,54,65)<br />
a sm<br />
3 sm<br />
(65,48,73)<br />
(15, 8, 7)<br />
(3, 4, 5)<br />
3 sm<br />
(45,28,53)<br />
(39,30,89)<br />
3 ricxvis<br />
(21, 20, 29)<br />
(91,60,109)<br />
(65,88,137)<br />
naturaluri xarisxi<br />
1. mefes sami Svili hyavda. ramdeni memkvidrisgan<br />
Sedgeba mefis meoTxe Taoba, Tu CavTvliT, rom<br />
misi STamomavlebis yovel warmomadgenels sami<br />
Svili hyavda?<br />
erTi da imave Tanamamravlebis namravli SegviZlia<br />
CavweroT gamosaxulebis saxiT, romelsac xarisxi<br />
ewodeba. magaliTad, 7·7·7·7·7=7 5 .<br />
a ricxvis n naturaluri xarisxi – an , sadac n>1,<br />
ewodeba n cali ricxvis namravls, romelTagan<br />
TiToeuli as tolia. as xarisxis fuZe ewodeba,<br />
ns _ xarisxis maCvenebeli.<br />
miRebulia, rom a1 = a .<br />
moyvanili magaliTis SemTxvevaSi 7 xarisxis fuZea, 5 _ xarisxis<br />
maCvenebeli.<br />
xarisxi a fuZiTa da n maCvenebliT Semdegnairad iwereba _ a n ,<br />
xolo ikiTxeba `a xarisxad n~, an `a-s n xarisxi~.<br />
xarisxis ganmartebidan,<br />
a 2 = a · a; a 3 = a · a · a; a 4 = a · a · a · a.<br />
n<br />
zogadad, a = a· a· ... · a<br />
1 42 4 3<br />
-<br />
.<br />
n jer<br />
ricxvis xarisxis povnas xarisxSi ayvanas an axarisxebas uwo deben.<br />
34 =<br />
S<br />
3· 3· 3· 3<br />
4- jer<br />
. 03 = 0·0·0 = 0.<br />
73 =<br />
S<br />
7· 7· 7.<br />
81 = 8.<br />
3- jer<br />
daasaxeleT xarisxis fuZe, xarisxis maCvenebeli da<br />
gamoTvaleT:<br />
a) 3 5 ; b) 2 4 ; g) 5 3 .<br />
SeasruleT moqmedeba: 3·5 2 ·2 2 – 2·4 3 + 7.<br />
SevTanxmdeT, rom me-2 xarisxs `kvadrati~ vuwodoT,<br />
me-3 xarisxs _ `kubi~.
cxadia, paragrafis dasawyisSi dasmuli problema ase gadawydeba:<br />
mefe<br />
I Taoba<br />
xarisxis ganmartebis Semdeg SegviZlia mravalniSna ricxvi saTanrigo<br />
Sesakrebebad Semdegnairad CavweroT:<br />
27865=2·10000+7·1000+8·100+6·10+5=2·10 4 +7·10 3 +8·10 2 +6·10+5.<br />
magaliTi 1.<br />
ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba: a) 2·10 3 ; b) 2 6 +3 4 .<br />
amoxsna:<br />
a) 103 = 10·10·10 = 1000; 2·10 3 = 2·1000 = 2000.<br />
b) 2 6 = 2·2·2·2·2·2 = 64; 2 6 = 64;<br />
3 4 = 3·3·3·3 = 81<br />
2 6 + 3 4 = 64 + 81 = 145.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
II Taoba<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5 . . . . . .<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
me-4 Taoba Sedgeba<br />
3 4 =81 memkvidrisgan<br />
magaliTi 2.<br />
ipoveT 144-isa da 80-is udidesi saerTo gamyofi da umciresi<br />
saerTo jeradi.<br />
amoxsna:<br />
144<br />
12 · 12<br />
2 · 2 · 3 · 2 · 2 · 3<br />
e.i. 144 = 2 4 · 3 2<br />
240 = 2 4 · 3 · 5<br />
240<br />
24 · 10<br />
3 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5<br />
u.s.g. (144;240) = 2 4 · 3 = 48<br />
144 = 2·2·3·2·2·3 = 2 4 ·3 2 .<br />
240 = 3·2·2·2·2·5 = 2 4 ·3·5.<br />
144 = 24 · 32 240 = 24 · 3 · 5<br />
u.s.j. (144;240) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720<br />
ganxiluli sqemis mixedviT aRwereT mocemuli<br />
ricxvebis udidesi saerTo gamyofisa da umciresi saerTo<br />
jeradis moZebnis xerxebi.<br />
aTiaTaseulebi<br />
gavixsenoT:<br />
2 7 8 6 5<br />
aTaseulebi<br />
aseulebi<br />
aTeulebi<br />
ufrCxilo gamosa xulebaSi<br />
pirvelad Sesruldeba<br />
axarisxeba.<br />
wiTeli cifrebiT miTi-<br />
Tebulia moqmedebis<br />
rigi.<br />
144<br />
72<br />
36<br />
18<br />
9<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
21<br />
erTeulebi
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
22<br />
imetyvele sworad!<br />
a 5<br />
1. 315 ?<br />
= S<br />
3· 3· ... · 3.<br />
2. S<br />
8· 8· ... · 8 = 8 .<br />
? -jer<br />
a _ xarisxis fuZea<br />
5 _ xarisxis maCvenebelia<br />
a5 _ xarisxia<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
6- jer<br />
3. 1 300 = ? . 4. 10000000 =10 ?<br />
.<br />
5. (2n) 6 = ( 2n) · ( 2n) · ... · ( 2n)<br />
14444 244 4 3<br />
= ? . 6. 5a· 5a·5a·5a=(5a) ?<br />
.<br />
savarjiSoebi:<br />
? -jer<br />
1 CawereT xarisxis saxiT:<br />
a) 0,7·0,7·0,7·0,7; g) 5·5·5; e) y· y· y· ... · y<br />
1 42 4 3<br />
25- jer<br />
.<br />
b)<br />
2 2 2 2<br />
· · · ;<br />
5 5 5 5<br />
d) (a–b)(a–b); v) S<br />
4· 4· ... · 4<br />
30- jer<br />
.<br />
2 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:<br />
a) a4 , Tu a=2; b) 0,01y4 , Tu y=2; 3; 10;<br />
g) b3 , Tu b=0,1; d) 2b3 +3, Tu b=11; 0; 15;<br />
e) n4 , Tu n=5; v) 3x3 –4y2 , Tu x=1 da y=2;<br />
z) 30·a3 +4,5·b4 , Tu a=0,1 da b=10; T) 3x4 +2x3 –x2 +8, Tu x=2.<br />
3 gamoiangariSeT:<br />
a) 24 ; b) (0,7) 2 ; g) 73 ; d) 42 ; e) 2<br />
3<br />
4<br />
` j ; v) 34 .<br />
4 gamoiangariSeT:<br />
a) 3 4 – ( 1<br />
2 ) 2 + 3·2 3 ; b) 0,1 4 · 5 + 0,2 3 · 10 .<br />
a xarisxad 5<br />
a-s mexuTe xarisxi<br />
a ayvanili mexuTe xarisxSi<br />
5 kalkulatorisTvis Sedgenili moqmedebaTa romeli TanamimdevrobiT<br />
iqneba SesaZlebeli gamosaxulebis mniSvnelobis povna?<br />
a) 3,5 3 A. 7,1 y S 14 =<br />
b) 18 4 B. 4 y S 18 =<br />
g) 4 18 C. 3,5 y S 3 =<br />
d) 7,1 14 D. 18 y S 4 =<br />
a 5
6 kvadratuli formis mindvris sigrZe 8 m-ia. ipoveT am mindvris<br />
farTobi kvadratul metrebSi da Semdeg gamosaxeT igi<br />
kvadratul santimetrebSi.<br />
7 ipoveT im kubis moculoba da zedapiris farTobi, romlis wibos<br />
sigrZea a) 5 sm; b) a sm.<br />
8* kubis wibo a sm-ia. rogor Seicvleba misi moculoba, zedapiris<br />
farTobi, Tu wibos sigrZes:<br />
a) gavadidebT 3-jer, b) SevamcirebT 2-jer?<br />
9 ipoveT Semdegi ricxvebis umciresi saerTo jeradi da udidesi<br />
saerTo gamyofi:<br />
a) 36-is da 45-is; b) 40-is da 48-is; g) 72-is da 180-is.<br />
10 daasaxeleT orniSna ricxvebi, romlebsac aqvT mxolod sami<br />
gamyofi.<br />
11 ras udris ori martivi ricxvis umciresi saerTo jeradi.<br />
12 sul mcire ramdeni metri qsovili unda hqondes gamyidvels,<br />
rom misi gayidva SeZlos rogorc sam-sami, ise xuT-xuTi metrobiT.<br />
13 rZis ra umciresi raodenobaa saWiro, rom misi ganawileba<br />
SeiZlebodes rogorc 8 litrian, aseve 12 litrian WurWlebSi.<br />
14 navsadguridan erTdroulad gadis 2 gemi. erTi yovel 6 TveSi<br />
brundeba navsadgurSi, meore ki _ yovel 15 TveSi. ra drois<br />
Semdeg aRmoCndeba orive gemi erTdroulad navsadgurSi.<br />
15 samzareulo oTaxSi, romlis sigrZea 575 sm da sigane 375 sm,<br />
unda daagon kvadratuli formis metlaxis filebi.<br />
a) sul didi, ramdeni santimetri SeiZleba iyos aseTi filebis<br />
sigrZe?<br />
b) ramdeni aseTi zomis filis dagebaa saWiro?<br />
16 roca giorgi 9 wlis gaxda, mamam dabadebis dReze aCuqa yulaba,<br />
romelSic 1 lari iyo da dapirda, rom yovel momdevno<br />
dabadebis dReze yulabaSi Caagdebda 2-jer mets, vidre wina<br />
dabadebis dRes. ra Tanxa eqneba giorgis, roca mas 20 weli<br />
Seusruldeba?<br />
17 qvemoT mocemulia garkveuli kanonzomierebiT dalagebuli<br />
naturaluri ricxvebi. daadgineT es kanonzomiereba da<br />
gaagrZeleT mwkrivi sami elementiT (SesaZloa erTze meti<br />
xerxiTac ki):<br />
a) 1, 2, 4, . . . b) 2, 4, 8, . . . g) 1, 4, 9, . . .<br />
d) 3, 9, 27, . . . e) 5, 25, 125, . . . v) 1, 8, 27, . . .<br />
1m 2 = 1m · 1m =<br />
= 100·100 sm 2 =<br />
= 10000 sm 2 =<br />
= 10 4 sm 2<br />
23
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
2,51 =<br />
=<br />
5 1<br />
2 + +<br />
2<br />
10 10<br />
24<br />
ifiqreT da iazrovneT:<br />
18 romelia meti:<br />
a) 53 Tu 33 ; b) 28 Tu 48 ; g) 110 Tu 101 ; d) ( 1<br />
e) 2 6 Tu 6 2 ; v) 3 8 Tu 3 6 ; z) 4 6 Tu 3 6 ; T) ( 1<br />
2) 2<br />
2) 4<br />
Tu ( 1<br />
2) 5<br />
;<br />
Tu 1.<br />
19 ricxvis CanawerSi miuTiTeT Sesabamisi Tanrigebi da gaSaleT<br />
es ricxvi saTanrigo SesakrebTa jamad:<br />
a) 2751; b) 3001; g) 50,12; d) 18,105;<br />
e) 1057,109; v) 3,5; z) 3,53; T) 3,5301.<br />
20 ? magivrad CasviT iseTi ricxvi, rom miiRoT swori toloba:<br />
a) 1m = 10 ?<br />
mm; b) 1 m2 = 10 ?<br />
sm2 = 10 ?<br />
mm2 ;<br />
g) 1kg = 10 ?<br />
g; d) 1 t = 10 ?<br />
kg = 10 ?<br />
g;<br />
e) 1km = 10 ?<br />
m = 10 ?<br />
sm; v) 1 sT = ? wT = ? wm.<br />
21 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:<br />
a) 0,7 2 + 25·3;<br />
b) 18,5:0,05·100 – 5·23 ;<br />
g) 152 + 117,45:(35 – 28,9 + 6,9);<br />
d) [(132,5 – 121,7)·0,1:0,4 + 4] – 0,33 :0,9;<br />
e) 2b + c2 :a + 4, Tu a = 2, b = 5 da c = 4;<br />
v) 15c:(1 – b), Tu c = 0,3 da b = 0,1.<br />
22 ipoveT Secdoma amoxsnaSi:<br />
a) 4·7 + 8 = 4·15 = 60; b) 38 – 8:2 = 30:2 = 15; g) 7 + 82 = 225;<br />
d) 5 + 3·2 3 = 5 + 216 = 221; e) 5·32 – 100 = 225 – 100; v) 142 :2 = 49.<br />
23 cnobilia, rom a) u.s.g. (a;b) = b. ipoveT u.s.j. (a;b);<br />
b) u.s.j. (a;b) = a. ipoveT u.s.g. (a;b).<br />
24 SeavseT <strong>Tavi</strong>sufali ujrebi mocemuli nimuSis mixedviT. gamoitaneT<br />
Sesabamisi daskvna.<br />
a 35 40 70 100<br />
b 63 25 105 125<br />
u.s.g. (a;b) 7<br />
u.s.j. (a;b) 315<br />
a · b 2205<br />
u.s.j. (a;b) × u.s.g. (a;b) 2205
amocana damoukidebeli kvlevisTvis:<br />
25*. mocemulia ricxvTa mwkrivi:<br />
a) 3, 6, 9, 12, 15; b) 4, 8, 12, 16, 20;<br />
g) 1, 4, 7, 10, 13; d) 2, 7, 12, 17, 22.<br />
SeamCnieT kanonzomiereba da dawereT mwkrivis kidev sami wevri.<br />
26* buratinos gakveTilze ramdenime ricxvis Sekreba daavales.<br />
magaliTis gadawerisas man ramdenime Secdoma dauSva: erTerT<br />
SesakrebSi erTeulebis TanrigSi 3-ianis nacvlad 9-iani<br />
gadmowera, meore SesakrebSi aseulebis Tanri gSi 7-iani CaTvala<br />
1-ianad, xolo mesame SesakrebSi aTaseulebis TanrigSi 6-ianis<br />
nacvlad 5-iani Cawera. amis Semdeg man Sekriba es ricxvebi da<br />
miiRo 72438. Sekrebisas mas axali Secdoma ar dauSvia. ra pasuxs<br />
miiRebda buratino, sworad rom gadmoewera magaliTi?<br />
27 dawereT marTkuTxa formis nakveTis perimetris gamosaTvleli<br />
gamosaxuleba, Tu nakveTis sigrZe 12 m-iT metia siganeze.<br />
ipoveT nakveTis sigrZe da sigane, Tu am nakveTis SemosaRobad<br />
saWiroa 72 m sigrZis mavTulbade.<br />
28 * romeliRac Tvis sami xuTSabaTi luw ricxvebs daemTxva. kviris<br />
ra dRe iyo am Tvis 26 ricxvi?<br />
29 a) kvadratis ra nawilia gaferadebuli?<br />
b) ipoveT kvadratis daStrixuli nawilis<br />
farTobi, Tu kvadratis gverdis sigrZe 6 sm-ia.<br />
30* gayaviT 32 bavSvi or jgufad ise, rom pirvel jgufSi bavSvebis<br />
raodenoba iyos meore jgufis bavSvebis raodenobis<br />
3<br />
.<br />
5<br />
31 ori martivi ricxvis jami kentia. ras udris am ori ricxvidan<br />
umciresi?<br />
32 CawereT yvela samniSna ricxvi, romelic SeiZleba CavweroT<br />
cifrebiT 3; 4; 6 (ricxvSi cifrebi ar gameordes) da daalageT<br />
isini zrdadobis mixedviT.<br />
33 SeadgineT yvela samniSna ricxvi, romlebic Caiwereba cifrebiT<br />
2 da 4 da daalageT isini klebis mixedviT.<br />
25
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
26<br />
Seamowme Seni codna:<br />
1 mTeli ricxvi, romelic akmayofilebs utolobas, 0 ≤ x < 2 aris:<br />
a) 2; b) mxolod 1; g) 0 da 1; d) mxolod 0.<br />
2 x ricxvia ar aris naklebi 5-ze niSnavs:<br />
a) x >5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.<br />
3 x ar aRemateba 5-s niSnavs:<br />
a) x > 5; b) x < 5; g) x ≥ 5; d) x ≤ 5.<br />
4 gamosaxuleba a + b – c tolia:<br />
a) a + c – b; b) b – c + a; g) b – c – a; d) b + c – a .<br />
5 gamosaxuleba a (bc) tolia:<br />
a) ab + ac; b) ab · ac; g) abc; d) ab – ac.<br />
6 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:<br />
`<br />
7<br />
1<br />
12<br />
18<br />
19<br />
: ` 2, 42: 1, 21 -<br />
9<br />
1 0, 32 .<br />
16<br />
7. gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe:<br />
32527 · 32324 · 32528 · 32323.<br />
8. ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba:<br />
a) 0,01y 4 , Tu y=3; b) 2b 3 +3, Tu b=5;<br />
g) 2x 4 –5x 3 +x 2 +3x+2, Tu x=5.<br />
9. gamoiangariSeT:<br />
a) 0,23 +0,4·24 ; b) 10·5·24 ; g) 8·0,53 +25·0,2 2 ;<br />
2<br />
4 2<br />
d) 3 - ` j .<br />
5<br />
10. SeavseT cxrilis carieli ujrebi:<br />
x y 2x 3 y 2x–3y+4<br />
5 1<br />
2,5 0,1<br />
7,4 2,8<br />
1,5 8<br />
12,6 7,5<br />
11 Caweris gareSe daasaxeleT romeli Tanrigis erTeulebi iqneba<br />
0-is toli Semdeg ricxvebSi:<br />
a) samas ocdarva milion orasocdaxuTi;<br />
b) samas ori milion ocdaxuTiaTas erTi;<br />
g) ormocdaSvidi milion as ori aTas ocdasami.<br />
12 CawereT yvela xuTniSna ricxvi, romlis cifrTa jami 2-is tolia.
4 gayofadobis<br />
niSnebi<br />
1. 50 litriani WurWlidan Tafli unda gadanawildes qilebSi.<br />
daadgineT:<br />
a) ramdeni 2- li triani,<br />
b) ramdeni 5-litriani qila dasWirdeba mefutkres?<br />
g) SesaZlebelia Tu ara, rom Tafli mxolod 3-litrian qilebSi<br />
gadanawildes?<br />
amoxsna:<br />
Tu 50 litriani WurWlidan Tafls 2 litrian qilebSi CavasxamT,<br />
maSin dagvWirdeba 50:2 = 25 qila, xolo Tu 5-litrian qilebSi –<br />
50:5 = 10 qila. Tafli mxolod 3 litrian qilebSi ver gadanawildeba,<br />
radgan 50 ar iyofa 3-ze. am SemTxvevaSi gaivseba 16 cali 3-litriani<br />
qila, meCvidmeteSi ki aRmoCndeba Casasxmeli mxolod 2 litri:<br />
50 = 16·3 + 2.<br />
diax, Tqven mSvenivrad iciT, rom naturaluri ricxvebis gayofisas<br />
yovelTvis naturaluri ricxvi ar miiReba. zemoT ganxiluli<br />
da misi msgavsi zogierTi sxva problemis gadasawyvetad ki<br />
mosaxerxebelia vicodeT zogierT ricxvze gayofadobis niSnebi.<br />
vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b) Tu<br />
ganayofi a:b naturaluri ricxvia.<br />
e.i. sruldeba toloba: a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia.<br />
CamovayaliboT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze, 10-ze da 4-ze gayofadobis<br />
niSnebi.<br />
1. 2ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT<br />
bolovdeba.<br />
luwi cifrebia 0, 2, 4, 6, 8.<br />
kenti cifrebia 1, 3, 5, 7, 9.<br />
a iyofa 2-ze niSnavs, rom arsebobs iseTi naturaluri k ricxvi,<br />
romlisTvisac sruldeba: a=2k.<br />
a=2k _ luwi ricxvis formulaa.<br />
1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...<br />
oris jeradi ricxvebi<br />
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-2 ricxvi orze iyofa.<br />
-Ti maTematikaSi<br />
aRiniSneba sityva<br />
„iyofa“.<br />
50 10<br />
radgan 50 = 5·10<br />
75 5<br />
radgan 75 = 5 · 15<br />
a 3<br />
e.i. a = 3k<br />
27
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
„ar iyofa“ aRiniSneba<br />
„ “ simboloTi.<br />
28<br />
2. 10ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic<br />
0iT bolovdeba<br />
a 10, e.i. a=10k, k naturaluri ricxvia. a=10k – 10-is jeradi ricxvis<br />
formulaa.<br />
3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis<br />
bolo cifria 5 an 0 .<br />
a 5, e.i. a = 5k, sadac k naturaluri ricxvia.<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21...<br />
5-is jeradi ricxvebi<br />
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-5 ricxvi 5-is jeradia.<br />
4. 3ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami<br />
iyofa 3ze.<br />
magaliTad, 7452 3, radgan 7+4+5+2=18 da 18 3.<br />
magram 3+5+6=14 da 356 ar iyofa 3-ze.<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...<br />
3-is jeradi ricxvebi<br />
naturalur ricxvTa mwkrivSi yoveli me-3 ricxvi 3-is jeradia.<br />
5. 9ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa<br />
9ze.<br />
magaliTad, 2358 9, radgan (2 + 3 + 5 + 8 = 18 da 18 9), xolo 2337 ar<br />
iyofa 9-ze, radgan 2 + 3 + 3 + 7 = 15 da 15 9. ikiTxeba: 15 ar iyofa<br />
9-ze.<br />
6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan<br />
Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze .<br />
magaliTad, , radgan 24 4.<br />
dawereT: a) 2-is jerad, b) 3-is jerad,<br />
g) 9-is jerad, d) 4-is jerad ricxvTa mwkrivi.<br />
1. daasaxeleT mwkrivis pirveli wevri.<br />
2. rogor miiReba mwkrivis yoveli wevri wina wevrisagan?<br />
3. ra SegiZliaT TqvaT mwkrivis bolo wevrze?<br />
4. rogor miiReba mwkrivis nebismieri wevri pirveli wevrisagan?<br />
5. gaaCnia Tu ara msgavsi Tvisebebi naturalur ricxvTa mwkrivs?
magaliTi 1.<br />
ricxvs 2351-s marjvniv mivuweroT erTi cifri ise, rom miRebuli<br />
ricxvi gaiyos: a) 4-ze, b) 3-ze, g) 9-ze.<br />
amoxsna:<br />
a) 2351* .<br />
es ricxvi 4-ze gaiyofa, Tu 1* ricxvi gaiyofa 4-ze. aseTi ricxvebia:<br />
12 da 16.<br />
23512 4 an 23516 4<br />
b) 2 + 3 + 5 + 1 = 11 .<br />
e.i. bolo cifri SesaZloa iyos:<br />
1; 4; 7<br />
23511 3 23514 3 23517 3<br />
g) 2+3+5+1 = 11, bolo cifri SesaZloa iyos mxolod 7.<br />
23517 9, radgan 2+3+5+1+7=18 da 18 9.<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
1. abc4 ? 2-ze; 2. abc5 ? 5-ze;<br />
3. abc3 ? 5-ze; 4. abc34 ? 4-ze;<br />
5. m52 ? 4-ze; 6. mn0 iyofa ? .<br />
7. Tu ricxvis cifrTa jami iyofa ? maSin es ricxvi iyofa ? .<br />
8. ricxvs, romelic iyofa n ricxvze, n ricxvis ? ewodeba.<br />
9. ricxvs, romelzec iyofa n ricxvi, n ricxvis ? ewodeba.<br />
10. luwi ricxvis momdevno ricxvi ? ricxvia.<br />
savarjiSoebi:<br />
1 Semdegi ricxvebidan amowereT iseTebi, romlebic iyofa:<br />
a) 3-ze; b) 9-ze; g) 5-ze; d) 4-ze; e) 2-ze; v) 3-zec da 5-zec:<br />
335; 4781; 1002; 3005001; 6303;<br />
304505; 2536; 5600; 78905; 56704.<br />
2 varskvlavis nacvlad CawereT cifrebi ise, rom miRebuli ricxvi<br />
gaiyos mocemul ricxvze (ganixileT yvela SesaZlo SemTxveva).<br />
a) 234* gaiyos 5-ze; b) 387* gaiyos 4-ze;<br />
g) 25*1 gaiyos 3-ze; d) 45*9 gaiyos 9-ze;<br />
e) 378* gaiyos 10-ze; v) *124 gaiyos 3-ze.<br />
orniSna ricxvi aRvniSnoT<br />
ab, maSin ab=10a+b.<br />
aseulebi<br />
a b c samniSna ricxvi.<br />
aTeulebi<br />
erTeulebi<br />
abc = 100a + 10b + c<br />
275 = 2 · 100 + 7 · 10 + 5<br />
29
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
30<br />
3 mwkrivSi dgas 137 jariskaci. gaTvla xdeba pirvel-meoreze. ra<br />
nomeria bolo jariskaci?<br />
4* gaeciT pasuxi wina amocanaSi dasmul SekiTxvas Tu jariskacebi<br />
gaiTvlian:<br />
a) pirvel-mexuTeze; b) pirvel-mesameze.<br />
5 moifiqreT amocana, sadac dagWirdebaT a) 5-ze, b) 9-ze gayofadobis<br />
wesi.<br />
6 SeiZleba Tu ara 9 galiaSi Tanabrad gadavanawiloT 71 kurdReli?<br />
7 romel ricxvze gaiyofa unaSTod sami erTmaneTis momdevno<br />
ricxvis jami?<br />
8 dawereT:<br />
a) 3-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 191-sa da 237-s<br />
Soris;<br />
b) 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia 137-sa da 172-s<br />
Soris.<br />
9 SesaZlebelia Tu ara, rom kenti ricxvi gaiyos 4-ze? (pasuxi<br />
daasabuTeT).<br />
10 maRaziaSi Sesulma natom SeamCnia, rom safuleSi mxolod 5<br />
TeTriani da 10 TeTriani monetebi hqonda, SeuZlia Tu ara<br />
natos gamyidvels zustad gadauxados (xurdis dabrunebis<br />
gareSe) 6 cali saSlelis, 2 rveulis, 2 namcxvris Rirebuleba,<br />
Tu 1 saSleli Rirs 8 TeT ri, 1 rveuli _ 33 TeTri, xolo 1<br />
namcxvari _ 50 TeTri.<br />
11* ramdeni bavSvia klasSi, Tu maTi 3<br />
dadis inglisurze,<br />
5<br />
4 7 dadis<br />
fran gulze da cnobilia, rom mTeli klasis moswavleTa naxevari<br />
15-ze naklebia.<br />
12* dawereT udidesi xuTniSna ricxvi, romlis CanawerSi gvxvdeba<br />
yvela kenti cifri da romelic iyofa 5-ze.<br />
13* dedam salomes supermarketSi 4 saSleli, rveulebi – TiTo<br />
40 TeTrad, Tojina 4 larad, 12 feradi fanqari da 8 naWeri<br />
namcxvari uyida. gamyidvelma 19 lari da 30 TeTri uangariSa.<br />
salomem dedas uCurCula, rom gamyidveli Secda, sworad<br />
mixvda Tu ara salome? pasuxi daasabuTeT.<br />
14* ipoveT:<br />
a) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 1 da romelic iyofa<br />
9-zec da 5-zec, magram ar iyofa 2-ze.<br />
b) samniSna ricxvi, romlis pirveli cifria 7 da romelic iyofa<br />
9-zec, 5-zec da 2-zec.
15 giorgim, nikam da vaJam tyeSi soko wiTeli (niyvi) moagroves.<br />
Sin misulebma gadawyvites soko Tanabrad gaeyoT. SeZleben<br />
Tu ara biWebi motanili sokos Tanabrad ganawilebas, Tu:<br />
a) giorgim ipova 37, nikam _ 40, vaJam ki _ 31 soko;<br />
b) giorgim _ 23, nikam _ 18, vaJam ki _ 15 soko?<br />
16.<br />
Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Sesabamis<br />
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);<br />
Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis<br />
Sesabamis ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);<br />
Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia, airCieT (C);<br />
Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisTvis,<br />
airCieT (D).<br />
A B A B C D<br />
8 × 7 gamosaxulebis<br />
aTeulebis ricxvi<br />
17. wamebis raodenoba 6 sT-Si<br />
2335:5 gamosaxulebis<br />
aseulebis cifri<br />
wuTebis raodenoba erT<br />
kviraSi<br />
18. 3(8x+4) 4(3+6x)<br />
19. 2(x+1)+3x–2 5x<br />
20. 2 4 4 2<br />
21.<br />
23 -sa da 99 -s Soris<br />
5 5<br />
moTavsebul mTel ricxvTa<br />
raodenoba<br />
11 59<br />
-sa da -s Soris<br />
3 3<br />
moTavsebul mTel ricxvTa<br />
raodenoba<br />
22. avtomobilSi gadaixades 2400 lari da kidev mTeli Rirebulebis<br />
3<br />
5<br />
nawili. ra Rirda avtomobili?<br />
23. ramdeniT gaizrdeba ricxvi 12, Tu mis cifrebs gadavaadgilebT.<br />
daasaxeleT yvela orniSna ricxvi, romelic cifrebis gadaadgilebiT<br />
imdeniTve gaizrdeba.<br />
31
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
32<br />
jgufuri mecadineoba<br />
TamaSobs ori moTamaSe.<br />
viTamaSoT!<br />
I TamaSi.<br />
I moTamaSe asaxelebs ricxv 1-s an 2-s, meore moTamaSes SeuZlia<br />
dasaxelebul ricxvs daumatos 1 an 2 da asaxelebs miRebul jams.<br />
igebs is, vinc pirvelad daasaxelebs 51-s.<br />
ver mixvdiT?<br />
CaatareT erTmaneTSi es TamaSi ramdenjerme. romelma<br />
moTamaSem moigo?<br />
aRwereT, rogor unda iTamaSos moTamaSem (romelma?) sworad,<br />
rom moigos.<br />
II TamaSi.<br />
qvebis grovaSi 100 qvaa. moTamaSes erT svlaze SeuZlia aiRos 1 an 3<br />
qva. igebs is moTamaSe, romelic bolo qvas aiRebs.<br />
romeli moTamaSe moigebs, Tu<br />
a) pirveli moTamaSe aiRebs 3 qvas;<br />
b) pirveli moTamaSe aiRebs 1 qvas.<br />
III TamaSi.<br />
qvis grovaSi 120 qvaa. moTamaSeebi, monacvleobiT, survilisamebr<br />
iReben<br />
a) 1, 2, 3 an 4, b) 1, 2, 3, 4 an 5 qvas. romeli moTamaSe moigebs da rogori<br />
wesiT unda iTamaSos man, rom moigos, Tu mogebulad iTvleba is<br />
moTamaSe, romelic aiRebs bolo qvas?
5 ricxvTa<br />
gayofadobis zogierTi<br />
Tviseba<br />
1. saaxalwlo zeimze Tovlis babuam I a da I b klasis moswavleebs<br />
saCuqrad TiTo yuTi Sokoladis fila miutana. ganawile bis<br />
Semdeg aRmo Cnda, rom:<br />
a) I a klasis TiToeul moswavles Sexvda sam-sami fila, xolo I b<br />
klasis moswavleebs ki _ oTx-oTxi fila. SeeZlo Tu ara Tovlis<br />
babuas imave raodenobis Sokoladis fila (1 yuTi) 12 bavSvisTvis<br />
Tanabrad gaenawilebina?<br />
b) I a klasis TiToeul moswavles ergo eqvs-eqvsi fila, I b klasisas<br />
_ oTx-oTxi. SeeZlo Tu ara Tovlis babuas imdenive Sokoladis<br />
fila (1 yuTi) 24 bavSvisTvis Tanabrad gaena wilebina?<br />
Tqven ukve iciT zogierT ricxvze, magaliTad, 2-ze, 3-ze, 5-ze, 9-ze,<br />
10-ze gayofadobis niSnebi. SeiZleba Tu ara davadginoT, kidev<br />
sxva ricxvebze, magaliTad 12-ze, 24-ze, 15-ze da a. S. gayofadobis<br />
niSnebi?<br />
amisTvis gavecnoT ricxvTa gayofadobis ramdenime Tvisebas.<br />
Tviseba 1. Tu a (bc), maSin a b da a c.<br />
marTlac, a (bc) niSnavs, rom ganayofSi miiReba mTeli ricxvi<br />
da sruldeba toloba: a=(bc)·n (1) Tu gamoviyenebT gamravlebis<br />
jufTebadobis Tvisebas, (1)-s SeiZleba aseTi saxe mivceT a=b(cn).<br />
radgan cn-ic mTeli ricxvia, es imas niSnavs, rom a b. analogiurad,<br />
a=c(bn), saidanac Cans, rom a c.<br />
marTlac, radgan 24 8, amitom 24 2 da 24 4 (2·4=8).<br />
36 6, amitom 36 2 da 36 3 (2·3=6).<br />
sainteresoa, sruldeba Tu ara zemoT Camoyalibebuli<br />
winadadeba piriqiT?<br />
e.i. Tu a b da a c gaiyofa Tu ara a ricxvi maT namravlze, bc-ze?<br />
ganixileT ramdenime magaliTi.<br />
rogorc xedavT, Cvens mier Camoyalibebuli winadadeba zogjer<br />
sruldeba, zogjer ara. magaliTad, 12 iyofa 6-zec da 4-zec, magram<br />
12 ar iyofa 6·4-ze.<br />
mocemul sqemaze kargad Cans rom 4·6=24 martiv<br />
mamravlebad daSlaSi u. s. g. (6;4)=2 orjer Sedis _<br />
erTxel, rogorc 4-is, meored ki rogorc 6-is gamyofi.<br />
amitom cxadia, 12 aRar gaiyo maT namravlze.<br />
meores mxriv, 12 3 da 12 4. amasTan 12 12 (12=3·4) da<br />
u. s. g. (3;4)=1.<br />
yuradReba!<br />
C a n a w e r i a b ( a<br />
i y o f a b - z e ) a r<br />
aRniSnavs raime<br />
moqmedebas a da b<br />
ricxvebs Soris.<br />
igi aris winadadeba,<br />
romelic a-sa<br />
da b-s zogierTi<br />
mniSvne lobisTvis<br />
WeSmaritia, zogierTisTvis<br />
ki _<br />
mcdari.<br />
12 24<br />
2 · 2 · 3 2 · 2 · 2 · 3<br />
4 · 6<br />
33
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
naSTi yovelTvis<br />
nak lebia gamyofze.<br />
cxrili 1<br />
3-ze gayofis<br />
naSTebi<br />
naturaluri<br />
34<br />
ricxvebi<br />
Tviseba 2. Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c)=1,<br />
maSin a gaiyofa bc-ze.<br />
am Tvisebidan gamomdinare advilad davaskvniT:<br />
a) 6-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da 2-zec.<br />
b) 15-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic iyofa 3-zec da<br />
5-zec.<br />
CamoayalibeT 12-ze, 18-ze, 36-ze gayofadobis niSnebi. moiyvaneT<br />
Sesabamisi magaliTebi.<br />
Tviseba 3. Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze,<br />
maSin a + b da a – b ricxvebic gaiyofa c-ze.<br />
marTlac, a c, niSnavs a=cn, xolo b c ki niSnavs, rom b=cm, maSin<br />
a+b=cn+cm gamravlebis ganrigebadobis kanonis safuZvelze<br />
a+b=c(n+m), radgan n+m naturaluri ricxvia, miviReT (a+b) c.<br />
analogiurad SeiZleba vaCvenoT, rom (a–b) c, sadac a>b.<br />
WeSmaritia Tu mcdari winadadeba:<br />
a) Tu a da b ricxvebidan arc erTi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar<br />
gaiyofa c-ze.<br />
b) Tu a ricxvi iyofa c-ze da b ricxvi ar iyofa c-ze, maSin a+b ar<br />
gaiyofa c-ze.<br />
moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.<br />
winadadeba `a b mcdaria~ imas niSnavs, rom a ricxvis b ricxvze gayofisas<br />
miiReba aranulovani naSTi.<br />
nebismieri a da b naturaluri ricxvebisaTvis Sesruldeba toloba:<br />
a = bn + r,<br />
sadac a _ gasayofia, b _gamyofi, n _ ganayofi, xolo<br />
r _ naSTi. amasTan 0 ≤ r < b ,<br />
(r=0, roca a b)<br />
14:4=3(2), e. i. 14=3·4+2.<br />
0 1 2<br />
0<br />
3<br />
6<br />
9<br />
......<br />
3n<br />
......<br />
1<br />
4<br />
7<br />
10<br />
......<br />
3n+1<br />
......<br />
2<br />
5<br />
8<br />
11<br />
......<br />
3n+2<br />
......<br />
am formulis mixedviT ukve advilad CavwerT:<br />
1) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-<br />
Zlevs 1-s, iqneba a=3n+1.<br />
2) ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi gva-<br />
Zlevs 2-s, iqneba b=3n+2.<br />
cxadia, 3-ze gayofisas sxva aranulovan naSTs ver<br />
miviRebT, radgan naSTi 3-ze naklebi ricxvia.<br />
daumtkiceblad miviRoT Semdegi Tviseba.<br />
dawereT 1-eli cxrilis msgavsi cxrili<br />
5-ze, 6-ze gayofis naSTebisaTvis.
Tviseba 4. ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli<br />
ricxvis c-ze gayofisas miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.<br />
e. i. Tu a = cm + r 1 da b = cn + r 2 da amasTan, (r 1 + r 2 ) c, maSin (a + b) c.<br />
marTlac, 18-is 5-ze gayofisas miiReba naSTi 3, xolo 22-is 5-ze<br />
gayofisas miRebuli naSTia 2. maTi jami 18 + 22 = 40 iyofa 5-ze:<br />
(2 + 3 = 5).<br />
moiyvaneT kidev ramdenime magaliTi, raTa darwmundeT<br />
me-4 Tvisebis marTebulobaSi.<br />
naturalur ricxvebs kidev bevri Tviseba aqvT. gavecnoT erT<br />
maTgans.<br />
ganvixiloT 2-iT da 6-iT daboloebul ricxvTa namravli.<br />
magaliTad, a) 2·6=12; b) 12·6=72; g) 2·16=32; d) 22·6=132.<br />
maSasadame, SeiZleba davaskvnaT, rom 2-iT daboloebuli ricxvis<br />
namravli 6-iT daboloebul ricxvze gvaZlevs ricxvs, romelic<br />
bolovdeba 2-iT. e. i. imave cifriT, ra cifriTac bolovdeba 2·6.<br />
aseve, ..... 4 × ..... 7 = ..... 8 (4·7=28)<br />
..... 3 × ..... 8 = ..... 4 (3·8=24)<br />
aqedan (.....3) 2 = ..... 9 ( 3 2 = 9 ).<br />
(.....4) 2 = ..... 6 ( 4 2 = 16 ).<br />
da a.S.<br />
magaliTi 1.<br />
a ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s, b ricxvi _ 2-s, c<br />
ricxvic _ 2-s. ra ricxvs miviRebT naSTSi, Tu 7-ze gavyofT: a) a+b-s,<br />
b) a+b+c-s.<br />
amoxsna:<br />
a) a = 7n + 3, xolo b = 7m + 2.<br />
aqedan a + b = 7n + 3 + 7m + 2.<br />
ariTmetikul moqmedebaTa<br />
Tvisebebis gamoyenebiT<br />
a + b = 7(n + m) + 5.<br />
miviReT, rom a + b ricxvi 7-ze gayofisas naSTSi mogvcems 5-s.<br />
b) radgan c = 7k + 2, miviRebT<br />
a + b + c = 7n + 3 + 7m + 2 + 7k + 2 = 7(n + m + k) + 7 = 7(n + m + k + 1).<br />
miRebuli Sedegidan Cans, rom naSTSi miviReT 0, e. i. (a + b + c) 7.<br />
magaliTi 2.<br />
davasabuToT: a) 9-ze gayofadobis; b) 4-ze gayofadobis niSani.<br />
amoxsna:<br />
a) dasabuTeba CavataroT oTxniSna ricxvisTvis. sxva ricxvebisTvisac<br />
damtkiceba analogiuri iqneba.<br />
ganvixiloT oTxniSna abcd ricxvi.<br />
Tviseba 3 da Tvi seba<br />
4 sruldeba SesakrebTa<br />
nebismieri<br />
ra o de no bi s Tvisac.<br />
35
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
353 = 3·100 + 10·5 + 3<br />
4785 = 47·100 + 8·10 + 5<br />
55623 = 556·100 + 2·10 + 3<br />
36<br />
cxadia, miRebuli jami gaiyofa 9-ze, Tu mocemuli ricxvis cifrTa<br />
jami a+b+c+d gaiyofa 9-ze. da piriqiT, Tu a+b+c+d ar gaiyo 9-ze<br />
jamic da e.i. abcd ricxvic ar gaiyofa 9-ze. r. d. g.<br />
b) davamtkicoT abc samniSna ricxvisaTvis.<br />
.<br />
miRebuli jami gaiyofa 4-ze mxolod maSin, roca 10b+c anu bc ricxvi<br />
gaiyofa 4-ze. r. d. g.<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
1. a=bn, sadac a, b da n naturaluri ricxvebia niSnavs, rom a ? n.<br />
2. Tu a 3 da (a+b) 3, maSin b ? 3.<br />
3. Tu a 7 da (a+b) 7, maSin b ? 7.<br />
4. Tu a 6 da a 7 , maSin a ? .<br />
5. Tu a 12 da a 8 , maSin aucileblad a ? 96.<br />
6. a ricxvi 12-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 4-s, xolo b ricxvi – 5-s,<br />
maSin a+b-s 12-ze gayofisas naSTSi miiReba ? .<br />
savarjiSoebi:<br />
1 daamtkiceT, rom: a) luwi ricxvebis jami luwi ricxvia;<br />
b) ori kenti ricxvis jami luwi ricxvia;<br />
g) luwi da kenti ricxvis jami kenti ricxvia.<br />
2* ramdeni kenti orniSna ricxvi arsebobs?<br />
3 daasaxeleT 4-is jeradi ricxvebi, romlebic moTavsebulia:<br />
a) 58-sa da 81-s Soris, b) 127-sa da 179-s Soris.<br />
4 cnobilia, rom a 18. gaiyofa Tu ara a ricxvi 9-ze?<br />
5 cnobilia, rom a 39. gaiyofa Tu ara a ricxvi 3-ze?<br />
6 daamtkiceT, rom<br />
a) ori momdevno naturaluri ricxvis namravli gaiyofa 2-ze.<br />
b) sami momdevno naturaluri ricxvis jami gaiyofa 3-ze, xolo<br />
namravli 6-ze.
7 moqmedebaTa Sesrulebis gareSe daadgineT, mocemuli jamidan<br />
Tu sxvaobidan, romeli iyofa unaSToT 2-ze, 3-ze, 5-ze, 7-ze.<br />
a) 288+38+351+953; b) 351+1254+78;<br />
g) 255+750+1555; d) 847–77.<br />
8 ricxvebi Cawerilia saTanrigo SesakrebTa jamis saxiT. daadgineT,<br />
romeli iyofa 10-ze, 3-ze, 4-ze, 5-ze. axseniT ratom?<br />
a) 5·10 5 +3·10 3 +2·10 2 +10; b) 4·10 3 +3·10 2 +7·10+5;<br />
g) 3·10 4 +4·10 3 +5·10 2 +4·10+1; d) 7·10 5 +5·10 3 +2·10 2 +7·10+2.<br />
9 daamtkiceT, rom: a) ( 258 2 – 33·51 + 47 2 ) 10; b) ( 123 2 – 62 2 ) 5.<br />
10* varskvlavebis nacvlad CasviT cifrebi ise, rom Sesruldes:<br />
a) *378* 36; b) 4*25 45; g) 2895* 6; d) 56** 18.<br />
11 daamtkiceT, rom<br />
a) (2344 2 – 1) 5-ze; b) (3789 2 – 1) 10-ze.<br />
12. ipoveT ra cifriT bolovdeba ricxvi (733 + 29·39)·3 – 257 2 .<br />
13 daamtkiceT, rom 56**7 ricxvi ar SeiZleba iyos romelime naturaluri<br />
ricxvis kvadrati.<br />
14* varskvlavebis nacvlad 42*4* CasviT cifrebi ise, rom miRebuli<br />
ricxvi gaiyos 36-ze.<br />
15 ra cifriT bolovdeba 25 3 – 24 2 + 22 3 gamosaxulebis mniSvneloba.<br />
16* ipoveT yvela orniSna ricxvi, romelic oTxjer metia <strong>Tavi</strong>sive<br />
cifrebis jamze.<br />
17* iam Sekriba yvela naturaluri ricxvi 1-dan 110-mde. daamtkiceT,<br />
rom miRebuli jami unaSTod gaiyofa 37-ze.<br />
18* daamtkiceT, rom:<br />
a) nebismieri naturaluri n ricxvisaTvis (n + 7) (n + 12) 2;<br />
b) nebismieri mTeli m da n ricxvebisaTvis mn (m + n) 2.<br />
19 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 12k + 1 gamosaxulebis<br />
mniSvneloba:<br />
a) iyofa 3-ze; b) ar iyofa 4-ze;<br />
g) SeiZleba gaiyos 2-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.<br />
20 k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis 7k + 5 gamosaxulebis<br />
mniSvneloba:<br />
a) iyofa 5-ze; b) ar iyofa 5-ze;<br />
g) iyofa 7-ze; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.<br />
21 viciT, rom (7k + 14) 3-ze maSin k-s nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis<br />
We Smritia:<br />
a) (7k + 14) 6; b) (7k + 14) 14;<br />
g) (7k + 14) 21; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.<br />
37
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
38<br />
22 ramdeni samniSna ricxvi arsebobs, romlis aTeulebis cifria 5<br />
da romelic iyofa 9-ze?<br />
23 Tu n ricxvi 5-ze gayofisas naSTs gvaZlevs 2-s, Semdegi<br />
winadadebebidan romelia aucileblad WeSmariti?<br />
a) n luwi ricxvia;<br />
b) n + 3 ar SeiZleba iyos martivi;<br />
g) (n + 2) 7-ze gayofis naSTi 2-is tolia.<br />
24* 2011 wlis 1 ianvari SabaTi iyo:<br />
a) ra dRe iqneba imave wlis 31 dekemberi?<br />
b) ramdeni SabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?<br />
g) ramdeni samSabaTi iqneba 2011 wlis ganmavlobaSi?<br />
25* 1 marti orSabaTia. ra dRe iqneba imave wlis:<br />
a) 5 aprili? b) 20 aprili; g) 7 maisi?<br />
miTiTeba: marti _ 31 dRe, aprili _ 30 dRe da kidev 7 dRe, sul 68 dRe.<br />
26* erT samefoSi saocari xe xarobda. xes 45 vaSli da 20 limoni<br />
esxa. mebaRe yovel dRiurad or nayofs wyvetda, maT adgilze ki<br />
maSinve Cndeboda erTi axali nayofi. amasTan, Tu mebaRe erTi<br />
da igive nayofs mowyvetda, maSin Cndeboda limoni, xolo sxvadasxva<br />
nayofis mowyvetas vaSlis gaCena mohyveboda. SesaZlebelia<br />
Tu ara am xeze bolo nayofi iyos limoni?<br />
27 SeiZleba Tu ara 4731 gazeTisgan Semdgari Sekvra gaiyos 3 tol<br />
nawilad? 9 tol nawilad?<br />
28 ramdeni erTnairi Semadgenlobis Taiguli SeiZleba Seikras<br />
15 vardisa da 18 mixakisagan?<br />
29 nakiania weliwadi, romlis Tebervali 29 dRiania. kviris romeli<br />
dRe iqneba nakiani wlis TebervalSi 5-jer, Tu 1 Tebervali iyo<br />
kvira?<br />
30 ori kvadratiT Seqmnili figuris ra nawilia Seferadebuli?<br />
2<br />
31 erTi ricxvis<br />
3<br />
nawili udris meore ricxvs. ipoveT am<br />
ricxvebis Sefardeba.<br />
32 velosipedistma 47,5 km-is gavlis Semdeg 15 km/sT siCqariT<br />
1<br />
kidev 1 saaTi iara. ramdeni kilometri gaiara velosipe-<br />
3<br />
distma sul?
ifiqreT da iazrovneT:<br />
33. ganvixiloT 2-is xarisxebis bolo cifrebi<br />
2 1 = 2 2 5 = 3 2<br />
2 2 = 4 2 6 = 6 4<br />
2 3 = 8 2 7 = 128<br />
2 4 = 16 2 8 = 256<br />
daukvirdiT miRebul Sedegebs da gamoitaneT gonivruli daskvna<br />
_ rogor vipovoT 2-is romelime maRali xarisxis bolo cifri?<br />
ganixileT 3-is, 7-is da 8-is xarisxebis bolo cifrebi.<br />
piTagora<br />
(Zv.w.580-500 w.w.)<br />
udidesi berZeni<br />
maTematikosi<br />
piTagorelebis azriT, ricxvebi iyofa or<br />
jgufad: keTilad da borotad, bednierebisa<br />
da ubedurebis momtanad. maTve dayves naturaluri<br />
ricxvebi luw da kent ricxvebad. aseve<br />
srulyofil da arasrulyofil, martiv da<br />
Sedgenil, megobrul, samkuTxa, kvadratul,<br />
xuTkuTxa da a.S. ricxvebad.<br />
ricxvebs, romlebic <strong>Tavi</strong>sive sakuTari<br />
gamyofebis jamis tolia, srul yofil ricxvebs<br />
uwodebdnen. pirveli srulyofili ricxvia<br />
6.<br />
6 = 1 + 2 + 3 .<br />
aseve srulyofili ricxvia<br />
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.<br />
2258 4 · 64 + 2 = 2<br />
sul aRmoCenilia 23 srulyofili ricxvi.<br />
martiv ricxvebs, romelTa sxvaoba 2-is tolia,<br />
Zveli berZeni maTematikosebi tyup ricxvebs<br />
uwodebdnen:<br />
3 da 5; 5 da 7; 11 da 13; 17 da 19 da a. S. tyupi<br />
ricxvebia.<br />
39
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
40<br />
1 ∇ 2<br />
3 ∇ 2<br />
2 ∇ 1<br />
sxva moqmedeba<br />
Tema<br />
Cven ukve gavecaniT ricxvebze sxvadasxva moqmedebebs: Sekrebas,<br />
gamoklebas, gamravlebas, gayofas da axarisxebas. es operaciebi<br />
Sesabamisi simboloebiTaa aRniSnuli<br />
k-<br />
jer<br />
k<br />
6444 7444 8 6 47 4 8<br />
magaliTad, a + a + a + a ≡ 4a, a + a + ... + a ≡ ka, a · a · ... · a k ≡ a .<br />
ra Tqma unda, SesaZlebelia, rom ricxvebze ganisazRvros kidev<br />
raime axali moqmedeba.<br />
magaliTad, Tu a ◊ b simboloTi aRvniSnavT Semdeg moqmedebas:<br />
a ◊ b = ab + a.<br />
maSin 7 ◊ 5 = 7·5 + 7 = 42, xolo 5 ◊ 7 = 5·7 + 5 = 40.<br />
1. Tu a • b = a 2 + b 2 , maSin<br />
a) 3 • 5 = b) 2 • 3 = g) 7 • 1 = d) 0 • 5 =<br />
2. SeamowmeT 1-el magaliTSi ganmartebuli moqmedebisTvis sruldeba<br />
Tu ara:<br />
a) a • b = b • a; b) a • (b • c) = (a • b) • c.<br />
moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.<br />
3. Team a da b ricxvebisTvis axali moqmedeba gansazRvra da man es<br />
magaliTebze aCvena:<br />
1 2 = 5 2 2 = 6<br />
3 1 = 5 4 2 = 8<br />
SeecadeT, gamoicnoT, Tan CaweroT, Tu rogor gansazRvra<br />
Team a b moqmedeba.<br />
4. moifiqreT axali moqmedeba. SeadgineT cxrili ricxvebze<br />
moqmedebaTa SedegebiT. gacvaleT miRebuli cxrilebi<br />
da CawereT megobris mier gansaz Rvruli moqmedeba nebismieri<br />
a da b ricxvebisTvis: „a ∇ b = ..........“.<br />
5. amoxseniT gantoleba:<br />
a) x • 2 = 23;<br />
Tu a • b = 3a + 4b.<br />
b) 5 • x = 19; g) 3 • 7 = x + 11.<br />
2a + b<br />
6. a • b =<br />
a − b<br />
gamoTvaleT:<br />
a) 4 • 2; b) 3 • 0; g) 5 • 4.
Seamowme Seni codna:<br />
1. Tu a89b : 6 = 3ab,<br />
maSin 2a+b tolia:<br />
a) 9; b) 12; g) 8; d) 5.<br />
2. Tu a ricxvi iyofa 6-zec da 8-zec, maSin a aucileblad gaiyofa:<br />
a) 48-ze; b) 10-ze; g) 24-ze; d) 16-ze.<br />
3. 7 9 -is bolo cifria:<br />
a) 7; b) 1; g) 2; d) 9.<br />
4. 35789177-is 9-ze gayofisas naSTSi miiReba:<br />
a) 7; b) 3; g) 4; d) 2.<br />
5. a ricxvi 15-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 13-s, maSin a ricxvis<br />
5-ze gayofis naSTi iqneba<br />
a) 1; b) 4; g) 13; d) 3.<br />
6. a ricxvi 8-e gayofisas naSTSi gvaZlevs 5-s, b ricxvi ki _ 4-s, maSin a+b-s<br />
8-ze gayofisas naSTSi miiReba:<br />
a) 3; b) 1; g) 4; d) 5.<br />
7. a ricxvi 9-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 7-s, maSin 3a-s 9-ze gayofisas<br />
naSTSi miiReba:<br />
a) 2; b) 3; g) 7; d) 1.<br />
8. sam yuTSi awyvia burTulebi: erTSi Savi, meoreSi wiTeli da mesameSi<br />
TeTri. TiToeuli yuTi imave ferad aris SeRebili, ra feris bur-<br />
Tulebic aris masSi. viRacam ise gadaalaga burTulebi, rom arc erTi<br />
yuTis feri aRar emTxveva masSi moTavsebuli burTulebis fers. roca<br />
Savi yuTi gaxsnes, masSi wiTeli burTulebi aRmoCnda. ra feris yuTSia<br />
TeTri burTulebi?<br />
a) TeTrSi; b) SavSi; g) wiTelSi; d) monacemebi sakmarisi ar aris.<br />
9. (2·5·7·9+10)-is 7-ze gayofiT miRebuli naSTia:<br />
a) 1; b) 3; g) 2; d) 6.<br />
10. Tu x * y = x:2 + 3y, maSin 4 * 1 = :<br />
a) 4; b) 5; g) 6; d) 2.<br />
41
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
42<br />
naxiri<br />
rema<br />
arve<br />
fara<br />
xalxi, anbani, iseve,<br />
rogorc naxiri, fara,<br />
rema, kolti _ mravals<br />
anu simravles<br />
aRniS navs.<br />
6 simravle<br />
1. CamoTvaleT saqarTvelos mosazRvre saxelmwifoebi.<br />
2. dawereT 45-sa da 80-s Soris moTavsebuli yvela martiv ricxvTa<br />
simravle.<br />
yvelas kargad gvesmis, Tu ra igulisxmeba, roca vambobT:<br />
qarTuli anbanis aso-niSnebis simravle, VII a<br />
klasis moswavleTa simravle, planetebis simravle<br />
da ase Semdeg.<br />
simravleTa Teoriis fuZemdebeli, germaneli maTematikosi,<br />
georg kantori ambobda: `simravle aris bevri,<br />
romelsac Cven erTianad gaviazrebT~. marTlac, roca<br />
vambobT, Cveni klasis moswavleTa simravle, vgulisxmobT<br />
ara calkeul moswavles, aramed yvelas erTad.<br />
simravle didi A,B,C... 1) asoebiT aRvniSnoT.<br />
sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens,<br />
am si mravlis elementebi ewodeba.<br />
simravlis elementebi patara a,b,c,d... asoebiT aRvniSnoT.<br />
magaliTad, Tu vixilavT amierkavkasiis qveynebis<br />
simravles, maSin misi elementebi iqneba _ saqarTvelo,<br />
somxeTi, azerbaijani. kontinentTa simravlis<br />
elementebia: evrazia, afrika, CrdiloeTi da samxreT<br />
amerika, avstralia, antarqtida. luw martiv ricxvTa<br />
simravle Seicavs erT elemenets, esaa ricxvi 2.<br />
imis aRsaniSnavad, rom a aris A simravlis elementi,<br />
vwerT: a∈A da vkiTxulobT `a ekuTvnis A simravles~,<br />
an `a aris A simravlis elementi~.<br />
Tu a ar aris A simravlis elementi, vwerT: a∉A da<br />
vkiTxulobT `a ar ekuTvnis A simravles~ an `a ar aris<br />
A simravlis elementi~.<br />
imis Casawerad, rom A aris simravle, romlis elementebia<br />
a,b,c, viyenebT simravlis Semdeg aRniSvnas:<br />
A={a;b;c}.<br />
zemoT ganxilul magaliTebSi simravle Sedgeboda sasruli raodenobis<br />
elementebisagan. aseT simravles sasruli simravle ewodeba.<br />
magram gana yvela simravle elementTa sasrul raodenobas<br />
1) „A, B, C ...“ ikiTxeba: „ A, B, C da a.S.“<br />
„ ... “ „ da a.S. “
Seicavs? magaliTad, naturalur ricxvTa simravlis elementTa<br />
raodenoba ar aris sasruli. aseT simravles usasrulo simravle<br />
ewodeba.<br />
1. moiyvaneT usasrulo simravlis magaliTebi.<br />
2. dawereT: a) Tqveni saswavlo nivTebis simravle;<br />
b) Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravle;<br />
g) erTiani saqarTvelos mefeTa simravle;<br />
d) planetaTa simravle.<br />
3. WeSmaritia Tu mcdari gamonaTqvami:<br />
a) ungreTi evropis qveynebis simravlis elementia;<br />
b) TurqeTi afrikis qveynebis simravlis elementia;<br />
g) C da D wertilebi AB monakveTis wertilTa simravlis elementebia.<br />
4. simboloebis saSualebiT CawereT Semdegi winadadeba:<br />
a) ricxvi 5 A simravlis elementia;<br />
b) ricxvi 9 A simravlis elementi ar aris;<br />
g) A erTelementiani simravlea, romlis elementia 2.<br />
vTqvaT, A aris dedamiwis bunebriv TanamgzavrTa simravle. maSin A<br />
iqneba erTelementiani simravle, romlis elementia `mTvare~. e. i.<br />
A={mTvare}<br />
Tu mocemulia B simravle _ B={1;2;3;4;5;6}, am SemTxvevaSi va mbobT:<br />
simravle mocemulia elementTa CamoTvliT.<br />
zogjer SeuZlebelia romelime simravlis yvela elementis CamoTvla.<br />
magaliTad: 1) varskvlavTa simravlisa, 2) AB monakveTis wertilTa<br />
simravlisa, 3) dedamiwaze mcxovreb yvela drois adamianTa<br />
simravlisa. cxadia, am simravleTa elementebs ver CamovTvliT.<br />
aseT SemTxvevaSi vambobT: simravle mocemulia aRweriT.<br />
naturalur ricxvTa simravlis aRsaniSnavad xmaroben Canawers<br />
{1; 2; 3; 4; ...}. savsebiT gasagebia, ra igulisxmeba mravalwertilSi.<br />
aseTi aRniSvna SeiZleba sxva simravleebisTvisac gamoviyenoT, Tu<br />
zustad garkveulia is elementebi, romlebsac mravalwertili<br />
gulisxmobs.<br />
magaliTad: {2; 4; 6; 8; ...} _ luw ricxvTa simravlea,<br />
{3; 6; 9; ...} _ 3-is jerad ricxvTa simravle,<br />
miRebulia, naturalur ricxvTa simravle N-iT aRiniSnos.<br />
magaliTi 1.<br />
dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romelic iyofa 3-ze<br />
da romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 1.<br />
43
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
44<br />
amoxsna:<br />
gamoviyenoT 3-ze gayofadobis niSani da gaviTvaliswinoT, rom<br />
orniSna ricxvis CanawerSi erT-erTi cifri aris 1. miviRebT, rom<br />
meore iqneba 2, 5 an 8, e. i. saZiebeli simravle aris eqvselementiani<br />
simravle:<br />
{12; 21; 15; 51; 18; 81}<br />
imetyvele sworad!<br />
2 ekuTvnis naturalur ricxvTa simravles.<br />
2∈N 2 naturaluri ricxvia.<br />
2 naturalur ricxvTa simravlis elementia.<br />
A={3;5}<br />
yuradReba!<br />
naturaluri<br />
ricxvi<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
1. sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am<br />
simravlis ? ewodeba;<br />
2. simravles, romelic usasrulo raodenobis elementebisagan<br />
Sedgeba, ? simravle ewodeba;<br />
3. {1; 2; 3; 6; 9; 18} aris ? -is gamyofTa simravle;<br />
4. Tu A={2; 4; 7; 7,5}, maSin 7∈A, 2 ? A, 4 ? A, 7,3 ? A;<br />
5. Tu A kent ricxvTa simravlea, maSin 13 ? A, 2 ? A.<br />
savarjiSoebi:<br />
A simravlis elementebia 3 da 5.<br />
A orelementiani simravlea, romlis elementebia 3 da 5.<br />
2≠{2}<br />
simravle, romlis<br />
elementia ricxvi 2<br />
ricxvi ar SeiZleba<br />
simravlis toli iyos!<br />
1 dawereT: a) Tqveni klasis maswavlebelTa simravle;<br />
b) I semestrSi Sesaswavl saganTa simravle;<br />
g) Tqveni klasis moswavle gogonaTa (biWunaTa) simravle;<br />
d) Tqveni saswavlo nivTebis simravle.<br />
2 WeSmaritia Tu mcdari qvemoT dawerili winadadebebi:<br />
a) 2,3∈N; b) 5∈N; g) 3 ∉N; d) 100 000 ∈ N;<br />
7<br />
e) 5,1∈{1;3;5;4;7}; v) 3∉{2; 4; 6; 18; 35; 3,1}.
3 dawereT yvela im orniSna ricxvTa simravle, romlebic 25-ze<br />
gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s.<br />
4 rogor daxasiaTdeba aRweriT Semdegi simravleebi?<br />
a) {rioni}; b) {5; 10; 15; ...}; g) {0}; d) { 1<br />
5<br />
4 7<br />
; ;<br />
9 13<br />
10<br />
; ; ...} .<br />
17<br />
5 dawereT: a) 25-sa da 57-s Soris moTavsebul 7-is jerad ricxvTa<br />
simravle; b) luw martiv ricxvTa simravle; g) orniSna martiv<br />
ricxvTa simravle, romlis CanawerSi gvxvdeba cifri 9; d) orniSna<br />
ricxvTa simravle, romlebic srul kvadrats warmoadgenen.<br />
6 Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti da romeli mcdari:<br />
a) yoveli ori naturaluri ricxvis jami naturalur ricxvTa<br />
simra vlis elementia;<br />
b) yoveli ori naturaluri ricxvis sxvaoba naturalur ricxvTa<br />
simravlis elementia;<br />
g) yoveli ori naturaluri ricxvis Sefardeba naturalur ricxvTa<br />
simravlis elementia;<br />
d) yoveli ori naturaluri ricxvis namravli naturalur ricxvTa<br />
simravlis elementia.<br />
7 dawereT:<br />
a) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli<br />
mefeebi;<br />
b) xuTelementiani simravle, romlis elementebia saqarTvelos<br />
mdinareebi;<br />
g) oTxelementiani simravle, romlis elementebia kavkasionis<br />
mwvervalebi;<br />
d) samelementiani simravle, romlis elementebia qarTveli<br />
maTematikosebi.<br />
8 ramden adgilas unda gadavxerxoT xis mori, rom miviRoT xuTi<br />
kunZi?<br />
9 100 metr distanciaze (dasawyisSic da boloSic) TiTo metris<br />
daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. ramdeni droSaa sul dasobili?<br />
10* ra cifriT bolovdeba: a) 7 6 ; b) 3 9 .<br />
11* naxazze mocemulia marTkuTxa para le le pipedis<br />
Slili. dawereT paralelepipedis gverdiTi da<br />
sruli zedapiris farTobis gamo saTvleli gamosaxulebebi<br />
da ipoveT maTi mniS vneloba, roca:<br />
a) x = 10 da y = 18; b) x = 12,5 da y = 15.<br />
12 arsebobs Tu ara ricxvi, romlis cifrebis namravlia<br />
264?<br />
x<br />
25 sm<br />
y<br />
45
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
46<br />
7 simravleTa<br />
toloba .<br />
qvesimravle<br />
1. dawereT: a) 18-is jeradi yvela orniSna ricxvis simravle;<br />
b) simravle yvela im orniSna ricxvisa, romelic iyofa 2-zec<br />
da 9-zec.<br />
2. dawereT: a) saqarTvelos mefe-qalTa simravle;<br />
b) qarTvel mefeTa simravle, romelTa mefobis peri odsac<br />
`oqros xanas~ uwodeben.<br />
daakvirdiT TiToeul amocanaSi miRebul simravleebs da upasuxeT:<br />
ra aqvT maT saerTo da riT gansxvavdebian isini erTmaneTisgan.<br />
vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B,<br />
Tu es simravleebi Sedgeba erTi da imave elementebisagan.<br />
ganmartebidan cxadia, rom, Tu A=B, maSin A simravlis yoveli<br />
elementi aris B simravlis elementic da B simravlis yoveli<br />
elementi A simravlis elementicaa. magaliTad, ganvixiloT ori<br />
A={1;5;7} da B={5;7;1} simravle. es simravleebi Sedgeba erTi da<br />
imave elementebisagan, e.i. A=B.<br />
Tu A da B simravleebi araa toli, weren – A ≠ B.<br />
Tu M={0; 5; 1; 2} da F={0; 5; 1}, am SemTxvevaSi, vxedavT, 2∈M, magram<br />
2∉F e. i. M∉F.<br />
1) dawereT qarTvel kosmonavtTa simravle.<br />
2) dawereT 5x–7=9 gantolebis naturalur amonaxsenTa simravle.<br />
radgan arc qarTveli kosmonavti gvyavs jerjerobiT da 5x–7=9<br />
gantolebis amonaxsenic – x = 3,2 araa naturaluri ricxvi, orive<br />
SemTxvevaSi miviReT simravle, romelsac ar gaaCnia arc erTi<br />
elementi.<br />
simravles, romelic arc erT elements ar Seicavs, carieli<br />
simravle ewodeba. mas ∅ simboloTi aRniSnaven.<br />
ganvixiloT ori, A da B simravle, A={2;5} da B={2;5;7}. rogorc<br />
vxedavT, 2∈A da 2∈B, 5∈A da 5∈B, e. i. A simravlis yoveli elementi<br />
B simravlis elementia.<br />
Tu A simravlis yoveli elementi B simravlis elementicaa,<br />
maSin A simravles B simravlis qvesimravles uwodeben da<br />
weren: A ⊂ B, Tu A simravle ar aris B simravlis qvesimravle,<br />
weren – A ⊄ B.
ganxilul magaliTSi A ⊂ B, anu {2;5} ⊂ {2;5;7}.<br />
miRebulia, rom carieli simravle nebismieri simravlis qvesimravlea,<br />
∅ ⊂ A.<br />
B<br />
magaliTi 1.<br />
or A da B simravles Soris damokidebuleba<br />
– A ⊂ B, sqematurad SesaZlebelia<br />
ase gamovsaxoT (nax. 2).<br />
dawereT A={2;4;3} simravlis yvela qvesimravle.<br />
amoxsna:<br />
nax. 2<br />
A<br />
A<br />
radgan ∅ simravle nebismieri simravlis qvesimravlea, amitom<br />
∅ ⊂ A.<br />
A simravlis erTelementiani qvesimravleebia: {2}, {4}, {3}.<br />
A simravlis orelementiani qvesimravleebia: {2;4}, {2;3}, {4;3}.<br />
A simravlis samelementiani qvesimravle TviT A simravlea.<br />
{2;4;3},<br />
e. i. A simravles gaaCnia 8 qvesimravle.<br />
esenia: ∅, {2}, {4}, {3}, {2;4}, {2;3}, {3;4}, {2;4;3}.<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
1. A aris 20-ze nakleb martiv ricxvTa simravle. A=B, maSin B={ ? }.<br />
2. Tu A Tqvens saklaso oTaxSi myof ucxoplanetelTa simravlea,<br />
maSin A = ? .<br />
3. M qarTvel kompozitorTa simravlea, xolo F yvela drois<br />
kompo zitorTa simravle, maSin M ? F.<br />
B<br />
C<br />
nax. 1.<br />
Tu A ⊂ B da<br />
B ⊂ C,<br />
maSin A ⊂ C.<br />
yuradReba!<br />
2∈{2;5;7} da {2}⊂{2;5;7}.<br />
47
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
48<br />
B<br />
A C<br />
4. K qarTvel xelovanTa simravlea, xolo L qarTvel mocekvaveTa<br />
simravle, maSin L ? K.<br />
5. Tqvens klasSi myof gogonaTa simravle ? klasis moswavleTa<br />
simravlisa.<br />
savarjiSoebi:<br />
1 WeSmaritia Tu ara qvemoT moyvanili winadadebebi:<br />
a) {0;2}⊂{0;1;2;4;5}; b) {3;4;5;6}⊂{3;6;9;12};<br />
g) {∅}⊂∅; d) {0}⊂∅; e) ∅⊂{0}; v) ∅⊂{∅};<br />
z) {3;5;9}={9;3;5}; T) {2; 4; 6; 8; ...} = N.<br />
pasuxi daasabuTeT.<br />
2 arsebobs Tu ara iseTi simravle, romelsac aqvs:<br />
a) mxolod erTi qvesimravle;<br />
b) mxolod ori qvesimravle;<br />
g) mxolod sami qvesimravle.<br />
dadebiTi pasuxis SemTxvevaSi moiyvaneT Sesabamisi magaliTebi.<br />
3 dawereT A = {5;7;8;9} simravlis orelementiani qvesi mra vleebi.<br />
4 SeadgineT sityvebi, romelTa Semadgeneli asoebis simravle<br />
warmoa dgens sityva `WeSmariteba~-s Semadgeneli asoebisgan<br />
Semdgari simravlis qve simravleebs.<br />
5 A iyos qarTuli taZrebis simravle. dawereT misi xuTelementiani<br />
qvesimravle.<br />
6 dawereT K = {2;7;11} simravlis yvela qvesimravle.<br />
7 M qarTvel sportsmenTa simravlea. daasaxeleT simravlis<br />
xuTelementiani qvesimravle, romlis elementebia:<br />
a) fexburTelebi; b) moWadrake qalebi; g) kalaTburTelebi.<br />
8 naxazze mocemulia ABC samkuTxedi. daxazeT:<br />
a) AMN samkuTxedi, romlis wertilTa simravle<br />
ABC samkuTxedis wertilTa simravlis qve simravlea;<br />
b) EF monakveTi, romlis wertilTa simravle BC<br />
monakveTis wertilTa simravlis qvesimravlea.<br />
a<br />
9 A={12;18;2;6} B={1;4;2;3}.<br />
2b<br />
saxis ramdeni ricxvi iqneba B<br />
simravlis elementi, Tu a∈A da b∈B?
10 kentia, Tu luwi qvemoT mocemuli ricxvi, Tu cnobilia, rom<br />
a kenti ricxvia:<br />
a) 3a + 1; b) 8a – 4; g) 4a + 3; d) 7a + 6.<br />
11 ramdeni elementisagan Sedgeba orniSna ricxvTa simravle.<br />
12 ras udris umciresi xuTniSna da udidesi oTxniSna ricxvebis<br />
sxvaoba.<br />
13 ipoveT is udidesi ricxvi, romlis 15-ze naSTiani gayofisas<br />
ganayofSi miiReba 12.<br />
14 SeavseT qvemoT moyvanili cxrili. dawereT gamosa xu leba<br />
(ori xerxiT), romelic gviCvenebs kviris ganmavlobaSi<br />
aRebul Tanxas, Tu cnobilia, rom saaTobrivi anazRaureba<br />
3 laris tolia.<br />
dReebi<br />
saaTebis<br />
raodenoba<br />
orSabaTi 7 sT<br />
samSabaTi 6 sT<br />
oTxSabaTi 5 sT<br />
xuTSabaTi 7 sT<br />
paraskevi<br />
saaTebis mTliani<br />
raodenoba<br />
4 sT<br />
aRebuli<br />
Tanxa<br />
15* wriul distanciaze, romlis sigrZe 100 metria, TiTo metris<br />
daSorebiT bavSvebma droSebi daasves. sul ramdeni droSaa<br />
dasobili?<br />
piTagora ambobda: `Cemi megobaria is, vinc aris Cemi meore me,<br />
rogorc ricxvebi 220 da 284~.<br />
riTaa SesaniSnavi es ricxvebi? _ TiToeulis sakuTar<br />
gamyofTa jami meoris tolia. maT megobruli ricxvebi ewodeba.<br />
megobruli ricxvebis Semdegi wyvili aRmoCenilia marokoeli<br />
swavlulis ibi al-banis (1256-1321 ww.) traqtatSi. esenia 17296 da<br />
18416.<br />
dReisaTvis cnobilia megobrul ricxvTa 1100 wyvili.<br />
49
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
50<br />
8 simravleTa<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20.<br />
TanakveTa da<br />
gaerTianeba<br />
1. dafaze weria naturaluri ricxvebi 1-dan<br />
20-mde. giam gadaxaza yoveli meore ricxvi wi-<br />
Teli carciT, nanam ki yoveli mesame lurji<br />
carciT. dawereT simravle im ricxvebisa,<br />
romlebic gadaxazulia:<br />
a) wiTeli carciT (A simravle);<br />
b) lurji carciT (B simravle); g) orive<br />
feris carciT (C simravle).<br />
daakvirdiT miRebul simravleebs da upasuxeT: rogor miiReba<br />
C simravlis elementebi A da B simravlis elementebisgan?<br />
vTqvaT, mocemuli gvaqvs ori – A da B simravle. am simravleTa<br />
eleme ntebis saSualebiT SevadginoT axali C simravle Semdegi<br />
wesiT: C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTvnis<br />
rogorc A, ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles<br />
A da B simravleebis TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:<br />
C=A B ( – TanakveTis niSania).<br />
vTqvaT, M={1;5;7}, N={3;5;7}.<br />
radgan 5∈M da 5∈N, 7∈M da 7∈N, amitom M N={5;7}.<br />
vTqvaT, mocemulia raime A da B simravle. maTi elementebis saSualebiT<br />
SevadginoT axali M simravle, romelic Seicavs rogorc A<br />
simravlis, aseve B simravlis yovel elements da Sedgeba mxolod<br />
am elementebisagan. aseTi wesiT Sedgenil simravles A da B simravleebis<br />
gaerTianeba ewodeba da Caiwereba ase: M=A B.<br />
vTqvaT, A Tqveni klasis moswavle gogonaTa simravlea, B ki _<br />
moswavle vaJebis simravle, maSin A B iqneba Tqveni klasis moswavleTa<br />
simravle.<br />
aCveneT, rom nebismieri A da B simravleebisTvis sruldeba:<br />
a) A ∅ = ∅; b) Tu A ⊂ B, maSin A B = A.<br />
simravleTa TanakveTa da gaerTianeba sqematurad SesaZlebelia<br />
ase gamovsaxoT:<br />
A C<br />
A B=C<br />
B<br />
nax. 1<br />
A C<br />
A B=C<br />
B
eiler-venis diagramebis daxmarebiT<br />
SesaZlebelia amoixsnas bevri amocana.<br />
ganvixiloT ramdenime aseTi amocana.<br />
amocana 1.<br />
klasSi 35 moswavlea. aqedan 20 dadis maTematikis, 11 ki biologiis<br />
wreze. 10 bavSvi ar dadis arc erT wreze. ramdeni moswavle dadis<br />
orive wreze?<br />
amoxsna:<br />
vaCvenoT eileris wreebis gamoyenebiT.<br />
im `biologebis~ raodenoba,<br />
romlebic maTematikaze ar da-<br />
m<br />
dian iqneba 35–10–20=5, radgan<br />
`biologebis~ saerTo raodenoba<br />
aris 11, maSin orive wreze mosiarule<br />
moswavleTa raodenoba iqneba 11–5=6.<br />
amocana 2.<br />
cnobilia, rom WeSmaritia Semdegi sami winadadeba:<br />
10<br />
A<br />
11–5=6<br />
b<br />
B<br />
35–10–20=5<br />
� TuTiyuSi Citia; � Jako TuTiyuSia; � Jako laparakobs.<br />
romeli daskvna gamomdinareobs aucileblad?<br />
a) yvela TuTiyuSi laparakobs;<br />
b) ar arsebobs molaparake Citi;<br />
g) Tu Citi laparakobs, maSin is TuTiyuSia;<br />
d) arsebobs molaparake Citi.<br />
amoxsna:<br />
A iyos yvela Citebis simravle, B – molaparake Citebis simravle,<br />
C ki TuTiyuSebis simravle.<br />
winadadeba “TuTiyuSi Citia” niSnavs, rom yvela TuTiyuSi Citia<br />
anu TuTiyuSebis simravle Citebis simravlis qvesimravlea, e.i.<br />
C⊂A.<br />
radgan Jako TuTiyuSia, Jako∈C da radgan Jako laparakobs, Jako∈B.<br />
e.i. Jako∈B⊂C. maSasadame, Sesabamis eiler-venis diagramebs eqneba<br />
aseTi saxe.<br />
a) winadadeba swori rom iyos, maSin unda<br />
sruldebodes piroba C⊂B. e.i.<br />
A B<br />
C<br />
a) swori pasuxi ar aris;<br />
b) pasuxi rom swori iyos, unda Sesruldes<br />
piroba Jako∉A. g) pasuxi rom iyos swori,<br />
unda Sesruldes piroba B⊂C.<br />
d) swori pasuxia, radgan Jako∈A.<br />
Jako<br />
10<br />
leonard eileri<br />
(1707-1783)<br />
didi Sveicarieli maTematikosi<br />
leonard eileri<br />
(1707-1783) rigi<br />
amocanebis amoxsnisas<br />
xSirad sargeblobda<br />
msgavsi naxatebiT. mis<br />
pativsacemad aseT wreebs<br />
eileris wreebi uwodes.<br />
amocanebis amoxsnis<br />
grafikulma me-<br />
Todma gansakuTrebuli<br />
gamoyeneba hpova ingliseli<br />
maTematikosis<br />
(logikosi) jon venis<br />
(1843-1923) SromebSi.<br />
man daxvewa da ganavi-<br />
Tara es meTodi. amitom<br />
am diagramebs zogjer<br />
eiler-venis diagramebsac<br />
uwodeben.<br />
51
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
52<br />
magaliTi 1.<br />
vTqvaT A={3;5;1;2}, B={3;1;0} ipoveT: a) A B; b) A B.<br />
amoxsna: a) 3∈A da 3∈B; 1∈A da 1∈B, e. i. A B={3;1}.<br />
b) A B={3;5;1;2;0}.<br />
SeavseT gamotovebuli adgilebi:<br />
N<br />
1. Tu<br />
M<br />
K a , maSin M ? a; N ? a; MK ? a;<br />
2. Tu 2∈A da 2∈A B, maSin 2 ? B;<br />
3. Tu 2∈A da 2∉A B, maSin 2 ? B;<br />
4. Tu 5∈A da 5∉B, maSin 5 ? A B;<br />
5. a) Tu A={2;4;6} da B={2;3}, maSin A ? B={2};<br />
b) Tu M⊂K, maSin M ? K=K;<br />
g) Tu E⊂F, maSin E ? F=E.<br />
savarjiSoebi:<br />
1 M simravle iyos 2-is jerad ricxvTa simravle, K _ 3-is jerad<br />
ricxvTa simravle. ipoveT M K .<br />
2 eileris wreebis saSualebiT aCveneT, rom:<br />
a) A A=A; b) A ∅=A; g) A A=A.<br />
d) Tu B⊂A, maSin A B=A, sadac A da B nebismieri simravleebia.<br />
3 a da b gansxvavebuli wrfeebia. ramden elements SeiZleba Seicavdes<br />
a da b wrfeebis wertilTa simravleebis TanakveTa?<br />
4 ipoveT naxazze mocemuli AB da CD monakveTebis wertilTa<br />
simravleebis TanakveTa da gaerTianeba:<br />
a) b)<br />
A C B D A C D B<br />
5 a) qarTvel studentTa simravlis TanakveTa sportsmenTa<br />
simravlesTan aris ? .<br />
b) saqarTveloSi mcxovreb mdedrobiTi sqesis adamianTa<br />
simravlis TanakveTa 15 wlamde asakis bavSvebis simravlesTan<br />
aris ? .<br />
g) Tqveni klasis moswavle gogonebis simravlis gaerTianeba<br />
Tqvenive klasis moswavle vaJebis simravlesTan aris ? .<br />
d) Tqveni klasis friadosan moswavleTa simravles TanakveTa<br />
skolis friadosan moswavleTa simravlesTan aris ? .
6 gadaixazeT naxazze mocemuli figurebi rveulSi da wiTlad<br />
SeaferadeT ABC da ACD samkuTxedebis wertilTa simravleebis<br />
1) gaerTianeba; 2) TanakveTa.<br />
a) B C b) A C g)<br />
A D<br />
D B<br />
7 vTqvaT A={1;2;8}, B={2;4;6}, C={1;3;2}. ipoveT:<br />
a) A B C ; b) A B C .<br />
B<br />
D<br />
A C<br />
8 M iyos qarTuli anbanis xmovan aso-bgeraTa, F ki _ TanxmovanTa<br />
simravle. ramden elementiani simravlea: a) M F ; b) M F ?<br />
9 klasSi inglisurs swavlobs 15 bavSvi, germanuls – 17, orive<br />
enas erTdroulad – 8 bavSvi. ramdeni bavSvia klasSi?<br />
10 ramden elementiani simravlea A B, Tu A aris 1–dan 10–is<br />
CaTvliT yvela naturaluri ricxvis kvadra tebis simravle,<br />
xolo B – amave ricxvebis kubebis simravle.<br />
11* qeTis kata yovelTvis axvelebs wvimis wina dRes. dRes katam<br />
daaxvela. xval wvima iqneba – daskvna qeTim sworia Tu ara qeTis<br />
daskvna?<br />
12* mocemulia, rom WeSmaritia Semdegi ori winadadeba<br />
� mxolod yvavebma ician frena;<br />
� yvela yvavi Savia.<br />
romeli daskvna gamomdinareobs maTgan aucileblad?<br />
a) Tu Citi Savia, man icis frena;<br />
b) Tu Citi Savia, maSin is yvavia;<br />
g) Tu Citi dafrinvas, maSin is Savia;<br />
d) bulbulma icis frena.<br />
13* gia da daTo Sevidnen TxuTme t sar Tulian saxlSi, romlis<br />
pirveli sarTuli quCis done zea. gia avida me xuTe sar Tulze.<br />
romel sarTulze unda avides daTo, rom orjer meti raodenobis<br />
safe xuri aiaros? (sarTulebs Soris safexurebis raodenoba<br />
Tanabaria).<br />
14 gaSaleT saTanrigo Sesakrebebad: a) 34097; b) 287401.<br />
15 ricxvi 478,47 daamrgvaleT:<br />
a) meaTedamde; b) mTelamde sizustiT.<br />
53
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
54<br />
I <strong>Tavi</strong>s damatebiTi savarjiSoebi:<br />
1 dawereT 5-dan 37-mde moTavsebul: a) luw ricxvTa simravle;<br />
b) 4-is jerad ricxvTa simravle; g) im ricxvTa simravle, romlebic 6-ze gayofisas<br />
naSTSi 2-s gvaZleven.<br />
2* dawereT 8-dan 11-mde moTavsebul im ukvec wiladTa simravle, romelTa mniSvnelia:<br />
a) 3; b) 7.<br />
3. qvemoT moyvanili winadadebebidan, romelia WeSmariti da romeli mcdari:<br />
a) ricxvebi, romelTa bolo cifria 0, iyofa 5-ze;<br />
b) 5-ze iyofa mxolod 0-iT daboloebuli ricxvebi;<br />
g) Tu a iyofa 2-ze, maSin a+2 gaiyofa 4-ze;<br />
d) sami momdevno ricxvis namravli iyofa 6-ze.<br />
4 daasaxeleT is udidesi da umciresi naturaluri ricxvi, romelTa Sorisacaa<br />
moTavsebuli gamosaxulebis mniSvneloba:<br />
1<br />
7 18<br />
19<br />
91 : 61 +<br />
1 2 2<br />
556 116 -<br />
5 4<br />
10 2<br />
a) `1 : ` 2, 42: 1, 21 1 · 0, 32 ; b) 2 4 5<br />
12 19<br />
16<br />
:<br />
5 7 5 ;<br />
2 2 2 1 23<br />
41 · 1 - 14 : 72 101 : - 134<br />
5 23 5 5 50<br />
7<br />
85 -<br />
5 2<br />
83 : 2<br />
g) 30 18 3 ; d) (2,4+(3,21–0,3)·2–0,44:2):<br />
2<br />
.<br />
0, 04<br />
5<br />
5 gamoTvaleT kalkulatoris gamoyenebis gareSe:<br />
32527·32324 – 32528·32323.<br />
6* ipoveT umciresi ricxvi, romelic 2-ze, 3-sa da 11-ze gayofisas naSTSi gva-<br />
Zlevs 1-s.<br />
7* daamtkiceT, rom Tu a+1 iyofa 3-ze, maSin (4 + 7a) aseve gaiyofa 3-ze.<br />
8 CawereT Semdegi ricxvebis jams damatebuli maTive gaorkecebuli namravli:<br />
a) a da x; b) 3 da y; g) x, y da z.<br />
9 CawereT b da a ricxvebis c ricxvze gayofiT miRebuli ganayofTa jami.<br />
10 1 kg kanfeti 2 lari Rirs. dawereT x kilogrami kanfetis Rirebuleba.<br />
ra Rirs: a) 15kg? b) 32kg? g) 3,5kg? d) a kg kanfeti?<br />
11 a luwi ricxvia. WeSmaritia, Tu mcdari:<br />
a) a + 4 luwi ricxvia; b) 2a –3 luwi ricxvia;<br />
g) 5a + 5 kenti ricxvia; d) 3a aris 6-is jeradi.<br />
12 CawereT utolobis saxiT, romelia meti:<br />
a) a + 2 Tu a + 3; b) b + 1 Tu b – 1.<br />
1 2<br />
13 SeiZleba Tu ara<br />
1 + x<br />
gamosaxuleba iyos erTze meti? pasuxi daasabuTeT.
14 WeSmaritia Tu ara:<br />
a) 5 1 1 11 3<br />
5<br />
7 16 : 2 1 5 2 · 3 ; b) +<br />
3<br />
-<br />
1<br />
-<br />
1 2 1 1<br />
1 · 2 17 - 21 +<br />
6 2 12 12 7<br />
7 5 3 7 3 2 3 ;<br />
g) 7,4 · 0,38 – 0,19 · 5,4 · 2 < 0,76 · 8,3 – 8,3 · 0,66.<br />
15* daamtkiceT, rom x-is nebismieri naturaluri mniSvnelobisaTvis Semdegi<br />
utolobebi WeSmaritia:<br />
a) 9x 2 – 5 > 0; b) 2x 2 – 1 > 0.<br />
16 telegramis gagzavnisas TiTo sityvaSi 9 TeTrs ixdian da kidev 20 TeTrs<br />
momsaxurebisas:<br />
a) ra Rirs telegramis gagzavna, Tu is x sityvisgan Sedgeba. ipoveT miRebuli<br />
gamosaxulebis mniSvneloba, roca x = 5; 10; 12.<br />
b) ramdeni sityvisagan Sedgeba telegrama, Tu mis gagzavnaSi 2 lari<br />
gadaixades?<br />
17 ramdeni naturaluri ricxvi akmayofilebs utolobas:<br />
a) 22 ≤ n ≤ 38; b) 76 ≤ n ≤ 105.<br />
18 amoxseniT gantoleba: a) x + 165376:323 = 704;<br />
b) 383·x + 22222 = 101503; g) y:703 + 1987 = 7891;<br />
d) 3x + 2x – 18 = 32; e) x + 3,7 + 4x + 2,4 = 96.<br />
19 ipoveT gamosaxulebis mniSvneloba yvelaze moxerxebuli xerxiT:<br />
a) 9999 + 9999 + 9999 + 5; b) 999 + 998 + 997 + 6;<br />
g) 998 + 998 + 998 + 9; d) 99999 + 99999 + 10.<br />
20 dawereT marTkuTxedis perimetris gamosaTvleli gamosaxuleba, Tu sigrZe<br />
3-jer metia siganeze. ipoveT aseTi marTkuTxedis gverdebis sigrZe, Tu<br />
perimetri a) 40 sm-ia, b) 60 sm-ia.<br />
21 ipoveT sami ricxvi, romelTa jamia 222, Tu meore ricxvi 2-jer meti, mesame<br />
ki 3-jer metia pirvelze.<br />
22 ipoveT sami naturaluri ricxvi, romelTa jamia 111111, Tu pirveli 2-jer<br />
naklebia, mesame ki 2-jer meti meoreze.<br />
23 ipoveT: a) 892 ; b) 152 ; g) 232 ; d) 26 ; e) 122 ; v) 142 ;<br />
z) 0,33 ; T) 54 ; i) 0,24 ; k) 35 ; l) 3,12 ; m) 162 ; n) 172 .<br />
24 ra cifriT dabolovdeba:<br />
a) 235 · 35 – 25 · 17; b) 31 · 510 + 63 · 97;<br />
g) 482 – 322 ; d) 273 – 57 · 32.<br />
25 daasaxeleT 356-ze naklebi udidesi ricxvi, romelic 3-ze gayofisas naSTSi<br />
gvaZlevs 2-s.<br />
55
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
56<br />
26 udidesi orniSna ricxvi, romelsac sami gamyofi aqvs.<br />
27 *-is nacvlad CawereT iseTi cifri (cifrebi), rom miRebuli ricxvi:<br />
a) 6*35 gaiyos 3-ze; b) 823*2 gaiyos 4-ze;<br />
g) 12*5 gaiyos 9-ze; d) 2870* gaiyos 6-ze.<br />
e) *245 gaiyos 3-ze; v) 705*1 gaiyos 9-ze;<br />
z) 825*4 gaiyos 4-ze; T) 825*4 gaiyos 6-ze.<br />
28 1 ivnisi SabaTia, ra dRe iqneba:<br />
a) imave wlis 28 ivnisi; b) imave wlis 18 ivlisi;<br />
g) imave wlis 1 agvisto; d) imave wlis 23 ivnisi.<br />
29 daasruleT winadadeba:<br />
a) saklebi gaadides 18-iT, maklebi Seamcires 10-iT, maSin sxvaoba ...<br />
b) saklebi gaadides 20-iT, maklebi gaadides 20-iT, maSin sxvaoba ...<br />
g) gasayofi gaadides 2-jer, gamyofi – 4-jer, maSin ganayofi ...<br />
d) gasayofi gaadides 4-jer, gamyofi Seamcires 2-jer, maSin ganayofi ...<br />
e) I Tanamamravli gaadides 2-jer, meore ki Seamcires 4-jer, maSin namravli ...<br />
v) I Tanamamravli gaadides k-jer, II ki Seamcires k-jer, maSin namravli ...<br />
30 dawereT formula ricxvebisa, romlebic<br />
a) 7-ze gayofisas naSTSi gvaZleven 1-s;<br />
b) 5-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 3-s;<br />
g) 3-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 2-s;<br />
d) 10-ze gayofisas naSTSi gvaZlevs 8-s;<br />
e) 5-is jeradi ricxvebis;<br />
v) 6-is jeradi ricxvebis.<br />
31 skolaSi 1000 moswavlea. 640 moswavle inglisurs swavlobs. 550 – rusuls.<br />
100 moswavle ar swavlobs arc erT enas. ramdeni moswavle swavlobs orive<br />
enas?<br />
32 500 me-7 klaselidan 450 dadis curvaze an fexburTze. 220 dadis mxolod<br />
curvaze, 150 ki mxolod fexburTze. ramdeni bavSvi dadis curvazec da<br />
fexburTzec.<br />
33 A samis jerad ricxvTa simravlea. dawereT A simravlis 5-is jerad orniSna<br />
ricxvTa qvesimravle.<br />
34 dawereT Tqveni skolis friadosan moswavleTa simravlis TanakveTa Tqveni<br />
klasis moswavleTa simravlesTan.<br />
35 A={2;5;12}; B={5;12;3;18}.<br />
ipoveT: a) A B; b) A B; g) A simravlis yvela qvesimravle;<br />
d) B simravlis yvela qvesimravle.
36 cnobilia, rom a + b = 3a – 4b. ipoveT:<br />
a) 5 + 3; b) 10 + 7; g) 8 + 1; d) 7 + 5; e) 3 + 2.<br />
37 erTi rveuli x TeTri Rirs, 1 wigni – y TeTri. dawereT 5 rveulisa da 7<br />
wignis Rirebulebis gamosaTvleli gamosaxuleba.<br />
38 erT nakveTze x xe darges, meoreze 2-jer meti, mesameze ki 3-iT meti, vidre<br />
meoreze. dawereT gamosaxuleba: ramdeni xe darges samive nakveTze.<br />
39 erTi manqana x km/sT siCqariT moZraobs meore 5 km/sT-iT meti siCqariT. ra<br />
manZils gaivlis orive manqana 5 saaTSi?<br />
40 1 Tojina x lari Rirs, 1 burTi ki y lari. dawereT gamosaxuleba:<br />
a) ra Rirs 3 Tojina da 2 burTi;<br />
b) ramdeni lariT meti Rirs 7 burTi 2 Tojinaze;<br />
g) ramdeni lariT naklebi Rirs 1 Tojina 2 burTze.<br />
41 dawereT 36-isa da 24-is martiv gamyofTa simravleebis TanakveTa, gaer-<br />
Tianeba.<br />
42 ipoveT AAsimravlis yvela qvesimravle:<br />
a) A={2}; b) A={2;5}; g) A={2;5;3}; d) A={1;2;–2;0}.<br />
43* daamtkiceT, rom:<br />
a) (15·11 + 6·11) iyofa 7-ze; b) (38·13 + 14·13) iyofa 4-ze.<br />
udidesma berZenma maTematikosma evklidem daamtkica, rom martiv ricxvTa simravle<br />
usasruloa.<br />
gamoCenilma berZenma mecnierma eratosTenem (Zv. w. 276-194) mogvca wesi, romlis<br />
saSualebiTac SesaZlebelia vipovoT raime ricxvze naklebi yvela martivi ricxvi.<br />
SevadginoT cxrili (nax. 1)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50<br />
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
1 araa martivi ricxvi, amitom gadavxazoT.<br />
2 _ martivi ricxvia, igi davtovoT. gadavxazoT misi jeradi yvela ricxvi.<br />
3-ic martivia da davtovoT. gadavxazoT yvela misi jeradi ricxvi, e. i. 4-dan dawyebuli<br />
yoveli mesame (yvela gadaxazuls vTvliT). amis Semdeg pirveli gadauxazavi<br />
ricxvi martivi iqneba. esaa ricxvi 5. mas vtovebT da vxazavT yvela mis jerads da<br />
a. S. sabolood gadaixazeba yvela Sedgenili ricxvi da darCeba martivi ricxvebi.<br />
martivi ricxvebis moZebnis am wess eratosTenes saceri hqvia.<br />
57
I<br />
<strong>Tavi</strong><br />
58<br />
Seamowme Seni codna:<br />
1. mocemulia, rom A={2; 3; 7; –7} maSin WeSmaritia:<br />
a) 2∉A; b) –3∉A; g) –7∉A; d) 7∈A.<br />
2. A simravle 7-is jerad ricxvTa simravlea, maSin WeSmaritia:<br />
a) 19∈A; b) 20∈A; g) 21∉A; d) 47∉A.<br />
3. Tu A simravle 3-is jerad ricxvTa simravlea, B simravle ki – 6-is<br />
jerad ricxvTa simravle, maSin WeSmaritia:<br />
a) A = B; b) A ⊂ B;<br />
g) B ⊂ A; d) arc erTi pasuxi swori ar aris.<br />
4. simravle, romelsac mxolod erTi qvesimravle aqvs, aris:<br />
a) erTelementiani simravle; b) carieli simravle;<br />
g) orelementiani simravle; d) aseTi simravle ar arsebobs.<br />
5. Tu a∈A da B nebismieri simravlea, maSin aucileblad:<br />
a) a∈B; b) a∈A B; g) a∈A B; d) A B=∅.<br />
6. Tu A ⊂ B da b∈B, maSin aucileblad:<br />
a) b∈A; b) b∈A da b∈B; g) b∈A B; d) b∈A B.<br />
7. naxazze mocemulia AB da CD monakveTebi. maSin AB monakveTis<br />
wertilTa simravlis TanakveTa DC monakveTis wertilTa simravlesTan<br />
aris:<br />
a) ∅; b) {A;B;P}; g) {P}; d) {P;B}.<br />
8. mocemulia A={1;2;3}; B={2;3}; C={1;2;3} maSin A B aris:<br />
a) ∅; b) {2}; g) {1;2;3;4;6}; d) {2;4;6}.
9. mocemulia, rom A={1;2}; B={2;3}; C={1;2;3}. maSin WeSmaritia:<br />
a) A B=C; b) B C=A; g) A C=B; d) A B=C.<br />
10. mocemulia A ⊂ B, maSin WeSmaritia:<br />
a) Tu x∈B, maSin x∈A; b) Tu x∉B, maSin x∉A;<br />
g) Tu x∉A, maSin x∉B; d) Tu x∈A, maSin x∉B.<br />
Tu A svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia B svetis Sesabamis<br />
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (A);<br />
Tu B svetis ujraSi mocemuli raodenoba metia A svetis Sesabamis<br />
ujraSi mocemul raodenobaze, airCieT (B);<br />
Tu ujrebSi mocemuli raodenobebi tolia (C);<br />
Tu mocemuli informacia araa sakmarisi SedarebisvTis, airCieT<br />
(D).<br />
A B A B C D<br />
11. 3,1·2,3 3,2·2,2<br />
2 1<br />
12. 3<br />
32 +1<br />
7 7 –28 26–20 A B C D<br />
7<br />
13. 37,9·18,5 74·11 A B C D<br />
14. 3 6 9 3 A B C D<br />
15. 3 0 0 3 A B C D<br />
16. a da b ricxvebs Soris operacia asea ganmartebuli: a · b = b 2 – a 2<br />
risi tolia 4 · 5:<br />
a) 9; b) 10; g) 11; d) 12.<br />
17*. a=5k+2 b=25p+3, maSin a+b moicema formuliT:<br />
a) 5n; b) 5n+1; g) 5n+2; d) 5n+3.<br />
18. im ricxvis formula, romelis 13-ze gayofisas naSTia 3, iqneba:<br />
a) 3k+13; b) 13k+3; g) 13k–3; d) 3k–13.<br />
19*. orSabaTobiT ninos kata Tevzs miirTmevs, xolo 5-is jerad<br />
ricxvebSi ki rZes. roca kata Tevzsac SeWams da rZesac miirTmevs,<br />
muceli stkivdeba. am Tvis romel ricxvSi etkineba aucileblad<br />
ninos katas muceli, Tu am Tvis pirveli ricxvi xuTSabaTia?<br />
a) 5; b) 10; g) 15; d) 20.<br />
59
60<br />
I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva<br />
● a ricxvis n naturaluri xarisxi – an , sadac n>1, ewodeba n cali<br />
ricxvis namravls, romelTagan TiToeuli as tolia. as xarisxis<br />
fuZe ewodeba, ns _ xarisxis maCvenebeli.<br />
miRebulia, rom a1 = = a . n a a· a· ... · a<br />
1 42 4 3<br />
-<br />
.<br />
n jer<br />
● vityviT, rom a ricxvi iyofa b ricxvze (davweroT a b) Tu ganayofi<br />
a:b naturaluri ricxvia.<br />
●<br />
1. 2-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romelic luwi cifriT bolovdeba.<br />
2. 10-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romelic 0-iT<br />
bolovdeba<br />
3. 5-ze iyofa is da mxolod is naturaluri ricxvi, romlis bolo cifria 5<br />
an 0.<br />
4. 3-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 3-ze.<br />
5. 9-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis cifrTa jami iyofa 9-ze.<br />
6. 4-ze iyofa is da mxolod is ricxvi, romlis bolo ori cifrisagan<br />
Sedgenili ricxvi iyofa 4-ze.<br />
● Tu a (bc), maSin a b da a c.<br />
● Tu a ricxvi iyofa b da c ricxvebze da u. s. g. (b;c) = 1, maSin a gaiyofa<br />
bc-ze.<br />
● Tu a ricxvi iyofa c ricxvze da b ricxvic iyofa c-ze, maSin a + b da a – b<br />
ricxvebic gaiyofa c-ze.<br />
● ori ricxvis jami gaiyofa c ricxvze, Tu TiToeuli ricxvis c-ze gayofisas<br />
miRebuli naSTebis jami iyofa c-ze.<br />
● sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, am simravlis<br />
elementebi ewodeba.<br />
● vityviT, rom A da B simravleebi tolia da CavwerT A=B, Tu es simravleebi<br />
Sedgeba erTi da imave elementebisagan.<br />
● C iyos yvela im elementTa simravle, romlebic ekuTvnis rogorc A,<br />
ise B simravles. amgvarad Sedgenil C simravles A da B simravleebis<br />
TanakveTa ewodeba da Caiwereba ase:<br />
C=A B ( – TanakveTis niSania).