39 A Bohr-féle atommodell Az előbbiek szerint az atomok ...

Atomfizika 39 A Bohr-féle atommodell
A Bohr-féle atommodell
Az előbbiek szerint az atomok tapasztalat szerinti stabilitása és vonalas
színképe nem egyeztethető össze a Rutherford-féle atommodellel,
ha az elektrodinamika törvényeit atomi szinten is érvényesnek tekintjük.
Találkoztunk már a hőmérsékleti sugárzással és a fényelektromos jelenséggel,
amelyek a klasszikus fizikán túlmutató energiakvantum hipotézissel
(1900), illetve a fénykvantum (foton) hipotézissel (1905) volt csak
értelmezhető. Ennek alapján arra lehetett következtetni, hogy a fenti
stabilitási probléma is ilyen „kvantumos” természetű. Niels Bohr dán
fizikus 1913-ban a Planck-féle kvantumfeltétel és az Einstein-féle
fotonhipotézis továbbfejlesztésével úgy módosította a Rutherford-féle
atommodellt, hogy számos fizikai tapasztalat értelmezhetővé vált.
A Bohr-féle atommodell illetve a Bohr-féle kvantumelmélet lényege a
következő:
1. Az atom elektronjai a mechanikailag lehetséges pályák közül csak
egyes meghatározott, ún. stacionárius vagy kvantumpályákon tartózkodhatnak,
ezekben a kvantumállapotokban az atom meghatározott E1,
E2, E3,…stb. energiaértékekkel rendelkezik, és az elektrodinamika törvényeivel
ellentétben nem sugároz.
2. Ezekre a kvantumpályákra Bohr azt a - klasszikus fizika számára
idegen - feltevést alkalmazta, hogy az elektron impulzusnyomatékának
nagysága, mvr csak h/2π-nek egész számú többszöröse lehet, ahol h a
már ismert Planck-féle állandó. A Bohr-féle kvantumfeltétel tehát:
mvr n h
= , ahol n = 1, 2, 3,
...
2π
az n számot kvantumszámnak hívjuk.
3. Sugárzás emissziója vagy abszorpciója
csak két stacionárius állapot
közötti átmenetkor jön létre (14.ábra),
mégpedig úgy, hogy az elnyelt vagy
kisugárzott foton ν frekvenciáját a két
stacionárius állapot En - Ek (>0) energiakülönbsége
szabja meg úgy, hogy
hν = En − Ek
Ez a Bohr-féle frekvenciafeltétel.
14.ábra

Atomfizika 40 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
Az első és harmadik ún. Bohr-féle posztulátumot illusztrálja az ábra.
Ezen egy atom nívósémáját látjuk. A legkisebb energiájú E1 állapot az
alapállapot, a magasabb energiájú E2 és E3 állapotok a gerjesztett
állapotok. Ha az atom egy magasabb energiájú állapotból alacsonyabb
energiaszintre kerül, tehát legerjesztődik, akkor a két energiaszint különbségétől
függő frekvenciájú fotont emittál. Az ábrán három különböző
(ν12, ν23, ν13) frekvenciájú foton keletkezhet, tehát az atom színképe három
emissziós vonalat tartalmazna.
Hasonlóan, az atom alacsonyabb energiaszintről magasabb energiájú
állapotba kerülhet azáltal, hogy a rá eső sugárzásból elnyeli azokat a
fotonokat, amelyek energiája éppen egyenlő két energiaszintje közötti
különbséggel. Ez az előbbivel éppen ellentétes értelmű folyamat, amely
érthetővé teszi az abszorpciós vonalas színképek keletkezését is.
A Bohr által javasolt posztulátumok a klasszikus fizika számára teljesen
idegenek. Azonban a Franck-Hertz kísérlet váratlan eredménye tökéletesen
alátámasztja ezen feltevések helyességét. Planck a hőmérsékleti
sugárzás elméleti magyarázatához feltette, hogy az atomi
oszcillátorok energiája kvantált, tehát nem folytonos, hanem diszkrét
értékek sokasága. Egy oszcillátor energiája a hν elemi energiakvantum
egész számú többszöröse lehet csak. Ez volt az első olyan jelenség
amelyben a természet kvantáltsága mutatkozott meg. Einstein a fénnyel
kapcsolatban mutatta meg ugyanezt, vagyis azt, hogy a fény energiája
sem folytonos, hanem hν energiájú csomagokként, fotonok formájában
terjed. Ez volt sorrendben a második kvantáltságot mutató természeti
jelenség. A harmadik Bohr fenti hipotézise, amely tehát azt jelenti, hogy
egy atomban az elektronok energiája is kvantumos természetű. A továbbiakban
még számos ilyen jelenséggel fogunk találkozni.
A Bohr-modell tehát kvalitatíve összhangban van a tapasztalattal, de
hogy kiderítsük számszerűen is helyes eredményeket szolgáltat-e, a
modellt alkalmazni kell egy konkrét atomra, és az elméleti eredményeket
össze kell hasonlítani a kísérleti tapasztalatokkal. Ennek érdekében
megvizsgáljuk, mit mond az elmélet a hidrogénatom színképéről.
A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
A hidrogénatom egy M tömegű és e töltésű magból, valamint egyetlen
m tömegű és –e töltésű elektronból áll. Mivel a mag tömege nagyságrendekkel
nagyobb az elektron tömegénél, ezért a magot nyugvónak
tekintjük, és feltesszük, hogy az elektron a mag körül r sugarú körpályán
kering. Általánosabban járunk el, ha Ze töltésű magot tételezünk fel,
ugyanis az adódó eredmények ekkor nem csak a hidrogénre, hanem az

Atomfizika 41 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
összes egy elektront tartalmazó hidrogénszerű ionra, a Z=2 rendszámú
He + ionra, a Z=3 rendszámú Li – ionra,…stb is alkalmazhatók.
A klasszikus mechanika szerint az r sugarú körpálya mechanikai stabilitásának
feltétele, hogy az elektronra a mag által kifejtett Coulomb erő
éppen egyenlő legyen a centripetális erővel:
2
m v
r
Ze e
k k
r
Ze ⋅
= = 2
2
r
Ez a feltétel tetszőleges r sugár esetén fennáll. Az első Bohr-féle posztulátum
szerint azonban az elektron nem keringhet tetszőleges sugarú
körpályán, hanem csak stacionárius pályákon. Ezek kiválasztásához
használjuk most fel a Bohr-féle kvantumfeltételt:
mvr n h
= , ahol n = 1, 2, 3,
...
2π
Ebben a két egyenletben ismeretlenek az n kvantumszámhoz tartozó
elektronpálya rn sugara, és ezen a pályán az elektron vn sebessége. A
fenti két egyenletből álló egyenletrendszer könnyen megoldható erre a
két ismeretlenre, a megoldás:
r
2
h 2 2πe kZ 1
= ⋅ n ; v = ⋅
2 2
4π
me kZ h n
n n
Speciálisan Z = 1 és n = 1 esetén megkapjuk a hidrogénatom legbelső,
alapállapotbeli elektronpályájának sugarát:
r
1
2
h
= = 0, 53 ⋅10
2 2
4π
me k
valamint ezen a pályán az elektron sebességét:
v
1
2
2
−8
2
cm
2πe
k
8 cm c
= = 2, 2⋅ 10 =
h
s 137
ahol c a vákuumbeli fénysebesség. Az n kvantumszámú pályán az elektronpálya
sugarát és azon az elektron sebességét a fenti általános formulák
alapján nagyon egyszerűen kapjuk:

Atomfizika 42 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
rn 2
= r1 ⋅ n ;
v1
vn
=
n
A nyugvónak tekintett magból és az egyetlen elektronból álló
rendszer összes energiája az elektron kinetikus és potenciális energiájának
összege. Az n kvantumszámú pályán tehát az elektron
összenergiája: E mv
k Ze
2 2
n
n = − . Az elektron a feltételezés szerint kör-
2 r
n
pályán mozog, a körpályán tartó mv
r
centripetális erőt a mag és az
elektron között ható k Ze
2
elektrosztatikus vonzóerő szolgáltatja. Ezen
2
rn két erő egyenlőségét megadó összefüggésből az adódik, hogy
mv
k Ze
2 2
n
= ,
2 2r
emiatt az elektron összenergiája egyszerűen
n
2
E k Ze
n = −
2rn
. Ha ebbe behelyettesítjük a sugárra kapott összefüggést,
megkapjuk az atom lehetséges energiaértékeit:
E
n
2
n
2 4 2 2
2π me k Z 1
= − ⋅
2 2
h n
Hidrogénatomnál természetesen
Z = 1. Eszerint a hidrogénatom
energiája legalacsonyabb
az n = 1 kvantumszámú
állapotban, ezt
nevezzük alapállapotnak. Az
n = 2, 3,… kvantumszámú
állapotok pedig a gerjesztett
állapotok. Az atom ionizációjának
pedig az n = ∞ felel
meg, ugyanis ekkor az elektron
úgy tekinthető, hogy a
magtól végtelen távol van és
sebessége nulla. Az atom
15.ábra
energiája ebben az állapotban a legnagyobb, a formula alapján éppen
zérus: E∞ = 0, ezért a többi állapot energiája negatív.

Atomfizika 43 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
Az egyes vonalsorozatokat, és azok keletkezését láthatjuk sematikusan
a 15. ábrán.
Ha alkalmazzuk a Bohr-féle frekvenciafeltételt az Ek és az En (

Atomfizika 44 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
r
M
= r; illetve r
M + m
e a
m
M m r =
+
sugarú körpályákon mozognak. A mechanikai stabilitás feltétele, hogy
mr Mr k Ze
2 2
eω = aω
= 2
r
a rendszer teljes impulzusnyomatékéra vonatkozó kvantumfeltétel pedig
a következő:
mr Mr n h
2 2
e ω + a ω =
2π
Ha az re és ra sugarak kifejezését behelyettesítjük az utóbbi két formulába,
akkor a következő egyenleteket kapjuk:
2
Mm Ze
r k tová bbá
M m r
Mm
2
2 h
ω = ;
r ω = n 2
+
M + m 2π
Ezek a kifejezések a v = rω összefüggés miatt csak annyiban különböznek
a korábbi alapegyenletektől, hogy az elektron tömegének a helyére
a
Mm
µ = =
M + m
+
m 1
m
1
M
kifejezéssel értelmezett redukált tömeget kell írni. Ha ezt figyelembe
vesszük a Rydberg állandó számításánál is, akkor az elmélet ezen a
téren a tapasztalattal teljes összhangba kerül.
A Bohr elmélet tehát megmagyarázza a színképek keletkezését, voltaképpen
ennek volt köszönhető az elmélet átütő sikere is.
Az emissziós spektrum keletkezése ezek után a következő módon
értelmezhető. Ha például kisülési csőben elektromos tér segítségével a
H2 molekulákat atomokra bontjuk, akkor az elektronokkal való ütközés
során a H atomok az n = 2, 3, 4,… kvantumszámokkal jellemzett gerjesztett
állapotok valamelyikébe kerülhetnek. Ha az elektron a n = 2 , 3,
4,… állapotokból átugrik az alapállapotba a Lyman sorozat ultraibolya
vonalait kapjuk, ha nem alapállapotba hanem a 2-es kvantumszámú
2

Atomfizika 45 A hidrogénatom Bohr-féle elmélete
állapotba kerülnek az elektronok az n = 3, 4, 5,… kvantumszámú állapotokból,
akkor kapjuk a Balmer-sorozat vonalait. Hasonlóan keletkezik a
többi vonalsorozat is, amint az az ábrákon világosan látszik. Ezt a sugárzási
mechanizmust nevezzük gerjesztési sugárzásnak.
A határkontinuum létezése is könnyen értelmezhető. Ha a hidrogénatommal
ütköző elektron éppen
akkora energiával rendelkezik, mint az
n = ∞ és az n = 1 nívóknak megfelelő
energia E∞ - E1 különbsége, akkor a
hidrogénatom elveszíti egyetlen elektronját,
ionizálódik. Az elektron sebessége
ebben az esetben az atommagtól
igen nagy távolságban éppen nulla
lesz. Ha a hidrogénion befog egy ilyen
nulla sebességű elektront az n = 1 állapotba,
más szóval rekombinálódik,
és rögtön alapállapotba kerül, akkor a
színképben a vonalas spektrum rövidhullámú
határának megfelelő emissziós
színképvonal jelenik meg. A befogott
elektron sebessége azonban tetszőleges
nullától különböző érték is lehet,
így a befogáskor kisugárzott foton
1 2
energiájahν = E∞ + mv − E1
, amely a
16.ábra
2
határnak megfelelő E∞ - E1 különbségnél tetszőlegesen nagyobb lehet,
vagyis a kisugárzott foton ν frekvencia tetszőleges értékkel nagyobb
E∞ − E1
lehet, mint a ν0 = határfrekvencia. Ez éppen azt jelenti, hogy a
h
színkép rövidhullámú határához folytonos spektrum csatlakozik. Ezt a
sugárzást nevezik rekombinációs sugárzásnak.
A 16. ábrán az egyes emissziós vonalsorozatokat valamint a
határkontinuumot tüntettük fel az energia- és termértékekkel együtt.
Az abszorpciós spektrum a következő módon keletkezik. Nem túl
magas hőmérsékleten az atomok gyakorlatilag alapállapotban vannak.
Ha ilyen „hideg” hidrogéngázon folytonos színképű fényt bocsátunk át,
akkor az atomok az n = 2, 3, 4,… kvantumállapotokba gerjesztődnek, a
folytonos színképből ekkor éppen a Lyman-sorozat vonalai fognak hiányozni.
Ha a hidrogénatomok már eleve gerjesztett állapotban vannak,
és az átbocsátott fény tovább gerjeszt, akkor nyelik el az atomok a
Balmer-, Paschen,..stb vonalsorozatoknak megfelelő frekvenciájú foto-

Atomfizika 46 Röntgensugárzás
nokat. Ha az atomnak ütköző foton energiája éppen egyenlő az E∞ - E1
energiakülönbséggel, akkor az atom ionizálódik, ekkor keletkezik a sorozat
határának megfelelő abszorpciós színképvonal. Az atom azonban
bármely fotont képes elnyelni, amelynek energiájára igaz, hogy hν>hν0 =
E∞ - E1, ekkor ugyanis az elnyelt foton energiájának hν0 nagyságú része
az atomot ionizálja, a maradék hν - hν0 energia pedig a leszakadt elektron
mozgási energiájává alakul. Ezzel tehát az abszorpciós színképhez
csatlakozó határkontinuumot is értelmeztük.
Röntgensugárzás
Röntgen vette észre, hogy a katódsugár elektromos térben felgyorsított
elektronjai fémlapba ütközve olyan sugárzást keltenek, amely elektromos
mezőben nem térül el, tehát töltést nem hordoz. Vizsgálatok azt
mutatták, hogy az észlelt sugárzás nagyon nagy áthatolóképességű
(1895). Max von Laue javaslatára kristályrács (mint optikai rács) segítségével
megfigyelték a röntgensugárzás interferenciáját (1912). A részletes
vizsgálatok azt mutatták, hogy olyan elektromágneses sugárzásról
van szó, amelynek hullámhossza eléri az atomok méretét, λ ≈ 1nm, így
a röntgenfotonok energiája viszonylag nagy.
Kristályráccsal előállított röntgenszínképek azt mutatták, hogy a röntgenfénynek
van egy folytonos színképű és egy vonalas színképű változata.
A folytonos színkép úgy jön létre, hogy a röntgencsőben az
„antikatódba” nagy v1 sebességgel becsapódó elektronokat a fémlap
atomjainak Coulomb tere v2 sebességre fékezi le. A lassuló elektron
eközben fékezési sugárzást bocsát ki, mozgási energiájának egy része
alakul át röntgenfotonná az
1 2 1 2
mv1 = mv2 + hν
2 2
egyenlet értelmében.
A vonalas röntgenspektrumot
Henry Moseley magyarázta meg
(1913), a Bohr-féle elmélet felhasználásával.
Az atom elektronjai
a magtól való átlagos távolságuk
szerint csoportokba, ún. elektronhéjakba
sorolhatók úgy, hogy az
egy héjba tartozó elektronok átlagosan
egyenlő távol vannak a
17.ábra

Atomfizika 47 Röntgensugárzás
magtól. A legbelső n = 1 kvantumszámnak megfelelő héjat K-héjnak
nevezték el, a távolabbiakat pedig rendre L, M, N,… héjaknak. Egy-egy
héjon csak meghatározott számú elektron lehet, s a nagy rendszámú
atomokban a belső héjak elektronokkal teljesen betöltött zárt héjak. Ha a
röntgencsőben az elegendően nagy energiájú elektron az antikatód valamely
atomjának belső héjáról kilök egy elektront, akkor annak helyén
egy lyuk, vakancia keletkezik. Ebbe a lyukba egy távolabbi héjról, vagy
kívülről átugrik egy elektron, és ennek az átugró elektronnak a kezdeti
és végállapota közötti energiáját az
atom kisugározza egy röntgenfoton
alakjában (17.ábra) . A K-sorozat vonalait
azok az atomok bocsátják ki,
amelyekben a K héjon keletkezett
lyukba ugrik át egy elektron az L, egy
másik atomnál az M, egy harmadik
atomnál az N,…stb. héjakról. Így
adódnak a Kα, Kβ, Kγ,… röntgenvonalak
(18.ábra). Hasonlóan keletkeznek
a többi vonalsorozatok is. Mivel ezek
a vonalsorozatok az atomok anyagi
minőségére jellemzők, ezt a sugárzási
mechanizmust megkülönböztetésül
karakterisztikus röntgensugárzás-
nak nevezzük.
Ha a Bohr-elméletet alkalmazzuk
erre az esetre, akkor először figye-
18.ábra
lembe kell vennünk, hogy az atommag körül egy nagy rendszámú atomban
számos elektron kering, így a mag Ze pozitív töltését a többi elektron
leárnyékolja, így a színképvonalak hullámszámára vonatkozó formulát
korrigálni kell, a Z magtöltésszám helyett a Z – σ effektív magtöltésszámmal
kell számolni. Így pl. a Kα és Lα vonalak hullámszámára a
következő formulák adódnak:
2 ⎛ 1 1 ⎞
2 ⎛ 1 1 ⎞
νKα = R( Z − 1)
⎜ − ⎟ ; νLα
= R( Z − 7, 4)
⎜ − ⎟
⎝ 2 2
1 2 ⎠
⎝ 2 2
2 3 ⎠
A σ leárnyékolási szám a K héjra 1-nek, az L héjra pedig 7,4-nek adódott,
ami azt jelenti, hogy egyrészt a K héjon maximum 2 elektron tartózkodhat,
az L héjon azonban már több. A pontos értékek meghatározására
később még visszatérünk.

Atomfizika 48 Röntgensugárzás
A formulákból jól látszik, hogy nagy Z rendszámú elemek esetén a fotonok
frekvenciája sokszorosa az optikai spektrumok frekvenciáinak, az
emittált sugárzás tehát valóban a röntgentartományba esik.
A Bohr-elmélet alapján adódó összefüggésekből azonnal következik
az a törvény, amelyet Moseley tapasztalati úton állapított meg.
Antikatódként több mint 40-féle elemet alkalmazott. Ezek vonalas röntgenspektrumának
tanulmányozásával megállapította, hogy a kibocsátó
elem Z rendszámának növelésével a sorozatok vonalai szabályosan
eltolódnak a kisebb hullámhosszak felé, amint az az ábrán látható.
Kvantitatíve a K sorozat legnagyobb hullámszámú és legerősebb vonalának
a Kα vonalnak a hullámszáma és a Z rendszám között fennáll a
következő összefüggés, a Moseley-törvény:
3
2
νKα = R( Z − σ) ; ahol σ ≈ 1
4
Az összefüggés bizonyításaként, ha a mérésekből kapott νKα értékeket
a Z rendszám függvényében ábrázoljuk, akkor egy egyenest, a
„Moseley-egyenest” kapjuk
(19.ábra). A többi vonalra
hasonló szerkezetű, de kevésbé
pontos összefüggések
érvényesek.
A Moseley-törvény jelentősége
abban van, hogy a röntgenvonalak
hullámszámának
mérésével meghatározható
az elemek rendszáma. Ezzel
a módszerrel több helyen
kiigazították a periódusos
rendszerben a rosszul besorolt
elemek sorrendjét.
Amint az a fenti gondolatmenetből
kiderül a röntgenspektrumok
lényegesen különböznek
az optikai
színképektől. Az előbbiek
egyszerűbbek, kevesebb vonalból
állnak, nincs meg az
optikai színképekre jellemző
19.ábra

Atomfizika 49 A röntgensugárzás alkalmazása
periodicitás, továbbá a vonalas röntgenspektrumok csak emisszióban
figyelhetők meg, abszorpcióban nem.
A röntgensugárzás alkalmazása
Érdekességként megemlítjük, hogy a röntgensugárzás számára a
könnyű atomokból felépült anyagok átlátszók. Egy nagy energiájú fotonnal
való ütközés szempontjából egy elektron kötési energiája egy könynyű
atomban elhanyagolható. Szabad elektron viszont nem képes foton
elnyelésére. Ugyanis ekkor a foton energiáját és impulzusát egyaránt az
elektronnak kellene átvennie:
h
h mv
c mv
ν
1 2 ν
= ; =
2
Ez a két egyenlet egyszerre nem teljesülhet, hiszen ekkor v = 2c adódna,
vagyis az elektron gyorsabban haladna, mint a vákuumbeli fénysebesség.
Ez nem lehetséges. A röntgenfoton elnyelése tehát csak akkor
lehetséges, ha az elektron és a mag között erős Coulomb erő hat, és
ütközéskor a mag is meglökődik, átveszi a foton impulzusának egy részét.
Ez akkor teljesül, ha nagy a magtöltésszám, tehát nagy az elem Z
rendszáma. Így a röntgensugárzás magasabb rendszámú elemekben
erősebben nyelődik el, ezt használja fel az orvosi gyakorlat. A csontok
Ca és P tartalmuk miatt kevésbé átlátszóak, mint a hús, amelyben elsősorban
H, C, N, O található.
A röntgensugarak további alkalmazási területe a röntgendiffrakciós
kristályszerkezet-elemzés. Mint azt már említettük a röntgensugárzás
hullámhossza nagyon kicsi, az atomok méretének nagyságrendjébe
esik. A hullámtanból ismert az a tény, hogy egy résre vagy optikai rácsra
eső hullám számottevően akkor hajlik el, és hoz létre interferenciaképet,
ha a rés mérete összemérhető az alkalmazott hullám hullámhosszával.
Röntgensugarak elhajlásához emiatt mesterségesen nem lehet készíteni
optikai rácsot. Ma már természetesnek tűnik az az először Laue és
Bragg által alkalmazott eljárás (1913), hogy a természetben már „készen”
megtalálható kristályok rácsát alkalmazzák „optikai rács”-ként.
Ezen kristályrácsok alkalmazásával nem csak elhajlást, hanem viszszaverődést
is létre lehet hozni (20.ábra). A kristályrácsot alkotó atomok
ugyanis szabályos rendben helyezkednek el, egy részük egy síkban az
ún. hálózati síkban van. A kristályra beeső röntgensugárzás ezeken a
párhuzamos helyzetű síkokon visszaverődik és létrehozhat egy interferenciaképet.
Ha rátekintünk az ábrára, akkor világos, hogy erősítés abban
az esetben jön létre, ha teljesül a DB + BC = kλ feltétel, ahol k kis

Atomfizika 50 A röntgensugárzás alkalmazása
egész szám. Ha sugár α szög alatt esik a kristály egy hálózati síkjára, és
ezen síkok távolsága d, akkor világos, hogy DB = BC = d⋅sinα. Ha ezt a
két összefüggést összevetjük, akkor megkapjuk a Bragg-féle feltételt:
Abban az esetben, ha
ismerjük az alkalmazott
röntgensugárzás λ hullámhosszát,
következtetni tudunk
a kristály szerkezetére.
Természetesen a lehetőség
fordítva is fennáll.
Ismert szerkezetű kristályok
segítségével megmérhető a
röntgenfény hullámhossza,
illetve folytonos spektrumú
sugárzásból kiválaszthatók
adott hullámhosszúságú
komponensek.
2d⋅sinα = kλ, ahol k = 1, 2, 3, …
20.ábra
D
B
α
C