ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

7. FEJEZET
90
TÁVVEZETÉKEK
Miután a két egyenlet formailag azonos, a továbbiakban részletesen csak az U-ra
vonatkozó egyenlettel foglalkozunk, U(z)-t határozzuk meg. Ezután mutatis mutandis
(a változtatandókat megváltoztatva) írjuk fel az áramra vonatkozó megoldást.
(7.22) a legegyszerûbb másodrendû lineáris homogén differenciálegyenlet.
Általános megoldását az ún. Euler-módszerrel, exponenciális próbafüggvénnyel
keressük:
U( x)=
?
e λ
x
.
Behelyettesítve kiderül, hogy ez a függvény akkor megoldás, ha
λ=± γ,
(7.25)
azaz két lineárisan független megoldás létezik (ahogy ez másodrendû közönséges
egyenletnél illik). γ elnevezése: terjedési együttható. Segítségével felírva (7.22)
teljes megoldása tehát:
+ −γx − + γ x
U( x)= U e + U e . (7.26)
0 0
Az áramra hasonlóan adódik:
+ −γx − + γ x
I( x)= I e + I e . (7.27)
0 0
Az amplitúdók kapcsolatát (7.20) segítségével kapjuk:
U x
I x
Z x Z U
Z U
1 d ( ) γ + −γx γ − + γ x
( )=− = 0e − 0e
, (7.28)
d
s s s
ahonnan:
+
−
U0
−γx
U0
+ γ x
I( z)=
e − e , (7.29)
Z Z
ahol Z0
=
0
Z
Y
s
p
0
a hullámimpedancia. (7.30)
Értelmezzük a megoldást. Ehhez definiáljuk γ valós, ill. képzetes részét:
γ= α+ j β,
(7.31)
Ezzel (7.26) elsõ tagja tér–idõ függése
( ) + − ( − )
0 0
+ + jωt− α+ jβ x αx j ωt β x
U = U e = U e e , (7.32)
ill. bevezetve a
β 1
=
ω v
jelölést:
+ + −αx
u = U0e
e
⎛ x⎞
jωt− ⎝⎜
v⎠⎟
(7.33)
. (7.34)