ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

7. FEJEZET
86
TÁVVEZETÉKEK
Miért változik az áramerõsség a vezeték mentén? A két vezetõ henger közötti
kapacitáson töltés halmozódik fel. Ez a töltés a dx szakasz Cdx kapacitásán:
q= Cd xu+
..., (7.5)
ahol az elhagyott tagok ismét (dx) 2 -tel arányosak Felírva a folytonossági egyenletet
a dx hosszúságú szakaszra (7.3. ábra):
i
q
i x t x i x t
C x
x t
u
( , )+ , ...,
t
∂
− ( )=−
∂
∂
∂ =−
∂
∂ +
d d
ahonnan a
− ∂i
∂u
= C (7.6)
∂ x ∂t
egyenlethez jutunk. Az egyenlet fizikai tartalma nyilvánvaló.
(7.4) és (7.6) az ideális távvezeték-egyenletek. Az egyenletek a 7.3. ábrán látható
hálózatra felírható hurok- és csomóponti egyenletnek felelnek meg.
A (7.4) mindkét oldalát hely szerint deriválva:
− ∂
2
u ∂ ∂i
= L 2
∂ x ∂t
∂x
,
és ide ∂ ∂
i x
értéket (7.4)-bõl behelyettesítve a:
∂
∂ =
2
2
u ∂
LC 2
2
x ∂
u
(7.7)
t
egyenlethez jutunk. Hasonló módon az áramra:
∂
∂ =
2
2
i ∂
LC 2
2
x ∂
i
, (7.8)
t
vagyis ugyanazt az egyenletet kapjuk.
Ez az egyenlet az (egydimenziós) hullámegyenlet. Ez az egyenlet a fizika számos
területén megjelenik. Könnyû belátni, hogy megoldása tetszés szerinti függvény
⎛ x⎞
lehet, amelynek változója ⎜t
±
⎝⎜
v⎠⎟
alakú. Nagyképûen: a függvény argumentuma
a t és x független változók lineáris kombinációja.
x
A bizonyításhoz csak a közvetett deriválás szabályát kell ismerni α = t ∓ jelöléssel:
v
∂f
∂f
∂α
∂f
⎛ ⎞
= = ⎜
∂ x ∂α
∂ x ∂α
⎝⎜
v⎠⎟
∓ 1 ,
∂f
∂f
∂α
∂f
= =
∂ t ∂α
∂ t ∂α
.
Ebbõl
∂
∂ =
f ∂f
∓
x v ∂t
1
,