ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
79
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
N véges elem esetén (6.32) közelítése az egyes háromszögek felett értelmezett w l
integrálok összege:
N
⎡ 2
2
N ⎧⎪
⎛∂
⎞ ⎛
W = wl=
⎜
∂ ⎞ ⎤
⎫
1 ⎢ ϕ
i l
⎝⎜
∂x⎠⎟
+ ⎜ ϕ ⎪
⎥
∑ ⎨
⎪
∫∫ κ ⎢ ⎜
⎝⎜
∂y⎠⎟⎥dd
xy− f dd xy⎬
⎪
∑ ⎪
= i l 2
∫∫ ϕ
⎩⎪
⎣⎢
⎦⎥
⎪ (6.37)
=
⎭⎪
Az (6.34) és (6.35) segítségével kiszámított közelítõfüggvényeket behelyettesítve
(6.37)-be és (6.36)-t felhasználva valamennyi ∂
Al
Al
wl parciális derivált kifejezhetõ a
csomóponti potenciálok függvényeként.
∂ϕ
i
A rácsponti potenciálokra felírt egyenlet ezek után a
∂
∂ = ∑
∈
wl 0 (6.38)
l L ϕi
egyenletek összessége, ahol L jelenti mindazon véges elemek sorszámát, amely
elemek az i-edik rácspontot csúcspontként tartalmazzák. (6.38)-at minden rácspontra
felírva egy ritkás mátrixú, lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk eredményül.
A peremfeltételek közül a Dirichlet-feltétel teljesülését a peremen fekvõ rácspontok
potenciáljainak rögzítésével biztosíthatjuk. A variációs elvek tárgyalásánál kapott
eredmény szerint a homogén Neumann-feltétel természetes határfeltétel. Ha tehát
perempontokra semmit sem írunk elõ, a peremen a homogén Neumann-feltétel
automatikusan teljesül.
A véges elemek módszere három dimenzióra hasonló elvek alapján általánosítható.
A kitöltés legegyszerûbb egymáshoz illeszkedõ tetraéderekkel történhet, amelyek
csúcspontjainak potenciáljai meghatározzák a tetraéder belsejében a potenciáleloszlást
közelítõ függvényt.
Momentummódszer.
Integrálegyenletek numerikus megoldása
A momentummódszer általános közelítõmódszer lineáris operátorral rendelkezõ
egyenletek megoldására. A megoldást, mint látni fogjuk, függvénysor alakjában keresi
a módszer.
A módszer integrál- és differenciáloperátorok esetén egyformán alkalmazható.
Így a véges elemek módszere is felépíthetõ a momentummódszerre támaszkodva.
A továbbiakban a módszert olyan általánossággal tárgyaljuk, hogy mindkét említett
esetben érvényes kijelentéseket tudjunk megfogalmazni.
Legyen adott az L lineáris operátor, amelyre
Lf = g, (6.39)
ahol az ismeretlen f függvény és az ismert g függvény meghatározott (nem
szükségképpen azonos) függvényosztályba tartozik.
A (6.39) egyenlet megoldásán az L operátor L –1 inverzének megkeresését értjük:
f = L –1 g. (6.40)
L –1 nem feltétlenül állítható elõ zárt alakban, ill. véges algoritmus formájában.