ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
76
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
Összeadva a négy egyenletet, némi elrendezés után kapjuk, hogy:
ϕ−1 + ϕ − 1+ ϕ + 1+ ϕ + 1 −4ϕ
( Δϕ)
= i, j
2
h
i , j i, j i, j i , j i, j
+ ...
(6.29)
A Laplace-kifejezés diszkrét közelítését kaptuk meg tehát. Igazolható, hogy az
elhagyott tagok h 2 -tel arányosak.
A térrész minden pontjára felírhatunk tehát egy lineáris algebrai egyenletet, (6.29)
összefüggést zérussal téve egyenlõvé.
A Dirichlet-feltételnek úgy tesszünk eleget, hogy a peremre esõ rácspont potenciálját
megfeleltetjük a (6.28) egyenletben elõírtaknak. Így az ismeretlennek és az
egyenletek száma eggyel csökken.
A Neumann-peremfeltételhez a peremen fekvõ ϕi− l, jpotenciálokkal
a következõ
egyenletet írhatjuk fel:
⎛∂
⎞
⎜
⎝⎜
∂ ⎠⎟
=
ϕ ϕi+ 1,
j− ϕi,
j
+ ...
n h
i,
j
(6.30)
és ezzel helyettesítjük a perem pontjára vonatkozó (6.23) egyenletet, amelyben pl.
ϕi− l, jnincs
is értelmezve. Sajnos (6.30) elhagyott tagja h-val arányos, így nagyobb
hibát tartalmaz, mint (6.29), ahol a hiba h2-tel arányos. A hiba csökkenthetõ, ha
nemcsak a peremmel szomszédos rácspont, de egy további rácspont potenciálját is
figyelembe vesszük. Ezek után a Laplace-egyenlet megoldása igen egyszerû, minden
rácspontra a
ϕi−1, j+ ϕi, j− 1+ ϕi, j+ 1+ ϕi+ 1, j− 4ϕi, j = 0
(6.31)
egyenletet kell felírni. A kialakuló egyenletrendszer akkor nem homogén, ha vannak
perempontok, ahol Dirichlet-feltételt írtunk elõ.
A Poisson-egyenlet esetén a jobb oldali ismert tag (x , y ) koordinátához tartozó
i i
értékét kell behelyettesítenünk a rácspontra felírt (6.29) egyenletbe.
Végeredményként az ismeretlen csomóponti potenciálokra (ezek száma több tízezer
is lehet) lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk. Ennek mátrixa azonban (6.29)
alakját figyelembe véve igen kevés elemet tartalmaz; azok négyzete is a fõátlóban
és a fõátlóval párhuzamosan a mellékátlókban helyezkedik el. Az ilyen „ritkás”
(sparse) mátrixokkal rendelkezõ egyenletrendszer megoldására (tulajdonképpen a
mátrix invertálására) speciális eljárásokat dolgoztak ki.
Egy szó még a görbe vonalú peremekrõl. Ezeket meg lehet kísérelni négyzetrács
vonalaival közelíteni, vagy nem ekvidisztáns rácsponti elrendezéssel dolgozni.
A módszer általánosítása nem ekvidisztáns hálóra, továbbá három dimenzióra
kézenfekvõ és alapvetõen új meggondolásokat nem igényel.
A véges elemek módszere
Az elõzõ szakaszban megismert végesdifferencia-módszer legnagyobb hátránya, hogy
gömbvonalú peremek esetén az illeszkedés a peremekhez nehézkes. A pontosság
javítása a rácsvonalak – és így a rácspontok – számának jelentõs növekedésével jár.
A peremproblámák megoldásának lehetséges módja, hogy a rácspontokat kellõ
sûrûséggel a peremen vesszük fel. Ekkor azonban a pontokra illeszkedõ rács
szabálytalan, semmi esetre sem derékszögû. A 6.7. ábrán a két dimenzióban