ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
75
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
A véges differenciák módszere
A módszert kétdimenziós problémára mutatjuk be. Általánosítása három dimenzióra
rendkívül egyszerû. A feladat a
Δϕ = 0, r ∈V
(6.26)
egyenlet megoldása zárt tartományban, amelynek peremére
ϕ = f () r r∈A
∂ϕ
= g() r r∈A
∂ n
, 1 (6.27a)
, 2
A1∪ A2 = A
(6.27b)
a ϕ függvény Dirichlet- vagy Neumann-peremfeltételének tesz eleget.
A vizsgált tartományt (az esetünkben síktartomány) fedjük le egy (a továbbiakban
mindig egyenlõ távolságú) derékszögû ráccsal (négyzetrács). A közelítõ potenciált a
rácspontokban határozzuk meg.
A rácspontokat a 6.6. ábra alapján kettõs indexszel látjuk el, amelyik az x, ill. y
irányú oszlop, ill. sor sorszáma.
y
N y –1
ϕ = Φ 1
ϕ i,j
Az ábrán látható ötpontos séma potenciáljai a következõképpen fejezhetõk ki:
ϕ ϕ
ϕi j ϕi
j
x h
x h
+ = +∂
2
1 ∂ 2
1,
, + + ... 2 ,
∂ 2 ∂
ϕ ϕ
ϕi j ϕi
j
x h
x h
2
1 ∂
− 1 = −∂ + 2
∂ 2 ∂
+
2
, , ... ,
ϕ ϕ
ϕi j ϕi
j
y h
y h
+ = +∂
2
1 ∂
1
+ 2
∂ 2 ∂
2
, , + ...
ϕ ϕ
ϕi j ϕi
j
y h
y h
2
1 ∂
− 1 = −∂ + 2
∂ 2 ∂
∂
∂ =
ϕ
0
n
2
, , + ...
, (6.28)
.
ϕ i,–1, j
h
j
h
∂
∂
1
6.6. ábra
j = 0
x
i = 0
i h
N –1 x
ϕ = 0
=
ϕ
0
n
− ∂
∂ =
ϕ = Φ2 ϕ
0
n
h
h
ϕ i,j+1
ϕ i,j
h
ϕ i,j–1
ϕ i,+1, j