ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
74
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
normális komponense zérus. (Ez fizikailag a térerõség normális komponensének
eltûnését, tehát a felületen csak a felülettel párhuzamos komponens létezését
jelenti.) Ha tehát a függvény variálásánál a perem egy részére nem írunk elõ
feltételt a függvény variációjára, a normális derivált a felületen zérusnak adódik.
Ez a variációs feladat ún. természetes peremfeltétele. Az egész felületen nem
érvényesülhet ez a feltétel (a perem egy részére elõ kell írni a potenciált), mert ha
az egész peremen ∂
∂ =
ϕ
0 érvényes, ennek csak a ϕ = konst. potenciálfüggvény
n
tesz eleget.
A variációs elvek alkalmazásánál a megoldást próbafüggvénnyel közelítjük. Ennek
megkonstruálása önmagában is nehéz feladat lehet. Közelítõ numerikus számításokban
felhasználására még visszatérünk.
NUMERIKUS MÓDSZEREK
Feynman, a Nobel-díjas elméleti fizikus írja mérnökhallgatóknak készült fizikatankönyvében
a peremérték-feladatokról: „A megoldás egyetlen általános módszere
a numerikus módszer”. A világ egyik legkiválóbb analitikus elméjének fenntartás
nélkül elhihetjük, ha az analitikus eljárásokkal szemben a numerikus eljárások
prioritását hirdeti. Különösen megerõsíti az állítást, ha tudjuk, hogy Feynmann ezt
az 1960-as évek elején több mint negyven éve mondotta volt, amikor a számítástechnika
még messze nem érte el a fejlettség mai szintjét. Az akkori mainframe
számítógépek teljesítménye (extra kivételektõl eltekintve) meg sem közelítette a
mai személyi számítógépekét, amelyekrõl egyébként akkor még senki sem álmodott.
Ugyanakkor a numerikus módszereket már a második világháborútól kezdve
kiterjedten alkalmazták. A számítási munkát kézikalkulátorokkal, a feladatot részekre
bontva, olykor több tucatnyi ember párhuzamos munkájával végezték. Ekkor a
helyzethez képest már a 60-as évek elején is óriási elõrelépést jelentett az elektronikus
számítógépek használata, még ha a máig tartó fejlõdés távlatai beláthatatlanok is
voltak.
A numerikus módszerek két nagy csoportra oszthatók:
– az analitikus végeredmények numerikus meghatározása,
– numerikus közelítõ módszerek alkalmazása.
Az elsõre a továbbiakban térszámítási példát nem adunk. Ilyen eredmény például
Fourier-sorfejtésben az együtthatók analitikus formában megadott integráljának
numerikus kiszámítása.
A továbbiakban peremérték-feladatok megoldására olyan példákat mutatunk, ahol
a leíró egyenleteket ill. a peremfeltételeket eleve közelítõ módon írjuk le. Ez a
közelítés a különbözõ módon megadott operátorok diszkretizálása. A számítógép
véges memóriájából következik, hogy a numerikus megoldást (jóllehet olykor igen
nagy) véges számú adattal, tehát diszkrét adatok sokaságával kell reprezentálnunk.
Három ilyen módszerrel ismerkedünk meg:
– a véges differenciák
– a véges elemek és a
– momentumok módszerével.