ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
73
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
A ϕ( r ) függvénynek legalább szakaszonként folytonosan deriválhatónak kell lennie
V belsejében és az A felületen. Az ismert ρ-tól elvárjuk, hogy ne legyen szinguláris a
V térfogatban.
A funkcionál értéke megváltozik, ha ϕ érték változik. Legyen a változás δϕ.
A funkcionál értéke ekkor W [ ϕ+ δϕ].
A funkcionál variációjának a
δW = W[ ϕ+ δϕ]− W[
ϕ]
(6.22a)
kifejezést nevezzük.
Pontosabb megfogalmazásban a funkcionál elsõ variációját keressük, ez (6.22a)nál
a δϕ megváltozással (ez a ϕ függvény variációja!) arányos lesz, és a magasabb
rendû tagokat elhanyagoljuk. (Az egész gondolatmenet úgy néz ki, mint a
függvényeknél az elsõ derivált képzése.) Szokás ezt úgy is megfogalmazni, hogy a
δϕ variációja elsõ rendben kicsi.
A variációszámítás azt a függvényt keresi, amelynél a funkcionál variációja zérus.
A deriválttal való rokonság okán ez azt jelenti, hogy a funkcionálnak a keresett
függvény ezen értékénél szélsõértéke van. Jól megválasztott funkcionál esetén
ilyenkor a keresett függvény adott fizikai feladatmegoldás, például az elektrosztatika
peremérték-feladatának megfelelõ potenciálfüggvény. Az elmondottak értelmében
(6.22a) variációja:
ρ
ρ
δ ϕ δϕ
ϕ δϕ ϕ
ε ε ϕ
1
2
W = ⎡ ( + ) ⎤
1
2
⎣
grad
⎦
dV− ( + ) V− ∫ [ ] V + V
2
∫ d grad d d
2 ∫
A kijelölt mûveletek elvégzése után:
V
0 V V
0
(6.22b)
σ
δ ϕ δϕ
ε δϕ
W = ∫ grad grad( ) d V−∫ dV,
(6.23)
V V 0
ahol az utolsó tagot elhanyagoljuk, mert (δϕ) 2-tel arányos. Ez a tag egyébként
nemnegatív, ezért a funkcionál a minimumát veszi fel.
A Green-tétel felhasználásával kapjuk:
δ ϕ ρ
ϕ
W δϕ V δϕ
ε n A
⎡ ⎤
= − ⎢ + ⎥
∂
∫ Δ d +
⎢ ⎥ ∫�
d
(6.24)
V ⎣
0 ⎦
∂ A
A funkcionál variációja tehát akkor tûnik el, ha a felületi integrál zérus, a ϕ függvény
a térfogatban pedig eleget tesz a
ρ
Δϕ =−
(6.25)
ε0
Poisson-egyenletnek.
A felületi integrál két esetben tûnik el:
a) δϕ = 0 a vizsgált térfogat felületén. Ez azt jelenti, hogy a ϕ függvény variációját
úgy kell megválasztani, hogy az a peremen (vagy annak legalább egy részén) ne
változzék. Más szóval a ϕ + δϕ és a ϕ függvény peremfeltétele azonos.
b)Ha azonban az elõzõ feltétel nem teljesül, a peremen ∂
∂ =
ϕ
0, azaz a derivált
n