ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
ϕ(x, y)
V
6.5. ábra
A potenciál értéke
y/a =0,1-re
és 0,5-re
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
72
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
Variációs formalizmus
A variációs elvek szerepe a fizikai jelenségek leírásában kiemelkedõ jelentõségû.
Segítségükkel az egyenletek koordináta-függetlenül és általánosságban fogalmazhatók
meg.
Különleges helyet foglalnak el a variációs elvek között az egyensúlyi rendszerekre
vonatkozók. Az elektrodinamikában ilyen rendszerek a sztatikus és stacionárius terek.
Egyensúlyi rendszerekben általános elv az energiaminimum elérésére törekvés.
Más szóval a rendszer akkor van egyensúlyban, ha a lehetséges energiaállapotai
közül a legkisebb energiájú állapotban van. (Analógia: a tömeg a parabola alakú
gödör alján van egyensúlyban.)
A variációs elvek általános megfogalmazása a következõ. Rendeljünk a rendszert
leíró függvényhez (ilyen például a potenciál) egy funkcionált. A funkcionál (a
„függvény függvénye”) a leírófüggvényhez egy skalárértéket rendel.
A variációs elvek egy nagy csoportja – és így az ezekben alapuló számítási eljárások
is – energiatípusú funkcionálokat definiál.
Nézzük például a
1
2
W[ ϕ]= ∫ ( grad ϕ) d V−∫ρϕ d V
2
(6.21)
V
y/a = 0,1
y/a = 0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
V
funkcionált. Ez nyilván a ϕ skalárfüggvényhez rendel egy számértéket.
Megjegyzés:
A függvényeket jelölõ szimbólumok ( ϕρ , ) választása nem véletlen. A (6.21) funkcionál az
elektrosztatika variációs elvének fõszerepét játszó funkcionál. Ha megvizsgáljuk a struktúráját,
az elsõ tag a „mozgási energia” típusú energiakifejezés, míg a második tag a „potenciális
energia” típusú kifejezés. Az ilyen kifejezést a mechanikában Lagrange-függvénynek hívják,
és szintén variációs funkcionálként mûködik.