ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka

6. FEJEZET
70
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI
A módszer lényege, hogy feltételezi: a megoldás három függvény szorzata, amelyek
közül bármelyik csak egy koordinátától függ:
ϕ( xyz , , )= XxYyZz ( ) ( ) ( ).
(6.10)
Ezt (6.9)-be helyettesítve és ϕ -vel végigosztva kapjuk:
2
2
2
1 d X 1 d Y 1 d Z
+ + = 0,
(6.11)
2
2
2
X dx
Y dy
Z dz
ahol a parciális deriváltokat közönséges deriváltak helyettesítik, hiszen a függvények
egyváltozósak. (6.11) csak úgy lehet érvényes a változók bármely értéke, ha a bal
oldalon álló három kifejezés külön-külön állandó, és az állandók összege zérus.
Legyen
és
1 2
X
1 2
Y
d X
2
d x
d Y
2
d y
d Y
2
=−α , (6.12a)
2
=−β , (6.12b)
1 2
2
2
Y d y
=−β , (6.12c)
2 2 2
α + β = γ
(6.12c)
α és β megválasztása tõlünk függ. Rendszerint úgy választjuk meg õket, hogy a
peremfeltételek kielégítése minél könnyebb legyen.
Válasszuk például α és β értékét pozitív valós számnak. (Komplex mennyiségek
is lehetnek!) Ekkor a (6.10) potenciál
ϕ( x, y, z)= ( Asinαx+ Bcosαx) ( Csin βx+ Dcosβx) Esin γx+ Fcos γx
( ) (6.13)
alakú szorzatokból állítható elõ.
Bemutatjuk egy kétdimenziós potenciálprobléma megoldását a változók
szétválasztásának módszerével, Jackson gondolatmenetet követve.
Kétdimenziós problémát vizsgálunk. Ez a z iránytól független potenciálelosztást
tételez fel. (6.13) helyett kis változtatással
( )
( ) +
αx −αx
ϕ= Asinαx+ Bcosαx CeDe (6.14)
alakú potenciálelosztással számolunk. Legyenek a peremfeltételek a 6.4. ábrán
adottak, azaz
{ }
ϕ = 0, ha x = 0 V x = a ∈ y 0 ≤ y≤∞
(6.15a)
{ }
ϕ =V, ha y = 0 ∈ x 0 ≤x≤a (6.15b)
ϕ → 0, ha y → ∞ . (6.15c)