ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
ELEKTRO- MÁGNESES TEREK - Munka
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6. FEJEZET<br />
70<br />
SZTATIKUS, STACIONÁRIUS FELADATOK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI<br />
A módszer lényege, hogy feltételezi: a megoldás három függvény szorzata, amelyek<br />
közül bármelyik csak egy koordinátától függ:<br />
ϕ( xyz , , )= XxYyZz ( ) ( ) ( ).<br />
(6.10)<br />
Ezt (6.9)-be helyettesítve és ϕ -vel végigosztva kapjuk:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 d X 1 d Y 1 d Z<br />
+ + = 0,<br />
(6.11)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
X dx<br />
Y dy<br />
Z dz<br />
ahol a parciális deriváltokat közönséges deriváltak helyettesítik, hiszen a függvények<br />
egyváltozósak. (6.11) csak úgy lehet érvényes a változók bármely értéke, ha a bal<br />
oldalon álló három kifejezés külön-külön állandó, és az állandók összege zérus.<br />
Legyen<br />
és<br />
1 2<br />
X<br />
1 2<br />
Y<br />
d X<br />
2<br />
d x<br />
d Y<br />
2<br />
d y<br />
d Y<br />
2<br />
=−α , (6.12a)<br />
2<br />
=−β , (6.12b)<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
Y d y<br />
=−β , (6.12c)<br />
2 2 2<br />
α + β = γ<br />
(6.12c)<br />
α és β megválasztása tõlünk függ. Rendszerint úgy választjuk meg õket, hogy a<br />
peremfeltételek kielégítése minél könnyebb legyen.<br />
Válasszuk például α és β értékét pozitív valós számnak. (Komplex mennyiségek<br />
is lehetnek!) Ekkor a (6.10) potenciál<br />
ϕ( x, y, z)= ( Asinαx+ Bcosαx) ( Csin βx+ Dcosβx) Esin γx+ Fcos γx<br />
( ) (6.13)<br />
alakú szorzatokból állítható elõ.<br />
Bemutatjuk egy kétdimenziós potenciálprobléma megoldását a változók<br />
szétválasztásának módszerével, Jackson gondolatmenetet követve.<br />
Kétdimenziós problémát vizsgálunk. Ez a z iránytól független potenciálelosztást<br />
tételez fel. (6.13) helyett kis változtatással<br />
( )<br />
( ) +<br />
αx −αx<br />
ϕ= Asinαx+ Bcosαx CeDe (6.14)<br />
alakú potenciálelosztással számolunk. Legyenek a peremfeltételek a 6.4. ábrán<br />
adottak, azaz<br />
{ }<br />
ϕ = 0, ha x = 0 V x = a ∈ y 0 ≤ y≤∞<br />
(6.15a)<br />
{ }<br />
ϕ =V, ha y = 0 ∈ x 0 ≤x≤a (6.15b)<br />
ϕ → 0, ha y → ∞ . (6.15c)